Beispiele: Multiplizieren und Invertieren von Matrizen

Beispiele: Multiplizieren und Invertieren von
Matrizen
Dr. Christian Serpé
Universität Münster
15. September 2010
Dr. Christian Serpé (Universität Münster) Beispiele: Multiplizieren und Invertieren von Matrizen
15. September 2010
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Beispiel: Matrix Multiplikation I
Zunächst ein einfaches Beipiel:
 
3
1 −4 7 · 5 = 1 · 3 + (−4) · 5 + 7 · 0 = −17
0
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Beispiel: Matrix Multiplikation II


1 0
2
1
9
A := −2 1 , B :=
0 −1 −2
0 3
2
1
9
0
−1
−2
1 0
2
1
9
−2 1
-4
-3
-20
0 3
0
-3
-6


2
1
9
A · B = −4 −3 −20
0 −3 −6
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Beispiel: Invertieren einer Matrix
Wie wollen die Matrix

1
A :=  3
1
0
1
2

-1
-3 
-2
invertieren, dass heisst wir suchen eine 3 × 3 Matrix B mit


1 0 0
A · B = I3 = 0 1 0
0 0 1
Dazu schreiben betrachten wie die folgende erweiterte Matrix:


1 0 -1 1 0 0
 3 1 -3 0 1 0 
1 2 -2 0 0 1
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Invertieren einer Matrix
Jetzt verwenden wir die folgenden Operationen
Addition eines reellen Vielfaches einer Zeile zu einer anderen
Multiplikation einer Zeile mit einer von 0 verschiedenen Zahl
Vertauschen von Zeilen
so, dass am Ende auf der linken Seite die Einheitsmatrix I3 steht. Dann
ist die rechte Seite die zu A inverse Matrix.
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Beispiel: Invertieren einer Matrix

1
 3
1
IIneu = IIalt − 3Ialt und IIIneu

1
 0
0
0
1
2
-1
-3
-2
1
0
0
0
1
0

0
0 
1
= IIIalt − Ialt
0
1
2
-1
0
-1
1
-3
-1
0
1
0

0
0 
1
0
1
0
-1
0
-1
1
-3
5
0
1
-2

0
0 
1
IIIneu = IIIalt − 2IIalt

1
 0
0
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Beispiel: Invertieren einer Matrix

1
 0
0
0
1
0
-1
0
-1
1
-3
5
0
1
-2
Ineu = Ialt − IIIalt und IIIneu = (−1) · IIIalt

1 0 0 -4 2
 0 1 0 -3 1
0 0 1 -5 2

0
0 
1

-1
0 
-1
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Invertieren einer Matrix
Wir machen die Probe:


 

1 0 −1
−4 2 −1
1 0 0
3 1 −3 −3 1 0  = 0 1 0
1 2 −2
−5 2 −1
0 0 1
Stimmt!
Führt diese Verfahren (bei richtiger Anwendung) nicht zum Ziel, so ist
die Matrix mit der man gestartet ist, nicht invertierbar.
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Inverse Matrix und lineare Gleichungssysteme
Wir wollen nun an diesem Beipsiel sehe, wir ein die Lösung eines
Gleichungssystem mit der Inversen Matrix bestimmen können.
Wir betrachten das folgenden lineare Gleichungssystem:
x1
3x1
x1
+
+
+
x2
2x2
-
x3
3x3
2x2
=
=
=
3
5
1
Das entspricht der Matrixgleichung:
   
x1
3
A · x2  = 5
x3
1
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Inverse Matrix und lineare Gleichungssysteme
Dann folgt wie wir eben gesehen haben:
 
  
    
x1
3
−4 2 −1
3
−3
x2  = B · 5 = −3 1 0  · 5 = −4
x3
1
−5 2 −1
1
−6
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