Mathematik kollektiven Verhaltens - Fokker-Planck

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Mathematik kollektiven Verhaltens
Fokker-Planck-Gleichungen und Brown'sche Bewegung
Ralf Engbers
ralf.engbers@gmx.de
Sommersemester 2008
Ralf Engbers (ralf.engbers@gmx.de)
Sommersemester 2008
1 / 49
Inhalt des Vortrags
1
Fokker-Planck und Langevin Gleichungen
Mastergleichung
Fokker-Planck-Gleichungen
Brown'sche Bewegung
Langevin-Ansatz
2
Ω-Entwicklung
der Master-Gleichung
Überblick
Herleitung
Die makroskopische Gleichung
Linear Noise Approximation
3
The Diusion Type
Master-Gleichung Diusion Type
4
Unstabile Systeme
Das bistabile System
5
Quellen
Sommersemester 2008
2 / 49
Mastergleichung
Markov-Prozess
Stochastischer Prozess für
P
n
aufeinanderfolgende Zeiten mit
|n−1 (yn , tn |y1 , t1 ; . . . ; yn−1 , tn−1 )
1
= P1|1 (yn , tn |yn−1 , tn−1 )
Ein Markov-Prozess ist vollständig durch
bestimmt. Für
t <t <t
1
2
3
P (y , t ) und P | (y , t |y , t )
1
1
1
2
1 1
2
1
1
gilt dann
P (y , t ; y , t ; y , t ) = P (y , t ; y , t )P | (y , t |y , t ; y , t )
= P (y , t )P | (y , t |y , t )P | (y , t |y , t )
3
1
1
2
2
3
3
2
1
1
2
1
1
1
1 1
2
1 2
2
2
3
1
3
1
1
1 1
1
2
3
2
3
2
2
(1)
Sommersemester 2008
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Mastergleichung
Chapman-Kolmogorov-Gleichung
Integration von (1) über
y
2
(für
t <t <t
1
P (y , t ; y , t ) = P (y , t )
2
1
1
3
3
Beide Seiten durch
1
3
3
1
(2) nennt man die
Z
1
3)
ergibt
P | (y , t |y , t )P | (y , t |y , t )dy
1 1
2
2
1
1
1 1
3
3
2
2
2
P (y , t ) dividieren:
1
1
P | (y , t |y , t ) =
1 1
1
2
1
1
Z
P | (y , t |y , t )P | (y , t |y , t )dy
1 1
2
2
1
1
1 1
3
3
2
2
2
(2)
Chapman-Kolmogorov-Gleichung.
Sommersemester 2008
4 / 49
Mastergleichung
Übergangswahrscheinlichkeit
Deniere
P | (y , t |y , t ) = Tτ (y |y )
2
1 1
2
1
1
2
1
mit
τ = t2 − t1
Dann wird die Chapman-Kolmogorov-Gleichung (2) zu
Tτ +τ 0 (y |y ) =
3
Z
1
Tτ 0 (y |y )Tτ (y |y )dy
3
2
2
1
2
Auÿerdem gilt
Tτ +τ 0 = Tτ 0 Tτ
T (y |y ) = δ(y − y )
0
Z
2
1
2
1
Tτ (y |y )dy = 1
2
1
2
Sommersemester 2008
5 / 49
Mastergleichung
Master-Gleichung
Betrachten zuerst das Verhalten von
Tτ 0
für
τ 0 −→ 0
(durch
Taylorentwicklung (siehe [2]))
Tτ 0 (y |y ) = (1 − a τ 0 )δ(y − y ) + τ 0 W (y |y ) + o (τ 0 )
2
1
0
2
1
2
1
(3)
mit der Übergangsrate (Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeitschritt)
W (y |y ) =
2
1
∂ P (y2 , t2 |y1 , t1 )
≥0
∂t
|t2 =t1
und
a (y ) =
0
1
Z
W (y |y )dy
2
1
2
Sommersemester 2008
6 / 49
Mastergleichung
Master-Gleichung
Einsetzen von (3) in Chapman-Kolmogorov-Gleichung ergibt
Tτ +τ 0 (y |y ) =
3
Z
=
1
Z
1
Tτ 0 (y |y )Tτ (y |y )dy
3
2
2
1
2
− a0 (y3 )τ 0 δ(y3 − y2 ) + τ 0 W (y3 |y2 ) Tτ (y2 |y1 )dy2
Z
− a0 (y3 )τ 0 δ(y3 − y2 )Tτ (y2 |y1 )dy2
Z
+ τ 0 W (y3 |y2 )Tτ (y2 |y1 )dy2
Z
0
= 1 − a0 (y3 )τ Tτ (y3 |y1 )dy2 + τ 0 W (y3 |y2 )Tτ (y2 |y1 )dy2
=
1
Sommersemester 2008
7 / 49
Mastergleichung
Master-Gleichung
Betrachte den Grenzübergang von
τ 0 −→ 0,
ergibt Dierentialversion der
Chapman-Kolmogorov-Gleichung
d
dτ
Tτ (y |y ) =
3
Z
1
W (y |y )Tτ (y |y ) − W (y |y )Tτ (y |y )dy ,
3
2
2
1
2
3
3
1
2
bzw. allgemeiner
∂ P (y , t )
=
∂τ
Für eine diskrete
Z
W (y |y 0 )P (y 0 , t ) − W (y 0 |y )P (y , t )dy 0
y -Variable
∂ P (y , t ) X
=
W (y |y 0 )P (y 0 , t ) − W (y 0 |y )P (y , t )
∂τ
0
(4)
y
Sommersemester 2008
8 / 49
Mastergleichung
Master-Gleichung
(4) nennt man die Master-Gleichung
Master-Gleichung sowas wie Gewinn-Verlust-Gleichung für
Wahrscheinlichkeit jedes Zustands
yi
Master-Gleichung meist für diskrete Markov-Prozesse benutzt
Fokker-Planck-Gleichung meist für kontinuierliche Markov-Prozesse
benutzt
Sommersemester 2008
9 / 49
Allgemeines über die Fokker-Plank-Gleichung
Die Fokker-Planck-Gleichung ist eine spezielle Art von Master-Gleichung
und hat die Form
2
∂
1 ∂
∂ P (y , t )
= − A(y )P +
B (y )P
∂t
∂y
2 ∂y 2
|
{z
} |
{z
}
Drift
für
(5)
Diusion
A(y ), B (y ) dierentierbar und B (y ) > 0. Besondere Eigenschaften
1
Dierentialgleichung, keine Integro-Dierentialgleichung
2
Bestimmung von
(5) heiÿt linear, falls
A(y ) und B (y ), nicht vom ganzen Kern W (y |y 0 )
A lineare Funktion von y
und
B
konstant
Sommersemester 2008
10 / 49
Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung
Betrachte die Übergangsrate
dem Startpunkt
y 0:
W (y |y 0 ) = W (y 0 ; r )
W
mit
als Funktion der Gröÿe des Sprungs
r
und
r = y − y0
Dann folgt für die Master-Gleichung
∂ P (y , t )
=
∂t
Z
W (y − r ; r )P (y − r , t )dr − P (y , t )
Z
W (y ; −r )dr
(6)
Generelle Annahme:
W (y 0 ; r ) ≈ 0
W (y 0 + ∆y ; r ) ≈ W (y 0 ; r )
für
|r | > δ
für
|∆y | < δ
Sommersemester 2008
11 / 49
Herleitung der Fokker-Planck-Gleichung
Taylorentwicklung des ersten Integrals von (6) bezüglich des ersten
Arguments ergibt
∂ P (y , t )
=
∂t
Z
+
∂
(W (y ; r )P (y , t )) dr
∂y
Z
(W (y ; r )P (y , t )) dr − P (y , t ) W (y ; −r )dr
W (y ; r )P (y , t )dr −
1
Z
2
r
2
∂2
∂y 2
Z
r
Dann folgt
∂ P (y , t )
∂
=−
(a1 (y )P ) +
∂t
∂y
∂2
(a2 (y )P )
2 ∂y 2
1
(7)
und (7) heiÿt Fokker-Planck-Gleichung mit den Sprungmomenten
R
aν (y ) = r ν W (y ; r ) dr .
Sommersemester 2008
12 / 49
Multivariate lineare Fokker-Planck-Gleichung
Für
r
Variablen
yi
lässt sich die Fokker-Planck-Gleichung verallgemeinern zu
X
∂ P (y , t )
∂
=−
Aij yj P +
∂t
∂ yi
i ,j
mit
Bij
Aij , Bij
1
X
2
i ,j
Bij
∂2P
∂ yi ∂ yj
Koezientenmatrizen.
ist symmetrisch,
Aij
in der Regel nicht
Sommersemester 2008
13 / 49
Brown'sche Bewegung
Was ist Brown'sche Bewegung?
Anschaulich: zufällige Bewegung eines schweren Partikels in einem Fluid
aus leichten Partikeln
Markov-Eigenschaft
Geschwindigkeit hat bestimmten Wert
V ⇒ vorne mehr Kollisionen,
als von hinten; Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Veränderung
in nächsten Zeitschritt
∆t
nur abhängig von
V , nicht von früheren
δV
Werten
Betrachte Sequenz von Positionen
Xk + − Xk
1
X , X , . . ., jede Veränderung
1
2
unterliegt Zufall, aber Wahrscheinlichkeitsverteilung hängt
nicht von vorherigem Verlauf ab (Geschwindigkeit ändert sich sehr oft
zwischen
Xk
und
Xk +
1)
Sommersemester 2008
14 / 49
Brown'sche Bewegung
Brown'sche Bewegung als Fokker-Planck-Gleichung
Partikel springt zufällig auf der X-Achse, wobei die Wahrscheinlichkeit für
groÿe Sprünge stark abnimmt. Auÿerdem sei die Wahrscheinlichkeit
symmetrisch und unabhängig vom Startpunkt
a =
1
h∆X iX
=0
∆t
a =
2
h(∆X )2 iX
= const
∆t
Damit lautet die Fokker-Planck-Gleichung
∂ P (X , t )
a2 ∂ 2 P (X , t )
=
∂t
2
∂X 2
(8)
und man sieht, dass (8) eine Diusionsgleichung mit Diusionskoezient
1
D= a =
2
2
h(∆X )2 iX
2∆t
Sommersemester 2008
15 / 49
Brown'sche Bewegung
Brown'sche Bewegung mit Driftterm
Betrachte Brown'sches Partikel unter zusätzlicher konstanter Kraft, z.B.
Gravitation
Mg
in Richtung
−X ;
schreibe
Mγ
für Reibung des Partikels in
Fluid, dann ist die durchschnittliche Driftgeschwindigkeit
a =
1
h∆X iX
g
=−
∆t
γ
− gγ ,
also
a = 2D
2
und damit die Fokker-Planck-Gleichung
∂ P (X , t )
g ∂P
∂2P
=
+D
∂t
γ ∂X
∂X 2
(9)
Sommersemester 2008
16 / 49
Brown'sche Bewegung
Zusammenfassung bis jetzt
Abbildung: Quelle: [2]
Sommersemester 2008
17 / 49
Langevin-Ansatz
Langevin-Gleichungen
Alternativ zur Behandlung der Brown'schen Bewegung, betrachte die
Gleichung
V
= −γ V + L(t )
t
d
(10)
d
mit
L(t ) normalverteilte Zufallsvariable =⇒ (10) ist stochastische
Dierentialgleichung
Wenn gilt
Dämpfungsterm ist durchschnittliche Kraft, also
L
0
variiert schnell in der Zeit, d.h. hL(t )L(t )i
hL(t )i = 0
= δ(t − t 0 )
heiÿt (10) Langevin-Gleichung
Sommersemester 2008
18 / 49
Langevin-Ansatz
Äquivalenz von Langevin-Gleichung und
Fokker-Planck-Gleichung
Für einen häug vorkommenen linearen Fall ist die Lösung der
Fokker-Planck-Gleichung gegeben durch eine Gauÿ-Funktion.
Berechnet man den Erwartungswert und die Varianz von
V
aus dem
Langevin-Ansatz, entsprechen diese gerade dem Erwartungswert und der
Varianz der Lösung der Fokker-Planck-Gleichung.
Da
L als normalverteilt angenommen wurde, ist auch V
normalverteilt und
da eine Gauÿ-Verteilung eindeutig durch ihren Erwartungswert und ihre
Varianz bestimmt ist, folgt die Äquivalenz der Langevin-Gleichung zur
linearen Fokker-Planck-Gleichung (siehe [2])
Sommersemester 2008
19 / 49
Langevin-Ansatz
Inhalt des Vortrags
1
Mastergleichung
Brown'sche Bewegung
Langevin-Ansatz
2
Ω-Entwicklung
Überblick
Herleitung
3
The Diusion Type
4
Unstabile Systeme
5
Quellen
Sommersemester 2008
20 / 49
Ω-Entwicklung der Master-Gleichung
Überblick
Ziel einer Ω-Entwicklung
Master-Gleichungen oft nicht explizit lösbar
=⇒
benötigen systematische
Approximationsmethode, in diesem Fall eine Potenzreihenentwicklung im
Parameter
Ω
Grundsätzliche Idee:
deterministischen Teil, makroskopische Gleichung, aus einer
gegebener Master-Gleichung extrahieren
stochastischen Teil nach Systemgröÿe entwickeln, d.h. die Gröÿe der
Fluktuationen bestimmen
Sommersemester 2008
21 / 49
Herleitung
Einführung des Parameters Ω
Ω-Entwicklung
involviert immer zwei Gröÿenordnungen: mesoskopisch und
makroskopisch
Oensichtlich: Gröÿe des Systems misst den relativen Einuss von
Fluktuationen
Parameter
Ω
ist Verhältnis zwischen Skala der Gröÿe der Sprünge
Skala auf der die makroskopischen Eigenschaften des Systems
(x )
(X )
und
gemessen werden
x=
X
Ω
Sommersemester 2008
22 / 49
Herleitung
Formelle Herleitung der Ω-Entwicklung
Allgemeine Form der Master-Gleichung für Variable
Ṗ (X , t ) =
Schreiben W
r = X − X0
Z
X
WΩ (X |X 0 )P (X 0 , t ) − WΩ (X 0 |X )P (X , t )dX 0
(11)
wieder als Funktion des Startpunkts und der Sprunglänge
WΩ (X |X 0 ) = WΩ (X 0 ; X − X 0 ) = WΩ (X 0 ; r )
Schreiben nun
WΩ (X ; X − X ) = Φ
0
woraus direkt
0
X0
Ω
;X − X
0
= Φ(x 0 ; r )
(12)
WΩ (X 0 |X ) = Φ(x ; −r ) folgt.
Sommersemester 2008
23 / 49
Herleitung
Kanonische Form von (12)
0 0 X
X
−1
−2
WΩ (X |X ) = f (Ω) Φ0
; r + Ω Φ1
; r + Ω Φ2 + . . .
Ω
Ω
0
passt zu fast allen in der Praxis auftretenden Fällen
Einsetzen in die Master-Gleichung (11)
∂ P (X , t )
=
∂Zt X −r
X −r
−1
f (Ω)
Φ0
; r + Ω Φ1
; r + . . . P (X − r , t )dr
Ω
Ω
Z X
X
−1
− f (Ω)
Φ0
; −r + Ω Φ1
; −r + . . . dr · P (X , t )
Ω
Ω
(13)
Sommersemester 2008
24 / 49
Herleitung
Müssen noch überlegen wie
P (X , t ) von Ω abhängt. Als Startbedingung
haben wir
P (X , 0) = δ(X − X )
0
mit
X
0
von der Gröÿenordnung
Ω
Erwarten Entwicklung
Abbildung: Quelle [1]
Sommersemester 2008
25 / 49
Herleitung
Formal bedeutet das
1
X = Ωφ(t ) + Ω 2 ξ
Schreibe
P (X , t ) als Funktion von ξ =⇒ P
unabhängig von
Ω
Betrachte Transformation
1
P (X , t ) = P (Ωφ(t ) + Ω 2 ξ, t ) = Π(ξ, t )
mit
ν
1ν ∂ P
∂ν Π
2
=
Ω
∂ξ ν
∂X ν
1 dφ ∂Π
∂P
dφ ∂ P
∂P
∂Π
=
+Ω
=
+ Ω2
∂t
∂t
dt ∂ X
∂t
dt ∂ξ
Sommersemester 2008
26 / 49
Herleitung
Isgesamt folgt dann für (13)
1 dφ ∂Π
∂Π(ξ, t )
− Ω2
=
∂t
dt ∂ξ
Z
1
1
1
f (Ω) Φ0 φ(t ) + Ω− 2 (ξ − Ω− 2 r ); r Π(ξ − Ω 2 r , t )dr
Z
1
1
1
−1
+ Ω f (Ω) Φ1 φ(t ) + Ω− 2 (ξ − Ω− 2 r ); r Π(ξ − Ω 2 r , t )dr + . . .
Z
1
− f (Ω) Φ0 φ(t ) + Ω− 2 ξ; −r dr · Π(ξ, t )
Z
1
−1
− Ω f (Ω) Φ1 φ(t ) + Ω− 2 ξ; −r dr · Π(ξ, t ) − . . .
Sommersemester 2008
27 / 49
Herleitung
Taylorentwicklung der ersten beiden Terme um
ξ
ergibt
1 dφ ∂Π
∂Π(ξ, t )
− Ω2
=
∂t
dt ∂ξ
Z
1
1
∂
− Ω− 2 f (Ω)
r Φ0 φ(t ) + Ω− 2 ξ, r dr · Π(ξ, t )
∂ξ
Z
1 −1
∂2
2
− 21
+ Ω f (Ω)
r
Φ
φ(
t
)
+
Ω
ξ,
r
dr · Π(ξ, t )
0
2
∂ ξ2
Z
3
∂3
1
3
− 12
ξ,
r
dr · Π(ξ, t )
− Ω− 2 f (Ω)
r
Φ
φ(
t
)
+
Ω
0
3!
∂ ξ3
Z
∂
− 23
− 21
− Ω f (Ω)
r Φ1 φ(t ) + Ω ξ, r dr · Π(ξ, t ) + O (Ω−2 )
∂ξ
Sommersemester 2008
28 / 49
Herleitung
Zur Vereinfachung deniere
αν,λ (x ) =
Z
r ν Φλ (x ; r )dr
und skaliere die Zeit durch
Ω−1 f (Ω)t = τ
Sommersemester 2008
29 / 49
Herleitung
Aus der Gleichung wird dann
1 dφ ∂Π
∂Π(ξ, t )
− Ω2
=
∂τ
dτ ∂ξ
1 ∂
1
− Ω2
α1,0 φ(τ ) + Ω− 2 ξ · Π
∂ξ
2
1 ∂
− 12
+
α
φ(τ
)
+
Ω
ξ
·Π
2,0
2 ∂ ξ2
3
1 ∂
1
− 12
ξ
·Π
− Ω− 2
α
φ(τ
)
+
Ω
3,0
3!
∂ ξ3
− 12 ∂
− 12
−Ω
α1,1 φ(τ ) + Ω ξ · Π + O (Ω−1 )
∂ξ
Sommersemester 2008
30 / 49
Herleitung
Durch Entwicklung der Sprungmomente erhält man die systematische
Entwicklung der Master-Gleichung
1 dφ ∂Π
∂Π(ξ, t )
− Ω2
=
∂τ
dτ ∂ξ
1
1
∂Π
∂
1
∂
− Ω 2 α1,0 (φ)
− α0 1,0 ξΠ − Ω− 2 α00 1,0 (φ) ξ 2 Π
∂ξ
∂ξ
2
∂ξ
2
2
1
∂ Π 1
1
∂
+ α2,0 (φ) 2 + Ω− 2 α0 2,0 (φ) 2 ξΠ
2
∂ξ
2
∂ξ
1
1
1
∂3 Π
∂Π
− Ω− 2 α3,0
− Ω− 2 (φ)
+ O (Ω−1 )
3
3!
∂ξ
∂ξ
wobei
(14)
φ = φ(τ )
Sommersemester 2008
31 / 49
Die makroskopische Gleichnung
Ω ist
1
Ω2
Für groÿe
Ordnung
(14) keine geeignete Entwicklung wegen der Terme der
Setzen
dφ
dτ
= α1,0 (φ)
(15)
Ziel ist Master-Gleichung mit Startbedingung
P (X , 0) = δ(X − X ) zu
0
lösen, wir setzen
φ(0) =
X
0
Ω
= x0
(16)
Durch (15) und (16) denierte Funktion φ benutzt man in Transformation
1
= Ωφ( ) + Ω 2 ξ ; bestimmt den makroskopischen Teil von derart, dass
1
Fluktuationen von der Gröÿenordnung Ω 2
X
t
(15) nennt man
X
makroskopische Gleichung
Sommersemester 2008
32 / 49
Stationäre Lösungen der makroskopischen Gleichung
Stationäre Lösungen von (15) sind Nullstellen von
Für verschiedene Arten von Nullstellen von
(Plot
φ̇ ≡ α1,0 (φ)
vs
α1,0
α1,0 (φ) = 0
betrachte Hodogramm
φ)
h > 0 const)
Wir nehmen zunächst an (
α 1,0 (φ) ≤ −h < 0 ∀ φ
0
(17)
Sommersemester 2008
33 / 49
Denition Linear Noise Approximation
Gleichung für
1
Ω2
Π(ξ, τ ),
Um die Terme mit
haben wir uns gekümmert, also haben wir eine
1
Ω− 2 ist.
die eine geeignete Entwicklung in
Betrachte Terme der Gröÿenordnung
Ω0
∂Π(ξ, τ )
∂
1
∂2 Π
= − α0 1,0 (φ) ξΠ + α2,0 (φ) 2
∂τ
∂ξ
2
∂ξ
(18)
(18) ist eine Fokker-Planck-Gleichung mit zeitabhängigen (durch
Koezienten. Diese Approximation nennt man
φ)
linear noise approximation.
Sommersemester 2008
34 / 49
Gleichungen zur bestimmung der Momente
Lösung zu (18) ist Gauÿ'sche Normalverteilung, d.h. genügt ersten beiden
Momente von
ξ
zu bestimmen
Folgende Gleichungen bestimmen beide Momente, sofern Startwert bekannt
∂τ hξi = α0 1,0 (φ)hξi
∂τ hξ 2 i = 2α0 1,0 (φ)hξ 2 i + α2,0 (φ)
(19)
∂τ hhξ 2 ii = 2α0 1,0 (φ)hhξ 2 ii + α2,0 (φ)
Startuktuationen verschwinden
hξi0 = hξ 2 i0 = hhξ 3 i i0 = 0
(20)
Sommersemester 2008
35 / 49
Zusammenfassung
Ziel: Lösung der Master-Gleichung mit Startbedingung
Vorgehen:
1
Löse makroskopische Gleichung (15) mit Startbedingung (16); nenne
Lösung
φ(τ |x0 )
φ(τ |x0 )
2
Setze
3
Benutze die Ergebnisse um Mittel und Varianz der originalen Variable
X
in (19) ein und löse mit Startbedingung (20)
zu nden
1
hX iτ = Ωφ(τ |x0 ) + Ω 2 hξ iτ
hhX 2 iiτ = Ωhhξ 2 iiτ
und nehme
P (X , t ) als Gauÿverteilung mit diesem Mittel und dieser
Varianz
Sommersemester 2008
36 / 49
Inhalt des Vortrags
1
Mastergleichung
Brown'sche Bewegung
Langevin-Ansatz
2
Ω-Entwicklung
Überblick
Herleitung
3
The Diusion Type
4
Unstabile Systeme
5
Quellen
Sommersemester 2008
37 / 49
The Diusion Type
Verletzung der Stabilitätsbedingung
Betrachten nun Master-Gleichungen für die die Stabilitätsbedingung nicht
gilt
α1,0 (φ) ≡ 0
=⇒ φ(τ ) = (const .) = φ(0), d.h. kleine
Startwert δφ(0) führen zu δφ(τ ) konstant über
Makroskopische Gleichung
Abweichungen vom
die Zeit
Makroskopische Lösungen unstabil, Varianz wächst linear
Ist Startverteilung delta-Funktion haben Fluktuationen gleiche
Gröÿenordnung wie makroskopischer Teil nach einer Zeit
τ ∼ Ωα2,0 (φ)
Nach dieser Zeit funktioniert die
Ω-Entwicklung
nicht mehr, Teilung von
Fluktuation und makroskopischen Teil nicht länger möglich
Sommersemester 2008
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The Diusion Type
Ω-Entwicklung für intensive Variable
Leiten nun
Ω-Entwicklung
für
x=
X
Ω her
∂ P (x , t )
=
∂Zt
n o
r r r
f (Ω)
Φ0 x − ; r + Ω−1 Φ1 x − ; r + . . . P (x − , t )dr
Ω
Ω
Ω
Z
− f (Ω)
Φ0 (x ; −r ) + Ω−1 Φ1 (x ; −r ) + . . . dr · P (x , t )
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The Diusion Type
Ω-Entwicklung für intensive Variable
Entwicklung in
Ω−1
und bekannte Schreibweise mit
αν,λ
2
∂ P (x , t )
∂
1 ∂
−2
= Ω f (Ω) − α1,1 (x )P +
α2,0 (x )P
∂t
∂x
2 ∂x 2
2
3
1 ∂
1 ∂
∂
−3
α2,1 (x )P −
α3,0 (x )P −
α2,1 (x )P
+ Ω f (Ω)
2 ∂x 2
3! ∂ x 3
∂x
+ f (Ω)O (Ω−4 )
Sommersemester 2008
(21)
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The Diusion Type
Vergleich der Entwicklungen
Es gibt entscheidende Unterschiede zwischen (14) und (21)
Dominante Term von (14) fehlt, keine Extraktion des makroskopischen
Teils von
X
möglich
System hat keine Neigung sich in die eine oder andere Richtung zu
entwickeln
=⇒
Fluktuationen bestimmen Entwicklung von
P
−1 kleiner
Zeitskala der Änderung um Faktor Ω
P
hat keinen deutlichen Peak, d.h.
α's
nicht um einen zentralen Wert
entwickelbar, bleiben als nichtlineare Funktionen in der Gleichung
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The Diusion Type
Diusion Approximation
Erste Zeile von (21) enthält Hauptterme
∂ P (x , τ )
∂
= − α1,1 (x )P +
∂τ
∂x
mit der neuen Zeitvariable
(22) heiÿt
∂2
α2,0 (x )P
2 ∂x 2
1
(22)
τ = Ω−2 f (Ω)t .
diusion approximation und ist nichtlineare
Fokker-Planck-Gleichung.
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The Diusion Type
Inhalt des Vortrags
1
Mastergleichung
Brown'sche Bewegung
Langevin-Ansatz
2
Ω-Entwicklung
Überblick
Herleitung
3
The Diusion Type
4
Unstabile Systeme
5
Quellen
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Unstabile Systeme
Einleitung
Begriichkeiten:
macrostate jeder Wert der makroskopischen Variable
φ;
zeitabhängig:
Lösung der makroskopischen Gleichung (15) / stationär:
Lösung von
α1,0 (φ) = 0
mesostate jede Wahrscheinlichkeitsverteilung
P ; zeitabhängig: Lösung
der Master-Gleichung / stationär: zeitunabhängige Lösung
Zunächst gelte noch (17), dann
φs
gehört zum stationären mesostate
scharfen Peak bei
Ωφs
hat und für
P s (X )
einziger stationärer macrostate und
P s (X ) im dem Sinne, dass P s (X ) einen
Ω→∞
gegen
δ -Funktion
strebt
Solche Zuordnung für jeden zeitabhängigen macrostate möglich, allerdings
weder eindeutig noch genau deniert (einzige Einschränkung: Weite kleiner
1
als Gröÿenordnung Ω 2 )
Sommersemester 2008
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Unstabile Systeme
Beliebige mesostates
mesostates die nicht aus einem scharfen Peak bestehen beschreiben
Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine Menge von macrostates, z.B.
P (X ) = π δ(X − X ) + π δ(X − X )
1
mit
X 6= X
1
2
und
1
2
(23)
2
π1 , π2 > 0, π1 + π2 = 1
φ1 = XΩ1 und φ2 = XΩ2 , d.h. System ist mit
macrostate φ1 und mit Wahrscheinlichkeit π2 in
(23) gehört zu zwei macrostates
Wahrscheinlichkeit
macrostate
π1
in
φ2
Analog lässt sich jede ache Verteilung aufteilen in eine Summe scharfer
Peaks, jedoch nicht eindeutig, die Form und Weite der individuellen Peaks
kann variieren (in vernünftigen Grenzen)
Sommersemester 2008
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Unstabile Systeme
Bistabilität
α1,0 (φ)
habe die Form
Drei stationäre macrostates
Solche Systeme heiÿen
φa , φb , φc ,
bistabil
wobei
φa , φ c
lokal stabil,
φb
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instabil
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Unstabile Systeme
Verhalten von bistabilen Systemen
Betrachte lokal stabile Lösung
φa ;
da
α0 1,0 (φa ) < 0
existiert eine
Umgebung ∆a in der (17) gilt
=⇒ jeder macrostate φ(t ) der bei φ(0) innerhalb von ∆a startet geht gegen
φa ; auÿerdem bleibt der zugehörige mesostate P (X , t ) scharfer Peak (Ω
groÿ genug); Entwicklung von P (X , t ) durch Ω-Entwicklung approximierbar
Kleiner Schönheitsfehler: Wahrscheinlichkeit für groÿen Sprung über
φb
hinweg nicht gleich 0!
mesostate mit scharfen Peak in
∆a
überlebt nicht für immer,
Wahrscheinlichkeit nimmt langsam ab zugunsten eines Peaks nahe
Zwar
φa
φc
stabile Lösung der makroskopischen Gleichung, aber zugehörige
mesostate nur langlebig, nicht strikt stabil
Solch ein mesostate heiÿt
metastabil
escape time kann leicht das mehrfache Alter des Universums sein
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Unstabile Systeme
Splitting Probability
Starten bei Punkt nahe bei makroskopisch unstabilen Punkt
Sprünge über
φb
φb
in
Da
hinweg nicht unwahrscheinlich, daher existiert nicht
vernachlässigbare Wahrscheinlichkeit, dass das System nicht
makroskopischen Pfad nach
φa
folgt, sondern in
φc
endet
D.h. in der Nähe von Instabilitäten führen Fluktuationen zu
makroskopischen Eekten
=⇒
nicht möglich makroskopischen Teil und
Fluktuationsterm zu trennen wie in
Ω-Entwicklung
Zur Berechnung dieser splitting probability siehe [1].
Fazit: es existiert kein zum makrostate
ursprünglich in
φb
φb
zugehöriger mesostate; jede
gepeakte Wahrscheinlichkeitsverteilung verschwindet mit
der Zeit
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Quellen
Quellen
N.G. Van Kampen
Stochastic Processes in Physics and Chemistry Minimal Residual
(GMRes) Method
J. Lemm
Econophysics WS1999/2000: Notizen zur Vorlesung über Optionen 2:
Der klassische Ansatz nach Black-Scholes
http://pauli.unimuenster.de/∼lemm/econoWS99/options2/options2.html
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Mathematik kollektiven Verhaltens - Fokker-Planck

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