Soluções Numéricas de Discos de Acreção

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SOLUÇÕES NUMÉRICAS DE DISCOS DE ACREÇÃO
Erick Rohan S. O. Magalhães
Dissertação apresentada
ao
Programa de Pós-graduação em Física
da
Universidade Estadual de Santa Cruz
para
obtenção do título
de
Mestre em Física
Programa: Profísica
Orientador: Prof. Dr. Adriano Hoth Cerqueira
Coorientador: Profa. Dra. Maria Jaqueline Vasconcelos
Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro da FAPESB
Ilhéus, Dezembro de 2013
Esta é a versão original da Dissertação elaborada pelo
discente Erick Rohan S. O. Magalhães, tal como
submetida à Comissão Julgadora.
Comissão Julgadora:
• Prof. Dr. Adriano Hoth Cerqueira (Orientador) - UESC-BA
• Profa . Dra . Maria Jaqueline Vasconcelos - UESC-BA
• Profa . Dra . Silvia Helena Paixão Alencar - UFMG
• Prof. Dr. André Luís Batista Ribeiro - UESC-BA
Agradecimentos
Agradeço ao meu orientador Prof. Dr. Adriano Hoth Cerqueira, importante na realização
do trabalho, confiança, perspectiva e amizade nos momentos difíceis. O professor foi muito
mais que um detentor de conhecimento sobre o assunto, foi um educador, a quem devo muito
respeito e admiração.
Agradeço à Fapesb pelo suporte financeiro para realização deste trabalho.
Agradeço aos coordenadores do curso de Pós-graduação em Física da UESC, Dr. Henri
Plana, Dra . Maria Jaqueline Vasconcelos e Dr. Arturo Samana pelo bom trabalho de gerenciamento do curso, preocupação com os alunos e oportunidades, além das melhorias e
parcerias que vêm sendo conquistadas.
Agradeço ao Fillipe D. M. Souza pela elaboração do código numérico que é base para
realização deste trabalho, sua ajuda e atenção para explicar o funcionamento do código e
auxiliar nas modificações necessárias.
Agradeço ao Prof. Mathias S. de Brito pela ajuda sobre a estrutura da linguagem de
programação do código numérico, que permitiu corrigir erros que fizeram o código rodar
como desejado.
Agradeço aos meus colegas de mestrado Elmer Fidel Luque Canaza, Maiara Sampaio
Carvalho, Isabela G. Magno e Elcimar P. Rocha pela amizade, companheirismo, carinho,
bom humor e momentos de descontração.
Agradeço a Profa Dra Elisabete Maria de Gouveia Dal Pino e a seu orientando Luís Henrique S. Kadowaki, que durante estadia em São Paulo pelo progama casadinho CNPq/Capes
na USP dispuseram de bastante atenção e boa vontade, ensinando-me sobre novos códigos
numéricos direcionados a discos de acreção.
Agradeço aos meus familiares, parentes e amigos, que me acolhem e sempre estão disponíveis para ajudar. Aos meus tios Roque e Aracy, que me acolheram em Itabuna durante
início do curso e sempre tiveram e têm um quarto sobrando para quando eu quiser voltar.
Agradeço a Morgana G. M. Krieger, companheira, amiga e minha flor, que sempre caiu
em sono profundo durante minhas explicações sobre este trabalho, o que pode apontar para
um novo produto no combate à insônia (seminários de Física teórica sobre discos de acreção
em CD e DVD). Contudo, Morgana sempre entendeu os momentos em que estive super
concentrado e não conseguia responder a nenhuma de suas perguntas, nem olhar para o
lado e nem beber o copo de água que deixava para mim sobre a mesa e sempre estava
preocupada se eu já havia comido, muitas vezes também foi capaz de quebrar meu estado
i
ii
inerte e preocupado criando opções de lazer, me desafogando do estado de chatice que me
encontrava. É a única capaz de rir das minhas piadas sem graça sobre os assuntos deste
trabalho, obrigado Mogui, te amo.
Agradeço a meus pais Meire e Zé Carlos, é tanto amor e orgulho por este filho, que
mesmo sem entender nada do que faço minha mãe sempre diz: - É isso mesmo meu filho,
que Deus te abençoe, parece estar muito bom. Meu pai não diz nada, não sei o que passa
por sua cabeça, mas pelo que o conheço talvez seja: - Isso serve pra quê?
Agradeço ao Universo, conspirando ao meu favor, colocando todas essas pessoas maravilhosas no meu caminho.
Resumo
MAGALHÃES, E. R. S. O. Soluções Numéricas De Discos De Acreção. 2013. 39 f.
Dissertação (Mestrado) - Programa de Pós-graduação em Física, Universidade Estadual de
Santa Cruz, Bahia, 2013.
Calculamos a estrutura de discos de acreção de massa padrão do tipo Shakura & Sunyaev,
utilizando o parâmetro de viscosidade α variável. A expressão para α variável é sugerida por
Isella et al. (2009), onde são observados discos de 14 objetos estelares jovens de baixa massa
com excesso na emissão da poeira em 1.33 mm. Nossos resultados, que são a escala da altura, densidade superficial e temperatura no plano médio do disco, utilizam o parâmetro
variável em função do raio α(R), e são comparados com resultados obtidos com o valor de α
constante. Estes resultados mostram que a estrutura dos discos com α(R), entre os objetos
estudados, são mais finos, leves e frios nos raios internos em relação a α constante. Nossos
resultados, que analisam discos puramente viscosos, corroboram com soluções que levam em
conta magneto-hidrodinâmica (MHD), como os modelos do tipo JED + SAD (Jet Emitting
Disk + Standard Accretion Disk) discutido por Combet & Ferreira (2008), que também prevêm o mesmo comportamento na região interna dos discos comparada com um disco viscoso
que utiliza α constante. Avaliamos as escalas de altura dos discos com a idade dos objetos
que nos mostram a tendência a tornarem-se mais finos na medida em que os objetos envelhecem. Fazemos uma discussão qualitativa sobre a massa dos planetesimais através dos
resultados para densidade superficial obtidos com α variável e constante, privilegiando a formação de planetesimais mais massivos em raios mais externos. Como as estrelas estudadas
possuem diferentes massas e taxas de acreção, os resultados parecem ser independentes das
características específicas do sistema disco+estrela.
Palavras-chave: soluções numéricas, discos de acreção, objetos estelares jovens, viscosidade.
iii
Abstract
MAGALHÃES, E. R. S. O. Numerical Solutions Of Proto-planetary Accretion Disks.
2013. 39 f. Dissertação (Mestrado) - Programa de Pós-graduação em Física, Universidade
Estadual de Santa Cruz, Bahia, 2013.
We have computed the structure of standard mass accretion disks of the type Shakura &
Sunyaev, using the variable α viscosity parameter. The expression to variable α is pointed
by Isella et al. (2009), where disks of 14 young stellar objects of low mass are observed in
excess at dust emission of 1.33 mm. Our results, that are the height scale, surface density
and temperature in the disk mid-plane, use the variable parameter in function of radius
α(R), and are compared to results obtained with constant α value. These results show that
disks structure with α(R), among the studied objects, are thinner, lighter and colder in the
internal radii than those with constant α. Our results, which analyze purely viscous disks,
corroborate with solutions that take in account magneto-hydrodynamics (MHD), with models of the type JED + SAD (Jet Emitting Disk + Standard Accretion Disk) discussed by
Combet & Ferreira (2008), that also confirm the same behavior in the internal region of the
disks compared to a viscous disk that uses constant α. We evaluate the height scale of disks
with object ages that show the tendency to become thinner to the extent as the objects
become older. We perform a qualitative discussion about the planetesimals mass with the
results of surface density obtained with variable and constant α, favouring the formation of
more massive planetesimals in the external radii. As the studied stars have different masses
and accretion rates, the results seem to be independent of the specific characteristics of the
disk+star system.
Keywords: numerical solutions, accretion disks, young stellar objects, viscosity.
iv
Sumário
Lista de Símbolos
vii
Lista de Figuras
ix
Lista de Tabelas
xi
1 Introdução
1
2 Discos de Acreção
2.1 Estrutura do Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 A Proposta de α Variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
12
3 A Estrutura do Código
3.1 O Código Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 A Expressão para α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
19
21
4 Resultados
4.1 Perfil de α(R) . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Perfil da Escala de Altura . . . . . . .
4.3 Perfil da Densidade Superficial . . . . .
4.4 Perfil da Temperatura . . . . . . . . .
4.5 Perfil da Distribuição de Planetesimais
4.6 Discussão . . . . . . . . . . . . . . . .
29
29
33
39
42
46
50
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5 Conclusões
56
A Soluções de similaridade, discos α e transporte de momento
discos de acreção
A.1 Soluções de similaridade de discos viscosos . . . . . . . . . . . .
A.1.1 O problema do momento angular . . . . . . . . . . . . .
A.1.2 Campos magnéticos toroidais e ventos de disco . . . . . .
angular em
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
59
61
66
70
B Limite Para Discos Finos
B.0.3 Condições de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
80
v
vi
SUMÁRIO
C Estrutura do modelo
83
Referências Bibliográficas
86
Lista de Símbolos
M
M⊕
Ṁacc
Md
Mp
Ω
G
M?
R
R1
Ri
Rd
Rt
r
ρ
α
α(R)
ν
ν(R)
vt
Cs
vA
lt
H
z
P
Ps
F
Fs
T
Ti (R)
Unidade de massa, equivalente a uma massa solar
Unidade de massa, equivalente a uma massa terrestre
Taxa de acreção em unidades de M /ano
Massa contida no disco
Massa de planetesiamal
Velocidade kepleriana (GM? /R3 )1/2
Constante gravitacional
Massa da estrela
Variável na direção radial
Raio interno com 63% da massa do disco
Raio inicial ou raio interno do disco
Extensão radial do disco
Raio de transição
Raio adimensional, razão entre R/R1
Densidade de matéria
Parâmetro de viscosidade
Parâmetro de viscosidade variável com o raio
Viscosidade
Viscosidade em função do raio
Velocidade turbulenta
Velocidade do som
Velocidade de Alfvén
Escala de altura para velocidade turbulenta
Escala de altura do disco
Direção vertical do disco
Pressão da matéria
Pressão na superfície do disco
Fluxo radiativo
Fluxo na superfície do disco
Temperatura
Temperatura interna em função do raio
vii
viii
LISTA DE SÍMBOLOS
Ts
Tb
Σ
σ
κ
κs
µ
k e kb
mH
a
c
B
Bφ
Bz
µ0
νm
ms
ts
γ
τab
Temperatura na superfície do disco
Temperatura de fundo, meio que circunda o disco
Densidade superficial do disco
Constante de Stefan-Boltzmann
Opacidade
Opacidade na superfície do disco
Peso molecular médio
Constante de Boltzmann
Massa do átomo de Hidrogênio
Constante de radiação a = 4σ/3c
Velocidade da luz
Campo magnético
Campo magnético toroidal
Campo magnético poloidal
Permeabilidade magnética no vácuo
Resistividade magnética
Número de Mach sônico
Escala de tempo viscosa
Expoente que define a variabilidade de ν com R (ν ∝ Rγ )
Profundidade ótica acima da superfície do disco
Lista de Figuras
1.1
Classificação dos OEJ’s segundo a DEE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.1
Soluções para densidade superficial com α constante, semelhante às curvas
obtidas por PT99, para validação do código. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
Ajuste de curva da temperatura interna do disco do objeto CY Tau. . . . . .
Perfis de α(R) para diferentes valores de γ em CY Tau e SR24. . . . . . . .
Soluções para escala de altura e densidade superficial com valor de γ = 1.0
no objeto CY Tau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Soluções para escala de altura e densidade superficial com valor de µ = 2.0
no objeto CY Tau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figura de Isella et. al (2009) subdivisão dos perfis de α segundo os valores de γ.
Perfis de α(R) segundo os valores de R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfis de α(R) para os objetso DG Tau, DR Tau, SR 24 e UZ Tau E. . . . .
Perfis de α(R) para os objetso RY Tau, DN Tau, CY Tau e GM Aur. . . . .
Perfis de α(R) para os objetso LkCa 15, MWC 275 e TW Hya. . . . . . . . .
Perfis para escala de altura dos objetos DG Tau, DR Tau, SR 24 e UZ Tau E.
Perfis para escala de altura dos objetos RY Tau, DN Tau, CY Tau e GM Aur.
Perfis para escala de altura dos objetos LkCa 15, MWC 275, TW Hya. . . .
Tendência da escala de altura com a idade dos objetos estudados. . . . . . .
Tendência da escala de altura com a taxa de acreção dos objetos estudados. .
Perfis da densidade superficial dos objetos DG Tau, DR Tau, SR 24 e UZ Tau
E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfis da densidade superficial dos objetos RY Tau, DN Tau, CY Tau e GM
Aur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfis da densidade superficial dos objetos LkCa 15, MWC 275 e TW Hya. .
Perfis da temperatura interna dos objetos DG Tau, DR Tau, SR 24 e UZ Tau
E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfis da temperatura interna dos objetos RY Tau, DN Tau, CY Tau e GM
Aur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perfis da temperatura interna dos objetos LkCa 15, MWC 275, e TW Hya. .
ix
22
24
25
26
27
28
31
32
33
34
35
36
38
38
39
40
41
44
45
46
x
LISTA DE FIGURAS
4.15 Distribuição da massa de planetesimais dos objetos DG Tau, DR Tau, SR 24
e UZ Tau E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16 Distribuição da massa de planetesimais dos objetos RY Tau, DN Tau, CY
Tau e GM Aur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.17 Distribuição da massa de planetesimais dos objetos LkCa 15, MWC 275 e
TW Hya. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.18 Esquema do modelo de disco de Combet & Ferreira (2008). . . . . . . . . . .
4.19 Figura de Combet & Ferreira (2008) com soluções para H/R, Σ e Ti do modelo
JED+SAD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.20 Número de Mach para o objeto CY Tau segundo os parâmetros de α constante
e variável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
A.1 Distribuição da densidade superficial com o raio. . . . . . . . . . . . . . . . .
60
B.1 Fluxo em ambas as superfícies do disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Geometria para o plano dos raios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
76
C.1 Fluxograma do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
48
49
50
51
54
Lista de Tabelas
3.1
3.2
Coeficientes utilizados para obtenção da opacidade por intervalo de temperatura. 21
Coeficientes utilizados para o ajuste da curva de temperatura Ti (R). . . . . . 23
4.1
4.2
Parâmetros de referência para os objetos estudados (Isella et al. 2009). . . .
Valores da opacidade apresentada por Isella et al. (2009) e os valores médios
da opacidade no código. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
30
43
xii
LISTA DE TABELAS
Capítulo 1
Introdução
O processo de formação estelar na Galáxia ocorre em densas nuvens de poeira e gás
molecular. No entanto, a formação de estrelas de baixa massa (≤ 2M ), massa intermediária
(2M a 8M ) e alta massa (≥ 8M ) é bastante distinta (Hartmann 1998, Mckee & Ostriker
2007). Em todos os casos, entretanto, a fase inicial de acreção radial de matéria deve ser
seguida da formação de um disco em torno do objeto central (Patel et al. 2005, Qiu et al.
2012). Enquanto há um intenso debate na literatura sobre a existência e sobrevivência destes
discos em objetos de massas intermediárias e altas, o mesmo não ocorre para os objetos
estelares jovens (OEJ’s) de baixa massa. As evidências observacionais para a existência
destes discos em estrelas de baixa massa vão desde as assinaturas espectrais consistentes com
a presença de discos keplerianos em estrelas T-Tauri (Sargent & Beckwith 1987, Beckwith &
Sargent 1987), até imagens diretas de discos em silhueta nas regiões HII, os Proplyds, (Bally
et al. 2000). A presença de um disco frio em torno de OEJ’s também é evidente através
do estudo da distribuição espectral de energia destes objetos. A Figura 1.1, extraída de
Dauphas & Chaussidon (2011) sintetiza as propriedades espectrais dos OEJ’s em função da
classe à qual pertencem1 . O panorama atual descreve a formação estelar como um processo
evolutivo, que vai desde a acreção que ocorre nos objetos embebidos até a formação do
disco remanescente, com a consequente revelação da estrela central (Classe II). Em algumas
regiões de formação estelar da nossa Galáxia, discos de acreção são encontrados em 25%
a 75% dos objetos observados (e.g., Taurus, Auriga, Orion, Beckwith et al. 1990, Stauffer
1
Este sistema de classificação foi proposto por Lada (1987) e depois ampliado por Andre & Montmerle
(1994).
1
2
INTRODUÇÃO
1.0
Figura 1.1: Classificação dos Objetos Estelares Jovens através da distribuição espectral de
energia (Dauphas & Chaussidon, 2011).
et al. 1994).
Os discos de acreção são relevantes no contexto dos objetos estelares jovens por vários
motivos: eles auxiliam na distribuição do momento angular resultante do colapso da nuvem
1.0
3
molecular original que impediria a formação da proto-estrela devido ao elevado movimento
rotacional, possuem um papel relevante na formação de ventos e jatos e fornecem matéria
para a formação de sistemas planetários (Armitage 2011). Embora estas estruturas se dissipem numa escala de tempo curta com relação ao tempo de vida de um objeto estelar jovem
em sua fase pré-sequência-principal (tipicamente, 2.5 a 5.0 Manos para estrelas de 1.0 M ,
ou 0.25% de um total de 1.0 Gano até a idade zero da sequência principal), as investigações
conduzidas nas últimas décadas indicam que a solução de alguns problemas fundamentais
em astrofísica estelar passam, necessariamente, por uma melhor compreensão dos discos de
acreção. Dentre estes problemas podemos mencionar i) o problema do momento angular em
OEJ’s de baixa massa, ii) a formação e colimação de ventos e jatos bipolares, iii) a acreção
de matéria do disco pela estrela através dos funis magnetosféricos de acreção, iv) a formação
planetária. Em todos estes problemas, o campo magnético possui um papel fundamental. A
determinação da geometria e intensidade de campos magnéticos em OEJ’s (e.g., Donati et al.
2011), e o papel desempenhado por este campo na interação estrela-disco de acreção (e.g.,
Zanni & Ferreira 2013) são importantes para se obter uma completa descrição do cenário
durante a fase de existência destes discos.
Uma descrição consistente de discos de acreção e sua interação com a estrela central envolve (para citar alguns fenômenos): i) o conhecimento da geometria e intensidade do campo
magnético estelar (Donati et al. 2005), ii) uma descrição do grau de acoplamento deste campo
com o disco, em função do raio (Königl et al. 2010), iii) o tratamento adequado das chamadas
zonas mortas (ou "dead zones"), como são conhecidas as zonas neutras no plano médio dos
discos de acreção, descrito primeiramente por Gammie (1996), iv) o desenvolvimento das
instabilidades no interior do disco (notadamente, a instabilidade magneto-rotacional; e.g.,
Balbus & Hawley, 1991), v) a distribuição de poeira ao longo do disco (Turner et al. 2010),
vi) uma descrição para a viscosidade molecular (Lynden-Bell & Pringle 1974, Shakura &
Sunyaev 1973) e para a resistividade magnética (no disco e na magnetosfera; ver Kunz &
Lesur (2013) e Zanni & Ferreira (2013), respectivamente), vii) a ação de torques (viscosos,
magnéticos e da matéria que “cai” sobre o objeto central) na modificação de parâmetros do
disco (Zanni & Ferreira 2009). Progressos em cada uma destas frentes têm ajudado na compreensão da física do disco de acreção, que depende de quão forte é a interação do mesmo
4
INTRODUÇÃO
1.0
com a estrela central, mediada primordialmente pela presença do campo magnético estelar.
Recentemente, modelos tri-dimensionais mais realísticos têm auxiliado na investigação desta
interação (e.g., Romanova et al. 2011), fornecendo uma alternativa para cálculos dos torques
envolvidos (estrela e disco) e suas consequências para a estrutura dos discos. O problema
da formação de planetas e suas consequências para a dinâmica dos discos de acreção é um
capítulo à parte que, nos últimos anos, tem tido um impulso graças às descobertas de sistemas de exo-planetas. Uma revisão recente sobre discos proto-planetários pode ser vista
em Williams & Cieza (2011). Neste trabalho, mencionaremos algumas consequências que a
estrutura dos discos de acreção podem ter sobre a formação de planetesimais.
O movimento rotacional diferencial ao longo do disco é caracterizado, por um perfil kepleriano de velocidade, Ω = (GM? /R3 )1/2 . Em um disco cujo transporte de momento angular
é descrito puramente pela viscosidade, o cisalhamento entre as camadas com diferentes velocidades pode resultar, efetivamente, em acreção da matéria sobre a estrela. A viscosidade
também altera a distribuição de massa no disco, que em função do tempo deve ser maior
nas regiões mais internas (Pringle 1981). Sendo assim, um mecanismo que de fato é capaz
de regular o fenômeno de acreção e transporte de momento angular é a viscosidade (e.g.,
Shakura & Sunyaev 1973, Lynden-Bell & Pringle 1974, Balbus & Hawley 1991, Armitage
2011). Diferentes mecanismos contribuem para aumentar a viscosidade local: desde propriedades intrínsecas do gás, como transferência de momentum entre camadas adjacentes, até a
presença de campos magnéticos, devido a tensão nas linhas de campo causada por partículas
com diferentes velocidades presas a essas linhas, passando pela evolução da turbulência no
sistema (Hartmann 1998). Cenários teóricos são criados para estudar como propriedades físicas conduzem à estrutura e evolução dos discos, de modo a poder compará-los com o que se
observa na realidade. Alguns deles buscam explicar o torque viscoso que leva à transferência
de momento angular. Por exemplo, a viscosidade molecular é o resultado de colisões entre
partículas individuais do gás em um meio aquecido. Quando apenas a viscosidade molecular
é levada em consideração, encontra-se que os processos de acreção no disco ocorrem de forma
muito lenta. A convecção turbulenta (Lin & Papaloizou 1980), por outro lado, pode ser mais
eficiente para transferir momento angular para camadas mais internas, sendo o contrário do
que se espera (Ryu & Goodman 1992, Stone & Balbus 1996). Shakura & Sunyaev (1973)
1.0
5
apresentaram, através de trabalho teórico sobre discos em torno de buracos negros e objetos
compactos e massivos, um termo para descrever a viscosidade em discos de acreção. Neste
modelo o tensor de estresse −w(Rφ) = αρvt2 é parametrizado por uma constante α, que é
responsável por controlar a viscosidade do disco (nesta equação, ρ é a densidade do meio e
vt é uma velocidade turbulenta). A viscosidade cinemática é descrita por meio deste modelo
como ν = αCs H, onde Cs é a velocidade do som e H a altura do disco (H R), sobre a
qual a velocidade do som atua, sendo R a variável na direção radial do disco (em um sistema
de coordenadas cilíndrico). Neste modelo, de acordo com a análise para um regime subcrítico, α deve possuir valores ≤ 1, evitando estados surpersônicos onde seriam observados
temperaturas muito altas > 106 K, principalmente nas regiões internas do disco (Shakura &
Sunyaev 1973).
Um disco de acreção padrão é definido então como aquele que é descrito por um modelo
do tipo Shakura & Sunyaev, com um parâmetro α constante, e uma taxa de acreção também
constante. É possível mostrar (veremos isto no Capítulo 3) que, se a viscosidade em um disco
possuir uma lei do tipo ν ∝ Rγ , γ ∼ 1 implica em α = constante. Supondo esta relação
para a viscosidade, e a partir de inferências observacionais indiretas para a taxa de acreção
de massa e tamanho dos discos de acreção de estrelas T-Tauri no complexo de Camaleão,
Hartmann et al. (1998) concluem que um α ∼ 10−2 pode explicar o conjunto de estrelas
observadas 2 . No trabalho de Hartmann et al. (1998), o que foi medido foi o excesso na
banda U, corrigido pela extinção V − R, que por sua vez é convertida em uma “luminosidade
bolométrica de acreção” através de correções espectro-fotométricas. Esta luminosidade está
diretamente correlacionada com a taxa de acreção, Ṁacc , derivada então através de uma
expressão analítica, Lacc = 0.8GM? Ṁ /R? . Desta forma, nem Ṁacc , nem α são medidos;
ambos são inferidos através de dados brutos de fotometria e espectro-fotometria, aliados a
modelos, evidentemente. Trabalhos teóricos recentes também lançam mão de uma descrição
padrão de discos de acreção (ou seja, α = cte), como, por exemplo, Zanni & Ferreira (2013)
ou Romanova et al. (2011).
Sob a prescrição α, as soluções para estrutura radial e vertical do disco podem ser re2
Enfatizamos que o parâmetro α, em qualquer trabalho publicado, é inferido indiretamente através do
confronto de dados observacionais disponíveis e modelos ad-hoc.
6
INTRODUÇÃO
1.0
solvidas de maneira simplificada, pois os efeitos da viscosidade podem ser qualitativa e
quantitativamente avaliados. É esperado, contudo, que a viscosidade varie radialmente e
temporalmente, e que este fato seja importante para uma análise mais realística do sistema.
Como mencionamos anteriormente, valores constantes de α são tipicamente levados em conta
em diversos modelos de disco (Armitage 2011, Papaloizou & Terquem 1999). Uma descrição
mais precisa para a viscosidade nas camadas do disco pode ser dada analisando o comportamento do tensor de estresse magnético. A Instabilidade Magneto-Rotacional - MRI (Balbus
& Hawley 1991, Sano 1999a, Sano et al. 2004), tem sido sugerida como o mecanismo mais
eficiente para o transporte de momento angular nos discos de acreção. De acordo com este
modelo, um campo magnético fraco dentro do disco é responsável por aplicar as tensões
necessárias para remover o momento angular das camadas mais internas e transferir para
as camadas mais externas. Como o cálculo das componentes do campo magnético é autoconsistente, os estudos da instabilidade MRI (sobretudo as simulações numéricas) permitem
calcular α(R, t).
Resultados numéricos baseados na prescrição α ainda possuem sua importância no estudo
do comportamento de discos de acreção. Um caso de particular interesse é o da formação
planetária, no qual a densidade superficial do disco (fornecida pelos modelos de estrutura
radial e vertical) é fundamental para a evolução posterior do disco (e.g., Alibert et al. 2005).
Recentemente, Isella et al. (2009) apresentaram dados de 11 estrelas T-Tauri e mostraram
que os discos presentes nestes objetos podem ser consistentemente modelados através da
prescrição α, desde que o parâmetro α seja variável. Eles apresentam uma expressão para
α(R) cujo comportamento depende da temperatura interna do disco, do perfil da viscosidade (ν ∝ Rγ , radial e vertical), da taxa de acreção e da distribuição de matéria no disco
(parametrizada por R1 ; o raio que contém 63% massa do disco). De um modo geral, eles
mostram que α pode ser próximo de 1 nos raios internos do disco, caindo a 10−3 nos raios
mais externos. Com base neste trabalho, apresentamos aqui uma série de soluções numéricas
para a estrutura interna de discos de acreção, tendo como base o modelo de prescrição α e
utilizando os resultados de Isella et al. (2009) para α(R). No Apêndice A, fazemos uma revisão mais aprofundada dos mecanismos físicos associados à acreção e ejeção de matéria em
discos de acreção. Mostramos como diferentes tipos de torques podem atuar nestes discos,
1.0
7
removendo ou transportando o momento angular e regulando o processo de acreção e ejeção,
em ventos ou jatos, a partir da superfície destes discos.
Este trabalho está organizado da seguinte forma. No Capítulo 2 descrevemos as equações
da estrutura radial e vertical e a equação de α em função do raio. No Capítulo 3, o código
numérico desenvolvido é apresentado. O Capítulo 4 discute os resultados e no Capítulo 5
apresentamos as principais conclusões. No Apêndice A, oferecemos um panorama global
abordando diferentes aspectos relacionados à física e fenomenologia dos discos de acreção
em objetos estelares jovens. No Apêndice B, a solução para os chamados discos finos é
apresentada. No Apêndice C, apresentamos descrição detalhada do algorítmo genético que
utilizamos.
Capítulo 2
Discos de Acreção
Neste capítulo vamos descrever como são obtidas as soluções para discos de acreção
de massa tendo em vista o uso da prescrição α. Vamos também discutir a necessidade da
existência de modelos com um parâmetro α que varie em função do raio. É importante
ressaltar que nosso trabalho está restrito aos discos de acreção associados aos OEJ’s. Neste
caso, os discos evoluem de uma fase embebida, na qual o próprio disco, além do OEJ, acreta
massa de seu entorno (Classe 0, I), para uma fase de acreção em que o envelope de gás do
entorno é dissipado até a fase dos discos (sem gás) de poeira e, eventualmente, planetesiamais.
Os modelos que aqui discutiremos estão relacionados aos objetos de Classe II (objetos do
tipo T-Tauri), onde há acreção de matéria e ejeção de ventos de disco e jatos (e.g., Combet &
Ferreira 2008). A estrutura e evolução destes discos podem ter consequência para estrutura
dos discos proto-planetários, como veremos adiante. Também nos restringiremos aos discos
dos OEJ’s de baixa massa, uma vez que não tratamos o fluxo de radiação UV oriundo da
estrela central. No que se segue, faremos uma revisão dos aspectos principais que determinam
a estrutura de um disco de acreção no estado-estacionário.
2.1
Estrutura do Disco
A estrutura interna de um disco de acreção pode ser descrita através do seguinte conjunto
de equações diferenciais (Papaloizou & Terquem 1999, PT99):
A equação de equilíbrio hidrostático:
8
2.1
ESTRUTURA DO DISCO
9
1 ∂P
= −Ω2 z,
ρ ∂z
(2.1)
∂F
9
= ρνΩ2 ,
∂z
4
(2.2)
a equação de energia:
e o fluxo de energia radiativa F, que é dado por:
F =
−16σT 3 ∂T
.
3κρ ∂z
(2.3)
Aqui, P é a pressão, T é a temperatura, z a altura vertical do disco, ρ densidade de massa,
σ é a constante de Stefan-Boltzmann, κ a opacidade, ν é a viscosidade e Ω a velocidade
angular kepleriana Ω2 = GM? /R3 .
Ainda, temos que P, ρ e T se relacionam através de uma equação de estado, necessária
para completar o sistema de equações. Utiliza-se, normalmente, uma equação de estado para
um gás ideal:
P =
ρkT
,
µmH
(2.4)
onde k é a constante de Boltzmann, µ é o peso molecular médio e mH massa do átomo de
Hidrogênio. Do ponto de vista termodinâmico, equações de gases reais se fazem necessárias,
por exemplo, para descrever sistemas onde i) as distâncias intermoleculares são pequenas, de
modo que as forças entre as moléculas sejam relevantes (levando a equações, por exemplo,
do tipo de Van der Walls) ou quando ii) há transições de fase no sistema não capturadas,
evidentemente, numa equação de estado do tipo ideal. Certamente, a pressão de radiação
também pode levar a um termo adicional de aT 4 (onde a = 4σ/3c) numa eventual equação
de estado para o sistema (gás + radiação). Contudo, nos discos de acreção é comum descrever
o sistema usando uma equação de gás ideal; o que representa, essencialmente, a dominância
da pressão do gás sobre a pressão da radiação. Efeitos secundários, como a convecção, foram
testados em discos de acreção e não há indicações de que contribuam significativamente para
alterar a estrutura do mesmo (Stone & Balbus 1996, Kley et al. 1993). A utilização de uma
10
2.1
DISCOS DE ACREÇÃO
equação de estado ideal também se justifica através da hipótese de que o gás e a poeira
no disco estão em equilíbrio termodinâmico (isto é, térmico e químico). Desta forma, esta
mistura pode ser tratada como um fluido que se comporta como um gás ideal. Esta hipótese
foi feita por Isella et al. (2009), e será feita aqui por nós. Contudo, existem evidências de
que este acoplamento não é forte o suficiente, e que gás e poeira devem ter comportamentos
termodinâmicos distintos nos discos de acreção (e.g., Salter et al. 2011). Em Papaloizou &
Terquem (1999) testes realizados com uma outra equação de estado mostrou que, para os
regimes de densidade e temperatura encontrados nos discos, os resultados não são fortemente
alterados.
As aproximações que dão origem às equações 2.1 a 2.4 estão descritas no Apêndice B. É
importante ressaltar que estas equações são válidas para estrutura de um disco fino (z R)
e opticamente espesso, cujo fluxo de energia em cada ponto é determinado pela dissipação
viscosa de um gás ideal.
A equação 2.2 envolve o parâmetro de viscosidade ν. Na literatura, existem duas grandes
vertentes de modelos de acreção e elas se diferenciam pela maneira como tratam a viscosidade
do gás. De um lado temos o tratamento MHD como solução para discos de acreção de
massa keplerianos na presença de um campo magnético fraco, responsável pela instabilidade
dinânimca do fluido discutido por Balbus & Hawley (1991). De outro, temos o que ficou
conhecido como o modelo α de Shakura & Sunyaev (1973). Neste modelo a viscosidade é
obtida indiretamente através de uma parametrização:
B2
1 h
vt lt
B2 i
+
≡
vt lt + Cs H
α=
Cs H 4πρvs2
Cs H
4πρvs2
(2.5)
onde ν = vt lt + Cs HB 2 /4πρvs2 . Logo:
ν = αCs H,
(2.6)
onde ν = vt lt é a viscosidade turbulenta, vt é uma velocidade turbulenta e lt é a escala de comprimento associada à turbulência, Cs é a velocidade do som (que assumimos Cs2 = kT /µmH )
e H é a escala de altura do disco. O parâmetro vA2 /Cs2 ≡ B 2 /4πρvs2 (o quadrado do número
de Mach Alfvênico) expressa a importância da turbulência MHD (Magneto Hidrodinâmica)
2.1
ESTRUTURA DO DISCO
11
para o sistema, onde vA é a velocidade alfvênica e vs é a velocidade do som, seguindo o
termo utilizado pela referência Shakura & Sunyaev (1973). Shakura & Sunyaev mostraram
que para discos em torno de objetos compactos α ≤ 1. No caso de OEJ’s, inúmeros trabalhos mostram que 10−1 ≤ α ≤ 10−4 , (e.g., Papaloizou & Terquem 1999, Papaloizou &
Nelson 2003, Isella et al. 2009). Independentemente do valor exato de α, a solução do disco
de acreção sob esta prescrição é dada pelas equações 2.1, 2.4 e a 2.2 escrita em função de α
(ver adiante):
9
∂F
= αΩP ;
∂z
4
(2.7)
Perceba que, uma vez que estamos sob a aproximação de discos finos em equilíbrio
hidrostático (ver Apêndice B):
1 ∂P
−GM
=
z,
ρ ∂z
R3
teremos, a partir de uma avaliação grosseira dos termos acima, que:
GM
P
∼ 3 H.
ρH
R
Logo:
H2 ∼
Cs2
P/ρ
≈
,
GM/R3
Ω2
ou seja:
Cs = HΩ =⇒ H = Cs /Ω.
Assim, se ν = αCs H, ν = αCs2 /Ω e a equação 2.7 é finalmente obtida a partir da equação
2.2:
∂F
9
9 C2
9
= ρνΩ2 = ρα s Ω2 = αΩP.
∂z
4
4
Ω
4
12
DISCOS DE ACREÇÃO
2.2
De forma indireta, α pode então controlar a eficiência dos mecanismos que regem a estrutura dos discos, levando em conta os efeitos da viscosidade. No Apêndice A, mencionamos
outros mecanismos que podem influir na estrutura radial e vertical de um disco de acreção;
notadamente, a presença de campos magnéticos. Se presentes na superfície de um disco,
estes campos podem (além de remover o momento angular do disco através de ventos e/ou
jatos) alterar sobremaneira a estrutura de um disco. Contudo, nossa análise se restringe a
discos dominados pela viscosidade. A acreção em um disco assim descrito é possibilitada pela
atuação de um torque viscoso; cuja intensidade é aumentada de forma anômala nos modelos
de Shakura & Sunyaev para explicar as altas taxas de acreção observadas nos OEJ’s (ver
Apêndice A).
2.2
A Proposta de α Variável
As equações apresentadas na seção anterior podem ser resolvidas por um código numérico desde que fornecidas as condições de contorno adequadas. No trabalho de PT99, são
apresentadas as soluções para a escala de altura, temperatura no plano médio do disco e
densidade superficial do disco em função do raio. Estas soluções compõem o que aqui nos
referimos como estrutura radial e vertical dos discos. Elas foram obtidas tendo-se em vista
um valor de α constante. Em PT99, diferentes valores de α foram utilizados. Na Figura 2.1,
mostramos os resultados para diferentes valores de α, obtidos com o nosso código (ver Capítulo 3), e que reproduzem os resultados de PT99. Neste trabalho iremos confrontar estas
soluções com α constante com aquelas obtidas utilizando-se um parâmetro α que varie com
a distância radial.
Em I09 foram observados 11 objetos na pré-sequência-principal (dados já publicados na
literatura para 3 outros objetos foram também utilizados, sendo a amostra composta então
por 14 objetos) com emissão em infra-vermelho e rádio, com excesso na faixa de 1.33 mm. As
observações permitiram resolver espacialmente as emissões e inferir sua distribuição radial.
Além disso, através de modelos adequados para simular estes fluxos, foi possível determinar
a densidade superficial destes discos (Σ). Os objetos observados são: dez em Taurus-Auriga,
sendo UZ Tau E e SR24 S membros de sistemas múltiplos, dois objetos em Ophiuchus, TW
2.2
A PROPOSTA DE α VARIÁVEL
(a)
13
(b)
Figura 2.1: Densidade superficial do disco, em escala logarítmica, obtida com a) α = 10−2 ,
b) α = 10−3 e diferentes taxas de acreção em unidades de M /ano, em função do raio (R),
dado em UA. Segundo PT99 a taxa de acreção é definida como Ṁacc = 3πνΣ, assim quanto
menor α maior a densidade superficial, sendo ν = αCs H.
Hya e uma estrela Herbig Ae isolada (MWC 275). Estes objetos encontram-se tabelados
em Isella et al. (2009, I09), onde estão dispostas algumas de suas características, tais como
a massa da estrela, idade, extensão radial, entre outros parâmetros. Além disso, também
mostram a distribuição de temperatura, densidade superficial, massa e fluxo de energia ao
longo do raio do disco para cada objeto.
Os resultados de Isella et al. (2009) permitem inferir uma solução para α(R), dada por:
√
µmH GM?
1
(2−γ) (γ−3/2)
R
Ti (R)−1
α(R) =
t−1 R
kb
3(2 − γ)2 s 1
(2.8)
Nesta equação, γ representa a variação, com o raio, da viscosidade no disco ν(R) ∝ Rγ ; kb
é a constante de Boltzmann; G é a constante gravitacional; R1 é o raio contendo 63% da
massa do disco; R é a variável na direção radial do disco; M? é a massa da estrela; Ti (R) é
o perfil da temperatura no plano médio do disco em função do raio (ver Capítulo 3), e ts é
a escala de tempo viscosa no raio R1 . Estas duas variáveis relacionam-se da seguinte forma
(I09):
ts =
1
R12
,
3(2 − γ)2 ν1
(2.9)
14
DISCOS DE ACREÇÃO
2.2
onde ν1 é a viscosidade no raio R1 . I09 mostram que α deve variar, diminuindo ao longo do
raio, com valores de 0.5 a 10−4 (na faixa de 1 a 100 UA). Supondo (como usualmente; ver
Hartmann et al. 1998) que a viscosidade ν(R) ∝ Rγ , I09 encontra γ variando de −0.8 a 0.8
entre os objetos observados.
Para se chegar à expressão (2.8), em função do raio, I09 recorreram à solução de similaridade da densidade superficial (ver Apêndice A) de um disco fino viscoso kepleriano
(Lynden-Bell & Pringle 1974, Pringle 1981, Hartmann 1998), além do modelo de aproximação de duas camadas (Chiang & Goldreich 1997), de forma que é possível obter a extensão
radial do disco de acordo com a emissão de poeira e gás observados.
I09 mostram que a aproximação mais comum usada para obter a distribuição da densidade superficial de observações milimétricas e submilimétricas tem sido a parametrização
da lei de potência da densidade superficial (Hayashi 1981). No entanto, alguns resultados
(Hueso & Guillot 2005) sugerem não haver justificativa física para adotar uma lei de potência da densidade superficial em termos da evolução e formação de discos. Desta forma,
quanto maior o raio, maior seria a densidade superficial. Além do fato desta distribuição ser
artificialmente limitada por um raio interno e outro externo (Rin < R < Rout ), que falha
quando comparado com a extensão radial da emissão de poeira observada de certo número
de estrelas pré-sequência-principal (ver I09). Contudo, tem sido sugerido que a distribuição
do gás no sistema solar primordial deveria seguir uma distribuição de densidade superficial
do tipo exponencial, onde Σ(R) ∝ R−1/2 × exp(−R3/2 ) (Davis 2005).
Seguindo esta linha, I09 adotam a solução de similaridade da densidade superficial de
um disco fino kepleriano viscoso, sob a gravidade de um ponto central de massa M? (Pringle
1981, Lynden-Bell & Pringle 1974, Hartmann 1998):
h r2−γ i
− 5/2−γ
C
2−γ
ta
exp −
Σ(r, t) =
3πν1 rγ
ta
(2.10)
onde C é uma constante de nomalização, r = R/R1 , ta é um tempo adimensional ta = t/ts +1,
t é a idade do disco e ts é a escala de tempo viscosa no raio R1 .
Dessa forma, a densidade superficial tem um decaimento exponencial em grandes extensões do disco, onde a densidade do gás assim expressa, nas regiões mais externas, é capaz
2.2
A PROPOSTA DE α VARIÁVEL
15
de explicar as emissões de gás observadas (e.g., Hughes et al. 2008).
Podemos estimar o valor absoluto da viscosidade do disco utilizando seu perfil radial
ν(R) ∝ Rγ , que é escrita como:
ν(R) =
R12 R γ
1
.
3(2 − γ)2 ts R1
(2.11)
A equação 2.11 deve nos conduzir à função α(R) sugerida por Isella et al. (2009, ver
Apêndice E do artigo). Tomamos primeiramente a viscosidade como:
ν = αCs H,
(2.12)
Cs = H.Ω = H(GM? /R3 )1/2 ,
(2.13)
onde,
de modo que teremos:
q
H=
kb Ti (R)
µmH
Cs
= q
= R3/2
Ω
GM?
R3
s
kb Ti (R)
.
µmH GM?
(2.14)
Aqui, kb é a constante de Boltzmann, µ = 2.33 é peso molecular médio do material circunstelar, mH é a massa do próton, G é a constante gravitacional e Ti (R) é a temperatura
interior do plano médio do disco. O peso molecular médio utilizado por PT99 é µ = 2.0, pois
considera apenas Hidrogênio molecular em seus discos. Em I09, µ = 2.33 (ver também, Ruden & Pollack 1991). Portanto, para manter nosso perfil de α(R) de acordo com I09 usamos
µ = 2.33. Assim, substituindo 2.14 em 2.13 e depois em 2.12, a viscosidade do disco pode
ser expressa da forma que segue:
ν(R) =
kb
√
αR3/2 Ti (R).
µmH GM?
(2.15)
Substituindo ν(R) pelo termo no lado direito na equação 2.11, I09 obtêm finalmente a
expressão 2.8 para α(R).
A temperatura Ti (R) na expressão acima é fornecida no trabalho de I09 para cada estrela.
16
DISCOS DE ACREÇÃO
2.2
A estimativa de Ti (R) é feita com base nas soluções que melhor reproduzem as observações.
I09 apresentam curvas para Ti (R), as quais foram por nós ajustadas de modo a obtermos uma
expressão analítica para α(R). No Capítulo 3 descrevemos em detalhes este procedimento,
bem como a qualidade de nossos ajustes.
A expressão 2.8 para α(R) é a expressão que implementamos no código utilizado em nosso
trabalho para obter as soluções da estrutura radial e vertical de um disco de acreção. No
próximo Capítulo descreveremos o código desenvolvido para tal, e discutiremos os assuntos
pertinentes à estrutura do disco abordando os critérios estabelecidos para obtenção dos
resultados.
Capítulo 3
A Estrutura do Código
Os discos de acreção neste trabalho são descritos através de um código numérico, que
soluciona um conjunto de três equações diferenciais acopladas (PT99). O método de integração do tipo Runge-Kutta (Press et al. 2007) e um Algorítmo Genético (Holland 1995) para
avaliar a escala de altura do disco foram utilizados. Neste Capítulo falaremos a respeito do
código desenvolvido especificamente para o cálculo da estrutura do disco.
Um disco de acreção é para nós definido por um raio interno, Ri , um raio externo, Rd ,
e uma espessura H(R). A estrutura interna do disco é governada pelas equações 2.1, 2.2 e
2.3, a saber:
1 ∂P
= −Ω2 z,
ρ ∂z
∂F
9
= ρνΩ2 ,
∂z
4
F =
−16σT 3 ∂T
,
3κρ ∂z
cujos símbolos e significados já foram devidamente especificados. Este conjunto de três equações diferenciais é resolvido da maneira tradicional: utilizando um integrador do tipo RungeKutta de quinta ordem (Press et al. 2007). As condições de contorno são determinadas pelos
17
18
3.0
A ESTRUTURA DO CÓDIGO
valores do fluxo, temperatura e pressão na superfície do disco. No Apêndice B, as condições
de contorno estão demonstradas. A condição para a pressão na superfície Ps , é:
Ps =
Ω2 Hτab
,
κs
(3.1)
onde τab é a profundidade ótica que se obtém integrando de H até o infinito, ou seja, acima
do disco e κs é a opacidade na superfície. A condição para a temperatura na superfície, Ts ,
é obtida através da equação:
2σ(Ts4
−
Tb4 )
9α(Cs2 )Ω
3
−
−
= 0,
8κs
8π Ṁacc Ω2
(3.2)
onde σ é a constante de Stefan-Boltzmann, Tb é a temperatura de fundo, no qual o disco
está imerso (Tb = 10K), e neste caso Cs2 = kT /µmH é a velocidade do som local isotérmica.
α é o parâmetro para viscosidade e Ṁacc é a taxa de acreção de massa. O fluxo na superfície
fica determinado por:
Fs =
3
Ṁacc Ω2 .
8π
(3.3)
Além disso, devido à simetria axial imposta, F (z = 0) = 0. Note que estas equações dependem de três parâmetros que podem, em princípio, ser quaisquer: Ṁacc , α e H. A taxa de
acreção nos discos estudados em PT99 possui valores entre (10−9 ≤ Ṁacc ≤ 10−6 )M /ano.
Aqui, a taxa de acreção dos objetos possui valores entre (10−10 ≤ Ṁacc ≤ 10−7 )M /ano
(Isella et al. 2009). Como utilizaremos α = α(R), resta-nos estimar a altura H, que é obtida
implicitamente. Para um determinado raio, Ṁacc e α(R), estimamos H baseado na relação
H ≈ 0.1R (ver discussão na Seção 3.1). A convergência posterior da altura é feita de forma
iterativa. Uma família de valores aceitáveis para altura baseados na sua relação com o raio
é computada no código, de onde podemos determinar Ps , equação 3.1. Fs virá da taxa de
acreção determinada, de acordo com a equação 3.3, mas as integrações referentes ao fluxo
só serão satisfatórias quando em z = 0, F = 0. Como este valor nunca é alcançado, valores estimados para altura serão iterados até que se alcance uma precisão especificada para
F ≈ 0.
3.1
O CÓDIGO NUMÉRICO
19
Nas próximas seções, descrevemos brevemente como inicializa-se o cálculo da estrutura
do disco e a forma como resolvemos as equações do disco.
3.1
O Código Numérico
O código numérico Accdisk, desenvolvido por Souza (2008b), está escrito em linguagem
C#, e utiliza o método de integração de Runge-Kutta de quinta ordem (Press et al. 2007).
Algorítmos Genéticos (Holland 1995) foram utilizados para diminuir o custo computacional
nas estimativas para as condições de contorno. Tais algorítmos se caracterizam por tomar
emprestado os conceitos evolucionários darwinianos para otimizar a resolução do problema
de estimativa da altura do disco (ver Apêndice C).
As condições de contorno envolvem 3 parâmetros livres, que são Ṁacc , α e, em última
instância, M? (pois Ω depende da massa da estrela). Outros 3 parâmetros livres devem
ser escolhidos adequadamente: τab , κs e Tb . Escolhemos, assim como em PT99, τab = 10−2 ,
que se refere à profundidade óptica acima da superfície do disco. Esta região é considerada
isotérmica. A profundidade óptica permite a definição de H na superfície do disco, mas nas
regiões onde o disco é opticamente espesso H não depende do valor de τ (na região onde o
disco é opticamente espesso H tem unidades de Cs Ω). Tb = 10 K e κs = κi ρas Tsb onde κi , a
e b são dados na Tabela 3.1 (ver Papaloizou & Terquem 1999, Bell & Lin 1994, Fröhlich &
Rüdiger 1999).
Assim, para um determinado raio, Ω é automaticamente definido e o único parâmetro que
nos resta estimar para obter as condições de contorno (Fs , Ps e Ts ) é escala de altura H. Numa
primeira versão desse código, H era estimado arbitrariamente, e o custo computacional era
elevado. Um algorítmo do tipo genético foi desenvolvido para aprimorar o método de busca
por H. Essencialmente devemos buscar uma altura que satisfaça à condição F (z = 0) = 0,
no plano médio do disco. No Apêndice C descrevemos brevemente o Algorítmo Genético
utilizado por nós (e.g., Souza 2008b). Independetemente da forma como obtemos a altura,
o código evolui, de forma auto-consistente, da seguinte forma: estimamos um valor para
altura inicial do disco H e então calculamos Ps (equação 3.1). Sabemos que as equações
diferenciais (2.1 e 2.3) da pressão e da temperatura dependem de ρs . Então obtemos ρs dos
20
3.2
valores encontrados para as condições de contorno Ps e Ts , utilizando a equação de estado
do gás ideal, onde ρs = µmH Ps /kTs . Obtido o valor de ρs , as equações diferenciais são
integradas desde z = H até z = 0. Desse momento em diante, para cada raio, um novo ρs será
calculado, mantendo seus valores atualizados para integrar as equações novamente, até o raio
final, ou raio externo do disco. Quando z = 0 e F ≈ 0 para uma dada precisão especificada,
dizemos que o valor da altura H é um valor ótimo ou aceitável e que satifaz uma solução.
Estipulamos esta precisão em 10−5 . Este valor foi obtido a partir do compromisso necessário
entre soluções estáveis e tempo de integração: elevando-se este valor, oscilações espúrias
surgem nas soluções. Diminuindo-o, o tempo de computação eleva-se consideravelmente.
A implementação do algorítmo genético neste código tenta impor ao máximo o desvio do
valor em torno da relação H/R ≈ 0.1 que converge para as soluções desejadas, aumentando
desta forma as chances de obter soluções ótimas. De uma maneira simples, a estrutura do
algorítmo é definida como: 1) geração de uma população inicial aleatória, onde os indivíduos
devem pertencer ao espaço de busca desejado; 2) função que avalia a aptidão dos elementos
da população inicial, de acordo com o fluxo obtido por cada um dos elementos, os elementos
serão considerados os mais aptos; 3) seleção elitista dos pais eleitos ao processo de reprodução, por cruzamento e mutação, onde são escolhidos 10% da população inicial de acordo
com sua aptidão; 4) criação dos descendentes a partir da função de cruzamento, onde os pais
sofrem incremento e decremento em seus valores, somam-se e posteriormente divide-se pelo
número de elementos somados; 5) probabilidade de ocorrência de mutação a cada um dos
filhos da fase de cruzamento, onde os valores sofrem uma modificação de 5% a 10% sobre
seu valor; 6) checagem dos critérios de adequação, o número de geração, precisão do melhor
elemento gerado, se existe ou não um espaço de convergência para tal e o desvio padrão
entre os participantes da nova população (Souza 2008b). No Apêndice C mostramos como
estes algorítmos nos ajudaram na estimativa de H, e o quanto de performance ganhamos
com isto.
Resumidamente, os parâmetros livres (ou de entrada do código) são: i) o raio inicial e
final do disco (usamos Ri = 0.1 UA, até Rf = 100 UA), ii) a massa da estrela (em massas
solares, M ), iii) a taxa de acreção Ṁacc (em massas solares por ano, M /ano) e iv) o critério
de precisão para F (z = 0) = 0 igual a 10−5 . As soluções são obtidas a cada 0.1 UA.
3.2
21
A EXPRESSÃO PARA α
Temperatura (K)
κi
T < 167.0
2.0 × 10−4
167.0 ≤ T < 203.0
2.0 × 1016
203.0 ≤ T ≤ 1000.0
0.1
1000.0 < T ≤ 4000.0 2.0 × 1081
a
b
κs
0
2.0
2.0 × 10−4 Ts2
0 −7.0
2.0 × 1016 Ts−7
0
0.5
1.0 × 10−1 Ts0.5
1 −24.0 2.0 × 1081 ρs Ts−24
Tabela 3.1: Coeficientes utilizados para obtenção da opacidade por intervalo de temperatura.
3.2
A Expressão para α
Como já discutimos, a função α(R) é dada aqui pela expressão 2.8, obtida por I09:
√
µmH GM?
1
(2−γ) (γ−3/2)
α(R) =
t−1
R
Ti (R)−1 .
s R1
2
kb
3(2 − γ)
O artigo de I09 também fornece o perfil da temperatura Ti (R) para uma amostra de 14
estrelas. Na Figura 3.1, mostramos a curva de Ti (R) e o ajuste para CY Tau3 , objeto usado
aqui neste Capítulo como exemplo. Com uma função analítica para Ti (R), estamos aptos
a avaliar α(R). Na verdade, para todos os objetos que estudamos Ti (R) ajusta-se com a
função:
Ti (R) = [1/(A · R + B)] + C · exp[−D · (R − E)2 ]
(3.4)
onde os coeficientes (A, B, C, D e E) encontrados para cada objeto estão disponíveis na
Tabela 3.2.
É preciso aqui descrever os resultados de I09 em maior detalhe. As observações em rádio
em alta resolução (0”.7 e 0”.4 em 1,33 mm, dependendo da configuração do arranjo de antenas utilizado) realizadas por I09 mediram o fluxo do contínuo próximo à transição
12
CO
(2-1), em 1 GHz. Com base na distribuição espacial destas medidas, e baseado em um modelo de disco de acreção (ver Seção 2.1), eles inferem um perfil para a densidade superficial
do disco de acreção. A hipótese por trás desta inferência é que a distribuição de grãos de
poeira no disco segue, ou mapeia, a distribuição de densidade superficial do disco, Σ(R).
Evidentemente, supõe-se que, descontando-se as incertezas existentes e considerando-se a
3
Realizamos os ajustes dos perfis com o LabFit, software desenvolvido pela Universidade Federal de
Campina Grande - PB, disponível através do sítio: http://zeus.df.ufcg.edu.br/labfit/index.htm
22
3.2
Figura 3.1: Ajuste do perfil Ti (R) para CY Tau. A linha pontilhada indica os pontos da
curva como extraído de I09, a linha cheia indica o ajuste.
razão sinal/ruído, as variações nos iso-contornos do contínuo reflitam, de fato, a distribuição
espacial dos grãos de poeira no disco. Contudo, as incertezas na determinação de Σ(R) e
T (R) são, evidentemente, grandes (1σ). As incertezas na determinação do fluxo (integrado,
do feixe) em mJy também não são desprezíveis (acima de 10% para alguns objetos). Contudo, para objetos já medidos anteriormente, os autores mostram que existe uma variação
de, no máximo, 20% entre os fluxos apresentados no trabalho deles e outros reportados
anteriormente na literatura. Também, é possível depreender dos resultados de I09 (ver Figura 7, em I09), que as incertezas na determinação de Σ são consideráveis, sobretudo nas
regiões centrais e externas do disco (evidentemente, nas regiões onde a resolução começa a
ser restritiva, que é a parte interna do disco, e nas regiões onde a emissão cai muito; que é
a região externa do disco, contribuindo para um baixo S/R). Uma outra observação que se
pode fazer sobre esta mesma figura de I09 é que o “feixe” (das observações em rádio) possui
uma largura a meia altura que vai de 1% (GO Tau) a 74% (SR 24) do tamanho do disco.
Podemos especular que parte da emissão está sendo “perdida”, seja pela sub- ou superestimativa (observacional) do raio do disco, respectivamente. Em outras palavras, a extensão
destes discos também devem ser vistas com cautela.
3.2
Objeto
DG Tau
DR Tau
UZ Tau E
RY Tau
SR 24
MWC 275
CY Tau
GM Aur
DN Tau
LkCa 15
TW Hya
A
0.1062 × 10−2
0.4805 × 10−3
0.8019 × 10−3
0.6804 × 10−3
0.1148 × 10−2
0.3887 × 10−3
0.7474 × 10−3
0.8293 × 10−3
0.6489 × 10−3
0.5139 × 10−3
0.9571 × 10−3
B
0.9440 × 10−2
0.1058 × 10−1
0.1681 × 10−1
0.8848 × 10−2
0.4027 × 10−2
0.6029 × 10−2
0.1075 × 10−2
0.1590 × 10−1
0.1356 × 10−1
0.1640 × 10−1
0.1860 × 10−1
C
D
30.5
5.0 × 10−4
28.0
1.1 × 10−3
20.8
3.4 × 10−5
35.0
3.0 × 10−4
30.0
5.5 × 10−4
39.5
1.2 × 10−5
18.001 8.99 × 10−5
16.5
2.7 × 10−5
21.5
5.0 × 10−4
14.4
2.2 × 10−4
19.2
2.5 × 10−3
23
E
85
80
160
110
95
300
170
225
105
200
66
Tabela 3.2: Coeficientes utilizados para o ajuste da curva de temperatura Ti (R).
É possível estimar as incertezas no parâmetro α. Usando a Equação 2.8 para α(R), e
usando a definição básica de cálculo de incertezas, pode-se mostrar facilmente que a incerteza
relativa é dada por:
σα (R)
=
α(R)
r
(2 −
γ)2
h σ
R1
R1
2
+
σ 2
ts
ts
+
σ 2 i
Ti
Ti
(3.5)
Nesta equação, fica evidente que as incertezas em α também dependem do raio e do parâmetro γ; mesmo que de forma indireta. Assumindo incertezas de 20% em R1 , ts e Ti , a incerteza
em α, calculada pela expressão acima, é de 62% para γ = −0.8 e de 37% para γ = 0.8, ou
no intervalo de γ que estamos utilizando.
Os ajustes feitos por I09 definem as propriedades físicas para os discos como tamanho
de grãos, opacidade etc., que estão devidamente tabelados em I09. Com estes ajustes foi
possível definir também um perfil para Ti (R), para cada um dos objetos observados. Em
geral, soluções para discos isotérmicos e opticamente finos (Hartmann 1998) prevêem o
comportamento de R−1/2 para a temperatura (em função do raio). Mas a amostra de I09
não permite concluir que os discos possuam esta estrutura. Este efeito é notado pela perda
dessa relação com R−1/2 , na região mais externa do disco, que também torna-se mais evidente
quando o objeto observado possui um baixo valor para γ (≤ 0) (ver Capítulo 4).
Na equação para α(R), γ é responsável pelo perfil da densidade superficial do disco e
também pela inclinação da curva de viscosidade no disco, já que ν(R) ∝ Rγ . Na prática, γ
pode assumir valores negativos, positivos ou nulo. Os valores de γ são importantes para que
variações nos valores de α ao longo do raio existam, pois para certos valores de γ a função
α(R) acaba assumindo um perfil constante (Hartmann et al. 1998). A equação para α(R)
24
3.2
(a)
(b)
Figura 3.2: Perfis de α para diferentes valores de γ, o valor específico (*) corresponde ao
valor de γ utilizado para resolver as soluções dos discos de CY Tau e SR24. O raio, em UA,
está em escala logarítmica.
permite ver que α ∝ R(γ−3/2) T −1 . Se T ∝ R−1/2 (soluções de corpo negro, isotérmicas; ver
Hartmann et al. 1998), então vemos que α =cte para γ = 1. Nas soluções de I09 nem γ é igual
a 1, nem os perfis de temperatura são exatamente tais que T ∝ R−1/2 . Logo, mesmo que γ se
aproxime de 1, α ainda será diferente de uma constante (neste caso). Isto pode ser visto na
Figura 3.2, onde mostramos o comportamento de α(R). Um outro aspecto importante nesta
discussão é o fato de que α pode ser “calibrado” (sua intensidade, não o seu comportamento,
que é ditado por γ e Ti ) por R1 e ts . Em outras palavras, supor que α é constante (com o raio)
implica em i) supor previamente um comportamento para a temperatura superficial do disco
de acreção e ii) em obter, como resultado, determinados valores para R1 e ts . Voltaremos a
este ponto quando formos discutir os resultados. Na Figura 3.3 as soluções para escala de
altura e densidade superficial de CY Tau mostram que os resultados obtidos com α(R) são
semelhantes aos de um α constante quando utiliza-se γ = 1. De um modo geral, os valores
de γ em I09 e aqui neste trabalho, variam de −0.8 a 0.8 e estão tabelados em I09 para cada
estrela. No caso específico de CY Tau γ = −0.3 ± 0.3 e SR 24 γ = 0.1 ± 0.3.
Na equação 2.8, ts é a escala de tempo viscosa no raio inicial R1 (raio que contém 63%
da massa do disco). Em I09 o valor de ts varia entre 0.1 Mano a 0.3 Mano. ts é a escala
de tempo relacionada com a difusão de matéria no disco devido à viscosidade (Hartmann
1998, Lynden-Bell & Pringle 1974). Definimos um critério para determinar qual o valor de
3.2
(a)
25
(b)
Figura 3.3: Solução para escala de altura H/R e densidade superficial Σ, para CY Tau. As
diferentes soluções estão relacionadas a diferentes valores de α: α constante (curvas azul,
vermelha e verde) e α variável (curvas preta e roxa). Os valores de α e γ estão indicados no
retângulo destacado. Os valores de M? , Ṁacc e R1 , para CY Tau, estão dados na Tabela 4.1.
Ambos os eixos estão em escala logarítmica.
ts cada objeto da nossa amostra deve assumir. Este critério dá-se pela observação do valor
da taxa de acreção de cada objeto. Dentre os objetos, aqueles que apresentam os menores
valores para taxa de acreção devem assumir um valor de ts = 0.3 Mano e aqueles que
apresentam os maiores valores, ts = 0.1 Mano (ver Tabela 4.1, Capítulo 4), uma vez que ts é
inversamente proporcional à viscosidade. Há uma anti-correlação também entre ts e a idade
do objeto/disco: quanto mais jovem o objeto, mais alta a taxa de acreção. I09 discute a
importância na variação de γ com a idade dos objetos, estabelecendo assim uma importante
relação idade-comportamento de α. Lembrando que ts varia entre 0.1 a 0.3 Mano, os valores
de ts para cada objeto ficarão limitados neste resultado.
De qualquer forma, realizamos testes variando o valor de ts . Observamos que, quando
variamos os valores de ts na equação α(R) para CY Tau, que possui taxa de acreção igual
a 3.0 × 10−9 M /ano, houve diferença nos resultados obtidos, com α(R) variando de 100 à
10−2 para ts = 0.1 Mano e 10−1 à 10−3 para ts = 0.3 Mano (na faixa de 1 a 100 UA). Esta
última variação para α(R) nos fornece valores mais satisfatórios, estando de acordo com o
perfil α(R) apresentado em I09 para o objeto CY Tau. Assim, utilizaremos os valores de ts
com base no critério que definimos.
No processo de validação do código, as soluções obtidas para α constante que estão de
26
3.2
(a)
(b)
Figura 3.4: Soluções para escala de altura H/R e densidade superficial Σ, para CY Tau. As
diferentes soluções estão relacionadas à diferentes valores de α: α constante (curvas azul,
vermelha e verde) e α variável (curvas preta e laranja). Os valores de α e µ estão indicados
no retângulo destacado. Todas as curvas foram obtidas com µ = 2.33, exceto a curva laranja.
Os valores de M? , Ṁacc e R1 , para CY Tau, estão dados na Tabela 4.1. Ambos os eixos estão
em escala logarítmica.
acordo com as soluções apresentadas em Papaloizou & Terquem (1999) levaram em consideração o valor para o peso molecular médio µ = 2.0, descrito pelos autores. No entanto, para
obter as soluções de α(R) levamos em consideração o valor µ = 2.33, utilizado por Isella
et al. (2009), de forma a manter os mesmos padrões utilizados por I09 para obter o perfil
de α(R). Como dito no Capítulo 2, a diferença entre os valores está em não considerar, no
caso de I09, apenas Hidrogênio molecular compondo o material do disco. As diferenças nas
soluções obtidas com diferentes valores de µ é algo que podemos considerar desprezível e
podem ser observadas na Figura 3.4.
O raio R1 (que contém 63% da massa do disco) é obtido através do perfil de distribuição
de massa em cada objeto apresentado em I09. Obter um perfil de α(R) semelhante ao
apresentado por I09 nos garante que estamos fazendo a escolha correta dos parâmetros que
definem a expressão α(R) (Equação 2.8), que a função que define Ti (R) foi obtida através de
um bom ajuste do seu perfil apresentado em I09 e que os valores de γ, µ e ts estão de acordo
com os utilizados por I09. Na Figura 3.5 retirada de Isella et al. (2009), estão apresentados
os perfis de α(R) para os diferentes objetos, de acordo com seus respectivos valores de γ.
No processo de obtenção dos perfis semelhantes aos apresentados na Figura 3.5, R1 é obtido
3.2
27
Figura 3.5: Perfis de α(R) correspondentes aos valores de γ apresentados por cada objeto.
Para γ > 0 encontram-se: DM Tau, GO Tau, UZ Tau E, GM Aur, GSS 39 e MWC275. Em
γ ≈ 0: CY Tau, DN Tau, DR Tau, RY Tau, SR 24. Em γ < 0: DG Tau, LkCa15 e TW Hya.
a partir do perfil de distribuição de massa ao longo do raio, onde é possível determinar a
distância em que está contido 63% da massa do disco, sendo esta distância o raio R1 . O
parâmetro R1 ajusta de maneira eficiente o perfil de α(R) quando tentamos obter perfis de
α(R) semelhantes aos apresentados na Figura 3.5, onde os perfis de α(R) dos objetos são
subdivididos de acordo com os valores de γ. Os valores de R1 modificados para atingir o
perfil de α(R) semelhante a I09 não fogem de maneira discrepante dos valores encontrados
para R1 segundo a distribuição de massa dos discos (obtidos nos gráficos de Md , massa do
disco, apresentados em I09 - Figura 07). Assim, podemos observar na Figura 3.6 que para
o objeto CY Tau, por exemplo, o valor inicial definido R1 = 100 UA precisou ser alterado
para R1 = 70 UA, obtendo-se um melhor resultado.
Limitamos nossas soluções a Rd ≤ 100 UA devido às dificuldades de convergência do
código para raios maiores que 100 UA. Vale ressaltar que realizamos testes com Rd = 200
UA, tendo sido obtidas soluções satisfatórias para alguns valores de α constante em CY Tau.
28
3.2
Figura 3.6: α(R) para diferentes valores de R1 , a linha negra e contínua representa melhor
o perfil apresentado por I09 para CY Tau.
Capítulo 4
Resultados
Neste Capítulo mostraremos os resultados obtidos para a estrutura dos discos de acreção
de 11 objetos da amostra de I09. Estes objetos e suas propriedades estão listados na Tabela
4.1, organizada de acordo com a idade das estrelas, como também as figuras que apresentam
os resultados encontrados. Discutiremos o comportamento de α(R), da escala de altura
H/R que define a estrutura vertical do disco, da densidade superficial Σ(R) que traduz
como a matéria se distribui ao longo do disco, da temperatura no plano médio do disco
e a distribuição da massa de planetesimais de acordo com os valores iniciais no estado
estacionário. Para os três objetos restantes (DM Tau, GO Tau e GSS 39), não foi possível
obter soluções estáveis.
4.1
Perfil de α(R)
As Figuras 4.1, 4.2 e 4.3 apresentam os valores calculados para α(R) para os objetos relacionados na Tabela 4.1. O intervalo no qual apresentamos o comportamento de α é o mesmo
que utilizamos para calcular a estrutura do disco (0.1 UA ≤ R ≤ 100 UA), extrapolando um
pouco de acordo com a extensão radial de cada objeto. O comportamento dos perfis de α
podem ser comparados com aqueles apresentados na Figura 3.5. Como obtivemos soluções
analíticas para o perfil de temperatura dos objetos (através de um ajuste de uma função
aos perfis de I09), podemos estender as soluções para raios mais internos 4 . Ao fazermos
4
É preciso ressaltar que Isella et al. (2009) usou, de fato, um raio mínimo para os discos de sua amostra
variando de 0.03 UA < Rmin < 0.5 UA. Este valor para o raio interno é necessário para definir a região de
29
30
4.1
RESULTADOS
Estrela
DG Tau
DR Tau
SR 24
UZ Tau E
RY Tau
DN Tau
CY Tau
GM Aur
LkCa15
MWC 275
TW Hya
ts
Rt
R1
(Mano) (UA) (UA)
0.1
18 ± 10 36.0
0.1
21 ± 1 41.0
0.3
20 ± 4 43.0
0.1
43 ± 10 40.0
0.3
60 ± 3 45.0
0.3
28 ± 3 55.0
0.3
55 ± 5 70.0
0.3
56 ± 1 40.0
0.3
58 ± 4 28.0
0.3
85 ± 3 42.0
0.3
11 ± 2 34.0
Rd
(UA)
89
86
120
260
112
125
197
350
241
520
73
M?
(M )
0.3
0.4
0.4
0.3
2.0
0.4
0.4
0.5
0.7
2.3
0.7
Md
(M )
42.0 × 10−2
6.3 × 10−2
3.72 × 10−2
4.78 × 10−2
6.5 × 10−2
1.86 × 10−2
6.92 × 10−2
7.2 × 10−2
19.0 × 10−2
3.9 × 10−2
3.2 × 10−2
γ
−0.5 ± 0.2
−0.3 ± 0.5
0.1 ± 0.3
0.8 ± 0.4
−0.1 ± 0.4
0.0 ± 0.5
−0.3 ± 0.3
0.4 ± 0.1
−0.8 ± 0.4
0.3 ± 0.1
−0.3 ± 0.4
Ṁacc
(M /ano)
4.1 × 10−7
2.1 × 10−7
7.4 × 10−8
1.3 × 10−7
7.8 × 10−8
1.1 × 10−9
3.0 × 10−9
2.8 × 10−9
6.8 × 10−10
6.0 × 10−8
4.2 × 10−10
Idade
(Mano)
0.1
0.1
0.2
0.4
0.5
0.5
0.8
1.0
1.8
5.0
7.0
Tabela 4.1: Parâmetros de referência para os objetos estudados (Isella et al. 2009).
isto, obtemos valores de α superiores a 1, como pode ser visto nas Figuras 4.1, 4.2 e 4.3.
Na Seção 4.6, discutimos a confiabilidade desta extrapolação e suas consequências, que serão importantes na interpretação do comportamento das soluções obtidas, especificamente,
H/R, Σ(R) e Ti (R). Contudo, enfatizamos aqui que α ∼ 1 em raios mais internos do disco
é esperado, como mostram os resultados de Combet & Ferreira (2008). Vamos discutir este
modelo (Combet & Ferreira 2008) em detalhes na Seção 4.6 (e também no Apêndice A).
foto-evaporação dos grãos de poeira em seus modelos, e define o início do disco onde o fluxo (no contínuo,
oriundo da poeira, e que será comparado com as isofotas) pode ser estimado. Mas suas figuras iniciam-se
em R = 1 UA. Todas as soluções por nós apresentadas para raios menores do que 1 UA são extrapolações
das soluções por nós obtidas para os raios R > Rmin .
4.1
PERFIL DE α(R)
(a)
(b)
(c)
(d)
31
Figura 4.1: α(R) para (a) DG Tau, (b) DR Tau, (c) SR 24, (d) UZ Tau E. Os valores de γ
estão indicados nas figuras. Ambos os eixos estão em escala logarítmica.
32
4.1
RESULTADOS
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.2: α(R) para (a) RY Tau, (b) DN Tau, (c) CY Tau, (d) GM Aur. Os valores de γ
estão indicados nas figuras. Ambos os eixos estão em escala logarítmica.
4.2
PERFIL DA ESCALA DE ALTURA
(a)
33
(b)
(c)
Figura 4.3: α(R) para (a) LkCa 15, (b) MWC 275, (c) TW Hya. Os valores de γ estão
indicados nas figuras. Ambos os eixos estão em escala logarítmica.
4.2
Perfil da Escala de Altura
As Figuras 4.4, 4.5 e 4.6 mostram os perfis da escala de altura (H/R) para valores de α
constante e α(R), (em todas as Figuras, as linhas de cor preta e contínuas representarão as
soluções obtidas com α variável).
Nas Figuras 3.3 e 3.4 do Capítulo 3, mostramos as soluções de CY Tau para diferentes
valores de α constante e α(R). Assim como em PT99, ocorre um reescalonamento nos perfis
obtidos para H/R, Σ e T . Conforme α diminui, a escala de altura, densidade superficial e
temperatura aumentam seus valores. Este comportamento independe de Ṁacc e M? , de modo
34
4.2
RESULTADOS
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.4: Perfil para escala de altura dos objetos (a) DG Tau; (b) DR Tau; (c) SR 24 e
(d) UZ Tau E.
que, neste Capítulo, as soluções para α(R) serão comparadas apenas com uma solução de α
constante.
4.2
(a)
(b)
(c)
(d)
35
Figura 4.5: Perfil para escala de altura dos objetos (a) RY Tau; (b) DN Tau; (c) CY Tau
e (d) GM Aur. O objeto CY Tau, que ao longo deste trabalho foi utilizado como exemplo,
sendo o primeiro objeto utilizado na verificação de parâmetros, apresenta soluções para três
valores diferentes de α =cte, mostrando de modo geral, o conjunto do comportamento da
solução de α(R) (variável) com valores de α constante.
36
4.2
RESULTADOS
(a)
(b)
(c)
Figura 4.6: Perfil para escala de altura dos objetos (a) LkCa 15; (b) MWC 275 e (c) TW Hya.
A extensão radial de TW Hya é de apenas Rd = 73 UA, mas extrapolamos suas soluções
para 100 UA, bem como DG Tau (89 UA) e DR Tau (86 UA).
O perfil de α(R) para cada um dos objetos estudados possui um comportamento global
semelhante: as soluções para a escala de altura interceptam as curvas de α constante no
ponto em que α(R) iguala-se a α = cte. Este é o comportamento esperado tendo em vista
que a estrutura radial e vertical do disco, nestes modelos, dependem apenas da massa da
estrela, da taxa de acreção e de α. O raio específico onde a interseção se dá varia de estrela
para estrela, tendo em vista que a massa da estrela e a taxa de acreção são diferentes (ver
Tabela 4.1); assim como o comportamento da função α(R). Fica evidente nas Figuras para
H/R que um disco representado por α maior na parte interna é também mais fino nesta
4.2
37
região. Na medida em que o raio aumenta, aumenta também a razão H/R (tendo em vista
que α diminui consideravelmente). Este comportamento vale para todos os objetos aqui
apresentados.
Uma outra constatação que se pode fazer baseia-se nos valores de H/R nas bordas
internas e externas dos discos (valores em Ri e Rd ). Dos objetos mostrados, a tendência
geral é que o disco se torne mais fino (em ambas as extremidades) na medida em que a
taxa de acreção diminui. A correlação é melhor se considerarmos a função de H/R com a
idade do objeto. Esta tendência à perda da altura com a idade, que também pode ser com
a diminuição na taxa de acreção, onde tomamos as medidas de H/R no raio interno (curvas
pretas) e externo (curvas vermelhas), para os discos de cada estrela, é mostrado em função
da idade dos objetos (Figura 4.7) e da taxa de acreção (4.8). I09 discute a relação da taxa de
acreção com um possível cenário evolutivo para o disco com base no parâmetro Rt , ou raio de
transição. Eles encontram que este raio de transição sofre uma expansão na medida em que
a taxa de acreção diminui, estabelecendo um cenário evolutivo para os discos (independente
da massa central do objeto). Segundo I09, este fato mostra que os discos nascem com as
mesmas propriedades, e evoluem de forma semelhante independente da massa da estrela.
Os resultados para H/R, embora menos assertivos, mostram que sua evolução (nas regiões
internas e externas do disco) também independe da massa do objeto central. Contudo, uma
amostra com um maior número de objetos analisados melhoraia a estatística dos nossos
resultados, objetos de massa intermediária podem dizer algo mais sobre a relação da massa
central com a escala de altura e a taxa de acreção de massa. Assim, nossas afirmações ainda
devem ser tomadas com cautela observando apenas a tendência apontada pelos resultados.
38
RESULTADOS
4.3
Figura 4.7: O gráfico, em escala logarítmica, mostra o comportamento da escala de altura
com a idade, onde cada objeto possui pontos em ambas as retas. A curva preta mostra o
comportamento de H/R em R = 0.1 UA e a curva vermelha em R = 100 UA. Em ambos
os casos, a tendência de H/R é diminuir com a idade (de acordo com as retas paralelas).
A interpretação direta é que os discos tornam-se mais finos na medida em que envelhecem,
uma vez que a diminuição da taxa de acreção é proporcional à idade do objeto.
Figura 4.8: O gráfico, em escala logarítmica, mostra o comportamento da escala de altura
com a taxa de acreção, onde cada objeto possui pontos em ambas as retas. A curva preta
mostra o comportamento de H/R em R = 0.1 UA e a curva vermelha em R = 100 UA. Em
ambos os casos, a tendência de H/R é diminuir com a taxa de acreção.
4.3
PERFIL DA DENSIDADE SUPERFICIAL
4.3
39
Perfil da Densidade Superficial
Nas Figuras 4.9, 4.10 e 4.11 mostramos os perfis da densidade superficial para valores de
α constante (curvas descontínuas verde, vermelho e azul), e para α variável (curvas sólidas,
negras). O perfil de Σ(R) reflete basicamente o comportamento de H/R: as densidades
superficiais crescem com o raio e interceptam as soluções correspondentes de α constante
no ponto onde ambos, α(R) e α = cte se igualam. Em todos os casos, os discos são mais
“leves” nos raios internos, dM = 2πRΣ(R)dR fornece a massa de um anel do disco; de modo
que dM [α(R)]/dM (α) ≡ Σ[α(R)]/Σ(α) < 1; ver Figuras 4.9, 4.10 e 4.11. Discutiremos este
resultado na Seção 4.6 adiante.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.9: Perfil da densidade superficial dos objetos (a) DG Tau, (b) DR Tau, (c) SR 24
e (d) UZ Tau E.
40
4.3
RESULTADOS
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.10: Perfil da densidade superficial dos objetos (a) RY Tau, (b) DN Tau, (c) CY
Tau e (d) GM Aur.
4.3
PERFIL DA DENSIDADE SUPERFICIAL
(a)
41
(b)
(c)
Figura 4.11: Perfil da densidade superficial dos objetos (a) LkCa 15, (b) MWC 275 e (c)
TW Hya.
Uma análise importante que se deve fazer diz respeito ao comportamento das nossas soluções para densidade superficial, as quais não são semelhantes ao comportamento das soluções
obtidas por I09 através de seu modelo de ajuste (onde a distribuição da densidade superficial
é expressa por uma lei Gaussiana normalizada). Em I09 há uma queda exponencial da densidade superficial com o raio, em geral da metade do disco até a região mais externa, onde é
determinado o final do raio do disco, que é definido conforme o disco torna-se opticamente
fino para radiação estelar. Assim, a extensão radial de cada objeto (Rd ) é determinada no
ponto em que a transição para o regime opticamente fino ocorre. Mas para os resultados
deste trabalho, os objetos possuem raios limitados a um raio externo de 100 UA, e deste
42
RESULTADOS
4.4
modo não é possível verificar se as curvas para estas soluções decaem com a mesma característica expressa pelas soluções de I09 (já verificamos que os valores da densidade superficial
no intervalo de 0.1 a 100 UA são distintos de I09, dessa forma pode ser distinto também o
comportamento da curva). No caso específico de DG Tau (89 UA), DR Tau (86 UA) e TW
Hya (73 UA), este problema não ocorreu (pode-se verificar o comportamento de toda curva
devido ao fato de seus discos possuírem raios inferiores a 100 UA). Um fator importante, e
que deve influenciar na diferença entre os resultados, pode estar associado à forma com que
a opacidade é tratada em ambos os trabalhos. O fato é que, conforme o modelo assumido por
I09 para reproduzir o fluxo observado em 1.33 mm para cada objeto, a opacidade interna do
disco é constante ao longo do raio. No nosso trabalho, a opacidade é obtida tendo em vista o
intervalo de temperatura (Bell & Lin 1994). Isto permite também que nossa opacidade varie
ao longo do raio, pois Ti possui valores diferentes ao longo do disco. Para efeito de comparação, contudo, podemos calcular valores médios (para nossas opacidades) e comparar com
os valores utilizados por I09. Na Tabela 4.2, mostramos os valores médios (nossos valores)
e os valores de I09. Utilizando esta Tabela é possível ver que os objetos que apresentam os
valores médios da opacidade próximos ao valor constante da opacidade assumida em I09, são
os mesmo objetos que apresentam soluções semelhantes para densidade superficial (CY Tau,
UZ Tau E e GM Aur), exceto para GM Aur, que de 10 a 100 UA sua densidade superficial
diminui de ∼ 100 g/cm2 a 8 g/cm2 semelhante a I09 neste intervalo, mas apresenta uma
diferença de 0.42 cm2 /g entre as opacidades κ1.33 e κmedio , ver Tabela 4.2.
4.4
Perfil da Temperatura
Nas Figuras 4.12, 4.13 e 4.14 mostramos os perfis de temperatura para modelos com α
constante e variável. Embora o comportamento específico das curvas de temperatura com
α variável seja uma função do objeto estudado, do ponto de vista global o que se pode
perceber é que os perfis de temperatura indicam que as regiões internas do disco são mais
frias, quando comparadas a modelos com α constante. Nas partes externas dos discos, as
temperaturas tendem para o valor constante de 10 K em todos os modelos.
Novamente, há uma correlação sugerida entre a idade do objeto (taxa de acreção) e
4.4
PERFIL DA TEMPERATURA
43
Objeto
κ1.33 (I09) κmedio
CY Tau
0.6
0.68
UZ Tau E
0.6
0.58
GM Aur
1.1
0.68
DG Tau
0.2
0.6
DR Tau
0.3
0.84
DN Tau
1.2
0.5
RY Tau
0.6
0.71
SR 24
1.8
0.64
MWC 275
1.9
1.4
LkCa 15
0.3
0.62
TW Hya
0.9
0.43
Tabela 4.2: Valores da opacidade apresentados em Isella et al. (2009) (κ1.33 ) comparados
com os valores médios (κmedio ) que a opacidade calculada pelo nosso código deve assumir
através do perfil de temperatura do disco. Os valores das opacidades estão em cm2 /g.
a temperatura do disco no raio mais interno. Quanto maior a taxa de acreção, maior a
temperatura nesta região. Das Figuras 4.12, 4.13 e 4.14, vê-se que DG Tau tem a maior
temperatura para o raio interno, de 1000 K, enquanto TW Hya tem a menor temperatura,
de 170 K. É importante lembrar que os objetos em Touro tem ∼ 1 Mano enquanto os objetos
em TWA tem ∼ 10 Mano (e.g., Mohanty et al. 2013); consistente com o cenário de dissipação
do disco (gráficos de H/R) com a idade (exemplificada aqui através da discriminação entre
os valores para as taxas de acreção).
44
4.4
RESULTADOS
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.12: Perfil da temperatura dos objetos (a) DG Tau, (b) DR Tau, (c) SR 24 e (d) UZ
Tau E.
4.4
PERFIL DA TEMPERATURA
(a)
(b)
(c)
(d)
45
Figura 4.13: Perfil da temperatura dos objetos (a) RY Tau, (b) DN Tau, (c) CY Tau e (d)
GM Aur.
46
4.5
RESULTADOS
(a)
(b)
(c)
Figura 4.14: Perfil da temperatura dos objetos (a) LkCa 15, (b) MWC 275 e (c) TW Hya.
4.5
Perfil da Distribuição de Planetesimais
Além das soluções que definem a estrutura dos discos de acreção, podemos fazer uma estimativa grosseira dos valores esperados para as massas dos planetesimais, utilizando nossos resultados do estado estacionário para α variável. Através da expressão Mp (R) = 10−2 πR2 Σ(R)
(Papaloizou & Terquem 1999), uma vez estabelecida a proporção de partículas de poeira para
gás de (1:100), podemos calcular os valores que correspondem a uma quantidade de massa
que pode ser propícia à formação de planetesimais. Entretanto, planetesimais sofrem migração, e todos os resultados aqui apresentados devem ser olhados com cautela (e.g., Alibert
4.5
PERFIL DA DISTRIBUIÇÃO DE PLANETESIMAIS
47
et al. 2005).
Os perfis de distribuição da massa de planetesimais (ver Figuras 4.15, 4.16 e 4.17), obtidos
através dos valores da densidade superficial, são significativamente distintos. Para os objetos
analisados, o perfil da massa de planetesimais com α(R) cresce rapidamente a partir de ≈ 10
UA, exceto para a solução obtida com o valor de α = 1.0 × 10−3 no objeto CY Tau. Nas
Figuras 4.15, 4.16 e 4.17 vemos que planetesimais muito massivos não são propícios a se
formarem nos raios internos, em qualquer caso (α constante ou não). Raios menores que
10 UA são raios onde, no sistema solar, encontram-se hoje planetas como a Terra e Júpiter
(cerca 300 vezes a massa da Terra). No caso de CY Tau, em 10 UA, a massa de planetesimais
aproxima-se apenas de valores com 5 vezes a massa da Terra (exceto para α = 1.0 × 10−3 ).
Já em 100 UA os perfis mostram massas de planetesimais próximas de 80 M⊕ .
Neste contexto e observando nossas figuras, podemos fazer algumas suposições: i) que
a observação de Jupiterianos nos raios internos dos discos, de acordo com as descobertas
de planetas extra-solares gigantes (Boss 1997) e simulações numéricas (Pollack et al. 1996,
Papaloizou & Terquem 1999, Papaloizou & Nelson 2003, Alibert et al. 2005), não indica que
os planetas se formaram nesta região; ii) Jupiterianos podem se formar nas regiões externas
com uma massa baixa, no caso para os valores de Mp (R) obtidos com α constante, e seguirem
absorvendo massa até chegarem aos raios internos; iii) Jupiterianos podem se formar nos
raios externos, no caso para os valores de Mp (R) obtidos com α(R), onde os planetesimais
teriam alta massa, e migrar para os raios internos sofrendo poucas alterações no processo;
iv) e ainda, Jupiterianos podem se formar nos raios internos com uma massa bastante baixa
e seguir absorvendo a matéria que chega nestes raios através do processo de transferência de
momento angular e acreção.
Em trabalhos sobre formação planetária e migração, onde são usados modelos chamados
de núcleos de acreção, planetesimais sólidos devem coagular formando um núcleo que consequentemente acreta mais planetesimais e gás. O núcleo sólido e seu envelope gasoso crescem
em massa e os planetas possuem de 20 a 30 M⊕ em 5 UA (Pollack et al. 1996). O tempo de
formação de planetas gigantes depende da densidade superficial. Simulações iniciando em
5.2 UA, com Σ = 500 g/cm2 apresentam núcleos de 30 M⊕ em 2.5 UA para um intervalo
de tempo de 4.0 Manos (Alibert et al. 2005). Estes trabalhos apontam formação e migração
48
4.5
RESULTADOS
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4.15: Distribuição da massa de planetesimais dos objetos (a) DG Tau, (b) DR Tau,
(c) SR 24 e (d) UZ Tau E. A região ampliada mostra a parte mais interna do disco de 0.1 a
15 UA.
de planetas, principalmente massivos, nas regiões internas do disco. Mas o tempo necessário
para formação destes planetas, cujas massas ainda são pequenas comparadas a Júpiter, é
alto, pois, neste intervalo de tempo (cerca de 105 a 107 anos) discos de OEJ’s de baixa massa
devem ter dissipado todo seu gás, criando um cenário incoerente com o que tem sido visto
através de observação e descoberta de exoplanetas, onde são catalogados planetas entre 0.5
a 4.0 vezes a massa de Júpiter e entre 2.0 a 7.0 UA de suas estrelas (Boss 1997).
4.5
PERFIL DA DISTRIBUIÇÃO DE PLANETESIMAIS
(a)
(b)
(c)
(d)
49
Figura 4.16: Distribuição da massa de planetesimais dos objetos (a) RY Tau, (b) DN Tau,
(c) CY Tau e (d) GM Aur.
50
4.6
RESULTADOS
(a)
(b)
(c)
Figura 4.17: Distribuição da massa de planetesimais dos objetos (a) LkCa 15, (b) MWC 275
e (c) TW Hya.
4.6
Discussão
Recentemente, Combet & Ferreira (2008) apresentaram um modelo de disco de acreção
que leva em consideração a presença de um vento apenas nas partes mais internas do disco.
Neste cenário, um disco é dividido em duas partes: uma região mais interna, com campos
magnéticos ancorados na superfície do disco, e que lançará de forma auto-consistente um
vento que se auto-colima em um jato (esta região é chamada de JED pelos autores, ou “Jet
Emitting Disk”), e uma região mais externa, onde o disco se comporta de forma “padrão”
(isto é, com acreção, mas sem ejeção; no cenário de Combet & Ferreira, o “Standard Accre-
4.6
DISCUSSÃO
51
Figura 4.18: Esquema de disco retirado de Combet & Ferreira (2008), onde Rstar é o raio da
estrela, Rin é o raio interno do disco, RJ é o limite do raio onde ocorrem os jatos, seguido
pelo disco de acreção padrão (SAD).
tion Disk”, ou SAD). A Figura 4.18 mostra uma representação esquemática do modelo de
Combet & Ferreira (2008; figura extraída do artigo destes autores). O modelo de Combet &
Ferreira supõe que os ventos de discos são lançados por intermédio da presença de um campo
magnético. Hoje, na literatura, pouco se questiona sobre a importância destes campos na
ejeção e colimação dos ventos de discos, de modo que esta hipótese é, de certa forma, padrão,
além de ser sugerida pelas observações (e.g., Donati et al. 2013, Gregory et al. 2006).
A presença de um campo magnético altera a estrutura de acreção de um disco. Mesmo
que vertical inicialmente (supondo uma estrutura de dipolo para o campo magnético estelar,
que chega até o disco de acreção verticalmente), a rotação do disco de acreção leva à geração de uma componente toroidal de campo magnético. Esta componente não pode crescer
indefinidamente, tanto porque há difusão no interior do disco quanto porque ela pode simplesmente se reconectar, no interior do disco. Em todo caso, estudos indicam que a razão
q ≈ Bφ /Bz , isto é, a razão entre as componentes toroidal e poloidal do campo magnético,
deve ser limitada por ∼ 1 5 . Esta razão, q, por outro lado só será limitada a ∼ 1 num modelo
do tipo Shakura & Sunyaev para discos se a turbulência (agora, magnética) for elevada. Em
5
A rigor, aumentar Bφ por intermédio da rotação do disco implica em aumentar a helicidade das linhas de
campo; como esta grandeza deve ser conservada em um tubo de fluxo, o sistema conserva a helicidade inflando
as linhas de campo. Este fenômeno foi descrito em detalhes em Matt & Pudritz (2005). Uma outra forma
de ver o mesmo problema é imaginar, como Ghosh & Lamb (1979), que um campo toroidal só será criado,
no disco se houver uma diferença entre a velocidade angular do disco e da estrela. Se ∆Ω = 0, nenhuma
componente angular de campo magnético será criada. Do contrário, cria-se uma componente que deve i) ser
dissipada internamente e ii) deve ser controlada pela diferença nas velocidades angulares disco-estrela, em
função do raio. Em ambos os casos, esta razão não deve ser muito maior do que a unidade.
52
4.6
RESULTADOS
outras palavras, Combet & Ferreira mimetizam um SAD no JED fazendo:
νm = α m v A H
(4.1)
onde νm é uma resistividade magnética, αm é um parâmetro α de Shakura & Sunyaev, mas
agora para a turbulência magnética, vA é a velocidade de Alfvén e H a escala de altura
do disco (ver também Ferreira & Pelletier 1993). Limitar o crescimento de Bφ implica,
necessariamente, αm ∼ 1. O vínculo, no modelo de Combet & Ferreira (2008), é forte: se αm
for pequeno, Bφ cresce a ponto de não se obter soluções de equilíbrio para a estrutura do
disco. Ao mesmo tempo, campos muito intensos no interior de discos de acreção impedem
o desenvolvimento de instabilidades; notadamente, a instabilidade MRI (Balbus & Hawley
1991).
O fato é que a presença de campos magnéticos na parte interna dos discos de acreção
neste modelo permite i) o lançamento de um vento, ii) a remoção de energia e momento
angular dos discos, depositando-os nestes ventos (colimados em jatos após a superfície de
Alfvén) e iii) acreção supersônica. Os itens i) e ii) acima têm a sua importância imediatamente reconhecidas: acreção viscosa (SAD’s) não produz ventos, e portanto não explica uma
fenomenologia importante (jatos estão presentes em objetos estelares jovens). O item iii) é
mais sutil, mas advém das soluções de estruturas de acreção-ejeção magnetizadas (ou “Magnetized accretion-ejection structures”, de Ferreira & Pelletier 1993); ver também Bessolaz
et al. (2008), que impõe:
ms ∼ 1 ≈ β
(4.2)
B 2 /µ0 P ∼ 1
(4.3)
onde ms é o número de Mach e β = B 2 /2P é um parâmetro que indica a importância
relativa dos campos magnéticos num plasma. Por meio da equação 4.3 vemos que tanto a
acreção é sônica quanto o parâmetro β do plasma indica equipartição. Neste modelo, ms ∼ 1
essencialmente porque o número de Mach, associado à velocidade de acreção, escalona-se de
4.6
DISCUSSÃO
53
forma simples com o parâmetro α e a escala de altura do disco, ver (Hartmann 1998):
ms ≡
H
vr
=α
Cs
R
(4.4)
(nesta equação, ms é o número de Mach sônico de acreção, vr é a velocidade radial de acreção
no plano médio do disco e Cs a velocidade do som). No modelo de Ferreira e colaboradores,
esta equação é modificada para admitir explicitamente o campo magnético:
ms = α
H
+ 2qµ
R
(4.5)
onde q ≈ Bφ /Bz ∼ 1 e µ = (B 2 /µ0 P ) ∼ 1. Como, tipicamente, α ≤ 10−2 e H/R para
os modelos com α constante nos leva a valores da ordem de 0.1 para os discos, então o
termo magnético domina sobre o termo viscoso e temos uma acreção sônica nas partes mais
internas do disco. Para as partes mais externas, este termo (magnético) não existe; e portanto
a viscosidade volta a dominar, produzindo velocidades tipicamente sub-sônicas de acreção.
Este é, em essência, o panorama do modelo JED+SAD.
Na Figura 4.19 mostramos um resultado de Combet & Ferreira (2008), com base na
solução que eles obtiveram para o modelo JED+SAD. Percebam que eles obtêm soluções
para a região JED que são mais finas, mais frias e mais leves (sic) quando comparadas
com soluções SAD para uma mesma taxa de acreção (lembre-se que “região JED” = região
interna do disco).
Os resultados por nós obtidos e discutidos neste capítulo encaixam-se perfeitamente no
modelo JED+SAD. Sem admitir a presença de um campo magnético, mas adotando os perfis
de temperatura do plano médio do disco, que levam a um perfil de Σ(R), fizemos modelos
padrões de disco de acreção que, na nomenclatura de Combet & Ferreira, é um disco SAD.
Entretanto, as soluções para α(R) obtidas por nós são consistentes com o modelo de Combet
& Ferreira. Em particular, obtivemos soluções para discos que indicam que estes mesmos são
mais finos, mais frios e mais leves em sua parte mais interna, independentemente da taxa
de acreção e da massa da estrela.
Do ponto de vista de modelo, assumir α maior na região interna do disco é equivalente a
assumir, por exemplo, que o termo magnético do tensor de stress viscoso de Ghosh & Lamb
54
RESULTADOS
4.6
Figura 4.19: Retirada de Combet & Ferreira (2008), temos os perfis das regiões de JED e
SAD em (a) temperatura no plano médio do disco, (b) densidade superficial, (c) escala de
altura e (d) intensidade do campo magnético. As diferentes cores apresentam os resultados
para diferentes taxas de acreção, sendo a linha azul a maior e a negra a menor.
é grande quando comparado com o termo viscoso. Em outras palavras: α contém, mesmo
que implicitamente, ambas as contribuições, como vimos no Capítulo 2. Na Figura 4.20
mostramos o comportamento do produto descrito na equação 4.4, para um de nossos objetos,
apenas para exemplificar. Note que o número de Mach aproxima-se de valores mais altos nas
regiões internas do disco. Embora tenhamos extrapolado nossas soluções para esta região,
acreditamos que o comportamento geral obtido é válido e esperado. A semelhança entre o
comportamento das soluções por nós obtidas e os resultados independentes de modelos para
ventos (Combet & Ferreira 2008) é considerável, e merece futuras análises. As implicações
deste cenário para a evolução do momento angular em discos de acreção podem ser relevantes;
mas não serão aqui discutidas.
I09 mostram que os discos em TW Hya e LkCa 15 apresentam um perfil de densidade
superficial que diminui nos raios internos. Em particular, eles caem a partir de 60 UA e 17
UA, respectivamente, sugerindo que os discos, nesta região, foram “limpados”, ou evacuados.
São os chamados, por eles, de discos transicionais. Ou discos que apresentam dois regimes
4.6
DISCUSSÃO
55
Figura 4.20: O gráfico mostra os valores do número de Mach (α × H/R) ao longo do raio.
Para o objeto CY Tau comparamos três curvas obtidas com valores de α constante e uma
obtida com α(R). Ambos os eixos estão em escala logarítmica.
de acreção (para dentro, para R < Rt e para fora, para R > Rt ; Rt = raio transicional). I09
então estabelece uma correlação entre o raio de transição do disco, Rt , e sua idade. Segundo
o modelo destes autores, uma vez que o disco precisa conservar o momento angular durante
o processo de acreção, a acreção em si se dá “para dentro” de Rin < R < Rt , e “para fora” de
Rt < R < Rout . Em outras palavras, o disco deve sofrer uma expansão radial para conservar
o momento angular durante o processo de acreção. Eles mostram que Rt , consistentemente
com o cenário proposto, aumenta com a diminuição da taxa de acreção (isto é, com a idade da
estrela). No nosso trabalho, vimos que o disco se afina, globalmente, com a idade. I09 sugerem
que processos puramente viscosos sejam os responsáveis por esta evacuação. Ressaltamos,
também, que o cenário JED é consistente com discos internos mais leves (e mais finos). Não
acreditamos que, neste momento, seja possível discernir entre ambos os modelos e afirmar
que os discos foram evacuados nas regiões internas por processos viscosos (acreção radial)
ou puramente MHD (acreção radial e ejeção vertical em ventos de disco). É possível que os
dois efeitos atuem em conjunto.
Capítulo 5
Conclusões
Motivados pelo trabalho de Isella et al. (2009, I09), que descreve as observações em
1.33 mm para um conjunto de 14 OEJ’s e, através de modelos, infere uma distribuição de
temperatura para o plano médio do disco de cada um dos objetos observados, obtivemos
soluções para discos padrões, ou discos α de Shakura & Sunyaev, para os mesmos objetos
estudados em I09. Estes objetos possuem massas distintas (0.3 a 2.3 M ), taxas de acreção
distintas (10−10 a 10−7 M /ano) e idades distintas (0.1 a 7 Manos). Obtivemos soluções
com parâmetro α constante, com valores tipicamente encontrados na literatura (α = 0.1 a
0.001), e com α variável. A função que representa α(R) foi obtida para cada estrela, tendo
em vista os perfis de temperatura interna, os valores de γ (ν ∝ Rγ ), e dos parâmetros R1 e
ts publicados em I096 . Obtivemos soluções para (0.1 < R < 100) UA.
As soluções obtidas para os discos com α constante são semelhantes à soluções já obtidas
na literatura; em particular, comparamos nossos resultados com os resultados de Papaloizou
& Terquem (1999). As funções que caracterizam as soluções dos discos, a saber, H/R(R),
Σ(R) e Ti (R) dependem dos valores de α (para uma dada taxa de acreção e massa da
estrela): quanto menor α, maiores serão os valores de H/R(R) e Σ(R) para um dado raio
(ver Papaloizou & Terquem 1999).
Assim, como as funções α(R) utilizadas aqui são todas decrescentes (com o raio), as
soluções para estas mesmas variáveis interceptam as sucessivas soluções de α constante, na
medida em que α sai de valores mais altos (∼ 1) nos raios internos do disco e atinge valores
6
R1 é o raio que concentra 63% da massa do disco; ts é a escala de tempo associada à viscosidade do
disco.
56
5.0
57
menores (∼ 10−3 ) nos raios externos. Este comportamento é esperado tendo em vista a
dependência das soluções (para uma mesma taxa de acreção e uma mesma massa) com α.
Desta forma, todos os discos estudados apresentam o mesmo comportamento geral nos
raios internos (R < 1 UA): eles são mais finos (apresentam menores H/R), mais frios e mais
leves, quando comparados a qualquer solução com α constante. É difícil admitir que um disco
com α constante seja mais frio, mais leve e mais fino que as soluções aqui apresentadas: eles
teriam que ter α > 1 em todo o disco.
Mostramos que estas soluções são compatíveis com o cenário JED+SAD de Combet &
Ferreira (2008): através de um modelo que leva em consideração, de forma auto-consistente, a
presença de um campo magnético nas partes mais internas do disco, responsável pela remoção
do momento angular do disco (e, consequentemente, pela acreção), e um disco padrão (com
acreção viscosa, mas sem ejeção) nas partes mais externas, estes autores mostram que os
discos devem ser, precisamente, mais leves, mais finos e mais frios em suas partes internas
quando comparados às soluções padrões, de disco α. Qualitativamente, ambas as soluções
são compatíveis.
A escala de altura dos discos estudados, tanto no raio interno quanto no raio externo,
apresenta um comportamento que mostra uma evolução no disco: os objetos mais evoluídos
possuem H/R, tanto na borda interna do disco quanto na borda externa, menores do que os
objetos mais jovens. Deste modo, os modelos prevêem uma correlação entre a espessura dos
discos e sua idade. Também, é notável que a solução tipicamente utilizada nestes discos, ou
seja, H/R ∼ 0.1, não é obedecida. Os discos, em geral, são mais abertos para os raios mais
externos quando comparados com discos com α constante.
Discos mais finos em raios internos podem ser mais eficientemente aquecidos pela radiação
da estrela central, minorizando os efeitos da existência de zonas mortas (no interior do
disco) em discos de acreção. Este fenômeno, e suas implicações para a formação planetária
e atuação de instabilidade magneto-rotacional, foi discutido por Combet & Ferreira (2008),
uma vez que eles obtiveram soluções para seus modelos JED+SAD consistentes com este
cenário. Estas conclusões se aplicam para os discos aqui estudados, assumindo que os perfis
de temperatura apresentados por I09 representam de fato estes discos.
Mostramos que a formação de planetesimais é favorecida a grandes distâncias da estrela,
58
CONCLUSÕES
ou seja, para os raios externos do disco. Juntamente com o fato de que os discos parecem se
comportar de forma previsível (há indícios de um cenário evolutivo para os discos, independentemente de M? ), isto indica que planetas mais massivos podem se formar mais facilmente
em órbitas mais externas. No caso específico de Júpiter, uma migração para sua posição atual
faz-se então necessária. Como nossos cálculos são estacionários, não podemos prosseguir com
esta discussão. É um fato que migrações são esperadas tanto na fase inicial da formação de
sistemas planetários (os primeiros 10 Manos do OEJ’s), quanto na fase posterior, em que os
planetas já se formaram (e.g., Papaloizou & Terquem 2005).
Nossos modelos são modelos de disco no estado estacionário. É preciso evoluir no tempo
a equação para Σ(R), levando em consideração α(R), para estudar, por exemplo, a formação
de planetesimais nestes discos. Independentemente disto, estas soluções podem ser acopladas
imediatamente a códigos numéricos, como o PLUTO (Mignone et al. 2007), como soluções de
equilíbrio do estado estacionário, e serem evoluídas com ou sem campos magnéticos, de forma
auto-consistentes. Estes dois pontos surgem como perspectivas imediatas deste trabalho.
Apêndice A
Soluções de similaridade, discos α e
transporte de momento angular em
discos de acreção
Discos de acreção em torno de objetos estelares jovens (OEJ’s) apresentam taxas de
acreção que vão de 10−10 M /ano (TW Hya) a 10−6 M /ano (FU Ori). Então, existe um
mecanismo que faz com que a matéria saia do disco e chegue até a estrela (acreção). Também, é sabido que os OEJ’s apresentam ventos, que podem ter origem na estrela ou no
próprio disco. Eles também apresentam ventos colimados, que podem ser os jatos (ventos
supersônicos bipolares e extremamente colimados) ou os ventos moleculares bipolares (ventos subsônicos bipolares, e pouco colimados). Em todos os casos, é necessário um mecanismo
para lançar estes ventos a partir dos discos de acreção. Ventos que emergem da supefície
das estrelas não são capazes de explicar a existência dos jatos, nem dos fluxos moleculares
bipolares (e.g., Matt & Pudritz 2005): falta momentum e energia nestes ventos estelares para
empurrar os fluxos moleculares bipolares e jatos.
Como veremos, os mecanismos de acreção e ejeção estão intimamente ligados. Historicamente, contudo, o estudo de ambos se deu de forma às vezes independente. O mecanismo
mais estudado para explicar a acreção é baseado na dissipação viscosa entre as partículas
do fluido que compõe o disco. Um disco de acreção é, em geral, um disco em equilíbrio
onde as velocidades de rotação são keplerianas. Assim, camadas radiais adjacentes do disco
59
60
APÊNDICE A
Figura A.1: Distribuição da densidade superficial com o raio.
possuem velocidades diferentes. É este cisalhamento entre as camadas que promove a troca
de energia entre as partículas e faz com que a acreção tenha lugar. Por outro lado, ao perder
energia (pela fricção com partículas vizinhas, de velocidades diferentes) e fluir em direção
a raios mais internos, o disco precisa se expandir em direção aos raios mais externos para
conservar o momento angular. A Figura A.1 de Lynden-Bell & Pringle (1974), reproduzida
aqui por motivos de completeza, mostra bem este fato. Nesta Figura, um anel de densidade
centralizado em X/X1 = 1 (X é a distância até o objeto central; X1 é a posição do anel)
e em rotação kepleriana em torno de um objeto central, evolui para uma distribuição em
densidade ao longo do raio: enquanto a matéria cai para R < 1, o disco expande também
para R > 1. A “acreção” ocorre devido à viscosidade (único mecanismo físico neste modelo)
e a expansão do disco ocorre para conservar o momento angular. Perceba que se o momento
angular do disco não for conservado, isto é, se em algum ponto do disco pudermos retirar
parte do seu momento angular, também haverá acreção. Embora seja exatamente isto o que
um jato ou vento de disco faça, ainda não é o momento para detalharmos esta discussão. De
qualquer forma, só faz sentido falar em conservação de momento angular se definimos um
sistema. Para um disco viscoso, puro, o sistema é o próprio disco. E o sistema conserva o
momento angular. Por isto o comportamento da Figura A.1.
SOLUÇÕES DE SIMILARIDADE DE DISCOS VISCOSOS
61
Acontece que a taxa de acreção (Ṁacc ) provocada pela viscosidade molecular, ou microscópica (no formalismo de Spitzer) é ordens de grandeza menor do que as taxas de acreção
observadas, conforme enfatizado por Balbus & Hawley (1998). Então aqui encontramos um
problema: qual é o mecanismo físico capaz de imprimir, aos discos de OEJ’s, as taxas de
acreção observadas nestes sistemas? Mas este não é o único problema. Um disco viscoso
dissipa-se com o passar do tempo; a matéria se redistribui ao longo do disco. Se o disco
possui um raio interno, então a matéria (tendo em vista o mecanismo viscoso, apenas),
pára neste ponto. E isto não explica os jatos, nem os ventos moleculares bipolares, que,
acredita-se, venham dos discos de acreção.
Há soluções, evidentemente, propostas para ambos os problemas. Há soluções para se
aumentar anomalamente a viscosidade no disco e com isto a taxa de acreção. E há soluções
criadas especificamente para lançar o jato a partir do disco de acreção. E também há aquelas
soluções que tentam, em conjunto, aumentar a viscosidade e lançar o jato/vento do disco.
Vamos comentar algumas delas aqui e tentar estabelecer o panorama atual sobre este assunto.
A.1
Soluções de similaridade de discos viscosos
Antes de entrarmos numa discussão sobre o parâmetro α, ou discos α, vamos apresentar
o modelo de similaridade de Lynden-Bell & Pringle (1974). Estes modelos são também
conhecidos como auto-similares (Königl 1989). Para isto, não precisamos, neste momento,
de advogar a presença de um disco α: ele só será necessário mais adiante, para explicar
as altas taxas de acreção de fato observadas. Assim, como discutido em Hartmann et al.
(1998), consideremos o momento angular de uma parcela de massa M do fluido em rotação
kepleriana:
J = IΩ = M R2 Ω ∝ M?1/2 M R1/2
(A.1)
onde J é o momento angular, I é o momento de inércia, M a massa do elemento de volume em
rotação kepleriana, R a distância da partícula à estrela central de massa M? (considerando
p
uma geometria cilíndrica) e Ω = GM? /R3 é a velocidade kepleriana de rotação. Assim,
para o disco todo, podemos fazer:
62
APÊNDICE A
Z
Jd =
dmΩR2 =
p
GM? Md < j >
(A.2)
onde Md é a massa total do disco, < j > é o momento angular do disco normalizado por
√
GM? Md . Evidentemente, das equações A.1 e A.2, segue-se imediatamente que:
1/2
Jd ∝ Md Rcar
(A.3)
Nesta equação, Rcar é um tamanho característico para o disco de acreção. Se o momento
angular se conservar no disco então:
−1/2
(t)
Md (t) ∝ Rcar
(A.4)
cuja interpretação é direta: na medida em que o disco perde massa, seu tamanho característico aumenta. Esta perda de massa não é explicitada aqui neste modelo. Mas ela é
representada pela transferência de matéria do disco para a estrela sem a perda de momento
angular1 . Esta é uma consequência direta do fato de que, neste modelo, a hipótese é a de
que o disco é um disco viscoso, e se comporta como tal. Derivando a equação A.4 com relação ao tempo, obtém-se também o comportamento esperado: a taxa de acreção diminui
na medida em que o disco aumenta seu raio característico, ou seja, na medida em que o
sistema envelhece. Então temos um cenário no qual i) o disco acreta (Ṁacc ) e ii) envelhece
(dṀacc /dt < 0) como se espera, ou seja, com Ṁacc diminuindo com o tempo, como mostram
as observações de OEJ’s (ver I09, por exemplo).
A solução de similaridade para discos de acreção foi proposta por Lynden-Bell & Pringle
(1974). Eles pressupõem que a viscosidade, além de não mudar no tempo, depende de uma
forma particular com a distância. Foi proposto que uma lei de potência, do tipo ν ∝ Rγ ,
possa representar a viscosidade2 . Assim, é possível fazer algumas estimativas. Em primeiro
lugar, associado à viscosidade, pode-se definir uma escala de tempo de evolução viscosa para
1
É considerado que a matéria que chega à superfície da estrela não transfere o momento angular à estrela;
é evidente que este ponto merece uma análise mais crítica, mas, em certos casos, isto pode ocorrer. Não vamos
aqui entrar nestes detalhes.
2
Nas soluções auto-similares, todas as grandezas físicas escalonam-se com R: há um expoente para cada
variável (Königl 1989).
63
o sistema3 :
tvisc ∝ R2 /ν
(A.5)
Assumindo que a viscosidade respeita uma lei de potência com a distância, ν ∝ Rγ (esta
é a chave desta aproximação), então obtém-se (os detalhes estão dados em Hartmann et al.
1998):
Md ∝ t−1/[2(2−γ)] ,
(A.6)
aqui, t é o tempo. A obtenção desta expressão é direta, usando a solução de similaridade
para ν e a equação A.5:
Rcar
Rcar
Rcar
dRcar
(γ−1)
∼
= 2
= Rcar
∼
−→ Rcar ∝ t1/(2−γ)
dt
tvisc
Rcar /ν
t
(A.7)
sendo a equação A.6 derivada ao combinar A.7 com A.4.
As equações 2.9, 2.10 e 2.11, vistas no Capítulo 2, também são derivadas a partir destas
suposições (similaridade e disco puramente viscoso). As ideias básicas que permitem chegar
até estas equações foram aqui lançadas, e o leitor poderá encontrar suas derivações em
Lynden-Bell & Pringle (1974) e Hartmann et al. (1998). Para nós, é importante entender
como se comporta um disco viscoso e o que é a solução de similaridade, mencionadas no
corpo deste trabalho e aqui explicadas.
Em discos de acreção, uma variável importante é a densidade superficial do disco, Σ,
definida como a integral da densidade ao longo de sua altura, de −H até H (H é a escala
de altura do disco):
Z
+H
Σ=
ρdz
(A.8)
−H
Esta variável expressa, em outras palavras, a densidade colunar do disco, e está diretamente relacionada com as observações no milimétrico e sub-milimétrico (para quais o disco
é oticamente fino). A evolução de um disco viscoso pode ser caracterizado pela evolução, no
3
Esta equação segue diretamente da avaliação da ordem de grandeza dos termos envolvidos na equação
v
~ 2 v.
de força para o sistema, quando considerado apenas o termo viscoso: ρ ∂~
∂t ∼ ν ∇ ~
64
APÊNDICE A
tempo, de Σ (Pringle 1981):
i
∂Σ
3 ∂ h 1/2 ∂
=
R
(R1/2 νΣ)
∂t
R ∂R
∂R
(A.9)
O problema, como já mencionamos anteriormente, está no fato de que um disco viscoso, representado por ν, não explica as taxas de acreção observadas. Assim, Shakura &
Sunyaev propuseram que os campos magnéticos, presentes em discos, mais a turbulência no
movimento da matéria pudessem, em conjunto, transferir o momento angular (para raios
externos), possibilitando a acreção (anômalamente alta). Como também mencionamos no
Capítulo 2, a eficiência deste mecanismo de transporte é medida pelo parâmetro α:
vt
H2
+
α=
vs 4πρvs2
(A.10)
Na prática, o que se faz é ajustar α para que as taxas de acreção observadas sejam
recuperadas. Fisicamente, a instabilidade magneto-rotacional, também conhecida como instabilidade de Balbus & Hawley (1998), parece ser um mecanismo bastante promissor para
aumentar a viscosidade e consequentemente o transporte do momento angular em discos de
acreção.
Nestes modelos de disco α, escreve-se:
ν = αCs H
(A.11)
A escala de altura H que surge nesta expressão está relacionada, também, com a velocidade do som no local. Para vermos isto, consideremos um disco isotérmico (portanto,
P = ρCs2 ). A solução para a equação de equilíbrio hidrostático:
GM ρ
dP
=− 2
·z
dz
(R + z 2 )3/2
(A.12)
z2 ρ = ρ0 exp −
2H
(A.13)
é:
com H definido como:
H = (R3 Cs2 /GM? )1/2
65
(A.14)
ou ainda:
Cs
Ω(R)
(A.15)
Cs2
∝ αTd R3/2
Ω(R)
(A.16)
H=
Levando A.15 em A.11, obtemos:
ν=α
(Td aqui é a temperatura do disco, e surge na expressão ao escrever a velocidade do som em
termos da temperatura do gás).
A equação A.16 é importante para nós. Tangenciamos suas implicações ao longo do
texto principal deste trabalho. Ela mostra que, para um disco onde Td ∝ R−1/2 e para um
α constante, ν ∝ αRγ , com γ = 1 (ver, Hartmann et al. 1998). Em outras palavras, discos
isotérmicos terão soluções de similaridade com γ = 1, se e somente se α for constante. Ou
ainda, γ = 1 implica em α constante para discos isotérmicos.
Um aspecto interessante que permeia a discussão sobre os discos α é o regime de acreção.
Em que velocidade a acreção se dá? A equação A.11 permite estimar a velocidade de acreção.
Escrita de outra forma, ela é dada por:
H
ν
=α
Cs R
R
(A.17)
Por outro lado, ν/R ∼ R/tvisc (ver equação A.5), de modo que:
ν
R/tvisc
vr
H
∼
∼
= ms = α
Cs R
Cs
Cs
R
(A.18)
ou seja, o número de Mach ms associado à velocidade de acreção (vr ) é da ordem do produto
α · H/R, que é tipicamente << 1. Nos modelos de disco α, em geral, assume-se α ∼ 10−2 .
E as soluções fornecem H/R ∼ 0.1. Em outras palavras, as estimativas para os modelos de
disco α é a de que a acreção deva ocorrer de maneira sub-sônica.
Nos modelos que calculamos, baseados nos resultados de I09, mostramos que este produto
66
APÊNDICE A
α·H/R aumenta consideravelmente nos raios mais internos do disco. Embora α seja superior
a 1 nesta região (R ∼ 0.1 UA), este produto fica limitado a ms ∼ 0.2 − 0.4 (por exemplo,
a Figura 4.20 para o objeto CY Tau). De qualquer forma, bastante superior aos valores
tipicamente encontrados para os modelos de α constante, onde ms (R = 0.1 AU) ∼ 10−3 .
Neste ponto, devemos mencionar que o trabalho de Combet & Ferreira (2008) prevê acreção
aproximadamente super-sônica para tais raios. Este modelo incorpora os campos magnéticos
na superfície do disco, e também no seu interior, e calcula os efeitos do mesmo sobre a
estrutura do disco de acreção. Discutimos este modelo na Seção 4.6, e voltaremos a falar
dele aqui. Mas, antes, vamos ver o que se espera para a evolução do momento angular em
um disco, uma vez que o campo magnético desempenha um papel fundamental.
A.1.1
O problema do momento angular
Vamos considerar agora como sendo nosso sistema o conjunto composto pela estrela, pela
magnetosfera, e pelo disco de acreção. Assim, as linhas de campo magnético, que nascem na
superfície da estrela e terminam no disco, compõem a magnetosfera. Um plasma rafereito
em geral também está presente nesta magnetosfera. Neste cenário, o disco de acreção pode
perder ou ganhar momento angular, dependendo dos torques exercidos no disco pela sua
vizinhança (neste caso, estrela e magnetosfera). Se o disco perde momento angular, matéria
pode ser acretada, mesmo que a viscosidade não seja importante, bastando para isto que
outros mecanismos entrem em operação. A situação oposta também pode ocorrer: o disco
pode ganhar momento angular e aumentar, por exemplo, a velocidade de rotação local.
Em todos os casos, o sistema conservará o momento angular. Este fato é bem captado pela
componente azimutal da equação de movimento, em coordenadas cilíndricas, que quando
multiplicada pela coordenada radial R e manipulada adequadamente, fornece (e.g., Balbus
& Hawley 1998):
o
Bp2 i
Bφ ~
∂(ρRvφ ) ~ n h
+ ∇ · R ρvφ~v −
Bp + P +
êφ + F~visc = 0
∂t
4π
8π
(A.19)
Rν ~
~ vφ
F~visc =
(∇ · ~v )êφ + νR2 ∇
3
R
(A.20)
67
(onde ρ é a densidade; R a coordenada cilíndrica radial; vφ é a velocidade toroidal, tipicamente kepleriana; ~v o vetor velocidade; Bφ a componente toroidal do campo magnético;
~p = B
~r + B
~ z é a componente poloidal do campo magnético; P é a pressão do gás e F~visc
B
é o termo viscoso, que depende da viscosidade microscópica ν e é tipicamente negligenciado
por contribuir pouco frente aos outros termos acima; ou seja, |F~visc | ∼ 0). Esta equação
é conhecida como a equação do momento angular nos discos de acreção. Veja que não há
termos fontes nesta equação, e perceba que esta é uma equação conservativa, de fluxo, como
uma equação de continuidade para o momento angular por unidade de volume:
∂l ~ ~
+∇·F =0
∂t
(A.21)
onde l = ρRvφ é o momento angular por unidade de volume e F~ (todo o termo em colchetes
em A.19) o fluxo do momento angular. Na prática, F~ tem origem i) puramente magnética
~ p /4π] e ii) no fluxo de matéria [termo R(ρvφ~v )], sendo desprezado o papel da
[termo −RBφ B
viscosidade microscópica (termo F~visc ).
Assim, integrando (A.21) no volume (qualquer) e usando o teorema do divergente, obtemos:
∂L
=−
∂t
Z
F~ · n̂da
(A.22)
Substituindo F~ na expressão acima A.22, obtemos
~τ = −
Z ρ~vp vφ r − r
Bφ ~
~
Bp + νR2 ∇Ω
da
4π
(A.23)
Temos três termos nesta expressão: um termo dinâmico, chamado de torque de acreção:
Z
~τacc = −
ρ~vp vφ rda
(A.24)
Bφ ~
Bp da
4π
(A.25)
o torque magnético:
Z
~τmag =
e o torque viscoso:
r
68
APÊNDICE A
Z
~τvisc =
~
νR2 ∇Ωda
(A.26)
A avaliação destes torques é fundamental para o estudo da acreção e ejeção em discos
de acreção. Suas intensidades dependem de modelos, e de condições iniciais adotadas. Também, dependem do volume de controle (superfície que será realizada a integral) escolhido.
Independentemente disto, contudo, o torque viscoso, é em geral desprezado (tendo em vista
os baixos valores de ν). Assim, o transporte de momento angular é determinado fisicamente
por dois termos: um dinâmico (que depende da velocidade do fluido) e um magnético (que
só depende dos campos magnéticos). Na literatura, é frequente encontrar o nome torque da
acreção para o primeiro, e torque magnético para o último (Ghosh & Lamb 1979). Mas veja
que isto leva a uma má interpretação destes termos: o torque de acreção está originalmente
associado ao transporte radial de momento angular e, portanto, a acreção radial de matéria.
Mas ele também existe quando a matéria flui, através da superfície do disco, em um jato ou
em um vento. Neste caso, trata-se do torque do vento, ou do jato; que possibilita a acreção
porque remove momento angular do disco, mas que não está associado ao transporte radial
de matéria como mecanismo de transporte de momento angular, e sim com o lançamento
vertical de um fluxo, que pode ser um vento de disco ou um jato de disco. Para que ocorra
um torque magnético, é necessário um “enrolamento” via rotação diferencial (radial ou vertical) do campo magnético, que promova o surgimento da componente Bφ (se o campo for
inicialmente poloidal).
Para entender de modo geral como estes dois termos desempenham diferentes papéis no
transporte de momento angular em um disco de acreção, façamos um exercício de integração
(sem, de fato, quantificar as integrais). Para avaliar o fluxo do momento angular (e calcular
os torques envolvidos), precisamos definir uma superfície de integração. Como é o disco que
nos interessa diretamente, imaginemos um volume, cuja superfície definirá nossa integral,
como sendo o de uma esfera de raio Rd (o raio do disco), centrada na estrela de massa
M? , menos o volume do toro ocupado pelo disco; toro este de raio interno Ri , raio externo
Rd e altura 2H (H varia com o raio, como sabemos; imagine, como boa aproximação, que
H ∼ 0.1R), também com origem na estrela.
69
A superfície fechada para a integração (da equação A.23 acima) pode ser convenientemente escolhida como sendo a soma de 3 superfícies, que “sobraram” ao subtrairmos o toro
da esfera, S1 , S2 e S3 , definidas da seguinte forma: i) S1 = 2πRi Hi é a borda interna desta
esfera recortada, ii) S2 é a soma das superfícies, superior e inferior, do disco propriamente
ditas e, iii) em Rd , o que restou da superfície esférica, S3 ∼ 4πRd2 − 2πRd Hd (ver Ghosh &
Lamb 1979).
O termo puramente dinâmico, ou seja, o torque de acreção, é importante na borda interna
(S1 ): ao fluir para a estrela, a matéria que acreta extrai momento angular do disco podendo
adicionar este momento angular à estrela. No transporte radial de momento angular, este
termo ganha quando comparado ao torque magnético.
Como ~vp é a componente poloidal da velocidade, composta pela soma das componentes
radial e vertical, este termo também pode contribuir nas superfícies superior e inferior do
disco (S2 ), através do campo de velocidade depositado no vento. Contudo, nestas superfícies, as velocidades dos ventos de disco podem ser pequenas: os ventos são acelerados através
de um mecanismo magneto-centrífugo e atingem velocidades da ordem das velocidades keplerianas de rotação apenas na superfície de Alfvèn, isto é, longe da superfície do disco,
na magnetosfera. Em outras palavras, vz /vφ (|z| = H) << 1. Por outro lado, vimos que
vr < Cs < vφ ; portanto, vz << vr . Contudo, se a quantidade de massa lançada através das
linhas de campo for pequena, então as velocidades podem ser importantes, e os torques de
acreção, nestas superfícies, podem ser da ordem dos torques magnéticos (e.g., Zanni et al.
2007).
Já o termo magnético atua majoritariamente nas superfícies do disco (S2 ), em detrimento
de suas bordas (S1 e S3 ), isto é, em |z| = H. Entretanto, ele não opera da mesma forma em
todos os raios: no raio de corrotação, Bφ = 0 (na superfície; no interior do disco, isto não
é estritamente válido; ver Zanni & Ferreira 2009) e não há fluxo de momento angular, ou
torque magnético. Em qualquer outro ponto da superfície do disco, assumindo que as linhas
nascem na estrela e terminam no disco, se Ωd 6= Ω? , então Bφ é gerado no interior do disco
e ele é responsável pela aplicação de um torque magnético, com consequente distribuição do
momento angular (Ghosh & Lamb 1979): o momento angular pode sair ou entrar no disco,
acelerando ou freando a estrela. Se a razão entre Bφ /Bz for positiva, significa que o ponto
70
APÊNDICE A
em que o campo magnético está ancorado na superfície do disco roda com velocidade angular
maior do que a estrela. Este é o caso da chamada leading spiral, e isto acelera a estrela. Já se
este ponto rodar com velocidade angular menor, então a estrela é freada (o disco é deixado
para trás com relação à estrela). Em geral, estes pontos estão a raios mais internos, formando
uma leading spiral, e mais externos, formando uma trailing spiral, respectivamente, quando
comparados com o raio de corrotação.
Enfatizamos novamente que este fluxo de momento angular disco/estrela ocorrerá apenas
se o campo Bz , no disco, for o campo da estrela que chega até a superfície do
disco. Se o campo Bz for um campo residual, do meio interestelar ou um campo aberto
que teve origem na estrela, mas que por algum motivo não mais conecte a estrela ao disco,
então pode haver a remoção do momento angular do sistema. Este momento angular
é depositado em um vento de disco. Neste caso, a componente toroidal do campo magnético
não tem mais sua origem na rotação diferencial entre disco e estrela, mas sim na rotação
diferencial vertical, entre as camadas do disco, para um mesmo R: é sabido que um disco
tem sua velocidade de rotação máxima no seu plano médio (em z = 0), e a velocidade “cai”
para alturas superiores. Esta diferença em vφ (z) gera um campo magnético toroidal que,
ao acoplar-se com o campo poloidal, pode i) lançar um vento e ii) depositar o momento
angular (via torque magnético) neste vento, retirando-o do disco e possibilitando a acreção
(Ferreira 1997). Em ambos os casos, matéria pode ser acretada sobre a estrela tendo em
vista que o momento angular foi removido do disco (no caso de torques negativos sobre o
disco, evidentemente).
A.1.2
Campos magnéticos toroidais e ventos de disco
O cenário de acreção regulado por um disco puramente viscoso, mesmo que sob a prescrição α, sofre da deficiência de não poder prever, de forma auto-consistente, a formação
de um vento de disco e que, porventura, possa se colimar em um jato a uma determinada
distância do disco. Ao não preverem isto, mesmo que de certa forma incorporando a presença
de campos magnéticos (implicitamente, no cenário de Ghosh & Lamb; explicitamente, no
cenário da instabilidade MR), estes modelos falham. E, como já mencionamos no Capítulo
4, deixam de prever determinados comportamentos estruturais importantes nestes sistemas.
71
Em particular, Combet & Ferreira mostram que o lançamento de um jato pelo disco,
através das linhas de campo magnético ancoradas no mesmo, alteram a estrutura do disco.
Algumas destas alterações foram brevemente citadas nos parágrafos anteriores, mas podemos
mencioná-las novamente aqui:
• A estrutura vertical e radial do disco depende fundamentalmente de como o campo
magnético penetra no disco, alterando os gradientes de pressão. O equilíbrio não é mais
obtido simplesmente com um potencial gravitacional mais uma componente (radial)
de aceleração centrífuga: agora existem na equação de força os termos magnéticos;
• A acreção se dá, em geral, da superfície para o plano médio do disco. Neste cenário, um
vento/jato jamais seria formado (já que as partículas seguem em direção contrária à da
superfície do disco), mesmo na presença de campos magnéticos. Para que isto ocorra,
tem que haver um gradiente de pressão térmica que faça com que o fluxo de acreção
(parte dele, na verdade) seja redirecionado para “cima” e, desta forma, acelerado para
fora pelos mecanismos já conhecidos (aceleração magneto-centrífuga). Este mecanismo
só é obtido se a estrutura (vertical) do disco mudar com relação a um disco padrão,
SAD.
• É imperativo, nestes modelos, que o disco de acreção seja resistivo; em outras palavas, as componentes de campo magnético criadas no interior do disco, pela rotação
diferencial (radial e vertical) precisam ser controladas, para que as soluções de equilíbrio sejam satisfeitas. Em outras palavras, |Bφ /Bz | ∼ 1. Isto só será satisfeito se
a acreção for ∼ supersônica; ms ∼ 1. As soluções auto-consistentes, que levam estes
pontos em consideração, levam a estruturas de discos que, em suas partes mais internas, são substancialmente distintas daqueles discos padrões, sem ejeção. Este ponto é
melhor discutido no final do Captulo 4, quando comparamos nossos resultados com os
de Combet & Ferreira.
Em resumo, discos magnetizados com ejeções controladas por campos magnéticos têm
sua estrutura alterada de forma considerável, quando comparada com as soluções de disco
“padrão”, ou disco α.
72
APÊNDICE A
Discos mais finos nas regiões internas podem ter zonas mortas menores (o disco, em
raios internos, pode não ser opticamente espesso à radiação da estrela central), conforme
discutido por Combet & Ferreira. Isto pode interferir na atuação da instabilidade MR. E
tem consequências diretas para a formação planetária. Esta discussão, embora fundamental,
foge ao escopo do presente trabalho.
Apêndice B
Limite Para Discos Finos
As equações que definem a Física dos discos de acreção estudados neste trabalho, em
particular, as condições para os discos finos, são demostradas aqui. O equilíbrio hidrostático
para um disco espesso na direção z é dado por:
i
∂ h
GM
1 ∂P
=
ρ ∂z
∂z (R2 + z 2 )1/2
onde,
1→
−
→
−
g = − ∇P
ρ
que aproximamos para:
a≈−
1 ∂P
ρ ∂z
→
−
→
−
sendo F = − ∇U , a aceleração também pode ser dada por:
1→
−
→
−
g = − ∇U
m
onde, U = −GM m/(R2 + z 2 )1/2 , e seu gradiente na direção z é:
∂U
GM m
=
z
2
∂z
(R + z 2 )3/2
73
(B.1)
74
APÊNDICE B
que aproximamos para:
a≈−
(R2
GM
z
+ z 2 )3/2
Quando consideramos os discos finos, fazemos a aproximação onde z << R, assim:
Lim(z<<R)
GM
GM
GM
z
=
z
=
z
(R2 + z 2 )3/2
(R2 )3/2
R3
(B.2)
Com isso, lembrando que Ω2 = GM/R3 , das equações B.1 e B.2, temos:
1 ∂P
= −Ω2 z.
ρ ∂z
Esta é a aproximação do equilíbrio hidrostático para discos finos, onde sua altura é bastante
pequena quando comparada ao raio do disco.
O Fluxo de Energia.
O fluxo de energia é dado, em uma superfície, por:
9
Q+ = νΣΩ2
8
e
9
Q− = νΣΩ2
8
que através do sinal representa o fluxo na superfície superior e inferior do disco (ver Figura
B.1), que atravessa a espessura H. O fluxo total através da espessura do disco pode ser
considerado como seu gradiente ao longo de z, assim:
Ft
∂F
2Q+
≈
=
H
∂z
H
então,
LIMITE PARA DISCOS FINOS
75
Figura B.1: Fluxo em ambas as superfícies do disco.
9 Σ
∂F
= 2 × ν Ω2
∂z
8 H
mas,
massa
Σ
≡ρ=
H
area × altura
assim, temos a equação de energia para o sistema:
∂F
9
= νρΩ2 .
∂z
4
A densidade de energia, no campo de radiações, é σT 4 e a pressão de radiação é P =
(1/3)σT 4 , onde σ é a constante de Stefan-Boltzmann. Podemos derivar o fluxo de energia
em uma simples expressão, onde este está relacionado com o gradiente de temperatura local:
F =−
16σT 3 ∂T
3αR ∂z
Esta expressão corresponde a aproximação de Rosseland. A equação de transferência é dada
por:
dIν
= −αν (Iν − Bν ) − σν (Iν − Jν ) = −αν Iν + αν Bν − σν Iν + σν Jν
ds
(B.3)
76
APÊNDICE B
Figura B.2: Geometria para o plano dos raios.
que comparamos com:
Sν = Bν = Jν ,
(B.4)
onde Iν é a intensidade específica para frequência ν, ds é o diferencial do caminho percorrido
pela radiação, αν é o coeficiente de absorção, σν é o coeficiente de espalhamento, Bν é a função
de Planck, Jν é a intensidade média e Sν é a função fonte. Substituindo a expressão B.4 em
B.3 temos:
dIν
= −αν Iν + αν Sν − σν Iν + σν Sν = −(αν + σν )(Iν + Sν )
ds
(B.5)
Observando a Figura B.2 (extraído de Rybicki & Lightman 2004), temos as seguintes
condições:
cos θ =
dz
dz
; µ = cos θ; ds = .
ds
µ
(B.6)
Agora Iν depende de (z, µ). Aplicando a regra da cadeia temos:
d
dz d
=
ds
ds dz
(B.7)
Como analisamos apenas na projeção z, a derivada total pode ser escrita parcialmente em
77
função de z da forma:
∂I(z,µ)
∂I(z,µ)
dz +
dµ
∂z
∂µ
(B.8)
∂I(z,µ) dz ∂I(z,µ) dµ
dI
=
+
ds
∂z ds
∂µ ds
(B.9)
dI =
Dividindo a expressão B.8 por ds:
onde dz/ds = µ e dµ/ds = 0, e substituindo B.7 em B.9 temos:
∂I(z,µ)
dI
=µ
ds
∂z
(B.10)
Agora, substituindo B.10 em B.5:
µ
∂I(z,µ)
= −(αν + σν )(Iν + Sν )
∂z
(B.11)
Substituindo Iν por Iν (z, µ) na expressão B.11 temos:
Iν (z, µ) = Sν −
∂I(z,µ)
µ
αν + σν ∂z
(B.12)
Chegando neste ponto, podemos considerar que a intensidade dentro do material muda
bem lentamente, assim, a derivada na expressão B.12 é pequena, de modo que ∂I(z,µ) /∂z = 0.
Dessa forma, escrevemos isto como uma aproximação de ordem zero da forma:
Iν(0) (z, µ) ≈ Sν(0) (T )
(B.13)
Considerando a expressão B.4 em B.12 podemos seguir para uma aproximação de ordem
(0)
um, onde Sν = Bν e Iν ≈ Bν (T ), então a expressão B.12 fica da seguinte forma:
Iν(1) (z, µ) = Bν −
µ
∂Bν
αν + σν ∂z
(B.14)
Agora caminhamos para o cálculo do fluxo:
Z
Fν =
Iν(1) (z, µ) cos θdΩ
(B.15)
78
APÊNDICE B
onde dΩ = sin θdθdφ ou dΩ = 2π sin θdθ, como dµ = − sin θdθ, dΩ = −2πdµ, e substituindo
este último na expressão B.15 temos:
Z
Iν(1) (z, µ)µdµ
Fν = −2π
(B.16)
Como θ vai de 0 → π, ver Figura B.2, µ = cos θ vai de 1 → −1, que podemos aplicar na
expressão B.16:
Z
−1
Iν(1) (z, µ)µdµ
Fν = −2π
Z
1
= 2π
Iν(1) (z, µ)µdµ
(B.17)
−1
1
Substituindo a expressão B.14 em B.17 podemos trabalhar da seguinte forma:
Z
1
[Bν −
Fν = 2π
−1
Z
µ
∂Bν
]µdµ,
αν + σν ∂z
1
Z
1
µdµ = 0) −
Fν = 2π[(Bν
−1
−1
−2π ∂Bν
Fν =
(
αν + σν ∂z
Z
(B.18)
µ2 ∂Bν
dµ],
αν + σν ∂z
1
µ2 dµ = 2/3).
−1
que por fim:
Fν =
−4π
∂Bν (T )
3(αν + σν ) ∂z
(B.19)
Utilizando novamente a regra da cadeia, agora sobre a expressão B.19, temos:
Fν =
−4π
∂Bν (T ) ∂T
3(αν + σν ) ∂T ∂z
(B.20)
este é o resultado para o fluxo monocromático. Para o fluxo total, este é integrado sobre
todas as frequências como:
Z
F (z) =
∞
Fν dν
0
(B.21)
79
que reescrevemos como:
∞
Z
−4π
∂Bν (T ) ∂T
dν
3(αν + σν ) ∂T ∂z
F (z) =
0
onde,
−4π ∂T
F (z) =
3 ∂z
Z
∞
1
∂Bν (T )
dν
(αν + σν ) ∂T
(B.22)
Z ∞
∂B
∂
∂Bν
Bν dν = B) =
dν =
(
∂T
∂T 0
∂T
(B.23)
0
Agora consideremos o seguinte:
Z
0
∞
Temos que B(T ) = acT 4 /4π (ver equação 1.42 em Rybicki & Lightman 2004), além disso,
ac/4 = σ, onde σ é a constante de Stefan-Boltzmann, assim:
∂B
4acT 3
acT 3
4acT 3
4σ 3
=
=
=
=
T
∂T
4π
π
π4
π
(B.24)
substituindo a expressão B.24 em B.23:
Z
∞
0
∂Bν
4σ 3
dν =
T
∂T
π
(B.25)
Por último caso, o coeficiente de absorção média de Rosseland é dado por:
1
=
αR
R∞
0
ν
(αν + σν )−1 ∂B
dν
R ∞ ∂Bν ∂T
dν
∂T
0
(B.26)
substituindo a expressão B.25 em B.22 e depois em B.26, finalmente a Aproximação de
Rosseland para o fluxo de energia:
F (z) = −
16σT 3 ∂T
.
3αR ∂z
A Equação de Estado.
A equação de estado que nos permite obter a temperatura com base no valor da pressão,
é dada por:
80
APÊNDICE B
P = nkT
e o número de partículas por volume n, é:
n=
ρ
µmH
onde, µ é o peso molecular, mH é a massa de uma partícula (com relação a massa do próton,
mp ), assim:
P =
ρkT
.
µmH
Desta forma, ficam aqui demonstradas as equações utilizadas para obter soluções para
discos de acreção, em particular, com aproximação para discos finos.
B.0.3
Condições de Contorno
Aqui vamos demonstrar as aproximações feitas para obter as equações 3.1, 3.2 e 3.3
do Capítulo 3, que são as condições de contorno assumidas no nosso modelo, retiradas do
trabalho de Papaloizou & Terquem (1999).
Para determinar a pressão na superfície Ps , reescrevemos a equação 2.1 da seguinte forma:
dP
Ω2 z
=−
,
dτ
κ
onde τ (z) =
Rz
0
(B.27)
ρκdz é a profundidade óptica. Integramos a pressão com respeito a τ , da
superfície do disco até o infinito, onde a pressão é zero, que escrevemos como:
Z
τ (∞)
Ps =
τ (H)
Ω2 z
dτ.
κ
(B.28)
A superfície do disco é definida de modo que a atmosfera acima do disco é isotérmica.
A densidade de massa ρ acima do disco varia com exp[−Ω2 (z 2 − H 2 )/(2Cs2 )], onde Cs é a
velocidade do som (constante na atmosfera). A principal condição para integral da equação
81
B.28 vem do valor de z que a partir de H ainda se estende a uma pequena variação de
Cs /Ω (que possui unidades de comprimento) acima, mas que é significativamente menor que
H. Assim, podemos avaliar nossa integral com bastante precisão, tomando Ω2 z e κ como
constantes e com seus respectivos valores na superfície:
Ps =
onde τab =
R∞
H
Ω2 Hτab
,
κs
(B.29)
dτ é a pronfudidade óptica acima do disco.
Calculemos agora a temperatura na superfície Ts . O fluxo radiativo na superfície do disco
pode ser escrito da seguinte forma:
Fs = F+ − F− ,
(B.30)
onde F+ é o fluxo radiativo na direção vertical, para cima, no sentido positivo de z e F− é
o fluxo, para baixo, no sentido negativo. Em outras palavras, F+ vem de dentro do disco e
F− vem da região acima do disco. O fluxo F− pode ser escrito em termos da temperatura
de fundo (Tb ), a qual circunda o disco, de modo que F− = σTb4 . E com base na equação 3.3
e B.30, reescrevemos:
F+ =
3
Ṁacc Ω2 + σTb4 .
8π
(B.31)
O fluxo F+ também pode se obtido de outra forma, com base na densidade de energia
na superfície do disco que é dada como:
2
Es = (F+ + F− ),
c
(B.32)
de acordo com a equação de energia temos:
∇.F = ρκc(aT 4 − E),
(B.33)
onde F é o vetor que representa o fluxo de energia radiativa, E é a densidade de energia,
c é a velocidade da luz e a = 4σ/c é a constante de radiação. Para aproximação de discos
finos, o gradiente de temperatura na direção vertical é muito pequeno, com relação a direção
82
APÊNDICE B
radial, de modo que ∇.F ≈ ∂F/∂z. Com base na equação 2.2 e F− = σTb4 , que substituimos
em B.32 e B.33, reescrevemos o fluxo para superfície do disco como:
F+ = 2σTs4 − σTb4 −
9α(Cs2 )s Ω
,
8κs
(B.34)
de forma que ν já está escrito em termos de α conforme equação 2.7 no Capítulo 2. Igualamos
os termos no lado direito das equações B.31 e B.34 e obtemos a equação para Ts , expressa
como:
2σ(Ts4
−
Tb4 )
9α(Cs2 )s Ω
3
−
−
= 0.
8κs
8π Ṁacc Ω2
(B.35)
Apêndice C
Estrutura do modelo
Para obtenção das soluções, Souza & Cerqueira (2008) construíram um código numérico:
o Accdisk, que foi validado de acordo com os perfis apresentados em PT99 para distribuição
de densidade superficial ao longo do raio, temperatura no plano médio e escala de altura
H/R. Neste Apêndice falaremos a respeito da estrutura do código e de como são organizadas
as soluções obtidas neste trabalho.
Por meio de uma população diversificada, indivíduos que representam as estimativas da
altura do disco são restritos por um intervalo de valores aceitáveis, que foram encontrados
empiricamente durante a construção do modelo. O algorítmo é então direcionado a um espaço de busca ideal, que dentro desse espaço deve encontrar o valor ótimo para a estimativa
da altura do disco (Souza 2008b). A estrutura básica de um algorítmo genético possui os
seguintes parâmetros: população inicial, seleção, reprodução e mutação de indivíduos candidatos à solução, e isto se repete em um ciclo a cada iteração (geração). Este modelo resolve
o sistema de equações diferenciais do disco por meio de uma função principal ou função
objetivo e reproduz como resultado, valores (da temperatura no plano médio do disco, da
pressão, da densidade superficial e escala de altura) que correspondem às condições físicas
do disco no estado estacionário.
O comportamento da função principal é descrito a seguir: para obtermos a solução para
um disco de acreção usando um α constante precisamos inserir algumas entradas (aqui vamos
nos referir ao exemplo do modelo inicial, antes das modificações por α(R). Dado um raio
inicial R (em unidades astronômicas), um valor para taxa de acreção de massa Ṁacc (em
unidade de massas solares por ano) e o parâmetro α (de Shakura & Sunyaev), resolvemos as
três equações diferenciais ordinárias de primeira ordem (equações 2.1, 2.2 e 2.3) em função
83
84
APÊNDICE C
de z, desde que se conheçam as condições de contorno a cada raio (as quais são calculadas
explicitamente através das equações 3.1 , 3.2 e 3.3). No algorítmo da função principal, a fim
de encontrar a dependência das variáveis de estado em z, primeiro calculam-se as condições
de contorno para o fluxo da superfície Fs e a temperatura da superfície Ts , respectivamente.
Para definir as condições da temperatura Ts (ver Tabela 3.1). A integração inicia-se quando
estimamos um valor para z ou altura inicial do disco H, esta altura é ajustada iterativamente,
e então calculamos Ps . Sabemos que as equações diferenciais da temperatura e da pressão
dependem de ρs . Então obtemos ρs dos valores encontrados para as condições de contorno
Ps e Ts . Obtido o valor de ρs , as equações diferenciais são integradas desde z = H até z = 0.
Desse momento em diante, sempre será necessário calcular ρ com seus valores atualizados
para integrar as equações novamente. Também, quando z = 0 e F ≈ 0 para uma dada
precisão especificada, dizemos que o valor da altura H é um valor ótimo ou aceitável e que
satifaz uma solução.
A implementação do algorítmo genético neste código tenta impor o máximo de desvio
sobre o valor da altura inicial (na relação H/R ≈ 0.1) para obter as soluções desejadas.
De forma simples, a estrutura do algorítmo é definida como: 1) geração de uma população
inicial aleatória, onde os indivíduos devem pertencer ao espaço de busca desejado; 2) função
que avalia a aptidão dos elementos da população inicial; 3) seleção elitista dos pais eleitos ao
processo de reprodução, por cruzamento e mutação; 4) criação dos descendentes a partir da
função de cruzamento; 5) probabilidade de ocorrência de mutação a cada um dos filhos da
fase de cruzamento; 6) checagem dos critérios de adequação, o número de geração, precisão
do melhor elemento gerado, se existe ou não um espaço de convergência para tal e o desvio
padrão entre os participantes da nova população. A estrutura do algorítmo é representada
na Figura C.1.
Como dito, os parâmetros referentes ao algorítmo genético contidos dentro do programa
são:
POPULATION-SIZE: a quantidade de elementos permitida por população;
GENERATION-SIZE: número máximo de gerações permitdas de uma população;
OFFSPRING-SIZE: número exato de descendentes que devem ser produzidos durante a
operação de cruzamento;
ESTRUTURA DO MODELO
85
Figura C.1: Fluxograma do modelo.
CROSSOVER-RATE: a taxa de ocorrência da operação de cruzamento, ou seja, o valor
percentual correspondente à probabilidade de ocorrência de cruzamento entre os pais. Em
particular, este valor é de 100%;
MUTATION-RATE: a taxa de ocorrência da operação de mutação, ou seja, o valor
percentual correspondente à probabilidade de ocorrência de mutação em algum dos elementos
provenientes da nova população, pós-etapa de cruzamento.
Quanto ao desempenho do algorítmo genético na obtenção das soluções (ver, Souza
2008b), o tempo foi reduzindo de (∼ 10) horas para cálculos feitos com taxas de acreção de
10−6 M /ano e ∼ 2 horas para taxas de 10−9 M /ano, para apenas segundos, cerca de 3,38
segundos e 0,67 segundos para as respectivas taxas. Ressaltando, isto está condicionado a
ambientes em paralelo, capacidade de processamento da máquina e memória RAM disponível (neste caso foi usado 8 nós, com 2.66 GHz cada núcleo e 16 GB de memória RAM).
Já para ambientes em série, a redução é de (∼ 5) dias para apenas (∼ 6) horas usando o
algorítmo genético.
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Soluções Numéricas de Discos de Acreção

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