Vélocimétrie proche paroi par holographie - CFTL 2012

13
ième
Congrès Francophone de Techniques Laser, CFTL 2012 - ROUEN, 18 – 21 Septembre 2012
Vélocimétrie proche paroi par holographie numérique:
procédés d’étalonnage et mise en œuvre
Denis LEBRUN1*, Daniel ALLANO*, Mokrane MALEK**, Bertrand LECORDIER*,
Jean-Marc FOUCAUT***, Françoise WALLE*, Sébastien COETMELLEC*,
Gilles GODARD*, Frédéric CORBIN*
*UMR 6614 CORIA, Université de Rouen, 76821 Saint Etienne du Rouvray
** LAUM - Laboratoire d'Acoustique de l'Université du Maine, rue Aristote, 72085 Le Mans
*** UMR CNRS 8107 LML, ECL, Bd Paul Langevin, Cité Scientifique,59655 Villeneuve d’Ascq
1 Introduction
L’holographie numérique est de plus en plus utilisée pour le diagnostic dans les fluides. L’analyse
des images restituées permet de retrouver la position tridimensionnelle (3D) de chaque particule.
Par conséquent, en éclairant l’écoulement par deux expositions laser ou plus, on peur extraire le
champ de vitesse 3D, ou les trajectoires des particules [1-11]. Nous exposons ici les résultats
d’une campagne d’essais consistant à étudier le champ de vitesse 3D en proche paroi dans un
volume inférieur à 10 mm3 [12]. La taille des gouttelettes (produites par un générateur de fumée de
spectacle) se situe dans la gamme 1-5 µm. Cette gamme de taille nécessite de travailler avec des
ouvertures numériques importantes [13,14]. Ici, le volume d’étude est éclairé par un faisceau
divergent qui provident d’une diode laser fibrée. Il en résulte un étalement de la figure
d’interférences sur la caméra qui, malgré la proximité de la caméra par rapport aux objets, garantit
un échantillonnage correct des hologrammes [15]. Cette géométrie entraîne un grandissement des
images restituées tout en augmentant l’ouverture numérique (NA) du système d’enregistrement
[16,17]. L’objectif de cette communication est de décrire la conception de la sonde holographique
et de présenter les résultats obtenus sur une expérience réalisée sur la soufflerie du LML
(Laboratoire de Mécanique de Lille).
2 Enregistrement des hologrammes
La configuration optique du montage est présentée sur la figure 1.
η
ξ
x
S
z
ze
zs
Figure 1 – Schéma du dispositif d’enregistrement.
S : Source laser, (ξ ,η ) : plan contenant l’objet (x, y ): plan du détecteur
1
y
Correspondant : Denis.Lebrun@coria.fr
Les gouttelettes sont éclairées par une source laser supposée ponctuelle S. Une caméra
enregistre l’hologramme. La source et l’objet sont respectivement situés aux distances zs and ze de
la caméra. Selon les résultats de la référence [15], il est commode d’introduire le grandissement
holographique
K=
zs
,
z s − ze
(1)
pour décrire la distribution d’intensité vue par le capteur. En effet, si les conditions de champ
lointain sont respectées πd 2 / (4λz e ) << 1 , la figure holographique produite par un objet de
diamètre d centré sur l’axe optique peut être écrite comme suit [18] :
(
)
⎛ πr 2
I z ( r ) = 1 − 2λz eq sin⎜
⎜ λz
e
⎝ eq
où Fα (r ) =
π
2
α2
J1 (α )
α
⎞
⎟ F d (r ) + (λz eq )2 F d2 (r )
eq
.
⎟ eq
⎠ λzeq
λzeq
(2)
, zeq = Kze et d eq = Kd .
L’équation (2) traduit le fait que les hologrammes peuvent être vus comme s’ils avaient été
enregistrés dans une configuration d’onde plane. Il suffit, lors de l’interprétation des résultats,
d’introduire le facteur de grandissement K pour retrouver les dimensions à l’échelle correcte.
3 Dispositif expérimental
3.1 Description de la sonde holographique
Le système utilisé pour enregistrer les hologrammes est montré sur la figure 2.
Fibre optique
x
y
z
Hublot-réticule
Ecoulement
Caméra
Diode laser
Figure 2 – Vue schématique de la sonde holographique introduite dans la soufflerie.
Les hologrammes sont enregistrés au travers d’un hublot-réticule
sur lequel sont gravés 5 disques étalons.
L’écoulement gazeux chargé de gouttelettes est éclairé en mode double exposition par un
faisceau provenant d’une fibre monomode maintenue à l’intérieur d’une aiguille métallique. La
source laser est pilotée par un trigger externe : la stabilité des images holographiques est assurée
en fixant un temps d’exposition τ inférieur à 2 µs et l’intervalle de temps entre les deux impulsions
ΔT a été ajusté de manière à garantir une précision meilleure que 1% sur les mesures de
déplacement de gouttelettes. Compte-tenu des ordres de grandeur de vitesse, nous avons fixé
cette durée dans l’intervalle [42 - 180 µs]. La caméra CCD enregistre les figures holographiques
des gouttelettes en mouvement. On accumule ainsi les niveaux de gris résultant des deux
expositions. Remarquons que la source d’éclairage ainsi que la caméra sont placés à l’extérieur de
la soufflerie. Ainsi, ce dispositif peut être vu comme une sonde de mesure que l’on vient placer sur
la soufflerie. Le tableau 1 résume les paramètres d’enregistrement.
Tab. 1. Paramètres expérimentaux
Paramètres
Valeur
Source laser
Coherent CUBE
TM
640 25-FP,25 mW
Divergence du faisceau
140 mrad
Longueur d’onde théorique/expérimentale
640/638 nm
Rayon de courbure estimé
zs
Distance soufflerie-CCD estimée
82,27 mm ± 0,05 mm
ze
56,52 ± 0,02 mm
Caractéristiques caméra
Hamamatsu C9300, 2048x2048 , 12 bits
Image utile
1200 x 1200 pixels
Taille pixel
7,4 µm x 7,4 µm
Fréquence d’acquisition
4 Hz
Durée impulsion
1,05-1,72 µs
Profondeur du volume d’étude
1,25 mm
Champ objet proche paroi
2,8 mm x 2,8 mm
Rayon de courbure estimé
zs
Distance soufflerie-CCD estimée
82,27 mm ± 0,05 mm
ze
56,52 ± 0,02 mm
Champ objet proche paroi
2,8 mm x 2,8 mm
Période d’échantillonnage sur hublot
2,3 x 2,3 µm
Gamme de grandissement
3,2 ≤ K ≤ 3,3
3.2 Hublot-réticule
Rappelons que le but de l’étude consiste à mesurer le champ de vitesse à une distance donnée de
la paroi. Il est donc très important de localiser très précisément cette paroi tout au long de
l’expérience. Nous avons donc décidé d’enregistrer la totalité des hologrammes au travers d’un
hublot instrumenté comportant 5 disques opaques de diamètre 5 µm. Ces disques calibrés séparés d’une distance garantie par le constructeur à mieux que 0,25 µm -sont présentés sur la
figure 3.
Les disques, disposés selon un motif facilement repérable, sont supposés ne perturber l’onde de
référence que dans leur proche voisinage. En d’autres termes, si une gouttelette passe dans le
très proche environnement d’un disque, elle ne sera pas éclairée par l’onde de référence. Hormis
cette situation exceptionnelle (que l’on observe d’ailleurs dès que la moindre poussière est
déposée sur le hublot) ce réticule peut être considéré comme transparent. Il faut d’ailleurs préciser
que l’on s’affranchit de la figure de diffraction produite par ces disques lors de l’étape de
normalisation que nous verrons plus loin.
y
x
Fig. 3. – Hublot-réticule utilisé pour repérer la paroi et étalonner le grandissement holographique
pendant l’enregistrement de la séquence d’hologrammes.
4 Restitution des hologrammes et étalonnage du volume expérimental
4.1 Restitution des hologrammes
De nombreuses méthodes peuvent être utilisées pour restituer les hologrammes [19,20,21].
Comme décrit dans la section 2, les hologrammes sont traités comme s’ils avaient été enregistrés
en configuration d’onde plane. En champ lointain, pour une particule située à une distance z eq de
la caméra, la fonction d’intensité est :
[ (
I zeq ( x, y) = 1 − O * * hzeq + h zeq
1 − O( x , y ) est la fonction objet et hzeq ( x, y) =
)] ( x, y)
(3)
⎡ π
⎤
1
exp⎢i
x 2 + y 2 ⎥ est le noyau de Fresnel.
iλzeq
⎢⎣ λzeq
⎥⎦
(
)
Ainsi, en écrivant l’image restituée par le produit de convolution bidimensionnel [22] :
[
(
R( x, y) = I z eq * * hzr + hzr
)] ( x, y) ,
(4)
on fait apparaître la fonction objet :
1
⎧
⎫
R( x, y ) = 2⎨1 − O(x, y ) − O( x, y ) * * h2 zr + h2 zr ( x, y )⎬
2
⎩
⎭
[
(
)]
(5)
Le calcul de R( x, y ) a été implémenté par la méthode des ondelettes proposée par Onural[22] et
sera reprise plus tard dans la référence [1].
4.2 Choix du grandissement
Comme le traduit clairement l’équation (1), le grandissement K dépend de la distance objetcapteur z e . Rappelons que cette distance a été réduite pour augmenter l’ouverture du système et
ainsi accéder à la localisation précise de petites gouttelettes (< 5 µm). Il faut cependant respecter
l’inégalité
Np 2
ze >
Kλ
(6)
pour ne pas être confronté aux problèmes de sous échantillonnage de l’hologramme [15]. D’autre
part, la divergence du faisceau d’éclairage impose d’éloigner la caméra à une distance z s ≈ 80 mm
de la fibre pour que le capteur CCD soit correctement éclairé. En utilisant (1) pour exprimer
fonction de
zs
et
z e en
K dans (6), on aboutit à :
Np 2
K>
+1
λz s
(7)
Les valeurs numériques du tableau 1 conduisent à un grandissement minimal K de 3,1.
Néanmoins, cette valeur doit être limitée de façon à ne pas réduire le volume d’étude à des
dimensions trop faibles. D’autant plus que la surface utile de la caméra a été réduite à 1200x1200
pixels (voir tab. 1). La deuxième raison est que pour augmenter le grandissement il faudrait,
comme le montre l’équation (1), diminuer la distance z s − z e , c'est-à-dire rapprocher la source
lumineuse du volume étudié, ce qui ne va pas dans le sens d’une dispositif non-intrusif. En
définitive, nous avons montré qu’un grandissement K ≈ 3,2 était un bon compromis pour restituer
des images de gouttes exploitables. Le graphe de la figure 4, qui montre l’évolution du rapport
signal/bruit des images restituées pour des disques étalon de diamètres 2, 4, 6 et 8 µm confirme le
bien fondé de ce choix.
Fig. 4 – Evolution du rapport signal/bruit des hologrammes restitués de disques calibrés
[2-8 µm] pour le grandissement K ≈ 3
4.3 Etalonnage du grandissement
Le volume d’étude étant éclairé par une onde divergente, il est impératif de disposer d’une très
bonne connaissance de la fonction de grandissement le long de l’axe optique. D’abord, réécrivons
à partir de l’équation (1), la fonction de grandissement en fonction de la distance restituée zr :
K ( zr ) =
zs + zr
zr
(8)
Si l’on appelle G la valeur du grandissement à la distance particulière z r = z ref définie par
l’interface entre le hublot-réticule et la soufflerie (soit G = K ( zref ) ). En exprimant z s en fonction
de G et z ref dans (8), il est facile de voir que
K ( zr ) = (G − 1)
zr
+1
zref
(9)
En résumé, en supposant que l’on peut mesurer avec précision le grandissement G dans le plan
du hublot, le grandissement dans un plan donné situé à une distance z r peut facilement être
calculé en appliquant la relation (9). La figure (5) montre l’évolution du grandissement déduite de
cet étalonnage à l’intérieur du volume de mesure.
Fig. 5 – Evolution du grandissement K dans le volume d’étude en fonction de la distance objetcaméra pour un grandissement de référence G = 3,195 dans le plan du hublot.
Afin de s’affranchir d’éventuelles variations temporelles (vibrations etc…) il est souhaitable de
vérifier, voire d’étalonner la valeur du grandissement de référence G au cours de l’expérience.
4.4 Estimation des incertitudes
On peut trouver des études concernant l’influence de l’ouverture sur la résolution spatiale des
hologrammes [19,23, 24]. Ici, les sources d’erreur concernant l’estimation des coordonnées 3D
des gouttelettes peuvent être d’origines diverses (thermiques, instabilité spectrale de la diode
laser, vibrations du hublot-réticule). L’analyse des images restituées des disques du hublot au
cours de l’expérience peut nous renseigner sur les ordres de grandeur des incertitudes de mesure.
Tout d’abord, si l’on considère la distance équivalente objet-caméra z eq =
de l’équation (1), il est facile de voir que
séparées d’une distance
∂z eq
∂z e
z s ze
obtenue à partir
z s − ze
= K 2 . Ce qui signifie qu’un couple de particules
Δze le long de l’axe optique verra les images restituées correspondantes
séparées d’une distance Δzeq = K 2 ze . L’élévation au carré du grandissement est très avantageuse
car une erreur d’appréciation de la coordonnée axiale Δz r sera réduite à
Δz r
dans l’espace objet.
K2
Cela s’observe bien dans l’exemple donné par la figure 6a où les disques étalon sont restituées
avec un grandissement K = 3,195 K 2 ≈10 .
L’évolution temporelle des estimations de la
(
)
coordonnée axiale présentée sur la figure 6b illustrent la bonne reproductibilité de la mesure avec
un écart-type de l’ordre du micromètre sur une séquence d’enregistrement de 7,5 secondes. La
même étude réalisée sur une durée plus importante (500 secondes) montre que la position axiale
des images restituées varie dans le même sens au cours du temps. Les figures 5c et 5d montrent
qu’il est possible d’assurer une mesure de position 3D des disques avec des incertitudes selon les
3 axes Δx = 0,2 µm , Δy = 0,2 µm et Δz = 20 µm . Ces résultats garantissent que la mesure de vitesse
peut être effectuée avec une erreur inférieure à 2%. Cette précision n’est atteinte que si l’intervalle
de temps entre les deux impulsions entraîne un déplacement de plus de 10 pixels des images,
même dans le proche voisinage de la paroi.
56.550 D2
D5
D3
D1
D4
)
m56.540 (m
ra
é
m
ac56.530 -­‐s
e
u
q
is56.520 d
e
c
n
at
si
D56.510 D1
D2
D3
D4
D5
1
a
10
19
28
b
numéro hologramme
c
d
Fig. 6 – Tests sur les disques du hublot-réticule. (a) images restituées (b) estimation de la
coordonnée axiale sur une séquence de 7,5 secondes, (c) estimation de la coordonnée axiale sur
une séquence de 500 secondes (d) fluctuations de l’estimation des coordonnées (x,y) sur une
séquence de 500 secondes
5 Enregistrement et traitement des hologrammes
Les enregistrements ont été effectués pour trois conditions de fonctionnement de la soufflerie :
U ∞ = 3m / s , U ∞ = 5m / s et U ∞ = 10 m / s . Après normalisation (division des niveaux de gris des
pixels d’un hologramme enregistré à l’instant t par ceux de l’hologramme enregistré à t+250 ms),
nous avons restitué ces hologramme selon 23 plans sur une profondeur [180,5 mm-192 mm]. La
mise au point sur une image donnée s’effectue par recherche d’un minimum sur interpolation des
niveaux du centre des images selon 5 plans. Après division par le grandissement K (zr ) , la
position axiale d’une gouttelette ze est estimée avec une précision meilleure que 20 µm (voir
section 4.4). La figure 7 montre des exemples de paires de gouttes identifiées de manière
automatique. On peut remarquer que la qualité des restitutions diffère d’une image à l’autre. On
admet que le Rapport signal/bruit (SNR) doit être supérieur à 8dB pour qu’une tache détectée soit
considérée comme une image de particule [3,6].
Fig. 7 – Exemples de paires d’images extraites
La distance moyenne d’une particule par rapport à la paroi Y est estimée en calculant la
différence entre la position axiale de la particule et celle du plan de référence. En tenant compte
des différentes valeurs de grandissement, on trouve :
Y=
zr
K
−
zref
G
.
(10)
D’autres critères de validation, résumés dans la référence [25] ont aussi été pris en compte.
6 Résultats
Une méthode originale et simple à mettre en œuvre a été appliquée pour mettre en
correspondances les paires d’images. Elle peut s’appliquer ici car la densité de particules est
faible. Pour une condition expérimentale donnée (c'est-à-dire une séquence de 2000
hologrammes), l’ensemble des coordonnées (xi , yi , zi ) des images détectées sont regroupées
dans un tableau contenant aussi le numéro de l’hologramme (0 ≤ nb < 2000) . Ensuite, pour
chaque hologramme, les coordonnées des images sont classées par ordre croissant, en priorité
sur x, puis sur y, enfin sur z. Nous avons vérifié que ce tri permettait de rapprocher les couples
d’images d’une même particule. Enfin, il suffit d’appliquer des contraintes sur les mesures de
déplacement. Ces contraintes sont spécifiées dans la référence [25].
Les vitesses, déduites des déplacements mesurés, sont calculées selon les formules données par
l’équation (11) qui tiennent compte du grandissement variable selon la coordonnée axiale :
⎧
xi +1 − xi
⎪ u =
K (zi )ΔT
⎪
yi+1 − yi
⎪
⎨ v =
K (zi )ΔT
⎪
⎪w = zi+1 − zi
⎪
K 2 (zi )ΔT
⎩
(11)
On remarquera que, comme précisé dans la section 4.4, nous avons appliqué un facteur 1 / K 2
(au lieu de 1 / K ) pour calculer la vitesse selon l’axe optique.
Un logiciel développé au CORIA a permis de traiter automatiquement les 13000 hologrammes
enregistrés pour les trois conditions de fonctionnement de la soufflerie. Le temps de traitement est
de l’ordre de 2 minutes/hologramme. Le graphe de la figure 9 montre la composante mesurée u
d’une gouttelette en fonction de la distance à la paroi.
Ces résultats montrent que l’évolution de la vitesse moyenne selon la direction de l’écoulement
(composante u selon l’axe x) est en très bon accord avec les prévisions théoriques données par la
loi linéaire classique que l’on retrouve dans la sous couche visqueuse et dont la pente est
proportionnelle au carré de la vitesse de frottement uτ2 , soit :
u=
où
uτ2
ν
Y
(12)
ν est la viscosité de l’air. Selon l’équation (12), et en supposant que ν = 15.10 −6 m2 / s , nous
trouvons : uτ = 0 ,14 ± 0 ,01 m / s
pour U ∞ = 3m / s , uτ = 0 ,21 ± 0 ,01 m / s pour U ∞ = 5 m / s et
uτ = 0 ,41 ± 0 ,02 m / s pour U ∞ = 10 m / s . Ces résultats sont en bon accord avec ceux trouvés avec
d’autres techniques [12].
Fig. 9 – Mesures de vitesse de gouttelettes le long de l’axe x en function de la distance à la paroi
pour 3 conditions de fonctionnement de la soufflerie : U ∞ = 3, 5 et 10 m / s
7 Conclusion
Nous avons appliqué l’holographie numérique à la mesure de vitesse d’écoulement en proche
paroi d’une soufflerie (< 1 mm). Les mesures de vitesse ont été réalisées en insérant une fibre
dans le dispositif (le laser et la caméra sont à l’extérieur). Aucun élément optique (objectif, lentille)
n’a été utilisé pour réaliser cet expérience. L’originalité de cette étude a été d’introduire un hublot
instrumenté au travers duquel tous les hologrammes ont été enregistrés. Ce hublot a permis, non
seulement de repérer la paroi de manière très précise, mais aussi d’étalonner le grandissement au
niveau de la paroi. Nous avons ensuite extrait les coordonnées 3D des gouttelettes provenant des
des 13 000 hologrammes. La précision est de 0,2 µm dans le plan transversal (x,y) et de 20 µm
pour la coordonnée axiale z. Sachant que l’objectif était de mesurer la composante u (selon x),
ces performances sont suffisante pour en déduire la vitesse de frottement uτ . Les résultats de
cette campagne d’essais pourront être utilisés pour avoir des informations selon les autres
directions (v , w). On pourrait également s’intéresser à d’autres quantités statistiques telles que les
écart types ou les PDF des fluctuations de vitesse. Une expérience similaire pourrait être
envisagée pour déterminer les trajectoires lagrangiennes de gouttelettes en proche paroi.
Références
[1] C. Buraga, S. Coëtmellec, D. Lebrun and C. Özkul, “Application of wavelet transform to hologram
analysis: three dimensional location of particles”, Opt. and Lasers in Engineering, 33(6), 409-421(2000)
[2] S. Coëtmellec, C. Buraga-Lefebvre, D. Lebrun and C. Özkul, “Application of in-line digital holography to
multiple plane velocimetry”, Meas. Sci. Technol. 12, 1392-1397, (2001)
[3] H. Meng, G. Pan, Y. Pu and S.H. Woodward, “Holographic particle image velocimetry: from film to digital
recording”, Meas. Sci. Technol., 15, 673-685,(2004)
[4] S.L. Pu, D. Allano, B. Patte-Rouland, M. Malek, D. Lebrun, and K.F. Cen, ”Particle field characterization
by digital in-line holography: 3D location and sizing”, exp. in fluids,39, 1-9(2005)
[5] M. Malek, D. Lebrun and D. Allano, “Digital In-line holography system for 3D-3C Particle Tracking
Velocimetry”, A. Schröder, C.E. Willert (Eds.) : Particle Image Velocimetry, Topics Appl. Physics 112,
151-166 (2008)
[6] N. Salah, G. Godard, D. Lebrun, P. Paranthoën, D. Allano and S. Coetmellec, “Application of multiple
exposure digital in-line holography to particle tracking in a Benard-von Karman vortex flow”, Meas. Sci.
and Tech.,19, 074001, (2008)
[7] S. Kim and SJ. Lee, ”Effect of particle number density in in-line digital holographic particle velocimetry”,
Exp. In fluids, 44, 623–631 (2008)
[8] J. Lu, JP Fugal, H. Nordsiek, EW Saw, RA Shaw and W. Yang, “Lagrangian particle tracking in three
dimensions via single-camera in-line digital holography”, Journal of Physics, 10, 125013, (2008)
[9] Q. Lü, Y. Chen, R. Yuan, B. Ge, Y. Gao, and Y. Zhang, “Trajectory and velocity measurement of a
particle in spray by digital holography”, App. Optics, 48(36), 7000-7007, (2009)
[10] N. Verrier, C. Rémacha, S. Coëtmellec, M. Brunel and D. Lebrun, “Micropipe flow visualization using
digital in-line holographic microscopy”, Opt. Express, 18(8), 7807-7819, (2010)
[11] S. Satake, T. Kunugi, K. Sato, T. Ito, H. Kanamori and J. Taniguchi, “Measurements of 3D flow in a
micro-pipe via micro digital holographic particle tracking velocimetry”, Meas. Sci. Technol., 17, 1647–
1651 doi:10.1088/0957-0233/17/7/002, (2006)
[12] J. M. Foucaut, J. Kostas, M. Stanislas, Wall shear stress measurement using Stereoscopic PIV, 12TH
international Symposium on flow Visualization September 10-14, 2006, German Aerospace Center
Göttingen
[13] J. Sheng, E. Malkiel, J. Katz, ”Using digital holographic microscopy for simultaneous measurements of
3D near wall velocity and wall shear stress in a turbulent boundary layer”, Exp. in Fluids, 45, 1023–1035
(2008)
[14] J. Sheng, E. Malkiel and J. Katz, “Digital holographic microscope for measuring three-dimensional
particle distributions and motions”, App. Optics, 45(16), 3893-3901 (2006)
[15] D. Lebrun, D. Allano, L. Méès, F. Walle, F. Corbin, R. Boucheron and D. Fréchou, “Size measurement
of bubbles in a cavitation tunnel by digital in-line holography,” Appl. Optics, Vol. 50 (34), H1-H9 (2011)
[16] W. Xu, M.H. Jericho, HJ. Kreuzer, “Tracking particles in four dimensions with in-line holographic
microscopy”, Opt. Letters, 28(3), 164-166 (2003)
[17] J. Garcia-Sucerquia, W. Xu, S.K. Jericho, P. Klages, M. H. Jericho and J. Kreuzer, “Digital in-line
holographic microscopy”, App. Optics, 45(5), 836-850 (2006)
[18] C.S. Vikram and M.L. Billet, “Some salient features if in-line Fraunhofer holography with divergent
beams”, Optik, 78, 80-83 (1988)
[19] T. Kreis, “Handbook of Holographic Interferometry, optical and Digital Methods”, Wiley-VCH GmbH &
Co. KGaA. (2005)
[20] L. Denis, D. Lorenz, E. Thiébaut, C. Fournier and D. Trede, “Inline hologram reconstruction with sparsity
constraints”, Opt. Lett. 34(22), 3475-3477 (2009)
[21] S. Coëtmellec, D. Lebrun and C. Özkul, “Application of the two-dimensional fractional-orders Fourier
transformation to particle field digital holography”, JOSA , 19(8), 1537-1546 (2002)
[22] L. Onural, “Diffraction from a wavelet point of view”, Opt. Lett. 18(11), 846-848 (1993)
[23] P. Picart and J. Leval, “General theoretical formulation of image formation in digital Fresnel holography”,
JOSA, 25(7),1744-1761 (2008)
[24] Y. Zhang, G. Shen, A. Schröder, J. Kompenhans, “Influence of some recording parameters on digital
holographic particle image velocimetry“, Opt. Eng., 45(7), 075801-10 (2006)
[25] D. Allano, M. Malek, F. Walle, F. Corbin, G. Godard, B. Lecordier, S. Coëtmellec, JM. Foucaut, D.
Lebrun, “3D velocity near-wall measurements by digital in-line holography : calibration and results,
Submitted to App. Optics
Remerciements
Cette étude a bénéficié du soutien financier de l’ANR VIVE 3D (Vélocimétrie Instantanée
Volumique des Ecoulements tridimensionnels). ANR, programme blanc 2008-2011 et du Campus
International pour la Securité et l’Intermodalité dans les Transports (CISIT).