Gyroscopes for Orientation and Inertial Navigation Systems

Gyroscopes for Orientation and Inertial Navigation Systems

KiG 2007, special issue
Gyroscopes for Orientation and Inertial Navigation Systems
Gyroscopes for Orientation and Inertial
Navigation Systems
Radovan MARJANOVIÆ KAVANAGH
University of Zagreb, Faculty of Mining, Geology and Petroleum Engineering, Institute for
Geophysical Research and Mine Surveying, Pierottijeva 6, 10000 Zagreb, Croatia
254
Abstract: In this paper the main elements of gyrotheodolites and inertial navigation systems are provided. The main function principles of mechanical
gyros are explained and the main difficulties in maintenance and sources of errors while measuring with
gyros and gyro-theodolites are listed. The principles
of RLG and FOG gyros and the principles of inertial
navigation are explained. The main differences of a
guided platform and a strap-down system are explained. A brief review of mathematical expressions
for position coordinate- determination from double
integration of acceleration measurements from accelerometers is given. It is indicated on difficulties in INS
application during a long time period caused by insufficient knowledge of gravity acceleration due to
locally gravity anomalies and gyro-drift. The necessity of INS signal correction using another positioning
system like GNSS is pointed out, applying Kalman
filter algorithms for interpolation between two measuring points so as position prediction of points which
are not measured.
Keywords: Inertial Geodesy, Inertial Systems, Gyroscope, Gyro-theodolite, RLG, FOG, Inertial Platform,
Strap-down System, Accelerometer, Centrifugal force,
Corriolis acceleration, Gravity, Mechanization equations, Kalman filter.
1 Introduction
A special part of Geodesy, the so called Inertial Geodesy is based on determination of inertial momentum
which is generated by the resultant of two assembled
movements, the rotation of the Earth and some other
movements (the rotation of a spinning wheel-gyro). The
inertial methods and the inertial systems serve for many
applications in geodesy, especially in mine surveying and
for many military applications. The modern aircraft navigation could not be possible without inertial systems (Grozdaniæ 1999a), but there are a number of INS applications for civil and military purposes. That are automated
alignments of different robots, baggers, drilling machines,
and other machines for mining, the alignments of photogrammetric cameras and systems for kinematical rail and
road mapping (Caspary et al. 1995), measurement of rail
deformations but also fully military applications like tank
canon tube alignments while driving, submarine, ships and
different missile and projectile orientation and alignment
on a previously determined trajectory and others.
2 Gyroscopes for Orientation (Gyrotheodolites)
If we mount a mechanical gyro in a gimbal-system
with three degrees of freedom of movements, Fig. 1, the
rotation axis of the spinning wheel, will attempt to remain
parallel to itself during any movement (with some small
deviations caused by the friction in the bearings).
If we reduce a degree of freedom and hang a gyro
system on a thin string, after turning on the gyro motor in
motion the axis of the gyro will attempt to turn to the
direction of the pole (north on the northern part of the
Earth) and will slowly swing around this direction. Hence,
such measuring systems serve for direct estimations of
geographic pole directions (Gyrocompass, Gyro-theodolite). The estimation of the direction to the pole is reduced to the determination of the points between which
the gyro swings. These points are called turning points
and the pole direction determination is reduced to the
KiG 2007, poseban broj
Žiroskopi za orijentaciju i inercijalni navigacijski sustavi
Žiroskopi za orijentaciju i inercijalni
navigacijski sustavi
Radovan MARJANOVIÆ KAVANAGH
Sveuèilište u Zagrebu, Rudarsko-geološko-naftni fakultet, Zavod za geofizièka istraživanja i
rudarska mjerenja, Pierottijeva 6, 10000 Zagreb
255
Sažetak: U radu su navedeni osnovni elementi žiroteodolita i inercijalnih navigacijskih sustava (INS). Objašnjeni su osnovni principi rada mehanièkih žiroskopa,
te navedene teškoæe i uzroci pogrešaka mjerenja žiroskopom i žiroteodolitom. Razmotreni su principi rada
laserskih FOG i RLG žiroskopa. Objašnjeni su principi
navigacije inercijalnim sustavima. Navedene su osnovne razlike izmeðu navoðenih platformi i "strapdown" sustava. Dan je pregled matematièkih izraza
za raèunanje koordinata pozicije iz dvostruke integracije mjerenih podataka ubrzanja iz akcelerometara.
Upozoreno je na teškoæe u primjeni INS-a kroz duži
vremenski interval zbog nedovoljno dobrog poznavanja sile ubrzanja, izazvanog lokalnim anomalijama
sile teže te "drifta" žirosustava. Istaknuta je potreba
korekcije signala INS-a uz pomoæ nekog drugog sustava za pozicioniranje i primjenu Kalmanova filtra za
interpolaciju izmeðu dvije mjerne toèke kao i za moguænost predikcije položaja koji još nije uslijedio.
Kljuène rijeèi: inercijalna geodezija, inercijalni sustavi, žiroskop, žiroteodolit, RLG i FOG laserski žiroskopi,
inercijalna platforma, strap-down sustav, akcelerometar, centrifugalna sila, Coriolisovo ubrzanje, gravitacija, mehanizacijske jednadžbe, Kalmanov filtar
1. Uvod
Posebno izdvojena grana geodezije, tzv. inercijalna
geodezija, zasniva se na ustanovljavanju momenata
inercije, koji nastaju kao rezultat sastavljenih gibanja –
Zemljine rotacije i nekih drugih gibanja (rotacija žiroskopa
– zvrka). Inercijalne metode i inercijalni sustavi služe za
èitav niz primjena u geodeziji, a posebno u rudarskim
mjerenjima te za vojne namjene. Suvremena navigacijska
aviooprema bila bi nezamisliva bez inercijalnih sustava
(Grozdaniæ 1999a), no postoji èitav niz drugih mirnodopskih i vojnih primjena. To su ureðaji za automatsko
navoðenje razlièitih robota, bagera, bušilica ili drugih rudarskih strojeva, za navoðenja razlièitih fotogrametrijskih
ureðaja, kamera i sustava za kinematièka snimanja
prometnica (Caspary i dr. 1995), te ustanovljavanja deformacija traènica, ali i iskljuèivo vojnih primjena kao što su
stabilizacije i navoðenja cijevi tenkova u vožnji, navoðenja
podmornica, brodova i razlièitih projektila po unaprijed
zadanoj putanji i dr.
2. Žiroskopi za orijentaciju
(žiroteodoliti)
Postavi li se mehanièki žiroskop u kardanski ovjes s
tri stupnja slobode kretanja, sl. 1, os rotacije rotirajuæeg
žiroskopa u bilo kojem položaju prilikom gibanja uvijek
æe nastojati ostati sama sa sobom paralelna, uz mala
odstupanja koja uzrokuje trenje u ležajevima ovjesa.
Ako se žiroskopu ogranièi jedan stupanj slobode i
ureðaj se objesi o tanku nit, nakon stavljanja u pogon
motora žiroskopa os njegove rotacije nastojat æe zauzeti
smjer prema polu (na sjevernoj polutki prema sjeveru) i
oko toga smjera æe se polagano njihati. Stoga takvi mjerni
sustavi služe za izravno odreðivanje smjera geografskih
polova (žirokompasi i žiroteodoliti). Odreðivanje smjera
prema polu svodi se na raèunanje sredine krajnjih položaja izmeðu kojih se žiroskop njiše. Ti se krajnji položaji
nazivaju okretne toèke, a odreðivanje smjera sjevera
svodi se na odreðivanje sredine izmeðu okretnih toèaka.
Smjer sjevera može se odrediti raèunski iz nekoliko mjerenja ili kod novijih ureðaja potpuno automatski s pomoæu
Gyroscopes for Orientation and Inertial Navigation Systems
KiG 2007, special issue
therefore understandable that the quality of the gyro parts
must be at high level, especially the Teflon or gas bearings of the driving motor, which results in very high prices. For sufficient gyro system stability it is logical that the
momentum of inertia must be as big as possible. This is
what causes big power consumption and bigger thermal
radiation producing gyro instabilities (gyro drift rate) (Brunner 2000).
Except for determining the direct direction to the
Earth’s poles, which is especially important for mine surveying (for controlling and drilling of long tunnel tubes),
the gyro spinning wheel serves for orientation, regulation and stabilization of measuring platforms in inertial
navigation systems.
3. The Gyroscopes for Stabilization
256
Fig. 1 Gyroscope mounted in a gimbal-system
Sl. 1. Žiroskop postavljen u troosni kardanski sustav
calculation of the mean between the turning points. The
determination of the pole direction can be calculated from
several measurements or in modern instruments fully
automatically using electronical sensors and computer.
The connection of a theodolite and a gyro to one unit is
called gyro-theodolite. The gyro-theodolite is a surveying instrument allocated especially for mine-surveying,
and is used primarily for subsurface measurements in
tunnel surveying. The gyro which is hanged in the vertical axis of the theodolite serves for the alignment of the
horizontally oriented theodolite limb or the orientation of
its reading index to the direction of the true north. After
determining the direction to the Earth’s pole and aligning
the horizontal limb, all other measurements could continue in the same way as it is done with theodolites over
the surface of the Earth.
In the mid sixties of the last century laser gyros were
constructed. They are called Ring Laser Gyro or RLG
systems. The RLG does not consist of any mechanical
parts which are rotating. So the power consumption of
such systems is very low regardless of its position. Thus,
such systems are thermally and dimensionally very stable and they have very good long term stability.
The changes of the RLG position (turning) in the plane
of the laser could be determined by measuring the frequency changes of the monochromatic, coherent light
generated by this system (King 1988).
The principle of the RLG system is based on the Sagnac’s effect, Fig. 3.
Modern gyro-theodolites enable great reliability of
direction determination which is about ±1.0", but the time
interval in which this determination is achieved is also
very important. The trend in modern gyro-theodolite constructions is to automate all measurements (Heister
1990). Additionally the modern instruments are smaller,
less heavy and at the same time more reliable and more
accurate than its forerunner models.
An especially successful model is the fully automated gyro-theodolite GYROMAT 2000, constructed at the
DMT – Institut für Lagerstäte, Vermessung und Angewandte Geophysik, Bochum, Fig. 2.
The mechanical gyros are constructed as a ring electro motors (in aircrafts often as air turbines), where the
mass of the rotor is concentrated in the edge of the ring.
In the time of broad miniaturization the modern gyros
became smaller, and to achieve sufficient momentum of
inertia the spinning wheel rotates with great speed. Revolutions of 30 000 rev/min and more are common. It is
Fig. 2 Modern fully automated Gyro-theodolite
GYROMAT 2000, developed on the DMT – Institut für
Lagerstäte, Vermessung und Angewandte
Geophysik, Bochum
Sl. 2. Suvremeni automatizirani žiroteodolit GYROMAT
2000, razvijen na DMT – Institut für Lagerstäte,
Vermessung und Angewandte Geophysik, Bochum
KiG 2007, poseban broj
Žiroskopi za orijentaciju i inercijalni navigacijski sustavi
Fig. 3a and Fig. 3b Sagnac’s effect
Sl. 3a i Sl. 3b Sagnacov efekt
elektronièkih senzora i raèunala. Povezivanjem teodolita
i žiroskopa nastaje konstrukcija poznata kao žiroteodolit.
Žiroteodolit je geodetski mjerni instrument namijenjen
uglavnom rudarskim mjerenjima, a primjenjuje se u prvom
redu za mjerenja pod zemljom, odnosno u tunelogradnji.
Žiroskop koji je obješen u vertikalnoj osovini teodolita
služi za orijentaciju horizontalnog limba teodolita odnosno
njegova indeksa u odnosu prema smjeru sjevera. Nakon
što se žiroskopom utvrdi smjer prema Zemljinim polovima
i orijentira horizontalni limb, sva se ostala mjerenja obavljaju teodolitom (kao da se mjeri na Zemljinoj površini).
Suvremenim žiroteodolitima postiže se velika pouzdanost pri odreðivanju smjera, a ona se kreæe oko ±1,0", ali
je takoðer osobito važno vrijeme trajanja mjerenja u
kojem je potrebno da se žiroskop stabilizira. Kod novijih
konstrukcija nastoje se sva mjerenja u potpunosti automatizirati (Heister 1990). Uz to su suvremeni žiroteodoliti
znatno manjih dimenzija i težine, a istodobno bitno pouzdaniji i toèniji od svojih prethodnika.
Iznimno je uspjele konstrukcije potpuno automatizirani, mehanièki žiroteodolit GYROMAT 2000, razvijen
na DMT – Deutsche Montan Technologie GMBH – (Institut
für Lagerstäte, Vermessung und Angewandte Geophysik,
Bochum), sl. 2.
Mehanièki žiroskopi konstruirani su kao prstenasti
elektromotori (a kod zrakoplova èesto kao zraène turbine),
kod kojih je masa rotora rasporeðena po obodu prstena.
U eri opæe minijaturizacije suvremeni žiroskopi postaju
manjih dimenzija, a da bi mogli postiæi zadovoljavajuæi
moment tromosti, žiroskopi rotiraju s vrlo velikim brojem
okretaja. Brzine rotacije od 30 000 okr./min i više uobièajene su. Razumljivo je stoga da su u pogledu kvalitete
materijala i preciznosti izvedbe mehanièkih žiroskopa, a
posebice teflonskih (ili zraènih) ležajeva motora, postavljeni vrlo visoki zahtjevi, što rezultira iznimno visokim cijenama. Za postizanje zadovoljavajuæe stabilnosti žirosustava logièno je da moment tromosti mora biti što je moguæe veæi. Upravo zbog toga potrebna je veæa energija za
napajanje žiromotora, a to opet za sobom povlaèi veæe
zagrijavanje sustava te uz vanjske promjene temperature,
izravno utjeèe na stabilnost žirosustava (engl. gyro drift
rate) (Brunner 2000).
Osim za izravno odreðivanje smjera prema polovima
Zemlje, što ima posebno znaèenje u rudarskim mjerenjima (osobito pri izradi i kontroli smjera proboja dugih
tunela), žiroskopi služe za orijentaciju, regulaciju i stabilizaciju mjernih platformi inercijalnih navigacijskih sustava.
3. Žiroskopi za stabilizaciju
Sredinom šezdesetih godina prošlog stoljeæa konstruirani su laserski žiroskopi. Nazvani su Ring Laser Gyro ili
skraæeno RLG sustavi. Kod takvih žiroskopa ne postoje
mehanièki dijelovi koji rotiraju te stoga RLG žiroskopi troše
malo energije (struje) bez obzira u kojem se položaju
nalaze. Stoga su takvi ureðaji termièki i dimenzionalno vrlo
stabilni, te se odlikuju odliènom dugotrajnom stabilnošæu.
Promjene položaja (zakretanje) RLG u ravnini lasera
ustanovljuju se mjerenjem promjena frekvencije, monokromatske, koherentne svjetlosti koja se generira u takvom ureðaju (King 1988).
Princip rada RLG sustavu zasniva se na Sagnacovu
efektu, sl. 3.
Zamislimo da se svjetlosni impuls (foton) kreæe kružno
u smjeru kazaljke na satu, kroz svjetloprovodni medij,
koji miruje, na sl. 3a i sl. 3b, unutarnja puna crvena linija.
Poèevši od toèke A, u trenutku t0 svjetlost æe trebati
odreðeno vrijeme t da prevali put kroz svjetloprovodni
medij duljine L, pa da ponovno stigne do toèke B, gdje
se detektira u trenutku t1.
Pretpostavimo da se svjetloprovodni medij zakreæe
u smjeru kretanja kazaljke na satu, tj. u istom smjeru kao
što i impuls svjetla prolazi kroz svjetlovod od toèke A’ u
trenutku t0', na sl. 3a isprekidana crvena linija. Zbog
rotacije svjetloprovodnog medija u trenutku t1', toèka A’
æe biti na mjestu B’. Zbog toga æe impuls svjetla da bi
prošao od toèke A’ do toèke B’ trebati proæi putanju punog
kruga (360°) i trebat æe prevaliti još i dodatni put DL u
dodatnom vremenskom intervalu Dt, koji je odreðen
kutnom brzinom zakretanja medija, tj. kutom zakreta w.
Nasuprot tomu, zakreæe li se svjetloprovodni medij u
suprotnom smjeru od kretanja kazaljke na satu, tj. u
257
KiG 2007, special issue
Gyroscopes for Orientation and Inertial Navigation Systems
Fig. 4. Principle of a RLG and a RLG of the firm Marconi (Ferranti)
Sl. 4. Princip RLG žiroskopa i RLG firme Marconi (Ferranti)
258
Let us imagine a light pulls (photon) moving in clockwise direction through a light conducting motionless
medium in Fig. 3a and Fig. 3b, the inner full red line.
Starting at the point A at the time t0 the light need some
definite time t to pass through the light conducting medium of a length L to come again to the point B where it is
detected.
Presume that the light conducting medium rotates in
a clockwise direction in the same direction that the light
pulls passes through the light conducting medium from
the point A’ at t0', in Fig. 3a the interrupted red line. Due
to the rotation of the light conducting medium at t1' the
point A’ will be at the position B’. Because of that the light
pulls must pass the full circle (3600) in order to come
from A’ to B’ and must pass the additional path DL in an
additional time interval Dt, which is determined by the
rotating speed of the medium being the rotation angle w.
On the other hand if the light conducting medium rotates counter clockwise in the opposite direction of the
light pulse in Fig. 3b, the interrupted red line, starting at
the point A’ at t0', the light pulls will need for Dt shorter
time to come around the full circle because the point B’
has approached at the time t1'.
After determining the time the light pulls needs to pass
through the rotating light conducting medium, it is possible to determine the time difference Dt compared to the
known time t for the light pulls to pass the medium of the
length L when it is motionless. In this way it is possible to
determine the position difference or the rotation of the
medium for the angle Dw in one or the other direction.
The RLG is constructed on the basis of this principle.
In a triangle glass tube at each corner three mirrors are
positioned forming an optical resonator, Fig. 4. The tube
is under low pressure filled with a helium-neon mixture.
Three electrodes are inserted in the tube with one cathode and two anodes where the voltage of about 1kV is
applied. In this way a monochromatic coherent light is
generated, with a wavelength established by the medium (He-Ne Laser about 633 ×10-9 m). Exactly two laser
beams are generated in the same medium and their lights
are directed in two opposite directions. The third mirror
is semi transparent so a part of the light beams of each
laser comes out of the triangle and those frequencies
are detected by a sensor. When the system is motionless, both frequencies are equal. Each rotation of the
optic triangle in the plane of the laser changes the frequency in one or the other side for the angle w (Doppler
effect) while the frequency of one laser alters and the
frequency of the other reduces.
The change of the registered frequency is exactly
proportional to the rotation angle. Precise determination
of the registered frequency provides the determination
of the rotation angle of the RLG around the axis perpendicular to the plane of the laser.
In the seventies of the past century the Fibre Optic
Gyro – FOG system was developed which is in its principle very similar to the RLG system. The main difference
between both systems is that the RLG is an optical resonator with frequency determination and the FOG is an
interferometer system. The monochromatic coherent light
– laser of the FOG is mounted outside the system. At a
semi transparent mirror the light beam is separated in
two parts. One light beam is entering the system at the
beginning and the other at the same time at the end of a
coil wound with optic fibre. The coil consists of a large
number of windings so the path of the light is increased
(and also the time of the light passing through the optic
fibre).
As the light passes the same path (through the same
optic fibre) in both directions, the detector detects waves
with certain difference in phases of both signals. Each
rotation of the system in the plane of the coil windings for
the angle w causes a time delay of one of the signals
KiG 2007, poseban broj
Žiroskopi za orijentaciju i inercijalni navigacijski sustavi
Fig. 5. Principle of a FOG (with phase modulator) and a FOG of the firm Litton
Sl. 5. Princip FOG žiroskopa (s faznim modulatorom) i FOG firme Litton
suprotnom smjeru u kome se kreæe impuls svjetla kroz
svjetloprovodni medij, na sl. 3b isprekidana crvena linija,
poèevši od toèke A’ u trenutku t0', impuls svjetla æe trebati
za Dt kraæe vrijeme da obiðe puni krug jer mu je završna
toèka B’ došla u susret u trenutku t1'.
Odreðivanjem vremena prolaska impulsa svjetla kroz
svjetloprovodni medij moguæe je stoga ustanoviti odstupanja Dt od poznatog vremena t koje je potrebno da impuls
svjetla proðe put odreðene duljine L u stanju mirovanja.
Na taj je naèin moguæe ustanoviti promjene položaja
odnosno zakretanje svjetloprovodnog medija za Dw u
jednu ili drugu stranu.
Upravo na tom principu konstruiran je RLG. U staklenoj cijevi oblika trokuta u kutove su postavljena tri zrcala
tako da tvore optièki rezonator, sl. 4. Cijev je pod malim
tlakom i ispunjena je mješavinom helija i neona. U cijevi
su ugraðene tri elektrode: od toga jedna katoda i dvije
anode koje se napajaju visokim naponom od oko 1kV.
Na taj se naèin u cijevi generira monokromatska koherentna svjetlost kojoj je valna duljina odreðena medijem (HeNe LASER oko 633 × 10-9 m). Toènije, u cijevi su tako
nastala dva lasera kojima se svjetlost kreæe u dva suprotna smjera. Konstruktivno je uèinjeno da je jedno od
zrcala polupropusno tako da zrake svjetla iz oba smjera
jednim dijelom prolaze kroz njega. Iza polupropusnog
zrcala su postavljena dva detektora koji registriraju frekvenciju lasera. Miruje li sustav, tada se na izlazu iz detektora registrira ista valna duljina iz oba lasera. Svako zakretanje optièkog sustava za kut w u jednu ili drugu stranu
uvjetuje promjenu registriranih frekvencija (Dopplerov
efekt), jer se frekvencija iz jednog lasera kod zakretanja
povisuje, a frekvencija iz drugoga snižava. Promjena
registrirane frekvencije proporcionalna je iznosu kuta
zaokreta. Preciznim odreðivanjem razlike frekvencija
moguæe je stoga odrediti kut zaokretanja RLG oko osi
okomite na ravninu lasera.
Sedamdesetih godina prošloga stoljeæa razvijen je
Fibre Optic Gyro – FOG sustav, koji je u svojoj osnovi
vrlo slièan RLG sustavima. Osnovna razlika izmeðu ta
dva sustava je što je kod RLG sustava primijenjen optièki
rezonator, kod kojeg se odreðuje promjena frekvencije,
dok je FOG sustav interferometrijski. Kod FOG sustava
je izvor monokromatske koherentne svjetlosti – laser –
postavljen izvan sustava. Svjetlost iz lasera se na polupropusnom zrcalu grana i dovodi istodobno na poèetak i
kraj svjetlovoda koji je namotan kao zavojnica. Zavojnica
ima velik broj zavoja, pa se time znatno produljuje put
zrakama svjetla kroz svjetlovod (i time poveæava vrijeme
kretanja svjetla kroz medij). Kako svjetlo prevaljuje isti
put (kroz isti svjetlovod) u oba smjera, na detektoru se
kod mirovanja sustava pojavljuje svjetlost s odreðenim
razmakom faza primljenih signala. Svako zakretanje
sustava u ravnini namotaja za kut w uvjetuje kašnjenje
jednog od signala kroz svjetlovod, što se manifestira
razlikom u fazi izmeðu jednog i drugog signala.
Unapreðenje tog rješenja postignuto je dodatkom
modulatora faze, pri èem se svjetlost modulira u modulatoru, a izlazni signal detektira u ovisnosti o fazi (moduliranog vala), sl. 5. Stabilnost FOG sustava je veæ principjelno bitno manja nego kod RLG sustava, no znatno
niža cijena tih sustava otvara moguænosti primjene žirotehnologije i u jednostavnijim aplikacijama. U novije doba
kod FOG sustava se uspjelo znaèajno poboljšati rezoluciju. Usprkos navedenom, najveæi izvor smetnji FOG
sustava je i dalje znatna osjetljivost na promjene temperature. Zbog promjena temperature mijenja se duljina puta
zrakama svjetla, što se direktno oèituje kao pogreška
mjerenja.
Postavljanjem triju mehanièkih, RLG ili FOG sustava
u tri okomite ravnine moguæe je odreðivanje promjene
kuta zaokreta u prostoru, sl. 6.
Bez obzira kakvi žirosustavi se koriste za stabilizaciju
mjernih platformi u prostoru, sile koje nastoje zaokrenuti
žiroskope se registriraju, a signali se pojaèavaju i dovode
na servomotore za zakretanje platforme ili se u raèunalu
signali obraðuju i raèuna kompenzacija koja bi odgovarala
zakretu platforme kada bi njezina orijentacija u prostoru
ostala nepromijenjena.
Na samom poèetku razvoja, RLG sustavi su bili
neusporedivo skuplji od mehanièkih žiroskopa, a obeæavali su znatno bolje rezultate. Tek ranih osamdesetih godina RLG sustavi su cijenom postali konkurentni mehanièkim žiroskopima. U meðuvremenu je razvoj mehanièkih
259
Gyroscopes for Orientation and Inertial Navigation Systems
KiG 2007, special issue
Fig. 6. RLG-s of the firm Marconi and FOG-s mounted in three perpendicular planes
Sl. 6. RLG firme Marconi i FOG firme Litton postavljeni u tri meðusobno okomite ravnine
through the optical fibre, with causes phase difference
of both signals.
260
The improvement of this system is achieved by adding a phase modulator where the light is modulated in
the modulator and a phase sensitive detecting is applied,
Fig. 5. The stability of the FOG is limited by the principle
of the system and is significantly lower than of the RLG,
but an essentially lower price of these systems opens
the possibility of gyro techniques in simpler applications.
The resolution of FOG systems has been significantly
increased recently. Moreover, the biggest error sources
of the FOG system is still the temperature sensitivity. It
is caused by the dimensional changes of the fibre optic
influenced by the temperature change, which directly
causes measuring errors.
Putting three mechanical, RLG or FOG systems into
three perpendicular planes makes it possible to determine a rotation angle in space, Fig. 6.
Regardless of the gyro system applied for the measuring platform stabilization, the forces that try to rotate
the gyros are registered and the signals are amplified
leading to the servomotors to rotate the platform, or the
signals are processed in computers and compensation
is calculated as the platform orientation remains unchanged in space.
At the beginning of the RLG development these systems have been incomparable in price with mechanical
gyros, but they promised much better results. Even at
the early eighties, the RLG systems became comparable
to the spinning wheel. In the mean time the constructions
of the spinning wheel have developed, so the reliability of
these systems is practically unlimited. As the long term
stability also decreases (King 1998) comparable results
can be achieved with both systems. In the last years the
mechanical gyros have not developed but the laser gyros
development has been very intensive.
Since the stability of the gyros, which is measured in
mili-radians in time (per hour) is besides the sensitivity
the most important attribute, it is presumed the miniaturisation and the price sinking of the electronics will lead to
primacy of the RLG due to its frictionless mechanical parts.
Although it is possible to use a laser gyro for the pole
direction determination, a commercial practical application for geodetic purposes has not been yet achieved.
4 Gyro-Systems for Navigation (INS)
If we mount three independent gyros in a Cartesian
three axis system in the direction of the axis it is possible
to determine the position change in space, and thus determine the coordinates of the measuring system. Because of that, there are also three accelerometers on an
inertial platform that measure the change in movement
– the acceleration. The main parts of an INS are:
q The platform on which the measuring sensors and
mechanical or optical gyros (RLG or FOG) are
mounted.
q Three (at least) accelerometers (Ax, Ay, Az).
q Three associated gyros (Žx, Žy, Žz), which establish the referent orientation of the platform, Fig. 7.
Before activating the INS, it is necessary to make an
initial orientation of the platform or to make the referent
orientation. In Fig. 8 the labels (xi, yi, zi) mark the inertial
coordinate system for which it is presumed to be fixed in
space. With labels (xe, ye, ze) the coordinate system is
marked that follows the rotation of the Earth with the angle
velocity W. The axis xe is oriented to the prime meridian
through Greenwich, and it is presumed that the z axes of
both systems lie together (zi=ze).
Since the platform is to be oriented on the surface of
the Earth (or close over or under the surface), for practical reasons the user uses the system (j, l, h) or the
local system of the platform coordinates (xp, yp, zp).
Due to small influences (compared to the measured
signals from the accelerometers, and other error sources)
KiG 2007, poseban broj
Žiroskopi za orijentaciju i inercijalni navigacijski sustavi
naznaèen inercijalni koordinatni sustav za koji se pretpostavlja da je u prostoru nepokretan. Oznakama (xe, ye, ze)
naznaèen je zemaljski (engl. Earth) koordinatni sustav
koji slijedi Zemljinu rotaciju s kutnom brzinom rotacije W.
Pritom je os rotacije xe usmjerena u poèetni ili nulmeridijan kroz Greenwich, a pretpostavlja se da se osi
rotacije z oba navedena sustava podudaraju (zi = ze).
Kako platformu trebamo orijentirati na Zemljinoj površini
(ili neposredno iznad ili ispod nje), to je iz praktiènih
razloga za korisnika najjednostavnije koristiti sustav
(j, l, h) ili lokalni koordinatni sustav platforme (xp, yp, zp).
Fig. 7. The principle of a three axis INS
Sl. 7. Princip troosnog inercijalnog sustava
žiroskopa takoðer uznapredovao tako da vijek trajanja
mehanièkih žiroskopa gotovo nije ogranièen. Kako im je
takoðer znaèajno poboljšana dugotrajna stabilnost (King
1998), to se obim sustavima postižu podjednako dobri
rezultati. Mehanièki žiroskopi posljednjih godina više nisu
usavršavani, ali su intenzivno istraživana nova rješenja
laserskih žiroskopa.
Kako je stabilnost žirosustava, koja se mjeri u miliradijanima u jedinici vremena (sat), uz osjetljivost najvažnije
svojstvo žiroskopa, zbog potpunog izostanka trenja habajuæih dijelova pretpostavlja se da æe minijaturizacijom i
pojeftinjenjem elektronièkih sklopova RLG sustavi u buduænosti ipak preuzeti primat.
Iako je za odreðivanje smjera prema polu s uspjehom
moguæe primijeniti i laserski žiroskop, primjene za praktiène geodetske namjene do danas nisu ostvarene.
Pri ovim razmatranjima, zbog zanemarivo malih iznosa (u odnosu na velièine koje mjerimo akcelerometrima,
ali i zbog utjecaja drugih izvora pogrešaka) svjesno
zanemarujemo Galilejev prostor, te ishodište našeg inercijalnog prostora postavljamo tako da se poklapa sa
središtem Zemljine mase. Takoðer, svjesno zanemarujemo da se Zemlja okreæe oko Sunca i da se Sunce
giba u svemiru (a i svemir ne miruje).
Kod suvremenih INS-a, inicijalna ili referentna orijentacija platforme obavlja se uglavnom potpuno automatski.
Kod toga se os zp platforme postavlja u smjer lokalnog
vertikala (horizontiranje), a os xp platforme poprima smjer
prema sjeveru. Ovisno o korisniku sustava, druga horizontalna os yp se usmjerava prema istoku ili zapadu. Tako
orijentirani koordinatni sustavi su iz literatire poznati kao
desni NED sustavi (North, East, Down) (Stovall 1997),
ali se koriste i drugaèiji sustavi, na pr. NEU (North, East,
Up) ili drugi (Schwarz 2000).
Kod zrakoplova se najèešæe koriste koordinatni sustavi koje definira tijelo zrakoplova tzv. bodi-sustav, pri èem
je uzdužna os xb orijentirana prema naprijed, popreèna
os yb orijentirana je na desno, a vertikalna os zb je usmjerena tako da definira desni NED koordinatni sustav. U
4. Žirosustavi za navigaciju (INS)
Postave li se tri neovisna žiroskopa u troosnom
Kartezijevu sustavu u smjeru koordinatnih osi, moguæa
su odreðivanja promjene položaja u prostoru, a time i
odreðivanje prostornih koordinata mjernog sustava.
Stoga su na platformi inercijalnih ureðaja uz žiroskope
postavljeni akcelerometri, koji registriraju promjene
gibanja odnosno ubrzanje. Bitni sastavni dijelovi takvog
INS-a su:
q platforma na kojoj su postavljeni mjerni senzori:
akcelerometri i mehanièki ili optièki žiroskopi (RLG
ili FOG)
q (najmanje) tri akcelerometra (Ax, Ay, Az)
q tri pripadna žiroskopa (Žx, Žy, Žz ), koji služe za
održavanje osnovne ili referentne orijentacije
platforme, sl. 7.
Prije stavljanja u pogon INS-a, potrebno je platformu
postaviti u inicijalni položaj, odnosno odrediti tzv. referentnu orijentaciju. Na slici sl. 8 je oznakama (xi, yi, zi)
Fig. 8. Coordinate systems and the initial orientation
of the platform in NED system
Sl. 8. Koordinatni sustavi i inicijalna orijentacija
platforme u NED sustavu
261
Gyroscopes for Orientation and Inertial Navigation Systems
KiG 2007, special issue
Fig. 9. Three axes inertial platform mounted in a gimbal system
Sl. 9. Troosna inercijalna platforma postavljena na kardanski sustav prstenova (gimbal system)
262
we consciously neglect the Galileo’s space, putting the
origin of our inertial space in the middle of the centre of
the Earth’s mass. Also we neglect the Earth’s rotation
around the Sun and that the Sun is moving in space (and
the space is also not stable).
In both systems signals from three accelerometers
(Ax, Ay, Az) and three gyros (Žx, Žy, Žz) are used. All six
components of movement, three translations and three
rotations are measured (King, 1975). So each gyro ensures the orientation of one platform axis.
In modern INS the initial or referent orientation of the
platform is fully automatic.
In classical INS the spinning wheels of the “integration type” mounted with one degree of freedom are used.
That enables a gimbal system with a special construction of Teflon (or gas) bearings, Fig 9. Such “geometric
stabilisation” enables complete platform position decoupling of the position where the platform is mounted, and
makes it independent of the vehicle position. Thus the
gyros here serve more as error detectors in the platform
orientation than for stabilisation.
The zp axis of the platform is positioned in the direction of the locally vertical or nadir (levelling) and the xp of
the platform is oriented to the true north. Depending on
the user the other horizontal axis yp is oriented to the
east or west. Such oriented system is known as the right
NED system (North, East, Down), (Stovall 1997), but other systems are also in use like NEU (North, East, Up) or
others, (Schwarz 2000).
In aircrafts it is common to use coordinate systems
which define the body of the plane (body-system) where
the longitudinal axis xb, is oriented forward, the cross axis
yb is oriented to the right, and the vertical axis zb is oriented to form a right NED coordinate system. Expressed in
angles the forward tilt called pitch is denoted as Q, the
left-right tilting along the longitudinal axis is called roll F,
and the rotation around the vertical axis is yaw Y. Such
systems are absolutely independent of the Earth’s coordinate systems.
Today, two types of INS are in use according to initial
orientation and guidance of the referent platform orientation in space:
q Classically guided platform with servomotors and
the stabilisation with gyroscopes mounted perpendicularly to the sensitive axis of the accelerometers.
q Sensors mounted on the platform, RLG (or FOG),
computers where the corrections are calculated
and that compensate the changes in orientation
of the platform, the so called analytical platform
or strap-down system.
During movements with an inertial platform over the
Earth’s surface in the function of position on the Earth’s
ellipsoid f(j, l, h), and with the angle velocity of Earth’s
rotation W, a precession moment affects the gyros (the
spinning wheel is affected also with friction and other
error sources). The resultant of these forces is registered
with special sensors. After amplification the output signals from the sensors are lead to the servomotors. During the movement of the platform over the surface of the
Earth, the servomotors must constantly turn the platform
to follow the shape of the Earth to remain in the initial
orientation. Proportionally to the signal from the sensor
the vertical axis zp, must stay in the local vertical, so the
axes xp and yp remain in the horizontal plane, where the
xp axis constantly remains in the direction of the meridian, Fig. 10.
In strap-down systems with RLG the signals from the
gyros are continuously registered in the computer where
a torque of the platform in inertial space is simulated using
a mathematical model.
If we consider a simplified spherical Earth with a radius R, the angular torque of the platform is
KiG 2007, poseban broj
Žiroskopi za orijentaciju i inercijalni navigacijski sustavi
te uz kutnu brzinu Zemljine rotacije W, na žiroskope djeluje
moment precesije (a kod mehanièkih žiroskopa utjeèe i
trenje u ležajevima i drugi izvori pogrešaka). Ukupni iznosi
tih sila registriraju se posebnim senzorima. Nakon
pojaèanja izlazni se signali sa senzora dovode na
servomotore. Servomotori, prilikom pokretanja platforme
po Zemljinoj površini, moraju zbog njezine zaobljenosti,
stalno naginjati platformu da bi ona zadržala inicijalnu
orijentaciju. Proporcionalno sa signalom iz senzora,
vertikalna os inercijalne platforme zp, prilikom pomicanja
ostaje usmjerena prema lokalnom vertikalu, tj. osi (xp i yp)
ostaju u horizontalnoj ravnini, pri èem os xp platforme
stalno prati smjer lokalnog meridijana, sl. 10.
Fig. 10. Tilt of the platform in accordance with the
curvature of the Earth
Sl. 10. Zaokretanje platforme u skladu sa Zemljinim
zaobljenjem
kutnim iznosima naginjanje zrakoplova prema naprijed
(napadni kut) naziva se (prema engl.) pitch i oznaèava s
Q, naginjanje oko uzdužne osi roll F, a zakretanje oko
vertikalne osi yaw Y. Takvi su sustavi potpuno proizvoljno
orijentirani u odnosu prema koordinatnim sustavima
vezanima za Zemlju.
Danas su u upotrebi dva tipa INS-a, s obzirom na
postizanje inicijalne orijentacije, te poslije (prilikom rada
ureðaja) kontinuirano održavanje referentne orijentacije
platforme, u inercijalnom prostoru. To su:
q klasièno rješenje navoðenja platforme servomotorima i njezina stabilizacija uz pomoæ žiroskopa,
èije su osi postavljene okomito na smjerove osi
osjetljivosti akcelerometara
q ili novije rješenje kruto povezanih senzora s platformom (RLG i FOG žiroskopi) i raèunala, kod kojih
se raèunskim putem kompenzira promjene u orijentaciji platforme, tzv. analitièka platforma (engl.
strap-down system).
Zajednièko je kod oba sustava da se koriste signali
iz tri akcelerometra (Ax, Ay, Az) i tri žiroskopa (Žx, Žy, Žz).
Ustanovljuje se svih šest komponenata gibanja – tri
translacijske i tri rotacijske (King 1975). Stoga, svaki
žiroskop osigurava orijentaciju jedne od osi platforme.
Kod klasiènog INS-a koriste se mehanièki žiroskopi,
tzv. integracijskog tipa, koji se postavljaju s jednim
stupnjem slobode. To omoguæuje sustav kardanski
postavljenih prstenova (engl. gimbal system) s posebnom
konstrukcijom teflonskih (ili zraènih) ležajeva, sl. 9. Ta
tzv. geometrijska stabilizacija omoguæuje potpuno
odvajanje položaja platforme od položaja mjesta njezina
uèvršæenja, te ju èine neovisnom o položaju vozila. Stoga
ovdje žiroskopi služe više kao detektori pogrešaka u
orijentaciji platforme, nego izravno kao njezini stabilizatori.
Pokreæuæi se inercijalnom platformom po Zemljinoj
površini, u funkciji mjesta na Zemljinu elipsoidu f(j, l, h),
Kod optièkih žiroskopa koji su kruto uèvršæeni na
platformu (strap-down sustav), signali iz žiroskopa u
raèunalu se kontinuirano registriraju, pri èem se u
matematièkom modelu simulira zakretanje platforme u
inercijalnom prostoru.
Ako pojednostavljeno promatramo Zemlju kao sferu
polumjera R, promjena kuta nagiba platforme pritom je
jednaka
pri èemu je v jednako linearnoj brzini
odreðe-noj iz prvog integratora. Stoga vrijedi izraz:
(1)
pri èem je a ubrzanje izmjereno akcelerometrom (King
1998).
Ako platforma u inicijalnom postavu nije bila potpuno
horizontirana to æe mjerena velièina a predstavljati sumu
ubrzanja platforme i komponente koja potjeèe od ubrzanja
sile teže g. Taj izraz možemo shvatiti kao diferencijalnu
jednadžbu gibanja jednostavnog neprigušenog njihala
duljine Zemljina polumjera R. Uz tako definirane velièine,
frekvencija harmonièkog neprigušenog njihala æe biti:
a period njihanja njihala
(2)
Stoga æe platforma u prostoru polagano njihati s
periodom T od oko 84 min. Taj period njihala poznat je iz
literature kao Schulerov period. Kako je Zemlja nepravilno
tijelo razlièite gustoæe i rasporeda masa, to æe zbog
jednostavne aproksimacije Zemlje homogenim elipsoidom prilikom pokretanja platforme po njezinoj površini
(ili neposredno uz nju) uvijek nastajati njihanje platforme
sa Schulerovim periodom. To neprigušeno njihanje æe
se manifestirati kao pogreška u mjerenju ubrzanja na
obje horizontalne osi platforme (xp i yp).
Osnovni mjerni instrument za mjerenje ubrzanja
svakog inercijalnog sustava je akcelerometar. Akcelerometri su najèešæe minijaturna ili subminijaturna njihala
kod kojih promjena položaja akcelerometra u odreðenom
smjeru pomièe njihalo, èiji se pomak od inicijalnog
položaja registrira kapacitivnim, induktivnim ili poluvodièkim senzorom. Suvremeni akcelerometri uglavnom
263
KiG 2007, special issue
Gyroscopes for Orientation and Inertial Navigation Systems
where v is the linear velocity determined from the first
integration.
Thus we can write:
(1)
where a is the acceleration measured with the accelerometer, (King 1998).
If the platform in the initial position was not perfectly
levelled the measured a will be the sum of the acceleration of the platform and the component of the gravity
acceleration g. This expression we could interpret as a
differential movement equation of an undamped pendulum with a length of the Earth’s radius R. With such parameters the frequency of a harmonic undamped pendulum is:
and the period of the pendulum is:
264
q total positioning error (errors in acceleration determination caused by the accelerometer errors
and the orientation errors of the accelerometers
due to the axis and the insufficient knowledge of
the Earth’s gravity field)
q orientation errors of the INS (alignment platform
errors and changes caused by the rotation in the
inertial space)
5 Forces that Affect the INS
The potential of the gravitation force in a point applied in the direction of the coordinate axis gives the components of the gravity acceleration in the axis direction
at this point. For NED system we can write:
(3)
(2)
Thus the platform will slowly swing with a period T of
about 84 min. This period is known from literature as the
Schuler’s period. As the Earth is an improperly curved
body with different density and mass disposition, caused
by the simple approximation of the Earth with a homogeneous ellipsoid, during movements of the platform over
the surface of the Earth (or very close to the surface) the
swinging of the platform with a Schuler’s period will always rise. This undamped swinging will result as error in
acceleration measurements on both horizontal axes (xp
and yp) of the platform.
The basic sensing instrument for acceleration measurements of each inertial system is an accelerometer.
Accelerometers are mostly miniature or subminiature
pendulums where the change in position of the accelerometer in a defined direction moves the pendulum. The
movements of the pendulum from the initial position are
registered with capacitive, inductive or semiconductor
sensors. Modern accelerometers mostly do not have any
moving parts (solid state), so the signal from the accelerometer is used to cancel the force which affects the
pendulum, Fig. 11.
For acceleration measurements the accelerometers
must be stabilised and oriented according to the initial
orientation. In nova days the accelerometers sense accelerations in a sub-nano-g domain.
Regardless of extremely sensitive and stable sensors the accuracy of INS positioning is limited by inner
and outer error sources, which together result in misalignment of the platform from a given coordinate system after some given time. Considering these misalignments in their total amount, the INS errors could be sorted in three groups:
q total gyro drift rate,
The acceleration of the gravity g in a point is equal to
the partial derivative of the potential W, after z in this
point. The measurement of vertical accelerations and the
determination of height (coordinate Z) are not as simple
as the determination of the horizontal components (coordinates X and Y). The reason is that when measuring
vertical acceleration the accelerometers register also the
acceleration of gravity at the place where it is measured.
Hence, for vertical measurements with INS it is necessary to determine the acceleration of gravity separately,
or the local gravity field must be known.
5.1 Gravity is one of the most fundamental forces
in the nature. We can express it as the force of attraction
F between two bodies with masses m1 and m2, at a distance r with the following expression:
(4)
where G is the universal gravitational constant (6.672
× 10-11 m3s-2kg-1), and e12 is a unit vector in the direction
of m1 m2. The gravitational acceleration of the mass m2
due to m1 expressed with the vector g is:
(5)
The mean gravitational acceleration at the Earth’s
surface is about 9.81 m/s2. By approximation of the Earth
with an ellipsoid the acceleration of gravity will be a function of geographic latitude j. So the gravity changes according to the position on the Earth’s surface. These variations, the normal gravity gn can be described by the
following equation, the so called “International formula”,
given in the GRS80:
KiG 2007, poseban broj
Žiroskopi za orijentaciju i inercijalni navigacijski sustavi
265
Fig. 11. Accelerometer with an inductive sensor
Sl. 11. Akcelerometar s induktivnim senzorom
nemaju pokretnih dijelova (solid state), veæ se kao korisni
signal iz akcelerometara uzima struja potrebna da se uz
pomoæ povratne veze poništi sila koja djeluje na njihalo,
sl. 11.
Za mjerenje ubrzanja nužno je da akcelerometri budu
stabilizirani, a osi osjetljivosti budu orijentirane prema inicijalnoj orijentaciji. U novije doba akcelerometrima se mogu mjeriti ubrzanja u sub-nano-g podruèju.
Unatoè vrlo osjetljivim i stabilnim senzorima toènost
odreðivanja pozicije INS-om ogranièena je unutarnjim i
vanjskim utjecajima smetnji, koji se zajedno manifestiraju
kao odstupanje platforme od zadanoga koordinatnog
sustava nakon odreðenog vremena. Razmatra li se
odstupanje u njegovu ukupnom iznosu, pogreške INS-a
mogu sed svrstati u tri skupine:
q ukupne pogreške žiroskopa (gyro drift rate)
q ukupna pogreška odreðivanja položaja (pogreške
u odreðivanju ubrzanja zbog pogrešaka akcelerometara, nedovoljnog poznavanja gravitacijskog
polja i pogrešaka u orijentaciji akcelerometara)
q pogreška orijentacije osi navigacijskog sustava
(pogreške zbog navoðenja platforme i promjene
zbog rotacije u inercijalnom prostoru).
5. Sile koje djeluju na INS
Potencijal sile teže u nekoj toèki diferenciran u smjeru
koordinatnih osi daje komponente ubrzanja od sile teže
u smjeru osi u toj toèki, pa možemo za NED sustav
napisati:
(3)
Ubrzanje sile teže g u nekoj toèki jednako je vrijednosti
parcijalne derivacije potencijala W po z u toj toèki. Upravo
iz tog razloga mjerenje vertikalnih ubrzanja i iz njih
odreðivanje visine (koordinata Z) nije tako jednostavno,
kao što je to odreðivanje komponenti horizontalnih ubrzanja (koordinate X i Y). Razlog je tomu što kod mjerenja
vertikalnih ubrzanja akcelerometri registriraju i djelovanje
ubrzanja sile teže – gravitacije na mjestu mjerenja, pa je
za mjerenje vertikalnih ubrzanja INS-om potrebno da se
sila teža mjeri neovisno o ubrzanju (ili da je unaprijed
poznata).
5.1. Gravitacija je jedna od osnovnih sila u prirodi.
Može se iskazati kao sila privlaèenja F izmeðu dvaju tijela
s masama m1 i m2 na meðusobnoj udaljenosti r izrazom:
(4)
Pritom je G univerzalna gravitacijska konstanta (6,672
× 10-11 m3s-2kg-1), a e12 jedinièni vektor u smjeru m1 m2.
Prema tome gravitacijsko ubrzanje mase m2 u odnosu
na masu m1 izraženo vektorom g može se prikazati
izrazom:
KiG 2007, special issue
Gyroscopes for Orientation and Inertial Navigation Systems
Apart from that, gravity depends on the height h above
the Earth. For simplicity reasons we approximate the
Earth as a sphere with R as Earth’s radius. Than we can
write:
(6)
In the seventies of the last century in the USA, after
intensive usage of artificial satellites for geodetic applications, several prototypes for direct dynamic measurement of the second gravity differential called gradiometer were developed. The installation of gradiometers in
airplanes (vehicle) with initial gravity data, velocity, position at time t0, enables on-line determination of gravity
after passing some time t1.
266
Excellent results achieved with gradiometers in airplanes and satellites were not achieved at the Earth’s
surface. The reason is that the influence of topography
is still present which in some cases can be several orders of magnitude bigger than the measured signal. But
still, the extremely high price of such systems prevents
its usage for civil purposes.
Besides normal gravity acceleration which changes
with respect to latitude and height changes in inertial
space, the INS is affected by forces which are generated
from the Earth’s rotation. These are the centrifugal force
and the Coriolis’s acceleration which can be determined
with sufficient accuracy.
5.2 The centrifugal force, or its module FC acts
always with the radius r of related parallels, so we can
write:
(7)
That means the module of the centrifugal force FC is
proportional to the mass m of a body, its distance r from
the rotation axis and the second potential of the angle
velocity of the Earth’s rotation W.
Since the rotation radius r = 0 on the poles, the centrifugal force does not exist. The biggest amount of the
centrifugal force is at the equator of the Earth where the
rotation radius is the biggest (about. 6370 km), and since
the centrifugal force is directed opposite to the attraction
force, the attraction at the equator is the smallest. All
places at distances from the pole have smaller attraction
than at the pole. These are so called normal variations
which are for simplicity reasons calculated on a reference ellipsoid. In practise, normal gravitation and the
height corrections over the approximated Earth are calculated by the “International formulas”.
5.3 Coriolis’s acceleration acor., arises from the
movements of the platform in the inertial space and is
equal to the vector product of the transfer angular velocity vector of the Earth’s rotation Wpre. and the vector of
the relative velocity of the vehicle nrel in relation to the
“stable” Earth, which can be expressed as follows:
(8)
6 Principles of X, Y, Z Position
Determination with INS
The basic principle of inertial navigation can be best
explained by Newton’s second law of motion where the
force F is equal to the product of mass and acceleration:
(9)
where a is the acceleration vector, and m is the mass
which is constant.
If we express the acceleration as a double derivation
of the position radius vector R after time by substituting
for m = 1, we can write:
(10)
Thus, from the measured components of the total
acceleration
along the three orthogonal axis (x,
y, z), after the first time-related integration it is possible
to determine the components of velocity
along
the axis. After the second time-related integration it is
possible to determine the tumbled path, which means
that it is possible to determine a new position after a double integration of the measured acceleration components
if we know the coordinates at the beginning.
In Fig. 12, the principles of inertial navigation and
position determination from double integration of measured acceleration components is shown in a simplified
schematic way, after (Grozdaniæ 1999a).
In practice the inertial navigation is solved by analytic calculations of the coordinates of the momentary position of the vehicle. The coordinate differences of a referent point R1 at time t1 and the point R2, where the measuring platform is at time t2 is obtained after a double integration of the measured data from the accelerometers:
Fig. 12. Principle of inertial navigation
Sl. 12. Princip inercijalne navigacije
(11)
KiG 2007, poseban broj
Žiroskopi za orijentaciju i inercijalni navigacijski sustavi
(5)
vrijednosti gravitacijskog polja i korekcije za visinu nad
referentnim elipsoidom u praksi se redovito koriste “internacionalne formule”.
Prosjeèno ubrzanje sile teže na Zemljinoj površini iznosi oko 9,81 m/s2. Aproksimiramo li Zemlju elipsoidom,
to æe ubrzanje sile teže biti funkcija geografske širine j
(latitude), pa se ubrzanje s obzirom na mjesto na Zemlji,
tzv. normalna vrijednost ubrzanja gn može izraèunati iz
tzv. internacionalne formule. Prema sustavu GRS80
iznosi:
5.3. Coriolisovo ubrzanje acor. nastaje zbog
gibanja platforme u inercijalnom prostoru, a jednako je
vektorskom produktu vektora prijenosne kutne brzine
Zemljine rotacije i vektora relativne brzine vozila nrel
platforme u odnosu na “mirnu” Zemlju, što je izraženo
jednadžbom:
Gravitacija je osim toga ovisna i o visini h iznad sfere
(Zemlje), pa se pojednostavljeno, gdje je R Zemljin
polumjer, može napisati:
(6)
Sedamdesetih godina prošlog stoljeæa u SAD-u je
intenzivnijom primjenom Zemljinih umjetnih satelita za
geodetske namjene razvijeno nekoliko razlièitih mehanièkih prototipova ureðaja za izravno dinamièko mjerenje
drugog diferencijala sile teže, nazvanih gradiometrima.
Ugradnja gradiometara u zrakoplov (vozilo), uz poznate
poèetne uvjete sile teže, brzine i mjesta (pozicije) u trenutku t0, omoguæuje online odreðivanje trenutaène sile
teže nakon proteka odreðenog vremena t1.
Odlièni rezultati postignuti s gradiometrima u zrakoplovima i satelitima nisu postignuti na Zemljinoj površini
jer je u tim mjerenjima i dalje ostao prisutan utjecaj
topografije, koji može izazvati pogreške koje mogu biti
reda velièine višekratnika mjernog signala. Ipak, posebna
teškoæa u primjeni tih ureðaja je njihova iznimno visoka
cijena, koja praktièno iskljuèuje njihovu primjenu u civilne
svrhe.
Osim normalnog ubrzanja sile teže, koje se mijenja s
promjenom visine i geografske širine, na INS u inercijalnom prostoru djeluju i sile koje nastaju zbog Zemljine
rotacije, ali koje se mogu dovoljno toèno odrediti. To su
centrifugalna sila i Coriolisovo ubrzanje.
5.2. Centrifugalna sila, tj. njezin modul FC, djeluje
uvijek po polumjeru r pripadne paralele, pa možemo
pisati:
(7)
To znaèi da je modul centrifugalne sila FC jednak
umnošku mase tijela m, njegove udaljenosti r od osi
rotacije i kvadrata kutne brzine Zemljine rotacije W.
Kako je na Zemljinim polovima polumjer rotacije r = 0,
centrifugalna sila ne djeluje. Najjaèe je djelovanje centrifugalne sile na ekvatoru, gdje je polumjer rotacije najveæi
(oko 6370 km), a kako je centrifugalna sila usmjerena
suprotno sili privlaèenja, to je na ekvatoru sila privlaèenja
najmanja. Sva mjesta udaljena od pola imaju stoga silu
teže manju od sile privlaèenja na polu. To su tzv. normalne
promjene sile teže, koje se zbog pojednostavnjenja raèunaju na referentnom elipsoidu. Za odreðivanje normalne
(8)
6. Princip odreðivanja X, Y, Z pozicije
INS-om
Osnovni princip rada INS-a može se objasniti prema
drugom Newtonovu zakonu gibanja po kojem je sila F
jednaka umnošku mase i ubrzanja:
(9)
gdje je a vektor ubrzanja, a m masa koja je konstantna.
Izrazi li se ubrzanje kao dvostruka derivacija radijvektora položaja R po vremenu, uz uvrštavanje m = 1,
možemo pisati:
(10)
Stoga æe iz mjerenja komponenata ukupnog ubrzanja
uzduž triju ortogonalnih osi (x, y, z), nakon prve
integracije po vremenu, biti moguæe odrediti komponente
brzine
uzduž tih osi. Nakon druge integracije po
vremenu moguæe je odrediti prevaljeni put, što znaæi da
je uz poznate koordinate na poèetku moguæe odrediti
poziciju nakon dvostruke integracije mjerenih komponenata ubrzanja.
Na sl. 12 shematski je prikazan princip inercijalne
navigacije odreðivanjem pozicije inercijalnog sustava iz
dvostruke integracije izmjerenih komponenata ubrzanja
(Grozdaniæ 1999a).
U praksi se rješenje inercijalne navigacije svodi na
analitièki naèin odreðivanja koordinata trenutaène pozicije
vozila. Pritom se razlike koordinata izmeðu neke referentne toèke odreðene radij-vektorom R1 u trenutku t1 do
mjesta odreðenog radij-vektorom R2, gdje se mjerni sustav nalazi u trenutku t2, dobivaju nakon dvostruke integracije mjerenih podataka iz akcelerometara:
(11)
Teškoæa u primjeni tog izraza nastaje zbog toga što
se inercijalni mjerni sustavi koji se koriste u vozilu nalaze
u Zemljinu gravitacijskom polju, a akcelerometri ne razlikuju sile koje nastaju relativnim gibanjem samih akcelerometara od djelovanja sile teže. Ubrzanje koje akcelerometri kod toga mjere èesto se u literaturi naziva “specifièna
sila” (iako bi to bilo korektnije zvati “specifièno ubrzanje”).
U inercijalnom referentnom koordinatnom sustavu
“specifièna sila” ai je vektorski zbroj inercijalnog ubrzanja
267
KiG 2007, special issue
Gyroscopes for Orientation and Inertial Navigation Systems
movements of the platform with a topocentric coordinate
system (xp, yp, zp) in relation to the inertial coordinate
system (xi, yi, zi), (van den Herrewegen 1980).
The relation of accelerations in the inertial system in
relation to the axis of the inertial platform can be expressed with a vector of the form:
(13)
where:
is the acceleration vector in inertial space,
Fig. 13. Litton 251 INS (with FOG-s)
Sl. 13. INS ureðaj LITTON 251 (s FOG žiroskopima)
268
The difficulty in the usage of this equation results from
the fact that the inertial systems used in the vehicle are
in the gravity field of the Earth, and the accelerometers
can not distinguish the forces arising from relative movements of the accelerometers from the gravity acceleration. The acceleration measured by the accelerometers
is often called “specific force” (although it would be correct to call it “specific acceleration”).
In an inertial reference coordinate system the “specific force” ai is a vector sum of inertial acceleration for a
unit mass, and a vector of the gravity acceleration gi, in
the direction of the plumb line:
C
is a matrix for the transformation from the topo
centric system into the inertial system,
is the acceleration vector in relation to the plat
form axes (topocentric system),
is the velocity vector with respect to the plat
form axes (topocentric system),
Rp
is the position vector with respect to the plat
form axes (topocentric system),
W
is the total angle velocity vector of the inertial
platform (xp, yp, zp) in relation to the inertial space
(xi, yi, zi) with components wx, wy, wz.
Some authors (Schwartz 1979, Farkas-Jandl 1986)
write the following instead of the expression (13):
(12)
(14)
For the coordinate difference calculation in the inertial system this equation is not directly applicable, so one
must take into account the forces generated from the
Which looks confusing at first. Hovewer, in the expression (14), W is not the total angle velocity as in formula (13), but an anti-symmetric matrix of the form:
Fig. 14. Schematic diagram of land INS
KiG 2007, poseban broj
Žiroskopi za orijentaciju i inercijalni navigacijski sustavi
sile za jediniènu masu i vektora ubrzanja sile teže gi, koji
predstavlja smjer djelovanja slobodno obješenog viska,
izraženog u inercijalnom sustavu:
(12)
Za raèun koordinatnih razlika u inercijalnom referentnom sustavu taj se izraz ne može izravno primijeniti, jer
se ubrzanja platforme mjere u topocentriènom sustavu.
Stoga je potrebno uzeti u obzir sile koje nastaju zbog gibanja platforme topocentriènog koordinatnog sustava (xp,
yp, zp) u odnosu na inercijalni koordinatni sustav (xi, yi, zi)
(van den Herrewegen 1980).
Odnos ubrzanja u inercijalnom prostoru i ubrzanja u
odnosu na osi inercijalne platforme mogu se izraziti vektorom, prema sljedeæem izrazu:
(13)
Neki autori (Schwartz 1979, Farkas-Jandl 1986)
umjesto izraza (13) pišu ovako:
(14)
što je na prvi pogled zbunjujuæe. Meðutim, u izrazu (14)
W nije vektor totalne kutne brzine, kao što je u formuli
(13), nego je antisimetrièna matrica oblika:
(15)
Ako se to uoèi onda su oba zapisa (13) i (14) jednako
dobra.
Uvrštavanjem jednadžbe (13) u jednadžbu za “specifiènu silu” dobiva se opæa jednadžba gibanja:
(16)
pri èem je
vektor ubrzanja u inercijalnom prostoru
C
transformacijska matrica za prelazak iz topocentriènog u inercijalni koordinatni sustav
vektor ubrzanja u odnosu na osi inercijalne
platforme (topocentrièni sustav)
vektor brzine u odnosu na osi inercijalne platforme (topocentrièni sustav)
Rp
vektor položaja (platforme) u odnosu na osi inercijalne platforme
W
vektor totalne kutne brzine inercijalne platforme
(xp, yp, z p) u odnosu na inercijalni prostor
(xi, yi, zi) s komponentama wx, wy, wz.
U tom je izrazu uoèljivo Coriolisovo ubrzanje
i centrifugalno ubrzanje
. Vektor je ubrzanje
sile teže gp bez centrifugalnog ubrzanja (Schödlbauer
1985).
U literaturi (Schwartz 1979, van den Herrewegen
1980, Schödlbauer 1985, Farkas-Jandl 1986) moguæe
je naæi formule za komponente vektora ai. Na temelju tih
formula mogu se dobiti tzv. „mehanizacijske jednadžbe“
iz kojih se mogu odrediti brzine (vx, vy, vz) uzduž osi
platforme iz poèetnih koordinata (j, l, h).
Na sl. 13 prikazan je INS model Litton 251 s FOG
žiroskopima, koji se koristi u zrakoplovima, a na sl. 14 je
blok dijagramom prikazan princip inercijalnog navigacijskog sustava za vozila (Grozdaniæ 1999a).
Sl. 14. Blok dijagram INS-a za vozila
269
KiG 2007, special issue
Gyroscopes for Orientation and Inertial Navigation Systems
(15)
If we note that, then both expressions, (13) and (14),
are equally good.
By substituting the equation (13) into the “specific
force“ equation, we get the general equation of motion
(16)
In this expresion the Coriolis’s acceleration is
and the centrifugal acceleration is
.
Vector gp is gravity acceleration without centrifugal
acceleration (Schödlbauer 1985).
270
In references (Schwartz 1979, van den Herrewegen
1980, Schödlbauer 1985, Farkas-Jandl 1986), it is possible to find formulae for vector ai components. On the
basis of these formulae, it is possible to get the so-called
„mechanization equations“ from which velocities (vx, vy,
vz) along the platform axes from initial coordinates (j, l,
h) can be determined.
In Fig. 13 the Litton FOG model 251 is shown, and in
Fig. 14 the principles of a land inertial system after (Grozdaniæ 1999a) in a schematic diagram is shown.
The symbols in the diagram are:
is the calculated angle velocity of position
change q over the Earth,
R
is the local radius of the Earth,
V
is the calculated platform velocity,
W
is the angle velocity of the Earth’s rotation,
X
is the calculated orientation of the accelerome
ter axis in relation to the reference coordinate
system.
7 Difficulties in the INS Application and
Conclusion
Since the INS gives discrete values of position, the
calculated position and the current position of the vehicle
make it possible to use sophisticated algorithms as Kalman filter to extrapolate and predict the new position of
the vehicle which will appear later, (Grozdaniæ 1999b),
King 1998, Stovall 1977). But the early mentioned disturbing influences which we register with the INS and
which we can not eliminate separately, can be eliminated
altogether as a resultant by using mathematical models.
Besides insufficient knowledge of the Earth’s local
gravity anomalies there are first the “mechanic influences”. The usage of precise global digital models of the
Earth’s gravity field will in the future be available also for
civil purposes. However, the accuracy limit will still be
the error sources as gyro drift rate and scale factor errors, perpendicular orientation errors of the accelerometers and the misalignments of the accelerometers in relation to the gyro axis.
Since the most error sources effects are summing or
integrating over time, very precise determination of coordinates in short intervals has become inadmissible in
long time periods. Therefore the calculated current position of the vehicle must be corrected in regular time intervals using other geodetic positioning methods like
GNSS. Certainly, both of these positioning methods in
combination will become a rule because even today both
methods give comparable results and the methods are
ideally implemented (Schwarz 2000).
In order to provide long term stability, increasing sensitivity and dimensional decreasing, the INS instruments
are still intensively developed.
According to difficulties in positioning using modern
GNSS methods in bad signal reception conditions or with
total signal drop out, for instance under the Earth’s surface or under water, that means in mining, tunnelling, or
for military applications, the potential of the INS can clearly
be foreseen.
Acknowledgements
The author is thankful to Prof. Dr. Miljenko Solariæ
and Prof. Dr. Asim Bilajbegoviæ for carefully reading the
manuscript of the paper and very useful suggestions.
KiG 2007, poseban broj
Simboli u dijagramu oznaèuju:
izraèunanu kutnu brzinu promjene nagiba (naginjanje platforme)
R
lokalni polumjer Zemljine zakrivljenosti
V
izraèunatu brzinu (platforme)
W
kutnu brzinu Zemljine rotacije
X
izraèunanu orijentaciju osi akcelerometara u
odnosu na geografski koordinatni sustav.
7. Poteškoæe u primjeni INS-a i
zakljuèak
Kako INS-i daju diskretne vrijednosti pozicija to je iz
veæ izraèunanih i iz trenutne pozicije vozila moguæe složenim matematièkim algoritmima, kao na pr. Kalmanovim filtrom ekstrapolirati i predvidjeti novu poziciju vozila,
koja æe tek uslijediti (Grozdaniæ 1999 b, King 1998, Stovall
1997). No, uz prije navedene utjecaje koje registriramo
INS-om, na mjerni sustav djeluju još i utjecaji koje je pojedinaèno nemoguæe egzaktno odrediti, pa se uz primjenu
odgovarajuæih matematièkih modela te pogreške
uklanjaju u ukupnom iznosu. Uz nedovoljno dobro poznavanje polja sile teže i lokalnih anomalija, to su prije svega
“mehanièki” utjecaji. Primjena globalnih digitalnih modela
polja Zemljine gravitacije zasigurno æe u buduænosti biti
dostupna i u civilne svrhe. No i dalje æe toènost INS-a
ogranièavati izvori pogrešaka izazvanih nestabilnošæu
Žiroskopi za orijentaciju i inercijalni navigacijski sustavi
žiroskopa, tzv. “gyro drift rate”, pogreškom skale i mjerila
akcelerometara, pogrešaka zbog neokomitosti osi akcelerometara i pogrešaka orijentacije akcelerometara u odnosu na žiroskope. Kako se veæina utjecaja tih izvora pogrešaka s vremenom zbraja, to vrlo precizna odreðivanja
pozicija vozila INS-om u kratkim vremenskim intervalima
postaju nedopustivo velika, ako se mjeri kroz duži
vremenski period. Stoga je izraèunanu trenutnu poziciju
vozila potrebno u pravilnim vremenskim intervalima
korigirati egzaktnim podacima povremenih mjerenja
nekom drugom geodetskom metodom, kao što je npr.
GNSS. Zasigurno æe taj princip kombinacije dviju metoda
pozicioniranja i navigacije postati pravilo, jer se danas
obim metodama postižu usporedive toènosti, koje se
idealno nadopunjuju (Schwarz 2000, King 1998). Prvenstveno radi osiguranja dugotrajne stabilnosti, poveæanja
osjetljivosti senzora i smanjenja dimenzija mjernih ureðaja
INS-i su još uvijek u fazi intenzivnog razvoja.
S obzirom na poteškoæe kod pozicioniranja koristeæi
suvremene GNSS metode u uvjetima lošeg prijama i
potpunog izostanka signala, npr. ispod površine Zemlje
ili vode, dakle u rudarstvu, tunelogradnji, te za vojne
namjene, uoèljiv je znaèajni potencijal INS-a.
Zahvala
Zahvaljujem prof. dr. sc. Miljenku Solariæu i prof. dr.
sc. Asimu Bilajbegoviæu na trudu uloženom u èitanje
rukopisa ovoga rada i vrlo korisnim primjedbama.
References / Literatura
Caspary, W., H. Heister, Chr. Hock, J. Klemm, H. Sternberg (1995): The kinematic Surveying system KiSS - Design; Mechanization, Application, The Fourth International Conference on Differential Satelite Navigation Systems, Bergen.
Brunner, F. K., E. Grillmayer (2002): On the Temperature Dependance of Gyroscopic Measurements Using the Gyromat 2000,
FIG, Proceedings of the XXII International Congress Washington, D. C. USA, April 19-26, 2002.
Grozdaniæ, B., R. Marjanoviæ Kavanagh, B. Popoviæ (1999a): Possibility of aircraft height determination by means of inertial
navigation systems, International Confereence on Traffic Science ’99, Portorož.
Grozdaniæ, B., R. Marjanoviæ Kavanagh, B. Popoviæ (1999b): Aplikacije mjerenja vertikalnih ubrzanja u inercijalnim navigacijskim
sustavima, 8th International symposium on electronic in traffic - ISEP ’99, Ljubljana.
Heister, H., A. Schödelbauer (1990): Comparison of Automated Gyrotheodolites. FIG, Proceedings of the XIX International
congress, Helsinki, Finnland.
King, A. I., K. W. Krieger, A. J. Padgaonkar (1975): Measurement of Angular Acceleration of a Rigid Body Using Linear Accelerometers. Transactions of the ASME.
King, A. D. (1998): Inertial Navigation - Forty Years of Evolution. GEC Review, Vol. 13, No. 3.
Stovall H. S. (1997): Basic Inertial Navigation. Naval Air Warfare Center Weapons Division, China Lake, California 93555-6100.
Schwarz, Kl. P., N. El-Sheimy (2000): Kinematic Geodetic Software for Position and Attitude Determination, KINGSPAD Manual,
Department of Geomatics Engineering, The University of Calgary.
Schwarz, Kl. P. (1979): Grundgleichungen und Fehlermodelle für inertiale Meßsysteme. ZfV, Nr. 10.
Van den Herrewegen, M. (1980): Practical results with the “FILS” inertial surveyor. Publication of the GNI.
271