Intégrales singulières, opérateurs multilinéaires, ana

Proceedings of the International Congress of Mathematicians
August 16-24, 1983, Warszawa
YVES MEYEE
Intégrales singulières, opérateurs multilinéaires, analyse complexe et équations aux dérivées partielles
1. La continuité J? des opérateurs définis par des intégrales singulières
Soit, avec los notations usuelles, T: @(Rn)->@'(Rn) un opérateur linéaire
continu. Appelons E(x,y) e@'(Rn xRn) le noyau-distribution de T, T*
le transposé de T dont le noyau-distribution est E (y, x), <•, •> la forme
bilinéaire de dualité entre S(Rn) et @'(Rn) et Q c Rn x Rn l'ouvert défini
par y =£ x, x e R11, y eB' 1 . Nous dirons que le noyau E(x,y) vérifie les
estimations de Galderón-Zygmund s'il existe un exposant e > 0, e < 1, et
une constante 0 ^ 0 tels que la restriction de E(x,y) à l'ouvert Ü soit
une fonction continue ayant les trois propriétés suivantes:
\E(x, y)\ < 0\x-y\~n
\E(x', y)-E(x,
pour tout (x, y) G Q,
y\ < G\x-x'\Ë\x-y\-n~*
(1)
si (x, y) G ß e t
|*-a>'|<l|0-y|
(2)
et finalement
\E(x, y)-E(x9 y')\ < 0|2/— 2/'ri^ —2/r9l"~e
si (0, y) e ûet
|y-y'l<ll*-0|.
n
(3)
Nous désignerons par ê Vensemble des opérateurs T: <3(R )->!3'(Rn)
dont le noyau vérifie (1), (2) et (3).
Un opérateur linéaire continu T: <2i(Rn)-><2>f(Rn) est appelé dans cet
exposé (ceci n'est pas la terminologie usuelle) un opérateur de Galderón-Zygmund s'il existe une constante G > 0 telle que pour toute fonction
fe2(Rn),
T(f) appartienne à L2(Rn;dx) et vérifie ||T/|| a < ü||/|| 2 , et si,
en outre, le noyau-distribution E (x, y) de X vérifie les estimations de Oalderón-Zygmund. Les célèbres méthodes de variable réelle de Oalderon et
[1001]
1002
Section 9: Y. Meyer
Zygmund s'appliquent alors et l'on obtient \\Tf\\p < Gp\\f\\p si 1 < p < + oo
tandis que T envoie continûment i°°(B n ) dans l'espace BMO(JRM) de John
et îTirenberg ([20]). Enfin pour 1 < p < + oo et tout poids co e Ap de la
classe de Muckenhoupt, tout opérateur de Galderón-Zygmund se prolonge,
par continuité, en un opérateur linéaire continu de ^ ( J B ^ ; cadx) dans
lui-même ([4]).
Nous désignerons par E cz ê l'espace vectoriel des opérateurs de Galderón-Zygmund. Le problème fondamental de cette théorie est de trouver un
critère commode permettant de déterminer si un opérateur T e S appartient,
en fait, à JE. Le critère que nous allons donner porte sur l'objet T(l) que
nous allons maintenant définir si T G ê-, 1 désigne la fonction identiquement égale à 1.
Soit @0(Rn) cz 9(Rn) le sous-espace des fonctions <p telles que f <p(x)dx
= 0. Si <p e 0 o et T G ê, la distribution T*(<p) est, en fait, continue hors
du support de <p et est 0(\x\~~n~~8) à l'infini. Alors (T*(<p), 1> a un sens et
T(l) = 8 est une forme linéaire continue sur 2}Q définie par <#, ç?>
= <T*(cp), 1>. De même T*(l) est une forme linéaire continue sur @0(Rn).
Nous désignerons par E1(Rn) l'espace de Stein et Weiss dont le dual
est BMO(IT). Alors SfQ est dense dans H1 et nous écrirons T(l) eBMO
pour exprimer que la forme linéaire continue T(l)9 définie sur 2iïQ, se prolonge à El(Rn). De même T*(l) eBMO a un sens.
Une dernière définition nous sera utile. Soient y e @(Rn), u e Rn, ô>0.
Alors on pose <p{u^(x) = <p((x-u)ld) et l'on dit que
T:@(Rn)->2i'(Rn)
est un opérateur d'ordre 0 si, pour toute partie bornée ^ c @(Rn), il existe
une constante G = G (SS) telle que | < T ^ M ^ , ^ > | < Gôn pour tout
q>± G âS9 tout 0>2 G âS, tout u G Rn et tout ô > 0.
1. 8oit T: 3i(Rn)->@'(Rn) un opérateur linéaire et continu
dont le noyau-distribution E(x9y) vérifie les estimations de Galderón-Zygmnnd. Alors les deux conditions suivantes sont équivalentes:
THéORèME
T se prolonge en un opérateur continu sur L2(Rn)9
(4)
^(1) eBMO, T*(l) eBMO et T est d'ordre 0.
(5)
Soit Pt, t^0,
le semi-groupe de Poisson. Pour toute fonction.
ß G B M O ( B W ) , désignons par Zß l'opérateur défini (formellement) par
?
dt
4 f Qt{(Qtß)(Ptf)}-r
= -W)
f
o
où
d
Qt = ~*l£dtpt-
Mo
™
L
ß
est
™- °P é r a "
teur de Calderón-Zygmund tel que Lß(l) = ß et £ j ( l ) = 0. Si ß et y
appartiennent à BMO(JRn), L = Lß+L* est aussi un opérateur de Cal-
Intégrales singulières, opérateurs et analyse complexe
1003
derón-Zygmund tel que L(l) = ß, L*(l) = y. Gela montre que les deux
fonctions de BMO intervenant dans (5) sont arbitraires.
L'ensemble A cz & (L2 (Rn), L2 (Rn)) des opérateurs TeS
tels que
T(l) = T*(l) = 0 est, en fait, une algèbre ([25]) et le théorème 1 peut
être précisé en
B ~ A 0 B M O (Rn) ©BMO(R n ).
(6)
L'isomorphisme est T->(B, T(l), 2*(1)) où B - T-Lß-L*
si ß = T(l)9
y = T*(l).
Pour démontrer le théorème 1, on se ramène, grâce à l'isomorphisme
précédent, au cas où le noyau-distribution B(x,y) de B vérifie les estimations de Oalderón-Zygmund et où JS(1) = J2*(l) = 0. Alors la continuité
de B sur L2 se démontre grâce au lemme de Ootlar ([15], [19], [26]).
Si E: Q->C vérifie les estimations de Oalderón-Zygmund et si E (y, x)
= -E(x,y),
on pose EB(x9y) = E(x,y)
si \x-y\ > E, Ee(x9 y) = 0
sinon. Alors limEB(x, y) existe dans 2'(Rn xRn) et définit une distribution
40
notée v.p.If(œ, y) et un operateur T: <2)(Rn)-+3}'(Rn) d'ordre 0. La continuité de T sui1 L2 est alors équivalente à ^(1) G BMO.
Oes remarques fournissent une démonstration particulièrement simple
des résultats de [3].
On appelle Th,heN,
les opérateurs dont les noyaux-distribution
sont (A(x)—A(y))h(x — y)~]i~l lorsque A:R->C est lipschitzienne. Pour
obtenir la continuité de Tk sur L2(R) il suffit de vérifier que Tk(l)
G B M O ( B ) . Or TJc(l) ^Tj^A').
Puisque A'eL°°(R),
un raisonnement
par récurrence et le théorème 1 donnent immédiatement ||37A|| < ÖÄ+1||-4.'||*.
On sait aujourd'hui que \\Tk\\ < 6400(1 + ft)4||J./||* ([11]).
2. Applications à l'analyse complexe
Soit 9?:JR->JRune fonction lipschitzienne: \cp(x) — (p(y)\^M\x — y\ pour
une certaine constante M > 0, tout x ER et tout y G R. Considérons le
noyau-distribution v.p. (x — y+i[q>[œ) — ^(y)))'1 et l'opérateur Tv:Si(R)
->3)'(R) associé.
THéORèME
pas
2. L'opérateur Tv est borné sur L2(R) et sa norme oie dépasse
G(l+M)\
Il existe, à l'heure actuelle, deux démonstrations du théorème 2. La
première (A. P. Oalderon, G. David) consiste à démontrer d'abord la con-
1004
Section 9: Y. Meyer
tinuitó de T^ sur L2(R) en appliquant soit le théorème 1, soit le théorème
de Oalderon présenté au congrès d'Helsinki ([3], [14]).
Une utilisation ingénieuse des inégalités aux bons X de Burkholder et
Gundy permet alors de passer au cas général. La seconde ([11]) consiste
à étudier les opérateurs Tk définis ci-dessus par de nouveaux algorithmes
dus à A. Mcintosh. La signification géométrique du théorème 2 est la
suivante. Soit r c jR2v le graphe de la fonction <p, Qx l'ouvert situé audessus de r, Q2 celui au-dessous de r. On appelle S2(Û±) c L2(r)
= L2(r-,ds) l'espace de Hardy défini comme la fermeture dans L2(T)
des fractions rationnelles P(z)IQ(%) nulles à l'infini et dont les pôles appartiennent à û2. On définit de même H.2(Q2) et le théorème 2 signifie
que L2(r) est la somme directe des çous-espaces B2(û1) et H2(Q2). Observons que T9 est un opérateur de Oalderón-Zygmund.
Nous pouvons généraliser l'étude précédente.
Soit r une courbe de Jordan fermée et rectifiable du plan complexe,
limitant le domaine Qx. îTous désignerons par Û2 l'extérieur de J 1
et par s e [0, Z] la longueur d'arc sur r (l étant la longueur totale
de r).
Suivant Keldysh, Lavrentiev et Smirnov, on définit, pour 1 < p < + oo,
deux sous-espaces fermés HP(Û1) et &tp(Qx) de LP(T\ ds). L'espace de
Hardy HP(ÛX) est la fermeture dans JL^I 7 ; ds) de l'ensemble des polynômes P(z). D'après le théorème de Eunge, on peut également définir
HP(QX) comme la fermeture des fractions rationnelles P(z)IQ(z) dont les
pôles appartiennent à û2. De même on définira ensuite HP(Q2) comme
la fermeture dans i ^ J T ; ds) des fractions rationnelles P(z)jQ(8) nulles
à l'infini et dont les pôles appartiennent à Qt.
Le second espace 3^P(QX) est défini, de façon indirecte, comme l'ensemble des / e Lp(r-, ds) tels que f zkf(z)dz = 0 pour tout Je eN. Lavrenr
tiev a démontre que ces deux espaces sont, en général, distincts. Leur
égalité ne dépend pas de p et, si elle a lieu, on dit que Qx est un domaine
de Smirnov.
Pour définir M}p(Q2), on remplace zk par (z — a)~k, a e Ql9 7s > 1.
On dit que jTest une courbe de Lavrentiev si en désignant par z(s), s e RßZ,
le paramétrage de r par la longueur d'arc, on a |*# — «f < G\z(s')— $(s)\
pour tout s et tout s'. On dit que r est lipschitzienne si r est localement
le graphe d'une fonction lipschitzienne.
Enfin r est une courbe régulière d'AMfors si, en désignant par \E\ la
mesure de Lebesgue d'un borélien 23 c RßZ, il existe une constante
( 7 ^ 2 telle que, pour tout nombre complexe #0 G C et tout r > 0, on a
\{seRßZ; |*(*)-a 0 l <*}l < Cr-
Intégrales singulières, opérateurs et analyse complexe
1005
Avec ces notations on a ([14])
3. L'espace Z2(JH; ds) est la somme directe de E2(Q1) et de
M (Q2) si et seulement si r est une courbe régulière d'Ahlfors. Alors Qx et Q2
sont des domaines de Smimov et pour 1 < p < + oo, Lp(Fm, ds) est la somme
directe de HP(QX) et de MP(Q2).
THéORèME
2
Donnons quelques indications sur la preuve du théorème 3. On appelle
T l'opérateur défini (formellement) par le noyau de Oauchy (z(s)—z(t))"19
s G RßZ, t G RßZ, et tout se ramène à l'étude de la continuité de T sur
L2(RßZ). On utilise, dans cette étude, trois ingrédients:
— le fait que T soit borné sur L2 lorsque F est lipschitzienne
(théorème 2);
- — une décomposition de tout intervalle d'une courbe régulière d'Ahlfors en deux parties: la première, après rotation des axes, est contenue
dans le graphe d'une fonction lipschitzienne et la seconde a une petite
mesure relative;
— l'utilisation des inégalités aux bons l de Burkholder et Gundy
pour passer du cas local au cas global.
Le succès de cette application à l'analyse complexe vient de la décision de traiter le problème à l'aide des méthodes de l'analyse réelle. On
peut d'ailleurs remplacer le noyau de GauChy 1/(8 — w) par n'importe
quel noyau E(z — w) où E: R2\{0}->C est impaire, homogène de degré
— 1 et indéfiniment derivable.
3STous allons poursuivre l'étude de l'opérateur défini par le noyau de
Oauchy dans le cas des courbes de Lavrentiev ouvertes; elles sont paramétrées par la longueur d'arc s e R et l'on a |s —1\ < G\z(s) — z(t)\ pour
tout s G B et tout t G B.
Ces courbes de Lavrentiev sont donc caractérisées par le fait que
l'opérateur Tr défini par le noyau de Oauchy soit un opérateur de OalderónZygmund.
Nous allons définir la variété "K des courbes de Lavrentiev, la paramétrer à l'aide d'un ouvert V de BMO(B) et enfin démontrer que l'application qui à r associe Tr (ou la représentation conforme) est réelleanalytique sur V.
La variété iT des courbes de Lavrentiev orientées sera d'abord décrite
comme une ensemble. On part des couples (T, z0) d'une courbe de Lavrentiev orientée r et d'un point #0 G r. Ensuite on considère que deux tels
couples sont équivalents si l'on peut trouver un déplacement plan g (g(#)
= e*z + y) tel que g(T) = J" et g(z0) = g(z'0).
Désignons par BMO(JB) l'espace de Ba.nach des fonctions réelles
b: R-^R appartenant à l'espace de John et Nirenberg. Il existe alors une
1006
Section 9: Y. Meyer
partie ouverte Y c BMO(JB) telle que, pour tout couple (JP, #0), ü existe
s
6 G F de sorte que 2(s) = z0 + / ex-pib(t)dt. De plus b est la détermination
o
"naturelle" de args'(s). En fait, V est une carte globale de la variété 1T
des courbes de Lavrentiev, munie de la relation d'équivalence ci-dessus.
Pour & G F, on forme l'opérateur Tb dont le noyau est K(t, s) = yizi
r.-p.{z(s) — z(t))"1dz(s)m9 b et z sont reliés comme il vient d'être dit. Alors
on a ([8])
2
2
THéORèME 4. L'application T: V->&[L (R), L (R)) gui àb e 7 associe
l'opérateur de Ganchy Tb est une fonction réelle-analytique sur V.
Cela signifie que pour tout 60 G V9 il existe e > 0 et Ö > 0 de sorte que
si P ~ A I I B M O < e> o n
ait
Tb=^T^(b^bQ9...9b-b0)
-
0
où les ï [ ^ : B M O x . . . xBMO->& (L2(R)9 L2(R)) sont des opérateurs
multilinéaires vérifiant \\T$ (ft, ..., fk)Utfjfi
< 0*+1||/tI|3aMo . • • II/&II BMOPour démontrer le théorème 4, on construit explicitement le prolongement analytique en remplaçant b0eV par bQ+ß où ß:R->C vérifie
||/?||BM0 < s. On utilise alors le fait que, si ||y||BMo < 8 (y es * reliée à la partie
imaginaire de ß), co (s) = exp y (s) est un poids vérifiant la condition A2
de Muckenhoupt. On sait par ailleurs que les opérateurs de Oalderón-Zygmund restent continus lorsque i 2 ( B ; dx) est remplacé par L2 (B; œ(x)dx)
et que co eA2.
On peut préciser le théorème 4 en appelant X cz <£ (L2(R)9 L2(R))
l'ensemble de tous les opérateurs de Oauchy Th9 b e V. On munit X de
la métrique définie par la norme d'opérateur. Alors l'application T: V->X
est un homéomorphisme ([13]). En d'autres termes V est une carte globale de X.
Soient R\ le demi-plan supérieur ouvert et 0: R\->QX une représentation conforme qui se prolonge en un homéomorphisme croissant de B
sur r orientée. Définissons l'homéomorphisme réciproque h:R->R par
0(h(s)) = z (s), s étant la longueur d'arc sur P. Alors h'(x) = co (co) est un
poids appartenant à la classe A^ de Muckenhoupt (Lavrentiev). Il en
résulte que ß = logh'(x) appartient à BMO(B).
THéORèME 5. L'application qui à la fonction b eV associe la fonction
ß e BMO (B) est réelle-analytique.
Intégrales singulières, opérateurs et analyse complexe
1007
Pour le voir on utilise la formule de Kerzman-Stein ([24]) permettant
de passer du noyau de Oauchy au noyau de Szegö et l'on relie ce dernier
à la représentation conforme ([8]).
3 . Opérateurs multilinéaires et applications aux equations aux dérivées
partielles
Ces applications spectaculaires, prévues par A. P. Oalderon, ont été obtenues par E. Eabes, D. Jerison, C. Kenig et leurs élèves. Nous commençons par décrire de nouvelles actions multilinéaires de L°°(Rn) sur L2(Rn)
généralisant le produit ponctuel usuel. Oes actions ont des propriétés
très remarquables que nous allons d'abord énoncer.
Désignons par F la topologie forte sur l'algèbre &[L2(Rn),
L2(Rn))
notée sé. Soit SS cz sé la sous-algèbre des opérateurs de multiplication
ponctuelle par les fonctions b(x) eL°°(Rn), sous-algèbre que l'on munira
encore de la topologie forte ff*. Enfin le groupe 0 se compose des automorphismes de sé de la forme particulière T->8T8"y où 8 agit sur L2(Rn)
par 8f(x) = f(ôx+x0), ô>0,x0e
R\
Les opérateurs multilinéaires Tk: [L°°(Rn)yc->sé que nous allons construire auront les deux propriétés suivantes:
si bj$m91 < j < "k, m > 1, est une suite de fonctions de L°°(Rn) et si
les opérateurs de multiplication correspondants Bitm convergent
fortement vers l'opérateur Bô de multiplication par bj7 alors Tk(blm, ...
..., bktm)->Tjc(b19..., bk) au sens de la topologie 3T.
(7)
Tk commute avec l'action de 0 au sens que Tk(8bx, ..., 8bk)
= 8Tk(bx, ...j&J/S""1 pour tout 8 défini comme ci-dessus.
(8)
Voici maintenant une recette pour construire de telles actions. Soit
yj e L1(Rn) une fonction vérifiant / y (x)dx = 0, \ip(x)\ < G\x\~n+l et | Vip(x)\
HP
< 0\x\~n si \x\ < 1, \ip(x)\ < Gm\x\~m et | Vip(x)\ < Gm\x\~m pour tout m > 1
si \x\ > 1.
Nous posons alors, pour tout t > 0 , ipt(x) = t"ny)(xß) et appelons Qt
l'opérateur de convolution avec ipt. Nous appellerons (p eL2(Rn) une fonction ayant toutes les propriétés de ip à l'exception de J qj(x)dx = 1 et
Pt : L2 (Rn) ->L2 (Rn) l'opérateur de convolution avec cpt. Soit m ( f )
eG°°(Rn\{0}) une fonction homogène de degré 0 et M: L2 (Rn) -+L2 (Rn)
l'oyjérateur de convolution associé. Posons, pour tout t > 0, Mt == (1 —
—Pt)M. Supposons l'existence d'une fonction heSf(Rn) telle que Mt
= JSt + Bt où Ht est l'opérateur de convolution avec lit(x) = t~nli(xjt)
et où le noyau-distribution de Bt est porté par |a?~ y\ < t.
1008
Section 9: Y. Meyer
On appelle bô(x) eL°°(Rn), 1 < j < ft, des fonctions vérifiant HfyL < 1;
on désigne par Bj:L2(Rn)->L2(Rn)
les opérateurs de multiplication correspondants et enfin p(t) eL°°(0, +oo). Avec toutes ces notations, on a
THéORèME 6. Il existe une constante G, ne dépendant que des fonctions <p,
y, m et % (et de la dimension n) telle que pour tout Je > 1, tout choix des
bjeL°°(Rn) et de ^eL°°(0, +oo), l'opérateur
00
/
QtB.MtB,...
dt
MtBkMt/j,(t) —
(9)
0
soit continu sur L2(Rn) et que \\Lk\\ < C^IMI«,. Be plus le noyau-distribution
Lk(x, y) de Lk vérifie
J
\Lk(x, y)-Lk(x',
y)\dy^
C^ML
(10)
\x—y\^2\x—x'\
pour tout x eRn
et tout x1 e Rn.
On a également l'estimation quadratique correspondante: si / eL 2 (R n ),
alors QtBxMt...BkMtf
appartient à L2(R^lm9dxdtß)
avec une norme
< Gk+1\\f\k.
L'estimation (10) se prouve directement tandis que la continuité des
opérateurs Lk sur L2(Rn; dx) s'obtient par récurrence sur h > 0. On définit
à cet effet Lk et Lk en remplaçant respectivement le dernier Mt intervenant dans (9) par Pt et par rt (opérateur de convolution de symbole
exp(-tf 2 |£| 2 ). Puisque Mt = (l-Pt)M,
il vient Lk =
Lk_xBk-L'kM.
Par ailleurs Pt — rt = Qt a les mêmes propriétés que Qt ce qui rend immédiate la continuité de Lk — L'l. Pour terminer, on applique le théorème 1
à Lk et la seule vérification non triviale est Lk(l) eBMO. Or Lk(l)
= Lk_x(bk). Il suffit d'utiliser la continuité de Lk_x sur L2(Rn) et (10)
pour conclure que Lk_x envoie L°°(Rn) dans BMO(B w ).
Pour terminer, le théorème 6 sera appliqué à la conjecture de Kato
dont nous rappelons l'énonce. Soit A(x) = ((a3-tk(œ))1<jtk<n une matrice
à coefficients dans L°°(Rn). Posons, si | e Cn et r\ e Cn, <£, rç> = % Sffji
i
et supposons qu'il existe une constante c > 0 telle que, pour tout | e Cn
on ait ~Re(A(x)Ç, | > > c | £ | 2 .
À l'aide de A(x), on construit suivant Kato [22] l'opérateur accrétifmaximal TA: VA->L2(Rn), défini formellement sur le sous-espace dense
VA c L2 par TAf = — div(A(»)Grad/). Le domaine VA dépend, de façon
non linéaire, de A et l'on a ~Re(TAu, u) ^ c||Grad u\\l en posant (u, v)
Intégrales singulières, opérateurs et analyse complexe
1009
= j îivdx. Kato a conjecturé que, dans ces conditions, le domaine de la
RP>
racine carrée accretive maximale ]/TA de TA est H1 (Rn), l'espace de Sobolev
usuel.
Nous ne savons pas encore démontrer ce fait en toute généralité.
Le théorème 6 fournit cependant l'existence d'une constante en > 0 telle
que la conjecture de Kato soit vraie dès que |JL(a?) — l ^ < en. Pour le
voir, on écrit A(x) = 1 + B(x) et l'on développe VTA en une série d'opérateurs multilinéaires en B que l'on traite par le théorème 6. La contrainte
li-Blu < e» permet de sommer la série écrite ([10], [16], [17], [18]).
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FRANGE