Clusterbildung von seismischen Signalen mittels Principal

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Universität Stuttgart
Institut für Geophysik
Professor Dr. M. Joswig
Institut für Systemtheorie und Bildschirmtechnik
Lehrstuhl für Systemtheorie und Signalverarbeitung
Professor Dr.-Ing. B. Yang
Diplomarbeit D1083
Clusterbildung von seismischen Signalen
mittels Principal Component Analysis
und selbstorganisierender Karten
Clustering of seismic signals by principal component
analysis and self-organizing maps
Autor: Benjamin Sick
Matr.-Nr.: 2252610
Ausgabe: 22.01.2010
Abgabe: 31.08.2010
Betreuer: Prof. Dr. Manfred Joswig
Prof. Dr.-Ing. Bin Yang
Stichworte: self-organizing Map, SOM, Kohonen Map, PCA, Hauptkomponentenanalyse, Seismologie, Cluster,
Merkmalsextraktion, Dimensionsreduktion
31. August 2010
¨
Danksagung
Ich möchte mich herzlich bei allen bedanken, die mir bei dieser Arbeit geholfen haben:
Bei Prof. Manfred Joswig für die Hauptbetreuung meiner Arbeit. Für die Geduld, die Freiheit
für selbständiges Arbeiten und die richtigen Ratschläge um meinen Fokus in die richtige
Richtung zu lenken.
Bei Prof. Bin Yang für die Zweitbetreuung und die Möglichkeit als Elektrotechniker eine
fächerübergreifende Diplomarbeit zu schreiben.
Bei den Mitarbeitern des Instituts für Geophysik für eine sehr schöne Arbeitsatmosphäre und
viele wertvolle Tipps und Ratschläge. Außerdem für die ein oder andere Ablenkung.
Bei den Korrekturlesern für die Bereitschaft meine Arbeit in ihrer unpolierten Form durchzulesen und zu korrigieren.
Bei Matthias Guggenmos für die gute Vorarbeit auf diesem Gebiet.
Bei meiner Freundin und meinen Freunden für das Verständnis, dass ich in der Schlussphase
der Diplomarbeit nicht so viel Zeit für sie gehabt habe.
Kurzfassung
In dieser Diplomarbeit werden zwei Methoden des maschinellen Lernens, die
selbstorganisierenden Karten und die Principal Component Analysis, auf seismische Signale
angewendet, um diese in verschiedene Cluster einzuordnen. Die untersuchten seismischen
Signale stammen aus einem frei verfügbaren Datensatz von einer seismisch aktiven Region
in Chile. Dieser Datensatz wurde bereits in fünf Kategorien von Ereignissen eingeteilt,
deren Clusterung in dieser Arbeit untersucht wird. Es wird unter anderem untersucht,
welche Arten des Preprocessing der Signale die Clusterbildung verbessern. Dabei wurde
eine Amplitudennormalisierung und eine spezielle Distanzfunktion entwickelt. Außerdem
werden mit Hilfe der Principal Component Analysis die Parameter untersucht, welche
verantwortlich für die Clusterung der selbstorganisierenden Karte sind. Weiterhin wird die
Möglichkeit einer Unterdrückung bestimmter Parameter durch die Filterung einzelner
Principal Components gezeigt.
Abstract
In this diploma thesis two methods of machine learning are used, self-organizing Maps and
Principal Component Analysis, to cluster seismic signals. The seismic signals are taken
from a free available dataset of a seismic active region in Chile. This dataset was already
separated into five different categories of events of which the clustering is analyzed in this
thesis. It was analyzed which kind of pre-processing of the signals improves the clustering
of the data. Therefore an amplitude normalization and a special distance function was
developed. Furthermore the parameters which are responsible for the clustering of the
self-organizing Map are analyzed with the Principal Component Analysis. Additionaly the
possibility of suppressing certain parameters by filtering single principal components is
shown.
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
v
Tabellenverzeichnis
ix
1. Einleitung
1.1. Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Gliederung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
3
2. Grundlagen
2.1. Maschinelles Lernen . . . . . .
2.1.1. Lernmethoden . . . . .
2.1.2. Mustererkennung . . . .
2.1.3. Clusteranalyse . . . . .
2.2. Seismologie . . . . . . . . . . .
2.2.1. Aufzeichnung . . . . . .
2.2.2. Übertragungsfunktion .
2.2.3. Rauschen . . . . . . . .
2.2.4. Signalformen . . . . . .
2.2.5. Magnitude . . . . . . .
2.2.6. S-P-Laufzeitdifferenz . .
2.2.7. Sprengung vs. Erdbeben
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3. Sonogramme
3.1. Allgemeine Spektrogramme . . . . . . . .
3.1.1. Short-Time-Fourier-Transformation
3.1.2. Spektrale Leistungsdichte . . . . .
3.1.3. Fensterfunktionen . . . . . . . . .
3.1.4. Beispiel . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Sonogramme . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Farbpalette . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Skalierung . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Rausch-Anpassung . . . . . . . . .
3.2.4. Muting . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5. Anpassung der Standardabweichung
3.2.6. Zusammenfassung . . . . . . . . .
3.3. Dimensionsreduktion . . . . . . . . . . . .
4. Principal Component Analysis
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23
ii Inhaltsverzeichnis
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rücktransformation . . . . . . . . . . . . . . . .
Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Visualisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Daten entlang der Principal Components
4.4.2. Scree-Plot . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. 2D-PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Selbstorganisierende Karten
5.1. Künstliche Neuronale Netze . . . . . .
5.2. Selbstorganisierende Karten . . . . . .
5.3. Lernen bei selbstorganisierenden Karten
5.3.1. Initialisierung . . . . . . . . . .
5.3.2. Gewinner . . . . . . . . . . . .
5.3.3. Nachbarbestimmung . . . . . .
5.3.4. Adaption . . . . . . . . . . . .
5.3.5. Zusammenfassung . . . . . . .
5.4. Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Visualisierung . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Label . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Anwendung . . . . . . . . . . . . . . .
5.8. Analytische Vergleichsmethoden . . . .
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6. Datensatz PISCO’94
39
6.1. Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2. Klasseneinteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7. Spezifische Merkmalsextraktion
7.1. Trainings- und Testdatensatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Messverfahren für Qualität der Clusterung . . . . . . . . . .
7.2.1. Abstand zu Cluster . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2. Silhouettenkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3. Visualisierung mittels Principal Component Analysis
7.3. Amplitudennormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Länge der Ereignisse und spezifische Rauschadaption . . . .
7.5. Spektrale Leistungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6. Distanzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8. Ergebnisse
8.1. Vergleich der Clusterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1. Visualisierung auf den ersten beiden Principal Components .
8.1.2. Selbstorganisierende Karte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3. Ansicht mit Sonogrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4. Untersuchung einzelner Principal Components . . . . . . .
8.1.5. Filterung von Principal Components . . . . . . . . . . . . .
8.1.6. Scree Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis iii
8.3. Initialisierung der Prototypen mittels PCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.4. Clusterqualität mit transformierten Daten - Eigensonogramme . . . . . . . . 68
9. Software
9.1. Motivation . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Existierende Software . . . . . . . . . .
9.3. GeophysSuite . . . . . . . . . . . . . .
9.4. Vorgängersoftware . . . . . . . . . . .
9.5. Lesen von Daten . . . . . . . . . . . .
9.5.1. GeophysSuite . . . . . . . . . .
9.5.2. PGM-Dateien . . . . . . . . . .
9.6. Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . .
9.7. Konfiguration . . . . . . . . . . . . . .
9.8. Funktionsauflistung . . . . . . . . . . .
9.8.1. Amplitudennormalisierungen .
9.8.2. Sonogramme anzeigen . . . . .
9.8.3. Selbstorganisierende Karten . .
9.8.4. Klassifikation . . . . . . . . . .
9.8.5. Principal Component Analysis .
9.8.6. Diagramme . . . . . . . . . . .
9.9. Übertragbarkeit . . . . . . . . . . . . .
9.10. Neue Datenformatunterstützung . . . .
9.11. Verwendete Java-Software-Bibliotheken
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10. Zusammenfassung und Ausblick
85
10.1. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.2. Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.2.1. Neue Methoden des Maschinellen Lernens . . . . . . . . . . . . . . 87
Literaturverzeichnis
89
A. Nanoseismic Monitoring
93
Abbildungsverzeichnis
1.1. Kumulative Datenmenge die von IRIS bis zum 31. August 2008 archiviert
wurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. FDSN Station Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Elektromagnetischer Geschwindigkeits- und Kraftwandler . . . . . . . . .
2.3. Amplitudenübertragungsfunktionen eines mechanischen und eines elektromagnetischen Seismometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Das Hintergrundrauschmodell des USGS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Seismogramm mit markiertem P-, S-Wellen Einsatz und den Bereichen der
Rayleigh- und Love-Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Bewegungsformen von P-, S-, Rayleigh- und Love-Wellen . . . . . . . . .
.
.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
.
.
.
.
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.
Seismogramm eines Beispielereignisses aus dem PISCO Datensatz
Vereinfachte schematische Darstellung der STFT . . . . . . . . .
Kosinusquadrat-Fensterfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spektrogramm des Beispielereignis des PISCO Datensatzes . . . .
Sonogramm Farbpalette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sonogramm erster Schritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sonogramm zweiter Schritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sonogramm dritter Schritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sonogramm vierter Schritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
7
8
. 10
. 11
. 12
. 13
15
16
18
19
19
20
20
21
21
4.1. Zweidimensionaler Beispieldatensatz mit den ersten beiden Principal Components PC1 und PC2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1. Künstliches Neuronales Netz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Beispieldatensatz mit dreidimensionalen Daten und drei eindeutig separierbaren Clustern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Beispiel einer möglichen selbstorganisierenden Karte des Beispieldatensatzes.
5.4. Veranschaulichung der Nachbarschaftsfunktion der selbstorganisierenden Karte
5.5. Training einer selbstorganisierenden Karte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Verschiebungen von Clustern bei selbstorganisierenden Karten . . . . . . . .
30
31
32
33
34
37
6.1. Aufzeichnungsgebiet in Südamerika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Ozeanische Platten und Kontinentalplatten mit Bewegungsrichtungen in Südamerika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Subduktionsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Untersuchungsgebiet mit Anzahl und tiefe von Ereignissen . . . . . . . . .
6.5. Sonogramme und Seismogramme der einzelnen Klassen . . . . . . . . . .
40
41
42
43
. 40
.
.
.
.
vi Abbildungsverzeichnis
7.1. Distanzen aller Ereignisse zu allen Clustern . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. 2 Ereignisse der Klasse Main mit jeweils Lokalmagnitude ML = 1, 6, nicht
amplitudennormiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. 2 Ereignisse der Klasse Main mit jeweils Lokalmagnitude ML = 1, 6, amplitudennormiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. 5 Ereignisse jeder Klasse amplitudennormiert . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. Zwei identische Beben der Klasse Main mit unterschiedlicher Sonogrammlänge
7.6. Beispiel eines Sonograms mit 200 Sekunden Länge bei dem bereits ein zweites Ereignis folgt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7. Silhouettenkoeffizient der einzelnen Ereignisklassen für Zeiten von 30 bis
140 Sekunden in 10 Sekundenschritten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8. Silhouettenkoeffizient aller Ereignisklassen für Zeiten von 30 bis 140 Sekunden in 10 Sekundenschritten mit verschiedenen Rauschadaptionslängen . . .
7.9. Vektorbildung aus Sonogrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.10. Koordinatenvergleich bei zweidimensionaler Distanzfunktion im Vektor . . .
7.11. Koordinatenvergleich bei zweidimensionaler Distanzfunktion . . . . . . . . .
7.12. Silhouettenkoeffizient für einzelne Ereignisklassen und Distanzfunktionen . .
7.13. Abstand der Cluster Qualitätsmerkmal für einzelne Ereignisklassen und Diszanzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. Trainingsdatensatz auf die ersten beiden Principal Components projiziert . .
8.2. Selbstorganisierende Karte des Trainingsdatensatz mit 10 mal 5 Neuronen
und Zurordnung der einzelnen Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Neuronen der trainierten Karte auf die ersten beiden Principal Components
projiziert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Selbstorganisierende Karte des Trainingsdatensatz mit 10 mal 5 Neuronen,
Neuronen als Sonogramme gezeichnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5. Anordnung der Sonogramme des Trainingsdatensatz auf den ersten beiden
Principal Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6. Auswirkungen der ersten fünf Principal Components auf die Sonogramme .
8.7. Selbstorganisierende Karte des Trainingsdatensatz mit 10 mal 5 Neuronen
und Zurordnung der einzelnen Klassen, erste Principal Component gefiltert
8.8. Selbstorganisierende Karte des Trainingsdatensatz mit 10 mal 5 Neuronen,
Neuronen als Sonogramme gezeichnet, erste Principal Component gefiltert .
8.9. Scree Plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.10. Untrainierte selbstorganisierende Karte entlang der ersten beiden Principal
Components initialisiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.11. Trainierte selbstorganisierende Karte entlang der ersten beiden Principal
Components initialisiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.12. Neuronen der trainierten selbstorganisierenden Karte die entlang der ersten
beiden Principal Components initialisiert wurde . . . . . . . . . . . . . . .
8.13. Silhouettenkoeffizient in Abhängigkeit der Anzahl der Principal Components
mit derer der Trainingsdatensatz transformiert wurde . . . . . . . . . . . .
8.14. Jeweils ein Beben jeder Klasse für unterschiedliche Zahlen von verwendeten
Principal Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.15. Trainingsdatensatz auf die ersten drei Principal Components projiziert . . .
48
50
50
50
51
51
52
53
54
55
56
57
58
. 60
. 61
. 62
. 62
. 63
. 64
. 65
. 65
. 66
. 68
. 68
. 69
. 71
. 71
. 72
Abbildungsverzeichnis vii
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.
CLUSTER Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komponenten der GeophysSuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Auswahl von Ereignissen in SonoView . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel einer PGM Datei mit zugehörigem Sonogramm . . . . . . . .
Dauer des Trainings einer selbstorganisierenden Karte in Abhängigkeit
Epochenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6. SEED Datenformat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
. .
. .
. .
zur
. .
. .
.
.
.
.
74
75
76
77
. 78
. 82
A.1. Seismic Navigation System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A.2. Aufbau eines Supersonogramms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Tabellenverzeichnis
2.1. Unterschiedliche Erdbeben nach Entfernung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Annahmen für die Berechnung der Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . .
8
9
6.1. Anzahl der Ereignisse pro Klasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.1. Zahl der Ereignisse im Trainings- und Klassifikationsdatensatz . . . . . . . . 45
7.2. Parameter der selbstorganisierenden Karte für Tests. . . . . . . . . . . . . . . 46
7.3. Distanzfunktionen mit zugehörigen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.1. Konfusionsmatrix der Klassifikation des Testdatensatzes . . . . . . . . . . . 67
9.1. Format der ASCII Datei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1. Einleitung
1.1. Motivation
Wie in vielen anderen Gebieten fallen auch in der Seismologie immer mehr Daten an. Dies
kommt zum einen daher, dass mehr Messnetzwerke als früher aufgebaut werden. Der hauptsächliche Grund ist aber, dass die Messverfahren immer genauer werden. So steigt die Häufigkeit von Erdbeben mit jeder Magnitudenstufe um den Faktor acht [1]. Diese riesigen Datenmengen können von Menschen ohne maschinelle Hilfe nicht mehr ausgewertet werden.
Alleine das Internationale Überwachungsystem (IMS) der CTBTO1 produziert täglich 16
Gigabyte an Daten, die ausgewertet werden müssen [2]. Neben diesem Netzwerk bestehen
noch viele weitere, so dass die insgesamt täglich angehäuften Datenmengen weit darüber
liegen. Zum Beispiel archivierte das größte öffentliche Datenarchiv für Erdbebendaten, das
IRIS2 Data Management Centre bis zum August 2008 über 70 Terabyte an Daten [3], siehe
Abbildung 1.1. Die Datenmengen, die große Erdöl oder Erdgas Explorationsfirmen sammeln, übersteigen dies noch bei weitem. Um nun diese riesigen Datenmengen überblicken
zu können, müssen intelligente Algorithmen entwickelt werden, die dem Menschen bei der
Auswertung helfen können.
Abbildung 1.1.: Kumulative Datenmenge die von IRIS bis zum 31. August 2008 archiviert
wurde
Seismologische Daten müssen außerdem oftmals in einem knappen Zeitlimit ausgewertet
werden. So benötigt man zum Beispiel beo von Erdbeben ausgelösten Tsunamis Warnsysteme, um sofort gefährdete Gebiete zu evakuieren. Dort können Unterschiede von Sekunden
1
Organisation des Vertrags über das umfassende Verbot von Nuklearversuchen (http://www.ctbto.org).
Die CTBTO ist eine Internationale Organisation, die die Einhaltung des Kernwaffenteststopp-Vertrages
überwachen wird sobald dieser von allen Mitgliedstaaten ratifiziert wurde.
2
Incorporated Research Institutions for Seismology (http://www.iris.edu)
2
Einleitung
bei der Auswertung über einen sehr großen Schaden entscheiden. Ein anderes konkretes Beispiel ist die CTBTO. Hier muss innerhalb kurzer Zeit entschieden werden ob ein bestimmtes
seismisches Signal von einer nuklearen Sprengung stammt oder ein Erdbeben ist beziehungsweise andere antropogene Quellen als Ursache in Frage kommen. Wird dies nicht Zeitnah
entschieden, kann es sein, dass kein endgültiger Nachweis für eine nukleare Sprengung mehr
erbracht werden kann, da die Nachwirkungen dieser Sprengung verschwunden sind. Sowohl
Frühwarnsysteme als auch die Auswertung der CTBTO sind ohne die seismologische Signalverarbeitung nicht mehr möglich.
Die Unterscheidung zwischen verschiedenen seismischen Signalen, die sogenannte Klassifizierung kann sich unter Umständen als sehr schwierig erweisen. Hierbei müssen verschiedenste Parameter der Entstehung des Signals, wie Entfernung, Stärke und Herdmechanismus
betrachtet werden. Außerdem spielen lokale Gegebenheiten durch unterschiedliche Eigenschaften des Erdinnerens auf dem Weg des Signals von der Quelle zur Messstation eine
große Rolle. Für jedes Gebiet muss daher eine Einschätzung über diese Parameter gemacht
werden und die automatischen Algorithmen entsprechend justiert werden. Weiterhin ist dem
eigentlichen Signal ein seismisches Rauschen überlagert, welches ebenso stark varriieren
kann.
1.2. Aufgabenstellung
In einer Vorgängerarbeit [4] konnte bereits gezeigt werden, dass es prinzipiell möglich ist,
aus einem großen Datensatz Ereignisse zu extrahieren und damit eine selbstorganisierende Karte zu trainieren. Es wurde dort auch die Nützlichkeit einer Darstellung mittels einer
selbstorganisierenden Karte gezeigt.
Durch eine selbstorganisierende Karte erhält man einerseits eine Übersicht über einen großen
Datensatz, bei der verschiedene Cluster (Ballungen ähnlicher Ereignisse) gruppiert werden.
Durch diese Ansicht kann man sofort sehen welche Typen von Ereignissen vorhanden sind
und, je nach Clustergröße, wie häufig diese Typen vorkommen.
Andererseits können die einzelnen Felder der selbstorganisierenden Karte als Prototypen für
eine weitere Mustererkennung dienen, da sie einen bestimmten Typ von Ereignis sehr gut
repräsentieren.
Für die Erstellung wurden die in Kapitel 3 dargestellten Sonogramme [5] und [6] verwendet.
Die Sonogramme sind Spektrogramme des seismischen Signals, die mit mehreren signalverarbeitenden Schritten so verbessert wurden, dass sie eine optimale Darstellung für die
Ereignisdetektion bilden.
Ziel dieser Arbeit war es nun die erstellten selbstorganisierenden Karten zu verbessern und
besser zu verstehen. Dafür sollte eine weitere Methode der Clusteranalyse verwendet werden, die Principal Component Analysis. Da die Methode der selbstorganisierenden Karten
eine Methode der künstlichen Intelligenz ist und auf Neuronalen Netzen aufbaut, kann nicht
vollständig erklärt werden, warum eine bestimmte Anordnung der Karte erfolgt. Die Principal Component Analysis kann hier mit ihrer Fähigkeit der Dimensionsreduktion mehr Aufschluss auf die Verteilung der Daten geben und so einen tieferen Einblick in die Arbeitsweise
der selbstorganisierenden Karten ermöglichen.
1.3 Gliederung
3
1.3. Gliederung
Nach dieser Einleitung folgen die Grundlagen in Kapitel 2. In diesem wird versucht, sowohl
für Elektrotechniker als auch für Geophysiker verständlich die Wissensbasis für die folgenden Kapitel zu vermitteln. Darauf folgt in Kapitel 3 die Vorstellung der Sonogramme. Diese
werden als Grundlage für die weitere Clusteranalyse benötigt und bilden die erste Merkmalsextraktion aus den Seismogrammen. In Kapitel 4 und 5 werden die beiden verwendeten
Verfahren der Clusteranalyse, selbstorganisierende Karten und Principal Component Analysis, näher erklärt. Daraufhin wird in Kapitel 6 der verwendete Datensatz, der die Grundlage
für die verwendeten Signale bildet, näher vorgestellt. In Kapitel 7 werden die ermittelten
spezifischen Mermalsextraktionen für die seismischen Signale gezeigt. Im folgenden Kapitel
8 werden dann die beiden zuvor vorgestellten Verfahren Principal Component Analysis und
selbstorganisierende Karten in Relation gebracht und die Ergebnisse vorgestellt. in Kapitel
9 wird die im Rahmen der Diplomarbeit programmierte Software, die in Java geschrieben
wurde, gezeigt. Als letztes Kapitel 10 wird noch eine Zusammenfassung und ein Ausblick
gegeben.
2. Grundlagen
2.1. Maschinelles Lernen
Maschinelles Lernen befasst sich mit der Entwicklung von intelligenten Algorithmen, die in
der Lage sind, ihr Verhalten an empirische Daten anzupassen. Ein künstliches System generiert hierbei Wissen aus Erfahrung. In der sogenannten Trainingsphase werden dem System
Beispiele vorgelegt aus denen es Gesetzmäßigkeiten ableitet. Diese können dann auf neue,
unbekannte Daten angewendet werden.
2.1.1. Lernmethoden
Beim maschinellen Lernen werden die folgende Lernmethoden unterschieden.
Überwachtes Lernen
Beim überwachten Lernen lernt der Algorithmus indem zu jeder Eingabe die richtige Ausgabe geliefert wird. Die berechnete Ausgabe wird mit der gegebenen richtigen verglichen und
eine automatische Anpassung des Algorithmus erfolgt.
Unüberwachtes Lernen
Hier erzeugt der Algorithmus ein Modell der eingegebenen Daten, es wird versucht darzustellen wie die Eingabedaten organisiert sind. Eine Art von unüberwachtem Lernen ist das
Clustering, bei dem versucht wird, die Daten in einzelne Kategorien einzuteilen, die sich
durch charakteristische Muster voneinander unterscheiden. Die in dieser Arbeit benutzte Methode der selbstorganisierenden Karten ist ein typisches Beispiel für unüberwachtes Lernen.
Der Unterschied zum überwachten Lernen ist, dass dem Algorithmus zu Beginn keine Klasseninformationen gegeben werden. So ist es möglich, auch unbekannte Klassen zu finden.
Bestärkendes Lernen
Hier lernt der Algorithmus dadurch, dass zu konkreten Ergebnissen eine Belohnung oder eine
Bestrafung gegeben wird. Die konkrete richtige Ausgabe ist hier nicht wie beim überwachten
Lernen bereits vorhanden. Jedoch weiß man ob eine Ausgabe des Algorithmus richtig oder
falsch ist.
6
Grundlagen
2.1.2. Mustererkennung
Die Mustererkennung versucht durch geeignete Merkmalsextraktion, Eingaben in verschiedene Kategorien einzuordnen. Sie bildet die Basis für die Lernalgorithmen des maschinellen
Lernens, manche gehen sogar soweit zu sagen, dass Mustererkennung und maschinelles Lernen nur zwei Facetten des gleichen Fachbereichs sind [7]. Wichtig hierbei ist, bei der Merkmalsextraktion genau solche Merkmale zu verwenden, die es ermöglichen unterschiedliche
Kategorien bestmöglich zu unterscheiden.
2.1.3. Clusteranalyse
Der Begriff Clusteranalyse wurde zuerst von Tryon [8] erwähnt. Er bezeichnete die Clusteranalyse noch als „Faktorenanalyse der armen Leute“. Die Clusteranalyse ist ein multivariates,
Strukturen entdeckendes Verfahren, dass eine Vielzahl von Algorithmen umfasst, um ähnliche Objekte in Gruppen (Cluster) einzuteilen. Durch die Clusteranalyse lassen sich Daten
klassifizieren und Muster erkennen. Die Clusteranalyse verwendet die Lernmethode des unüberwachten Lernens.
Bei der Clusteranalyse werden die zu untersuchenden Objekte als Zufallsvariablen aufgefasst. Jede dieser Variablen entspricht einem Punkt in einem Vektorraum, dessen Dimension
der Anzahl von Eigenschaften der zu untersuchenden Objekte entspricht. Cluster entsprechen
in diesem Vektorraum einer Anhäufung von Punkten. Von essentieller Bedeutung hierbei ist
die Distanzmethode und die Methode zur Mittelpunktsbestimmung eines Clusters, die benutzt wird, um diese Anhäufungen zu bestimmen. Ein Beispiel einer Distanzfunktion ist die
euklidische Distanz, zur Berechnung des Mittelpunkts eines Clusters kann zum Beispiel der
Mittelwert der einzelnen Elemente des entsprechenden Clusters berechnet werden. Für weitere Ausführungen zu Zufallsvariablen siehe [9].
2.2. Seismologie
Der Erdboden und das Erdinnere befinden sich in ständiger Bewegung. Normalerweise spürt
man dies nicht, doch zum Beispiel bei starken Erdbeben wird diese Bewegung so stark, dass
sie auch von Menschen gespürt werden kann. Erdbeben entstehen durch verschiedenste Prozesse bei denen Spannungen im Erdinnern plötzlich freigegeben werden. Diese Spannungsveränderungen bringen unter anderem sogenannte elastische P- und S-Wellen hervor, siehe
Kapitel 2.2.4, die zur Erdoberfläche wandern und diese in Bewegung versetzen.
Im Jahre 1875 wurde von F. Cecchi das erste Instrument entwickelt, um diese seismischen
Schwingungen als Zeitfunktion aufzuzeichnen. Dies war der Beginn der Seismologie, die
sich mit den seismischen Wellen, deren Quellen und dem Medium das sie durchlaufen, befasst. Die Seismologie hat viele mathematische Modelle der Inversion hervorgebracht, da
man hier versucht Rückschlüsse auf eine Quelle und Strukturinformationen durch entfernt
aufgezeichnete Daten zu ziehen.
Man kann sich die Seismologie als Stethoskop für das Erdinnere vorstellen, dass es einem
Seismologen ermöglicht die Prozesse im Erdinneren zu „hören“. Durch die Anwendung der
2.2 Seismologie
7
Theorie elastischer Wellen und weiteren Verfahren konnten in den letzten Jahrzehnten immer genauere Informationen aus den Seismogrammen gezogen werden. Es kann somit die
Position und Stärke von Erdbeben bestimmt werden, außerdem werden Schichtmodelle der
Welleneigenschaften des Erdinnerns erstellt. Weiterhin wird die tiefgehende Exploration von
Rohstoffen ermöglicht. Es können außerdem künstliche Sprengungen, wie zum Beispiel unterirdische Atombombentests, erkannt werden.
Durch diese wichtigen Anwendungsgebiete hat sich die Seismologie schnell in eine Hightech Forschungsdisziplin entwickelt. Abbildung 2.1 zeigt zum Beispiel die Verteilung der
seismologischen Stationen der International Federation of Digital Seismograph Networks
(FDSN)1 . All diese Stationen zeichnen permanent die Bodenunruhe unserer Erde auf.
Abbildung 2.1.: FDSN Station Map [10]
2.2.1. Aufzeichnung
Aufgezeichnet werden die seismischen Signale durch einen Seismographen. Dieser besteht
aus dem Seismometer, der Aufnehmereinheit, die die Bodenbewegung in ein elektrisches
Signal umsetzt und der Registriereinheit, die das Signal früher auf Papier, heute auf einen
elektronischen Datenträger aufzeichnet. In der Seismologie werden Beben unter anderem
nach ihrer Entfernung unterschieden, was in Tabelle 2.1 veranschaulicht ist. Bei teleseismischen Beben werden zum Beispiel hauptsächlich Frequenzen von 10 Hertz bis hinunter zu
0,3 Millihertz aufgezeichnet [11]. In dieser Arbeit werden Lokalbeben untersucht.
Früher wurden Aufzeichnungen mechanisch gemessen, indem eine sogenannte seismische
Masse an einer Feder aufgehängt wurde. Ihre Bewegungsrichtung wurde dabei auf eine Achse beschränkt um zum Beispiel nur vertikale Schwingungen aufzuzeichnen. Um jedoch Ver1
http://www.fdsn.org/
8
Grundlagen
Name
Entfernung
Lokalbeben
< 100 km
Regionalbeben
10 - 1400 km
Teleseismisches Beben > 1400 km
Tabelle 2.1.: Unterschiedliche Erdbeben nach Entfernung
schiebungen im Nanometerbereich zu messen, werden heutzutage elektrodynamische Wandler als Seismometer eingesetzt. Ein vereinfachtes Schema eines solchen Wandlers ist in Abbildung 2.2 dargestellt. Als Masse wird hier eine Kupferdrahtspule verwendet. Diese befindet
sich zwischen den Polen eines fixierten Magneten. Durch Bewegungen des Kupferdrahtes
wird eine Spannung induziert, diese wird elektronisch verstärkt und aufgezeichnet.
Dies funktioniert allerdings nur für Signale mit hoher Frequenz. Möchte man Signale mit
niedrigen Frequenzen aufzeichnen wird die differentielle kapazitive Abstandsmessung verwendet. Hierbei wird ausgenutzt, dass man die Entfernung zwischen zwei leitfähigen Teilchen über die zwischen ihnen bestehende Kapazität bestimmen kann. Es werden hierfür drei
Metallplättchen isoliert übereinander mit einem Abstand von einigen Zehntel Millimetern
angebracht, wobei die mittlere beweglich ist.
Abbildung 2.2.: Elektromagnetischer Geschwindigkeits- und Kraftwandler [12]
2.2.2. Übertragungsfunktion
Jedes Seismometer hat eine Übertragungsfunktion, diese wird hier nach Wielandt [12] vorgestellt. Typische Übertragungsfunktion eines mechanischen und eines elektrischen Seismometers sind in Abbildung 2.3 dargestellt. Man kann sie sich aus der Schwingungsgleichung
eines Federpendels mit viskoser Dämpfung herleiten.
Geht man von einer harmonischen Bewegungen in der Zeit aus und wenn die Zuordnungen
aus Tabelle 2.2 gelten, kann Gleichung 2.1 für die Verschiebung, 2.2 für die Geschwindigkeit
und 2.3 für die Beschleunigung angenommen werden.
2.2 Seismologie
9
Beschreibung
Bezeichnung
Ansprechempfindlichkeit der Spule
E
Frequenzvariable der Fourier Transformation ω
Eigenfrequenz der Masse
ω0 = T2π0
Numerische Dämpfung
h
Meter
γ
Empfindlichkeit in
Volt
Tabelle 2.2.: Annahmen für die Berechnung der Übertragungsfunktion
H̃d (ω) :=
− jω3 E
−ω2 + 2 jωω0 h + ω20
(2.1)
H̃v (ω) :=
−ω2 E
−ω2 + 2 jωω0 h + ω20
(2.2)
jωE
+ 2 jωω0 h + ω20
(2.3)
H̃a (ω) :=
−ω2
2.2.3. Rauschen
Der Erdboden ist nie komplett in Ruhe, es gibt ständig ein seismisches Hintergrundrauschen.
Rauschen kann durch seismische Aktivität, aus der Umgebung oder durch das Aufzeichnugsgerät selbst entstehen.
Seismisches Rauschen
Das minimale seismische Rauschen wird vom USGS2 berechnet und ist in Abbildung 2.4
dargestellt. Es stellt das globale minimale Rauschen dar und setzt sich hauptsächlich aus der
sogenannten Meeresmikroseismik zusammen. Dies ist das Rauschen, dass durch die Gezeiten
der Meere und die Brandungswellen entsteht.
Umgebungsrauschen
Umgebungsrauschen äußert sich meist durch eine leichte Verkippung der Seismometer. Diese
kann zum Beispiel durch Verkehr, Wind, Temperatur, Magnetfelder oder Druckunterschiede
in der Atmosphäre hervorgerufen werden. Diesem Rauschen wird durch ein gut isoliertes
und druckdichtes Gehäuse entgegengewirkt. Außerdem wird versucht Seismometer an Orten
mit möglichst wenig antropogenen Rauschquellen aufzustellen.
2
United States Geological Service http://www.usgs.gov/
10
Grundlagen
Abbildung 2.3.: Amplitudenübertragungsfunktionen eines mechanischen Seismometers (Federpendel, links) und eines elektromagnetischen Seismometers (Geophon,
rechts). Die normalisierte Frequenz ist die Signalfrequenz dividiert durch
die Eigenfrequenz (Eckfrequenz) des Seismometers [12].
2.2 Seismologie
11
Abbildung 2.4.: Das minimale Hintergrundrauschmodell des USGS. Beide Spitzen in der
Mitte sind auf die Meeresmikroseismik zurückzuführen [13].
Instrumentelles Rauschen
Das instrumentelle Rauschen des Gerätes selbst kann durch mechanische oder elektrische
Komponenten entstehen. Hier kann bei sehr genauen Geräten sogar die Brownsche Wärmebewegung der seismischen Masse eine Rolle spielen.
2.2.4. Signalformen
Seismische Aufzeichnungen sind also Bodenbewegungen als Funktion der Zeit. Ein typisches
Signal eines Erdbebens ist in Abbildung 2.5 zu sehen. Hierbei fallen zwei markante Spitzen
in der Amplitude auf. Dies sind die Einsätze der sogenannten P- und S-Wellen. Außerdem
sind noch weitere Wellen nach der Sekundärwelle zu sehen, dies sind die Oberflächenwellen
Rayleigh- und Love-Wellen. Alle vier Wellentypen sind in Abbildung 2.6 dargestellt. Für
weitere Theorie zur Wellenberechnung sei [1], [14] und [15] empfohlen.
P-Wellen
Bei einem Erdbeben entstehen sowohl Longitudinalwellen als auch Transversalwellen. Longitudinalwellen breiten sich schneller aus und werden daher in der Seismologie als Primärwellen oder P-Wellen bezeichnet. Die Amplituden von P-Wellen sind generell kleiner und haben
höhere Frequenzen als S- und Oberflächenwellen. P-Wellen in einer Flüssigkeit oder einem
Gas sind Druckwellen (auch Tonwellen). Die Geschwindigkeit einer P-Welle berechnet sich
nach Gleichung 2.4. Hierbei ist K der Kompressionsmodul, µ der Schermodul und ρ die
Dichte des die Welle durchlaufenden Materials.
s
vp =
K + 43 µ
ρ
(2.4)
12
Grundlagen
Abbildung 2.5.: Seismogramm mit markiertem P-, S-Wellen Einsatz und den Bereichen der
Rayleigh- und Love-Wellen [16]
S-Wellen
Die Transversalwellen treffen nach den P-Wellen ein und werden daher als Sekundärwellen
beziehungsweise Scherwellen oder S-Wellen bezeichnet. S-Wellen bewegen sich nicht durch
Flüssigkeiten und sind deshalb auch nicht im äußeren Erdkern (wird als flüssiges Eisen angenommen), in der Luft oder im Wasser vorhanden. Die Geschwindigkeit einer S-Welle berechnet sich nach Gleichung 2.5. Wobei wieder gilt, dass µ der Schermodul und ρ die Dichte
des die Welle durchlaufenden Materials ist.
vS =
r
µ
ρ
(2.5)
Rayleigh- und Love-Wellen
Rayleigh- und Love-Wellen sind Oberflächenwellen, die entstehen wenn die P- und SRaumwellen an die Oberfläche treten. Beide Wellentypen existieren an der Oberfläche der
Erde und nehmen mit zunehmender Tiefe an Amplitude ab.
Das Auftreten von Rayleigh-Wellen und die Teilchenbewegungen sind ähnlich einer Wasserwelle. Rayleigh-Wellen sorgen mit Längs- und Vertikalbewegungen für den meisten Schaden
nach einem Erdbeben.
Beide Typen von Oberflächenwellen unterliegen starker Dispersion, die Geschwindigkeit
2.2 Seismologie
Abbildung 2.6.: Bewegungsformen von P-, S-, Rayleigh- und Love-Wellen [16]
13
14
Grundlagen
verändert sich also mit der Frequenz. Normalerweise breiten sie sich bei niedrigen Frequenzen schneller aus.
2.2.5. Magnitude
Die Magnitude beschreibt die Stärke eines Ereignisses, sie wird indirekt über die freigegebene Energie eines Ereignisses bestimmt. Die Magnitude sollte nicht mit der Intensität eines
Erdbebens verwechselt werden. Die Intensität gibt an wie stark ein Ereignis lokal Zerstörungen hervorruft. Die Magnitude wird arabisch nummeriert, die Intensität römisch [17].
Charles Richter hat hierzu einen sehr schönen Vergleich zu Radiowellen gebracht: So sei die
Magnitude wie die Stärke an Kilowatt, mit der eine Radiostation sendet. Die lokale Intensität
entspricht hingegen der Signalstärke des Radiosignals an einer bestimmten Stelle.
Charles Richter war es auch, der zusammen mit Beno Gutenberg die wohl bekannteste Magnitudenskala einführte, die Lokalmagnitude ML (Richterskala). Hierbei ist ein Ereignis,
welches in einer Entfernung von 100 km eine Bodenbewegung von A0 = 10−3 µm auslöst
mit ML = 0 definiert. Daraus kann man nun eine Formel für ML in Abhängigkeit von der
maximalen Amplitude A [µm] und der Distanz ∆ [km] erstellen welche in Gleichung 2.6 beschrieben ist.
ML = log10 A − 2,48 + 2,76 log10 ∆
(2.6)
Die Distanz berechnet sich hierbei vom lokalen Messpunkt zum sogenannten Epizentrum.
Das Epizentrum ist die vertikale Projektion des Erdbebenherds (Hypozentrum) auf die Erdoberfläche.
Da die Lokalmagnitude nur bei Distanzen zwischen 10 und 600 km gültig ist, wurden weitere
Magnituden wie zum Beispiel die Raumwellenmagnitude mb , die Oberflächenmagnitude MS ,
und die Momenten-Magnitude MW eingeführt. Auch jede dieser Magnituden hat jedoch ihre
eigenen Schwächen und wird nur für bestimmte Situationen eingesetzt.
2.2.6. S-P-Laufzeitdifferenz
Obwohl die Wellengeschwindigkeiten um das zehnfache oder mehr innerhalb der Erde variieren können, ist das Verhältnis zwischen P- und S-Wellengeschwindigkeit in etwa konstant.
Dies ermöglicht es Seismologen eine schnelle, vernünftige Abschätzung der Entfernung eines Erdbebens durch den Laufzeitunterschied der beiden Wellentypeneinsätze zu erhalten.
Hierfür muss die S-P-Zeit, also der Zeitunterschied der Einsätze in Sekunden mit dem Faktor
multipliziert werden, um den ungefähren Abstand in Kilometern zu bekommen.
8 km
s
2.2.7. Sprengung vs. Erdbeben
Erdbeben entstehen durch einen Bruch, bei dem die unterschiedlichen Wellenarten entstehen.
Sprengungen dagegen haben theoretisch eine isotrope Wellenabstrahlung, die keine Sekundärwellen erlaubt. In der Praxis ist es jedoch so, dass Sekundärwellen zwar entstehen, jedoch
schwächer ausfallen als bei Erdbeben.
3. Sonogramme
Für eine digitale Clusteranalyse seismischer Signale eignen sich die Seismogramme nur sehr
schlecht, da zuviele Merkmale im Signal vorhanden sind. Die Dimensionalität der Daten
würde daher die Rechenkapazitäten überschreiten und es würden sehr viele für einen Computer unerhebliche oder sogar hinderliche Informationen benutzt. In dieser Arbeit werden
daher nicht die eigentlichen Seismogramme als Eingabe für die Cluster-Algorithmen benutzt
werden, sondern eine stark modifizierte Form des Spektrogramms, das Sonogramm. Dieses
wird in diesem Kapitel kurz erklärt. Für weitere Informationen zu Sonogrammen kann [5]
oder [6] herangezogen werden.
Viele Arbeiten gehen bei der Merkmalsextraktion so vor, dass sie nur spezifische, vorher
festgelegte Merkmale extrahieren wie zum Beispiel die S-P-Zeit, die Amplitude oder den Erwartungswert [18]. Die Methode der Sonogramme hat im Gegensatz dazu den Vorteil, dass
sie eine Art kontinuierliche Merkmalsextraktion darstellt. Es können sich hierbei sehr spezielle Merkmalskombinationen für ein bestimmtes Ereignis bilden, was in Form von Mustern
auch für das menschliche Auge sichtbar ist.
Das Sonogramm stellt die Vielzahl an Informationen die in einem Seismogramm stecken
in einer Form dar, die es erlaubt Muster zu erkennen. Dies gilt sowohl für die menschliche Wahrnehmung als auch für die rechnergestützte. Anstatt eine eindimensionale Funktion
und Zeit-Amplituden Darstellung wie beim Seismogramm, wird hier eine zweidimensionale
Funktion der Energie über Zeit und Frequenz benutzt. Dies erlaubt es viel mehr Informationen auf gleichem Raum zu zeigen. Außerdem wurde für die Darstellung der Sonogramme
eine für das menschliche Auge optimierte Farbskala gewählt, so dass Ereignisse besonders
gut aus dem Rauschen heraus stechen. Die typischen Muster die sich bei den Sonogrammen
für ähnliche Ereignisse bilden sind außerdem sehr robust gegenüber Rauschen und anderen
unerwünschten Einflüssen.
In den folgenden Kapiteln wird die Berechnung der Sonogramme erläutert. Als Beispielereignis für dieses Kapitel wird ein Erdbeben aus dem PISCO’94 Datensatz benutzt. Dieser
Datensatz wird in Kapitel 6 näher erläutert. Das Seismogramm dieses Beispielereignisses ist
in Abbildung 3.1 zu sehen. Das Signal hat eine Abtastrate von 100 Hz.
Abbildung 3.1.: Seismogramm eines Beispielereignisses aus dem PISCO Datensatz
16
Sonogramme
3.1. Allgemeine Spektrogramme
Die Berechnung eines Spektrogramms soll hier kurz erläutert werden, da sie die Basis für
die Sonogramme bildet. Ein Spektrogramm ist eine Funktion der Energie über Zeit und Frequenz. Normalerweise wird auf der horizontalen Achse die Zeit und auf der vertikalen Achse die Frequenz dargestellt, die Stärke der Energie wird durch die Intensität der Farbe am
entsprechenden Punkt repräsentiert. Die Achsen können entweder linear oder logarithmisch
sein. Bei seismischen Signalen wird normalerweise eine logarithmische Frequenzachse und
eine lineare Zeitachse gewählt. Für die eigentliche Berechnung wird die Short-Time-FourierTransformation benutzt.
3.1.1. Short-Time-Fourier-Transformation
Eine schematische Darstellung der Spektrogrammberechnung ist in Abbildung 3.2 zu sehen.
Die Berechnung der Short-Time-Fourier-Transformation (STFT) setzt sich aus den folgenden
Schritten zusammen, wobei alle Signale als diskret angenommen werden.
Abbildung 3.2.: Vereinfachte schematische Darstellung der STFT
1. Gemäß Gleichung 3.1 werden L Werte aus dem Eingabesignal x eingelesen.
∆
xm (n) = x(n − mR),
n = −l, . . . , l
∆
(3.1)
Dabei ist xm der m-te Block des Eingabesignals und L = 2l + 1 die Blocklänge. R
beschreibt die Anzahl Samples die von einem zum nächsten Block gesprungen wird,
hierüber lässt sich die Überlappung bestimmen.
3.1 Allgemeine Spektrogramme
17
2. Nun werden die Blockdaten nach Gleichung 3.2 punktweise mit einer Fensterfunktion w(n), n = −l, . . . , l der Länge L multipliziert um das mte Fenster zu bekommen.
Beispiele für Fensterfunktionen werden in Kapitel 3.1.3 gegeben.
∆
x̃m (n) = xm (n)w(n),
n=−
L−1
L−1
,... ,
2
2
(3.2)
3. Weiterhin wird x̃m für die spätere Fast Fourier Transformation1 (FFT) nach Gleichung
3.3 mit Nullen aufgefüllt um auf die FFT-Größe N zu kommen. Dabei ist N die nächst
größere Zweierpotenz von L.


x̃ (n), |n| ≤ L−1

2
 m
∆ 
0
L−1
0,
<
n
≤ L2 − 1
x̃m (n) = 
(3.3)
2


 0,
− N ≤ n < − L−1
2
2
4. Als nächstes wird die FFT mit der Länge N von x̃m0 berechnet, um die STFT zur Zeit
m zu bekommen.
N/2−1
X
0
jωk
x̃m (e ) =
x̃m0 (n)e−jωk nT s
(3.4)
n=−N/2
Hierbei ist ωk =
2πk fs
.
N
fs =
1
Ts
ist die Abtastrate in Hz.
Das gesamte Spektrogramm setzt sich nach Gleichung 3.5 aus den quadrierten Werten
der einzelnen STFTs zusammen. Jedes der Zeitfenster entspricht im Spektrogramm
einer horizontalen Linie, die einer Funktion der Energie über die Frequenz zu einem
bestimmten Zeitpunkt entspricht. Diese horizontalen Linien werden aneinandergereiht,
um das vollständige Spektrogramm zu bilden.
2
spectrogram {x(t)} ≡ x̃m0 (ejωk )
(3.5)
Für Sonogramme wird die STFT mit einer Fensterlänge von L = 2,56 Sekunden durchgeführt. Die Sprungweite von Fenster zu Fenster beträgt R = 1,25 Sekunden, was einer Überlappung der Fenster von knapp 50% entspricht.
3.1.2. Spektrale Leistungsdichte
Um eine Aussage darüber zu bekommen, wie die Energie eines Signals über die Frequenz
pro Zeitfenster verteilt ist, benutzt man für die FFT die Autokorrelation der Funktion, die in
Gleichung 3.6 beschrieben ist.
R xx (q) =
X
0
x̃n0 x̃n−q
(3.6)
n
Hiermit bekommt man durch die Fouriertransformation die sogenannte spektrale Leistungsdichte (engl. Power Spectral Density, PSD) des Signals.
1
Die Fast Fourier Transformation ist ein Algorithmus zur effizienten Berechnung der Werte einer diskreten
Fourier-Transformation (DFT)
18
Sonogramme
3.1.3. Fensterfunktionen
Bei der Berechnung muss ein Kompromiss zwischen der Genauigkeit der Auflösung beider
Achsen gefunden werden. Wird das Zeitfenster für die Frequenztransformation vergrößert,
verbessert sich die Auflösung der Frequenzachse, die der Zeitachse wird jedoch geringer und
umgekehrt. Es muss daher ein Wert gewählt werden der beide Achsen für entsprechende
Anforderungen genügend auflöst.
Als Fensterfunktionen bieten sich glatte, also stetig differenzierbare Funktionen im Zeitbereich an, da unstetige Funktionen im Frequenzbereich zu einer Verbreiterung des Spektrums
des Hauptmaximums führen. Für Sonogramme wird die Kosinusquadrat-Funktion wie in Abbildung 3.3 dargestellt als Fensterfunktion benutzt, welche ein sehr schmales Frequenzspektrum des Hauptmaximums hat, wenn man nur schwache Amplituden betrachtet.
Abbildung 3.3.: Kosinusquadrat-Fensterfunktion
3.1.4. Beispiel
In Abbildung 3.4 ist das Spektrogramm des Beispielereignisses zu sehen. Es wurde mit der
frei verfügbaren Software Obspy2 erstellt. Es hat eine Überlappung von 80 % der Fensterlänge und benutzt ein Hanning Fenster. Die Samplingrate beträgt 100 Hz.
3.2. Sonogramme
Für die Sonogrammberechnung wurden eine Vielzahl von Überlegungen auf die Spektrogramme angewendet, um sie für eine Mustererkennung zu optimieren. So wurde versucht
das Wissen eines Seismologen in die Musterbildung mit einzubeziehen. Ähnliche seismische
Ereignisse sollen hierbei ähnliche Muster produzieren. Durch die zweidimensionale Darstellung der Sonogramme können Methoden des maschinellen Sehens (engl. Computer Vision)
angewendet werden. Ein entscheidendes Kriterium für die Detektion sind vorhandene Frequenzen und die zeitlichen Änderungen dieser, außerdem das zusammenhängende Auftreten
von Welleneinsätzen. Folgende Überlegungen wurden für die Seismograme gemacht.
2
http://www.obspy.org
3.2 Sonogramme
19
Abbildung 3.4.: Spektrogramm des Beispielereignis des PISCO Datensatzes
3.2.1. Farbpalette
Die aus dem Spektrogrammen in Abbildung 3.4 bekannte Farbpalette entspricht nicht dem
auf Kontraste spezialisierten Erkennungsprozess des Menschen, da schwache und starke
Energien zwar eine unterschiedliche Farbe haben aber einen ähnlichen Helligkeitswert aufweisen. Für die Sonogramme wurde eine Farbpalette entwickelt, die bessere Kontrastwerte
hat, diese ist in Abbildung 3.5 zu sehen.
Abbildung 3.5.: Sonogramm Farbpalette, hierbei wird den Werten 0 bis 11 eine Farbe zugeordnet. Die Berechnung der Sonogramme ist so skaliert, dass Werte über
11 nicht weiter relevant für eine Ereignisdetektion sind. Somit werden alle
Werte größer 11 ebenfalls Schwarz gefärbt.
3.2.2. Skalierung
Logarithmische Frequenzskalierung
Wie bereits in Kapitel 3.1.2 erwähnt, wird für die Amplituden die spektrale Leistungsdichte (PSD) verwendet, welche schon einen erheblichen Beitrag zur besseren Ereignisdetektion
bildet. Weiterhin ist es so, dass die menschliche Wahrnehmung es ermöglicht visuell zwischen niedrigen Frequenzen wie zum Beispiel 1 bis 2 Hertz sehr gut zu unterscheiden, zwischen höheren Frequenzen wie zum Beispiel von 10 und 11 Hertz kann jedoch fast nicht
unterschieden werden. Deshalb wird die Frequenzachse logarithmisch skaliert. Für die rechnergestützte Mustererkennung wird davon ausgegangen, dass es Sinn macht, wenn möglich,
die gleichen Präferenzen für die Signalverarbeitung zu setzen, wie auch für den Menschen.
Die Aufteilung der Frequenzbänder geschieht hierbei in 13 Halboktav-Schritten.
20
Sonogramme
Logarithmische Energieskalierung
Für die Unterscheidung von verschiedenen Ereignissen ist es weniger wichtig, wenn diese
bei hohen Amplituden unterschiedlich sind. Veränderungen bei niedrigen Amplituden sind
jedoch sehr wichtig für eine Unterscheidung [19]. Deshalb wird auch für die Amplitude eine
logarithmische Skalierung gewählt. Dies ermöglicht die Farbpalette aus Kapitel 3.2.1.
Nach der logarithmischen Frequenz- und Energieskalierung und mit der entsprechenden
Farbpalette entspricht unser Beispielsonogramm Abbildung 3.6.
Abbildung 3.6.: Sonogramm erster Schritt, Spektrogramm mit logarithmischer Frequenzund Energieskalierung und spezieller Farbpalette.
3.2.3. Rausch-Anpassung
Für eine bessere Ereignisdetektion ist es essentiell, das stationäre Rauschen zu unterdrücken.
Das Rauschen wird in der logarithmischen Skalierung als gaussverteilt über die Energie angenommen. Eine solche Gauss-Verteilung ermöglicht es eine Beschreibung dieser über Erwartungswert und Standardabweichung zu erreichen. Erwartungswert und Standardabweichung
werden hierbei durch eine Median-Statistik bestimmt. Die Bestimmung erfolgt pro Frequenzband. Für die Sonogramme wird nun pro Frequenzband der Erwartungswert subtrahiert [20].
In Abbildung 3.7 ist das Signal aus Abbildung 2.5 nach den Schritten STFT, Frequenzskalierung und Rausch-Anpassung mit der erklärten Farbpalette zu sehen.
Abbildung 3.7.: Sonogramm zweiter Schritt, Rausch-Adaption.
3.2.4. Muting
Ein weiterer Schritt in der Sonogrammberechnung ist das sogenannte Muting. Um einen
besseren Kontrast gegenüber dem stationären Rauschen zu ermöglichen, werden Werte, die
kleiner sind als die Summe aus der Standardabweichung und des Erwartungswertes des Rauschens, komplett in der Detektion ignoriert. Das Ergebnis ist in Abbildung 3.8 zu sehen.
3.3 Dimensionsreduktion
21
Abbildung 3.8.: Sonogramm dritter Schritt, Muting.
3.2.5. Anpassung der Standardabweichung
Als letzter Schritt wird vom Signal noch die Standardabweichung des logarithmischen Rauschens subtrahiert, was das endgültige Sonogramm aus Abbildung 3.9 ergibt.
Abbildung 3.9.: Sonogramm vierter Schritt, Anpassung der Standardabweichung.
3.2.6. Zusammenfassung
Sei S(ω, m) die Amplitude der STFT für den Zeitblock m und die Frequenz ω und µ(ω) der
Erwartungswert und σ(ω) die Standardabweichung für das Frequenzband ω, so lässt sich für
die Sonogrammberechnung die Formel nach Gleichung 3.7 aufstellen.
Für S(ω, m) > µ(ω) + σ(ω):
Sonogramm(ω, m) = (int) log2 (S(ω, m) − µ(ω)) − (int) log2 (σ( f )) + 1
(3.7)
3.3. Dimensionsreduktion
Die Darstellung mittels Sonogrammen bietet bereits eine gute Merkmalsreduktion aus einem Zeitsignal, was folgende Rechnung veranschaulicht. Hat man ein Zeitsignal mit einer
Abtastfrequenz von 100 Hz so ergeben sich für 70 Sekunden Dauer die Dimensionen nach
Gleichung 3.8 für ein Seismogramm und nach Gleichung 3.9 für ein Sonogramm. Dies entspricht bei 100 Hz Abtastrate einer Reduktion um knapp den Faktor zehn.
100 Hz · 70 s = 7000
(3.8)
70 s
Zeitwerte · 13 Frequenzwerte = 728
1,25 s
(3.9)
Weiterhin variieren die Amplitudenwerte beider Darstellung sehr stark, man kann davon ausgehen, dass ein Seismogramm in der Amplitude eine Auflösung von 16 bit = 215 hat. Ein
Sonogramm benötigt jedoch nur 12 Farbwerte. Somit sind Sonogramme bei der digitalen
Speicherung sehr viel sparsamer, was sich auch auf Rechenzeiten auswirkt.
4. Principal Component Analysis
Die Principal Component Analysis1 (PCA) [21] ist ein Verfahren der multivariaten Statistik.
Durch die PCA ist es möglich multidimensionale Datensätze zu strukturieren, zu vereinfachen und zu veranschaulichen. Dies geschieht durch eine orthogonale lineare Transformation eines Datensatzes in ein neues Koordinatensystem, dessen Anordnung der Koordinatenachsen der Abnahme der Varianz der jeweiligen Koordinaten im Datensatz entspricht.
Die Verteilung entlang der ersten Komponente (erste Hauptkomponente) entspricht nach der
Transformation also der größten Varianz. Es wird in dieser Arbeit davon ausgegangen, dass
eine größere Varianz einer größeren Information entspricht. Somit entspricht die erste Principal Component der Dimension mit dem größten Informationsgehalt. In Abbildung 4.1 ist ein
zweidimensionaler Beispieldatensatz mit seinen ersten beiden Principal Components gezeigt.
1.5
1
Y
0.5
0
−0.5
Data
PC1
PC2
−1
−1.5
−1.5
−1
−0.5
0
X
0.5
1
1.5
Abbildung 4.1.: Zweidimensionaler Beispieldatensatz mit den ersten beiden Principal Components PC1 und PC2
1
Deutsche Bezeichnung Hauptkomponentenanalyse, weitere Bezeichnungen sind Karhunen-LoèveTransformation oder Hoteling-Transformation
24
Principal Component Analysis
4.1. Berechnung
Wir nehmen einen Datensatz mit M Beobachtungen, die jeweils die Dimension N haben an.
Dieser Datensatz kann in einem N-dimensionalen Raum RN mit M Punkten dargestellt werden. Jede dieser Beobachtungen kann als Zufallsvariable X mit Länge N aufgefasst werden
(entspricht einem Vektor mit N Dimensionen). Um nun eine Principal Component Analysis
durchzuführen sind folgende Schritte nötig:
1. Normierung: Von allen Zufallsvariablen X i wird ihr Erwartungswert (umgangssprachlich Mittelwert) µi abgezogen um eine Zufallsvariable Φ i mit dem Erwartungswert von
0 zu bekommen.
Φ i = X i − µi
wobei µi =
N
1X
X ik
N k=1
(4.1)
2. Matrixbildung: Es wird eine Matrix A mit Zeilenzahl M und der Spaltenzahl N gebildet, in der jede Zeile einer Zufallsvariablen entspricht.
A = Φ1 Φ2 ... ΦM
(4.2)
3. Kovarianzmatrix: Nun wird die Kovarianzmatrix C von A mit Zeilen- und Spaltenzahl
M gebildet.
Gleichung 4.3 zeigt die Berechnung der Kovarianz zwischen den zwei noch nicht Erwartungswert angepassten Zufallsvektoren X i und X j . Die Kovarianz gibt an, inwiefern sich zwei Zufallsvektoren in diesselbe Richtung entwickeln. Ist die Kovarianz
positiv verhalten sich beide Zufallsvektoren ähnlich, ist sie negativ verhalten sie sich
verschieden.
Cov(X i , X j ) =
(X i − µi )(X j − µ j )
N−1
(4.3)
Die Kovarianzmatrix beschreibt nun für jedes Paar von zwei Zufallsvektoren die Kovarianz untereinander und ist nach Gleichung 4.4 gegeben.


Cov(X 1 , X 1 ) · · · Cov(X 1 , X n )
1 

..
..
..
C =


.
.
.
N−1

Cov(X n , X 1 ) · · · Cov(X n , X n )
(4.4)
In unserem Fall kann die Kovarianzmatrix durch Matrixmultiplikation nach Gleichung
4.5 gebildet werden, da unsere Daten bereits um den Erwartungswert normiert sind.
C =
1
AAT
N−1
(4.5)
4.2 Rücktransformation
25
4. Eigenvektormatrix: Als nächster Schritt werden die Eigenvektoren u i und Eigenwerte λi der Kovarianzmatrix mittels der Eigenwertzerlegung berechnet. Der Betrag der
Eigenwerte ist dabei ein Maß für die Varianz des betreffenden Zufallsvektors. Die resultierenden Eigenvektoren werden absteigend nach ihren Eigenwerten zeilenweise in
die Eigenvektormatrix U geschrieben (Gleichung 4.6). Somit ist in der obersten Reihe
der Eigenvektor, entlang dessen die Daten die größte Varianz aufweisen.
 
 u 1 
 
u2
U =  .. 
 . 
 
uM
(4.6)
5. Transformation: Um nun unsere Daten sortiert nach den Hauptkomponenten zu erhalten, wird die Eigenvektormatrix mit der Datenmatrix nach Gleichung 4.7 multipliziert.
A new = U A
(4.7)
4.2. Rücktransformation
Möchte man seine Daten wieder auf die ursprünglichen Achsen zurück transformieren so ist
dies folgendermaßen möglich. Nach Gleichung 4.7 gilt auch Gleichung 4.8.
A = A old = U −1 A new
(4.8)
Da die Matrix U aus den Einheitseigenvektoren der Kovarianzmatrix besteht und somit orthogonal ist, vereinfacht sich Gleichung 4.8 zu Gleichung 4.9.
A = A old = U T A new
(4.9)
Benutzt man hierfür alle Principal Components sind die Daten nach Addition des ursprünglichen Erwartungswertes wieder hergestellt. Es ist nun jedoch auch möglich bestimmte Principal Components zu unterdrücken, indem man sie zu Null setzt. Dies kann nützlich sein,
um die Daten zu komprimieren oder, wie in dieser Arbeit, um bestimmte Unterschiede der
Eingaben zu filtern. Mit jeder unterdrückten Komponente geht Information verloren. Geht
man wieder davon aus, dass eine größere Varianz einer größeren Informationsverteilung entspricht, geht also mit den letzten Komponenten nur sehr wenig Information verloren. Dieser
Effekt kann sehr gut für eine Datenkompression beziehungsweise Dimensionsreduktion benutzt werden.
4.3. Optimierung
Die Rechenzeit bei der Principal Component Analysis besteht hauptsächlich aus der Eigenwertzerlegung der Kovarianzmatrix. Diese hat eine Größe von N × N. Hat man nur wenige
26
Principal Component Analysis
Beobachtungen M mit einer sehr hohen Dimensionszahl N sind N − M Eigenwerte der Kovarianzmatrix null. Die Eigenwertzerlegung lässt sich dann auf eine Kovarianzmatrix der Größe
M × M anwenden. Man kann sich dies so vorstellen, hat man einen N-dimensionalen Vektorraum mit M Beobachtungen lässt sich dieser Vektorraum ohne Informationsverlust auf M
Dimensionen reduzieren, da N − M Dimensionen redundant sind. Der Vektorraum wird also
anstatt mit N, nur mit M Komponenten aufgespannt, ohne dass dabei Informationen verloren
gehen.
Mathematisch lässt sich dies folgendermaßen zeigen, es sei C = A A T die Kovarianzmatrix
der Größe N × N und L = A T A die Kovarianzmatrix der Größe M × M. Die Eigenvektoren
von L seien v i , i = 1, ..., M mit Dimension M und λi die entsprechenden Eigenwerte. Da
L v i = λi v i gilt, gelten auch die Gleichungen 4.10, 4.11 und 4.12.
A L v i = λi A v i
(4.10)
A A T A v i = λi A v i
(4.11)
C A v i = λi A v i
(4.12)
Setzt man nun u i = A v i so sind u i die M Eigenvektoren mit Dimension N und λi die Eigenwerte von C was zu beweisen war [22].
4.4. Visualisierung
Beide hier beschriebenen Visualisierungen können in Kapitel 8 gesehen werden.
4.4.1. Daten entlang der Principal Components
Sind die Daten nun nach ihren Hauptkomponenten sortiert, kann ein anschauliches zweidimensionales oder dreidimensionales Diagramm mit den ersten Komponenten gezeichnet
werden. Clusterstrukturen treten normalerweise deutlich in den ersten beiden Principal Components hervor, da ein Großteil der Gesamtvarianz bereits zu tragen kommt, so dass in einem
zweidimensionalen Diagramm eine gute Abschätzung getroffen werden kann, wie gut sich
die Daten clustern lassen. Je größer die Prozentzahl der Gesamtvarianz in den ersten beiden
Principal Components ist, desto ähnlicher ist die Clusterung der tatsächlichen Clusterung im
N-dimensionalen Raum. Für diese Überprüfung eignet sich der in Kapitel 4.4.2 beschriebene
Scree-Plot.
4.4.2. Scree-Plot
Beim Scree-Plot handelt es sich um ein Diagramm, in dem der Prozensatz der Gesamtvarianz pro Principal Component aufgezeichnet ist. Außerdem kann die kumulative Varianz
mit zunehmender Principal Component Anzahl zusätzlich aufgezeigt werden. Möchte man
4.5 2D-PCA
27
eine bestimmte Prozentzahl der Varianz in den rücktransformierten Daten bekommen, kann
man sehr schnell über den Scree-Plot bestimmen, wie viele Principal Components hierfür
mindestens nötig sind.
4.5. 2D-PCA
Außer der zuvor gezeigten Principal Component Analysis wurden noch weitere Versionen
dieses Algorithmus, die in den letzten Jahren entwickelt wurden, analysiert. So wurden Abwandlungen der Principal Component Analysis entwickelt, die die Zweidimensionalität der
Daten besser mit einbeziehen und Geschwindigkeitsvorteile erbringen können [23]. Diese
wurden allerdings in einer weiteren Publikation mit dem älteren Verfahren der Line-Based
oder Block-Based-PCA verglichen und es wurde entdeckt, dass es die gleichen Verfahren
sind [24]. Deswegen werden diese Verfahren hier nicht weiter betrachtet.
5. Selbstorganisierende Karten
Die selbstorganisierenden Karten (engl. Self-Organizing Maps, SOM) oder Kohonen-Karten,
nach ihrem Erfinder Teuvo Kohonen [25] sind eine Art von künstlichen Neuronalen Netzen
und eine Methode des unüberwachten Lernens. Die selbstorganisierende Karte erstellt eine
diskretisierte, niedrigdimensionale (wir beschränken uns hier auf zweidimensionale) Repräsentation ihres Eingaberaumes. Es wird dabei versucht, ähnlich wie bei einem Gehirn, multidimensionale Daten auf eine planare Struktur zu überführen. Im Gehirn werden Reize mit
ähnlichen Merkmalen auf nahe beieinander liegende Bereiche abgebildet, deshalb spricht
man dort auch von einer Merkmalskarte. Dies ist auch das Prinzip der selbstorganisierenden Karten. Die Abbildung der Karte bildet die Merkmale der Eingaben topologieerhaltend
ab, hierdurch bilden sich Cluster im zweidimensionalen Raum der Karte, die wiederum den
Clustern im Eingaberaum entsprechen.
Eine selbstorganisierende Karte vollzieht also eine Vektorquantisierung, wobei sie prototypische Repräsentationen der Daten findet. Außerdem wird eine Vektorprojektion, die eine nichtlineare topologieerhaltende Abbildung eines hochdimensionalen Eingaberaums auf
einen normalerweise zweidimensionalen Ausgaberaum, die Karte, projiziert, somit wird eine Dimensionsreduktion vorgenommen. In dieser Arbeit wird die erstellte Karte immer im
zweidimensionalen Raum erstellt. Theoretisch wären beliebige Dimensionen kleiner oder
gleich dem Eingaberaum möglich, jedoch sind nur zwei beziehungsweise drei Dimensionen
sinnvoll, um ein manuelles Betrachten der Karte zu ermöglichen.
5.1. Künstliche Neuronale Netze
Neuronale Netze sollen hier nur kurz angesprochen werden, eine gute Übersicht zu Neuronalen Netzen bietet zum Beispiel Kriesel [26], für eine tiefergehende Abhandlung sei [27]
oder [28] empfohlen.
Künstliche Neuronale Netze wurden entwickelt, um die Funktionsweise von erfolgreich arbeitenden biologischen Systemen in einem Computer zu nutzen. Bei biologischen Systemen
wird sehr große Rechenleistung nicht durch sehr schnelle Reaktionszeiten, sondern hauptsächlich durch massive Parallelisierung gewonnen. Es werden sehr viele einfache Nervenzellen verwendet, die lernfähig sind. Die Funktionen eines künstlichen Neuronalen Netzes
werden nicht direkt einprogrammiert, sondern durch ein Training angelernt.
Das Ziel eines Trainings ist es einem künstlichen Neuronalen Netz eine Generalisierungsfähigkeit zu verschaffen, so dass auch neue Beispiele, die nicht im Trainingssatz vorhanden
waren, eingeordnet werden können. Eine Schwierigkeit hierbei ist, dass man das trainierte
Wissen nicht direkt analysieren kann. Man erhält zu einer bestimmten Eingabe eine Ausgabe, jedoch sind die Gründe der Ausgabe in den Zwischenschichten des Neuronalen Netzes
kodiert.
30
Selbstorganisierende Karten
Ein künstliches Neuronales Netz (Abbildung 5.1) besteht aus mehreren Schichten, der Eingabeschicht, beliebig vielen versteckten Schichten und der Ausgabeschicht. In jeder Schicht
befindet sich eine Anzahl von Neuronen, dies sind die Recheneinheiten des Netzes. Jedes
Neuron erzeugt aus seiner Eingabe über eine Propagierungsfunktion eine Ausgabe. Alle
Neuronen einer Schicht sind (bei einem vollverknüpften Netzwerk) mit allen Neuronen der
darüber und darunterliegenden Schicht verbunden. Jede dieser Verbindungen besitzt eine Gewichtung, die bestimmt, wie stark oder schwach eine Verbindung Daten zwischen Neuronen
überträgt. Alle Gewichtungen eines Netzes zusammen sind das Gedächtnis, welches das gesamte Wissen eines Neuronalen Netzes beherbergt.
Abbildung 5.1.: Künstliches Neuronales Netz mit einer Eingabeschicht, einer versteckten
Schicht und einer Ausgabeschicht.
Beim Training werden Eingaben, deren gewollte Ausgabe bereits bekannt ist, in ein Netz
gegeben und überprüft ob die Ausgabe des Netzes der gewünschten Ausgabe entspricht. Es
gibt hierfür verschiedene Funktionen, die meist die Rückkopplung aus der Ausgabe des Netzes verknüpft mit der gewünschten Ausgabe verwenden, um die Anpassung der Gewichte
vorzunehmen.
Wird in ein trainiertes Netz nun eine neue Eingabe gegeben, wird angenommen, dass das
Netz durch das vorige Training soweit generalisiert wurde, dass es auch für neue Eingaben
eine korrekte Ausgabe produziert.
5.2. Selbstorganisierende Karten
Vom Prinzip entspricht eine selbstorganisierende Karte einem künstlichen Neuronalen Netz
mit einer Eingabeschicht und einer Ausgabeschicht die voll verknüpft sind. Jedoch ist die
Absicht und Anordnung bei selbstorganisierenden Karten sehr verschieden von Neuronalen
5.3 Lernen bei selbstorganisierenden Karten
31
Netzen und sie kann daher eher als Weiterentwicklung gesehen werden. Bei einer selbstorganisieren Karte entspricht der Zustand des Netzes der Ausgabe. Dies ist eine weitere Annäherung an die Biologie, im Gehirn wird auch keine direkte Ausgabe geschaffen, vielmehr
verändern sich die Verknüpfungen im Gehirn durch Erfahrung und bilden hierdurch Wissen.
Somit entsteht bei den selbstorganisierenden Karten bereits das Ergebnis nach dem Training
in der Ausgabeschicht.
Zur Erklärung ist in Abbildung 5.2 ein Beispieldatensatz mit einer möglichen selbstorganisierenden Karte in Abbildung 5.3 gezeigt. Dabei sind die Cluster unterschiedliche markiert
um eine Referenz zwischen den Abbildungen zu bekommen. Die selbstorganisierende Karte
kennt beim Training noch keine Clusterzuordnungen. Prinzipiell sieht man, dass die Elemente aus dem Datensatz mit weniger Elementen, den Neuronen, auf der Karte dargestellt
werden. Es ist außerdem zu sehen, dass auch auf der Karte Cluster gebildet werden. Jedes
Element des Datensatzes wird als Vektor mit Dimension N angenommen, die Dimension
hier ist N = 3. Jedes Neuron besitzt wiederum einen Vektor derselben Dimension N, den
Gewichtsvektor. Wie diese Karte nun genau entsteht wird in den folgenden Kapiteln Schritt
für Schritt erklärt.
x3
5
0
0
1
2
x1
3
4 0
0.5
1
1.5
2.5
2
x2
3
3.5
4
Eins
Zwei
Drei
Abbildung 5.2.: Beispieldatensatz mit dreidimensionalen Daten und drei eindeutig separierbaren Clustern
5.3. Lernen bei selbstorganisierenden Karten
Das Lernen einer selbstorganisierenden Karte geschieht unüberwacht. Das heißt, dass es hier
keine Rückkopplung gibt, die das Netz in eine Richtung weist. Die Karte erstellt selbstständig
in den Daten erkennbare Cluster, ohne Wissen über die Zuordnung einzelner Cluster. So ist
es möglich eine Art von Cluster in Daten zu entdecken, die zuvor noch nicht bekannt war.
Beim Training wird jedes Element des zu untersuchenden Datensatzes nacheinander als Vektor eingespielt. Es wird nun das Gewinnerneuron gefunden, dessen Gewichtsvektor dem Vek-
32
Abbildung 5.3.: Beispiel einer möglichen selbstorganisierenden Karte des Beispieldatensatzes.
tor des Elements im Eingaberaum mit der Dimension N am nächsten liegt. Für den Eingaberaum muss daher eine Funktion definiert sein, die eine Distanz zwischen zwei Vektoren
berechnet, die Distanzfunktion. Daraufhin werden dann die Gewichtsvektoren des Gewinnerneurons und seiner Nachbarn auf der Karte nach einer später folgenden Formel angepasst,
was dem Lernen entspricht.
Beim Lernen gibt es zwei wichtige Zyklen, zum einen den inneren Zyklus, bei dem die
Schritte Gewinner, Nachbarbestimmung und Adaption für jeden Eingabevektor durchgeführt
werden, zum anderen den äußeren Zyklus, die Epoche t, bei dem die Schritte des inneren Zyklus mehrere Male wiederholt werden. Bei jeder Wiederholung spielt jedoch eine Funktion,
die sogenannte Lernrate α(t), eine entscheidende Rolle (Gleichung 5.1 zeigt eine typische
Lernrate). Die Lernrate gibt an inwieweit bei einem inneren Zyklus die Anpassung der Neuronen stattfindet. Sie sollte monoton fallend sein, um bei späteren Lernzyklen eine Entfaltung
und damit eine Konvergenz der Karte zu ermöglichen.
α(t) = 1 −
t
T Max
(5.1)
5.3.1. Initialisierung
Zu Beginn muss die Karte initialisiert werden, dabei muss zuerst die Anzahl der Neuronen,
also die Größe der Karte festgelegt werden. Geht man von einer zweidimensionalen Karte
aus, muss also Höhe und Breite bestimmt werden. Außerdem muss die Art der Gitterpunkte
bestimmt werden, oft werden hier diskrete quadratische Punkte oder ein hexagonales Gitter
gewählt, in dieser Arbeit wird ersteres verwendet.
5.3 Lernen bei selbstorganisierenden Karten
33
Jedes Neuron besitzt also einen Gewichtsvektor und eine Position auf der Karte. Jeder Gewichtsvektor wird mit der Dimension des Eingaberaums N initialisiert. Dies kann zufällig
geschehen, es ist jedoch von Vorteil für die Geschwindigkeit der Konvergenz der Karte, wenn
man eine Initialisierung nach den ersten beiden Principal Components der Eingabedaten vornimmt [29]. Diese Initialisierung wird in Kapitel 8 näher erklärt. Die zufällige Initialisierung
wurde in den Anfängen der selbstorganisierenden Karten nur gewählt, da noch demonstriert
werden sollte, dass sich die Karte vollkommen selbstständig entfaltet und keine gewichtete
Initialisierung benötigt [30], also auch kein Vorwissen über den verwendeten Datensatz.
5.3.2. Gewinner
Nun wird aus der Trainingsmenge, zufällig gleichverteilt, ein Trainingsvektor gewählt. Dieser wird über die Distanzfunktion (zum Beispiel euklidische Distanz) des Eingaberaums mit
allen Gewichtsvektoren der Karte verglichen. Das Neuron, dass die kürzeste Distanz hat,
wird als Gewinnerneuron markiert (winner-takes-it-all).
5.3.3. Nachbarbestimmung
Als nächstes wird ein Faktor, der die Nachbarschaft auf der Karte zum Gewinnerneuron
beschreibt, berechnet. Dabei können verschiedene zweidimensionale nach außen hin abnehmende Nachbarschaftsfunktionen wie zum Beispiel die Gaußglocke (Gleichung 5.2) gewählt
werden. Durch die Nachbarschaftsfunktion entsteht die eigentliche Topologieerhaltung auf
der Karte, da hierdurch nah beieinander liegende Neuronen zusammen adaptiert werden, also von denselben Eingaben lernen. Dies ist in Abbildung 5.4 veranschaulicht.
h(r, t) = e
−
r2
2·σ2 (t)
(5.2)
Abbildung 5.4.: Veranschaulichung der Nachbarschaftsfunktion der selbstorganisierenden
Karte. j0 ist das Gewinnerneuron. Mit zunehmender Distanz zu j0 (A → D)
lernen die Neuronen weniger. Neuronen im Bereich D würden hier überhaupt nicht mehr lernen [4].
34
5.3.4. Adaption
Am Ende jedes inneren Zyklus geschieht die eigentliche Adaption der Neuronen. Hierbei
wird nach Gleichung 5.3 jedes Neuron der Karte mi ∈ Rn an den im Moment eingespielten Eingabevektor x ∈ Rn angeglichen. Dabei ist r die Distanz des momentan betrachteten
Neurons mi (t) zu dem Gewinnerneuron auf der Karte und t die jeweilige Epoche.
mi (t + 1) = mi (t) + α(t) h(r, t) (x(t) − mi (t))
(5.3)
5.3.5. Zusammenfassung
Der gesamte Lernprozess ist noch einmal in Abbildung 5.5 zusammengefasst. Es ist also ein
Algorithmus gegeben, der noch einige Parameter zur Variation offen lässt. Die Eigenschaften
einer selbstorganisierenden Karte können sehr stark durch Variationen der Größe der Karte
(auch das Seitenverhältnis), Nachbarschaftsfunktion und Lernrate beeinflusst werden.
x2
x2
9
2
7
7
3
6
4
5
9
7
8
3
4
5
7
8
1
4
8
2
2
x3
5
1
1
9
3
7
1
4
x1
6
x3
5
8
2
3
6
x3
1
9
2
xi
3
6
4
x2
x1
5
8
1
2
3
6
4
5
6
9
7
8
9
x1
Abbildung 5.5.: Training einer selbstorganisierenden Karte mit neun Neuronen [4]. Oben ist
der Eingaberaum gezeigt, unten der Raum der Karte. In der ersten Spalte
sind alle Gewichtsvektoren zufällig im Eingaberaum verteilt. In der zweiten
Spalte wird nun eine Eingabe x i eingegeben. Neuron Nummer 6 wird als
Gewinnerneuron bestimmt, da dessen Gewichtsvektor im Eingaberaum die
kleinste Distanz zum Eingabevektor hat. Die Neuronen 3, 5 und 9 werden
durch die Nachbarschaft auf der Karte bestimmt. Die Nachbarschaftsfunktion ist hier so gewählt, dass nur direkte Nachbarn eines Gewinnerneurons
adaptiert werden. In der dritten Spalte sind die Gewichtsvektoren der Neuronen 3, 5, 6 und 9 nun angepasst, wobei das Gewinnerneuron 6 am stärksten
angepasst wurde.
5.4. Konvergenz
Beobachtet man die Neuronen im Eingaberaum während des Trainings, kann eine sogenannte Entfaltung der Karte im Eingaberaum beobachtet werden. Dies ist auf die abnehmende
5.5 Visualisierung
35
Adaption mit fortschreitenden Epochen, also auf die Lernrate α zurückzuführen. Zu Beginn
werden die Gewichtsvektoren der Neuronen im Eingaberaum noch sehr stark in Richtung
der Eingaben adaptiert. In späteren Epochen schwächer. So ziehen sich zu Beginn die Gewichtsvektoren aller Neuronen im Eingaberaum sehr stark zu einer Eingabe und bilden dort
eine dichte Punktwolke. In späteren Epochen vergrößert sich diese Punktwolke bis zu einer
Art Stagnation, bei dem die Gewichtsvektoren sich nahezu nicht mehr adaptieren. In diesem
Zustand ist die Karte konvergiert.
5.5. Visualisierung
Es gibt eine Vielzahl von Möglichkeiten eine selbstorganisierende Karte darzustellen. Zum
einen kann die Dimensionszahl des Ausgaberaumes frei gewählt werden. Soll die Karte jedoch von Menschen betrachtet werden, sind ein bis drei Dimensionen am sinnvollsten.
Außerdem kann die Struktur der Karte frei gewählt werden. Die zwei häufigsten Strukturen
sind hier das kartesische oder das hexagonale Gitter. Oft genutzt wird auch die sogenannte
U-Matrix, in der die einzelnen Abstände der Neuronen im Eingaberaum auch auf der Karte
visualisiert werden [31]. Den Visualisierungen sind keine Grenzen gesetzt, so gibt es zum
Beispiel auch Strukturen wie die Metro Map in Anlehnung an eine Straßenbahnkarte [32].
Um der starren Verteilung der selbstorganisierenden Karte zu entgehen, können die Gewichtsvektoren auch in den Raum der ersten beiden Principal Components transformiert
werden. Hier kann dann genau gesehen werden, wieweit zwei Nachbarn der Karte auseinanderliegen und ob sich noch weitere Cluster abzeichnen, die in der festen Anordnung nicht
zum tragen kamen.
5.6. Label
Die nun fertig trainierte Karte enthält zwar Cluster, man hat aber keine Informationen über
die Zuordnung zu einzelnen Klassen des Eingaberaumes, falls diese existieren. Ein erfahrener Betrachter wird die Cluster den Klassen zuordnen können, jedoch kann hier das Labeling
benutzt werden, damit dies automatisch gemacht wird. Beim Labeling wird davon ausgegangen, dass die Klassenzugehörigkeiten des Trainingsdatensatzes bekannt sind. Es gibt nun
mehrere Methoden:
• Während des Trainings kann für jede Klasse zu jedem Neuron ein Zähler hinzugefügt
werden, wie oft dieses Neuron bei dieser Klasse das Gewinnerneuron war.
• Nach dem Training kann der gleiche Trainingsdatensatz noch einmal auf die Karte
aufgespielt werden. Dabei wird wieder für jede Trainingseingabe überprüft welches
Neuron das Gewinnerneuron ist und wieder ein Zähler für jedes Neuron für jede Art
von Klasse hochgezählt.
Ist der Trainingsdatensatz nun durchgespielt, wird für jedes Neuron überprüft, ob es eine
eindeutige Zuordnung zu einer Klasse gibt. Ist ein Klassenname signifikant öfter vorgekommen als alle anderen, kann dieser Klassenname dem Neuron zugeteilt werden. Sind mehrere
Klassen ähnlich oft für dieses Neuron angeklungen, wird dies speziell markiert (discarded),
36
genauso wenn zu wenige Eingaben für ein Neuron angeklungen sind, um dies zuzuordnen
(not assigned).
5.7. Anwendung
Die fertig trainierte Karte bietet nun mehrere Anwendungen. Durch die Nachbarschaftfunktion wird eine Karte erzeugt, in der ähnliche Eingaben in denselben Regionen auf der Karte
angezeigt werden. Man erkennt in der erstellten Karte die quantitative Verteilung verschiedener Cluster. Sind auf der Karte mehr Repräsentanten eines bestimmten Clustertyps, lässt
dies auch auf mehr Eingaben aus diesem Cluster schließen. Da oft sehr große Datensätze vorhanden sind, die nicht schnell zu überblicken sind, bietet die Karte hier eine gute Übersicht.
Außerdem kann die Karte für eine Klassifikation von neuen Daten verwendet werden.
5.8. Analytische Vergleichsmethoden
Ändert man die Parameter einer selbstorganisierenden Karte, ist es schwer festzustellen, inwiefern sich die Karte nun dahingehend verbessert hat, was man erreichen wollte. Dies ist
in Abbildung 5.6 gezeigt. Hier wurde versucht das Chainlink-Problem, das nur durch Topologiebrüche auf eine Ebene projeziert werden kann, in einer selbstorganisierenden Karte
darzustellen [33]. Es ist klar zu sehen, dass für zwei Karten sehr verschiedene Neuronen
an den Bruchpunkten der beiden Kettenglieder sind. Solche Probleme sind nur schwer zu
erkennen.
Die bekannteste Methode für die Qualität einer Karte ist der Quantisierungsfehler. Dieser
berechnet den durchschnittlichen Abstand der Eingabevektoren zu den Clusterzentren auf
der Karte. Das Problem hierbei ist, dass die Größe der Karte nicht mit in Betracht gezogen
wird. Vergrößert man die Karte wird der Quantisierungsfehler automatisch kleiner, da es
mehr Clusterzentren gibt, die dementsprechend näher an den Eingabevektoren liegen.
Andere Methoden wie zum Beispiel das Topographische Produkt berechnen, inwieweit die
Karte eine Topographie der Eingabevektoren beibehält. Alle Methoden haben jedoch ihre
Schwächen, eine umfassendere Übersicht findet sich in [34].
Praktisch ist es, die Karte mit einem Testdatensatz zu überprüfen. Hierbei wird ein neuer
Datensatz auf die Karte aufgespielt und für jedes Ereignis daraus das Gewinnerneuron der
Karte bestimmt. Das Ereignis aus dem Testdatensatz wird dann mit der Klasse des Gewinnerneurons markiert. Aus allen Ereignissen wird nun jeweils eine Statistik erstellt, die dieselben
Zuordnungen macht wie das Labeling:
• Wieviele Ereignisse wurden richtig markiert
• Wieviele wurden nicht markiert:
– Da kein Gewinnerneuron gefunden werden konnte, das eine genügend geringe
Distanz hat (not assigned)
– Da mehrere Neuronen verschiedener Klassen eine ähnlich kurze Distanz hatten
(discarded)
5.8 Analytische Vergleichsmethoden
37
An der Erfolgsquote der richtigen Klassifizierungen kann die Qualität der Karte gemessen
werden. Hierbei muss beachtet werden, dass für mehrere Durchläufe oder einen anderen
Testdatensatz andere Ergebnisse erzielt werden können. Es sollte daher ein möglichst allgemeiner Testdatensatz verwendet werden.
Abbildung 5.6.: Verschiebungen von Clustern bei selbstorganisierenden Karten. Hier das
Chainlink-Problem bei dem versucht wird, zwei mehrdimensionale Ringe
im zweidimensionalen darzustellen [33].
6. Datensatz PISCO’94
Um nun die zuvor vorgestellten Verfahren an seismischen Signalen zu testen, wird der Datensatz PISCO1 benutzt. PISCO war ein Teilprojekt zu Deformationsprozessen in den Anden.
Dabei wurden vom 02.02.1994 bis 11.05.1994 mit bis zu 32 Stationen seismologische Daten
auf einer Fläche von circa 200 mal 200 km aufgezeichnet. Diese Daten wurden im Rahmen
des GEOFON Projekts des Geoforschungszentrums Potsdam im Internet veröffentlicht [35].
In einer Vorgängerarbeit am Institut für Geophysik der Universität Stuttgart wurde bereits
dieser Datensatz verwendet [4]. In dieser Vorgängerarbeit können noch weitere geophysikalische Hintergrundinformationen zu dem Datensatz nachgelesen werden. Außerdem wurde
dort ein Teil der Daten bereits in Klassen eingeteilt. Diese Klassen sollen auch hier verwendet werden. Das Aufzeichnungsgebiet und die grobe Klasseneinteilung sind in Abbildung
6.1 gezeigt.
Es gab viele Gründe, um wieder diesen Datensatz zu analysieren. Zum einen ist der Datensatz kostenlos verfüg- und verwendbar. Ereignisse dieses Datensatzes wurden bereits extrahiert [36], in Cluster eingeteilt und erste selbstorganisierende Karten damit erstellt [4].
Außerdem stehen die Messgeräte in einer Region mit sehr geringer Zivilisationsdichte, trockenem Klima und karger Vegetation, weshalb die seismischen Ereignisse in diesem Gebiet
mit sehr wenig Rauschen überlagert sind und für die Clusteranalyse sehr gut zu verwenden
sind. Weiterhin gibt es pro Tag mehrere Ereignisse, was eine Vielzahl von Trainings- und
Testdaten liefert.
6.1. Beschreibung
Eine kurze Beschreibung der Prozesse in den Anden soll auch hier gegeben werden. In Abbildung 6.2 sind die ozeanischen Platten und Kontinentalplatten der Erde mit zugehöriger
Bewegungsrichtungen in Südamerika gezeigt. Hierbei sieht man deutlich, dass sich die ozeanische Nazcaplatte auf die kontinentale Südamerikaplatte zubewegt. Hierdurch entstanden
auch die Anden (und werden weiterhin geformt). Da diese ozeanische Platte zum Großteil
aus vulkanischem Basalt besteht und somit dichter und schwerer ist als die kontinentale Platte, wird diese subduziert, das heißt sie wird unter die kontinentale Platte geschoben, siehe
Abbildung 6.3. Bei diesem Prozess sind seismische Ereignisse sehr häufig und die Zone, in
der diese auftreten, nennt sich Benioff-Zone.
1
Proyecto de Investigación Sismológica de la Cordillera Occidental - Projekt zur seismologischen Untersuchung der westlichen Cordillere
40
Datensatz PISCO’94
Abbildung 6.1.: Links die Position des Aufzeichnungsgebietes in Südamerika. Rechts eine
Vergrößerung des Gebietes mit vier seismischen Stationen in grün und einer
groben Umrandung der Regionen für die einzelnen Klassen in gelb. [4].
Abbildung 6.2.: Ozeanische Platten und Kontinentalplatten mit Bewegungsrichtungen in
Südamerika
6.2 Klasseneinteilung
41
Abbildung 6.3.: Subduktionsprozess, die abtauchende Platte schmilzt ab einer gewissen Tiefe. Durch das Abtauschen der ozeanischen Platte wird auch viel Wasser mit
in die Tiefe gezogen. Dieses wird im Untergrund stark erhitzt, wodurch es
einen Druck nach oben gibt. Dadurch steigt wiederum Magma auf und führt
zu einem typischen magmatischen Bogen [37].
6.2. Klasseneinteilung
Insgesamt sind in dem PISCO’94-Datensatz 5343 Ereignisse in einem sogenannten Bulletin, einem Katalog mit den Ereignissen festgehalten. In der Aufzeichnungszeit fanden noch
weit mehr Ereignisse statt (alle 5 bis 10 Minuten), die jedoch nicht zur Verfügung standen. In der Vorgängerarbeit wurde eine statistische Analyse des Datensatzes gemacht, dabei
wurden Herdorte, Herdzeiten und Magnituden untersucht. Dabei gibt es noch eine Besonderheit im Registriergebiet zu beachten, die Kupfermine mit der größten Gesamtproduktion
der Welt, die Chuquicamata-Mine. Diese Mine produziert sehr viele künstliche Ereignisse
auf den Seismogrammen durch Sprengungen in einer Tiefe von circa 6 bis 14 km. Von den
Magnituden, die hierbei bestimmt wurden, ist die minimale 0,5 ML und die maximale 4,9 ML .
Auf Basis dieser Analyse wurden in der Vorgängerarbeit fünf Klassen ausgewählt, die zusammen mit ihrer räumlichen Verteilung in Abbildung 6.4 zu sehen sind. Außerdem ist dort
die Position der Station A04, die in dieser Arbeit verwendet wird, eingetragen. Weiterhin
sind in dieser Abbildung die Positionen aller katalogisierten Ereignisse und deren Tiefe eingetragen. Der Prozess der Subduktion begründet die nach Osten hin tieferen Ereignisse der
Deep-Klasse.
• Crust, Krustenbeben, sehr geringe Tiefe, südöstlich der Main-Beben (Tiefe ca. 50 km)
• Main, mitteltiefe Beben im Zentrum des Untersuchungsgebietes (Tiefe ca. 100 km)
• North, gleiche Charakteristik wie Main, jedoch am nördlichen Rand des Untersu-
42
chungsgebietes, um eine reine Unterscheidung nach Epizentrum zu haben (Tiefe ca.
100 km)
• Deep, tiefe Beben, am östlichen Rand des Untersuchungsgebietes (Tiefe ca. 200 km)
• Quarry, Minensprengungen, ohne S-Einsatz der Welle und sehr flach (Tiefe ca. 10 km)
Abbildung 6.4.: Untersuchungsgebiet mit den Aufzeichnungsstationen A03 und A04 in Blau,
den Regionen für die fünf Cluster in Grün und der Anzahl der Ereignisse
für jeden Rasterpunkt. Hierbei beschreibt die rötliche Tönung die Tiefe der
Ereignisse, je dunkler desto tiefer [4].
Typische Sonogramme dieser fünf Klassen sind in Abbildung 6.5 gezeigt. Man kann sehr
schön sehen, dass alle Ereignistypen außer den Minensprengungen einen starken P- und SEinsatz besitzen. Dieser Unterschied von Sprengungen zu Erdbeben wurde bereits im Kapitel
2 erklärt. Außerdem sieht man eine deutliche Energiezunahme der tiefen Frequenzen bei der
Sprengung nach dem Ersteinsatz, während bei den Erdbeben die tiefen Frequenzen nach
den P- und S-Einsätzen zuerst einmal abnehmen. Innerhalb der Ereignistypen gibt es einen
großen Unterschied zwischen der S-P-Laufzeitdifferenz. So haben Krustenbeben erwartungsgemäß die kürzeste Laufzeitdifferenz. Main-Ereignisse haben eine etwas kürzere Laufzeitdifferenz als die North-Ereignisse, was sich rein auf die Epizentraldistanz zurückführen lässt.
6.2 Klasseneinteilung
43
Die weiteste Laufzeitdifferenz haben die Deep-Ereignisse, da sie zum einen eine große Epizentraldistanz haben und zum anderen die größte Tiefe vorweisen. Hier zeigen sich jedoch
auch schon die ersten Probleme, vergleicht man ein südliches Crust Ereignis mit einem Main
Ereignis, das näher an der Station A04 ist, kann es vorkommen, dass die S-P-Laufzeit exakt dieselbe ist, was zu einer Erschwerung der Clusterung führen wird. Außerdem ist die
Gesamtereignislänge ein entscheidendes Kriterium, wobei in den Beispielen die North- und
Deep-Ereignisse die längste Gesamtereignislänge aufweisen. Ein weiteres wichtiges Unterscheidungskriterium sind die Frequenzanteile, man sieht auch hier einen typischen Effekt,
dass bei tiefen Beben die hohen Frequenzen stark gedämpft sind.
Abbildung 6.5.: Sonogramme und Seismogramme der einzelnen Klassen mit Angabe zu Epizentraldistanz (EpiDist), Tiefe (Depth) jeweils in Kilometern und Magnitude
(Magn), welche eine Lokalmagnitude ist [4].
Bei einem Datensatz aus einer Feldmessung kann man nicht von einer Gleichverteilung der
Ereignisse der einzelnen Klassen ausgehen. So ist auch hier die Verteilung der auftretenden
Ereignisse sehr unterschiedlich. Für diese Arbeit wurden die 308 vorhandenen Ereignisse der
Station A04 benutzt, die bereits klassifiziert waren. Die Verteilung auf die einzelnen Klassen
ist in Tabelle 6.1 dargestellt, dazu noch die minimale und maximale Magnitude pro Klasse
soweit diese bestimmt wurden. Es wurde sowohl versucht eine große Anzahl an Ereignissen zu verwenden als auch eine Gleichverteilung der Klassen zu erreichen, was aber nicht
möglich war, da die Häufigkeitsverteilung im Datensatz zu unterschiedlich ist.
44
Klasse Anzahl
Crust
15
Main
179
North
23
Deep
81
Quarry
10
Minimale Amplitude
0,5
1,1
2,4
2,5
1,4
Maximale Amplitude
4,1
4,0
4,2
4,9
2,1
Tabelle 6.1.: Anzahl der Ereignisse pro Klasse
7. Spezifische Merkmalsextraktion
Um nun Cluster der seismischen Ereignisse mittels eines Algorithmus zu finden, müssen
möglichst die Merkmale der Ereignisse extrahiert werden, die gerade die Unterschiede der
einzelnen Cluster ausmachen. Außerdem können schon allein wegen der zu langen Berechnungszeit bei den selbstorganisierenden Karten oder der Principal Component Analysis nicht
die kompletten Ereignisse als Zeit-Amplitudensignal im Computer bearbeitet werden. Deshalb wurden bereits die in Kapitel 3 vorgestellten Sonogramme als erste Merkmalsextraktion
verwendet. An den Sonogrammen werden noch weitere Modifikationen getestet. Wichtig war
hierbei immer, dass die Merkmalsextraktion soviel Informationen des eigentlichen Signals
beinhaltet, um für den Menschen erkennbare Muster zu erstellen. Dies ist sehr hilfreich,
wenn man zum Beispiel eine selbstorganisierende Karte beurteilen möchte, um zu sehen,
welche Informationen hinter den Neuronen eigentlich stecken.
7.1. Trainings- und Testdatensatz
Für die Beurteilung der Algorithmen wurden die in Kapitel 6 beschriebenen 308 Ereignisse
der Station A04 benutzt. Die 308 Ereignisse wurden in der Vorgängerarbeit bereits in zwei
Datensätze aufgeteilt, so dass jeder der Datensätze möglichst die gleiche Anzahl an Beben
der jeweiligen Klassen hat. Dabei werden 154 Ereignisse benutzt um die selbstorganisierende
Karte zu trainieren und 154 um die trainierte Karte später zu testen. Die Anzahl der Ereignisse pro Klasse und Datensatz ist in Tabelle 7.1 gezeigt. Leider konnte keine gleichmäßige
Verteilung über die Klassen erreicht werden, da bestimmte Bebentypen zu selten auftreten.
Im praktischen Einsatz hätte man eine weitaus größere Anzahl an Testereignissen was die
maschinelle Auswertung erst lohnenswert machen würde.
Die Parameter der selbstorganisierenden Karte für die folgenden Tests und auch die Ergebnisse in Kapitel 8 sind die in Tabelle 7.2 angegebenen, wenn nicht anders vermerkt. Die
Nachbarschaftsfunktion und Lernrate wurden aus der Vorgängerarbeit übernommen. Das
Seitenverhältnis der selbstorganisierenden Karte wurde √wie das Verhältnis der Wurzeln der
Eigenwerte der ersten beiden Principal Components ( √λλ1 ) gewählt. Dies wird in [38] be2
ziehungsweise [39] als vorteilhaft beschrieben. Es liegt Nahe, da die Eigenwerte der ersten
Trainingsdatensatz
Klassifikationsdatensatz
CRUST
8
7
MAIN
89
90
NORTH
11
12
DEEP
41
40
QUARRY
5
5
Tabelle 7.1.: Zahl der Ereignisse im Trainings- und Klassifikationsdatensatz. Die Aufteilung
des Datensatzes erfolgt zufällig, allerdings mit nachfolgender Balancekorrektur
bezüglich der Klassenaufteilung.
46
Spezifische Merkmalsextraktion
Parameter
Epochen
Kartenbreite
Kartenhöhe
Initialisierung
Nachbarschaftsfunktion
Lernrate
Ereignislänge
Normalisierung
Distanzfunktion
Wert
20
10
5
Zufällig
Kegel
Linear sinkend
70 Sekunden
GlobalMean
Euklidisch
Tabelle 7.2.: Parameter der selbstorganisierenden Karte für Tests.
beiden Principal Components eine wichtige Rolle beim Training der Karte spielen. Bei dem
hier vorliegenden Datensatz ergibt sich somit ein Verhältnis von circa 2,5. Für die Karte
wurde aus Visualisierungsgründen am Ende ein Verhältnis von 2 gewählt.
In Kapitel 7.3 wird die Amplitudennormierung, in Kapitel 7.4 die Länge der Ereignisse und
in Kapitel 7.6 die Distanzfunktionen analysiert. Es ist zu beachten, dass die Abbildungen in
Kapitel 7.4 und 7.6 noch mit Ereignissen ohne Amplitudennormierung erstellt wurden, da
hierbei noch nicht fest stand, welche Amplitudennormierung benutzt werden wird.
7.2. Messverfahren für Qualität der Clusterung
Bevor man beginnt Merkmale für das Clustering zu definieren, braucht man geeignete Messverfahren um die Qualität der eigentlichen Clusterung festzustellen. In Kapitel 5 wurde bereits der Quantisierungsfehler und die Klassifikation als Messverfahren für die selbstorganisierenden Karten vorgestellt. Da jedoch die selbstorganisierende Karte zufällig initialisiert
wird und auch die Reihenfolge der Ereignisse zufällig erfolgen sollte, ist eine Karte bei jedem
Training leicht verschieden. Es wurde deshalb hier vorgezogen ein Qualitätsmessverfahren,
dass direkt die Qualität der Clusterung unabhängig von einem Clusteralgorithmus misst, zu
verwenden.
7.2.1. Abstand zu Cluster
Zu Beginn der Arbeit war noch kein allgemein verbreitetes Verfahren für eine Qualitätsmessung bekannt und es wurde selbst eines entwickelt, welches hier vereinfacht als Abstand zu
Cluster bezeichnet wird. Dieses Verfahren wird hier kurz beschrieben.
Es sei C f der aktuelle Cluster der gesamten Clustermenge C = C1 , . . . , Ck mit 1 ≤ f ≤ k,
also C f ∈ C.
Es wird nun für den Cluster C f das Clusterzentrum z f nach Gleichung 7.1 berechnet.
P
zf =
p∈C f
|C f |
p
(7.1)
7.2 Messverfahren für Qualität der Clusterung
47
Nun wird für jeden Cluster Ci die durchschnittliche Distanz ai seiner Elemente zum aktuellen
Clusterzentrum z f berechnet, Gleichung 7.2.
P
p∈Ci
ai =
dist(z f , p)
|Ci |
(7.2)
Danach wird die Summe der Differenzen der durchschnittlichen Clusterabstände ai zu den
durchschnittlichen Abständen des aktuellen Clusters a f berechnet, Gleichung 7.3.
k
P
s=
ai − a f
i=0
(7.3)
k−1
Der Wert s wird nun auf einen Maximalwert von 10 normiert, Gleichung 7.4.
snorm =
10 · s
maxDistance
(7.4)
Die snorm Werte werden für jeden Cluster berechnet und der Durschschnitt wird gebildet. Dies
ist in Abbildung 7.7 für die verschiedenen Zeitlängen der Ereignisse gezeigt. Die Abstände
aller Ereignisse zu allen fünf Clusterzentren sind in Abbildung 7.1 zu sehen.
7.2.2. Silhouettenkoeffizient
Im Laufe der Arbeit wurde ein Verfahren gefunden, was bereits in der Clusteranalyse verwendet wird, der Silhouettenkoeffizient [40]. Er unterscheidet sich vom Abstand der Cluster
Qualitätsverfahren nur leicht, indem zum Beispiel nicht die Abstände zu Clusterzentren berechnet werden, sondern die durchschnittlichen Abstände zu allen Elementen eines Clusters.
Außerdem ist die Normierung hier nicht von 0 bis 10 sondern von -1 bis 1. Wobei bei beiden
Verfahren ein höherer Wert für eine bessere Clusterung steht.
Die Ähnlichkeit beider Verfahren kann im Vergleich der Abbildungen 7.12 und 7.13 gesehen
werden.
Die Berechnung des Silhouettenkoeffizienten wird im folgenden gezeigt.
Es sei o ein Objekt aus O und C f der dazugehörige Cluster der gesamten Clustermenge
C = C1 , . . . , Ck mit 1 ≤ f ≤ k, also o ∈ C f ∈ C.
Es wird nun für das Element o der durchschnittliche Abstand a(o) zu seinem Cluster C f nach
Gleichung 7.5 berechnet.
P
a(o) =
p∈C f
dist(o, p)
|C f |
(7.5)
Außerdem wird der Abstand zu dem nächstliegenden Cluster Cg nach Gleichung 7.6 berechnet.
P
b(o) =
min
Cg ∈C,Cg ,C f
p∈Cg
dist(o, p)
|Cg |
(7.6)
48
Abbildung 7.1.: Distanzen aller Ereignisse zu allen Clustern. Pro Zeile werden die Distanzen aller Ereignisse einer Klasse zu einem bestimmten Clusterzentrum angezeigt. Als Beispiel zeigt die Zeile North to Quarry die Abstände aller Quarry
Ereignisse zum North Clusterzentrum. Jeder Punkt in dieser Zeile steht dabei
für ein Quarry Ereignis.
7.3 Amplitudennormierung
49
Nun berechnet sich die Silhouette s(o) des Objektes o ∈ C f nach Gleichung 7.7. Dabei kann
s Werte von −1 bis 1 annehmen. Wobei ein höherer Wert für eine bessere Clusterung spricht.
(
s(o) =
für |C f | = 1
sonst
0
b(o)−a(o)
max{a(o),b(o)}
(7.7)
Berechnet man den Durchschnitt aller Silhouetten eines Clusters Ci bekommt man die sogenannte Silhouettenweite s(Ci ) nach Gleichung 7.8.
P
s(Ci ) =
s(p)
|Ci |
p∈Ci
(7.8)
Für den Silhouetten-Koeffizienten wird nun der Durchschnitt aller Silhouettenweiten nach
Gleichung 7.9 berechnet.
P
s(Ci ) =
Ci ∈C
P
p∈Ci
s(p)
|O|
(7.9)
7.2.3. Visualisierung mittels Principal Component Analysis
Außerdem bietet die Principal Component Analysis eine gute Möglichkeit einem menschlichen Betrachter einen Überblick über die Qualität der Clusterung zu geben. Jedoch ist dies
mit Vorsicht zu genießen. Da man für die Analyse mit den Principal Components nur maximal die drei Dimensionen mit der größten Varianz verwendet, gehen Informationen verloren.
Es kann sein, dass mehrere Principal Components mit kleinerer Varianz zusammen erst die
eigentliche Clusterung verbessern.
7.3. Amplitudennormierung
Ein großes Problem bei der bisherigen Analyse mit selbstorganierenden Karten war die klare Dominanz der unterschiedlichen Amplituden zwischen den Seismogrammen. So kann es
sein, dass Ereignisse derselben Klasse diesselbe Magnitude aufweisen aber die Entfernung
stark variiert. Da die Magnitude bereits die Entfernung mit einberechnet, haben zwei ähnliche
Beben mit unterschiedlicher Entfernung aber gleicher Magnitude, unterschiedliche Amplituden. Viele Unterschiede in den Amplituden werden bereits durch die Rauschadaption der Sonogramme korrigiert. Als Beispiel sind in Abbildung 7.2 zwei Ereignisse der Lokalmagnitude ML = 1, 6 ohne Amplitudennormierung gezeigt. Mit der entwickelten Amplitudennormierung, die die Erwartungswerte der einzelnen Sonogramme an den globalen Erwartungswert
des Datensatzes anpasst, sieht man die Sonogramme in Abbildung 7.3.
Für die Berechnung der Amplitudennormierung wird angenommen, dass man keine Informationen über die Klassenzugehörigkeit der einzelnen Ereignisse hat. Es wurden mehrere
Verfahren entwickelt, die sich am Erwartungswert aller Ereignisse oder an den maximalen
Amplituden orientieren. Am Ende hat sich als bestes Verfahren, auch wegen dem geringsten
Informationsverlust, das hier genannte Verfahren GlobalMean herausgestellt. Bei dieser Methode wird aus allen Sonogrammen der globale Erwartungswert berechnet. Danach wird von
50
jedem Sonogramm die Differenz seines Erwartungswertes zum globalen von jedem Pixel abgezogen. Hierdurch erhalten alle Sonogramme denselben Erwartungswert. Das Resultat auf
5 Sonogramme jeder Klasse, also 25 Sonogramme mit Amplitudennormierung ist in Abbildung 7.4 zu sehen.
Abbildung 7.2.: 2 Ereignisse der Klasse Main
mit jeweils Lokalmagnitude
ML = 1, 6, nicht amplitudennormiert
Abbildung 7.3.: 2 Ereignisse der Klasse Main
mit jeweils Lokalmagnitude
ML = 1, 6, amplitudennormiert
Abbildung 7.4.: 5 Ereignisse jeder Klasse amplitudennormiert
7.4. Länge der Ereignisse und spezifische Rauschadaption
Eine sehr wichtige Entscheidung ist die Wahl eines geeigneten Zeitfensters für die Ereignisse. In der Vorgängerarbeit wurde ein Zeitfenster von 80 Sekunden benutzt ohne analytische Tests zu machen. Es wurde vor allem durch die Länge der Ereignisse im Datensatz begründet, da man, durch eine maximale Hypozentraldistanz von 400 km, einen S-PLaufzeitunterschied von 40 Sekunden mit dem Geschwindigkeitsmodell des vorliegenden
Datensatzes bekommt [4]. Da man das Abklingen des S-Einsatzes noch zum Ereignis zählt
wurde in der Vorgängerarbeit von einer Mindestlänge von 50 Sekunden ausgegangen. Um
nun noch Informationen der Sonogramme aus der Coda, also dem Teil nach dem S-Einsatz
der Ereignisse zu bekommen, wurden dort die 80 Sekunden gewählt.
Wenn man sich die Berechnung der Sonogramme noch einmal veranschaulicht fällt auf, dass
durch unterschiedliche Ereignislängen auch komplett andere Rauschbedingungen entstehen.
Dies ist in Abbildung 7.5 für zwei identische Beben gezeigt. Allerdings muss hier beachtet
werden, dass bei 200 Sekunden Länge, bei der Häufigkeit der Ereignisse, im vorliegenden
7.4 Länge der Ereignisse und spezifische Rauschadaption
51
Abbildung 7.5.: Zwei identische Beben der Klasse Main. Oben wurde ein Sonogramm der
Länger 200 Sekunden extrahiert, unten 100 Sekunden.
Abbildung 7.6.: Beispiel eines Sonograms mit 200 Sekunden Länge bei dem bereits ein zweites Ereignis folgt
Datensatz bereits ein weiteres Ereignis im Zeitintervall sein kann, wie in Abbildung 7.6 zu
sehen.
Wie zu sehen verändert die Rausch-Adaption der Sonogramme die Signale bereits stark. Die
Kontur eines Ereignisses sollte besser aus dem Rauschen herausgehoben werden, wenn zur
Rauschadaption reines Rauschen ohne Ereignis mit einbezogen wird. Deshalb wurde auch
versucht ein Sonogramm mit einer längeren Rauschadaption als das eigentliche Ereignis
zu benutzen. Es wird also ein Sonogramm berechnet, dessen Länge weitaus größer ist als
das eigentliche Ereignis. Dies erlaubt es die bessere Rauschadaption zu berechnen. Ist dieses Sonogramm berechnet, wird es auf die eigentliche Ereignislänge gekürzt, um die reinen
Rauschanteile wieder zu entfernen. Dabei wurden verschiedene Längen nach und vor den
eigentlichen Ereignissen für reines Rauschen getestet.
Für die Untersuchung der unterschiedlichen Ereignislängen wurden zuerst jeweils Ereignisse
mit Längen von 30 bis 140 Sekunden in 10-Sekunden Sprüngen benutzt ohne ein größeres
Fenster für die Rauschadaption. Der zuvor vorgestellte Silhouettenkoeffizient ist für die einzelnen Klassen in Abbildung 7.7 zu sehen.
In Abbildung 7.8 ist nun zusätzlich, für die unterschiedlichen Signallängen, mit unterschiedlichen Rauschadaptionslängen der durchschnittliche Silhouettenkoeffizient von alle Klassen
gezeigt. Hierbei wurde für jede Länge einmal eine Rauschadaptionslänge, die doppelt so
lang wie das Ereignis ist, benutzt. Einmal wurde hier die Rauschadaption vor und auf das Ereignis gesetzt, einmal auf das Ereignis und dahinter. Weiterhin wurde eine dreifache Länge
gewählt, wobei bei der dreifachen jeweils ein Drittel vor und nach dem Ereignis mit in die
Rauschadaption genommen wurde.
Beim Silhouettenkoeffizienten sieht man einen sehr klaren Abwärtstrend für längere Ereignisse. Erstaunlicherweise zeigt sich durch die bessere Rauschadaption meist eine Verschlechterung der Clusterbildung. Nur für sehr kurze Ereignislängen und eine Rauschadaption beim
Ereignis und danach zeigen sich Verbesserungen. Für den Menschen ist die Erkennung und
Unterscheidung mit größerer Rauschadaption klar einfacher, jedoch nicht für die hier benutzten Algorithmen.
Bei 30 Sekunden Ereignislänge und einer Rauschadaption die weitere 30 Sekunden über
das Ereignis reicht ist, nach dem Silhouettenkoeffizient, die beste Clusterung zu erwarten.
52
0.6
0.5
Silhouette coefficient
0.4
CRUST
MAIN
NORTH
DEEP
QUARRY
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
20
40
60
80
100
Length (s)
120
140
Abbildung 7.7.: Silhouettenkoeffizient der einzelnen Ereignisklassen für Zeiten von 30 bis
140 Sekunden in 10 Sekundenschritten
7.4 Länge der Ereignisse und spezifische Rauschadaption
53
0.28
0.26
0.24
0.22
Normal
Prebuffer
Postbuffer
Both buffers
0.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
8 · 10−2
6 · 10−2
20
40
60
80
100
Length (s)
120
140
Abbildung 7.8.: Silhouettenkoeffizient aller Ereignisklassen für Zeiten von 30 bis 140 Sekunden in 10 Sekundenschritten mit verschiedenen Rauschadaptionslängen
54
Jedoch sind 30 Sekunden für ein Ereignis so kurz, dass die Sonogramme nicht mehr gut
manuell interpretiert werden können. Dies sollte weiterhin als Voraussetzung gelten. Das
zweite Maximum liegt 50 Sekunden mit keinem längerem Rauschadaptionsfenster.
Als Kompromiss für noch gut zu interpretierende Ereignisse wurde eine Ereignislänge von
70 Sekunden gewählt. Für 70 Sekunden ist die Clusterung mit Abstand am besten wenn
kein Rauschadaptionsfenster dahinter oder davor gewählt wird. Es wurde also keine größere
Rauschadaptionslänge gewählt.
7.5. Spektrale Leistungsdichte
Eine Unschärfe bei den Sonogrammen entsteht durch das Mapping der Werte der
Sonogramm-Spektraldichtematrix auf die zwölf Farbwerte. Deshalb wurde auch untersucht,
ob sich eine Verbesserung einstellt, wenn anstatt der Farbwerte, direkt die Werte aus der
Spektraldichtematrix benutzt werden. Es konnte allerdings keine Verbesserung festgestellt
werden, außerdem verliert man durch diese Werte die gewohnte Darstellungsform der Sonogramme (wobei hier wiederum für die Visualisierung ein extra Mapping eingeführt werden
könnte).
7.6. Distanzfunktion
Ein potentieller Schwachpunkt der bisherigen Analysen war, dass die Sonogramme Zeilenweise in einen Vektor geschrieben wurden, wie in Abbildung 7.9 dargestellt. Aus diesen
Vektoren wurde mittels der euklidischen Distanz die Ähnlichkeit der Sonogramme ermittelt.
Da diese Ähnlichkeitsbestimmung die Grundlage der selbstorganisierenden Karten ist, wurde
versucht hier weitere Verbesserungen zu erreichen.
Abbildung 7.9.: Vektorbildung aus Sonogrammen
Es wurden hierbei die foldenden Distanzfunktionen verglichen:
• Euklidische Distanz: Wird am häufigsten verwendet um Distanzen zwischen Vektoren
zu bestimmen
• Kreuzkorrelation: Wird normalerweise bei der Mustererkennung verwendet und liefert
einen maximalen Wert bei bester Übereinstimmung. Um einen minimalen Wert bei
bester Übereinstimmung zu bekommen wird hier der Kehrwert benutzt
• Winkel zwischen zwei Vektoren: Hier wird der Kosinuswert zweier Vektoren gebildet,
welcher für kleine Winkel am größten ist. Deshalb wird auch hier der Kehrwert benutzt
7.6 Distanzfunktion
55
• Mahalanobis Distanz: Beruht auf der Kovarianzmatrix und korrigiert Distanzen für
unterschiedliche Skalierungen und Korrelationen der einzelnen Dimensionen
• L1 -Norm Distanz (auch bekannt als Taxinorm, Manhattan oder City-block): Berechnet
Distanz über einfach Beträge der Differenzen
Außerdem wurden eigene Distanzfunktionen entwickelt, die vor allem die Zweidimensionalität der Sonogramme ausnutzen sollten. Hierbei sollten ähnliche Strukturen in verschiedenen Frequenzbändern, also übereinanderliegenden Pixeln besonders berücksichtigt werden.
Diese werden durch die normale Vektorbildung auseinandergerissen und verlieren so ihren
Zeit-Frequenz-Kontext, Abbildung 7.10. Bei den neu entwickelten Distanzfunktionen wird
jeder Pixel, anstatt ihn nur mit dem Pixel eines anderen Ereignisses an derselben Stelle zu
vergleichen, mit Pixeln innerhalb eines definierten Radius verglichen, Abbildung 7.11. Der
Radius entspricht hierbei einer Rechteckfunktion im zweidimensionalen. Es wird nun für jeden Pixel innerhalb dieses Radius der Betrag der Differenz zum Originalpixel berechnet. Es
hat sich dann als optimal erwiesen, von diesen Differenzen die minimale Differenz zu benutzen. Dies wird für jede Koordinate berechnet und die einzelnen Werte werden quadriert
aufsummiert und die Wurzel gezogen. Die gesamte Berechnung ist in Gleichung 7.10 mit den
Nachbarindizes n1, n2, . . . , nN der Koordinate i gezeigt. Die Formeln aller hier betrachteten
Distanzfunktionen sind in Tabelle 7.3 dargestellt.
Anstatt das Minimum der Werte zu benutzen wurde zum Beispiel auch versucht über eine
gewichtete Funktion wie zum Beispiel der Gaussglocke den Durschschnitt aller Differenzen
zu berechnen. Dies brachte jedoch keine Verbesserung in der Clusterung.
9
10
5
4
10
6
0
1
8
4
1
2
3
7
11
2
9
10
5
4
10
6
0
1
Distanz 4
9
10
5
4
10
6
0
1
8
4
1
2
3
7
11
2
9
10
5
4
10
6
0
1
Distanz 0
Abbildung 7.10.: Koordinatenvergleich bei zweidimensionaler Distanzfunktion im Vektor.
Links die normale Differenz zweier Koordinaten, rechts die Differenz mit
der minimalen zweidimensionalen Distanz. Die gestrichelten Linien entsprechen den Zeilenumbrüchen der Sonogramme.
56
6854
572 2
2897
2897
6854
572 2
Abbildung 7.11.: Koordinatenvergleich bei zweidimensionaler Distanzfunktion. Koordinate
des ersten Vektors links wird mit mehreren Koordinaten des zweiten Vektors rechts verglichen.
Distanzfunktion
Formel
q
Euklidische Distanz
Pn
i=1
q
Pn
Minimum 2D
i=1
Kreuzkorrelation
(pi − qi )2
(min (|pi − qn1 | , |pi − qn2 | , . . . , |pi − qnN |))2
P∞
i=−∞ pi qi+n
D
Kosinuswinkel
p ,q
E
|p |·|q |
r
Mahalanobis
p −q
T
S
−1
p − q mit Kovarianzmatrix S
Pn
L1 -Norm
i=1
|pi − qi |
Tabelle 7.3.: Distanzfunktionen mit zugehörigen Formeln
v
t
Minimum 2D =
n
X
(min (|pi − qn1 | , |pi − qn2 | , . . . , |pi − qnN |))2
(7.10)
i=1
Mit diesen unterschiedlichen Distanzfunktionen wurden nun wieder die Silhouettenkoeffizienten bestimmt, was in Abbildung 7.12 dargestellt ist (als Vergleich wird in Abbildung 7.13
noch das zuvor benutzte Qualitätsmerkmal der Abstände der Cluster gezeigt). An der Linie
in Cyan, welche den Durschnitt für alle Klassen darstellt ist zu sehen, dass für die selbstentwickelte Distanz das beste Ergebnis erzielt wird. Kurz darauf folgt die Mahalanobis Distanz,
welche allerdings durch die Berechnung der Kovarianzmatrix sehr rechenaufwendig ist. Für
die selbstorganisierende Karte muss die Kovarianzmatrix für jede Eingabe erneut berechnet
werden, da sich jedes mal die Gewichtsvektoren der Neuronen verändern. Es war deshalb mit
den vorhandenen Rechnersystemen nicht möglich mit dieser Distanzfunktion eine selbstorganisierende Karte zu bilden.
7.6 Distanzfunktion
57
0.8
0.7
0.6
CRUST
MAIN
NORTH
DEEP
QUARRY
MEAN
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
Eucl
Min2D
XCorr
Angle
Distance function
Maha
L1
Abbildung 7.12.: Silhouettenkoeffizient für einzelne Ereignisklassen und Distanzfunktionen.
In der durchgezogenen Linie (cyan) ist die durchschnittliche Qualität aller
Klassen gezeigt.
58
7
6
CRUST
MAIN
NORTH
DEEP
QUARRY
Cluster distance
5
4
3
2
1
Eucl
Min2D
XCorr
Angle
Distance function
Maha
L1
Abbildung 7.13.: Abstand der Cluster Qualitätsmerkmal für einzelne Ereignisklassen und Distanzfunktionen. Hier nur gezeigt um Ähnlichkeit zu Silhouettenkoeffizient
zu veranschaulichen.
8. Ergebnisse
Da nun die Grundlegenden Parameter und die Merkmalsextraktion in Kapitel 7 festgelegt
wurden, kann die Analyse der Cluster mittels der Principal Component Analysis und der
selbstorganisierenden Karten stattfinden. Hierfür wird derselbe Trainings- und Klassifikationsdatensatz mit jeweils 154 Ereignissen aus Kapitel 7 benutzt.
8.1. Vergleich der Clusterung
Für einen anderen Clusteralgorithmus des unüberwachten Lernens, den K-Means Algorithmus, wurde bewiesen, dass die Principal Components den kontinuierlichen Lösungen für
die diskreten Cluster-Zugehörigkeits-Indikatoren der K-Means Clusterung entsprechen [41].
Unüberwachte Dimensionsreduktion ist also eng verwandt mit unüberwachtem Lernen. Hier
sollen nun für die Principal Component Analysis und die selbstorganisierenden Karten Ähnlichkeiten gezeigt werden.
8.1.1. Visualisierung auf den ersten beiden Principal Components
In Abbildung 8.1 ist die Projektion der 154 Ereignisse des Trainingsdatensatzes auf die ersten beiden Principal Components zu sehen. Hierbei ist zu sehen, dass sich die Ereignisse
der Deep Klasse am besten clustern lassen. Die Main und North Ereignisse lassen sich bis
auf wenige Ausreißer auch noch gut clustern. Bei den Crust und Quarry Ereignisse ist die
Auswertung schwerer, allerdings sind dort auch zu wenige Beben vorhanden um verbindliche Aussagen zu treffen. Es lässt sich allerdings erkennen, dass diese zwei Ereignisklassen
zumindest untereinander nur schwer zu trennen sind.
Die Principal Component Analysis kann hierbei, sobald die Dimension der Ereignisse größer
ist als die Anzahl dieser, mittels der Optimierung aus Kapitel 4.3 berechnet werden. In dieser
Arbeit hatten die Sonogramme 13 Frequenzen und aufgrund der Samplingrate von 100 Hertz
und der Länge von 70 Sekunden 58 Zeitwerte, also eine Dimension von 754. Da nur 154
Ereignisse untersucht wurden, würde sich hier die Optimierung anbieten. Da aber selbst die
Dimension von 754 noch im Bereich des schnell berechenbaren liegt und normalerweise weit
mehr Ereignisse untersucht werden müssen, wurde trotzdem die normale Principal Component Analysis berechnet. Für längere Ereignislängen wurde die Optimierung angewendet.
Normalerweise hätte man weitaus mehr Ereignisse, was die Optimierung hinfällig macht. Es
ist dann essentiell, dass die Dimensionszahl der Ereignisse nicht zu hoch ist. Mehrere tausend
Merkmale führen bereits zu Problemen.
60
Ergebnisse
Second Principal Component
30
20
10
0
CRUST
MAIN
NORTH
DEEP
QUARRY
−10
−20
−30
−40 −30 −20 −10 0
10 20 30 40
First Principal Component
50
60
70
Abbildung 8.1.: Trainingsdatensatz auf die ersten beiden Principal Components projiziert
8.1 Vergleich der Clusterung
61
8.1.2. Selbstorganisierende Karte
In Abbildung 8.2 ist nun eine fertig trainierte Karte des Trainingsdatensatz zu sehen. Man
kann erkennen, wie auch hier eine Clusterung der einzelnen Klassen auftritt. Nur der North
Cluster ist auf der Karte durch Main Neuronen getrennt. Schaut man sich nun die Abbildung
8.3 an, in der wiederum die einzelnen Neuronen der Karte auf die ersten beiden Principal
Components projiziert wurden, kann man sehen wie auch hier ein Neuron des Main Clusters
zwischen den Neuronen des North Clusters ist. Es lässt sich in der Anordnung der selbstorganisierenden Karte sehen, dass diese in etwa den ersten beiden Principal Components
entspricht. Dies entspricht den Erwartungen, da die selbstorganisierende Karte eine topologische Projektion der Daten berechnet. Es muss beachtet werden, dass Principal Components
gespiegelt sein können.
Map height
4
3
CRUST
MAIN
NORTH
DEEP
QUARRY
2
1
0
0
1
2
3
4
5
Map width
6
7
8
9
Abbildung 8.2.: Selbstorganisierende Karte des Trainingsdatensatz mit 10 mal 5 Neuronen
und Zurordnung der einzelnen Klassen
8.1.3. Ansicht mit Sonogrammen
Möchte man nun eine bessere Einsicht in die Neuronen der Karte bekommen können anstatt
nur der Klassenzugehörigkeit auch die eigentlichen Sonogramme der Neuronen innerhalb
der Karte angezeigt werden. Dies ist in Abbildung 8.4 zu sehen. Es lassen sich nun direkt
visuell Parameter der Karte ablesen. So ist zu sehen, dass trotz Amplitudennormalisierung
diese noch eine Rolle spielt. Zumindest in den oberen Reihen lässt sich eine Schwächung
der Amplitude von links nach rechts sehen. In den ersten Spalten lässt sich eine Ausweitung
der Amplituden in tiefere Frequenzen sehen. In den hinteren Spalten eher eine Verschiebung
starker Amplituden vom P- zum S-Einsatz. Eine S-P-Zeit Verlängerung lässt sich prinzipiell
von links nach rechts sehen.
Diesselbe Technik der Visualisierung mit Sonogrammen kann nun auch auf die Projektion
auf die ersten beiden Principal Components angewendet werden. Es werden hier die unveränderten Sonogramme aus dem Eingaberaum gezeichnet, allerdings an den Stellen, an denen sie
bei einer Projektion auf die ersten beiden Principal Components sind, Abbildung 8.5. Hier
62
Ergebnisse
30
25
20
15
2nd PC
10
5
0
CRUST
MAIN
NORTH
DEEP
QUARRY
−5
−10
−15
−20
−25
−40 −30 −20 −10
0
10
20
1st PC
30
40
50
60
Abbildung 8.3.: Neuronen der trainierten Karte auf die ersten beiden Principal Components
projiziert
Abbildung 8.4.: Selbstorganisierende Karte des Trainingsdatensatz mit 10 mal 5 Neuronen,
Neuronen als Sonogramme gezeichnet. Weiße Flächen unter den Sonogrammen stammen von der Anzeigemethode und gehören nicht zu den eigentlichen Sonogrammen.
63
sieht man deutlich die starke Amplitudenveränderung auf der ersten Principal Component.
Außerdem eine Veränderung der S-P-Zeit.
Abbildung 8.5.: Anordnung der Sonogramme des Trainingsdatensatz auf den ersten beiden
Principal Components. Horizontal ist die erste und vertikal die zweite Principal Component.
8.1.4. Untersuchung einzelner Principal Components
Um nun einen besseren Einblick auch in weitere Principal Components zu bekommen wurde
versucht die Effekte einzelner Principal Components zu veranschaulichen. Es wurde dabei
ein Verfahren entwickelt, dass erlaubt, Sonogramme entlang einer Principal Component zu
verändern. Man kann sich dies vorstellen, indem man im Raum der Principal Components
alle Komponenten bis auf einer zu null setzt. Nun „fährt“ man entlang der einen zu untersuchenden Komponente und beobachtet wie sich die Sonogramme dadurch verändern. Dies ist
in Abbildung 8.6 für die ersten fünf Principal Components zu sehen. Es wird jeweils oben
bei einem stark negativen Wert gestartet, in der Mitte ist jeweils der Erwartungswert des gesamten Datensatzes, unten ist ein stark positiver Wert. Die Schrittweite wurde dabei für alle
Schritte und Komponenten gleich gewählt und so groß, dass sich vor und hinter den extremen
Werten keine zu starken Änderungen mehr feststellen lassen. Die Berechnung dieser Werte
für die erste Principal Component (pc 1 ) ist in Gleichung 8.1 gezeigt. Wobei µ der Erwartungswert und σ die Standartabweichung des gesamten Datensatzes ist. c ist eine Konstante
die mit der gewählten Schrittweite verändert wird.
Sonogram = µ + σ · c · pc 1
(8.1)
64
Ergebnisse
Abbildung 8.6.: Von links nach rechts die Auswirkungen der ersten fünf Principal Components auf die Sonogramme. Von oben nach untern wird jeweils von negativ
nach positiv entlang einer Principal Component gegangen.
In Abbildung 8.6 lässt sich nun erkennen, dass die erste Principal Component tatsächlich
die Amplitude und außerdem eine Verschiebung des S-Einsatzes bewirkt. Die zweite Komponente hingegen hat nur einen Einfluss auf die Verschiebung des S-Einsatzes. Die dritte
Komponente wiederum ist für eine Verschiebung der Amplituden von hohen Frequenzen zu
tiefen Frequenzen verantwortlich. Vierte und fünfte Principal Components scheinen eine Mischung der Effekte der anderen Components zu bewirken.
Schaut man sich Komponenten ab der zehnten Principal Component an, so sind keine starken
Änderungen mehr zu sehen. Komponenten zwischen der fünften und zehnten sind ähnlich der
vierten und fünften.
Alle Eigenschaften beschränken sich jeweils nur auf den vorliegenden Datensatz. Hat man
andere Ereignisse verändern sich auch die Principal Components und damit eventuell auch
die Eigenschaften die diese repräsentieren.
8.1.5. Filterung von Principal Components
Da nun die Auswirkung der Komponenten auf die einzelnen Effekte abschätzbar sind, kann
man eine Komponente aus dem Datensatz filtern. Hierfür wird zuerst die Principal Component Analysis berechnet. Es wird dann die entsprechende Komponente zu null gesetzt und
mit den restlichen Komponenten eine Rücktransformation ausgeführt. In Abbildung 8.7 und
8.8 sieht man eine selbstorganisierende Karte die mit den Daten aus der Rücktranformation
mit zu null gesetzter erster Principal Component erstellt wurde.
Erwartungsgemäß ist die Clusterung der Karte verschlechtert, da durch die Filterung Informationen verloren gehen. Da in der ersten Principal Component nach unserer Interpretation die größte Information steckt, verliert man entsprechend viele Informationen. Der Deep
Cluster ist wie zu erwarten komplett aufgebrochen. In der vorigen Analyse war zu sehen,
dass sich der Deep Cluster, im Gegensatz zu den anderen Clustern, nicht durch die zweite
65
Principal Component sondern hauptsächlich durch die erste separieren ließ, Abbildung 8.1.
Es scheinen wohl auch keine anderen Komponenten hier für eine gute Separierbarkeit vorhanden zu sein.
In der selbstorganisierenden Karte mit den Sonogrammen ist zu sehen, dass diese nicht mehr
von der Amplitude abhängig clustert. Es sind nur noch unterschiedliche S-P-Zeit und Frequenzunterschiede zu erkennen.
Map height
4
3
CRUST
MAIN
NORTH
DEEP
QUARRY
2
1
0
0
1
2
3
4
5
Map width
6
7
8
9
Abbildung 8.7.: Selbstorganisierende Karte des Trainingsdatensatz mit 10 mal 5 Neuronen
und Zurordnung der einzelnen Klassen, erste Principal Component gefiltert
Abbildung 8.8.: Selbstorganisierende Karte des Trainingsdatensatz mit 10 mal 5 Neuronen,
Neuronen als Sonogramme gezeichnet, erste Principal Component gefiltert.
Weiße Flächen unter den Sonogrammen stammen von der Anzeigemethode
und gehören nicht zu den eigentlichen Sonogrammen.
8.1.6. Scree Plot
Eine Abschätzung welchen Anteil an der Gesamtvarianz und damit der Gesamtinformation
die einzelnen Komponenten haben bietet der Scree Plot. Dieser ist für den Trainingsdatensatz
in Abbildung 8.9 zu sehen. Die erste Principal Component beschreibt bereits knapp 37,4 %
der gesamten Varianz, die zweite Komponente nur noch 5,9 %.
66
Ergebnisse
100
Variance (%)
80
60
40
Cumulative variance
Variance
20
0
0
20
40
80
100
60
Principal Component
120
140
160
Abbildung 8.9.: Scree Plot. Anteil an der Gesamtvarianz der einzelnen Principal Components
in blau und kumulative Varianz in rot.
8.2 Klassifikation
67
8.2. Klassifikation
Um nun noch einmal die Klassifikation mit der Karte genauer zu untersuchen wurde der
Testdatensatz auf die zu Beginn erstellte Karte aufgespielt und überprüft ob die richtigen
Klassen ermittelt wurden. Das Ergebnis ist in der Konfusionsmatrix in Tabelle 8.1 zu sehen.
Insgesamt wurden 94,2 % der Ereignisse richtig klassifiziert. Schaut man sich allerdings
die Werte für die Crust Ereignisse an, sieht man, dass dort von sieben Ereignissen insgesamt
fünf fälschlicherweise als Main Ereignisse klassifiziert wurden. Dies kann auch auf die starke
Nähe des Crust Clusters zum Main Cluster in der Principal Component Projektion zurückgeführt werden. Erstaunlicherweise sind jedoch alle fünf Quarry Ereignisse richtig klassifiziert
obwohl diese eine ähnlich schlechte Clusterung auf den ersten beiden Principal Components
aufweisen. Dies könnte ein Hinweis darauf sein, dass andere Principal Components die Quarry Klasse besser unterscheiden.
In der Seismologie ist es gerade wichtig seltene Ereignisse richtig zu klassifizieren, es müssen also noch weitere Verbesserungen für die Clusterung gefunden werden um eine gute
Klassifizierung auch seltener Ereignisse zu ermöglichen.
Crust
2
Crust
Main
5
Ermittelte Klasse North
Deep
Quarry
-
Tatsächliche Klasse
Main North Deep Quarry
87
2
2
10
41
5
Tabelle 8.1.: Konfusionsmatrix der Klassifikation des Testdatensatzes mit der trainierten Karte aus Kapitel 8.1.
8.3. Initialisierung der Prototypen mittels PCA
Um eine schnellere Konvergenz der selbstorganisierenden Karte zu erreichen, kann man die
Neuronen zu Beginn nicht zufällig initialisieren, sondern bereits an den ersten beiden Principal Components ausrichten [29]. Die Karte ist somit schon von Beginn an näher an ihrem
Endzustand. Dies wurde im Rahmen dieser Arbeit umgesetzt. Es wurde hierbei die Technik
aus Kapitel 8.1 benutzt. Dort wurde die Veränderung einzelner Principal Components veranschaulicht. Entlang der horizontalen Achse der Karte wurde die erste, entlang der vertikalen
die zweite Principal Component nach Gleichung 8.2 erhöht.
map(x, y) = µ + σ · (c ·
2y − 1
2x − 1
· pc 1 + c ·
· pc 2 )
width
height
(8.2)
In Abbildung 8.10 ist diese Karte im untrainierten Zustand direkt nach der Initialisierung zu
sehen. Projiziert man hier die Gewichtsvektoren der Neuronen wieder auf die ersten beiden
Principal Components, bilden diese erwartungsgemäß ein kartesisches Gitter.
68
Ergebnisse
Abbildung 8.11 und 8.12 zeigen die Neuronen auf der Karte beziehungsweise auf den ersten
beiden Principal Components mit der fertig trainierten Karte.
Map height
4
3
CRUST
MAIN
NORTH
DEEP
QUARRY
DISCARDED
2
1
0
0
1
2
3
4
5
Map width
6
7
8
9
Abbildung 8.10.: Untrainierte selbstorganisierende Karte entlang der ersten beiden Principal
Components initialisiert
Map height
4
3
CRUST
MAIN
NORTH
DEEP
QUARRY
DISCARDED
2
1
0
0
1
2
3
4
5
Map width
6
7
8
9
Abbildung 8.11.: Trainierte selbstorganisierende Karte entlang der ersten beiden Principal
Components initialisiert
8.4. Clusterqualität mit transformierten Daten Eigensonogramme
Bei der Eigenface [42] [43] Methode werden Gesichter verglichen, die mittels der Principal
Component Analysis transformiert werden. Dabei wurde festgestellt, dass sich die Erkennungsrate verbessert, wenn die Gesichter in den Raum der Principal Components transformiert werden und mit einer geringeren als der original Komponentenzahl zurücktransformiert
8.4 Clusterqualität mit transformierten Daten - Eigensonogramme
69
40
30
20
2nd PC
10
0
CRUST
MAIN
NORTH
DEEP
QUARRY
DISCARDED
−10
−20
−30
−40
−40 −30 −20 −10
0
10
20
1st PC
30
40
50
60
Abbildung 8.12.: Neuronen der trainierten selbstorganisierenden Karte die entlang der ersten
beiden Principal Components initialisiert wurde
70
Ergebnisse
werden, diese Gesichter werden dort Eigenfaces genannt. Dies wurde hier für seismische Signale versucht (Eigensonogramme) und es zeigt sich tatsächlich, dass mit weniger Principal
Components eine bessere Clusterung auftritt. In Abbildung 8.13 ist der Silhouettenkoeffizient für den Trainingsdatensatz in Abhängigkeit der Principal Components mit der dieser
transformiert wurde zu sehen. So sieht man, dass der Silhouettenkoeffizient am höchsten ist,
wenn die ersten vier Principal Components verwendet werden. Zwei und drei Komponenten
scheinen noch zu wenig zu sein um eine Clusterung zu gewährleisten, wobei mit drei Komponenten bereits ein guter Wert erreicht ist. Werden mehr als vier Komponenten benutzt,
verschlechtert sich die Clusterung kontinuierlich und erreicht ihr Minimum bei 154 also allen verwendeten Komponenten. Dies entspricht wieder den original Sonogrammen, da hier
die Rücktransformation ohne Informationsverlust geschieht.
In Abbildung 8.14 sind nun die Eigensonogramme mit unterschiedlicher Komponentenzahl
zu sehen. Genauso wie auch bei den Eigenfaces zeichnet sich die Kontur der Originalereignisse auch schon mit sehr wenigen Komponenten ab und man sieht die einzelnen Unterschiede der Klassen bereits bei nur zwei Komponenten.
Da der Silhouettenkoeffizient eine starke Verbesserung von zwei auf drei Principal Components zeigt, ist in Abbildung 8.15 nun die Clusterung des Trainingsdatensatzes mit drei
Principal Components zu sehen. Wie vom Silhouettenkoeffizient zu erwarten verbessert sich
hierbei die Clusterung der Ereignisklassen im Gegensatz von nur zwei Komponenten (Abbidlung 8.1) für Crust und Quarry.
8.4 Clusterqualität mit transformierten Daten - Eigensonogramme
71
0.7
0.6
CRUST
MAIN
NORTH
DEEP
QUARRY
MEAN
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
2
4
6
8
10
40
80 120
Number of Principal Components
154
Abbildung 8.13.: Silhouettenkoeffizient in Abhängigkeit der Anzahl der Principal Components mit derer der Trainingsdatensatz transformiert wurde. Anzahl der
Principal Components sind von 2 bis 10 durchgängig, dann ab 20 in 20er
Schritten und am Ende noch 154 was den nicht transformierten Ereignissen
entspricht, da dies alle vorhandenen Komponenten sind.
Abbildung 8.14.: Jeweils ein Beben jeder Klasse für unterschiedliche Zahlen von verwendeten Principal Components. Von oben nach unter, 2, 3, 4, 5 und 154 verwendete Principal Components.
72
Ergebnisse
Abbildung 8.15.: Trainingsdatensatz auf die ersten drei Principal Components projiziert. X
entspricht der ersten, Y der zweiten Principal Component. Die dritte Principal Component ist die dritte zu X und Y senkrechte Achse.
9. Software
Ein großer Teil dieser Arbeit bestand aus der Erstellung einer Software um die vorgestellten
Algorithmen an Sonogrammen zu testen. Diese hat den Namen CLUSTER und ist in der
Programmiersprache Java1 entwickelt.
9.1. Motivation
Um Methoden der Signalverarbeitung zu testen wird häufig Matlab oder eine ähnliche numerische Berechnungssoftware verwendet, da dort viele mathematische Methoden bereits
implementiert sind und vor allem Matrixrechnungen und Visualisierungen von Daten sehr
gut unterstützt werden. So wird zum Beispiel die Principal Component Analysis bereits von
Matlab unterstützt. Außerdem gibt es eine Toolbox für selbstorganisierende Karten, die SOM
Toolbox2 . Diese unterstützt eine Vielzahl an Parametern für eine selbstorganisierende Karte
und viele sehr nützliche Visualisierungen.
In dieser Arbeit wurde jedoch auf Java gesetzt, welches eine Objektorientierte Programmiersprache ist. Es gab mehrere Gründe um auf die Bequemlichkeiten von Matlab und Co. zu
verzichten.
Ein wichtiger Punkt hierbei war, dass am Institut bereits eine Softwaresuite existiert, die sogenannte GeophysSuite, die in Java programmiert ist und die Anzeige und Verwaltung von
seismologischen Daten als Seismogramme und Sonogramme ermöglicht. An dieser Software hat der Autor dieser Arbeit bereits mitgearbeitet und außerdem in früheren Jahren bereits
sehr viel Java Programmiererfahrung erlernt. Die hier erstellte Software wurde in die GeophysSuite integriert und bietet damit die Möglichkeit für beliebige neue Datensätze die in der
GeophysSuite unterstützt werden, eine Clusteranalyse zu vollziehen. Die CLUSTER Software ist in Abbildung 9.1 zu sehen.
Ein weiterer wichtiger Punkt sind die komplexen Visualisierungen wie zum Beispiel die Darstellung der selbstorganisierenden Karten mit Sonogrammen. Dies ist in Java durch die Objektorientierung und große Freiheit bei der Gafikerstellung gut lösbar.
Außerdem gibt es mittlerweile auch für Java sehr umfangreiche Mathematik- und Signalverarbeitungsbibliotheken. Die hier verwendeten werden in Kapitel 9.11 genannt.
1
2
http://java.com
http://www.cis.hut.fi/somtoolbox/
74
Software
Abbildung 9.1.: CLUSTER Software, in der linken Spalte sind die Buttons um einzelne Aktionen zu starten, rechts die Konsolenausgabe
9.2. Existierende Software
Es gibt sehr viele Implementierungen des selbstorganisierenden Karten Algorithmus in verschiedensten Programmiersprachen meist für Lehrzwecke. Als professionelle Software gibt
es nur zwei Implementierungen, die eine Vielzahl an Einstellungen ermöglichen und verbreitet sind. Beide wurden von der Forschergruppe um Teuvo Kohonen, dem Erfinder der
selbstorganisierenden Karten entwickelt:
• Zum einen eine textbasierte Software, SOM PAK [44], die in C geschrieben ist. Diese
Implementierung läuft zwar sehr schnell, jedoch gibt es so gut wie keine Visualisierungen und die Benutzung ist kompliziert.
• Weiterhin gibt es die zuvor erwähnte SOM Toolbox für Matlab [45]. Diese besitzt
viele Visualisierungsmöglichkeiten, jedoch ist die Rechenzeit recht hoch. Möchte man
individuelle Funktionen realisieren, wie zum Beispiel Objekte in Karten visualisieren,
wie dies in dieser Arbeit mit den Sonogrammen geschehen ist, so wäre dies wieder
mit einem großen Programmieraufwand in Matlab verbunden. Außerdem wird diese
Toolbox nicht mehr regelmäßig gepflegt. So geschah das letzte Update im Jahr 2005.
Bereits 2002 haben die meisten Entwickler die dahinter stehende Universität verlassen.
Mit der neuesten Version von Matlab, Version 7, ist die SOM Toolbox nicht mehr
kompatibel.
Im März 2010 wurde eine sehr viel versprechende Software, die in Java geschrieben wurde
von der Universität Wien als Opensource veröffentlicht3 . Dies geschah allerdings zu einem
Zeitpunkt, an dem diese Arbeit schon so weit fortgeschritten war, dass ein Umstieg nicht
mehr lohnenswert gewesen wäre. Die dort entwickelte Software unterstützt eine Vielzahl
von Visualisierungen und Parametersätzen, hätte aber auch eine lange Einarbeitungszeit vorausgesetzt.
3
http://www.ifs.tuwien.ac.at/dm/somtoolbox/
9.3 GeophysSuite
75
9.3. GeophysSuite
Die zuvor erwähnte GeophysSuite wurde am Institut für Geophysik entwickelt. Sie besteht
aus mehreren in Java geschriebenen Komponenten:
• TraceRead: Serverapplikation um seismische Daten zu lesen, Metadaten zu bearbeiten
und diese Daten Clientapplikationen zur Verfügung zu stellen
• SonoView: Große Zeitintervalle von seismischen Daten als (Super-)Sonogramme betrachten und Ereignisse markieren
• TraceView: Genauere Analyse von Ereignissen mittels herkömmlichen Seismogrammen und mehreren Filtermöglichkeiten
Die einzelnen Komponenten und ihre Interaktionen, sowie die in dieser Arbeit entwickelte
Applikation Cluster sind in Abbildung 9.2 dargestellt.
SonoView
TraceView
Cluster
TraceRead
Zeiten
Daten
Abbildung 9.2.: Komponenten der GeophysSuite. TraceRead stellt die seismischen Daten für
alle Client Applikationen bereit. Cluster und TraceView können wiederum
Zeiten von Ereignissen aus SonoView erhalten.
9.4. Vorgängersoftware
In der Vorgängerarbeit zu selbstorganisierenden Karten wurde bereits eine Java Software
geschrieben (SESAM [4]), die zu Beginn sehr hilfreich war. Die Funktion dieser Software
war jedoch nur selbstorganisierende Karten aus Sonogrammen zu erstellen. Die Erstellung
von selbstorganisierenden Karten war bei Tests jedoch zu langsam um vernünftige Resultate
mit genügend großer Epochenzahl zu erziehlen. Zu Beginn war daher die Absicht, diese
Software zu erweitern und zu verbessern, jedoch war der Aufbau der Software durch zu
viele Faktoren verkompliziert die hier nicht benötigt wurden, so dass eine neue Software
zeitsparender implementiert werden konnte als die alte anzupassen.
76
Software
In der alten Software wurde die gesamte Parameterwahl in einer GUI (Grafische Benutzer
Oberfläche, engl. Graphical User Interface) realisiert. Die neue Software sollte recht schlank
aufgebaut werden, wobei die Algorithmen und Visualiserung im Vordergrund stehen sollten.
Außerdem sollte sie nach den Regeln der Objektorientierung und modular aufgebaut werden. Es ist somit sehr einfach, neue Algorithmen und Visualisierungen in die neue Software
einzubauen.
9.5. Lesen von Daten
9.5.1. GeophysSuite
Die Software kann, wie auch ihr Vorgänger, Daten direkt aus den Sonogrammen der GeophysSuite lesen. Hierfür kann man in den Sonogrammen einer Messung Markierungen setzen. Referenzen auf diese Ereignisse werden in einer Textdatei im ASCII4 Format zusammen mit Informationen zu den Ereignissen gespeichert. In Abbildung 9.3 ist die Auswahl
von Ereignissen in Sonoview zu sehen. In Tabelle 9.1 ist das Format der ASCII Datei mit
gespeicherten Ereignisreferenzen zu sehen. Beide Methoden stammen von der Vorgängersoftware, wurden jedoch erweitert um mehr Informationen wie zum Beispiel Magnitude,
Latitude, Longitude und Kommentare zusammen mit den Ereignissen zu speichern. Wird
nun die ASCII Datei in CLUSTER geladen, werden Ereignisse direkt aus der GeophysSuite
geladen.
Abbildung 9.3.: Auswahl von Ereignissen in SonoView
9.5.2. PGM-Dateien
Eine weitere Möglichkeit Ereignisse zu laden ist über PGM (Portable Gray Map) Bilddateien.
Dies sind ASCII Dateien, in denen Kommentare und Farbwerte für Pixel eines Bildes gespeichert werden können, siehe Abbildung 9.4. Als Kommentare werden hier dieselben Werte
4
American Standard Code for Information Interchange
9.6 Geschwindigkeit
# ArrayID
04
04
04
04
04
Date[ms]
760700397800
760702465520
760723353700
760801388250
760856153030
Length[ms]
80000
80000
80000
80000
80000
FormatedDate
2/8/94 09:39:56
2/8/94 10:14:23
2/8/94 16:02:31
2/9/94 13:43:06
2/10/94 04:55:51
77
Class
MAIN
MAIN
QUARRY
MAIN
DEEP
Tabelle 9.1.: Format der ASCII Datei. Spalten Latitude, Longitude und Magnitude sind nicht
vorhanden, da diese Informationen noch nicht aus dem Ereigniskatalog übernommen wurden.
wie auch in der ASCII Datei für die Ereignisse aus der GeophysSuite verwendet, weiterhin
wird nun direkt das Sonogramm in einer Matrix von ASCII Werten gespeichert. Dies ist sehr
nützlich, wenn eine große Anzahl von Sonogrammen mehrere Male für eine Clusteranalyse benutzt werden soll. Die Sonogramme müssen dann nich jedes Mal in der GeophysSuite
berechnet und bereitgestellt werden, sondern können direkt aus den PGM Dateien geladen
werden.
Abbildung 9.4.: Beispiel einer PGM Datei mit zugehörigem Sonogramm [4].
9.6. Geschwindigkeit
Das wichtigste Kriterium zu Beginn war die Geschwindigkeit um überhaupt imstande sein
zu können, genügend Tests durchzuführen. In der neuen Software wurde der Algorithmus
der alten Software so verbessert, dass diese 20-30 Mal so schnell ist, was in Abbildung 9.5
veranschaulicht ist.
9.7. Konfiguration
Da die Konfiguration nicht mehr über unzählige Markierungsfelder in der Applikation geschehen sollte, wurde diese in eine XML Datei verlagert. Hier kann ein Benutzer, ohne den
Quelltext der Applikation öffnen zu müssen die Konfiguration wie zum Beispiel Kartengröße,
Nachbarschaftsfunktion, Datenverzeichnis etc. editieren und diese auch bei einem Neustart
78
Software
120
100
Time (s)
80
60
40
Old software
New software
20
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
Number of epochs
Abbildung 9.5.: Dauer des Trainings einer selbstorganisierenden Karte in Abhängigkeit zur
Epochenzahl. Trainingsdatensatz mit 50 Ereignissen, Dimension der Ereignisse 871, Kartengröße 5 Spalten und 8 Zeilen.
der Applikation wiederverwenden. Außerdem ist es möglich, für verschiedene Testfälle, unterschiedliche Konfigurationen zu erstellen, die dann entsprechend geladen werden können.
Eine Beispielkonfiguration ist in Listing 9.1 gegeben. Diese Konfigurationsdatei wird je nach
Betriebssystem unter folgendem Pfad gespeichert:
• Linux, im Home-Verzeichnis unter .geophyssuite/cluster/cluster.xml
• Windows, unter Eigene Dateien\cluster\cluster.xml
9.8 Funktionsauflistung
79
Listing 9.1: Beispiel Konfigurationsdatei
<? xml v e r s i o n =" 1 . 0 " e n c o d i n g ="UTF−8 " s t a n d a l o n e =" y e s " ?>
<Cluster>
< c a t e g o r y N a m e s>CRUST< / c a t e g o r y N a m e s>
< c a t e g o r y N a m e s>MAIN< / c a t e g o r y N a m e s>
< c a t e g o r y N a m e s>NORTH< / c a t e g o r y N a m e s>
< c a t e g o r y N a m e s>DEEP< / c a t e g o r y N a m e s>
< c a t e g o r y N a m e s>QUARRY< / c a t e g o r y N a m e s>
< c e l l H e i g h t >3< / c e l l H e i g h t >
< c e l l W i d t h >2< / c e l l W i d t h >
< e p o c h s>20< / e p o c h s>
< f r e q u e n c i e s >0< / f r e q u e n c i e s >
154
<mapHeight>5< / mapHeight>
<mapWidth>10< / mapWidth>
< n e i g h b o u r M e a s u r e m e n t>EUCLIDIAN< / n e i g h b o u r M e a s u r e m e n t>
< n e i g h b o u r h o o d T y p e>CONE< / n e i g h b o u r h o o d T y p e>
< n o r m a l i z a t i o n >GlobalMean< / n o r m a l i z a t i o n >
<numEigen>154< / numEigen>
 / PISCO_94 / knowbase / colorpatterns70s / pattern . 3 0 8 . 0 . firsthalf / 
70000
< r e a d F r o m P g m s O r S e l F i l e>true< / r e a d F r o m P g m s O r S e l F i l e>
< r e f e r e n c e P a t t e r n >0< / r e f e r e n c e P a t t e r n >
< s e l F i l e > / PISCO_94 / knowbase / training . 3 0 8 . sel< / s e l F i l e >
< s o m I n i t >RANDOM< / s o m I n i t >
<somRounds>1< / somRounds>
<sonoMaxValue>11< / sonoMaxValue>
< s o n o P o s t B u f f e r >0< / s o n o P o s t B u f f e r >
< s o n o P r e B u f f e r >0< / s o n o P r e B u f f e r >
<s o n o W i d t h>0< / s o n o W i d t h>
< t e s t P a t t e r n D i r > / PISCO_94 / knowbase / colorpatterns70s / pattern . 3 0 8 . 0 . secondhalf / < / ←testPatternDir>
< t e s t S e l F i l e > / PISCO_94 / knowbase / training . 3 0 8 . sel< / t e s t S e l F i l e >
< t e s t s >154< / t e s t s >
< t h r e e D P l o t s >true< / t h r e e D P l o t s >
true
</ Cluster>
9.8. Funktionsauflistung
9.8.1. Amplitudennormalisierungen
Unter dem Button Normalize können verschiedene Amplitudennormalisierungen auf die Datensätze angewendet werden.
• GlobalMean: Die in dieser Arbeit verwendete Normalisierung, die den Erwartungswert
jedes Sonograms mit dem Gesamterwartungswert des Datensatzes vergleicht und die
Differenz von jedem Pixel abzieht.
• MinMean: Wie Globalmean, jedoch wird als Referenz der minimale Erwartungswert
aller Ereignisse benutzt, anstatt dem Gesamtwerwartungswert.
• IndividualMax: Hierbei wird jedes Sonogramm auf die maximale Amplitude von elf
normalisiert. Es wird also die Differenz des Maximalwertes des Ereignisses zu elf von
jedem Pixel abgezogen.
80
Software
9.8.2. Sonogramme anzeigen
Die Funktion Paint Sonograms in der Software zeichnet alle Sonogramme im Trainingssatz
spaltenweise für die entsprechend zugeordnete Klasse. Somit bekommt man eine direkte Gegenüberstellung der verschiedenen Klassen und kann eventuelle Probleme bei der Clusterung
besser analysieren. Hierbei werden automatisch in einem zweiten Block die transformierten
Sonogramme angezeigt. Dies können Sonogramme, die mit der Principal Component Analysis oder anderen Methoden verändert wurden, sein.
9.8.3. Selbstorganisierende Karten
Unter dem Button SOM wird eine selbstorganisierende Karte mit dem gegebenen Datensatz
und den festgelegten Parametern erstellt. Die Karte kann zufällig oder mittels der ersten beiden Principal Components initialisiert werden. Weiterhin wird die der Quantisierungsfehler
berechnet und das Labeling vollzogen, sofern Klassen für den Trainingsdatensatz vorliegen.
Außerdem sind verschiedene Visualisierungen möglich (Button Plot SOM), so ist es möglich die Elemente einer selbstorganisierende Karte als Quadrate anzuzeigen, deren Farbe den
zugeordneten Clustern und deren Größe der Anzahl entspricht. Anstatt der Quadrate können
auch die Sonogramme der Neuronen angezeigt werden.
9.8.4. Klassifikation
Ist eine selbstorganisierende Karte mit einem Trainingsdatensatz erstellt und das Labeling
vollzogen, kann ein Testdatensatz auf die Karte angewendet werden und Statistiken zur richtigen Klassifikation dazu ausgegeben werden (Button Apply test patterns on SOM).
9.8.5. Principal Component Analysis
Es wurden mehrere Verfahren für die Principal Component Analysis implementiert um gute
und schnelle Ergebnisse bei der visuellen Clusterung zu erziehlen. Dabei wird die Principal
Component Analysis auch auf Neuronen der Karte angewendet, falls diese bereits erstellt ist.
Dies ermöglicht es, auch die Principal Components der Neuronen zu veranschaulichen:
• Normal PCA: Implementiert die in Kapitel 4.1 beschriebene Principal Component
Analysis.
• Basic PCA: Wie die Normal PCA, jedoch ohne Benutzung der Javastatsoft Bibliothek
für die Erstellung der Kovarianzmatrix.
• Eigen PCA: Implementiert die Principal Component Analysis nach Turk und Pentland [42] [43].
• Transposed SVDPCA: Implementiert die in Kapitel 4.3 beschriebene Principal Component Analysis mit der Optimierung um Rechenzeit bei Eingabevektoren mit größerer
Dimension als Anzahl der Eingabevektoren zu sparen.
9.9 Übertragbarkeit
81
9.8.6. Diagramme
Die meisten der Diagramme dieser Arbeit wurden direkt in der Software erstellt und können
somit auch mit neuen Datensätzen erneut erstellt werden. Ist bereits eine selbstorganisierende Karte erstellt, so wird jeweils, wenn nützlich, ein extra Diagramm für die Gewichtsvektoren der Neuronen erstellt. Außerdem wird jeweils eine unterschiedliche Farbgebung für jede
Klasse benutzt:
• Distance to clusters: Es werden die Distanzen über eine festgelegte Distanzfunktion
aller Sonogramme zu allen Clusterzentren berechnet und angezeigt. Dies ist sehr nützlich um zu überprüfen ob unterschiedliche Transformationen oder Distanzfunktionen
eine Verbesserung der Clusterung erziehlen.
• SOM Plot: Es kann die selbstorganisierende Karte in den zwei Modi als nur Punkte
oder als Sonogramme angezeigt werden.
• PCA Plot: Distances to origin, es wird im Raum der Principal Components der Abstand
jedes Sonogramms zum Ursprung angezeigt.
• PCA plot axes: Es werden die Sonogramme als Punkte im Raum der ersten beiden
Principal Components angezeigt. Außerdem kann eine dreidimensionale Anzeige im
Raum der ersten drei Principal Components angezeigt werden.
• Scree Plot: Zeigt einen Scree Plot der Principal Component Analysis, beschrieben in
Kapitel 4.
• Normal Plot: Es werden die ersten beiden Komponenten der Sonogramme ohne eine
Principal Component Analysis angezeigt. Dies dient nur dazu, zu zeigen, dass es hier
normalerweise keine Clusterung gibt.
• PCA Map Plot: Es werden die original Sonogramme im Raum der ersten beiden Principal Components als Sonogramme angezeigt, so lassen sich charakteristische Veränderungen der Sonogramme je nach Principal Component sehr praktisch erkennen.
9.9. Übertragbarkeit
Wie bereits erwähnt wurde die Software programmiert, um auch andere Clusteranalysen zu
ermöglichen. Die Software ist zum einen nicht beschränkt auf den hier benutzten Datensatz.
Es können andere Klasseninformationen und auch eine andere Anzahl an Klassen verwendet
werden. Außerdem können beliebige Signale über die GeophysSuite oder die PGM Dateien
eingelesen werden.
Weiterhin ist es möglich neue Clustermethoden einzubauen, die auf die bereits implementierten Methoden der Software zurückgreifen können. Als Test wurde dabei der K-Means
Algorithmus implementiert (Button KMeans).
9.10. Neue Datenformatunterstützung
Seismologische Daten wie die hier verwendeten vom Projekt PISCO’94 liegen meist in dem
komprimierten Format SEED (Standard for the Exchange of Earthquake Data) vor. Dieses
82
Software
Datenformat wurde von der GeophysSuite noch nicht unterstützt. Stattdessen mussten Daten
im SEED Format zuerst umständlich mit anderen Werkzeugen in unterstützte Formate umgewandelt werden. Um diese Prozedur zu vereinfachen, wurde im Rahmen der Arbeit, für
die GeophysSuite eine SEED Datenformatunterstützung programmiert. Dies war möglich,
da SEED ein offener Standard ist und online eingesehen werden kann5 . Für die Komprimierung werden bei diesem Datenformat anstatt einzelner Amplituden der Seismogramme die
Unterschiede der Amplitude zu Vorgängern gespeichert. Eine Struktur dieses Datenformats
ist in Abbildung 9.6 dargestellt. Hinzu kommen noch verschiedenste Header, die Metadaten
der seismischen Daten und Positionen und Anzahl der Blöcke beinhalten.
Abbildung 9.6.: SEED Datenformat [46]
9.11. Verwendete Java-Software-Bibliotheken
In Java gibt es sehr nützliche freie Bibliotheken die verwendet werden können, um etwas
Programmieraufwand zu sparen. Folgende Bibliotheken wurden in dieser Arbeit verwendet:
• Java Matrix Package (JaMa, http://math.nist.gov/javanumerics/jama/): Fügt
Matrix Berechnungen zu Java hinzu.
• Javastatsoft (http://javastatsoft.sourceforge.net/): Methoden für die Erstellung der Kovarianzmatrix für die Principal Component Analysis wurden hiervon
extrahiert.
• JFreeChart (http://www.jfree.org/jfreechart/): Wurde für zweidimensionale
Diagramme, hauptsächlich Streudiagramme (Scatter Plots) benutzt.
• Jzy3d (http://code.google.com/p/jzy3d/): Um die dreidimensionalen Diagramme zu erstellen, benötigt außerdem die OpenGL Bibliothek JOGL (https://
5
http://www.iris.edu/manuals/SEED_chpt1.htm
9.11 Verwendete Java-Software-Bibliotheken
83
jogl.dev.java.net/) und die Bibliothek GlueGen https://gluegen.dev.java.
net/ für die C-Bibliotheksanbindung.
• Java Machine Learning Library (Java-Ml, http://java-ml.sourceforge.net/):
Wurde zu Beginn benutzt um eine selbstorganisierende Karte zu erstellen, allerdings
wurde erkannt, dass die Umsetzung in der Bibliothek sehr lückenhaft ist und diese
wurde nicht mehr weiter verwendet.
10. Zusammenfassung und Ausblick
10.1. Zusammenfassung
In der Vorgängerarbeit von Matthias Guggenmos wurden die Grundsteine für eine weitere
Analyse gelegt. So war die Vorgängerarbeit die erste Arbeit, die mit Sonogrammen erstellte
selbstorganisierende Karten berechnete und visualisierte. Aufbauend auf der Vorgängerarbeit wurde hier die Clusterung mittels der selbstorganisierenden Karten und der Principal
Component Analysis untersucht. Methoden des unüberwachten Lernens wie die selbstorganisierenden Karten sind schwer zu analysieren, da wie hier für diesselbe Eingabe nicht immer
diesselbe Ausgabe entsteht. Die selbstorganisierende Karte wird zufällig initialisiert, außerdem ist die Reihenfolge der Eingaben zufällig. Ein Cluster kann also bei zwei Karten, die mit
demselben Datensatz trainiert wurden, an verschiedenen Stellen entstehen. Es konnte trotzdem eine Konsistenz der prinzipiellen Anordnung gefunden werden und gezeigt werden von
welchen Faktoren die Clusterung auf der Karte maßgeblich abhängt.
Weiterhin konnte das große Problem der Amplitudennormalisierung in der Vorgängerarbeit
gelöst werden. Es konnte gezeigt werden, dass die Amplitude der Ereignisse trotz Normalisierung von dieser immer noch eine Rolle innerhalb der Cluster spielt. Diese Abhängigkeit
von der Amplitude konnte nur mittels einer Unterdrückung einer Principal Component und
einem damit verbundenem großen Informationsverlust aufgelöst werden.
Ein weiteres Problem innerhalb der Vorarbeit war die Distanzfunktion die benutzt wurde
um die selbstorganisierende Karte zu trainieren. Dort wurde die euklidische Distanz benutzt,
welche die Zweidimensionalität der Sonogramme nicht berücksichtigt. Es konnte gezeigt
werden, dass eine selbst entwickelte zweidimensionale Distanzfunktion eine Verbesserung
in der Clusterung bewirkt.
Außerdem konnten Schwächen bei der bisherigen Software durch eine neue Software beseitigt werden. So ist es mit der neuen Software möglich durch die enorme Verbesserung der
Geschwindigkeit des Algorithmus umfangreichere Tests durchzuführen. Es können nun eine
Vielzahl von selbstorganisierenden Karten mit unterschiedlichsten Parametern erstellt und
analysiert werden.
Eine weitere wichtige Aufgabe war, die grundlegenden aufgeworfenen Fragen nach der Vorgängerarbeit, zu beantworten. So konnte dort nur spekuliert werden, welche zwei Merkmale
der Ereignisse durch die zweidimensionale Clusterung auf der Karte verantwortlich sind.
Hier setzte die Principal Component Analysis an. Die Principal Component Analysis bietete
eine schnelle und verlässliche Methode, um sich die Clusterung der Daten zu veranschaulichen. Bei einem hochdimensionalen Raum wäre es ansonsten sehr schwer zu verstehen
gewesen, welche Cluster ein Algorithmus nun besser trennen kann als andere. Hier bietete
die Principal Component Analysis eine sehr gute Hilfe. Es konnten Merkmalsveränderungen entlang bestimmter Principal Components herausgearbeitet werden, wie zum Beispiel
86
Zusammenfassung und Ausblick
Amplitudenveränderungen, P- und S-Einsatzverschiebungen und Veränderungen der auftretenden Frequenzen. Dadurch wurde es möglich, bestimmte Merkmale zu unterdrücken, also
zu filtern. So konnte zum Beispiel durch die Unterdrückung der ersten Principal Component
die Amplitude aus der Clusterung entfernt werden. Außerdem konnte gezeigt werden, dass
durch die Benutzung von ausschließlich den ersten vier Komponenten die beste Clusterung
erzielt wird.
10.2. Ausblick
Diese Arbeit geht einen weiteren Schritt als die Vorgängerarbeit, in dem die Ergebnisse weiter
verfeinert und interpretiert wurden. Doch desto mehr man sich mit einem Thema befasst,
desto mehr erkennt man wie wenig man eigentlich weiß. So wurden auch bei dieser Arbeit
mit jedem weiteren Schritt neue Fragen aufgeworfen.
Ein weiterer Schritt wäre mehr Informationen aus dem vorhandenen Ereigniskatalog in der
Clusterung zu verwenden. Dafür müssten mehr Ereignisse und weitere dazu vorhandene Informationen wie zum Beispiel Magnitude, Latidude und Longitude der Ereignisse für den
Algorithmus geeignet digitalisiert werden. Es könnte dann zum Beispiel eine Clusterung der
Ereignisse nach Position auf der Karte untersucht werden. Die Grundlagen dafür sind schon
in die Ereignisselektion eingebaut, es fehlt hier nur noch die Extraktion aus dem Ereigniskatalog.
Außerdem sollten für zukünftige Clusterungen vor allem für schwächere Signale mehrere
seismische Stationen kombiniert werden. Die Methode des Nanoseismic Monitoring kann
hierfür zusammen mit den Supersonogrammen verwendet werden [47][48]. Diese ist im Anhang A näher erklärt.
Ein Interessanter Versuch wäre eine selbstorganisierende Karte aus einem gesamten Datensatz zu erstellen. Bisher wurden Ereignisse von erfahrenen Seismologen im Datensatz markiert. Diese Ereignisse wurden dann mit einer bestimmten Länge (hier 70 Sekunden) für eine
Clusterung verwendet. Man könnte nun einen Algorithmus entwickeln, der mit einer überlappenden Fensterfunktion den Datensatz „abfährt“. So könnte man zum Beispiel ein Fenster
von 70 Sekunden mit einer Überlappung von 35 Sekunden zum vorherigen Fenster benutzen
um kontinuierlich 70 Sekunden lange Teile des Datensatzes zu bekommen. Mit diesen Teilen würde dann eine selbstorganisierende Karte trainiert werden. Man hätte somit pro Tag
knapp 2500 Ereignisse, was noch im Rahmen einer möglichen Auswertung ist. Es wäre interessant zu sehen, ob sich auf der Karte wieder bestimmte Cluster mit reinem Rauschen,
beziehungsweise Ereignissen bilden. Hierbei müsste man für die Distanzfunktion der Karte
eine Kreuzkorrelation oder ähnliches verwenden um die Zeitversätze der P-Einsätze der einzelnen Ereignisse zu kompensieren, da durch die Fensterfunktion ein unterschiedlich großes
Zeitfenster vor dem P-Einsatz liegt. Durch die Überlappung bei der Fensterfunktion sollten
alle Ereignisse nahezu komplett in einem Fenster vorhanden sein.
Es gibt viele weitere Ansätze einer Clusterung, die aber noch mehr manuelle Interaktion
erfordern. So wurde zum Beispiel auch in der Vorgängerarbeit vorgeschlagen, den P- und
S-Einsatz getrennt auszuwählen um die S-P-Zeit als Clusterung zu entfernen. Hierfür kommt
aber eine weitere Unsicherheit hinzu, da nun nicht nur an einer Stelle manuell ausgewählt
wird, sondern an zwei.
10.2 Ausblick
87
10.2.1. Neue Methoden des Maschinellen Lernens
Für eine Dimensionsreduktion werden anstatt der Principal Component Analysis auch weitere in den letzten Jahren entwickelte Methoden wie zum Beispiel die Kernel-PCA, Independant Component Analysis (ICA) oder Linear Discriminant Analysis (LDA) eingesetzt,
welche sehr vielversprechende Ergebnisse liefern.
Da sowohl bei Seismogrammen als auch bei der Sprachverarbeitung ähnliche Probleme gelöst werden müssen bietet es sich an, dort verwendete Algorithmen zu untersuchen. Dort ist
es allerdings oft so, dass das Hauptproblem ist, aus dem Kontext zu verstehen welches Wort
gemeint ist. So können unterschiedliche Worte diesselbe Aussprache haben. Allgemein müssen aber auch hier zuerst einmal die einzelnen Wörter extrahiert und ohne Kontext verstanden werden. Die im Moment meist verbreitetste Methode hierbei sind die Hidden Markov
Models (HMM), wobei in den letzten Jahren auch Conditional Random Fields eine große
Aufmerksamkeit erfahren haben. Oft genutzte Methoden für die Merkmalsextraktion sind
Linear Predictive Coding (LPC) oder Wavelets.
In der Sprachverarbeitung werden auch oft die Mel Frequency Cepstral Coefficients (MFCC)
benutzt [49]. Hierbei wird versucht das Anregungssignal (Stimmbänder) und die Impulsantwort des Filters (Mund, Zunge, Nasenhöhlen, ...) zu dekorrelieren. In der Seismologie wäre
das Anregungssignal der Herdprozess und der Filter das durchlaufende Medium. Die Berechnung der MFCC ist in gewissen Punkten der Sonogrammberechnung ähnlich. Bei den
MFCC wird also eine Art Sonogramm berechnet, wobei die Frequenzbänder durch die MelSkala vorgegeben sind, diese skaliert Frequenzen so, dass sie dem menschlichen Wahrnehmen von Tonhöhen entsprechen. Danach wird durch eine diskrete Kosinustransformation die
Dekorrelation erreicht. Das Resultierende Signal wird Cepstrum genannt (Buchstabendreher
von Spectrum), da es eine Art inverse Fouriertransformation des Spektrogramms ist. In [49]
und weiteren Arbeiten wird auf die Ähnlichkeit der spektralen Basisfunktionen der diskreten Kosinustransformation mit den Principal Components des Spektrums bei Sprachsignalen
hingewiesen. Diese Ähnlichkeit könnte für seismische Signale überprüft werden. Außerdem
könnten die Ceptren allgemein für eine Clusterung von seismischen Signalen analysiert werden.
Fast man die Ereignisse in den Sonogrammen als zweidimensionale Muster auf, können auch
Methoden des maschinellen Sehens (Computer Vision) verwendet werden. Hierbei wird oftmals versucht Konturen aus Bildern zu extrahieren, wobei zum Beispiel Fourier Deskriptoren sehr hilfreich sind. Außerdem wurde gezeigt, dass sich Fourier Deskriptoren eigenen um
Grenzen von Wörtern zu charakterisieren [50], was auch bei unterschiedlichen Einsätzen von
seismischen Ereignissen sehr hilfreich sein könnte.
Außerdem erfährt der Bereich der Neuronalen Netze im Moment wieder viel Aufmerksamkeit beim maschinellen Lernen. Im Bereich des Deep Learning mit den Deep Belief Networks
werden hier sehr gute Resultate erzielt. Hierbei werden sehr viele versteckte Schichten in einem Neuronalen Netz verwendet, die jeweils nacheinander trainiert werden.
Literaturverzeichnis
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1997.
Wissenschaftliche Buchgesellschaft,
[2] L. Yang, “Seismic search engine,” Poster ISS09 CTBTO, 2009.
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[4] M. Guggenmos, “Selbstorganisierende Karten in der seismischen Datenanalyse,” Diplomarbeit, Universität Stuttgart, 2009.
[5] M. Joswig, “Automated classification of local earthquake data in the bug small array,”
Geophysical Journal International, 1995.
[6] M. Joswig, “Automated seismogram analysis for the tripartite bug array: An introduction,” Computers & Geosciences Vol. 19. No. 2 pp. 203-206, 1993.
[7] C. M. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning.
Springer, Berlin, 2007.
[8] R. C. Tryon, Cluster analysis: correlation profile and orthometric (factor) analysis for
the isolation of unities. Edwards brother, inc., litho printers and publishers, 1939.
[9] A. Papoulis and S. U. Pillai, Probability, Random Variables, Stochastic Processes.
Mcgraw-Hill Higher Education, 2002.
[10] “Fdsn station map,” 2007, Abruf: 18.6.2010. [Online]. Available: http://www.fdsn.org/
stations/FDSNstations.htm
[11] E. Wielandt, Wechselwirkungen Jahrbuch. Universität Stuttgart, 1996, ch. Seismographen.
[12] E. Wielandt, New manual of seismological observatory practice (NMSOP).
GeoForschungsZentrum Potsdam, 2002, Abruf: 18.6.2010. [Online]. Available:
http://www.gfz-potsdam.de/portal/-?$part=CmsPart&docId=3541274
[13] J. Peterson, “Observations and modelling of background seismic noise,” Open-file report 93-322, U. S. Geological Survey, Albuquerque, New Mexico, 1993.
[14] P. Shearer, Introduction to Seismology.
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[15] C. M. R. Fowler, The Solid Earth: An Introduction to Global Geophysics. Cambridge
University Press, 2004.
[16] L. Braile, “Seismic wave demonstrations and animations,” 2010, Abruf: 18.6.2010.
[Online]. Available: http://web.ics.purdue.edu/~braile/edumod/waves/WaveDemo.htm
[17] B. A. Bolt, Earthquakes.
W H Freeman & Co, 2005.
[18] D. Gubbins, Time Series Analysis and Inverse Theory for Geophysicists.
University Press, 2004.
Cambridge
90 Literaturverzeichnis
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A. Nanoseismic Monitoring
Um sehr kleine Ereignisse aufzuspüren, wurde die Methode des Nanoseismic Monitoring
entwickelt. Es ist in der Seismologie üblich, durch stapeln der Seismogramme von mehreren
Stationen ein besseres Signal-Rausch-Verhältnis zu bekommen. Außerdem kann erst durch
mehrere Stationen eine Lokalisierung der Ereignisse geschehen. Um die Seismogramme zu
stapeln müssen jedoch die unterschiedlichen Zeitverzögerungen an einzelnen Messstationen
durch die verschiedenen Abstände zum Ereignisherd berücksichtigt werden.
Am Institut für Geophysik der Universität Stuttgart wurde das sogenannten Seismic Navigation System (SNS) entwickelt. Dies besteht aus vier sehr nah beieinander liegenden seismischen Stationen (siehe Abbildung A.1 für den genauen Aufbau). Es ermöglicht die Aufzeichnung sehr schwacher Ereignisse. Außerdem wurde eine Methode entwickelt, die die Signale
dieser vier Stationen in einem Sonogramm visualisiert, die sogenannten Supersonogramme.
Diese Methode bietet zum einen den Vorteil einer sehr übersichtlichen Darstellung vieler Stationen, zum anderen könnte diese Darstellung auch für eine Mustererkennung sehr hilfreich
sein.
North
1C
3C
Center
1C
West
1C
East
Abbildung A.1.: Seismic Navigation System. In der Mitte befindet sich ein sogenanntes
Dreikomponenten-Seismometer (3C), dass zwei vertikale sowie eine horizontale Bewegung misst. In einem Dreieck um diese Station, mit circa 100
Meter Abstand verteilt, befinden sich drei Einkomponenten-Seismometer
(1C), die nur eine vertikale Bewegung aufzeichnen.
Bei den Supersonogrammen werden zuerst die vier Sonogramme der vier Einzelstationen
eines SNS berechnet. Daraufhin wird ein neues „leeres“ Sonogramm erstellt, dass doppelte
Breite und Höhe der ursprünglichen Sonogramme hat. Dieses wird dann mit den Werten aus
den vier Sonogrammen, wie in Abbildung A.2 gezeigt, gefüllt. Es wird also jeweils eine Art
großer Pixel (entspricht 2x2 normalen Pixeln) des Supersonogramms mit den vier einzelnen
Pixeln der Sonogramme von den jeweils gleichen Frequenz- und Zeitpositionen gefüllt.
94
Nanoseismic Monitoring
Die Darstellung als Supersonogramme ist beim Nanoseismic Monitoring ohne Zeitkorrekturen möglich, da die Zeitverzögerungen von Ereignissen an den unterschiedlichen Stationen
eines SNS durch die kurzen Abstände zu gering sind um die Darstellung zu verfälschen. Bei
dem in dieser Arbeit verwendeten Datensatz stehen die Stationen für diese Methode zu weit
auseinander.
N
W
E
C
North
1C
3C
Center
1C
East
1C
West
SNS
W N
C
E
Abbildung A.2.: Aufbau eines Supersonogramms. N, C, W, E, entspricht North, Center, West
und East, also den vier Positionen der Stationen innerhalb eines SNS.
Erklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich diese Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen
Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
Die Arbeit wurde bisher keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegt und auch noch nicht veröffentlicht.
Stuttgart, 21. Juli 2010
Benjamin Sick

Clusterbildung von seismischen Signalen mittels Principal

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