Spontane Symmetriebrechung und Higgsmodell

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Spontane Symmetriebrechung
und abelsches Higgsmodell
Experimentelle und Theoretische Grundlagen der Teilchenphysik
Maximilian Stemmer-Grabow | 12. Juni 2015
INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIK
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und
nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
www.kit.edu
Gliederung
Was ist spontane Symmetriebrechung?
Globale Symmetrien
Spontan gebrochene globale Symmetrien
Goldstone-Theorem
Lokale Eichsymmetrien und Higgsmodell
Titelbild: [Varlan]
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Maximilian Stemmer-Grabow – Spontane Symmetriebrechung
Zusammenfassung
12. Juni 2015
2/26
Was ist spontane
Symmetriebrechung (SSB)?
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
12. Juni 2015
3/26
Spontane Symmetriebrechung
broken
symmetry:
thethe (b)
Explicitly
broken
symme(c) spontan
Spontaneously
broken
Ungebrochene
explizit
gebrochene
gebrochene
Unbroken
symmetry:
(b)
Explicitly
broken
symme-symme(c)
Spontaneously
broken b
(a) Unbroken
symmetry:
the
(b) Explicitly
broken
(c)
Spontaneously
ts
original
state
is rotathethe
rod
bends
duedue
to an
symmetry:
thethe
rodrod
bends
Symmetrie
Symmetrie
Symmetrie
n its
state
isstate
rota-is try:
try:
rod
bends
to exan
symmetry:
bends
rodoriginal
in its
original
rotatry:
the
rod
bends
dueexto an
exsymmetry:
the
rod
invariant
ternal
force
andand
loses
rotational
in in
an an
arbitrary
direction
lly
invariant
ternal
force
loses
rotational
arbitrary
direction
tionally
invariant
ternal
force
and
loses rotational
in
an arbitrary
dir
invariance
andand
loses
rotational
invariinvariance
loses
invariinvariance
androtational
loses rotational
ance
ance ance
Abbildungen:
Dam, S. 4]
igure
1:Figure
Spontaneous
symmetry
breaking
as as
seen
inasin
the
bending
of of
a rod
Figure
1:
Spontaneous
symmetry
breaking
seen
the
bending
a[vanrod
1: Spontaneous
symmetry
breaking
seen
in
the
bending
of a rod
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
12. Juni 2015
4/26
Das klassische Beispiel
(a)
for T > Tc .
(a)The
Theferromagnet
ferromagnet
T > TC for T > Tc .
The
Theglobal
globalrotational
rotationalsymmetry
symmetry
isisunbroken.
unbroken.
(b)(b)
The
ferromagnet
The
Tferromagnet
< TC for Tfor<TTc<. Tc .
The
global
rotational
symmetry
The
global
rotational
symmetry
is spontaneously
broken.
is spontaneously
broken.
4:
Two
model
breaking
of global
rotational
sym-symFigure
4: Beispielen
Twodimensional
dimensional
modelofofspontaneous
spontaneous
breaking
of global
rotational
Bei Figure
beiden
gemeinsam:
metry
metry in
in aaferromagnet.
ferromagnet.
kontinuierliche Symmetrie
4.2 Spontaneous breaking of global U(1) symmetry
Parameter
mit kritischem
Wert of global U(1) symmetry
4.2 Spontaneous
breaking
The discussion of global symmetry breaking will be centered around a simple
The discussion
ofwith
global
symmetry
breaking
will be
centered
aroundinsight
a simple
4
Grundzustand
entartet,
bricht
Symmetrie
model:
theoryist
a U(1)
symmetry.
This simple
model
will provide
Abbildungen: [van Dam, S. 16]
4
model:
theorywith
withlocal
a U(1)
symmetry.
simplethat
model
insight
into
the analogies
gauge
symmetryThis
breaking,
willwill
alsoprovide
be considinto for
thethe
analogies
with U(1)
localisgauge
symmetry
breaking,
that
will for
alsoexample
be considGlobale
Symmetrien
Lokale
Eichsymmetrien
und Higgsmodell
Zusammenfassung
ered
U(1)
model.
an internal
symmetry,
that
describes
ered for the of
U(1)
model.
U(1) is an internal symmetry, that describes for example
conservation
electric
charge.
Maximilian Stemmer-Grabow
– Spontane
Symmetriebrechung
12. Juni 2015
5/26
conservation
of electric
charge.
Was ist SSB?
Wozu das Ganze?
Beschreibung von Supraleitung: Brechung von U(1)-Symmetrie,
massive Photonen mit endlicher Eindringtiefe in Supraleiter
Eichbosonen des Standardmodells:
Photon, Gluon, W± - und Z-Boson
W± - und Z-Bosonen haben Masse (80,4 GeV bzw. 91,2 GeV)
ohne den Higgs-Mechanismus werden diese im Standardmodell
nicht erklärt:
einfaches Addieren von Massetermen auf L zerstört Eichinvarianz
Lösung: spontane Symmetriebrechung des neu eingeführten
Higgs-Felds
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
12. Juni 2015
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Spontan gebrochene globale
Symmetrien
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
12. Juni 2015
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Spontan gebrochene globale Symmetrie
wähle komplexes Skalarfeld φ, unter globaler U(1)-Symmetrie
invariant:
φ → eiα φ , α ∈ R
Lagrangedichte (φ4 -Feld):
L = (∂µ φ)(∂ µ φ∗ ) − (m2 φ∗ φ + λ(φ∗ φ)2 )
{z
}
|
{z
} |
kin. Term
=V (φ,φ∗ )
hier Parametrisierung über unabhängige Variablen φ und φ∗
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
12. Juni 2015
8/26
Etwas anschaulicher
(a) For µ2 > 0 there is a unique ground state
(b) For µ2 <
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
at = 0, sharing the U(1) symmetry of the
Each
ground
Maximilian Stemmer-GrabowLagrangian.
– Spontane Symmetriebrechung
12. Juni 2015U(1) symmet
9/26
Abbildung: [van Dam, S. 17]
Was ist SSB?
L = (∂µ φ)(∂ µ φ∗ ) − (m2 φ∗ φ + λ(φ∗ φ)2 )
{z
}
|
{z
} |
=V (φ,φ∗ )
kin. Term
Minimum von V finden mit m2 > 0:
∂V
= m2 φ∗ + 2λφ∗ φφ∗ = φ∗ (m2 + 2λφ∗ φ)
↑
↑
∂φ
>0
∂V
∂φ
=
∂V
∂φ∗
= 0 bei:
>0
φ = φ∗ = 0 (Minimum)
nicht entarteter Grundzustand
Vakuumerwartungswert h0|φ|0i = 0
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
12. Juni 2015
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L = (∂µ φ)(∂ µ φ∗ ) − (m2 φ∗ φ + λ(φ∗ φ)2 )
{z
}
|
{z
} |
=V (φ,φ∗ )
kin. Term
Minimum von V finden mit m2 < 0:
∂V
= m2 φ∗ + 2λφ∗ φφ∗ = φ∗ (m2 + 2λφ∗ φ)
↑
↑
∂φ
<0
∂V
∂φ
=
∂V
∂φ∗
= 0 bei:
>0
φ = φ∗ = 0 (lokales Maximum)
2
|φ|2 = φ∗ φ = − m
=:
2λ
v2
2
(Minimum)
entarteter Grundzustand
Vakuumerwartungswert h0|φ|0i =
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
√v
2
Zusammenfassung
12. Juni 2015
10/26
Etwas anschaulicher
ground state
Was ist SSB?
metry of the
(b) For µ2 < 0 the ground state is degenerate.
Globale Symmetrien
Each ground state is asymmetric under the
Abbildung: [van Dam, S. 17]
Zusammenfassung
12. Juni 2015
11/26
uns interessiert das Verhalten von φ um das Minimum seines
Potentials (die Vakuumkonfiguration) herum
wähle denjenigen Grundzustand mit reellem, positivem φ
drücke φ in Polarkoordinaten aus:
φ(x ) =
√1
2
(ρ(x ) + v )eiϑ(x )/v
dann gilt im Grundzustand h0|ρ|0i = h0|ϑ|0i = 0
Lagrangedichte mit ρ, ϑ:
L = (∂µ φ)(∂ µ φ∗ ) − (m2 φ∗ φ + λ(φ∗ φ)2 )
= 21 (∂µ ρ)(∂ µ ρ) − 12 · 2λv 2 ρ2 + 12 (∂µ ϑ)(∂ µ ϑ)
2
+ 21 2vρ + vρ2 (∂µ ϑ)(∂ µ ϑ) − λv ρ3 − λ4 ρ4 + λ4 v 4
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
12. Juni 2015
12/26
Quantenfeldtheoretische Intepretation
in L: quadratischer Term in ρ, aber keiner in ϑ
mρ2 = 2λv 2 , aber mϑ = 0
Das von ϑ repräsentierte Teilchen heißt Goldstone-Boson.
Abbildung: [RupertMillard]
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
12. Juni 2015
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Das Goldstone-Theorem
Goldstone-Theorem
Die spontane Brechung einer kontinuierlichen globalen Symmetrie hat die
Existenz masseloser skalarer Bosonen zur Folge, der sogenannten
Goldstone-Bosonen.
Anzahl der Goldstone-Bosonen:
G: Dimension der Symmetrie der Lagrangedichte
H: Dimension der Grundzustands-Symmetrie
dann existieren G − H Goldstone-Bosonen
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
12. Juni 2015
14/26
Beweisskizze des Goldstone-Theorems
nach dem Noether-Theorem folgen aus kontinuierlichen Symmetrien
erhaltene Ströme: ∂ µ jµ (x ) = 0
in diesem Fall ist die zugehörigeZLadung erhalten:
d
dt
Q=
d
dt
d3x j0 (x ) = 0
aus erhaltenem Strom:
Z
d3x ∂ µ jµ (x ), φ(0)
0=
=∂
0
Z
3
dx
Z
j0 (x ), φ(0) +
|
damit gilt:
Was ist SSB?
d
dt
~ · ~j (x ), φ(0)
dS
{z
=0
}
Q (t ), φ(0) = 0
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
12. Juni 2015
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im Folgenden abelsche Symmetrie, skalares Feld
mit Ladungsoperator Q, Eigenzustand |ni mit Ladung n:
Q |ni = n |ni
das Feld φ(x ) trägt Ladung q:
Q (φ |ni) = (n + q )φ |ni = nφ |ni + q φ |ni = φ(Q |ni) + q φ |ni
damit folgt: Q , φ(x ) = q φ(x )
im nicht-abelschen Fall ähnlich: Q a , φi (x ) = Tija φj (x )
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
12. Juni 2015
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Z
0 6= c = 0 Q (t ), φ(0) 0 =
d3y 0 j0 (y ), φ(0) 0
Z
= d3y h0| j0 (y )φ(0) |0i − h0| φ(0)j0 (y ) |0i
XZ
d3y h0| j0 (y ) |ni hn| φ(0) |0i − h0| φ(0) |ni hn| j0 (y ) |0i
=
n
=
XZ
n
d3y h0| e−ip·y j0 (0)e+ip·y |ni hn| φ(0) |0i
− h0| φ(0) |nihn| e−ip·y j0 (0)e+ip·y |0i
Spontane Symmetriebrechung: h0|φ(0)|0i =
6 0
Translationsinvarianz: j0 (y ) = e−ip·y j0 (0)e+ip·y
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
12. Juni 2015
17/26
0 6= c =
=
XZ
n
XZ
d3y h0| e−ip·y j0 (0)e+ip·y |ni hn| φ(0) |0i
− h0| φ(0) |ni hn| e−ip·y j0 (0)e+ip·y |0i
d3y h0| j0 (0) |ni hn| φ(0) |0i e+ipn ·y
− h0| φ(0) |ni hn| j0 (0) |0i e−ipn ·y
X
= (2π)3
δ 3 (p~n ) h0| j0 (0) |ni hn| φ(0) |0i e+ipn0 t
n
n
Z
Fourierintegral:
Was ist SSB?
− h0| φ(0) |ni hn| j0 (0) |0i e−ipn0 t
d3x e±ip~n~y = (2π)3 δ 3 (p~n )
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
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0 6= c = (2π)3
X
n
δ 3 (p~n ) h0| j0 (0) |ni hn| φ(0) |0i e+iMn t
− h0| φ(0) |ni hn| j0 (0) |0i e−iMn t
damit dies 6= 0, aber zeitlich konstant sein kann, muss |ni existieren
mit Mn = 0 (also En = 0 für p~n = 0)
dabei muss |ni =
6 |0i gelten, da in diesem Fall beide Terme identisch
wären
diese masselosen Anregungen |ni entsprechen Goldstone-Bosonen
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
12. Juni 2015
19/26
SSB bei lokalen Eichsymmetrien:
abelsches Higgsmodell
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
12. Juni 2015
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SSB bei lokalen Eichsymmetrien
vorher: globale Symmetrie, d.h. α ist über die gesamte Raumzeit
konstant
jetzt: lokale U(1)-Symmetrie, also Funktion α(x ):
φ → eiα(x ) φ
ersetze Ableitungen durch kovariante Form: Dµ φ = (∂µ + iqAµ )φ
ergänze Lagrangedichte des freien Eichfelds:
LA = − 14 Fµν F µν mit Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
insgesamt:
L = (Dµ φ)(D µ φ)∗ − m2 φ∗ φ − λ(φ∗ φ)2 − 14 Fµν F µν
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
12. Juni 2015
21/26
L = (Dµ φ)(D µ φ)∗ − m2 φ∗ φ − λ(φ∗ φ)2 − 14 Fµν F µν
Minimum bei |φ| =
q
−m2
2λ
=
√v
2
ersetze komplexes durch zwei reelle Felder:
φ(x ) =
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
√1
2
(ρ(x ) + v )ei ϑ(x )/v
Zusammenfassung
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22/26
φ(x ) =
√1
2
(ρ(x ) + v )eiϑ(x )/v
kovariante Ableitung:
Dµ φ =
√1
=
√1
=
√1
2
2
2
(∂µ + iqAµ )(ρ + v )eiϑ/v
(∂µ ρ) + i(∂µ ϑ)(ρ + v ) + iqAµ (ρ + v ) eiϑ/v
(∂µ ρ) + iqv ( vρ + 1)( q1 (∂µ ϑ) + Aµ ) eiϑ/v
|
{z
}
=A0µ
Eichtransformation: A0µ = Aµ + q1 (∂µ ϑ)
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
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23/26
kinetischer Term der Lagrangedichte:
(Dµ φ)(D µ φ)∗ = 12 (∂µ ρ)(∂ µ ρ) + 12 (qv )2 (1 + vρ )2 A0µ A0µ
Lagrangedichte in unitärer Eichung:
· 2λv 2 ρ2 − 14 Fµν F µν + 21 (qv )2 A0µ A0µ
2
+ 12 (qv )2 2vρ + vρ2 A0µ A0µ − λv ρ3 − λ2 ρ4 + λ4 v 4
L = 12 (∂µ ρ)(∂ µ ρ) −
1
2
insgesamt: mρ2 = 2λv 2 (Higgs-Boson), hier aber zusätzlich
mA2 = (qv )2 (massives Photon); ϑ(x ) verschwunden
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
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24/26
Zusammenfassung
1
m DOF1
mit SSB
m DOF1
Symmetrie
ohne SSB
U(1), global
2 Skalarfelder X
2
1 Skalarfeld X
1 Skalarfeld ×
1
1
U(1), lokal
2 Skalarfelder X
1 Vektorfeld
×
2
2
1 Skalarfeld X
1 Vektorfeld X
1
3
DOF: degrees of freedom, Freiheitsgrade
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
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25/26
Ausblick
analog: Higgs-Mechanismus mit nicht-abelschen Symmetrien,
z.B. SU(2) der schwachen Wechselwirkung
dies führt auf Weinberg-Salam-Modell, elektroschwache Theorie
darin: drei massebehaftete Eichbosonen und ein masseloses Photon
Was ist SSB?
Globale Symmetrien
Zusammenfassung
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26/26
Bildquellen
Varlan, Horia: Large straw sombrero with twisted tip on carpet
(Flickr.com). Lizenz: Creative Commons BY 2.0.
van Dam, Suzanne: Spontaneous symmetry breaking in the Higgs
mechanism.
RupertMillard: Mexican hat potential polar (Wikimedia Commons).
Public Domain.
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Referenzen
Bernstein, Jeremy: Spontaneous symmetry breaking, gauge theories,
the Higgs mechanism and all that. Rev. Mod. Phys., 46.1, S. 7–48,
Januar 1974.
van Dam, Suzanne: Spontaneous symmetry breaking in the Higgs
mechanism. Aus: PhilSci Archive. 2012. Abgerufen 29.05.2015.
Griffiths, David J.: Introduction to elementary particles. 2., rev. ed.
Wiley-VCH, 2008.
Mandl, Franz; Shaw, Graham: Quantum field theory. 2. ed. Wiley,
2010.
Ryder, Lewis H.: Quantum field theory. 2. ed. Cambridge University
Press, 1996.
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Kontakt
Fragen, Hinweise auf Fehler oder sonstige Anregungen
zum Foliensatz gerne per E-Mail an:
mail@mxsg.de
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