F 2050

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F 2050

Bauforschung
Untersuchung der Eigenschaften dauerelastischer Dichtungsmassnahmen
zur Körperschallisolation von
Fugenkonstruktionen im Hochbau
F 2050
Fraunhofer IRB Verlag
F 2050
Bei dieser Veröffentlichung handelt es sich um die Kopie
des Abschlußberichtes einer vom Bundesmini sterium für
Verkehr, Bau- und Wohnungswesen -BMVBW- geförderten Forschungsarbeit. Die in dieser Forschungsarbeit
enthaltenen Darstellungen und Empfehlungen geben
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Fraunhofer-Institut für Bauphysik
Stuttgart
Amtlich anerkannte Prüfstelle für die Zulassung neuer Baustoffe, Bauteile und Bauarten
Institutsleiter: Prof. Dr. F. P. Mechel
IBP-Bericht BS 140/86
UNTERSUCHUNG DER EIGENSCHAFTEN DAUERELASTISCHER DICHTUNGSMAßNAHMEN
ZUR KÖRPERSCHALLISOLATION VON FUGENKONSTRUKTIONEN IM HOCHBAU
Untersuchungen durchgeführt im
Fraunhofer-Institut für Bauphysik (IBP), Stuttgart
Bereich Akustik
gefördert durch das
Bundesministerium für Raumordnung,
Bauwesen und Städtebau
Az.: B I 5 - 80 01 82 -21
Projekt-Nr.: 100 404
Der Bericht umfaßt insgesamt
438 Seiten und 114 numerierte Bilder,
einen Haupteil (268 Seiten Text, 112 Bilder, incl. 5 Farbfotos)
und 24 Anhänge (102 Seiten Text, 78 Bilder)
Sachbearbeiter:
Abteilungsleiter:
Dipl.-Phys. U. Stephenson
Dr.-Ing. H. Ertel
Stuttgart, den 26. August 1986/Hy
Institutsleiter:
Prof.Dr.rer. at. F.P. Mechel
3
INHALT
Seite
0.
VORWORT
11
1.
METHODIK
16
1.1
Mathematische Darstellung des Problems 16
1.2
Zusammenhang zwischen den elastischen Modulen und der Körperschalldämmung
18
1.3
Zur Schlüsselfunktion des komplexen dynamischen E-Moduls 19
1.4
Klassifizierung von Fugendichtstoffen hinsichtlich ihrer mechanischen Eigenschaften
20
1.5
Weiterverwendung gewonnener Meßdaten
21
2.
GRUNDLAGEN
23
2.1
Definition elastischer Module und ihr Zusammenhang 23
2.2
Abhängigkeit des E-Moduls von anderen Parametern 26
2.2.1 Frequenz- und Temperaturabhängigkeit 27
2.2.2 Eine phänomenologische Theorie
30
2.2.3 Die WLF-Beziehung
33
2.2.4 Weichmacher
35
2.2.5 Amplitudenabhängigkeit / Nichtlinearität 38
2.2.6 Vorgeschichte
42
2.3
Formfaktor, Formfunktion
43
2.4
Schlußfolgerungen
44
2.4.1 Auswahl des wesentlichen Parameters: der Frequenz
45
2.4.2 Anforderungen an die Meßtechnik
46
3.
AUSWAHL DER MESSTECHNIK
47
Biegeschwingungsversuch
47
3.2
Torsionsschwingungsversuch und andere Resonanzversuche 49
3.3
Weitere Versuche zur Bestimmung elastischer Module freie Dehnwellen-Ausbreitung
51
3.1
4
3.4
Erzwungene Schwingungen - Impedanzmeßtechnik 53
4.
WEITERENTWICKLUNG DER IMPEDANZMESSTECHNIK
56
4.1
Abschätzung von Meßparametern
56
4.2
Direktes Meßverfahren an dünnen Proben mit Sinus-Anregung in Analog-Meßtechnik
60
4.2.1 Mechanischer Aufbau einer einfachen Apparatur 60
4.2.2 Schaltung
61
4.2.3 Vor-Massen-Kompensation
64
4.2.4 Erste Meßergebnisse an Fugendichtstoffproben 66
4.3
Digitalisierung der Meßtechnik 69
4.3.1 Vereinfachte Schaltung 71
4.3.2 Funktionsweise des Analysators
73
4.3.3 Umrechnung der Meßwerte in E-Module
77
4.3.4 Programm-Beschreibung EMODSINMES 78
4.3.5 Ergebnisse
83
4.4
Amplitudenabhängigkeit der Meßergebnisse / Konstanthaltung der Amplituden verschiedener Meßgrößen
85
4.5
Breitband-Anregung
91
4.5.1 Probleme
92
4.5.2 Programm-Beschreibung BBTFMESMOD 96
4.5.3 Ergebnisse
98
4.6
Erweiterung der Meßapparatur
100
5
4.6.1 Allgemeine Erfordernisse
100
4.6.2 Ermöglichung statischer Vorlasten durch Symmetrie
101
4.6.3 Ermöglichung von wahlweise Dehn- oder Schubbeanspruchung
durch Kreuzform
106
4.6.4 Ermöglichung einer Probentemperierung 109
4.7
Messung und Berechnung störender Einflußgrößen
115
4.7.1 Bestimmung der Eichfaktoren der Schwingungsaufnehmer
115
4.7.2 Bestimmung mitschwingender Massen 118
4.7.3 Messungen an der nicht-starren Probenrückbefestigung, Simulation ihrer komplexen Trägheit
121
4.8
130
Ermöglichung der Bestimmung des E-Moduls aus Impedanz- messungen auch an relativ dicken Proben - "Wellenkorrektur"
4.8.1 Mathematische Beschreibung
130
4.8.2 Ein Iterationsverfahren
133
4.8.3 Test des Iterationsverfahrens durch Simulation viscoelastischer Proben
134
4.8.4 Diskussion der Ergebnisse mit und ohne "Wellenkorrektur"
135
4.9
4.10
Kritische Betrachtung der bisherigen Meßergebnisse
- Einfluß der vor der Probe mitschwingenden Masse
139
Gravierende Änderungen an der bisherigen Meßanordnung
und ihre Begründung
145
5. ZULETZT BENUTZTES MESS- und AUSWERTUNGSVERFAHREN ZUR
BESTIMMUNG DES FREQUENZABHÄNGIGEN KOMPLEXEN E-MODULS
DER VISCOELASTISCHEN FUGENDICHTSTOFFPROBEN
148
5.1
Mechanischer Aufbau 148
5.2
Schaltung der Meßapparatur
151
5.3
Komplettes Meßauswerte-Computerprogramm MODULMESS4 153
6
5.4
Mathematische Beschreibung 159
5.4.1 Berechnung des komplexen E-Moduls aus den Meßgrößen 161
5.4.2 Fehlerfortpflanzungsrechnung 167
5.5
Das Iterationsverfahren
169
5.6
Das Interpolationsverfahren 171
5.7
Test des Berechnungsverfahrens durch Simulation
viscoelastischer Proben
174
5.8
Probengeometrie und akustische Modellvorstellungen - Zusammenfassung physikalischer Rahmenbedingungen
178
5.9
Zusammenfassung der Fehlereinflußgrößen 180
5.10
Ergebnisse einer Fehlersimulation
182
6.
AUSWAHL UND HERSTELLUNG DER FUGENDICHTSTOFFPROBEN 191
6.1
Auswahlkriterien
191
6.2
Herstellungskriterien 194
7.
MESSERGEBNISSE FOR DIE FREQUENZABHÄNGIGEN KOMPLEXEN
E-MODULE DER AUSGEWÄHLTEN FUGENDICHTSTOFFPROBEN
- KRITISCHE DISKUSSION EINIGER BEISPIELE
197
B.
WEITERVERARBEITUNG DER E-MODUL-MESSERGEBNISSE 211
8.1
Berechnung von Kenngrößen der Körperschalldämmung 211
8.1.1 Berechnung des frequenzabhängigen Körperschall- transmissionsgrades
212
8.1.2 Qualitative Eigenschaften der Obertragungsfunktion 217
8.1.3 Berechnung des Trittschallverbesserungsmaßes 219
8.1.4 Berechnung einer mittleren Frequenzabhängigkeit 221
7
8.2
Simulation typischer Fugendichtstoffe und ihrer
Körperschalldämmung
222
8.2.1 Körperschalltransmissionsgrade einiger typischer Fugendichtstoffe
223
8.2.2 Abhängigkeit der Kenngrößen der Körperschalldämmung
von Härte, Dämpfung und Dicke von FugendichtstoffZwischenschichten
232
8.3
In Körperschallübertragungsgrößen umgerechnete E-Modul- Meßergebnisse der ausgewählten Fugendichtstoffe
241
8.4
Analyse der Zusammenhänge wichtiger pauschaler Kenngrößen von Fugendichtstoffen
243
8.5
Pauschalisierte Meßergebnisse auf einen Blick 254
8.6
Klassifizierung von Fugendichtstofftypen nach elastischen und Körperschalldämm-Eigenschaften
254
9.
WEITERE ABSCHATZUNGEN
259
9.1
Temperaturabhängigkeit
259
9.2
Vorlastabhängigkeit 262
9.3
Alterung
262
9.4
Andere Beanspruchungsarten 263
10.
ZUSAMMENFASSUNG UND BEWERTUNG
264
8
ANHANGE
Al
Literatur
A2
Firmen
A3
Probenübersicht
A4
Weitere Eigenschaften und Anwendungen der ausgewählten
Fugendichtstoffe
A5 Herleitung der Formel für die komplexe Trägheit
stabförmiger viscoelastischer Proben vor starrer
Rückbefestigung bei Kraft- und Beschleunigungsmessung vor der Probe
A6
Herleitung der Formel für die komplexe Trägheit
stabförmiger viscoelastischer Proben vor nichtstarrer Rückbefestigung bei Kraft- und Beschleunigungsmessung vor der Probe
A7
Entwicklung der Formeln von A5 und A6 zur Anwendung
im Iterationsverfahren
A8
Herleitung der Formel für die komplexe Trägheit
stabförmiger viscoelastischer Proben vor starrer
Rückbefestigung bei Kraftmessung hinter, und
Beschleunigungsmessung vor der Probe
A9 Herleitung der Formel für die komplexe Trägheit
stabförmiger viscoelastischer Proben vor nichtstarrer Rückbefestigung bei Kraftmessung hinter,
und Beschleunigungsmessung vor der Probe
A10
A99 û,
i
von
zur^
Anwendung
. vor,
im
Entwicklung der Forme l..
Iterationsverfahren
All
Herleitung der Fehlerfortpflanzungsformeln zu A9
Al2
Simulation des frequenzabhängigen komplexen E- Moduls
9
A13
Grafische Darstellung zum Iterationsverfahren
A14
Grafische Darstellung der komplexen Funktion cotg/g
A15
Grafische Darstellung der komplexen Funktion 1/(sing.)
A16
Programm EMODSINMES
All
Programm BBTFMESMOD
A18
Programm MODULMESS4
A19
Meßergebnisse für die frequenzabhängigen E-Module
der ausgewählten Fugendichtstoffproben
A20
Berechnung des frequenzabhängigen Körperschalltransmissionsgrades
A21
Berechnung des Trittschallverbesserungsmaßes und
einer mittleren Frequenzabhängigkeit
A22
In Körperschallübertragungsgrößen umgerechnete
E-Modul-Meßergebnisse der ausgewählten Fugendichtstoffe
A23
Formeln zum Biegeschwingungsversuch
A24
Fehlerfortpflanzungsrechnung für eine als Feder betrachtete
Probe mit Vor-Masse bei starrer Rückbefestigung
11
0.
VORWORT
Die Körperschalldämmung von Fugendichtstoffen ist ein besonderes Problem
in der Bauakustik.
Mit der Körperschalldämmung ist die Verminderung der Schwingungsamplituden
beim Schalldurchgang längs durch die Fuge vom einen in das andere benachbarte Bauteil gemeint. Die Körperschallübertragung ist wesentlich
verantwortlich für die Längsschalldämmung und die Schalldämmung über
größere Entfernungen in größeren Gebäuden.
Hiervon zu unterscheiden ist die zusätzliche Luftschalldämmung bzw. die
Einfügungsdämpfung, die ein Fugendichtstoff durch die Versiegelung einer
Fuge für den Schalldurchgang quer zur Fuge von einem Raum in den anderen
bewirkt. Die Luftschalldämmung ist nicht Gegenstand der Untersuchung in
diesem Bericht.
Zur Vermeidung des Luftschall-, Wasser- und Wärmedurchganges werden
technologisch bedingte Trennfugen immer häufiger mit sogenannten dauerelastischen Fugendichtstoffen ausgefüllt, wobei angenommen wird, daß
diese scheinbar weichen Materialien auch eine ausreichende Körperschalldämmung gewährleisten.
Erfahrungen aus zahlreichen bauakustischen Problemfällen lassen aber
genau daran zweifeln. Aus Messungen der Flankenübertragung von Leichtbauwänden, von Trittschallübertragungen zwischen kleinformatigen Räumen,
z.B. Badezimmern, oder zwischen elastisch gelagerten Treppenpodesten,
wurde geschlossen, daß die körperschallisolierende Funktion dieser
dauerelastischen Fugendichtstoffe trotz ihrer scheinbaren Weichheit
nicht in dem erwarteten Umfang existiert.
Es läßt sich vermuten, daß die Ursache hierfür in der Frequenzabhängigkeit der Elastizitätsmodule und des Verlustfaktors der Fugendichtstoffe
liegt. Aus der Forschung über viscoelastische Entdröhnstoffe (für Bleche)
ist ja bekannt, daß diese Module stark temperatur- und frequenzabhängig
sind. Diese sogenannten rheoelastischen Materialeigenschaften sind in der
komplexen Molekülstruktur und der damit verbundenen zahlreichen Relaxationsprozesse begründet.
Die frequenzabhängigen Eigenschaften der Fugendichtstoffe werden jedoch
durch die bisherigen Prüfungsmethoden nicht erfaßt und sind daher, wie
12
Rückfragen ergeben, auch vielen Fugendichtstoff-Herstellern weitgehend
unbekannt oder werden von diesen nicht angegeben.
Auch für die Praxis werden (in DIN 18 540 [35]) keinerlei Informationen
über das unterschiedliche Schalldämmverhalten der Fugendichtstoffe gegeben.
(Die Angabe der statisch gemessenen E-Module oder Shore-Härten ist dafür
nicht ausreichend.)
Wesentliches Ziel dieser Untersuchung mußte also die Entwicklung einer
geeigneten Meßmethode zur Messung der frequenzabhängigen elastischen
Module sein. Das Forschungsprojekt wurde demnach wie folgt gegliedert:
-
Aufbau einer Meßapparatur zur Bestimmung der dynamischen Elastizitätsmodule viscoelastischer Materialien wie Fugendichtstoffe; und zwar als
Funktion der Frequenz, der statischen Vorbelastung und der Temperatur;
-
Reihenuntersuchung an einer repräsentativen Auswahl von Fugendichtstoffen mit dem Ziel der Klassifizierung dieser Stoffe hinsichtlich
ihrer Frequenz- und Temperaturabhängigkeit;
-
Bestimmung des Zusammenhangs zwischen den Elastizitätsmodulen und
der Körperschalldämmung in geometrisch wohldefinierten bautechnischen
Situationen, ausgezeichnet beispielsweise durch Dehn- oder Scherbelastung des Fugendichtstoffes;
-
vorbereitende Untersuchungen für spätere Modellmessungen zur Körperschallübertragung an dauerelastisch gedichteten Trennfugen.
Der Entwicklungsstand geeigneter Meßapparaturen in Europa gestattet es,
soweit bekannt ist, jedoch nur, die Module bis zu einer Frequenz um ca.
100 Hz zu messen. Auf die Werte bei höheren Frequenzen wird nur indirekt
geschlossen, und zwar durch Messung der Temperaturabhängigkeit der
Elastizitätsmodule und anschließender Anwendung der WLF-Theorie, einer
Theorie, die die Frequenz- und Temperaturabhängigkeit komplexer Elastizitätsmodule verknüpft, jedoch nur gültig bei rheologisch einfachen
Stoffen ist. Diese Voraussetzung ist jedoch bei Fugendichtstoffen, einem
Stoffgemisch, nicht unbedingt gegeben.
Der bisher häufig angewandte Biegeschwingungsversuch zum Beispiel
gestattet nur die Messung bei einigen wenigen Resonanzfrequenzen, nicht
aber in einem kontinuierlichen Frequenzspektrum, wie dem für die Bauakustik
13
relevanten Spektrum von 100 Hz bis 4 kHz. Außerdem hat dieser Versuch
erhebliche Nachteile in Bezug auf die Meßgenauigkeit.
Kurz: Obernehmbare Vorbilder einer Meßmethode gibt es nicht.
Auf die Messung von elastischen Modulen ganz zu verzichten und direkt
zu Modellmessungen zur Körperschalldämmung von Fugendichtstoffen am Bau
überzugehen, hat auch keinen Sinn, da dort die Verhältnisse viel zu
kompliziert sind, um getrennte Aussagen über Materialeigenschaften von
Fugendichtstoffen machen zu können.
Im Rahmen dieses Berichts steht also die Entwicklung einer neuen Meßmethode zur Bestimmung frequenzabhängiger Module im Mittelpunkt. Aufgrund
einer, wie sich zeigte, unerwartet geringen Zunahme der E-Module mit
der Frequenz entstanden jedoch auch hier erhebliche Probleme. Die zur
Anwendung kommende, an sich bekannte Impedanzmeßtechnik, mußte deswegen
ganz wesentlich erweitert werden; insbesondere um die Anwendung komplizierter numerischer Auswertemethoden, die nur durch den konsequenten
Einsatz von Computern lösbar sind.
Es ergab sich daher im Laufe der Forschungsarbeiten eine ganz wesentliche
Schwerpunktsverschiebung.
Die Arbeit ist deshalb wie folgt gegliedert:
Am Anfang steht die Auseinandersetzung mit der vorhandenen Literatur
über die mechanischen Eigenschaften viscoelastischer Stoffe. Hierbei
stehen die empirischen Fakten im Vordergrund.
Daraus ergeben sich bereits wesentliche Rahmenbedingungen für die
anzuwendende Meßtechnik. Die meisten, der in der Literatur beschriebenen
Meßmethoden erschienen jedoch als ungeeignet im vorliegenden Fall. Die
vorhandene Information über die in Frage kommende Impedanzmeßtechnik ist
relativ spärlich. Trotzdem konnte ein einfaches direktes Meßverfahren
relativ frühzeitig mit Erfolg zur Messung der Elastizitätsmodule von
Fugendichtstoffen angewandt werden. Die Meßergebnisse zeigten ein erhebliches Ansteigen der Elastizitätsmodule mit der Frequenz und lagen damit
im Rahmen des nach der Literatur Erwarteten. (Kapitel 4.2.)
Die wesentlichen Entwicklungsschritte bis zur letztlich angewandten
Meßmethode sind im zentralen Kapitel 4 beschrieben.
14
Zur Ermöglichung der erforderlichen zahlreichen Reihenuntersuchungen
wurde zunächst zu einer Digitalisierung dieser Meßtechnik übergegangen.
Eine weitere Verschnellerung des Meßvorgangs versprach eine breitbandige
Schwingungsanregung statt der bisherigen sinusförmigen.
Eingehenden Genauigkeitsuntersuchungen folgte dann die notwendige Entwicklung einer Meßapparatur zur Messung der frequenzabhängigen, temperaturabhängigen, vorbelastungsabhängigen und von der Beanspruchungsart abhängigen Module.
Die bei dieser Apparatur zwangsläufig in Kauf zu nehmenden, störenden
Einflußgrößen, wie zum Beispiel die einer mitschwingenden Masse, und deren
rechnerische Kompensation waren Ziele der darauffolgenden Untersuchung.
Bis hierhin wurde stets von der Voraussetzung ausgegangen, daß die Probe
vernachlassigbar dünn im Vergleich zur Schallwellenlänge ist. Daraus
ergab sich eine obere Grenzfrequenz für die Messung.
Um diese Beschränkung in ungünstigen Fallen zu vermeiden, wurde ein
Rechenverfahren entwickelt, das es gestattete, den E-Modul auch aus
Messungen an Proben, die relativ dick zur Wellenlänge sind, zu berechnen.
Das Ergebnis dieser ursprünglich nur als Verfeinerung gedachten Weiterentwicklung war jedoch überraschenderweise, daß alle bisherigen
Meßergebnisse, die eine erhebliche Zunahme der E-Module mit der Frequenz
anzeigten, in Frage zu stellen waren. Eine eingehende Fehleranalyse
ergab, daß die Ursache hierfür in der ungenauen Bestimmbarkeit einer vor
der Probe mitschwingenden Masse zu suchen war.
Die Beschreibung dieses langen Entwicklungsweges (Kapitel 4) kann vom nur
an Grundlagen und Meßergebnissen interessierten Leser übergangen
werden. Das anschließende Kapitel 5, beschreibt das schließlich benutzte,
komplizierte Meßverfahren ausführlich. Zur Begründung einzelner Schritte
wird dort auf Kapitel 4 verwiesen.
Der mechanische Meßaufbau wurde daraufhin grundlegend verändert. Auch
für diese Anordnung wurde ein mathematisches Verfahren entwickelt, das
es gestattete, die El astizitätsmodule wieder aus Messungen an relativ
dicken Proben zu berechnen. Für das schließliche Meß- und Auswerteverfahren wurde dann zusätzlich eine Fehler-Fortpflanzungs-Rechnung
angestellt.
15
Erst jetzt konnte eine systematische Messung aller vorhandenen Dichtstoffproben erfolgen.
Im letzten Teil der Arbeit wurden vereinfachte Körperschall-Ubertragungsmodelle entwickelt, die es gestatten, aus den gemessenen E-Modulen typische
Kenngrößen der Körperschalldämmung, wie zum Beispiel auch das durch
Norm definierte Trittschall-Verbesserungsmaß, zu bestimmen. Durch
Variation zahlreicher Parameter, und Simulation verschiedener Fugendichtstofftypen hinsichtlich ihrer mechanischen Eigenschaften, können
hier einige wertvolle qualitative Zusammenhänge gewonnen werden.
Für alle gemessenen Fugendichtstoffe wurden nun diese Kenngrößen der
Körperschalldämmung entsprechend den einfachen mathematischen Modellen
berechnet.
Auf diesen Daten basierte eine anschließende Korrelationsanalyse unter
einigen wichtigen pauschalen Kenngrößen der Körperschalldämmung.
Auf die direkte Messung der Temperaturabhängigkeit und der Vorlastabhängigkeit der Elastizitätsmodule mußte verzichtet werden. Gerade die
zum Ende der Forschungsarbeit gewonnenen Meßergebnisse - eine nur geringe
und gleichmäßige Zunahme der Elastizitätsmodule mit der Frequenz erlauben es aber, mit Hilfe der in der Literatur vorhandenen Angaben zu
diesen Abhängigkeiten noch einige wichtige Abschätzungen vorzunehmen.
Modellversuche zur Körperschalldämmung von dauerelastisch gedichteten
Trennfugen bleiben weitergehenden Untersuchungen vorbehalten.
16
1.
METHODIK
1.1.
Mathematische Darstellung des Problems
Praktisch alle akustischen Meßgrößen sind frequenzabhängig; jeder
Schwingungsvorgang läßt sich in harmonische, das heißt sinusförmige
Schwingungen mit einer Frequenz w = 27.f (w = Kreisfrequenz, f = Frequenz)
zerlegen. Für alle diese Größen hat sich deshalb die komplexe Schreibweise als sinnvoll erwiesen. Die Zeitabhängigkeit jeder Größe wird so
durch den Faktor ejwt charakterisiert. In dieser Darstellung läßt sich
jede Differentiation nach der Zeit d/dt durch die einfache Multiplikation
mit dem Faktor jw ersetzen. Schwingungsamplitude x, Schnelle v und
Beschleunigung a eines Massenpunkts sind also verknüpft durch
a = jwv, v = jwx.
Kern der hier zu beschreibenden Untersuchungen sind elastische Module,
hier allgemein mit M bezeichnet, im Anwendungsfall der Dehnmodul E oder
der Schubmodul G.
Ein Modul beschreibt zunächst die Beziehung zwischen elastischer Verformung und Spannung in einem Körper, dies wird genannt "Speichermodul M1".
Weist das Medium auch eine innere Dämpfung auf, so hängt die Spannung
auch von der Verformungsgeschwindigkeit ab. Hiermit ist immer ein Energieverlust verbunden. Der zugehörige Modul wird daher als "Verlustmodul M2"
bezeichnet. Elastische und dissipative (das heißt mit Verlusten behaftete)
Kräfte addieren sich bei dünnen Proben. Durch die komplexe Schreibweise
ist es nun möglich, einen komplexen Modul zu definieren, dessen Realteil
gleich dem Speicher-, und dessen Imaginärteil gleich dem Verlustmodul ist:
M = M1 ± jM2
Alle komplexen Größen werden im folgenden durch Unterstreichung gekennzeichnet.
Steht M für G, den Schubmodul, kann G 2 /w als Viscosität v des Stoffes
gedeutet werden [4]:
v = G2 /w(2).
Alle elastischen Stoffe mit innerer Dämpfung werden demnach als viscoelastische Stoffe bezeichnet.
17
Der Begriff "dauerelastisch" im Berichtstitel besagt nichts weiter, als
daß ein Stoff auch nach sehr vielen elastischen Verformungen seine
elastischen Eigenschaften behält, das heißt also nicht spröde wird. Da
solche langzeitigen Veränderungen ohnehin nur am Rande Gegenstand dieses
Berichtes sind, soll im folgenden nur noch von "viscoelastischen" Stoffen
die Rede sein.
Oft wird statt vom Speicher- und Verlustmodul vom Verlustfaktor gesprochen. Dieser Faktor n wird durch die folgende Schreibweise definiert:
M = M1 (1 + jn), wobei n = M2/M1
(3).
In einem passiven mechanischen System kann mechanische Energie nur verloren gehen, nicht gewonnen werden. Aufgrund der oben gebrauchten komplexen Schreibweise e+3Wt (statt etwa e-3 Wt ) ist der Verlustfaktor r
bzw. der unten genannte Verlustwinkel
immer positiv.
In Polardarstellung kann man auch schreiben:
M = Mo e34 = Mo (cos(1) + jsin(p), also M 1 = M o cos4 und M 2 = Mo sin
Verlustfaktor rl und Verlustwinkel
hängen dann zusammen über
= tanp
Der Verlustwinkel
(4).
(5).
ist gleich der Phasenverschiebung zwischen Verformung
und Spannung in viscoelastischen Medien. Mo ist der Betrag des Moduls.
Von dieser Darstellung wird im ganzen Bericht Gebrauch gemacht.
Wird der Modul in Abhängigkeit von der Frequenz f, der Temperatur T [°C]
und anderer Parameter gemessen, so ist das viscoelastische Verhalten
durch den komplexen Modul M (f,T..) für die Zwecke dieser Untersuchung
hinreichend beschrieben. Läßt man einen viscoelastischen Körper frei
ausschwingen, so lassen sich an der abklingenden Schwingung auch die
Dämpfungsmaße "logarithmisches Dekrement" oder "Dämpfungsexponent" messen,
wie in [5,6,19,20] beschrieben. Diese Größen hängen auf mathematisch
eindeutige Weise mit den oben genannten Größen zusammen, liefern also
keine zusätzliche Information. Wegen der in dieser Arbeit ausschließlich angewandten Impedanzmeßmethode, die nur mit stationärer Schwingungsanregung arbeitet, ein Ausklingen von Schwingungen also nicht zuläßt,
werden diese Größen nicht weiter erwähnt werden.
18
Weitere physikalische Größen, die hier nicht gebraucht werden, werden
in DIN 53 535, "Grundlagen für dynamische Prüfverfahren" [6], ausführlich
beschrieben.
Als Impedanz Z an einem Angriffspunkt eines mechanischen Schwingungssystems wird gewöhnlich der Quotient aus Kraft F und Schnelle v definiert:
Z=F/v
(6).
Analog wäre der Quotient aus Kraft F und Beschleunigung a eine komplexe
Masse:
m = F/a
(7).
Da im Rahmen der im folgenden beschriebenen Meßtechnik Kraft F und
Beschleunigung a gemessen wird, und da auch die mathematische Schreibweise sich vereinfacht, wird häufig statt von der Impedanz Z von der
"komplexen Trägheit" m die Rede sein.
Der Terminus technicus "Impedanzmeßverfahren" wird aber weiter verwandt,
obwohl das Meßverfahren eigentlich Trägheitsmeßverfahren heißen müßte.
Impedanz und Trägheit unterscheiden sich ohnehin nur durch den Faktor
Z = jwm
1.2
jw:
(8).
Zusammenhang zwischen den elastischen Modulen und der
Um diesen grundlegenden Zusammenhang deutlich zu machen, und um damit
die
Schwerpunktsetzung in d1esem Bericht
auf
die Messung
der elastis c hen
Uil
Messung
Module zu begründen, sollen hier einige quantitativen Abschätzungen aus
dem Kapitel 8 vorweggenommen werden. Angenommen wird eine flächig ausgedehnte viscoelastische Zwischenschicht der Dicke d, des E-Moduls E,
zwischen schweren Wänden der Flächenmasse mW", bzw. der Flächenimpedanz
Zw". Ferner wird vereinfachend angenommen, daß die Zwischenschicht sich
wie eine mechanische Feder verhält, eine Annahme, die sich nach den
Ergebnissen dieser Arbeit zwar als nicht immer berechtigt erweist, aber
hier zur Abschätzung genügen soll. Betrachtet werden soll - als Maß für
die Körperschallübertragung - das Quadrat der Oberflächenschnellen.
19
Betrachtet man im ersten vereinfachten Fall die Wand und die Zwischenschicht als mechanisches Masse-Feder-System, wie es beispielsweise auch
bei der Schwingungsdämmung von elastisch gelagerten Maschinen [32] angenommen wird, und nimmt man ferner an, daß man sich - wie im bauakustisch
interessierenden Frequenzbereich - immer oberhalb der Resonanzfrequenz
dieses Systems befindet, so ergibt sich nach elementarer Rechnung
RMF = 20 lg (w 2 mw" d / E o)
(9)
für das Körperschalldämmaß des Masse-Feder-Systems.
Auch bei Annahme einer unendlich ausgedehnten Wandmasse und einem Durchgang von Longitudinalwellen durch die viscoelastische Zwischenschicht
ergäbe sich nach einigen Vereinfachungen bekannter Formeln [30] ein
Körperschalldämmaß
RL = 20 lg
(w Zw" d/(2
E 0 ))
(10).
Diese vereinfachten Abschätzungsformeln unterscheiden sich im wesentlichen
nur durch die Frequenzabhängigkeit, die dem ersten Fall doppelt so stark
ausgeprägt ist, das heißt, das Körperschalldämmaß steigt stärker mit
der Frequenz. In beiden Fällen aber wächst es mit der Flächenmasse, bzw.
der Flächenimpedanz der angrenzenden Wände, selbstverständlich auch der
Dicke der viscoelastischen Zwischenschicht, und
es sinkt mit dem Betrag des E-Moduls dieser Schicht. Bemerkenswert daran
ist außerdem, daß der Verlustwinkel
die Körperschalldämmung in dieser
ersten Näherung nicht beeinflußt.
Die zuerst interessierende Größe ist also der Betrag des E-Moduls viscoelastischer Zwischenschichten.
1.3.
Zur Schlüsselfunktion des komplexen dynamischen E-Moduls
Geht man von der im vorigen Abschnitt gemachten Annahme, daß die Zwischenschicht sich wie eine Feder verhalte, also wesentlich dünner sei als die
Wellenlänge der hindurchgehenden Schallwellen, ab, so wird der Wert der
Körperschalldämmung auch von den inneren Verlusten der Zwischenschicht,
das heißt also vom Verlustwinkel, abhängig sein. Es muß also sowohl der
20
Betrag als auch die Phase des E-Moduls gemessen werden. Berücksichtigt
man ferner die im weiteren ausführlich zu diskutierende Tatsache, daß
die E-Module viscoelastischer Stoffe in der Regel stark von der Temperatur
und auch von der statischen Vorbelastung abhängen, - ganz im Gegensatz
zu den elastischen Eigenschaften der gewöhnlich am Bau angrenzenden
Bauteile -, so kommt der Messung des komplexen frequenz- und temperaturabhängigen E-Moduls der Fugendichtstoffe eine Schlüsselfunktion zur
Bestimmung der interessierenden Körperschalldämmung zu.
1.4
Klassifizierung von Fugendichtstoffen hinsichtlich ihrer
mechanischen Eigenschaften
Moderne Fugendichtstoffe sind hochpolymere Stoffe, versehen mit weichmachenden Zusätzen. Eine Gruppierung solcher hochpolymerer Werkstoffe
aufgrund der Temperaturabhängigkeit ihres mechanischen Verhaltens nimmt
DIN 7724 [1] vor. Die Temperaturabhängigkeit sieht allgemein folgendermaßen aus:
Unterhalb einer "Glasübergangstemperatur" liegt "energieelastisches
Verhalten" vor, das heißt der Stoff ist "glas-hart", sein Modul hat
einen hohen Wert, der Verlustanteil ist gering. Oberhalb der Glasübergangstemperatur schließt sich ein Obergangsbereich (Haupterweichungsgebiet) an, in dem der Betrag des Moduls stark sinkt, wobei gleichzeitig sein Verlustanteil relativ hoch ist. Oberhalb dieses "Hauptdispersionsgebietes" liegt "entropieelastisches" oder gummielastisches Verhalten vor, der Modul ist gleichbleibend niedrig, der Verlustanteil
ebenfalls.
Hochpolymere Werkstoffe werden nun im wesentlichen nach der Lage dieses
Obergangsgebietes beurteilt.
Fugendichtstoffe, wie zum Beispiel Silikonkautschuk, sind weitmaschig
vernetzte Polymere, ihr Obergangsgebiet liegt in der Nähe der Raumtemperatur, sie sind demnach [1,11] als Thermoelaste zu bezeichnen.
Ein Oberwiegen des Fließverhaltens liegt in der Regel nicht vor; in
diesem Falle (z.B. bei manchen Fugendichtstoffen auf Polyacrylatbasis)
wären die Stoffe als Thermoplaste zu bezeichnen; allenfalls Polyurethane
sind [11] eher als Thermoplaste zu bezeichnen, obwohl ihr Speichermodul - für
21
elastisches Verhalten maßgebend - dem Verlustmodul gleichkommt. Das
mechanische Verhalten wird im Einzelfall stark durch den Zusatz an Weichmachern [8,9] bestimmt.
Der Versuch einer Klassifizierung einzelner Fugendichtstofftypen, in
Abhängigkeit von ihrer chemischen Basis und ihrer Vernetzungsart, wird
in Kapitel 8.6. vorgenommen werden.
1.5.
Weiterverwendung gewonnener Meßdaten
Den bei weitem überwiegenden Aufwand im Rahmen dieser Forschungsarbeit
erforderte die Entwicklung einer angepaßten Meßtechnik zur Bestimmung
der rein stofflichen Eigenschaften der Fugendichtstoffe, das heißt
ihrer komplexen Module. Modellversuche zur Bestimmung der Körperschalldämmung in bautechnisch relevanten Situationen mußten deshalb vorerst
zurückgestellt werden. Um trotzdem quantitative Aussagen über die zu
erwartende Körperschalldämmung viscoelastischer Dichtstoffe zu erlangen,
wurden mit Hilfe bekannter formelmäßiger Zusammenhänge einige einfache
Rechnungen durchgeführt. Tatsächliche Körperschallübertragungsfunktionen
werden durch eine Vielzahl von Randbedingungen bestimmt, wie der Beanspruchungsart des Fugenmaterials , der Lage des Angriffspunktes der
Fuge an angrenzenden Bauteilen, benachbarten Knotenpunkten zwischen
Wänden usw..
Zum Zwecke der Vereinfachung und der Vergleichbarkeit berechneter Werte,
beschränken sich die Berechnungen im wesentlichen auf den Fall des Durchgangs von ebenen Longitudinalwellen durch eine viscoelastische Zwischenschicht. Als Material angrenzender Wände wird Schwerbeton angenommen, bzw.
es wird eine Flächenmasse von 400 kg/m 2 angenommen. Ein weiterer angenommener Fall ist der einer linienförmigen Fuge als Bindeglied zwischen zu
Biegewellen angeregten Wanden.
Die so gewonnenen Daten können nicht ohne weiteres mit am Bau gemessenen
Daten verglichen werden, liefern aber wesentliche qualitative Zusammenhänge zwischen Dicke, Modul, Frequenz und Körperschalldämmung von Fugendichtstoffen.
22
Abschließend wird zwischen den gemessenen Werten ausgewählter Fugendichtstoffproben und den daraus rechnerisch ermittelten pauschalen Körperschalldämmgrößen eine eingehende Korrelationsanalyse durchgeführt.
Auf diese Weise kann die Gesamtheit aller gemessenen und berechneten
Werte auf einfache Weise veranschaulicht werden.
23
2.
GRUNDLAGEN
Die Schlüsselfunktion der elastischen Module von Fugendichtstoffen
für alle damit zusammenhängenden Körperschallübertragungsprobleme ist
bereits herausgestellt worden.
Der Zusammenhang zwischen dem Modul und den Übertragungseigenschaften
am Bau ist wissenschaftlich weitgehend untersucht. Der Einfluß, den
ein möglicherweise in Betrag- und Verlustwinkel variabler Modul auf die
Körperschallübertragung in einer konkreten Einbausituation hat, ist
demnach ebenfalls berechenbar.
Auch daß Fugendichtstoffe als hochpolymere Kunststoffe einen solch
variablen und in komplizierter Weise von zahlreichen Parametern abhängigen Modul aufweisen, ist prinzipiell - aus der Forschung über die
Entdröhnung von Blechen durch Beschichtung mit Kunststoffen - bekannt
und war Anlaß für diesen Forschungsbericht.
Es bleibt daher im wesentlichen die Frage nach Qualität und Quantität
dieser Abhängigkeiten und ihrer Beziehungen untereinander.
Der folgende Abschnitt soll hierzu einige physikalische Grundlagen liefern.
2.1.
Definition elastischer Module und ihr Zusammenhang
Die Elastizitätstheorie geht von der Grundannahme aus, daß jeder feste
und homogene Körper, (den man sich zur Veranschaulichung im folgenden
am besten als Quader vorstelle,) sich im Prinzip wie eine "Feder" verhält,
d.h., die zu seiner Verformung notwendige Kraft F proportional zu einer
Verformungsstrecke x ist. Dieses lineare Gesetz (Hook'sche Gesetz) gilt
in der Tat für alle kleinen Verformungen (wenn auch gerade für gummielastische Stoffe nur in eingeschränkter Weise).
Eine Federsteife K ist dann durch die folgende Gleichung definierbar:
F = K • x
(11).
Diese Federsteife K ist selbstverständlich außer von einer Materialeigenschaft des Stoffes auch von den sonstigen Abmessungen des verformten
24
Körpers abhängig. Eine von der Form unabhängige elastische Stoffeigenschaft kennzeichnet im allgemeinen ein Modul M, der durch eine Gleichung
wie die folgende definiert wird:
M-
(12).
e
Dabei ist e die Verformung und a die Spannung:
Als Verformung bezeichnet man das Verhältnis der tatsächlichen Verformungsstrecke x (Schwingungsamplitude) zur Dicke d des Körpers, als
Spannung das Verhältnis der aufzuwendenden Kraft F zur Querschnittsfläche Q:
a
a)
= F/Q
b)
e = x/d
(13).
Damit wird klar, wie die technische Größe "Federsteife" K mit der
Stoffkonstante "Modul" M zusammenhängt:
M • Q
(14).
K = Unabhängig davon, welche Art von Verformung der allgemeine Modul M kennzeichnet - jede elastische Eigenschaft eines Stoffes macht eine Schallwellenausbreitung bestimmter Art möglich. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c dieser Schallwellen wird dann bestimmt durch die folgende Gleichung
(15),
wobei po die Dichte des Stoffes kennzeichnet. Eine weitere typische Wellengröße ist der Wellenwiderstand Zo:
Z
o=po
c
(16).
Beide Wellengrößen c und Z 0 , sind für die mögliche Körperschallübertragung, die zu diesem Wellentyp gehört, maßgebliche Größen.
25
Nun kann man feste Körper auf mehrere Weisen elastisch verformen, es
gibt daher in festen Körpern mehrere Wellentypen.
Es gibt zwei Möglichkeiten für die Beziehung, in der die Richtung der
Verformung zu derjenigen Richtung steht, in der das nächste durch
elastische Kräfte bewegte Massenelement des Stoffes liegt, und in die
sich dementsprechend die Schallwelle ausbreitet.
Durch Angabe von zwei komplexen Konstanten läßt sich demnach das gesamte
viscoelastische Verhalten des Körpers kennzeichnen (bei einer Frequenz
und Temperatur). Auch wenn es mehr als zwei Wellentypen, und damit auch
mehr als zwei zugehörige Module gibt, so lassen sich diese doch immer
aus nur zwei Parametern berechnen.
Liegen Verformungsrichtung und Ausbreitungsrichtung parallel zueinander,
so spricht man von (reinen) Longitudinalwellen. (Sie treten streng
genommen nur in Körpern auf, die quer zur Ausbreitungsrichtung unendlich ausgedehnt sind.) Kennzeichnend hierfür ist der Dilatationsmodul D.
Er wird auch Kompressionsmodul K genannt wegen der mit diesem Wellentyp
verbundenen lokalen Volumenkompression im Ausbreitungsmedium.
Stehen Verformungsrichtung und Ausbreitungsrichtung senkrecht zueinander,
so spricht man von transversalen Wellen. Kennzeichnend für diesen Wellentyp ist der Schub- oder Scher-Modul G.
In der Praxis jedoch treten diese Wellentypen wegen der stets vorhandenen
räumlichen Begrenzung der Ausbreitungsmedien nie auf.
Wesentlich für den hier vorliegenden Anwendungsfall ist die Annahme
S^
für
langer,dbst^,^
i ger^ Proben
m y^^
roven mi
n2r rvc
i 1 enäüSbrc^ i ûny längs zur StabWellenausbreitung
mit^ einer
richtung. Für diese Wellenausbreitung ist der Elastizitätsmodul E maßgebend. Die Weile ist hierbei keine reine Longitudinalwelle, weil sich,
verbunden mit der longitudinalen Kompression, der Stab auch quer zur
Ausbreitungsrichtung ausdehnt, bzw. kontrahiert. Diesen Effekt beschreibt
die sogenannte Querkontraktionszahl oder auch "Poissonzahl" u. Den Zusammenhang zwischen dem die reine Longitudinalwellen-Ausbreitun g kennzeichnenden Modul D und dem diesen praktischen Wellentyp kennzeichnenden Elastizitätsmodul E zieht die folgende Gleichung:
(1-u)
D = E (17).
( 1+ 11) (1-20
26
Für kleines u, das heißt also für einen geringen Querkontraktionseffekt,
sind diese Module fast gleich groß, die Ausbreitungsgeschwindigkeit dementsprechend ebenfalls. Wird u = 0,5, so wird der Modul D unendlich groß,
das heißt, der Stoff verhält sich unendlich hart, er ist offensichtlich
nicht komprimierbar. Der Fall u = 0,5 stellt daher auch den Grenzfall
eines inkompressiblen Mediums dar.
Auch der Schubmodul G läßt sich aus den Größen E und u berechnen:
E
G - (18).
2(l+u)
Nun gehören gummielastische, und auch die hier zu untersuchenden Fugendichtstoffe zu der Klasse der praktisch inkompressiblen Stoffe. Ihre Querkontraktionszeit u ist also praktisch gleich 0,5. Ihre elastischen Eigenschaften für Dehn- und Scherbelastung sind daher eng verknüpft:
Für Fugendichtstoffe u
0,5: G a E/3
(19).
Bei gleicher Probengeometrie und gleicher Verformung sind also die auftretenden Scherkräfte dreimal kleiner als die Dehnungskräfte.
Es brauchen daher eigentlich nicht zwei verschiedene Versuchsanordnungen
zur Messung von E und G aufgebaut zu werden. Wenn dies zur Ergänzung doch
angestrebt wird, so deshalb, weil in der Praxis der Messung des E-Moduls
noch ein Sondereffekt auftritt, der es notwendig macht, auch eine zweite
elastische Konstante zu messen: Die Formfunktion, die in Abschnitt 2.3.
näher betrachtet werden soll.
2.2.
Abhängigkeit des E-Moduls von anderen Parametern
Kristalline Stoffe, Metalle, weisen kaum eine Abhängigkeit ihrer elastischen Module von der Temperatur und anderen Parametern auf. Hochpolymere
Kunststoffe jedoch, zu denen auch die Fugendichtstoffe gehören, bestehen
aus (verschieden langen) langkettigen Molekülen. Diese sind miteinander
verknäuelt und nur in großen Abständen miteinander vernetzt, bilden daher ein verformbares, geschlossenes Netz, dessen unterschiedlich lange
27
Kettenstücke im Obergangstemperaturbereich oberhalb der Glasübergangstemperatur in Abhängigkeit von der Temperatur und Frequenz mehr oder
weniger zueinander beweglich werden, wobei sich elastische und ReibungsKräfte überlagern. Bei diesen Bewegungsprozessen sind also Verformung
und Spannung gegeneinander zeitlich verzögert, diese Prozesse werden
deshalb Relaxationsprozesse genannt. Der Realteil der elastischen Module
(der Speichermodul) hängt dabei etwa proportional von der Anzahl der
Vernetzungspunkte pro Volumeneinheit ab; der Imaginärteil (auch der Verlustmodul) wird durch das Molekulargewicht, die Temperatur und die Verformungsgeschwindigkeit bestimmt.
Das bei höheren Temperaturen oberhalb des Haupterweichungsgebietes auftretende, weitgehend temperaturunabhängige gummielastische Verhalten,
wird deshalb entropieelastisches Verhalten genannt, weil durch die von
außen angreifenden Kräfte die innere "Unordnung" (Entropie), der Molekülketten, die im ungedehnten Zustand maximale Entropie haben, verringert
wird; (sie werden "entknäuelt") sie sind deshalb bestrebt, in ihre Ausgangslage maximaler Entropie zurückzukehren; dadurch ergibt sich ein
reversibles Spannungs-Dehnungs-Verhalten [6].
Relaxationsprozesse sind also die Ursache für die erhebliche Abhängigkeit
der elastischen Module viscoelastischer Stoffe von Temperatur und Frequenz [9]. Die Gesamtheit dieser Abhängigkeiten wird mit dem Begriff
"mechanische Dispersion" umschrieben. Die Temperatur- oder Frequenzbereiche, in denen sich der Modul am stärksten ändert, werden deshalb als
mechanische Dispersionsgebiete bezeichnet [10].
2.2.1. Frequenz- und Temperaturabhängigkeit
Die Bilder 1 und 2 zeigen die Frequenz- und Temperaturabhängigkeit des
Speicher- und des Verlust-Moduls des Hochpolymers Polyvinylchlorid (PVC).
Die Bilder 1 zeigen dabei direkt die Frequenzabhängigkeit mit der Temperatur als Parameter, die Bilder 2 direkt die Temperaturabhängigkeit mit
der Frequenz als Parameter.
28
°
>o lö'
lö `
ro'
70-2
157
Frequenz
10 4
Hz
Bild 1: Frequenzabhängigkeit des E-Moduls (Realteil
oben, Imaginärteil unten) von PVC bei verschiedenen Temperaturen
(nach W. Sommer, aus Oberst [4] )
Die wichtigste Erkenntnis sei als erste festgehalten:
Bei steigender Frequenz kann der Elastizitätsmodul E unter Umständen
um mehrere Zehnerpotenzen ansteigen.
Der Frequenzbereich, in dem d1Ps geschieht, hängt dabei ganz wesentlich
von der Temperatur ab. (Obere Hälfte von Bild 1.)
Als zweites wird deutlich, daß der Verlustanteil des Moduls (der Imaginärteil) gerade in dem Frequenzbereich sein Maximum hat, in dem der
Realteil (der Speichermodul) am stärksten ansteigt.
Genau dies ist es auch, was man für einen Relaxationsvorgang typischerweise erwartet [31].
29
Hz
JO °
10' t0t 10°
tO
10'
10^
3,1
310
I
50
I
60
2,9
I
70
39
I
BO
2,7
I
90
26•
10-3 1/'K
I
I
100 110 120 'C
I
Temperatur
3f
I
20
3,3
I
30
3,2
I
40
3, 1
2,9
3,0
1
50
I
60
I
70
2,6
I
8 0
2, 7
I
90
2,6•10'5 1/'K
1
100
I
110
I
120 ' C
Temperatur
Bild 2: Temperaturabhängigkeit des E-Moduls (Verlustfiaktorrj oben, Realteil unten) von PVC
bei verschiedenen Frequenzen
(nach W. Sommer, aus Oberst f41)
Betrachtet man die Temperaturabhängigkeit (Bild 2), so fällt eine weitere
bemerkenswerte Tatsache ins Auge:
Es besteht eine starke Analogie zwischen der Temperatur- und der Frequenzabhängigkeit;
eine Erhöhung der Frequenz - im logarithmischen Maßstab - scheint gleichbedeutend mit einer Erniedrigung der Temperatur.
Eine qualitative Erklärung hierfür ist:
Mit niedrigerer Temperatur ebenso wie mit steigender Frequenz fallen
30
innere Reibungskräfte im Verhältnis zu den inneren elastischen Kräften
immer weniger ins Gewicht, wodurch immer stärkere und weitere elastische
Kräfte "zugeschaltet" werden, das heißt also zum gesamten Modul beitragen.
Zur Verdeutlichung dieser Hypothese sollen im folgenden Abschnitt einige
Grundsätze der phänomenologischen Theorie der Viscoelastizität kurz
skizziert werden.
2.2.2. Eine phänomenologische Theorie
Das Phänomen eines komplexen und frequenzabhängigen E-Moduls kann - unter
Vernachlässigung jeder Betrachtung ihrer Ursachen und der gleichzeitig
vorhandenen Temperaturabhängigkeit - erklärt werden durch ein Netzwerk
als ideal betrachteter mechanischer Schaltungselemente.
Im einfachsten Fall eines frequenzunabhängigen komplexen E-Moduls kann,
wie schon in Abschnitt 1.1. beschrieben, viscoelastisches Verhalten
durch Parallelschaltung eines elastischen und eines viscosen Elementes
beschrieben werden. Dem entsprechen die beiden mechanischen Schaltungselemente "Feder" und "Dämpfer". Dies ist das Kelvin-Voigt-Modell [4,5]
(s. Bild 3).
Komplementär hierzu ist das Maxwell-Modell, bei dem Feder und Dämpfer
in Reihe geschaltet sind (s. Bild 3).
Bild 3: Maxwell-Modell(links) und Kelvin-Voigt-Modell (rechts), elementare Ersatzschaltbilder zur Erklärung viscoelastischen Verhaltens (nach [4] )
31
Trotz des gegensätzlich erscheinenden Schaltbildes wird sich gleich
zeigen, daß bei mehrfacher Kombination dieser Schaltungselemente beide
Schaltungsmodelle in äquivalenter Weise frequenzabhängig viscoelastisches
Verhalten hinreichend beschreiben können. Es soll daher genügen, das
Maxwell-Modell näher zu betrachten. Wird ein nach dem Maxwell-Modell
sich verhaltender Körper ruckartig verformt, so wird seine innere
Spannung als Antwort darauf mit einer gewissen Zeitkonstante T exponentiell abklingen; genau dieser Abklingvorgang der inneren Spannung wird
als Relaxation, die Zeitkonstante demnach als Relaxationszeit bezeichnet.
Gibt M den Modul des elastischen Schaltungselementes und n die Viscosität
des dämpfenden Schaltungselementes an, so berechnet sich die Relaxationszeit T nach
T =
n/M
(20).
Der außen meßbare komplexe Modul M berechnet sich dann aus M und T nach
der Gleichung:
^
OJT
M= M • (21).
1+j wT
und Imaginärteil M2
Realteil M1
(wr) 2wT
M = M 1
2
1+(wr)2
1+(wT)2
(22)
verhalten sich dann so wie Real- und Imaginärteil der Obertragungsfunktion eines Hochpasses erster Ordnung. Hiermit ist erklärt, daß der Imaginärteil etwa gerade bei der Frequenz sein Maximum hat, wo die Steigung
des frequenzabhängigen Realteils ihre maximale Steigung hat, wie es
Bild 1 gezeigt hat.
Dieses sehr einfache Modell würde genügen, wenn der Stoff nur aus einer
regelmäßigen Anordnung gleichartiger Moleküle aufgebaut wäre. In Wirklichkeit aber sind unterschiedlich lange Molekülketten in unregelmäßiger
Form miteinander verknüpft. Das verallgemeinerte Maxwell-Modell führt
daher eine Spektralverteilung von Relaxationszeiten h (T) ein. Der
komplexe frequenzabhängige Modul M berechnet sich dann statt durch
(21) durch die folgende Integraldarstellung [4]
j
M = M , + 7 h(r) 0
dr
(23).
l+j wT
Bild 4: Verallgemeinerungen des Maxwell-Modells (links) und des KelvinVoigt-Modells (rechts) durch Vervielfältigung, universelle Ersatzschaltbilder zur genauen Beschreibung frequenzabhängig-viscoelastischen Verhaltens (nach [4])
M m ist dabei nichts anderes, als der nur bei vernetzten Hochpolymeren
von 0 verschiedene "Gleichgewichtsmodul" für quasi statische Verformung,
der gleich dem Grenzwert des Moduls für gegen 0 gehende Frequenz ist.
Schaltungssymbolisch drückt sich eine solche integrale Darstellung wie
in Gleichung 23 (genauer eigentlich eine Summation von Faktoren wie
in der Gleichung 21) durch eine unendliche Vervielfältigung der in
Bild 3 gezeigten Schaltungs-Elementen-Paare aus (Bild 4).
Dieses verallgemeinerte Schaltungsmoden entspricht der Vorstellung, daß
unterschiedlich lange - und damit elastische - Molekülketten über ebenfalls unterschiedlich große Dämpfungselemente parallel bzw. in Reihe
zueinander bewegt werden.
Beliebige frequenzabhängige Verläufe von komplexen Modulen, mit beliebig
verteilten Dispersions- bzw. Relaxationsgebieten sind durch solche
mechanischen Schaltungsmodelle erklärbar.
Der praktische Nutzen dieser Betrachtung für das hier beschriebene
Forschungsprojekt liegt darin, daß auch umgekehrt die Frequenzverläufe
elastischer Module mit Hilfe dieses mechanischen Modelles simuliert
werden können; darin liegt die Möglichkeit einer Parameterreduzierung:
33
statt durch die Angabe vieler frequenzabhängiger Einzelwerte der Module
viscoelastischer Fugendichtstoffe wird es durch Anwendung dieses Modells
möglich, das gesamte frequenzabhängige Verhalten durch die Angabe weniger
Parameter für wenige Dämpfer-Feder-Elemente zu ersetzen. An die Stelle
der Angabe eines einzigen Modulwertes, des quasi statisch gemessenen
Moduls, würde dann die Angabe von beispielsweise drei Modulen und drei
Viskositäten treten.
2.2.3. Die WLF-Beziehung
Worin liegen nun aber die Gründe für die enge Beziehung zwischen der
Temperatur- und der Frequenzabhängigkeit der Module, wie sind diese
Abhängigkeiten quantitativ miteinander verknüpft?
Zur Entscheidungsfindung über die im Falle der Fugendichtstoffe anzuwendende Meßtechnik ist es sinnvoll, auch dieses Problem etwas näher
zu betrachten.
Da zwischen den Molekülbewegungen und einer chemischen Reaktion gewisse
formale Analogien bestehen, ist der Ausgangspunkt der Vorstellung eine
"Aktivierungsenergie", die nötig ist, um einem Molekül einmalig eine
Veränderung in einen anderen Zustand zu ermöglichen. Dies wird - nach
der bekannten Arrhenius-Gleichung, die auch die Reaktionskinetik chemischer
Reaktionen beschreibt, - mit gleicher Wahrscheinlichkeit umso schneller
gelingen je höher die Temperatur ist. Daraus erklärt sich die Verschiebung der Maxima des Verlustmoduls mit steigender Temperatur zu höheren
Frequenzen; modellmäßig betrachtet heißt dies, daß mit zunehmender
Temperatur die viscosen Dämpfungselemente im Maxwell-Modell (Bild 3)
kleiner, damit auch die Relaxationszeit (nach (21) kleiner wird, und
damit schließlich (nach 22b) die Frequenz maximaler Dämpfung ansteigt.
Aus der Arrhenius-Gleichung läßt sich damit eine Beziehung ableiten [4],
in der der Logarithmus der Frequenz des Verlustmodul-Maximums - mit
der Aktivierungsenergie als Proportionalitätsfaktor - proportional zur
zugehörigen inversen absoluten Temperatur ist. Die empirisch festgestellte enge Beziehung zwischen Frequenz- und Temperaturabhängigkeit
wäre damit quantitativ beschrieben.
In der Praxis jedoch gilt diese einfache Beziehung wegen der Temperatur-
34
abhängigkeit der "Aktivierungsenergie" nur in engen Temperatur- und
Frequenzbereichen; - wenn auch ihre Herleitung qualitativ richtig ist.
Eine halbempirische Beziehung, die für alle hochpolymeren Stoffe mit
relativ einfacher Struktur der monomeren Einheit unabhängig vom Typ des
Polymers gültig ist, haben Ferry, Landel und Williams gefunden:
lg (w
2 ) = (-) 8.86 • 1
T2 - T 1
(24).
101,6 + (T 2 - T^)
Diese Gleichung ist, nach ihren Autoren benannt, als WLF-Beziehung bekannt geworden [3]. Ti ist dabei eine Bezugstemperatur, die etwa um
50°C oberhalb der Glasübergangstemperatur liegen soll; die Gleichung
wäre damit für die thermoelastischen Fugendichtstoffe in etwa anwendbar. T 2 muß im Bereich von -50°C ... +50°C um T i liegen.
Die WLF-Gleichung (24) (ohne Minuszeichen) läßt sich folgendermaßen deuten:
Eine gleichzeitige Temperaturerhöhung von Ti nach T2 und eine Frequenzerhöhung von wl nach w2 erzeugt den gleichen komplexen Modul:
E ( w 1, T 1) = E (w2,T2).
Der Term auf der linken Seite von (24) a(AT) = lg (032/w1) gibt also an,
um wie weit man eine über der Frequenz logarithmisch aufgetragene Kurve
E (w,T1) in Abhängigkeit von einer Temperaturerhöhung AT nach rechts
(zu höheren Frequenzen) verschieben muß, um die Kurve E (w,T2) mit
T2 = T i + AT zu erhalten.
Führt man in (24) ein Minuszeichen vor dem Faktor 8.86 ein, erhält man
eine Kompensationsgleichung: Eine Temperaturerhöhung ist gleichbedeutend
mit einer Frequenzerniedrigung. Hat man beispielsweise bei einer Frequenz
w l die Module bei den Temperaturen T i und T2 gemessen, so kann man mit
der so modifizierten Gleichung (24) bei der Temperatur Ti auch auf das
Modul bei der Frequenz w2 schließen: E (w2,T1) = E (wi,T2).
Durch Messungen der Temperaturabhängigkeit eines Moduls bei einer festen
Frequenz wl läßt sich damit auch auf die Frequenzabhängigkeit bei einer bestimmten festen Temperatur Ti schließen. Da in der bisherigen Praxis
(Messung der frequenzabhängigen Module von hochpolymeren Kunststoffen
zu Entdröhnzwecken) die Temperaturabhängigkeit einfacher zu messen war
als eine Frequenzabhängigkeit, war dies bisher der häufigste und bekannteste Anwendungsfall der WLF-Beziehung.
35
Im vorliegenden Anwendungsfall der hochpolymeren Fugendichtstoffe jedoch, muß eine Anwendung der WLF-Beziehung als fragwürdig eingeschätzt
werden. Die WLF-Beziehung gilt nämlich nur bei sogenannten rheologisch
einfachen Stoffen, nicht also bei Stoffgemischen. Gerade Fugendichtstoffe sind solche Stoffgemische, ihnen sind zahlreiche Weichmacher beigefügt. Die WLF-Beziehung kann also allenfalls dazu dienen, die FrequenzAbhängigkeit aus der Temperaturabhängigkeit in groben Zügen abzuschätzen,
nicht jedoch, um in einem weit ausgedehnten Frequenzbereich, wie er für
bauakustische Anwendungsfälle maßgebend ist, die genauen Werte von
Elastizitätsmodulen zu liefern [6].
2.2.4. Weichmacher, Feuchtigkeitseinflug
Den gleichen erniedrigenden Einfluß auf den Elastizitätsmodul wie eine
Temperaturerhöhung oder eine Frequenzerniedrigung hat die Beimischung
oder Copolymerisation gewisser Füllstoffe (Weichmacher) zu den hochpolymeren Basisstoffen.
Bild 5 zeigt die temperaturabhängigen Kurven für den Speichermodul eines
in verschiedenen Mischungsverhältnissen weich gemachten Hochpolymers.
Bild 6 zeigt die dazugehörigen temperaturabhängigen Dämpfungskurve;
sie zeigen deutlich eine Verschiebung der Dämpfungsmaxima (DM) mit
zunehmendem Weichmachergehalt zu niedrigeren Temperaturen. Diesen Sachverhalt zeigt noch einmal als Funktion des Mischungsverhältnisses (MV)
dargestellt Bild 7 [7].
An Bild 6 wird aber auch deutlich, daß bei einem mittleren Weichmachergehalt die Dämpfungskurve sowohl am breitesten, als auch am niedrigsten
ist; theoretisch und praktisch hat sich gezeigt, daß die Höhe des
Dämpfungsmaximums mit zunehmender Temperaturbandbreite abnimmt. Hierfür
liegen quantitative Abschätzungen vor [3].
36
e
1
G
N/mm
1880
^^
_`-^
l
100
. _
i
Ilk
II••178897191//829 ,a,,.„,
V• 5 29,5
I
II
18
68,7/39,3
VI • 51,8/48,2
VII • 48,8/59,2
`.:.
^
^
I
-158
-188
-58
1
I
1
1
t8
1
1
1
1
+50
1
1
1
1
+188
1
+158 °C
Bild 5: Temperaturabhängigkeit des G-Moduls (Betrag) mit
dem Mischungsverhältnis Grundstoff/Weichmacher
als Parameter. (Grundstoff = Polyvinylchlorid,
Weichmacher = Diäthylhexylsuccinat, nach [7])
A
2.8
1.5
1.8
8.5
-158
-188
-58
38
+58
+188
+158 °C
Bild 6: wie Bild 5, DämpfungA des G-Moduls (nach [7])
F
raunhofer-Institut für Bauphysik
37
+100 —
DM
I
+88 —
o
C
Olithyhexylauecfnat
2 Otithyhexylphtalat
3
Ofbutyphtalat
+68
+48
—
+28
—
i8
%
9$(8
8 728 7T38 6
4'
5 758 4 760 3 778 2 %0 '%e 8^188
MV
Bild 7: Temperatur des Dämpfungsmaximums (DM) als
Funktion des Mischungsverhältnisses MV
Grundstoff/Weichmacher mit dem Weichmachertyp als Parameter (nach (7I)
Die Temperaturabhängigkeit der Elastizitätsmodule kann also durch gezieltes Hinzufügen von Weichmachern wesentlich beeinflußt werden,
"für einen bestimmten Temperatur- und Frequenzbereich" optimale Dämpfungsstoffe können also hergestellt werden; wobei der Zusammenhang zwischen
der Höhe der Dämpfungsmaxima und ihrer Breite allerdings eine wesentliche Schwierigkeit darstellt [31].
Die Verbreiterung der Dämpfungsmaxima durch Hinzufügen weiterer hochpolymerer Stoffe kann dadurch erklärt werden, daß sich ihre Haupterweichungsgebiete, und damit auch ihre Relaxationszeitspektren, zu
einem neuen, breiteren Relaxationszeitspektrum überlagern. Eine Anwendung der WLF-Gleichung ist daher höchstens in modifizierter Form noch
zulässig [3].
Zum Zwecke der Weichmachung werden Mischstoffen aus verschiedenen Gründen
Copolymere vorgezogen. Die gewünschte Lage und Breite des Frequenz- und
38
Temperaturbereiches optimaler Dämpfung erreicht man in diesem Fall durch
Auswahl monomerer Komponenten, deren Homopolymere passend verteilte
Einfriertemperaturen haben. Durch gezielte Steuerung der Copolymerisation läßt sich außerdem der Dämpfungsverlauf im Anwendungsgebiet weitgehend beeinflussen [8,9,10].
Die Forschung über das viscoelastische Verhalten hochpolymerer Stoffe
und ihre Beeinflußbarkeit durch gezielte Beimischung bestimmter, ebenfalls hochpolymerer Füllstoffe ist bereits weit fortgeschritten.
Auch moderne Fugendichtstoffe bestehen außer aus ihrem hochpolymeren
Grundstoff aus einer Vielzahl solcher Weichmacher.
Im Rahmen der Fragestellung dieser Forschungsarbeit bleibt festzustellen:
-
Fugendichtstoffe können in ihren viscoelastischen, und damit auch
körperschalldämmenden Eigenschaften durch gezielte Beimischung von
Weichmachern oder Copolymerisation herstellerseitig weitgehend beeinflußt werden;
-
auch Wasser kann wie ein Weichmacher wirken, wegen des kleinen
Molekulargewichtes von Wasser kann dieser Effekt auch bei kleiner
Konzentration in Gewichtsprozenten schon einen deutlichen Einfluß
haben; Feuchtigkeit kann daher - bei manchen Polymeren (z.B. Polyamiden) einen deutlich weichmachenden Einfluß haben;
-
eine direkte Anwendbarkeit der nützlichen WLF-Beziehung, die eine
temperaturabhängige Messung und anschließende Schlußfolgerung über
rain Fr eque n z a bhangigkeeit von Modulen gestatten würde, ist aber im
Falle von Fugendichtstoffen nicht gegeben.
2.2.5. Amplitudenabhängigkeit / Nichtlinearität
Gewöhnlich sind die elastischen Module hochpolymerer Stoffe auch von '
der statischen Vorlast bzw. von der statischen Mittelverformung abhängig; derartige statische Verformungen von Fugendichtstoffen werden
ja am Bau sowohl durch thermisch- als auch feuchte-bedingte Kontraktionen diverser Baustoffe (z.B. beim Abbinden von Beton) bewirkt; Fugen
39
und deren Dichtung mit dauerelastischen Fugendichtstoffen sind ja gerade
aus diesem Grund notwendig.
Zum einen läßt sich die Abhängigkeit elastischer Module von der Vorverformung theoretisch ableiten; die statistische Theorie der EntropieElastizität liefert als Abhängigkeit der Spannung a E von der Verformung
e die Gleichung
QE = t •
(25) ,
1+e
wobei die Verformung e in Zugrichtung positiv, und in Druckrichtung
negativ gezählt wird [6]; dies illustriert Bild 8, und zeigt quantitativ
Bild 9 [2]:
Druck
F
—
F
A0
Bild 8: Probenverformung: Querexpansion bei Druck- und
Querkontraktion bei Zugbelastung (aus [2])
40
aI„ (MPa)
-2
do/10
Zug
^.
••••••"'
^__
,
I
—
^
I
10
I
t
—1/o°%s^
20
2
0,7
(°^)
I
I
20
^
cm
°
o
/
°ii
°/
o
/
°
Druck
-2
Bild 9: Nichtlinearität der Spannungs-Verformungskurven
bei größeren Verformungen mit dem Formfaktor
d 0 /1 0 der ungedehnten Probe nach Bild 8 als Parameter
(aus [2])
Dieses nichtlineare Verhalten ist jedoch keine Materialeigenschaft im
eigentlichen Sinne, sondern wird - entgegen der formalen Annahme durch die bei Druck- und Zugbelastung unterschiedliche Querschnittsfläche des Probenmaterials bewirkt [2].
Die durch die Nichtlinearität bewirkte Amplitudenabhängigkeit des
E-Moduls (ohne Mittelverformung) zeigt Bild 10, die Abhängigkeit des
E-Moduls von der Mittelverformung (bei kleinen Amplituden) zeigt
Bild 11.
In diesen beiden Bildern spielt als Parameter noch der Formfaktor
(d 0 /1 0 ), das Verhältnis von Breite zu Dicke (s. Bild 8) eine Rolle.
Diese zusätzliche Abhängigkeit von geometrischen Größenverhältnissen
der Probe bei der Messung soll im Abschnitt 2.3. dargestellt werden.
Die in der Bauakustik maximal vorkommenden Schwingungsamplituden sind
jedoch um Zehnerpotenzen kleiner als die in Bild 10 dargestellten
Verformungen; die von den auf dem Markt befindlichen Fugendichtstoffen
höchstens zugelassenen Mittelverformungen - ohne dauerhafte schadhafte
Veränderung der elastischen Eigenschaften - betragen höchstens ± 25%.
41
°•—
4
86-
0
°
0
.-----0
••••° n °
4-
°
°
°
0
°
°
0
°
20
25
2
1
0,7
„
L0
0
5
10
15
ea [%]
Bild 10: Effektiver dynamischer E-Modul (bei
f=0.1Hz, t=23°C) als Funktion der Amplitude der Verformung ohne statische
Vor-Verformung mit dem Formfaktor
d 0 /1 0 als Parameter (nach [2])
°
IE'1
[MPa]
°-..„s-110
°
`
°
,\
Druck
-6 `
°^.° do/lo
Zug ^ 4
°^
^
°^°^
°``^ „„0.,,^^°
42
1
-30
i
-20
i
-10
0
`0 1
00,7
10
20
30
ern [%]
Bild 11: Effektiver dynamischer E-Modul (bei f=0.1Hz,
t=23°C) als Funktion der statischen Vor-Verformung mit dem Formfaktor d 0 /1 0 als Parameter (nach [2])
In Bezug auf bauakustische Gegebenheiten bleibt also festzustellen:
- eine Amplitudenabhängigkeit des E-Moduls kann praktisch vernachlässigt werden;
42
-
die durch statische Vorbelastung und -Verformung in Zug- oder
Druckrichtung bewirkten Veränderungen der elastischen Module
betragen höchstens 25%; eine statische Vorbelastung und - Verformung in Scher-Richtung dürfte so gut wie gar keine Veränderung
der elastischen Module zur Folge haben.
2.2.6. Vorgeschichte
Langzeitliche Vorgeschichtseinflüsse können von der Art der Probenherstellung und der Probenvorbehandlung abhängen; hier ist der Grad der
Copolymerisation, speziell bei zweikomponentigen Fugendichtstoffen der
Grad der Vernetzung bzw. der Härtung zu nennen; das Problem von Molekülorientierungen in Vorzugsrichtungen (Anisotropie) spielt nur bei
partiell kristallinen Hochpolymeren, jedoch nicht bei den weichgemachten
Fugendichtstoffen eine Rolle.
Die Bildung innerer Spannung könnte bei der Anwendung von Fugendichtstoffen am Bau schon eher eine Rolle spielen, bleibt aber weitergehenden
Untersuchungen vorbehalten.
Derartige Vorgeschichtseinflüsse können durchaus die Ursache für Temperatur- und Frequenzverschiebungen der Dispersionsbereiche, und damit
eine Veränderung der elastischen Kenngrößen bewirken [4].
Die kurzzeitliche Vorgeschichte wird bestimmt durch die unmittelbar der
Messung vorhergegangene Verformung des Probekörpers; entscheidend ist
dabei die Richtung, in der die Probe vorher verformt wurde, und die
Amplitude dieser Vorverformung [2].
Auch Ermüdungserscheinungen als Folge lang anhaltender, wiederholter
Verformungen oder hoher Temperaturen können zu einer starken Änderung
der danach meßbaren Module führen [6].
Derartigen Verformungen werden Fugendichtstoffe durch Körperschallschwingungen jedoch nicht ausgesetzt, auch nicht bei den Messungen im
Rahmen dieser Arbeit.
Als relevante vorgeschichtliche Einflüsse bleiben demnach praktisch nur
-
unvollständiges chemisches Abbinden,
-
bautechnisch bedingte innere Spannungen.
43
2.3.
Formfaktor, Formfunktion
Formfaktor und Formfunktion beschreiben keine Stoffkonstanten, also auch
nicht deren Abhängigkeit von anderen Parametern.
Wohl aber gibt die Formfunktion den Quotienten aus einem - an einer Probe
bestimmter Geometrie meßbaren - "scheinbaren" Modul M' und der eigentlichen Stoffkonstante, dem "wahren" Modul M an:
M' = ^ . M
(26).
Die Formfunktion wird eingeführt, um den Einfluß einer nicht homogenen
Verformung zu eliminieren, wie sie gerade bei Dehnbeanspruchung relativ
dünner, aber quer zur Dehnungsrichtung breit ausgedehnter Proben auftritt
(s. Bild 8).
Ursache für die Inhomogenität der Spannungsverteilung in dünnen Proben
ist der Querausdehnungs- bzw. -kontraktionseffekt, der besonders bei
inkompressiblen Stoffen auftritt. Wie in Kapitel 2.1. beschrieben, war
der E-Modul definiert als Quotient aus Spannung und Verformung an dünnen,
stabförmigen Proben; folgerichtig tritt daher ein von 1 verschiedener
Korrekturfaktor (Formfunktion) auf, falls die Voraussetzung, daß die
Dicke der "stabförmigen" Proben nicht mehr wesentlich größer oder sogar
kleiner als ihre Breite ist, nicht mehr erfüllt ist.
Der Formfaktor hingegen ist schlicht der Quotient aus der beanspruchten
Querschnittsfläche und der freien Mantelfläche des Probekörpers; bei
quaderförmigen Proben wird als Formfaktor vereinfacht das Verhältnis aus
Breite zu Dicke definiert:
(27).
Y = b/d
Entscheidend ist nun, wie die Formfunktion vom Formfaktor - und
möglicherweise noch weiteren Parametern abhängt.
Es wird heute allgemein eine Beziehung der folgenden Form angenommen:
= 1 + m • y n(28).
Diese Beziehung, gültig für eine axiale Dehnbeanspruchung von zylindrischen Proben (wobei b an die Stelle des Durchmessers tritt), wird auch
in Normen angegeben [6,17].
Die noch freien Parameter m und n werden als materialabhängig angegeben.
44
Schon Payne [12] gab für n den Wert von 2 an; Clamroth [2] findet einen
Wertebereich von n zwischen 1,4 und 2,6.
Es ist außerdem naheliegend, daß die Formfunktion noch von der Querkontraktionszahl p abhängt. Unter Berücksichtigung dieser Tatsache hat
Becker [13] eine vollständige Formel für die Abhängigkeit der Formfunktion vom Formfaktor (für geschäumte Kunststoffe) angegeben, die sich
- nach dem für gummielastische Stoffe gerechtfertigen Einsetzen von
p = 0,5 - folgendermaßen darstellt:
(1)=
1
+ $
Yz
(29).
Eine ähnliche Formel hatte auch Payne [12] gefunden.
Bemerkenswert ist, daß bei der Herleitung der Formfunktionen von allen
Autoren stillschweigend von quasi-statischer Verformung, also conphaser
Verformung des Probenkörpers ausgegangen wurde; nicht untersucht scheint
bisher der Fall zu sein, daß die Körperschall-Wellenlänge im Probenkörper
in die gleiche Größenordnung wie dessen Abmessungen kommt, wodurch möglicherweise die Formfunktion selbst auch noch frequenzabhängig wird.
Dieser Effekt wurde dann auch tatsächlich gefunden, weswegen im späteren
Verlauf der Untersuchungen auf eine - ohnehin geringfügige - Formkorrektur
des E-Moduls verzichtet wurde: (s. Kapitel 4.2.4.)
Diese Fragestellung bleibt späteren Untersuchungen vorbehalten.
Immerhin ist klar, daß der Verlustfaktor des Mediums von der Formfunktion
nicht betroffen wird [13].
2.4.
Schlußfolgerungen
Das mechanische Verhalten hochpolymerer viscoelastischer Stoffe ist
theoretisch als auch experimentell weitgehend untersucht und bekannt.
Die Zielvorgabe der beschriebenen Untersuchungen war jedoch eine andere
als im hier vorliegenden Fall: Bisherige wissenschaftliche Untersuchungen
dienten dem Ziel, optimale Dämpfungsstoffe für vielfältige Zwecke (z.B.
Entdröhnen von Blechkonstruktionen) zu entwickeln; die Temperaturabhängigkeit stand dabei im Vordergrund, wogegen die Frequenzabhängigkeit meist
45
nur in sehr engen Frequenzbereichen, und bei sehr niedrigen Frequenzen
(< 100 Hz) experimentell untersucht wurde. Außerdem handelte es sich
meist um erheblich härtere Stoffe als sie die hier zu untersuchenden
Fugendichtstoffe darstellen.
Im bauakustischen Anwendungsfall jedoch interessieren, wie in Abschnitt
1.2. dargelegt, weniger die Dämpfungsgrößen, sondern vielmehr der Betrag
des E-Moduls; bedingt durch die starke Beimischung von Weichmachern zu
Fugendichtstoffen, und die dadurch bewirkte Nicht-Anwendbarkeit der
WLF-Beziehung wird es hier erforderlich ; die Frequenzabhängigkeit direkt
zu messen, wobei dieses Erfordernis noch erschwert wird durch die zusätzliche Forderung nach Messung in einem sehr großen Frequenzbereich.
Genau zu diesem - überwiegend meßtechnischen - Problem aber schweigt
sich die verfügbare Literatur weitgehend aus; das Problem, die komplexen
elastischen Module sehr weicher viscoelastischer Stoffe bis hin zu hohen
Frequenzen zu messen, scheint bisher nicht bearbeitet worden zu sein.
2.4.1 Auswahl des wesentlichen Parameters: der Frequenz
Als Schlußfolgerung kann also gezogen werden: Am wichtigsten ist es, die
Frequenzabhängigkeit der elastischen Module von Fugendichtstoffen direkt
zu messen.
Die Temperaturabhängigkeit spielt demgegenüber nur eine untergeordnete
Rolle; trotzdem bleibt es, wegen der nur eingeschränkten Anwendbarkeit
der WLF-Beziehung wünschenswert, auch die Temperatur als Parameter mit
einzuführen. Allerdings kann unter bestimmten Voraussetzungen zusammenhängend mit dem dann gemessenen frequenzabhängigen Verlauf des Moduls erwogen werden, die WLF-Beziehung wenigstens zur Abschätzung der Temperaturabhängigkeit auszunutzen.
Die phänomenologische Theorie zur Frequenzabhängigkeit der Module viscoelastischer Stoffe kann zur Parameterreduzierung und zur übersichtlichen Klassifizierung unterschiedlicher Fugendichtstofftypen angewandt
werden.
Bei der Messung ist die Formfunktion als Funktion der geometrischen
Abmessungen der Probe zu berücksichtigen; dabei ist auf einen möglichen
frequenzabhängigen Effekt zu achten.
46
Auf eine Untersuchung der Amplitudenabhängigkeit kann weitgehend verzichtet werden.
Eine Untersuchung des Einflusses von statischen Vorlasten bleibt
wünschenswert, wenn auch dieser Effekt nur eine untergeordnete Rolle
spielt und anhand gegebener Formeln leicht abgeschätzt werden kann.
Auf den Einfluß einer Vorgeschichte der Proben ist praktisch nur insofern zu achten, als daß eine ausreichende Abbindezeit frisch hergestellter
Fugendichtstoffproben zu gewährleisten ist.
2.4.2 Anforderungen an die Meßtechnik
-
Betrag und Phase komplexer Module sollten im ganzen bauakustisch
interessierenden Frequenzbereich und darunter, das heißt also von
ca. 20 Hz bis 4000 Hz meßbar sein, wobei eine kontinuierliche
Frequenzvariation, das heißt Messung bei erzwungenen Schwingungen
auch außerhalb der Resonanz angestrebt wird;
-
Probenform und -größe müssen eine leichte Herstellbarkeit aus Fugendichtstoffmaterialien erlauben, und außerdem genau bestimmbar sein;
-
die Meßapparatur sollte mechanisch so aufgebaut sein, daß eine Probentemperierung ohne Störung der akustischen Meßerfordernisse möglich
wird;
-
die Apparatur sollte auch die Einstellung statischer Vorlasten erlauben;
-
schließlich sollte die Meßapparatur im Endstadium sn weitgehend
automatisiert sein, daß eine Vielzahl von Messungen an unterschiedlichen Fugendichtstoffproben mit dem Ziel ihrer Klassifizierung
hinsichtlich von Modulen und Körperschalldämmgrößen leicht möglich
ist.
47
3.
AUSWAHL DER MESSTECHNIK
Die Hauptanwendung gezielter Entwicklung viscoelastischer Materialien
lag bisher in der Entdröhnung von Blechen, genauer, der Dämpfung der
Biegeschwingungen dünner Bleche. Es war daher folgerichtig, zur Messung
der komplexen E-Module eine Meßanordnung zu wählen, die dem Anwendungsfall entspricht.
Die "klassische" Methode ist daher der Biegeschwingungsversuch nach
Oberst [26], dessen Beschreibung auch in DIN 53 440 [28] eingegangen ist.
Der Biegeschwingungsversuch hat an sich den Vorteil, daß auch bei relativ
hohen Frequenzen (d.h. bis zu einigen 1000 Hz) gemessen werden kann.
Demgegenüber arbeitet der ebenfalls weitverbreitete Torsionsschwingungsversuch bei Frequenzen gewöhnlich unter 10 Hz; er ist - bei jeweils
immer nur einer bestimmten Frequenz - geeignet, vor allem die Temperaturabhängigkeit des E-Modules relativ weicher Proben zu bestimmen.
Beide wohlbekannten Meßmethoden basieren also auf der Messung von
Resonanzfrequenzen.
3.1
Biegeschwingungsversuch
Im Biegeschwingungsversuch wird das zu prüfende viscoelastische Material
in bestimmte Dicke auf einen Stahlblechstreifen aufgetragen, der einseitig
fest, aber möglichst verlustfrei eingespannt und auf der anderen Seite
Halterung
zum
Verstärker
Schwingungsaufnehmer
Thermostat
Probekörper
(viscoel. Schicht
auf Blechstreifen)
vom
Frequenz-
Schwingungserreger
generator
Bild 12: Schema der Prüfanordnung beim Biegeschwingungsversuch nach
DIN 53440
48
frei ist. Der dadurch entstehende zweischichtige Stab wird nun mittels
eines Magneten (berührungsfrei) am äußeren Ende zu Biegeschwingungen
angeregt, deren Frequenz in weiten Bereichen variiert wird. Dicht vor der
Einspannung des Stabes (wo das Biegewellennahfeld der Anregung nicht mehr
störend wirkt) wird über einen elektromechanischen Wandler die Schwingung
abgenommen, deren Frequenz und Amplitude gemessen wird (Bild 12).
Bei bestimmten Frequenzen bilden sich Schwingungsmoden (Resonanzen) aus,
bei denen die Stablänge etwa ein ungerades Vielfaches eines Viertels der
Biegewellenlänge ist (die Biegeweilenzahlen der unteren Schwingungsmoden
weichen allerdings etwas von dieser Regelmäßigkeit ab, sie liegen "anharmonisch").
Aus der Lage und der Halbwertsbreite dieser Resonanzen kann nun mit
Hilfe komplizierter Formeln (siehe Anhang A23) auf Betrag und
Verlustfaktor der E-Moduls der viscoelastischen Schicht geschlossen
werden - sofern die Dicken sowohl der Schicht als auch des Blechstreifens, und der E-Modul des Blechstreifens genau bekannt sind.
Es zeigt sich [10], daß die dämpfende Wirkung des viscoelastischen
Belages auf den Blechstreifen umso größer ist, je größer deren Verlustmodul, das heißt das Produkt aus ihrem E-Modulbetrag und ihrem
Verlustfaktor ist.
Eine nennenswerte Dämpfung - und damit auch eine ausreichende Meßgenauigkeit - wird daher nur dann erreicht, wenn der Belag nicht nur
einen hohen Verlustfaktor hat, sondern selbst auch eine gewisse Mindesthärte (ausgedrückt durch den Betrag seines E-Moduls) aufweist. Eine
weitere Einschränkung der Anwendbarkeit dieses Versuches liegt darin,
daß nur
bei
einigen Resonanzfrequenzen höherer Ordnung gemessen werden
kann. Da die Dämpfung aus der Halbwertsbreite bei diesen Frequenzen
bestimmt wird, liegt eine obere Grenze für die Dämpfung der Belagsschicht
darin, daß die Resonanzkurven benachbarter Resonanzfrequenzen sich nicht
überlappen dürfen.
Fugendichtstoffe sind nun aber zu anderen Zwecken als zur Entdröhnung
von Blechen entwickelt worden, sie sind also im Vergleich zu denjenigen
Stoffen, deren Module mit dem Biegeschwingungsversuch bestimmt wird,
relativ weich. Um die oben genannte Bedingung zu erfüllen, müßte eine
Belagsschicht aus Fugendichtstoff relativ dick aufgetragen werden.
49
Durch die hohen Verlustfaktoren von Fugendichtstoffen, besonders von
denen mit starken plastischen Eigenschaften, würden möglicherweise die
unerwünschte Oberlappung von Resonanzkurven die Folge sein; hinzu kommt,
daß wegen der Weiche dieser Stoffe die Dicke des Zweischichtsystems
u.U. nicht mehr vernachlassigbar klein gegen die Biegewellenlänge selbst
wäre, was zur Folge hätte, daß die zur Auswertung des klassischen
Biegeschwingungsversuchs genannten Formeln nicht mehr anwendbar wären.
Ohnehin haben die zur Auswertung des Biegeschwingungsversuchs benötigten
Formeln (siehe Anhang 23) einen gravierenden Nachteil:
Die Dicken von Belag und Blechstreifen gehen unter anderem zur 4. Potenz
in das Meßergebnis ein.
Die bei der Auftragung von Fugendichtstoffen auf Blechstreifen zu erwartenden Ungenauigkeiten bei der Einhaltung einer vorgegebenen Schichtdicke würden daher zu erheblichen Ungenauigkeiten in den Meßergebnissen
führen. Der Biegeschwingungsversuch scheint also bei der hier vorgegebenen Aufgabenstellung - zumindest für erste Versuche - ungeeignet;
dies umso mehr, als für die Körperschalldämmung von Fugendichtstoffen
ja nicht, wie im Falle der Blech-Entdröhnung, der Verlustfaktor die
ausschlaggebende Größe ist, sondern der Betrag des E-Moduls.
Aus dem gleichen Grund ist auch das von Kurtze [29] angegebenen Verfahren
zur Bestimmung von Verlustfaktoren an Probestäben, bei dem drei Extremwerte des Interferenzfeldes nah an einem Stabende ausgewählt werden, ungeeignet; außerdem stört hier die Bedingung zur Einhaltung einer unteren
Grenzfrequenz.
3.2.
Torsionsschwingungsversuch und andere Resonanzversuche
Dieser Versuch ist im Vergleich zum Biegeschwingungsversuch in der Auswertung wesentlich einfacher: Die Meßanordnung besteht aus einem einfachen
Resonanzsystem, bestehend aus dem Probekörper, der auf Torsion beansprucht
50
wird, und in Abhängigkeit von seinem Schubmodul und seinen geometrischen
Abmessungen ein gewisses Direktionsmoment (Rückdrehmoment) aufweist, und
einer sich drehenden Schwungscheibe, deren Trägheitsmoment bekannt ist.
Ein solches System weist nur eine einzige auswertbare Resonanzfrequenz
auf, von der bei Bekanntheit aller anderen Größen auf den Schubmodul der
Probe geschlossen werden kann. Die Anordnung zeigt schematisch Bild 13:
oberer
Probenhalter
starre
Verbindungsteile
Temperierkammer
unterer
Registrierstreifen
Probenhalter
Lampe
Spiegel
Schwungscheibe
Bild 13: Schema der Prüfanordnung beim Torsionsschwingungsversuch nach
DIN 53520 in der einfachsten Version. (Die optische Schwingungsregistrierung kann auch durch einen elekromagnetischen Schwingungsaufnehmer und eine elektronische Auswertung erfolgen.)
Der Vorteil dieser Anordnung liegt zweifellos in der einfachen Temperierbarkeit der Proben; so dient diese Versuchsmethode im wesentlichen auch
dazu, die Temperaturabhängigkeit der Schubmodule viscoelastischer Proben
zu bestimmen.
Erste Apparaturen dieser Art sind bereits von Roelig und Angioletti [18]
entwickelt worden; der Torsionsschwingungsversuch wurde später genormt
[19,20]. (Die Normen unterscheiden sich nur im Anwendungsbereich: [19]
wird auf härtere Kunststoffe, [20] auf weichere Stoffe angewandt; wegen
der im ersteren Fall benötigten schwereren Schwungmasse ist bei diesem
Versuch eine zusätzliche Aufhängung notwendig.)
51
Nun liegt der Nachteil dieses Meßverfahrens, wenn seine Anwendung auf die
Messung der Module von Fugendichtstoffen angestrebt wird, gerade darin,
daß bei nur einer Frequenz die Temperaturabhängigkeit der Module gemessen
wird; denn wie schon erwähnt, läßt sich die WLF-Beziehung zur Umrechnung
der Temperaturabhängigkeit in eine Frequenzabhängigkeit bei diesen Stoffen
nicht ohne weiteres anwenden, so daß die im bauakustisch interessierenden
breit ausgedehnten Frequenzbereich auftretenden Module nicht bestimmt
werden können. Ein weiterer Nachteil speziell des Torsionsversuches ist
darin zu sehen, daß Dicke und Breite des auf Torsion beanspruchten Oberkörpers extrem genau bestimmt werden müssen, außerdem, daß die Dicken
eines solchen längeren Streifens nur wenige Milimeter zu betragen haben
- eine Bedingung, die technisch bei der Herstellung von Proben aus
Fugendichtstoffen kaum einzuhalten sind.
Auch andere Resonanzschwingungsversuche, wie der Versuch zur Bestimmung
der dynamischen Steifigkeit schwimmender Estriche nach DIN 52 214 [23],
die auf dem einfachen Masse-Feder-Prinzip beruhen, kommen aus dem gleichen
Grunde nicht in Frage.
Dies gilt auch für das an sich recht geschickt angeordnete VibrometerVerfahren nach DIN 53 426 [22].
3.3
Weitere Versuche zur Bestimmung elastischer Module
- freie Dehnwellenausbreitung
Kainradl und Händler [21], die sich wie zahlreiche andere Autoren mit
der Messung der dynamischen Eigenschaften von Vulkanisaten beschäftigten,
erwähnen neben den bereits beschriebenen Versuchstechniken noch weitere
Methoden zur Bestimmung komplexer elastischer Module:
-
Rückprallmethoden,
-
freie Longitudinalwellen,
-
erzwungene Schwingungen außerhalb der Resonanz.
Beim Rückprallversuch wird eine Probe einmalig durch einen Stoß (z.B.
einer fallenden Kugel) angeregt, und der zeitabhängige Verlauf ihrer Verformung entweder direkt gemessen, oder aber nur der zurückgewonnene
52
Energieanteil der reflektierten Kugel bestimmt.
Die letztere Meßmethode gestattet nicht die Bestimmung des Speichermoduls, sondern nur des Verlustmoduls, kommt daher hier nicht in Frage.
Denkbar wäre eine Auswertung des Zeitverlaufs der Verformung; über eine
Fourier-Transformation könnte eine Übertragungsfunktion gewonnen werden,
aus der sich die komplexen Module berechnen ließen. Erfahrungen mit
breitbandiger Anregung der elastischen Proben (nichts anderes stellt die
Stoßanregung dar), deren Ergebnis hier vorweggenommen werden soll, zeigen
aber, daß die Störeinflüsse eine genaue Messung im hochfrequenten Bereich nicht ermöglichen; außerdem wäre eine solche Stoßverformung ausreichender Amplitude notgedrungen mit einer nichtlinearen Verformung der
Probe verbunden, was zu nicht hinnehmbaren Verzerrungen im Frequenzverlauf führen würde. Stoßanregungsmethoden scheiden also aus.
Die Methode der Erzeugung freier Dehnwellen in langen viscoelastischen
Körpern, die auch in DIN 53 440 [28] in Sonderfällen beschrieben wird,
ist an mehrere Voraussetzungen gebunden:
-
Um die freie Dehnwellenausbreitung nicht durch die Messung selbst
(z.B. durch angehängte Massen) zu beeinflussen, wäre eine berührungslose Schwingungsmessung erforderlich, welche zu meßtechnischen
Schwierigkeiten führen würde;
-
eine untere Frequenzgrenze wäre durch die Bedingung gegeben, daß die
Dehnwellenlängen wesentlich kürzer als die Probenlänge zu sein hätten,
selbst bei einer unteren Grenzfrequenz von 100 Hz hätte die Probenlänge mehrere Meter zu betragen, was zu erheblichen Herstellungsschwierigkeiten führen würde;
-
die innere Dämpfung des Probenmaterials (der Verlustfaktor) dürfte
einen bestimmten Mindestwert nicht unterschreiten, damit nicht die
fortschreitende gedämpfte Welle durch reflektierte Anteile vom Ende
der Probe gestört und damit das Meßergebnis empfindlich beeinflußt
würde.
Aus all diesen Gründen scheidet auch diese Meßmethode aus.
53
3.4.
Erzwungene Schwingungen - Impedanzmeßtechnik
Die wesentlichen bekannten und angewandten Meßtechniken - der Biegeschwingungsversuch und der Torsionsschwingungsversuch - sind durch die
folgenden Merkmale allgemein charakterisierbar:
-
der mechanische Meßaufbau ist relativ komplex, in das Meßergebnis
gehen also die mechanischen Eigenschaften der mit der Probe gekoppelten
Bauteile wesentlich ein;
-
die Messungen basieren auf der Erfassung von Resonanzen, sei es durch
Messung an einer frei abklingenden Schwingung wie im Torsionsversuch,
sei es durch Bestimmung der Resonanzbreite beim Biegeschwingungsversuch.
Die Nachteile sind daher:
-
mathematische Korrekturen zur Bestimmung der Zielgröße E-Modul sind
erforderlich, erhebliche Fehlereinflüsse u.U. unvermeidbar;
-
der ausnutzbare Frquenzbereich ist gewöhnlich stark eingeschränkt;
-
E-Module können nur bei einigen wenigen Resonanzfrequenzen in diesem
Frequenzbereich bestimmt werden.
Einen prinzipiell anderer Weg bietet die Technik der Erzeugung erzwungener
Schwingungen auch außerhalb der Resonanz, gekoppelt mit einer Impedanzmeßtechnik.
Ober diese Technik und ihre Anwendung auf die Bestimmung dynamischer Module
viscoelastischer Materialien wird von Flocke [14], Ver [15], Crandall
und anderen [16] und - was die Grundlagen angeht - in DIN 53 513 [17]
ausführlich berichtet.
Wesentliche Voraussetzung dieser Technik ist eine dauerhafte Schwingungserregung, praktisch nur realisierbar durch elektrodynamische Schwingungserreger (Shaker). Ein prinzipieller Unterschied zu den bisher beschriebenen Techniken liegt also darin, daß ein stationärer und kein
abklingender Schwingungsvorgang untersucht wird.
Der zweite prinzipielle Unterschied besteht darin, daß außer der Messung
der Schwingungsamlitude auch eine zweite Schwingungsgröße, die maßgebend
für die Stärke der Schwingungsanregung ist, gleichzeitig gemessen werden
muß; das ist in der Regel die Anregungskraft; zur Messung weiterverar-
54
beitet wird weder die eine noch die andere Größe getrennt, sondern der
Quotient aus beiden, im Falle der Messung von Kraft und Schnelle eben
die "Impedanz"; dieser Umstand ist verantwortlich dafür, daß eine solche
Meßmethode nur mit erhöhtem elektronischen oder rechnerischem Aufwand
zu realisieren ist.
Die Impedanzmeßtechnik hat daher erst in den letzten Jahren, bedingt
durch die Verfügbarkeit komfortabler elektronischer Regeleinrichtungen
und noch später durch Prozeßrechner, Verbreitung gefunden. Sie ist daher
in den frühen Arbeiten nur theoretisch erwähnt [21].
Die Impedanzmeßtechnik gestattet es - bei geschickter Dimensionierung bei jeder beliebigen Frequenz in einem vorgegebenen Frequenzbereich zu
messen. Weiterhin erlaubt sie die Messung direkt an der Probe, der Einfluß von mechanisch angekoppelten Bauteilen ist vermeidbar oder zumindest kompensierbar.
Dadurch wird die rechnerische Auswertung besonders einfach, bei niedrigen Frequenzen kann direkt auf die Zielgröße, den E-Modul geschlossen
werden.
Weiterhin ist noch die Beanspruchungsart variierbar, durch geschickte
Anordnungen kann sowohl bei Dehn- als auch bei Schubbeanspruchung
gemessen werden.
Ein praktischer Vorteil schließlich, im Hinblick auf die Anwendung auf
Fugendichtstoffe, liegt darin, daß die Probengröße sehr klein zu sein
hat, und eine quaderförmige Ausführung nicht nur erlaubt, sondern auch
für die Probenherstellung besonders günstig ist. Dadurch werden die
schwingungsbeanspruchten Proben auch leicht zugänglich und leicht tem p erierbar.
Es wurde daher im Verlaufe dieser Forschungsarbeit konsequent und von
Anfang an der Weg der Impedanzmessung beschritten.
Die benötigten meßtechnischen Komponenten sind:
-
ein elektrodynamischer Schwingungserreger, gespeist über einen
Leistungsverstärker von einem regelbaren Oszillator;
-
zwei (piezoelektrische) Schwingungsaufnehmer für Kraft und Schnelle
oder Beschleunigung, gekoppelt mit geeigneten (Ladungs-)Verstärkern;
55
- eine Konstant-Regel-Einrichtung für eine der beiden Schwingungsgrößen oder - alternativ - ein mit den analogen elektronischen Meßgeräten koppelbarer Digitalrechner zur Auswertung.
Die Beschleunigung wird dabei an der einen, schwingungserregten Probenoberfläche gemessen, die Kraft, zusammen mit der Beschleunigung entweder
auf derselben Seite in einem sogenannten "Impedanzkopf", oder auf der
anderen, befestigten Probenseite durch einen separaten Schwingungsaufnehmer. Im ersten Fall ist eine zusätzliche Massenkompensations-Schaltung
oder -Rechnung erforderlich, welche die Wirkung der vor der Probe mitschwingenden Masse auf das Meßergebnis eliminiert.
Hierauf wird bei der Beschreibung der tatsächlich angewandten Meßtechnik
im nächsten Kapitel noch ausführlich eingegangen.
56
4.
WEITERENTWICKLUNG DER IMPEDANZMESSTECHNIK
4.1
Abschätzung von Meßparametern
Die folgenden Parameter sind praktisch vorgegeben:
-
Der erwünschte Frequenzbereich von 0...4 kHz.
-
Die typische Dichte der Probenmaterialien von p = 1,2 g/cm3.
-
Die relativ geringen E-Module (Speichermodule) weichgemachter
Fugendichtstoffe, die allerdings mit der Frequenz u.U. erheblich
ansteigen; als typischer Wert für den E-Modul bei quasi-statischer
Belastung oder bei Frequenzen bis 100 Hz beträgt nach Herstellerangaben etwa 1 N/mm = (wobei in diesem Zusammenhang nur Größenordnungen interessieren, also Genauigkeiten um den Faktor 3).
Obwohl selbstverständlich im Verlauf von Messungen sich immer wieder neue
Erkenntnisse über die anzusetzenden Randbedingungen ergeben, soll hier
einmal vnn fest vorgegebenen ausge g angen werden, wnhei die Ergebnisse
früher erhaltener Messungen vorweggenommen werden.
Charakteristisches Ergebnis der ersten orientierenden Messungen war ein
starkes Ansteigen des E-Moduls mit der Frequenz, und zwar typischerweise
gemittelt über den ganzen Frequenzbereich, proportional zur Frequenz.
(Als Probenmaterial diente dabei ein sich überwiegend plastisch verhaltendes Polyacrylat als Dichtungsmasse, bei dem die mechanische Dispersion
im bauakustischen Frequenzbereich besonders stark ausgeprägt ist; ein
Umstand allerdings, der sich für die Mehrzahl der Fugendichtungsmassen
als nicht repräsentativ erwies.)
Im folgenden werden die mechanischen Verhältnisse für zwei Extremfälle
abgeschätzt, das heißt für eine niedrige Frequenz von 40 Hz und eine hohe
Frequenz von 4 kHz.
Als typische Werte für den E-Modul sollten demnach
1 N/mm 2 bei 40 Hz und 100 N/mm 2 bei 4 kHz
angenommen werden.
Nun läßt sich ein empirischer Proportionalitätsfaktor c zwischen Kreisfrequenz w und E-Modul E definieren:
E = c • u mit c = 4000 kg/(m.$).
Die Schallgeschwindigkeit c nimmt nach der Formel c = 3 E/p nur noch
proportional mit der Wurzel zur Frequenz zu:
57
^
c
=
4,58 m/s
•3
f/Hz.
Um nun die wichtige Bedingung konphaser Verformung der Probe bei jeder
Frequenz ("Probe als Feder") zu überprüfen, welche ja gegeben ist für
den Fall, daß die Probendicke kleiner als die Viertel-Wellenlänge ist,
läßt sich nun auch diese abschätzen zu:
A/4 = c/(4f) = 1,14 m/ /f/Hz.
Demnach ergibt sich
A/4 = 18 cm bei 40 Hz, 1,8 cm bei 4 kHz.
Hieraus folgt bereits eine wichtige Meßbedingung:
Soll auch bei 4 kHz noch eine einfache Messung möglich sein, müssen alle
Probendimensionen in der Größenordnung von höchstens 1 cm liegen.
Aus praktischen Gründen - wesentlich kleinere Proben sind kaum herstellbar - liegt damit die Größenordnung der Proben von einem cm 3 bereits fest.
der fo.
der Quader
Al s Prohenformen kämen
d g C. UI E' ZylinderVI m I II Frage.
kämen Zylinder- oder
form
form scheidet aus Gründen der Herstellbarkeit aus, so daß eine Quaderform gewählt wurde. Aus weiteren technischen Gründen (Schraubanschlüsse,
Probentemperierung) wurde ein quadratischer Querschnitt der Kantenlänge
b = 12 mm gewählt; ebenso wurde als typische Dicke d = 12 mm festgesetzt.
Die Federsteife K einer solchen quaderförmigen Probe berechnet sich
nach Formel (14) und Querschnitt S = b 2 zu
K = E • S/d = K.w mit
K =
S/d .c.
Die Federsteife ist also ebenfalls zur Kreisfrequenz proportional mit
dem Proportionalitätsfaktor
K = 48 kg/s.
Da die Probenimpedanz Zp sich aus der Federsteife berechnet nach
Zp = K/jw ergibt sich - dank des proportional zur Frequenz ansteigenden
E-Moduls dieser typischen Fugendichtstoffprobe - eine im Mittel etwa
konstante (im Falle fehlender Dämpfung rein imaginäre) Probenimpedanz
von
Zp = -j • 48 kg/s.
Damit ergibt sich als frequenzabhängige Federsteife der Probe
K = 12 N/mm bei 40 Hz, 1200 N/mm bei 4 kHz.
58
Nach der Betrachtung der frequenzabhängigen elastischen Größen soll nun
das Schwingungserregersystem und die damit bei diesen als typisch angenommenen Proben erzielbaren Schwingungsamplituden und Wirkungsgrade
betrachtet werden.
Zur Anwendung sollte ein - in Anbetracht der kleinen Prüflinge - sogenannter Minishaker kommen. Das verfügbare Fabrikat konnte bei einer eingangsseitig maximalen Stromstärke von I max = 1,8 A eine maximale dynamische Kraft von Fmax = 10 N erzeugen. Die Wandlerkonstante M dieses
elektromechanischen Wandlers ergibt sich demnach zu M = 5,6 N/A.
Transformiert man nun die oben bestimmte mechanische Impedanz der Probe
nach einer bekannten Formel um, so erhält man eine auf der elektrischen
Seite "spürbare" Probenimpedanz von Zel = M 2 /Zp = 0,65 c. Mit dem bekannten eingangsseitigen ohm'schen Widerstand des Shakers von Ri = 3,5 2
ergibt sich ein Wirkungsgrad dieser Schwingungserregungs-Anordnung
n = Zel / ( Z el + Ri) = 16 %.
Da man einen besseren Wirkungsgrad hei vorgegebenem Probenmaterial
^ v 3 ^.^nu^ ^ ^Gi Ilul
bei kleinerem Querschnitt erreicht hätte, dieses aber nicht praktikabel
war, kann man mit diesem Wirkungsgrad zufrieden sein; das Schwingungserreger-System ist also an die Prüfanordnung gut angepaßt.
Nun ist unvermeidlich im Shaker und in der Meßeinrichtung eine mitschwingende Masse enthalten, die sich im gewählten Fall zu m = 80 g abschätzen läßt. Diese bewirkt in der Kombination mit der Probe als Feder
eine Eigenresonanz des Anregungssystems. Nach der Formel für MasseFeder-Resonanz-Systeme U res = 3 k(wres)/m ergibt sich - wegen der angenommenen Frequenzabhängigkeit der Federsteife K - nach der Formel
U res = K/m eine typische Resonanzfrequenz zu f res = 95 Hz.
Bei Frequenzen weit unterhalb dieser Resonanzfrequenz "fühlt" der Shaker
im wesentlichen die Probe als Feder; die maximal erreichbare Schwingungsamplitude an der Probenoberfläche xmax ergibt sich demnach nach der
Formel x max = F m a x /k zu:
x max = 1,2 mm entsprechend 10 % Verformung bei 40 Hz.
Bei Frequenzen weit oberhalb der Resonanzfrequenz, z.B. bei der als
maximal angesehenen Frequenz von 4 kHz, "sieht" der Shaker nur noch die
mitschwingende Masse; die maximale Beschleunigung amax ergibt sich demnach nach der Formel a max = Fma x /m zu 125 m/s 2 , woraus folgt:
x max = 0,2 pm bei 4 kHz.
59
Aus diesen extrem niedrigen Amplituden bei der oberen Grenzfrequenz selbst
bei extremer Beschleunigung läßt sich bereits folgern, daß es nicht
sinnvoll ist, eine andere - etwa optische - Methode der Amplitudenmessung vorzunehmen, (wie vorrübergehend geplant wurde), eine
Beschleunigungsmessung mit (leicht erhältlichen) Beschleunigungsaufnehmern
ist zweckmäßiger.
Schließlich soll noch ein weiterer Parameter beleuchtet werden:
Legt man die bei maximaler Anregungskraft berechnete Amplitude bei
höchster Frequenz zugrunde und berechnet den zur Verformung der Probe bei
dieser Frequenz notwendigen Kraftanteil, so erhält man Fe' = 0,24 N.
Das Kräfteverhältnis dieser zur Verformung benötigten Kraft im Verhältnis zur nur für die Massenbeschleunigung benötigten Kraft berechnet sich
dann zu
F el / F beschl = 1:40.
Bei relativ hohen Frequenzen überwiegen also die Massenbeschleunigungskräfte ganz wesentlich gegenüber den eigentlich zu betrachtenden elastischen Verformungskräften, aus welchen sich im Prinzip die Zielgröße
E-Modul berechnen läßt. Allein aus dieser Tatsache läßt sich bereits
erkennen, daß eine Bestimmung des E-Moduls durch die Impedanzmeßtechnik
bei sehr hohen Frequenzen prinzipiell immer schwierig sein wird, bzw.
Genauigkeitsprobleme aufwirft.
Es soll außerdem noch einmal betont werden, daß wesentliche Voraussetzung der hier gemachten Abschätzung eine starke Zunahme des E-Moduls
mit der Frequenz war; bei Proben mit anderem mechanischen Dispersionsverhalten, also weniger mit der Frequenz steigendem Modul, ist mit zusätzlichen Schwierigkeiten zu rechnen, die dadurch verursacht werden,
daß bei sehr hohen Frequenzen möglicherweise die Viertelwellenlänge
die Probendicke unterschreitet.
Dann würden gänzlich andere Berechnungsverfahren und Genauigkeitsbetrachtungen erforderlich.
60
4.2
Direktes Verfahren an dünnen Proben mit Sinusanregung in Analog mef3techni k
Im folgenden wird der zu allererst realisierte Meßaufbau beschrieben, der
nach Vorbildern aus der Literatur und den Überlegungen im Kapitel 3 erstellt wurde, und mit dem die schon erwähnten orientierenden Mef3ergeb-nisse erhalten wurden, die für alle Weiterentwicklungen von entscheidender Bedeutung werden sollten.
4.2.1 Mechanischer Aufbau einer einfachen Apparatur
Den mechanischen Aufbau der Apparatur zeigt im ganzen das Foto, Bild 14.
Das quaderförmige Rahmengestell
besteht aus drei planparallelen
und extrem biegesteifen Stahlplatten, von denen die unterste
die Grundplatte, die mittlere
die in der Höhe verstellbare
Halterung für die Probe und die
oberste die Halterung für den
Shaker bildet. Die Hühenverstellbarkeit der mittleren
Platte gewährleistet ein
bequemes Einspannen der Probe
zwischen Rückbefestigung und
Schwingungsanregung.
Bild 14: Mechanischer Aufbau der ersten
Meßapparatur (ganz)
Fraunhofer-insfilut für Bauphysik
61
Das Foto Bild 15 zeigt von unten nach oben die kleine quaderförmige Probe,
eingeklebt zwischen zwei
ebenfalls quaderförmige
Probenhalterungen aus
Aluminium, darüber den
sogenannten "Impedanzkopf",
der zuunterst und im
Inneren den piezoelektrischen Kraftaufnehmer und
darüber einen ebenfalls
piezoelektrischen Beschleunigungsaufnehmer enthält,
darüber eine längenausglei-
chende Schraubverbindung,
über die der darüber befindliche topfförmige, elektromagnetische Shaker angeordnet
ist, der seinerseits an der
Deckenplatte fest angeschraubt
ist. Der Meßaufbau ist also
denkbar einfach: alle
mechanischen Komponenten
Bild 15: Mechanischer Aufbau der ersten
sind auf einer einzigen
Meßapparatur (Detail: Bewegliche
Mittelachse angeordnet;
Komponenten, Probekörper)
der Schwingungsvorgang ist also rein eindimensional.
Wichtig ist ferner: Beschleunigung und Kraft werden auf derselben, der
schwingungserregten Prohenseite gemessen; die Vorbilder dafür sind die
Meßanordnungen von Ver [15] und Crandall u.a. [16].
Diese Meßanordnung wurde - anstelle der ebenfalls möglichen Kraftmessung
hinter bzw. unter der Probe, wie von Flocke [14] realisiert, - aus zwei
praktischen Gründen gewählt:
- geeignete Impedanzköpfe standen im Institut bereits zur , Verfügung;
- eine Kraftmessung hinter der Probe hätte die später geplante
alternative Meßanordnung zur Bestimmung des Schubmoduls G bei
Scherbeanspruchung der Probe nicht erlaubt.
Fraunhofor•Institut fur Bauphysik
62
4.2.2 Schaltung
Bild 16 zeigt ein Prinzipschaltbild des apparativen Aufbaus.
Leis tungsverstirker
Oszillator
Shaker
F'=F—mv•a
Kompressor
mv. a
Impedanz—
kopf
Ladungsverstärker
1
a
effektive
Mitlauffilter
Hasse m
Integrator
Probe
+6,
Probenhalterung
x—y—Schreiber
E (f)
Bild 16: Schema des mechanischen Aufbaus (links) und der Verschaltung der
elektrischen Geräte (rechts) der ersten Meß-Apparatur in Analo g Technik
Auf der linken Seite sind die schon in Bild 15 gezeigten mechanischen
Komponenten zu erkennen. Der elektrodynamische Schwingerreger (Shaker)
wird - über einen Leistungsverstärker, (der hier nur als Impedanzwandler
wirkt) - gespeist von einem von Hand regelbaren Sinus-Generator (Oszillator). (Der Verstärker ist ein zum Shaker passender Spezialtyp, der eine
Oberlastung durch Strombegrenzung auf 1,8 A ausschließt.) Kraft- und
Beschleunigungssignal F und a, aus den internen piezoelektrischen
Elementen des Impedanzkopfes werden jeweils einem Ladungsverstärker
zugeführt; das Ergebnis sind also kraft- bzw. beschleunigungsproportionale
Spannungen. Wie schon in Kapitel 3.4 erläutert, ist - will man eine
rechnerische Meßauswertung vermeiden - zur direkten Darstellung des
Meßergebnisses die Konstanthaltung einer der beiden Schwingungsgrößen
63
notwendig. Wegen der nach der Abschätzung von Kapitel 4.1 zu erwartenden extremen Dynamik des Beschleunigungssignals ist es zweckmäßig, die
Kraftamplitude konstant zu halten.
Um nun die Zielgröße E-Modul, welche proportional zur komplexen Federkonstante der Probe ist, direkt messen und anzeigen zu können, ist nur
diejenige Kraftkomponente zu separieren und konstant zu halten, die allein
durch die elastische Verformung bewirkt wird. Die am Impedanzkompf gemessene Kraft F umfaßt jedoch zusätzlich noch die Kraft, die zur Beschleunigung der vor in der Probe befindlichen (prinzipiell immer unvermeidlichen Massen) m erforderlich ist; diese Kraftkomponente - m.a - ist
also auf geeignete Weise vom gemessenen Kraftsignal F zu subtrahieren;
aus diesem Grunde wird vom Beschleunigungssignal a über ein Potentiometer
ein Spannungsanteil abgezweigt und einem Subtrahier-Verstärker (siehe
Bild 16) zugeführt; das so erhaltene Differenzsignal F', das der rein
elastischen Kraft entspricht, wird nun einem "Kompressor" zugeführt. Der
Kompressor ist ein Verstärker, der geringste Abweichungen der Amplitude
des Eingangssignals von einem Sollwert so stark verstärkt und zur
Regelung der Amplitude des Oszillators verwendet, so daß die Abweichungen
von F' vom Sollwert minimal werden, ja die Kraftamplitude F' als tatsächlich konstant betrachtet werden kann. Die Stärke der Schwingungserregung wird in diesem Regelkreis also - unabhängig von allen anderen
Einflüssen - immer gerade so eingeregelt, daß die auf die Probe wirkenden
elastischen Kräfte konstant sind.
Unter dieser Voraussetzung kann nun das Beschleunigungssignal zweimal
integriert werden zu einem Weg- bzw. Schwingungsamplituden-Signal - x;
zur Ausschaltung aller Störeinflüsse, die nicht ursächlich mit der Schwingungserregung zusammenhängen, wird dieses Signal einem "Mitlauffilter"
zugeführt, das auf die Oszillatorfrequenz jeweils eingestimmt ist. (Bandbreite ca. 3 Hz). Dessen Ausgangssignal wird gleichgerichtet. Die Gleichspannung wird - gegebenenfalls logarithmiert - zur Steuerung des y-Wertes
auf einen xy-Schreiber gegeben. Der x-Wert dieses Schreibers wird von
einer Gleichspannung gesteuert, die proportional zum Logarithmus der
Oszillatorfrequenz ist. Die Schwingungsamplitude der Probe kann also mit
dem xy-Schreiber direkt als Funktion der Frequenz und zwar bei konstanter
elastischer Kraft aufgetragen werden.
Da x/F nichts anderes als die Nachgiebigkeit (Kehrwert der Federsteife)
der Probe darstellt, bedeutet dies:
64
Die Schaltung erlaubt es bei geeigneter Eichung, die Nachgiebigkeit
elastischer Proben - unabhängig von Resonanzen oder sonstigen Störeffekten - direkt und ohne rechnerische Meßauswertung als Funktion der Frequenz graphisch aufzutragen.
4.2.3 Vor-Massen - Kompensation
Als Vor-Massen-Kompensation wird die Subtraktion der Kraftkomponente
zur Beschleunigung der vor der Probe befindlichen Massen von der gemessenen
dynamischen Kraft verstanden.
Ist x der Schwingungsweg und a die Beschleunigung, so setzt sich die
Kraft F zusammen aus der elastischen Kraft K • x und der Massenbeschleunigungskraft m y . a:
F = K• x + m • a
—
—
—
v
—
(46)
Soll die elastische Kraft F' separat gemessen werden, so muß die Beschleunigungskraft also subtrahiert werden:
F' = F - m • a = K
—
—
v
—
—
• x
—
(47)
Da - wie in Kapitel 4.1 gezeigt - bei sehr hohen Frequenzen die MassenBeschleunigungs-Kraft die elastische Kraft bei weitem übertreffen kann,
werden bei dieser Subtraktion zwei annähernd gleich große Größen voneinander subtrahiert um eine relativ kleine Größe, die jedoch die eigentliche Zielgröße ist, zu bestimmen.
Hierin liegt die Problematik dieses Meßverfahrens.
Die einzusetzende Vor-Masse m y muß also sehr genau vorherbestimmt werden.
Eine Massenbestimmung mit einem Impedanzkopf ist nun aber sehr einfach:
Die Masse ergibt sich einfach als Quotient aus den gemessenen Kraftund Beschleunigungssignalen. Genauer noch kann die Vor-Masse bestimmt
werden durch einen Null-Abgleich, der Kraft F':
Dazu wird die Verstärkung des Potentiometers va' bei bekannten Verstärkungsfaktoren für die Kraft - vF und für die Beschleunigung - va - in den
Ladngsverstärkern so eingeregelt, daß F' zu 0 wird. Schwingt die Vormasse
frei, also ohne eingespannte Probe, ist also keine Federsteife K vor-
65
handen, so ist nach Gl. 47
-v = m • a ;
wird nun nach erfolgtem Nullabgleich von F die Potentiometerverstärkung
va' gemessen, so läßt sich die mitschwingende Masse my bestimmen nach
der Gleichung
V
m v
a
••1
a
(48).
vF
Nun ist die Probe selbst ja nicht masselos, zumindest bei höheren Frequenzen sind die internen Massenbeschleunigungskräfte gegenüber den elastischen Kräften nicht mehr zu vernachlässigen.
Es wird nun von der - entscheidenden - Annahme ausgegangen, daß trotzdem
die Viertel-Wellenlänge in der Probe noch wesentlich größer als die
Probendicke ist; demnach verteilen sich über die Probendicke die
Schwingungsamplituden linear, d.h. sie nehmen proportional zum Abstand
von der befestigten Probenseite zu; im Mittel herrscht also in der Probe
die Hälfte der an der anderen Probenoberfläche gemessenen Beschleunigung
vor; deswegen ist als effektive dynamische Masse der Probe die Hälfte
ihrer Gesamtmasse einzusetzen.
Die zur Vormassenkompensation einzusetzende Masse ist also gleich der
eigentlichen Vormasse plus der halben Probenmasse.
Um diese Masse zu bestimmen, sind zwei Vorversuche notwendig:
Es wird erst ein Nullabgleich zur Bestimmung der eigentlichen Vormasse
durchgeführt. Als zweites wird an die freischwebende Probenhalterung die
ganze Probe angeklebt und durch einen zweiten Nullabgleich die Masse
dieser Gesamtanordnung bestimmt.
Die zur richtigen Vormassenkompensation anzusetzende effektive Masse
ergibt sich nun als arithmetisches Mittel der in diesen beiden Vorversuchen bestimmten Massen; das Potentiometer in der Schaltung nach Bild 16
wird dementsprechend also auf ein arithmetisch aus den beiden Vorversuchseinstellungen gemittelten Wert eingestellt.
Wird nun die Probe auch rückseitig auf den festen Untergrund aufgeklebt,
ist die Meßapparatur fertig geeicht und kann zur direkten Bestimmung der
Probennachgiebigkeit und damit des Elastizitätsmoduls bei Kontanthaltung
der elastischen Kraft F' auch bei höheren Frequenzen eingesetzt werden.
66
4.2.4 Erste Meßergebnisse an Fugendichtstoffproben
Der zuerst verfügbare, und zuerst zum Einsatz gekommene Prüfstoff war
ein stark plastischer Fugendichtstoff auf Acrylatbasis des Typs "Therostat".
Er schien auch deshalb geeignet, weil ein scheinbar weicher - vermutlich
mit steigender Frequenz zunehmend wesentlich harter werdender - und mit
hoher, durch die Plastizität bewirkter Dämpfung behafteter Prüfstoff für
eine erste Messung durchaus erwünscht war. Der erste Probekörper hatte
Abmessungen von
4 cm Breite, 5 cm Länge - also 20 cm 2 Querschnittsfläche - und - in
Beanspruchungsrichtung - 3 cm Dicke.
Die zugehörige Formfunktion hätte nach [13] und Formel (29) einen
wert von 1,35, der aber zunächst nicht in die Bewertung einging.
Die elastische Kraftkomponente F' wurde mit Hilfe der Schaltung nach
Bild 16 auf konstant 1 N eingestellt.
Bild 17 zeigt die gemessene Schwingungsamplitude linear aufgetragen als
Funktion der logarithmisch dargestellten Frequenz. Wegen der Randbedingung
einer konstant gehaltenen elastischen Kraft zeigt diese Kurve qualitativ
auch das Verhalten der Probennachgiebigkeit. Die Nachgiebigkeit sinkt
also, wie man sofort erkennt, drastisch mit der Frequenz ab.
Bildet man elektronisch den Logarithmus des Nachgiebigkeitswertes und
trägt ihn mit negativem Vorzeichen graphisch durch den xy-Plotter auf,
so erhält man - unter Berücksichtigung der notwendigen Umrechnungsfaktoren, die aber nur eine vertikale Paralelverschiebung bewirken, - Bild
18; hier ist der E-Modul logarithmisch direkt als Funktion der Frequenz
aufgetragen.
Man erkennt, daß in einem mittleren Frequenzbereich - 100 Hz bis 1 kHz der E-Modul offenbar gemäß einer Potenzfunktion mit der Frequenz steigt;
bei niedrigeren und höheren Frequenzen deuten sich Sättigungswerte an.
(Die Maximalwerte von E bei hohen Frequenzen sind offenbar unregelmäßigen
Schwankungen unterworfen; die Meßtechnik stößt hier insofern an ihre
Grenzen, da diese Maximalwerte Minimalwerten der gemessenen Amplitude
entsprechen, und die zugehörigen elektrischen Spannungen in den Bereich
des Eigenrauschens der elektronischen Apparatur geraten, das trotz
Einsatz des Mitlauffilters nicht ganz unterbunden werden konnte. Es ist
also nicht ausgeschlossen, daß der E-Modul mit steigender Frequenz in
Wirklichkeit noch weiter steigt.)
67
- Bild 17:
)(Lam]
20 Weg-Amplitude als Funktion der
Frequenz, aufgetragen bei konstanter Elastischer Kraftkomponente
von 1N. Die Amplitude ist demnach
proportional zur Probennachgiebigkeit.
10
5-
210
20 Hz
200 HZ
10kHZ
2kHZ
f[Hz]
Bild 18:
E-Modul-Betrag von "Therostat"-Fugendichtstoffprobe
als Funktion der Frequenz
logarithmisch aufgetragen.
"E-Modul" der mitbeschleunigten Masse " f2.
20
100 Hz
lOk Hz
1k Hz
f [Hz]
68
Legt man eine Ausgleichsgerade im mittleren Frequenzbereich an die Meßkurve an, so erhält man die folgenden mittleren Frequenzabhängigkeiten
probenspezifischer Größen:
-
E-Modul
E
f1.76;
-
Schallgeschwindigkeit c
f0.88;
_012
f
- Wellenlänge
x
Die Schallgeschwindigkeit ist mit 20 m/s bei 20 Hz und 130 m/s bei 1 kHz
erheblich niedriger als die Schallgeschwindigkeit in Luft. Die zu erwartenden Wellenlängen in den Probenmaterialien sind also - leider relativ klein. Bedingt durch den sehr stark - bis zu quadratisch - mit
der Frequenz ansteigender E-Modul sinkt aber die Wellenlänge in der Probe
mit zunehmender Frequenz nur schwach ab.
Trotzdem ergab sich bei dieser ersten Messung, daß bei etwa 1 kHz die
Viertel-Wellenlänge die Probendicke unterschreitet.
Es läßt sich also abschätzen:
Dieses Impedanzmeßverfahren ist (bei den zu erwartenden Probentypen) bis
zu einer Frequenz in der Größenordnung von 1 kHz geeignet, darüber sind
die Grundannahmen verletzt.
(Die Schallgeschwindigkeiten ergaben sich bei dieser Rechnung unter Zugrundelegung einer zu 2,35 g/cm 2 bestimmten Dichte des Probenmaterials.)
Einen Anhaltspunkt zum Vergleich zwischen elastischen und Massenbeschleunigungs-Kräften bei dieser Meßanordnung ergibt die Auftragung eines
"E-Moduls der Vormasse", der formal nach den für die Probe gültigen
Umrechnungsformeln berechnet wird; dies stellt die gestrichelte Kurve
in Bild 18 dar. Da die Massenbeschleunigungskräfte streng proportional
zu f 2 sind, ist diese Kurve eine steil ansteigende Gerade. Beim Schnittpunkt beider Kurven bei etwa 300 Hz herrscht also eine Resonanz aus der
Probe als Feder und der Masse vor. Hier hat also die gemessenen Gesamtkraft F (nahezu) einen Nullwert.
Mit steigender Frequenz nehmen - wie Bild 18 zeigt - die Massenbeschleunigungskräfte relativ zu den elastischen Kräften zu; dies wäre um so
stärker der Fall je schwächer der E-Modul mit der Frequenz anstiege.
Ein stark mit der Frequenz ansteigender E-Modul ist also im Hinblick
auf die Meßgenauigkeit bei hohen Frequenzen sogar erwünscht.
Der Phasenverlauf des E-Moduls dieser ersten Probe wurde im übrigen ebenfalls - durch direkten Anschluß eines Phasenmeßgerätes - gemessen.
69
Die Phase zeigte hierbei ein deutliches Maximum im Hauptversteifungsgebiet der Probe im mittleren Frequenzbereich - genau wie es nach der
Theorie viscoelastischer Stoffe nach Oberst (Bild 1 und 2) zu erwarten
ist.
Zusammenfassend kann also gesagt werden:
Dieses erste Meßergebnis erschien glaubwürdig, weil es in guter
qualitativer Obereinstimmung mit der Viscoelatizität (s. Kap. 2) stand.
4.3
Digitalisierung der Meßtechnik
Eine Digitalisierung der Meßtechnik, das heißt der Ersatz der analogen
Meßgeräte durch digitale und anschließende rechnerische Auswertung durch
einen Computer, wurde aus den folgenden Gründen vorgenommen:
- es war absehbar, daß sehr viele Fugendichtstoffproben mit Hilfe
immer derselben Meßtechnik zu untersuchen sein würden, um eine
Gruppierung hinsichtlich bauakustischer Eigenschaften vornehmen
zu können; es wurde also eine Rationalisierung der Meßtechnik angestrebt;
- eine rechnerische Auswertung nach wohldefinierten Programmen gewährleistet eine bessere Reproduzierbarkeit der Meßergebnisse;
- die Speicherung aller relevanten Meßergebnisse und zugehörigen
Meßparameter, Randbedingungen etc. durch ein Rechnerprogramm erlaubt eine optimale Datenverwaltung;
- sind alle Daten in genormter Weise einmal gespeichert, so folgt
daraus, daß sie alle in der gleichen Weise durch ein nur einmal
zu erstellendes weiteres Computerprogramm zur Berechnung der letztlich interessierenden Zielgrößen wie der Körperschalldämmung unter
vorgegebenen Randbedingungen weiter verarbeitet werden können;
- durch konsequenten Einsatz digitaler Meßtechnik entfallen alle langwierigen und fehleranfälligen Abgleichvorgänge an elektronischen
Meßgeräten; sie werden ersetzt durch einfache Eingabe numerischer
Hilfsparameter oder gar durch. feste Abspeicherun g derselben.
70
Die Digitalisierung der Meßeinrichtung erfolgte in mehreren Schritten. Da
eine Umstellung auf computergesteuerte Messung und computergesteuerte
Meßgeräte immer den Nachteil hat, daß die Apparatur wesentlich verkompliziert wird, und daß dadurch in der Entwicklungsphase zahlreiche Fehlsteuerungen möglich sind, wurde nach jedem Entwicklungsschritt die Obereinstimmung der Meßergebnisse mit den ursprünglich in Analogtechnik erhaltenen Meßergebnissen kontrolliert.
Hierbei ergaben sich keinerlei systematische Fehler; die Umwandlungsschritte seien daher ohne Nennung der Zwischenergebnisse hier nur summarisch
aufgelistet:
- Ersatz von Meßgeräten durch Computer
Alle elektronischen Meßgeräte - außer den Ladungsverstärkern und dem
Leistungsverstärker für den Shaker sowie dem Differenzverstärker,
d.h. alle Komponenten, die auf der rechten Seite von Bild 16 dargestellt sind, - wurden ersetzt durch einen mikroprozessorgesteuerten
Fourier-Analysator und einen angeschlossenen Personal-Computer.
(Hierbei mußten zahlreiche Anpassungsprobleme zwischen dem Analysator und dem Computer gelöst werden, wie z.B. die Umwandlung von
Datenformaten, die automatisierte Fernbedienung, gegenseitige
Koordinierung von Rechenzeiten etc., die - aufgrund nur geringer Erfahrung in diesem Sonderfall automatisierter Meßtechnik - zwar viel
Zeit kosteten, auf die aber hier nicht näher eingegangen werden
soll).
- Neue Amplitudenregelung
Ein Konstanthalten der Kraftamplitude ist danach nicht mehr auf die
gleiche Weise wie vorher möglich; der vorherige elektronische Regelkreis mußte durch eine entsprechende Programmierung simuliert werden;
wegen eines fest vorgegebenen Amplitudenrasters war dies mit einem
Verlust an Genauigkeit der Konstanthaltung verbunden, was jedoch
insofern unerheblich ist, daß eine Amplitudenabhängigkeit des
Meßergebnisses kaum vorhanden war;
71
- Rechnerische Integration
Die elektronische zweifache Integration des Beschleunigungssignals
(s. Bild 16) wurde numerisch durch Multiplikation mit dem Quadrat
der jeweiligen Kreisfrequenz ersetzt;
- Rechnerische Subtraktion
Schließlich wurde der analoge Subtrahierverstärker - und dessen
manuelle Eichung - ersetzt durch eine digitale Subtraktion des
Wertes m v • a von der gemessenen Kraft F nach Gl. 47.
Im folgenden wird nur der Endzustand der Schaltung bzw. das nach vollständigem Umbau der Apparatur erhaltene Meßergebnis dargestellt.
Zunächst wurde nach wie vor die elastische Kraftkomponente konstant
gehalten. Das Meßprogramm EMODSINMES wurde später mehrfach geändert zur
Realisierung anderer Methoden der Amplituden-Konstanthaltung. Diese
zahlreichen, arbeitsaufwendigen Umbauschritte sollen hier nicht explizit beschrieben werden. Auf die Amplitudenabhängigkeit der Meßergebnisse
und Fragen der Signalkonstanthaltung wird im Kapitel 4.4 pauschal
eingegangen.
4.3.1 Vereinfachte Schaltung
Ein Blockschaltbild des apparativen Aufbaus zeigt Bild 19.
Der linke Teil von Bild 19 entspricht dem von Bild 16, d.h. dem bekannten
Meßaufbau. Dieser ist demnach über drei Leitungen (Ansteuerung für den
Schwingungsgeber, Kraft- und Beschleunigungssignal) an einen integrierten
Zweikanal-Fourier-Analysator mit synchronem Signalgenerator angeschlossen.
Dieser ist über eine digitale Datenübertragungsleitung mit einem PersonalComputer verbunden, der den gesamten Meßvorgang nach den Benutzervorgaben
automatisch steuert; die Ergebnisse können numerisch und graphisch auf
Drucker und Plotter dargestellt werden und zum Zwecke der weiteren Meßauswertung auf einer Magnetplatte (Floppy-Disk) gespeichert werden.
72
Bild 19: Schema des mechanischen Aufbaus (links) und der Verschaltung der
elektronischen Geräte (rechts) der einfachen Meß-Apparatur in
Digital-Technik
Der synchrone Signalgenerator - ebenso wie der eigentliche Analysator
durch Digitalbefehle steuerbar - ersetzt den Oszillator der früheren
Meßanordnung. Sowohl sinusförmige Signale (wie bisher) als auch breitbandige Rauschsignale können - in Abstimmung mit dem am Analysator eingestellten Frequenzbereich - erzeugt werden.
Der Analysator selbst tastet sowohl das Beschleunigungs- als auch das
Kraftsignal in einem bestimmten Zeitbereich und in gleichen Zeitabständen
ab, als Ergebnis liegen pro Kanal je 1024 zeitabhängige und digitale
Meßwerte vor. Durch die mikroprozessorunterstützte Fourier-Transformation werden diese Werte in 4 x 400 frequenzabhängige, gleichmäßig den
gewählten Frequenzbereich abdeckende Zahlenwerte umgerechnet. Daraus
wird eine sogenannte Übertragungsfunktion errechnet, die im wesentlichen
dem frequenzabhängigen Quotienten aus dem Kraft- und dem Beschleunigungssignal, also der Trägheitsfunktion m (w), entspricht. (Diese ist eine
der Impedanz direkt proportionale Funktion.)
73
Zwischen Personalcomputer und Analysator werden mehrere Datengruppen ausgetauscht:
- die Steuerparameter, die den gesamten Meßablauf, Übergangszeiten,
sowie Amplituden- und Frequenzbereiche vorgeben;
- die Meßparameter, die die vom Analysator gewählten Eingangsver-
stärkungen, tatsächlich eingestellte Frequenzen, etc. angeben;
- die eigentlichen Meßwerte, also die 400 komplexen Werte der Obertragungsfunktion m(w).
Im Personalcomputer werden aus der gemessenen Übertragungsfunktion, vorgegebenen Hilfsparameter (wie z.B. der Probenmasse), und den vorgegebenen
Auswertungsformeln die Werte des frequenzabhängigen E-Moduls berechnet.
Im Datenspeicher werden alle Meßparameter, alle probenabhängigen Parameter
(wie z.B. Abmessungen, verbale Probenbeschreibung) und die berechneten
Werte des frequenzabhängigen E-Moduls in genormter Weise abgelegt, um den
automatisierten Zugriff von Weiterverar-beitungsprogrammerl zu ermöglichen.
4.3.2 Funktionsweise des Analysators
Der Zweikanal-Fourier-Analysator ist selbst praktisch ein für akustische
Meßzwecke spezialisierter Computer. Seine Einsatzmöglichkeiten - und
damit auch seine Bedienungserfordernisse - sind außerordentlich
vielfältig, seine Struktur und seine Bedienung sind sehr kompliziert.
Für den hier beschriebenen Meßzweck wurde jedoch nur ein sehr kleiner
Teil all dieser Möglichkeiten genutzt. Es soll daher kurz das Wichtigste
über die in diesem Falle genutzten Operationen des Analysators gesagt
werden.
(Alle weiteren Details - die zum Teil auch zum Verständnis der zahlreichen
speziell für den hier beschriebenen Meßzweck erstellten PersonalcomputerUnterprogramme notwendig sind - sind im Hersteller-Handbuch der Scientific
Atlanta Spectral Dynamics Division mit dem Titel "Digital I/O-Interface
(-3 Option) SD 375 Dynamic Analyzer II" beschrieben.)
74
Um eine Fourier-Transformation eines elektrischen Spannungssignals vorzunehmen, ist zunächst eine "Abtastung" notwendig. In periodischen
Zeitabständen wird dazu je ein Spannungswert digitalisiert, d.h.
in eine
Zahl verwandelt. (Der SD 375 nimmt 1024 Werte auf.) Für die Praxis
wichtig ist, daß vor Darstellung eines Meßergebnisses also erst eine
gewisse Zeit gewartet werden muß. Der Zeitabstand zwischen den Einzelabtastungen, daher auch diese Wartezeit, ist prinzipiell um so länger,
je genauer das Meßsignal frequenzmäßig analysiert werden soll.
Aus den 1024 zeitabhängigen Werten wird nun - nach einem optimierten
mathematischen Algorithmus, der im internen Mikroprozessor abläuft, - die
Fourier-transformierte Funktion, d.h. eine Kette von 400 frequenzabhängigen Werten, berechnet.
Ist das zeitabhängige Eingangssignal gegeben durch x(t), so berechnet
sich jeder Wert der Fourier-transformierten
X(w) durch ein im Prinzip
unendliches Integral, das komplex darstellbar ist als
X(w)
= 1:
e -jwt x(t) dt
Praktisch wird natürlich nur über eine endliche
(49).
Zeit, eben die oben be-
schriebene Meßdauer, integriert.
Auf diese Weise wird sowohl das Beschleunigungs-Signal a(t) als auch
das Kraftsignal F(t) transformiert zu entsprechenden frequenzabhängigen
Funktionen. (Streng genommen müßten hierfür neue mathematische Symbole
eingeführt werden. Da jedoch im weiteren die zeitabhängigen Funktionen
keine Rolle mehr spielen, wird die schon bisher benutzte Schreibweise
a und F beibehalten.)
Jeder Wert a bzw. F steht nun nicht mehr für einen momentanen gemessenen
Beschleunigungs- bzw. Kraft-Meßwert, sondern für die komplexe Amplitude
einer im gesamten Meßsignal enthaltenen harmonischen Schwingung der
Frequenz
w.
Anschaulich läßt sich die Wirkung der Fourier-Transformation und ihre
Deutung also wie folgt beschreiben:
Wird das Meßobjekt breitbandig, d.h. gleichzeitig zu Schwingungen aller
Frequenzen, in einem vorgegebenen Frequenzband, angeregt, so braucht der
komplexe Schwingungsverlauf nur einmalig über eine gewisse Zeitspanne
gemessen zu werden, um die Amplituden aller im Meßsignal enthaltenen
Einzelschwingungen (harmonischen Schwingungen) "herausfiltern", d.h.
analysieren zu können.
75
Die Messung der frequenzabhängigen Eigenschaften eines Obertragungssystems, hier des frequenzabhängigen E-Moduls viscoelastischer Proben,
ist somit - unter gewissen Voraussetzungen - "auf einen Schlag" möglich.
Nun interessiert hier nicht die Analyse zweier Einzelsignale selbst,
sondern deren "Obertragungsfunktion" zueinander. Diese Obertragungsfunktion
ist nun, dank der Fourier-Transformation, in der frequenzabhängigen
Darstellung nichts anderes als der komplexe Quotient der den beiden
Eingangssignalen zugeordneten Funktionen. Die Obertragungsfunktion (oder
Transferfunktion TF)
H(w)
ist also
F(w)
H(w)
(50).
a(w)
Im internen Microprozessor wird sie allerdings auf indirekte Weise aus
anderen Funktionen berechnet. Dies sind die Leistungsspektren GAA und
GF F sowie das Kreuzleistungspektrum GEA. Erstere beiden sind jeweils
die Betragsquadrate der frequenzabhängigen Fourier-transformierten
Funktionen a(w) und F(w), also reelle Funktionen von
w,
das Kreuzleistungs-
e Signale
1a iu
e nd
spektrlum Ist das entsprechende Produkt beider
a und
1
üntel e l n-
ander, also eine komplexe Funktion bestehend aus Real- und Imaginärteil.
Diese insgesamt vier einzelnen reellen Funktionen aus jeweils 400 frequenzabhängigen Werten, also zusammen 1600 Zahlen, stellt der interne
Mikroprozessor nach jedem einzelnen Abtastvorgang als Ergebnis seiner
Fourier-Transformation zur Verfügung.
Die interessierende Obertragungsfunktion
H(w)
wird nun berechnet nach
der Formel
H(w) = G FA re
+
j G FA im
(50a);
G AA
Diese Formel ist entweder im Analysator selbst schon programmiert (zur
Darstellung auf dem Bildschirm) oder wird im Personalcomputerprogramm
angewendet.
Die physikalische Bedeutung der Obertragungsfunktion
H(w)
ist im Falle
der Messung von Beschleunigung und Kraft eine Masse bzw. eine komplexe
Trägheit m, welche - als Ersatz für die Meßgröße "Impedanz" - im folgenden
als die eigentliche frequenzabhängige Meßgröße behandelt wird.
Im Falle der breitbandigen Probekörperanregung ergibt sich m direkt als
frequenzabhängige Funktion.
76
Nun kann es aber sein, daß - wegen nicht ausreichender Anregungsstärke
- eine "Kohärenz" unter den Signalen a und F nicht für alle Frequenzen w
gegeben ist; d.h., diese Nutzsignale sind von verschiedenen Störsignalen
(z.B. äußere Erschütterungen, Eigenrauschen der elektronischen Apparatur)
so stark überlagert, daß eine zuverlässige Bestimmung der Obertragungsfunktion in diesem Frequenzbereich nicht möglich ist. Die Kohärenz y2 läßt
sich ebenfalls aus den vier Leistungsspektren G berechnen, und zwar nach
Y2 =
I GFA
2
(51).
G AA • G FF
(Dies kann wieder entweder im Analysator selbst zur direkten Darstellung
auf dem Bildschirm als auch im angeschlossenen Personalcomputer
geschehen.) y2 ist in jedem Falle eine Zahl zwischen 0 und 1; je näher
sie an 1 liegt, desto zuverlässiger ist der zugehörige Meßwert H (w).
Für zuverlässige Meßwerte liegt y2 oberhalb von 0,9.
Bei breitbandiger Anregung der beschriebenen mechanischen Meßapparatur
ergab sich nun (wie weiter unten diskutiert wird), daß eine ausreichende
Kohärenz sich allenfalls abschnittsweise in schmalen Frequenzbereichen
erzielen läßt. Es wurde daher bei dem im folgenden zu beschreibenden
Meßverfahren häufig von der breitbandigen Anregungsmöglichkeit des
Meßobjektes kein Gebrauch gemacht, der Probenkörper wurde - nicht zuletzt um eine verbesserte Vergleichsmöglichkeit zum bisherigen analogen
Meßverfahren zu erreichen - nach wie vor nur zu sinusförmigen Schwingungen, d.h. zu Schwingungen nur einer Frequenz angeregt. Aus der
ganzen vom Analysator gelieferten Obertragungsfunktion H(w) (400 komplexe Werte) bleibt also demnach nur ein einziger komplexer Wert (eben
bei dieser Frequenz) mit ausreichender Kohärenz übrig.
Um dann eine trotzdem frequenzabhängige Messung im gewünschten Frequenzbereich durchführen zu können, müssen also, durch digitale Fernsteuerung
des Analysators, immer neue Einzelfrequenzen eingestellt, und die dazugehörigen Meßwerte m bestimmt werden. In diesem Fall werden die Einzelfrequenzen nicht im konstanten Frequenzabstand, sondern zweckmäßigerweise
in einen exponentiell ansteigenden Frequenzabstand ausgewählt. Jedesmal
wird dazu ein geeigneter Frequenzbereich des Fourier-Analysators
- das zwei- bis dreifache der ausgewählten Meßfrequenz - eingestellt.
Später wurde auch im Falle der echten Breitbandmessung die gelieferte
77
komplexe Übertragungsfunktion m(w) ersetzt durch einige wenige exponentiell verteilte, jeweils über den zugehörigen Frequenzbereich gemittelte
Meßwerte m(w). Das Ergebnis ist also in jedem Fall:
Es liegen als "Meßwerte" die komplexen Werte der Übertragungsfunktion m
bei beliebigen Frequenzen vor. Im vorliegenden Anwendungsfall der
Messung von Beschleunigung und Kraft ist die Übertragungsfunktion
physikalisch als eine Masse bzw. komplexe Trägheit m zu interpretieren.
Diese komplexe Trägheit m wird im folgenden - anstelle der "Impedanz" als der eigentliche Meßwert weiterbehandelt.
4.3.3 Umrechnung der Meßwerte in E-Module
Die einfachen Signalverarbeitungsschritte der analogen Meßtechnik müssen
nun rechnerisch vollzogen werden; die Auswertung der Meßwerte m(w) ist
also denkbar einfach.
Als erstes muß die Vormassen-Kompensation vorgenommen werden; von der
gemessenen komplexen Trägheit m wird deshalb die Vormasse m y subtrahiert.
Das in Kapitel 4.2 beschriebene aufwendige Meßverfahren zur Bestimmung
der Vor-Masse wird hier ersetzt durch digitale Messung der Masse
der frei vor dem Impedanzmeßkopf schwingenden Probe, bestehend aus
Fugendichtstoff mit beidseitiger Alukörperhalterung, sowie nur der
vorderseitigen Probenhalterung, woraus widerum durch arithmetische
Mittelung die effektive Vormasse (vor der Probe schwingende Masse +
halbe Probenmasse) berechnet wird.
Dieses Verfahren der "Wägung" mittels Impedanzkopf, siehe Kapitel 4.7,
also Kraft- und Beschleunigungsmessung, wurde einer konventionellen
Wägung der "schweren" Masse vorgezogen, weil auf diese Weise mögliche
Eichfehler bezüglich der Verstärkungsfaktoren des Impedanzkopfes
automatisch berücksichtigt werden. Der Vor-Massen-Kompensation lag also
die gleiche physikalische Annahme (Probendicke s x/4) und auch die gleiche
Meßtechnik zugrunde. (Siehe hierzu allerdings die kritischen Bemerkungen
von Kapitel 4.9.)
Der zweite Schritt berücksichtigt nur, daß eine Federsteife stets definiert ist als Kraft/Weg, eine Trägheit aber als Kraft/Beschleunigung.
78
Deshalb hängen gemessene "Federsteife" K - bei harmonischen Schwingungen der Kreisfrequenz w - mit gemessenen Trägheiten m immer durch
K = - w z • m zusammen. Die Federsteife der in die Apparatur eingespannten Probe ergibt sich demnach aus den Meßwerten m durch
K= - w z (m — mv)
(52).
Die gesuchte geometrieunabhängige Materialkonstante, der E-Modul, ergibt
sich dann unter Berücksichtigung von Probendicke d und Probenquerschnittsfläche F entsprechend Gl. (14) aus
E=
• K
(53).
Eine weitere Korrektur durch die Formfunktion unterblieb, da sich schon
bei den ersten orientierenden Messungen Frequenzabhängigkeiten der Formfunktion ergaben, und somit Zweifel an der bisher dargestellten vereinfachten Theor i e angebracht sind; wenn im folgenden vom E-Modul die Rede
ist, so ist damit also ein unkorrigierter, in geringem Umfang noch
formabhängiger Modul gemeint.
4.3.4 Programmbeschreibung EMODSINMES
Das Grobschema des gesamten Programmpakets zeigt Bild 20.
Im Programm sind alle erforderlichen Einstellungen des Analysators, zugeschnitten auf das spezielle Meßproblem, gespeichert. Eine direkte Bedienung des Analysators entfällt also. Alle weiteren Eigenschaften des Analysators, wie z.B. das Spannungsraster 1-2-5-10 V, sind in Form von
Funktionen ebenfalls gespeichert, um dem Computer eine Rückinformation
beispielsweise über eingestellte Empfindlichkeiten zu geben.
Die Meßparameter hingegen sind Anwender- oder Probenspezifisch. Hierzu
zählen
- der Probenname,
- eine verbale Probenbeschreibung,
79
Bild 20 : Funktionsschema des Programmpakets EMODSINMES
Start
1
Einlesen des Analysator - Codes
SDCODES
Eingabe/Einlesen der Meßparameter
EINGAPAR/MODDEFAULT
Durchführung von Messung und Auswertung
SINMESFCON
evtl. Ausdruck der numerischen Ergebnisse
MODPRINT
evtl. Grafische Darstellung der E(w)—
und cp(cw)-Kurven
MODPLOT
1
Speicherung aller Meßparameter und
MO-Ergebnisse
Ende
80
- lineare oder logarithmische Frequenzteilung,
- Anzahl der Meßwerte,
- untere und obere Grenzfrequenz,
- Verstärkungsfaktoren für den Beschleunigungs- und Kraft-Kanal,
- Probenquerschnitt und -dicke,
- Vor-Masse.
Nach der Durchführung von Messung und Auswertung im zentralen Unterprogramm SINMESFCON, (das im nächsten Bild differenziert dargestellt wird)
wird im nächsten Unterprogramm der Drucker, und im übernächsten der
Plotter (siehe Bild 19) zur Ausgabe der Ergebnisse angesteuert. Schließlich werden noch alle Daten gespeichert.
Das Schema des eigentlichen Meßprogramms SINMESFCON zeigt Bild 21.
81
^
Voreinstellungen am Analysator:
Eingangsempfindlichkeit, F -Kanal
Sollwert von F
entspr.
Generator auf Sinus - Mode
lin. oder log. Darstellung
Berechnung der nächsten Frequenz
LINLOG
Einstellen 2- .anal-Melt-Mode
"REAL TIME"
Bestimmung eines geeigneten
Frequenzbereichs des Analysators
Einstellen der Generator- Frequenz
im 400-Raster des Frequenzbereichs
Einregeln Generatoramplitude, so
* daß F=tonst.
KOMPRESS
-1
ussteuerbar?
$Kanal F
Kanal a
passende Eingangsempfindlichkeit
a-Kanal AUTORANGE
übersteuert ?
OVERLOAD
L0
%
To
aussteuerbar?
li
Warten entspr. Frequenzbereich
Einlesen von a- und F-Signal
Umrechnung in a und F
Anzeige des Beschleunigungsund Kraftamplitudenwertes
Einstellen des TF-Meß-Modes
am Analysator
Messung der Obertragungsfunktion m
(Mittelung über 10 Werte)
Stop/
OIStart-Messund
tn
sehr
als
Störung?
.Störunn
(
lduft Messung noch ?
Einlesen Real- und
Imam.- Teil TF
Einlesen der Meßwerte von
Kanal 1 und 2
READCURSOR
Umrechnung in Meßwert in
Umrechnung m
E,50,
Meßwert i E -Modul
Bild 21: Vereinfachtes Flußdiagramm des Hauptunterprogramms SINMESFCON
von EMODSINMES
82
Einige der dort dargestellten Programmabschnitte seien noch etwas näher
beschrieben:
Es wird also, in Anlehnung an die bisherige Analogmeßtechnik, die Kraftamplitude konstant gehalten. Das Programm COMPRESS besorgt dies, indem
es gewährleistet, daß der vor der ganzen Messung eingestellte Meßbereich
des F-Kanals gerade eben nicht übersteuert wird; der synchrone Signalgenerator (oder ein externer, ebenfalls steuerbarer Sinus-Signal-Generator)
wird entsprechend einer vorgegebenen Werteskala auf eine passende Amplitude eingestellt.
Anschließend erst kann die Empfindlichkeit des a-Kanals entsprechend der
meßbaren Amplitude des Beschleunigungssignals, das sich bei eben dieser
Kraftamplitude und bei der ebenfalls vorgegebenen Frequenz ergibt, eingestellt werden.
Danach muß das Abklingen der Frequenz-Umschalt-Störung abgewartet werden;
die fouriertransformierte Funktion liegt erst dann richtig vor, wenn
- bei einem Frequenzbereich Fqn und den 400 Werten, die im Frequenzbereich
geliefert werden, - die Zeit 400/Fqn abgewartet wird.
Zum Einlesen der Meßwerte wird nicht die ganze vom Analysator gelieferte
Übertragungsfunktion benutzt, sondern nur der einzelne, auf dem Analysator-Bildschirm ablesbare komplexe Wert bei der vorgegebenen Frequenz.
Zunächst werden zur Kontrolle nur die Amplitudenwerte des Beschleunigungsund des Kraftsignals eingelesen und dargestellt.
Zum Erhalt des eigentlichen Meßwertes der Übrtragungsfunktion ist es nun
notwendig, den Analysator entsprechend umzuschalten.
Ferner hat es sich bewährt, statt einer einzelnen Messung mindestens zehn
durchzuführen. Der zugehörige Mittelungsvorgang - der eventuelle Störungen
rechtzeit erkennt - dauert ca. eine halbe Minute.
Was nun vom Bildschirm eingelesen wird, ist Real- und Imaginärteil der
interessierenden Trägheitsfunktion m.
Der dann folgende mathematische Teil des Programms zur Auswertung ist
entsprechend den oben genannten Formeln relativ kurz.
Alle diese Vorgänge - mit Ausnahme der Voreinstellungen am Analysator
- wiederholen sich so lange, bis die ganze, vom Benutzer vorgegebene
Frequenzreihe abgearbeitet ist.
Der gesamte Meß-, Darstellungs- und Speichervorgang dauert ca. 15 Minuten.
(Bei 50 Einzelfrequenzen.)
83
4.3.5 Ergebnisse
Im gesamten Entwicklungsstadium der Impedanzmeßtechnik kam fast immer nur
ein und dieselbe Probe (eine Probe auf Silicon-Basis, im folgenden "Testprobe" genannt) zum Einsatz. Das genügte auch, weil es hier nicht um eine
Vollständigkeit der Meßergebnisse, sondern um die Überprüfung der Richtigkeit der jeweiligen Messung und die Beurteilung der Genauigkeit unter
definierten Randbedingungen ging.
Zu den variierten Randbedingungen zählen auch die verschiedenen Methoden
zur Konstanthaltung verschiedener Schwingungsgrößen wie Kraft, Beschleunigung, Schnelle oder Wegamplitude.
Hierbei ging es indirekt um die Amplitudenabhängigkeit von Meßergebnissen.
Eine solche war aber praktisch - das heißt im Vergleich zu anderen Ungenauigkeiten (siehe Kapitel 4.4) - nicht vorhanden.
Es soll daher exemplarisch die Darstellung eines einzigen Meßergebnisses
genügen.
Bild 22 ist das typische Ergebnis eines computerunterstützten Meßprogrammes, wie es im Vorhergehenden beschrieben wurde. Hierin sind vom
Computer Betrag und Phase des frequenzabhängigen Moduls graphisch dargestellt. (Auf eine Darstellung des simultan erhaltenen numerischen
Ergebnisses, das ebenfalls vom Computer ausgedruckt wird, wird verzichtet.)
Im Gegensatz zum zuvor beschriebenen Programm wurde hier nicht die Kraft,
sondern die Beschleunigung konstant gehalten.
Dies hatte aber keinen nennenswerten Einfluß auf das Meßergebnis.
Das Ergebnis ist im übrigen in Obereinstimmung mit dem in analoger
Meßtechnik bei ein und derselben Probe erhaltenen Meßergebnis.
Anhand von Bild 22 kann festgestellt werden, daß der Obergang von der
analogen zur digitalen Meßtechnik - wenn auch sehr arbeitsaufwendig so doch prinzipiell problemlos möglich war.
84
PHASE
90
40
—10 40.4 5
2
2
5
4096
BETRAG E EN/mm^2J
100
5
2
5
2
FREQUENZ
40.4 5
2
5
2
4096 [Hz]
Bild 22: E-Modul in Betrag und Phase der zur Apparaturentwicklung dienenden Fugendichtstoffprobe auf SI-Basis ("Testprobe"),
erstes und typisches Ergebnis in digitalisierter Meßtechnik
85
4.4
Amplitudenabhängigkeit der Meßergebnisse /
Konstanthaltung der Amplituden verschiedener Meßgrößen
Eine Amplitudenabhängigkeit des Me(3ergebnisses kann im wesentlichen bewirkt werden durch eine Nichtlinearität des Spannungs-Dehnungs-Verhaltens
der Probe - wie in Kapitel 2.2.5 beschrieben.
Man kann dieses Spannungs-Dehnungs-Verhalten der Probe - bei Sinusanregung - direkt beobachten, wenn man das Beschleunigungssignal direkt zum
X-Signal, und das Kraft-Signal direkt zum Y-Signal eines Oszillographen
macht.
Im Idealfall linearen Probenverhaltens und im weiteren Idealfall eines
Probenmaterials ohne innere Dämpfung würde man dann eine Gerade beobachten,
da Dehnung x und Beschleunigung a sich nur durch den Faktor -w 2 unterscheiden. Im Falle einer gedämpften Probe würde man eine Ellipse
beobachten.
Bei hohen Frequenzen - bei denen wegen der Konstanthaltung der Beschleunigung die Dehnungsamplituden naturgemäß klein sind, - konnte man dies auch
tatsächlich beobachten. Bei niedrigen Frequenzen jedoch, das heißt unterhalb der Apparaturresonanz von ca. 80 Hz, verformte sich diese Ellipse
zu einer mehr oder weniger gezackten und doppelt geschwungenen Schleife.
Dies deutet unmittelbar auf nichtlineares Probenverhalten hin.
-10
-20
1
dB
-30
-40 !
1
^^
^^
100
Frequenz Hz]
200
Bild 23: Zur Nichtlinearität: Spectrum des Beschleunigungs-Signals bei
Schwingungserregung mit 20Hz, 1N, Harmonische von 20Hz
86
Entscheidend ist nun aber, daß nicht der direkte Quotient zwischen Kraftund Beschleunigungssignal das Meßergebnis darstellt, sondern die
Quotienten aus dem Fourier-transformierten Signal. Dieses ist aber ein
frequenzabhängiges Signal, bei dem zwischen Grundwelle und - etwa durch
Nichtlinearität bewirkten - Oberwellen bei harmonischer Probenanregung
unterschieden werden kann.
Ein Beispiel dafür zeigt Bild 23, in dem exemplarisch das Fourier-transformierte Beschleunigungssignal (das Kraft-Signal sieht ähnlich aus) als
Funktion der Frequenz und zwar bei sinusförmiger Anregung mit 20 Hz
aufgetragen ist.
Man sieht deutlich, daß das absolute Maximum bei der Anregungsfrequenz
von 20 Hz (der Grundwelle) liegt, daß aber auch noch starke Nebenmaxima
bei den ganzzeiligen Vielfachen dieser Frequenz (bei den Oberwellen) auftreten. (Außer einer breitbandigen Grundstörung ist noch eine Störfrequenz bei 50 Hz und deren Oberwelle bei 150 Hz zu erkennen.)
Der erkennbare starke Oberwellengehalt korrespondiert direkt zu einer
starken Nichtlinearität des Spannungs-Dehnungs-Verhaltens.
In das Meßergebnis geht aber nicht dieses Spektrum ein, sondern ausschließlich der Meßwert des Quotienten aus Kraft und Beschleunigung bei
der Grundfrequenz. Insofern wird auch bei einer nichtlinearen Verformung
nur deren linearer Grundanteil gemessen. Dies ist genau der Anteil, der
auch bei einer gegen Null gehenden Gesamtamplitude als Meßergebnis noch
übrig bliebe.
Nun zeigen überschlägige Betrachtungen der an Fugendichtungen am Bau
tatsächlich vorkommenden Schwingungsamplituden, daß hier mit Sicherheit
dieser lineare Grenzfall mit Sicherheit angenommen werden kann.
Auch diverse Messungen mit der digitalen Meßtechnik unter Konstanthaltung
der Schwingungsgrößen Kraft, Beschleunigung, Schnelle oder Schwingungsweg
in definierten Frequenzbereichen - zeigten - im Rahmen der ohnehin
geringen, durch andere Effekte bewirkten Meßwertabweichungen - keinerlei
Amplitudenabhängigkeit der Meßergebnisse.
Trotzdem wurde auf eine Kontrolle der Amplituden nicht verzichtet. Zum
einen, um ganz sicher zu gehen, daß bei einzelnen Proben die Amplitude
nicht doch auf irgendeine Weise das Meßergebnis beeinflußt, zum anderen,
wegen sonstiger technischer Randbedingungen, vor allem der Begrenzung,
87
die durch die maximal verfügbare Shaker-Kraft gegeben ist.
Welche Schwingungsgröße sollte nun konstant gehalten werden?
Bei der analogen Meßtechnik war es die elastische Kraftkomponente. Diese
konnte durch eine Massenkompensationsschaltung direkt gemessen werden.
Diese Möglichkeit war nun nicht mehr gegeben. Außerdem ist eine Konstanthaltung der elastischen Kraftkomponente im Falle stark mit der Frequenz
veränderlicher E-Module auch physikalisch gar nicht so sinnvoll, weil
damit noch nichts über die in der Probe meßbaren Schwingungsamplituden
- und die damit möglicherweise zusammenhängenden nichtlinearen Effekte ausgesagt ist.
Die andere gemessene Schwingungsgröße ist die Beschleunigung a. Durch
- elektronische oder numerische - Integration ware auch die Schnelle v
oder die Schwingungsweg-Amplitude x im Prinzip konstant haltbar.
Zu berücksichtigen ist nun, daß der Frequenzbereich enorm groß ist: er
reicht von wenigen Hz bis zu einigen kHz, umfaßt also eine Spanne von
1:1000. Würde man die Wegamplitude x - direkt ein Maß für mögliche nichtlineare Effekte - konstant halten, so würde sich die Beschleunigung im
Frequenzbereich um den Faktor von einer Million erhöhen. Dies verbietet
jegliche zur Verfügung stehende Dynamik der Meßgeräte. Auch ein Konstanthalten der Schnelle v wäre aus dem gleichen Grunde noch kritisch. Es
bleibt also die Möglichkeit der Konstanthaltung der Beschleunigung a;
dies ist auch deswegen sinnvoll, weil im größten Teil des Frequenzbereiches
oberhalb der Apparatur-Resonanzfrequenz gemessen wird, wo eine maximal
verfügbare Beschleunigung ac allein bestimmt wird durch die maximal verfügbare dynamische Shaker-Kraft Fshmax einerseits und die - immer unvermeidbare - gesamte mitschwingende Apparaturmasse mges:
F
shmax
a - c
m
(54)
ges
Wird mit F shmax = 10 N und mges = 100 g gerechnet, so würde hieraus eine
maximale Beschleunigung von ac = 100 m/s 2 folgen; kalkuliert man aus
verschiedenen Gründen einen Sicherheitsfaktor 10 ein, so folgt hieraus
die maximale Beschleunigung von
ac = 10 m/s2.
(Das war auch die Randbedingung für das Ergebnis nach Bild 22.)
88
Leider wird durch diese rein technisch motivierte Konstanthaltungsart möglichen nichtlinearen Effekten (die mit der Wegamplitude x zusammenhängen)
keineswegs Rechnung getragen; um beide Grenzbedingungen zu erfüllen,
muß daher bei niedrigen Frequenzen zusätzlich eine maximale Wegamplitude
x max festgesetzt werden.
Bei frühzeitigen Versuchen, bei denen außer dem eigentlichen Meßergebnis
zusätzlich das Grundwellen-Oberwellen-Amplitudenverhältnis beobachtet
wurde, ergaben sich die folgenden Grenzwerte für x max vmax und a max bei
den zwei Eckfrequenzen von 40 Hz und 4 kHz:
f = 40 Hz:
xmax = 40 p
vmax = 10 mm/s
a max = 2,5 m/s2
f = 4 kHz:
x max = 0,04 p
v max = 1 mm/s
a max = 25 m/s2.
(In einem mittleren Frequenzbereich erschien es sinnvoll, auch für die
Schnelle v zur Sicherstellung eines linearen Probenverhaltens eine
Obergrenze anzusetzen.)
Diese Grenzwerte wurden an der in der Entwicklungsphase benutzten TestProbe aus einem Silikondichtstoff mit den typischen Abmessungen
Dicke = 12 mm und Querschnittsfläche = 144 mm 2 bestimmt.
Es wurde vorläufig entschieden, bis zu einer gewissen Obergangsfrequenz
fa die Wegamplitude, darüber die Beschleunigungsamplitude konstant zu
halten. Diese Obergangsfrequenz fxa berechnet sich aus den Konstantgrößen
xc und ac nach der Formel
^
f xa
1/(2 ,r) •
(55).
3a c /x c
Setzt man für ac den Sicherheits-Maximalwert von 10 m/s 2 und für xc den
oben dargestellten Wert von 40 p ein, so folgt für die Obergangsfrequenz:
fxa = 80 Hz. Dies entspricht auch etwa der Apparaturresonanzfrequenz.
Diese Konstanthaltungsvorgaben wurden - anstelle des Meßunterprogramms
SINMESFCON - durch ein neu entwickeltes Meßunterprogramm SINMESAXC
realisiert; da nur die Beschleunigung a gemessen werden kann, muß für
diese unterhalb der Obergangsfrequenz fxa ein frequenzabhängiger Maximalwert a max definiert werden; die gesamte frequenzabhängige Sollbeschleunigung ergibt sich dann durch
falls f { f
xa
: a
max
= (f/f
xa
)2 • a
c'
sonst a
max
56).
= a (
c
89
In späteren Meßprogrammen, so auch in dem letztlich angewandten Programmpaket MODULMESS4, (alle Amplitudenregelungsprobleme sollen in diesem Abschnitt 4.4 zusammengefaßt werden), wurde die Konstanthaltungstechnik
noch weiter differenziert, d.h. es kam noch ein mittlerer Frequenzabschnitt hinzu, wo die Schnelle v konstant bleiben sollte.
Außerdem wurden empirisch getestete Maximalwerte für die Probenverformung cmaxnl und für die maximale Proben-Schnelle vmaxnl eingeführt.
Unterhalb der Apparaturresonanzfrequenz wird die technisch maximal
mögliche Probenverformung bestimmt durch den Quotienten aus maximal
verfügbarer Shakerkraft F sh max und - bei sehr niedrigen Frequenzen maximaler Proben-Federsteife Komax, welche sich bei gegebener Probengeometrie nach Gl. (53) wiederum aus einem bei niedrigen Frequenzen
maximal zu erwartenden E-Modul Eomax berechnen läßt.
Faßt man Apparatur-technische und Proben-physikalische Grenzbedingungen
zusammen, so folgt für die maximale Wegamplitude xc das Minimum zweier
Größen:
(57)
" I r shmax ' òmax'`'max nl • d
Die Apparatur-Resonanz-Frequenz foapp ist
f
=
1
2n
oapp
/ K omax
/
m
ges
(58),
wobei mges wieder die gesamte mitschwingende Apparaturmasse ist.
Der Obergang von der Schnelle-Konstanthaltung zur Beschleunigungs-Konstanthaltung darf nicht unterhalb der Apparatur-Resonanz-Fre q uenz erfolgen.
Andererseits darf die Schnelle das vorgegebene Maximum vmaxnl nicht überschreiten. Daraus folgt zusammengefaßt analog zu Gl. (57)
vc = min { a c / (2n foapp) vmax
nl
(59).
}
Die technischen Grenzwerte wurden folgendermaßen abgeschätzt:
F shmax =
m ges
5 N
= 80 g
90
K omax
v max
Emax
E omax
• S/d = 5 N/mm 2 • 12 mm = 60 N/mm
= 2 cm/s
nl
= 0,05
nl
Aus diesen Annahmen folgen die drei Amplitudengrenzwerte:
a c = 62,5 m/s2
v c = 2 cm/s
x c = 83p
Was die Wegamplitude xc betrifft, so war hierbei die technische Begrenzung
schärfer als die physikalische. (In Gl. (57) war der erste Term kleiner
als der zweite Term.) Was die Schnelle v betrifft, so war die physikalische
Bedingung schärfer als die technische. (In Gl. (59) war also der zweite
Term kleiner als der erste Term.)
Im Meßprogramm muß nun eine frequenzabhängige Sollbeschleunigung für den
ganzen Frequenzbereich definiert werden. Im untersten Frequenzbereich,
wo die Wegamplitude konstant ist, wird diese Sollbeschleunigung mit dem
Quadrat der Frequenz ansteigen; im mittleren Frequenzbereich, wo die
Schnelle konstant gehalten wird, wird die Sollbeschleunigung nur noch
linear mit der Frequenz ansteigen; im oberen Frequenzbereich schließlich bleibt die Sollbeschleunigung konstant auf dem vorgegebenen Wert.
Diesen Sachverhalt zeigt Bild 24.
Hierbei ist der Logarithmus der Sollbeschleunigung als Funktion des
Logarithmus der Frequenz aufgetragen. Die zwei Obergangsfrequenzen
zwischen den drei Frequenzbereichen, fxv und fva ergeben sich nach den
Formeln
f xv = v c / (21rx c ) = 40 Hz
(60)
fva
= a c / (2,rv c ) = 500 Hz
(61).
Nach Gl. (55) ergäbe sich die - hier nicht zur Wirkung kommende - Obergangsfrequenz fxa zu 140 Hz.
91
cv
rn
0
Bild 24:
Schema der Regelung des
frequenzabhängigen Beschleunigungssignals
•
fxv fxa
log f
fva
Dieser Konstanthalte-Mechanismus wurde im letztgültigen Meßprogramm
MODULMESS4 (siehe Kapitel 5) realisiert.
4.5
Breitband - Anregung
Vorbemerkung:
Eine breitbandige Schwingungsanregung zur Messung des frequenzabhängigen
E-Modules viscoelastischer Proben hat unter gewissen Voraussetzungen
- anstelle der schrittweisen sinusförmigen Schwingungsanregung - für die
geplanten Reihenuntersuchungen an zahlreichen Proben den erheblichen
Vorteil: Es wird Zeit gespart; das komplette Meßergebnis für eine Probe
liegt (bis auf die Zeit für den Ausdruck) in wenigen Sekunden vor.
Auch ist das eingesetzte zentrale Meßgerät, der Zweikanal-Fourier-Analysator, gerade für solche Messungen an sich vorgesehen.
Zur Entwicklung einer solchen breitbandigen Meßtechnik wurde daher auch
erhebliche Zeit investiert; zahlreiche noch entwickelte Meßprogramme
basieren auf dieser Art der Schwingungsanregung. Wenn dies in diesem
Bericht nicht dargestellt wird, so deshalb, weil das letztendlich
angewandte Meßverfahren wieder auf die Technik der schrittweisen Sinusanregung zurückgreifen mußte.
92
In diesem Kapitel werden nur die spezifischen Probleme der Breitbandmeßtechnik beschrieben und ein Breitband-Meßprogramm exemplarisch dargestellt.
4.5.1 Probleme
Zweierlei Probleme erhalten speziell bei Breitbandanregung besondere
Bedeutung:
- Li nearitätsprobleme,
- Kohärenzprobleme.
Das Ergebnis einer Breitband-Messung ist ein ganzes Spektrum von Meßwerten,
d.h. es werden - per Fourier-Transformation (siehe Kapitel 4.3.2.) gleichzeitig die Meßwerte aller Frequenzen in einem vorgegebenen Frequenzband bestimmt. Soll das so erhaltene Ergebnis übereinstimmen mit
dem Ergebnis, das bei zeitlich nacheinander erfolgter Sinus-Anregung
erhalten wurde, so muß die Voraussetzung erfüllt sein, daß die Meßwerte
bei den einzelnen Frequenzen voneinander unabhängig sind, d.h. daß nicht
die Messung bei einer (Sinus)-Frequenz den Meßwert bei einer anderen
Frequenz beeinflußt. Genau dies ist aber im Prinzip bei einem nicht-linearen Spannungs-Dehnungs-Verhalten der elastischen Proben der Fall, wie
schon das Spektralbild 23 gezeigt hat: Die Anregung bei einer Frequenz
von 20 Hz erzeugte auch Schwingungsanteile bei vielfachen dieser Frequenz.
In einem nach Breiteband-Anregung erhaltenen spektralen Meßergebnis wird
daher jeder einzelne Meßwert nicht nur durch die tatsächlichen physikalischen und linearen Eigenschaften des Meßobjektes eben bei dieser
Frequenz bestimmt, sondern auch durch die nicht linearen Eigenschaften
desselben Meßobjektes bei ganzzeiligen Bruchteilen dieser Frequenz;
ein Meßwert bei beispielsweise 120 Hz kann so durch die dritte Oberwelle
verfälscht sein, die durch die nicht lineare Probeneigenschaft bei 40 Hz
bewirkt wird.
Bei den Experimenten mit Breitband-Anregung zeigte sich aber, daß diese
unerwünschten Effekte unter den gegebenen Bedingungen zu keinen nennens-
93
werten Verfälschungen des Gesamt-Meßergebnisses führten. (Man vergleiche
die Bilder 29 und 22.) Dies ist einfach dadurch bedingt, daß die bei
Breitband-Anregung vorherrschenden spektralen Schwingungsamplituden
selbst im Vergleich zu den ohnehin geringen Amplituden bei Sinus-Anregung
extrem klein sind. Nicht-lineare Effekte hatten dadurch keinen Einfluß
mehr auf das Meßergebnis.
Die Kohärenz zwischen zwei Signalen beschreibt gewissermaßen ihren kausalen Zusammenhang; sie ist berechenbar durch eine zweikanalige FourierTransformation und Auswertung des Kreuz-Leistungsspektrums wie in
Kapitel 4.3.2 beschrieben. Eine zu niedrige Kohärenz deutet immer ein
unzuverlässiges Meßergebnis an.
Dies wird in der Regel dadurch bewirkt, daß das Anregungs- und damit das
Meßsignal - bei einer bestimmten Frequenz zu klein gegenüber Störsignalen
wird. Da nur eine begrenzte Anregungsleistung des Shakers verfügbar ist,
nimmt dieser "Störabstand" mit zunehmender Breite des Frequenzbandes ab,
da die Anregungsleistung pro Frequenzintervall damit abnimmt. Im Falle
des Frequenzbereiches 0 bis 4000 Hz verteilt sich die ganze - ShakerLeistung auf alle 400 Meßkanäle, so daß, grob geschätzt, die SchwingungsAmplitude auf der Probe pro Meßfrequenz im Vergleich zur Sinus-Meßtechnik
um den Faktor 20 kleiner ist; im oberen Frequenzbereich 2 bis 4 kHz
gerät damit die Schwingungsamplitude in den Bereich von Nanometern. (!)
Es ist deshalb nicht verwunderlich, daß die Zuverlässigkeit der Meßergebnisse in diesem Frequenzbereich zu wünschen übrig ließ. Dies zeigen die
Bilder 25 und 26. Hierzu wurde die elektronische Vormassenkompensation
des analogen Meßaufbaus benutzt und auf die Computer-Auswertung verzichtet. Durch Fourier-Transformation der beiden Signale für Wegamplitude
und elastische Kraft und Berechnung der zugehörigen Obertragungsfunktion
konnte somit direkt das Meßergebnis für den frequenzabhängigen E-Modul
bei Breitband-Anregung dargestellt werden. Dies zeigt Bild 25. Die
dazugehörige, vom Analysator automatisch mitberechnete Kohärenz zeigt
Bild 26. Oberhalb von 1200 Hz (*) sinkt die Kohärenz weit unter 0,9 ab;
genau in diesem Bereich scheint auch das Meßsignal (Bild 25) starken
statistischen Schwankungen unterworfen, also nicht zuverlässig.
94
TF LOG 5/A
5E2
-
V/V
Bild 25
Übertragungsfunktion
F'/a direkt aus dem Ana
Tysätor, dem E-Modul-Be
tra g proportional, bei
Breitbandiger Anregung
5E —i
•1O
LOG X
.^ ____-
-^
—^
^r
'.1
Y "2
tif
Bild 26:
Kohärenz der Übertragungsfunktion F'/a nach
Bild 25 bei Breitbandanregung
:^
^^
tt
0
,
I`
f ;ya),
I
a
;
i;
0
40
LOG X
HZ
4000
Durch noch günstigere Einstellungen von Meßbereichen und eine weitere
Erhöhung der Shaker-Leistung konnte allerdings dieses Defizit weitgehend
ausgeglichen werden. Glücklicherweise zeigten vorübergehende frequenzabhängige Einbrücke der Kohärenzfunktion keinen wesentlichen Einfluß
auf das endgültige Meßergebnis - zumindest im Vergleich zu anderen Fehlereinflüssen.
95
In zahlreichen Experimenten wurde weiterhin untersucht, inwieweit eine
Aufteilung des ganzen Frequenzbereiches in Teilbereiche eine Verbesserung
der Meßgenauigkeit bewirkt. Es zeigte sich jedoch, daß bei hohen Frequenzen erst eine sehr starke Verringerung der Bandbreite nennenswert
Erfolg bringt. Kohärenzeinbrüche bei niedrigeren Frequenzen (ApparaturResonanzen) werden durch eine Verschmälerung von Bandbreiten kaum vermindert. Eine wirksame Aufteilung des Gesamt-Frequenzbereiches hätte
also in zahlreiche kleinere Bereiche zu erfolgen; hiervon wurde wegen
des zu erwartenden erheblichen Mehraufwandes zur Programmierung dann
abgesehen. Die Möglichkeiten zur Verbesserung der Kohärenz der Breitband-Anregung scheinen weitgehend dadurch behindert, daß - im Gegensatz zur Sinus-Anregungs-Technik, bei der der frequenzabhängige Amplituden-Verlauf genau kontrolliert werden konnte (vgl. Kapitel 4.4),
- bei BreitbandAnregung die Frequenzabhängigkeit der Anregungsstärke
nicht beeinflußt werden kann; der weitaus größte Teil der vom Shaker
erzeugten Schwingungsleistung konzentriert sich daher von selbst auf den
Frequenzbereich um die Apparatur-Resonanzfrequenz (Gesamtmassen-ProbenResonanz) und wird daher dem viel wichtigeren und breiteren Frequenzbereich oberhalb dieser Resonanz weitgehend entzogen. Die mit dem
Analysator direkt gemessene Resonanzkurve m Anregungskraft als Funktion
der linear aufgetragenen Frequenz - zeigt Bild 27.
0,06
0,06
Bild 27:
Kraft- Resonanz des
Schwingungsanregungssystems bei 86Hz
0,04
\‘,
0,02
100
Frequenz [Hz]
200
96
4.5.2 Programm—Beschreibung BBTFMESMOD
Ein Funktionsschema des Programms BBTFMOD zeigt Bild 28.
Voreinstellungen am Analysator
Spectrum, Real-Time, log.
30 Mittelungen
^
Einstellen des Gesamt-Frequenzbereiches ani Analysator
T
Berechnung und Einstellung der
maximal möglichen Signal-GeneratorAmpl i tude
^
Warten entspr. Frequenzbereich
^
Aussteuerung beider Kanäle
AUTORANGE
^
Einstellen des TF-MeB-Modes am
Analysator
Berechnung von Einzelfrequenzen
LINLOG
t
alle Frequenzen
Starten der Mittelung
über 30 Messungen
^
►-
wdh., falls Störunn ?
Neuauss
teuerung
falls 1 mehr als
3 Störungen
Berechnung der ex onential verteilten Frequenz- Kanal)-Auswahl
(gleichzeitig mit Messung)
4
Selectives Einlesen der 4 Leistungsspectren (TF-Komponenten)
TFSLCTREAD
Einlesen aller TF-Komponenten
Schleife über alle vorausgewählten Einzelfrequenzen
Berechnung der Kanäle der Eckfrequenzen des Mittelungbereichs
Schleife über alle 4 Leistungsspectren
Mittelung = Schleife über alle Einzelfrequenzen des ausgewählten Frequenzbereichs
Sununierung der umgewandelten TF-Komponenten
Berechnung nes Mittelwertes
1
Auswertung
Schleife über alle Einzelfrequenzen
Berechnung
- der Kohärenz aus den 4 TF-Komp.
- von Beschleunigungs- und Kraftamplitude
Real- und Imaginärteil der Trägheitsfunktion
- von
- unter Berücksichtigung der Proben•geometrie
- der kompl. Federkonstante nach Glgn. 51
- des kompl. E-Moduls nach Glgn. 52
- von Betrag und Phase des E-Moduls nach
Ginn. (4)
Bild 28: Funktionsschema des Hauptunterprogrammes BBTFMOD aus dem
Programmpaket BBTFMESMOD zur Breitband-E-Modul-Messung
97
Das Programmpaket BBTFMESMOD ist im Grundschema (Grundeinstellung des
Analysators, Parametereinlesen, Kernprogramm, Drucker- und Plotterbedienung) gleich aufgebaut wie das Programm EMODSINMES. (Siehe Bild 20).
Die Voreinstellungen am Analysator sind entsprechend modifiziert. Anstelle des Kernprogramms SINMESFCON tritt nun in BBTFMESMOD das KernUnterprogramm BBTFMOD.
Vergleicht man Bild 28 mit Bild 21, so erkennt man, daß der logische
Aufbau bei Breitband-Messung wesentlich vereinfacht ist; dies entspricht
ja auch dem eigentlichen Verwendungszweck des Fourier-Analysators. Im
Unterschied zum Programm SINMESFCON, wo erst die Eingangsempfindlichkeit
des Kanals mit der konstant zu haltenden Schwingungsgröße festgelegt,
danach die Generator-Amplitude eingeregelt wurde, wird im Programm
BBTFMOD zuerst die Signal-Generator-Amplitude entsprechend einer einfachen Schätzrechnung voreingestellt, danach werden passende Empfindlichkeiten für beide Eingangskanäle festgelegt. Die Einstellung des
Frequenzbereiches des Analysators geschieht nun ganz zu Anfang, wohingegen bei Programm SINMESFCON der Frequenzbereich des Analysators bei
jeder einzelnen Sinus-Meßfrequenz innerhalb einer Programmschleife
über alle Frequenzen jeweils neu eingestellt werden mußte.
Die eigentliche Messung der Obertragungsfunktion TF, Kernbestandteil des
Meßverfahrens, findet nunmehr nur einmal statt; gleichzeitig (zur Zeitersparnis) werden - nach Parametern, die vom Benutzer vorgebbar sind, die Einzelfrequenzen bzw. die zugehörigen Kanalnummern vorher berechnet,
bei denen der Wert des komplexen E-Moduls letztendlich bestimmt werden
soll; diese Stützfrequenzen sind in der Regel experimentell verteilt.
Anstatt vom Bildschirm des Analysators nur einen einzigen komplexen
Obertragungswert auszulesen, wird nun der gesamte TF-Komponenten-Speicher
des Analysators ausgelesen, d.h., alle vier Leistungsspektren ä 400
Werte (siehe Kapitel 4.3.2.).
Da nicht alle - linear verteilten - 400 Werte der Obertragungsfunktion
interessieren, werden, entsprechend der vorher bestimmten Stütz-FrequenzVerteilung l über jeweils einen gewissen Frequenzbereich die TF-Komponenten
arithmetisch gemittelt. Der Frequenzbereich, über den diese Komponenten
zu mitteln sind, ist vorher festlegbar und umfaßt in der Regel gerade
diejenige relative Frequenzbreite, die zur vollständigen Abdeckung des
gesamten Frequenzbereiches von den Stützstellen aus notwendig ist,
98
typischerweise eine halbe Terzbandbreite. Zur Abdeckung des Frequenzbereiches von 10 bis 4000 Hz werden so etwa 50 exponentiell ansteigende
Frequenz-Stützpunkte benötigt.
Der eigentliche Auswerteteil des Programms ist wieder vergleichsweise
knapp.
Zur Kontrolle werden aus den TF-Komponenten zunächst die Amplitudenwerte von Beschleunigung und Kraft selbst, sowie die Kohärenz berechnet.
Anschließend wird die komplexe Obertragungsfunktion selbst berechnet,
die gleichbedeutend mit der Trägheitfunktion m(w) ist. Daran schließen
sich die kurzen Umrechnungen in E-Module nach vorgenannten Gleichungen
an, welche schon für alle bisher beschriebenen Auswertungsprogramme
Gültigkeit hatten.
4.5.3 Ergebnisse
Das Meßergebnis am "Entwicklungs-Prüfling" war nach Anwendung der Breitband-Meßtechnik das gleiche wie bei allen vorangegangenen Messungen mit dem Unterschied, daß dieses Ergebnis in nur etwa 2 Minuten Meß-,
Rechen- und Ausdruckzeit vorlag. Das Meßergebnis zeigt Bild 29. Zur
Verdeutlichung der typischen Eigenschaften der Breitband-Meßtechnik
durch Fourier-Analyse sind die Meßwerte aufgetragen im Stadium vor der
Mittelung über die exponentiell verteilten Frequenzbereiche.
99
PHASE
90
40
—10 10
2
5
2
5
2
3990
2
r REQUENZ
3990 rHZ]
BETRAG E EN/mm^2J
100
5
2
5
2
10
2
5
2
5
Bild 29: E-Modul in Betrag und Phase der "Test-Probe" erhalten per Breitbandanregung, Auswertung von 400 äquidistanten Einzelfrequenzen,
keine Mittelung
100
4.6
Erweiterung der Meßapparatur
Vorbemerkung:
Eine mechanische Anordnung mit wesentlich erweiterten Meßmöglichkeiten als
in der bisher benutzten Anordnung (Bild 14) wurde von Beginn der Entwicklungsarbeiten an konzipiert. Dieser Aufbau kam bei den späteren Entwicklungsschritten auch zur Anwendung. Die projektierten zusätzlichen Meßmdglichkeiten konnten jedoch - wegen der umfangreichen prinzipielleren Probleme bei der Bestimmung der elastischen Module - im Zeitrahmen dieser
Forschungsarbeit nicht mehr ausgenutzt werden. Dies bedeutet insofern kein
wesentliches Defizit, weil die erzielten Meßergebnisse zumindest nahelegen,
daß andere Parameter als die Frequenz keinen wesentlichen Einfluß auf den
E-Modul der Fugendichtstoffe und damit ihre Körperschalldämmung haben.
Die durchgeführten Arbeiten zur Erweiterung der Meßapparatur sind also
als Vorleistungen für spätere Anwendungen zu werten; dabei ist nicht nur
an die Anwendung auf Fugendichtstoffe zu denken, sondern auch auf zahlreiche andere Kunststoffe, deren frequenzabhängiger E-Modul bisher nur
unzureichend bestimmt werden konnte.
4.6.1 Allgemeine Erfordernisse
Der komplexe Elastizitätsmodul der viscoelastischen Fugendichtstoffe
sollte - aus bautechnischen Gründen - in Abhängigkeit von den folgenden
Parametern gemessen werden:
- Frequenz,
- Temperatur,
- statische Vorlast,
- Beanspruchungsart.
Bisher wurde die ausschließliche Aufmerksamkeit auf die Frequenzabhängigkeit gerichtet. Der Frequenzbereich sollte bis zu Frequenzen um 4 kHz
reichen.
Die Schwingungsamplituden durften dabei für zuverlässige Meßergebnisse
nicht zu klein werden, woraus folgt, daß die Beschleunigungen bei hoher
Frequenz relativ hoch sind.
101
Daraus folgt für den mechanischen Aufbau einer geeigneten Meßapparatur,
daß alle mitschwingenden Massen so klein wie möglich sein sollten,
denn die zur Verfügung stehende Anregungskraft ist stets beschränkt.
Andererseits muß - um zusätzliche störende Apparaturresonanzen auszuschließen - die Rückbefestigung der Probe extrem starr sein; das heißt,
die sonstigen Bestandteile der Apparatur sollten möglichst schwer sein.
Soll die Temperaturabhängigkeit des dynamischen E-Moduls gemessen werden,
so muß eine Probentemperierung berührungslos und ohne sonstigen mechanischen Einfluß auf den Meßvorgang erfolgen.
Soll die Abhängigkeit der E-Module von der statischen Vorlast mitbestimmt werden, so taucht das Problem auf, daß die elektromagnetischen
Shaker nur eine eng begrenzte maximale Stromstärke zulassen.
Der Wunsch nach Zulassung unterschiedlicher Proben -Beanspruchungsarten
schließlich greift tief in die Geometrie der gesamten Meßanordnung ein;
davon werden wiederum alle oben skizzierten Probleme wie mitschwingende
und starre Massen, Probentemperierung etc. beeinflußt.
4.6.2 Ermöglichung statischer Vorlasten durch Symmetrie
Denkt man zunächst an eine Dehn-Beanspruchung der Probe, so überlagern
sich stets statische und dynamische Kräfte auf der Achse der Beanspruchungsrichtung. Eine mechanisch angeschlossener Shaker hätte demnach
auch die statische Kraftkomponente mit auszuhalten. Dies ginge nur bei
Überlagerung einer starken Gleichstromkomponente zum Wechselstromanteil.
Am Bau sind durch thermische und Feuchte-Einflüsse bewirkte statische
Verformungen von Fugendichtungen in der Regel um mehrere Größenordnungen
größer als die mit dem Körperschall verbundenen Schwingungsamplituden.
Eine dementsprechende Gleichstrombelastung der Shaker in der Meßanordnung
verbietet sich in der Regel aus technischen bzw. thermischen Gründen.
Die Erzeugung dynamischer und statischer Kräfte zur Verformung der Fugendichtstoffprobe sollte also räumlich getrennt möglich sein.
Fraunhofer-Institut fur Bauphysik
102
Ein weiteres Argument dafür ist, daß im Falle der Schubbeanspruchung der
Proben eine gleichgerichtete Überlagerung dynamischer und statischer
Kräfte nicht sinnvoll erscheint, sondern daß in diesem Falle der dynamischen Schubbeanspruchung eine statische Dehnbeanspruchung (senkrecht
dazu also) überlagert sein sollte.
Dies führte in der Konsequenz zur Entwicklung einer vollständig symmetrischer Meßanordnung.
Der Forderung, daß die Erzeugung der statischen von der der dynamischen
Kraft räumlich getrennt sein sollte, kann hierbei dadurch entsprochen
werden, daß die Probe von der einen Seite her dynamisch, von der anderen
Seite her statisch beansprucht wird; die dazu notwendige Entlastung des
Shakers von der statischen Kraftkomponente wird dann durch die genau
spiegelsymmetrische zweite Apparatur auf der Rückseite des Shakers
ermbglicht; zwei Shaker sind also - mechanisch starr zur Aufnahme der
statischen Kräfte verkoppelt - in der Mitte der Gesamtapparatur angeordnet, die zwei Proben werden von außen durch zwei mit Spindeln verstellbare 1-lalterungsvorrichtungen symmetrisch eingerahmt. Die Gesamtanordnung
zeigt von der Seite das Foto und Bild 30.
Shaker
Bolzen
Probe
Kraft—
♦
aufnehmer
Mutter
•
n^^ ^Î ;
Traverse
Sperr—
Handrad
masse
^ ^^ a , I t smil
^
Impedanz—
kopf
Grundplatte
^
7
Spindel—
Strecken-
vorschub—
messung
einheit
Bild 30: Symmetrische Mess- Apparatur von der Seite . Von Innen nach Außen: Shaker, Impedanzköpfe, Proben, Vorschubvorrichtung als Rückbefestigung, bestehend aus: Bolzen, Sperrmassen, Kraftaufnehmer, Winkel auf angetriebenen Schlitten, Handräder.
104
Die beiden symmetrisch in der Mitte der Apparatur angeordneten Shaker
sind mechanisch parallel geschaltet durch einen sie umgebenden starren
Aluminium--Rahmen (Traverse). Foto und Bild 31 zeigen diese Anordnung
im Detail.
Tra v erse
Impedanzk,.pf
linker
Shaker
Mittelständer
Alu-Rohr
Bild 31: Mechanische Parallelschaltung der beiden Shaker durch Traverse
Außerhalb anschließend Impedanzköpfe
105
Durch die Traverse werden die symmetrisch von außen aufgebrachten statischen Kräfte um die Shaker herum abgeleitet. Durch einfache Spindelverstellung werden also die beiden Proben gleichsinnig auf Druck oder
Zug statisch vorbeansprucht. Durch die beiden Shaker zwischen ihnen werden
sie jedoch dynamisch gegensinnig verformt: Bewegt sich die Traverse hin
und her, so wird wechselseitig die rechte Probe auf Druck, die linke Probe
auf Zug und umgekehrt beansprucht. Zwischen den Proben und der Traverse
sind ebenfall symmetrisch die Impedanzköpfe angeordnet, welche die
- gegensinnigen - dynamischen Kraft- und Beschleunigungswerte messen.
Bild 30 zeigt links und rechts die Spindel-Vorschub-Einrichtungen.
Die angetriebenen beweglichen Befestigungsschlitten der Vorschubeinrichtungen wirken nicht direkt auf die Probe ein; auf der gleichen
Bewegungsschiene befindet sich jeweils auf einem separaten nicht angetriebenen Schlitten, noch eine Sperr-Masse, die mit dem Metallwinkel
auf dem angetriebenen Schlitten nur durch ein S-förmiges Verbindungsstück
verbunden ist; in dieses Verbindungsstück sind Dehnungsmeßstreifen
integriert, welche es gestatten, die statischen, auf die Proben wirksamen Achs-Kräfte zu messen. Mechanische Meß-Uhren gestatten es ferner,
den Verschiebe-Weg, und damit die statische Proben-Vor-Verformung zu
messen.
Die Grundplatte hat Abmessungen von 0,6 m x 1,5 m x 2,8 cm und eine
Masse von etwa 200 kg. Sie ist auf dem Grundgestell durch Gummifedern
gelagert. Die direkt hinter den Proben befindlichen Sperrmassen betragen jeweils etwa 4,5 kg. Die Vorschubeinrichtungen sind äußerst
starre und präzise, kugelgelagerte Ausführungen. Trotzdem lassen sich
Resonanzen dieser Proben-Rückbefestigung nicht ganz vermeiden. Wie sowohl
rechnerische Abschätzungen aus der Biegesteife der Grundplatte und aus
der vorhandenen Massen, als auch Messungen zeigten, liegt eine erste
Biegewellenresonanz der Gesamtanordnung bei etwa 200 Hz; die sich parallel in der Mitte der Apparatur bewegenden Shaker regen die Grundplatte in
Längsrichtung zu einer Biegewelle mit einem Knotenpunkt unterhalb der
Shaker an, die Proben-Rückbefestigungseinheiten machen dabei kombiniert
axiale und Kipp-Schwingungen.
Auf Grund der hohen Massen sind die Amplituden dieser GrundplattenSchwingungen aber so klein, daß sie die Impedanzmessung an der elastischen
Probe nicht nennenswert beeinflussten.
106
Ein weiteres kritisches Bauteil ist die mitschwingende Traverse (siehe
Bild 31). Sie wurde mit dem Ziel einer möglichst geringen Masse und
gleichzeitig einer möglichst hohen Verbiegungs-Steifigkeit in axialer
Richtung konstruiert; ihre Gesamtmasse lag so bei etwa 100 g, ihre
axiale effektive Nachgiebigkeit wurde zu etwa 1 pm/N abgeschätzt; die
daraus abgeschätzte - und in etwa auch gemessene - erste, sich axial
auswirkende Biege-Resonanz-Frequenz lag knapp oberhalb von 1 kHz. Es
ist aber zu bemerken, daß Eigenschwingungen der Traverse und damit eine
nicht ganz parallele Verformung der beiden Proben, das Meßergebnis nicht
beeinflussen, weil die Signale der beiden Impedanzköpfe voneinander
subtrahiert werden, so daß in erster Näherung nur parallele Probenverformungen gemessen werden.
Bild 30 zeigt ferner die elektronische Meßeinrichtung. Links unten sind
die vier Ladungsverstärker zu Verstärkung der zwei Beschleunigungs- und
Kraft-Signale zu erkennen, in der Mitte der Leistungsverstärker für die
beiden Shaker.
Sowohl die beiden Beschleunigungs- als auch die beiden Kraft-Signale
werden in nachgeschalteten Differenzverstärkern zu jeweils einem
Gesamt-Beschleunigungs- bzw. Kraft-Signal subtrahiert; der Leistungsverstärker speist die beiden symmetrischen Shaker antiparallel,
so daß ihre Bewegungen parallel verlaufen.
4.6.3 Ermöglichung von wahlweise Dehn- oder Schubbeanspruchung durch
Kreuzform
Bei Schubbeanspruchung stehen Einspannrichtung und Bewegungsrichtung
der Probe naturgemäß senkrecht aufeinander (entsprechend auch statische
Vorlasten und dynamische Kräfte). Zur Verhinderung der Anregung von
Biegeschwingungen der mechanischen Verbindungselemente und der Probe
sind hier - auch ohne die Option der statischen Vorbelastbarkeit zwei Proben notwendig, deren Schubbeanspruchung in der Mitte zwischen
ihnen erfolgt. (So war auch die Apparatur von Flocke [14] aufgebaut).
107
Die Symmetrie wird vervollständigt durch die zwei sich gegenüberstehenden
Shaker. Damit ergibt sich insgesamt eine kreuzfdrmige, in beiden
Achsrichtungen vollständig symmetrische Anordnung (Foto und Bild 32).
Impedanz —
Kopf
•
Kontermutter
Probe
r\
Shaker' hal>öerungs—
winkel
Verbindungs—
stange
Kontermuttern
Kreuzver—
(Alu)
bindungsstück
Sperrmasse
Kraft—
♦
aufnehmer
Dehnungs—
meßstreifen
Bild 32: Symmetrische Universalapparatur umgebaut in Kreuzform zur Messung von Schubmodulen
m
ab—
109
Die Spindel-Verstellvorrichtungen sind nun (ermöglicht durch variable
Verschraubung) in die Mitte der Grundplatte gerückt. Die beiden Shaker
sind aus der Mitte der Grundplatte herausgenommen und stehen sich
nun links und rechts (auf Bild 32 oben und unten) - wiederum antiparallel geschaltet - gegenüber. Die statischen und dynamischen Kräfte
überträgt ein kreuzförmiges / mitschwingendes, und daher leichtes Verbindungsstück, das in Längsrichtung in der Mitte zwischen den beiden Proben
Proben und in Querrichtung in der Mitte zwischen den beiden Shakern
und Impedanzköpfen angeordnet ist.
Der elektronische Meßaufbau bleibt der gleiche wie bei der Dehn-Beanspruchung.
4.6.4 Ermöglichung einer Probentemperierung
Eine einfache Möglichkeit, die Probe zu temperieren, wäre, den ganzen
mechanischen Teil der Meßapparatur zu temperieren. Die Temperaturspanne
hat dabei etwa 80 °C zu betragen. Piezo-keramische Schwingungsaufnehmer
(andere kamen ja wegen der Notwendigkeit, auch bei hohen Frequenzen zu
messen, nicht in Frage) zeigen jedoch eine erhebliche Abhängigkeit ihres
I_I r.hfaktor3 von der Temperatur - eei ne Abhang l gke l t , d i e nu r .)' I!VY I
me(3technisch zu bestimmen ist. Auch der verwendete elektrodynamische
Shaker würde bei hohen Außentemperaturen nur eine stark verminderte
mechanische Leistung umsetzen können. Aus diesen Gründen scheidet die
Temperierung der gesamten mechanischen Apparatur aus.
Es erweist sich also als notwendig, gezielt nur die Probe selbst zu
temperieren.
Es ist daher für eine beidseitige thermische Isolierung der Probe von
ihrer mechanischen Einspannung zu sorgen, ohne daß jedoch die mechanischen Randbedingungen wesentlich beeinflußt werden.
Das entscheidende Problem besteht darin, einen mechanisch möglichst
harten aber gleichzeit schlecht wärmeleitenden Isolierkörper zu finden.
Nun hängt sowohl der Gesamtwärmeleitwert mit der spezifischen Wärmeleitfähigkeit, als auch die Federkonstante mit dem E-Modul über das
Verhältnis aus Querschnitt zu Dicke miteinander zusammen; das Problem
110
ist also nicht geometrisch, also etwa durch geschickte Dimensionierung
des Isolierkörpers zu lösen; es ist ein reines Werkstoff-Problem.
Als Maßstab für die Härte des Isolierkörpers hat zunächst seine mechanische Steife im Verhältnis zur Steife des Probenkörpers Bedeutung;
eine schärfere Anforderung stellt jedoch die Bedingung dar, daß selbst
bei der höchsten Meßfrequenz (4 kHz) der Isolierkörper wesentlich
kürzer als die Viertelwellenlänge der Schallwelle in ihm zu sein hat.
Die Anforderung an die Wärmeleitfähigkeit des Isolierkörpers läßt sich
aus der Maxime ableiten, daß Temperaturunterschiede im Probenkörper
selbst wesentlich kleiner (4. 10 %) als die mittlere Differenztemperatur
der Probe zur Raumtemperatur sein sollten.
Die Kompromißlösung dieser Probleme sah folgendermaßen aus:
Als Werkstoffe kamen einige Kunststoffe und Glas in Betracht. Der
Kunststoff mußte selbstverständlich auch bei hohen Temperaturen noch
beständig sein. Außerdem sollte sein E-Modul möglichst frequenzunabhängig sein (was mit der ersten Forderung glücklicherweise fast automatisch zusammenhängt). Geeignet erschien daher als Werkstoff Polycarbonat.
Die folgende Tabelle faßt die mechanischen und thermischen Eigenschaften
von Polycarbonat und Quarz-Glas bei den gegebenen mechanischen Randbedingungen (Länge d = 30 mm, Querschnittsflache S = 30 mm 2 , Durchmesser = 6 mm) zusammen:
E-Modul
[10 9 N/m 2 ]
60
2.3
Dichte [1000 kg/m 3 ]
2.7
1.2
Schallgeschwindigkeit [m/s]
4700
1400
x/4 bei 4 kHz [m]
0,3
0,088
Phasenverschiebung
= d/a • 360 °
g •
30 °
Federkonstante [kN/mm]
60
2,3
spez. Warmeleit-W
[ mK]
fahigkeit A
0,78
0,17
Wärmewiderstand [K/w]
1200
6000
E/A
7.7.101°
1.35.101°
[K•s/m 2 ]
111
Der entscheidende Parameter, das Verhältnis aus E-Modul und Wärmeleitfähigkeit E/A, liegt bei beiden Stoffen in etwa der gleichen Größenordnung von 10 10 Ks/m z . Die E-Module beider Stoffe unterscheiden sich
jedoch recht erheblich; trotzdem ergibt sich die Federsteife eines
Isolierkörpers aus Polycarbonat geeigneter Geometrie immer noch als
rund 1000 mal steifer als die der Probe; berechnet man jedoch über
die Dehnwellen-Geschwindigkeit c und bei Annahme einer maximalen Meßfrequenz von 4 kHz die Viertelwellenlängen in diesen Werkstoffen, so
ergibt sich nur für den Glaskörper ein befriedigend hoher Wert; in
einem Isolierkörper aus Polycarbonat hingegen ergäbe sich eine interne
Phasenverschiebung von 30 °.
Hierbei wurde als Querschnitt/Dicken-Verhältnis ein Wert von 1 mm angenommen; dieser Wert ergab sich als Kompromiß aus den mechanischen und
thermischen Anforderungen; außerdem aus der weiteren Forderung, daß
der Querschnitt der Isolierkörper zur Ermöglichung stabiler Schraubverbindungen eine gewisse Größe nicht unterschreiten durfte.
Mit diesem geometrischen Verhältnis ergibt sich für den Glaskörper ein
gerade noch ausreichender Wärmewiderstand von 1200 K/W. Berechnet man
nämlich den Wärmewiderstand einer typischen, quderförmigen Probe
(Kantenlänge = 12 mm) aus Polyurethan (A = 0,33 W/mK), welcher sich zu
rund 250 K/W ergibt, so folgt aus der Reihenschaltung dieser beiden
Wärmewiderstände, daß bei einer Temperaturdifferenz von 60 °C Raumtemperatur die innere Temperaturdifferenz der Probe den gerade noch
erträglichen Wert von 10 °C hätte. Wesentlich günstigere Werte ließen
sich mit einem Isolierkörper aus Polycarbonat (W = 6000/W) erreichen.
Auch ist Polycarbonat ein relativ leicht mechanisch bearbeitbarer Stoff,
wohingegen eine feste mechanische Verbindung von Glas mit den unumgänglichen metalliichen Schraubverbindungen Probleme macht.
Trotzdem mußte die erheblich größere Härte von Glas gegenüber dem Polycarbonat - welche zu dem relativ geringen Phasenfehler von nur 9 ° führt stärker bewertet werden.
Es wurden daher als Isolierkörper zylindrische Glaskörper mit beidseitigen metallischen Schraubverbindungen (hergestellt aus einer im
Wärmeausdehnungskoeffizient passenden Speziallegierung) hergestellt.
(Länge: 30 mm, Durchmesser: 5 bis 6 mm, Masse: 6 g.)
112
(Für die Rückseite der Proben wurden etwas dickere und längere Glaskörper
hergestellt, um den Obergang auf ein dickeres Gewinde zu bewerkstelligen,
und um bei eventueller Schubbeanspruchung der Proben eine ausreichende
Biegesteifigkeit zu gewährleisten. Diese Glaskörper hatten eine konische
Form: 5 bis 12 mm Durchmesser, 50 mm Länge, Masse: 30 g.)
Das Konzept zur Temperierung der Probe sollte ein kurzes, dünnes Rohr
sein, das in möglichst dichtem Abstand den Probekörper gerade umgibt;
auf diese Weise sollte eine möglichst gute Wärmeankopplung einerseits und
eine freie mechanische Beweglichkeit des Probenkörpers andererseits
erreicht werden.
Die Anordnung von Probekörper, Isolierkörpern und Heiz- bzw. Kühl-Rohr
zeigt Bild 33.
Spirale
Probe
Proben—
halterung
•
f
111`
♦
(Alu)
Impedanzkopf
•
11 1'1111 11.1111
Rückbefe—
stigungs—
Glas
bolzen
^
:l
`
n- n • n 1 3 IIT,
'1 -l
1
Kühl — / Heiz-
Auslaß
flüssigkeit
Einlaß
Bild 33: Probentemperierung in einem Rohr
Zwischen dem Rohr-Außen- und Innenmantel fließt spiralförmig
die Heiz- bzw. Kühlflüssigkeit. Das Rohr ist zur Verbesserung
der Wärmeabstrahlung innen schwarz eloxiert. Die Probe selbst
ist mechanisch fest aber thermisch isoliert axial zwischen
zwei Glaskörper eingespannt.
Das Rohr ist innen zur Verbesserung der Wärmeabstrahlung schwarz eloxiert. Als Probekörper wurden vorzugsweise ebenfalls schwarze Fugendichtstoffe ausgewählt. Der Wärmeübertrag von der Rohrinnenwand erfolgt aber
113
auch auf die der Probe benachbarten Probehalterungen aus Aluminium.
Auf diesen sind Miniatur-Temperaturfühler angebracht. (Elektrische
Widerstände mit positivem Temperaturkoeffizient PTC, des Typs PT 100.)
Betrachtet man nur den Wärmeleitungsübergang von der Rohrinnenwand auf
Probe- und Probenhalterungskörper durch die dünne Luftschicht, so ergibt
sich ein Wärmewiderstand von nur 30 K/W. Die Wärmekapazität der inneren
Probenanordnung wurde mit
8
J/K abgeschätzt. Daraus ergibt sich eine
geschätzte Zeitkonstante für die Temperatureinstellung der Probe von
ca. T = 4 Minuten.
Die beidseitige Wärmeleitung in den Probekörper über die Probenhalterungen verringert zusätzlich die inneren Temperaturdifferenzen in der
Probe. Der oben genannte Wert von 10 °C - bei 60 °C Temperaturdifferenz
zur Labortemperatur - ist also als oberer Grenzwert anzusehen. (Dies
zeigten auch etwas genauere Abschätzungen anhand eines thermischen
Ersatzschaltbildes für die auftretenden Wärmewiderstände und Wärmekapazitäten.)
Das Innere des die Probe umgebenden Rohres durchfließt eine Kühl- bzw.
Heizflüssigkeit spiralförmig, der Flüssigkeitsstrom wird in einem externen Kompakt-Kälte-Thermostaten geschlossen, welcher Heiz- oder
Kühlleistung zur Konstanthaltung der Temperatur in einem Temperaturbereich von - 30 °C bis 150 °C - sowie die erforderliche Pumpleistung automatisch regelt.
Wegen der geringen Zeitkonstante für die Temperatureinstellung können
alle für die Prüfli ng
cii ^ i g^cnTemperaturen
icmperaûi cn
^ nn Fugendichtstoffen
y^^^
c.ii benötigten
relativ schnell durchgefahren werden. Für spätere Prüfaufgaben ist an
eine automatische Fernsteuerung des Thermostaten durch den Personalcomputer gedacht.
Ein weiteres thermisches Problem ist die mögliche Eigenaufheizung der
Probe durch die Schwingungsbeanspruchung. Durch die beträchtlichen
mechanischen Verluste der Fugendichtstoffe ist mit einer gewissen
Temperaturerhöhung bei langzeitiger Schwingungsbeanspruchung zu rechnen.
Geht man von einer Probe mittlerer akustischer Eigenschaften wie in
Kapitel 4.1 genannt aus, (also einem proportional mit der Frequenz
ansteigenden E-Modul bzw. einer konstanten imaginären Impedanz von
Z = - j . 48 kg/s), ferner von einem als relativ hoch angenommenen
Verlustfaktor von n = 0,5, außerdem von einer maximalen Kraftamplitude
114
von F = 1 N, so ergibt sich die Verlustleistung nach der Formel
P
_
v
FZ •
jZj 3 1
n
(62)
4- n2
zu größenordnungsmäßig = 10 mW. Vereinfacht angenommen, diese Leistung
würde in der Mitte der Probe konzentriert erzeugt, so ergäbe sich - bei
direkter metallischer Einspannung der Probe (ohne Glaskörper) - bei
einem Wärmewiderstand zu den Probekörperhalterungen von ca. 50 K/W eine
Temperaturerhöhung von ca. 0,5 °C. Auch bei thermisch beidseitig
isolierter Probe wäre die Temperaturerhöhung kaum höher wegen des geringen
Wärmewiderstandes zum umgebenden Rohr von nur ca. 30 K/W. Die Temperaturerhöhung durch innere machanische Verluste ist also vernachlässigbar klein.
Ein weiterer Fehlereinflug könnte durch die enge Nachbarschaft der
Probe zum umgebenden Rohr, genauer durch die Viscosität der dazwischen
befindlichen Luft entstehen. Dieser Effekt wäre mit zunehmender Frequenz
ansteigend. Bei einer Frequenz von 1 kHz wurde jedoch die effektive
Federkonstante der Luftschicht zu K L = 5,5 • 10- 3 N/m abgeschätzt. Dies
ist um 6 Zehnerpotenzen kleiner als die zu erwartenden Federkonstanten
der Proben , so daß dieser Effekt vernachlässigbar ist.
Auch bei einer Schubbeanspruchung der Proben, bei welcher sich die
Probe ja nicht axial, sondern quer zum Rohr bewegt, läge der Anteil der
Luftsteifigkeit nur bei ca. K = 6 N/m. Auch dies ist noch vernachlässigb a r.
Die gewählte Konstruktion der Probentemperierung verspricht also, die
Forderung, das akustische Meßergebnis nicht zu beeinflussen, hinreichend
zu erfüllen.
Probleme sind allerdings zu erwarten hinsichtlich der Temperaturmessung.
Die Messung mittels aufgeklebter Miniaturwiderstände auf den Alu-Probehalterungen dürfte - bei Reihenuntersuchungen an einer Vielzahl von
Proben - bei späteren Versuchen wenig praktikabel sein.
115
4.7
Messung und Berechnung störender Einflußgrößen
Hierbei wurden Effekte untersucht, die direkten Einfluß auf die gemessene Trägheitsfunktion haben, nicht aber im physikalischen Verhalten
der Probe selbst (zum Beispiel in der Temperaturabhängigkeit) begründet
sind.
4.7.1 Bestimmung der Eichfaktoren der Schwingungsaufnehmer
Beide Schwingungsaufnehmertypen, Beschleunigungs- und Kraftaufnehmer,
basieren auf dem piezo-keramischen Effekt; wird ein piezo-keramischer
Körper mechanisch verformt, so bilden sich an seiner Oberfläche
Polarisationsladungen, die extern gemessen werden können. Dieser Effekt
ist unter anderem auch temperaturabhängig.
Sollen Kräfte gemessen werden, so wird die Eigenschaft des keramischen
Körpers selbst als mechanische Feder ausgenutzt, die abgegebene Ladung
ist dann der aufgebrachten Kraft proportional.
Eine Beschleunigungsmessung geschieht über den Umweg einer Kraftmessung;
es wird dabei die zur Beschleunigung einer kleinen (im Impedanzkopf
angeordneten) Probenmasse notwendige Kraft gemessen. Diese Kraft ist
wiee d.USchwingungsfrequenz
1 e
solange
^ y ^der Beschleunigung proportional,
weit unterhalb dieses internen Masse-Feder-Systems liegt. Dann ist auch
die abgegebene Ladung der Beschleunigung proportional.
Die Eichfaktoren des Impedanzkopfes werden also in der Größe
"Ladung/Kraft" oder "Ladung/Beschleunigung" angegeben. Sie können von
Exemplar zu Exemplar geringfügig differieren; die Eichfaktoren sind
daher in der Regel an den nachgeschalteten Ladungsverstärkern einstellbar,
damit man sich um sie bei der Durchführung von Schwingungsmessungen
nicht mehr zu kümmern braucht.
Im Falle der vorliegenden Meßaufgabe geht aber eine Massenkompensation
in das Meßergebnis ein. Nun können zwar mit einem Impedanzkopf, durch
Kraft- und Beschleunigungsmessung und anschließende Quotientenbildung,
Massen- bzw. Trägheitsfunktionen direkt bestimmt werden; ein möglicher
Fehlerfaktor bei dieser Messung würde sich dann bei der Kombination
mit anderen gemessenen Trägheitsfunktionen herausheben; ist jedoch die
116
Kompensationsmasse an sich (etwa die der Probenhalterung) nicht mehr
getrennt von anderen Teilmassen meßbar, so muß auf eine Messung der
schweren Masse mit herkömmlichen Waagen zurückgegriffen werden; dann
stellt sich die Frage nach dem Massen -Eichfaktor des Impedanzkopfes.
(Auf eine absolute Bestimmung von Beschleunigungen oder Kräften kommt es
nicht an, sondern nur auf den Fehlerfaktor bei der Messung ihres
Quotienten.)
Der Massen-Eichfaktor wird nach der folgenden Prozedur bestimmt:
- Schwingenlassen des reinen Impedanzkopfes, Bestimmung der inneren
Masse m i ' hinter dem internen Kraftaufnehmer (incl. Befestigungsschraube);
- Anschrauben einer wägbaren Test-Masse m t ' an den Impedanzkopf,
Messung der Masse (mt °+ m i ') = mg';
- Berechnung der scheinbaren Test-Masse m t ' = mg' - mi';
- Wägung der Testmasse auf einer konventionellen, geeichten Waage,
Ergebnis = mt;
- der Massen-Eichfaktor ergibt sich nun als Quotient aus m t ' / mt.
In der bisher beschriebenen Meßanordnung (Kraft- und Beschleunigungsmessung vor der Probe) kamen Impedanzköpfe zum Einsatz. Die beiden zur
Verfügung stehenden Exemplare (Anfangsnummern 8... und 11...) hatten die
Massen - Eichfaktoren, 0.872 bzw. 0.967. (Durch Ausnutzung einer besonderen
Meßanordnung, nämlich Reihenschaltung beider Impedanzköpfe, konnte
nachgewiesen werden, daß für die unterschiedlichen Eichfaktoren fast ausschließlich die unterschiedlichen Empfindlichkeiten für die Beschleunigungsmessung verantwortlich sind.)
Bei wiederholten Messungen ergaben sich Eichfaktoren (für den Impedanzkopf 8..) im Bereich von 0,91 bis 0,94; es müssen also Meßfehler im
Bereich um 3 % einkalkuliert werden. (Als Ursache hierfür können Temperatureinflüsse vermutet werden.)
Beim zuletzt angewandten Meßaufbau (siehe Kapitel 5) wurde die dynamische Kraft hinter der Probe gemessen; hierfür diente ein gesonderter
117
piezo-elektrischer Kraftaufnehmer; (Serien-Nr. 942183) nur die Beschleunigung wurde noch mit dem bisherigen Impedanzkopf gemessen.
Der Massen - Eichfaktor dieser Anordnung aus Kraft- und Beschleunigungs aufnehmer wurde bestimmt zu
1,06 + - 3 %.
Zur Bestimmung der dynamischen Massen wurde die mit dem Impedanzköpfen
gemessene Obertragungsfunktion über einen gewissen Frequenzbereich
gemittelt; theoretisch müßte ja diese Obertragungsfunktion "Beschleunigung-Kraft" bei Ankopplung einer reinen Masse eine Konstante sein. Es
zeigte sich jedoch, daß ihr Wert mit zunehmender Frequenz leicht abnahm;
dadurch wurden auch die Massen-Eichfaktoren leicht frequenzabhängig.
Dieser Effekt kann dadurch erklärt werden, daß die Meßfrequenz nicht
mehr vernachlässigbar klein im Vergleich zur Eigenresonanz-Frequenz der
Massen-Feder-Anordnung zur Beschleunigungsmessung im Impedanzkopf ist.
Bei einem solchen Resonanz-System gibt sich die gemessene Beschleunigung
a' (die proportional zur Verformung des internen Piezo-Kristalls ist)
aus der echten Beschleunigung a nach der Formel
a' (f) = a • (1 - f 2 /f 0 2 ) - 1
(63).
Aus den technischen Daten des verwendeten Impedanzkopfes - innere
Beschleunigungs-Masse m = 10 g und Federkonstante des BeschleunigungsPiezo-Kristalls K = 2,5 • 10 8 N/m - ergibt sich eine innere Resonanzfrequenz von fo = 25 kHz.
Bei einer Meßfrequenz von f = 4 kHz ist dann der Meßwert a' um ca. 2,5 %
größer als die wahre Beschleunigung, der Eichfaktor ist demnach um 2,5 %
kleiner als bei sehr niedrigen Frequenzen. Dies entspricht auch in etwa
den frequenzabhängigen Meßwerten bei der Massenbestimmung.
Die Korrekturfunktion (Gl. 63) zur Kompensation des frequenzabhängigen
Massen-Eichfaktors kam in dem zuletzt angewandten Meßauswerteprogramm
MODULMESS4 (siehe Kapitel 5) zur Anwendung.
118
4.7.2 Bestimmung mitschwingender Massen
Nach dem oben beschriebenen Verfahren wurden - in wiederholten Versuchen die folgenden Massen bestimmt:
- die innere Masse im Impedanzkopf (hinter dem
Kraftaufnehmer) (ohne Schraube)
- dto. mit Befestigungsschraube
mi o = 2, 1
9;
m i= 3,0 g;
- Masse einer Probenkörper-Halterung
(Alu-Körper)
m Alu = 3 , 9 9;
- Masse der Probe selbst (des bei der
Apparaturentwicklung ständig benutzten
Probentyps)
mp = 1,8 g.
Die Masse der Probe selbst, d.h. des Fugendichtstoffs, kann nur durch
Wägung der ganzen präparierten Probe, d.h. der Probe mit beidseitiger
Alu-Körper-Anspannung, gemessen werden. Die (mutmaßliche!) Masse der
beiden Proben-Halterungen (7,8 g) muß dann davon subtrahiert werden.
Die - im Prinzip gleichen - Alu-Körper waren leider nicht alle gleich
schwer; vermutlich wegen der unterschiedlichen Tiefe der eingeschnittenen
Gewinde. Die Standardabweichung bei 25 gewogenen Aiu-Körpern betrug
± 0 , 1 g ( 2 , 5 %).
Aus Gründen der Herstellungstechnik lagen die Fugendichtstoffproben
ausschließlich in zwischen Alu-Körpern eingeklebter Form vor. Wegen der
nicht-konstanten Alu-Körper-Massen läßt sich daher auch die Masse der
eigentlichen Probenkörper mp nur mit entsprechender Ungenauigkeit
bestimmen; statistisch addieren sich die Fehlerquadrate der Massen der
beiden einzelnen Alukörper zum Gesamtfehlerquadrat; der Fehler von
mp ist daher um den Faktor V2 größer anzusetzen als der von mAlu;
als Fehler in der Bestimmung der Probenmasse wurde daher der Wert von
0,14 g angenommen.
Um die Vor-Masse, insbesondere die Masse der Alu-Probenkörper-Halterungen,
trotz ihrer Verklebung mit dem eigentlichen Probenkörper noch genauer zu
bestimmen, wurde noch ein weiterer, recht aufwendiger Versuch unternommen.
119
Dem lag die Idee zugrunde, daß man eine Masse, die mit anderen Massen
über eine elastische Zwischenschicht untrennbar verbunden ist, trotzdem
isoliert bestimmen kann, wenn man nur bei genügend hoher Frequenz mißt,
so daß die elastisch angekoppelten Massen praktisch nicht mitschwingen.
Demnach wurde die ganze Probenkörper-Anordnung aus Alukörper, Probenmaterial, Alukörper (s. Bild 71) freischwebend an den Impedanzkopf
angeschraubt; zu erwarten ist, daß man bei sehr niedrigen Frequenzen die
Gesamtmasse dieser Anordnung mißt, und bei sehr hohen Frequenzen nur die
Masse des dem Impedanzkopf zugewandten Alukörpers. Die frequenzabhängige
Trägheitskurve dieser Anordnung hat also einen oberen und einen unteren
Sättigungswert; falls man selbst den letzteren nicht direkt bestimmen
kann, so kann man ihn doch mittels einer der ui- 2 - proportionalen Annäherung
angepaßten Regression extrapolieren. Zur Bestimmung der Masse des Probenmaterials selbst hat man auch die Masse des Impedanzkopf-abgewandten
Alukörpers isoliert zu bestimmen; zu diesem Zweck kann man die ganze
Probenkörper-Anordnung mit vertauschten Seiten an den Impedanzkopf angeschraubt noch einmal durchmessen.
Für diese beiden Meß-Vorgänge wurde (in MODULMESS2) ein eigenes
Meß-Steuer- und Auswerte-Programm erstellt, das in das bisherige
Auswerte-Programm zur Bestimmung des E-Moduls der eigentlichen Probe
eingebunden wurde. Der durch diese bestimmte genauere Meßwert für die
Vor-Masse wurde innerhalb des Programms demnach direkt an das eigentliche
Auswerte-Programm übergeben.
Die aus den am Probenmaterial gewonnenen Trägheits-Meßwerten bestimmten
E-Module wurden jedoch noch nicht endgültig als Meßergebnis ausgegeben.
Vielmehr dient dieses erste Meßergebnis dazu, die Regressionsrechnung zur
Bestimmung der Vormasse aus dem Trägheits-Meßergebnis der freischwingenden
Probenanordnung um eine Stufe zu verbessern; in dieser Regressionsrechnung
geht ja die "störende" komplexe Trägheit des Probenmaterials mit der
dahinter angekoppelten freischwingenden Alu-Körper-Masse ein, um die Masse
des vor der Probe liegenden Alukörpers zu bestimmen. Anschließend wird
die Auswertung des eigentlichen Meßergebnisses, d.h. des E-Moduls der
rückwärtig befestigten Probe, unter Anwendung des nunmehr verbesserten
Wertes für die Vormasse um eine Stufe verbessert.
Dieses gegenseitige Verbesserungsverfahren wiederholt sich im Wechsel
so lange, bis der Wert der Vor-Masse gegenüber seiner vorherigen Näherung
120
eine gewisse vorgegebene Änderung unterschreitet.
Das Ergebnis dieses umfangreichen Iterationsverfahrens war jedoch, daß
der Wert für die Vormasse nicht konvergiert. Die Ursache ist darin zu
sehen, daß die Theorie, die der Regressionsrechung zugrunde lag, nämlich,
daß die Probe sich wie eine Feder zwischen zwei Massen verhalte, nicht
stimmt.
PHASE
—1B0
—90
0 10
2
5
2
5
2
5
10000
5
10000
1kg
5
2
5g
4g
2
5
2
1
5
2
1.E 5
10
2
5
2
5
2
r REOUENZ
Bild 34: Trägheitsfunktion (Betrag und Phase) simuliert mit Programm
VISCOMASSE:
viscoelastischer Würfel, d=10mm, Dichte =1g/cm3,
E=1N/mm 2 = const., dahinter Masse m=4g, Berücksichtigung von Wellenausbreitung
dto., den Würfel einfach als Feder mit k=10N/mm betrachtet
121
Schon hierbei zeigte sich, daß bei höheren Frequenzen die Probe vielmehr
als ein, wenn auch kurzes, viscoelastisches Medium mit Ausbreitung
gedämpfter Dehnwellen betrachtet werden muß.
Die zu erwartende komplexe Trägheitsfunktion eines kurzen viscoelastischen
Mediums (mit frequenzkonstantem E-Modul) mit einer dahinter geschalteten
freischwingenden Masse zeigt Bild 34.
Im Vergleich zur Trägheitsfunktion eines einfachen Masse-Feder-Systems
(mit einer dem E-Modul entsprechenden Federkonstante) sind oberhalb von
1 kHz recht drastische Unterschiede zu erkennen; selbst wenn man von
den periodischen Schwankungen der Trägheitsfunktion in diesem Bereich
absieht, so nimmt auch dann die Trägheitsfunktion nicht im Mittel mit
dem Quadrat der Frequenz ab. (Zur Berechnung und computerunterstützten
Simulation dieser Kurven wurde die in Kapitel 4.8 dargelegte Theorie
angewandt.)
Das Iterationsverfahren zur genaueren Bestimmung der Vor-Masse war
also gescheitert.
4.7.3 Messungen an der nicht-starren Proben-Rückbefestigung,
Simulation ihrer komplexen Trägheit
Betrachtet man den Apperatur-Aufbau (s. Bild 30), so wird klar, daß die
d.
angesehen werden
Proben-Riirkhafactinunn
kann, da
ûn^ nicht als, so sta
starr
i angesehen
daß
der damit zusammenhängende Meßfehler von vorneherein vernachlässigt
werden kann. Die Proben-Rückbefestigung besteht - von der Probe aus
gesehen - aus
- einem relativ starren Verbindungsbolzen,
- einem bewußt zwischengeschalteten relativ schweren Stahlklotz
(Sperrmasse),
- einer axial relativ nachgiebigen Kraft-Meßvorrichtung,
- einem kugelgelagerten Schlitten in der Schiene der SpindelVorschubeinrichtung,
122
- dem Rahmen der Spindel-Vorschubeinrichtung,
- der schweren Grundplatte.
In allererster Näherung sind dynamisch nur die Sperrmasse und die
dahinter befindliche nachgiebige Verstellvorrichtung bedeutsam;
diese Komponenten bilden ein Feder-Massen-System.
Um den Einfluß einer sogearteten Rückbefestigung auf das Meßergebnis
der Proben-Federkonstante Kp einzuschätzen, läßt sich folgende Oberschlagsrechnung machen:
Die Sperrmasse hat etwa den Wert m2 = 6 kg. Wie sich leicht feststellen
läßt, liegt die Haupt-Resonanz des vereinfachten Systems aus Sperrmasse und Vorschubeinrichtung bei ca. 100 Hz; daraus läßt sich die
Federkonstante hinter der Sperrmasse mit K2 = 2400 N/mm berechnen.
Es soll nun ferner wieder die typische Probe mit frequenz-proportionaler Steifigkeit (s. Kapitel 4.1) angenommen werden, d.h. Kp = w • 48 kg/s.
Mechanisch liegt eine Reihenschaltung aus Probe und Rückbefestigung vor.
Der relative Fehler (Abweichung der scheinbaren Probensteifigkeit ) d.h.
in Wahrheit der Steifigkeit der Gesamtanordnung, von der wahren Probensteifigkeit) ist bei einer solchen Schaltung einfach gleich dem Quotienten
aus Probensteifigkeit und Rückbefestigungs-Steifigkeit.
Bei relativ niedrigen Meßfrequen7en (weit unterhalb der RückhefestigungResonanz) wird das Verhalten der Rückbefestigung durch ihre Federeigenschaft bestimmt. Bei einer Frequenz von beispielsweise 20 Hz ergibt
sich dann der relative Meßfehler zu 1,2 Prozent.
Bei relativ hohen Meßfrequenzen (weit oberhalb der Rückbefestigungsresonanz) ist an der Rückbefestigung nur noch die Sperrmasse spürbar.
Bei der obersten Meßfrequenz von 4 kHz ergibt sich damit ein relativer
Meßfehler von 50 Prozent.
Bei der Resonanzfrequenz der Rückbefestigung hat diese effektiv überhaupt
keine Steifigkeit mehr; in unmittelbarer Nähe der Resonanzfrequenz ist
daher praktisch überhaupt keine Messung der Probensteifigkeit mehr
möglich.
Die Konsequenz aus dieser Abschätzung ist, daß nach einer Methode gesucht werden muß, den Einfluß der nicht-starren Rückbefestigung auf das
Meßergebnis zu kompensieren.
123
Zunächst wurden dazu umfangreiche Impedanz- bzw. Trägheits-Messungen
direkt an der Proben-Rückbefestigung vorgenommen.
Dabei wurde die Abhängigkeit der komplexen Trägheit der Rückbefestigung
- im folgenden
genannt - von der Geometrie näher untersucht; insbe-
sondere
- die Abhängigkeit vom Abstand Probenrückseite-Sperrmasse,
- den dazwischenliegenden Befestigungsteilen,
- der Stellung der Vorschub-Einrichtung und
- der Position der Meßuhr zur Bestimmung der statischen
Dehnungsstrecke (siehe Bild 30).
Zur Messung der Impedanz, bzw. der Trägheit der Proben-Rückbefestigung,
wurde der Impedanzkopf direkt an derjenigen Stelle angeschraubt, wo
sonst die Probe rückwärtig befestigt ist. Das Ergebnis, die Hintergrund®
Trägheitsfunktion j (w), wurde in Breitband-Meßtechnik ermittelt unter
Rausch-Anregung durch den Shaker.
Bild 35 zeigt direkt die vom Analysator gelieferte Obertragungsfunktion.
Betrag und Phase der Trägheitsfunktion sind offenbar im Bereich bis
1000 Hz stark gegliedert. Die wesentlichen erkennbaren Effekte sind
die folgenden:
1
Ziemlich genau bei 100 Hz zeigt sich die schon oben beschriebene
Haupt-Parallel-Resonanz aus Sperrmasse und dahinterliegender
Nachg i e bi gkeit; der Betrag der
Trägheit
sinkt auf ein Mini-
mum. Diese Interpretation wurde dadurch bestätigt, daß diese
Resonanz sich zu niedrigeren Frequenzen verschob, als versuchsweise die Sperrmasse beschwert wurde.
Die mechanisch mit ihr parallel geschaltete "Feder" setzt sich
offenbar zu gleichen Teilen aus der Federkonstante des
S-förmigen Kraftaufnehmers und der Kugellagerung des Schlittens
zusammen, auf der die Sperrmasse montiert ist - wie durch
versuchsweisen Ausbau des Kraftaufnehmers und Messung der
veränderten Resonanzfrequenz festgestellt wurde.
124
TF clp B/A
180
DEG
0
^
^-^
—180
TF LOG B/A
30
AVG
500
[kg]
50
^â.,,,,^
J
^ ^^
^ t
r^ ^
^
5
^
^
a
1U
I
n,^,
^N ti
-^
^l
^ ;^
^
f^
I
f
,1
i
0,5
11 1 /'
üu
t2!
0. 0
LIN X
HZ
1 000. 0
Bild 35:'Trägheitsfunktion der Proben-Rückbefestigung, direkt gemessen
Meßuhr ohne Berührung mit Anschlag, Abstand Sperrmassenvorderseite-Apparaturmitte = 228 mm, Kurbeleinrichtung-Apparaturmi
III 1tt
V V eC - 115
111111
I I J mm
2.) Knapp unter 270 Hz zeigt sich in der Kurve eine Maximal-, knapp
oberhalb dieser Frequenz eine Minimal-Resonanz. Dies läßt auf
ein leicht angekoppeltes paralleles Resonanzsystem schließen.
Es konnte nachgewiesen werden, daß dies der an die Sperrmasse
angeschraubte seitliche Ausleger mit der Wegstrecken-Meßuhr ist.
Wurden die Schwingungen dieses Auslegers durch einen Batzen
Therostat (einem überwiegend plastischen Schwingungs-DämpfungsMaterial) gegenüber der Grundplatte gedämpft, so verschwand
diese Doppelresonanz weitgehend. Hiervon wurde auch bei den
125
weiteren Messungen Gebrauch gemacht, so daß man diese Resonanz
vergessen kann.
3.
Im Bereich zwischen 600 und 700 Hz zeigen sich einige unübersichtliche Reihen-Resonanzen. Es konnte gezeigt werden, daß diese
mit Masse-Feder-Systemen vor der Sperrmasse verbunden sind,
also damit zusammen hängen, wie die Probe an die Apperatur angeschraubt ist; dies konnte dadurch nachgewiesen werden, daß
sich bei nachgiebigerer Anschraubung, zum Beispiel über einen
zwischengeschalteten Aluminiumkörper, eine Erniedrigung dieser
Resonanzfrequenzen ergab.
Die Feder-Konstante aller Verbindungs-Elemente zwischen Probe
und Sperrmasse konnte entsprechend im Bereich zwischen 20 bis
240 kN/mm, die zugehörige Resonanzfrequenz im Bereich von 300 Hz
bis 1160 Hz schwanken.
Für die später realisierte Befestigungsart konnte die Federkonstante zu 75 kN/mm mit einem Fehlerbereich von ca. 30 Prozent
ermittelt werden.
Betrachtet man den Phasenverlauf der Trägheitsfunktion in Bild 35 (unter
Vernachlässigung der Effekte bei 270 Hz und zwischen 600 und 700 Hz),
so lassen sich 3 Frequenzbereiche unterscheiden: Wegen der technisch
Gegenphasigkei
bedingten Gegenphasigkeit
^ ync ti der
^ uciKraft^t a i ^- ünU Beschleunigungssignale des
Impedanzkopfes bei reiner Massen-Ankopplung bedeutet Phase 0 °: Feder-,
Phase 180 °: Masse-Eigenschaften).
- Im Bereich bis 100 Hz verhält sich die Rückbefestigung wie eine
Feder,
- im Bereich zwischen 100 Hz und ca. 650 Hz verhält sie sich wie
eine Masse,
- im Bereich oberhalb 650 Hz hat sie praktisch nur noch die Federeigenschaft der Elemente vor der Sperrmasse, wie durch den etwa
linearen Abfall des Betrages der Trägheitsfunktion oberhalb dieser
Frequenz ebenfall erkennbar ist.
126
Es liegt nun nahe, die ganze Rückbefestigung - zwecks Kompensation ihres
Einflusses auf das Meßergebnis - durch ein mehrfaches Masse-Feder-DämpferSystem anzunähern, bzw. zu simulieren.
Aus der oben genannten Aufzählung folgt, daß dieses mechanische Ersatzschaltbild (mindestens) zwei-stufig zu sein hat.
Zur Berechnung der komplexen Trägheit der mechanischen Ersatz-Schaltungen
N-ten Grades wurde ein spezielles Unterprogramm erstellt, welches im
Meß-Auswerte-Programm innerhalb der Programm-Schleife über alle auszuwertenden Frequenzen aufgerufen wird, sobald das Meßergebnis (die
komplexe Trägheit m) bestimmt ist und entsprechend dem komplexen Trägheitswert der Rückbefestigung korrigiert werden kann. Mit Hilfe dieses
Unterprogramms wurde die Trägheitsfunktion der Rückbefestigung unter
Variation der Größen aller mechanischen Ersatz-Komponenten so lange simuliert, bis eine optimale Anpassung an die gemessene Trägheitsfunktion der
Befestigung erreicht war.
2,4 kN /mm
n =0,2
75 k N/m m
6 kg
17 =0,3
Bild 36:, Mechanisches Ersatz-Schaltbild der Proben-Rückbefestigung
Das Ergebnis dieser Optimierung zeigen die Bilder 36 und 37. Bild 36 zeigt
das Ersatz-Schaltbild der Rückbefestigung, das aus nur zwei gedämpften
Feder- und einem Massenelement besteht. Die zugehörigen Federkonstanten,
Verlustfaktoren und die Masse sind angegeben.
127
Bild 37 zeigt das Ergebnis der Anpassung der simulierten an die gemessene
Trägheitsfunktion. Dabei wurde - zum Zwecke der Vergleichbarkeit mit dem
E-Modul der Proben - die Trägheit formal, d.h. unter Ausnutzung der
Gleichungen (52) und (53) mit m y = 0, ebenfalls in einen "E-Modul" der
Rückbefestigung umgerechnet. Betrachtet man den Verlauf des Betrages
dieser E-Modul-Funktion, so kann die Annäherung mit einer prozentualen
Abweichung von im Mittel nicht mehr als 30 %, in einzelnen Fällen bis
um den Faktor 2, als einigermaßen geglückt bezeichnet werden; der Vergleich der Phasen zeigt jedoch vereinzelt Abweichungen um mehr als
90 Grad. In Anbetracht der bei fast allen Frequenzen wesentlich höheren
Steifigkeit der Befestigung gegenüber des Probenmaterials selbst sind
selbst noch diese Abweichungen doch als nicht allzu gravierend einzuschätzen.
PHASE
180
M7_,
^ îC^_^
^:;
_M-=^
^
^
.. -- UMW
1
1 1
Mr
^^^
11111•11 111111 1111
—180
10
505
1000
BETRAG E CN/m^23
1.E+11
5
5
2
1
5
FREQUENZ
1000 CHz 3
Bild 37: Vergleich angenäherter "E-Modul" der Proben-Rückbefestigung
(
) mit gemessenem "E-Modul" ( Fraunhofer-Institut für Bauphysik
128
Einen Vergleich zwischen dem E-Modul-Verlauf einer typischen Probe und
dem "E-Modul-Verlauf" der Rückbefestigung zeigt Bild 38. (Die simulierte
Kurve kam hier allerdings in einem früheren Stadium zustande, als die
Rückbefestigung noch durch ein Feder-Massen-System dritter Ordnung
genähert wurde, und für die direkt hinter der Probe befindliche "Feder"
noch die Dämpfung 0 eingesetzt war; daher der steile Pol bei etwa 800 Hz.)
Eine kritische Annäherung beider Kurven - d.h. also eine relativ
starke Beeinflussung des Meßergebnisses durch die nicht-starre Rückbefestigung - zeigt sich nur um 100 Hz, wo die Rückbefestigung aber immer
noch 15 mal steifer als die Probe selbst ist; selbst hier also bleibt
ein möglicher Meßfehler im Falle ungenügender Kompensation im Bereich
unter 10 %.
Bild 38: Vergleich angenäherter "E-Modul" der Rückbefestigung (Siumualtions-Vorstufe) mit E-Modul der Test-Probe ( Fraunhofer-Institut für Bauphysik
129
Das oben beschriebene Unterprogramm zur Simulation der RückbefestigungsTrägheit ("Rückmasse") wurde in verschiedenen Meß-Auswertungsprogrammen
eingesetzt, so in dem Breitband-Meßprogramm BBTFMESMOD in KorrekturVersion "BBTFCORMOD", und in den Auswertprogrammen mit "Wellenkorrektur"
MODULMESS1 bis MODULMESS3, deren mathematisches Auswerteverfahren in
Kapitel 4.8 beschrieben wird.
Die "Rückbefestigungs"-Korrektur der gemessenen Trägheit m' in den bisher
beschriebenen Meßauswerteprogrammen (ohne "Wellenkorrektur") ist einfach,
da die Proben-Trägheit (bzw. die in eine Trägheit umgerechnete Federkonstante) mit der Rückbefestigungs-Trägheit mill schlicht in Reihe
geschaltet ist.
In diesem Falle ergibt sich die korrigierte Trägheit m aus der unkorrigierten m° nach Gleichung
m=
m
• ÊL
h
(64).
m —m'
Der Unterschied zwischen einer solchermaßen korrigierten und einer unkorrigierten E-Modul-Meßkurve eines Fugendichtstoffes ist allerdings
- besonders im kritischen oberen Frequenzbereich - sehr klein.
Selbstkritisch betrachtet, ist daher das Verhältnis zwischen Aufwand und
Wirkung dieser Korrekturrechnung - besonders unter Würdigung des doch noch
recht großen Phasenfehlers - zu groß.
Eine bessere, ja wegen ihrer Direktheit ideale Kompensationsmöglichkeit
wäre es, die Beschleunigung auch auf der Rückseite der Probe einfach
zu messen, und von der auf der Vorderseite gemessen Beschleunigung
elektronisch zu einem Differenz-Beschleunigungs-Signal zu subtrahieren;
das Kraft-Signal und dieses Differenz-Beschleunigungs-Signal könnten
dann anstelle der bisherigen beiden Signale ohne jede mathematische
Korrektur-Notwendigkeit weiterverarbeitet werden.
130
4.8
Ermöglichung der Bestimmung des E-Moduls aus Impedanzmessungen
auch an relativ dicken Proben - "Wellenkorrektur"
Wie alle bisherigen Meßergebnisse zeigten (Kapitel 4.2.4), schien der
E-Modul mit zunehmender Frequenz so stark anzusteigen, daß die sonst
frequenzabhängige Abnahme der Wellenlänge dadurch weitgehend kompensiert
wurde; dadurch blieb die Probendicke glücklicherweise auch bei hohen
Frequenzen immer noch größer als die Viertel-Wellenlänge, so daß das
einfache Modell von der viscoelastischen Probe als "Feder" gerechtfertigt
war. Demnach hing die Zielgröße E-Modul über nur wenige Faktoren mit der
gemessen Trägheit zusammen.
Nun aber zeigten Messungen, daß bei nur etwas weicheren Proben die Grundannahme dieses Modells nur noch knapp oder gar nicht mehr erfüllt war.
(Die in der Entwicklungsphase ständig benutzte Testprobe war durch
Ermüdungserscheinungen etwas weicher geworden.)
Im allgemeinen Fall auch relativ dicker Proben wird die Auswerte-Prozedur
erheblich komplizierter. In der Probe findet eine - wenn auch kurze Wellenausbreitung statt. Der E-Modul muß nun berechnet werden aus der
Beziehung zwischen Wellenlänge und Frequenz sowie der Dichte der Probe
- einer Größe übrigens, die im bisherigen Auswerteverfahren fast
unbedeutend war.
4.8.1 Mathematische Beschreibung
Wellenlänge und Dämpfungsverhalten einer harmonischen ebenen Welle kann
man zusammenfassend beschreiben durch eine komplexe Wellenzahl k. Noch
zweckmäßiger ist hier die Einführung des Produkts aus dieser Wellenzahl
und der Probendicke d
q = k • d
(73).
wird nun im folgenden zur bestimmenden Größe.
(Da der Realteil der Wellenzahl k1 = 27/a ist, folgt für den Realteil von
daß er proportional dem Verhältnis aus der Probendicke zu Wellenlänge
ist. Dieses ist anschaulich die entscheidende Größe.)
131
Wellenzahl k, Frequenz w und Phasengeschwindigkeit (Schallgeschwindigkeit)
c hängen zusammen über die Dispersionsrelation
C=
w
(69).
k
(Dies gilt zunächst nur für ebene Wellen in der Probe. Auf eine genauere
Behandlung wird hier zunächst verzichtet, vgl. Kap. 5.4.)
Aus Gleichung (15) folgt umgekehrt für den E-Modul
_ = p0
c2
(93).
Faßt man diese drei Gleichungen zusammen, so läßt sich der E-Modul
aus der relativen Wellenzahl g berechnen durch
E = po d z •
q -
w2
2
(94).
•
Hieraus lassen sich dann noch Betrag und Phase des E-Moduls zur Darstellung des Endergebnisses einer Messung leicht bestimmen.
Wie läßt sich nun aber die komplexe Zahl g aus der gemessenen komplexen
Trägheit m bestimmen?
Der komplexe Trägheitswert m bei einer Frequenz ist der Quotient aus der
an der Probenoberfläche gemessenen komplexen Kraft - F - und der
Beschleunigungs-Amplitude - a -. Im Falle von dünnen Proben galt bisher,
daß die Kraft in der Probe konstant ist (weil Massenbeschleunigungskräfte
vernachlässigbar sind), und daß die Ortsabhängigkeit der Beschleunigung
innerhalb der Probe einen schlichten linearen Verlauf hat.
Jetzt aber gilt, daß Kraft und Beschleunigung in der Probe einer Wellenfunktion gehorchen. Wegen Reflexion an der Probenrückseite bilden sich
stehende Wellen mit "Knoten" und "Bäuchen" aus.
Bei Totalreflexion an der Probenrückwand ist dort die Beschleunigung 0,
die Kraft maximal; die Kraft gehorcht demnach einer Cosinus-, die
Beschleunigung einer Sinus-Funktion; der Quotient, die Trägheit ist
deshalb proportional einer Cotangensfunktion von q (s. Anhang A5).
Im Falle nicht-totaler Reflexion - bei nicht-starrer Proben-Rückbefestigung - ergibt sich gewissermaßen eine Phasenverschiebung in dieser
Funktion (s. Anhang A6).
132
Im Falle einer starren Proben-Rückbefestigung ergibt sich als Beziehung
zwischen der gemessenen Trägheit m und der komplexen relativen Wellenzahl
g
cot g
m = — mp
•
g
(76),
wobei mp die Masse der eigentlichen Fugendichtstoff-Probe ist.
Im Falle einer nicht-starren Proben-Befestigung, deren eigene komplexe
Trägheit
a
eine vorgegebene, zum Beispiel simulierte Größe ist (siehe
Kapitel 4.7.3), ergibt sich die modifizierte Beziehung
cot (q - go )
m = -m P • (83);
g
hierbei ist der "Reflexionsexponent" qn jedoch selbst indirekt von g
und der Rückbefestigungsträgheit
a abhängig;
mit der Definition eines Massenverhältnisses
(86)
^ ^ /mp
ist der komplexe Reflexionsfaktor an der Rückbefestigung
jgn h -
'-
1
j g nh + 1
(87);
und der Reflexions- Exponent
1
=2j
ln r
(84)
(zur Herleitung dieser Formeln siehe Anhang 5 und 6; zur Veranschaulichung
der Funktion cot q/q siehe Anhang 14).
Die Funktion (76), erst recht die Funktion (83) läßt sich nicht einfach nach
q auflösen. Das bedeutet, daß man die Zielgröße g nicht aus der Meßgröße,
der Trägheit m unmittelbar bestimmen kann, sondern daß es dazu eines Approximationsverfahrens bedarf, das in mehreren Schritten arbeitet, und so
- iterativ - sich dem wahren Wert g annähert.
133
4.8.2 Ein Iterationsverfahren
Vorausgesetzt wird, daß es für jeden gemessenen Trägheitswert m bereits
eine Näherungslösung, also eine komplexe relative Wellenzahl g' gibt.
Davon kann in diesem Falle glücklicherweise ausgegangen werden, weil
gleichzeitig sehr viele frequenzabhängige komplexe Trägheitswerte m
vorliegen, die nacheinander und in geordneter Reihenfolge, nämlich mit
steigender Frequenz, bearbeitet werden. Die zugehörigen g-Werte nehmen
mit steigender Frequenz zwar zu, aber nur geringfügig, sofern die Frequenz-Schrittweiten klein sind. (Das um so weniger, je stärker der E-Modul
mit der Frequenz ansteigt, wie aus Gl. (94) hervorgeht.) Als ein erster
Näherungswert g' für einen Meßwert m bei einer bestimmten Frequenz kann
also immer der schon bei der vorherigen Frequenz bestimmte Wert dienen.
Im Falle des allerersten Meßwertes m kann die Probe ohnehin wie bisher
als Feder betrachtet werden, und der g-Wert aus dem nach Gl. (53) bestimmten E-Modul und unter umgekehrter Anwendung der Gl. (94) bestimmt werden.
Das Iterationsverfahren (programmiert in dem Unterprogramm CCOTQQBINV)
funktioniert nach dem Newton'schen Tangenten-Verfahren (s. Bild 59,
Kapitel 5.5):
- Berechnung des Reflexionsfaktors und des Reflexions-Exponenten En
aus m^, mp, my und dem Näherungswert q';
- Berechnung eines Funktionswertes m'
- Bildung der Differenz von m' - m;
- falls die Differenz einen relativ vorgegebenen Grenzwert unterschreitet, ist die komplexe relative Wellenzahl g' genau genug
bestimmt; Ausstieg aus dem Iterationsverfahren;
- Bildung der partiellen Ableitung der Funktion Gl. (83) nach g:
Tangenten-Steigung S;
- Berechnung von q" (m' - m) / S +11,
Obertrag
g" in g' (d.h. Extrapolation eines 1-Wertes längs der
Tangente;
der nächste Approximationswert q' ist damit bestimmt;
- nächster Approximationsschritt, Wiederholung der Prozedur.
134
(Formeln zum Iterationsverfahren in Anhang 7.)
Dieses Iterationsverfahren wurde in verschiedenen Meßauswerte-Programmen
(BBTFCORMOD, MODULMESS1+2) als Unterprogramm eingesetzt.
4.8.3 Test des Iterationsverfahrens durch Simulation viscoelastischer
Proben
Jedes komplexere Berechnungsverfahren sollte anhand überschaubarer Beispiele auf seine Richtigkeit hin kontrolliert werden. Um ständig neue
Meßvorgänge zu sparen, wurde dazu der frequenzabhängige komplexe E-Modul
viscoelastischer Stoffe simuliert.
Es wird also der "wahre" Wert des komplexen E-Moduls einfach vorgegeben.
Simuliert wird der frequenzabhängige E-Modul-Verlauf, so wie er für
verschiedene Fugendichtstoff-Typen zu erwarten war. (Zur Festlegung der
simulierten E-Modul-Funktion siehe Anhang 12.)Aus dem vorgegebenen
"wahren" E-Modul-Wert bei einer Frequenz wird eine "wahre" Wellenzahl q
nach Gl. (94) berechnet. Aus dieser wird ein zu erwartender TrägheitsMeßwert m nach Gl. (76) berechnet. (Später wurde zusätzlich noch der
Einfluß einer simulierten nicht-starren Rückbefestigung der Trägheit
in die Simulation mit einbezogen, und statt Gl. (76) Gl. (83) benutzt.)
Nach Berechnung des "Meßwertes" m kann nun das Iterations-Unterprogramm
aufgerufen lind getestet werden.
Hierzu wird als erster Näherungswert für ein a der beim vorherigen Aufruf
des Iterationsverfahrens (bei der nächst niedrigeren Frequenz) berechnete
Wert einer Wellenzahl q', also ein absichtlich "falscher" Wert eingesetzt.
Nach einer hinreichenden Anzahl von Iterationsschritten liefert das
Unterprogramm nun einen Approximationswert j'. Aus diesen wird nun unter
Vorwärts-Anwendung der Gl. (94) ein durch Anwendung des Iterationsverfahrens auf einen fiktiven Meßwert m bestimmter E-Modul berechnet. Dieser
kann nun mit dem vorgegebenen "wahren" E-Modul-Wert verglichen werden.
Das Ergebnis dieser Vergleiche war eine nahezu perfekte Obereinstimmung
von vorgegebenem und reproduziertem E-Modul-Wert (s. Anhang 12); dies
auch in kritischen Situationen, in denen die Viertelwellenlänge die
Probendicke mit zunehmender Frequenz weit unterschritt.
135
Das Iterationsverfahren lieferte also die "richtigen" E-Modul-Werte; das
rechnerische Meß-Auswerte-Problem war also gelöst.
Daraus kann man selbstverständlich nicht schließen, daß das angenommene
physikalische Modell - viscoelastisches Medium als eindimensionaler
Wellenleiter - an sich richtig ist; nur, daß, wenn es richtig ist, das
Iterationsverfahren die vorgegebenen E-Modul-Werte richtig reproduziert.
(Zur graphischen Illustration des Simulationsvorganges siehe Anhang 13.)
4.8.4 Diskussion der Ergebnisse mit und ohne "Wellenkorrektur"
Als Meßobjekt diente wieder die während der Apparatur-Entwicklung benutzte
Testprobe aus Silikonkautschuk. In die mathematische Auswertung des
direkten Meßergebnisses, der komplexen Trägheit m, waren nun (in den
Programmen BBTFCORMOD und MODULMESS1) alle bisher beschriebenen Rechenschritte einbezogen:
- Vor-Massen-Korrektur;
- "Wellenkorrektur" für nicht-starre Rückbefestigung, das heißt
einschließlich der Verwendung der simulierten komplexen Trägheit
der Rückbefestigung 211.
Bild 47 zeigt den frequenzabhängigen Verlauf von Betrag und Phase des
komplexen E-Modules dieser Probe. Die gestrichelte Kurve gibt die Meßwerte ohne "Wellenkorrektur" an, die durchgezogene Kurve die Meßwerte
mit "Wellenkorrektur". Die gestrichelte Gerade ist die "a/4-Grenzkurve"
d.h., sie gibt denjenigen E-Modulbetrag in Abhängigkeit von der Frequenz
an, der zu dem Grenzfall führt, daß die Dicke der Probe gleich der
Viertel-Wellenlänge ist.
Die gestrichelte Kurve unterschreitet diese Grenzgerade. Die entscheidende
Voraussetzung, die zur Bestimmung dieser Kurve führte, ist also verletzt;
nämlich die Annahme, daß die Probendicke kleiner als die Viertel-Wellenlänge sei und sich damit die Probe wie eine Feder verhalte. Außerdem
fallen die beiden Zacken in der gestrichelten Kurve auf.
Die "wellenkorrigierte", durchgezogene Kurve hingegen schneidet die
136
kritische Grenzgerade nicht, und sie ist auch glatter. Dies ist auch
glaubwürdiger, weil von der Theorie der Viscoelastizität her steile und
schmale Einbrüche im frequenzabhängigen Verlauf des E-Moduls ja nicht
zu erwarten sind.
90
PHRSE [Grad]
45
0 10
2
5
2
2
5
3990
BETRAG E CN/m^2]
1.E+8
/
/
5
2
1
/
1
// /
i
i
/7
i
^/ /
/ /1
^(
//
;1 /
/
1
/
J11'
r/(
5
,
/
'1
; /^1
/ r /l
. /'
2
/
1.E+6
r -^
r
/. ---/
/
2
10
/,
`
1
I
/
FREQUENZ
3990 CHz]
Bild 47: E-Modul (Betrag und Phase) der Test-Probe mit RückbefestigungsKorrektur
----------
Gerade: X/4 - Grenze für E
Kurve: ohne "Wellenkorrekur"
Kurve: mit "Wellenkorrektur"
Es scheint paradox, daß ausgerechnet die "wellenkorrigierte" Kurve die
a/4-Grenzlinie nicht schneidet, denn eine mögliche Unterschreitung
137
dieser Kurve war ja gerade das Kriterium dafür, die "Wellenkorrektur"
anzuwenden. Der Widerspruch ist aber deshalb nur ein scheinbarer, weil
der durch die gestrichelte Kurve angezeigte "E-Modul" in Wirklichkeit
nur eine der Feder-"Konstanten" proportionale Größe ist, die (s. Anhang Al2, Bild 46) selbst bei konstantem wahren E-Modul mit steigender
Frequenz zunächst absinkt.
Trotzdem - oder genauer: gerade deswegen - bleibt aber eine Unterschreitung der a/4-Grenzlinie des E-Modul-Betrages selbst einer nicht-"wellenkorrigierten" E-Modul-Kurve immer ein sicheres Indiz dafür, da5 das in
diesem Kapitel beschriebene "Wellenkorrektur"-Verfahren notwendig ist.
Den gleichen Effekt wie Bild 47 zeigen noch einmal die Bilder 48.
138
BETRAG E [N/m^27
1.E+8 7
5
q1
2
5
2
1.E+6 10
FREQUENZ
2
5
2
5
2
3990 CHz7
Bild 48a: "E-Modul" der Test-Probe logarithmisch
mit zugehörigem q linear -- — —
ohne"Wellenkorrektur", d.h. E1,Federkonstante
BETRAG E [N/m^27
1.E+8
-rr
5
2
r--
J
I
^
,/-,
^^^
5
„..-__-7:v_
__^->--,
-^ _
2
1.E+6
Ti /2
---- T
10
2
5
^
7 ^
2
Bild 48b: "E-Modul" der Test-Probe logarithmisch
mit zugehörigem q linear
mit "Wellenkorrektu
r"
FREQUENZ
2
3990 CHz7
139
Dargestellt sind als durchgezogene Kurven jeweils der Betrag des E-Moduls
bei logarithmischer Teilung der Ordinate, und als gestrichelte Kurven
die Realteile der komplexen relativen Wellenzahl q, q l , bei Linearteilung
der Ordinate.
Das obere Bild zeigt die Verhältnisse beim nicht-"wellenkorrigierten"
Auswerteverfahren. Der Wert der komplexen relativen Wellenzahl g wurde
dabei formal aus dem E-Modul nach Gl. (94) rückberechnet. Deswegen entspricht dem vorübergehenden Minimum der durchgezogenen Kurve bei 1,5 kHz
ein Maximum des ql-Wertes. Dieser überschreitet deutlich die ,r/2 -Grenzlinie - ebenso wie in Bild 47 die gestrichelte E-Modul-Kurve die a/4Grenzlinie unterschreitet.
Im unteren Teil von Bild 48 sind die Verhältnisse mit "Wellenkorrektur"
dargestellt. Hierbei ist wieder die E-Modul-Betrags-Kurve geglättet.
Dementsprechend ist auch das steile Maximum der q l -Kurve im kritischen
Frequenzbereich (siehe oberen Teil Bild 48) eliminiert; der Realteil der
komplexen relativen Wellenzahl, ql übersteigt nicht mehr die n/2-Grenze,
kommt ihr jedoch sehr nahe; so nahe offensichtlich, daß die Anwendung
der "Wellenkorrektur" berechtigt ist.
4.9
Kritische Betrachtung der bisherigen Meßergebnisse
- Einfluß der vor der Probe mitschwingenden Masse
Das Meß-Auswerte-Verfahren nach letztem Stand (siehe Kapitel 4.8.4) umfaßte zwar drei mehr oder weniger komplizierte rechnerische Korrekturen
- die Vor-Massen-, die Rückbefestigungs- und die "Wellen"-Korrektur lieferte aber - bis auf einige Feinheiten - ein "Meßergebnis", wie es
ganz ähnlich schon ganz am Anfang der Apparaturentwicklung zur Verfügung
stand. Rückbefestigungs- und "Wellen" - Korrektur machten im Vergleich
zur Vor-Massen-Korrektur also offenbar nur relativ wenig aus. Allen Meß-
ergebnissen und Meßauswertungen lagen die gleichen Annahmen über die Größe
der Vor-Masse zugrunde; sowohl die Annahme, daß sie sich aus der eigentlichen Vor-Masse (der Alukörper-Probenhalterung) und zur Hälfte aus der
Proben-Masse selbst zusammensetzte, als auch die Annahme der numerisch
vorherbestimmten Meßwerte für diese Vor-Massen-Anteile. Nach Kapitel 4.7.2
waren die letzteren:
140
- die innere Masse des Impedanzkopfes (einschl. Befestigungsschraube):
3,0 g;
- die Masse der Alu -Probenhalterung:
3 , 9 g;
- die halbe Masse der Test-Probe:
0,9 g.
Die Vor-Masse wurde also zu insgesamt 7,8 g als Parameter in die Meßauswertungsprogramme eingegeben; diese Parameter-Vorgabe blieb im Laufe
der Programmentwicklungen in allen Programmen erhalten.
Die Einbeziehung der halben Probenmasse in die Vor-Masse war nun aber
(siehe Kapitel 4.2.3) an die Voraussetzung einer konphasen Probenverformung gebunden, m.a.W., an die Voraussetzung, die Probe sei wesentlich
dünner als die Viertel-Wellenlänge.
Bei der "Wellenkorrektur" wird aber implizit die Trägheit aller Teile
des homogenen Probenkörpers schon berücksichtigt; als Meß-Position
wird die Oberfläche der Probe angenommen.
Bei der "Wellenkorrektur" ist also als Vor-Masse tatsächlich nur die
vor der Probe befindliche Masse, nicht aber zusätzlich noch ein Teil der
Masse des Probenkörpers selbst einzusetzen. Dieser eindeutig systematische Fehler wurde daraufhin korrigiert; als Parameter für die Vor-Masse
wurde demnach der reduzierte Wert von nur 6,8 g eingegeben.
Das Ergebnis der Meßauswertung nach Veränderung dieses Parameters
zeigt Bild 49.
Gegenüber allen bisherigen Meßergebnissen zeigte dieses - nunmehr auf
die richtige Weise "wellenkorrigierte" Ergebnis eine gravierende Änderung:
der Betrag des E-Modules schien im Gegensatz zu früher fast gar nicht
mehr mit der Frequenz anzusteigen.
Im oberen Frequenzbereich zeigten sich zudem einige Schwankungen im
E-Modul-Betrag; auch der Phasenverlauf erschien stark verändert, stark
oszillierend.
141
BETRAG E EN/m^27
1.E+8
5
2
5
C "Z
/
2
\v
^
1.E+6
10
2
5
^"M'
2
`^
.
\
,
5
\
^^.
2
`^ ^/
/
/ FREQUENZ
3990 CHz7
Bild 49: E-Modul ( , mit Fehlerbereich ) der Testprobe nach
"Wellenkorrektur" und berichtigter Vor-Masse = 6.9g, letzte
Messung mit Beschleunigungs- und Kraftmessung vor der Probe
Angesichts dieser extrem unterschiedlichen "Meßergebnisse" stellten sich
nun die folgenden drei kritischen Fragen:
a)
Warum hat eine nur geringfügig veränderte Vor-Masse einen derartig
extremen Einfluß auf das ausgewertete Meßergebnis?
b)
Welches der beiden unterschiedlichen "Meßergebnisse" - der stark
mit der Frequenz ansteigende E-Modul oder der annähernd konstante
E-Modul - ist der richtige, oder kommt zumindest dem tatsächlichen
viscoelastischen Verhalten der Probe näher?
c)
Wenn das eine Ergebnis demnach falsch ist, wie war es - trotz
sorgfältiger Oberprüfung aller Randbedingungen des Meßverfahrens möglich, so lange den offenbar systematischen Fehler nicht bemerkt
zu haben?
142
Ad a) Der extreme Einfluß der Vor-Masse auf das Meßergebnis insbesondere
bei hohen Frequenzen folgt - wie von Anfang an klar war - schlicht
aus dem mechanischen Aufbauprinzip. Wächst der E-Modul nicht sehr
stark mit der Frequenz an, so nimmt die komplexe Trägheit der
eigentlichen Probe, welche proportional ihrer komplexen Feder"Konstante" aber umgekehrt proportional dem Quadrat der Frequenz
ist, sehr geringe Werte an, welche weit unter dem Wert der
Vor-Masse liegen. Die eigentliche Meßgröße ist also wesentlich
kleiner als eine Korrekturgröße. Wie immer in einem solchen Fall,
ist mit großen Fehlern des Endergebnisses zu rechnen, wenn nicht
die Korrekturgröße - die Vor-Masse - sehr genau bestimmt ist.
(Dies wurde schon in Kapitel 4.2 erwähnt. Die Versuche zur
genauesten Bestimmung der Vor-Masse wurden in Kapitel 4.7
beschrieben.)
Zur genaueren Analyse dieser Zusammenhänge diente eine formelle
Fehl erfortpflanzungsrechnung.
Zur Vereinfachung (die bei etwas härteren Probentypen auch bei
höheren Frequenzen erlaubt ist), wurde dabei von dem Fall einer
als Feder zu betrachtenden (dünnen) Probe vor starrer Rückbefestigung ausgegangen. Im allgemeinen Fall gibt es dann drei Fehlereinflußgrößen und zwei zu bestimmende Fehlergrößen. (Hierzu wird
auf die vollständige Fehlerfortpflanzungsrechnung für diesen Fall
in Anhang A24 verwiesen.) Für den Zweck einer zahlenmäßigen Abschät+ es, uu.
da 111011
.dirr Prob)
G urig genügt
l uu i u we
'1 1.C1 dadurch
VeI e I lI l GLIICII, UQ5
weiter
uauui LII zu vereinfachen,
die - ohnehin geringe - Dämpfung der Probe vernachlässigt. Dann
bleiben als Fehlereinflußgrößen
-
der relative Fehler bei der Messung des Trägheits-Betrages
(Eichfaktorfehler nach Kapitel 4.7.1), der zu rm = 3 % bestimmt wurde,
-
der relative Fehler bei der Bestimmung der wirklich einzusetzenden Vor -Masse, der aus der Unbestimmtheit der Masse
der Probenhalterung resultiert, ry = 1 %.
Es ist wichtig festzustellen, daß diese beiden Fehler sich nicht
automatisch kompensieren, d.h. statistisch voneinander unabhängig
143
sind; und zwar deswegen, weil, zur Bestimmung der Vor-Masse, der
Gesamt-Probekörper (hintere Probenhalterung + eigentliche Probe +
vordere Probenhalterung) konventionell gewogen und das Meßergebnis halbiert wurde. Die Masse einer einzigen Probenhalterung
unterlag aber einen statistischen Schwankung von 0,1 g. Die
tatsächliche Masse einer einzelnen Probenhalterung, die mit der
zu messenden Probe verklebt ist, kann aber nicht einzeln bestimmt
werden. Es bleibt dem Zufall überlassen, von welcher Seite
her der Gesamt-Probenkörper an den Impedanzkopf angeschraubt
wird. Das Verhältnis von 0,1 g zur typischen Masse des GesamtProbenkörpers von ca. 10 g ist dann 1 %. (s.o.)
Im hier behandelten vereinfachten Fall leitet sich dann aus
Gl. (101) (siehe Anhang 24) die Gleichung
r = ( r v 2 • (—v--)
2
+ (1 + ^) 2 )
(102)
zur Bestimmung des relativen Betragsfehlers r der Proben-Trägheit
und des E-Moduls ab. Die Vor-Masse wird zu m y = 8 g angesetzt.
Ferner soll nun der kritischste Fall, d.h. der Fall der oberen
Grenzfrequenz 4 kHz betrachtet werden. Aus dem letzten Meßergebnis
(Bild 47) ist bei dieser Frequenz ein E-Modul-Wert von rund
50 N/mm z zu entnehmen. Der dazugehörige Wert der Federsteife
ist dann ca. 500 N/mm, und für den Betrag der Probenträgheit folgt:
m = K/w z = 0,8 g. Der kritische Fehlerfortpflanzungsfaktor nach
Gl. (102) (m v / m), also der kritische Quotient aus Korrekturgröße
und Meßgröße, hat damit den Wert 10.
Nach Gl. (102) folgt damit ein Relativfehler für die Zielgröße
E-Modul r = 35 %.
Bei weicheren Proben (und diese waren ja nach den neuesten
Ergebnissen zu erwarten) wäre mit einem noch wesentlich größeren
Fehler zu rechnen. Bei der gegebenen Probendicke und bei der
oberen Grenzfrequenz wäre dann aber eine der Annahmen dieser
Fehlerrechnung nicht mehr gegeben, nämlich die, daß die Probe
als Feder betrachtet werden könne.
Dann kann aber der Meßfehler auf andere Weise, nämlich unter
Annahme der kurzen Wellenausbreitung, abgeschätzt werden:
144
Ist dann q (bei fehlender Dämpfung) die relative Wellenzahl, so
ist nach Gleichung (76) die meßbare Proben-Trägheit
m = - mp • cot q/q. Die Proben-Masse mp beträgt typischerweise
1,8 g. Angenommen, bei weicheren Proben und bei der oberen Grenzfrequenz ist typischerweise eine ganze Wellenlänge in der Probe
enthalten, so hat q den Wert 2Tr = 6. Ober einen gewissen q-Bereich
gemittelt, also bei einer statistischen Fehlerbetrachtung, hat
cot q den Wert 1. (Diese mittlere Betrachtung wird auch dadurch
nahegelegt, daß bei hohen Dämpfungen und großen q-Werten die
Funktion cot q nur noch einen "schwach-welligen" Verlauf hat.
Siehe Anhang 14). Damit ergibt sich für die meßbare Proben-Trägheit
m = 0,3 g. Setzt man dieses Ergebnis formal in Gleichung (102)
ein, so folgt als relativer Fehler für die Zielgröße E-Modul ein
Wert von r = 85 %.
In jedem Falle läßt sich also - besonders für relativ weiche Proben
bei hohen Frequenzen - abschätzen, daß eine scheinbar nur geringe
Ungenauigkeit in der Bestimmung der Vor-Masse die Genauigkeit der
Zielgröße E-Modul erheblich beeinträchtigt.
Ad b) Die Frage, welches Meßergebnis nun eher das Richtige sei, läßt
sich angesichts der Schwierigkeiten mit dem Vor-Massen-Einfluß
leicht beantworten:
Das "wellenkorrigierte" Meßergebnis (Bild 49) - unter Einsatz der
richtigen
t ddas
as r i%uîger
ht `
e von
y .-^^ Vor-Masse
^S^,
vv^^6,8
v,v gg - is
ist
Meßergebnis,
e
weil zu seiner Herleitung weniger Voraussetzungen gemacht wurden.
Ad c) Wie war es möglich, daß erst nach so langwierigen Untersuchungen
die Falschheit aller Ergebnisse ohne "Wellenkorrektur" nachgewiesen werden konnte?
Von Anfang an lag offenbar ein trügerischer Zirkelschluß vor.
Dieser kann wie folgt analysiert werden:
- von Anfang an wurde - nach Vorbildern aus der Literatur - ein
Impedanz-Meßverfahren mit Massenkompensation ausgewählt; ebenfalls von der Literatur her war es naheliegend anzunehmen, daß
der E-Modul stark mit der Frequenz ansteigen, und damit die
145
Wellenlänge in den Proben nicht allzu kurz werden würde; als
effektive Vor-Masse mußte daher (siehe Kapitel 4.2.3) die tatsächlich vor der Probe mitschwingende Masse plus die halbe
Probenmasse angesetzt werden;
-
die ersten orientierenden Messungen, unter dieser Annahme nach
den Gleichungen 52 und 53 ausgewertet, ergaben dann tatsächlich
einen stark mit der Frequenz ansteigenden "E-Modul";
-
daraus konnte nach Gl. (94) gefolgert werden, daß die komplexe
relative Wellenzahl q im Wert unter ,r/2, und damit die
Viertelwellenlänge tatsächlich über der Probendicke liegt;
-
dies rechtfertigte dann scheinbar nachträglich die der Messung
zugrunde gelegte Annahme.
In der weiteren Apparaturentwicklungsphase wurden dann einige
Korrekturrechnungen eingeführt; dabei war die "Wellenkorrektur"
(wie diese Bezeichnung schon verrät), im Sinne einer Perfektionierung ursprünglich nur als eine Korrektur-Rechnung für evtl. etwas
weichere Proben-Typen gedacht.
(Wie eine überschlägige Rechnung sofort zeigt, beträgt die
Viertelwellenlänge bei einem E-Modul von 50 N/mm, einer Dichte
von 1200 kg/m 3 und einer Frequenz von 4 kHz - Daten, wie sie aus
allen früheren Messungen hervor g ehen, - immerhin noch 13 mm, mehr als die Probendicke).
Fazit: Es gab bis zur Anwendung des "Wellenkorrektur" - Verfahrens
kein Indiz, das die dem Meßauswerteverfahren zugrunde liegenden
Annahme in Frage stellte.
4.10
Gravierende Änderungen an der bisherigen Meßanordnung
und ihre Begründung
Drei einschneidende Änderungen werden notwendig. Die erste Änderung betrifft physikalische Grundannahmen, bzw. das mathematische Auserteverfahren. Die zweite Änderung betrifft den mechanischen Aufbau der Appara-
146
tur. Die dritte betrifft die Meßtechnik, genauer, den zeitlichen Ablauf
der Messung. Alle Änderungen werden gleichzeitig nötig, denn die zweite
Änderung folgt aus der ersten, und die dritte Änderung folgt aus der
zweiten.
Erste Änderung
Neues physikalisches Grundmodell: In der Probe findet in jedem Fall eine
(eindimensionale) kurze Wellenausbreitung statt.
Das"Wellenkorrektur°' genannte Auswerteverfahren wird also zum grundsätzlich angewandten Hauptverfahren.
Nach dem letzten, am ehesten glaubwürdigen Meßergebnis (Bild 49) und
nach den Bemerkungen im vorigen Abschnitt sind diese Änderungen zwingend
begründet: Wenn offenbar der E-Modul der Frequenz nur schwach ansteigt,
wird bei höheren Frequenzen die Viertelwellenlänge deutlich kürzer als
die Probendicke, demnach muß von der kurzen Wellenausbreitung in der
Probe ausgegangen werden.
Zweite Änderung
Die dynamische Kraft-Messung darf nicht mehr auf der schwingenden, sondern
muß auf der befestigten Probenseite erfolgen; mit anderen Worten, die
(vom Shaker aus gesehen) hinter, statt vor der Probe erfolgen.
Der Einfluß des Fehlers der Vor-Massen-Bestimmung auf das Meßergebnis
entfällt dadurch, weil (vereinfacht) nur die durch die Probe hindurch
wirkende
Kr aft, nicht aber auch die auf die Vor-Masse wirkende Kraft
gemessen wird. (Vergl. Bild 51, Kapitel 5.1.)
Wie im vorigen Abschnitt gezeigt, hat eine Vor-Massen-Ungenauigkeitgerade bei Annahme der Wellenausbreitung in der Probe einen nicht
mehr hinnehmbar großen Fehlereinfluß.
Der Nachteil, der mit dieser Veränderung der Kraft-Meß-Position in Kauf
genommen werden muß, ist die Einbuße der geplanten Variabilität der
Meßanordnung: Der einfache Umbau der Apparatur zur Messung des SchubModuls der viscoelastischen Proben (siehe Bild 32 in Kapitel 4.6.3) ist
nun nicht mehr möglich, weil mit Kraftaufnehmern hinter den Proben
- und besonders bei Zwischenschaltung der Glaskörper zur thermischen
Isolierung - keine Schubkräfte mehr gemessen werden können.
Eine Kraftmessung hinter der Probe bedeutet ferner, daß zur Berechnung
147
des komplexen E-Moduls aus der gemessenen komplexen "Trägheit" F/a eine
andere als die bisherige mathematische Beziehung (siehe Kapitel 4.8 und
Anhänge 5 und 6) verwendet werden muß.
Dritte Änderung
Es muß mit einer Sinus - förmigen Schwingungsanregung gearbeitet werden.
Dies ist eine praktische, nicht vom System her zwingend notwendige
Konsequenz. Es zeigte sich nämlich nach Realisierung des Apparaturumbaus,
daß keine ausreichende Kohärenz mehr zwischen dem vor der Probe gemessenen Beschleunigungssignal und dem hinter der Probe gemessenen Kraftsignal
bei einer breitbandigen Schwingungserregung vorhanden ist. (Mit der
Breitband-Technik wurden alle zuletzt beschriebenen Apparatur-Entwicklungsstufen vollzogen.) Bei Breitbandanregung sind die frequenzabhängigen
Schwingungsamplituden des Kraftsignals hinter der Probe verglichen mit
Störsignalen offenbar zu klein. (Vermutet wurde zunächst, daß dafür die
um den Faktor 100 geringere Empfindlichkeit des piezoelektrischen Kraftaufnehmers im Vergleich zum vorher verwendeten Impedanzkopf verantwortlich ist. Jedoch erwies sich diese Annahme, nachdem versuchsweise ein
zweiter Impedanzkopf die Rolle des hinter der Probe befindlichen Kraftaufnehmers übernahm, als falsch.)
Aus der mangelnden Kohärenz muß freilich geschlossen werden, daß für die
scheinbar ausreichende Kohärenz beim bisherigen Meßverfahren nicht das
eigentliche Probenverhalten, sondern nur die vor der Probe mitschwingende Masse verantwortlich war . Selbst bei einer perfekten Best imung der
richtigen vor der Probe mitschwingenden Masse, wäre also eine richtige
Auswertung der Meßwerte unter Annahme von Wellenausbreitung in der
Probe und mit Messung der Kraft vor der Probe unmöglich gewesen.
Eine zeitlich nacheinander erfolgende Sinus-förmige Schwingungsanregung
der Probe führte hingegen zu ausreichender Kohärenz und auswertbaren
Kraftsignalen hinter der Probe.
Der Preis für diese Rückkehr zu dem früher verwendeten meßtechnischen
Verfahren ist freilich die Umständlichkeit des Steuerungsprogramms für
den Fourier-Analysator und die erhebliche Verlängerung der Meßdauer.
Der nunmehr realisierte Meßaufbau und das Meßauswerteverfahren werden
ausführlich in Kapitel 5 beschrieben.
148
5. ZULETZT BENUTZTES ME3- UND AUSWERTUNGSVERFAHREN ZUR BESTIMMUNG
DES FREQUENZABHÄNGIGEN KOMPLEXEN E-MODULS DER VISCOELASTISCHEN
FUGENDICHTSTOFFPROBEN
Vorbemerkungen:
In diesem Kapitel wird der Ist-Zustand des Verfahrens - mit Ausnahme
genauer Beschreibungen von Computerprogrammen - beschrieben. Warum das
Verfahren so und nicht anders funktioniert, wird nicht näher begründet.
Hierzu wird jeweils auf Abschnitte in Kapitel 4 verwiesen.
Das Meßverfahren ist ein weiterentwickeltes Impedanz-Meßverfahren.
(Siehe Kapitel 3.)
Das Grundprinzip ist die Messung der komplexen frequenzabhängigen Trägheit (anstelle der Impedanz) an der Oberfläche relativ kleiner, quaderförmiger Fugendichtstoffkörper bei Dehnbeanspruchung senkrecht zu
dieser Oberfläche. Aus der gemessenen Trägheitsfunktion wird mittels
eines relativ aufwendigen mathematischen Verfahrens, das in einem
direkt angeschlossenen Computer realisiert wird, die Zielgröße des
komplexen E-Moduls als Funktion der Frequenz berechnet.
5.1
Mechanischer Aufbau
Den mechanischen Teil der Gesamtapparatur zeigt Bild 50.
Als Grundlage dient eine ca. 3 cm dicke massive Stahlplatte, die - zur
Schwingungsisolation über vier Gummifedern - auf einem (nicht gezeichneten) Grundgestell horizontal gelagert ist.
Genau auf ihre Mitte (in Bild 50 ganz rechts) ist über einen extrem
biegesteifen Winkel ein elektrodynamischer Schwingungserreger ("Shaker")
montiert.
(Die rechte Seite der Apparatur, also rechts von diesem Shaker ist
symmetrisch zur linken aufgebaut. Diese Symmetrie diente der vorgesehenen
Einleitung statischer Vorlasten, wie in Kapitel 4.6.2 beschrieben. Dies
wurde jedoch nicht ausgenutzt. Es ist deshalb nur die linke Hälfte der
Gesamtapparatur gezeichnet.)
149
angetr.
dyn.
Schlitten
Sperrmasse
Kraft
Beschl.
stat.
♦
Vorschubsystem
Bolzen
A
Kraft
Probe
Kontermutter
Grundplatte
Shaker
1
V
Verformung
Bild 50: Mechanischer Aufbau der E-Modul-Mel3apparatur von der Seite
(Gesamtansicht)
Auf der gegenüber liegenden Seite (links) ist ein Spindel-Vorschub-System
auf der Grundplatte montiert. Durch Drehung der Handkurbel (ganz links)
kann ein auf der Vorschub-Einheit in einer Schiene kugelgelagerter
Schlitten axial, d.h. in Richtung zum Shaker oder vom Shaker weg, bewegt
werden. Auf diesen Schlitten ist ein stabiler Winkel montiert, der über
ein Verbindungsstück - zur Messung der statischen axialen Kraft - eine
auf einem zweiten Schlitten montierte Sperrmasse in axialer Richtung
mitbewegt; dieser zweite Schlitten ist in der gleichen Schiene kugelgelagert, aber nicht direkt vom Spindelsystem angetrieben. In die Sperrmasse
- einem massiven ca. 6 kg schweren Stahlblock - ist zentral, längs der
Achsrichtung ein zylindrischer Verbindungsbolzen eingeschraubt. (Damit
der Probenkörper eingeschraubt werden kann, ist dieser Bolzen in der
Sperrmasse drehbar, aber nachträglich arretierbar gelagert.)
Damit ist der mechanisch (fast) starre Rahmen des Meßaufbaus beschrieben.
Zwischen dem zentralen Antriebsbolzen des Shakers (links) und dem
Bolzen auf der Seite der Spindel-Vorschub-Einrichtung (rechts), längs
der Bewegungsachse also, befinden sich die zentralen Hauptkomponenten
der Meßvorrichtung. Diese zeigt im Detail Bild 51.
150
Beschleunigungs—
aufnehmer
Bolzen
der Rückbefestigung
Bild 51: Mechanischer Aufbau der E-Modul-Meßapparatur,
die Hauptkomponenten auf der Schwingungsachse
Diese Komponenten sind (von rechts nach links):
-
der Shaker, bzw. sein axial schwingender Antriebsbolzen,
ein sogenannter "Impedanzkopf", von dem hier nur der piezoelektrische Beschleunigungsaufnehmer benutzt wird (vergl.
Kapitel 4.7.1),
-
der eigentliche Probekörper, bestehend aus
-
dem vorderen Probenhalterungskörper,
-
der eigentlichen viscoelastischen Probe,
-
dem hinteren Probenhalterungskörper,
(Teilen, die schon herstellerseitig miteinander verklebt sind),
-
einem piezo-elektrischen Kraftaufnehmer,
-
dem zur Sperrmasse führenden Verbindungsbolzen.
Die einzelnen Elemente sind in Achsrichtung miteinander verschraubt. Nach
verdrehungs- und versetzungsfreier Montage des Probekörpers wird mit dem
Vorschubsystem die Probe auf Vorspannungsfreiheit eingestellt; danach
wird das Vorschubsystem arretiert.
151
Der Probenkörper - und seine Halterungskörper - haben stets eine quadratische Querschnittsfläche von 12 mm x 12 mm.
Die Dicke der Probenkörper (senkrecht zu dieser Querschnittsfläche)
beträgt typischerweise 12 mm. (Vereinzelt kamen auch Proben mit anderen
Dicken im Bereich von 3 mm bis 48 mm zum Einsatz.)
Die gewählten Maße stellen einen Kompromiß dar zwischen den Forderungen,
einerseits die Proben nicht dicker als eine Viertel-Wellenlänge werden
zu lassen, andererseits die Herstellbarkeit homogener Probekörper noch
zu gewährleisten. (Siehe Kapitel 4.1.)
5.2
Schaltung der Meßapparatur
Der gesamte Meßvorgang wird digital gesteuert und ausgewertet. Die zentralen Bestandteile der Meßapparatur sind ein Personal- Computer und,
damit verkoppelt, ein mikroprozessor-gesteuerter Schwingungsanalysator.
Weil die Berechnungsvorgänge, die zur Bestimmung der E-Module aus den
direkten Meßgrößen derartig kompliziert sind, daß sie nur mit Computern
gelöst werden können, war eine Digitalisierung der ganzen Meßtechnik notwendig. Der Analysator liefert dem Computer direkt die gemessenen
komplexen Trägheitswerte.
Der gesamte Meßvorgang einschließlich rechnerischer Auswertung kann somit
vo lls tändig aut oma t i s iert werden.
Damit ist dann gleichzeitig eine weitgehende Rationalisierung von Reihenmessungen verbunden.
Die gespeicherten und ausgewerteten Meßergebnisse können in anschließenden
Computerprogrammen beliebig zu den interessierenden Körperschallgrößen
weiterverarbeitet werden, die dann auch auf rationelle Weise miteinander
verglichen und zusammenfassend klassifiziert werden können. Ein Blockschaltbild der elektronischen Geräte zeigt Bild 52.
Vom mechanischen Teil der Meßapparatur (links) kommen das Beschleunigungs- und das Kraftsignal der piezo-elektrischen Schwingungsaufnehmer;
zum Shaker hin führt ein verstärktes elektrisches Anregungssignal. Die
Schwingungssignale werden über zwei - auf die jeweilige Empfindlichkeit
der Schwingungsaufnehmer eichbare - Ladungsverstärker dem Zwei-KanalFourier-Analysator (Mitte) zugeführt.
152
externere
digital
gesteuerter
Signalgenerator
Steuer—
Drucker
parameter
Personal
Computer
Programm
Meß—
Kanal 2
2 Kanal—
parameter
Fourier —
F
MODUL
MESS4
Analysator
—► Plotter
bildet
Transfer—
Werte
funktion
Kanal 1
( a --► F )
m(w)
m (w)
a
H
Daten—
speicher
Bild 52: Blockschaltbild der elektronischen Geräte zur digitalen Auswertun g der Meß=Signale
Aus einem internen programmierbaren Signalgenerator gelangt ein Schwingungserreger-Signal über einen Leistungsverstärker (der hier nur als
Impedanzwandler mit Strombegrenzungseinrichtung arbeitet) zum Shaker.
Der Analysator ist über eine digitale Datenübertragungsleitung mit dem
Personal-Computer verbunden. In dieser Leitung werden sowohl Steuerparameter zur Steuerung des gesamten Meßablaufs (Frequenz-, AmplitudenBereiche, Arbeitsmoden etc.) dem Analysator übermittelt, als auch von
diesem Kontrollparameter (z.B. tatsächlich eingestellte Frequenz- oder
Amplitudenbereiche, Ubersteuerungsanzeigen, etc.), als auch die eigentlichen komplexen Me5werte dem Computer übertragen. Die vom Computer aus
Fr aunhofer-Institut für Bauphysik
153
diesen Meßwerten errechneten Endergebnisse können auf einem Magnetplattenlaufwerk (einer Floppy-Disc) gespeichert werden. Sie können aber
auch auf einem Drucker numerisch oder auf einem Plotter graphisch
dargestellt werden.
Der Analysator ist das wichtigste Verbindungsglied zwischen analoger
und digitaler, also elektronischer und rechnerischer Meßauswertung. Er
hat die Aufgabe, aus zwei zeitabhängigen elektrischen Eingangssignalen
frequenzabhängige komplexe Ausgangswerte, Obertragungsfunktionen zu
berechnen. (Fourier-Transformation.)
Beim vorliegenden Meßverfahren werden - vom programmierbaren Signalgenerator - nur harmonische (Sinus)-Schwingungen, Schwingungen nur einer
Frequenz, erzeugt; auch die beiden Eingangssignale sind daher - bis auf
Anteile die durch nicht-lineares Probenverhalten bedingt sind, die aber
vernachlässigt werden können, - Sinusschwingungen bei einer Frequenz.
Die Fourier-Transformation liefert als relevantes Ergebnis daher nur
eine einzige komplexe Zahl, die gleich dem Quotienten aus den komplexen
Amplituden des Kraft- und des Beschleunigungssignals ist. (Die Komplexität
dieser Zahl berücksichtigt neben dem reinen Amplitudenverhältnis gleichzeitig auch die Phasenverschiebung.) Dieser einzelne Obertragungswert hat
daher die physikalische Dimension Masse und wird daher im folgenden
"Komplexe Trägheit" genannt.
Zur Berechnung dieses einzigen komplexen Trägheitswertes muß der
Analysator trotzdem eine Vielzahl von Beschleunigungs- und Kraft-Meßwerten
"abtasten". Je nach eingestelltem Frequenzbereich braucht dies eine
gewisse Zeit. Dieser Vorgang wird unter anderem durch den Computer
innerhalb des Meßauswerteprogrammes gesteuert. (Zur Funktionsweise des
Analysators siehe Kapitel 4.3.2).
5.3
Komplettes Meßauswerte-Computerprogramm MODULMESS4
Das Grobschema des gesamten Programmpakets MODULMESS4 zeigt Bild 53.
154
Start
1
Einlesen Analysator -Codes
CODES
Eingabe/Einlesen der Meß-Parameter
PARAMETER
1
Durchführung von Messung und Auswertung
SINCORMOD
evtl. Ausdruck der numerischen Ergebnisse
MODPRINT
evtl. Grafische Darstellung der E(w)und 'P(w)-Kurven
MODPLOT
1
Speicherung aller Meß-Parameter und
Meß-Ergebnisse
Ende
Bild 53: Funktionsschema des Programmpakets MODULMESS4
ri iiell werden alle Meßvorgänge, die der Analysator durchführt, vom
Rechner aus gesteuert. Umgekehrt gibt der Analysator dem Rechner auf
Anforderung Rückinformationen über den tatsächlich eingestellten Status.
Dazu muß der Rechner eine Reihe von Analysator-spezifischen Codes, wie
zum Beispiel das Spannungsraster 1-2-5-10V, wissen; die werden als erstes
in Form von Funktionen im Rechner reproduziert.
Die danach bereitzustellenden Meßparameter hingegen sind Anwender- oder
Proben-spezifisch.
155
Vom Benutzer variabel vorgebbar sind nur noch
und
-
der Pr oberinarne
-
eine verbale Probenbeschreibung.
Alle anderen Meßparameter sind entweder durch die gewählte Meßtechnik
praktisch festgeschrieben, oder sind aus physikalischen Gründen früher
so festgelegt worden. (Dazu dienten die in Kapitel 4 beschriebenen
Versuche). Zu diesen festgeschriebenen Parametern zählen unter anderem
-
lineare oder logarithmische Frequenzteilung,
-
Anzahl der Meßwerte,
-
untere und obere Grenzfrequenz,
-
technische Grenzwerte wie maximal verfügbare Shaker-Kraft,
gesamte mitschwingende Masse, etc. (siehe Kapitel 4.4),
-
Verstärkungsfaktoren für den Beschleunigungs- und Kraft-Kanal
einschließlich gesondert bestimmter Eichfaktoren (siehe
Kapitel 4.7.1),
-
Probenquerschnitt und -dicke,
-
aus den letzten beiden Parametergruppen bestimmte SchwingungsGrenzgrößen wie maximale Beschleunigung, Schnelle, Wegamplitude,
maximale Kraft nach den Abschätzungs-Gleichungen 56 bis 59 in
Kapitel 4.4,
-
die Probenmasse, für die noch variable Werte eingegeben werden
können,
-
die Vor-Masse hinter der Probe, vor dem Kraftaufnehmer,
-
die Parameter zur Simulation der komplexen Trägheit der ProbenRückbefestigung nach Kapitel 4.7.3.
Jetzt wird das entscheidende Unterprogramm (SINCORMOD) zur Steuerung
des gesamten Meßablaufs zur Koordination der verschiedenen Unterprogramme
zur rechnerischen Korrektur und Auswertung aufgerufen.
156
Dieses Haupt-Unterprogramm liefert die fertigen frequenzabhängigen
E-Modul-Meßwerte in Betrag und Phase.
In den anschließenden Unterprogrammen können diese Meßergebnisse entweder
- mitsamt der wesentlichen Meßparameter - numerisch ausgedruckt werden
oder graphisch dargestellt werden.
Ein vereinfachtes Flugdiagramm (Blockbild) des Haupt-Unterprogramms
SINCORMOD zeigt Bild 54.
Einige der dort dargestellten Programmabschnitte sollen noch etwas näher
beschrieben werden:
Grundschema des Programms ist die wiederholte Einstellung einer einzelnen Meßfrequenz, entsprechende Einstellung eines Sinus-Generators,
Messung des komplexen Obertragungswertes zwischen dem gemessenen Beschleunigungs und Kraftsignal und anschließende mathematische Auswertung bis
zur Zielgröße des komplexen E-Moduls. Getrennt gemessen wird dabei auch
das Beschleunigungs-Signal selbst, das gezielt auf eine bestimmte
- frequenzabhängige - Größe eingestellt wird. In einem untersten Frequenzbereich wird die Wegamplitude, in einem mittleren die Schnelle und
im oberen die Beschleunigung selbst konstant gehalten.
Unter den Hilfsparametern, die vor der eigentlichen Meßprozedur, d.h. vor
dem Einstig in die Frequenz-Schleife berechnet werden, gehört auch eine
allererste Näherung für die relative Wellenzahl g. Diese wird aus dem
mutmaßlich maximalen E-Modul bei der niedrigsten Meßfrequenz unter
Rückwärts-Anwendung der entsprechenden E-Modul-Berechnungs-Formel (94)
berechnet.
Anschließend werden noch einige konstant benötigte Voreinstellungen am
Analysator vorgenommen.
Weiterhin werden die Eingangsempfindlichkeiten der beiden Kanäle des
Analysators (im Unterschied zum Verfahren nach dem Programm SINMESFCON,
siehe Bild 21) vorweg fest eingestellt. Die Einstellung richtet sich
nach den vorher bestimmten im ganzen Frequenzbereich maximal vorkommenden Beschleunigungs- und Kraft-Amplituden-Werten. Durch diese Voreinstellung werden die nur langsam abklingenden Störspannungen vermieden,
die (in SINMESMOD) nach jedem Umschalten des Beschleunigungs-Meßbereiches
auftraten und eine gewisse Wartepause bis zum Beginn des eigentlichen
Meßvorganges erzwangen.
Start
Vorberechnun g von Hilfsparametern
- Obergangsfrequenzen
- Dichte, u.a.
- allererste q1-Näherung
Geräte-Voreinstellungen:
Generator auf Sinus-Mode
Analysator - auf duals Real-TimeDarstellung
- 10-fach Mittelung
- log. Darstellung
4
Einstellen Eingangsempfindlichkeit
entsnr. max. $Sschl,
F -Kanal entspr. max. Kraft
a -Kanal
Einstellen Analysator auf Real-Time-Modus
Berechnung der nächsten Frequenz
LINLOG
N
Bestinnung eines geeigneten Frequenzbereichs des Analysators
i,
ä
Frequenz
Einstellen der Generatorfrequenz im
4OO-Raster des Frequenzbereichs
Cenerator
^
Berechnung des Korrekturfaktors für
Beschleunigung
Amplitude
Berechnung der Soll-Beschleunigung u.
zugeh. Spnq.-Wert
Einregeln der Sollbeschleunigung
WA VE KOMPRESS
mehr als 3
}
Einlesen von a-Signal
n
aussteuerbar?
Herabsetzen der
Sollbeschl.
Einstellen
Analysator
auf
Real-TimeModus
inlesen des a und F-Signals
Einlesen der Meliwerte von
Kanal 1 und 2
READCURSOR
Einstellen Analysator auf Messung der TF
}
Messung der Obertragungsfunktion m
(Mittelung über 10 Werte)
f
Stop/
i
IStart-Messun
r.leichzeitiq,
AUSWERTUNG
.j falls nicht 1.Messung:
Berechnung
'törung?
des
E-Moduls
//
(lliuft Messung noch?
aus dem
Meßwert m
Einlesen Real- und Irrag
Teil der TF
u.a.
Parametern
( Umrechnung TF in Meßwert m
Speicherung von m zur Auswertung beim
nächsten Meßdurchgang bei erhöhter Frequenz
Nachholen,
falls letzte Messung
7
1
Fertig
Bild'54: Vereinfachtes Flußdiagramm des Hauptunterprogramms SINCORMOD von
MODULMESS4 (Steuerung des Meß- und Rechen - Ablaufes)
158
Nun kann der Einstieg in die Frequenz-Schleife erfolgen, innerhalb derer
ein kompletter Steuerungs-Algorithmus zur Bestimmung eines komplexen
Trägheits-Meßwertes und dessen Auswertung bei steigender Frequenz
wiederholt wird.
In der Regel fanden 50 Messungen im Frequenzbereich zwischen 20 und
4000 Hz statt, wobei die Frequenz im unteren kritischen Frequenzbereich
bis 500 Hz exponentiell, im oberen kritischen Frequenzbereich oberhalb
500 Hz - zur Verhinderung allzu großer sprunghafter Wellenzahl-Erhöhungen
- linear in 100-Hz-Stufen anstieg.
Die Berechnung der Frequenz jedes folgenden Einzelmeßvorganges erfolgt
im Unterprogramm LINLOG.
Für jede ausgewählte Einzelfrequenz wird ein passender Frequenzbereich
am Analysator eingestellt, dessen obere Grenzfrequenz das zwei- bis
dreifache der Meßfrequenz betragen sollte.
Entsprechend dem zugehörigen Frequenzraster des Analysators wird nund die
exakte Meßfrequenz bestimmt und dieselbe am externen programmierbaren
Sinus-Schwingungs-Generator eingestellt.
Nun kann auch der frequenzabhängige Korrekturfaktor für die Beschleunigungsmeßwerte nach Gl. (63) berechnet werden.
Je nachdem, in welchem der oben genannten Frequenzbereiche sich die Meßfrequenz befindet, - Weg-, Schnelle- oder Beschleunigungs-Konstant-HalteBereich (siehe Bild 24) - wird nun eine Soll-Beschleunigung berechnet.
Mit Hilfe eines programmierten Regelkreises im Unterprogramm WAVEKOMPRESS
wird nun die Amplitude des Signalgenerators so eingestellt, daß sich die
Sollbeschleunigung tatsächlich (auf mindestens 10 % genau) einstellt;
dazu werden - von einem Unterprogramm READCURSOR - die aktuellen Be-.
schleunigungswerte am Analysator kontrolliert. Sollte die Soll-Beschleunigung - etwa wegen nicht ausreichender Shaker-Leistung - nicht erreichbar sein, wird sie im erforderlichen Maße herabgesetzt; bei dreimaligem
Versagen wird zur nächsten Meßfrequenz fortgeschritten.
Nun werden zwecken zusätzlicher Kontrolle die Amplitudenwerte von
Beschleunigung und Kraft mittels des Unterprogramms READCURSOR vom
Analysator eingelesen und angezeigt.
Zur Berechnung der Übertragungsfunktion TF muß nun der Analysator auf
einen entsprechenden Meß-Modus umgestellt werden. (Siehe Kapitel 4.3.2.)
Zur Vermeidung des Einflusses kurzzeitiger Störungen wird im eigentlichen
159
Meßvorgang über zehn Obertragungsfunktionen gemittelt.
Nach dem Start dieses Mittelungsvorganges ist es zweckmäßig, die Meß-Zeit
zur gleichzeitigen Auswertung bisheriger Meßergebnisse zu nutzen. Es
wird jeweils der bei der vorhergehenden Frequenz ermittelte Meßwert
(außer während der ersten Messung) ausgewertet.
Bei Störungen wird der Mittelungsvorgang gestoppt und von vorne begonnen;
bei mehr als drei Störungen wird vermutet, daß die Beschleunigungsamplitude zu hoch eingestellt wurde, und zurückgesprungen zum entsprechenden
Programmteil.
Ist der Mittelungsvorgang beendet, werden - wieder mit dem Unterprogramm
READCORSOR - zwei Meßwerte eingelesen, nämlich Real- und Imaginärteil der
Obertragungsfunktion TF, die anschließend in den eigentlichen komplexen
Trägheitsmeßwert m umgerechnet werden.
Dieser Wert wird dann zur Auswertung während des nächsten Meßvorganges
gespeichert; der letzte Meßwert wird anschließend sofort ausgewertet.
Ansonsten wiederholt sich der gesamte beschriebene Steuerung-Algorithmus
bei jeder Meßfrequenz.
In Bild 54a wird die Reihenfolge der Berechnungen im Programmteil
AUSWERTUNG des vorher beschriebenen Steuerungsprogramms dargestellt.
Die einzelnen Berechnungsschritte werden im folgenden Kapitel 5.4 eingehend beschrieben.
5.4
Mathematische Beschreibung
Vorbemerkung:
Die in die Meßapparatur eingespannte Probe kann - entgegen früheren
Annahmen - nicht einfach wie ein viscoelastisches Federelement betrachtet
werden; die zu erwartenden Dehnwellen-Geschwindigkeiten in der Probe
sind - wegen mutmaßlich nicht wesentlich mit der Frequenz steigender
E-Module - so niedrig, daß bei höheren Frequenzen im gewählten Frequenzbereich von 20 Hz bis 4000 Hz damit gerechnet werden muß, daß die
Probendicke nicht mehr vernachlässigbar klein zur Viertel-Wellenlänge ist;
das bedeutet: In der Probe findet eine - wenn auch kurze - Wellenausbreitung statt.
160
von SINCORMOD
Feste Vorgaben: Parameter aus Vorprogramm von
MODULMESS4
Variable Vorgaben: Frequenz, Meßwert m, m v ,
1. q-Näherung aus letztem Aufruf
mp,
ROCKMASSE
Simulation der Rückbefestigungsträgheit mh
IPITISINQR
InterPolation und ITeration zur Inversion der
komplexen Trägheitsfunktion mit SINus-Funktion
von Q im Nenner unter Berücksichtigung einer
nicht-starren Rückbefestigung
IUmrechnung Wellenzahl q in E-Modul
FEHLISINQR
Berechnung des FEHlers von Q nach Inversion der
komplexen Trägheitsfunktion mit SINus-Funktion
von Q im Nenner unter Berücksichtigung einer
nicht-starren Rückbefestigung
Berechnung des Fehlers des E-Moduls aus dem
Fehler von q
I
Anzeige des Meßergebnisses E-Modul mit Fehler
weiter SINCORMOD
Bild 54a: Berechnungsteil AUSWERTUNG aus dem Hauptunterprogramm SINCORMOD
von MODULMESS4
161
Der Zusammenhang zwischen der Zielgröße E-Modul und der meßbaren ProbenSteifigkeit ist dann nicht mehr die direkte Proportionalität, sondern
der Zusammenhang ist erheblich komplizierter; dies besonders dadurch,
daß die relevanten Formeln nicht explizit nach der Zielgröße aufgelöst
werden können, und demnach ein numerisches Näherungsverfahren notwendig
wird.
5.4.1 Berechnung des komplexen E-Moduls aus den Meßgrößen
Wellenlänge und Dämpfungsverhalten einer harmonischen ebenen Welle werden
zusammenfassend beschrieben durch eine komplexe Wellenzahl k. (Zur Bedeutung: Ohne Dämpfung ist k reell und k = 27/a, kl ist also inversproportional zur Wellenlänge.) Als zweckmäßigere Formulierung erweist
es sich, statt der Wellenzahl k mit dem Produkt
q = k • d
(73),
also dem Produkt aus Wellenzahl und Probendicke, einer komplexen relativen
Wellenzahl (Helmholtz-Zahl) a zu rechnen. (Anschaulicher: dem Verhältnis
aus Probendicke zur Wellenlänge mal 27.)
g wird nun in der gesamten folgenden Rechnung zur entscheidenden Größe.
Ist g erst einmal berechnet, so kann daraus leicht die Zielgröße, der
komplexe E-Modul, auf die folgende Weise berechnet werden:
Wellenzahl k, Frequenz w und Phasengeschwindigkeit (Schallgeschwindigkeit) c hängen zusammen über die Dispersionsrelation
w
C
k
(69).
Das gilt streng genommen nur für ebene Wellen in der Probe - davon wird
hier ja im Rahmen einer eindimensionalen Wellentheorie ausgegangen.
Ist die Probe auch in Querrichtung nicht mehr vernachlässigbar dünn im
Verhältnis zur Wellenlänge, so bilden sich Querschwingungen ("höhere
Moden"), welche diese Dispersionsrelation frequenzabhängig modifizieren;
diese Problematik wird in Kapitel 7 bei der Diskussion der endgültigen
Meßergebnisse gestreift.
162
Ist darüberhinaus die Probe in Querrichtung nicht einmal vernachlässigbar
dünn im Verhältnis zu ihrer Dicke, so müßte - selbst wenn sie klein zur
Wellenlänge ist - noch eine Formfunktion berücksichtigt werden (vgl.
Kapitel 2.3), denn der effektiv meßbare E-Modul wäre wegen der behinderten
Querausdehnung der Probe höher als der wahre E-Modul als echte Materialkonstante. Auf diese - bei der gegebenen Probenform relativ geringe Korrektur wird hier verzichtet, zumal auch die Formfunktion für den
allgemeinen Fall relativ dicker Proben, in denen Wellenausbreitung
stattfindet, nicht bekannt ist.
Weiterhin gilt (für die Dehnwellenausbreitung in dünnen Probestäben) die
Material-Gleichung
E
= pQ C z
(93),
welche den komplexen E-Modul über die Probendichte mit der komplexen
Dehnwellengeschwindigkeit verknüpft.
Aus diesen drei Gleichungen folgt dann die Bestimmungsgleichung für den
E-Modul aus der komplexen relativen Wellenzahl q:
E = po•d2.w2.g 2
(94),
in die noch die Parameter-Probendichte pc) , Proben -Dicke d und die
variable Kreisfrequenz w eingehen.
Die variable Meßgröße im beschriebenen Meßverfahren ist aber nun die
komplexe "Obertragungs-Trägheit" m, welche gleich dem Quotienten der
hinter der Probe gemessenen komplexen Kraft-Amplitude und der vor der
Probe gemessenen Beschleunigungs-Amplitude ist.
Wie nun läßt sich die Wellenzahl g aus der Meßgröße m bestimmen?
Den Idealfall einer starren Proben - Rückbefestigung zeigt symbolisch
Bild 55.
Die Probe ist einmal als akustisches Leitungsstück angedeutet, in der
sich eine Welle ausbreitet; außerdem ist das mechanische Verhalten dieser
Anordnung als Vierpol-Schaltung mit Trägheits-Schalt-Elementen dargestellt. Die für diesen Fall sich ergebende Formel für die Beziehung
zwischen der komplexen relativen Wellenzahl g und der meßbaren Obertragungs-Trägheit m
- m
m =
—
g
•
p
sing
(104)
163
kann physikalisch wie folgt gedeutet werden:
Die periodische Beschleunigungs-Verteilung muß an der starren ProbenRückbefestigung eine Nuiistelle haben, sie wird deshalb an der Probenvorderseite proportional zu sin g sein. Die an der Rückseite der Probe
gemessene Kraft ist dort stets maximal. Die Obertragungs-Trägheit m
ist gleich dem Quotient aus diesen beiden Schwingungsgrößen, weswegen
bereits der Term sing im Nenner von Gleichung (104) plausibel wird.
Die anderen in Gleichung (104) enthaltenen Größen, g und die ProbenEigenmasse mp, folgen aus elementaren Beziehungen, unter anderem dem
Newton'schen Massen-BeschleunigungsGesetz. (Zur ausführlichen Herleitung
von Gleichung (104) siehe Anhang 8.)
v
F
i
E,S'
d
m2
►
F
i
^
4
Bild 55: Ersatzschaltbilder zum Fall der starren Proben-Rückbefestigung
Im realen Fall einer nicht-starren Proben-Rückbefestigung ist noch zusätzlich die komplexe Trägheit
a
dieser Rückbefestigung zu berücksich-
tigen. In der Praxis befindet sich außerdem zwischen der Probenrückseite
und dem hinter der Probe angeordneten Kraftaufnehmer noch eine gewisse
Masse m v , die im Falle der nicht-starren Proben-Rückbefestigung
schwingfähig ist, und daher ebenfalls das Meßergebnis beeinflußt.
164
Die Probe, einerseits wieder dargestellt als akustischer Leiter, verkoppelt mit den Schalt-Elementen a und m y , mit der symbolisch angedeuteten Welle (deren Schnelle v nun nicht mehr an der Probenrückseite
zu 0 wird!), und andererseits die ganze mechanische Anordnung in VierpolDarstellung mit frequenzabhängigen komplexen Trägheits-Schalt-Elementen
zeigt Bild 56.
v
El h
E,$)
a
--♦-I F
I
d
^
F
m2
q
T; T
T
Bild 56: Ersatzschaltbilder zum Fall der nichtstarren Proben-Rückbefestigung
Der Zusammenhang zwischen der komplexen relativen Wellenzahl q in der
Probe, der komplexen Rückbefestigungs-Trägheit m
il und der Vor-Masse my
läßt sich nun auf folgende Weise formelmäßig darstellen:
Ober eine wellentheoretische Betrachtung (gemäß dem oberen Teil von
Bild 56, s. Anhang 9) gelangt man für diesen etwas realistischeren Fall
nun zu einer komplizierteren Formel:
-
m
P •
q
cos
o • + m y • sin
m=
sin (q
-a0)
go
mit g o = g o ( q , m h , m p )
(106).
165
Darin bewirkt die Größe 10 im Vergleich zur Formel (104) gewissermaßen
eine Phasenverschiebung, für die die nicht ganz totale Wellenreflexion
an der Probenrückseite verantwortlich ist. 10 kann gemäß
ln r
go = 12j
(84)
als "Reflexionsgrad-Exponent" betrachtet werden; der komplexe Refelxionsfaktor r ist seinerseits - ähnlich einer bekannten Formel jx -1
r - (107);
j x +1
die komplexe Zahl x ist
x= n g .g
(108)
n g = m g / mp
(109)
mit
und
m g = m
h
+ m v(110).
x kann also als Impedanz- bzw. Trägheits-Anpassungsverhältnis der Probe
an ihre Rückbefestigung gedeutet werden, denn m p /g ist gemäß Gleichung
(106) ein Maß für die Proben-Trägheit, und m g ist nichts anderes als
die gesamte hinter der Probe spürbare Trägheit.
Gleichung (106) hat - im Vergleich Gleichung (104) - den Vorteil einer
anschaulichen Erklärbarkeit, aber den Nachteil, daß m nur auf indirekte
Weise als Funktion aller beteiligten Trägheiten ausgedrückt ist.
Die Vierpol-Darstellung (untere Hälfte von Bild 56) hat den Vorteil, daß
man die meßbare Trägheit m explizit, d.h. i n
°r Gleichung, als Funk-
tion aller vorgegebenen Trägheiten ausdrücken kann. Aus der Leitungstheorie ergeben sich folgende Formeln für die Trägheits-Schall-Elemente
ma und f2:
166
-m
cos q - 1
P
ml
g '
(118)
sin q
- m p1
m2
q
(119)
• sin q
Dann ergibt sich die meßbare komplexe Trägheit m explizit als Funktion
von q:
m
-p
m (9)-
(121).
-^
cos _a •
• sin
q
Die Obereinstimmung von der aus der Leitungstheorie hergeleiteten Gleichung (121) mit der aus der elementaren Wellentheorie hergeleiteten
Gleichung (106) unter Berücksichtigung der Gleichung (84) und (107)
bis (110) läßt sich im übrigen nachweisen (siehe Anhang 9).
Voraussetzung für die Anwendung der letzten Formeln ist selbstverständlich die Kenntnis der komplexen Rückbefestigungs-Trägheit 2 11 . Der hier
eingeschlagene Weg besteht darin, diese Größe näherungsweise (für jede
Frequenz) zu berechnen. Vom Programmablauf her (siehe Bild 54 a) ist
das denn auch der erste Berechnungsschritt.
Der Berechnung liegt die Modellvorstellung zugrunde, daß die Rückbefestigung, die Vorschubeinheit (siehe Bild 50), sich zerlegen läßt in ein
Netzwerk von Massen, Federn und Dämpfern. Einige dieser fiktiven
mechanischen Schaltelemente konnten auch tatsächlich im Aufbau der
Rückbefestigung identifiziert werden. (Siehe Kapitel 4.7.3) Die komplexe
Trägheit wird dann - analog der Impedanz einer elektrischen Schaltung anhand eines mechanischen Ersatzschaltbildes (siehe Bild 36) berechnet.
Die Dimensionierung der mechanischen Ersatz-Schaltelemente wurde durch
Vergleich mit der tatsächlich meßbaren Trägheit der Rückbefestigung
optimiert.
Die anderen beiden bei der Lösung der Gleichung (106 oder 121 zu kennenden Massen, die Masse der eigentlichen Probe, mp, und die hinter der
Probe, aber vor dem Kraft-Aufnehmer noch mitschwingende Masse my (siehe
167
Bild 51), konnten in gesonderten Meßverfahren - unter Einbeziehung
mögliche Eich-Fehler der Schwingungs-Aufnehmer - (siehe Kapitel 4.7.2
und Kapitel 4.7.1) bestimmt werden.
Die eigentliche Schwierigkeit der rechnerischen Meßauswertung besteht
nun darin, aus der gemessen komplexen Trägheit m die komplexe relative
Wellenzahl g tatsächlich zu berechnen.
Dazu müßte die Gleichung (106) mit ihren Nebengleichungen zur Bestimmung
von AD oder die Gleichung (121) nach g aufgelöst werden.
Dies ist jedoch mathematisch direkt nicht möglich.
Zur Bestimmung von
g
muß deshalb ein numerisches Approximationsverfahren
angewandt werden. (Spätestens hieran zeigt sich, daß eine Meßauswertung
ohne Computer-Hilfe zur Lösung der Aufgabe, den komplexen E-Modul viscoelastischer Proben auch bei höheren Frequenzen meßtechnisch zu bestimmen,
gar nicht denkbar ist.)
5.4.2 Fehlerfortpflanzungsrechnung
Angenommen, die komplexe relative Wellenzahl g - und damit der komplexe
E-Modul - sind, was die Lösung der aufgestellten Gleichungen betrifft,
richtig bestimmt, so stellt sich die Frage nach der Abhängigkeit diese
Ergebnisses von den Ungenauigkeiten der Eingangsgrößen.
Zu diesen Eingangsgrößen zählen:
-
die komplexe Trägheit m als die eigentliche Meßgröße mit
angenommenem relativem Betragsfehler r und Phasenfehler p^;
-
die (nur simulierte) komplexe Rückbefestigungsträgheit
mit relativem Betragsfehler r h und Phasenfehler pah;
-
die Probenmasse mp mit einem Relativfehler rp;
-
die vor dem Kraftaufnehmer und hinter der Probe mitschwingende
Masse my mit dem Relativfehler rv.
168
Es gibt also sechs Fehlereinflußgrößen. Alle beeinflussen die Lösung
der Wellenzahl-Bestimmungs-Gleichung (106) oder (121), der Relativfehler
in der Bestimmung der Probenmasse, rp , beeinflußt zusätzlich noch die
Bestimmung des E-Moduis aus der Wellenzahl q nach der Gleichung (94), weil
die darin vorkommende Probendichte po der Probenmasse proportional ist.
Jede Fehlerfortpflanzungsrechnung basiert auf der Bildung von totalen
Differentialen (bezüglich aller Fehlergrößen). Jeder Einzel-Einfluß
einer Fehlergröße auf das Endergebnis wird dabei durch das partielle
Differential ihrer Bestimmungsgleichung nach dieser Einzelgröße bestimmt.
Die Gleichung der Differentiale von Gleichung (121) läßt sich nach dem
Differential von g, also dem gesuchten Fehler von q auflösen.
Das Problem der Nicht-Invertierbarkeit der Gleichung (121) stellt sich
also glücklicherweise bei der Fehlerfortpflanzungsrechnung nicht. Alle
auf die Zielgröße E-Modul wirkenden Fehlerkomponenten lassen sich also
- vorausgesetzt, die Zielgröße selbst ist bereits bestimmt, und alle
anderen Parameter sind ebenfalls vorgegeben, - exakt berechnen.
Weiterhin wird von einer statistischen Unabhängigkeit aller Fehlereinflüsse ausgegangen. Dann wird letztendlich aus einer Summe von komplexen
Fehlern die Wurzel aus der Summe von Fehlerquadraten.
Eine Ausnahme von dieser Regel bildet der doppelte Einfluß der Fehlergröße
r p, der Relativfehler der Probenmasse. Diese Fehlereinflüsse sind selbstverständlich nicht statistisch sondern kausal verbunden; eine genaue
Analyse zeigt dann auch, daß sich für q
4-
0 die beiden Fehlereinflüsse
(also der auf die Bestimmung von a und der zur Berechnung von E aus g)
zu Null kompensieren; dies ist ja auch physikalisch zu erwarten, weil
bei niedrigen Frequenzen die Probe als Feder betrachtet werden kann, und
damit ihre Eigenmasse (und deren möglicher Fehler) überhaupt nicht in das
Meßergebnis eingehen kann.
Im übrigen ist die Fehlerfortpflanzungsrechnung selbst komplex formuliert;
alle reellen Fehlereinflußgrößen müssen daher zunächst in komplexe
Fehlergrößen umgerechnet werden.
Nach Abschluß der Fehlerrechnung kann dann der sich ergebende komplexe
Fehler in den anschaulicheren relativen Betragsfehler und den Phasenfehler
bezüglich der Zielgröße E-Modul umgerechnet werden.
(Die etwas umfangreichere Fehlerfortpflanzungsrechnung ist in Anhang 11
wiedergegeben.)
169
5.5
Das Iterationsverfahren
Zur Lösung des entscheidenden rechnerischen Problems, der Bestimmung der
komplexen relativen Wellenzahl q aus der gemessenen komplexen Trägheit m
(Gleichung (106) oder Gleichung (121)) wird als numerisches Verfahren
das Newton'sche Approximationsverfahren, auch Tangenten-Verfahren genannt, angewandt.
Dieses Iterationsverfahren geht davon aus, daß es zu einem tatsächlichen
Meßwert m bereits eine 0.-te Näherungslösung q' gibt. An dieser Stelle
wird die Funktion m(q) differenziert, das heißt es wird ihre "Steigung"
S bestimmt.
Die Funktion wird nun an der Stelle g linear extrapoliert bis zu der
Stelle, wo sie dem Meßwert m gleich wird; graphisch dargestellt heißt
dies, es wird der Schnittpunkt der Tangente an die Kurve bei q' mit der
Horizontalen durch m bestimmt. (Siehe, beschränkt auf reelle Zahlenwerte,
m
Bild 59.)
m
,
m'
^
i
! q,,,
q „
► q
q
Bild 59: Zum Iterationsverfahren (Newton'sches Tangentenverfahren)
Daraus ergibt sich die nächstbessere, die erste Näherung für g: q".
Nun wird wieder die Steigung der Funktion an der Stelle q" bestimmt,
.die Funktion an dieser Stelle wieder linear extrapoliert zum Meßwert m
und damit die zweite Näherung für q: q"', bestimmt usw. usw. Dieses
Verfahren setzt sich iterativ so lange fort, bis durch die Näherungslösungen von q der Meßwert m bis auf eine vorgegebene relative Genauigkeit bestimmt ist.
170
Der Algorithmus kann wie folgt zusammengefaßt werden:
0.
Vorgegeben ist ein Meßwert m und eine 0.-te Näherungslösung
dazu: q;
1.
Berechnung des Funktionswertes m' (q');
2.
Vergleich des genäherten Funktionswertes m' mit dem Meßwert
m, falls Relativ-Abweichung kleiner als eine Vorgabe (z.B.
10- 6 ), Ende des Iterationsverfahrens, fertig;
3.
falls nicht, Berechnung der Steigung der Funktion S (g');
4.
Berechnung der nächsten Näherungslösung q" durch lineare
Extrapolation der Funktion an der Stelle q' gemäß der Steigung
S zum Meßwert m; g" = g'
5.
+ (m - m')/S;
Übertrag von g" in eiC zur Vorbereitung des nächsten Iterationsschrittes. (Weiter bei 1.)
Als einzige Neu-Berechnung für das Iterationsverfahren ist die Differentiation der Trägheits-Funktion, Gleichung (106) oder Gleichung (121) notwendig.
Es wurde die Differentiation der Gleichung (106) gewählt.
(Auf die Anwendung der Kettenregel, bzw. die weitere Differentiation des
Reflexionsgrad-Exponenten nachh q wurde näherungsweise verzichtet.
Eine Begründung hierfür nebst einer eingehenderen Darstellung des Iterationsverfahrens in Anhang 10.)
Der Verlauf der Trägheitsfunktion Gleichung (106) wird im wesentlichen
bestimmt durch den Term (sin q • g) im Nenner. (Vgl. Gleichung (104).)
An den Nullstellen dieser Funktion (bei reellem q), also in periodischen
Abständen, hat die Trägheitsfunktion Pole; diese mildern sich mit zunehmendem Betrag des Imaginärteils von
g,
d.h. physikalisch mit zunehmen-
der Dämpfung des Systems, zu mehr oder weniger scharfen Maxima. (Eine
graphische Darstellung dieses Sachverhaltes wird in Anhang 15 gegeben.)
Wegen der Periodizität also und wegen der rasch wechselnden starken
Steigungen der Trägheitsfunktion ist an sich mit Schwierigkeiten des
Newton'schen Approximationsverfahrens zu rechnen.
171
Der Erfolg dieses Iterationsverfahrens beim vorliegenden Meßverfahren
beruht darauf, daß für jeden neuen Meßwert bereits eine recht gute
Anfangsnäherung der zu suchenden Wellenzahl q vorliegt. Das liegt daran,
daß sequentiell die Messungen bei steigenden Frequenzen, also mutmaßlich
auch steigender Wellenzahl g, wiederholt werden; als nullte Näherung der
Wellenzahl q für einen bestimmten Meßwert m kann also jeweils die schon
bei der vorherigen Messung (durch ein erfolgreich abgeschlossenes Iterationsverfahren) bestimmte Wellenzahl dienen. Auf diese Weise wird auch
das Mehrdeutigkeits-Problem bei der Suche nach dem Argument einer
periodischen Funktion umgangen, weil es jeweils nur eine naheliegende
neue Lösung für g gibt.
Der Approximationsvorgang zur Findung von g wurde im übrigen noch durch
graphische Darstellungen kontrolliert. Dabei zeigte sich, daß das Verfahren praktisch in fast allen Fällen konvergiert; es konvergiert nur
dann nicht, wenn die Dämpfung der Probe, ausgedrückt in Verlustwinkel,
unter 10° u n d der Realteil der Relativ-Wellenzahl g im Bereich der
Pole (Vielfache von 180°) um mehr als 30° wächst, oder
wenn sich
der Realteil von q im Bereich gewisser indifferenter Bereiche der Funktion
1/(q.sing) stark ändert. (Siehe Anhang 15.) Ein Beispiel für eine
graphische Kontrolle des Iterationsverfahrens wird - wenn auch für die
etwas andere Trägheits-Funktion — cot gq - in Anhang 13 gegeben.
Trotz des etwas kritischeren Verhaltens der Funktion 1/(sinq.g) - im Vergleich zu der Funktion cot g/q - funktioniert das Iterationsverfahren
also zufriedenstellend.
5.6
Das Interpolationsverfahren
In einigen wenigen Fällen versagte das Iterationsverfahren; vor allem
dann, wenn die Schrittweite, mit der sich der Realteil der Wellenzahl q
erhöht, - etwa wegen zu stark von einer Messung zur nächsten ansteigender
Frequenz - zu groß war. Um in solchen Fällen die tatsächliche Durchführung einer dazwischen eingeschobenen Messung zu vermeiden, war es
naheliegend, statt dessen einen "Meßwert" zwischen dem aktuellen und
dem vorangegangenen Meßwert linear zu interpolieren. Dann wurde für
172
diesen interpolierten Wert das Iterationsverfahren durchgeführt. Divergierte es auch dann noch, wurde der Interpolationsvorgang selbst iterativ fortgesetzt, das heißt es wurde immer weiter interpoliert, bis das
in Kapitel 5.5 beschriebene Iterationsverfahren konvergierte; dann wurde
zwischen dem momentanen (schon interpolierten) "Meßwert" und dem ursprünglichen Meßwert interpoliert, und so wurde - wenn nicht wieder weiter
zurückgehende Interpolationsvorgänge notwendig wurden - allmählich bis
zum ursprünglichen Meßwert fortgeschritten. Dieses gewissermaßen dem
Newton'schen Iterationsverfahren übergeordnete Iterationsverfahren wird
symbolisch unter Zuhilfenahme einer Interpolationslaufzahl in Bild 60
beschrieben.
alter Messwert
i
0
s it
^
,^
div
.^
r
^^
1/2
Interpolations—
1/2
1
► laufzahl
it. c
c ^,
\
0
=
0
C
0
00.
it. div.
—^ ►
t
i`^
e r,
= 1
!
0
11,
1
fertig
usw.
Bild 60: Zur Iteration des Interpolationsverfahrens
Diese Interpolationslaufzahl ist jeweils auf einer Achse nach rechts hin
aufgetragen und bezeichnet den jeweiligen Stand der linearen Interpolation des Meßwertes, der an das untergeordnete Newton'sche Iterationsverfahren zur Berechnung des 1-Wertes übergeben wird; Null entspricht
dabei dem "alten" Meßwert, der aus dem vorherigen Durchlauf des Meßprogramms (SINCORMOD, siehe Bild 54) noch in "Erinnerung" behalten wurde;
1 entspricht dem aktuellen neuen Meßwert.
Was die komplexe Wellenzahl q betrifft, so wird für diese die bei der
"alten" Messung gefundene übernommen (oder bei Divergenz des untergeordneten Iterationsverfahrens rückübernommen); im Falle der Konvergenz
(des Erfolgs) des Iterations-Verfahrens wird sie durch den jeweils
best-approximierten Wert ersetzt.
173
Bild 60 zeigt:
- im Falle der Divergenz des Iterationsverfahrens wird = gemessen
an der Interpolationslaufzahl - um die Hälfte zum alten Meßwert
hin zurück-interpoliert;
- im Falle der Konvergenz des Iterationsverfahrens wird
a) der aktuelle interpolierte Meßwert zum Ausgangspunkt 0 einer
neuen Interpolations-Strecke, also zum neuen "alten" Meßwert
gemacht,
b) der nächste Konvergenz-Versuch mit dem tatsächlich neuen
Meßwert (entsprechend der Interpolationslaufzahl 1) durchgeführt.
Dieses "Trial and Error"-Verfahren wird solange fortgesetzt, bis das aufgerufene Newton'sche Iterationsverfahren auch für den neuen Meßwert konvergiert.
Dieses Interpolationsverfahren und das untergeordnete Newton'sche Interationsverfahren sind zusammengefaßt in einem Unterprogramm (IPITISINQR)
formuliert.
Die in Kapitel 5.5 erwähnten Versagensfälle des Iterationsverfahrens
konnten mit Hilfe dieses Interpolationsverfahrens weitgehend eliminiert
werden.
Die Kombination beider Verfahren versagte nur in dem Fall, in dem sich
von einer Messung zur anderen die komplexe Trägheit der Rückbefestigung
stark änderte, d.h. in der Nähe der 100 Hz-Resonanz, siehe Kapitel 4.7.3.
Die Ursache kann man in der Vernachlässigung der vollständigen Differeritiation der Gleichung (106) nach q vermuten. (Siehe Anhang 10.)
Als zusätzliche Vorsichtmaßnahme zur Sicherstellung der Konvergenz des
Iterationsverfahrens wurde die Schrittweite, mit der sich von einer
Messung zur nächsten die Meßfrequenz erhöht, im oberen Frequenzbereich
auf 100 Hz begrenzt. Dieser Dimensionierung lag die folgende Abschätzung
zu Grunde:
Empirisch wurde gefunden, daß sich der Realteil der komplexen relativen
Wellenzahl q um nicht mehr als 30° pro Schritt erhöhen sollte. Der
174
E-Modul einer typischen Probe wurde vorsichtshalber mit 1 N/mm z (konstant)
als relativ klein angenommen. (Dann kommt der Betrag der relativen
Wellenzahl im oberen Frequenzbereich in hohe, kritische Regionen.) Als
Dichte wurde 1200 kg/m 3 angenommen. Dann ergibt sich bei einer oberen
Grenzfrequenz von 5 kHz eine Wellenlänge von 5,77 mm. q hat dann (Dämpfung vernachlässigt) den Wert 13, entsprechend einem Phasenwinkel von
750°. (Es sind also mehr als zwei Wellenlängen in der Probendicke von
12 mm enthalten.) Die maximale Relativ-Schrittweite von q ergibt sich
dann als 0,04. Berücksichtigt man, daß q proportional der Frequenz ist,
so folgt eine maximale Frequenz-Schrittweite von 200 Hz. Zur Sicherheit
wurde dann 100 Hz gewählt.
Aus der Forderung nach konstanter Frequenz-Schrittweite bei höheren
Frequenzen folgt aber, daß im größten Teil des gesamten Meßbereiches die
Frequenzteilung linear zu sein hat. Stellt man andererseits die Forderung, daß im unteren Frequenzbereich die relative Frequenz-Schrittweite
eine Terz (d.h. den Faktor 5/4) nicht überschreiten sollte, dann gibt
es eine Grenzfrequenz, oberhalb derer die erste Forderung (maximal 100 Hz)
schärfer wird als die zweite (maximal Terz); und diese ergibt sich als
500 Hz. Für den Frequenzbereich darunter bleiben dann 14 Terzbereiche,
für den Frequenzbereich darüber 35 100-Hz-Bereiche. Damit ergeben sich
insgesamt 50 Meßfrequenzen, von denen die ersten 14 zwischen 20 Hz und
500 Hz exponentiell verteilt sind, und die restlichen 35 im Frequenzbereich zwischen 500 Hz und 4000 Hz linear ansteigend verteilt sind.
5.7 Test des Berechnungsverfahrens durch Simulation viscoelastische
Proben
Die oben beschriebenen iterativen Berechnungsvorgänge sind recht kompliziert; sie bedürfen daher der Erprobung in realistischen Fallen. Um
zeitaufwendige Meßvorgänge zu sparen, und um exakt reproduzierbare Randbedingungen zu gewährleisten, wurde die Frequenzabhängigkeit des komplexen
Moduls typischer viscoelastischer Proben simuliert. Dazu wurde sowohl der
Betrag des E-Moduls als auch sein Verlustwinkel abschnittsweise zwischen
charakteristisch ausgewählten Fixpunkten interpoliert, so daß auf diese
Weise 50 frequenzabhängige komplexe E-Modul-Werte als Berechnungsgrundlage
175
zum Test der Iterationsverfahren vorlagen. (Näheres zur Probensimulation
in Anhang Al2.) Den simulierten frequenzabhängigen Verlauf von Betrag
und Phase des E-Moduls einer typischen Probe zeigt Bild 61.
PHASE
180
90
100
2
BETRAG E EN/mm^27
q1
100
2
/
//
5
2
i
/,
^ /
..../
/
2
i ^
^ j
100
_ J
2
/
/
i
/
i
i
5
^ \ / /
7r
,^
/
7r
'
/
..-
/
/
----5
DI QUENZ
2
5
10000 [Hz]
Bild 61: Simulierter und per Iterationsverfahren reproduzierter EModul einer typischen Probe ( ), (E logarithmisch)
(Gerade): X/4 - Grenzlinie für E
(Kurve) : dazugehöriger Verlauf des Realteils der
Relativwellenzahl q 1 (linear)
176
Es sind an den durchgezogenen Linien für Betrag und Phase fünf Frequenzabschnitte zu erkennen. Die sechs sie abgrenzenden Fixpunkte sind mit
Absicht so gewählt, daß sich ein recht "schwieriges" Probenverhalten
ergibt, d.h., daß die Viertel-Wellenlänge die Probendicke frühzeitig
unterschreitet, danach wieder überschreitet, dann unterschreitet. (Erkennbar an den drei Schnittpunkten der durchgezogenen Linie der gestrichelten Gerade, welche gerade denjenigen frequenzabhängigen E-Modul-Verlauf markiert, welcher zu einer A/4-dicken Probe führt.) Die gestrichelte
Kurve gibt zusätzlich den zum vorgegebenen E-Modul (nach Gl. 94)
gehörigen Verlauf des Realteils der Relativ-Wellenzahl g an. (Genau an
denjenigen Stellen, an denen die durchgezogene Kurve die gestrichelte
Gerade schneidet, schneidet die gestrichelte Kurve den Wert 7/2).
Bild 61 zeigt aber gleichzeitig auch das Ergebnis des Tests der Iterationsverfahren. Dazu wurde (in einem Simulationsprogramm VISCOWELL2) aus
einem vorgegebenen komplexen E-Modul durch Rückwärts-Anwendung der
Gleichung (94) die komplexe Wellenzahl g, und durch Anwendung der
Gleichung (106) ein simulierter Meßwert m berechnet. Auf der Basis dieses
"Meßwerts" wurde dann das Iterationsverfahren (und das Interpolationsverfahren) getestet. Das Ergebnis dieses Tests - also ein aus einem
simulierten Meßwert berechneter E-Modul - ist in Bild 61 ebenfalls durch
die durchgezogene Kurve angegeben: Die exakte Deckung mit der vorgegebenen simulierten Kurve spricht für eine exakte Reproduktion des simulierten E-Moduls.
Damit konnte gezeigt werden, daß die entwickelten Iterationsverfahren
den E-Modul einer viscoelastischen Probe aus einem gemessenen Trägheitsmeßwert m auch bei dem komplizierten Fall einer kurzen Wellenausbreitung
in der Probe - unter der vorgegebenen physikalischen Theorie - richtig
zu berechnen gestatten.
Bild 62 zeigt den Verlauf der gleichzeitig mit simulierten Proben-Trägheit m.
Das Bild illustriert noch einmal recht deutlich, wie klein der Betrag der
meßbaren komplexen Trägheit einer typischen Probe bei höheren Frequenzen
ist, und welch scheinbar unregelmäßigen Verlauf diese Trägheit hat. Trotzdem konnte also - wie in Bild 61 oben gezeigt - aus dieser Meßgröße auch
bei höheren Frequenzen die Zielgröße, nämlich eine den Stoff an sich
charakterisierende Größe, der komplexe E-Modul bestimmt werden.
177
BETRFG M [kg]
l
1
kg
5
2
5
2
2 7r
5
2
1g
\
5
f
i
2
i
.0001 1- 100
v --
^ l
-J
2
5
r
7
\
2
L REQUENZ
5
10000 [Hz]
Bild 62: Mit-simulierter Trägheits-Meßwert einer typischen Probe
dazugehöriger Verlauf des Real(
, logarithmisch), teils der Relativwellenzahl q 1 (linear)
Es muß aber gesagt werden, daß mit dem Erfolg des ganzen Berechnungsverfahrens noch nicht die Richtigkeit der zugrunde liegenden physikalischen
Theorie an sich bewiesen ist.
Zur Erinnerung: Es wurde von einer ebenen, also quasi-eindimensionalen,
Dehnwelle innerhalb eines quaderförmigen, viscoelastischen Probenkörpers
ausgegangen. Auch dies ist an sich eine Näherung, die auf der zusätzlichen
Annahme beruht, daß auch die Probenbreite klein gegen die Dehnwellenlänge ist, mit anderen Worten, daß die Probe - entsprechend der einfachen
Dehnwellen-Theorie (siehe Kapitel 2.1) - als dünne stabförmige Probe zu
behandeln ist. Die tatsächlichen Meßergebnisse zeigten, daß die Probendicke größer als die Viertelwellenlänge werden kann; in Einzelfällen
auch dicker als die halbe Wellenlänge; genau dann aber ist auch die
Probenbreite größer als eine halbe Wellenlänge und es können in der
Probe auch nicht-ebene Wellen auftreten, die die oben genannte Zusatzannahme in Frage stellen.
178
5.8
Probengeometrie und akustische Modellvorstellungen Zusammenfassung physikalischer Rahmenbedingungen
Die Probe ist quaderförmig und homogen. Der Probenquerschnitt hat die
Abmessung 12 mm x 12 mm. Die Probendicke (längs der Wellenausbreitungsrichtung) ist typischerweise 12 mm, kann aber auch 3 mm bis 48 mm betragen.
Die Probe ist eingespannt zwischen zwei gegenüberliegende, starre
Halterungskörper. Der eine ist (fast) starr befestigt, über den anderen
wird axial (d.h. in Richtung auf den vorgenannten) eine Kraft aufgebracht,
die den Probenkörper elastisch verformt. Die Probe ist demnach fast
ausschließlich longitudinal, auf Dehnung beansprucht.
Der Probenstoff wird als praktisch inkompressibel betrachtet. Die demnach
mitauftretende Querkontraktion wird aber - im Vergleich zur Longitudinalbewegung - nur als Störung, nicht als eigenständiger Effekt betrachtet.
Alle Bewegungsvorgänge in der Probe werden demnach als (quasi-) eindimensional längs der Verformungsrichtung betrachtet.
Eine bei kleinen Probendicken den effektiven E-Modul mit beeinflussende
Formfunktion (siehe Kapitel 2.3) wird nicht berücksichtigt. (Es wird
also angenommen, daß eine Querausdehnung der Probe auch dann nicht
behindert wird. Die Theorie der Formfunktion ist ohnehin nur anwendbar,
falls quasi-statische Probenverformung vorliegt; falls bei höheren
Frequenzen die Viertelwellenlänge aber die Probendicke unterschreitet,
ist diese Voraussetzung nicht mehr gegeben.)
Die Verformungskraft gehorcht einer harmonischen Schwingung.
In der Probe treten daher quasi-longitudinale Wellen auf.
Bei höheren Schwingungsfrequenzen wird angenommen, daß die Viertelwellenlänge die Probendicke unterschreitet. Dies wird in der mathematischen Auswertungsberechnung berücksichtigt.
Weiterhin wird zwar zugestanden, daß auch die Querabmessung der Probe die
halbe Wellenlänge überschreiten kann, und daß demnach höhere Schwingungsmoden, m.a.W. auch nicht-ebene Wellenkomponenten auftreten können, aber
angenommen, daß wegen der in Querrichtung starren Probeneinspannung diese
Wellenkomponenten nicht meßbar sind.
FrequenzvariatIon
Die Frequenz ist der wesentliche variierte Parameter. Der Frequenzbereich
beträgt 20 bis 4000 Hz. (Technisch ausnutzbar ist der Bereich 0 bis 10 kHz.)
179
Aus diesem Meßbereich werden 50 Frequenzen ausgewählt, bis 500 Hz in
Terzabständen, darüber in 100-Hz-Abstanden.
Die Probe wird zeitlich nacheinander zu harmonischen Schwingungen dieser
Frequenzen angeregt.
Amplitudenkontrolle/Nichtlinearität
Es wird selektiv jeweils nur die Obertragungsfunktion der angeregten
Grundfrequenz bestimmt. Eventuelle nichtlineare Effekte der Probenverformung beeinflussen daher nicht das Meßergebnis. Auch sind die Anregungsamplituden derartig klein, daß keine wesentlichen nicht-linearen Verformungen auftreten. (Außer bei Frequenzen unter 100 Hz.)
Trotzdem werden zur Sicherheit folgende Amplituden-Grenzwerte eingehalten:
-
x max = 120 p
(Bei anderen Probendicken als 12 mm beträgt xmax entsprechend 1 %
der Probendicke.)
-
v max = 30 mm/s
-
a max - 50 m/s2
-
Fmax = 4 N.
Bei 40 Hz ergibt sich demnach ein Übergang von der Wegamplitude - ( x max)Konstanthaltung zur Schnelle-(vmax)-Konstanthaltung, bei 265 Hz ein
Übergang von der Schnelle-Konstanthaltungs- zur Beschleunigungs-(amax)Konstanthaltung.
Statische Vor - Verformung
Die Proben werden vor der dynamischen Messung verformungs- und spannungsfrei eingestellt.
Vorgeschichte
Die Fugendichtstoff-Proben wurden vom Hersteller nach eigener Anleitung
hergestellt und ca. 1 Jahr und 7 Monate lang etwa bei Normklima (23 °C, 50 %
relative Luftfeuchtigkeit) bei nur geringen Abweichungen spannungsfrei
gelagert.
Temperatur
Es wurde nur bei einer Temperatur, nämlich der Raumtemperatur von 20 °C
± 2 °C gemessen.
180
E-Modul-Bereich
Es wird der Bereich von 0,5 N/mm 2 bis 50 N/mm z für den Betrag des E-Moduls,
und der Verlustwinkelbereich von 0 bis 90 ° erfaßt (zufriedenstellende
Meßgenauigkeit kann erreicht werden im Meßbereich von 0,5 N/mm z bis
500 N/mmz).
Der als Meßwert ausgegebene E-Modul ist noch eine geringfügig formabhängige Größe. Dies zum einen, weil keine Formfunktion berücksichtigt
wird, (die aber ohnehin der gegebenen Probengeometrie den Meßwert nur
um ca. 10 % erniedrigen würde,) zum anderen wegen der Eindimensionalität
des zugrunde liegenden akustischen Modells.
5.9 Zusammenfassung der Fehlereinflußgrößen
Beschrieben werden nur die empirisch gefundenen Einflußgrößen, die - im
Rahmen des zugrunde liegenden akustischen Modells (siehe Kapitel 5.4) das Meßergebnis beeinflussen.
Nicht beschrieben werden systematische Fehler, die etwa in den Unzulänglichkeiten eben dieses Modells begründet sind. (Siehe dazu die Bemerkungen
am Ende von Kapitel 5.7 und die Modellbeschreibung in Kapitel 5.8.)
Entsprechend dem mechanischen Aufbau der Meßapparatur (siehe Bild 50 und
51 in Kapitel 5.1 und das zugehörige mechanische Ersatzschaltbild 56 in
Kapitel 5.4.1, Zusammenstellung in Kapitel 5.4.2) gibt es vier im Meßsystem enthaltene Fehlerquellen:
-
einen komplexen Trägheits-Meß-Fehler, dargestellt in einem
relativen Betrags- und einem Phasenfehler;
-
einen komplexen Fehler bei der Simulation der komplexen
Trägheit der Proben-Rückbefestigung, ebenfalls angegeben
in einem relativen Betrags- und einem Phasenfehler;
einen Meßfehler bei der Bestimmung der Probenmasse selbst
(einen Betragsfehler);
-
einen Meßfehler bei der Bestimmung der hinter der Probe
aber vor dem Kraftaufnehmer noch mitschwingenden Masse
(Betragsfehler).
181
Es gibt also sechs reelle Fehl ereinflußgrößen.
Der Trägheits-Meßfehler ist durch die piezo-elektrische und elektronische
Meßtechnik bedingt. Der Betragsfehler resultiert aus einem fehlerbehafteten
Eichfaktor für die Massenbestimmung mittels der zwei piezo-elektrischen
Schwingungsaufnehmer (siehe Kapitel 4.7.1). Dieser Eichfaktor beträgt
1,06 ± 3 %.
Demnach ist der Betragsfehler der Trägheits-Messung:
r = 3 %.
Der Phasenfehler der komplexen Trgheits-Messung ergibt sich (im Sinne
einer Sicherheitsabschätzung) aus der oberen Grenzfrequenz der Ladungsverstärker von 100 kHz und der oberen Meßfrequenz von 4 kHz; bei Annahme
eines Tiefpaß-Verhaltens ersten Grades beträgt dann der maximale
Phasenfehler:
= 0,04 (entsprechend 2°).
Der Simulationsfehler für die komplexe Rückbefestigungs-Trägheit ergibt
sich aus dem Simulationsergebnis von Kapitel 4.7.3. Der relative Betragsfehler hierzu wird als relativ klein angenommen:
rh = 0,2.
Der zugehörige Phasen-Fehler ist sehr groß, entspricht eigentlich einem
ganzen ausgedehnten Wertebereich:
ocph = 1,5 (entsprechend ca. 90°).
Der Probenmassen-Meßfehler ergibt sich indirekt aus der Unbestimmtheit
der Massen der Probenhalterungskörper. Diese beträgt jeweils 0,1 g.
Statistisch addiert bedeutet dies einen absoluten Massenfehler von
0,14 g. Da die Probe in der Regel würfelförmig ist mit einer Kantenlänge
von 1,2 cm, hat sie bei einer durchschnittlichen Dichte von 1,2 g/cm3
eine Eigenmasse von rund 2 g. Daraus resultiert ein relativer Massenfehl er von:
rp = 0, 07.
182
Dieser Massenfehler wird aber je nach Probendicke und Probendichte von
Probe zu Probe neu abgeschätzt.
Der vor-Massen -Bestimmungs-Fehler hängt ebenfalls zusammen mit der Unbestimmtheit der Masse der Probenhalterungskörper. In der Vor-Masse ist
nur die Masse des hinteren Halterungskörpers enthalten; dazu die vor
dem Piezo-Kristall im Kraftaufnehmer noch mitschwingende Masse (die
gleich der Masse des Kraftaufnehmer-Gehäuses ist). Diese letztere Masse
ist 3,43 g, mit der Probenhalterun g s-Masse von 3,9 g ergibt sich eine
gesamte Vor-Masse von 7,33 g. Eine grobe Abschätzung für den maximalen
Vor-Massen-Bestimmungsfehler ergibt dann:
rv = 0, 02.
5.10
Ergebnisse einer Fehlersimulation
Die Grundlage für eine Fehlersimulation lieferte das schon zum Test der
Iterationsverfahren benutzte Simulationsprogramm. (Siehe Anhang 12.)
Bild 63 zeigt den simulierten frequenzabhängigen Verlauf von Betrag und
Phase des E-Moduls einer als typisch angenommenen Probe. Hierbei wurde
zur Vorsicht von einem etwas weicheren Probentyp ausgegangen, weil bei
einem solchen in der oberen Frequenzregion der Realteil der relativen
Wellenzahl q die kritischen Vielfachen von 7/2 (siehe Anhang 15) mehrfach überschreitet, und so größere Fehler bezüglich des Endergebnisses,
des E-Moduls also zu erwarten sind. Bei dem simulierten Probentyp überschreitet denn auch ql die n-Marke knapp unterhalb von 4000 Hz (siehe
Bild 63); die kritischste Stelle ergibt sich jedoch bei q l = 7/2, bei
der der Betrag des E-Moduls die kritische a/4-Grenzlinie unterschreitet,
die Viertelwellenlänge also kürzer als die Probendicke wird.
Bei der Fehlersimulation wurde im übrigen nicht nur der E-Modul einer
typischen Probe simuliert, sondern gleichzeitig auch - wie im eigentlichen Meßprogramm - die komplexe Trägheit der Proben-Rückbefestigung
mit-simuliert.
183
PHASE
180
90
5
0 20
BETRRG
2
5
2
E EN/mm^27
4000
G1
27r
100
5
2
7F
5
2
1
5
20
2
5
2
r REOUENZ
4000 [Hz]
Bild 63: Simulierter E-Modul als Grundlage für eine Fehlersimulation
E logarithmisch, p
' linear
X/4 - Grenzlinie für E
(Gerade):
(Kurve) : dazugehöriger Verlauf des Realteils der Relativwellenzahl q 1 (linear)
184
Die Wirkung der sechs Einzel-Fehlergrößen auf Betrag und Phase des Endergebnisses wurde zunächst im einzelnen, dann in der Gesamtheit untersucht. Die Wirkung der sechs Einzel-Fehlergrößen auf Betrag und Phase
des E-Modul-Meßergebnisses zeigen die folgenden sechs Bilder (Bild 64
bis Bild 69).
Bei allen sechs Fehlereinflüssen fällt zunächst auf, daß sie ein sehr
stark ausgeprägtes Maximum bei etwa 2 kHz oder knapp darüber haben.
(Die Trägheits-Meßfehler bewirken ein Fehlermaximum nahe bei 2 kHz,
die Massen-Meßfehler bezüglich Probenmasse und Vor-Masse bewirken
Fehler-Maxima etwas weiter oberhalb von 2 kHz.) Alle diese Fehler-Maxima
werden offensichtlich bewirkt durch den besonderen Umstand, daß bei
dieser Frequenz die Viertelwellenlänge etwa gleich der Probendicke
wird, und in diesem kritischen Bereich die entscheidende komplexe
Relativwellenzahl g aus einem gegebenen Trägheits-Meßwert m nur ungenau
bestimmt werden kann. (Siehe Indifferente Bereiche auf dem Bild 58 in
Anhang 15.)
Daß die kritischsten Fehlerbereiche (bezüglich des Realteils der Relativwellenzahl q) knapp oberhalb der ungeradzahligen Vielfachen von 7/2
zu finden sind, mit anderen Worten bei den Resonanzen minimaler Trägheit
der viscoelastischen Schicht, läßt sich auch unmittelbar - analytisch
innerhalb der Fehlerfortpflanzungsrechnung (siehe Anhang A9) erkennen.
Dort haben alle Fehlerkomponenten (F) die Gemeinsamkeit, daß bei ihnen
ein bestimmtes Differential(u
ff ) im Nenner steht, in dem der Term
sin g+g. cos q
die entscheidende Rolle spielt. (Siehe Gleichung (131a) in Anhang All.)
Dieser Term hat aber gerade dann eine kritische Nullstelle (kritisch,
weil dann der Gesamt-Term u im Nenner ein sehr kleines Minimum, und
damit die Fehlerkomponenten ein steiles Maximum erreichen,) wenn
tan(g) = -
q.
Das ist aber genau dann der Fall, wenn ql knapp oberhalb der ungeradzahligen Vielfachen von 7/2 liegt.
20
5
2
2
s
S
2
REOUENZ
4000 Hz
4000
Simulierter Fehler bei der Messung von Betrag und
Phase des E-Moduls einer typischen Fugendichtstoffprobe, bewirkt durch einen Phasenfehler der komplexen Trägheitsmessung von o c= 2°
Bild 65:
0
13
0 20
REL. FEHLER VON DETRHG E C7,]
20
10
PHFSENFEHLER CORFU]]
20
20
2
2
s
2
REOUENZ
4000 [Hz]
4000
Phase des E-Moduls einer typischen Fugendichtstoffprobe, bewirkt durch einen relativen Betragsfehler
der komplexen Trägheitsmessung von r = 3%
Bild 64:
0
10
0 20
5
REL. FEHLER VON DETRHG E C/.]
20
10
PHHSENFEHLER [GRHD]
20
20
5
20
5
2
2
5
5
4000 HZ
REOUENZ
4000
Phase des E-Moduls einer typischen Fugendichtstoffprobe, bewirkt durch einen Phasenfehler der komplexen Trägheitsmessung von Ago h = 90°
Bild 67:
0
10
REL. FEHLER VON ©ETRRG E C47
20
0
10
PHRSENFEHLER [GRAD]
20
20
5
2
2
5
2
2
4000
NA
REOUENZ
4000
bei der Simulation der Rückbefestigungs-Trägheit
von r h = 20%
Bild 66:
0
10
20
20
5
REL. FEHLER VON BETRAG E C4]
10
PHRSENFEHLER [GRAD]
20
5
4000 Hz
REOUENZ
4000
20
0
10
20
5
REL. FEHLER VON BETRAG E C:]
20
0
2
2
5
_^--^---"i
5
2
4000 Hz
fREOUENZ
4000
bei der Messung der Proben-Eigenmasse von rp=10%
2
2
bei der Messung der Vor-Masse (hinter Probe, vor
Kraftaufnehmer) von r v = 2%
5
Bild 68:
20
2
10
PHASENFEHLER [GRAD]
20
Bild 69:
0
REL. FEHLER VON OETRRG E C/.]
.2
0 20
PHASENFEHLER [GRAD]
.2
188
Naheliegend an den Fehlerkurven Bild 64 und Bild 65 ist der Effekt, daß
ein Betrags-Eingangs-Fehler einen frequenz-unabhängigen Einfluß auf den
Betragsfehler, und einen linear mit der Frequenz ansteigenden Einfluß auf
den Phasenfehler der Zielgröße hat (siehe Bild 64); umgekehrt hat ein
Phasenfehler der Eingangsgröße einen frequenzunabhängigen Einfluß auf
den Phasenfehler der Zielgröße, und einen linear mit der Frequenz
ansteigenden Einfluß auf den Betragsfehler der Zielgröße. (Siehe Bild 65.)
An Bild 66 ist erkennbar, daß der Betragsfehler bei der Simulation der
Proben-Rückbefestigung kaum einen Einfluß auf das Endergebnis hat; der
Phasenfehler bei der Simulation der Rückbefestigungs-Trägheit hat dagegen,
wie zu erwarten, einen erheblichen Einfluß auf das Endergebnis; - das nicht
nur bei der schon erklärten kritischen Frequenz von 2 kHz, sondern auch
bei der Frequenz von 100 Hz; dies ist auf die Haupt-Resonanz der Rückbefestigung bei dieser Frequenz zurückzuführen, die in diesem Frequenzbereich, wo die Proben-Federkonstante selbst noch sehr gering ist, ein
besonders hohen Einfluß auf das Endergebnis hat (siehe Bild 38 in
Kapitel 4.7.3.)
An Bild 68 ist zu erkennen, daß die Ungenauigkeit bei der Bestimmung der
Probenmasse selbst den weitaus größten Einfluß auf den E-Modul hat:
Auch bei einem relativen Proben-Massen-Fehler von nur 10 % werden - bei
der kritischen Frequenz um 2 kHz - weit mehr als 10 % relativer Fehler
des E-Moduls bewirkt. Bild 68 zeigt aber auch, daß bei niedrigen Frequenzen (wie zu erwarten nach Kapitel 5.4.2) eine Ungenauigkeit bei der
Bestimmung der Probenmasse überhaupt keinen Einfluß auf den Fehler des
Endergebnisses hat.
Der Fehler bei der Bestimmung der Vor-Masse (hinter der Probe, vor dem
Kraftaufnehmer) hat dagegen, wie Bild 69 zeigt, einen nur marginalen
Einfluß auf das Endergebnis; bei einem relativen Vor-Massen-Fehler von
2 % werden selbst im kritischsten Fall (bei 2 kHz) nur 0,1 % relativer
Fehler des E-Moduls erreicht. (Bild 69 hat einen anderen OrdinatenMaßstab als die vorangegangenen Bilder.) Wenn man damit die ganz erhebliche Fehlerspanne vergleicht, die eine ebenso ungenau bestimmte, aber
tatsächlich vor der Probe mitschwingende Masse beim vorherigen Meßaufbau
(siehe Kapitel 4.9) bewirkte, so kann also festgestellt werden, daß der
radikale Umbau der Meßapparatur - und die dadurch bedingte vollständige
189
Umstellung der Meßtechnik und Auswertungs-Rechnung - gelohnt hat.
Den Gesamtfehler von Betrag und Phase des Endergebnisses, bewirkt durch
alle 6 Fehlereinflüsse bei statistischer Additionsweise der Einzelfehler
(Summation von Fehlerquadraten), zeigt Bild 70.
PHRSENFEHLER
[GRAM
20
10
0 20
5
i
2
5
2
4000
REL. FEHLER VON BETRRG E C%7
20
10
0
f REOUENZ
20
5
2
5
2
4000 [Hz]
Bild 70: Simulierter Gesamtfehler für die Messung von Betrag und Phase
des E-Moduls einer typischen Fugendichtstoffprobe, bewirkt
durch die 6 Einzelfehler entspr. Bild 64...69.
190
Betrag und Phase weisen über den ganzen Frequenzbereich offenbar nur
geringe Fehler auf (3 % bzw. 1 Grad) - außer in zwei kritischen, relativ
schmalen Frequenzbereichen, nämlich um 100 Hz und um 2 kHz. Nach den
vorangegangenen Bemerkungen ist die Erhöhung der Fehlerspanne bei 100 Hz
allein auf die Phasenungenauigkeit bei der Simulation der komplexen
Befestigungs-Trägheit zurückzuführen, die sich unglücklicherweise gerade
bei niedrigen Frequenzen relativ stark auf das Meßergebnis auswirkt;
trotztdem ist der Fehler mit etwa 6 % immer noch relativ klein.
Das Fehlermaximum um
2
kHz wird dagegen von mehreren Fehlereinflüssen
bestimmt, jedoch dominierend vom Meßfehler, der bei der Bestimmung der
Proben-Eigenmasse gemacht wurde; er nimmt recht erhebliche Werte zwischen
10 und 20 % an, die jedoch glücklicher Weise auf ein enges Frequenzband
zwischen 1500 Hz und 2500 Hz beschränkt sind; bemerkenswert ist also,
daß zu höheren Meßfrequenzen hin die Meß-Ungenauigkeit keineswegs automatisch zunimmt, sondern, im Gegenteil - in periodischen Abständen dort recht hohe Meßgenauigkeiten erzielbar sind.
(Die Stelle des Haupt-Fehlermaximums im oberen Frequenzbereich hängt
selbstverständlich vom Typ der Probe, bzw. vom E-Modul der Probe im
oberen Frequenzbereich ab; nur bei dem hier simulierten Probentyp
ergab sich dieses Maximum gerade bei 2 kHz.)
191
6.
AUSWAHL UND HERSTELLUNG DER FUGENDICHTSTOFFPROBEN
6.1
Auswahlkriterien
Ziel der Untersuchungen sollte ein Vergleich verschiedener Fugendichtstofftypen hinsichtlich ihrer Körperschalldämmung und eine entsprechende
Klassifizierung sein.
Es war von der Theorie der Viscoelastizität her zu erwarten, daß sich
die Fugendichtstoffe am ehesten durch ihre chemische Basis, ihr
polymeres Grundgerüst also, und durch ihre Vernetzungsart unterscheiden
würden. In dieser Hinsicht mußte also eine repräsentative Auswahl unter
den auf dem Markt befindlichen Fugendichtstoffen getroffen werden.
Weiterhin unterscheiden sich die Fugendichtstoffe selbstverständlich
in ihrem Anwendungsgebiet.
Schalltechnisch am relevantesten sind Trenn- und Bewegungsfugen zwischen
massiven Wand- oder Fassaden-Bauteilen.
Von mehr als 20 Herstellerfirmen in der Bundesrepublik Deutschland, die
angeschrieben wurden, erklärten sich (im Sommer 1984) 10 bereit, Probekörper für die E-Modul-Messungen in den eigenen Labors nach einheitlichen technischen Vorgaben herzustellen.
(Liste der versuchsbeteiligten Firmen, siehe Anhang 2.)
Auf Wunsch einiger Firmen sollte eine Nennung von Produkt- und Firmennamen im Zusammenhang mit einzelnen Testergebnissen unterbleiben. Den in
diesem Bericht benutzten Probennummern können daher weder Produktbezeichnungen noch Hersteller zugeordnet werden.
In Anbetracht einer fast unübersehbaren Vielfalt von auf dem Markt
befindlichen Fugendichtstoffprodukten wurde die Probenauswahl - in der
Erwartung, daß sich von selbst eine statistische Mittelung ergäbe, den 10 versuchsbeteiligten Firmen überlassen. Betreffs der Probenauswahl
wurden noch die folgenden Vorgaben gemacht, über die die Firmen nach
eigenem Ermessen entscheiden konnten:
-
3 bis 6 grundsätzlich verschiedene Stoffe, also in der Regel
auf chemisch verschiedener Basis;
192
die vier wesentlichen Stoffgruppen auf Silikon-, Polysulfid-,
Polyurethan- und Polyacryl-Basis sollten der Anwendungspraxis
entsprechend repräsentiert sein;
Vorrang für Dichtstoffe für Dehnungsfugen, bzw. Fugen zwischen
Massivwänden, Vorrang für mehr elastische gegenüber mehr viscosen
Dichtstoffen, auch noch in Entwicklung befindliche Produkte;
-
Farbe möglichst schwarz, um einen besseren Wärme-Strahlungsaustausch in der Meßapparatur zu erzielen;
-
von jeder Stoffart mindestens zwei verschieden dicke Probenpaare,
ausgewählt aus den Dicken: d = 3, 6, 12, 24, 48 mm; ein Probenpaar von 12 mm Dicke, von 48 mm Dicke nur in Ausnahmefällen.
Das Ergebnis dieser Auswahlempfehlungen, die Stoff-, Farb- und DickenVerteilung der hergestellten Fugendichtstoff-Probenpaare ergibt sich
aus Anhang 3.
Danach wurden von den zehn Firmen 33 chemisch verschiedene Probengruppen
eingesandt, von denen
-
17 auf Silikon-,
-
8 auf Polyurethan-,
-
5 auf Polysulfid-,
-
2 auf Polyacrylat-Basis und
1 aus Kork-Granulat
waren. Jeder zweite Stoff ist also auf Silikon-Basis; dies entspricht
wohl auch der Anwendungspraxis.
Das Kork-Granulat ist ein neu entwickelter Fugendichtstoff, der zwar
kein Polymer ist wie die anderen, und auch nicht homogen, der aber
zu Vergleichszwecken noch interessierte.
Die meisten Stoffe waren einkomponentig, unter Einfluß der Luftfeuchtigkeit bei Raumtemperatur vernetzend.
Bei einigen Stoffen war darüberhinaus angegeben, ob sie sauer-, neutraloder basisch-vernetzend sind. (Anhang 3.)
193
Die meisten Proben waren schwarz.
Was die Dicken betrifft, so ergab sich eine gute statistische Verteilung;
die Dicke 12 mm war nur bei einer Stoffart nicht vorhanden.
Insgesamt standen 126 Stoffpaare zur Verfügung.
Proben verschiedener Dicke aus gleichem Material sollten die Bestimmung
des Formfaktors ermöglichen. Dieses Vorhaben entfiel. (Siehe Kapitel 5.8.)
Als Basis für die Berechnung der Körperschalldämm-Werte dienten daher
fast ausschl i e„l ich Messungen an Proben von 12 mm Dicke. Einige wenige
Ausnahmen waren meßtechnisch bedingt.
Einige Fugendichtstoffe wurden darüber hinaus exemplarisch in verschieden
dicker Probenform untersucht. Dies sollte Aussagen über die Richtigkeit
des zugrunde liegenden physikalischen Modells (Quasi-LongitudinalwellenAusbreitung in der Probe) und über das richtige Funktionieren des Auswerteverfahrens ermöglichen. (Siehe Kapitel 7.)
Auch die Anwendungsbereiche der ausgewählten Fugendichtstoffproben waren
breit gestreut. (Siehe Anhang 4.)
Die meisten Fugendichtstoffe waren für Trenn- und Bewegungsfugen zwischen
Wänden geeignet. Sehr viele waren auch für die Anwendung an Fenster-Fugen
vorgesehen.
194
6.2
Herstellungskriterien
Die Fugendichtstoffproben sollten in einheitlicher Form hergestellt werden. Die Dimensionen waren von den Vorversuchen her vorgegeben. (Siehe
Kapitel 4.1,
5.1, 5.8.)
Einen Probekörper mit der typischen Materialdicke
von 12 mm zeigte Bild 71.
Bild 71: Würfelförmige Fugendichtstoffprobe eingeklebt zwischen Probenhalterungen
195
Die Probenhalterungen aus Aluminium wurden zentral hergestellt und den
Firmen zur Verfügung gestellt. Dadurch wurde ein einheitlicher Querschnitt
von 12 mm x 12 mm erreicht. Außerdem war für eine einheitliche Schraubverbindung gesorgt. Die Alu-Klötzchen haben an beiden Seiten AnschlagKanten, welche das Einpassen von ebenfalls mitgelieferten Polyäthylen
(PE)-Klötzchen erlauben sollen. Diese - später zu entfernenden - PE-Klötzchen dienten als Abstandshalter zwischen den zwei Probenhalterungen und
gleichzeitig als Seitenwände für das Einfüllen des Fugendichtstoffes. Das
Material Polyäthylen wurde gewählt, weil die meisten Fugendichtstoffe
darauf nicht haften. Die Längen der PE-Klötzchen waren so gestaffelt, daß
die oben genannten fünf verschiedenen Probendicken wahlweise hergestellt
werden konnten.
Von jeder Probe gleichen Materials und gleicher Dicke sollten zwei exakt
gleiche Exemplare hergestellt werden. (Die Gesamtzahl aller Probenkörper
war demnach 252.) Die paarweise Probenherstellung sollte den Einsatz in
der geplanten symmetrischen Meßapparatur ermöglichen.
Das Ergebnis dieser dezentralen Probenherstellung war zufriedenstellend.
Die allermeisten der quaderförmigen Probenkörper waren homogen, von richtigen Abmessungen und von glatter Oberfläche. Nur bei wenigen Proben konnte
- etwa durch Schrumpfung während des Abbindens bedingt - eine leichte Einbeulung der Oberflächen, bei manchen anderen - bedingt durch noch nicht
vollständiges Abbinden bei Ablösen der PE-Klötzchen - eine Rillenbildung
an den Oberflächen nicht ganz verhindert werden.
Wesentliche Voraussetzung für die Messung mechanischer Größen an Fugendichtstoffen ist das vollständige Abbinden, Vernetzen des Stoffes unter
gleichen Bedingungen.
Dazu zählt vor allem nach DIN 18 540 [35] eine gewisse Mindest-Lagerzeit
(2 Wochen bis 4 Monate, eine Zeit, die in das Ermessen der Hersteller gestellt wurde,) und eine einigermaßen konstante Temperatur und Luftfeuchte.
Als Anhaltspunkt hierfür diente, entsprechend den Empfehlungen in DIN
18 540 [35] die DIN 50 014 [25] "Normalklimate". Die Proben wurden etwa
nach dem empfohlenen Normalklima von 23° C Temperatur, 50 % relativer
Luftfeuchte in der Abweichungsklasse 2, d.h. ± 2° C , ± 6 % relative
Luftfeuchte, gelagert.
(Die Temperatur betrug im Mittel 22° C mit Abweichungen von ± 3° C, in
seltenen Fällen bis 28° C, die relative Luftfeuchte betrug im Mittel 55 %
mit Abweichungen von ± 5 %).
196
Alle Fugendichtstoffproben wurden von den Firmen im Zeitraum Juli bis
September 1984 hergestellt.
Die abschließenden und vollständigen Messungen (siehe Anhang 19), auf
denen alle weiteren Berechnungen beruhen, fanden am 29. März 1986 statt.
Diese Proben wurden in der Zwischenzeit in keiner Weise mechanisch
beansprucht.
Man kann daher annehmen, daß damit eine ausreichend gleiche "Vorgeschichte" der Proben gewährleistet ist. (Auch eine wesentlich kürzere
Zeit hätte ausgereicht.)
197
7.
MESSERGEBNISSE FOR DIE FREQUENZABHÄNGIGEN KOMPLEXEN E-MODULE
DER AUSGEWÄHLTEN FUGENDICHTSTOFFPROBEN - KRITISCHE DISKUSSION
EINIGER BEISPIELE
Das in Kapitel 5 ausführlich beschriebene Meß- und Rechenverfahren zur Bestimmung der frequenzabhängigen komplexen E-Module wurde konsequent und in
gleicher Weise auf die 32 ausgewählten Fugendichtstoffproben angewandt.
Die Ergebnisse - jeweil Betrag und Phase des komplexen E-Modules aufgetragen in Abhängigkeit von der Frequenz - sind in Anhang 19 zusammengefaßt.
Eine Diskussion und Klassifizierung dieser Ergebnisse soll erst im Zusammenhang mit der daraus berechneten Körperschalldämmung erfolgen. (S. Kap. 8.)
Hier sollen einige exemplarische Meßergebnisse, die noch vor der Reihenuntersuchung zustande kamen, kritisch kommentiert werden.
Das erste in der neuen Meßanordnung (mit Kraftmessung hinter der Probe)
und nach erfolgreicher Anwendung des Iterationsverfahrens zustande gekommene Ergebnis einer Messung an der während der Apparatur-Entwicklungsphase benutzten Test-Probe auf SI-Basis zeigt Bild 72.
Dieses Ergebnis kann direkt verglichen werden mit dem letzten, noch in alter
Meßanordnung (und richtiger Vor-Massen-Kompensation) gemessenen Ergebnis,
dargestellt in Bild 49. Es zeigt sich - bis auf die später zu besprechenden
Schwankungen im obersten Frequenzbereich - zufriedenstellende Obereinstimmung.
Damit ist die Kompatibilität des zuletzt benutzten Meßverfahrens mit dem
Vorangegangenen gewährleistet, der Anschluß an die bisherige Meßtechnik
hergestellt. (Damit sind auch zumindest grobe Fehler beim letzten Entwicklungsschritt ausgeschlossen.)
Ein Beispiel für das Auswertungsergebnis nach dem zuletzt beschriebenen
Meßverfahren, allerdings für eine etwas härtere Probe auf SI-Basis
("P43SI12B"), zeigt Bild 73.
Außer dem Verlauf von Betrag und Phase des E-Moduls selbst wird hier
- berechnet anhand der Ergebnisse der Fehlerfortpflanzungsrechnung
(Programm FEHLISINQR) - auch der zugehörige Fehlerbereich durch benachbarte gestrichelte Linien angegeben. Man sieht, daß - in logarithmischem Maßstab - selbst relativ groß erscheinende Fehler von über
10 % (siehe Kapitel 5.10) nur eine relativ geringe Fehlerspanne ausmachen.
198
90
PHASE
45
A
111/ ^
0
2
20
5
2
BETRAG E EN/m^27
1.E+8
4000
0 [GRAD]
5
2
5
2
1.E+5
20
S
FREQUENZ CHz
75
2
4000
Bild 72: Erstes Auswertungsergebnis einer Messung an der Test-Probe
in der neuen Mess-Anordnun g ( vgl. Bild 49)
199
Zusätzlich ist in Bild 73 noch der zum E-Modul gehörige Verlauf des
Realteils der Relativwellenzahl q, diesmal logarithmisch, dargestellt.
Man sieht, daß knapp oberhalb von 1 kHz die kritische Marke von 90 °,
entspricht 7/2, entsprechend d
= x /4,
überschritten wird.
Bemerkenswert sind die offenbar periodischen Schwankungen des "E-Moduls"
im Bereich oberhalb dieser Grenzmarke. Diese sind sicher auf die Unzulänglichkeiten des zugrunde liegenden nur eindimensionalen akustischen
Modells zurückzuführen; trotzdem ist zu vermuten, daß sich der Verlauf
des E-Moduls zu höheren Frequenzen hin flach fortsetzt.
Eine weitere Auffälligkeit ist der "Ausrutscher" des E-Moduls bei 100 Hz.
Zwar ist hier - entsprechend dem Fehlereinfluß aus dem Phasenfehler der
Rückbefestigungs-Simulation (siehe Bild 67) auch eine größere Fehlerspanne erkennbar; die Amplitude des "Ausrutschers" ist jedoch höher;
mit anderen Worten, der Fehler ist größer als angenommen. Dies läßt
sich erklären aus der leicht beeinflußbaren Haupt-Resonanzstelle der
Rückbefestigung bei 100 Hz (die genaue Resonanzfrequenz hängt von der
Justierung der Spindel-Vorschub-Einheit ab).
Eine geringfügige Verschiebung dieser Resonanzfrequenz bewirkt also schon
eine totale Fehlsimulation der Rückbefestigungs-Trägheit. Quantitativ
läßt sich der Fehler so abschätzen: Der E-Modul der Probe beträgt bei
100 Hz ca. 5 N/mm 2 ; der (umgerechnete) "E-Modul" der Rückbefestigung
hat im Bereich um 100 Hz (siehe Bild 36) Werte um 20 N/mm 2 ; dieser
geringe "Stör-Abstand" (Faktor 4) kann Fehler von ca. 25 % bewirken.
Bei Proben, die bei niedrigen Frequenzen schon relativ hart sind, muß eine
Verfälschung des Ender g ebnisses in einem engen Frequenzbereich um 100 Hz
herum offenbar hingenommen werden.
Der bei denselben Proben sich ergebende "E-Modul" unter Annahme der
Probe als Feder - also ohne Annahme einer Wellenausbreitung und Auswertung mit Hilfe des Iterationsverfahrens - zeigt Bild 74.
200
90
PHASE
45
0
2
5
1
2
2
5
BETRAG E CN/m^2]
4000
O
[GRAD]
1 000
1.E1- 8
5
/
2
5
/
-
/r^_-^ -=
\ ^^
^% _^^^
,-__^
\
^
^—
2
7
/
/
/
i -- n
^^ ^\
/
,/, /
7
/
' ^^^^
`1 100
`^
ii
1.E+6
20
5
FREQUENZ [Hz] 5
10
2
4 000
Bild 73: Erstes Beispiel einer Messauswertung nach dem letztgültigen
Mebverfahren bei einer härteren Probe auf Si-Basis (P43Si12B)
E-Modul, Betrag und Phase
Fehlerbereich dazu
Betrag der Relativwellenzahl q, logarithmisch in Grad
201
90
PHASE
45
0 20
2
2
4000
BETRAG E CN/m^23
1.E+8
5
2
f
5
j
2
1.E+6
20
^///
^'^ ^
^
^^ /i
--r
-/ ^--^
-- ^^-^ `
/
_
--,
---1
/
/
_ f — —,.
/
^f
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/ /
5
5
2
FREQUENZ CHz3
2
4000
Bild 74: Scheinbarer E-Modul-Verlauf bei Meßauswertung ohne "Wellenkorrektur" - Probe als "Feder". (vgl. Bild 73)
Die gestrichelten Geraden geben die x/4-, 3/4.x-, 5/4.AGrenzlinien für E an.
202
PHASE
90
45
fJ
0 200
5
2
4000
BETRAG E EN/m^2]
1.E+8
5
2
5
/
2
1.E+6
200
5
2
4000
FREQUENZ [Hz]
Bild 75: Mebergebnis an einer relativ dünnen (3mm dicken) Probe
(P43Si3) zum Vergleich mit Bild 73. Die unteren Frequenzen
_ X/4 - Grenzlinie für E)
sind ausgespart. ( Fraunhofer-Institut für Bauphysik
203
90
PHASE
45
fr"
0 20
5
2
5
2
4000
BETRAG E EN/m^2]
1.E+8
5
2
^
5
2
1.E+6
20
5
2
5
FREQUENZ
2
4000 CHz]
Bild 76: Meßergebnis an einer relativ dicken (24mm dicken) Probe
(P43Si24) zum Vergleich mit Bild 73 und 75.
204
Im Vergleich zu Bild 73 ist an Bild 74 klar zu erkennen, daß im oberen
Frequenzbereich ein völlig falscher, nämlich viel zu hoher E-Modul vorgetäuscht wird. Die gestrichelten Geraden geben zur Orientierung die
X/4-, 3/4x, 5/4x-Grenzlinien des E-Modul-Betrages an.
Aber auch schon im mittleren Frequenzbereich um 500 Hz bis 1 kHz herum
wird der E-Modul nach oben hin verfälscht. Man erkennt daran besonders
klar die Notwendigkeit des Wellenkorrektur-Verfahrens; die beschriebenen
Iterationsverfahren zur Auflösung der Trägheits-Funktionen (Gleichung
( 106 ) , ( 121) nach der komplexen Wellenzahl y sind also - auch bei etwas
härteren Proben - unverzichtbar.
Andererseits ist an Bild 74 auch zu erkennen, daß bei niedrigen Frequenzen
das Ergebnis aus den (komplizierten) Iterationsverfahren durchaus mit
dem ursprünglichen, direkten Meßauswerteverfahren übereinstimmt - ein
weiteres Oberprüfungskriterium des neuen Auswertungsverfahrens ist also
erfüllt.
Die überzeugenste Methode zum Beweis der Richtigkeit des angewendeten
Meßverfahrens, also hier insbesondere des Iterationsverfahrens, - und
auch, bis zu einem gewissen Grade zum Beweis dafür, daß die zugrunde
liegenden physikalischen Annahmen, hier also die Quasi-Eindimensionalität
des Wellenvorgangs in der Probe, richig waren, - ist ein Vergleich von
Meß- und Auswertungsergebnissen an verschiedenen Proben, die sich ausschließlich in ihrer Dicke unterscheiden, sonst identisch sind. (Wenn
nämlich dasselbe Ergebnis für den E-Modul bei derselben Frequenz aber bei
unterschiedlicher Relativwellenzahl
g,
also beispielsweise einmal weit
unterhalb der kritischen x /4-Grenze, einmal in deren Nähe, und einmal
weit oberhalb dieser kritischen Grenze zustande kommt, dann lag offenbar
eine hinreichend richtige Wellentheorie zugrunde.)
Einen hinreichenden Beweis dafür liefern die Bilder 75 und 76, die
Ergebnisse an einem - bis auf die Dicke - gleichen Probenkbrper wie in
Bild 73 darstellen.
Bild 75 zeigt das Ergebnis an einer nur 3 mm dicken Proben-Version; wie
die gestrichelte Gerade anzeigt, ist die Probe selbst bei der obersten
Meßfrequenz noch deutlich dünner als die Viertel-Wellenlänge, auch die
Probenbreite liegt wohl noch unter der Halb-Wellenlänge, die Probe kann
also als Feder betrachtet werden; die gezeigte E-Modul-Kurve zeigt einen
völlig glatten, und daher glaubwürdigen Verlauf.
205
Es war also richtig, die in Bild 73 im obersten Frequenzbereich sichtbaren E-Modul-Schwankungen als Nebeneffekt zu betrachten, und anzunehmen,
daß der wahre E-Modul sich - durch die Mitte dieser Schwankungen - glatt
fortsetzt.
Bild 76 zeigt das Meßergebnis an einer 24 mm dicken Proben-Version. Auch
hier ist - erstaunlicherweise - der E-Modul-Verlauf ziemlich glatt und
fast konstant - obwohl die Viertel-Wellenlänge schon bei etwa 500 Hz die
Probendicke unterschreitet, bei 4000 Hz also schon mehrere Viertel-Wellenlängen in der Probe enthalten sind, und daher - wie in Bild 73 - mit
einigen Oszillationen des E-Modul-Betrages zu rechnen gewesen wäre.
Der Vergleich der Bilder 73, 75 und 76 beweist damit, daß, wie angestrebt,
das gewählte Meß- und Auswerteverfahren es gestattet, E-Module viscoelastischer Proben auch dann noch aus Impedanz- bzw. Trägheitsmessungen
zu bestimmen, wenn - bei höheren Frequenzen - die Proben mehrere Viertel Wellenlängen dick sind.
Der E-Modul bei d = 12 mm, Bild 73, ist etwa um den Faktor 2 kleiner,
also parallel verschoben zu dem bei d = 3 mm und d = 24 mm. (Bild 75 und
Bild 76.)
Für diese nicht-monotone Abhängigkeit des E-Moduls von der Dicke kann
wohl keine Formfunktion, sondern nur eine verschiedene Probenherstellung
oder die Ermüdung gerade der 12 mm-Probe durch die zahlreichen Versuche
der Grund sein.
Ähnliche Vergleiche von Meßergebnissen bei stofflich gleichen, aber unterschiedlich dicken Proben wurden auch im Rahmen der Reihenuntersuchungen
an den 32 ausgewählten Fugendichtstofftypen durchgeführt. Auch hier
zeigten sich recht gute Obereinstimmungen der entsprechenden Meßergebnisse. Die entsprechenden Zusatzmessungen bei Fugendichtstofftypen
unterschiedlicher Dicke sind in Anhang 19 enthalten.
(Anhang 19 ist entsprechend der Tabelle 108 in Kap. 8.4 geordnet.)
Die Probe P21PS ist außer in der normalen 12 mm dicken Version auch bei
3 und 48 mm Dicke ausgewertet worden.
Bis auf den Effekt der Formfunktion (die E-Module bei der 3 mm dicken
Probe liegen scheinbar höher) zeigt sich gute Obereinstimmung; dasselbe
auch bei den Proben P13PU von 12 und 24 mm Dicke.
Bei den Proben P811KPU scheinen - entgegen der Wirkung einer Formfunktion
- die E-Module bei der 48 mm dicken Version etwas höher zu liegen als bei
206
der normal 12 mm dicken Ausführung. Diese Abweichung liegt aber noch im
Rahmen dessen, was man - insbesondere bei 48 mm dicken Proben - einer
eventuell nicht ganz korrekten Probenherstellung zuordnen kann.
Ein weiteres Kriterium zur Oberprüfung der Plausibilität von Meße rgebnissen kann ein Vergleich von Messungen an zwei völlig gleichen Proben
sein.
Diesen Vergleich liefert Bild 77. Dargestellt sind die zwei Meßergebnisse an zwei äußerlich gleichen Proben, von denen die eine identisch
mit der von Bild 73 ist.
Die Kurven in Bild 77 zeigen - bis auf eine geringfügige Parallelverschiebung im E-Modul-Betrag - sehr gute Obereinstimmung. (Solch geringfügige Meßunterschiede können immer durch Fertigungstoleranzen bei der
Probenherstellung bedingt sein.)
Zwei weitere Fragen wurden noch hinsichtlich der scheinbaren E-ModulSchwankungen im obersten Frequenzbereich untersucht. Zum einen wurde
untersucht, ob eine schlichte Erhöhung der Anzahl der einzelnen Meßfrequenzen zu einem anderen oder genaueren Meßergebnis in diesem Bereich
führt. (Die Anzahl der Meßfrequenzen wurde zu diesem Zweck versuchsweise
von 50 auf 100 verdoppelt.)
Das Ergebnis war jedoch, daß sich keinerlei Änderungen ergaben; die
E-Modul-Schwankungen (siehe z.B. Bild 73) sind also auf keinen Fall nur
numerisch bedingt. Sie haben also ihre Ursache in der zu starken Vereinfachung des physikalischen Modells.
Zum anderen wurde gefragt, ob ein tatsächlich schwankender E-Modul im
obersten Frequenzbereich etwa gleichzeitig mit außerordentlich hohen
Meßfehlern behaftet sei. Die Frage konnte - durch Anwendung des schon
in Kapitel 5.7 beschriebenen Simulationsverfahrens - ebenfalls mit Nein
beantwortet werden; außer einer Verschiebung der Fehlermaxima hin zu
anderen Frequenzen (vgl. Bild 70) ergab sich keine qualitative
Veränderung; ein tatsächlich bei höheren Frequenzen stark schwankender
E-Modul könnte also durch das Iterationsverfahren ebenfalls mit Sicherheit richtig nachgewiesen werden.
207
90
PHASE
45
IM1111110 ^►`_
--^^
^^\
0
20
5
1
MarAll
2
5
1
2
BETRAG E EN/m^27
1.E+8
4000
0 [GRAD]
720
630
5
540
2
450
360
270
5
lee
2
90
1.E+6
20
5
0
1
Ffg OUENZ CHz] 5
2
4000
Bild 77: Meßwerte bei zwei gleichen Proben des Typs P43Si12 (vgl.
Bild 73)
208
Der Fall, daß die Halb-Wellenlänge die Probenbreite unterschreitet, ist,
wie gesagt, ein kritischer Fall, der in der bisher zugrunde gelegten
Theorie vernachlässigt wurde. Ein Beispiel dafür, daß in einem solchen
Fall das entwickelte Meßverfahren versagen kann, liefert Bild 78.
Der E-Modul scheint zur obersten Grenzfrequenz hin plötzlich zu extrem
niedrigen Werten hin "abzustürzen". Dies ist mit Sicherheit ein falsches
Ergebnis. Dieses Versagen war bei einer nur 3 mm dicken Probe (bei der
der Fall, daß die Viertel-Wellenlänge die Probendicke unterschreitet,
auch bei 4 kHz nicht auftritt) an sich nicht zu erwarten (vgl. Bild 75).
Immerhin aber scheint der Unterschied zwischen den Meßergebnissen von Bild
78 und Bild 75 darin begründet zu sein, daß die Probe von Bild 78 bei
4 kHz erheblich weicher ist als die von Bild 75.
(Letztlich konnte das gelegentliche Versagen oder Funktionieren des
Auswerteverfahrens bei verschiedenen Proben noch nicht abschließend
geklärt werden.)
Ein ähnlicher "Absturz" des E-Moduls zur oberen Grenzfrequenz hin wurde
beim stofflich selben Fugendichtstofftyp wie in Bild 78 auch bei der
normalen 12 mm dicken Version beobachtet, bei dem allerdings die
Probendicke schon 6 Viertel-Wellenlängen dick war. Es liegt daher die
Vermutung nahe, daß eine stoffspezifische Eigenschaft, die bisher noch
nicht betrachtet wurde, hierfür verantwortlich ist.
Ein Beispiel für die Darstellungsweise aller Meßergebnisse in den Reihenuntersuchungen (siehe Anhang 19) gibt Bild 79. Als durchgezogene Linien
sind Betrag und Phase des E-Moduls, also das eigentliche Meßergebnis dargestellt. Die benachbarten gestrichelten Linien geben den - nach der in
Kapitel 5.4.2 beschriebenen Fehlerfortpflanzungsrechnung berechneten Fehlerbereich an.
Die gestrichelten Geraden markieren die kritischen Grenzfälle, bei denen
der E-Modul (in Abhängigkeit von der Frequenz) gerade so groß ist, daß
die Probendicke ungeradzahlige Vielfache der Viertel-Wellenlängen umfaßt;
von links nach rechts bedeuten also die gestrichelten Geraden:
d
= x /4,
3/4x, 5/4x ...
209
PHASE
90
45
4000
5
0 20
BETRAG E CN/mmJ
50
25
10
^^/'`~=::: -.=.7 --_, ,_-- ---- -,
2,5
/
-^
!
^
^ ^^ ^
1
^ _
"f -^^
/ ^
/
/
^\
/
,/
/
0,5
20
5
2
5
2
4000
FREQUENZ CHz7
Bild 78: Versagen des Auswerteverfahrens bei einer nur 3 mm dicken
Probe (P11Si3) bei hohen Frequenzen (vgl. Bild 75)
Bei 4 kHz ist x/4<d und x/20.
210
_-T.-e 20
2
4000
BETRAG E CN/m^27
t. E +8
5
^
/
/
2
/
^
/
/
/^
n '^- ^^ l
5
^ r
^^
2
l
. E+6
20
5
^,/
^ //1 \\^/
^' ^-_— — — ^^..
_
_J\
/
^
/
/
/
/
/
/
{
/
/
!
/
/
2
5
2
4000
FREQUENZ CHz]
IBP
Fraunhofer—Institut für Bauphysik
1989
Stuttgart
Bild 79: Beispiel für Darstellung des E-Modul-Meßergebnisses an einer
Fugendichtstoffprobe.
oben: Probenname = Code für Hersteller, Stoffart, Dicke
darunter: Freier Kommentar-Text
: Betrag und Phase des E-Moduls
: zugehöriger Fehlerbereich aufgrund Fehlerfortpflanzungsrechnung (Parallelkurve)
: kritische Grenzen für d= X/4, 3/4X, 5/4X ...
(Geraden)
Fraunhofer•Institut für Bauphysik
211
8.
WEITERVERARBEITUNG DER E- MODUL -MEIERGEBNISSE
Die eigentliche Zielgröße im Rahmen dieser Forschungsarbeit ist die
Körperschalldämmung verschiedener Fugendichtstoffe; die Materialeigenschaften dieser Stoffe (E-Modul, Dichte) sind in diesem Zusammenhang
zwar die entscheidenden Parameter, hinzu kommen aber noch eine Vielzahl
von strukturellen, d.h. Geometrie und Ankopplungsverhältnisse am Bau
kennzeichnenden Daten.
So hängt die tatsächlich erzielbare Körperschalldämmung am Bau von
zahlreichen Dicken- und Längenverhältnissen der angrenzenden Wände und
von raumakustischen Gegebenheiten ab.
Durch eventuelle Modelluntersuchungen könnte daher sowieso nur eine
kleine Auswahl aus dieser Vielfalt an Konstellationen abgedeckt werden.
Im Rahmen dieser Forschungsarbeit mußte auf modellartige Nachbildungen
von Fugenkonstruktionen ganz verzichtet werden. Solche Experimente bleiben
späteren Projekten vorbehalten.
Es bleiben aber noch eine Reihe von Möglichkeiten, die Kenngrößen der
Körperschalldämmung - wenn auch nicht zahlenmäßig genau und praktisch
direkt anwendbar, so doch qualitativ und hinreichend genau für vergleichende Untersuchungen an verschiedenen Fugendichtstoffen - anhand
der gemessenen komplexen und frequenzabhängigen E-Module abzuschätzen.
Solche Berechnungen werden im vorliegenden Kapitel durchgeführt.
8.1
Berechnung von Kenngrößen der Körperschalldämmung
Es soll als direkte physikalische und frequenzabhängige Kenngröße nur der
sogenannte Körperschall -Transmissionsgrad behandelt werden.
Dieser wird wie üblich definiert als das Verhältnis von Schall-SchnelleQuadraten in an die Fuge angrenzenden Wandbestandteilen gleicher Impedanz,
d.h. als das Verhältnis des Schall-Schnelle-Quadrats auf der Empfängerseite dividiert durch das auf der Sendeseite.
Die Angabe des frequenzabhängigen Körperschalltransmissions g rades (also
einer Vielzahl von Einzelgrößen) ist zwar die vollständigste der möglichen Informationen. Oft sind aber in der Praxis und zur Ubersicht weniger,
212
mehr pauschale Parameter ausreichend; insbesondere solche, die der Höroder Lärmempfindlichkeit und den Hörgewohnheiten angepaßt sind.
Zur Parameterreduzierung werden daher in weiteren Schritten aus dem
frequenzabhängigen Körperschall-Transmissionsgrad zwei entsprechende
Einzahl-Größen berechnet, d.h. zwei in gewisser Weise über alle Frequenzen
gemittelte Werte.
Da der Trittschall der wichtigste Fall der Körperschallanregung und damit
der Lärmbelästigung ist, wird als eine Einzahlgröße das per Norm defin
i
1/ L.UC JJ Cf- ÜngSlllal3
+ hatl Î -YC^
nl er +^ce ,T r'itv^S^na
berechnet.
Dieses Maß kennzeichnet die Körperschalldämmung ohne Rücksicht auf deren
Frequenzabhängigkeit pauschal.
Um zusätzlich eine Information über die Frequenzabhängigkeit der Körperschalldämmung, also etwa die bevorzugte Dämmung tiefer oder hoher
Frequenzen zu erhalten, wird als zweite pauschale Größe, frei definiert
in Anlehnung an die Trittschallnorm eine, "mittlere Frequenzabhängigkeit"
berechnet.
Wie schon im einführenden Kapitel 1.2 (Gleichung (10)) angedeutet, hängt
der Körperschall-Transmissionsgrad wesentlich vom Verhältnis der
Impedanzen der viscoelastischen Schicht und der angrenzenden Wände, bzw.
einem entsprechenden "Fehlanpassungsverhältnis" ab.
Zu seiner Berechnung werden im folgenden Abschnitt zwei einfache Modelle
angewandt.
213
8.1.1
Berechnung des frequenzabhängigen Körperschall - Transmissionsgrades
Da im wesentlichen nur die Körperschalldämmung zwischen massiven und
weit ausgedehnten Baumaterialien interessiert, wird hier in jedem Falle
davon ausgegangen, daß das Wandmaterial Schwerbeton ist mit einem
E-Modul von
E
2 , 6 • 10 10 N/m2
und einer Dichte von
p W = 2300 kg/m3.
Die Materialkonstanten des Fugendichtstoffes sind variabel und jeweils
durch die Messung vorgegeben. (Die Dichte p ergibt sich aus dem Verhältnis
von Probenmasse mp und dem Probenvolumen, siehe Kapitel 5.9, der E-Modul
ist komplex- und frequenzabhängig, siehe Kapitel 5.4, 7., Anhang 19.)
Aus diesen Materialkonstanten ergeben sich jeweils nach einfachen
Beziehungen (Gleichung (15) und (16)) die Impedanzen Z des Fugenmaterials
(komplex und frequenzabhängig) und die Impedanzen der Wand Zw. (Die
Impedanz ist flächenbezogen definiert als Druck/Schnelle.)
Innerhalb des Fugenmaterials werden - wie bei den Messungen - auf jeden
Fall ausschließlich Quasi-Longitudinalwellen angenommen, die für den
Schallenergietransfer zwischen den beiden gleichen angrenzenden Wellen
verantwortlich sind. Die Dicke der Fuge, also der Abstand zwischen den
Wänden, sei d.
214
Im ersten und -einfachsten - Fall soll ein eindimensionales Modell zur
Abschätzung genügen. Dazu wird der Durchgang ebener Longitudinalwellen
durch eine quer zur Ausbreitungsrichtung unendlich ausgedehnte "Sandwich"Anordnung aus Wand-, Fugen-, Wand-Material angenommen. (Außer den genannten Parametern kommen also keine weiteren hinzu, auch die "Wände"
sind nach links und rechts von der Fuge weg unendlich ausgedehnt, bilden
also Halbräume.) Die Anordnung zeigt Bild 80.
Fällt von links vertikal auf die Grenzflächen eine ebene Welle ein, so
wird sie aufgrund des
I mpedanz- S prung s
sowohl an der ersten als auch an
der zweiten Grenzschicht reflektiert; der letztere, rückwärts laufende reflektierte Anteil wird wieder an der ersten Grenzschicht nach rechts reflektiert, an der zweiten nach links usw., so daß in der viscoelastischen
Zwischenschicht ein - immer schwächer werdender - Wellenanteil hin und her
reflektiert wird, von dem jeweils ein Bruchteil nach rechts auf die
"Empfänger-Seite" transmittiert wird; diese Wellenanteile addieren sich dort.
Aufgrund der Weichheit des viscoelastischen Materials (kleinere Impedanz)
ist die Schallgeschwindigkeit und somit auch die Wellenlänge dort wesentlich kleiner als in den benachbarten Wänden. Dies ist in Bild 80 angedeutet.
Wandmaterial
Fugendicht— Wandmaterial
stoff
^
v
x
Bild 80: Zur Kbrperschallübertragung durch eine viscoelastische Schicht
mittels ebener Longitudinalwellen
Frau nhofer-Institut für Bauphysik
215
Die eben skizzierten Modell-Vorstellungen sind die Grundlage zur Ableitung
der folgenden Formel für den Körperschall-Transmissionsfaktor (s. Anhang 20):
T = (cos 3 + j V f • sin g) -1
(147).
Darin ist V f das (komplexe) "Fehlanpassungs"-Impedanzverhältnis. Es
ist in der Regel (der Fugendichtstoff ist wesentlich weicher als die
Wand) umgekehrt proportional dem Verhältnis V aus der Fugen- zur WandImpedanz.
ist die komplexe relative Wellenzahl, das Produkt aus Wellenzahl und
Fugendicke d, wie schon aus der Beschreibung des Meßvorgangs bekannt.
Im wesentlichen ist g also proportional zur Frequenz, sofern der E-Modul
frequenzunabhängig ist; g ist schwach mit der Frequenz ansteigend, wenn
der E-Modul mit der Frequenz ansteigt.
Der Intensitäts-bezogene Transmissionsgrad ist gleich dem Betrags-Quadrat
des oben genannten komplexen Transmissionsfaktors.
(Die vollständige Herleitung der Gleichung (147) ist in Anhang 20 enthalten.)
Ein zweites, alternatives Körperschall -Obertragungs- Modell ist zweidimensional. Hierbei wird - im Gegensatz zum oben genannten eindimensionalen
Modell - von einer realistischeren, nämlich linienhaften Fuge geringen
Querschnitts ausgegangen. Die benachbarten, planparallelen Wände sind
längs der Fuge unendlich ausgedehnt. Es genügt also, physikalisch nur
einen zweidimensionalen Querschnitt der Anordnung zu betrachten. Diesen
zeigt Bild 81.
Auch hier sollen, wie bisher im Fugenmaterial nur (Quasi)-Longitudinalwellen auftreten, die nun aber die benachbarten Wände nicht zu ebensolchen, sondern zu sich senkrecht dazu ausbreitenden Biegewellen anregen. Die "Wände" sind nun keine Halbräume mehr, sondern haben eine
endliche Dicke dW - ein neu hinzu kommender Parameter. Auch eine Fugenbreite b muß als weiterer Parameter eingeführt werden; b muß, damit die
Wellenausbreitung im Fugenmaterial selbst wirklich als (Quasi)-Longitudinale betrachtet werden kann, wesentlich kleiner als die BiegewellenLänge in den Wänden sein; die Breite soll demnach so vernachlässigbar
klein sein, daß von einer quasi-punktförmigen Biegewellen-Anregung von
Stäben - als Ersatz für zweidimensional ausgedehnte Wände - ausgegangen
werden kann, so daß das ganze H-förmige Obertragungs-Modell tatsächlich
als zweidimensional behandelt werden kann.
21
3
>,
Wand
Fugen—
Wand
dicht.
b
L.
Ir
Bild 81: Zur Körperschallübertragung durch eine viscoelastische, linienförmige Fuge mittels Longitudinalwellen-Koppelung von Biegewellen
Bei der mittigen punktförmigen Biegewellen-Anregung eines unendlich ausgedehnten Stabes ergibt sich nun - im Gegensatz zur o.g Flächen-Impedanz
der Wand - eine komplexe und frequenzabhängige Impedanz, die, entsprechend
dem Modell nicht von der Longitudinalwellen - sondern von der frequenzabhängigen Biegewellen-Phasengeschwindigkeit in der Wand abhängt.
Was die genannte "Fehlanpassung" zwischen Fugendichtstoff und Wand angeht, so muß nun also die Impedanz des Fugendichtstoffs auf diese
Biegewellen-Wand-Impedanz bezogen werden.
Ansonsten geht aber - aufgrund dieses vereinfachten Modells - auch das
neue Impedanzverhältnis auf die gleiche Weise in die allgemeine Transmissionsgrad-Formel (147) ein.
Für die Wanddicke in diesem Modell wurde eine typische Dicke von
d W = 0,17 m
angenommen, für die Fugenbreite
b = 0,04 m.
217
Unter diesen Voraussetzungen ergibt sich - unter Anwendung der allgemeinen Formel (154) in Anhang 20 -, daß das Impedanzverhältnis für die
Biegewellenanregung
1/B
sich aus dem Longitudinalwellen-Impedanzverhält-
nis V ergibt zu
^
/
V
B =
V
75 Hz
(155).
•
Mit zunehmender Frequenz wird also die "Fehlanpassung", und damit die
Körperschalldämmung, beim Biegewellen-Obertragungs-Modell größer als
bei dem sehr einfachen Longitudinalwellen-Obertragungsmodell; bei den
gewählten Abmessungen ergibt sich auch, daß etwa bei der unteren betrachteten Grenzfrequenz (75 Hz) die Verhältnisse etwa gleich groß sind.
Ansonsten weist das Biegewellen-Übertragungsmodell die gleichen speziellen
- nämlich periodischen - Eigenschaften wie das LongitudinalwellenUbertragungsmodell auf.
8.1.2
Qualitative Eigenschaften der Obertragungsfunktion
In der Regel ist der Fugendichtstoff wesentlich weicher als das Wandmaterial. Das entsprechende Impedanzverhältnis V bei LongitudinalwellenUbertragung ist sehr klein, das "Fehl anpassungsverhaltnis"
yf
ist also
sehr groß; nimmt man ferner an, daß der E-Modul des Fugenmaterials
frequenzunabhängig sei, so ist in der Transmissionsgrad-Formel (147)
ein recht großer ( faßt reeller) und konstanter Parameter, so daß man
den Term cos g vernachlässigen kann. Dann ist schließlich der Körperschall-Transmissionsgrad im wesentlichen nur noch umgekehrt proportional
zum Quadrat von sin g:
T -
sin al -2
(165).
Der prinzipielle Verlauf dieser wichtigen Funktion soll einmal vorweg
diskutiert werden (Bild 82).
(0 dB entspricht dabei zwar sing = 1, nicht aber T = 1. Die dB-Skala
für den Transmissionsgrad ist also willkürlich gewählt).
Das auffälligste ist ein nicht-monotoner, sondern welliger Verlauf des
Transmissionsgrades mit zunehmender reeller relativer Wellenzahl qi.
218
dB
12
T
LT
3
6
0
30
=10
-12
-18 0
27T
47T
67T
--, 87T
Q1
Bild 82:
Prinzipieller Verlauf des Körperschall-Transmissionsgrades einer viscoelastischen Zwischenschicht für Longitudinalwellen nach Gleichung 147:
Die Funktion [sin q] -2 ist logarithmisch als Funktion von q 1 (als Ersatz
für die Frequenz) aufgetragen. q = -q 1 sin (q)/2).
[Grad] als Maß für die Dämpfung.
Der Parameter ist der Verlustwink'e
l Fraunhofer-Institut für Bauphysik
219
Das bedeutet: Die Körperschalldämmung ist sowohl mit zunehmender Frequenz,
als auch mit zunehmender Fugendicke periodischen Schwankungen unterworfen.
(Eine etwas dickere Fuge kann also bei einer bestimmten Frequenz eine sogar
geringere Körperschalldämmung haben als eine dünnere.) Die Körperschalldämmung erreicht immer gerade dann ein relatives Minimum bei einer Frequenz,
wenn die Fugendicke ganzzeilige Vielfache von halben Wellenlängen dick ist.
Aufgrund der außerordentlich niedrigen Schallgeschwindigkeit im Fugenmaterial, und damit dem Auftreten kurzer Wellen selbst in dünnen Fugen,
sind die Verhältnisse - genau wie beim Meßverfahren - also nicht so einfach, daß die Fuge schlicht als viscoelastische Feder betrachtet werden kann.
Nun zeigt Bild 82 aber auch, daß mit zunehmender Dämpfung, also zunehmendem Imaginärteil der Wellenzahl g, - ganz im Gegensatz zu dem allerersten
Annahmen (Gleichung (10) in Kapitel 1.2), die von einem Feder-Verhalten
der Fuge ausgingen, - der Körperschall-Obertragungsgrad erheblich gesenkt
werden kann: In Bild 82 ergibt sich bei einem Verlustwinkel von 30° ein
sehr viel steileres Abfallen des Transmissiongrades mit steigender Frequenz bzw. Fugendicke; außerdem ist die Welligkeit faßt ganz nivelliert.
(Auf den Einfluß der Dämpfung wird in Kapitel 8.2.2 noch näher eingegangen.)
8.1.3
Berechnung des Trittschall-Verbesserungsmaßes
Da Trittschall der wichtigste Fall der Körperschallanregung in Gebäuden
ist, und zur Bewertung der Trittschalldämmung bereits eine Norm vorliegt,
soll das Verfahren nach DIN 52 210, Teil 4, zur Berechnung des Trittschall-Verbesserungsmaßes ALW verwendet werden.
oLW berechnet sich aus 16 im dB-Maß angegebenen Körperschalldämm-Werten
für die 16 Terzbereiche von 100 Hz bis 3150 Hz.
Aus einer nach Gleichung (147) errechneten frequenzabhängigen Transmissionsgrad-Funktion (die in der Regel durch 50 Einzelfrequenzen (siehe
Kapitel 5.8) gegeben ist) müssen 16 Transmissionsmaße, auf ganze
dB gerundet, also erst ermittelt werden.
oLW entspricht dann - bis auf eine Konstante von 18 dB - der vertikalen
Verschiebung einer durch die Norm vorgegebenen Bezugspegelkurve bis zu
einer optimalen Anpassung an die um die Körperschalldämmung verminderte
Trittschallpegelkurve.
Das Verfahren ist graphisch dargestellt und zusammengefaßt in Bild 83.
220
L[dB]
70
60
50
48
30
20
10
1
2
5
100 125
250
B
500
11
14
1000
2000
16
3150 Frequenz [Hz]
LNR—(NTSPO—V)[dB]
6
MF041-3 mittl. Steigung
0
-6
1
2
100 125
5
B
I1
14
250
500
1000
2000
16
3150 Frequenz [Hz]
Bild 83: (oben) Zur Berechnung des Trittschallverbesserungsmaßes DLW
aus frequenzabhängigen Kbrperschalldämmaßen o L nach
DIN 52210, Teil 4: Die Normtrittschallpegel-Kurve NTSP wird
so lange verschoben, bis die um AL gedämmte Normkurve LNR
gerade noch nicht um den aufsummierten (Flächen-)Wert von 32
unterschritten wird.
(unten) Die mittlere Frequenzabhängigkeit - bezüglich der
Normtrittschallpegel-Kurve - MFQA berechnet sich aus der dreifachen mittleren Steigung einer Ausgleichsgeraden zu der Differenzkurve LNR - (NTSPO - V)
221
Die Kurve LNRO ist der Norm-Trittschall-Pegel einer in der Norm definierten
Bezugsdecke.
NTSPO ist eine Bezugspegelkurve, für den Norm-Trittschalipegel die einem
oLw von 18 dB entspricht.
Die mit der Frequenz abfallende Form dieser Kurve entspricht dabei offenbar solchen, als normal angesehenen Dämmstoffen, die schon eine mit der
Frequenz zunehmende Dämmung aufweisen.
Das Trittschall-Verbesserungsmaß ergibt sich dann nach Norm aus der
optimalen Verschiebung dieser Bezugspegelkurve V (siehe Anhang 21) durch
oL W = 18 +
(161 + 162).
V
Damit entspricht ALW etwa einem über alle Frequenzen gemittelten Körper
mit Betonung der oberen Frequenzen, wie es auch der -schaldämwertAL,
Hör - Empfindlichkeit entspricht.
8.1.4
Berechnung einer mittleren Frequenzabhängigkeit
Die "mittlere Frequenzabhängigkeit" MFQA soll zur Ergänzung die zweite
pauschale, die Körperschalldämmung charakterisierende Größe sein.
Ist sie positiv, so soll sie eine vergleichsweise hohe Dämmung hoher
Frequenzen bedeuten, ist sie negativ, eine hohe Dämmung niedriger
Frequenzen.
Als Vergleich hierfür wird die durch die Norm vorgegebene Bezugspegelkurve herangezogen. Trägt man die Differenz der durch die Körperschalldämmung tatsächlich erzielten Trittschallpegelkurve zu dieser Kurve auf
(siehe Bild 83 unten) so ergibt sich MFQA in der Einheit "dB/Oktave" als
die dreifache Steigung einer durch Regressionsrechnung optimal eingepaßten Geraden. (Dreifach, weil die unabhängige Variable in dieser Darstellung die Terzen abzählt, und drei Terzen eine Oktave bilden.)
222
8.2
Simulation typischer Fugendichtstoffe und ihrer Körperschalldämmung
Dies Simulation wurde in einem zusätzlichen Computerprogramm TRANSSIMUL
durchgeführt.
Im ersten Schritt wird dabei der frequenzabhängige Verlauf des komplexen E-Moduls (als Betrag und Phase) eines viscoelastischen Fugendichtstoffes simuliert. (Siehe dazu Kapitel 5.7 und Anhang 12.)
Die Möglichkeiten zur Definition des E-Modul-Verlaufes wurden auf zwei
Fälle beschränkt:
-
der E -Modul ist frequenzunabhängig, also konstant;
-
der E-Modul gehorcht einer Potenzfunktion der Frequenz, steigt
also - im doppelt-logarithmischen Maßstab - linear mit der
Frequenz von einem Anfangswert bei 90 Hz zu einem Endwert bei
3500 Hz an.
Der Verlustwinkel wird - entsprechend den Meßergebnissen - im ganzen
Frequenzbereich als eine Konstante angenommen.
In einem zweiten Abschnitt findet nun - für alle Frequenzen - die Berechnung des Transmissionsgrades aus dem komplexen E-Modul statt.
Hierbei kommen alle in Kapitel 8.1.1 und Anhang 20 genannten Formeln zum
Einsatz.
Auch hier gibt es zwei Wahlmöglichkeiten: zum einen kann der Longitudinalwellendurchgang (durch Einsatz der flächenbezogenen Wandimpedanz) simuliert werden, zum anderen die durch Longitudinalwellen in der Fuge gekoppelte Biegewellenanregung der Wände (durch Einsatz der erwähnten
punktförmigen Biegewellen-Anregungs-Impedanz).
In einem dritten Abschnitt werden die berechneten Körperschalldämmpegel
gemittelt und zusammengefaßt in den für den Trittschall nach Norm
relevanten 16 Terzen.
Im vierten Abschnitt schließlich wird das Verfahren nach DIN 52 210,
Teil 4, zur Berechnung des Trittschall-Verbesserungsmaßes, und das
ergänzte Verfahren zur Berechnung dessen mittlerer Frequenzabhängigkeit
angewandt.
Das Ergebnis dieser Simulation ist also eine frequenzabhängige graphische
Darstellung des Transmissionsgrades eines Fugenmaterials unter den vorgegebenen geometrischen und materialtypischen Bedingungen, außerdem
die numerische Angabe der zwei pauschalen Körperschalldämmgrößen.
223
8.2.1
Körperschalltransmissionsgrade einiger typischer Fugendichtstoffe
In Bild 84 ist zunächst der extreme Fall eines Fugendichtmaterials mit
frequenzunabhängigem und geringem E-Modul ohne innere Dämpfung dargestellt.
Es wird vom Fall des Longitudinalwellendurchgangs durch eine entsprechende
viscoelastische Schicht (kurz L-Fall genannt) ausgegangen.
Entsprechend den Spitzen im prinzipiellen Verlauf des Transmissionsgrads
(siehe Bild 82) treten auch hier diese Spitzen auf. (Wegen der logarithmischen Frequenz-Skala sind diese Maxima recht konzentriert. Die Spitzen
sind nur deswegen nicht unendlich hoch, weil in Gleichung (147) noch der
Term cos g existiert. Ihre Asymetrie rührt von der begrenzten FrequenzAuflösung her.)
Die Balken markieren die Transmissionsgrad-Mittelwerte für die 16 Trittschallterzen. Stellt man sich den Mittelungsvorgang entsprechend der
Trittschallnorm gemäß Bild 83 vor, so wird klar, daß die Resonanzstellen
im oberen Frequenzbereich die mittlere Körperschalldämmung erheblich
vermindern können. Dies wird in den folgenden Abschnitten noch näher
behandelt.
Den realistischeren Fall von Proben mit innerer Dämpfung und teilweise
auch frequenzabhängigem ansteigenden E-Modul zeigen die folgenden zehn
Bilder. Die jeweils linken (ungeradzahlig numerierten) Bilder zeigen den
Fall des Longitudinalwellendurchgangs, die anderen den der Biegewellenkopplung. Die zugehörigen Ergebnisse unterscheiden sich gemäß dem in
Kapitel 8.1.1 (Gleichung (155)) Gesagten, nicht prinzipiell, sondern
nur durch einen zu höheren Frequenzen hin stärkeren Fall des Transmissionsgrades, bzw. eine Zunahme des Körperschalldämm-Maßes.
Weiterhin wird der Verlustwinkel variiert. Er nimmt die Werte 10° und 30°
an. Wie die Bilder zeigen, ist hiermit eine drastische Verminderung des
Transmissionsgrades insbesondere bei höheren Frequenzen und gleichzeitig
eine erhebliche Verminderung der Welligkeit der Kurve verbunden; der
mittlere Transmissionsgrad sinkt um mehr als 10 dB.
224
DLw —
TRRNSMISSIONSGRRD Cd137
34 dB
0
—30
—60
20
5
2
5
2
4000
FREQUENZ [Hz)
Bilder 84-94: Simulierter frequenzabhängiger Transmissionsgrad einer viscoelastischen Zwischenschicht der Dicke d = 12 mm
- mit konstantem E-Modul [N/mm2]
oder im Bereich 90 - 3500 Hz von 1 N/mm 2 bis zum angegebenen
Wert in doppelt logarithmischer Darstellung linear ansteigendem E-Modul,
- mit Verlustwinkel (p [Grad]
- für Longitudinalwellendurchgang nach Bild 80 = "L"
oder Biegewellenkoppelung nach Bild 81 = "B"
Die Balken markieren die in den 16 Trittschall-Terzen Bemittelten Werte.
DLw ist das bewertete Trittschallverbesserungsma5 nach DIN
52210,T.4.
Als Wandmaterial wird Schwerbeton (einer Dicke von 16 cm bei
"B" ) angenommen.
Bild 84: E = 1, cp
=
o°,
L
225
Weiterhin wird das Verhalten des E-Modul-Betrages variiert; im einen
Fall (Bilder 85 bis 88) ist der E-Modul mit 1 N/mm z konstant, im anderen
(Bilder 89 bis 92) steigt der E-Modul bis zur oberen Grenzfrequenz auf
5 N/mm 2 an. Der Transmissionsgrad steigt dabei bei höheren Frequenzen
(bei denen dann ja auch der E-Modul größere Werte annimmt) deutlich an,
die Anzahl der Resonanzstellen vermindert sich, bzw. sie werden zu höheren
Frequenzen hin verschoben. (Vgl. z.B. Bilder 85 und 89,.) Bei gleichzeitig höherem Verlustwinkel (Bilder 87 und 91) steigt der Transmissionsgrad
bei steigendem E-Modul noch stärker an als bei geringerem Verlustwinkel.
Ein noch stärker mit der Frequenz ansteigender E-Modul, z.B. auf 40 N/mmz
bei 3500 Hz, siehe Bild 93, hat eine weitere, wenn auch nicht mehr so
starke Erhöhung des Transmissionsgrades zur Folge.
Im ganzen gesehen, scheint also eine Erhöhung der Materialdämpfung im realistischen Wertebereich - die Körperschalldämmung noch stärker zu
erhöhen als eine Erniedrigung des E-Modul-Betrages.
Den Einfluß zunehmender Dicke der Fugendichtstoff-Zwischenschicht auf den
frequenzabhängigen Transmissionsgrad zeigen - im Vergleich zu Bild 85 die Bilder 95 und 96, und - im Vergleich zu Bild 93 - Bild 97.
Erwartungsgemäß tritt der selbe Effekt auf wie bei einer Frequenzerhöhung:
Die Anzahl der Resonanzen erhöht sich, zu höheren Frequenzen werden sie
allerdings zunehmend nivelliert, und der Transmissionsgrad sinkt weiter ab.
(Vgl. z.B. Bild 96 mit dem prinzipiellen Transmissionsgrad-Verlauf von
Bild 82.) Die mittlere Körperschalldämmung erhöht sich also bei weichem
Material - wenn auch geringfügig - mit zunehmender Fugendicke.
Im Gegensatz dazu kann die Körperschalldämmung mit zunehmender Fugendicke
auch abnehmen, wenn ein mit zunehmender Frequenz härter werdendes
Fugendichtmaterial verwendet wird; dies zeigt der Vergleich der Bilder 97
mit 93 recht deutlich: Die Ursache hierfür ist ein Verschieben der
kritischen Resonanzstellen hin zu den kritischeren niedrigeren Frequenzen.
Die Abnahme des Trittschall-Verbesserungsmaßes mit steigender Fugendicke
ist in diesem Fall eine Folge der Norm-Bewertung.
20
5
FREQUENZ [Hz]
2
Bild 86: wie Bild 84: E = 1,
—60
—30
0
TRRN5MI55IONSGRR â [d B3
cp= 10°,
5
0Lw
B
2
49 dB
9000
20
S
FREQUENZ [Hz3
Bild 85: wie Bild 84: E = 1, —60
—30
13
TRRNSMISSIONSGRR q Cd137
S
cp= 10°,
â Lw
L
2
313 dB
4000
1
2
FREQUENZ CHz]
5
5
cp= 30°,
B
2
4000
20
5
l
FREQUENZ [ Hz]
2
—60
—60
20
—30
—30
TRFNSMISSIONSGRFD CdB]
0
DLw - 53 dB
0
'$TRFNSMISSIONSGRFD [dB]
1
cp= 30°, L
5
2
DLw — 45 dB
4000
20
5
FREQUENZ [ Hz]
2
5
1
DLw
43 dB
Bild 90: wie Bild 84: E = 1...5, cp= 10°, ..B
—60
—30
0
TRRNSMISSIONSGRRD CdB]
4000
—60
—30
0
5
1
FREQUENZ I:Hz]
2
5
1
DLw
2
30 dB
Bild 89: wie Bild 84: E = 1...5, y7= 10°,
20
TRRNSMISSIONSGRRD CdB]
L
4000
20
5
1
FREQUENZ CHz]
2
5
1
2
B
OLw - 46 dB
Bild 92: wie Bild 84: E = 1...5, 50= 30°, —60
—30
TRRNSMISSIONSGRRO Cd 133
4000
20
5
1
FREQUENZ CHz7
2
5
1
2
OLw — 35 dB
Bild 91: wie Bild 84: E = 1...5, (p= 30°,
—60
—30
0
TRRNSMISSIONSGRRO [dB]
L
4000
5
1
2
5
FREQUENZ CHz]
2
Bild 94: wie Bild 84: E = 1...40, q)--- 10°,
20
B
9000
20
5
1
FREOIJENZ CHz]
2
5
1
2
0Lw - 24 dB
Bild 93: wie Bild 84: E = 1...40, (p= 10°, -60
-60
TRRNSMISSIONSGRR â CdB]
-30
-30
0Lw - 36 dB
0
0
TRRNSMISSIONSGRRL7 NB]
L
4000
1
2
5
c
FREQUENZ CHz3
1
2
4000
0
Bild 95:
20
5
TRRNSMISSIONSGRRD Cd87 1
FREQUENZ [Hz ]
2
5
1
DLw
2
42 dB
4000
Bild 95/96 Simulierter frequenzabhängiger Transmissionsgrad einer viscoelastischen Zwischenschicht der
Dicke d = 24 mm (Bild 95) und d = 48 mm (Bild 96) mit konstantem E-Modul = 1 N/mm 2 , Verlust= 10° für Longitudinalwellendurchgang. (Wandmaterial: Schwerbeton)
winkel
Zum Vergleich mit Bild 85 mit d = 12 mm.
Bild 96:
5
—60
20
48 dB
—60
DLw
—30
—30
TRRNSMISSIONSGRRD C dB]
232
(J)
i
O _C
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(7) E
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N
z
m
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Q)l
8.2.2
Abhängigkeit der Kenngrößen der Körperschalldämmung von Härte,
Dämpfung und Dicke von Fugendichtstoff-Zwischenschichten
Im folgenden wird auf die weitere Untersuchung der Biegewellenkopplung
verzichtet, da sie kein qualitativ anderes Verhalten der mittleren Körperschalldämmung als Funktion der freien Parameter bewirkt.
Das Ziel sind ja eher vergleichende Untersuchungen an verschiedenen
Fugendichtstofftypen und die Diskussion der Abhängigkeiten von verschiedenen Parametern; die mittlere Körperschalldämmung bei Biegewellenkopplung ist in etwa gleichbleibender Weise um einiges höher als bei
Longitudinalwellendurchgang, die mittlere Frequenzabhängigkeit, d.h. die
spezifisch höhere Körperschalldämmung bei höheren Frequenzen, wird bei
Biegewellenkopplung systematisch etwas höher liegen als bei Longitudinalwellendurchgang.
Im folgenden wird nur noch die Abhängigkeit der beiden pauschalen Kenngrößen der Körperschalldämmung, des Trittschall-Verbesserungsmaßes und
233
seiner mittleren Frequenzabhängigkeit, von Größe und Verlauf des E-ModulBetrages sowie von der Dämpfung des Fugendichtstoffes und von der Fugendicke untersucht. (Auf die Darstellung des frequenzabhängigen Transmissionsgrades wird also verzichtet, statt dessen werden die pauschalen
Kenngrößen als Funktion der restlichen Parameter graphisch aufgetragen.)
Als erstes wird die Abhängigkeit des Trittschall-Verbesserungsmaßes von
der Fugendicke explizit dargestellt. Dabei ist ein als frequenzabhängig
angenommener E-Modul-Betrag der Parameter.
Das Ergebnis (berechnet durch das spezielle Programm DLWFUNCTIO) ist
in den Bildern 98 bis 100 dargestellt.
Schon Bild 98, bei dem der Verlustwinkel mit 5° als relativ klein
angenommen wurde, zeigt, wie erwartet, generell eine Abnahme des Trittschall-Verbesserungsmaßes mit zunehmender Fugendichtstoffhärte sowie mit
abnehmender Fugendicke. Auffällig jedoch ist, wie schon bei der Diskussion
von Bild 97 erwähnt, daß bei relativ harten Fugendichtstoffen (E größer
als 10 N/mm 2 ) oberhalb einer gewissen Fugendicke (20 mm) das TrittschallVerbesserungsmaß praktisch konstant bleibt, also nicht mehr mit zunehmender Fugendicke steigt.
Dieser Effekt tritt erst wieder bei gleichzeitig hoher Eigendämpfung des
Fugendichtmaterials (p = 30°, siehe Bild 100) auf; hier sind die erreichbaren Trittschall-Verbesserungsmaße von vorneherein wesentlich höher.
Einen besonders bemerkenswerten, weil nicht monoton verlaufenden, Effekt,
zeigt Bild 102. (Bild 101, zum Vergleich mit Bild 102 auf derselben Seite
dargestellt, entspricht bis auf eine andere Dickenverteilung Bild 99).
Hierbei wurde von einem mit zunehmender Frequenz zunehmendem E-Modul ausgegangen. Bei sehr stark mit der Frequenz ansteigendem E-Modul z.B.
von 1 N/mm 2 bei niedrigen und 50 N/mm 2 bei hohen Frequenzen, sinkt das
erreichbare Trittschall-Verbesserungsmaß mit zunehmender Fugendicke
oberhalb einer bestimmten Dicke (20 mm) wieder deutlich ab. Bei etwas
weniger stark ansteigendem E-Modul gibt es, im unteren Dickenbereich,
offenbar eine optimale Dicke mit maximalem Trittschall-Verbesserungsmaß;
erst bei sehr viel größeren Dicken wird wieder das gleiche Maß erreicht.
Das Gesamtverhalten des Trittschall-Verbesserungsmaßes ist also in
Abhängigkeit vom frequenzabhängigen E-Modul-Verlauf und der Fugendicke
ziemlich kompliziert.
234
Delta—Lw CdB7
60
55
50
45
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40
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35
1
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50
10
0
10
30
20
40
Dicke Cmm7
Bild 98-102: Simuliertes Trittschallverbesseruncsma5 o L nach DIN 52210
T.4, für Longitudinalwellendurchgang durch eine viscoelastische Schicht (zwischen Schwerbeton)
als Funktion der Dicke d,
mit frequenzunabhängigem E-Modul [N/mm 2 ] und
Verlustwinkel so als Parameter
Bild 98: (p= 5°
SO
—
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
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50
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10
20
Dicke Cmm]
30
Bild 100: wie Bild 98: io= 30°
0
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Delta Lw [dB]
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20
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Dicke Cmm]
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Bild 99: wie Bild 98: So= 10°
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
Delta—Lw [dB]
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50
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10
20
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30
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Bild 1U2: vergleiche Bild 101,
q) .= 10°, E = 1 N/mm 2 ....angeg. Wert
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
G0
Delta-Lw [dB]
50
r-"
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50
i
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30
i
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20
i/
10
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20
Dicke C mm]
30
5 --'..^-^- ---__---- --"
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2
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E_ '',^ ^
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40
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Bild 101: = Bild 99 (andere Schrittweiten)
40 = 10°, E = const.
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
G0
Delta-Lw CdB]
50
237
Dies unterstreicht, wie wichtig es ist, nicht nur den E-Modul bei
niedrigen Frequenzen zu kennen, sondern den gesamten frequenzabhängigen
Verlauf.
Eine andere Darstellungsform wird in Bildern 103 und 104 gewählt. Hierbei
ist die - offenbar weniger als erwartet wichtige - Fugendicke mit d = 20 mm
konstant gehalten.
Aufgetragen ist das Trittschall-Verbesserungsmaß ausschließlich als
Funktion der beiden Materialkonstanten E-Modul und Verlustwinkel; und
zwar direkt als Funktion des E-Modul-Betrages, mit dem Verlustwinkel als
Parameter.
An den Kurven sind vier Eigenschaften erkennbar:
-
bei frequenzunabhängigem E-Modul sinkt das TrittschallVerbesserungsmaß mit bis zu sehr großen Werten steigendem
E-Modul stark ab; (und zwar mit 14 bis 20 dB pro E-ModulVerzehnfachung im realistischen Bereich von 1 bis 10 N/mm2);
das Trittschall-Verbesserungsmaß sinkt in fast ebensolchem
Maße (typischerweise 16 dB) mit abnehmender Dämpfung des
Fugenmaterials stark ab;
-
bei harten Stoffen hat ihre innere Dämpfung nur noch einen
geringen Einfluß auf das Trittschall-Verbesserungsmaß;
-
ist der E-Modul nicht frequenzunabhängig, sondern steigt er
mit zunehmender Frequenz stark an (siehe Bild 104), so ändert
sich das Verhalten dahingehend, daß - bei geringen inneren
Dämpfungen - das Trittschall-Verbesserungsmaß mit zunehmendem
E-Modul- Maximalwert (bei hohen Frequenzen) steigt.
Nur bei hohen inneren Dämpfungen liegen die Verhältnisse noch
normal, d.h. das Trittschall-Verbesserungsmaß sinkt mit
steigendem E-Modul.
Die Verhältnisse werden also bei relativ harten Stoffen und
geringen Dämpfungen etwas kompliziert; da dieser Fall jedoch
selten auftritt, hat der in Bild 104 gezeigte Effekt - der
überdies ja auch von der Dicke der Fuge abhängt - in der
Praxis keine große Bedeutung.
.5
E -Modul CN/mm^23
50
h,
14%E.,
1TA
P
5
10
Z
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\\\
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30
20
\
95
E-Modul 1N/mm-23
n
11^
.\
n
n
n
Bild 103: frequenzunabhängiger E-Modul
10
35
60
0elte-Lur Cd03
50
Bilder 103/104 Simuliertes Trittschallverbesserungsmaß AL nach DIN 52210, T.4 für Lon g itudinalwellendurchgang durch eine viscoelastische Schicht zwischen Schwerbeton bei konstanter Dicke
d = 20 mm als Funktion des E-Moduls (bei der oberen Grenzfrequenz) mit dem Verlustwinkel
vp [Grad] als Parameter
Bild 104: von 1 N/mm 2 bei 90 Hz bis zum angeg.Wert
bei 3500 Hz ansteigender E-Modul
35
60
0nite-Lv [dB)
239
Die Bilder 105 und 106 zeigen - analog zu den beiden vorangegangenen
Bildern - die Abhängigkeit der mittleren Frequenzabhängigkeit von den
Mater=ialdaten.
Bei harten Fugendichtstoffen hat die Dämpfung offenbar keinen Einfluß
auf die Bevorzugung höherer oder niedrigerer Frequenzen; bei weichen
Stoffen jedoch hat eine hohe Dämpfung (vgl. auch Bild 82) eine überproportional starke Dämpfung hoher Frequenzen, eine geringe innere
Dämpfung eine bevorzugte Körperschalldämmung niedriger Frequenzen zur
Folge.
Bei mit der Frequenz ansteigendem E-Modul (Bild 106) werden, wie
erwartet, die hohen Frequenzen relativ schwach, die niedrigen Frequenzen relativ stark körperschallgedämmt, so daß allgemein die mittlere
Frequenzabhängigkeit zu negativen Werten tendiert.
5
10
7.0
30
CI)
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2
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50
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E -nodul LN/mm^27 0110 14 )
\ \
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,,
•
Bilder 105/106
:
.5
10 --
30
96
2
E -nod„t LN /mm ^27
5
2
50
lendurchgang durch eine viscoelastische
d = 20 mm als Funktion des E-Moduls (bei
[Grad] als Parameter.
Trittschallverbesserungsmasses relativ zur
Bild 105: frequenzunabhängiger E-Modul
-5
5
nr ge Lde/Okteve7
Simulierte Mittlere Frequenzabhängigkeit Mfqa des
Sollkurve nach DIN 52210, T.4, für Longitudinalwel
Schicht zwischen Schwerbeton bei konstanter Dicke
der oberen Grenzfrequenz) mit dem Verlustwinkel So
Bild 106: Von 1 N/mm 2 bei 90 Hz bis zum angeg. Wert
bei 3500 Hz ansteigender E-Modul
-3
0
3
9F
nfge Cd0/Okt eve]
241
8.3
In Körperschall-Übertragungsgrößen umgerechnete E-ModulMeßergebnisse der ausgewählten Fugendichtstoffe
Mit einem weiteren speziellen Programm (TRANSMODUL) konnten nun, (anstelle der nur simulierten frequenzabhängigen E-Modul-Verläufe wie
mit dem Programm TRANSSIMUL) auch die tatsächlich gemessenen E-Module
der 32 Fugendichtstoffproben in frequenzabhängige Transmissionsgrade
umgerechnet und dargestellt werden.
Dabei wurde das Modell des Longitudinalwellen-Durchgangs durch eine
Sandwich-Anordnung aus Wand-, Fugen-, Wandmaterial zugrunde gelegt. Als
Wandmaterial wurde, wie gehabt, Schwerbeton angenommen, für die Fugendicke gleichbleibend 20 mm.
Ein typisches Beispiel für eine solche Umrechung von Meßwerten in
Körperschall-Dämmgrößen zeigt Bild 107. Hierbei wurde exemplarisch
eine Fugendichtstoffprobe auf Silikon-Basis mit annähernd konstantem
E-Modul von 1 N/mm 2 und - bis auf den obersten Frequenzbereich - konstantem Verlustwinkel ausgesucht. Die zugehörigen KörperschallTransmissionsgrade können also mit einem simulierten Fugendichtstoff
(Bild 85) verglichen werden. (Zu diesem Zweck wurde bei Bild 107 ausnahmsweise von einer Fugendicke von 12 mm wie bei den simulierten Ergebnisse der Bilder 84 bis 94 ausgegangen). Es zeigt sich - außer im
obersten Frequenzbereich - wie erwartet, recht gute Obereinstimmung.
Das Trittschall-Verbesserungsmaß dieser Probe ist mit 41 dB relativ
hoch.
Die kompletten in Körperschall-Transmissionsgrade umgerechneten Meßergebnisse sind in Anhang 22 enthalten.
Eine Fehlerfortpflanzungsrechnung zur Berechnung der durch die E-ModulMeßfehler bedingten Transmissionsgrad-Fehler wurde nicht durchgeführt.
Wie aus Bild 70 (Kap. 5.10) zu ersehen, ist der E-Modul-Meßfehler im
größten Teil des Meßbereiches kleiner als 10 %, nur in einem schmalen
Frequenzband (1-2 kHz) kann er um 20 % betragen.
Da erst ein mittlerer Fehler von 25 % einem Unterschied von einem dB
der Körperschalldämm-Maße entspricht, ist der diesbezügliche Transmissionsgrad-Fehler - erst recht im Vergleich zu dem möglicherweise
systematischen Fehler, der in der vereinfachten Modellvorstellun g zur
Körperschallübertragung begründet ist, - vernachlässigbar.
TRRNSMISSIONSGRRDPEGEL CdB7
—30
—60
20
5
1
2
5
2
4000
FREQUENZ CHz7
DLw = 41 dB
Mfga=-1.08 dB /Oktave
Bild 107: Frequenzabhängiger Transmissionsgrad für Longitudinalwellen
einer viscoelastischen Zwischenschicht der Dicke d = 12 mm
zwischen Schwerbeton aus dem Fu g endichtstoff mit der Bezeichnung P31SIAl2 (s. Anhang 19) auf Silikon-Basis, der einen etwa
frequenzunabhängigen E-Modul von 1 N/mm 2 hat. (Vergleiche simuliertes Ergebnis Bild 85).
Beispiel für eine Transmissionsgrad-Berechnung aus dem gemessenen E-Modul-Verlauf. (Alle Ergebnisse s. Anhang 22)
Mit bewertetem Trittschallverbesserungsmaß DLw und Mittlerer
Frequenzabhängigkeit Mfqa.
243
Analyse der Zusammenhänge wichtiger pauschaler Kenngrößen
von Fugendichtstoffen
8.4
Die mit dem Programm TRANSMODUL unter anderem erhaltenen je zwei pauschalen Körperschall-Kenngrößen für alle 32 Fugendichtstoffe wurden
gespeichert, um sie einer anschließenden Korrelationsanalyse mit den
drei weiteren freien Parametern
-
Fugendicke,
-
mittlerer E-Modul,
-
mittlere Steigung des E-Moduls mit der Frequenz
zu unterziehen.
Es wurde wieder das Modell des Longitudinalwellen-Durchgangs durch eine
Sandwich-Anordnung aus Wand-, Fugen-, Wandmaterial zugrunde gelegt. Als
Wandmaterial wurde, wie gehabt, Schwerbeton angenommen, für die Fugendicke gleichbleibend 20 mm.
Dabei wurden zusätzlich die gemessenen frequenzabhängigen E-Modul-Verläufe in den 16 Trittschall-Terzen zusammengefaßt, gemittelt und in
einen logarithmischen Pegel-Wert umgerechnet; aus diesen 16 E-Modul-Pegelwerten der Frequenzen 100 Hz bis 3150 Hz wurde per Regressionsanalyse
ein mittlerer E-Modul-Pegelwert MLE und die zugehörige, in dB/Oktave umgerechnete Steigung SLE berechnet.
Es gab also nun 5 Parameter, deren Zusammenhänge untereinander untersucht werden sollten:
-
das Trittschall-Verbesserungsmaß DLW,
-
dessen mittlere Frequenzabhängigkeit MFQA,
-
den mittleren E-Modul-Pegel MLE (bezogen auf 1 N/mm2),
-
die mittlere Steigung des E-Modul-Pegels SLE
-
und die Fugendicke d.
Zusätzlich wurde noch für jede Probe getrennt die Korrelation der
E-Modul-Pegel mit den 16 Terzband-Nummern untersucht. Diese Korrelation
(KORRLE) ist ein Maß für die "Geradlinigkeit", mit der - im doppeltlogarithmischen Maßstab - der E-Modul der Fugendichtstoffe mit der
Frequenz ansteigt.
Außerdem wurde noch der arithmetisch über alle Terzbänder gemittelte
Verlustwinkel MPHI berechnet.
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246
Bild 108 zeigt tabellarisch für alle 32 Fugendichtstoffproben diese
pauschalen Parameter. (Die Berechnung der E-Modul-Pegel aus den
gemessenen E-Modui-Verläufen aller Proben, die Berechnung der zugehörigen Transmissionsgrad-Funktionen und die Berechnung der pauschalen
Körperschalldämm-Größen sowie die Speicherung all dieser Daten wurde
von einem speziellen Programm KORRMODUL durchgeführt).
Die Korrelation ist offenbar bei den meisten Fugendichtstoffproben recht
hoch. Das bedeutet, wie man insbesondere an den Meßergebnissen der
Fugendichtstnffe auf Polysulfid- und P o lyurethan-Basis sieht, recht
gleichmäßig mit der Frequenz ansteigende E-Module. Eine Ausnahme machen
die besonders weichen Stoffe auf Silikon-Basis. (Die Ursache hierfür ist
aber teilweise in den schon diskutierten Meßfehlern zu suchen.)
In der Spalte SLE von Tabelle 108 ist ferner auf einen Blick erkennbar,
daß die E-Module der Stoffe auf Silikon-Basis offenbar schwach mit der
Frequenz ansteigen, die E-Module der beiden Stoffe auf Acrylat-Basis
jedoch besonders stark. (3 dB/Oktave entspricht etwa einer Frequenzproportionalen Zunahme des E-Moduls.)
Weiterhin ist in der DLW-Spalte in Tabelle 108 erkennbar, daß die Stoffe
auf Silikon-Basis, sowie das Kork-Granulat, in der Regel ein hohes
Trittschall-Verbesserungsmaß aufweisen.
Daß die mittlere Frequenzabhängigkeit MFQA bei den Stoffen mit großem
SLE besonders niedrig ist, daß also durch sie hohe Frequenzen relativ
schlecht gedämmt werden, ist nur folgerichtig.
All diese Zusammenhänge können auch auf mathematische Weise, durch eine
Korrelationsanalyse untersucht werden.
Zwischen fünf freien Parametern gibt es zehn Möglichkeiten einer ZweierBeziehung, also auch einer Korrelationsberechnung.
(Diese Berechnung nebst einer geeigneten graphischen Darstellung wurde
von einem weiteren speziellen Programm PLOTKORR durchgeführt.)
Die Ergebnisse wurden entsprechend den zugehörigen Korrelationsgraden
(dem Grad des statistischen Zusammenhangs zweier Größen) sortiert.
247
Aus den zehn Berechnungen wurden die ersten sechs wegen ihres offensichtlich signifikanten Gehalts ausgesucht.
Die graphischen Darstellungen zeigen die Bilder 109 bis 114. In diesen
Korrelations-Graphiken sind jeweils zwei der fünf Parameter jeder Probe
durch die Positionierung eines Buchstabens in einem zweidimensionalen
Feld markiert.
Die fünf verschiedenen Buchstaben charakterisieren die zugehörigen
Fugendichtstoffproben stofflich; es bedeuten:
-
S = Silikon -Basis,
-
P = Polysulfid- Basis,
-
U = Polyurethan-Basis,
-
A = Acrylat-Basis,
-
K = Kork - Granulat.
Der Name der Parameter und der zugehörige Wertebereich ergibt sich aus
den Achsen-Beschriftungen.
Durch die 32 Punkte (bzw. Buchstaben) ist - mit Hilfe einer Regressionsrechnung - eine optimal angepaßte Gerade gezogen. Den Grad der Streuung
der Punkte um diese Gerade gibt der Korrelationsgrad an.
Außerdem läßt sich für diese optimal angepaßte Gerade eine lineare
Gleichung angeben. Gemäß dem statistischen Mittel läßt sich also der
eine Parameter als lineare Funktion des anderen Parameters ausdrücken.
248
Die sechs wichtigsten Korrelationen kann man wie folgt interpretieren:
zwischen dem mi ttl eren E-Modul-Pegel (MLE) und dem bewerteten
Trittschall-Verbesserungsmaß (DLW) gibt es die mit Abstand
stärkste Beziehung (Bild 109).
Man kann also aus dem über den ganzen Frequenzbereich gemittelten E-Modul-Pegel sehr sicher auf das zu erwartende TrittschallVerbesserungsmaß (der als Beispiel gewählten Fugen-Anordnung)
schließen.
Die zugehörige lineare Gleichung lautet: Fugen-Anordnung
DLW = 48.4 dB - 1.85 • MLE (166).
Dieses Ergebnis ist in guter Obereinstimmung mit der Erwartung,
daß ein (im Mittel) harter Fugendichtstoff eine geringe, und
ein weicher eine hohe Körperschalldämmung aufweist.
Da MLE stets positiv ist (keine Probe ist im Mittel weicher
als 1 N/mm z ) kann der Dämmwert von 48,4 dB als Anhaltspunkt
für das maximal erzielbare Trittschall-Verbesserungsmaß eines
(20 mm dicken, zwischen Schwerbeton angeordneten) Fugendichtstoffes dienen.
Auch zwischen den zwei den E-Modul-Verlauf der Probe charakterisierenden Größen MLE und SLE, also zwischen mittlerem Pegel
und Pegel-Steigung, gibt es offenbar einen starken Zusammenhang;
betrachtet man die Meßergebnisse (Anhang 19) so ist das auch
verständlich, da die meisten Fugendichtstoffe bei niedrigen
Frequenzen einen etwa gleich niedrigen E-Modul aufweisen und
sich erst bei höheren Frequenzen stark unterscheiden, eine hoher
mittlerer E-Modul-Pegel ergibt sich demnach im wesentlichen
erst aus einer großen frequenzabhängigen E-Modul-Steigung;
die entsprechende Gleichung lautet:
SLE = - .009 dB/Okt + .11/Okt • MLE (167).
(Bild 110).
Im übrigen erlaubt es erst diese enge Beziehung, daß aufgrund
der ersten Beziehung (166) so sicher von einem einzigen pauschalen Parameter, nämlich den mittleren E-Modul-Pegel MLE, auf
die entscheidende Körperschalldamm-Größe DLW geschlossen werden
kann.
3
MLE
C
dB
J
Bild 110:
Zur Korrelation zwischen
dem mittleren E-Modul-Pegel MLE und
der mittleren E-Modul-Steigung SLE
Der Korrelationsgrad beträgt 0,832.
0
20
MLE t: dB
Bild 109:
dem mittleren E-Modul-Pegel MLE und
dem bewerteten Trittschallverbesserungsmaß DLw
Der Korrelationsgrad beträgt -0,986.
10
m
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E
50
20
250
Wegen der beiden oben genannten Beziehungen ist klar, daß es
auch zwischen SLE und DLW direkt eine enge Beziehung geben muß
(Bild 111); die zugehörige Gleichung lautet:
DLW = 44.6 dB - 12.2 • Okt • SLE (168) .
(In der Praxis sollte aber Gleichung (166) der Gleichung (168)
vorgezogen werden. Im übrigen wird Gleichung (166) durch
Einsetzen von GLeichung (167) in Gleichung (168) nicht reproduziert.)
Die für die Praxis zweitwichtigste Beziehung ist die zwischen
der mittleren Steigung des E-Modul-Pegels SLE und der mittleren
Frequenzabhängigkeit bezüglich des Trittschall-Verbesserungsmaßes MFQA (Bild 112); die zugehörige Gleichung lautet:
MFqa = - .279 dB/Okt - 2.13 • SLE
(169).
Daß zwischen diesen beiden Größen (beide in Einheit dB/Okt)
eine enge Beziehung herrschen würde, war ebenfalls zu erwarten;
auch daß der wesentliche Faktor für die Verknüpfung dieser
beiden Größen etwa bei - 2 liegen würde. (Dies ergäbe sich ja
schon direkt aus der Oberlegung, der Fugendichtstoff verhalte
sich als Feder.)
SLE
C dB/0 7
Bild 112:
der mittleren E-Modul-Steigung SLE und
der mittleren Frequenzabhängigkeit des Transmissionsgrades bezüglich der Trittschall-Sollkurve
Mfqa.
Der Korrelationsgrad Beträgt - 0,81.
(Ein Wert liegt oberhalb von Mfqa = 1)
-4
3
C dB/0 7
Bild 111:
dem bewertetem Trittschallverbesserungsmaß DLw.
ber Korrelationsgrad beträgt -0,825.
SLE
252
Daß zwischen der mittleren E-Modul-Pegel-Steigung SLE und dem
mittleren Verlustwinkel des E-Moduls eine enge Beziehung herrscht
(Bild 113), wird schon aus der Theorie der Viscoelastizitat
(Kapitel 2.2.1) verständlich.
Die aus der statistischen Auswertung der 32 Fugendichtstoffproben
ausgewertete angepaßte Gleichung lautet:
MPHI = 13.8° + 14.6°•Okt/dB • SLE
(170).
Schließlich gibt es auch noch einen recht engen Zusammenhang
zwischen den beiden pauschalen die Körperschalldämmung beschreibenden Größen DLW und MFqa untereinander (Bild 114); im allgemeinen steigt offenbar die mittlere Frequenzabhängigkeit, demnach
also die bevorzugte Dämmung gerade der höheren Frequenzen mit
der gesamten, durch das Trittschall-Verbesserungsmaß
charakterisierten Dämmung an:
MFqa = - 6.78 dB/Okt + 139/Okt • DLW (171).
Diese Beziehung ist analog der zweitgenannten Beziehung
(Gleichung 167), also der Beziehung zwischen dem mittleren
E-Modul-Pegel und der mittleren E-Modul-Pegel-Steigung.
Für die Praxis seien noch einmal die beiden wichtigsten Beziehungen herausgegriffen:
Sowohl zwischen dem mittleren E-Modul-Pegel und dem
Trittschall-Verbesserungsmaß als auch zwischen der mittleren
E-Modul-Pegel-Steigung und der mittleren Frequenzabhängigkeit
(bezüglich des Trittschall-Verbesserungsmaßes) gibt es eine
enge Beziehung.
Grundlage für diese Beziehung ist der im gesamten bauakustischen
Frequenzbereich gemessene E-Modul-Verlauf des Fugendichtstoffes.
10
DLw
C
dD
7
50
Bild 114:
dem bewerteten Trittschallverbesserungsmaß DLw und
der mittleren Frequenzabhängigkeit des Trittschallverbesserungsmasses bezüglich der Trittschall-Sollkurve Mfqa.
(Ein Wert liegt oberhalb von Mfqa = 1)
-4
SLE
C dB/0 7
Bild 113:
dem mittleren Verlustwinkel MPHI.
10
80
254
8.5
Pauschalisierte Ergebnisse auf einen Blick
Die beiden Pauschalen die Körperschalldämmung kennzeichnenden Größen
-
das Trittschall-Verbesserungsmaß nach DIN 52 210 und
-
die darauf bezogene mittlere Frequenzabhängigkeit
aller untersuchten Fugendichtstoffproben, dargestellt mit den stoffkennzeichnenden Buchstaben in einem zweidimensionalen Feld, zeigt
Bild 114.
8.6
Klassifizierung von Fugendichtstofftypen nach elastischen
und Körperschall dämm-Eigenschaften
Als Grundlage hierfür kann Tabelle 108 und die Bilder 109 bis 114
dienen.
Die Fugendichtstofftypen unterscheiden sich ganz offensichtlich je nach
chemischem Aufbau. Dabei spielt ganz überwiegend die polymere Basis eine
Rolle; die Vernetzungsart (basisch, neutral, sauer) hingegen nicht erkennbar.
Im folgenden sollen die einzelnen Stoffgruppen charakterisiert werden.
Fugendichtstoffe auf Acrylat-Basis
Dies ist die Stoffgruppe mit den am auffälligsten abweichenden Eigenschaften.
Ihr E-Modul kann schon bei niedrigen Frequenzen recht hoch sein (5 N/mm2)
und steigt dann mit zunehmender Frequenz drastisch an, im obersten
Frequenzbereich liegt der E-Modul zwischen 30 und 300 N/mm 2 . Das entspricht E-Modul-Pegel-Steigungen von 1,6 bis 2,3 dB/Oktave (bei den
beiden gemessenen Proben). (3 dB/Okt. entsprechen einer frequenzproportionalen Zunahme des E-Moduls.)
Weiterhin unterscheiden sich diese Stoffe von den anderen durch einen
erheblich höheren Verlustwinkel (34° bis 62°, vergl. Bild 113). Sie sind
deshalb zum Teil schon mehr plastisch als elastisch zu nennen.
Hinsichtlich der Körperschalldämmung können freilich die starken inneren
Verluste die drastische frequenzabhängige Zunahme des E-Moduls nicht
ausgleichen: Sie liegt sehr niedrig bei 16 bis 26 dB.
255
-4
10
DLw
C dB 3
50
Bild 114:
Pauschalisierte Meßergebnisse auf einen Blick:
Bewertetes Trittschallverbesserungsmaß DLw
und mittlere Frequenzabhängigkeit des Trittschallverbesserungsmasses bezüglich der Trittschall-Sollkurve Mfqa von den 32 Fugendichtstoffproben
bei Annahme von Longitudinalwellendurchgang durch eine 20 mm dicke viscoelastische Schicht zwischen Schwerbeton.
S = Silikon-Basis, P = Polysulfid-Basis, U = Poly - Urethan-Basis,
A = Acrylat-Basis, K = Korkgranulat
256
Die mittlere Frequenzabhängigkeit ist - wie aufgrund der starken E-ModulZunahme zu erwarten - mit -3,5 dB/Okt sehr niedrig, d.h., die Körperschalldämmung für höhere Frequenzen ist ganz besonders schlecht.
Fugendichtstoffe auf Polysulfid- oder Polyurethan-Basis
Wie Bild 114 zeigt, können diese beiden Stoffgruppen hinsichtlich ihrer
Körperschalldämmung offensichtlich zusammengefaßt werden.
Ihr E-Modul steigt von 2 bis 5 N/mm 2 bei niedrigen Frequenzen bis auf
10 bis 30 N/mm z bei den höchsten vorkommenden Frequenzen an. Diese Steigung (Faktor 3 bis 6) verläuft - in doppelt-logarithmischem Maßstab recht glatt. Sie ist - im Vergleich zum Verhalten der Polyacrylat-Stoffe mit 1 dB/Okt relativ gering.
Die Verlustwinkel dieser Stoffe liegen in einem recht engen Bereich
zwischen 25° bis 32°, sind also relativ hoch.
Dies mag auch überwiegend der Grund dafür sein, daß diese Stoffe - trotz
ihres verhältnismäßig stark mit der Frequenz ansteigenden E-Moduls - eine
ziemlich hohe Körperschalldämmung (gemessen am bewerteten TrittschallVerbesserungsmaß DLW) von 33 dB aufweisen. Das Maß streut von 27 bis 44 dB.
Die Frequenzabhängigkeit des bewerteten Trittschall-Verbesserungsmaßes
ist hingegen mit typischerweise -2 dB/Okt recht gering, hohe Frequenzen
werden also durch diese Dichtstoffe - im Vergleich etwa zu denen auf
Silikon-Basis - schlechter gedämmt.
Fugendichtstoffe auf Silikon-Basis
Diese Stoffe zeichnen sich sowohl durch einen geringen E-Modul (1 bis
2 N/mm z ) als auch durch einen sehr gering bis gar nicht mit der Frequenz
ansteigenden Modul (Faktor 2 bis 3 innerhalb des ganzen Frequenzbereiches, SLE = 0-1 dB/Okt) aus.
257
Auch ihre inneren Verluste sind mit Verlustwinkeln zwischen 10° und 20°
(in Ausnahmefällen bis 30°) recht gering.
Die Körperschall-Dämm-Eigenschaften (im hier betrachteten Sinne) können
im Mittel als sehr gut bezeichnet werden: Die bewerteten TrittschallVerbesserungsmaße streuen stark und liegen im Bereich von 30 bis 48 dB,
im Mittel bei 41 dB; 11 der 16 untersuchten Fugendichtstoffproben auf
Silikon-Basis erreichen Werte über 40 dB.
Wenn diese Werte - wie aufgrund des außerordentlich geringen, und
frequenzkonstanten E-Modul s zu erwarten - nicht noch höher liegen,
so
liegt das nur an der in diesem Fall ungünstigen geringen inneren Dämpfung.
Gelänge es, diese noch weiter zu erhöhen, so ließen sich noch höhere
Körperschalldämm-Maße erzielen.
Die mittlere Frequenzabhängigkeit der Dichtstoffe auf Silikon-Basis streut
in einem recht großen Bereich von -3 bis +1 dB/Okt; im Mittel kann man jedoch
sagen, daß gerade die hohen Frequenzen meist recht gut gedämmt werden.
Eine Besonderheit bei den Meßergebnissen an dieser Stoffgruppe ist noch,
da ihr frequenzabhängiger E-Modul - besonders im oberen Frequenzbereich recht schwankend sein kann. Die aus Tabelle 108 ersichtlichen Korrelationsgrade zwischen E-Modul-Pegel und Terzband sind dementsprechend bei
einigen Proben auch äußerst gering. Diese Unregelmäßigkeiten sind jedoch
nicht unbedingt als echte Stoffeigenschaften zu betrachten.
Hier liegt offensichtlich noch eine Unzulänglichkeit des Meßverfahrens.
Trotzdem lassen sich die pauschalen Körperschalldämmgrößen auch bei
dieser Stoffgruppe recht gut bestimmen.
Der Körperschalldämmstoff aus Kork-Granulat
Dieser zum Vergleich mit in die Fugendichtstoff-Untersuchungen einbezogene Stoff fällt - wie aufgrund der ganz anderen Stoffzusammensetzung
ja zu erwarten, und wie Bild 114 zeigt, - aus dem Rahmen.
Sein E-Modul ist, ebenso wie bei den Fugendichtstoffen auf Silikon-Basis,
recht gering und ebenso nur schwach mit der Frequenz ansteigend.
Im Unterschied zu den Dichtstoffen auf Silikon-Basis weist jedoch das
Kork-Granulat zusätzlich noch höhere Verluste (mittlerer Verlustwinkel
= 16°) auf.
Die Folge beider Eigenschaften ist ein ganz außerordentlich hohes
Trittschall-Verbesserungsmaß von 43 dB.
258
Auch, und gerade die hohen Frequenzen werden wegen der sehr niedrigen
mittleren Frequenzabhängigkeit von -2,7 dB/Okt bezüglich des TrittschallVerbesserungsmaßes gut gedämmt.
Damit weist das Kork-Granulat die besten Eigenschaften aller untersuchten
Stoffgruppen auf.
Es hat allerdings in der Praxis den Nachteil, daß es nicht selbst
witterungsbeständig ist, und laut Herstellerangaben durch einen anderen
Fugendichtstoff auf polymerer Basis abgedichtet werden muß. Seine
Komprimierfähigkeit ist recht gering, eine Dehnung ist ohne Zerreißgefahr
kaum möglich. Ein Ausgleich von großen-statischen Fugendehnungen wird
also nur schwer erzielbar sein.)
259
9.
WEITERE ABSCHÄTZUNGEN
In Kapitel 2 wurde die Abhängigkeit des komplexen E-Moduls viscoelastischer Stoffe von zahlreichen Parametern beschrieben. Es wurde entschieden, daß die Frequenzabhängigkeit die bauakustisch wichtigste
Abhängigkeit ist, umfangreiche Messungen des frequenzabhängigen E-Modules
wurden durchgeführt und daraus anhand einfacher Modelle die erzielbaren
Trittschall-Verbesserungsmaße berechnet. Alle funktionalen Abhängigkeiten
der E-Module von anderen Parametern wurden meßtechnisch nicht untersucht,
(Es wurde zwar eine zu diesem Zweck geeignete Meßapparatur gebaut,
wie in Kapitel 4.6 beschrieben, die Entwicklung der Meßtechnik selbst
und ihre Auswertungsmethode nahm jedoch so viel Zeit in Anspruch, daß
nur die Frequenzabhängigkeit der E-Module bestimmt werden konnte.)
Daß die Einflüsse der anderen Parameter nicht direkt gemessen werden
konnten, ist jedoch kein entscheidender Nachteil. Gerade aufgrund der
speziellen Eigenarten der Frequenzabhängigkeit der gemessenen E-Module
und der in Kapitel 8 empirisch festgestellten Beziehungen zur Körperschalldämmung können nämlich einige einfache Abschätzungen hierzu
vorgenommen werden. Dies soll in den folgenden Abschnitten geschehen.
9.1
Temperaturabhängigkeit
Die WLF-Gleichung (24) (siehe Kapitel 2.2.3) verknüpft die Temperaturabhängigkeit der E-Module eng mit ihrer Frequenzabhängigkeit. Zwar ist
diese Abhängigkeit nur in einem begrenzten Frequenzbereich gegeben und
auch nur in einfachen Fällen, die für Fugendichtstoffe - Stoffgemische nicht unbedingt gegeben sind. Nun zeigen aber die Meßergebnisse, daß die
E-Module im ganzen betrachteten Frequenzbereich recht stetig mit der
Frequenz ansteigen, und auch der Verlustwinkel recht konstant ist. Gerade
in diesem Fall eröffnet sich die Chance, unter Anwendung der WLF-Gleichung
quantitative Aussagen zur Temperaturabhängigkeit von E-Modul und erzielbarem Trittschall-Verbesserungsmaß von Fugendichtstoffen zu machen.
Nimmt man an, daß 0° C weit genug oberhalb der Einfriertemperatur der
Fugendichtstoffe liegt, so läßt sich T1 aus Gleichung (24) zu 0° C setzen;
geht man ferner von einer mittleren Temperatur von 18° C aus und nimmt
relativ geringe Temperaturdifferenzen (< 20° C) an, so kann man den
260
Temperatur-Term im Nenner von (24) der die WLF-Gleichung etwas nichtlinear macht, näherungsweise als konstant ansetzen; drückt man die in
der WLF-Gleichung definierte logarithmische Frequenzverschiebung
schließlich noch in Oktav-Einheiten aus, so ergibt sich die Gleichung
AN
= - 0.243 Okt/°C • At
(172) ,
wobei At eine Temperaturdifferenz im Raumtemperaturbereich und AN die
Anzahl der Oktaven angibt, um die man die frequenzabhängige
E=Modul=Kurve als Wirkung der Temperaturveränderung verschieben muß.
(Eine Temperaturveränderung um 4° C bewirkt also eine Verschiebung des
E-Modul-Spektrums um rund 1 Oktave.)
Die Meßergebnisse zeigten im allgemeinen in doppel-logarithmischer Darstellung, daß der E-Modul-Pegel linear mit der in Oktaven angegebenen
Frequenz steigt; die Steigung wurde (siehe Tabelle 108) durch den
Parameter SLE ausgedrückt; eine Erhöhung des E-Modul-Pegels ALE ergibt
sich demnach aus der Oktavverschiebung AN durch
ALE = SLE • AN
(173).
Nun herrscht außerdem gerade zwischen dem E-Modul-Pegel und dem
Trittschall-Verbesserungsmaß DLW eine hohe Korrelation; die entsprechenden
Verschiebungen sind nach Gleichung (166) bei nur sehr geringen Abweichungen verknüpft durch
ADLW = - 1.85 • ALE
(174).
Zusammengefaßt ergibt sich als Temperaturkoeffizient des TrittschallVerbesserungsmaßes
AD LW
At
_ + 0.45 Okt/°C • SLE (175).
Dabei wird implizit angenommen, daß eine temperaturabhängige Erhöhung
des E-Modul-Pegels sich auf den ganzen bauakustischen Frequenzbereich
gleichmäßig erstreckt, sich also auch der mittlere E-Modul-Pegel
entsprechend erhöht, und daß der Verlustwinkel des E-Moduls frequenzunabhängig ist. (Andernfalls würde das Trittschall-Verbesserungsmaß DLW
auch noch auf andere Weise durch eine Temperatur-Veränderung beeinflußt
werden.) Diese beiden Voraussetzungen sind aber bei den meisten Fugendichtstoffen erfüllt, wie die Meßergebnisse zeigen.
261
Zu einer Obersicht und Klassifizierung der verschiedenen Fugendichtstofftypen hinsichtlich ihres temperaturabhängigen Körperschalldämm-Maßes
soll es hier genügen, von stoffspezifischen Mittelwerten auszugehen. Aus
Tabelle 108 läßt sich dann entnehmen, daß die mittleren Steigungen des
E-Modul-Pegels der verschiedenen Stoffe die folgenden Werte haben:
-
SI
.
SLE = 0.37 dB/Okt
-
PS/PU :
SLE = 0.89 dB/Okt
-
PA
SLE = 1.93 dB/Okt
Kork
SLE = 0.67 dB/Okt.
Nach Gleichung (184) ergeben sich dann die folgenden materialtypischen
mittleren Temperaturkoeffizienten für das Trittschall-Verbesserungsmaß:
oDLW
Qt
-
SI
-
PS /PU :
-
PA.
AD
dB
- 0.17
LW
Qt
dB
- 0.4
ADLW
Qt
= 0.87
oDLW
Kork
:
dB
.^
dB
- 0.3
7,7-C
At
Die positiven Faktoren deuten an, daß das Trittschall-Verbesserungsmaß
mit zunehmenden Temperaturen größer wird. Ganz grob geschätzt, können
also bei 0° C um 10 dB geringere Körperschalldämm-Maße erreicht sein,
als bei Raumtemperatur.
Die angegebenen Werte sind selbstverständlich nur Richtwerte, die die
Größenordnung des Temperatureffektes angeben. Die angegebenen Werte
schwanken - insbesondere bei den Stoffen auf Silikon-Basis - von
Produkt zu Produkt beträchtlich. (Bei den SI-Stoffen: 0-0,4 dB/°C.)
Außerdem muß berücksichtigt werden, daß die angegebenen TemperaturKoeffizienten noch geringfügig abhängig von der Fugendicke und dem
Verlustwinkel sind. (Vergl. Bilder 98 - 104.)
262
9.2
Vorlastabhängigkeit und Formabhängigkeit
Nach Gleichung (25) (siehe Kapitel 2.2.5) verändert sich der effektive
E-Modul bei einer zusätzlichen statischen Vorbeanspruchung des Fugendichtmaterials entsprechend der relativen statischen Dehnung.
Nun werden Fugen in der Baupraxis so ausgelegt, daß ihre maximale
Verformung auf jeden Fall unter 25 % bleibt. Dies wird von den Fugendichtstoff-Herstellern auch als Obergrenze für eine Verformung ohne
bleibende Nachwirkungen angegeben.
25 % bedeuten eine Veränderung des Pegels des effektiven E-Moduls um
1 dB. Aufgrund der empirischen Beziehung von Gleichung (183) ergibt
sich, daß eine vorlastabhängige Veränderung des Trittschall-Verbesserungsmaßes auf jeden Fall kleiner als 2 dB ist.
Die Formfunktion gehorcht für Fugendichtstoffe näherungsweise der in
Kapitel 2.3 erläuterten Beziehung Gleichung (29). Geht man den
gleichen Weg eine Abschätzung des Trittschall-Verbesserungsmaßes, so
folgt, daß erst ein Breite/Dicke-Verhältnis einer linienhaften Fuge
von 2:1 (gegenüber einem Verhältnis von ( 1:1) eine Verschlechterung
des Trittschall - Verbesserungsmaßes um 3 dB bewirkt; ein Breite/DickeVerhältnis von 4:1 würde hingegen schon eine Verschlechterung von 9 dB
bewirken.
In der Regel aber (siehe DIN 18 540, [35]) ist die Breite einer FugenVerfüllung (parallel gemessen zu den Wandflächen) geringer als die Dicke
(senkrecht gemessen zu den Wandflächen).
9.3
Alterung
Vorausgesetzt, daß keine häufigen zu großen Lastwechsel und damit verbundene zusätzliche Ermüdungserscheinungen des Fugendichtmaterials auftreten, sind - nach der Vernetzungszeit - vermutlich keine altersbedingten Veränderungen im E-Modul-Verlauf und in einem bewerteten
Körperschalldämm-Maß zu erwarten.
Darauf deuten die vielfach wiederholten Messungen im Zeitraum von eineinhalb Jahren an ein und derselben Probe hin, die keine nennenswerten
Veränderungen des dynamischen Probenverhaltens zeigten.
263
9.4
Andere Beanspruchungsarten
Eine andere Beanspruchungsart als die bei den Messungen gewählte ist
die der Schub-Beanspruchung. Da Fugendichtmassen zu den praktisch
inkompressiblen Medien gehören, ist schon von vorneherein klar, daß
der Schubmodul G dreimal kleiner als der E-Modul ist (siehe Gleichung
(19) in Kapitel 2.2). Dies entspricht einer Pegelerniedrigung für den
tatsächlich wirksamen Modul um 5 dB. Wendet man darauf wieder die
empirische Beziehung, Gleichung (174) an, so folgt, daß - verglichen
mit der bisher betrachteten Dehn-Beanspruchung der Fugen - bei Schubbeanspruchung des Fugenmaterials das Trittschall-Verbesserungsmaß DLW
um 9 dB größer ist.
Diese Vergleichszahl hat - bei sonst gleichen Fugen-Geometrien durchaus allgemeine Bedeutung.
264
10.
ZUSAMMENFASSUNG UND BEWERTUNG
Moderne Fugendichtstoffe sind hochpolymere Kunststoffe mit viscoelastischen
Eigenschaften. Ihr dynamisches und damit akustisches Verhalten beschreibt
ein komplexer Elastizitätsmodul. Sein Realteil beschreibt das reinelastische Verhalten, sein Imaginärteil das viskose, das Dämpfungsverhalten.
Aus der Theorie der Viscoelastizität polymerer Stoffe ist bekannt, daß
dieser Modul im wesentlichen abhängig ist von der Frequenz und von der
Temperatur, wobei diese beiden Abhängigkeiten untereinander verknüpft
sind. Außerdem spielt bei Fugendichtstoffen die statische Vorbelastung,
die Verformungsamplitude, die Form und die Vorgeschichte ihrer Herstellung
und ihrer Verformungen eine Rolle.
Die Frequenzabhängigkeit der E-Module der Fugendichtstoffe spielt bauakustisch und für die erzielbare Körperschalldämmung die weitaus größte
Rolle. Sie wurde daher gemessen. Dabei wurden die Amplituden kontrolliert.
Die relative Weichheit der Fugendichtstoffe verbunden mit dem Erfordernis,
die E-Module im ganzen bauakustisch relevanten Frequenzbereich, also
auch bei relativ hohen Frequenzen zu messen, schlossen es aus, bekannte
Meßmethoden zu übernehmen.
Die Entwicklung einer geeigneten Meßapparatur und rechnerischen Meßauswertung erforderte daher den bei weitem größten Aufwand.
Am geeignetsten erschien von vornherein eine Impedanzmeßtechnik.
Auf kleine quaderförmige Fugendichtstoffproben wurden einseitig dynamische
Kräfte aufgebracht, und zwar bei harmonischer Schwingungsform von schrittweise erhöhter Frequenz. Kraft und Beschleunigung wurden gemessen.
Unter Berücksichtigung der vor der Probe mitschwingenden Massen ergab
sich zunächst auf einfache Weise der frequenzabhängige Verlauf des
E-Moduls. Es schien - wie erwartet - stark mit der Frequenz anzusteigen.
Dieses Ergebnis schien auch nachträglich die bei der Auswertung gemachte
Voraussetzung zu bestätigen, daß die Probe sich als Feder verhielte.
Außerdem war es glaubwürdig, weil es in Übereinstimmung mit LiteraturErgebnissen stand.
Zur Ermöglichung rationeller Reihenuntersuchungen wurde dann die Meßtechnik digitalisiert, ein Personalcomputer übernahm die rechnerische
Auswertung, Darstellung und Datenspeicherung.
265
Dies ermöglichte im zweiten Schritt eine - ursprünglich nur als Verfeinerung gedachte - rechnerische Meßauswertung, die nun auch den Fall
berücksichtigte, daß die Viertelwellenlänge der Dehnwellen in der Probe
bei hohen Frequenzen ihre Dicke unterschreitet, so daß die Probe nicht
mehr schlicht als Feder behandelt werden kann, sondern eine echte
Wellenausbreitung in der Probe stattfindet.
Die mathematische Lösung dieses Falles ist nicht direkt sondern nur durch
ein numerisches Iterationsverfahren möglich.
Die Anwendung dieses Verfahrens zeigte überraschenderweise, daß der
E-Modul der Testprobe weit weniger mit der Frequenz anstieg.
Dadurch wurde das Meßergebnis in extremer und nicht mehr hinnehmbarer
Weise von einer in die Rechnung eingehenden, aber zu ungenau meßbaren
Korrekturgröße, nämlich der Vormasse, bestimmt. Zur Eliminierung dieses
Einflusses mußte nun eine prinzipiell andere Meßanordnung aufgebaut
werden: Die dynamische Kraft mußte - unter Verzicht auf die geplante
Vielseitigkeit der Meßapparatur - hinter statt vor der Probe gemessen
werden. Dadurch mußte auch das mathematische Auswerteverfahren umgestellt
werden. Aus einer Korrekturrechnung wurde nun die entscheidende
rechnerische Auswertung. Wegen der Kompliziertheit dieses Verfahrens
wurde eine Fehlerrechnung angestellt, bei der auch alle anderen Fehlereinflußgrößen berücksichtigt wurden.
Diese zeigte, daß das Verfahren selbst bei hohen Meßfrequenzen noch zufriedenstellend genau arbeitet; ein zuverlässiges Meßverfahren stand nun
also zur Verfügung.
Aus den auf dem Markt befindlichen Fugendichtstoffprodukten wurden 32
hinreichend repräsentative Proben ausgewählt.
Für alle diese Proben konnte nun der komplexe E-Modul im bauakustischen
Frequenzbereich bestimmt werden. Einige vergleichende Untersuchungen zeigten, daß nicht nur das Berechnungsverfahren in sich richtig funktionierte,
sondern auch das zugrundeliegende vereinfachte Wellenmodell im allgemeinen
hinreichend und richtig ist.
Die Meßergebnisse zeigten ein nur schwaches frequenzabhängiges Ansteigen
der E-Module bei Fu g endichtstoffen auf Silikon-Basis, ein mittleres bei
solchen auf Polysulfid- oder Polyurethan-Basis und ein starkes bei denen
auf Polyacrylat-Basis.
266
In einem späteren Arbeitsabschnitt wurden aus den gewonnenen E-ModulMeßdaten mit Hilfe zweier vergleichsweise sehr einfacher KörperschallObertragungs-Modelle frequenzabhängige Körperschall-Transmissionsgrade
errechnet.
In Anlehnung an eine entsprechende Norm wurden hieraus zusätzlich jeweils
zwei pauschale Einzahlgrößen, das Trittschall-Verbesserungsmaß und eine
darauf bezogene mittlere Frequenzabhängigkeit abgeleitet.
Zunächst wurden typische Fugendichtstoffe in ihrem elastischen Verhalten
nur simuliert und daraus Körperschalldammgrößen errechnet.
Das Charakteristische an der Kdrperschallübertragungsfunktion ist ihre
Periodizität: Beträgt die Fugendicke - und das ist leicht möglich Vielfache der halben Wellenlänge, erreicht die Körperschallübertragung
bei der betreffenden Frequenz ein Maximum.
Dabei zeigte sich, daß die Schalldämmung in etwa gleichem Maße sowohl
mit abnehmendem Modul, als auch mit zunehmender Dämpfung des Fugenmaterials steigt; auch daß in der Regel - wenn auch schwächer - die Schalldämmung von der Fugendicke abhängt.
Die Einzeleffekte sind aber je nach ihrem Zusammentreffen unterschiedlich
stark ausgeprägt. Berücksichtigt man ferner noch die Frequenzabhängigkeit
der Schalldämmung, so erscheinen die Zusammenhänge recht kompliziert.
Dann wurden die frequenzabhängigen und pauschalen Körperschalldämm-Maße
aus den tatsächlich gemessenen Werten der E-Module der Fugendichtstoffe
errechnet.
Eine eingehende Korrelationsanalyse zeigte, daß zwischen
-
einem im ganzen bauakustischen Frequenzbereich gemittelten
E-Modul-Pegel,
-
seiner frequenzabhängigen mittleren Steigung und
-
dem Verlustwinkel des E-Moduls
einerseits und
-
dem Trittschall-Verbesserungsmaß und
-
seiner mittleren Frequenzabhängigkeit
andererseits enge Zusammenhänge bestehen.
267'
Eine Klassifizierung verschiedener Fugendichtstofftypen hinsichtlich ihrer
Körperschalldämmung ergab, daß die Stoffe auf Silikon-Basis - wenn auch
mit großem Streuungen - die höchsten Werte, Stoffe auf Polysulfid- oder
Polyurethan-Basis mit geringen Streuungen deutlich niedrigere Werte, und
solche auf Polyacrylat-Basis mit weitem Abstand die niedrigsten Werte
aufweisen. Ein Stoff aus Kork-Granulat erzielte einen der besten Schalldämmwerte.
Die Vernetzungsart hat jeweils keinen Einfluß darauf.
Im letzten Abschnitt wurden betreffs der vorgenannten Abhängigkeiten der
E-Module von anderen Parametern, die nicht gemessen wurden, noch einige
Abschätzungen vorgenommen.
So konnte eine mittlere Temperaturabhängigkeit der Körperschalldämmung
errechnet werden. Sie ist bei den Stoffen auf Silikon-Basis gering, bei
denen auf Polyacrylat-Basis sehr hoch. Änderungen von 10 dB sind leicht
möglich. Bei tiefen Temperaturen kann die Schalldämmung stark herabgesetzt sein.
Die Körperschalldämmung bei Schubbeanspruchung des Fugenmaterials ist im
allgemeinen um rund 9 dB besser als bei der gemessenen Dehnbeanspruchung.
Außerdem ist sie bei Biegewellenanregung der angrenzenden Wände - und
zwar insbesondere bei höheren Frequenzen damit, aber auch im Mittel besser als bei Longitudinalwellenanregung.
Alle anderen Abhängigkeiten sind praktisch vernachlassigbar.
Insgesamt zeigen die Ergebnisse, daß bei den meisten auf dem Markt befindlichen Fugendichtstoffen gute Schalldämmwerte zu erwarten sind.
Die tatsächlichen Werte hängen aber von der konkreten Einbausituation am
Bau und der Art der Wellenausbreitung und Schallübertragung. Diesbezügliche Experimente oder Berechnungen hätten den Rahmen dieses Forschungsvorhabens gesprengt und bleiben weitergehenden Untersuchungen vorgehalten.
Noch größere Aufmerksamkeit als der praktischen Ausführung von Fugen
am Bau ist der Kontrolle des E-Moduls der Fugendichtstoffe, und zwar im
ganzen bauakustischen Frequenzbereich, zu widmen, denn hierbei gibt es
unter den am Markt befindlichen Produkten große Streuungen, die sich mit
den bisher benutzten herkömmlichen Meßverfahren nicht bestimmen lassen.
268
Eine Entwicklung von neuen Fugendichtstoffen sollte - was die Körperschalldämmung betrifft - in die Richtung niedriger E-Module auch bei
hohen Frequenzen (entsprechend niedrigen Temperaturen) und gleichzeitig
in die Richtung hoher innerer Dämpfungen gehen.
Al
LITERATUR
I.
Gruppierung hochpolymerer Werkstoffe
[1]
DIN 7724, Gruppierung hochpolymerer Werkstoffe auf Grund der
Temperaturabhängigkeit ihres mechanischen Verhaltens, 1972
II.
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[2]
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dynamische Messungen, Kautschuk + Gummi, Kunststoffe
33. Jhrg. Nr. 10/80 (auch zu IV, V gehörig)
[3]
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schwingungsdämpfender Kunststoffe, ACUSTICA 11 (1961)
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Deutscher Verband für Materialprüfung, Beuth-Verlag, 1963 auch III
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BERT, C.W.: Material Damping: An introductory review of mathematical models and experimental techniques, Journal of Sound
and Vibration (1973), 29(2) (auch zu V gehörig)
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(auch zu V gehörig)
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III.
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[8]
OBERST, H.: Schwingungsdämpfende Copolymerisate mit optimierten
akustischen Eigenschaften in der Lärmbekämpfung, Hoechst AG,
1975 (auch zu II, VI, VII gehörig)
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OBERST, H.: Schwingungsdämpfende Kunststoffe aus optimal eingestellten Polymeren, Kolloid-Zeitschrift und Zeitschrift für
Polymere, Band 216-217 (1967)
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OBERST, H.; BECKER, G.W.; FRANKENFELD, K.: Ober die Dämpfung der
Biegeschwingungen durch fest haftende Beläge II, ACUSTICA 4 (1954)
(auch zu VI, VII gehörig)
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A1.2
IV.
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[11]
BATTERMANN, W.; KOHLER, R.: Elastomere Federung, elastische
Lagerung, Verlag Ernst & Sohn, München 1982 (auch zu VII gehörig)
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II, The Engineer, March 56, 1959
[13]
BECKER, G.W.: Ober das dynamisch-elastische Verhalten geschäumter
Stoffe, ACUSTICA 9 (1959) (auch zu V gehörig)
[2], [17]
V.
Me5verfahren zur Bestimmung dynamischer Module
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FLOCKE, H.A.: Ein Beitrag zur Messung der viscoelastischen Eigenschaften von Vulkanisaten unter technischer Schwingungsbeanspruchung, Kautschuk + Gummi, Kunststoffe, 34. Jhrg. Hefte 5/81
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VER, I.L.: Measurement of Dynamic Stiffness and Loss Factor of
Elastic Mounts as a Function of Frequency and Static Load;
NOISE CONTROL ENGINEERING, Nov/Dec 1974
[16]
CRANDALL, S.H.; KURZWELL, L.G.; NIGAM, A.K.; REMINGTON, P.J.:
Dynamic Properties of Modelling Clay; Acoustics and Vibration
Laboratory, MIT, Cambridge, Massachusetts, USA, 1970
[17]
DIN 53 513, Bestimmung der viscoelastischen Eigenschaften von
Elastomeren bei erzwungenen Schwingungen außerhalb der Resonanz,
1983, Anhang (auch zu IV gehörig)
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ANGIOLETTI, A.: Apparatur zur dynamischen Messung von Hysteresis
und Schubmodul von Vulkanisaten, Kautschuk + Gummi, 8. Jhrg.
Nr. 9/1955
[19]
DIN 53 445, Torsionsschwingungsversuch,
Prüfung von Kunststoffen, 1979
[20]
DIN 53 520, Torsionsschwingungsversuch,
Prüfung von Elastomeren, 1978
[21]
KAINRADL, P.; HÄNDLER, F.: Messung der dynamischen Eigenschaften
von Vulkanisaten, Kautschuk + Gummi, 11. Jhrg., Nr. 8/1958
[22]
DIN 53 426, Bestimmung des dynamischen Elastizitätsmoduls und
des Verlustfaktors nach dem Vibrometerverfahren, 1968,
zurückgezogen 1980
[23]
DIN 52 214, Bestimmung der dynamischen Steifigkeit für schwimmende
Estriche, 1976
A2
Liste der versuchsbeteiligten Firmen
1.) Bostik GmbH
Postfach 1260
6370 Oberursel/Ts.
2.) Ceresit GmbH
Postfach 1169
4740 Unna
3.) Hanno =Werk
Julius-Fengler- Straße 53
3014 Laatzen 4
4.) Henkel-Werke
Henkelstraße 67
4000 Düsseldorf 13
5.) Lechler- Chemie GmbH
Postfach 1209
7502 Maisch
6.) Perennatorwerk
Alfred Hagen GmbH
Postfach 13 03 32
6200 Wiesbaden-Schierstein
7.) Polychemie GmbH
Postfach 10 22 47
8900 Augsburg
8.) Remmers-Chemie GmbH & Co
Postfach 21
4573 Löningen
9.) Teroson GmbH
Hans- Bunte -Straße 4
6900 Heidelberg
10.) Wacker- Chemie GmbH
Johannes-Heß- Straße 24
8263 Burghausen
A3.1
Liste der Fugendichtstoffprobenpaare
A3
Firma
Nr.
Stoff
Nr.
1
1
1
1
1
2
3
4
1
1
1
1
SI
SI
PU
PA
2
2
2
2
1
2
3
4
1
1
1
1
PS
PU
SI
SI
3
3
1
2
1
1
SI
SI
4
4
4
1
2
3
1
2
1
SI
SI
SI
5
5
5
5
1
2
3
4
2
1
1
1
PS
SI
PU
PU
6
6
1
2
1
1
SI
SI
7
7
7
1
2
3
1
1
1
SI
SI
PU
P711KSI12
P721KSI12
P731KPU12
8
8
1
2
1
1
PU
KORK
P811KPU12
P82KORK12
sw.
kork
3, 6, 12, 24, 48
3, 6, 12, 24, 48
9
9
9
9
1
2
3
4
1
2
1
1
PA
PS
PU
SI
P911KPA48
P922KPS12
P931KPU12
P941KSI12
gr.
sw.
sw.
br.
3,
3,
3,
3,
6,
6,
6,
6,
10
10
10
10
10
1
2
3
4
5
2
1
1
1
1
PS
PS
PU
SI
SI
P012KPS12
P021KPS6
P03PU24
PO4SIB12
P05SIAl2
gr.
w.
w.
gr.
sw.
12,
6,
3,
3,
3,
24, 48
12
24
6, 12, 24
6, 12
Anzahl
Komponenten
1) SI = Silikon
Chem.'
Basis
PA = Polyacryl
PS = Polysulfid/Thiokol
PU = Polyurethan
Vernet- ` ProbenzungsName
art
Farbe
vorhandene
Dicken
[mm]
P11SI12
P12SI12
P13PU12
P14PAl2
gr.
gr.
gr.
gr.
3, 12, 24
3, 6, 12
3, 12, 24
3, 6, 12
P21PS12
P22PU12
P23SI12
P24SI12
gr.
sw.
sw.
sw.
3,
3,
3,
3,
A
B
P31SIAl2
P32SIB12
sw.
gr.
3, 6, 12, 24
3, 6, 12, 24, 48
Am
P411KSI12
P422KSI12
P43SI12
sw.
sw.
sw.
3, 6, 12, 24
3, 6, 12, 24
3, 6, 12, 24
P512KPS12
P521SIAl2
P531KPU12
P541KPU12
sw.
sw.
sw.
sw.
6,
6,
12,
6,
P61SIA6
P62SIB12
sw.
sw.
3, 6, 12, 24, 48
3, 6, 12, 24, 48
A
A
B
B
A
6,
6,
6,
6,
12,
12,
12,
12,
12,
12,
24,
12,
24, 48
24
24
24
24
24, 48
48
24
transp. 6, 12, 24
sw.
6, 12, 24
sw.
6, 12, 24
12,
12,
12,
12,
24,
24,
24,
24,
48
48
48
48
2) A = Acetat-Vernetzung (sauer)
B = benzamid-Vernetzung (neutral)
Am = Amin-Vernetzung (basisch)
Die in dieser Liste verwendete Firmennumerierung stimmt nicht mit der
Numerierung in der Liste der versuchsbeteiligten Firmen überein.
A3. 2
Bilanz zur umseitigen Liste der Fugendichtstoffprobenpaare
(nach chem. Basis klassifiziert):
17 mal Silikon, davon 4 acetat-, 3 benzamid-, 1 amin-vernetzend,
Rest unbekannt
8 mal Polyurethan,
5 mal Polysulfid,
2 mal Polyacrylat
1 mal Korkgranulat
insgesamt 33 chemisch verschiedene Probengruppen.
A1.3
[24]
TOBISCH, K.: Ober den Zusammenhang zwischen Härte und Elastizitäts-Modul bei Elastomeren, Kautschuk + Gummi Kunststoffe 34
Jhrg. 34, Nr. 2/81
[25]
DIN 50 014, Normalklimate, 1975
[2], [5], [6], [13]
VI.
Biegeschwingungsversuche
[26]
OBERST, H.; BECKER , G.W.; FRANKENFELD , K.: Ober die Dämpfung
der Biegeschwingungen durch fest haftende Beläge I,
ACUSTICA (1952) Heft 4, Anhang, (auch zu VII gehörig)
[27]
SCHWARZL, F.: Forced Bending and Extensional Vibrations of a
Two-Layer Compound Linear Viscoelastic Beam, ACUSTICA 8 (1958)
[28]
DIN 53 440 Biegeschwingungsversuch
(Prüfung von Kunststoffen und schwingungsgedämpften geschichteten Systemen, Allgemeine Grundlagen zur Bestimmung der
dynamisch-elastischen Eigenschaften stab- und streifenförmiger
Probekörper, 1973
[29]
KURZE, U.: Verlustfaktormessungen an Probestäben,
ACUSTICA 31, (1974)
[8], [9], [10]
VII.
[30]
CREMER, L.: Vorlesung über Technische Akustik,
Springer-Verlag 1971
[31]
CREMER, L.; HECKL, M.: Körperschall, Springer-Verlag, 1967
[32]
EXNER, M.L.: Schalldämmung durch Gummi- und Stahlfedern,
ACUSTICA 2 (1952)
[33]
KUHL, W.; SCHRODER, F.-K.; Dämmung federnd gelagerter Balken,
ACUSTICA 4 (1954)
[34]
DIN 52 210, Teil 4; Luft- und Trittschalldämmung,
Ermittlung von Einzahl-Angaben, 1984
[8], [9], [10], [11], [26]
VIII. Fugendichtungsmassen
[35]
DIN 18 540, Abdichten von Außenwandfugen im Hochbau
mit Fugendichtungsmassen
A4.1
A4
i
i 1 lila
Nr.
-
Weitere Eigenschaften und Anwendungen der ausgewählten
Fugendichtstoffe
JI.VI I-
Nr.
UI 1.11LC
LUI QJJ IC
[g/cm3]
Gesamtver-
formung
[%]
1
1
(1 22
1
3
1
4
-
A nga b e u b er
Alterungs-
beständigkeit
-
ICIIIIJCI
aLUI -
-
ruIWCIIUUIIyCII
beständigkeit
[ °C von -bis]
15
20
25
15
x
x
x
x
U
F, S
)
W
F, T, W-Rißsanierun q bei
starker DehnBeanspruchung
2
2
2
2
1
2
3
4
1,7
1,1
1,0
1,1
25
20
20
25
x
x
x
x
-30
-30
-65
-65
3
3
1
2
1,05
1,17
25
25
x
x
-50 - 150
-50 - 100
F
F, T
4
4
4
1
2
3
1,16
x
-50 - 180
F, S
5
5
5
5
1
2
3
4
x
x
x
x
-30
-50
-40
-40
F,
F,
W,
W,
6
6
1
2
7
7
7
1
2
3
1,02
1,15
1,15
8
8
1
2
1,2
0,35
9
9
9
9
1
2
3
4
10
10
10
10
10
1
2
3
4
5
25
25
25
25
1,3
1,2
25
25
1,6
1,5
-
-
90
80
165
165
90
150
80
70
x
Farbstabil
F, T, W
W
F, S
W, F
T,
T,
F,
F,
W
S
T
T
W, S, F
W, S, F
-30 - 70
-30 - 120
F, T
W, F, T
25
25F/15W
-30 - 80
-30 - 80
W, F
W, F
25
25
-40 - 100
-40 - 150
W, F
F, S
20
25
1,3
1 -1,3
x
i) W = Wände, T = Türen, F = Fenster, S = Sanitär, U = Unterwasser
2) keine vorliegende Messung
Anwendungshäufigigkeit von 22 Stoffen mit Angaben: 15
9
19
7
mal
mal
mal
mal
W/U
T
F
S
A5.1
A5
Herleitung der Formel für die komplexe Trägheit stabförmiger
viscoelastischer Proben vor starrer Rückbefestigung bei Kraftund Beschleunigungsmessung vor der Probe
Voraussetzungen:
-
räumlich-eindimensionale Betrachtung, d.h. die Probe ist quer zur
Dehnwellenausbreitungsrichtung schmal und konstant breit
(Breite 4( x /2),
es entstehen keine Querschwingungsmoden;
-
der eingesetzte komplexe E-Modul braucht nicht mit einer Formfunktion korrigiert zu werden, die Probe ist aber in jedem Fall
wesentlich schmaler (quer zur Ausbreitungsrichtung) als dick
(längs zur Ausbreitungsrichtung);
-
lineares Probenverhalten, Elastizität und Viscosität (Dämpfung)
werden durch einen komplexen (u.U. frequenzabhängigen) E-Modul
beschrieben;
-
die Dichte ist eine reelle Größe Po;
-
harmonische Schwingungen der Frequenz f, daher Berechnung nur bei
einer Frequenz notwendig, reelle Kreisfrequenz w, komplexe Wellenzahl k, komplexe Ausbreitungsgeschwindigkeit c
e+jwt -Konvention für alle zeitabhängigen Größen, daher Imaginärteil von E positiv, von c positiv, von k negativ;
-
Messung dynamischer Kraft und Beschleunigung (axial, d.h. in
x-Richtung bei x = d) an der Probenvorderseite;
-
Totalreflexion an Probenrückseite wegen starrer Proben-Rückbefestigung.
A5.2
Messung a F
Rückbefestigung
Frequenz w
üuerschnittsfi ache S
Dicke d
x
Bild 39: Beschleunigungs- und Kraftmessung an Probenvorderseite bei
x=d , starre Rückbefestigung
Schnelle - Verteilung in der Probe allgemein:
v
kx)
(x,t) = vl e j (wt + —
- v^
((At •je
kx )
(65)
v l = Amplitude ankommender (nach "links") laufender Wellen
v2 = Amplitude reflektierter (nach "rechts") laufender Wellen.
Falls Totalreflexion an starrer Tückwand, ist wegen v(o,t) = o
v l = + v 2 = v 0/2 , und (69) spezialisiert sich zu
(66).
v(x,t) = jvo • sin kx . ejwt
Aus der allgemeinen Bewegungsgleichung für die ebene Welle im homogenen
Medium
dp
dv
dx
po dt
(67)
folgt daraus die Druckverteilung
p (x,t) = - v
o • p0 k cos kx
• e,]wt
(68),
A6.1
A6
Herleitung der Formel für die komplexe Trägheit stabförmiger viscoelastischer Proben vor nicht -starrer Rückbefestigung bei Kraftund Beschleunigungsmessung vor der Probe
Voraussetzungen:
-
Dehnwellenausbreitungsrichtung schmal und konstant (Breite << x/2),
-
-
beschrieben;
-
die Dichte ist eine reelle Größe Po;
-
e +Jwt -Konvention für alle zeitabhängigen Größen, daher Imaginärteil
von E positiv, von c positiv, von k negativ;
Messung dynamischer Kraft und Beschleunigung (axial, d.h. in
-
x-Richtung) an der Probenvorderseite;
die Proben-Rückbefestigung (vgl. Bild 39 in A5) hat eine end-
-
liche frequenzabhängige komplexe Trägheit 2 .11 (in A5: 2.11 + .)
und damit einen komplexen (von 1 verschiedenen) Reflektionsfaktor r.
Mit der allgemeinen Formulierung einer Schnelle-Verteilung in der Probe
(65 in A5) ist dann per Definition von r:
V
2
= r • v 1 = r • v o,
A6.2
und die Schnelle-Verteilung lautet
v (x,t) = vo ( e J(w
t + kx) - r ej(wt - kx))
(79).
Die Druckverteilung folgt dann wieder aus der Bewegungsgleichung (67):
p (x,t) _ -
P
(e j(wt + kx )
(wt - kx))
+ r e3
o TTvo
(80).
Die komplexe Trägheit m, meßbar an der Probenoberfläche S im Abstand d
vor der Rückbefestigung ergibt sich wieder wie in A5 nach (72), wobei
die Beschleunigungsverteilung a (x,t) = jw v (x,t) ist; mit der Abkürzung
q = k d, (73) und der Probenmasse folgt dann analog für die meßbare
komplexe Trägheit mp = po•S•d
e + jg + r e - jg
m=-jmp/g' e +
(81).
- re - ig
Nun ist es zweckmäßig, eine Differenzwellenzahl 20 derart zu definieren,
daß
(82),
also
ein Ersatz für den Reflektionsfaktor r, ein "Reflexionsgrad-
Exponent" ist.
Setzt man dies in (81) ein, kürzt Zähler und Nenner mit e jgo , so lassen
sich beide - jetzt allerdings für das neue Argument (g - q) - wieder zu
den trigonometrischen Funktion Cosinus und Sinus zusammenfassen, woraus
dann
- formal ähnlich mit der Endformel (76) in A5 bis auf eine "Phasenverschiebung"
- für die komplexe Trägheit folgt:
cot (g m= - m p • g0)
mit g o = g o (g, m h , m p )
(83).
Hierbei muß man sich aber vergegenwärtigen, daß 9.o eine direkte Funktion
des Reflexionsgrades r ist, und r wiederum eine Funktion von g, 1111 und mp .
A6.3
Zunächst ist in Umkehrung von (82)
1
go = 2j lnr
(84)
bzw. komponentenweise
q 1 = 1/2 • atn (r
(84a)
2 + r22)
9 2 = - 1/4 in (r 1
(84b)
Der Reflexionsgrad r bestimmt sich daraus, daß an der Stelle x = o die
Trägheitsfunktion m gleich der Rückbefestigungs-Trägheit mh sein muß.
Dann gilt also - weil g = o ist - der Spezialfall von (81):
1 + r
21,1- i m p
/g•
(85).
1 - r
Definiert man das offenbar bedeutsame komplexe Trägheitsverhältnis
"Rückbefestigung / Probenmasse" zu
(86),
mh/mp
so ergibt sich in Umkehrung von (85) der Reflexionsgrad r zu
j2_241 - 1
r
(87).
jq nn
Zusammengefaßt läßt sich also die meßbare Trägheitsfunktion m aus der
relativen Wellenzahl q, der Probenmasse mp und der komplexen Rückbefestigungsträgheit
a
berechnen durch Nacheinander-Anwendung der
Gleichungen (86), (87), (84) und (83).
Es läßt sich ferner zur Probe nachweisen, daß, wenn die Rückbefestigung
reinen Federcharakter hat, also
mh = - K /w2
ist, und wenn auch die Probe selbst für
a ; o Federcharakter bekommt,
A6.4
(Federkonstante Kam), die Gesamtanordnung sich tatsächlich wie eine Reihenschaltung aus zwei Federn verhält, d.h., daß die effektive Federkonstante
Kg = - w 2 m dem Gesetz gehorcht:
_^ •^
K
^
}^
Formelansatz (81) ist also konsistent mit diesem wichtigen Spezialfall.
A7.1
A7
Entwicklung der Formeln von A5 und A6 zur Anwendung im
Iterationsverfahren CCOTQQBINV
Das Iterationsverfahren ist ein Newton'sches Approximationsverfahren
(Tangenten-Verfahren) zur Bestimmung von q aus der Funktion m (g, mp, mim)
bei vorgegebener (gemessenem) m. Es muß daher die 1. (partielle) Ableitung sm (g)/sg berechnet werden.
Im Falle der starren Rückbefestigung (m i -. co) folgt durch Ableitung von
(76) in A5 die "Steigung"
s m (g)
S(a) =
sg
- + mp • (
cot g
g2
1
+
sin n g • g )
(88)
mit m = ^.
Im Falle der nicht-starren Rückbefestigung müßte analog Gleichung (83)
in A6 vollständig nach g abgeleitet werden, d.h. es müßte auch die
indirekte Abhängigkeit des Reflexionsgrad-Exponenten En von g berücksichtigt werden. Nun liegt aber der Reflexionsgrad r in der Praxis immer
sehr dicht an 1,
also umso dichter an 0 und hängt nur schwach von g
ab. Es wird daher näherungsweise auf die Anwendung der Kettenableitung
verzichtet (die ohnehin nicht direkt auf (83) anwendbar ist).
Gleichung (83) leitet sich dann analog ab wie (76):
S (g) = mp • (
cot (g - so)
g2+
wobei die Beziehungen zwischen 20 , r,
sin 2 (9 - go)
•1
(89),
und g (Gleichung 84 - 87) auf-
recht erhalten bleiben.
Ist g' eine bereits gefundene Wellenzahl für einen Meßwert m'(q'), und
liegt die Wellenzahl für einen zweiten Meßwert m" mutmaßlich dicht
neben g', (ist q' die 0. Näherungslösung von m") so kann in 1. Näherung,
bzw. per Taylorreihenentwicklung bis zum 1. Glied, m" dargestellt werden
als
m" (g") = m' (g') + S (g') • (g" -9.1)
(90).
A7. 2
Damit ergibt sich als 1. Näherungslösung von m"
m'
(91).
(q" entspricht bildlich demjenigen g-Wert, an dem die an die Kurve
m (g) in g' angelegte Tangente der Steigung S (g') den Wert m" einnimmt,
d.h. eine durch m" auf der m-Achse zur q-Achse horizontale Gerade
scheidet.)
Das Verfahren läßt sich dann iterativ fortsetzen, indem g" + .11 gesetzt wird
und erneut - nach (83), (89) und (91) - die nächstbessere Lösung g"
berechnet wird. (Dabei ergibt sich ein neues S und ein neues m'). Das
Verfahren wird abgebrochen, wenn der Meßwert m" hinreichend genau mit
der Funktion m' (g') übereinstimmt, d.h.
m " - m'
m II
e
ist, wobei e z.B. zu 10 —6 gesetzt wird.
(92)
A8.1
A8
Herleitung der Formel für die komplexe Trägheit stabförmiger
viscoelastischer Proben vor starrer Rückbefestigung bei Kraftmessung hinter und Beschleunigungsmessung vor der Probe
Voraussetzungen:
-
Dehnwellenausbreitungsrichtung schmal und konstant breit
(Breite 4< x/2), es entstehen keine Querschwingungsmoden;
-
-
beschrieben;
-
die Dichte ist eine reelle Größe po;
-
e +Jwt -Konvention für alle zeitabhängigen Größen, daher Imaginärteil von E positiv, von c positiv, von k negativ;
-
Messung dynamischer Kraft an der Probenrückseite und Beschleunigung
an der Probenvorderseite (axial, d.h. in x-Richtung von der Rückseite aus gemessen); (siehe Bild 55, Kapitel 5.4.1)
-
Totalreflexion an Probenrückseite wegen starrer Proben-Rückbefestigung.
Schnelle-Verteilung in der Probe allgemein:
v(x,t) = v l
ej (wt + kx) -
, e j (wt - kx)
(65)
3 1 = Amplitude ankommender (nach "links") laufender Wellen
3 2 = Amplitude reflektierter (nach "rechts") laufender Wellen.
A8.2
Falls Totalreflexion an starrer Tückwand, ist wegen v(o,t) = o
v l = + v2 = v 0 /2 ,und (69) spezialisiert sich zu
v(x,t) = jvo • sin kx • ejwt (66).
Aus der allgemeinen Bewegungsgleichung für die ebene Welle im homogenen
Medium
S p
öv
6x = - Po 6 t
(67)
folgt daraus die Druckverteilung
p (x,t) _k cos kx • eiwt
vo po
(68),
welche sich mit der Dispersionsrelation für die Phasengeschwindigkeit
(69)
umschreiben läßt in
p (x,t) = - v o • po-c • cos kx • ejwt
(70).
Die Beschleunigungsverteilung ergibt sich aus (66) durch
Differentiation:
a (x,t) = - w v o • sin kx • ejwt
(71).
Nun ist formal die von außen meßbare komplexe "Obergangs-Trägheit" m,
bei Messung der Beschleunigung vor der Probe bei x = d und der Kraft
hinter der Probe bei x = o mit der Probenoberfläche S
p (o,t)
m = -
S •a (d,t)
(103).
A8.3
Mit Einsetzung der Druck- und Beschleunigungsverteilung (70) und (71)
und mit der Abkürzung
a= k • d
(73)
als eine kom p lexe dimensionslose Wellenzahl (Helmholtzzahl) und mit (69),
(73) und der Gesamtmasse des Probekörpers
m p = S • d • p o
(75)
folgt schließlich die Wellenzahl-abhängige komplexe Trägheit
- m
m (a) =
p
g • sin g
(104)
Alternative Herleitung von Gleichung (104)
In der Vierpoldarstellung (siehe Bild 55 in Kapitel 5.4.1) ergibt sich per
Analogschluß aus bekannten Formeln der Leitungstheorie dieses Ergebnis
weil im Fall der Kraftmessung hinter Probe die Trägheit
23
m 1 am Eingang des Vierpols unbedeutend und die gleiche Trägheit m 1 am
direkt für m
Ausgang des Vierpols im Falle der starren Rückbefestigung kurzgeschlossen
ist.
A9.1
A9
Herleitung der Formel für die komplexe Trägheit stabf örmiger viscoelastischer Proben vor nicht-starrer Rückbefestigung bei Kraftmessung
hinter und Beschleunigungssmessung vor der Probe
Voraussetzungen:
-
Dehnwellenausbreitungsrichtung schmal und konstant (Breite (< x/2),
-
-
werden durch einen komplexen (u.U. frequenzabhangigen) E-Modul
beschrieben;
-
die Dichte ist eine reelle Größe po;
-
e
+JWt-
Konvention für alle zeitabhängigen Größen, daher Imaginärteil
von E positiv, von c positiv, von k negativ;
-
Messung dynamischer Kraft an der Probenrückseite und Beschleunigung
an der Probenvorderseite (axial, d.h. in x-Richtung von der Rückseite aus gemessen); (siehe Bild 56 in Kapitel 5.4.1)
-
die Proben-Rückbefestigung (vgl. Bild 39 in A5) hat eine endliche
frequenzabhängige komplexe Trägheit
(in A5: m }I } co) und damit
einen komplexen (von 1 verschiedenen) Reflektionsfaktor r;
-
hinter der Probe aber noch vor dem Kraftaufnehmer eine Masse my
(vgl. Bild 56, Kap. 5.4.1).
Mit der allgemeinen Formulierung einer Schnelle-Verteilung in der Probe
(65 in A5) ist dann per Definition von r:
v
2
=r • v=r
•vo,
A9.2
und die Schnelle-Verteilung lautet
t + kx) - r e j (wt - kx) )
v (x,t) = vo (e J ( w
(79).
Die Druckverteilung folgt dann wieder aus der Bewegungsgleichung (67):
(e J(w t + kx) + r e j(wt - kx))
v
p ( x , t ) = - p o -421
k o
—
(80).
Die formal komplexe von außen meßbare "Obergangs-Trägheit" m an der Probenoberfläche S im Abstand d vor der Rückbefestigung ergibt sich ähnlich wie
in A7 nach
g (o,t) - m y • a (o,t)
m= - S •
—
(103b),
a (o,t)
wobei die Beschleunigungsverteilung a (x,t) = jw v (x,t) ist; mit der
Abkürzung q = k d, (73) und der Probenmasse folgt dann analog für die
meßbare komplexe Trägheit mp = P o . S • d
(1 + r) - m y (1 . r
(105).
Q
Mit der Differenzwellenzahl q , definiert nach A6 durch
r = e ^2go
(82),
eingesetzt in (105) lassen sich Zähler und Nenner nach Kürzung mit
e rgo wieder zu den trigonometrischen Funktionen Cosinus und Sinus
zusammenfassen, woraus dann - formal ähnlich mit der Endformel (104)
in A8 bis auf eine "Phasenverschiebung"
- für die komplexe Trägheit folgt:
-m
m
g
• cos q
o• +
sin (g -
Hierbei ist
my • sin q o
mit g o = g o ( g , m h , m p )
g o)
(106).
wieder eine direkte Funktion des Reflexionsgrades r; und r
wiederum eine Funktion von g,
2,1
und mp .
A9.3
Zunächst ist in Umkehrung von (82)
q =
^
1
2j
ln
r
(84)
bzw. komponentenweise
q l = 1/2 • atn (r2/rl)
(84a)
q 2 = - 1/4 ln (r 1 2 + r22)
(84b)
Der Reflexionsgrad r bestimmt sich nach (85) in A6 wieder daraus, daß an
der Stelle x = o die Trägheitsfunktion m gleich der RückbefestigungsTrägheit
a
sein muß.
Dann ergibt sich zunächst formal wie in (87) der Reflexionsgrad r zu
jx - 1
r
jx +1
(107)
mit x als einer komplexen Hilfszahl; diese ist dann auch wieder gleich
dem Produkt aus einem Massenverhältnis ng und der komplexen Wellenzahl
x = n9
•g
g:
(108).
Das entscheidende komplexe Trägheitsverhältnis "Rückbefestigung / Probenmasse" ist jetzt
n
g
= m
g/
mp
(109)
wobei zur Rückbefestigungsträgheit nun auch die noch vor dem Kraftaufnehmer
aber hinter der Probe mitschwingende Masse my zählt:
m g = m h + my(110).
Zusammengefaßt läßt sich also die meßbare Trägheitsfunktion m aus der
relativen Wellenzahl q, der Probenmasse mp, der Vor-Masse my und der
komplexen Rückbefestigungsträgheit a berechnen durch NacheinanderAnwendung der Gleichungen (110), (109), (108), (107), (84) und (106).
A9.4
Alternative Herleitung von m(q) mittels der Vierpoldarstellung (siehe
Bild 56 in Kapitel 5.4.1)
Die gesamte ausgangsseitige Trägheit der parallelgeschalteten Trägheiten mh, my und m 1 sei vorweg abgekürzt mit
m3=m
+
hmv+ml
Damit ergibt sich die eingangsseitige eingeleitete Kraft F' aus der
Eingangsbeschleunigung a und der effektiven Trägheit der in Reihe
geschalteten Trägheiten m 2 und m 3 zu
-1 + m 3 - 1 ) -1
F' = a • (m 2
(112).
Die Beschleunigung a' auf der Rückbegestigung ist
a' = F' • (m 3 ) -1
(113).
Aus (112) und (113) folgt die Beschleunigung-Obertragungsfunktion
m 2
a' / a - —
—
(m2+m 3)
(114).
Die direkt vor der Rückbefestigung meßbare Trägheit ist
F = a' • m h
(115)
und damit ist die gesuchte Obertragungs-Trägheit
F
mh •
m2
m a ( m 2 + m 3)
(116),
oder, falls m 3 nach (110) und (111) ausgeschrieben wird,
m
Mh
•m2
( m 1 + m 2 + mg )
(117).
A9.5
Damit ist die gesuchte Trägheit m analog den Kirchhoff'schen Regeln aus
den Komponenten-Tragheiten abgeleitet.
Nun sind per Analogschluß aus bekannten Formeln der Leitungstheorie die
Ersatzträgheiten m 1 und m 2 auf folgende Weise Funktionen der komplexen
relativen Wellenzahl g und der gesamten Probenmase mp:
-m p
l
q
m
m2
- 1
cos g
(118)
sin q
- m
1
g
sin g
(119)
Es ist also
m
l
- m p
cos q
g
sin q
+ m2
(120).
Setzt man dies, (119) und (120), in die Bestimmungsgleichung von m, (117),
ein, so folgt per Brucherweiterung mit (g • sin q) und Kürzung mit
a
das
Ergebnis:
mp
-
m (g) =
-
(121).
m
m
cos _g_
• q • sing
Stimmt das Ergebnis aus der elementaren Wellentheorie (Gleichung (106)) mit
dem aus der Leitungstheorie (Gleichung 121) überein?
Durch die Brucherweiterung von der aus der Leitungstheorie hergeleiteten
Formel (121) mit -
a
/ mp folgt
(122).
cos q - -g .g. sin q
Durch Rückwärtsanwendung von (110), (109) und (108) läßt sich der Zähler
in (122), a , und der Faktor (mg / mp • q) im Nenner von (122) umformen,
so daß aus (122) wird:
A9.6
—m
g
P •• x + m
— v
x • sin g - cos g
(123).
Wird nun auch Gleichung (107) für den Reflexionsfaktor r rückwärts angewandt,
(1 + r)
x = - J •
(1 - r)
(124) ,
und die Beziehung zwischen r und An , Gleichung (82), dabei ausgenutzt, so
daß sich nun schreibt
x = cot go
(125),
so folgt aus (123) nach Erweiterung mit sin An -m
cos q + m y sin qo
m (q) - cos go sin g - sin ge • cos
(126)
Nach einem bekannten Winkeladditionstheorem läßt sich dann der Nenner von
(126) zusammenfassen, so daß aus (126) die schon aus der Wellentheorie
direkt hergeleitete Formel
- m
P cos
q
m (q) =
qo + m y sin go
sin (g -go)
wird, was zu beweisen war.
Fraunhofer- Institut for Bauphysik
(106)
A10.1
A10
Entwicklung der Formeln von A8 zur Anwendung im Iterationsverfahren IPITISINQR
Das Iterationsverfahren ist ein Newton'sches Approximationsverfahren
(Tangenten-Verfahren) zur Bestimmung von q aus der Funktion m (g, mp,
mkt ) bei vorgegebenem (gemessenem) m. Es muß daher die 1. (partielle)
Ableitung öm (g)/ög berechnet werden.
Im Falle der nicht-starren Rückbefestigung müßte Gleichung
- m p cos go
+ m y • sing o
sin
(g -
g 0)
mit g o = g o (g,
m h , m p , m v )
(106).
vollständig nach g abgeleitet werden, d.h. es müßte auch die indirekte
Abhängigkeit des Reflexionsgrad-Exponenten
von a berücksichtigt werden.
Nun liegt aber der Reflexionsgrad r in der Praxis immer sehr dicht an 1,
_qo also umso dichter an 0 und hängt nur schwach von g ab. Es wird daher
näherungsweise auf die Anwendung der Kettenableitung verzichtet (die
ohnehin nicht direkt auf (83) anwendbar ist). Gleichung (106) leitet
sich dann, analog wie (83) in A27 unter Benutzung von Z für den Zähler
und N für den Nenner von (106) nach der Quotientenregel ab:
cos go
S (g) = ( m p • 2 • N - Z • cos (g - go )) / N
2
(127),
_1
wobei die Beziehungen zwischen go , r, mil und g (Gleichung 84 - 87) aufrecht
erhalten bleiben.
Ist g' eine bereits gefundene Wellenzahl für einen Meßwert m' (g'), und
liegt die Wellenzahl für einen zweiten Meßwert m" mutmaßlich dicht neben
g', (ist g' die 0. Näherungslösung von m") so kann in 1. Näherung, bzw.
per Taylorreihenentwicklung bis zum 1. Glied, m" dargestellt werden als
m " (g") = m' (g') + S (g') •
(a." - g')
(90).
Damit ergibt sich als 1. Näherungslösung von m"
m"
WI
-
=al
+
m
(91).
S
A10. 2
(g" entspricht bildlich demjenigen
g-Wert,
an dem die an die Kurve
m (g) in g' angelegte Tangente der Steigung S (g') den Wert m" einnimmt,
d.h. eine durch m" auf der m-Achse zur g-Achse horizontale Gerade
scheidet.)
Das Verfahren läßt sich dan iterativ fortsetzen, indem g"
+a . gesetzt
wird und erneut - nach (106) (127) und (91) - die nächstbessere Lösung q"
berechnet wird. (Dabei ergibt sich ein neues S und ein neues m'). Das
Verfahren wird abgebrochen, wenn der Meßwert m" hinreichend genau mit
der Funktion m' (g') übereinstimmt, d.h.
m"
—
m'
m^ ^
4
(92)
e
ist, wobei e z.B. zu 10 —6 gesetzt wird.
Nachtrag:
Unter Ausnutzung der per Leitungstheorie hergeleiteten, vollständig
emplizit q-abhängigen Formel für die Obertragungs-Trägheit
- m
mh
P
(121)
• cos g + - •
g sin
q
P
ließe sich auch die vollständige partielle Ableitung von m (g) nach
g,
die Steigung S , bei Verwendung des berechneten m (q) selbst (s. A9),
bestimmen zu
m 2
S(g)
=m
m
•( m
p • sin
p
(m
g
= m
V
m
a
(sin q +gcos g))
(128)
—h
m
+ m },^ nach (110).)
Diese Verbesserung bleibt weiteren Entwicklungsschritten des Meßverfahrens
vorbehalten. Eine Verbesserung der Konvergenz des Iterationsverfahrens bei
der Hauptresonanz der Probenrückbefestigung bei 100 Hz ist damit zu
erwarten.
A11.1
All
Herleitung der Fehlerfortpflanzungsformeln für die Bestimmung des
komplexen E-Moduls aus der Messung der komplexen Trägheit stabförmiger viscoelastischer Proben vor nicht starrer Rückbefestigung
bei Kraftmessung hinter und Beschleunigungsmessung vor der Probe
(Mathematik zum Unterprogramm FEHLISINQR)
Der komplexe E-Modul wird aus den folgenden Größen mit zugehörigen Fehlergrößen bestimmt:
Nach der Gleichung
E=p 0 •w2d2/q2
(94)
(Siehe Kapitel 4.8.1) aus
-
der Dichte p o des Probekörpers, welche sich ihrerseits
aus
-
der Probenmasse mp mit Relativfehler r p,
-
der Querschnittsfläche S (praktisch ohne Fehler) und
-
der Dicke d (praktisch ohne Fehler) ergibt,
-
der Kreisfrequenz w (praktisch ohne Fehler),
-
der Dicke d (praktisch ohne Fehler, implizit nur zur 1. Potenz
enthalten) und
-
der komplexen relativen Wellenzahl E mit dem komplexen Fehler
AA_
als der zentralen Größe.
Die komplexe relative Wellenzahl E wird ihrerseits - indirekt durch das
Iterationsverfahren - bestimmt durch die Gleichung (121): (welche der
Gleichung (106) in Anhang 8 vorgezogen wird wegen der vollständig expliziten g-Abhängigkeit)
-m
P
m (E) - P
m
—h
mit
^ = mh + mv
(121)
cos g+^g
sin E
—h
(110).
A11.2
Damit wird g bestimmt durch
-
die gemessene komplexe Trägheit m mit dem relativen Betragsfehler r und dem Phasenfehler o.,
-
die Probenmasse mp mit dem Betragsfehler rp,
-
die hinter der Probe aber vor dem Kraftaufnehmer noch mitschwingende Vor-Masse my mit dem Betragsfehler rv,
-
die (simulierte) komplexe Trägheit der nicht-starren Rückbefestigungl mit dem relativen Betragsfehler rh und dem Phasenfehler
A.h.
Zusammengefaßt gibt es also für die Bestimmung des komplexen E-Moduls
die sechs Fehlereinflußgrößen rp, r, A., ry, rh, o4h, wobei rp zweimal
Einfluß hat, (wie man sehen wird, Einflüsse, die sich zumindest bei
niedrigen Frequenzen, also niedrigem q herausheben).
Der entscheidende Fehlereinfluß wird im komplexen Fehler
og von g zu-
sammengefaßt.
Jede Fehlerfortpflanzungsrechnung basiert auf der Bildung des totalen
Differentials bezüglich aller Fehlergrößen. Das totale Differential
für m (g) lautet
am
am
dm = g
a • ag +
amp
am
am
• am p + am
•
a^
(129).
+ am v • am v
Die darin enthaltenen vier partiellen Ableitungen als Quotienten von
Relativfehlern ausgedrückt, seien mit
Dm
U
q
ag • m' ^
m p
am •
am p
•
••
am
m'
^
m^
am^•m '
am • my
U am y
—v
•
(130)
m—
abgekürzt.
Die vier partiellen relativen Differentiale U berechnen sich aus der
Ausgangsgleichung (121) von m (g) (unter Ausnutzung der berechneten
Werte von m selbst und von g) zu:
-
-
A11.3
m
m
m
- ( m sin g + m ^ (sin g + g cos g))
U^l
^—h
p
U = (1 -
(131a)
m
(131b)
cos g)
m
-fi •
U
- == (m • cos
my
m
-h p
-fi
m
m
- • m v•
U =—
p
g• sin
(131c)
sing)
(131d)
y
Die Ausgangsgleichung des totalen Differentials (129) läßt sich nun mit
der Definition der vier partiellen relativen Differentiale U (130) (nach
Division durch m) umschreiben in
Am
Am
M
= ^q •
Ag + U • m p
p
AM
AM
+
^ •
m
+
v
—v m v
(132).
Da die Zielgröße og ist, ist eine Division durch 111 notwendig. Die dann
außer og entstehenden vier Ausdrücke seien mit
F
Am
m• U
m
(133a)
—•-9
U
U p'
(133b)
h
h
•
m
•
U
— p —p '
(133c)
U
AMv• —v
m • U
v —p '
(133d)
F - — p
Am •
p —p .
mp •
om
F h
F — v
abgekürzt. Dann ergibt sich kurz
og = Fm -F-F-Fü
(134).
A11.4
Die aus dem totalen Differential abgeleiteten Gleichungen (132), (134)
gehen implizit von systematischen Fehlern aus. Bei (vorliegenden) quasistatistischen Fehlern sind grundsätzlich die Quadrate der Einzelf ehlergrößen zu addieren, dann wird aus (134) komponentenweise
2
2
2
2 1/2
aq l(
= F ml + F pl + F hl + F v1 )
(135)
aq2 - (Fm22 +
p2
+ F h2 2 + F v2 2 ) 1/2
h2
Nun sind noch die vier (komplexen) Fehlergrößen am, amp, am.1h und pmv
aus den vorgegebenen Fehlergrößen zu bestimmen.
Allgemein gilt für den Zusammenhang zwischen komplexen Fehlerkomponenten
von m einerseits und relativem Betragsfehler r und Phasenfehler & andererseits bei statischer Addition
am 1 = ((r • m 1 ) 2 + (4 • m 2 ) 2 ) 1/2
(136a)
am 2
((r • m 2 ) 2 + (4 • m 1 ) 2 ) 1/2
dasselbe analog zwischen aEh und r h, ach
(136c).
Die anderen beiden Fehlergrößen sind reell, und es gilt
AMp = r • mp
(136b)
am v
(136d).
= rv • my
Durch
-
Umrechnung der Fehlergrößen durch Gleichung (136),
-
Berechnung der partiellen relativen Differentiale durch
Gleichung (131),
-
Bildung der Quotienten F nach Gleichung (133)
-
und Anwendung von Gleichungen (135)
A11.5
ist damit der komplexe Fehler og bestimmt.
Um nun den Fehler der eigentlichen Zielgröße E zu bestimmen, muß von
dessen Bestimmungsgleichung (94) das totale Differential gebildet werden.
Daraus folgt - mit mp = Po • S • d - in diesem Falle direkt die
Beziehung zwischen den relevanten komplexen Relativfehlern
AE
E
og
AM p
m p
2
•
(137).
Daraus eine weitere statistische Fehler-Addi tion
^^^^^ abzuleiten, wäre aber
falsch, da der Fehler von mp schon den Fehler von g mitbestimmt; diese
zwei Einflüsse von om p sind aber nicht statistisch addierbar. Sie
sind systematisch voneinander abhängig und müssen daher direkt addiert
werden.
Diese direkte Addition soll indirekt formuliert werden dadurch, daß das
entscheidende Differential UU modifiziert wird zu einem effektiven, d.h.
beide Effekte zusammenfassenden Differential Up'. Dazu wird der GesamtFehlereinfluß aller Fehlergrößen (linear) zusammengefaßt durch Kombination
der Gleichungen (134) und (137)
AE
F
AM
_ ( — 12 + 2 •
2
) -
g(F
^ - ^
F ^ - F.j,
)
(138).
Im ersten Klammerausdruck (A) sind darin die Fehler-Einflüsse von om p
schon zusammenfefaßt. Mit der Definition von nach (133b) ist dieser
Klammerausdruck
^)
2 • U
AM
A - m p ( 1 +.
p
g •
(139).
Wird nun formal nach einem Differential U ' gesucht, das anstelle von
dieselbe Wirkung wie die in der Klammer von (139) enthaltene Summe
hat, so muß
(140)
sein.
A11.6
Wird Uff
' durch Einsetzen von (131a) und (131b) in (140) explizit ausge-
drückt, so läßt sich im übrigen nachweisen, daß, falls g gegen 0 geht,
auch Up' gegen 0 geht. Das ist auch zu erwarten, denn bei niedrigen
Frequenzen (q) kann die Probe als Feder betrachtet werden; dann
spielt aber ihre Eigenmasse mp keine Rolle mehr, so daß auch ein Fehler
in der Bestimmung der Probenmasse bei niedrigen Frequenzen keinen Einfluß
auf das gemessene E-Modul haben kann.
Wird mit dem modifizierten Differential f
Uf
' statt mit Up gerechnet,
ergibt sich demnach analog zu (133b) ein Fp' statt ein Fp, und analog
zu (135) ein g' statt ein g; dann wird aus (137) einfach
AE
--E.=
eg'
(141).
2 •
Der relative Betrags- und der Phasenfehler von
g
errechnen sich aus dem
Real- und dem Imaginär-Teil-Fehler zu
rq
= ((
oq l • q l) 2
+ (
oq 2
• q2)2) 1/2 / (
q12
2
+ q2 )
(142).
1/2
= (( og l • (12)2 + ("2 • gl)2)
/ ( q 1 2 + (122)
Nach (141) gelten dann die folgenden einfachen Zusammenhänge zwischen
den relativen Betrags- und Phasenfehlern von E und
g
rE = 2 • rq
(143).
e^ E
2 • epq
Zusammenfassung:
Der relative Betrags- und der Phasenfehler der Zielgröße komplexer
E-Modul ergeben sich aus sechs Fehlergrößen,
-
dem relativen Betrags- und Phasenfehler der gemessenen Trägheit m, r und eq,
-
dem relativen Betrags- und Phasenfehler der RückbefestigungsTrägheit mh, rh und 4h,
-
dem relativen Fehler der Probenmasse mp und
A11.7
- dem relativen Fehler der Vor-Masse my
durch Anwendung der Gleichungen (136), (131), (140), (133), (135), (142),
(143) .
Al2.1
Al2
Simulation des frequenzabhängigen komplexen E- Moduls
Zweck dieser Simulation ist es, Funktionsweise und Genauigkeit verschiedener Algorithmen zur Berechnung des E-Moduls aus gemessenen Trägheiten zu überprüfen, ohne tatsächlich eine Messung durchführen zu
müssen.
Ein großer Wertebereich von E-Modulen soll dafür in einem großen Frequenzbereich simuliert werden. Es ist deshalb zweckmäßig, eine doppeltlogarithmische Darstellung zu wählen und in dieser die E-Module abschnittsweise linear zu interpolieren. Da die frequenzabhängige E-Modul-Kurve
erwartungsgemäß einen unteren und oberen Sättigungswert und dazwischen
einen Bereich maximaler Steigung aufweist, wurde als Minimum eine Unterteilung in fünf Frequenzbereiche realisiert. In einem vorgegebenen
Frequenzbereich müssen deshalb sechs Frequenz-Stützpunkte vorgegeben
werden, dazu jeweils der Betrag des E-Moduls und seine Phase. Insgesamt
werden nun 60 komplexe E-Module berechnet; die E-Module, die zu Frequenzen gehören, die zwischen den sechs Stütz-Frequenzen liegen, werden
dann interpoliert. Lineare Extrapolation im doppelt-logarithmischen
Maßstab bedeutet dabei: von einem Frequenz-Stützpunkt zum nächsten gilt
jeweils ein Potenz-Gesetz zwischen Frequenz und E-Modul-Betrag; die
Phase wird bei logarithmischer Frequenz-Auftragung linear interpoliert.
Bild 44 zeigt das Ergebnis einer solchen Simulation für eine typische
Fugendichtstoffprobe wie z.B. Polyurethan.
Die gestrichelte Gerade gibt gerade jenen kritischen Betrag des E-Moduls
an, welcher mindestens erreicht sein muß, soll die Probendicke noch
kleiner als die Viertel-Wellenlänge sein d.h. in Bild 45: q l = 90 °.
Die simulierte E-Modul-Kurve wurde willkürlich so gelegt, daß sie diese
Grenzkurve dreimal schneidet, es wurde also ein besonders schwieriges
Probenverhalten angenommen.
Al2.2
PHRSE [Grad]
180
90
2
0 100
BETRRG
E
5
2
5
10000
CN /mm^2J
100
^
5
/
2
/
/
/-
/
5
/
2
/
/
/
1
100
2
5
2
5
REQUENZ
10000 [Hz]
Bild 44: Zur Formgebung der Frequenzabhängigkeit des komplexen E-Moduls
mit dem Simulationsprogramm VISCOWELLE
--- = k/4 - Grenzlinie für E
= simulierter vorgegebener E-Modul und g leichzeitig mit
dem Iterationsverfahren perfekt reproduzierter E-Modul
Al2.3
Bild 45 zeigt genau den dazugehörigen Verlauf der relativen Wellenzahl
g in der komplexen Ebene; auch hier sind die fünf Abschnitte erkennbar;
dem dreimaligen Schneiden der kritischen Grenzkurve in Bild 44 entspricht
hier gerade die dreieckige Schlaufe: auch hier wird die Senkrechte, die
91 = 90 ° entspricht, dreimal geschnitten.
(Vergl. hierzu die Simulation des Iterationsverfahrens und seine graphische
Darstellung in Bild 43.)
°
0°
200
I
400
/
/\
90°
180°
\
q1
9000
800,3100
-45
\
7000
\
/
8966
----1600
2300
q2
Bild 45: Verlauf des q-Wertes in der komplexen Ebene bei einem Verlauf
des Frequenzäbhängigen E-Moduls, wie in Bild 44 vorgegeben.
Zugehörige Frequenzwerte in Hz.
Al2. 4
Bild 46 zeigt eine simulierte frequenzabhängige Federsteife in Betrag
und Phase. Der E-Modul-Betrag wurde dabei mit 10 N/mm 2 , die Phase des
E-Moduls 10 ° als konstant angenommen; ferner wurde für die anderen
Konstanten vereinfacht angenommen; Dichte = 1 g/cm 3 , Dicke = 10 mm,
Querschnittsfläche = 100 mm2.
Betrag und Phase der komplexen Federsteife haben oszillierenden
Charakter; bei 1000 Hz hat die Probe noch fast reinen Federcharakter,
in einem Übergangsbereich zwischen etwa 2000 und 2500 Hz tritt die erste
Dicken- (x/4) -Resonanz auf, die Probe ist scheinbar sehr weich; darüber
ist
180 ° , Udie
"Feder'
ist u
die
der "Feder"
ê Phase
nâsc ucr
rlnahe
anc 180
I e Probeverhält
vel"Ild 1 L s I l.11
d I so efler
also
wie eine träge Masse; um 5000 Hz tritt ein umgekehrter (x/2)-ResonanzEffekt auf, die Probe ist scheinbar sehr steif; zwischen 6000 und 7000 Hz
verhält sich die Probe wieder fast wie eine Feder; um 7500 Hz tritt
wieder eine (3/4•x)-Resonanz mit minimaler Federsteife auf; usw. usw.
Aufgabe des Iterationsverfahrens ist es also, aus diesem wechselhaften
Probenverhalten auf eine (möglicherweise konstante) Materialkonstante
rückzuschließen: den komplexen E-Modul.
Al2.5
PHASE
180
0
—1801000
5500
10000
5500
REQUENZ
10000 [Hz]
BETRAG F EN/mm'
10000
5
2
5
2
2
5
2
1000
Bild 46: Simulierte Feder-Steife einer würfelförmigen viscoelastischen Probe mit Dicke d = 10mm, Dichte "= 1g7cm 3 , konstantem E-Modul: E = 10N/mm2, S°E = 10°
A13.1
A13
Graphische Darstellungen zum Iterationsverfahren
Das Iterationsverfahren dient dem Zweck, aus dem vorgegebenen Funktionswert m einer komplexen, nicht explizit-invertierbaren Funktion (und
einigen anderen Parametern) in mehreren Schritten das komplexe Argument
dieser Funktion zu approximieren; das kann Schwierigkeiten machen, wenn
keine gute erste Näherung für das Argument zur Verfügung steht. Im Falle
der Einbindung in das Auswerteverfahren zur Bestimmung der komplexen
Wellenzahl in einer viscoelastischen Probe aber liegt eine günstige Vorraussetzung vor: Das Iterationsverfahren wird wiederholt bei sukzessiv
steigenden FrequllLCI1 - also mutmaßlich auch steigendem Realteil derWellenzahl - aufgerufen; vor jedem Aufruf liegt also als vorläufiger
Schätzwert für die komplexe Wellenzahl diejenige beim vorangegangen
Aufruf bestimmte vor.
Man kann diesen Vorgang simulieren, indem man das Iterationsverfahren
innerhalb einer Programmschleife wiederholt aufruft, in der der "wahre"
Realteil der komplexen Wellenzahl stufenweise erhöht wird. Dem Iterationsverfahren wird jedesmal der vorangegangene "wahre" Wert als erster
Näherungswert - also absichtlich "falscher" Wert - vorgegeben. Daraus
wird dann iterativ der neue "wahre" Wert bestimmt.
Dieser wiederholte Iterationsvorgang ist in Bild 42 graphisch dargestellt.
90°
180°
a,
IMEEERr
iami
NASNar
ammonsumparmems
szawaramustasermassm
—5 witsennemmaingsmans
0°
•Q2
Bild 42: Suchpfade des Iterationsverfahrens CCOTQQBINV in der komplexen
q- Ebene.
Schrittweite von q 1 : 10°, außer erster Wert = 1°, letzter =179°
Schrittweite von q2: -5°. Abbruch der Iteration, wenn
cot q
z - q auf besser als 10 -6 genau bestimmt ist, weiter mit
dem wahren
q -Wert als erste Näherung für den nächsten q -Wert.
A13.2
Gezeigt ist die komplexe q-Ebene, nach rechts der Realteil ql, nach
unten der (stets negative) Imaginärteil q 2 . Es sind mehrere SimulationsPfade gezeigt, bei denen ein fester Imaginärteil q 2 - als Maß für die
Dämpfung - vorgegeben ist, und der "wahre" Realteil ql schrittweise
erhöht wird. Die zackigen Verbindungsstücke zwischen je zwei vorgegebenen
q-Werten zeigen den Approximationspfad des Iterationsverfahrens zum
jeweils nächsten "wahren" 2 -Wert in der komplexen -Ebene.
Man sieht, daß bei Realteilen ql in der Nähe von 0 oder 180 ° ( bei den
in Bild 40 und 41 gezeigten Polen der Funktion cot q/q) und insbesondere
bei geringen Dämpfungen (kleinen Werten von q2) das Iterationsverfahren
einige Schritte mehr zur Approximation des nächsten "wahren" 2-Wertes
benötigt. Selbstverständlich hängt die Anzahl der benötigten Iterationsschritte auch von der vorgegebenen Schrittweite der "wahren" 3-Werte ab;
es zeigte sich jedoch, daß bei realistisch angenommenen Dämpfungen das
Iterationsverfahren den nächsten "wahren" -Wert nicht verfehlt, bei niedrigen Dämpfungen sind Zunahmen von ql um 10°, bei höheren Dämpfungen
auch Zunahmen um mehr als 30° erlaubt.
Das ist sogar auch dann noch der Fall, wenn sprunghafte Erhöhungen von
ql über die Pole (also die Vielfachen von 180 °) hinweg auftreten. Lediglich bei den in Bild 41 gezeigten Kreuzungsstellen ( 5 /8.ir und bei denen
höherer Ordnung) divergiert das Iterationsverfahren bei zu großer
ql-Schrittweite, so daß die Schrittweite erniedrigt, und das Verfahren
von neuem begonnen werden muß.
13.3
Eine etwas realistischere Simulation des Iterationsverfahrens zeigt
Bild 43.
Hierbei wandern die "wahren" komplexen q-Werte auf einem Pfad, der dem
frequenzabhängigen Verlauf des komplexen E-Moduls einer typischen
(siumlierten) Fugendichtstoffp-Probe entsprechen. (Zur Simulation
typischer Proben und zum Verlauf ihrer g-Zahl in der komplexen Ebene
siehe Anhang 10). An Bild 43 sieht man, daß der Iterationsvorgang in
fast allen Gebieten, insbesondere um den kritischen 90 °-Bereich, wo
die Probendicke die 1/4-Wellenlänge unterschreitet, schnell zum Ziel
gelangt. Lediglich falls q l im Bereich um 0 oder um 180 ° ist, sind mehr
als 2 Iterationsschritte erforderlich. Zur Findung des ersten "wahren"
g-Wertes bei q i = 10 ° waren 11 Iterationsschritte notwendig, weil als
erster Näherungswert für g 1 ° sowohl für Real- als auch für Imaginärteil
willkürlich angesetzt wurde. Es empfiehlt sich also, den allerersten
Näherungswert gut abzuschätzen. Das erfolgt zweckmäßigerweise in einer
vereinfachten Rechnung unter der Annahme, daß die Probe sich in diesem
q-Bereich ohnehin fast wie eine Feder verhält.
0 °
90°
IB0°
0°
-3C°
9z1
Bild 43: Realistischer Suchpfad des Iterationsverfahrens CCOTQQBINV in
der komplexen q-Ebene für einen E-Modul-Verlauf einer typischen Probe nach Bild 44, simuliert mit Programm VISCOWELLE
A14.1
A14
Graphische Darstellung der komplexen Funktion cot g/g
Bild 40 zeigt den Verlauf von Betrag und Phase der komplexen Funktion
cot
g/g in Abhängigkeit vom Realteil von q mit dem Imaginärteil als
festem Parameter. Der Betrag ist dabei logarithmisch aufgetragen.
Ig (z0)
3
0
-3
0
27r
47r
Br
+7r
0
-r
1
0
27r
B 7r
47r
Bild 40: Die Funktion z = cot q = z o e i ^l mit q 2 = - 0,03 ql,
q
geplottet vom Programm VISCOWELLE.
Wäre das Argument q reell, so wäre cot q/g eine - bis auf die g-Proportionale Amplitudenabnahme - periodische Funktion mit zahlreichen Polen
im Abstand von Ti; das Vorzeichen würde periodisch wechseln die Phase
demnach zwischen 0° und 180° springen. Das periodische Wechseln der
Vorzeichen bedeutet physikalisch, da3 die dynamische Eigenschaft der
Probe periodisch, und zwar bei q =
Charakter von der Feder zur Masse un
/4, 3/4.7, 5/4.7 ... usw., ihren
iieder zur Feder usw. wechselt.
(Bei q + 0 ist das Vorzeichen cot g/j ositiv, das der gemessenen Trägheit
nach Gleichung (76) also negativ; eine negative Masse bedeutet aber
A14.2
eine Federeigenschaft - wie sie ja auch für niedrige Frequenzen, wo die
Probendicke größer als x/4 und demnach q < n/2 ist, zu erwarten ist.
Bei der Darstellung von Bild 40 wurde nun eine geringfügige Dämpfung
angenommen, und zwar derart, daß der Imaginärteil von q 3 % des Realteils ausmacht. Dann "schleifen" sich die Pole der Funktion cot g/q
bei ganzzeitgen Vielfachen von n, sowie die Phasensprünge ab; dies mit
zunehmender Dämpfung um so stärker. Hingegen bleiben die Stellen um die
ungeradzahligen Vielfachen von n/2 kritisch, weil bei einem nur geringfügigen Fehler des Trägheitsmeßwertes m, also der Funktion cot g/q, der
Fehler in der Bestimmung der komplexen Wellenzahl q - besonders bei sehr
niedrigen Materialdämpfungen - groß werden kann. (Siehe Fehlerfortpflanzung All und Kapitel 5.10)
Ein weiterer bemerkenswerter Effekt ist, daß die "Verschleifungen" der
Phase der Funktion cot q/q selbst bei konstantem "Verlustfaktor", also
konstantem Imaginär-/Realteil-Verhältnis von q mit zunehmendem Realteil
größer werden. Physikalisch kann man das so interpretieren, daß sich die
Probe bei sehr hohen Wellenzahlen, das heißt also bei sehr vielen in
der Probenlänge enthaltenen Wellenlängen, zunehmend indifferent, also
weder als Feder noch als Masse, sondern schlicht als Dämpfer verhält.
Anders ausgedrückt: Die Probe verhält sich - wegen fast fehlender
Wellenreflexion - zunehmend wie eine unendlich lange Leitung.
Ein Rückschluß auf die komplexe Wellenzahl g aus der gegebenen Trägheitsfunktion proportional cot g/g wird also mit zunehmender Frequenz immer
schwieriger.
Bild 41 zeigt noch einmal einen Ausschnitt aus der Funktion cot g/g_ im
Bereich von 0 < q1 < n. Hierbei nimmt der Imaginärteil q2 als Parameter
neun konstante Werte ein, die Vielfache von + n/36 sind. Sowohl Real- als
auch Imaginärteil von cot g/g sind logarithmisch aufgetragen; der Imaginärteil in gewöhnlicher Weise, da er immer positiv ist, der Realteil,
der auch negative Werte annimmt, in gespiegelt-logarithmischer Weise,
d.h. negative Werte nach unten hin logarithmisch; dadurch konzentrieren
sich alle Werte, deren Betrag kleiner als 10- 3 ist, auf der horizontalen
Mittellinie. (Die steilen Obergänge der Kurven um diese Mittellinie herum
sind also rein darstellungstechnisch bedingt.)
-
A14.3
Die Pole der Kurve des Realteils deuten sich wieder um den Wert 0 und
n von ql an; die Ansätze dazu sind in Abhängkeit vom Imaginärteil q2
verschieden steil.
Bedeutsam an den Kurven ist - im Hinblick auf die Berechenbarkeit des
komplexen Wertes q aus einem vorgegebenen Wert der komplexen Funktion
in einem Iterationsverfahren
- bei einem Wert von ql daß
5/8.7r der Realteil der Funktion
vom Imaginärteil 22 unabhängig ist,
- daß im Bereich von ql knapp unterhalb von n die Abhängigkeit des
Imaginärteils der Funktion vom Imaginärteil q2 sich invertiert;
an diesen Steilen ist also mit Schwierigkeiten bei der Konvergenz des
Iterationsverfahrens zu rechnen.
n
Bild 41: Die Funktion z =
Q1
cot q_
mit q 2 als Parameter,
q
_ - 5° - 10° ... - 45°, entspr. Ziffern 1 bis 9, - q 2 <q 1
<'ii
q2
A15.3
Re(z) 1
58°
7f
27f ~ 41
142°
Bild 58: Realteil und Ima g inärteil der komplexen Funktion 1/(q sin q)
in Abhängigkeit vom Realteil q 1 mit Imaginärteil q2=-3°,-6°,
-90,... , -30° als Parameter
Hierbei sind Real- und Imaginärteil der der Funktion 1/ (q • sin g)
getrennt dargestellt als Funktion des Realteils von q,
negativen Imaginärteil
92
als Parameter;
92
91,
mit einem
nimmt - entsprechend zuneh-
mender Dämpfung - die (in Winkel umgerechneten) Werte - 3°, - 6°, - 9°,
... - 30° ein.
Tatsächlich zeigt sich für den Realteil um den
angedeutet um den
91
-Wert
2•,r -,
91
-Wert
7r
herum - und
besonders ausgeprägt bei betragsmäßig
kleinen q2-Werten (kleine Dämpfung)-, ein Doppelpol; und für den Imaginärteil an denselben Stellen ein Einfach-Pol.
Im Hinblick auf die Berechenbarkeit des komplexen g-Wertes aus einem
vorgegebenen Funktionswert von 1/ (g sin g) durch das Iterationsverfahren,
A15.4
(ein Tangentenverfahren) ist an diesen Kurven bedeutsam, daß
-
im Falle, daß q l Vielfache von ,r, die Probendicke also Vielfache
von halben Wellenlängen annimmt, wegen der stark ausgeprägten
Pole - besonders bei niedrigen Dämpfungen - kleine Iterationsschritte benötigt werden;
-
daß jeweils symmetrisch zu diesen Stellen, etwa (aber nicht genau!)
bei den ungeradzahligen Vielfachen von 7/2 Real- u n d ImaginärTeil der Funktion 1/ (g sin g) sowohl vom Real- als auch vom ImaginärTeil von q nur sehr schwach abhängen; dadurch ist mit einem nur
geringen Fehler des Funktionswertes ein relativ großer Fehler für
die zu bestimmende komplexe Zahl q verbunden. An all diesen Stellen
- zusammengefaßt also, an den Stellen, wo ql Vielfache von 7/2
und die Probendicke Vielfache von Viertel-Wellenlängen annimmt,
- muß - bei der Funktion 1/ (q.sin q) noch mehr als bei der
Funktion cot g/g, im Falle der Kraft-Messung hinter der Probe
also noch mehr als bei der Kraft-Messung vor der Probe, mit
Schwierigkeiten bei der Konvergenz des Iterationsverfahrens gerechnet werden.
A15.1
Graphische Darstellung der komplexen Funktion 1/(sing •
A15
g)
Bild 57 zeigt den Verlauf von Betrag und Phase der komplexen Funktion
1/(sing • q) in Abhängigkeit vom Realteil von q, ql, bei einem geringfügig negativen Imaginärteil q2, der proportional mit dem Realteil
wächst: q 2 = - 0,03 • ql. Das entspricht - übertragen auf das mechanische
Verhalten der Probe, bzw. auf deren E-Modul - einer geringfügigen
konstanten Dämpfung in einer viscoelastischen Schicht. Der Betrag der
Funktion ist logarithmisch dargestellt.
Igt (IzU 31
0
-3
2
7"i
0
7r
0
T
27r
4 71-
67r
87r
+
Bild 57: Betrag und Phase der komplexen Funktion 1/(q sin q) in Abhängigkeit vom Realteil q 1 , falls Imaginärteil q2=-.03•g1.
Der Betrag weist Maxima bei Vielfachen von ,r auf, (hier wäre ja bei
reellem q: sin q = 0, 1/sin q hätte also einen Pol mit wechselndem
Vorzeichen); entsprechend dem zusätzlichen Faktor g im Nenner nimmt
der Betrag der Funktion bei zunehmendem q l im Mittel ab. Die "Welligkeit" der Kurve nimmt ebenfalls mit zunehmendem ql ab, weil der Betrag
des Imaginärteils q2 dann ebenfalls zunimmt.
A15 -2
Bemerkenswert ist der Phasenverlauf der Funktion: Die Phase scheint mit
zunehmendem qi monoton abzunehmen (wenn man von den darstellungsbedingten
Sprüngen der Kurve bei Unterschreiten des untersten dargestellten Wertes
- ,r absieht). Die Abnahme ist immer dort besonders steil, wo die Betragsfunktion ein Maximum hat, und flach, wo diese ein Minimum hat.
Für q i ; 0 ist die Phase 0; dies bedeutet physikalisch, wie anzunehmen,
daß die Probe sich dann wie eine Feder verhält. (Dann ist zwar das Vorzeichen des Realteils der Funktion 1/ (q • sin q) positiv, die zugehörige Trägheit nach der Gl. (104) ist dann aber negativ, was FederEigenschaft bedeutet.)
Ansonsten ist der Phasenverlauf der Funktion physikalisch nicht so
eindeutig zu erklären wie etwa der Phasenverlauf der Funktion cot q/g.
Das mag man dadurch erklären, daß die hier dargestellte Funktion
1/ (g • sin g ) dem Fall einer Beschleunigungsmessung vor, einer KraftMessung aber hinter der Probe entspricht; dann kann man aber nicht mehr wie im Fall auch der Kraft-Messung vor der Probe - von einer "Masse"-oder
"Feder"-Eigenschaft sprechen; am hinteren, befestigten Ende der Probe
befindet man sich immer im Maximum ("Bauch") der Druck-Verteilung; mit
zunehmendem Abstand der Stelle der Beschleunigungs-Messung von der
Probenrückseite muß daher die Phasenverschiebung zwischen Druck und
Schnelle kontinuierlich zunehmen; dies drückt dann auch der Phasenverlauf
auf Bild 57 aus.
Bei den schnellen Phasen-Abnahmen und gleichzeitigen Betrags-Maxima ist
mit einem komplizierteren Verhalten von Real- und Imaginärteil der
komplexen Funktion 1/ (q sin q) zu rechnen. Dies zeigt dann auch im
Detail - für qi im Bereich von 0 bis 2•w - Bild 58.
A16.1
A16
Programm EMODSINMES
Fraunhofer-Institut far Bauphysik
A16.2
10
20
REM
REM
REM
REM
EMODSINMES 20.3.85
MESSEN DES E-MDDULS SEI SINUSANRESUNS MIT DEM 80375
EINGANGSSIGNAL A: VERFORMUNGSWEG
EINGANGSSIGNAL B: ANREGUNGSKRAFT,ANALOG VERMINDERT UM MASSEN
40
ANTEIL
50
REM AUEGAN`•SSIGNAL ;SINUS AUS DEM SD=75,GEHT AN SHAKER
c• i .G-E
i.^ t • DES
REM
^ 5^.1._•..^
80375
6 _?
.E, SETZEN . VONC. ^ ^^ E rJ^T^^^^
70
REM SIGN . GEN. AUF MINIMALPEGEL !
80
REM SETZEN DES SIi=N.GEN . AUF MINIMALE SPNG. ZUR SICHERHEIT !
OUTPUT 70115 USING "#,B";51,56,16,6,64,102,102,102,102,102,102,6
90*
5,.'55
100
OPTION BASE 0
110
DIM T$C 1.=L7
120
COM /Text/ Pname$ C _27
t
Nf , ,^.-.
r r.ic_sse
17.0•
r^ s./Par/
ar, on.
^ , Mf g ,g
-^^,
1. jFr2, V^-^,..
^^ ,,. f I ,.^1,,
140
!-:OM /Werte/ Fq(120), Si,q(120),X(12?),F(12t?),K(120),E(12=i),F'hi(120
150
160
170
1 80
190
200
210
220
24U
^. 50
260
270
.280
290
300
310
320
7.0
340
- - 350
360
370
? 8(7
381
382
390
1 * JL.Y
400
410
420
CALL Sdcodes
!CALL Eingapar
CALL Moddefault
CALL Sinmesfcon
INPUT " AUSDRUCKEN ",Y 1$
IF Y1:¥ = "Y" THEN CALL Modprint
INPUT " F'LOTTEN? ", Y2-*
IF Y2$="Y" THEN CALL Modplot
INPUT "SPEICHERN?",Y$
IF Y$=:.; ,, Y" THEN G'OTO 7.80
INPUT " NEUE FILES .",Yn$
INPUT "ERk:L,äRUNGSTEXT" , T$
F$=F'name:¥°:VAL$ (Pnr)
TEXTFILE
IF Ynw="Y" THEN CREATE ASCII F$&"T",1!
ASSIGN @Text TO F-$'.."T"
OUTPUT @Te>: t ; T$
IF Yn$="Y" THEN CREATE BOAT F$',"P",,33,8 ! PARAMETERFILE
ASSIGN @Para TO F$°<"F'"
OUTPUT @Para;F
Gtfl
Di
t^s -^;
,C
! s
, Masse
,
s - ,ir t 1+s i
. ^1 , Fr-^
-i ^ , Mf qNf
IF Yn$="Y" THEN CREATE BDAT F$0c"D" , 121 , 8 ! DATENFILE
A SSIGN @Dat TO F$$c"D"
OUTPUT @Dat ; E (*)
BEEP
F'RINT "ENDE"
END
REM ************************************************************
SUB Sinmesfcon
DIM Rb(1)
DIM Y(2)
COM /Werte/ Fg(t), Sig(*),X(*),F(*),t-;(*),F_('-'-),F'hi(*)
COtT /Par/ F'nr,Mfq,Nfq,F.g1,Fi2,Va,Vb0Of1,Di,Ma.s se
440
COM /Codes/ Fqn(20),Amn(10),Sga(7)
450
COM /Time/ Ct
451
460 REM *********************************************************
F=CONST.-VERSION
REM
470
480 REM *********************************************************
INPUT " h.ONSTANTWERT FOR KRAFT CN7" ,Fc
490
Vfx=Vb /Va
500
A16.3
510
Qfd=Q-Fl/Di
520
REM SIGN.GEN. AUF SINUSMODE !
57.0
OUTPUT 70115 USING "#,B";16,6,64,3,11,65,255
540
Csca=1
550
REM SPECT , A ± 6 , DUc L
560
OUTPUT 70115 USING "#,B";51,64,3,11,65,64,1,11,65,59,55
561
WAIT .2
56,5
REM TF: TF UND PHI
566
OUTPUT 70115 USING "#,B";52,64,1,11,65,51,255
570
OUTPUT 70115 USING "'#,B"; 90+.7.*Mfq,255! X LIN/LOG
580
REM V LOG!
590
OUTPUT 70115 USING "#,B";92,255
600
REM AVERAGE 10 !
610
OUTPUT 70115 USING "#,B";18,1,0,11,255
620 REM FESTLEGEN B—KANAL—RANGE
67.0
Cab=1
640
Vf c=Fc*Vb
650
IF Vfc>Amn (Cab) *..3 THEN GOTO 680 !.46=10-'-1/3
660
Cab=Cab+1
670 GOTO 650
680
Rb (0) = Cab* 16 ! HIERMIT IST A — KANAL —RANGE AUTOM. AUF 20V EINGEST.
690
Caa=0
720
FOR I=1 TO Nfq
I
T ,RT
72'i OUTPU T 70115
115 USING' 4 ,^" 5 i^,56,^55.SF'EC
77.0
REM BERECHNEN DER ZUGEHÖRIGEN FREQUENZ (FO) .
740
CALL Linlog(I,Nfq,Fgl,F(12,Mfq,Fq(I))
750
PRINT I; .FREQUENZ = .1*INT(10*Fq(I)+.5);
760
Ct—MAX(2/Fq(I),.2)
770
REM SUCHEN EINES GEEIGNETEN FREQUENZBEREICHS SO,DAO FG >.2FACHES
DAVON
780
Cf=16! MAX. 10KHZ
790
IF Fq(I)>=Fgn(Cf)*.7. THEN GOTO 820
800
Cf=Cf-1
810
GOTO 790
80
Rb(1)=Cf
87.0
OUTPUT 70111 USING "#,B; Rb (*)
840
REM SIGNALGEN.FREQUENZ EINSTELLEN
850
Fqa=INT (Fq (I) /Fqn (Cf) *400±-. 5) ! CURSORADRESSE
860
A=INT (Fca/ 100)
870
A1=INT(Fga/10)-10*A2
880
A0=Fqa-100*A —10*A1
890
OUTPUT 70115 USING "#,B"°41,A2,A1,A0,11, 55
900
WA I T .
920
REM EINREGELN DER SIGN.GENERATOR—AMPLITUDE SO,DAB ETWA F ETWA F
C
940
CALL Kompress(2,Csga,Ub)
950
Sig(I)=Sga(Csga)! SPEICHERN EINGEST. SIGN.GE .AMPL.
960
!PRINT "SIGN.GEN.SF'NG.= ;Sig(I)
970
IF Ub = 0 THEN GOTO 1020
980 BEEP ^000
990
PRINT "KANAL B ÜBER S TEUERT 1"
1010 GOTO 900 ' NEUER KOMPRESS—VERSUCH
1 020 REM EINSTELLEN EINES GEEIGNETEN RANGE FOR KANAL A
1030 CALL Autorange(1,Caa,Ua)
1040 Rb (_)) =Cab*161Caa
1050 IF LIa=0 THEN GOTO 1090
1060 BEEP 1500.5
1070 PRINT "KANAL A ÜBERSTEUERT !"
1080 GOTO 1330 ! NEXT I
1090 WAIT MAX (500/Fqn (Cf) , .)
A16.4
1111) CALL Readcur sor (Dummy , Y (*) )
1120 X(I)=Y(1)/Va ! AMPLITUDE
! KRAFT
1130 F(I)=Y(2)/Vb
!PRINT "AMPL.= ;X(I);' KRAFT =";F(I)
1140
1150 REM MITTELN DES MEBWERTES
1160 OiU I PUT 70113 USING "#,B";52,255 ! IF
1170 OUTPUT 70115 USING "#,B";57,72,70,255
1180 WAIT 1
1190 ENTER 70115 USING "#,B";Sb
1200 IF BIT(Sb,2) = 1 OR BIT(Sb,3)=1 THEN
1210 BEEF' 3000„7,
1220 PRINT "STöRtUNG' "
1250 OUTPUT 70115 USING "#,B";71,25
1240 GOTO 1170
1250 END IF
1260 IF BIT(Sb,0) = _ THF_N f_OTO 1190
1270 REM EINLESEN DES MEBWERTES
1280 BEEP.
1290- CALL Rea cursor ( Dummy , Y (*) )
^^ R^JEF:T
O i
v = Y ( 2) + C RS
FOR F::AEL
F.^R
VA
/
1300ba
1'
(I)
=Yba/
Vfx
! FEDERKONSTANTE IN EN/mm3
1310
1320 !PRINT " K ';K(I)
1550 E(I)=K(I)/Ofd! E-MO DUL
1340 PRINT " E=";INT(E(I)*100+.5)*.01;
1541 Phi (I)=Y(1)-S`N(Y(1) )*180
1342 PRINT " F'HASE = " ; F'h i (I )
1550 NEXT I
1 360 SUBEND
1570 SUB Sdcodes
1380 COM ,Codes/ Fqn (20) ,Amn (10) ,Sga(7)
1590 REM EINLESEN VON SD575-CODES
1400 REM FREQUENZCODE
1410 DATA 1,2,4,5
1420 FOR I=0 TO 1430 READ Fqn (I )
1440 NEXT I
1450 FOR 1=4 TO 20
1460 Fgn(I)=Fqn(I-4)*10
1470 NEXT I
1480 REM AMF'L I TUDEN CODE
1490 DATA 1,2,5
1500 FOR 1 = 10 TO 8 STEP -1
1510 READ Amn, (I )
1520 Amn(I)=Amn(I)!100
1530 NEXT I
1540 FOR I=7 TO 0 STEP -1
1550 Amn (I) =Amn (I± ) * 10
1560 NEXT I
1570 REM SIGNALGEN.SPNGS.CODE
1580 FOR I = 1 TO 7
1590 Sga(I)=Amn(9-I)
1600 NEXT I
1610 SUBEND
1620 SUB Mo default
1630 COM /Text/ F'name$E=23
1640 COM /Par/ Pnr,Mfq,Nfq,Fg1,Fg2,Va,Vb,Q1=1,Di,Masse
1650 Pname ="MÄRZ"
1660 F'nr=1
1670 Mf q=2
1680 Nf 84
A16.5
1690 Fq 1=.T2
1700 Fq2= 4096
1710 Va=10
1720 Vb=10
17'0 01=1=144
"
1740 n;-1
^.T_
ê-i ._
1750 Masse=0
1760r SUBEND
1770 SUB Eingapar
1780 COM /Text/ Pname$C327
!^^ t ^, n+
1 7 9{) CDM /Par/ P;tr "1Ê
1790
1,Dij{"1r=.5s2
Sr q 4 h.;r q 4 Fqi,r ^q2,Y_,J.,,^.
1500 INPUT "F'ROBENNAI••3E" , F'name.
1810 INPUT "ME^`^SUNSNR.r 4Pnr
O ^ - INPUT "AUFTEILUNG: L IN=1,LOG-2",M+q
^^t^
187.0 INPUT "ANZAHL MEBWER -CE" , N+q
1840 INPUT "UNTERE U. OBERE GRENZFREQUENZ CHZ7",Fg1,Fq2
1850 INPUT "VORVEF,'STäRk::EREINST.: CV/MM7,CV/N7",Va,Vb
1260 INPUT "F'ROBENABMESSUNGEN: C>:UERSCHN. Cmm''27,DICi=-.E Cmm3",DfI,Di
1870_ lr^r=^+
Thif'•trT Err^r-.i
" EFFEKTIVE
1vE Mi-i55E = I'i2iSsF?
4
1880 SUBEP•tD
1890 SUB Linlcy(L,L1,G1,G2,M,G)
1900 L?= (L-1 ) / (L 1-1 )
1910 IF M=1 THEN
1920 G=D* ( 07-G 1) +G 1
19=0 ELSE
1940 G=(62/G1)'`0*G1
1950 END IF
1960 SUBEND
1970 SUB Autorange (Ch, I ,U)
1980 COM /Time/ Ct
1990 CALL Overload(Ch,Ct,U0)
2000 CALL Over l O ad ( Ch , Ct , U )
2010 IF U=0 AND I=10 THEN 2090
7020 Ir U=1 AND I-0 THEN 090
7 0 7.0 IF U<LIti THEN 2090
2040 OUTPUT 70115 USING ";",B,"; (91+11*Ch-U) ,255!U = 1:RAL'F,U = O-RUNTER KA
NAL CH
2050 WAIT .1
7060 I=I+1-2*U
7070 IF U= U0 THEN 2000
2080 U=U0
2090 SUBEND
2100 SUB k::ornpreee (Ch, I,Ub)
2110 COM /Time/ Ct
2120 CALL Overload (Ch,Ct,UbO)
2 130 CALL Over'_ oad ( Ch , Ct , Ub )
2 140 IF Ub = 0 AND I = 7 THEN 2220
2150 IF Ub=1 AND I=1 THEN 2220
2160 IF Ub<ü'b0 THEN 2270
7170 OUTPUT 70115 USING "#,B" • 16,6,64,(101+Ub),65,255! UB=0:MEHR,UB=1
:WENIGER
2120 WAIT Ct
7191; I=Iy1-2*Ub
7700 IF Ub = Ub0 THEN 2130
221i: Ub=0
2220 SUBEND
2230 SUB Overloar_;(Ch,T,U)
2740 REM PRÜFT T SEC LANG,Oti OVERLOAD AUF KANAL CH (D.H.U=1)
2250 ON DELAY T GOTO 2.790
7260 ENTER 70115 USING "#,B ";Sb
A16.6
2270 U=BIT(Sb,1±Dh)
2280 IF U = 0 THEN 2260
2290 OFF DELAY
2300 SUBEND
2310 SUB Readcursor(X,Y(*))
2320 DIM 05E27]
2330 ENTER 70109 USING "#,27A";D$
2340 X=VAL(CS[1,6])
2350 FOR J = 1 TO 2
" THEN 2410
2360 IF C$[J*9+1,J*9+53="
2370 Je=0
2380 IF C$[J*9+6,J*9+6J="E" THEN Je=1
2390 Y(J)=VALCCSEJ*9+1,J*9+6= e])
2400 IF CSEJ*9+3,J*9+9J<>" " THEN Y<J>=Y<J?*10'-VAL(C$[J*9+8-Je,J*9+9
l)
2410 NEXT J
2420 SUBEND
2430 SUB Modplot
2440 REM FLOTTEN DER ERGEBNISSE VON MODUL-MESSUNGEN
2450 EOM /Text/ Us
2460 EOM /Werte/ Fq(*),Sig(*),X(*),F(*),K(*),E(*),Phi(*)
2470 COM /Par/ Pnr,Mfq,N+q,Fg1,Fg2,Va,Vb,D+I,Di,Masse
2471 DIM Xx(120)
2480 GINIT
2490 PLOTTER IS 705,"HPGL"
2500 !CALL Fhgibp(U$) ! SONST DEG UND LDIR 90 !!
2510 CSIZE 3
2520 MpI(0)=Mfq-1
2530 Xp11(0)=Fq1
2540 Xp12(0) Fq2
2550 VIERPORT 60,120,10,90
2560 INPUT "E1,E2, MPL(1) =",Xp11(1),Xp12(1),Mp1(1)
2570 CALL Linloggrid(Mpi(*),Xpll(*),»p12(*))! SONST WINDOW 1,0,0,1
2500 MOVE 0,1.05
2590 LABEL "FREQUENZ"
2600 MOVE 1.05,.1
2610 LABEL "BETRAG E EN/mm--. 23 "
2611 MAT Xx= E
2612 BoSUe Kurve
2700 VIERPORT 20,40,10,90
2710 Xpl1(1) 0
2720 Xp12(1) -100
2730 Mpl(1)=0
2740 CALL Linloggrid(MpI(*),Xpil(*),Xpl2(*))
2750 MOVE 1.1,0
2760 LABEL "PHASE"
2761 MAT Xx= Phi
2763 BoSUe Kurve
2764 PENUR
2765 SUBEXIT
2770 Kurve: CLIP ON
2771 FOR I=1 TO Nfq
2772 Zfq=;I-1>Z(N+q-l)
2773 IF Mpl(1)=0 THEN Ze=<Xx(I)-Xp11(1))I(Xp12(1)-XP11(1))
2774 IF MpI(1)=1 THEN Ze=LGT(Xx(I)/Xp11(1)>/LGT(Xp12(1)/Xp11(1))
2775 IF I=1 THEN MOVE Ze,Zfq
2776 IF I>1 THEN DRAW Ze,Z+q
2777 NEXT I
2778 RETURN
A16.7
2840 SUBEND
2850 SUB Linloggrid(M(*) ,X1 (*) ,X2(*) )
2863 REM ZEICHNEN EINES LINEAR ODER LOGARITHMISCH GETEILTEN GITTERS
2870 REM M(0)=0 LIN.,M(0)=1 LOG. TEILUNG IN X— RICHTUNG
2990 REM M(1)=0 LIN.,M(1)=1 LOG. TEILUNG IN Y— RICHTUNG
2890 REM X1(0), X2(0) BEREICHSGRENZEN IN X—RICHTUNG
2900 REM X1 (1) , X2(1) BEREICHSGRENZEN IN Y— RICHTUNG
2910 WINDOW 1,0,0,1
2920 DEG
2970 LDIR 90
2940 CSIZE 2
2950 LORG 5
2ß60 FOR 0=0 TO I
2970 CLIP ON
2980 IF M(D)=0 THEN
2990 FOR X=0 TO 1 STEP .1
7000 GOSUB Line
7010 NEXT X
7020 CLIP OFF
7 070 X=0
7040 GOSUB Stelle
7050 LABEL XI (D)
7060 X=.5
7070 GOSUB Stelle
7080 LAPEL (XI (D)+X2 (D)) /2
7090 X=1
7100 GOSUB Stelle
7110 LABEL X2 (D)
3120 ELSE
71:0 CALL Logteil (XI (D) ,X2(D) ,N,Xt (*) ,U(*) )
3140 FOR I=0 TO N
7150 X=Xt(I)
7160 GOSUB Line
=170 NEXT I
318=7 CLIP OFF
7190 FOR I=0 TO N
7 2 00 X=Xt (I )
=210 GOSUB Stelle
3 2 20 LABEL U(I)
30 NEXT I
3240 END IF
3250 NEXT D
3260 SUBEXIT
7270 Stelle: !
3290 MOVE (1—D)*(—.05)+D*X,(1—D)*X—.05*D
7290 RETURN
7700 Line:!
3310 MOVE D*X,(1—D)*X
7720 DRAW (1 — D) +D*X , (1—D) *X+D
77 7 0 RETURN
7740 SUBEND
3350 SUB Logteil (X1,X2,Nl,Xt(*) ,U(*) )
3360 REM TEILUNG DES INTERVALLS Xl...X2 — ENTSPR. NORM. STRECKE 0...1
3770
7780
7790
öF:IG
7400
3410
REM NACH LOGARITHMISCHEN SCHEMA 1,2,5,10,20,50 USW.
REM
ANZAHL WERTE : NL
REM XT (*) = NORM. STRECKENABSCHNITT = 0 ....1 ZU ZAHLEN U(*) GEH
REM U(*) = ZWISCHENZAHLEN = Xl...X2 NACH LOG.SCHEMA
OPTION BASE 0
A16.8
3420 DIM Lg(2),U1(2>
343o U1(0)=1
34*0 Uz(1`~2
3450 U1(2)=5
3460 Lg(0)=O
3470 Lg(1)= ' 301 / LN(2)
3480 Lg(2)=.699 / Lw(5)
3490 L=LGT(X2/x1)
3500 wl=0
3510 Xt(0)=0
3520 U(0)=X1
3530 L1=FRACT(LBT(X1))
3540 FOR 1=2 TO 0 STEP -1
3550 IF L1>Lg(I)-.001 THEN 3530
3560 NEXT I
3570 GOTO 3630
3580 FUR I1=I+1 TO 2
3590 m1=w1+1
3600 xt(m1)~(Lg(1-1)-L1`/L
3610 U(N1)=U1(I1)
7,620 NEXT I1
3630 Jz=INT(LGT(X2))-IWT(LBT(X1)+1)
3640 FOR J=1 TO J1+1
3650 FOR 1=0 TO 2
3660 N1=N1+1
3670 x=(J+Lg(I>-L1)
3680 IF X>L- ' 0O1 THEN 3740
3690 xt(wl)=X,L
3700 U(Nl)=UI(I)
3710 NEXT I
3720 NEXT J
3730 N1=N1+1
3740 Xt(w1)=1
3750 U(N1)=X2
3760 SUBEND
3770 SUB Modprint
3780 COm /werLe/ Fq(*),Sig(*),X(*),F(*),K()t),E(*),Fhi(*)
3790 CON /Par/ pnr,M+q,N+q,Va,Vb,Fq1,Fq2"0f1,Di,Masse
3800 PRINTER IS 703
FEDERK.
KRAFT
EMOD
3810 PRINT " FREQU. SIGN ' S pNG 'AMPL'
PHI"
m/mm
N
N/mm^
3820 PRINT " Hz
V
mU
2 GRAD^
3830 Modform:
IMAGE
X,4D'D,5X,D'2D,4X,4D.2D,4X,D'3D,4X,5D'D,4X,4D.3
D,2X,3D
3840 FOR I=1 TO mfq
3850 PRINT USING modform;Fq(z),Big(I),1000*x(z),F(z),E (z),E(I),phi(z)
3860 NEXT I
3870 PRINTER IS 1
3880 SUBEND
3890 SUB Fhgibp(U$)
3900 REM ZEICHNEN EINES FHG-IB p -PLOT-nAHMENS MIT u8ERSCHRIFT Uv
3910 VIEWp oRr 0,140,0,100
3920 WINDOW 70,-70,-50,50
3930 DEG
3940 LDIR 90
3950 LOPS 5
7960 FRAME
4010 MOVE -60,-50
4020 DRAW -60,50
Fraunhofer-Institut f Or Bauphysik
A16.9
4030 MOVE -60,-4O
4040 DRAW -70,-40
4050 MOVE -65,-45
4060 CST= 5
4070 LAoEL ÎBp^
40B0 MOVE
4090 CSzZE 4
4100 LABEL ^Fraunho+er-Tnstitut fur oauphvsik^
4110 MOVE -67,0
4120 LABEL "Stuttgart"
4130 MOVE -60,4O
4140 DRAW -70,40
4150 MOVE -65,45
4160 CSIZE 5
4170 LABEL ^1985"
4180 MOVE 60,-50
4190 DRAW 60,50
4200 MOVE 65,0
4210 CSIZE 4
4220 LABEL U-47
4230 SUBEND
Fra unoo fe rms/i/mfu,aaupovaix
A17.1
A17
Programm BBTFMESMOD
A17.2
10
ZO
30
40
ov
! BBTFMESMOD 27 ' 8 ' 05 B r eitBand-Transfer-Function-Messuno zur
!
!
!
(
oestimmung elastischer Module mit dem SD375
BEREC*wUNs DER 4 TF-KoMPONsmTEN BAA,GBo,sBARE ~ BBAIM IM SD375,
DER IF RE UND IM SOWIE DER KORREL4TzON IM BASIC-pnO[sRnnM,
EBENsO DARoUs UND AUS DEN PRO8EN- p ARAMErERm UNTER 8ERUCKSICHrz
60
! FINER KoRREKrUn-MASSE M1 BETRAG UND PHASE DES E- ODER s-MODULS
70
! EINGANsSBIsmAL A: BESCHLEUNzGUNs
80
! EINGomGSSIGNAL a: ANREGUNGSKRAFT
90
! AUSGANGSSIGNAL :Bynchroner Rausch-Signal-Generator des SD375
100
! SETZEN VON VOREINSTELLUNGEN DES SD375
110
! SzBm ' sEN ' AUF MINIMAL p EBEL !
120
OUTPUT 70115 USING "#,B^;51,36,16,6,64,62,62,102,1O2,102,z02,102
,zO2,255
130
! I/O-pARAMErER AUF BywARY-cODE !
140
OUTPUT 70115 USING ^#,B^;z6,4,64,2,l1,64,5,z1,62r65,16,4,65,255
150
OPTION BABE 0
160
DEG
170
cOM /Text/ T$[132]
180
CO: /Codes/ Fqn(20),Amn(10),Sqa(7)
190
COM /Par/ Mfq,Nfq,Rmb,Fq1,Fg2,Va,vb,Qfl,Di,M1,Mgesschw,Emin,Emax
,Phimin,phimax
200
Con /Werte/ Fq(400>,Cc(400),n(400),F(400),E(400),phi(400)
210
PRINTER IS 1
220
PRINT CHR$(12)
230
PRINT "
8
8
r
n
F
E
S
M
O
D^
240
PRINT
250
INPUT ÊRKLÄRUNGSTEXT^ ,T$
260
CALL Sdcodes
!INPUT " NEUE PARAMETER EINGEBEN ?^,Np$
270
280
IF Np$~^Y^ THEN
290
CALL Eingapar(pname$)
300 ELSE
310
!INPUT " PARAMETER EINLESEN ?",Ep$
320
IF Ep$ = ^Y" THEN
330
INPUT " pRO8ENNAME =^ ,pname$
340
CALL Lespar(pname$:
750 ELSE
360
CALL Defaultpar(Pname$)
770
END IF
780
END IF
740
INPUT " NACHHER AUSDRUCKEN ?",Y1$
INPUT "NACHHER p LOTrEN?^ ,Y2$
400
410
CALL Bbtfmou
420
IF Yz$=^Y^ THEN CALL Modprint(pname$)
430
IF v2$ = ^Y^ THEN CALL Modpzot(Pname$)
440
INPUT ''S p EICHEnN?^ ,Y$
450
IF Y$<>^Y^ THEN GOTO 560
460
INPUT " NEUE FILES ?^ ,Yn$
470
IF Yn$=''Y^ THEN CREATE ASCII p name$&^T^ , z'
TEXTFILE
480
ASSIGN @Tzxt TO pname$&^T^
OUTPUT @Text;T$
490
IF Yn$ = ^ v^ THEN CREATE BDAT p name$&^ p ^ , z3, B ' PARAMETERFILE
500
ASSIGN @Para TO pname$&^p^
510
OUTPUT @para;w+q,w+q,Fn1,Fq2,va,Vu,Q+z,Di,m1,Mgesschw
52o
pmun ho,ownoxitm,u,Bauphy,ix
A17.3
53O
IF Y:$=^Y^ THEN CREATE oDAT Pname$&^D^ ` 802 ` B ' DnTENFTLE
540
ASSIGN @Dat TO pname$u^D^
550
OUTPUT @Dat;E(*),Phi(*)
560 BEEP
570
PRINT ÊNDE^
580
END
590
SUB Sdcodes
600
COM /Codes/ Fqn(20),Amn(10),Sga(7)
610 REM EINLESEN VON SD375-CODES
630
DATA 1,2,4,5
640
FOR 1~0 TO 3
650
READ Fqn(I)
660
NEXT I
670
FOR 1 = 4 TO 20
680
Fq:(I)=Fqn(I-4)*10
690
NEXT I
70*
REM AMPLITUD,Ew CODE
710
DATA 1,2,5
720
FOR z=10 TO B STEP -1
730
READ omn(z)
740
nmn(I)=Amn(z)/100
750
NEXT I
760
FOR 1=7 TO 0 STEP -1
770
Amn(I)=Amn(I+3)*10
780
NEXT I
790
! SYNCHRONIOUS SIGNAL GENERATOR CODE
800
FOR z=1 TO 7
810
Sga(z)=Amn(9-I)
820
NEXT I
B3O SUBEND
840
SUB De+aurtpar(Fname$)
850
INPUT ^ FILE-NAME =^ ,Fname$
860
COM /Par/ Mfq,N+q,nmb,Fq1,Fq2,va,Vb,Qf1,Di,M1,ngesschw,Emin,Bnax
,phimin,phimax
M+q=2
870
N+q=5z
890
Rmb=1
890
900
Fq1=1O
910
Fq2=3990
Va='1
920
970
Vb=1
Of1=144
940
Di=12
950
960
n1=B ! BRAMM
970
Mgesschw=80 !g
Emin=1
980
Emax=100
990
1000 Phimin=-1O
1010 Phimax=90
1020 SUBEND
1030 SUB Modprint(Pname$)
1040 ! nUSDRUCK ALLER BERECHNETEN DATEN UND DER PARAMETER ,FAsSUNB VO
M 27'8'8o
1050 COM /werte/ Fq(*) ,Cc(*),A(*) ,F(*) ,E(*),phi(*)
1060 COM /Par/ mfq,Nfq,nmb,Fq1,Fq2,va,vb,Qfl,oi,m1,Mgesschw,Emin,Emax
,phimin,Phimax
1070 COM /Text/ T$
1080 PRINTER IS 707.
1090 PRINT CHn$(12)
Fraunhofer-Institut
für
Bauphysik
A17.4
E-MODUL VON V I SCOELAST I SCHEN PROBEN "
1100 PRINT
NT "
1110 PRINT
1120 PRINT "
117. 0 PRINT
1140 PRINT
1150 PRINT
1160 PRINT
mm Dicke "
1170 PRINT
1180 PRINT
1190 PRINT
1200 PRINT
1210 PRINT "
WINKEL "
1220 PRINT "
D"
1230 PRINT "
Probenname = •Pname=lT:
Probengrässe > ; Lif 1 ; ' Querschnitt,
mm"2
";Di;"
Gesamte Mitschwingende Masse ="; Mgessch,4; " g"
Erste Korrektur-Masse = ;Ml- ' g"
Relative mittlere Bandbreite = ;Rmb
Fr
FREQUENZ KOH;RENZ BESCHL. KRAFT
Hz
ms -2
N
E- MODUL VERLUST
N /mrn 2
GRA
IMAGE 6X,4D.D,4X,D.3D,4X,2D.2D,3X,2D.3D,2X,6D.3D,5X,3D
1240 Modform;
1250 FOR I = 1 TO Nfq
!PRINT
Fq(I),Cc(I),A(I),F(I),E(I),Phi(I)
1260
1270 PRINT USING Modform;Fq(I) ,Cc(I) ,A(I) ,F(I) ,E(I) ,Phi (I)
1280 NEXT I
1290 PRINT "
I,
Fraunhofer-Institut 1(Ar Bauphysik , Stuttgar
1=00 PRINT "
t"
17-%10 PRINTER IS 1
1320 SUBEND
17.7.0 SUB Modpl of (F'name$ )
1340 REM FLOTTEN DER ERGEBNISSE VON MODUL-,MESSUNGEN ,FASSUNG VOM 27.8
.85
1350 COM /Werte/ Fq(*),Cc(*),A(*),F(*),E(*),Phi(*)
1360 COM /Par/ Mfo,Nfq,Rmb,Fql,Fq2, Va ,Vb,Ofl,Di,M1,Mgesschw,Emin,Emax
,Phimin,Phimax
1370 COM /Text/ T$
1380 DIM Xx (400)
1390 GINIT
1400 PLOTTER IS 705,"HPGL
1410 !CALL Fhgibp(Pnamef)
1420 DEG
1430 LDIR 90
1440 LORD 5
1450 VIEWPORT 0,140,0, 100
1460 WINDOW 70,-70,-50,50
1470 [SIZE 2
1480 MOVE 58,0
1490 LABEL T$
1500 [SIZE
1510 Mpl (0)=Mfq-1
1520 Xpl1(0)=Fq1
15=0 Xp12 (0) =Fq2
1540 VIE'WPORT 60, 120 10,90
1550) Xpil(1) =Emire
1560 Xp12(1)=Emax
1570 Mpl(1)=1
!WINDOW 1,0,0,1
1571
1572 ! GOTO 1640
1580 CALL Linloggrid (Mpl (*) ,Xpl i (*) ,Xp12(*)) ! SONST WINDOW 1,0,0,1
A17.5
1600 MOVE 0,1.05
1610 LABEL "FREQUENZ"
1620 MOVE 1.05,.1
1630 LABEL "BETRAG E ENZmm^23 "
1640 FOR I=1 To N+g
1650 Xx(I)=E(I)
1660 NEXT I
1670 BOGUS Kurve
1680 VIEWPORT 20,40,10,90
1690 Xpl1(1)=Phimin
1700 Xp12(1)=Phimax
1710 Mpi(1)=0
1720 CALL Linloggrid(Mp1(*),Xp11(*),Xp12(*))
1730 MOVE 1.1,0
1740 LABEL "PHASE"
1750 FOR I=1 TO Nfq
1760 Xx(I)=Phi(I)
1770 NEXT I
1780 GOSUB Kurve
1790 PENUP
1800 SUBEXIT
1810 Kurve: CLIP ON
1820 FOR I = 1 TO N+q
1830 IF Mpl(0)=0 THEN Z+q=(Fc(I)—Fql)/(Fq2—Fq1)
1831 IF Mpl(0)=1 THEN Z+q=LGT(Fq(I)/Fql)/LGT(Fg2ZFgl)
1840
IF Mp1(1)=0 THEN Ze = (Xx(I) — Xp11(1)>z(Xp12(1) Xpl1(1))
1850 IF MpI(1)=1 THEN Ze=LBT(Xx(I)ZXpil(1)l/LGT(Xp12(1)/Xpll(1))
1860 IF I = 1 THEN MOVE Ze,Z+q
1870 IF I>1 THEN DRAW Ze,Zfq
1880 NEXT I
1390 RETURN
1900 SUBEND
1910 SUB Linlogorid(M(*),X1(*),X2(*))
1920 REM ZEICHNEN EINES LINEAR ODER LOGARITHMISCH GETEILTEN BITTERS
1930 REM M(0 )=o LIN.,M(0)=1 LOG_ TEILUNG IN X— RICHTUNG
1940 REM M(1) = 0 LIN.,M(1)=1 LOG. TEILUNG IN Y— RICHTUNG
1950 REM X1(0), X2(0) BEREICHSGRENZEN IN X— RICHTUNG
1960 REM X1(1), X2(1) BEREICHSGRENZEN IN Y— RICHTUNG
1961 DIM Xt(20),U(20)
1970 WINDOW 1,0,0,1
1930 DEG
1990 LDIR 90
2000 CSIZE 2
2010 LORE 5
2020 FOR D=0 TO 1
2030 CLIP ON
2040 IF M(D)=0 THEN
2050 FOR X = 0 TO 1 STEP .1
2060 GOSUB Line
2070 NEXT X
2080 CLIP OFF
2090 X=0
2100 BOSUB Stelle
2110 LABEL X1(D)
2120 X=.5
2130 BOSUB Stelle
2140 LABEL (Xl(D)fX2(D))/2
2150 X=1
2160 BOSUB Stelle
2170 LABEL X2(D)
A]7.6
2180 ELSE
2190 CALL Logteil(Xl(D),X2(D),N,Xt(*) U( *))
2200 FOR I=0 TO N
2210 X=Xt(I)
2220 ensue Line
2230 NEXT I
2240 FLIP OFF
2250 FOR I = 0 TO N
2260 X=Xt(I)
2270 GOSUB Ste11e
2280 LABEL U(1)
2290 NEXT I
2300 END IF
2310 NEXT D
2320 SUBEXIT
2330 stelle= !
2340 MOVE (i_D)*(—.05)+D *X,(1_D)*X —.05 *D
2350 RETURN
2360 Line:!
2370 MOVE D *X,(1—D)*X
2300 DRAW (1—D)±D*X,(1—D)*X+D
2390 RETURN
2400 SUBEND
2410 SUB LoetEil(X1,X2,N1,Xt(*),U(*))
2420 REM TEILUNG DES INTERVALLS X1...X2 — ENTSPR. NORM.STREEKE 0...1
2430
2440
2450
BRIG
2460
2470
2480
2490
2500
2510
2520
2530
2540
2550
2560
2570
2500
2590
2600
2610
2620
2630
2640
REM NACH LOGARITHMISCHEN SCHEMA 1,2,5,10,20,50 USW.
ANZAHL WERTE : NL
REM
REM XT(*)= NORM. STRECKENABSCHNITT = 0 ....1 ZU ZAHLEN U(*) GEH
REM U(*) = ZWISCHENZAHLEN = Xi...X2 NACH LOB.SDHEMA
OPTION BASE 0
DIM Lg(2),U1(2)
U1(0)=1
Ui(1)=2
U1(2)=5
Lg(0)=0
Lg(1) = .301 ! LN(2)
Lg(2) = .699 ' LN(5)
L=LGT(X2/X1)
N1=0
Xt(0)=0
U(0)=X1
L1=FRACT(LGT(X1))
FOR 1 = 2 TO 0 STEP —1
IF LI>Lg(1) — .001 THEN 2640
NEXT I
GOTO 2690
FOR I1=I+1 TO 2
2650 N1=N1±1
2660 Xt(N1)=(Lg(11)—Li)/L
2670 U(N1)=U1(Ii)
2680 NEXT Ii
2690 31=INT(LGT(X2))—INT(LOT(X1)±1)
2700 FOR 3=1 TO 31+1
2710 FOR I=0 TO 2
2720 N1=N1+1
2730 X=(J+Lg(I)—L1)
2740 IF X>L—.001 THEN 2800
2750 Xt(N1)=X/L
A17.7
2760 U(N1)=U1(I)
2770 NEXT I
2780 NEXT a
2790 N1=N1+1
2200 Xt(w1)=1
2810 U(w1)=X2
2820 SUBEND
28:0 SUB AuLorange(Ch,z)! FASSUNG VOM 27'8.85
2840 Ct='5
2850 Q=O
28 1-0 CALL Overload(Ch,Ct,U)
2870 IF 0=0 THEN U0=U
2880 Q=1
2890 IF U=0 AND I = 10 THEN 3010
2900 IF U = 1 AND I=O THEN 2980
2910 IF U<U0 THEN 3010
2920 OUTPUT 70115 USING " 41,8";(91+11*Ch-U),255!U = 1:nnUF,U=O:nUwTER KA
NAL CH
2930 WAIT '1
2940 I=I+1-2*U
2550 IF U = U0 THEN 2860
2960 U=U0
2970 GOTO 3010
2980 BEEP e000,'5
2990 PRINT " KANmL ";Ch;" UBERSTEUERT !"
3000 GOTO 2850
3010 SUBEND
3020 SUB Overload(Ch,T,U)
3030 REM rRUFT T SEC LAwG,OB OVERLOAD AUF KAwAL CH (D'H'U=1)
2.040 ON DELAY T GOTO 3080
3050 ENTER 70115 USING ^#,B^;Sb
3060 u=aIT(sb,1+Ch)
3070 IF U = 0 THEN 3050
3080 OFF DELAY
3090 SUBEND
3100 SUB Linzog(L,L1,s1,G2,M,G)
3110 0=(L-1)/(L1-1)
3120 IF M = 1 THEN
3130 G=0*(G2-B1)+G1
3140 ELSE
3150 G=(G2/G1)^Q*G1
3160 END IF
3170 SUBEND
3180 SUB Tfslctreau(G(*),Fs(*),Afs,Rmb,Zoom)
3190 ! SELECTIVES AUSLESEN DER TF-KOMPOmENTEN AUS DEM SD375
3200 ! AFS =ANZAHL AUSZUSORTIERENDER TF-KOM p ONENTEN <400
3210 ! FS(*) = KANnL-NUMMERN DIESER KOMPONENTEm
322O ! RMB = RELATIVE MITTELUNBSBoNoBREITE (REL. ZU FREQUsNZABST4ND DE
R KOnF')
3230 ! G(*,*) = ENTSFR. nECHTECKFENSTER NORMIERTE TF-'KoMpowEwTEm
3240 ! ZOOM =1 ,FALLS ZOOM AM SD375 EINGESTELLT, SONST 0
3250 OPTION BASE 1
3260 REAL Bv(6400)
3270 ENTER 70108 USING "#,B'';By(*>
3280 BEEP 4000,'2
3290 PRINT "1F-oArEN VON SD375 EINGELESEN !
330O 30=0
3310 FOR K=1 TO m+s
:320 J=Fs(K)
:330 J2 = MzN(INT(J+nmu/2*(2-20)> ,399>
A17.8
3340
7350
3760
3370
3380
3390
3400
J1=mIN(INT(J-Rmb/2*(J-J0)+1),J2)
wj = (J2-z1)+1
! MAX. 40 !
FOR M=1 TO 4
G(K,M)=0
FOR Mj=1 TO Ni
I=Mj+J1-1
T1 = 4*(Zonm+1)*(1+z+(n-1)*400) ! '' +1 ENTSPR. qo375-VERSCHzEBUwG
3410 s(K,M)=G(K,M)+((8y(I1)+236*8y(z1-3`-B192>/B192*Z^(By(I1-2)-1ZB))
/8107B4
3420 NEXT Mi
3430 G(K,M)~B(K,M)/Nj
3440 NEXT M
3450 JO=J
3460 NEXT K
3470 SUBEND
3*80 SUB Bbt+mod! 27-3 ' 85 SBSsSSSS5SBSSSSSsSsESSSSSSsSS5SsSSSSSSSSSSS
^
3490 COM /Werte/ Fq(*),Cc(*),Ac*`,F(*),E(*) ,Fhi(*)
3500 COM /Par/ Mfq,Nfq,Rmb,Fq1,Fq2,Va,vh,QfI,DI,M1,Mgesschw,Emin,Ema x
,Phimin,Phimax
3310 COM /Codes/ Fqn(20),Amn(10),Sga(7)
3520 DIM Rb(1)
3330 DIM s(399,4`,Fs(399)
*********************************************************
354O
7550
BREITBAND-TF-MES5UNG, BEsTIMMUwG DER FREQUENZABHÄNBIBEN
3560
ELwSTISCHEN MODULE VzSCOELABTISCHER PROBEN
3570
ANmAHMF FMAX =AMAX :MBEsSC*W
***'*********M*** *** *********************************
3580
359O DEG
3600 ' SPECT,4+B,DUAL,LOG,RT
3610 OUTPUT 70115 USING ^4,8^;51,6v,3,11,65,6v,1,11,63,39,92,56,255
3620 ! X LIN/LOG
3630 OUTPUT 70115 U S ING ^#,B^;90+3*Mfq,255
3640 ! AVERAGE 30 '
3650 OUTPUT 70115 USING ^4,8^;18,3,0,11,255
:660 WAIT '2
3670 ! SUCHEN EINES FREOUEmZBEnEzCHB > F02
3680 C+ = 18! MAX.30KHZ
3690 IF Fq2>Fqn(Cf-1) THEN GOTO 3720
3700 Cf=Cf-1
3710 GOTO 3690
3720 Rb(1)=Cf
3730 Rb(0> = 0! (BEIDE KANÄLE AUF MAXIMALEN MESSBEREICH )
3740 ! EINSTELLEN DIESER BEREICHE 4M 3D375
3750 OUTPUT 70111 USING "4,B^;Rb(*)
3760 ! BERECHNUNG DER RICHTIGEN AUSsTEUERUNG DES 5IGmALGENERATORS
3770 Amax = 5/Va!MAX ' ERLAUBTE EFF.BESCHL ' , DA MAX ' AUSG ' S p NG ' AM LADUNsS
VERST ' =5V
3780 Fmax = MIw(10,Amax*Mgesschw/1000) ! MAX ' EFF ' KRAFT IST 3790 ! - DA FnEQUENZBEREICH WEITGEHEND OBERHAL8 DER RE5ONANZ LIEGT 3800 ! =MAX. BESCHL. nAL BESAMrE MITSCHw. MASSE , MAXIMAL ABeR 10 N.
3310 Ushmax = Fmax/1 ' 6 ! MAX ' sHAKER-B p NB ' =FMAX/WANDLERKOmSr ' BET MECH'K
URZSCHLUSS
3920 Usgma x = Ushmax/5 ' MAX ' 6IGNALssN ' BFNG ' ,FALLB SPNGS ' VERST ' =5
T830 FOR I = 1 TO 6
3840 IF Sga(z+1)>usgmax THEN 3870
3950 OUTPUT 70115 USING ^#,B^;16,6,64"101,65,255
3860 NEXT I
3870 BEEP 5000,'5
A17.9
3880
3R70
3900
3910
3920
7930
79*0
7950
3960
3970
7980
7990
0$=^0^
INPUT " FALLS LADUNGsvERSTÄRKER uGExSTEUERT, 1' EINTIPPEN !^,U$
IF U$=^1^ THEN
OUTPUT 70115 USING ^#,B^;16,6,64,102,65,255
GOTO 3870
END IF
Tw = mwX(500,Pnn(C+),1) ! WARTE-ZEzT IN ABn ' VON BANoBREzTE
WAIT Tw
Aussteuern: ! AUSsTEUERUNG KANAL A UND B
FOR Ch=1 TO 2
I=O
CALL Autorange(Ch,I)
400O IF Ch=1 THEN Eca=Amn(I)
4010 IF Ch=2 THEN Ecb=Amn(I)
4020 NEXT Ch
4030 ! EINSTELLEN VON TF BETRAG UND PHASE
4040 OUTPUT 70115 USING ^#~B^;52`64,1,11,65,255
*050 ! STARTEN DER MITTELUNG
4060 OUTPUT 70115 USING ^#,8";72,70,253
4070 ! BERECHNUNG DER FREQUENZAUSWAHL IN DER ZWISCHENZEIT
4080 K=1
4090 Fso=0
4100 N+q0=N+q
*110 FOR K0=1 TO N+qO
4120 CALL Linlog(K0,Nfq0,Fq1,Fq2,M+q,Fo0)
4130 Fs(K)=zNr(FqO/Fnn(C+)*400+'5)
41e0 IF Fs(K)>Fs0 THEN 4170 ! ZUR VERMEIDUNG GLEICHER FREQUENZEN
4150 Nfq=Nfq-1 !NEE? KANN ALSO,BEoINGT DURCH DIE FQ-QUANrELUmG,KLEINER
WERoEN!
4160 GOTO 4200
4170 Fq(K)=Fs(K)/400*Fqn(Cf)
4180 Fs0=Fs(K)
4190 K=K+1
4200 NEXT KO
4210 WAIT 1
4220 Averagecontrol: ENTER 70115 USING ^#,B^;Sb
4230 IF BIT(Sb,2)=1 OR BTr(Sb,3) = 1 THEN
4240 BEEP 3000,'2
4250 PRINT "STöRUNG!^
4260 Ms=Ms+1
4270 IF Ms>3 THEN
4280 PRINT " UBEnSTEUERUNG !! ^
4290 OUTPUT 70115 USING ^#,B^;51,56,255!SPECrR.,RT
4300 GOTO Aussteuern
4310 END IF
4720 OUTPUT 70115 USING ^#,B'';71,72,7O,255! STOP ERASE NEUSToRT
4730 GOTO Averagecontrol
4740 END IF
4350 IF BIT(Sb,0)=1 THEN GOTO Averagecontrol! D.H. :MEBSUNG LÄuFr NOC
^
4360 !
EINLESEN DER ME8WERTE
4370 BEEP 2000,'2
4380 PRINT "TF-LESEN"
4390 CALL r+slctread(G(*)"Fs(*),N+q,Rmu,0>
4400 BEEP 30o0,'2
4410 PRINT ôuswERTuwo Tr-oATEN"
4420 Ecua=Ecu/Eca
4430 v+a = vb/va/1000 /
Cl/g]
4440 Q+d = 0+1/oi !
Cram]
4450 FOR K=1 TO m+q
Fraunhofer-Institut far
Bauphysik
A17.1U
4460 cc(K)=((B<K,1)~2+6(K,2)^2>/AoS(G(K,3)*B(K,4))>! KOH4nEwZ
4470 A(K)=SQR(G<K,3>)/va*Eca
4480 F(K)=SOn(s(K,4))/vb*Ecb
4490 Mre=G(K,1)/B(K,3)*Ecba/Vfa! = RE4LTEIL MECH. TRANSFEnFUNKTIOw I
N ^
*500 Mim=8(K,2)/G(K,5)*Ecba/V+a! =zMAB.TEzL MECH. TRANSFERFUNKTIOw I
Ng
!PRINT K;A(K),F(K);Mre;Mim
4510
*520 REM UMRECHwEN IN FEDERKONSTANTE MIT MASSEKORnEKTUR
4530 02=(2*FI*Fq(K))^2 ! IN Hz^2
4540 Kre~(Mre+M1)*02*1 ' E-6 ![ N/mmz Mz=e+*'-Massen-KompensaLion
![ w/mm]
4530 Kim=Mim*o2*1 ' E-6
4560 Ku~SQR(Kre~2+Kim^2)
[N/mm~2]
4570 E(K)=nb/Qfd! E-MDDUL
4580 IF Kre = 0 THEN Phi(K)~SGN(Kim)*90
45'90 IF Kre<>0 THEN Phi(K)=ATN(Kim/Kre)+(1-SBN(Kre))*90
4600 NEXT K
4610 BEEP 1000,'2
4620 SUBEND
A18.1
A18
Programm MODULMESS4
A18.2
10
86
20
30
40
3O
!MODULMESS4
!
!
!
!
!
!
21.02'
Bestimmung der elastischen Module viscoelastischer Proben
Messung von Kraft hinter und Beschleunigung vor der Probe
unter Benutzung der Trans+er+unction rF im nnalysator SD375
Auslesen mines Einzelwertes mit dem Cursor,
Anrenuno durch ein Sinus-Siynal,erzeugt vom PHILIPS-Generator
Bestimmung der gemessenen Kumplexen n-ägheiten im BASIC Progra
60
70
mm
! Zur Berechnung des xompl ' +requ-abh ' Moduls folgende Korrekture
80
n:
! - 8erücxsicxtigu:g der kompz ' Trägh ' einer nicht-starren Rückbe
90
festigung;
100
! - Rückrechnung auf eine kompl-rel.WelIenzabl q im viscoeI.Medi
um;
! - 8erechnung des frequ ' auh ' vompI ' Moduzs aus der xompl'rez'welz
110
enzahl q.
! - Au+ Wunsch Darstellung numerisch und grafisch in Betrag und
120
Phase
130
! - Auf Wusch Speicherung der ModuIfunction etc.
! SETZEN VON VOREINSTELLUNGEN DES SD375
140
! I/O-pARAMETER AUF ByNAuY-cODE !
150
OUTPUT 70115 USING ^#,B^;16,4,64,2,I1,64,5,I1,62,63,I6,v,65,255
160
17 0OPTION BASE 0
RAD
180
CoM /Text/ T$[132]
1 490
CDM /werte/ Fq(100),Sig(z00),A(100),F(1nn),E(100),Fhi(z0o) ,Q(100
200
),Rfe(100),Fp(100)
COM /Par/ Mfq,N+q,Fqz,Fq2,Xc,Vc,Ac°Fc~Va,;b,QfI,Di,Mp,Mv,N»,Kh(6
210
),Vh(6),Mh(6),Rh,Dph,Rp,Rv,Rmess,opmess,Emin,Ema,,Phimin,phimax
COM /Codes/ Fqn(20),omn(10)
220
PRINTER IS 1
230
PRINT CHR$(12)
240
^
S
M
E
U
L
0
D
M
PRINT ^ 250
4"
PRINT
zao
INPUT ÊuKLÄRumsSTsXT^,T$
270
280 CALL Codes
CALL Parameter(pname$)
290
INPUT ''NACHHER AUSDRUCKEN ?^,Y1$
300
7^,v2$
INPUT ^mACHHER p LOTTEN
310
CALL Sincormod
320
IF v1$ = ^Y^ THEN CALL Modprint(Fname$)
330
Y2$="r^
340
IF Y2$=^v^ THEN CALL Moupzot(Fname$)
350
INPUT ^SFEICHERm?^,Y$
360
IF v$<>^v^ THEN GOTO 480
370
INPUT " NEUE FILES ?^,Yn$
30,0
TEXTFILE
IF Yn$ = ^Y^ THEN CREATE ASCII Pname$u''T^,1!
390
ASSIGN @Text TO pname$&''T^
400
OUTPUT @Text;T*
410
IF v:$~^v^ THEN CREATE BOAT Pname$&^F^,46,8 ! PARAMETERFzLE
420
ASSIGN ^Para TO Pname$&^p^
43O
OUTPUT @Para;nfq,N+p,Fql,Fq2,Xc,Vc,Ac,Fc,va,Vb,Q+l,Di,Mp`Mv,Nh,K
440
h(*),Vo(*),Mh(*),Rh,oph,Rp,Rv,Rmess,Dpmess,Emin,Emax,Poimin,Fhimax
IF Yn$=^Y^ THEN CREATE BDAT Pname$&ô^,606,B ! DATENFILE
450
ASSIGN @Dat TO pname$&^D"
460
OUTPUT @Dat;Fq(*),E(*),phi(*),Q(*),R+e(*),Fp(*)
470
Fraunhofer-Institut für
Bauphysik
A18,3
4BO
BEEP
490
PRINT ÊNDE^
500
END
510
SUB Codes
520
COM /Codes/ Fqn(20),wmn(10)
530
REM EINLESEN VON So375-CODES
55O
DATA 1~2,4,5
540
FOR z=0 TO 3
5 70
READ Fqn(I)
NEXT I
5B0
590
FOR 1=4 TO 20
^0O
Fpn(I)=Fqn(T-4)*10
610
NEXT I
620
REM AM p LIrUDE% CODE
630
DATA 1,2,5
640
FOR z=10 TO B STEP -1
650
READ Amn<I/
660
Amn(I)=Amn(I)/100
670
NEXT I
6B0
FOR 1=7 TO 0 STEP -1
690
Amn(z)=Amn(z+3)*10
700
NEXT I
710
SUBEND
7Z0
SUB Parameter(Fname$)
730
INPUT " FILE-NAME =^ ~Fname$
740
COM /Far/ n+q,Nfq`Fq1,Fq2,xc,Vc,Ac,Fc,Va,Vb~Qfz,Di,Mp,Mv,Nh,Kh(*
),Vh(*),Mh(*),Rh,Dph,Rp,Rv,Rmess,Dpmess,Emin,Emax,phimin,Phimax
730
M+n=3
! Lin- oder log Frequenzschritte
760
! Anzahl Frequenzen
N+q=50
770
Fo1=20! Hz untere Grenz+requenz
pq2=4000
! Hz obere srenz+revuenz
780
790
! npparatur-Kunstanten
000
Mues=.OB
! kg gesamte mitschwingcnde Masse
Fshmax=4
! N Maximal erreichbare Shaker-Kraft (mit Sicherheit
310
sabst-)
Uamax=5
870
! V maximale Ausgangsspannung eeschzeunigungs-verst
ärker
B21
INPUT " E Mod stat schätz [N/mm~2] =^ ,E0sch
330
E0max=E0sch*1'E+6! N/m^Z Maximal erlaubte=. E-Modul bei niedrigen
Frequenzen
840
Vcnl='03
! m/s Maximal erIaubte Schnelle wegen nichtlinearer
Effekte
850
Epsn1=-01
! Maximal erlaubte rel. Dehnung wegen nichtlinearer
E++exte
Va='0316
! v/ms^-2 Verstärkungsfaxtor Beschz ' verstärker Lana
060
la
970
Vb=1.06
! V/N Verstärkungsfaktor Kraftverstärker Kanal b
880
! incl.Fehlerfaktor Massenmessung [F /geeichte Waag
e '74'z'a5
090
Q+1=1'44E-4 ! m^2 QuerschnittsfIäche der Probe
900
INPUT " Probendicke [mm] =^ , Di'^ m
Di=Di/1000
910
920
Q+d=Qfl/Di
! Berechnung von Grenzgrössen für die Messung
930
940
Ac=MzN(Fsxmax/Mges,Uamax/Va) ! Maximale Beschleunigung
02=SQR(E0max*Q+d/Mges)
! Re=~.=..zkreis+requenz Frobenfeuerk'/Ge
950
s'Schw'm'
vc=MIN(Ac/OZ,vcnl)
! maximale Schnelle
960
Xc=oi*MIN(Fshmax/EOmax/Q+l,Epsnl) ! maximale Amplitude
970
A18.4
980
Fc=MAx(Xc*E0ma,*Q+u,Ac*Mges)
! maximale Kraft
990
! Massen
1000 INPUT " Basamtmasse Probe incl ' nlu-Körpar [g]='',Mgp
1010 Mp = Mgp/1000- ' 0078! ' 0018!kg echte Masse der eigentzichen Probe
1020 mv = ' 00393+ ' 00347!kg echte Masse der 4lu-Halterongskörper+innere
Masse Kraft-As+n'
1030 Nh=2
1040 DATA 2 ' 4E+6 "' 2,6,-75E+8, ' 3,0 ! N/m,z,xg
1050 FOR I=z TO Nh
1060 READ Kh(I)
1070 REô Vh(I)
1030 READ Mh(I)
1090 NEXT I
1100 ! Fehlerbestimmung vom 26'2'86
1110 Rh = ' 3 ! Rel.F e hler der Hinterwand-Trägheit
1120 Dph=.8! p hasenfehler dto ' =45 Grad
1130 Rp = .00014/Mp!Rel ' Fehler des Betrages der Probenmasse
1140 Rv = ' 0001/mv ! Rel. Fehler der Vor-Masse
1150 Rmess = ' 07 ! REL.GENAUIGKEIT DER M-MESSUNG
1160 Dpmess= ' 04 ! PHASENFEHLER
DER M-MESBUNG= 1grad
1170 Emin=5-E+5 ! N/m^2
1180 Emax=5 ' E+7! m/m~2
1190 Phimin=0
1200 Phimax=90
1210 SUBEND
1220 SUB Sincormod!
27'3'8
6
1230 COM /werte/ Fq(*),Sig(*),A(*),F(*),E(*),Phi(*),Q(*),Rfe(*) ,Fp(*)
1240 CoM /Par/ Mfq,N+q,Fq1,Fg2,Xc,Vc,Ac,Fc,va,Vb,Qfl,Di,Mp,Mv,Nh,Kh(*
),Vh(*),Mh(*),Rh,Dph,np,Rv,Rmoss,Dpmass,Emin,Emax,Phimin,Fhima,
1250 COM /Codes/ Fqn(20),Amn(10)
1260 DIM Rb(1),Y(2)
1270 RAD
1280 ! K o n s t a n t e n
1290
X= CONST.=XC FUR Fq< Fqxv
V= CONST.=VC FUR fqxv <+q < +nva
1300
1310
A= coNST-=4C FOR Fq> Fqva
z320
1330 PRINT "XC = ^;xc*z'E+6;^ mU^
1340 PRINT ^VC=^;vc*1'E+3;^ mm/S^
1350 PRINT ôC=^;Ac;^m/s^2^
1360 Fqva=Ac/(2*PI*vc)
! Ubergangs+requenz v / a = const.
! Ubergangsfrequenz x / v = const'
1370 Fqxv~vc/(2* p I*Xc)
1380 Fqxa = SQR(4c/Xc)/(2* p I) ! Ubergangs+requenz x / a = const.
1390 PRINT ^FQxV=^;Fqxv;^Hz^
1400 PRINT ^FQxA=^;Fnxa;^*z^
1410 PRINT ~pQvo~^;Fq;a;^Hz^
[1/kg]
1420 V+a = Vb/Va!
[m]
1430 Qfd = Qfl/Di !
14*0 Ro = Mp/QfI/Di ! Probendichte [kg/m^3]
1450 E0=1'E+7'''''"1 '''' ' '' ''' ''' '' ''''''' ''''''
1.160 c0=SQR(E0/Ro)
1470 Q1=2*pI*Fq1/C0*Di' ''' '' '''''''''''''''''''ANFAwBSWERT VON 01
1480
1490
1500
1510
1520
! PHILIPS AUF SINUSMODE UND 0 ' 1V SPNG ' !
OUTPUT 704 USING ^4,34^;^Wl^&cHR$(3)
Ugen='1
OUTPUT 704 USING ^4,94^;^40'29000^&CHR$(3)
PRINT "VOREINSTELLUNGEN AM So375^
! SPECT,A+B,DUAL,LOS,RT
A18.5
1540 OUTPUT 70115 USING "*,B" 51,64,-_,11,65, 64, 1, 11,65,59,9 ,56,255
I I 1 1
1550
! X LiN
1560 OUTPUT 70115 USING '°4#,i"; 9 ?,-055
1570
! AVERAGE 10 !
1580 OUTPUT 70115 USING "#.B": 18. i .c , .' ;
1590
! TF: IF RE UND IM
1600 OUTPUT 70115 USI NG ' *,B";52,44,3. 11,6 5,51,255
1610 WAIT . .L
1620
! FESTLEGEN A —KANAL —RANGE
1630 Caa =1
1 640 Vac =AcxVa
1650
IF Vac?Amn(Caa)".__ THEN GOTO 1680
1660 Caa=C.aa. +1
1670 GOTO 1650
16°0 Rb (tj) =Caa
1690
! VOR — EI NSTELLUNG DES B—KANAL--RANGE
1700 V fC=FC*Vb
1710 GOSUB Ranc,e b
1720 GOTO Ha-,ptschles-se
1730 Range b: Cab=1
1740 IF Vf c>Amn (Cab) *. _" THEN 1770
1750 Cab=Cab+1
1740 GOTO 1740
1770 R'b (0) =Caa+Cab*16
1780 RETURN
1790 REM 1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
AVON
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1940
1970
1930
1990
2010
202n
2030
040
2060
Hauptschleife:
BEEP 2000,1
INPUT "D
LAMBDA/4
=CY_1",Uge-f=
Uqe=0
IF Uqe$ = "Y" THEN Uqe=1
FOR I=1 TO Nfq
OUTPU T 70115 USING "#,B";51,56,255!SPECT,RT
! BERECHNEN DER ZUGEHöR I GEN FREQUENZ (FO)
CALL Linlog(I,Nfq,Fgl,Fg2,Mfq,FqO)
! SUCHEN EINES GEEIGNETEN FREQUENZBEREICHS SO,DA8 FO > .2FACHES D
Cf =16! N1AX.10KHZ
—c vn ,C f) ^:-. _
IF Fqc^;>—
Ti E ^ GOTO
1940
THEN
^ 194
Cf=Cf -1
GOTO 1910
Rb ( 1 ) =Cf
OUTPUT 70111 USING "#,B"•Rb(Y)
REM C URSOR — ADRESSE BERECHNEN
Fqa = INT (Fq0/Fgn (Cf ) *4(_}(:+. 5)
A2=INT(Fâ/1!;tt)
v
A1 =INlT (F^va/ 10) —10*A :;
A'- =Fgv--i?_i;i*A2-1=_ A1
OUTPUT 7011 5 USING "#,B";41,A2,A1,A0,11, 55
Fq ( I ) = Fga/ 4f;c3 y. Fcn (Cf ) ! TATSÄCHLI.' -'H EINGESTELLTE
FREQUENZ
REM PHILIPS AUF CURSOR — FREQUENZ EINSTELLEN
) ) 7_ CHRS (3)
7.t{I•l(
. t (LF.'O'sJhyT
OUTPUT 704 USING 11$k'Sr^1' ^r C 11 _.
^,^..
.1 CC q (I /) i1 Ir.'
: _+0,4
^-1 -yu. abh. kor r. Faktor fUr beschleu.ligunq_me-=ung mit 8&K I
m p . F--o F.
-- f
207t? ! Ei genresonar,zfreque nz= 25:c4-1z
2080
Ka=1—(Fq(I)/5000)'
2090
! BERECHNEN DER SOLL — BESCHLEUNIGUNG
?1C:i"e
Ami.,. =Ac
2110
IF Fq (I) <Fgva THEN Amax=Ac* (Fq (I) /Fgva)
A18,6
2120 IF Fn(z)<Fqxv THEN Amax=Ac*(Fq(I)/Fqxa)~2
2130 vama,~Va*Amax
2140 / EINREGELN DER SOLL-BESCHLEUNIGUNG
2150 Tw=MoX(500/Fqn(Cf`,1) ! WARTE-zEIT VOR CUnSORABLESUwG
7160 U=0
2170 Kompression: CALL wavekompr(1,Vamax,Ugen,Tw)
2180 IF maen>.69 THEN ! vEnST ' o&K-VERSTÄRKER =10
2190 BEEP 2000,'1
2200 Vamax=Vamax*'6/Ugen
2210 PRINT ^ 5ollbeschleunigung herabgesetzt !^
2220 U=U+1
2230 IF 0>3 THEN SUBEXIT
2240 Ugen='l
2250 OUTPUT 704 USING ^#,9A^;Â0.29D00"&CHR$(3)
2260 GOTO Kompression
2270 END IF
2280 aig(I)=Ugen ! SPEICHERN EINsEST ' SIBN'GE'AnpL.
2290 REM ABLESEN VON BESCHLEUNIGUNG UND KRAFT
2300 CALL Readcursor(Dummy,v(*)>
2310 A(z)~Y(1)/Va*Ka! BESCHL ' [m/s^2]
EN]
2320 F(I)=Y(2)/Vu ! KRAFT
2330 !PRINT ^DESCHL ' =^;n(I);^ KRAFT =^;F(I);
2340 REM MESSEN DER UBEnTnAGUNGaFUNKTzOm
2350 Ms=0
2360 OUTPUT 70115 USING ^#,8^;52,255 !TF
2370 Start_averaging: OUTPUT 70115 USING ^#,B^;57,72,70,255
2380 Td=TIMEDATE
2390 ! während der neuen Messung Auswertung des vorhergehenden Messer
ne^n^sses^
2400 IF I>1 THEN BOsUB Auswertung ! '. au8er bei erster Messung
2410 IF TInEonTE>Td+1 THEN Averagecontrol
2420 SOTO 2410
2430 Averagecontrol: ENTER 70115 USING ^ff,8^:Sb
2440 IF BIT(Su ` 2) = 1 OR BIT(Sb,3) = 1 THEN
2450 BEEP 3000,'2
2460 PRINT ^sTönUmG!^
2470 Ms=Ms+1
2480 IF Ms>3 THEN
2490 Ugen = ' 1 ! VORSICHTSHALBER NEUBEGINN KOMPRESSION MIT KLEINEN AMPL
ITUDEN
2500 OUTPUT 704 USING ^#,9o^;ô0'29D00^&CHe$(3)
2510 OUTPUT 70115 USING ^#,B^;51,56,255!SPECTn',RT
2520 GOTO Kompression
2530 END IF
2540 OUTPUT 70115 USING ^#,B^:71,255! STOP AVERAGING
z550 GOTO Btart_averaging
2560 END IF
257n IF BIT(Sb,0) = 1 THEN GOTO Averagecontrol! D.H. :MESSUNG LÄUFT NOC
H
2580 REM EINLESEN DES MEBWERTES
2590 CALL Reaucursor(Dummy,Y<*>)
2600 Mmess1~-Y(1)/v+a/Ka ! IN kg
2610 Mmess2=- y (2)/Vfa/Ka ! IN kg
2620 Fqr=Fq(I)
263o Ir=I
2640 IF I = mfq THEN GOSUB ouswertung! Auswertung der letzen Messung
2650 GOTO Ne,ti
2660 Auswertung: ! 2670
! GEO. In,FOR,nMESB1,mMESS2
A18,7
2680 / vorausberechnug der ' rez ' nückwand-Träqheit n0
2690 0=2*Pz*Fqr
IF Uqe=1 THEN Qeumwand' '''''''''' ' '' '''''''''''''''' ' ' '' '''''
2700
2710 Mhc1=-0^2*1'E+8
2720 Mhc2='1*Mhci
2730 CALL ROcxmasse(O,Mhcz,Mhc2)
2740 !Berechnung der komplexen rez ' welIenzahl q bei Wellenausbreitung
im medium
27 =,0 CALL Ipitisinqr(Ir,Mp,Mv,Mhc1,Mhc2,Mmess1,Mmess2,0.1,Q2)
2760 IF zr>w+q THEN
2770 BEEP 1111,2
7 730 PRINT ÎPITISImUR 4USGESTzEGEN !^
2790 SUBEXIT
2800 END IF
2B10 GOrO Umrechnung
2320 Cleumwand: !
7 830
xmess1~-0^2*Mmess1
FALLE Q << pi/2
2840
Kmess2=-02*Mmess2
2850
Kme^s=SQR(Kmess1~2+Kmess2^2)
7 860
E(zr)=Kmess/Q+d
2870
C=SQR(E(zr)/Ru)
2B80
Q(Ir)=O/C*Di
Phi(Ir)=FNPhi(Kmessz,Kmess2)
2B90
GOrO Ausgabe
2900
2910 Umrechnung:
2920 Qq=01^2+02•2
2930 E(zr)=no*o1~2*0^2/Qq
2440 Fhi(Ir)~-2°FNphi(01,02)
2950 Q(Ir)=SQR(Qq)
2960 ! Fehlerberechnung
2970 CALL Fexzisinqr(Mhc1,Mhc2,Mmessl,Mmess2~Q1,02,oq1,o42)
2400 Rq~SQR:(Q1*oq1)^2+(Q2*Dq2)^2//Qq
2990 Dpq=SUR((Q1*Dq2)~2+(Q2*Dq1)~2)/Qq
3000 nfe(Ir)=Z*nq
3010 Fp(zr)=2*opq
7020 Ausgaue: !
3030 PRINT zr;^'rREQU'=^;Fqr;^Hz ^;
3040 PRINT Ê=^;oROUwD(1 ' E-6*E(Ir),3):^N/mm~2 +-^;DROUwo(100*R+e(Ir),
Z);^%,^;
3030 PRINT ^PHI=";DROUND( p hi(Ir)*180/PI,2>;"GRAD +-^;oROUMD(Fo(zr)*18
0/pz,2);
3060 PRINT ^,Q=^;DROUND(Q(Ir)*180/PI,3);^GRAD^
3070 RETURN ! 3080 Nexti: !
3090 NEXT I
3100 PRINT ^FEnTzG'^
3110 BEEP 1000,1
3120 SuoEND
E
N
3130 !
D
E
M
3140 SUB Linzog(L,L1~01,52,M,G)
3150 0.=(L-1)/(L1-1)
3160 IF M=1 THEN
3170 G=0.*(G2-61)+G1
3100 ELSE
3190 B=(82/61`^0.*81
3200 END IF
3201 IF M=3 THEN
3202 Nterz=INT(LOG(500/81)/'231)+1
3203 IF L<=Nterz THEN G=G1*2^((L-1)/3)
U
P
Fraunhofer-Institut
für Bauphysik
A18.8
3204 IF L::-Nterz THEN G=82- (L1-L) i<-100
320-. END IF
3210 SUBEND
3220 SUB Wa`rek:ompr (Ch,Usoll lUgen,Tw)
_ 230 DIM Amp1$L87
3240 G!w=2.9
3 ^. 50 J=[_:
3260
Y `} WAIT
V_V11 Tw
3 2 80 CALL Read_u sor(X,Y (*))
3290 c=Y(Ch)/Usoll
3300 IF J>10 T HEN °U=E7.'IT
'1r)
;Uso^ :r:U•^ cn
!PRINT Tqt,(1-'iii
^
33 7 0 IF ABS (;`-1 ) <.. 1 THEN SUB'E:.IT
3330 Ugen=L!gen/Q'. q
3340 IF Ugen : . 68 THEN SUBEX I T! BEI BW-VERST Ä RKUNG =10j
3 - 5= Uge no_;t=DRD!JhdD(O>.*Ugen,T)
3360 IF Ugenout`-=1 THEN Amp1$='°A"&VALS (Uger,out)',"DC]0"
^:^'-`- 1 THEN A• m P1^*"="Af^„',V.•-'',•L-^(DRDUh•!J(U
337=7
IF U ge
nout-::1 AND U•g e n^_«,^-.
g- ^nout
2) ) °."D,,ta"
9
'
-3380 IF Ugenout‹.1 THEN Arnp'._$="Ai7"?,VA;--.S(DRDLlND(Ugenout71)")°<"D00"
_ 390 OUTPUT 704 USING "1k, 9r;' ; Ampl$':.CHF;$ (::)
3400
34 10 GOTO _ 260
3420 SUBEND
3 430 SUB Read__arsl, (X,Y(*) )
3440 DIM C$C277
_..4 ^^1 ENTER
r,^
"'7 .r^.
R 7n.1._ro USING
•JS1 d:3 „11
3450
3460 .:=VAL(C4-C 1,67)
3 470 FOR J = 1 TO ,_
„ THEN 3_ _30
3480 IF C4: 1J*9+ 1 ,J*9+57=„
3490 Jr-=0
3 5 00 IF C:£CJ*9+6,J*9+67="E" THEN Je =1
3510 Y(J)=VAL(CSkJy-9+1,J*9 +6-Je7)
" THEN Y(J)=Y (J)*1C?''VAL(CrLJ*9+8-Je,,;*9+9
IF CI.LJ*o.,_q JY9+o7<':' _.= 2c?
1)
:=530 NEXT J
3540 SUBEND
^,, .r.i2)
,,
3550 SUB Rt_'Lk:masse (O hi^
3560 '. BERECHNUNG DER KOMPLEXEN EFF MASSE EINER F • f"Ê I HEN-/ F'ARALLELSCH
ALTUiai ^
T REL. I MAG I N4RTE I L V* UND MASSEN M
35170 ! AUS N KOMPLEXEN FEDERN K* MIT
_
_
_
.
BEI DER ::REISFREOLiENZ 0
3590 ! FEDERKONSTANTEN K IN N/m, MASSEN IN kg
',,Li ,'-i
^• ,h•ln,t:.11 (*
l,
l l- C.-_,`^/ a,l _L,l,.;-I
V 't{1`,r-,^,,
N J,,Cg.i 7 Fy =',,.c,
7 ^ â 7 ,1^
LM ,/Par/
Par, i
h y,,1;
L
3600C
^min
Ema:
Phimin
F'himax
)
;'t:
(y-)
F-1h
(-y-)
r,:l-,
n.-.'
_
mes
Mes
m
`
D^
7
,
^
,,,^
N
,
,
i^^•
,
i
^:v
,,
9
'
7
,,
=
7
^
7 ^, ^-,
,
3610 02=-n.-.(-2)
i} M.-1=0
3620
3630 wi r •=f]
0640 FOR 1-1 TO Nh
3650 M'r: 1=C2#f=:h ( I )
3660 Mk:2=hik:l*Vh ( I ) ! Komp1 . Masse der i . zen Feder
t^17 ;1..^_
` ^,^
s 1 ,M-.ri
3670
t? CA LL Cin^.• ers(M_
7=i
3680 Mr 1=t•1r i-s-hlk:r j. ! REIHENSCHALTUNG DER I . TEN REZIPROKEN FEDER
_ 690 Mr-2=Mr2+h1t-r2 ! MIT I-1.TER EFF. REZIPROKER MASSE
3700 CALL Cinvers (htrl,Mr2,M1,M2)
3710 M1=hi1+Mh ( I ) ! PARALLELSCHALTUNG DER I . TENi MASSE
^tl,h._,^
( h'i
M1^r'.
^)
1,,M1ir.=
^
Ci
_720 CALLnve;-=.
3730 NiEXT I
-:58r: !
A18.9
3740 SuBENo
7, r50 SUB Ipitisi:qr(z,Mp"Mv,Mh1,Mh2,M01,MO2,0.1,02)
7. 760 ! vorgegeben;
7.770 ! Mn = Masse der Probe
3700 / M y =
hint, P robe,aber vor Kra+tmessung
3790 ! mh1,Mh2 = kompz ' Masse der nücxue+estioung hinter Kraftau+nehmer
7. 000 ! M01,MO2
= gemessene kompl-nasse als Trans+erfunctinn der
3B10 ! hinter der Probe gemessenen Kra+t/vor der Probe gemessene Besc
hleunigung
3820
! m001,m002 dto ' beim Ietzten aufruf des UP's
383O
/ Q1,0 7 = kompI.HeI mholtzzahl(Wellenzahl*Dicke) in der Probe als
maherung
3040
! q01 , q02 dto.beim letzten Aufruf des Ups
! gesucht:
3850
3860
! C1,02 exact bzw. als Näherung per Iteration
3870
! Gleichung;
3890
! M=(-mp/q*cos(q0)+mv*sin(q0))/sin(q-q0)
7. 090
! mit q0 = 1/2j*In(r), r=(jx-1)/(jx+1) =Reflexions+aktor
3900
! x=ng * q ,ng =mg/mp
,mg=mv+mh
3910
! die BIeichung wird in eine Taylorreihe bez ' q bis zum 1 ' Glied e
ntwickezt
3920 ! Konvergiert das Iterationsverfaoren nicht,so wird m so lange
3930 ! interpoliert,uis es konveryiert und schrittweise q gefunden is
t'
7.740 RAD
3950 COM /IL0/ 001,002,M001,M002
3960 IF I=1 THEN ! nn+angsbeuinnunoen
3970 001=Q1
3930 Q07=-001/2
7.990 M001=0
4000 w002=0
4010 END IF
4020 Mdrmax=1 ' E-6 ! GEFORDERTE RELATIVE GENouIGKEIT VON M
4030 Mg1 = Mv+Mx1 ! Parameteratzfbereitung
4040 Mg2=Mh2
4050 Ng1=Mg1/mp
4060 Mng2=-Mg2/Mp
4070 ! Interpolations —Bc^leife
4080 01=001
4090 02~002
4100 M1=M01
4110 M2=MO2
4120 Si0=0
4130 Si=1
4140 GOSU8 Iteration
4150 IF 3<0 THEN
4160 01=001
4170 Q2=002
4180 M1=(M1+M001)/2
4190 M2=(M2+M002)/2
4200 IF (Si-SiO)<1,E-2 THEN Notausoang
4210 Bi=(Bi+s10)/2
4 7'20 GOTO 4140
4230 ELSE
4240 001=01
4250 002=02
4260 IF Si=1 THEN 4350
4270 M001=M1
4280 M002=M2
4290 SiO=Si
Fr aunxo fe wnmum/u,oavpxvxix
A18.10
4300 M1=M01
4310 M2=tG02
4:'20 Si=1
4330 GOTO 4140
n-'Ar, END IF
4350 M _:=_ 1=M01
47.6() M002=MO2
4370 S'•J B E X I T
4380: Notausgang: I=999
4390
4:-•;
SI'8E^' IT
4400 Iteration:!
4410 J-i:s
4420 Ovoreabe:
4430 ! Berechnung von M a.= Funktion des genäherten 0
4 44r,_ .1 Berect;rtc_,,,g des
^,-, Reflexionsgrades R aus ;`v
i ^
^.
Ng U'
UND
4450 CALL Cp r-cd(îng2,"?gl,;?1.02.Jng1,•Jnq=)
4460 Jnqlm=•Jnq1 -1
4470: Jnqlp=Jnq1+1
4480 CALL Cquot (JngiT,,Jnq,^_,Jn:glp,•?nc=,z1.R,_')
44907
44S'_
.' Berechnung
e. echr, a_;r,g der r
relativen
7;tiver .^?eIT
Wellenzahl
!-!^ r aus^ G._ ..^^ hI
-EXF':=;G.-s)
r4500 GIrl=1/2-r.-FNF'h i (RI,R?)
4510 Or2=- 1/4xLOG (Rl 2+F,=)
4520 ! berPri,nung der o.g. Gleichung
4530 C ALL ` _os(Or1 `-!r
^;rD)
>>
,.0q ' Î ,^
4540 CAL L Cguot(Cgrl,Cgr2,01,0.2,F'1;F`2)
4550 CALL Cain(Or1, ^r, Sqrl,Sqr2)
4560 Z1=-Mp*F'1+Mv'LSgr1
4570 Z2=-Mp*F'2'-Mv*Sqr;
45R0 ri d 1 = [? 1-O r l
4590 Jd2=0.2-0.rE
4600 CALL C_in(Gd1,Ud2,N1,N2)
AL Cgt,ot(Z1,^=,h
1,N^,h 1n
1,,M^)
n= ,. mn = genähertes m
4vi0
'
CALL
''
J ,^^
N^'^LdSt!
I4o -' DIE GLEICHUNG
I CHU^ GE Rr U L
4620
! TEST,OT'• DIE N.nHEFii
4630 Md1=M1-Mn1
4640 Mc,2 = r'12-Mn2 ! Md = Di+fer-enz zum gegebenen M
(r,^..
fa 1 ,.:+Iul^^
11 .i? ' I dr i ,Mc,'^,-"?^ )
•^^,,;,Î_
^,r-^^,r,^,r,
4650^
CALL r-.
4660 Mdr--SGIR(Mdr-I 2+Mdr^ 2)
4670 IF r•;dr <r i _;rma THEN RETURN ! . . G' GENAU GENUG BERECHNET
^ .
f"'EFC
C TAYLOR-ENTWICKLUNG .S
DES
4680
t BERECHNUNG
. !':.J
. DDER
4^
,:_
4690 CALL Cquot (F'I,F'2,G?1,'O2,F21,F'2L)
4700 CALL Cpr od(F21,F22,N1,N2,r-'ni ,Fn2)
4710 CALL Ccos(Odi,G!d',Cgdl,Cgd=')
7^^ , r^gd 1 ,Cgd?,^r_,^c2)
^ 1 ^
^ .^ 'i7( l,^
L i`.r^r-^_
4720 CALL
4730 °z ,_ = Mp*F'n 1 -Z = l
4740 Sz^=Mp.tiF•n^-Zs^
,^ ^)
4750_
CAL= C pr od i: r. 11 ,N"'_.,,
''-,1 ,^
'`J"'
^,^^^^ 1'à^^'
4760 CALL Cquat(Sz1,Sz2,N21,I`.22,S1 , S2) ! s = kompl.Steigung an der
?
Stell
^:
477[) ! BERECHNUNG DES ITERATIONSSCHRITTES VON G!: Pi
4780 CALL Cguot(Mdl,r-(d2,S1,8; ,Oi1,0iL)
4740 0.1=01+Oil
4000 ;^^L=C,I2+Qi t! I T LF'ATIONSSCHRITT
4810 IF ABS(Oil)>P7/2 OR A8•S(f?i2):-FI/2 OR 02:0 THEN
4020 J--1
4830 RETURN
4040 END IF
4850 J=J+1
4860 GOTO Ovorgabe
4870 SUBEND
4880 SLID Fehlisingr (r-1h1,Mh2,M01,MO2,L?1,C2,Dg1,Dq2)
A18,11
4390 COw /Par/ M+q,mfq,Fq1,Fq2,Xc,Vc,Ac,Fc,Va,vu,QfI,Di,Mp,Mv,Nh,Kh(*
),Vh(*),Mo(*),Rh,Dph,Kp,Rv,Rmess,Dpmess,smin,cmax,Phimin,phima,
4900 vorgegeben
!
4910 ! pnhl,mh2 = kompl ' Trägheit des Hintergrundes hinter Kraftau+neh
m 1-
4920 / Rh, Dph = relativer (Betrags-) und p hasenfehler dazu
4930 ! M01,MO2 = gemessene xompz ' rrügêit=Kra+L hinter- / 3eschl ' vo
r Probe
4540 ! Rmess,opmess = rezativer (Betrags-) und p hasen+eoler dazu
4950 ! Q1 , Q2 = durch IPITISIwQR bestimmte kompl. Wellenzzhl in der
Probe
= Probenmasse , rel. Fehler
4960 ! Mp , Rp
= vor Kraftaufnehmer mitschw. Masse, rel. Fe»ler
4970 ! Mv ,Rv
4980 ! zu bestimmen;
4990 ! dq| , dq2 = kompl. Fehler der kompl. Wellenzahl Q
5000 !
5010 ! Berechnung der REL. kompl. Fehler
5020 Dm01=SQR((Rmess*M01)^2+(Dpmess*n02)^2)
5030 Dm02=SQR((Rmese*n02)^2+(Dpmess*M01)^2)
5040 CALL Cquot(Dm01 , Dm02,M01,MO2,R01,R02)
5050 Dmh1=SOR((Rh*Mh1)^2+(Dph*Mh2) ~Z>
5O60 Dmh2=SQR((Rh*Mh2)^2+(Dph*no1)^2>
5070 CALL Cquot(Dmh1,Dmh2,Mh1,nh2,Rh1,Fh2)
5080 ! Rp
5090 ! Rv
5100 ! Massenverxältnisse:
5110 CALL Cquot(M01,MO2,Mh1,nh2,NOh1,N0h2)
5120 Nvp=Mv/mp
5130 Mg1~Mh1+Mv
5140 Mo2=Mh2
5150 Ngpl=mg1/Mp
3160 wop2=Mg2/Mp
5170 Nohvp1=N0h1*Nvp
5180 mohvn2=N0h2*Nvp
5190 CALL Cprod(NOh1~M0x2,Ngp1,wgp2,N0hop1,NOhgo2)
5200 ! Trigon. Funkt.
5210 CALL Csi:(Q1,02,S0,3q2)
5220 CALL Ccos/Q1,QZ,Cci1,Cq2>
5230 CALL Cprod(01,Q2~8q1,8q2,0sq1,Qsq2)
5240 CALL Cprod(Q1,Q2,Cq1,Cq2,Qcq1,Qcq2)
5250 puq1=Sq1+Qcq1
5260 puq2=Sq2+Qcq2
5270 ! Berechnung der partiellen DifferentiaIe der Fehler+ortp+lanzun
^
3280
5250
5300
5310
5320
CALL Cprod(N0hz,N0h2,Cn1,Cq2,U1p1,U1p2)
Up1=1-U1pi
Up2=-U1n2
CALL Cprod(N0hvp1,NOhvp2,Osq1"Qsq2,Uv1,Uv2)
Uh1=Ulpi-Uvi
5^30 Uh2=U1p2-Uv2
5340 CALL Cprod(wOh1`w0h2,sq1,Sq2,U1q1,U1q2)
5350 CALL cprod(N0hgp1,N0hnp2,ruqz,P:q2,U2g1,U2q2)
5360 Un1=U1q1+1J2q1
5370 Uq2=U1q2+U2q2
5380 ! Korrektur des Differentials up,
5390 ! da die rrobenmassen+ehler von E(mp,q) und qOmp) korrelieren
3400 ! (sich für q gegen 0 genseitig aufheben).
5410 ! In up ist also der rrobenmasszn+ehler von E (mp , q) mit eingerec
hnet'
3420 Qh1=Q1/2
Fraunhofer-Institut für
Bavuhysm
A18.12
5430 Qh2=Q2/2
5440 CALL Cprou(Qh1,Qo2,Ug1,Uq2,Uqro1,Unrn2)
5450 Upro1=Up1+Uqroz
5460 Upro2=Up2+Uqro2
! Berechn::g der kompl ' TetIfehzer +0,fp,fh,+v von p
5470
5400 CALL Cquot(R01,n02,Uq1,Uq2,F01,F02)
5490 pp1=Uprol*Rp
5500 pp2=Upro2*Rn
5510 CALL Cnuot(Pp1,Pp2,Un1,Uq2,Fp1,Fp2)
5520 CALL Cprod(Uh1,Uh2,Rh1,Rh2,ph1,Ph2)
5530 CALL Cqunt(Ph1,Fh2,Uq1,Uq2,rh1,Fh2)
5540 Fv\~Uv1*Rv
5550 pv2~Uv2*Rv
5560 CALL Cquot(Fv1,Pv2,Uq1,\ Uq2,Fv1,Fv2)
! Summation der rehler^.uadrate
5570
5580 oq1=SOR (F01^Z+Fp1^2+Fh1 ~2+Fv1^2)
5590 Dp2=sOn(F02^2+rp2~2+Fh2~2+rv^-z)
5600 SUBEND
5610 DEF FNCh(X)
5620 Ch~(EXP(X)+EXP(-X)>/2
5630 RETURN Ch
5640 FNEND
5650 DEF rNSh(x)
5660 sh=(EXp(X)-EXP(-X)`/2
5670 RETURN Sh
5680 FNEND
5690 SUB Cprnd(A1,A2,81,B2,P1,p2)
5700 P1=A1*B1-A2*B2
5710 P2=A1*B2+w2*B1
5720 SUBEND
5730 SUB Cinvers(o1,o2,B1,B2)
5740 A=A1^z+A2~2
5750 81=01/0
5760 82=-02/A
5770 SUBEND
5780 SUB Cquot(w1,A2°B1,o2,Q1,82)
5790 CALL cinvers(B1,B2,I1,l2)
5800 CALL Cprnd(o1,02,I1,I2,01,02)
5810 SUBEND
5820 DEF FNFhi(C1,02)! PHI=-PI'.'PI
5830 RAD
5840 IF C2=0 THEN phi~(1-58N(C1))*FI/2
5850 IF C2<>0 THEN Pbi=pZ/2_ATN(C1/C2)-(1-BEm(C2))*pI/2
5860 RETURN Phi
5870 FNEND
5880 SUB Cei:(n1,02,B1,82)
5390 B1=BIN(A1)*pNCh(A2)
5900 B2=COS(A1)*FNSh(A2)
5910 SUBEND
5920 SUB Ccos(A1,A2,B1,B2)
5930 91=COS(A1)*FwCo(A2)
5940 82=-SIN(A1)*FNSh(A2)
5950 SUBEND
5760 SUB Mouprint(pname$)
! oUSDRUCK ALLER BERECHmETEm DATEN UND DER PARAMETER ,FASSUNG VO
5970
M 5.11.85
5980 COM /Werte/ Fq(*),Sig(*),A(*),F(*)°E(*),Pbi(*),O(*),R+ e(*`,rp(*)
5990 COM / p ar/ Mfq,Nfs,Fq1,Fq2,xc,Vc,Ac,rc,va,Vh,0.+z,Di,Mp, Mv,Nh,Kh(*
),Vh(*),Mh(*),Rh,Dph,Rp,Rv,Rmess,Dpmess,Emin,Emax,Fhimin,Pbi ma x
6000 COM /Text/ T$
A1O.13
6010 PRINTER IS 707.
6o20 PRINT ^
E-/G-MODUL VON vIScOELA5TIScHEN pnDDEm ^
6030 PRINT
6040 PRINT ^
p rouenname =^;Fname$
6050 PRINT
6060 PRINT ^
^;T$
6070 PRINT
6080 PRINT ^
p robenorusse :^;Q+z*1-E+6;^ mm-'2 Querschnitt,
^;oi*1'E+3;^ mm Dicke
6090 PRINT
Probendichte :^;Mp/11)fI/Di;^ko/m^3^
6100 PRINT
6110 PRINT .
Maximale Amplitude =' ';Xc*1'E+6:' 'mü^
6120 PRINT
Maximale Schnelle =' ';vc*1'E+3;' 'mm/s^
6130 PRINT
='
Maximale Beschz'
6140 PRINT it
Maximale Kraft
=' ';Fc;^N^
6150 PRINT
6160 PRINT .
FREQUENZ SIG.
KRAFT
E-MODUL PHASE
Q
FEHLER^
6170 PRINT ^
Hz
V
ms----2
N
N /mm~2
GRAD
BRAD % GRAD"
6180 PRINT "
.
6190 Mod+orm:
IMAGE 5X,4D'D,2X,D'2D,2X,2D'2D,3X°2D'40,1X,6D'3D,5X,4D,
3X,4D,2X,2D,2X,2D
6200 FOR I=1 TO wfq
6210 IF E(I)>1-E+4 THEN
6220 PRINT USING Modform;Fq(I),Sig(T),A(I),F(I),E(I)*1'E-6°Phi(I)*180
/PI,E1(I)*180/pI,n+e(I)*1OO,Fp/I/*180/PI
END IF
6240 NEXT I
PRINT ^
6260
t^
6270
6280
6290
67.00
PRINT ^
Stottoar
PRINTER IS 1
SUE/END
SUB nodpzot(pname$)
REM PLOTTEN DER ERGEBNISSE VON MODUL-MESSUNGEN ,FASSUNB VOM 5'11
6310 COM /Werte/ Fq(*),Sig(*)~A(*),F(*),E(*),Phi(*),Q(*),n+e(*),Fp(*)
6320 COM /Par/ Mfq,N+q,Fq1,Fq2,Xc,vc,Ac,Fc,va,vb,o+l,Di,np,Mv,wh,Kh(*
),Vh(*),Mh(*),Rh,Dph,Rp,Rv,Rmess,Dpmess,Emin,Emax,P»imin,phimax
6330 COM /Text/ T$
6340 DIM xx(400)
6350 GRAPHICS ON
6360 PLOTTER IS 705,^HPGL It
6370
!CALL Fhgibp(PnameS)
63B0 VIEWPORT 0,140,0,100
67.90 WINDOW 70,-70,-50"50
6400 DEB
6410 LDIR 90
6420 LOKs 5
647,0 CSIZE 4
6440 LINE TYPE 1
6450 MOVE 65,0
6460 LABEL pname$
6470 CS/7r7 2
6480 MOVE 58,0
6490 LABEL T$
6500 CSIZE 3
A18.14
6510 Mpz(0)~Mzm(m*p-1,1)
4520 xpl1(0)=Fq1
4530 xpz2(0)=Fq2
4540 vzEWPoRT 60,120,10,9O
6550 Xpz1(1)=Emin
6560 Xpl2(1)=Emax
6570 Mpl(1)=1
6580 LINE TYPE 1
4,581 WINDOW 1,0,0,1
65B2 BOTO 665n""" T1111 ' '''''''' '''''' ''''''''
4570 CALL Linzuggrid(MpI(*),Xpl1(*),Xpl2(*))! SONBT WINDOW 1,0,0,1
6600 MOVE 1'057'05
6610 LADE! ^BETnAG E [N/m^2] ^
6620 MOVE -'17-5
6630 LABEL "FREQUENZ [Hz]"
6640 ! Plotten der E-kurve
6650 FOR I = 1 TO Nfq
6660 Xx(I)=E(I)
6470 NEXT I
6680 BOsUB Kurve
6690 ! Pzotten der Gren z linien
6700 IF Moz(0)=1 AND Mpl(1)=1 THEN
6710 LINE TYPE 4
672o Ro=Mp/Qfz/Di
6730 Eq=Ro*(Di*2*pI*Fu2)~2
4740 Qma^=sOR(Eq/Emin)
6750 Nqmax=zNT(1/2*(1+2/PI*Umax))
6760 FOR N=1 TO Nqmax
6770 Q0=(2*N-1)*PI/2
6780 Fq0~1/(2*PI)*S0R(Emin/Ro)*Q0/Di
6790 E0=Eq/Q0^2
6800 MOVE 07LBT(Fq0/Fq1)/LGT(Fq2/Fg1)
6810 DRAW LBT(EV/Emin)/LOT(Emax/Emin),z
6820 NEXT N
6830 END IF
6040 LINE TYPE 5
6850 FOR I=1 TO mfq
6860 Xx(I)=E(I)*(1+n+e(I))
6Br0 NEXT I
6800 BO ^ UB Kurve
6090 FOR z=1 TO N+o
4900 Xx(z)=E(I)*(1-Rfe(I))
6910 NEXT I
6920 BOSUB Kurve
6930 VIEWPORT 20,40,10,90
6940 xpz1(1`=phimin
4950 XpI2(1)=Phimax
6960 Mpl(1)~0
6970 LINE TYPE 1
6971 WzNDOw 1,0,0,1
!!r!r!!!!!^
6972 GOTO 7010/!!!!!!(!!!!!!!!!!!'!!
6980 CALL LinIoggrid(Mpz(*),Xpl1(*),Xpl2(*))
6990 MOVE 1'1,0
7000 LABEL "PHASE"
7010 FOR z=1 TO N-fq
7020 xx(I)=Phi(I)*lBo/Pz
7030 NEXT I
7040 GOSUB Kurve
7050 LINE TYPE 5
A18.15
7060 FOR 1=1 TO Nfq
7070 Xx(I)=F'hi (T):t(1+Fp(I))*180/F.1
7000 NEXT I
7090 GOSUB Kurve
7100 FOR T=1 TO Nfq
7110
Xx (I)=Phi (I)--(1—Fp (I) )*18_/PI
7120 NEXT I
7 130 GOSUB Kurve
7140 PENUP
7130 SUBEXIT
7160 Kurve: CLIP ON
7170 FOR I-1 TO Nfq
7100 IF Mpl (0)=0 THEN Zfq==(Fq(I)—F,1)/(Fu—Fq1)
7190 IF Mpl (0) =1 THEN Z'Fq—LST (Fg (I) /F q l) /LST (Fq2i Fq I )
7°00 Ze=0
7210
IF Mpl (1)=0 THEN 7e=(Xx (I) — Xpl1 (1))/(Xpl (1) — Xpl1 (1) )
7220 IF MpI (1) =1 AND Xx (I) >Xpl 1 (1) THEN .'_e=LOT (Xx (I) /'Xpl 1 (1)) /LBT
2(1)/Xpl1(1))
7°70 IF 1=1 THEN MOVE Ze,Z1--q
7240 IF 1>1 THEN DRAW Ze,Z-fq
7250 NEXT I
760 RETURN
7770 SUBENDE
7280 SUB Linloggrld (M(*) ,X1 (*) ,X2(*) )
7290 REM ZEICHNEN EINES LINEAR ODER LOGARITHMISCH SETEILTEN SITTERS
77.00 REM M(0)=0 LIN. ,M (0) =1 LOG. TEILUNG IN X— RICHTUNG
7310 REM M(1)=0 LIN. ,M(1) = 1 LOG. TEILUt
IN Y— RICHTUNG
REM L , ...^ ^.(f>) •ER _,t_
i HCS B^ Êi
F JZEP! IN X— RICHTUNG
_','tr1 (^:)
7330 REM X1(1),
1) BEREICHSGRENZEN IN RICHTUN
7340 DIM X.t(20),U(20)
7350 WINDOW 1,0,0, 1
7360 DEG
7770 LD I R 90
7780 CEIZE 2
7390 LORE 5
7400 FOR D=0 TO 1
7410 CLIP ON
7420 IF M(D)=0 THEN
7430 FOR X=0 TO
STEP
7440 GOSUB Line
7450 NEXT X
7460 CLIP OFF
7470 X=0
7480 GOSUB Stelle
7490 LABEL XI(D)
7500 x=.5
7510 GOSUB Stelle
7520 LABEL (Xl(D)+X2(D))/2
7530 Ä=1
7540 GOSUB Stelle
7550 LABEL X2 (D)
7560 ELSE
7570 CALL Logteil(:X1(D),X (D),N,Xt(*),U(-':))
7580 FOR I=0 TO N
7590 X=Xt(I)
7600 GOSUB Line
7610 NEXT I
7620 CLIP OFF
7630 FOR 1=0 TO N
7640 X=Xt(I)
I
A]8.]G
7650 GOSUB Stelle
7660 LABEL U(I)
7670 NEXT I
7680 END IF
7690 NEXT D
7700 SUBEXIT
7710 Stelle: !
7720 MOVE (l-D)*(-.05)±D*X,(1-D)*X-.05*D
7730 RETURN
7740 Line:!
7750 MOVE D*X,(1-0)*X
7760 DRAW (1-D)+D*X,(1-D)*X±D
7770 RETURN
7780 SUBEND
7790 SUB Logteil(XI X2,N1,Xt(*) U(*))
7800 REM TEILUNG DES INTERVALLS XI...X2
ENTSPR. NORM.STRECKE 0...1
7810 REM NACH LOGARITHMISCHEN SCHEMA 1,2,5,10,20,50 USW.
7820 REM
ANZAHL WERTE : NL
7 4.30 REM XT(*) = NORM. STRECKENABSCHNITT = 0 ....1 ZU ZAHLEN U(*) GEH
öRIG
7840 REM U(*) = ZWISCHENZAHLEN
XI.. X2 NACH LOG.SEHEMA
7850 OPTION BASE 0
7860 DIM Lg(2),UI(2)
7870 U1(0)=1
7980 U1(1)=2
7890 UI(2)=5
7900 Lg(0)=0
7910 Lg(1) = .301 ! LN(2)
7920 Lo(2)=.699 ! LN(5)
7930 L=LOT(X2ZX1)
7940 N1=0
7950 Xt(0)=0
7960 U(0)=X1
7970 LI=FRAGT(LBT(XI))
7980 FOR 1=2 TO 0 STEP -1
7990 IF Li>Lg(I)-.001 THEN 8020
8000 NEXT I
8010 GO TO 3070
8020 FOR I1 = 1+1 TO 2
8030 N1=N1+1
8040 Xt(N1)=(Lg(11)-LI)/L
8050 U(NI)=U1(II)
8060 NEXT II
8070 J1=INT(LST(X2))-INT(LGT(X1)±1)
0080 FOR J = 1 TO J1+1
8090 FOR I = 0 TO 2
0100 N1=NI+1
8110 X=(J+Lg(1)-Li)
8120 IF X>L-.001 THEN 8130
8130 Xt(N1)=X!L
8140 U(N1)=U1(1)
8150 NEXT I
8160 NEXT J
8170 NI=N1+1
8180 Xt(N1)=1
8190 U(N1)=X2
8200 SUBEND
A19.1
A19
Meßergebnisse für die frequenzabhängigen E-Module der ausgewählten Fugendichtstoffproben
A19.2
P11SI12
29.3.86
PHASE
90
i
45
% ' ßA
AmmearAwaln_
0
20
5
2
1
1
5
2
4000
BETRAG E CN /m^ 23
5.E+7
/
/
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/
2
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/
1
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/
/
5
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2
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500000
20
5
1
2
5
1
2
4000
FREQUENZ CHzJ
I BP
Fraunhofer–Institut für Bauphysik 1986
Stuttgart
A19.3
P239I12
29.3.86
PHASE
90
45
0 20
5
1
2
1
5
2
4000
BETRAG E EN/m^27
5.E+7
2
-,1
1
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5
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2
1
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500000
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2
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4000
FREQUENZ CHz7
Fraunhofer — Institut für Bauphysik 1988
I Bf
Stuttgart
A19.4
P24SI 12
29.3.86
PHASE
90
-
45
^^",
®
20
5
1
1
5
2
2
4000
BETRAG E EN/m^27
5.E+7
/
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2
/
1
/---- \
\
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5
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.-/-:. ,--,----'
---- ^
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jil
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2
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1
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5
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2
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20
/
/
/
500000
/
1
/
2
/
/
4000
FREQUENZ CHz7
I BP
Stuttgart
1988
A19.5
P21SIAl2
29.9.86
PHASE
90
.
1WM_
11'
11111
45
1MITE0 20
BETRAG E
5
I
2
1
5
2
4000
EN/m^2]
5.E+7
/
/
/
2
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1
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5
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2
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1
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500000
20
5
1
I BP
5
2
FREQUENZ
/
/
1
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/
2
{
\\^f
VV/
/ /
/ /
4000
CHz]
für
Stuttgart
Fraunhofer—Institut
Bauphys i k
1
986
A19.6
P82SIB
1 2
29.3.86
PHASE
90
45
0
t/ 1
20
5
1
1
5
2
2
4000
BETRAG E EN/m^27
/
5.E+7
/
/
/
2
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2
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1
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5
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^-^^/ ~ /
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2
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f^^__ -i
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500000
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1
2
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5
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1
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/
/
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/ /
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2
4000
FREQUENZ CHz]
I BP
Stuttgart
1886
A19.7
P411KSI12
29.3.86
PHASE
90 45
0 20
4000
BETRAG E [N/m^2]
5. E+7
/
2
/
/
/
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1
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/
5
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/ A ^
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2
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1
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500000
20
5
1
2
r
5
i
1
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/
i i
2
/
4000
FREQUENZ [Hz]
IBP
Fraunhofer — Institut für Bauphysik
Stuttgart
1986
A19.8
P422KSI12
29.3.26
PHASE
90 45
^
0 20
2
5
2
1
4000
BETRAG E CN/m^23
5.
E+7
2
1
^
^
i
,^
^
-^
_
y%-^---^
2
1
20
5
1
2
FREQUENZ
IBP
/
--/
/
500000
1
/
5
/
Ai
/
5
/
/
/
/
/
/
/
1
/
/
/
/
/ /
/ /
/ / /
2
4000
CHz3
198E
Stuttgart
A19.9
P43SI 12
29.3.86
BETRAG E CN/m^2]
5.E+7
/
2
/
/
i/
/
z____ /-
1
__
5
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^j
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/V / ^ ^ '` /'4
i;^^
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2
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.._/
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L
1
/
500000
20
5
1
/
2
/
5
1
/
/ /
/ / /
2
4080
FREQUENZ CHz]
IBP
1986
Stuttgart
A19.10
P521SIR12
29.3.86
PHASE
90
MINNIFILI
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FREQUENZ CHz]
I Bf
Fraunhofer—Institut für
Stuttgart
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1986
A19.11
P6 1 S I A6
29.3.86
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FREQUENZ [Hz]
IBP
1986
Stuttgart
A19.12
P92SIB12
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FREQUENZ CHzI
I BP
Fraunhofer — Institut für Bauphysikk
1989
Stuttgart
A19.13
P711
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FREQUENZ [Hz]
IBP
Fraunhofer—Institut für Bauphysik 1986
Stuttgart
A19.14
21<SI12
TD 7
29.3.86
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IBP
Stuttgart
A19.15
941<SI12
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Stuttgart
A19.16
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FREQUENZ CHz]
IBP
Stuttgart
A19.17
PB5SIA l 2
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Stuttgart
A19.18
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Fraunhofer — Institut für Bauphysik 1 9 8 6
Stuttgart
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Stuttgart
A19.20
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FREQUENZ CHz7
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Stuttgart
A19.21
P21PS3
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Stuttgart
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1986
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Stuttgart
1986
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Stuttgart
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Stuttgart
A19.28
P19PU24
1.4.86
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— Institut für
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1988
A19.29
P22PU12
29.9.86
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Stuttgart
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1986
Stuttgart
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P541<PU12
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Stuttgart
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Stuttgart
A19.36
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/ / / / /
1
/
/
/ / / / / //,
/
/
/ / / / ///,
500000
2
20
5
1
2
5
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
—
für Bauphysik 1988
IBP Fraunhofer Institut
Stuttgart
A19.37
P 82 <0R <12
29.3.86
PHASE
90
45
5
20
1
1
5
2
2
4000
BETRAG E EN/m^27
5.E+7
2
/
/
/ ^
/ J v
5
__-.
2
^%
,--- --- i
_^
_---,
^^
------ _____-
--
^-~
`
/
/ .^ .--/
,
,
_
/
/
/
/
500000
20
5
2
5
2
4000
FREQUENZ CHz7
IBP
Stuttgart
A20.1
A20
Berechnung des frequenzabhängigen Körperschall-Transmissionsgrades
Allgemeine Voraussetzungen: - viscoeiastische homogene Schicht der
Dicke d, senkrecht dazu unendlich ausgedehnt,
- mit Dichte p und komplexem E-Modul E,
- zwischen zwei Wänden aus gleichem
Material, ebene Berührungsflächen mit
der Zwischenschicht, senkrecht darauf
die Strecke d,
- mit Dichte pw und reellem (nichtverlustbehaftetem) E-Modul Ew;
bei linearem Verformungsverhalten
aller beteiligten Stoffe
-
Betrachtung bei einer harmonischen
Schwingung der Frequenz w.
Zielgröße:
Transmissionsgrad = Quadrat des Amplitudenverhältnisses der Schallschnellen
in den Wänden.
a) Eindimensionales Modell:
-
alle Bestandteile (Wände, Zwischenschicht) parallel zueinander und
flächig - unendlich ausgedehnt, die
Wände sind auch nach außen hin unendlich ausgedehnt, bilden also Halbräume;
-
senkrechter Durchgang einer ebenen
Longitudinalwelle (siehe Bild 80 in
Kapitel 8.1.1)
b) Zweidimensionales Modell: - die Wände sind flächig-unendlich ausgedehnt, haben eine Dicke dw;
A20.
2
die Zwischenschicht (Fuge) hat die
-
Breite b, sie ist eindimensional unendlich ausgedehnt, bildet also eine
linienförmige Verbindung mit dem rechteckigen Querschnitt b.d;
-
die Zwischenschicht überträgt Longitudinalwellen und koppelt damit quer
zu ihr laufende Biegewellen auf den
Wänden;
-
die Wände sind dünner als ein Viertel
der Biegewellenlänge in ihnen, so daß
ausschließlich Biegewellen in ihnen
auftreten;
-
die Fugenbreite b ist wesentlich kleiner
als die Biegewellenlänge in den angrenzenden Wänden, so daß die linienförmige Fuge zwischen den flächigen Wänden
vereinfacht wie eine stangenförmige,
d.h. punktförmig angreifende Querverbindung zwischen zwei parallel-laufenden
Stäben betrachtet werden kann. (Siehe
Bild 81 in Kapitel 8.1.1.)
Herleitung des Transmissionsgrades aus dem Impedanzverhältnis.
Die Herleitung für den Fall des Durchgangs ebener Longitudinalwellen (a)
ist bei Cremer [30] und bei Cremer/Heckl [31] zu finden.
Sie geht von folgenden Überlegungen aus: (s. Bild 80 in Kap. 8.1.1)
-
die Schalldrücke und Schallschnellen einfallender und reflektierter
Welle einerseits und transmittierter Welle andererseits müssen an
beiden Grenzflächen gleich sein;
-
in der Zwischenschicht findet eine (kurze) Wellenausbreitung statt,
die zu einer Phasenverschiebung der Drücke an den beiden Grenzflächen führt;
A20.3
- die Welle wird in der Zwischenschicht unendlich oft hin- und herreflektiert, die jeweils dabei von der einen zur anderen Wand transmittierten Schallanteile addieren sich.
Daraus resultieren folgende Formeln für den komplexen Transmissionsfaktor T, das Schalldruck- (und Schallschnellen)-Verhältnis Ausfallseite/Einfallseite:
Mit Wanddichte pw und E-Modul Ew ist die Schallgeschwindigkeit in der
Wand
c
>%
_
W
Ew
p
(nach 15)
w
der Wellenwiderstand (Eingangsimpedanz bei unendlicher Ausdehnung)
Z
= pW • cW
(nach 16);
analog ist für die Probe mit Dichte p 0 und (frequenzabhängigem!) E-Modul
E:
/
c= 3
—
E
PO
(nach 15),
der Wellenwiderstand (Eingangsimpedanz bei unendlicher Ausdehnung)
Z = po c
(nach 16);
die komplexe Wellenzahl in der Probe ist dann
Li)
K — c
( 69 ) ,
die zugehörige Relativzahl bei einer Schichtdicke d
= K • d
(73).
Wird nun als Impedanzverhältnis
V = Z / Zw
(145)
A20 -4
eingeführt, läßt sich eine komplexe Zahl
V F = 1/2 ( V + V-11,
(146)
als Maß für die akustische "Fehlanpassung" der Zwischenschicht einführen,
und der komplexe Transmissionsfaktor ergibt sich schließlich zu
T = (cos q + j V f • sin g) -1
(147) ,
wobei sowohl q als auch V f Material- und frequenzabhängig sind.
Für den Transmissionsgrad T als Maß für das Intensitätsverhältnis gilt
dann bei gleichen Materialien (wie hier den zwei gleichen Wänden) und
fortschreitenden Wellen stets
T
=1 T12
(148) .
Falls a) Longitudinal-Wellen-Durchgang:
Alle Formeln, insbesondere (16) und (145), können direkt übernommen
werden.
Falls b) Biegewellen-Kopplung:
Im zweidimensionalen Modell wird die Wand als dünner Stab und die linienförmige Fuge als praktisch funktförmig angesehen. Per Analogschluß soll
- zur Vereinfachung - darauf das Modell der mittigen, punktförmigen Anregung eines unendlich ausgedehnten, dünnen Stabes zu Biegewellen angewandt
werden.
Die Phasengeschwindigkeit von Biegewellen auf dünnen Stäben berechnet
sich (s. Anhang A23) aus den Formeln (30), (31), (32) und ist im vorliegenden Fall angenähert
C
BB
Ewdw 2
,/ co. 4 ^
3 12 • pw
(149) ,
also frequenzabhängig; (in dünnen Wänden ist sie wegen der verhinderten
Querkontraktion zwar geringfügig höher als in einem dünnen Stab; der
Effekt ist hier aber vernachlässigbar.)
A20.5
Die Impedanz Z"B (definiert als Kraft/Schnelle) zur punktförmigen Anregung
eines unendlich ausgedehnten, dünnen Stabes zu Biegewellen ist (nach [31])
Z" B = 2 • pw • (d w •1 ) • c B ( 1 + j)
(150)
wobei dw die Dicke der Wand und 1 ihre (als vorläufig endlich betrachtete)
Ausdehnung längs der linienförmigen Fuge ist.
Zur Berechnung des Transmissionsgrades sollen hier zur Vereinfachung
dieselben Oberlegungen gelten, wie im Fall a); dies ist plausibel, weil
das Material der Zwischenschicht und die direkt angrenzenden OberflächenBestandteile der Wände auch im Falle b) nur in Longitudinalrichtung
bewegt werden. Dann können nach wie vor die Formeln (146), (147), (148)
zur Berechnung des Transmissionsgrades verwendet werden.
Nur für das Impedanzverhältnis (145) muß ein neuer Ausdruck eingesetzt
werden. Entsprechend der veränderten Geometrie (endliche Dicke der Wand
und endliche Breite der Fuge) wird das Verhältnis der Druck/SchnelleImpedanzen Z/Zw (145) in ein Verhältnis von Kraft/Schnelle-Impedanzen
Z"/Z"B umgewandelt; entsprechend der Fugenbreite b und Fugenlänge i ist
Z" = 1 • b • Z
(151);
bei der Quotientenbildung kürzt sich dann - entsprechend dem einfachen
zweidimensionalen Modell - die in die dritte Dimension gerichtete Wandund Fugenlänge l heraus, so daß als kritisches Impedanzverhältnis für
die Biegewellenkopplung bleibt:
V B
(152)
= Z/Z B • b/d w
mit - analog wie (16) (153) ,
Z B = pw • C B • 2 • (1 + j)
wobei die Impedanz Z B - im Gegensatz zu der für Longitudinalwellendurchgang gültigen Zw - nun aber komplex und frequenzabhän gig ist.
Zusammenfassend gelten also für die Biegewellenkopplun g die Formeln
(15) und (16), (69), (73) für die Fuge, (149), (153) für die Wand, und
(152), (146), (147), (148) für den Transmissionsgrad.
A20.6
Drückt man das kritische Impedanzverhältnis bei Biegewellenkopplung zum
Vergleich durch das bei Longitudinal-Wellendurchgang aus (Gleichungen 15
für Wand, 149, 153, 152, Gleichung 16 für Wand), so folgt
_
^
Cw
V B
= V • d
• 0,658 •
w
>
%
• e
^ 4
(154).
w • dw
Mit zunehmender Frequenz (proportional der Wurzel) wird also der "Grad
der Fehlanpassung" - nach Gleichung (146) ist j '' V- 1 - und damit die
Schalldämmung bei Biegewellen-Kopplung größer als bei LongitudinalwellenDu rchgang.
A21.1
A21
Berechnung des Trittschallverbesserungsmaßes und einer mittleren
Frequenzabhängigkeit
Die Berechnung des Trittschallverbesserungsmaßes richtet sich streng nach
dem in DIN 52 210, Teil 4 [33], angegebenen Verfahren einer optimalen
Anpassung einer tatsächlichen Schalldämm-Kurve an eine Bezugspegel-Kurve
zur Ermittlung eines frequenzabhängigen Einzelwertes oLw. (Unterprogrammname: TSVM)
Pegelnotierung:
Vorgegebener Frequenzbereich:
generell in ganzen (gerundeten) dB.
16 Terzbereiche mit Zentralfrequenzen
von 100 Hz bis 3150 Hz.
Für jede frequenzabhängige Größe gibt es also 16 Zahlenwerte.
Vorgegebene frequenzabhängige Festgrößen
LNRO
=
Norm-Trittschallpegel einer (mit Norm-Hammerwerk angeregten) Bezugsdecke (nach Tabelle 6 in DIN 52 210,
Teil 4)
NTSPO
=
Normtrittschallpegel (Bezugspegel-Kurve nach Tabelle 5
in DIN 52 210, Teil 4).
Vorgegebene frequenzabhängige Variable:
AL = [ - 10 l g T t ] • dB
(156)
Tt ist der für ein Trittschall-Terzband gültige Körperschalltrans-
missionsgrad der Fuge, arithmetisch gemittelt aus den nach Gleichungen
(147) und (148) (siehe Anhang A20) berechneten frequenzabhängigen Transmissionsgraden (in evtl. anderem Raster als Terz-Raster). Die eckigen
Klammern deuten Rundung auf ganze dB an.
Zu berechnen:
Einzelwert des Trittschall-Verbesserungs-Maßes oLw, (DLW) in dB.
Mittlere Frequenzabhängigkeit MFQA des Trittschall-Verbesserungs-Maßes
bezüglich der Bezugspegelkurve (nach Tabelle 5) in dB/Oktave.
A21.2
Berechnungsalgorithmus:
1.) Berechnung der körperschallgedämmten Norm-Trittschallpegel
LNR = LNRO - AL
(157)
2.)
Setzen von J auf Anfangswert J = - 17
3.)
Erhöhung von J um 1
4.)
Berechnung der Abweichung dieser Pegel von der um den Pegel J
erniedrigten Norm-Trittschallpegel - (Bezugs-)Kurve
D = LNR - (NTSPO-J)
5.)
(158)
Berechnung der Summe aller positiven Differenzen D
(Frequenzindex i = 1...16)
SD = E max{ D i , 0 }
6.)
(159)
Falls SD < 32, d.h. mittlere positive Abweichung (in Richtung
"lauter") im Mittel ( 2 dB, dann weitere Erhöhung von J, d.h.
Verschiebung der Bezugskurve; Rücksprung zu 2.)
SONST:
7.)
Die Verschiebung der Bezugskurve um
V = J - 1
(160)
war offenbar (nach den Vorschriften von DIN 52 210) gerade noch
erlaubt; dann ist der um V erniedrigte Pegel der Bezugskurve
bei 500 Hz:
LNWR = 60 - V
(161).
Das Trittschall-Verbesserungsmaß DLW ergibt sich dann aus der Differenz
zum 500 Hz-Pegel der Normtrittschallkurve der Bezugsdecke zu
DLW = 78 - LNWR
[dB]
(162).
Die mittlere Frequenzabhängigkeit MFQA ergibt sich aus einer Regressions-
rechnung für die Differenzen
DK = LNR - NTSPO
(163)
der unverschobenen Ist - von der Soll-Kurve als Funktion der TerzbandNummer i; MFQA ist dann (da eine Oktave 3 Terzen hat,) gleich der dreifachen mittleren Steigung S dieser Funktion {i+DK}:
MFQA = 3 • S { i + DK ]
(Siehe Bild 83 in Kapitel 8.1.3).
(164).
A22.1
A22
In Körperschallübertragungsgrößen umgerechnete E-ModulMeßergebnisse der ausgewählten Fugendichtstoffe
A22.2
P113I12
10.4.86
20mm zwischen Stahlbeton TRRNSMISSIONSGRRD Cd13] bei L—Rnregung
0
—30
—60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ EHz]
DLw = 47 dB
Mfga=—.000441 dB
/Oktave
A22.3
P239112
10.4.86
20nan zwischen Stahlbeton
TRFNSMISSIONSGRRD NB] bei L—Rnreguna
0
—30
—60
20
5
1
2
5
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw = 33 dB
Mf g a = -2 . 48 dB/Oktave
A22.4
P245112
10.4.86
20mm zwischen Stahlbeton
TRRNSMISSIONSGRRD CdB] bei L— Rnregung
0
—30
—60
20
5
1
2
5
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw = 31
dB
Mf g a = --2 .
2
dB/Oktave
A22.5
P31SIAl2
10.4.86
TRRNSMISSIONSGRRD CdE] bei L-Rnregung
0
-30
-60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHzJ
DLw =
44 dB
Mfga=—,
6 22 dB
/Oktave
A22.6
P22S1B12
10.4.86
TRRNSMISSIONSGRRD CdB] bei L—Rnregung
0
—30
—60
20
5
1
5
2
2
4000
FREQUENZ CI-1z]
DLw = 43 dB
Mfga=—.836 dB
/Oktave
A22.7
P411KSI12
10.4.86
0
—30
—60
20
5
1
5
2
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw =
45 dB
Mf
ga =—. 396
dB /Oktave
A22.8
P422KSI12
10.4.86
TRRNSMISSIONSGRRD Cd137 bei L-Rnregung
0
-30
-60
20
5
1
2
5
1
2
4000
FREQUENZ CHz7
DLw = 42 dB
Mfga= -1.58
dB /Oktave
A22.9
P435112
10.4.86
TRANSMISSIONSGRAD CdB] bei L—Anregung
0
—30
—60
20
5
1
2
5
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw = 32 dB
Mf q a = -2 . 8 1 dB/Oktave
A22.10
P52 1SIAl2
10.4.86
TRRNSMISSIONSGRRD NB] bei L—Rnregung
0
—30
—60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw = 38 dB
Mf g a = --1 . Z dB/Oktave
A22.11
P6 1 S I A6
10.4.86
TRRNSMISSIONSGRRI] CdB] bei L—Rnregung
0
—30
N
—60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw = 41 dB
Mfqa=
a= 2 . ©4 dB/Oktave
A22. 12
P62SIB12
10.4.86
TRRNSMISSIONSGRRD CdE] bei L-Anregung
0
-30
-GO
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw = 42 dB
Mfga=—.591 dB
/Oktave
A22.13
P711K3I12
10.4.86
TRANSMISSIONSGRRD EdE] bei L-Einregung
0
-30
-60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ [Hz]
DLw ^ 46 dB
Mf q a=s . 153 dB /Okta
ve
A22.14
P721KSI12
10.4.86
TRRNSMISSIONSGRAD CdBl bei L—Flnregung
0
—30
—60
20
5
1
2
5
1
2
4000
FREQUENZ CHz7
DLw = 47 dB
Mf q a= .786 dB/Oktave
A22.15
P941KSI12
10.4.86
TRRNSMISSIONSGRRD CdE7 bei L—Rnregung
0
—30
—60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHz7
DLw = 38 dB
Mfga=-2.59 dB
/Oktave
A22.16
PO4SIB 1 2
10.4.86
TRRNSMISSIONSGRRD CdS] bei L-Rnregung
0
-30
-60
20
5
1
2
5
2
1
4000
FREQUENZ CHz]
DLw =
43 dB
Mf ga =—.
876
dB
/Oktave
A22.17
PB5SIAl2
10.4.86
20mm zwischen Stahlbeton TRRNSMISSIONSGRRD CdB3 bei L—Rnregung
0
—30
—60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw = 41 dB
Mfqa=-1.86 dB/Oktave
A22.18
P14PAl2
10.4.86
20mm zwischen Stahlbeton TRANSMISSIONSGRAD EdB7 bei L—Anregung
0
—30
—60
20
5
1
5
2
1
2
FREQUENZ Et-1z]
DLw = 26 dB
Mf q a=-3 . 5 dB/Oktave
4000
A22.19
P911KPA48
10.4.86
20mm zwischen Stahlbeton TRANSMISSIONSGRRD CdB] bei L—Anregung
0
—30
—60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw = 16 dB
Mf q a = -3 . 8 dB/Oktave
A22.20
P21PS12
10.4.86
TRANSMISSIONSGRAD CdB] bei L-Anregung
0
-30
-60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw = 37 dB
Mf g a = -2 , 17 dB/Oktave
A22.21
P5 12 KPS 12
10.4.86
TRRNSMISSIONSGRRD NB] bei L—Rnregung
0
—30
—60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw = 33 dB
Mfga=-1.74 dB
/Oktave
A22.22
P922KPS12
10.4.86
TRANSMISSIONSGRAD [dB] bei L—Anregung
0
—30
—60
20
5
1
5
2
FREQUENZ
DLw = 31 dB
1
2
4000
[Hz]
Mfga=-3.19 dB
/Oktave
A22.23
PB12KPS12
10.4.86
20mm zwischen Stahlbeton TRANSMISSIONSGRAD NB] bei L—Anregung
0
—30
—60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw = 32 dB
Mf g a= -3 . 1 dB/Oktave
A22.24
PB21KPS6
10.4.86
TRRNSMISSIONSGRRD CdB] bei L-Rnregung
0
-30
-60
20
5
1
2
5
2
1
4000
FREQUENZ [Hz]
DLw = 27 dB
Mfqa= -3.43
dB
/Oktave
A22.25
Pl3PUl2
10.4.86
TRFWSMISSIONSGRRD CdBI bei L—Flnregung
0
—30
—60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHzI
DLw = 35 dB
Mfga=-1,78 dB
/Oktave
A22.26
P22PU12
10.4.86
20mm zwischen Stahlbeten
TRANSMISSIONSGRRD CdE] bei L-Rnregung
0
-30
-60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHzl
11Lw = 33 dB
Mfga=-1.85 dB
/Oktave
A22.27
P521KPU12
10.4.86
20mra zwischen Stahlbeton
TRRNSMISSIONSGRAID EdB] bei L—Rnregung
0
—30
—60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw = 38
dB
Mf g a=-2 . 08
dB/Oktave
A22.28
P541KPU12
10.4.86
TRRNSMISSIONSGRRD NB] bei L-Rnregung
0
-30
-60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw = 28 dB
Mf q a = --2 . 44 dB/Oktave
A22.29
P731KPU12
10.4.86
TRANSMISSIONSGRAD CdEJ bei L—Anregung
0
—30
—60
20
5
1
2
5
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw =
44 dB
Mf g a=-• .
88 dB/Oktave
A22.30
PS11KPU12
10.4.86
TRRNSMISSIONSGRRD CdB3 bei L—Rnregung
0
—30
—60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHz3
pLw = 28 dB
Mf q a = -2 . 37 dB/Oktave
A22.31
P931KPU12
10.4.86
TRFNSMISSIONSGRFD [dB] bei L—Fnregung
0
.......---.A...\
—30
\
—60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ [Hz]
DLw = 29 dB
Mfga= -2.41
dB /Oktave
A22.32
PO3PU24
10.4.86
0
—30
—60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw _ 31 dB
W ga =-2, 6
dB/Oktave
A22.33
P82KORK12
10.4.86
20mm zwischen Stahlbeton TRRNSMISSIONSGRRD CdB] bei L—Rnregung
0
—30
—60
20
5
1
5
2
1
2
4000
FREQUENZ CHz]
DLw = 43 dB
Mf q a=-2 . 67 dB/Oktave
A23.1
A23
Formeln zum Biegeschwingungsversuch
Biegewellen auf dünnen Stäben allgemein
Analog dem E-Modul, das für die Ausbreitung von quasi-longitudinalen
Wellen auf den Stäben verantwortlich ist, ist es zunächst sinnvoll, ein
Biegemodul B" zu definieren.
Der E-Modul war definiert als der Quotient aus Spannung und Dehnung,
analog dazu ist die Biegesteifigkeit B definiert als Biegemoment pro
Krümmung, wobei Krümmung definiert ist als der Kehrwert des Krümmungsradius.
Bei der Biegung eines Stabes werden die Teile an der Außenseite der
Krümmung gedehnt, die Teile an der Innenseite der Krümmung gestaucht
und zwar proportional zu ihrem Abstand zu einer "neutralen" d.h. nicht
verformten Schicht; ebenfalls proportional zu diesem Abstand sind die
Biegemomente im Stab, (da Momente Produkte aus Kraft mal Weg sind); die
Biegemomente sind nun - multipliziert mit dem Abstand zur neutralen
Schicht - über die Querschnittsfläche des gebogenen Stabes zu integrieren; dieses gewichtete Flächenintegral läßt sich auch separieren, es
wird axiales Flächenträgheitsmoment J genannt. Ist b die Breite des
Stabes und d seine Dicke in Richtung des Krümmungsmittelpunktes, so
ergibt sich für einen Stab mit rechteckigem Querschnitt J als
J = bd3
12
(30).
Demnach ist die Biegesteifigkeit B
B = E • J
(31).
Der Biegemodul B" ist gleich der Biegesteifigkeit dividiert durch die
Querschnittsfläche: B" = B / (bd).
Die Phasengeschwindigkeit der Biegewellen auf einem Stab ergibt sich
nach Aufstellen der zugehörigen Wellengleichung zu
B"
m
-
3 m
4
p
(32),
wobei m' die längenbezogene Masse des Stabes, und p die Dichte des
Stabes darstellt.
A23.
2
Resonanzen des einseitig eingespannten, einseitig freien Stabes
Ist k die Wellenzahl der Biegewellen auf den Stab, so ergibt sich nach
Oberst [26] die Resonanzbedingung für diese Einspannungsart zu
cosh kl • cos kl = 1
(33).
1 ist die Länge des freischwingenden Stabes.
Außer der trivialen Lösung k = 0 (stehender Stab), ergeben sich damit
streng genommen anharmonische Resonanzfrequenzen; vernachlässigt man
jedoch den Fall der Grundwelle (kl = ir/2), so ist der Faktor cosh kl
wesentlich größer als 1, so daß dann aus der vereinfachten Resonanzbedingung cos kl = 0 für die Resonanz-Wellenzahl kn folgt:
Kn = (2n - 1) 7'1E
—
, n = (1),2,3...
(34).
Aus der allgemein gültigen Beziehung zwischen Wellenzahl und Kreisfrequenz
(35),
und Frequenz f = w/27 folgt für die Resonanzfrequenzen fn
^
2
f
_
7(2n-1)
81
3
Bo
(36),
2
In
woraus sich umgekehrt auch der Betrag der Biegesteifigkeit B bestimmen
läßt:
f
Bo
= m' • (271 2 ) 2 • (-4—)
2
,r
mit ß n
=
(2n - 1)
(37).
n
Legte man die strenge Resonanzbedingung (Gleichung 33) zugrunde, so
ergäben sich für die Zahlen ßn, insbesondere für kleine n, etwas andere
Werte als bei Gleichung (37) genannt:
für n = 1: ßn 2 = 3,52;
für n = 2: 13n 2 = 22.
Die Resonanzfrequenzen fn werden zweckmäßigerweise in einem Versuch mit
erzwungenen Schwingungen gemessen; vorausgesetzt der Schwingungserreger
ist an den schwingenden Stab nur schwach angekoppelt.
A23.3
Außer dem Betrag der Biegesteifigkeit B läßt sich dann auch der Verlustfaktor der komplexen Biegesteifigkeit B (Definition ähnlich wie beim
E-Modul) bestimmen; dazu wird die Halbwertsbreite of1/2 der gemessenen
Resonanzkurven bei jeweils einer Frequenz f aus dem Resonanzfrequenzspektrum fn bestimmt.
Der Verlustfaktor n ergibt sich dann nach
A
n
A ist dabei das logarithmische Dekrement (Logarithmus des Amplituden-
verhältnisses zweier aufeinanderfolgender Schwingungen), falls man alternativ den Stab frei ausschwingen läßt.
Die komplexe Biegesteifigkeit B läßt sich damit bei einigen Resonanzfrequenzen fn oberhalb der Grundfrequenz fl bestimmen.
Effektive Biegesteifigkeit eines Zweischichtsystems
Im Biegeschwingungsversuch (nach DIN 53 440) möchte man Betrag und Verlustfaktor des E-Moduls einer viscoelastischen Schicht bestimmen, die
zum Zweck der Messung auf einen dünnen Stab mit bekanntem E-Modul (z.B.
einen Blechstreifen) aufgetragen ist. Ist der E-Modul des letzteren
El
und seine Dicke d l , der unbekannte E-Modul der aufgetragenen Schicht
E2
=
E 2 (1 + jn 2 ), so möchte man aus dem Meßergebnis der Biegesteifigkeit
B dieser zweischichtigen Anordnung unter Anwendung der bekannten Größen
auf den E-Modul E2 schließen können; dazu ist die Herleitung der Biegesteifigkeit B aus den E-Modulen und den Dicken der beiden Einzelschichten
notwendig. Zweckmäßigerweise führt man dazu die folgenden Verhältniszahlen ein:
X = d 2 /d 1
(39)
A = E 2 /E 1 {*:
1
(40)
B = n 2 /n 1 >)
1
(41)
3ABX >) 1
(42),
In der Regel ist der Betrag des E-Moduls der zu prüfenden Schicht wesentlich kleiner als der des Blechstreifens: A = E2/E1 « 1.
A23.4
Andererseits ist ihr Verlustfaktor n2 praktisch immer erheblich größer
als der des Blechstreifens n1, Gleichung (41) ist demnach immer sehr gut
erfüllt.
Eine schärfere Bedingung stellt schon Gleichung (42) dar. Hierin wird
gefordert, daß - trotz der Weiche der zu prüfenden Schicht, festgelegt
durch Gleichung (40) - ihre "Verluststeifigkeit" ABX relativ groß zu
der des Blechstreifens ist. Praktisch kann dies bedeuten, daß sehr
weiche und nicht allzu verlustreiche viscoelastische Schichten wesentlich dicker als der Blechstreifen sein müssen.
Als Abkürzung wird nun entsprechend Gleichung (31) noch die Biegesteifigkeit B1 des Blechstreifens eingeführt:
3
d b
B1 = E
1 12
(43).
Ober die Betrachtung einer "neutralen Schicht", das heißt einer weder
gedehnten noch gestauchten Schicht des Zweischichtsystems, deren Lage,
- wie Schwarzl [27] zeigt, bei ungleichen Verlustfaktoren der zwei
Schichten selbst zeitabhängig ist und u.U. auch außerhalb des Zweischichtensystems feigen kann (!) - folgt nun nach längerer Rechnung
[26,27] für reine Biegewellen und mit den Annahmen der Gleichungen (40)
bis (42) für den Betrag der effektiven Biegesteifigkeit des Zweischichtsystems
B - B1 1 + 2AX (2 + 3X + 2X 2 ) + A2X4
1 + AX
und für den Verlustfaktor des Zweischichtsystems
2
3
2
AX (3 + 6X + 4X + 2AX + A X
n
=
(44),
4
2 4
n •
(1 + AX) (1 + 2AX (2 + 3X + 2X ) + A X )
2
(45).
Da B durch die Messung der Resonanzfrequenzen nach Gleichung (37) bestimmt ist, B1 und das Dickenverhältnis X ebenso bekannt sind, ist die
eigentliche Unbekannte, das E-Modul-Verhältnis A, woraus sich dann der
gesuchte E-Modul E2 der viscoelastischen Schicht ergibt. Hierzu ist eine
quadratische Gleichung für A zu lösen.
Ist nun auch A bekannt, und n durch Messung der Halbwertsbreite und
Anwendung von Gleichung (38) bestimmt worden, so kann nun nach Gleichung
(45) schließlich auch der Verlustfaktor n2 der viscoelastischen Schicht
bestimmt werden.
A24.1
A24
Fehlerfortpflanzungsrechnung für eine als Feder betrachtete
Probe mit Vor-Masse bei starrer Rückbefestigung
Die numerischen Komponenten der Anordnung sind:
-
eine (viscoelastische) Probe, deren komplexe Trägheit m zu
bestimmen ist;
-
eine (reelle) VOR-Masse mv.
Die starre Vormasse - die Alu-Probenhalterung - übermittelt eine von
außen aufgezwungene Kraft gleichmäßig auf eine Probe, mechanisch ist
sie der Probe parallel geschaltet. Die von außen meßbare Trägheit
m
ist daher einfach
(95),
^n – m + m V
oder umgekehrt ist die zu bestimmende Trägheit der Probe
m = m –mv
(96).
—
Die vorgegebenen Fehler sind:
-
der relative Betrags-Fehler der Trägheitsmessung rm;
-
der Phasen Fehler der Trägheitsmessung pcpm;
-
der relative Fehler der Bestimmung der Vor -Masse rv.
Die gesuchten Fehler sind:
-
der relative Betrags-Fehler der Probenträgheit: r;
-
der Phasen - Fehler der Probenträgheit
off.
A24.2
In der Betrags-Phasen-Formulierung ergibt sich für m komponentenweise
m l = m m • cos p m - my
(97a)
m 2 = mm • sin p
m
(97b)
und für die gesamten Fehler dieser Komponenten
dm 1 = m
m
(r cos (p m - sin (p m • ocp m ) - m y r y
(98a)
(98b).
dm 2 = mm (r m sin (p m + cos (p m • A(p m )
(Das entspricht dem totalen Differential.)
Die gesuchten Fehler, der relative Betragsfehler und der Phasenfehler,
berechnen sich aus den Komponentenfehlern allgemein zu
r = (m 1 dm 1 + m 2 dm 2 ) • m
= ( m 1 dm 2 - m 2
-2
(99a)
dm 1 ) • m -2
(99b).
Nach Einsetzen von 97a,b und 98 a,b in 99a und 99b und Sortieren der
Summanden nach den Fehlergrößen ergibt sich
r = r r (
my ml
) + r m ( 1+
m 2) +r (
op = r
( mv
v
m2
m
ml
my )+ o (P
my m2)
m2
(MV
( 1
+op
m
m2)
m2
m
+
mvml )
(100a)
(100b).
m2
Die Gleichungen 100 beschreiben alle die Fortpflanzung der vorgegebenen
(Meß-)Fehler zu den Fehlern der gesuchten Größe m vollständig. Die
wichtigste der in den Vor-Faktoren festgelegten sechs Abhängigkeiten
ist die zwischen der Ungenauigkeit, mit der die Vormasse my bestimmt
ist, rv, und der Betrags-Ungenauigkeit der Zielgröße m, r. In der Regel
ist der Verlustwinkel (p des E-Moduls der Probe gering. Im Spezialfall
= o, d.h. m2 = o, (p m = o und m = ml folgt aus (100a)
-m
m
y
+
r
—
)
m
m^
r = rv (
(1 m
)
(101)
A24.3
Die Gleichungen (100) und (101) sind aus der Bildung des totalen Differentials abgeleitet; die von unterschiedlichen Einflüssen herrührenden
Federsummanden werden darin linear addiert; diese Art der Addition ist
nur für systematische Fehler richtig. In der Regel aber handelt es sich
um zufällige Fehler oder zumindest quasi-zufällige, die nicht ursächlich miteinander verknüpft sind; in diesem statistischen Falle sind die
Quadrate der Fehlerkomponenten zu addieren. Die Gleichungen (100) und
(101) sind dann so zu modifizieren, daß die Zielfehlergröße gleich der
Wurzel aus der Summe der Fehlerkomponenten-Quadrate ist:
r = ( r2 • ( m
m
v
v
) 2
+
r
• ( 1 +
m
2
v12 ) 1/2
•
m
(102)

F 2050

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