Matematiikan sanallisen tehtävät – Tehtävän ymmärrys

Transcription

sanalli
Matematiikan sanalliset tehtävät TEHTÄVÄN YMMÄRRYS Toim. Teija Laine, Turun Matikkamaa
1 •  LUKIJALLE ”Matematiikan oppimisen voima on siinä, että osaa käyttää matematiikkaa hyödykseen.” (Riley, Greeno ja Heller1983, 159) ”Eripuolilta maailmaa saadut tutkimustulokset viittaavat siihen, että koulussa opittu matemaattinen ongelmanratkaisu helposti mekanisoituu ja sulkee ulkopuolelleen arkipäivän tiedon käytön. Monista oppilaista on täysin järkevää antaa vastaukseksi 2,5 linja-‐autoa tehtävään, jossa kysytään tietyn henkilömäärän kuljettamiseen tarvittavien linja-‐autojen määrää.” ”-‐ Mä en oikeen tiiä, et kerronko mä vai jaanko sen? …On se ehkä sit kertolasku… Tää on oikeestaan aika vaikee…” Sanallisten tehtävien käyttö matematiikan opettamisen osana on ollut aktiivisen tutkimuksen kohteena viimeksi
kuluneiden parin vuosikymmenen aikana. Sanallisessa muodossa esitettävien matemaattisten ongelmien
käyttö opetuksessa ei kuitenkaan ole uusi asia, vaan niitä on käytetty jo pitkään. Itse asiassa esimerkiksi
suomalaisen kansakoulun matematiikan opetuksessa hyvinkin käytännöllisillä arkipäivän toimiin liittyvillä
sanallisilla tehtävillä oli suuri merkitys jo viime vuosisadan alkupuolella. Tutkimus on nostanut esiin monia
kysymyksiä, joihin matematiikan opetuksen kehittämisessä tulisi kiinnittää huomiota.
Matematiikan sanallisten tehtävien on nähty kuuluva itsestään selvänä osana matematiikan opetukseen ilman,
että opetussuunnitelman laatijoilla, oppikirjan tekijöillä tai opettajilla on selvää käsitystä siitä, mitä sanallisilla
tehtävillä tavoitellaan. Jos näiden tehtävin käytön tarkoitus olisi selvästi muotoiltu, niin opettajien olisi paljon
helpompi miettiä sitä, miten ja millaisia sanallisia tehtäviä tulisi opetuksessa käyttää. Ei ole järkevää yrittää
löytää yhtä tavoitetta sanallisten tehtävien käytölle, vaan asiaa kannattaa tarkastella useammasta
näkökulmasta. Yleisemmin esitetty perustelu sanallisten tehtävien käytölle on se, että niiden avulla voidaan
opetella ongelmanratkaisutaitoa, joka nähdään keskeisenä niin sanottuna yleisenä taitona, jota ihmisiltä
nykyisin ja varsinkin tulevaisuudessa vaaditaan. Sanallisten tehtävien kautta voidaan myös rakentaa siltaa
puhtaan luvuilla ja symboleilla harjoitettavan koulumatematiikan ja matemaattisen tiedon käytännöllisen
soveltamisen välille. Tämä on erityisen tärkeää senkin vuoksi, että siirryttäessä peruslaskutoimituksista
vähänkään monimutkaisempiin matematiikan sisältöihin, niin opettajilla on usein vaikeuksia vastata oppilaiden
kysymyksiin siitä, mihin tätä tarvitaan. Pelkästään numeerisia (mekaanisia) tehtäviä käytettäessä oppilailla voi
muodostua varsin rajoitettu ja jäykkä tulkinta matemaattisista operaatioista. Sanalliset tehtävät voivat
olennaisesti tukea joustavien ja erilaisiin tilanteisiin helposti sovitettavien matemaattisten taitojen kehittymistä.
Kiinnostavat sanalliset tehtävät voivat myös vahvistaa motivaatiota oppia matematiikkaa.
Eri puolilla maailmaa toteutetut tutkimukset kuitenkin viittaavat siihen, että mahdollisuudet vastata tällaisiin
yleisempiin oppimistavoitteisiin sanallisten tehtävien avulla ei ollenkaan aina toteudu. Sanalliset tehtävät eivät
olekaan oppilaita motivoivia ja koulumatematiikkaa käytäntöön kytkeviä, vaan jopa pelättyjä ja inhottuja
tehtäviä, joita on pakko suorittaa. Valtaosa oppikirjoissa käytetyistä tehtävistä on sellaisia, että niiden
tavoitteenakaan ei ole ollut edellä esitettyjen yleisten tavoitteiden saavuttaminen, vaan juuri opiskeltujen
Toim. Teija Laine, Turun Matikkamaa
2 matemaattisten operaatioiden mekaaninen hajaannuttaminen. Tämä puolestaan on totuttanut oppilaat (ja
mahdollisesti vähän opettajatkin) suhtautumaan sanallisiin tehtäviin siten, ettei niissä ole mitään ymmärtämistä
vaativaa ongelmaa. Tärkeintä on poimia tehtävästä luvut ja suorittaa niillä se operaatio, jota juuri harjoitellaan.
Esimerkiksi aritmeettisia operaatioita harjoitettaessa korostetaan usein nopeaa suoritusta. Ajatuksena on, että
oppilaalle kehittyy muistivarasto, josta saa suoraan palautettua aritmeettisten operaatioiden tulokset ilman,
että operaatiota joutuu suorittamaan mielessään vaiheittain. Tämä on sinänsä tärkeä matematiikan opetuksen
tavoite, mutta ongelmallista on, jos nopean suorituksen odotus siirtyy myös sanallisiin tehtäviin.
Perinteinen ajattelu sanallisten tehtävien ratkaisusta on lähtenyt siitä, että kun oppilas lukee huolellisesti
tehtävän hän voi sen perusteella muodostaa suoraan tarvittavan ratkaisulausekkeen. Tutkimus on kuitenkin
tuonut voimakkaasti esille sen, että ennen minkään matemaattisen operaation tai lausekkeen muotoilemista
on olennaista muodostaa selkeä kuva siitä, mitä tehtävän kuvaamassa tilanteessa konkreettisesti tapahtuu.
Vasta tällaisen tilannemallin pohjalta on mahdollista päätellä, millaisilla matemaattisilla operaatioilla kyseinen
tehtävä on ratkaistavissa. Konkreettisen tilannemallin luominen ennen ratkaisua auttaa myös arvioimaan
millaiset tulokset ovat mahdollisia tai järkeviä. Alussa mainittujen sanallisten tehtävien yleisten tavoitteiden
kannalta tärkeää onkin saada oppilaat pysähtymään ja ajattelemaan sitä, mistä tehtävässä on kysymys.
Samalla tavalla tehtävän matemaattisen suorituksen jälkeen pitäisi palata tilannemalliin ja miettiä onko saatu
ratkaisu järkevä. Jos laskutehtävien toteutuksen jälkeen saa tulokseksi, että pullataikinaan tarvitaan 3
grammaa jauhoja tai että 4 lapsen jäätelöannokset maksavat 15000 euroa, niin tilannemallin perusteella voi jo
heti nähdä, että laskuissa meni jotain pieleen. Laskutoimitukset voivat antaa tulokseksi, että luokkaretkeläisten
kuljettamiseen tarvitaan 3,5 linja-autoa. Tilannemallin perusteella on selvää, että laskutoimituksen tulos voi olla
oikein mutta se ei kuitenkaan ole järkevä vastaus, vaan käytännössä retkeläisten kuljettamiseen tarvitaan 4
linja-autoa.
On kuitenkin vaikea opettaa oppilaille syvällisempää ongelmanratkaisua ja tilannemallin luomisen tärkeyttä, jos
tarjolla on vain yksinkertaisia mekaanisten tehtävien harjoitteluun tarkoitettuja sanallisia tehtäviä. Siksi onkin
tärkeää, että opettajilla on käytössään monipolvisempia ja todellisista käytännön tilanteista kumpuavia
tehtäviä. Toisaalta esimerkiksi oppikirjoissa valmiina olevia tehtäviä on mahdollisuus rikastaa lisäämällä niihin
ongelmanratkaisua monipuolistavia ja tehtävien kiinnostavuutta lisääviä elementtejä. Mekaanisessa
laskutoimitusten harjoittelussa tehtävien suurella määrällä on merkitystä. Sen sijaan syvällisempää
ongelmanratkaisua voidaan harjoitella paljon vähäisemmällä määrällä tehtäviä, joihin keskitytään kunnolla. Jos
opettajilla on käytettävissään käytännön koulutilanteissa kehitettyjä ja testattuja vaativampia tehtävätyyppejä,
niin niistä saatavien ideoiden perusteella on helppo laatia myös omia tehtäviä. Hyviä kokemuksia on saatu
myös siitä, että vaativampia sanallisia tehtäviä tehdään yhdessä oppilaiden kanssa. Yhteinen tehtävien
laadinta tuo konkreettisesti esille tilannemallin tärkeyden, koska tällaisia tehtäviä laadittaessa tehdään ensin
ikään kuin tapahtumien käsikirjoitus ja sitä täydennetään niillä numeerisilla arvoilla, joita tarvitaan tehtävän
ratkaisuun liittyvissä laskutoimituksissa.
Käsillä oleva materiaali on syntynyt hyvin käytännöllisen kehittämistyön yhteydessä. Sen tarkoituksena on
antaa opettajille vihjeitä siitä, miten matematiikan sanallisen tehtävät voitaisiin saada palvelemaan nykyistä
paremmin sekä matematiikan että yleisen ongelmanratkaisun oppimista.
Erno Lehtinen
Akatemiaprofessori
Turun yliopisto
3 Ongelmakeskeinen lähestymistapa tarjoaa monipuolisen keinon kehittää oppilaan ajattelua ja luovuutta.
Arkipäivän elämään liittyvät ongelmat ja niiden ratkaisuteiden etsiminen ovat vaarassa hävitä
koulumatematiikasta. Arkiajattelun käyttämisestä koetaan nykyään usein olevan enemmänkin haittaa kuin
hyötyä, kun suoritetaan matematiikan tehtäviä. Kuitenkin juuri silloin matematiikka tuntuu meistä hyödylliseltä,
kun sitä voidaan soveltaa tiettyihin ongelmatilanteisiin. Matematiikan voima on siinä, että osaa käyttää sitä
hyödykseen.
Useissa tutkimuksissa on todettu, että matematiikan oppikirjojen stereotyyppiset sanalliset ns.
ongelmatehtävät eivät aktivoi oppilaita syventymään ongelmanratkaisuprosessiinsa. Niiden seurauksena
oppilaat oppivat käyttämään pinnallisia strategioita ja sulkemaan arkiajattelunsa pois silloin, kun aletaan
ratkaista matematiikan tehtäviä.
Matematiikan sanallisissa ongelmissa toimintastrategian luominen ja sen ylläpitäminen katsotaan hankalaksi
asiaksi. Oppilaan pitää pystyä luomaan annetusta tekstistä tilannemalli, joka sisältää tekstin informaation
pohjalta tehtyjä päätelmiä ja on näin esitys tekstin sisällöstä. Voidaan olettaa, että mitä tarkemmin ongelma on
tekstissä kuvailtu, sitä helpompaa on oppilaiden rakentaa siitä toimiva tilannemalli.
Konkreettisen materiaalin käytön tai piirrosten ja taulukoiden tekemisen on todettu auttavan
ongelmanratkaisussa, mutta useimmat oppilaat eivät käytä piirtämistä apunaan, ellei sitä erikseen vaadita.
Monet oppilaat eivät käytä apunaan strategioita, kuten piirtämistä, ongelman osittamista, helpommilla
numeroilla ongelman ratkaisemista tai arvausta, tarkistusta ja korjaamista. Heidän ongelmanratkaisutapansa
jää pinnalliseksi. Oppilas vilkaisee pikaisesti ongelmaa, päättää nopeasti, mitä laskutoimituksia pitää tehdä
annetuilla numeroilla ja suorittaa laskutoimitukset harkitsematta muita vaihtoehtoja - vaikka edistystä ei
tapahtuisikaan.
”- Mä en oikeen tiiä, et kerronko mä vai jaanko sen? …On se ehkä sit kertolasku… Tää on oikeestaan aika
vaikee…”
Oppilailla on usein tietoja ja taitoja, joihin he eivät pääse käsiksi tai eivät muuten käytä silloin, kun niitä
tarvittaisiin ongelman ratkaisemiseksi. Oppilaita pitäisi siis ohjata tekemään oikeita valintoja ja tarkkailemaan
tietoisesti omaa ajatteluaan. Ongelmanratkaisutaitojen monipuolinen opettelu parantaa myös yleisesti
arkielämässä välttämätöntä ongelmanratkaisukykyä. Tämän julkaisun lopussa emeritusprofessori Erkki
Pehkonen kertoo kuinka japanilainen avoin lähestymistapa keskittyy luovuuden kehittämiseen matematiikanopetuksen puitteissa. Siinä ei ole keskeistä ongelmatehtävien ratkaiseminen, vaan mahdollisimman monen
erilaisen ratkaisukeinon löytäminen, ts. luovuuden kehittäminen matematiikan opetuksen puitteissa.
Turun Matikkamaa järjesti opettajille keväällä 2013 yhdessä akatemiaprofessori, Erno Lehtisen kanssa,
”Sanallisten ongelmatehtävien koulutus” – sarjan. Tuotoksena tästä kurssista on tämä, Turun Matikkamaan
sivuilta löytyvä, vapaasti kopioitava, "Matematiikan sanalliset tehtävät - TEHTÄVÄN YMMÄRRYS" - kooste.
Mainitun kurssin tavoitteena oli tukea opettajia pohtimaan ja ohjaamaan, miten oppilas voisi esittää oman
ratkaisuprosessinsa laskemalla osissa, mallittaen sekä ohjata opettajia arvioimaan sanallisen
ongelmatehtävän prosessia – pelkän laskulausekkeen sijasta.
Tämä kurssi sai hyvän palautteen ja sitä toivottiin lisää. Erään opettajan kommentti: "Kurssin jälkeen osasin
ohjata oppilaitani mallittamaan ja laskemaan sanallisia tehtäviä osissa. Erään oppilaan numero nousi kahdella,
kun nyt huomasin, että hän ymmärtääkin matematiikkaa erittäin hyvin!" Matematiikka-ahdistuksesta puhutaan
paljon. Laskulausekkeen tekeminen voi olla haasteellista. Oppilaiden systemaattinen ohjaaminen sanallisen
ongelmanratkaisuprosessin vaiheittaiseen mallittamiseen, antaa työkalut oppilaalle selvitä hankalaltakin
tuntuvista tehtävistä. Projektistamme oli kiinnostunut myös väitöskirjantekijä Nonmanut Pongsakdi, joka sai
väitökseensä materiaalia kurssilta.
4 Tämän kokoelman tarkoituksena on siis antaa opettajille keinoja ohjata oppilaita systemaattiseen
matematiikan sanallisten tehtävien tekemiseen. Mukana on myös haasteellisia ongelmatehtäviä, joita voidaan
ratkaista opettajan johdattelulla tai parityönä. Suurin osa tehtävistä on tarinamuodossa. Tällaisia tehtäviä ei
löydy matematiikan oppikirjoista. On tarpeellista tuoda tämä tehtävätyyppi opetukseen mukaan. Tällä tavalla
pyritään myös kehittämään oppilaan matemaattista ajattelua.
Idea tähän vihkoseen syntyi keväällä 2011 Turun kesäyliopiston ja Turun Matikkamaan järjestämällä, suuren
suosion saaneella, ”Matemaattisen ajattelun kehittämisen keinot” – koulutussarjalla, jossa kiinnostavasti
luennoivat Professori, emeritus Erkki Pehkonen, Helsingin yliopistosta; professori, akatemiaprofessori Erno
Lehtinen, Turun yliopistosta sekä FT, matematiikan didaktiikan lehtori Jorma Joutsenlahti, Tampereen
yliopiston opettajankoulutuslaitokselta. Vielä on syytä esittää suuri kiitos heille! Julkaisun lopussa on
materiaaleja näiltä luennoilta, jotka luennoitsijat ovat ystävällisesti antaneet laittaa mukaan.
Erityiskiitos myös Opetushallitukselle, jonka tukemana tämän tekeminen mahdollistui!
Vielä suuret kiitokset kaikille opettajille ja oppilaille, jotka ovat osallistuneet näiden tehtävien laatimiseen.
Lukijalle tiedoksi, että monet tehtävät, kuten Volkanin elokuvareissu ja Amandan matka Sveitsiin, ovat oikeasti
tapahtuneet juuri esitetyn kaltaisina. Siis todellista arkielämän matikkaa!
Tämä sanallisten ongelmatehtävien paketti löytyy osoitteesta:
http://info.edu.turku.fi/matikkamaa/noflash.php?sivu=materiaalit
Toivon kaikille onnistumisen iloa ja mukavia oivalluksia!
Seikkailu alkakoon!
Teija Laine
Luokanopettaja
Turun Matikkamaan kouluttaja
KUVIO Matemaattisen mallintamisprosessin esitys (Verschaffel, Greer & De Corte 2000, 12), johon on lisätty oppilaiden
ongelmanratkaisuprosessin oletettu kulku (Laine 2001)
5 •  SISÄLLYS Sivu
Opettajalle
7
Strategioita
9
Osissa laskeminen – ”resepti”
10
Tehtäviä
11
Arvioinnista
37
PROFESSORIT – ”Matemaattisen ajattelun kehittyminen”
41
Kuva ”AITATEHTÄVÄN” alkuperäisestä aidasta.
6 1 •  OPETTAJALLE TÄRKEÄÄ ONGELMANRAKAISUN OPETTAMISESSA:
-
Ratkaistaan osissa – luetaan tekstiä ja pysähdytään heti, kun tulee uusi tieto.
§ Mietitään, onko tieto tarpeellinen ratkaisun kannalta?
§ Poimitaan tarpeelliset tiedot osissa.
§ tarkka lukeminen, tietojen keräys ja kysymys
§ omin sanoin tilanteen kuvailu
§ arviointi ennen laskemista
-
Piirros – Opettaja kannustaa oppilaita mallittamaan tehtävän aina, kun se on mahdollista.
§ On hyvä tutkia erilaisia tapoja mallintaa sama tehtävä.
§ Millainen malli auttaa tehtävän ratkaisemisessa?
• Hyvässä mallissa on selkeästi esillä kaikki tehtävässä annettu tieto.
-
Lauseke lopuksi – Oppilas voi olla ymmärtänyt tehtävän täysin oikein, vaikka ei ole pystynyt
muodostamaan ratkaisustaan lauseketta. Piirros ja osissa ratkaiseminen kertovat, mitä on ymmärretty
oikein.
o Lasketaan eri tavoin sama lasku (Mietitään, millä muulla tavoilla ongelman olisi voinut
ratkaista = harjoitellaan strategioita)
-
Kannustava arviointi – Oppilas saa pisteitä myös onnistumisesta.
o ks. osio ”Ongelmatehtävän arvionti”
7 Toim. Teija Laine, Turun Matikkamaa
8 2 •  STRATEGIAT– harjoiBeluosa Matematiikan tutkijat Verschaffel, L. et al. (1999, 202) ja Charles, Lester&O´Daffer (1992, 10)
nimesivät oppilaiden ongelmanratkaisussaan käyttämiä ratkaisunetsimiskeinoja. Seuraava
strategialista on tehty mukaillen näistä:
•
•
•
•
•
•
tarpeellisen tiedon erottelu tarpeettomasta
piirros
organisoitu lista, taulukko
arkitiedon käyttö
helpomman ongelman kautta (Muuta numerot helpoiksi ja löydä kaava)
arvaa, tarkista, korjaa
•
•
•
•
•
•
taaksepäin työskentely
kaavan etsiminen
looginen päättely
operaation valinta
laskulauseke
järjestelmällinen kokeilu.
Koulussa esitettävät matemaattiset ongelmat ovat yleensä luonteeltaan muodollisia ja
tilannevapaita, kun taas arkielämässä esiintyvät ongelmat ovat enemmän epämuodollisia ja
tilanneriippuvaisia. Tästä johtuen erilaiset ongelmatyypit myös aktivoivat oppilaat käyttämään
erilaisia strategioita (Verschaffel, De Corte&Lasure 1994, 274.)
Oppilaille on tarpeellista tarjota haastavampia, monivaiheisia ongelmatehtäviä, jos
halutaan kehittää heidän matemaattista ajatteluaan ja strategiataitojaan. Tällaisia
sanallisia tehtäviä on alakoulun oppikirjoissa tarjolla liian vähän.
Lapsen saatavilla oleva tieto vaikuttaa siihen, mitä ratkaisumenetelmiä hän käyttää. Tuskin lapsi
käyttää eteenpäin laskemisen menetelmää ennen kuin hänellä on edes yksinkertainen käsitys
määristä. On mahdotonta suhteuttaa kahta numeroa toisiinsa, elleivät itse numerot ole kiinteästi
lapsen mielessä. Siis oppilaan matemaattisen kypsymisen taso vaikuttaa siihen, mitä menetelmiä
hän voi apunaan käyttää.
TÄMÄN KOOSTEEN TEHTÄVÄT VOIDAAN TULOSTAA SELLAISENAAN OPPILAIDEN RATKAISTAVIKSI.
VALMIS ASETTELU OHJAA LASKEMAAN OSISSA JA MALLITTAMAAN ANNETUN TILANTEEN
9 3 •  Osissa laskeminen – ”RESEPTI” SANALLISEN TEHTÄVÄN RESEPTI
1. Lue TEKSTI
2. Tutki KYSYMYS
3. Lue UUDELLEEN ja pysähdy heti, kun tulee uusi tieto.
4. Poimi tarvittavat TIEDOT
5. Tee tehtävästä MALLI (piirros, taulukko…)
6. Tee LASKULAUSEKE ja LASKE
7. TARKISTA laskut (Onko tulos järkevä?)
10
4 •  TEHTÄVÄT -‐ osio Seuraavassa osassa on oppilaille suunnattuja tehtäviä. Ensimmäiset tehtävät ovat valmiiksi jäsennellyssä
muodossa. Niiden tarkoituksena on ohjata oppilaita laskemaan sanallinen tehtävä pienissä osissa, yksi asia
kerrallaan, kuten ’resepti’ ohjaa. Nämä tehtävät voidaan suoraan monistaa oppilaiden ratkaistavaksi. Tällaista
harjoittelua suosittelen tehtäväksi riittävän paljon läpi lukuvuoden, koska opettajan mallintaessa tehtäviä, hän antaa
strategioita oppilaiden käyttöön. Välillä oppilaiden on hyvä ratkaista tehtäviä pareittain (parit kannattaa valita
huolella, jotta kaikki saisivat onnistumisen kokemuksia) tai max. neljän ryhmissä. Oppilaiden erilaisten ratkaisujen
tutkiminen on kiinnostavaa puuhaa koko luokalle.
-
AIKAA PROSESSILLE:
Alla on esimerkki opetuskeskustelusta koko luokan kanssa. Tarinatehtävän ratkaisemien vaatii
aikaa. Laatu korvaa määrän. Vain 1-2 tällaista laskua oppitunnissa on sopiva vauhti. Ratkaisua
jopa tärkeämpi on prosessin kulun opetteleminen. Tämä kehittää myös loogista ajattelua.
-
INTEGROINTI ÄIDINKIELEEN:
Tällaisten tehtävien ratkaiseminen sopii hyvin myös äidinkielen tunnille. Kyseessä on tiivis
tekstinymmärrys, joka palkitsee ratkaisun saamisella. Oppilaan itsetunto kasvaa, kun hänellä on
keinot päästä lopputulokseen. Suosittelen, että opettajat käyttäisivät yhden äidinkielen oppitunnin
viikossa matematiikan sanallisten tarinatehtävien ratkaisemiseen. Tämä sopii myös S2-kielen
opetukseen.
-
”MATIKKA ON HAUSKAA!”
On ollut tämän kokoelman johtavana ajatuksena. Sanalliset tehtävät koetaan usein haasteellisina
ja niitä jopa pelätään. Työkalujen saaminen käyttöön avaa ymmärrystä ja antaa rohkeutta yrittää
itse. Näiden tehtävien myötä toivon oppilaiden ja miksei myös opettajienkin innostuvan sanallisista
tehtävistä ja kehittelemään niitä myös itse.
”PROFESSORIT PERUSTELEVAT”
Tämän kokoelman lopussa on kahden yliopiston professorin ja yhden tohtorin erittäin kiinnostavat
luennot liittyen matemaattisen ajattelun kehittymiseen ja kehittämiseen opetuksen kautta.
Suosittelen lukemaan ne.
RATKAISUMALLI KOKO LUOKAN KANSSA: (Taulu + oppilailla muistiinpanovälineet)
1. Opettaja lukee yhteen ääneen luokan kanssa tehtävän alusta loppuun asti pysähtymättä.
2. Keskustellaan, mistä tehtävässä on kysymys ja mitä halutaan tietää (= kysymys).
3. Luetaan tarina uudelleen, mutta nyt pysähdytään heti, kun tulee uusi tieto (vaikka kesken lauseen).
a. Merkitään syntyvään luetteloon uusi tieto ja ratkaistaan esiin tulevat laskut (varmistaen, että saatu
vastaus on järkevä)
b. Samalla rakennetaan mallikuvaa eli tilannemallia tehtävästä. (Voi olla piirros, luettelo, taulukko…)
c. Näin edetään loppuun asti tilannemallia täydentäen.
4. Lopuksi kerätään kaikki tiedot ja muodostetaan laskulauseke, jos sellaisen voi tehtävästä rakentaa.
5. Ratkaistaan kysymykset ja pohditaan, onko saatu tulos järkevä.
6. *) Lisätehtävänä voidaan miettiä, mitä muuta tarinatehtävästä voitaisiin kysyä tai miten ratkaisu
muuttuisi, jos jotain elementtejä tulisi lisää tai lähtisi pois. (Katso vinkkejä muunteluun professorien
luentosarjasta tämän kokoelman lopussa)
11
”REAL WORLD-PROBLEMS”
(eli oikeasti oppilaille sattuneet tosielämän tilanteet )
Oppilaiden tekemät tehtävät –osio
12
Volkanin ja kumppaneiden
elokuvareissu
(Teija Laine ja 5. luokka)
Volkan, Niklas ja Juho päättivät lähteä yhdessä elokuviin. Äiti antoi Volkanille 10 € ja hän otti itse omista rahoistaan
15 euroa. Äidin kanssa sovittiin, että pojat ovat kotona klo 20.00 mennessä. Pojat lähtivät matkaan klo 11.00. Heillä
kaikilla oli 25 euroa mukanaan, kun he lähtivät reissuun. Pojat lähtivät bussilla keskustaan. Niklas ja Juho
maksoivat itsensä bussikortilla ja Volkan maksoi rahalla 1,20 €.
Kahdenkymmenen minuutin kuluttua pojat olivat perillä ostamassa karkkia. Niklaksen karkkipussi maksoi 5 euroa,
Volkanin pussi oli samanhintainen. Juhon karkkipussi maksoi puolet vähemmän kuin Volkanin pussi.
Viidentoista minuutin kuluttua pojat lähtivät ostamaan elokuvalippuja. Yksi 3D- elokuvalippu maksoi 12 €. Mutta
Volkan käytti äidiltä saamansa ilmaislipun. Tähän kului 10 minuuttia. Koska elokuvan alkuun oli vielä kaksi tuntia
aikaa, pojat menivät ostamaan hampurilaisia. Jokainen osti hampurilaisaterian, jonka hinta oli 5 €. Syötyään
hampurilaiset pojat lähtivät kaupungille kiertelemään kunnes elokuva alkoi.Elokuva kesti kaksi tuntia.
Elokuvan jälkeen pojat päättivät lähteä vielä bussilla ostoskeskukseen. Bussia odotettiin kymmenen minuuttia.
Bussimatka maksettiin samalla tavalla kuin edellisellä kerrallakin. Matka kesti 15 minuuttia. Ostoskeskuksen sisällä
oli lelukauppa, jossa oli polkuautojen testaus meneillään. Pojat ajoivat 1h 35 min autoilla. Siitä pojat siirtyivät
toiseen kauppaan kokeilemaan pelikonsoleita.
Pelattuaan 25 min playstationilla ja Xboxilla, Volkan päätti ostaa kaikille Berliininmunkkeja. 6:n munkin pussi
maksoi 10 €, mutta kojua oltiin sulkemassa, joten he saivat munkit puoleen hintaan. Juho ja Volkan kipaisivat vielä
ostamassa2 pakettia futiskortteja. Yksi paketti kortteja maksaa 2 €. Niklas osti kioskilta 2,50€ limonadipullon. Tähän
kului 20 minuuttia. Sitten pojat lähtivät vihdoin bussipysäkille. Mutta bussi oli juuri lähtenyt. Siispä pojat istuivat
penkille syömään munkkeja. Uuden bussin tuloon kesti 50 minuuttia.
Bussin saapuessa Niklas joutui maksamaan Volkanin matkan omalla bussikortillaan, koska Volkanin rahat olivat
loppuneet. Matka kesti 15 minuuttia. Pysäkiltä kotiin kului viisi minuuttia kävellen.
1) KUINKA PALJON RAHAA POJILTA KULUI ELOKUVAREISSUUN? JA PALJONKO RAHAA HEILLE JÄI?
2) KUINKA MONTA TUNTIA POJILTA MENI REISSUUN JA EHTIVÄTKÖ HE AJOISSA KOTIIN?
______________________________________________________________________________________
RATKAISE VAIHEITTAIN:
(Voit lisäksi alleviivata tärkeät asiat tekstistä.)
PIIRROS:
13
1. KYSYMYS:
KUINKA PALJON RAHAA POJILTA KULUI ELOKUVAREISSUUN? JA PALJONKO RAHAA HEILLE JÄI?
Laske osissa:
1) RAHAA OLI MATKAN ALUSSA:
2) BUSSIMATKAAN KULUI:
3) KARKKIKAUPPAAN KULUI:
4) LIPUT:
5) HAMPURILAISET:
6) MUNKIT:
7) FUTISKORTIT:
8) LIMONADIPULLO:
9) KAIKKIAAN RAHAA KULUI (Lauseke):
LASKU:
VASTAUS: Rahaa kului ______________, Rahaa jäi ___________
TARKISTA - Onko tulos järkevä
Kyllä
J
Ei
L
2. KYSYMYS:
KUINKA MONTA TUNTIA POJILTA MENI REISSUUN JA EHTIVÄTKÖ HE AJOISSA KOTIIN?
Laske osissa:
1) MATKAAN LÄHDETTIIN KLO:
2) KERÄÄ ANNETUT AIKATIEDOT TÄHÄN:
3) LASKU:
VASTAUS: Pojilta reissuun kului aikaa ______h______min, Ehtivätkö he ajoissa kotiin? ___________
Kyllä
J
Ei
L
14
RATKAISU:
1.KYSYMYS:
RAHAT:
1) RAHAA MATKAN ALUSSA: 75 €
2) BUSSIMATKAAN KULUI: 2 x 1,20 € = 2,40 €
3) KARKKIKAUPPAAN KULUI: 12,50 € - RAHAA ON JÄLJELLÄ (75 €- 2,40 €- 12,50 € = 60,10 €)
4) LIPUT: 2 X 12 € = 24 €
5) HAMPURILAISET: 3 x 5 € = 15 €
6) MUNKIT: 5 €
7) FUTISKORTIT: 4 x 2 € = 8 €
8) LIMONADIPULLO: 2,50 €
LASKU: 75 €- (2,40 € + 12,50 € + 24 € + 15 € + 5 € + 8 € + 2,50 € ) = 5,60 €
VASTAUS: (Rahaa kului 69 € 40 snt. Rahaa jäi 5,60 €)
2.KYSYMYS:
KUINKA MONTA TUNTIA POJILTA MENI REISSUUN JA EHTIVÄTKÖ HE AJOISSA KOTIIN?
Laske osissa:
1. MATKAAN LÄHDETTIIN KLO:
2. KERÄÄ ANNETUT AIKATIEDOT TÄHÄN:
3. LASKU:
VASTAUS: Pojilta reissuun kului aikaa ______h______min, Ehtivätkö he ajoissa kotiin? ___________
Kyllä
J
Ei
L
15
Amandan matka
Sveitsiin
(Sa=Suomen aika, Ta=Tanskan aika. Huom.
Kööpenhaminan paikallisaika = Suomen aika -1h)
(Teija Laineen 5a lk oppilas Amanda Puerto-Lichtenberg 8.6.2013)
Amanda matkusti Sveitsiin, Zürich:iin viideksi päiväksi vierailemaan serkkujensa luona. Lentokone ei lentänyt
suoraan Turusta Zürich:iin, vaan laskeutui Kööpenhaminassa, jossa piti vaihtaa toiseen koneeseen.
MENOMATKA:
Lentokone lähti Turusta klo 13.15. Lento Turusta Kööpenhaminaan kesti 1h 10min. Kun lentokone laskeutui
Kööpenhaminaan, paikallisaika oli 1h vähemmän kuin Suomessa. Jatkolento Zürich:iin lähtisi 4h:n kuluttua. Sen
aikaa Amanda kuljeskeli kaupasta kauppaan Kööpenhaminan suurella lentokentällä. Hän kävi ravintolassa
syömässä ja vaatekaupassa, josta hän osti 15 € maksavan t-paidan, jossa luki "I love Copenhagen".
1h 20min kuluttua Amanda kävi tarkistamassa porttinumeronsa ilmoitustaulusta. Etsiessään lentoaan, hän huomasi
sen olevan peruttu! Ohjeiden mukaan Amanda meni siirtokeskustaan, jossa hän odotti vuoroaan 55 min, että hänet
siirrettäisiin toiseen lentoon. Siellä hän sai tiedon, että uuden lennon lähtöä piti vielä odottaa 2h lisää. Lopulta
Amanda astui lentokoneeseen. Matka Kööpenhaminasta Zürich:iin kesti 1h 30min.
PALUUMATKA:
Lentokone lähti Zürichistä klo 17.35. Lento Zürichistä takaisin Kööpenhaminaan kesti 1h 30min. Kun lentokone
laskeutui Kööpenhaminaan, paikallisaika oli sama kuin Zürichissä. Jatkolento Turkuun lähtisi 3h 35min kuluttua.
1h aikaisemmin Amanda kävi katsomassa ilmoitustaulusta, oliko lento tälläkin kerralla peruttu. Kauhistuksekseen
Amandan lento oli TÄLLÄKIN KERRALLA peruttu, koska Turussa oli myrsky! Jälleen kerran Amanda meni
siirtokeskustaan, jossa hän odotti vuoroaan 15min. Mutta täksi illaksi ei enää ollut lentoja, joten Amandan piti yöpyä
hotellissa, jonka lentoyhtiö tietysti maksoi. Hänet siirrettiin kuitenkin lentoon, joka lähti seuraavana aamuna klo
10.15. Matka Kööpenhaminasta takaisin Turkuun kesti 1h 10min.
KYSYMYKSET:
1. Kuinka monta ylimääräistä tuntia Amanda odotti yhteensä meno - + paluumatkalla ?
2. Mitä muuta voisi kysyä? (Keksi kysymys)
16
RATKAISUN SUUNNITTELEMINEN:
Amandan matka Sveitsiin
(Sa=Suomen aika, Ta=Tanskan aika)
(Teija Laineen 5a lk oppilas Amanda Puerto-Lichtenberg)
PIIRRÄ REITTI ja merkitse tiedot esiin:
TIEDOT:
MENOMATKA
1) Lähtö Turusta klo
. Lennon kesto klo _____h _____min
(Kööpenhaminan paikallisaika = Suomen aika -1h)
2) Odotus lentokentällä kesti: ___________
- menomatkalla Amanda odotti ylimääräistä aikaa ______h lentokentällä
3) Lähtö Kööpenhaminasta klo _______ Tanskan aikaa. Lento kesti _____h_____ min
(Zürichin paikallisaika on sama kuin Kööpenhaminassa eli Zürichin, Kööpenhaminan paikallisaika = Suomen aika -1h)
Vastaus: Menomatkalla Amanda odotti ______h ylimääräistä aikaa lentokentällä
PALUUMATKA
1) Lähtö Zürichistä klo ______. Lento kesti _____h ______min.
a) Perillä Kööpenhaminassa: ____________________ = klo ______ (Lasku) (Zürichissä on sama
paikallisaika kuin Kööpenhaminassa)
2) Uuden lennon lähdön odotus:
a) Lennon piti lähteä: ____________________ = klo ______
b) Uusi lento lähti klo ______
c) Uutta lentoa siis odotettiin vielä lisää _____h_____ min
LOPPULASKU:
Vastaus: Amanda odotti turhaan __________h__________min
17
AMANDAN OMA MALLIRATKAISU
Amandan matka Sveitsiin
(Sa=Suomen aika, Ta=Tanskan aika)
(Teija Laineen 5a lk oppilas Amanda Puerto-Lichtenberg)
TIEDOT:
MENOMATKA
1) Lähtö Turusta klo 13.15 Lennon kesto klo 1h 10min
( Kööpenhaminassa klo 13.15 Sa. + 1h 10min = 14.25 Sa, joka on 13.25 Ta. Kööpenhaminan paikallisaika = Suomen aika 1h)
2) Odotus lentokentällä kesti: 4h + 2h = 6h
- Menomatkalla Amanda odotti siis 2h ylimääräistä aikaa lentokentällä
3) Lähtö Kööpenhaminasta klo 19.25 (Ta). Lento kesti 1h 30min
(Zürichin paikallisaika on sama kuin Kööpenhaminassa eli Zürichin ja Kööpenhaminan paikallisaika = Suomen aika -1h)
Vastaus: Menomatkalla Amanda odotti 2h ylimääräistä aikaa lentokentällä
PALUUMATKA
3) Lähtö Zürichistä klo 17.35 . Lento kesti 1h 30min.
a) Perillä Kööpenhaminassa: klo 17.35 + 1h 30min = klo 19.05 (Zürichissä on sama paikallisaika kuin
Kööpenhaminassa)
4) Uuden lennon lähdön odotus:
a) Lennon piti lähteä: klo 19.05 + 3h 35 min = klo 22.40
b) Uusi lento lähti klo 10.15
c) Uutta lentoa siis odotettiin vielä lisää: 11h 35 min
LOPPULASKU: 11h 35min + 2h = 13h 35min
Vastaus: Amanda odotti turhaan 13h 35 min
18
Maailmanpyörätehtävä
(Teija Laineen 5a lk oppilas Amanda Puerto-‐Lichtenberg)
a) London Eye on suuri maailmanpörä Lontoossa.
5 tyttöä haluaa nousta maailmanpyörään. 1 lippu maksaa 35£ (puntaa).
KYSYMYS: Kuinka monta euroa tyttöjen pitää maksaa?(Tarkista valuuttakurssit)
b) London Eye:ssä on 32 kupua, johon jokaiseen mahtuu 25 ihmistä. Yhtenä sateisena päivänä,
maailmanpyörässä oli 28 täyttä kupua. 2 kupua jossa oli 2/5 täynnä ihmisiä, 1 kupu jossa oli 4/5
täynnä ihmisiä ja viimeinen kupu oli rikki, joten siihen ei päässyt ketään.
KYSYMYKSET:
1. Kuinka monta ihmistä maailmanpyörään mahtuu, kun se on ihan täynnä?
2. Montako ihmistä oli maailmanpyörässä tuona sateisena päivänä?
19
” MERIROSVO-OSASTO”
Opettajien tekemät tehtävät –osio
20
Kultarahat
(Eija Ketola)
Merirosvot olivat löytäneet aarrearkun, joka oli täynnä kultarahoja.
Kultarahat jaettiin kaikille arvon, iän ja aseman mukaisesti.
1. Edward sai myös rahoja. Hän järjesteli niitä kauniina päivän rauhassa puun alla. Edwardin rahamäärä oli
pieni, alle 50 kultarahaa. Kun hän teki niistä viiden rahan pinoja, yksi raha jäi yli. Kun taas hän lajitteli niitä
kuuden rahan pinoihin, taas jäi yksi raha yli. Kuinka monta rahaa Edwardilla oli kaikkiaan?
2. Tom halusi jakaa rahansa. Hän antoi puolet rahoistaan kapteenille ja jäljelle jääneistä rahoista puolet
laivan kokille ja loput hän jakoi kahden ystävänsä kanssa. Hänelle jäi 2 rahaa. Kuinka paljon Tom oli
saanut rahoja?
3. Laivan perämies sai rahoja enemmän. Miehistön jäsenet olivat uteliaita tietämään perämiehen saaman
rahojen määrän. Perämies kertoi että hänen saamansa rahamäärä on nelinumeroiden luku jossa:
• Tuhansia kuvaava luku on pienin parillinen luku
• Ykkösiä kuvaava luku on yksi suurempi kuin tuhansia kuvaava luku.
• Satojen luku on näiden kahden summa
• Kymmenien luku on ykkösiä ja tuhansia kuvaavien lukujen tulo
Paljonko perämies oli saanut kultarahoja?
________________________________________________________________________________
RATKAISE VAIHEITTAIN:
• LASKE KAIKKI OSISSA (kerää lopuksi lauseke)
• PIIRRÄ, TEE TAULUKKO, SUUNNITELMA jos voit
1 Tehtävä)
Kuinka monta rahaa Edwardilla oli kaikkiaan? (Tee malli: piirros, taulukko…)
Kyllä
J
Ei
L
21
2 Tehtävä)
Kuinka paljon Tom oli saanut rahoja?
PIIRRÄ
Kyllä
3 Tehtävä)
Paljonko perämies oli saanut kultarahoja?
J
Ei
L
Ei
L
PIIRRÄ
Kyllä
J
22
Aitatehtävä
(projekti opettajan tuella) (Teija Laine)
Merikarhu Rudolf haluaa rakentaa 10 m pitkän aidan. Sen pitää olla 1m korkea ja lautojen väliin täytyy jäädä 2 cm
väli. Aitaa tukevat molemmilla puolilla alhaalla ja ylhäällä vaakasuoraan kulkevat tukilaudat. Nämä kiinnittävät aidan
pystylaudat toisiinsa. Aina kahden metrin välein aitaa laitetaan tukemaan maahan iskettävä neliönmuotoinen
tolppa. Tolpan sivu on 75 mm ja korkeus on 120 cm. Jokainen tolppa istutetaan teräksiseen tukijalkaan. Lisäksi
jokaisen tolpan väliin tulee kansilauta, joka on tehty samanlaisesta laudasta, kuin muukin aita. Aitaan Rudolf
valitsee 10 cm levyistä ja 20 mm paksuista lautaa, jota myydään 4,20 m mittaisena. Lisäksi tarvitaan 3:n ja 4:n
tuuman nauloja. Lopuksi Rudolf pohjamaalaa valmiin aidan homeenestoaineella ja sen kuivuttua hän maalaa aidan
vielä kahteen kertaan valkoisella maalilla. (HUOMAA, ETTÄ TÄMÄ ON AVOIN TEHTÄVÄ, JOSSA VOI OLLA MONTA
OIKEAA RATKAISUA. RIITTÄÄ, ETTÄ PERUSTELEE RATKAISUN OIKEIN)
1) Piirrä aidasta kuva (Tämä määrää koko ratkaisun):
2) Kuinka monta metriä aitaan tarvitaan lautaa ja tolppia? (Arvioi ensin : Lautaa:________,
Tolppaa________)
3) Naulat:
a. Paljonko nauloja tarvitaan? Arvio: _________________
b. Mikä tulee naulojen hinnaksi, jos 1 kg paketti maksaa 5,95 € ja siinä on n. 50 kuumasinkittyä
lankanaulaa. Arvio:______________________
4) Mikä tulee maalaamattoman aidan hinnaksi, kun tiedetään, että lauta maksaa 75 snt / m ja painekyllästetyn
neliötolpan hinta on 2,20 € / m ja tolpan teräksinen jalka maksaa 8,50 € / kpl?
•
Arvio: ___________________________________________________________________
5) Montako maalipurkkia Rudolf joutuu ostamaan?
a. Puunkyllästeaine maalin alle: 2,7 litraa maksaa 27,90€. Riittoisuus 10 m2/l.
•
Arvio:________________________________________________
b. 3:n litran maalipurkki valkoista maalia maksaa 39,50€, jos hän maalaa aidan kahteen kertaan?
Maalia kuluu sahatulle puupinnalle 6 m²/ l .
•
Arvio: ________________________________________________
23
6) Mikä tulee koko aidan hinnaksi, jos Rudolf tekee kaiken työn itse?
Ø Arvio: _____________________________________________________________
LASKE OSISSA (kerää lauseke lopuksi)
1) Piirros aidasta (Piirrä A4:n paperille tarkka piirros, jossa on kaikki mitat):
2)
a. Laudat:
b. tolpat :
c. naulat:
Kyllä
J
Ei
L
Kyllä
J
Ei
L
Kyllä
J
Ei
L
3) Erilaisten maalipurkkien määrä ja hinta:
4) Koko aidan hinta:
MITEN TEHTÄVÄ MUUTTUU, JOS OHJEEKSI ANNETAAN OPPILASPARILLE VAIN:
1)
2)
3)
”Suunnittele, miten rakennetaan 10 m pitkä, valkoinen aita.” (Piirrä kuva, jossa on mitat)
Mikä tulee oman aitasi hinnaksi? (Samat tiedot käytössä kuin edellä)
TARKASTELU LUOKAN KANSSA:
a. Kenellä on kallein/ halvin aita. Miksi?
b.
Kaunein/ kestävin aita? Miksi?
24
Fence Problem
(A project with the support of the teacher, Teija Laine)
Sea Bear Rudolf wants to build a 10 m long, paling fence. It is to be 1m high with 2 cm spaces between the vertical
palings. The palings are to be attached to horizontal boards running between 75 mm square section, 120 cm high
fence posts, placed every two-meters. Each fence post is set in a steel post spike driven into the earth.. Each
section of fence is capped with a cover board made of the same board, as the rest of the fence. Rudolf selected 10
cm in width and 20 mm thick board, sold in 4.20 m lengths for the fence. Each joint is to be secured with two, 35
mm long nails. Rudolf applies a single-coat of anti-rot agent followed by a single coat of white paint to all of the cut
pieces letting each coat dry properly before assembling the fence. Once assembled, he applies a final coat of white
paint. (PLEASE NOTE THAT THIS IS OPEN ENDED PROBLEM. MANY MAY HAVE THE RIGHT SOLUTION.
Enough just to justify, it’s TRUE)
1) Draw a diagram of the fence:
2) How many meters of fence planks and posts are needed?
(Estimate: Planks: ________, Posts:________)
3) a) - How many nails do you need? Estimate: _________________
b What will the price of the nails, if a package costs € 5.95 and contains 50 nails.
Estimate: ______________________
4) What will be the price of the unpainted fence, given that untreated board costs 75 cents / square m and treated
board costs 2.20 € / m and a steel post spike costs € 8.50 / pc?
• Total: ___________________________________________________________________
5) How many cans of ant-rot treatment and paint will Rudolf have to buy?
Anti-rot treatment:
if 2.7 liters costs € 27.90. Coverage 10 m2 / l
• Estimate: ________________________________________________
b 3-liter can of white paint costs 39.50 €, if he applies two coats? Coverage on bare wood, 6 m² / l.
• Estimate: ________________________________________________
6) What will the price of the entire fence, if Rudolf does the work himself?
➢ Estimate: _____________________________________________________________
25
CALCULATE IN PARTS (clause collects the end)
1) Sketch the fence (Draw A4 paper the exact plan with all dimensions):
2)
a boards:
b posts:
c. nails:
CHECK – Is your result sensible?
YES
J
YES
J
NO
L
3) the number of different paint cans and price:
CHECK - Is your result sensible?
4) The price of the fence:
CHECK - Is your result sensible?
YES
J
NO
L
NO
L
HOW THE TASK CHANGES, IF STUDENT GUIDANCE GIVEN PAIR ONLY:
1) "Plan, how to build a 10 m long, white fence." (Draw a picture with dimensions)
2) What will your fence cost? (The same information is used as the above)
3) REVIEW OF CLASS WITH:
a. What is the most expensive / cheapest fence. Why?
b. The most beautiful / most durable fence? Why?
26
Myyjäiset merirosvolaivalla
(Teija Laine)
Eräänä tiistai-iltapäivänä merirosvolaiva ”Mustan Helmen” kapteeni, Merirosvo Rudolf, päätti miehistöineen
osallistua Pääkallosaarella tiistaisin pidettävälle merten kaappareiden kirpputorille! He halusivat vaihtaa osan
aarteistaan rahaksi, jotta he voisivat ostaa lisää kanuunoita!
Rudolf toi 1 092 kultaista korvakorua jokaiselle seitsemälle työryhmälle. Yhdessä päätettiin pakata ne 10:n korun
pusseihin. Pussin hinnaksi sovittiin 1,5 hopeakolikkoa.
RAHOJEN ARVO:
1 KULTARAHA = 2 HOPEAKOLIKKOA
1 HOPEAKOLIKKO = 4 KUPARIKOLIKKOA
1 KUPARIKOLIKKO = 100 SINKKIPENNINKIÄ
KYSYMYKSET (Perustele vastauksesi):
1) Montako jalokivipussia kukin merirosvotiimi tarvitsee myyntituotteen pakkaamiseen?
RATKAISU:
2) Kaapparikapteenilla on mukanaan 763 pussia. Riittääkö se määrä kaikkien korvakorujen pakkaamiseen kymmenen
erän pusseihin, vai pitääkö hänen vaivautua hakemaan lisää hytistä?
RATKAISU:
3) Montako kultakorua jää yli? Mitä merirosvot voisivat niille tehdä?
RATKAISU:
4) Jos kaikki korupussit saadaan kaupaksi, paljonko kaappareille jää kolikoita? (Anna tulos suurimmassa yksikössä)
RATKAISU:
5) Montako uutta kanuunaa laivaan saadaan hankittua, kun tiedetään, että uusi kanuuna maksaa 50 kultakolikkoa?
RATKAISU:
27
Rummage sale held on Skull
Island!
(Teija Laine)
On the pirate ship, the Black Pearl, Rudolf and his pirate crew decided to go to the regular Tuesday rummage sale
held on Skull Island! They want to exchange some of their treasure for coin so they can buy more cannon!
He brought 1 092 golden earrings to each of the seven Working Group. Together, it was decided that they are
packed 10 of the piece of jewellery bags. The bag was agreed for the 1.5 silver coins.
COIN VALUE:
1 GOLD COIN = 2 silver coins
1 SILVER COIN = 4 copper coins
1 COPPER COIN = 100 zinc coin
QUESTIONS (Explain your solution):
1) How many bags of each team needs a pirate sales of the product packaging?
SOLUTION:
2) Pirate captain carries 763 bags. Is it enough to replace the number of all jewellery packing 10 bags, or whether
he bother to get some more from the cabin?
SOLUTION:
3) How many pieces of jewellery will be left over? What the pirates could do with them?
SOLUTION:
4) If all the jewelry bags can be sold, how much is left Grab a coin? (Enter the result in most units)
SOLUTION:
5) If A new cannon costs 50 gold coins, how many new cannons can they buy given the money that they have
raised?
28
Merirosvolaivan mastot
(Kalle Lehtinen)
Merirosvokapteeni Calico Jackilla oli mahtava alus, jossa oli yhteensä 3
mastoa. Masto, joka oli laivan ahterissa, oli 15 metriä korkea. Laivan
keulassa oleva masto oli 3 metriä matalampi. Keskimmäisen maston huipulla
oli tähystyskori, johon kapteeni silloin tällöin kiipesi tähystelemään
vastaantulevia laivoja kultaisella kaukoputkellaan.
Keskimmäisessä mastossa oli kolme purjetta, joista alimmainen oli kolmen
metrin korkeudessa. Kaikki kolme purjetta olivat kahden metrin etäisyydellä
toisistaan. Kun Calico Jack oli kiivennyt ensimmäisen purjeen päälle, oli hän kahdeksan metrin korkeudella.
a) Kuinka monta mastoa kapteenin laivassa oli yhteensä?
b) Kuinka korkealla keskimmäisen maston huipulla oleva tähystyskori oli?
c) Kuinka monta metriä mastopuuta tarvitaan, jos kaikki laivan kolme mastoa uusitaan?
RATKAISUN SUUNNITTELEMINEN:
29
Merirosvokapteenin suuri aarre
(Anna Mikkonen)
Merirosvokapteeni - Kiharaparran kauhua herättänyt rosvojoukko on
palaamassa voitokkaalta ryöstöretkeltään. Ryöstösaalis on ylittänyt kaikkien
odotukset ja kirjuri on viettänyt monta hikistä hetkeä listatessaan ylös lukuisia
aarteita, jotka pitäisi saada mahtumaan laivan lastiruumaan. Isoimman ongelman muodostavat kuitenkin
sotavangit, joille varatut vankityrmät on nyt otettava aarrekammiokäyttöön. Perinteiseen tapaan vankien karkotus
autiolle saarelle tapahtuu kävelyttämällä vangit lankkua pitkin pelastusveneille. Karkotuksen on tapahduttava
mahdollisimman nopeasti, etteivät vangit ehdi järjestää kapinaa ja viedä koko saalista mukanaan.
Laivalla on käytössä kolme kävelylankkua, joista yhden kantavuus on kaksi merirosvoa kerralla. Toinen lankuista
kestää neljän hengen painon ja pisimmällä pystytään kävelyttämään kuusi merirosvoa kerralla. Kun kaikki lankut
täytetään yhtä aikaa, kuluu karkottamiseen aikaa 20 min. Vihollisia on otettu vangiksi 200 ja karkotusurakkaa
päästään aloittamaan klo 18.
KYSYMYKSET:
1) Kuinka monta prosenttia vangeista on armahdettava, jos kaikki merirosvot haluavat ehtiä auringonlaskun
aikaan (klo 21.00) alkavaan voitonjuhlaan?
2) Miten tilanne muuttuu, jos karkotusvene alkaa vuotaa ja 12 liian karvaista vankimerirosvoa otetaan takaisin
laivan kannelle uutta karkotusta varten?
30
Merirosvolippu (Hanna Aromaa-Koskinen)
Merten kauhulla, Kapteeni Koukulla, oli epämiellyttävä tapa ruokailun jälkeen
pyyhkiä suunsa pääkallolippuun. Merirosvot päättivät valmistaa uusia uljaita
lippuja peräti puoli tusinaa.
Yhteen lippuun tarvitaan mustaa kangasta 40 cm x 50 cm:n pala. Lippukankaita on tarjolla kahdenlaista leveyttä:
Korpinmusta on 120 cm leveää ja maksaa 14 e/metri,
Sysimusta on puolitoista metriä leveää ja maksaa 15 e/metri.
a)
b)
c)
d)
Esitä leikkuusuunnitelmat piirroksilla, joista selviää, paljonko kangasta tarvitaan.
Kumpi kangas tulee edullisemmaksi?
Paljonko siinä säästää?
Paljonko jää kangasta yli papukaijan uuteen viittaan?
31
Merirosvokaste
(Tuija Hurme)
Merirosvoilla oli tapana järjestää kastetilaisuus niille, jotka ylittivät päiväntasaajan ensimmäistä kertaa. Kaste oli
melko pelottava toimitus, sillä merirosvo vedettiin laivan toiselle puolelle kölin alta ja hänen oli pakko syödä
inhottavia liemiä ja tököttejä.
Laivalla oli nyt 60 rosvoa, joista neljäsosa oli ensikertalaisia. Ensikertalaisista kolmasosa pelkäsi niin paljon, että
yritti piiloutua laivan uumeniin välttääkseen kasteen. Näistä neljä viidesosaa löytyi tervatynnyrin takaa vapisemasta.
Yksi viidesosa oli yrittänyt piiloutua tervatynnyrin sisälle. Tynnyrin sisälle piiloutunut yksi viidesosa kieriteltiin
höyhenissä.
KYSYMYS:
1) Kuinka monta merirosvoa sai tervan päälle höyhenet?
2) Mitä muuta voisi kysyä?
32
Merirosvokapteeni
Pullapöksyn ongelma
(Kirsi Rauhanniemi)
Merirosvokapteeni Pullapöksyllä oli mahtava alus, ”Huojuva masto”, sekä sen
miehistönä 12 hurjaa merirosvoa. Pullapöksy söi päivässä 10 lautasellista keittoa
ja 15 voileipää. Merirosvot söivät 3 lautasellista keittoa ja 9 leipää kukin. Huojuva
masto joutui suureen myrskyyn ja melkein upposi. Monet merirosvot saivat meritaudin.
KYSYMYS:
1) Kuinka monta lautasellista keittoa ja voileipää aluksella kului viikossa, kun 4 päivänä 5 merirosvoa oli
vatsataudissa eikä voinut syödä yhtään?
2) Mitä muuta voisi kysyä?
3) Jatka tarinaa ja keksi lisää kysymyksiä.
33
Kauppalaivan
lastausongelma
(Lotta Örnberg)
Kauppalaivan kapteeni, HurjaTyrsky, valvoi laivansa
lastaamista. Hän vaikutti hieman stressaantuneelta.
Laivaan oli lastattu jo 503 säkkiä vehnää, 248 arkullista
juustoja, 210 pullollista omenamehua, kolme sikaa,
hevonen ja kuusi lammasta. Laivaan ei enää millään
mahtunut enempää lastia. Ongelmana kapteenilla oli se, että laiturilla nökötti vielä 29 kultaruukkua ja toimituksen
tilannut Sheikki Ahniinbaba, suuttuisi kamalasti jos lastista puuttuisi jotain.
Kapteeni Tyrsky mietti pitkään, mitä pitäisi tehdä, jotta kultaruukut mahtuisivat mukaan. Lopulta hänen ilmeensä
kirkastui, kun hän keksi, että hän tarvitsee lisää tilaa. Tyrsky kiinnittäisi laivansa perään veneen ja laittaisi sinne
vielä yhden miehen vahtimaan lastia. Vaihtoehtoina olivat apuvene, soutuvene ja puikulavene. Apuveneeseen
mahtui 50 miestä, soutuveneeseen 7 miestä ja puikulaveneeseen 40 miestä. Yksi kultaruukku vastasi painoltaan
kolmea miestä.
a) Minkä veneen kapteeni valitsee, jotta hän saa kaikki ruukut ja yhden miehen mahtumaan kyytiin?
b) Jos kävisi niin, että merirosvot yllättäisivät kapteenin matkalla, kuinka paljon ryöstösaalista he saisivat
kaiken kaikkiaan?
c) Kuinka monta kuukautta Sheikki Ahniinbabbalta menee kaikkien omenamehupullojen litkimiseen, jos hän
juo kahdessa päivässä kolme ja puoli pullollista mehua?
34
KAUPPALAIVAN LASTAUSONGELMAN Vastaukset (Ei kopioitavaksi oppilaille…):
a) Kapteenin tulee valita sekä apuvene että puikulavene, jotta kaikki ruukut mahtuvat kyytiin, sillä tilaa
tarvitaan 87 miehen verran (3 x 29). Apuveneeseen mahtuu 16 ruukkua ja puikulaveneeseen 13 ruukkua.
(Ruukkuja ei voi pilkkoa puoliksi) Molempiin veneisiin jää vielä tilaa miehille.
b) 1000 tuotetta yhteensä
c) Yhdessä päivässä Sheikki juo 1,75 pullollista mehua. Kuukaudessa 52,5 pullollista ja neljässä
kuukaudessa 210 pullollista. Voi laskea myös näin 210 / 1,75 /30= 4kk
35
Merten kauhuviikset
(Marika Hanhisuanto)
Merirosvo Mustaviiksi on kuuluisan merirosvosuvun jälkeläisiä. Hän
on kuuluista muhkeista viiksistään ja johtaakin sen vuoksi
merirosvoryhmää nimeltään Merten kauhuviikset. Ryhmässä
arvostetuin on se, kenellä on pisimmät viikset. Ja voi hurjuus sitä
päivää, jos jollakin sattuikin olemaan pidemmät viikset, kuin itse
Merirosvo Mustaviiksellä!!
Merirosvojohtajan päivittäisiin rutiineihin kuuluu viiksiensä vahaus ja
kiillottaminen. Näin ne saavat elinvoimaa. Kerran viikossa suoritetaan myös miehistön viiksien mittaus. Mittauksen
perusteella jaetaan miehistön tehtävät seuraavaksi viikoksi. Lyhimmillä viiksillä pääsee siivoamaan, seuraavaksi
lyhimmillä keittiöhommiin ja pisimmillä pääsee…hmm no tietysti johtajaksi.
On taas viikoittaisen mittauksen aika. Merirosvo Mustaviiksi seisoo myhäillen, viiksiänsä pyöritellen ja katsoo
miehistöään. Viime viikolla hänen viiksensä olivat 8 cm pitkät ja ne ovat kasvaneet joka päivä 1 mm lisää. Kukaan
ei pystyisi samaan. Kilpailijoina ovat tällä kertaa Merirosvo Mustaviiksen kanssa Merirosvo Harmaaparta ja
Merirosvo Viiksivallu.
Harmaaparran viikset olivat viime mittauksella 6 cm, ja ne ovat kasvaneet joka päivä 2mm. Viiksivallun viikset olivat
viimeksi 7 cm. Nekin ovat kasvaneet joka päivä 2 mm. Valitettavasti Viiksivallu kävi pari päivää sitten taistelun
haiden kanssa, jossa hän menetti viiksien pituudesta 5 mm.
RATKAISE… (Muista perustella väitteesi vakuuttavasti.)
1) Miten Merirosvojohtaja Mustaviiksen käy? Menettääkö hän tällä kertaa johtajan paikkansa?
2) Kuka siivoaa seuraavan viikon?
3) Entä kuka pääsee kokkaushommiin?
36
ONGELMATEHTÄVIEN
ARVIOINNISTA
Teija Laine
37
ARVIOINTIKRITEEREISTÄ:
- Yleisenä tavoitteena oppilaan matemaattisen ymmärtämisen selvittäminen
- Tehtäviä voidaan arvioida monella tavalla
- Yleiset kriteerit auttavat opettajan arviointia
Arviointi opettajan näkökulmasta: 1)
2)
3)
-
OPPILASARVIOINTI täydellistä ymmärtämistä mittaavat tehtävät käsitekartat -‐ esim. jakolaskusta OMAN OPETUKSEN ARVIOINTI oppilastestit antavat palautetta opettajalle PROSESSI-‐ JA PRODUKTINÄKÖKULMA Portfolioarviointi oppilaan itsearviointi ANALYYTTINEN PISTEYTYSSKAALA ONGELMAN YMMÄRRYS: - 0p: Täydellisesti väärin ymmärretty. - 1p: Osa ongelmasta ymmärretty väärin. - 2p: Ongelman täydellinen ymmärtäminen. RATKAISUN SUUNNITTELEMINEN: - 0p: Ei yritystä tai epäsopiva suunnitelma - 1p: Osittain oikea suunnitelma, joka perustuu täysin ymmärrettyyn osaan tehtävästä - 2p: Suunnitelma olisi voinut johtaa oikeaan ratkaisuun, jos se olisi toteutettu oikein RATKAISUN SAAMINEN - 0p: Ei vastausta tai väärä vastaus, joka perustuu sopimattomaan suunnitelmaan - 1p: Kopiointivirhe; laskuvirhe; osittainen vastaus monivaiheisessa ongelmassa - 2p: Oikea vastaus ja oikea laskulauseke Charles et al. 1987, 28-‐30 Toim. Teija Laine, Turun Matikkamaa
38
AVOIMIEN TEHTÄVIEN PISTEYTYSOHJE (Stenmark) PÄTEVÄ VASTAUS - 6p esimerkillinen vastaus (laskulauseke + p iirros + selitys) - 5p pätevä vastaus TYYDYTTÄVÄ VASTAUS - 4p pieniä virheitä, vastaus tyydyttävä - 3p vakavia virheitä, vastaus melkein tyydyttävä RIITTÄMÄTÖN VASTAUS - 2p aloittaa ratkaisun, ei pääse loppuun - 1p ei onnistu aloittamaan tehokkaasti - 0p ei yritystä YKSINKERTAINEN PISTEYTYSMALLI 0p -‐ ei vastausta tai väärä vastaus 1p – väärin laskettu, käyttää oikeaa strategiaa 2p – oikea vastaus, epätäydellinen selitys 3p – oikea vastaus ja selitys, osoittaa selkeästi miten pääsi ratkaisuun ONGELMANRATKAISUN OSA-ALUEET JA TASOT- Arviointimalli
(How to access broblemsolving skills in math, Kallick, Brewer 1997)
OSA-ALUEET:
1. Ymmärtäminen = onko oppilas ratkaissut ongelman
2. Menetelmät = oppilaan kyky ratkaista tehtävä monilla eri tavoilla
esim. piirtämällä, laskemalla, taulukoimalla
3. Selittäminen = oppilaan kyky perustella ratkaisuaan sanallisesti
39
TASOT:
Oppipoika
1. TASO
YMMÄRTÄMINEN
Ei ratkaisua tai ratkaisu ei liity
tehtävään
MENETELMÄT
Ei matemaattista menetelmää eikä
päättelyä. Menetelmävirheet estävät
ratkaisun
SELITTÄMINEN
Ratkaisua ei selitetä tai
selitys ei ole ymmärrettävä
Selitys ei ole täydellinen,
mutta oppilas on käyttänyt
jotain matemaattista
esitystapaa
Ratkaisussa ilmenee, että
Selitys on selkeä ja
Löytää ongelmaan ratkaisun ja
Mestari
oppilas ymmärtää ongelman j
metemaattisesti tarkka.
käyttää tehokkaasti matemaattista
3. TASO
a pääkäsitteet sen
Oppilas käyttää oikein
päättelyä sekä eri menetelmiä
ratkaisemiseksi
matemaattisia termejä
Selittää yksityiskohtaisesti
Ratkaisu osoittaa, että oppilas
Osoittaa monipuolista matemaattista ja vaiheittain, kuinka
on sisäistänyt ongelman ja
Ekspertti
päättelyä. Käyttää eri menetelmiä
ongelma on ratkaistu.
hallitsee sekä matemaattiset
4. TASO
luovasti ja soveltaen ongelman
Matemaattiset termit on
käsitteet että tarvittavat tiedot
ratkaisussa
esitetty tarkasti ja
ongelman ratkaisuun
esimerkkejä käyttäen
(OPPILAAN TEHTÄVÄNRATKAISU EI VÄLTTÄMÄTTÄ OLE KAIKILLA OSA-ALUEILLA SAMALLA TASOLLA. Oppilas voi
esim. antaa monipuolisen ja matemaattisesti oikean ratkaisun, joka ei liity annettuun tehtävään eli väärä ratkaisu on osattu
perustella kuvin ja laskutehtävin.)
Kisälli
2. TASO
Ratkaisu ei ole täydellinen tai
se on osittain virheellinen
Käyttää osittain käyttökelpoista
menetelmää, mutta ei kykene
kokonaan ratkaisemaan ongelmaa
YMMÄRTÄMISEN VIISI TASOA 0p – Oppilas ei ole ymmärtänyt lainkaan tehtävää 1p -‐ Oppilas on ymmärtänyt osan tehtävästä, mutta ei osaa ratkaista tehtävää matemaattisesti 2p – Oppilaalla on jonkinlainen käsitys tehtävän matemaattisesta ratkaisusta 3p – Oppilas osaa ratkaista tehtävän matemaattisesti oikein 4p -‐ Oppilas osaa ratkaista tehtävän matemaattisesti oikein sekä pystyy perustelemaan ratkaisunsa 5p – Oppilas ratkaisee tehtävän matemaattisesti oikein, perustelee ratkaisunsa ja esittää vastauksensa monipuolisesti MITEN PÄÄSTÄÄN ALKUUN?:
Ø Aloitus mahdollisimman helposta tehtävästä
Ø Tehtäviä on aluksi harjoiteltava yhdessä, jotta oppilaat omaksuvat työtavat
Ø Oppilas tarvitsee aluksi tukea tehtävien ratkaisun kirjallisessa selittämisessä
Ø Tehtävä on valittava opetettavan asian mukaan
Ø Näytä ja selitä oppilaille tarkasti, mitä kriteereitä käytetään, kun arvioidaan ratkaisuja
Ø Tehtävien läpikäymiseen kannattaa varata riittävästi aikaa
40
Sanallisista tehtävistä haastavampia ja mielenkiintoisempia Erno Lehtinen Oppimistutkimuksen keskus Toim. Teija Laine, Turun Matikkamaa
41
Yksinkertaisten tehtävien perustyypit
1. Erotus- ja vertailutehtävät (Liisalla on X ja Pekalla on Y, kuinka monta enemmän/vähemmän
Liisalla/Pekalla on)
2. Muutostehtävät (kasvavat, vähenevät) (Liisalla on X hän saa/antaa pois Y. Kuinka monta hänellä nyt on?)
•
Sekä erotus- ja vertailutehtävissa että muutostehtävissä laskutoimitukset voivat olla joko “suoria” (5 + 7 = ?
/ 12-7 =?) tai “epäsuoria” (5+__ = 12 / 12- __ = 5)
•
Verrannollisuustehtävät (X litraa maksaa Y euroa. Kuinka paljon maksaa Z litraa?)
•
KÄYTETTÄESSÄ YKSINKERTAISIA TEHTÄVIÄ OLISI TÄRKEÄÄ VAIHDELLA TEHTÄVÄTYYPPIÄ
JOKAISEN HARJOITUSKERRAN AIKANA. Tämä tekee tehtävät mielenkiintoisemmiksi ja estää täysin
mekaanisten ratkaisurutiinien syntymisen. Eri tehtävätyyppien sekä suorien ja epäsuorien
laskutoimitusten vaihtelu VAHVISTAA MYÖS LUKUKÄSITETTÄ JA ARITMEETTISTEN
OPERAATIOIDEN YMMÄRTÄMISTÄ
“Vähemmän” ja “yhteensä” jne. Sanat
•
Yleensä standarditehtävissä: vähemmän = vähennyslasku; yhteensä = yhteenlasku jne.
•
Jatkuva kikkailu näillä sanoilla ei ole kovin hyvä pedagoginen idea. Sen sijaa on hyvä aina silloin tällöin
(tehtäviä yhdessä huolellisesti läpikäymällä) osoittaa oppilaille, ettei yksitäisistä sanoista voi päätellä sitä,
miten tehtävä lasketaan. Tavoite on käydä huolellisesti läpi se, millaisesta tilanteesta (tilannemalli)
tehtävässä on kysymys ja vaikka kuvin avulla tai muuten osoittaa miten tästä tilannemallista voidaan
päätyä tavittaviin laskutoimituksiin.
•
Kallella on X omenaa ja Liisalla Y omenaa. kuinka monta omenaa heillä on yhteensä?
•
Kallella on X omenaa. Kuinka monta omenaa Liisalla on, kun heillä on yhteensä Y omenaa?
•
KIINNITTÄMÄLLÄ HUOMIOTA SANALLISTEN TEHTÄVIEN TEKSTIN KUNNOLLISEEN YMMÄRTÄMISEEN VOIDAAN
MYÖS AUTTAA YLEISEMMIN YMMÄRTÄVÄN LUKEMISEN TAITOJEN KEHITTYMISTÄ. LUKEMISTUTKIMUKSESTA
TIEDÄMME, ETTÄ ERITYISESTI HEIKOMMILLE LUKIJOILLE ON TYYPILLISTÄ SANOJEN JA LAUSEIDEN
MERKITYKSEN ARVAILU ERILAISTEN SATUNNAISTEN VIHJEIDEN AVULLA. PAHIMMASSA TAPAUKSESSA
TÄLLAINEN TAKTIIKKA HIDASTAA KUNNOLLISEN LUKUTAIDON KEHITTYMISTÄ. SIKSI ON
TARKOITUKSENMUKAISTA KÄYTTÄÄ HYVÄKSI SANALLISTEN TEHTÄVIEN TARJOAMA MAHDOLLISUUS
HARJOITELLA YMMÄRTÄVÄN LUKEMISEN TAITOJA.
•
TEHTÄVIEN MATEMAATTISEN SISÄLLÖN AVULLA ON HELPPO SEURATA SITÄ, KUINKA HYVIN OPPILAS
YMMÄRTÄÄ TEKSTIN JA TEKSTIN KUVAAMAN TILANTEEN. SUHDE MATEMAATTISEEN RATKAISUUN AUTTAA
MYÖS OPPILASTA ITSEÄÄN HUOMAAMAAN PINNALLISEN ARVAILUN JA AIDON TEKSTIN YMMÄRTÄMISEN ERON.
42
Yksinkertaisista tehtävistä haastavampia ja
jännittävämpiä
Linja-automaksu määräytyy ajetusta matkasta. Jokainen kilometri maksaa yhden euron. Kuinka
paljon maksaa 15 kilometrin matka?
•
Tällaisten yksinkertaisten tehtävien ratkaisemisessa ei ole mitään pahaa, edellyttäen, että otetaan
huomioon edellä esitetty tehtävätyyppien vaihtelu ja vihjesanoihin perustuvien strategioiden välttäminen.
Kiinnostavuuden ja matematiikan oppimisen kannalta on kuitenkin hyvä, jos tehtävissä on vähän enemmän
haastavuutta, jota voidaan lisätä esimerkiksi kirjan valmiisiin tehtäviin hyvinkin pienellä vaivalla.
Seuraavassa on esimerkkejä tällaisista muunnoksista.
1) Lisäämällä tehtävään yksikkömuunnos saadaan siitä matemaattisesti mielekkäämpi
•
Linja-automaksu määräytyy ajetusta matkasta. Jokainen kilometri maksaa 50 senttiä.
Kuinka monta euroa maksaa 10 kilometrin matka?
•
YKSIKKÖMUUNNOKSET OVAT SUHTEIDEN YMMÄRTÄMISEEN LIITTYVÄT MATEMAATTISEN
AJATTELUN JA KYMMENJÄRJESTELMÄN VAHVISTAMISEN KANNALTA OLENNAISIA. TIETYSTI
YKSIKKÖMUUNNOKSILLA ON MYÖS ERITTÄIN SUORA KÄYNÄNNÖN MERKITYS.
2) Lisätään tehtävään elementtejä, jotka edellyttävät eri operaatioiden peräkkäistä suorittamista
• Linja-autolippu maksaa 2 euroa ja jokaiselta 2 kilometrin matkalta hintaa lisätään 1 euro.
Kuinka paljon maksaa 10 kilometrin matka?
•
ERILAISTEN OPERAATIOIDEN SUORITTAMINEN PERÄKKÄIN TIETYSSÄ JÄRJESTYKSESSÄ
EDELLYTTÄÄ TEHTÄVÄN TILANNEMALLIN TARKKAA YMMÄRTÄMISTI (PINNALLISET RATKAISUT
EIVÄT TOIMI). OPERAATIOJONOJEN MUODOSTAMINEN JA LASKUTOIMITUSTEN SUORITTAMINEN
ON MYÖS LUKUKÄSITTEEN JA ARITMEETTISTEN OPERAATIOIDEN YMMÄRTÄMISEN KANNALTA
HYÖDYLLISEMPÄÄ, KUIN PELKÄSTÄÄN YHDEN LASKUTOIMITUKSEN TEKEMINEN.
3) Lisätään tehtävään jokin uteliaisuutta herättävä elementti, tällöin tehtävä voi olla monimutkaisempi.
•
Liisa ja Pekka olivat illalla elokuvissa ja ehtivät viimetingassa päivän viimeiseen linjaautoon. Vasta autossa he alkoivat miettiä onko heillä tarpeeksi rahaa maksaa matka perille.
Liisalla oli 4 euroa. Pekka löysi lompakostaan 5 euron setelin ja taskustaan kaksi 2 euron
kolikkoa. Linja-autolippu maksaa 2 euroa ja jokaiselta 2 kilometrin matkalta hintaa lisätään
1 euro. Kotipysäkille oli matkaa 10 kilometriä. Riittivätkö lasten rahat?
•
TUTKIMUKSET VIITTAAVAT SIIHEN, ETTÄ JOS TEHTÄVÄSSÄ ON SELLAISIA ELEMENTTEJÄ,
JOTKA LISÄÄVÄT OPPILAIDEN OMISTAUTUMISTA TEHTÄVÄN RATKAISUUN, NIIN TEHTÄVÄT
VOIVAT OLLA HYVINKIN HAASTEELLISIA. TÄLLAISTEN RAKENTEELLISESTI HAASTELLISTEN
TEHTÄVIN KAUTTA SAADAAN KOKEMUSTA SIITÄ, MITEN MATEMATIIKKA TOIMII KÄYTÄNNÖN
TILANTEIDEN MALLITTAMISEN JA ARVIOINNIN VÄLINEENÄ. AINAKAAN NUOREMPIA
OPPILAITA EI TULE PISTÄÄ TEKEMÄÄN YKSIN TÄLLAISIA MONIPOLVISIA TEHTÄVIÄ, VAAN NE
SOVELTUVAT JOKO RYHMÄTYÖNÄ TAI OPETTAJAJOHTOISESTI KOKO LUOKAN TASOLLA
TEHTÄVIKSI.
43
4) Lisätään tehtäviin elementtejä, jotka edellyttävät saadun matemaattisen tuloksen jälkeen käytännön
päättelyä.
• Liisa ja Pekka olivat elokuvissa ja ehtivät viimetingassa päivän viimeiseen linja-autoon.
Vasta autossa he alkoivat miettiä onko heillä tarpeeksi rahaa maksaa matka perille. Liisalla
oli 4 euroa. Pekka löysi lompakostaan 5 euron setelin ja taskustaan kaksi 2 euron kolikkoa.
Linja-autolippu maksaa 2 euroa ja jokaiselta 2 kilometrin matkalta hintaa lisätään 1 euro.
Kotipysäkille oli matkaa 10 kilometriä. Riittivätkö lasten rahat ja jos eivät riittäneet, niin
kuinka pitkän matkan he joutuivat kävelemään?
TÄLLAISIIN LAAJEMPIIN TEHTÄVIIN ON HELPPO LISÄTÄ ELEMENTTEJÄ, JOTKA EDELLYTTÄVÄT MUUTAKIN PÄÄTTELYÄ,
KUIN AINOASTAAN SUORAN ARITMEETTISEN TEHTÄVÄN RATKAISEMISTA. ESIMERKIKSI TÄSSÄ ON OLENNAISTA:
o
PISTÄVÄTKÖ LAPSET KAIKKI RAHANSA YHTEEN, VAI MAKSAVATKO MOLEMMAT OMANSA.
o
MYÖSKÄÄN KÄVELYMATKA EI OLE PUHDAS MATEMAATTINEN TULOS, VAAN RIIPPUU
PYSÄKKIEN SIJAINNISTA.
TÄLLAISET TEHTÄVÄT OVAT TÄRKEITÄ
•
•
ONGELMANRATKAISULLE YLEENSÄ
REALISTISEN KUVAN SAAMISEKSI MATEMATIIKAN KÄYTÄNNÖN SOVELTAMISESTA.
44
Turun yliopisto, oppimistutkimuksen keskus Sanallisten tehtävien testi Koulun nimi: __________________________________ Luokka: ______ Oppilaan nimi: ________________________________ Ratkaise seuraavat sanalliset tehtävät. Piirrä jokaisesta tehtävästä kuva, joka auttaa ratkaisussa tai kirjoita lyhyt selostus, miten ratkaisit tehtävä 1. Pekalla on 7 seikkailukirjaa. Pirkolla on 6 seikkailukirjaa enemmän. Kuinka monta seikkailukirjaa Pirkolla on? 2. Pöydällä on kulhollinen suklaanpaloja. Liisa ottaa siitä joka päivä 2 suklaapalaa. Kahden viikon päästä kaikki suklaapalat on syöty. Kuinka monta palaa kulhossa oli alussa? 3. Lapset ostivat torilta omenoita. 8 kilogramman laatikko omenoita maksaa 9,6 euroa. Mari, Milla, Pekka ja Jussi ostivat laatikon ja he saivat kukin 2 kilogrammaa omenoita. Kuinka paljon 2 kg maksoi? 4. Kallella on 18 euroa rahaa. Hän haluaa ostaa kaksi tietokonepeliä, jotka maksavat 13 euroa kumpikin. Äiti lupasi, että Kalle saa 2 euroa joka kerta, kun hän vie roskapussin ulos. Kuinka monta kertaa Kallen pitää viedä roskapussi, jotta hän saa ostetuksi molemmat tietokonepelit. 5. Paula järjesti syötävää ja juotavaa syntymäpäiväkutsuja varten. Hän osti kaksi pakettia perunalastuja (1 paketti maksoi 2,50 euroa), suuren paketin sekakarkkeja (1 paketti maksoi 3,60 euroa) sekä 4 pulloa limonadia (1 pullo maksoi 1,25 euroa). Juhliin tuli kolme ystävää. Kuinka paljon tarjoilut maksoivat yhtä osallistujaa kohti? Toim. Teija Laine, Turun Matikkamaa
45
Matematiikan
kielentäminen
Matemaattisen ajattelun
kehittämisen keinot –
koulutussarja 2011
Jorma Joutsenlahti
Tampereen yliopisto
luokanopettajakoulutus Hämeenlinna
46
Hyvin monet opiskelijat tuntevat, etteivät kykene milloinkaan ymmärtämään matematiikkaa,
mutta että he voivat oppia tarpeeksi pettääkseen tenttijät luulemaan heidän ymmärtävän.
J
He ovat kuin sanansaattaja, jonka on toistettava lause hänelle tuntematonta kieltä – täynnä
huolta saada sanoma ilmoitetuksi, ennen kuin muisti pettää. Hän saattaa tehdä mitä
kummallisempia virheitä.
Sellainen opiskelu on selvästi ajantuhlaamista. Matemaattinen ajattelu on työkalu.
(Sawyer 1958, 7-8)
Jorma Joutsenlahden luennon sisällys:
JoJo / TaY 2
Matematiikan kielentäminen
1. Perusteet
2. Suullinen
3. Kirjallinen
4. Tutkimuksia
) (A4)
1+sy=s
1+s0=s1
1+1=s1
47
Hyvin monet opiskelijat tuntevat, etteivät kykene
milloinkaan ymmärtämään matematiikkaa, mutta
että he voivat oppia tarpeeksi pettääkseen
tenttijät luulemaan heidän ymmärtävän.
Matemaattisen ajattelun kehittämisen keinot –
koulutussarja 2011
Jorma Joutsenlahti
Tampereen yliopisto
luokanopettajakoulutus Hämeenlinna
JoJo / TaY
1
He ovat kuin sanansaattaja, jonka on toistettava
lause hänelle tuntematonta kieltä - täynnä
huolta saada sanoma ilmoitetuksi, ennen kuin
muisti pettää.
Hän saattaa tehdä mitä kummallisempia
virheitä.
Sellainen opiskelu on selvästi ajantuhlaamista.
Matemaattinen ajattelu on työkalu. (Sawyer
1958, 7-8)
JoJo / TaY
2
I Matematiikan kielentämisen
perusteet
JoJo / TaY
JoJo / TaY
3
Tuttua tunneilta …
Johdanto
Esimerkkejä
Tuo on
ihan
hepreaa …
Todistus: x+sy=s(x+y) (A4)
1+sy=s(1+y) (L2)
1+s0=s(1+0) (L2)
x+0=x
(A3)
1+0=1
(L2)
1+s0=s1
(L1)
s0=1
(A1)
1+1=s1
(L1)
s1=2
(A2)
1+1=2
(L1)
4
Mitä toi on
suomeksi
sanottuna …
JoJo / TaY
5
JoJo / TaY
6
48
Kirjallinen työskentely
matematiikassa
JoJo / TaY
7
8
PITKÄN MATEMATIIKAN YOKIRJOITUKSET KEVÄT 2009
Y Lähteenä Aatos Lahtinen: Matematiikan
ylioppilaskirjoitus keväällä 2009 (DIMENSIO 6/2009)
Y kokeeseen osallistui 11 659 kokelasta
Y pakollisena kirjoitti 71% kokelaista
Y ”tavanomainen”
JoJo / TaY
TEHTÄVÄ 6
9
(n=11 659)
Keskiarvo
Hajonta
Vastaus%
6
pistettä
0 pistettä
4,0
2,2
87
n. 50%
n. 14%
JoJo / TaY
TEHTÄVÄT 8 ja 9
• Tyyppitehtävä vastaavassa kurssissa
• ”Tyyppisuoritus oli liian niukka. Paperilla oli
vain kaava … ilman selityksiä”
(n=11 659)
Huom!
JoJo / TaY
10
• Lukiolaisille vaikeita osa-alueita: analyyttinen geometria 3ulotteisessa avaruudessa ja trigonometria
• ”Turhan niukkaa esitystapaa. … YTL ei vieläkään ole
ajatustenlukija.”
11
JoJo / TaY
12
49
Tiedon
prosessoinnin
näkökulma
Psykometrinen
näkökulma
Kielentämisen perusteet
Antropologinen
näkökulma
Matemaattinen
ajattelu
Matematiikan
näkökulma
Pedagoginen
näkökulma
JoJo / TaY
13
21.4.2011
JoJo 2011
14
Tärkeitä jatko-opinnoissa
PISA
mittasi
Mathematical proficiency
Mathematical proficiency
(Kilpatrick, etc. 2002, 16)
(Kilpatrick, etc. 2002, 16)
JoJo / TaY
15
• Matematiikan kielentämisellä tarkoitetaan
matemaattisen ajattelun ilmaisemista kielen
avulla pääsääntöisesti suullisesti tai kirjallisesti
(Joutsenlahti 2009, vrt. Høines 2000).
• Matemaattisella ajattelulla tarkoitetaan
matemaattisen tiedon (konseptuaalisen,
proseduraalisen tai strategisen) prosessointia,
jota ohjaavat ajattelijan metakognitiot
(Joutsenlahti 2005, Sternberg 1996).
JoJo / TaY
17
JoJo / TaY
16
Kieli
Kieli sisältää puhutun ja
kirjoitetun kielen lisäksi kuvat,
ilmeet, eleet sekä mm.
matematiikan symbolikielen.
Kieli on mukana kognitiivisissa
kehitysprosesseissa. Kieltä ja
ajattelua ei voi erottaa toisistaan
kouluikäisillä. (Vygotski)
JoJo / TaY
18
50
Saat opiskelijan puhumaan –
saat opiskelijan ajattelemaan.
Matematiikan kieli, luonnollinen kieli ja kuviokieli
Saat opiskelijan puhumaan
matematiikasta –
saat opiskelijan ajattelemaan
matematiikkaa.
Lyhentein merkityt a lueet o vat matematiikan luonnollinen kieli (MLK), matematiikan symbolikieli (MSK) ja matematiikan kuviokieli (MKK) (Joutsenlahti & Kulju 2010). JoJo / TaY
19
JoJo / TaY
Koulutusjärjestelmän
mukainen tarkastelu
Opetussuunnitelmat ja
ohjeistukset
Esiopetus Alkuopetus Peruskoulu luokat 3-9 Lukio Korkeakoulu
20
JoJo / TaY
21
JoJo / TaY
Esiopetuksen OPS
• Esiopetuksessa on tärkeää kehittää lapsen
22
Perusopetuksen matematiikan
ops:n perusteet 2004 (lk 1-2)
Opetuksen ydintehtäviä mm.:
• matemaattisen ajattelun kehittäminen
keskittymistä, kuuntelemista, kommunikointia
Tavoitteita:
ja ajattelun taitoja. Matemaattisen ajattelun
• Käsitteiden muodostusprosessissa keskeisiä ovat
kehittymisessä on tärkeää, että lapsi oppii
puhuttu ja kirjoitettu kieli
tarkkailemaan myös omaa ajattelemistaan.
• Oppilas oppii perustelemaan ratkaisujaan ja
Lasta on kannustettava kertomaan, mitä hän
päätelmiään konkreettisin mallein ja välinein,
ajattelee tai miten hän ajatteli.
kuvin, kirjallisesti tai suullisesti
JoJo / TaY
23
JoJo / TaY
24
51
Perusopetuksen matematiikan
ops:n perusteet 2004 (lk 3-5)
Perusopetuksen matematiikan ops:n
perusteet 2004 (lk 6-9)
• ilmaisemaan ajatuksensa yksiselitteisesti
Opetuksen ydintehtäviä mm.
ja perustelemaan toimintaansa ja
• matemaattisen ajattelun kehittämisen...
päätelmiään
Tavoitteita:
• esittämään kysymyksiä ja päätelmiä
• Oppilas oppii perustelemaan toimintaansa
ja päätelmiään sekä esittämään
havaintojen perusteella
ratkaisujaan muille
JoJo / TaY
25
JoJo / TaY
26
YTL:n matematiikan kokeen
ohjeet (2006)
Lukion ops:n perusteet (2003)
• Matematiikan opetuksen tehtävänä on tutustuttaa
opiskelija matemaattisen ajattelun malleihin sekä
• …suositeltavia ovat standardoidut ja
oppikirjoissa esiintyvät loogiset merkit,
matematiikan perusideoihin ja rakenteisiin, opettaa
käyttämään puhuttua ja kirjoitettua matematiikan
samoin ainakin muutaman sanan
kieltä sekä kehittää laskemisen ja ongelmien
mittaiset selitykset tai perustelut sekä
ratkaisemisen taitoja.
piirrokset ja näihin perustuvat
• … laatimaan perusteluja sekä arvioimaan perustelujen
huomautukset.
pätevyyttä ja tulosten yleistettävyyttä.
JoJo / TaY
27
JoJo / TaY
Käsite
(Kouki 2010, 37)
Käsite, käsitteen oppiminen ja
ilmaiseminen
Jokaisella käsitteellä katsotaan olevan oma alansa ja
sisältönsä, oma merkityksensä (Lahdes 1997, 177-179).
Pertti Karkama (1991, 29) on todennut, että käsitteiden
alaa ja sisältöä ”määräävät ne toiminnan muodot,
joiden yhteydessä ne syntyvät”. Luonteeltaan
käsitesisällöt ovat verkkomaisia: käsite muodostuu
ilmiöiden tarkastelun kautta siten, että tietyt
näkökohdat avaavat käsitteen sisällön, rakenteen ja
merkityksen (Aebli 1991, 284, 288).
JoJo / TaY
28
29
52
Käsitteen sisältö
Käsite
Käsite
- assosiaatiot, uskomukset
-mielipiteet
-aikaisemmat tiedot
-havainnot
(Kouki 2010,
2010, 38)
(Kouki
38)
Koska käsitteenoppiminen rakentuu monenlaisista mentaalisista
prosesseista, kuten vertailusta, erittelystä, loogisesta ajattelukyvystä
ja muistista, on ilmiselvää, ettei pelkkä käsitteen nimen tai
määritelmän mekaaninen oppiminen riitä: on ymmärrettävä käsitteen
nimen takana oleva käsitteen sisällön, kytkentöjen ja prosessien
muodostama kokonaisuus (Aebli 1991, 295).
viittaa
Opetuksessa on harjoiteltava kyseisen käsitteen merkitystä ja käyttöä
Ulkoinen tarkoite
ja oppilaalla on oltava mahdollisuus konstruoida opetettava käsite
osaksi omaa ajatteluaan ja tiedonrakenteitaan.
esittää
-toimintamateriaali
-esine, asia, ilmiö
- ominaisuus tms.
JoJo2006
JoJo / TaY
31
Summa summarum …
Kielentämisen tarkoituksena on
• luoda oppijalle itselleen merkityksiä
matematiikan käsitteistä ja toiminnoista
oman mielen maisemaan (ymmärtäminen).
• oppia ilmaisemaan matemaattista
ajattelua muille ymmärrettävästi
(esittäminen).
JoJo / TaY
33
JoJo / TaY
32
JoJo / TaY
34
JoJo / TaY
36
II Suullinen kielentämisen
JoJo / TaY
35
53
Kommunikaatio
• Latinan communicare ”tehdä yleiseksi”,
”jakaa”
• Käsitteiden merkitysten rakentaminen ei
ole luokassa kunkin oppilaan yksityinen oma
prosessi, vaan luokan yhteinen prosessi.
Kommunikoinnin avulla tietoa ei siirretä
vaan rakennetaan yhdessä. (Sfard 2000,
2001)
JoJo / TaY
37
Matematiik
kielentämi
39
• näkee kielentämisen hyötynä sen, että muiden opiskelijoiden on helpompi seurata oman ratkaisun kulkua, kun esittämisessä hyödynnetään m onipuolisesti ja tarkoituksenmukaisesti kieliä ts. matematiikan symbolikieltä, luonnollista kieltä, ja kuviokieltä. (presentaatio –näkökulma) • oppii lopulta ilmaisemaan itseään täsmällisesti matematiikan käsitteitä käyttäen ( Joutsenlahti 2003, Joutsenlahti & Kulju 2010) Toim. Teija Laine, Turun Matikkamaa
OPISKELIJA
38
( Joutsenlahti 2003, Joutsenlahti & Kulju 2010) Matematiikan kielentämisessä
opiskelija
JoJo / TaY
OPETTAJA
• jäsentää omaa matemaattista ajatteluaan puhuessaan (kirjoittaessaan) • uskaltaa ilmaista itseään omin sanoin virheitä pelkäämättä JoJo / TaY
Matematiikan kielentämisessä
opiskelija
JoJo / TaY
RYHMÄ
JoJo / TaY
40
Opiskelijan matematiikan
kielentämisestä opettaja
• voi arvioida opiskelijan oppimisprosessia (mm. käsitteiden ymmärtämistä sekä algoritmien hallintaa) • ohjata keskustelua opetuksen tavoitteiden suunnassa (Joutsenlahti 2003, 2009) 41
JoJo / TaY
42
54
Suulliseen kielentämiseen
ohjaaminen luokassa
Opiskelijan matematiikan
kielentämisestä opettaja
1. Koko luokan keskustelu (Whole-‐ Class Discussion) 2. Pienryhmä keskustelu (Small-‐Group Discussion) 3. Parikeskustelu (Partner Talk) (Chapin, O’Connor & Anderson 2009) • suunnitella uusia yksilöllisiä opetusjärjestelyjä (tukiopetus, eriyttäminen, erityisopetus) lyhyellä aikavälillä • suunnitella ryhmän opetusjärjestelyjä pitkällä aikavälillä • oppii olemaan kuuntelija (Joutsenlahti 2003, 2009) JoJo / TaY
43
Suulliseen kielentämiseen
ohjaaminen luokassa
Keskustelun ohjaamisen keinoja:
1. Uudelleen kertominen: opiskelija sanoo itse uudelleen
eri sanoin (Revoicing)
2. Toistaminen: toinen opiskelija kertoo omin sanoin miten
ymmärsi toisen opiskelijan
päättelyn tms. (Repeating)
3. Päättely: opiskelija vertaa omaa päättelyään toisen
opiskelijan päättelyyn. (Reasoning)
4. Lisääminen: opiskelijoita kehotetaan jatkamaan toisen
opiskelijan esitystä. (Adding on)
5. Odottaminen: opettaja määrää yhteisen tuumaustauon
(Waiting)
(Chapin, O’Connor & Anderson 2009)
JoJo / TaY
45
JoJo / TaY
44
Matematiikan kielentämisessä
muu ryhmä • reflektoi omaa matemaattista ajatteluaan suhteessa ilmaistuun ajatteluun ja rakentaa siten omaa matemaattista ymmärrystään • voi ymmärtää opiskeltavia käsitteitä yms. uudella tavalla vertaisryhmän kielen kautta • arvioi esitetyn ratkaisun oikeellisuutta ja oppii keskustelemaan eri ratkaisuvaihtoehdoista JoJo / TaY
46
JoJo / TaY
47
JoJo / TaY
48
55
Taustaa
• Oppilaan monipuolinen kirjoittaminen
matemaattisten tehtävien ratkaisuissa
matematiikkaa kohtaan ja helpottaa
opettajan arviointityötä. (Candia Morgan
2001, 233–235)
JoJo / TaY
kehittää matemaattista ymmärtämistä,
parantaa oppilaiden asenteita
edistää matematiikan oppimista,
III Kirjallinen kielentäminen
49
Taustaa
• Oppilaan luonnollisen kielen käyttö
50
Matematiikan kieli, luonnollinen kieli ja kuviokieli, kun
rekisterinä on matematiikan sanallisten tehtävien
ratkaisun esittäminen.
Lyhentein merkityt alueet ovat matematiikan luonnollinen kieli (MLK),
matematiikan symbolikieli (MSK) ja matematiikan kuviokieli (MKK)
ongelmien pohdinnassa ja ratkaisujen
hahmottamisessa niin puhuttuna kuin
kirjoitettunakin auttaa häntä
jäsentämään ajatteluaan itselleen ja
toisaalta muille oppilaille.
(Joutsenlahti 2003; Fuson, Kalchman &
Bransford 2005).
JoJo / TaY
JoJo / TaY
51
JoJo / TaY
53
(Joutsenlahti & Kulju 2010).
JoJo / TaY
52
JoJo / TaY
54
56
Jaakkola et. al. (2001) KOLMIO
matematiikan tietokirja Tammi, s.
Pitkä
matematiikka
Funktiot ja
Yhtälöt 2
118.
(Kangasaho, Mäkinen,
Oikkonen, Paasonen,
Salmela 2000, WSOY.
S.66)
Luonnollisen kielen käytön
mahdollisuus ratkaisussa?
JoJo / TaY
55
Kirjallisen kielentämisen
malleja
JoJo / TaY
Luonnollinen kieli
58
JoJo / TaY
60
Mieti, mitä
kirjoittasit
Luonnollinen kieli
kullekin riville?
Matematiikan kieli
5. lk:n ratkaisuja
Matematiikan kieli
JoJo / TaY
Kielennys
ratkaisuun
Matematiikan kieli
Luonnollinen kieli
(Mäclin & Nikula 2010)
Luonnollinen kieli
Standardi -malli
57
"Kertomus"-malli
(Tuhattaituri 6, s.16)
56
Matematiikan kieli
(Joutsenlahti 2009, 2010)
JoJo / TaY
Matematiikan kieli
Luonnollinen kieli
JoJo / TaY
59
57
"Tiekartta"-malli
Päiväkirja"-malli
Luonnollinen kieli
Matematiikan kieli
Luonnollinen kieli
Matematiikan kieli
Matematiikan kieli
Luonnollinen kieli
Luonnollinen kieli
JoJo / TaY
”Kommentti” –malli
Matematii-‐ kan symbolikieli 61
JoJo / TaY
(1. vsk Helsingin Luonnontiedelukio)
62
Missio:
Sanallisiin tehtäviin erillinen vastaus kokonaisena
virkkeenä, koska
1. vastaukseen saadaan luontevasti (mitta)yksiköt
(”Ostokset maksoivat 45 euroa.”)
Luonnollinen kieli
/ Kuviokieli
2. oppilas vastaa siihen mitä kysytään (Oppilas
joutuu lukemaan tehtävän kysymyksen vielä
kerran.)
3. oppilas joutuu pohtimaan antamansa vastauksen
mielekkyyttä suhteessa tehtävän antoon (Arviointi,
kehittää oppilaan metakognitiivisia taitoja.)
JoJo / TaY
63
JoJo / TaY
64
JoJo / TaY
65
JoJo / TaY
66
58
Kielentäminen ja
oppimateriaali
IV Tutkimuksia kielentämisestä
JoJo / TaY
67
Ohjaaminen sosiaaliseen interaktioon 6.
luokan opettajan oppaissa(Pispa &
Rantanen 2007, 118 )
JoJo / TaY
68
Avoimien tehtävien osuus osioittain kussakin
6. lk:n opettajan oppaassa (Pispa & Ranta)
100
90
91
90
80
83
70
60
50
30
20
40
Opettajan opas
Laskutaito
17
10
9
Matikkamatka
10
0
Tuhattaituri
(N=641
N=1014
N=425)
yhdessä
yksin
Sosiaalinen interaktio
JoJo / TaY
69
JoJo / TaY
70
Esim. Esiopetuksen tuloksia
(Korvenoja & Laaksonen)
Lukiolaisten ja
korkeakouluopiskelijoiden
näkemyksiä kielentämisestä
n=163
n=527
n=336
JoJo / TaY
71
JoJo / TaY
72
59
N=38
Kyllä
En
En osaa sanoa
TYTTÖ
8 (35 %)
4 (17%)
11 (48 %)
POIKA
4 (27 %)
3 (20%)
8 (53 %)
YHTEENSÄ
12 (32 %)
7 (17 %)
19 (50 %)
JoJo / TaY
73
TTY:n opiskelijoiden käsityksiä
kielentämisestä
JoJo / TaY
Sanan lasku -tutkimusprojekti
(Kirsi Silius, Seppo Pohjolainen,
Jussi Kangas, Thumas Miilumäki, Jorma Joutsenlahti 2011)
7.5 %
16.9 %
16.9 %
77.5 %
Sanan Lasku
65,0 %
60.6 %
49.4 %
28.2 %
18.8 %
43.8 %
8.2 %
68.8 %
JoJo / TaY
75
Tutkimusaiheina matematiikan
kielentäminen
JoJo / TaY
YEsiopetuksessa
•
Saana Niittymäki (2010).
YAlkuopetuksessa
•
Kaikkien lasten kohdalla kielentämisestä oli apua
esimerkiksi siinä, että he huomasivat helpommin,
jos olivat tehneet laskussa virheen.
YParityöskentelyssä 5. luokalla
•
Matematiikan kielentämistä voidaan alkaa
harjoittelemaan jo päiväkodissa.
YKirjallisesti 3., 5. ja 7. luokalla
•
Kielentämisen perusteiden oppiminen esikoulussa
helpottaa siirtymistä koulumaailmaan ja siellä
puolestaan käyttää aktiivisesti kielentämistä osana
matematiikan opiskelua.
YKirjallisesti lukiossa
YKirjallisesti ja suullisesti korkeakoulussa
JoJo / TaY
77
76
1. Matematiikan kielentäminen
varhaiskasvatuksessa
YErityisopetuksessa
74
JoJo / TaY
78
60
3. Viidennen luokan oppilaiden
matematiikan suullinen kielentäminen
parityöskentelyssä
alkuopetuksessa
VILLE KESKINEN (2010): Pelaten ja leikkien – yhdessä kohti haluttua
päämäärää
• Jaana Mansikka-aho & Saara Sirén (2010): Mieti uudelleen ja
sano!
Toimintatutkimus matematiikan toiminnallisesta opetuksesta
alkuopetuksessa
• Suullisen kielentämisen avulla oppilaat voivat päästä yhdessä
pohtien ja reflektoiden oikeaan ratkaisuun.
• Kuului osana ”Matematiikkaa luonnossa” –hankkeeseen
(Hämeenlinnan Kulttuurikeskus ARX)
• Tytöt ja pojat kielentävät ajatuksiaan suullisesti suunnilleen
yhtä paljon, mutta tyttöjen yhteistyö tehtävien
ratkaisemiseksi on tiiviimpää.
• Oppiaineiden integrointia (ympäristökasvatusta, matematiikkaa)
• Suullinen kielentäminen onnistuu yleensä parhaiten sellaisilta
pareilta, joiden matematiikan taitotaso on lähellä toisiaan.
• Toiminnallinen opetus haastaa oppilaat kielentämään ja
selventämään ajatuksiaan
• Kielentämisen kolme dimensiota toteutuvat ja ilmenevät luontoopetuksessa
JoJo / TaY
• Opettaja hyötyy paljon oppilaiden suullisesta kielentämisestä
ja voi sen avulla suunnitella ja eriyttää opetustaan
79
JoJo / TaY
80
4. Kirjallinen kielentäminen 3., 5.
ja 7. luokalla
erityisopetuksessa
•
Mäclin & Nikula (2010): Matemaattisen ajattelun kirjallinen
kielentäminen matemaattisen ongelman ratkaisuvälineenä (Pro gradu)
•
Tulokset antavat viitteitä siitä, että erityisesti keskitasoiset
matematiikan osaajat kokisivat hyötyvänsä matemaattisen ajattelun
kirjallisesta kielentämisestä.
• Anne-Mari Ruuska (2010): Matematiikan
kielentäminen erityisopetuksessa
•
Kirjoittamisen mieluisuus on merkitsevästi yhteydessä kirjallisen
kielentämisen hyödylliseksi kokemiseen matematiikassa
•
Suurimmaksi hyödyksi kirjallisessa kielentämisessä matematiikassa
nähtiin ajattelun jäsentäminen ja parempi matematiikan tehtävän
ymmärtäminen
•
Opettajien kannalta kirjallinen kielentäminen matematiikassa koettiin
hyödylliseksi työvälineeksi oppilaita arvioidessa. Lisäksi tulosten mukaan
se mahdollistaa opettajille muun muassa kaikkien oppilaiden
matemaattisen ajattelun tarkastelun.
JoJo / TaY
• matemaattinen ajattelu jäsentyi ainakin matemaattisten käsitteiden käytössä
• toimintamateriaalin käytön kautta käyty keskustelu
toi parhaiten esille matemaattista ajattelua
• Soveltavat käytännön tehtävät soveltuivat oppilaille
81
JoJo / TaY
82
Katsaus matematiikan
kielentämisen tutkimustuloksiin
peruskoulussa
• Tietokoneen käyttö tunneilla ei soveltunut hyvin
matematiikan kielentämiseen.
Joitakin lähteitä:
Chapin S., O’Connor C. & Anderson N. (2009). Classroom discussions. Using math talk to help students learn. Sausalito
(California): Math Solutions.
Jaakkola M. (2010), Monistrateginen tutkimus 6.-luokkalaisten matemaattisesta minäkäsityksestä ja suhtautumisesta
matematiikan opiskeluun. Tampereen yliopisto , Opettajankoulutuslaitos (Hämeenlinna). Kasvatustieteen
kandidaatintutkielma
Joutsenlahti J. (2003). Kielentäminen matematiikan opiskelussa. Teoksessa Virta Arja & Marttila Outi (toim.) (toim.) Opettaja,
asiantuntijuus ja yhteiskunta (Ainedidaktinen symposium 7.2.2003). Turku: Turun opettajankoulutuslaitos, 188–196.
(Turun yliopiston kasvatustieteiden tiedekunnan julkaisuja B:72).
Joutsenlahti J. (2005). Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä. Tampere. (Acta Universitatis
Tamperensis 1061).
Joutsenlahti J. (2009). Matematiikan kielentäminen kirjallisessa työssä. Teoksessa Raimo Kaasila (toim.) Matematiikan ja
luonnontieteiden opetuksen tutkimuspäivät Rovaniemellä 7.-8.11.2008. Rovaniemi: Lapin yliopisto, 71–86. (Lapin
yliopiston kasvatustieteellisiä raportteja 9).
Joutsenlahti J & Kulju P. (2010). Kieliteoreettinen lähestymistapa koulumatematiikan sanallisiin tehtäviin ja niiden
kielennettyihin ratkaisuihin. Teoksessa Eero Ropo, Harry Silfverberg & Tiina Soini (toim.) Toisensa kohtaavat
ainedidaktiikat. Ainedidaktiikan symposiumi Tampereella 13.2.2009. Tampere: Tampereen yliopisto, 77–90.
(Tampereen yliopiston opettajankoulutuslaitoksen julkaisuja. A 31).
Mäclin J. & Nikula M. (2010). Matemaattisen ajattelun kirjallinen kielentäminen matemaattisen ongelman ratkaisuvälineenä.
http://tutkielmat.uta.fi/pdf/gradu04498.pdf
SUUNNITTELIJANA
JoJo / TaY
83
JoJo / TaY
84
61
Huh! Kiitokset mielenkiinnosta!
jorma.joutsenlahti@uta.fi
http://www.Joutsenlahti.net
JoJo / TaY
85
62
”Matemaattisen ajattelun
kehittäminen, matemaattinen
ongelmanratkaisu ja luovuus
matematiikassa”
Matemaattisen ajattelun kehittämisen keinot
– koulutussarja 2011
Erkki Pehkonen
Helsingin yliopisto
63
MATEMAATTISEN AJATTELUN KEHITTÄMINEN MATEMAATTINEN AJATTELU Erkki Pehkonen OKL /HY 1
2
•  Ajattelun kehittäminen on ollut kaikkia koulun oppiaineita koskeva formaali tavoite aivan peruskoulun alusta lähtien (ks. Anon. 1970). •  Samoin se on kansainvälisesti yhä edelleen tutkimuksen ja kehittämisen polttopisteessä (esim. McGregor 2007). 3
4
•  Ajattelun tutkimisen ongelmallisuudesta toteaa mm. Astington & Olson (1995): “Suuri ongelma on että ... ajattelemisella ei ole mitään käyttäytymiseen liittyviä indeksejä.” •  Opettajat voivat ainoastaan keskustelujen kautta päästä selville oppilaiden ajattelusta. •  Tällöin tulevat kyseeseen lähinnä oppilaiden vastaukset kysymyksiin ja oppilaiden keskusteluihin tovereidensa kanssa. Jo 1985 Peruskoulun opetussuunnitelman perusteissa todettiin selkeästi, että opetuksen tavoitteissa tulisi kiinnittää enemmän huomiota tiedollisen kasvatuksen formaaliin puoleen: “… tieto on vain väline …“ 5
POPS-mietinnössä (Anon. 1970) •  tiedollisen kasvatuksen tavoitteet jaetaan materiaalisiin ja formaalisiin. - materiaaliset tavoitteet ovat ainekohtaisia sisältötavoitteita, - formaalisiin tavoitteisiin kuuluvat ajattelun kehittäminen, käsitteiden muodostus ja niiden käyttö, päätteleminen, tietojen arvioiminen, ongelmien ratkaiseminen ja luova ajattelu 6
64
Mitä on matemaattinen ajattelu? 7
•  Yleensä ajatellaan, että matemaattinen ajattelu on samaa kuin looginen ajattelu, mutta aktiivisesti matematiikkaa käyttä- välle on tarpeen myös luova ajattelu. •  Matemaattinen ymmärtäminen liittyy läheisesti matemaattiseen ajatteluun, kuten myös matemaattinen tietorakenne ja tiedon luonne – konseptuaalinen ja proseduraalinen tieto. 8
Matemaattisesta ajattelusta •  Matemaattinen ajattelu ei ole ajattelua matematiikasta, väittää Leone Burton (1984, 35), vaan se muodostuu tietyistä matemaattisiksi tunnistettavista operaatioista (toimituksista) ja prosesseista (tapahtumasarjoista) sekä niihin liittyvästä dynamiikasta (jännitekentistä). •  Näistä erityisesti matemaattisen ajattelun prosessit ovat kiinnostavia ongelmanratkaisun kannalta. •  Em. prosesseista näyttävät seuraavat neljä olevan keskeisimpiä: - erikoistapaukseen siirtyminen (specializing), - otaksumien esittäminen (conjecturing), - yleistäminen (generalizing) ja - vakuuttaminen (convincing). 9
10
Esimerkki 1 (Mason 1982, 1) Esimerkin käsittelyä •  Tavaratalossa sinulle tarjotaan suuresta ostoksesta 20 % alennus, mutta sinun täytyy maksaa siitä 15 % myyntiveroa. •  Kumpi sinun kannattaisi laskea ensin: alennus vai vero? 11
•  Erikoistapaukseen siirtyminen: Esimerkiksi valitaan ostoksen hinnaksi 100 € ja lasketaan siitä sekä alennus että vero. •  Otaksumien esittäminen: Näitä erikoistapauk- sia lasketaan niin paljon, että mielessä herää otaksuma ratkaisusta. •  Tämä pyritään yleistämään (yleistäminen ) ja lopuksi osoittamaan yleisesti voimassa olevaksi (vakuuttaminen). 12
65
Matemaattisesta ymmärtämisestä •  Herscovics & Bergeron (1983, 75) esittävät, että "ymmärtämistä ei voida erottaa sanoista "ajatella", "tietää" ja "oppia", koska ymmärtäminen on •  Toisenlaisen lähtökohdan matemaattisen ajattelun käsitteeseen esittää Rice (1992). •  Hän keskittyy matemaattisiin ajattelustrategioihin, joihin hän laskee kuuluvan ainakin seuraavat: luokittelu, lukujonotaidot, analogian muodostaminen, deduktiivinen päättely ja ongelmanratkaisutaidot. ajattelun tulos, joka ei voi toimia tyhjiössä, vaan aikaisemmin hankitun tiedon kautta". 13
•  Esimerkiksi Wachsmuth (1985, 45) kuvaili ymmärtämisen 'omien ajatustensa järjestämisenä' seuraavasti: "Ymmärtää joku asia tarkoittaa, että pystyy järjestämään sen omaan henkiseen kategoriajärjestelmäänsä." 14
•  Ymmärtäminen voidaan nähdä myös potentiaalisena kykynä tehdä sellaisia tiettyyn aiheeseen liittyviä ajattelua vaativia toimintoja kuten selittämistä, todisteiden löytämistä, yleistämistä, soveltamista, analogioiden löytämistä ja käsitellyn aiheen esittämistä toisella tavalla (Joutsenlahti 2005, 84). •  Tutkimusten perusteella tiedetään, että ajattelustrategiat näyttävät olevan matematiikassa keskeisiä erottavia tekijöitä hyvien ja huonosti menestyvien oppilaiden välillä (esim. Kulm 1990). 15
•  Hiebert & Carpenter (1992) kuvaavat ymmär- tämisen prosessina, joka kiinnittyy tiettyyn henkilöön, tarkasteltavaan matemaattiseen sisältöön ja erityiseen ympäristöön: •  “Henkilö on ymmärtänyt matemaattisen idean tai menetelmän tai tosiasian, jos se on osa hänen sisäistä tietoverkkoaan. Ymmärtämisen asteen määräävät tietoverkon yhteyksien lukumäärä ja voimakkuus.” 17
16
•  Viime aikoina on tuotu taas kertaalleen esille se tosiasia, että opetuksen tulokset näyttävät pysyvän kovin mekaanisella tasolla ja ettei korkeamman tason ymmärrystä näytetä saavutettavan (esim. Virtanen 1994, Meren- luoto & Pehkonen 2004), vaikkakin sitä kovasti toivotaan. •  Matemaattinen ymmärrys näyttää olevan prosessi, jossa edistytään hitaasti ja silloinkin vain kovasti työtä tekemällä 18
66
Esimerkki 2 •  Tiedämme, että pätee 498 : 6 = 83 . Selvitä tästä tiedosta perustellen, mitä saadaan tehtävän 491 : 6 = ? vastaukseksi, ratkaisematta tehtävää jakokulmassa. 19
•  Tietoa voidaan tarkastella filosofisesta näkökulmasta, jolloin nousee esille kysymys: Mitä on tieto? •  Tähän on olemassa perinteinen Platonin määritelmä “tieto on hyvinperusteltu tosi uskomus” (esim. Niiniluoto 1992, 57). 21
Matemaattinen tieto 23
20
•  Subjektiivisen ja objektiivisen tiedon välinen suhde matematiikassa on keskeistä sosiaalisen konstruktivismin filosofian mukaan. •  Subjektiivinen tieto on yksilön omaa, kun taas objektiivinen tieto on yhteisön hallinnassa. •  Tiedonhankinnassa erotetaan eri suuntauksia – puhutaan empirismistä ja rationalismista. •  Psykologisesti tiedon käsite usein jaetaan kahteen eri tyyppiin, jossa jaon perus- teena on ollut erottaa toisistaan taidon oppiminen ja tiedon ymmärtäminen. 22
•  Tunnetusti matemaattinen tieto jaetaan menetelmätiedoksi (procedural knowledge), kuten algoritmitieto, ja käsitetiedoksi (conceptual knowledge), kuten tosiasiatieto (Hiebert & Lefevre 1986). •  Nämä molemmat tulevat kysymykseen matematiikan oppimisessa. 24
67
Esimerkki 3 (Campbell 1996) •  Ymmärtäminen liittyy ensisijaisesti käsitetietoon. •  Lisäksi Hiebert ja Lefevre (1986) korostavat tietokokonaisuuksien merkitystä käsitetiedon omaksumisessa. Olkoon A luku 6*147 + 1 . Jos jaat 6:lla luvun A, mikä on jakojäännös? Paljonko on osamäärä? 25
26
Esimerkki 4 (Zazkis & Campbell 1996) Matemaattisesta tietorakenteesta •  Koska matemaattisen tiedon osat ovat yhteydessä toisiinsa, ottamalla tosiasiatiedot ja niiden väliset suhteet syntyy tietty rakenne, jota kutsutaan matemaattiseksi tietorakenteeksi. •  Usein matemaattinen tietorakenne esitetään graafina (esim. Kiesswetter 1977), joka koostuu tosiasiatiedoista (solmu) ja niiden välisistä yhteyksistä (polku). Tarkastellaan lukuja 12 358 ja 12 368. Tutki, onko niiden välissä kaksi lukua, jotka ovat jaollisia 7:llä tai 12:lla? 27
28
Kaavamainen kuva yksilön tietorakenteesta •  Tämäntyyppinen tietorakenne on kuvattu kaavamaisesti alla kuviossa, jossa mustat ympyrät kuvaavat tietoyksiköitä ja viivat niiden välisiä yhteyksiä sekä neliöt tietorakenteeseen liittyviä emootioyksiköitä ja viivat niiden välisiä yhteyksiä. 29
•  Ymmärtämiseen tähtäävän opiskelun tuloksena syntyy lisää yhteyksiä tietorakennetta kuvaavaan graafiin. •  Yksilön tietorakenteen yhteydessä on oppimistilanteeseen liittyviä tunne- latautuneita muistoja, useimmiten turhautumisesta (vrt. Bereiterin (1990) moduliteoria oppimisesta). 30
68
•  Parhaimmillaan yksilön matemaattinen tieto muodostuu selkeäksi loogiseksi kokonaisuudeksi – matemaattiseksi tietorakenteeksi, joka on tarvittaessa palautettavissa mieleen. •  Tällainen tarve tulee esimerkiksi ongelmanratkaisutilanteessa, jossa yksilön on ratkaisun löytämiseksi usein hahmotettava tilanne uudella tavalla. 31
•  Siispä Kiesswetteriä (1983) mukaillen voidaan sanoa: Ongelman ratkaisu saadaan tuotettua, kun pystytään rakentamaan riittävästi lisää yhteyksiä tietorakenteessa olevien vanhojen tosiasioiden välille tai lisäämään uusia relevantteja tosiasioita. •  Tämä vaatii yleensä kykyä hahmottaa omaksuttu matematiikka uudella tavalla, kykyä nähdä uusia yhteyksiä aikaisemmassa tietograafissa. 32
•  Mutta käytännössä suuri osa jokaisen yksilön matemaattisesta tiedosta on uskomustasolla, ts. se muodostuu henkilökohtaisista (enemmän tai vähemmän selkeistä) käsityksistä tai muisti- kuvista aikoinaan opitusta matematiikasta, jotka voivat poiketa merkittävästikin yleisesti hyväksytyistä käsityksistä. Matemaattisen ajattelun kehittäminen •  Tähän henkilökohtaiseen tietoon saattaa liittyä usein jopa täysin vääriä tulkintoja matemaattisesta tiedosta. 33
34
Keinoja •  Peruskoulun opetussuunnitelmassa (Anon 2004) matemaattisen ajattelun kehittäminen mainitaan yhtenä kes- keisimmistä matematiikanopetuksen tavoitteista. •  Opetussuunnitelma ei tarjoa keinoja tähän päämäärään, vaan jättää sen opettajan omaan harkintaan. 35
•  Ainakin neljä tällaista opetuksessa käytettävää keinoa voidaan mainita: - ongelmatehtävien käyttäminen, - luvuilla leikittely, - matematiikan kielentäminen (ks. Joutsenlahti 2003), - ajatuskartan laatiminen (ks. Buzan 1989). 36
69
Ongelmanratkaisun käyttäminen Ongelmatehtävien luokittelua: •  Ongelmanratkaisussa on useita suuntauksia. •  Puhutaan mm. Polyan malliin perustuvasta ongelmanratkaisusta, avoimesta ongelmanratkaisusta, luovasta ongelmanratkaisusta. 37
•  Esimerkiksi puhutaan PISA-tehtä- vistä, jotka ovat suurelta osalta aivan omantyyppisiä ongelmatehtäviä, ns. kompleksisia ongelmia ja yleensä non-standardeja tehtäviä. •  Non-standardi tarkoittaa ei-tavanomaista, ts. tehtäviä, joita ei löydä oppikirjoista. 38
Non-standardien tehtävien käyttäminen Esimerkki 5 •  Kouluopetuksessa oppilaan ajattelua voidaan parhaiten edistää MIKSI?- kysymyksillä. •  Oli oppilaan vastaus oikea tai väärä, niin ei tyydytä siihen, vaan pyyde- tään häntä selittämään, miksi hän on päätynyt tuohon vastaukseen. 39
•  Kuinka moneen neliöön voidaan annettu neliö jakaa? 40
Luvuilla leikittely •  Erityisesti ala-asteella olisi oppilaiden saada mahdollisuus luvuilla leikittelyyn. •  Lapset ovat yleensä kovin kiinnostu- neet suurista luvuista, erityisesti äärettömyys kiehtoo heidän ajatteluaan. •  Tätä kiinnostusta pitäisi opetuksessa 41 hyödyntää. Toim. Teija Laine, Turun Matikkamaa
Esimerkki 6 •  Sellaista lukua sanotaan palindromiksi, joka etu- ja takaperin luettuna on sama, esim. 121 ja 5445. •  On esitetty väite, että kaikki nelinumeroiset palindromiluvut ovat 11 jaollisia. Pitääkö tämä paikkansa? 42
70
Matematiikan kielentäminen Jatk. •  Kaikista luvuista ei saada noin nopeasti palidromeja, esim. 85 ja 58 on yhteensä 143 josta on jatkettava: 143 + 341 = 484. •  Lukua 85 sanotaan tyypin 2 luvuksi, koska tarvitaan kaksi yhteenlaskua. •  Tutki kaksinumeroisia lukuja: Ovatko ne kaikki tyyppiä 1 tai 2? Mitä säännönmukaisuutta pystyt löytämään? •  Ks. Joutsenlahden esitys (ti 12.4.2011) 43
44
Tietorakenteen esittäminen ajatuskarttana •  Opettaja voisi selvittää opiskelijoiden tietorakennetta ainakin keskeisten sisältöjen kohdalla. •  Tämä voisi yksinkertaisimmin toteuttaa teettämällä opiskelijoilla kysei- sestä ainepiiristä käsitekartan, mutta saman asian toimittanee myös ajatuskartta. 45
46
•  Usein matematiikan opiskelijankin tietorakenne voi olla kovin hatara ja koostua erillisistä tietoelementeistä ja assosiaatioista, joiden avulla hän kuitenkin pystyy ratkaisemaan tehtäviä ja antamaan kuvan riittävästä matemaattisen tiedon hallinnasta. •  Lisäksi tietorakenteessa on mukana usein vahvoja tunnelatauksia, jotka saattavat peräti rajoittaa ko. henkilöä käyttämästä tietojaan täysipainoisesti. •  Kun heidän kotona laatimistaan ajatus- kartoista keskustellaan yhteisesti, saa opettaja kuvan opiskelijoiden ajattelun tasosta sekä voi auttaa heitä kehittämää omaa tietorakennet- taan. •  Usein matematiikan opiskelijankin tietorakenne voi olla kovin hatara ja koostua erillisistä tietoelementeistä ja assosiaatioista, joiden avulla hän kuitenkin pystyy ratkaisemaan tehtä- viä ja antamaan kuvan riittävästä matemaattisen tiedon hallinnasta. •  Oppilaiden tietorakenteen selvittäminen voisi yksinkertaisimmassa muodossaan toteutua teettämällä heillä kyseisestä ainepiiristä käsitekartan tai ajatuskartan. 47
48
71
•  Seuraavassa esitetään yhden matematiikan opiskelijan, Sannan haastattelun (Duisburg 1999) tuloksista konstruoitu tietorakennelma. •  Sanna oli vähän yli parikymmenvuotias tasapainoisesti esiintyvä opiskelija, joka opiskeli viidettä vuotta ja jolla oli jäljellä opettajatutkintoon pro gradua vastaavan tutkielman tekeminen sekä joitakin tenttejä. •  Lukiossa hän oli suorittanut lyhyen matematiikan, ja kertoi opetuksen siellä olleen laskemis- painotteista. tarina
shakkilaudasta
x
kuvaaja
ei leikkaa
x-akselia
x
koskaan
nolla
0
e-funktiolla suurin kasvu johta De = e minen mielikuva
eksponentiaalinen
kasvu
käänteisfunktio ln
arvot
laskimella
perusteluja
x
x
•  Sovitetaan Sannan tietorakenne alussa kuvailtuun teoreettiseen malliin: •  Tosiasiatietoja (Sannan kannalta), jotka on lihavoitu ja rajattu soikiolla; näistä keskeinen tosiasia on rajattu paksummalla viivalla. •  Eritasoisia luuloja ja arveluja, jotka on rajattu soikiolla (mutta ei ole lihavoitu). 49
•  Emotionaalisia reaktioita, jotka on esitetty suorakulmiona. 50
Ajattelutaitojen arviointi HYVÄ
LUOJA
HYVÄ
LUOJA 51
52
Perusopetuksen päättöarvioinnin kriteerit •  Opetushallitus (Anon. 1999) on laatinut arviointikriteerit, joissa määritellään ne tietoja taitotasot, jotka oppilaan pitää hallita saavut- taakseen arvosanan kahdeksan (8). •  Tietojen ja laskutaitojen rinnalla tarkastellaan oppimistuloksina myös päättely-, perusteluja kommuni- tiotaitoja. 53 Arvioinnin osa-alueet 54
72
Matemaattisen ajattelun arvioinnista •  Matemaattisessa ajattelussa voidaan erottaa eri komponentteja, joista kutakin voidaan mitata sopivin tehtävin: - Ongelmanratkaisutaitoja - Luokittelutaitoja - Käsitteellisyys 55
•  Seuraavassa esimerkissä kohta a) edustaa tavanomaista oppikirja- tehtävää. •  Sitä jatketaan kysymällä oppilaan ajattelua: kohdat b) ja c) mittaavat oppilaan ymmärtämisen tasoa, edellinen oppilaan kykyä metakogni- tiiviseen ajatteluun ja jälkimmäinen kykyä yleistämiseen. 56 Esimerkki 7 •  Eeva ajattelee kahta lukua. Niiden summa on 19 ja erotus 5. •  Määritä luvut. •  Kuinka pystyt löytämään luvut? •  Onko aina mahdollista löytää kaksi lukua, jos tiedetään niiden summa ja erotus? Perustele vastauksesi! 57
73
MATEMAATTINEN ONGELMANRATKAISU
Erkki Pehkonen
OKL /HY
*  Ongelmanratkaisua tarjotaan yleisesti menetelmänä matemaattisen ajattelun ja luovuuden kehittämiseen (esim. Schoenfeld 1985). *  Opetussuunnitelman kaikkia aineita koskevana (formaalina) yleistavoitteena on luovuuden kehittäminen (OPH 2004). 2
1
Malli ongelmanratkaisulle Mitä on ongelmanratkaisu? *  Tehtävän sanotaan olevan ongelma, jos sen ratkaiseminen vaatii, että ratkaisijan on yhdisteltävä ennestään tuttua tietoa (hänelle) uudella tavalla. *  Jos hän voi heti tunnistaa ne toimenpiteet, jotka tarvitaan tehtävän ratkaisemiseen, niin kyseessä on hänelle rutiinitehtävä (tai standardi-tehtävä tai harjoitustehtävä). *  Polya (1945) esitti jo yli 60 vuotta sitten 4- portaisen ongelmanratkaisu-mallin (Ongelman ymmärtäminen. Ratkaisun suunnitteleminen. Ratkai-sun toteuttaminen. Tarkastelu). *  Mason’in (1985) malli koostuu kolmesta vaiheesta: aloitus, hyökkäys, tarkastelu. Huom! muhimiskierre 4
3
Yhteensopivuus konstruktivismin kanssa *  Masonin (1985) tulkinta ongelman-ratkaisulle on yhteensopiva oppimisen konstruktivistisen ymmärtämisen kanssa. *  Yksi lupaava menetelmä näyttää olevan ns. “avoin lähestymistapa”, opettaja tarjoaa avoimen ongelman (tai ongelmatilanteen) muodossa (ks. Pehkonen 2001). 5
Avoimet tehtävät *  Opetuksessa käytettävät tehtävät voidaan jakaa avoimiin ja suljettuihin tehtäviin. *  Suljetussa tehtävässä on alku- ja lopputilanne yksikäsitteisesti määritelty. *  Oppikirjojen tehtävistä suurin osa on suljettuja. 6
74
Esimerkki 1 Esimerkin käsittelyä *  Tarkastellaan suorakulmiota, jonka pinta-ala on 60 cm2. a) Laske suorakulmion piiri, kun sen ala on 60 cm2 ja pituus 12 cm. b) Mitä kaikkia arvoja sellaisen suorakulmion piiri voi saada, jonka ala on 60 cm2. *  Ensimmäinen on selkeästi suljettu tehtävä. Siinä on annettu kaikki, mitä tarvitaan ratkaisuun pääsemiseksi. *  Toinen tehtävä on taas avoin tehtävä, sillä siinä on ensin mietittävä alku-arvoja ja suunniteltava etenemistä. 8
7
Avoin ongelmanratkaisu Esimerkki 2 *  Palindromi on luku, joka on etu- ja takaperin sama, esim. 12321. Tutki, ovatko kaikki nelinumeroiset palindromiluvut jaollisia luvulla 11. *  Miten ratkaisit ongelman? *  Miten arvelet peruskoulun yläluokkien oppilaiden ratkaisevan ongelman? 10
9
Esimerkki 3 Avoimien tehtävien käyttämisestä *  Yksinomaan tavanomaisten koulutehtävien käyttäminen rajaa oppilaiden käsityksen matematiikasta helposti hyvin kapea-alaiseksi, kun taas avoimien tehtävien avulla tätä kuvaa voidaan pyrkiä laajentamaan. *  Avoimet tehtävät tarjoavat oppilaille enemmän harkintavapautta ratkaisemisvaiheessa, mutta toisaalta he joutuvat käyttämään hallitsemaansa tietoa monipuolisemmin. 11
*  Oppilaille annetaan A4-paperista leikattu suunnikas ja sakset. *  Tehtävänä on selvittää, onko mahdollista leikata suunnikas kahteen palaan siten, että niistä paloista voidaan koota suorakulmio. *  Perustelut ratkaisulle! 12
75
Esimerkin käsittelyä *  Seuraavaksi voidaan kysyä, onko toisenlaista tapaa ratkaista ongelma. Kuinka monta erilaista ratkaisua on yhteensä? *  Jatkotehtäväksi voidaan antaa saman ongelman tutkiminen eri monikulmioilla (esim. suorakulmainen kolmio, tasakylki-nen kolmio, tasasivuinen kolmio ja säännöllinen kuusikulmio). 13
Avoimia tehtäviä käyttämällä voidaan vastata kehittyvän matematiikan opetuksen haasteisiin. Tällainen johtaa miltei automaattisesti ongelmakeskeiseen opetukseen ja johtaa selkeästi kommunikoinnin lisäämiseen. Näin saadaan opetukseen lisättyä myös avoimuutta ja oppilaskeskeisyyttä. 14
Avoimien tehtävien kehittely *  Jos opetuksessa halutaan käyttää runsaasti avoimia tehtäviä, kirjallisuudesta löytyvät valmiit tehtävät eivät riitä kuin alkuun. *  Siksi opettajille olisi oltava valmiutta kehittää itse avoimia tehtäviä oppi-tunnilleen. 15
Avoimia tehtäviä saadaan suhteellisen helposti tavanomaisista (suljetuista) tehtävistä, joita matematiikan oppikirjoissa on runsaasti. Tämä voidaan tehdä esimerkiksi seuraavasti: • Jätetään valmiista tehtävästä pois kysymys. • Jätetään valmiista tehtävästä pois jokin alkuarvo. 16
*  Miten tämän tehtävän voisi “avata”? 17
Esimerkin käsittelyä Esimerkki 4 *  Olohuoneen pituus on 6,0 m, leveys 4,0 m ja korkeus 2,5 m. Laske seinien yhteinen pinta-ala, kun ovien ja ikkunoiden osuus on 8,5 % seinien pinta-alasta. *  Kun tehtävästä jätetään jälkimmäinen virke pois, voidaan esimerkiksi kysyä, mitä olohuoneen mittojen perusteella voidaan laskea. *  Tällaisessa tehtävässä oppilasta pyydetään ensin muotoilemaan ongelma ja sitten ratkaisemaan se. 18
76
Esimerkki 5 Jatkoa *  Toinen paljon käytetty tapa on tarjota oppilaalle valmis tilanne, minkä jälkeen kysytään, onko hän samaa mieltä ratkaisun kanssa. *  Lisäksi häntä pyydetään perustelemaan ratkaisunsa. *  Tällainen on mm. seuraava kirjallisuudesta löytyvä esimerkki (Cooney & al. 1993). 19
Tutkiva oppiminen 21
Esimerkki 6 * Suorakulmion yksi sivu kasvaa 10 % ja viereinen sivu pienenee 10 %. Mitä tapahtuu suorakulmion pinta-alalle? 23
*  Liisa väittää, että kahden murtoluvun välissä oleva murtoluku löydetään aina ottamalla osoittajien välissä oleva arvo ja nimittäjien välissä oleva arvo. Esimerkkinä Liisa antaa, että murto-lukujen 1/3 ja 3/5 välissä on 2/4, koska 1 < 2 < 3 ja 3 < 4 < 5 . Oletko samaa mieltä Liisan kanssa? Perustele antamasi vastaus. 20
Tässä tarkastellaan, miten koulumatematiikan puitteissa voisi oppilaiden luovuutta ja ongelmanratkaisutaitoa edistää. Kehysterminä on tutkiva oppiminen, joka on selkeästi saamassa kannatusta kasvatustieteen (oppimispsykologia) piirissä. Ks. esim. Hakkarainen & al. (2004, 2005) kirjat. Uudemmassa kirjassa (Hakkarainen & al. 2005) pyritään esimerkkien kautta näyttämään, mitä tutkiva oppiminen tarkoittaa koululuokassa; esimerkit ovat pääosin peruskoulusta. 22
Tehtävien variointi *  Avoimien tehtävien luokittelun yhteydessä mainittiin yhtenä ryhmänä ongelman variointi (entäpä jos? –menettely). *  Hans Schupp käynnisti Saksassa 1990-luvun loppupuolella laajan tutkimusprojektin aihepiiristä “Tehtävävariointi matematiikan- opetuksessa” (Schupp 2002), jonka puitteissa kokeiltiin tehtävävariointia koululuokissa. 24
77
Esimerkki (jatkuu) Alkuesimerkki *  Tässä näytetään esimerkillä, mitä variaatiomahdollisuuksia tavanomaiseen koulutehtävään sisältyy. *  Alkuongelma: Laske yhteen kolme peräkkäistä luonnollista lukua. Mitä huomaat? Kokeile ensin itse! *  Hypoteesi: Summa on aina kolmella jaollinen. *  Ratkaisu (yksi vaihtoehto): Merkitään pienintä lukua n:llä, jolloin seuraavat ovat n+1 ja n+2. Siispä saadaan n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1) . *  Sivutulos: Summa on myös keskimmäisellä luvulla jaollinen. 26
25
*  Helposti nähdään, että variaatiota on todella paljon. Minkälaisia? *  Monet niistä johtavat ongelmiin, jotka ovat sopivia koulukäyttöön. *  Lisäksi on huomattava, että saataessa oppilaat mukaan tehtävän variointiin, he sitoutuvat oleellisesti selkeämmin tehtävien käsittelyyn. 27
Esimerkki 7 *  Oppilaille annetaan ratkaistavaksi seuraava mekaaninen tehtäväsarja, jolla harjoitetaan ensisijaisesti vähennyslaskualgoritmia: 93 – 39 = ? 72 – 27 = ? 64 – 46 = ? ... 29
Keksivä oppiminen *  Avoin ongelmanratkaisu on toinen nimitys keksivän oppimisen toteutukselle, joka on erityisesti kehitetty matematiikanopetuksen tarpeisiin. *  Myös rutiiniharjoittelu voidaan rakentaa sellaiseksi, että tehtävä-joukon takaa löytyy jokin yhtenäis-tävä struktuuri. 28
Jatk. *  Kun sarja on saatu ratkaistua, pysähdy- tään miettimään saatuja erotuksia: 54, 45, 18, ... *  Joku huomaa nopeasti, että ne ovat kaikki luvun 9 kertotaulusta. *  Lisäksi havaitaan vähennettävän ja vähentäjän olevan toistensa peililukuja, *  Asetetaan hypoteesi: kaikkien tämän- tyyppiset erotukset on luvun 9 monikerta. 30 Toim. Teija Laine, Turun Matikkamaa
78
Esimerkki 8 Jatk. *  Jos peruskoulun ylemmillä luokilla oppilaat voivat itse todistaa hypoteesin laskemalla yleinen tapaus: Oletetaan, että a > b ja silloin kyseessä on seuraava vähennyslasku: (10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b) . *  Bedford (1984) ehdottaa negatiivisten lukujen laskusääntöjen keksimistä analogia-ajattelun avulla. *  Esimerkiksi kertolaskun (-3) * (-4) merkkisääntö voitaisiin päätellä seuraavasti (tässä oletetaan, että positiiviluvulla osataan jo kertoa): Erotus on siis aina luvun 9 monikerta, koska a > b. 31 32
Oppilaat havaitsevat helposti: *  Ensimmäisessä pystyrivissä +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3 luvut pienenevät aina yhdellä, kolmannessa pystyrivissä ovat kaikki luvut –4 ja viidennessä pystyrivissä –12, -8, -4, 0, … luvut suurenevat aina +4:llä. *  Siispä analogiapäättelyllä pitäisi viidennen pystyrivin jatkua seuraavasti: +4, +8, +12. 33
34
Lukion matematiikasta *  Heinrich Winter (1989) on jo noin 20 vuotta aikaisemmin kehittänyt ideaa, miten tavanomaisen koulukurssin puitteissa voisi tehtäviä varioida. *  Hän otti esimerkkejä lukiotason matematiikasta. *  Winterin menetelmää kuvaava artikkeli on käännetty suomeksi (ks. Winter 1989). 35
Esimerkki 9 *  Lukiossa toisen asteen yhtälön ratkaisu- harjoittelun kohdalla voi kysyä, minkä toisen asteen yhtälön juuret ovat x= 2 ja x= -3). *  Seuraavaksi kysytään kolmea mahd. erilaista toisen asteen yhtälöä, joiden kaikkien juuret ovat x= 2 ja x= -3. *  Tämän jälkeen voi kysyä, löytyykö vielä erilainen yhtälö, jonka juuret olisivat edellä mainitut. Ja viimein, kuinka monta sellaista yhtälöä on kaikkiaan. 36
79
Japanilainen avoin lähestymistapa *  Noin 30 vuotta sitten kehitettiin ns. avoin lähestymistapa matematiikanopetuksen käyttöön Japanissa (Shimada 1977), ja nykyään ovat avoimien ongelmatehtävien käyttäminen siellä matematiikanopetuksen polttopisteessä. *  Avoimen lähestymistavan keskeinen ajatus on edistää oppilaiden luovuutta ja ongelman-ratkaisua sopivien harjoitusten avulla. Shimada (1997, 1–2) kirjoittaa: *  Käytettäessä avointa lähestymistapaa opetusmenetelmänä annetaan oppitunnin aluksi oppilaille ‘epätäydellinen’ tai ‘avoin-loppu’ (open- ended) ongelma. *  Oppitunti jatkuu hakemalla useita tapoja löytää ratkaisu ongelmaan; näin oppilaille tarjottaisiin kokemuksia uuden tehtävän ratkaisuprosessista. 37
jatk. *  Opettaja keskittyy arvioimaan oppilaiden suorituksia korkeamman asteisessa ajattelussa, joten hänen on tarkkailtava miten oppilaat käyttävät oppimaansa konkreettisessa tilanteessa. *  Edelleen on tärkeätä nähdä, miten oppilaat toimivat uudenlaisissa ongelmanratkaisu- tilanteissa, joita ei ole harjoiteltu. 39
38
Joitakin tyypillisiä esimerkkejä *  Seuraavassa esitetään kolme tyypillistä esimerkkiä, joiden avulla voidaan yrittää ymmärtää japanilaisen avoimen lähestymistavan perusideoita. *  Näissä ei laskemisen antama tulos ole kiinnostuksen kohteena, vaan pääkysymys on kuinka monella eri tavalla oppilaat voivat tehdä sen. 40
Esimerkki 10. “Suklaarasiaongelma” Esimerkki 11 *  Murtolukujen vertailuongelma (Hashimoto & Becker 1999): * Kuinka monta suklaamakeista on rasiassa? * Pyri löytämään mahdollisimman monta erilaista tapaa laskea ne. Kumpi murtoluku on suurempi: 4/5 vai 3/4 ? Koeta löytää erilaisia keinoja toteuttaa vertailu. 41
42
80
Esimerkki 13 *  Marmorikuulaongelma (Nohda 1995, 60): Kuva alla näyttää kolmen oppilaan A, B ja C heittämien marmorikuulien hajontakuvion. Tässä pelissä se oppilas voittaa, jolla on pienin hajontakuvio. Kehitä sopiva numeerinen mitta hajonnan asteelle. . . . . . ..
. . . 43
... Mietitään erilaisia ratkaisuvaihtoehtojen hyviä ja huonoja puolia. Tämän jälkeen mieti vaihtoehdoistasi ongelman paras ratkaisu. Avoin lähestymistapa tähtää oppilaiden luovuuden ja ongelmanratkaisutaitojen edistämiseen. Siksi, avoimen lähestymistavan keskeinen kysymys on kehittää mahdollisimman monia eri tapoja päästä ratkaisuun. 44
Muita ongelma- ratkaisumuunnoksia *  Tässä kuvataan muutama koululuokassa käyttökelpoiseksi havaittu opetus-menetelmä: - kognitiivisen ristiriidan käyttäminen, - opetuskeskustelu koko luokan kanssa, - projektityöskentely, - PISA-tehtäviä. 45
Esimerkki 14 *  Matematiikan tunnilla oppilaat muistivat väärin suunnikkaan pinta-alan kaavan ("sivu kertaa sivu") eikä opettaja halunnut opettaa kaavaa vain muistiin tukeutuen. *  Opettaja lähti liikkeelle suorakulmion pinta-alasta ja valmisti pikaisesti "liikkuvan suunnikkaan" pahvi- suikaleista ja nastoista. 47
Kognitiivinen ristiriita *  Oppilailla on omat ennakkokäsityksensä tilanteista ja niiden selityksistä; ne ovat muodostuneet heidän kokemustensa, tietojensa ja ajatteluprosessiensa kautta. *  Nämä käsitykset voivat olla ristiriidassa matemaattisen tiedon kanssa. *  Opettajan tehtävä on nostaa esiin oppilaan ajattelun ja matematiikan välinen ristiriita, auttaa oppilasta huomaamaan se ja sitten keksiä tapoja, miten he voivat korjata käsityksiään. 46
Hän saattoi nyt näyttää piirtoheittimellä erilaisia suunnikkaita, joiden sivujen pituudet olivat vakioita. Kun tällaisen suunnikkaan kulma pienennettiin lähelle nollaa, jolloin pinta- alakin näytti menevän kohti nollaa, oppilaat havaitsivat itse, ettei heidän muistamansa kaava ("sivu kertaa sivu") voinut olla oikea. Näin he olivat valmiit ottamaan vastaan tarkistetun pinta-alan kaavan ja sen perustelut. 48
81
Opetuskeskustelu koko luokan kanssa Esimerkki 15 (laskupyramidi) *  Tehtäväsarja on kehitetty harjoittamaan oppilaita kokonaislukujen yhteen- ja vähennyslaskussa sekä samanaikaisesti edistämään heidän yleisiä päättelytaitoja. *  Siitä saadaan alaluokkien opetukseen soveltuva muunnos poistamalla miinus-merkit sekä tarkistamalla joitakin kysymyksiä. *  Oppilaiden kanssa keskusteleva opettaja voi vaikuttaa reittiin, jota pitkin käsitteen muodostaminen tai korjautuminen arkikäsityksestä tieteelliseksi etenee. *  Kun oppilaat ja opettaja kertovat toisilleen omista käsityksistään, oppilaat tulevat tietoisiksi käsitystensä virheellisyydestä tai puutteellisuudesta ja he voivat pyrkiä 49 muuttamaan niitä. 50
Laske aina kahden alemmassa ruudussa olevan luvun summa ja sijoita se yläpuolella
olevaan ruutuun. M ikä luku saadaan ylimpään ruutuun?
-2
-2
3
-7
51
Laskupyramidi 2 5
*  Jos em. laskupyramidissa muutetaan lähtö-lukuja (-2, 3, -7, 5), mitä vaikutusta sillä on saatuun ylimpään lukuun. *  Kokeile muuttamalla kerrallaan vain yhtä lähtölukua ja vain yhden kokonaisen verran (esim. -1, 3, -7, 5). *  Löydätkö säännönmukaisuutta, jonka avulla voisit ennustaa muutoksen etukäteen? Kokeile arvauksiasi. 52
Laskupyramidi 3 Laskupyramidi 4 *  Tässä käsitellyssä esimerkissä laskupyramidin ylimmäksi luvuksi saatiin -9. *  Tutki, voidaanko laatia toinen laskupyramidi (siis valita eri lähtöluvut kuin -2, 3, -7 ja 5), josta myös saataisiin ylimmäksi luvuksi -9. *  Löydätkö vielä yhden erilaisen laskupyramidin, jonka ylin luku on -9? *  Kuinka monta erilaista laskupyramidia on olemassa kaikkiaan, joissa ylin luku on -9? Mitä arvaisit? Koeta perustella arvauksesi. 53
*  Koeta laatia laskupyramidi, jossa ylin luku olisi 10. *  Entä laskupyramidi, jossa ylin luku olisi –100? *  Tutki, mitkä luvut ylipäänsä voivat olla laskupyramidin ylimpänä lukuna. 54
82
Esimerkki 16 Projektityöskentely *  Esimerkiksi biologian ja matematiikan yhdistävän projektityön käynnistävä kysymys voisi olla seuraava: *  Kuinka korkeiksi kasvavat tavallisimmat puulajit (mänty, kuusi, koivu, …)? *  Tätä voisi täsmentää esim. seuraavalla työohjeella: Selvitä työselostuksessa mm. puun korkeuden määritystapa. *  Projektityöllä tarkoitetaan yleensä suurehkoa, useita oppitunteja kestävää tehtävää, jonka oppilaat tekevät usein ryhmissä ja joka usein ylittää oppiainerajat. *  Projektityön tunnusomaisia piirteitä ovat: toiminnallisuus, ongelmakeskeisyys, tavoitteellisuus, tulosvastuullisuus, yhteistoiminnallisuus ja suunnitelmallisuus. 55
56
Mikä on PISA? PISA-tehtäviä *  Neljässä kansainvälisessä PISA-tutkimuksessa suomalaisten suoritukset ovat selkeästi kansainvälisen PISA-vertailun kärjessä. *  Suomalaista PISA-menestystä on tarkemmin selvitetty mm. Dimensio-artikkelissa Pehkonen & Kupiainen (2008). *  PISA pyrkii arvioimaan, miten hyvin peruskoulun päättövaiheessa olevat oppilaat hallitsevat “valistuneelta, harkitsevalta kansalaiselta ja kuluttajalta” vaadittavat taidot. *  PISA-vertailuissa arvioidaan Suomessa 9- luokkalaisten osaamista kolmella pääalueella: lukeminen, matematiikka ja luonnontieteet. 57
58
*  Loma (OECD 2006, 77–78): Tässä tehtävässä on selvitettävä, mikä olisi paras reitti lomamatkaa varten. Kuvat A ja B näyttävät karttaa alueesta ja välimatkoja kaupunkien välillä. 59
välisistä teistä. 60
83
Kuva B. Lyhyin välimatka kaupungista toiseen kilometreissä. 61
Kysymys 1: Loma *  Laske lyhyin välimatka tietä pitkin kaupunkien Nuben ja Kado välillä. 62
Kysymys 2: Loma *  Sanna asuu Angaz’issa. Hän haluaa käydä Kado’ssa ja Lapat’issa. Hän voi matkustaa enintään 300 km yhdessä päivässä, mutta voi keskeyttää matkansa missä tahansa kaupunkien välissä ja yöpyä teltassa. Sanna haluaa viipyä molemmissa kaupun- geissa kaksi yötä, jotta voi kuluttaa yhden päivän katsellen kaupungin nähtävyyksiä. Esitä Sannan matkasuunnitelma täyden- täen seuraavaan taulukkoon paikat, joissa 63 hän yöpyy. Toim. Teija Laine, Turun Matikkamaa
64
84
Taustaa LUOVUUS •  Elämässä selviämiseen tarvitaan koko joukko auktoriteettiuskoa (esim. hissi toimii nappia painamalla moitteettomasti) sekä runsaasti perustietoja eri aloilta (esim. sähkön kulkemi- nen virtapiireissä, kun sulake on palanut). MATEMATIIKASSA 1
Erkki Pehkonen SOKLA /HY •  Mutta muuttuvassa yhteiskunnassa tarvitaan näiden lisäksi intuitiivista menettelyä: intuition avulla saadaan uusia ideoita ja entisen totuuden arvo asetetaan kyseenalaiseksi. 2
Mihin luovuus liittyy? •  Yleensä ihmiset ajattelevat, että luovuudella ja matematiikalla ei ole mitään tekemistä toistensa kanssa. •  Mutta luovuus ei ole vain taiteilijoille ja tieteilijöille kuuluvat ominaisuus, vaan se on myös osa jokapäiväistä elämää. Logiikka ja luovuus •  Opetussuunnitelman kaikkia aineita koskevana (formaalina) yleistavoitteena on luovuuden kehittäminen (OPH 2004). 3
4
Matematiikka ja luovuus •  Joustava ajattelu (luovuuden osa) on eräs tärkeimmistä ominaisuuksista, joita menestyksekäs ongelmanratkaisija tarvitsee. •  Matematiikassa tarvitaan kahta erilaista ajattelumoodia: Luovaa ajattelua ja analyyttista ajattelua. 5
Logiikka •  Loogiseksi ajatteluksi sanotaan sellaista ajattelua, joka perustuu logiikkaan. •  Tällöin ajatellaan logiikan olevan ns. kaksi- arvoista propositiologiikkaa, jossa jokainen väite on joko tosi (1) tai epätosi (0), kolmatta vaihtoehtoa ei ole. 6
85
Mitä on luovuus? Määritelmiä •  Luovuus on käsite, joka on koettu hankalaksi määritellä (ks. Haylock 1987). •  Esim. Matti Bergström (1985) kuvailee luovuutta “esiintymisenä, jossa yksilö tuottaa jotakin uutta ja ennalta-arvaamatonta”. •  Kun määrittely ei ole ollut mahdollista, niin kirjallisuudessa on ollut tyypillistä kuvailla luovuus sellaisten henkilöiden käyttäytymisen kautta, joita yleisesti pidetään luovina (ts. prototyypin avulla määrittely). •  Mm. Torrance (1974) kehitti testejä luovuuden neljän komponentin mittaamiseksi: ideavuolaus, idea-joustavuus, originaalisuus, viimeistely. esim. Arkhimedes, Darwin 7
8
Divergoiva ja konvergoiva ajattelu •  Divergoivalla ajattelulla tarkoitetaan lähinnä mielikuvitukseen perustuvaa, epäjohdonmukaisesti aiheesta toiseen hyppivää, pääasiassa ohjaamatonta ajattelua. •  Konvergoiva ajattelu on määrätietoisesti tavoitteeseen pyrkivää loogista ajattelua. 9
10
Luova ajattelu •  Luova ajattelu määritellään loogisen ajattelun ja divergentin ajattelun tavoitteellisena yhdistelmänä. Luovuuden yhteys matematiikkaan •  On olemassa monia tekniikkoja tuottaa divergoivaa ajattelua ja sillä runsaasti ajatuksia (ideoita), kuten kysymyslistat, aivoriihi, tuuma-talkoot ja kaukaiset ajatusmallit. 11
12
86
Luova ongelmanratkaisu •  Ongelmanratkaisu tilanteissa ratkaisija joutuu vuorottelemaan kriittisen ajattelun ja luovan ajattelun välillä siirtyen ideasta toiseen, idean kriittisestä arvioinnista sen kehittämiseen (McGregor 2007). •  Luovaa ongelmanratkaisua voidaan pitää laajana kokonaisvaltaisena prosessina, johon liittyy erilaisia menetelmiä, mutta ennen kaikkea vanhojen luutuneiden ajattelutapojen ja asenteiden muuntamista joustaviksi ja vastaanottavaisiksi. 13
•  Bergström (1985) kirjoitti paljon matematiikan ja luovuuden välisistä yhteyksistä 1980-luvulla. •  Hän korosti kouluopetuksessa logiikan ja luovuuden välistä tasapainoa. •  Jos yksilö painottaa loogista ajattelua liian paljon, hän vastaavasti vaimentaa luovuuttaan. •  Luovuus vaatii kehittyäkseen toiminnan-vapautta ylenmääräisestä paineesta ja kontrollista. 14
Oppimispsykologisia tutkimustuloksia •  Matematiikka ei ole vain laskemista, vaan opetuksen päämääränä pitäisi olla myös ymmärtäminen ja matemaattisen ajattelun kehittäminen. •  Psykologiset tutkimukset ovat kuitenkin osoittaneet, että (matematiikankin) oppiminen on vahvasti tilannesidonnaista. •  Tavanomainen opetus soveltuu tosiasioiden oppimiseen, mutta toimintatapojen oppimiseen tarvitaan uusia menetelmiä, jotka panostavat oppilaiden omaehtoiseen opiskeluun. 15
Avoin lähestymistapa •  Japanissa kehitettiin 1970-luvulla ns. avoin lähestymistapa matematiikanopetukseen, jonka tavoitteena on kehittää oppilaiden luovuutta ja luokkahuoneessa mielekästä keskustelua. •  Samoihin aikoihin Englannissa otettiin käyttöön ns. tutkimustehtävät (investigations), jotka tulivat suosituiksi matematiikan-opetuksessa. •  Siksi 1980-luvulla ajatus käyttää avoimia tehtäviä jossakin muodossa luokkahuoneessa levisi yli koko maailman. 17
•  Tutkimuksessa on todettu, että sääntöjen ja algoritmien jatkuva painotus saattaa estää luovuuden ja ongelmanratkaisutaitojen kehittymisen (esim. Bergström 1985). •  Sellaiset oppimisympäristöt, jotka tarjoavat oppilaille mahdollisuuksia tutkimiseen, non- verbaaliin ilmaisuun, laboratoriotyöskentelyyn ja moniaistiseen oppimiseen, antavat oppilaille mahdollisuuksia saavuttaa uusia tasoja matematiikassa. 16
Opetussuunnitelmissa •  Ajatus käyttää avoimia ongelmia koulu- matematiikassa on kirjoitettu joissakin maissa jopa opetussuunnitelmaan. •  Esimerkiksi Hampurin (Saksa) yhtenäiskoulun matematiikan opetussuunnitelmassa on varattu noin viidesosa opetusajasta sisältövapaaksi, jotta opettajat innostuisivat käyttämään matemaattisia aktiviteetteja (Anon. 1990). 18
87
Japanilainen lähestymistapa •  Japanilainen avoin lähestymistapa keskittyy luovuuden kehittämiseen matematiikanopetuksen puitteissa. •  Siinä ei olekaan keskeistä ongelmatehtävien ratkaiseminen, vaan mahdollisimman monen erilaisen ratkaisukeinon löytäminen, ts. luovuuden kehittäminen matematiikan opetuksen puitteissa. 19
Tutkimustehtävät •  Tutkimustehtäville on tyypillistä, että siinä annetaan lähtötilanne, jonka puitteissa oppilas itse muotoilee ongelmansa ja ratkaisee sen. •  Tutkimustehtävät voidaan jakaa strukroituihin ja ei-strukturoituihin. •  Näistä jälkimmäiset ovat Englannissa käytössä: oppilaalle annetaan tehtävätilanne ja muutama alkuongelma, jonka jälkeen he jatkavat itsenäisesti. •  Strukturoituja tutkimustehtäviä kutsutaan myös ongelmakentiksi. 20
Jatkokysymyksiä Esimerkki 1 (Neliön jako) •  Tälle ongelmalle on olemassa useita ratkaisuja, joten voidaan jatkaa esim. seuraavilla kysymyksillä: •  Jaa neliö neljään yhtenevään osaan viidellä eri tavalla! • Pystytkö löytämään kuudennen erilaisen ratkaisun? Entä seitsemännen? • Kuinka monta erilaista ratkaisua arvelet olevan kaikkiaan? Onko enemmän kuin 10? •  Tämän jälkeen jatko riippuu siitä, mitä opetus-ryhmä saa ratkaisuina. •  Ratkaisuja on ääretön määrä, peräti ylinumeroituvasti ääretön määrä. 21
(monikulmion pinta-ala) 23
Esimerkki 2 •  Seuraava tehtävä, joka ei välttämättä ole suunniteltu kovin avoimeksi, vaikka on selkeästi non-standardi ongelma, on suoraan peruskoulun matematiikan oppikirjasta Laskumatikainen 8. 22
•  Kuinka monta prosenttia monikulmion pinta- ala kasvaa, kun sivun pituus kasvaa 25 %? •  Miten arvelette oppilaiden lähtevän tätä ratkaisemaan? 24
88
Ongelmanasettelu luovuuden kehittäjänä 25
Ongelmanratkaisu edistää luovuutta, mutta ... •  Ongelmanratkaisussa on luova elementti, mutta ei paljonkaan vapautta, ja luovuus vaatii vapautta. •  Jotta oppilaille annettaisiin enemmän vapautta, luonnollinen ratkaisu on sallia oppilaiden itse asettaa omat kysymyksensä. •  Ongelma saattaa olla avoin siten, että se ehdottaa toisten ongelmien muotoilemista, jolloin tuloksena oleva toiminta on ongelmanasettelua. 26
•  Yksinkertaisimmillaan ongelmanratkaisu on yksinkertaisen kysymyksen (ongelman) esittämistä ja kun siihen on saatu vastaus, niin ongelmanratkaisua on opiskeltu. •  Mutta jokaisen tällaisen ongelman takana on suuri joukko potentiaalisesti kiinnostavia ongelmia (alkuperäisen ongelman variaatioita). 27
•  Positiiviset kokonaisluvut on kirjoitettu spiraalin muotoon, ns. Ulamin spiraali. Keksi matemaattinen ongelma, joka perustuu ko. lukuspiraaliin, ja koeta ratkaista se. • “Mikä on em. lukujonon n:s termi?” •  Ulamin spiraalista voidaan kehittää loputon määrä hyvin matematiikanopetukseen soveltuvia ongelmia. 29
1716151413
1961
207
1854312
2122…
211
8
910
Miten ongelmanasettelua 28
Esimerkissä 3 pitää ratkaisijan ensin keksiä sopiva ongelma ja muotoilla se (ongelman asettaminen). • “Löytyykö keskipisteestä lähtevässä diagonaali- jonossa 1, 3, 13, … mitään säännönmukaisuutta?” Esimerkki 3 (Ulamin spiraali) •  Mahdollisista ongelmista pari esimerkkiä: Mitä on ongelmanasettelu? •  Ongelmanasettelu (problem posing) tarkoittaa ongelmatilanteessa ongelman muotoilua siten, että se saadaan ratkaistavaan muotoon. toteutetaan? •  Alkuperäisestä ongelmasta voidaan kehittää monia uusia ongelmia (ongelman variointi) muuttamalla siinä olevaa tunnettua tietoa, kysyttyä tietoa tai ongelman rajoituksia. •  Kaikkein tavallisimpia muunnoksia ovat: • Vaihdetaan tunnettu ja kysytty keskenään. • Pudotetaan tehtävän rajoitus pois, jolloin uusia ongelmia saadaan esille. 30
89
Miten ongelmanasettelu edistää luovuutta? •  Opettaja mallintaa prosessia henkilökohtaisesti hämmästelemällä avoimesti oppilaiden kanssa, tukemalla vapaata ideoiden vaihtamista ja aktiivisesti rohkaisemalla heitä yhteistyöhön, kunnioittamalla oppilaiden spontaaneja “entäpä-jos”-arveluita ja ratkaisuarvauksia sekä olemalla yhtä kiinnostunut siitä, kuinka oppilaat ajattelevat ongelmasta kuin mitä he saavat tulokseksi (Moses & al. 1990). 31
Strategioita ongelmanasettelun edistämiseksi (Moses & al. 1990) •  Vältä sellaisia kysymyksiä, joihin on vain yksi vastaus. •  Ohjeita luokkahuoneen opiskeluilmapiirin parantamiseksi: - Anna oppilaiden valita, mitä ongelmia he yrittävät ratkaista. - Vältä aikapainetta ongelmanratkaisussa. - Toteuta aivoriihitoimintaa oppilaillesi kanssa, rohkaise heitä kommunikointiin ja yhteistyöhön. •  Käytä oppikirjan tehtäviä pohjana ongelman-asettelussa. 32
Esimerkki 5 •  Jotkut luvut voidaan esittää peräkkäisten positiivisten kokonaislukujen summana, kuten 9 = 2 + 3 + 4 , 11 = 5 + 6 . Millä luvuilla on tällainen ominaisuus? Lopuksi •  Koulun matematiikanopetus voi kehittyä ajattelua ja ymmärtämistä painottavaan suuntaan, kun opettajat itse ryhtyvät aktiivisiksi. •  Luokassa käytetty opetusmateriaali ei sinänsä tee opetuksesta hyvää – oleellista on opettajan oma henkilökohtainen panos. 33
34
Lopuksi (jatk.) •  Siksi opettajien ei pitäisi enää tyytyä valmiiseen materiaaliin, vaan ryhtyä itse kehittämään ja muotoilemaan oppikirjan tehtäviä edelleen. •  Opettajien innostus ja luovuus on edellytys oppilaiden matemaattisen luovuuden kehittymiselle. 35
90
n Divergoivalla ajattelulla tarkoitetaan lähinnä mielikuvitukseen perustuvaa, epäjohdonmukaisesti aiheesta toiseen hyppivää, pääasiassa ohjaamatonta ajattelua . n Konvergoiva ajattelu on määrätietoisesti tavoitteeseen pyrkivää loogista ajattelua. 10
Esimerkki 3 (Ulamin spiraali)
! 
Positiiviset kokonaisluvut on kirjoitettu
spiraalin muotoon,
ns. Ulamin spiraali.
Keksi matemaattinen
ongelma, joka
perustuu ko. lukuspiraaliin, ja koeta
ratkaista se.
17 16 15 14 13
18
5
4
3 12
19
6
1
2 11
20
7
8
9
10
21 22 …
28
91
Lopuksi((jatk.)(
•  Siksi(opettajien(ei(pitäisi(enää(tyytyä(
valmiiseen(materiaaliin,(vaan(ryhtyä(itse(
kehittämään(ja(muotoilemaan(oppikirjan(
tehtäviä(edelleen.((
•  Opettajien(innostus(ja(luovuus(on(edellytys(
oppilaiden(matemaattisen(luovuuden(
kehittymiselle.((
35
- Erkki Pehkonen
Helsingin yliopisto
S

Matematiikan sanallisen tehtävät – Tehtävän ymmärrys

Transcription

Similar documents

Jorma Jotsenlahti_koulutus 12.4.pdf

Matematiikan kielentäminen Matematiikan kielentäminen I

Opetussuunnitelma ja opintojen edistäminen

Matematiikan perusopetuksen kehittämistoimia ja tulosten arviointia

Matamiturnaus 4..pdf

Matematiikka ja maailmankuva MAL.pdf

Learning Bridge, diat 18.4.2013 verkostotapaaminen

Matematiikan erityisopetus on noussut tutkimusten mukaan yhtä

lataa

Virtuaalinen muuttuu

MAVALKA-infon

Tutkimusohjelman esittelydiat (pdf)

Käsitteen ymmärrystä ja mekaanista laskutaitoa mittaavat

A8u - Turku

Kausijulkaisu 2012-2013 - Kiekko

LAATUA! - Suomen tietokirjailijat ry

Matti Lehtinen MATEMATIIKAN HISTORIAN LUENTOJA SL. 2001 1

Kestääkö osaamisen pohja - Opetus

MATEMATIIKAN HISTORIAN LUENTOJA

Ajankohtaista matemaattisten aineiden opetuksen ja oppimisen