Skript zur Vorlesung

Transcription

Hochschule Trier
Fachgebiet Vermessungstechnik
Fachrichtung Bauingenieurwesen
Prof. B. Lehmann
Skript zur Vorlesung
© Prof. B. Lehmann - 2014
Professor B. Lehmann
-1-
Vermessungskunde 1
Gliederung
Seite
Einführung ..............................................................................................................................................................3
Erdfigur...............................................................................................................................................................3
Erddimensionen ..................................................................................................................................................3
Maßsysteme ...........................................................................................................................................................4
Längenmaße:......................................................................................................................................................4
Winkelmaße:.......................................................................................................................................................4
Geodätisches Koordinatensystem............................................................................................................................4
Geodätische Hauptaufgaben ...............................................................................................................................5
1. Hauptaufgabe: ...............................................................................................................................................5
2. Hauptaufgabe: ...............................................................................................................................................5
Hinweise zum Führen eines Vermessungsrisses ......................................................................................................7
Hinweise zum Fertigen eines Lageplanes ................................................................................................................9
Lageberechnung ...................................................................................................................................................10
Kleinpunktberechnung.......................................................................................................................................10
Messungslinienberechnung......................................................................................................................11
Flächenbestimmung aus Feldmaßen .................................................................................................................12
Flächenbestimmung aus Koordinaten ................................................................................................................13
Aus Orthogonalkoordinaten:.............................................................................................................................13
Gauß'sche Trapezformel:.........................................................................................................................13
Gauß'sche Dreiecksformel: ......................................................................................................................13
Aus Polarkoordinaten:......................................................................................................................................13
Das Polarplanimeter..........................................................................................................................................13
Höhenfestpunkte...................................................................................................................................................14
Deutscher Normalhöhenpunkt von 1879 ............................................................................................................14
Deutsches Haupthöhennetz 1992 (DHHN 92) ....................................................................................................14
Höhenpunktfestlegungen...................................................................................................................................15
Instrumentenkunde................................................................................................................................................16
Einfache Höhenmessgeräte ..............................................................................................................................16
Bauarten von Nivellierinstrumenten ...................................................................................................................16
Gerätebauteile ..................................................................................................................................................17
Zubehör............................................................................................................................................................17
Nivellierlatten ....................................................................................................................................................18
Nivellementsarten .............................................................................................................................................18
Das einfache Nivellement ......................................................................................................................................19
Formularnotierung............................................................................................................................................19
Liniennivellement .............................................................................................................................................19
Ablaufschema eines Nivellements ....................................................................................................................20
Hinweise zum Ablauf eines Nivellements ...........................................................................................................20
Nivellierprobe nach NÄBAUER..........................................................................................................................21
Beispiel zur Fehlerrechnung und Abgleichung eines Doppelnivellements ............................................................21
Längs- und Querprofile ....................................................................................................................................22
Längsprofil...............................................................................................................................................22
Querprofile ..............................................................................................................................................25
Flächennivellement ...............................................................................................................................................25
Höhenrost.........................................................................................................................................................25
Höhenlinieninterpolation ....................................................................................................................................26
Erdmassenberechnung .........................................................................................................................................26
Erdmassenberechnung aus Querprofilen ...........................................................................................................26
Erdmassenberechnung aus Prismen .................................................................................................................28
Erdmassenberechnung aus Höhenlinien ............................................................................................................29
Grundlagen der Lagemessung...............................................................................................................................30
Geographisch Nord, Magnetisch Nord, Gitternord ..............................................................................................30
Kartennetzentwürfe ...........................................................................................................................................31
Mehrere geodätische Bezugssysteme................................................................................................................32
Gauß-Krüger-Koordinatensystem ......................................................................................................................32
UTM-System.....................................................................................................................................................33
Umstellung des geodätischen Bezugssystems ...................................................................................................34
Grundlagennetze ..............................................................................................................................................35
Horizontal-, Vertikal- und Positionswinkel...........................................................................................................36
Bauteile und Zubehör eines Theodolits ..............................................................................................................37
Einteilung der Theodolite...................................................................................................................................38
Ausschnitte von Teilkreisen ...............................................................................................................................38
Ablesebeispiele analoger Theodolite..................................................................................................................39
Horizontierung des Theodolits, Justierung der Stehachslibelle............................................................................40
Hinweise zum Ablauf einer Horizontalrichtungsmessung ....................................................................................40
Ablaufschema einer Horizontalrichtungsmessung ..............................................................................................41
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Vermessungskunde 1
-2-
Verfahren der Einzelpunktbestimmung .................................................................................................................. 43
Rückwärtsschnitt............................................................................................................................................... 43
Vorwärtsschnitt ................................................................................................................................................. 44
Vorwärtsschnitt über Dreieckswinkel ................................................................................................................ 44
Vorwärtsschnitt über Richtungswinkel .............................................................................................................. 45
Bogenschnitt..................................................................................................................................................... 46
Vertikalwinkelmessung.......................................................................................................................................... 47
Vertikalkreisablesung........................................................................................................................................ 47
Einfluss der Indexabweichung ........................................................................................................................... 47
Trigonometrische Höhenmessung ......................................................................................................................... 49
Grundlagen ...................................................................................................................................................... 49
Turmhöhenbestimmung mit horizontalem Hilfsdreieck........................................................................................ 49
Turmhöhenbestimmung mit vertikalem Hilfsdreieck............................................................................................ 50
Einfluss der Erdkrümmung ............................................................................................................................................. 50
Einfluss der Refraktion und der Erdkrümmung ................................................................................................... 50
Elimination von Refraktion und Erdkrümmung durch gleichzeitige Zenitwinkelmessung in zwei Standpunkten ..... 51
Koordinatentransformationen ................................................................................................................................ 52
Ähnlichkeitstransformation ................................................................................................................................ 52
Überbestimmte Ähnlichkeitstransformation ........................................................................................................ 54
Affintransformation............................................................................................................................................ 55
BASIC - Programm zur Affintransformation........................................................................................................ 57
Freie Standpunktwahl ........................................................................................................................................... 59
Polygonzüge......................................................................................................................................................... 60
Beiderseits angeschlossener Polygonzug .......................................................................................................... 60
Freier Polygonzug (Einrechnungszug) ............................................................................................................... 61
Ringpolygonzug................................................................................................................................................ 61
Tachymetrische Geländeaufnahme ....................................................................................................................... 64
Auswahl und Aufnahme der Geländepunkte ...................................................................................................... 65
Führung des Vermessungsrisses ...................................................................................................................... 66
Punktnummerierung.......................................................................................................................................... 68
Vermessung mit Hilfe von Satelliten....................................................................................................................... 70
Statistik und Fehlerlehre........................................................................................................................................ 74
Einführung - Terminologie ................................................................................................................................. 74
Häufigkeitsverteilungen..................................................................................................................................... 75
Graphische Darstellungen................................................................................................................................. 77
Klasseneinteilungen.......................................................................................................................................... 79
Verteilungsformen............................................................................................................................................. 80
Statistische Maßzahlen eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen ...................................................................... 81
Lageparameter ................................................................................................................................................ 81
Das arithmetische Mittel........................................................................................................................... 81
Das gewogenes arithmetisches Mittel....................................................................................................... 82
Der Median ............................................................................................................................................. 82
Der Modus .............................................................................................................................................. 83
Quartile, Dezile, Zentile, Quantile, Fraktile................................................................................................ 83
Das geometrische Mittel .......................................................................................................................... 83
Das harmonische Mittel ........................................................................................................................... 83
Streuungsparameter ........................................................................................................................................ 84
Spannweite ............................................................................................................................................. 84
Varianz und Standardabweichung............................................................................................................ 84
Variationskoeffizient ................................................................................................................................ 85
Zweidimensionale Merkmalsausprägungen ....................................................................................................... 85
Regressionsanalyse ........................................................................................................................................ 87
Lineare Regression ................................................................................................................................. 87
Korrelationsanalyse ......................................................................................................................................... 88
Normalverteilung............................................................................................................................................... 88
Gauß'sche Glockenkurve......................................................................................................................... 88
Standardisierte Normalverteilung ..................................................................................................................... 89
Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung ................................................................................ 92
Fehlerlehre ....................................................................................................................................................... 94
Fehlerarten...................................................................................................................................................... 94
Grobe Fehler ........................................................................................................................................... 94
Systematische Fehler .............................................................................................................................. 94
Zufällige Fehler........................................................................................................................................ 94
Begriffsdefinition.............................................................................................................................................. 95
Auswertung direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit................................................................................ 95
Auswertung direkter Beobachtungen verschiedener Genauigkeit ...................................................................... 96
Das Fehlerfortpflanzungsgesetz ....................................................................................................................... 97
Toleranzen im Bauwesen................................................................................................................................ 100
Hinweise zur Ausarbeitung der Übungen im Fach Vermessungskunde ................................................................. 101
Stichwortverzeichnis und Abkürzungen:............................................................................................................... 103
Literaturangaben:................................................................................................................................................ 104
Stand: Juli 2014
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Vermessungskunde 1
Einführung
Die Bezeichnung Geodäsie kann aus dem griechischen abgeleitet werden:
geos = Erde
dasei = teilen
F. R. HELMERT bezeichnete die Geodäsie als das Ausmessen und Abbilden der Erdoberfläche.
Dies umfasst die Bestimmung von Form, Größe und Schwerefeld der Erde sowie ihre Beschreibung in Plänen, Karten und Verzeichnissen. Heute gehört dazu auch noch die Bestimmung der
Oberfläche außerirdischer Körper.
Die Geodäsie gliedert sich in folgende Teilgebiete:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Erdmessung oder physikalische Geodäsie
Astronomische Geodäsie und Satellitengeodäsie
Landesvermessung
Topographie und Kartographie
Photogrammetrie
Bodenordnung und Bauleitplanung
Grundstücksvermessung (Katastervermessung)
Ingenieurvermessung
Gestalt der Erde – Geoid
Erdfigur
+ 18,9 m
- 25,8 m
Mittleres Erdellipsoid
Erdoberfläche, Geoid, Ellipsoid
Erddimensionen
Erddimension nach
Bessel
Hayford
Krassowskij
IUGG
IUGG - WGS 84
1841
1924
1940
1967
1984
Große Halbachse a
Kleine Halbachse b
6 377 397 m
6 378 388 m
6 378 245 m
6 378 160 m
6 378 137 m
6 356 079 m
6 356 912 m
6 356 863 m
6 356 775 m
6 356 752 m
Abplattung
ab
a
1 : 299,15
1 : 297
1 : 298,3
1 : 298,25
1 : 298,257 223 563
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Vermessungskunde 1
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Maßsysteme
In Deutschland gilt seit 1970 verbindlich das SI - System (Système International d'Unités).
 http://www.ptb.de/cms/fileadmin/internet/publikationen/DasInternationaleEinheitensystem.pdf
Längenmaße:
Längeneinheit ist das Meter (m).
 http://www.ptb.de/cms/themenrundgaenge/hueterindereinheiten.html
Durch Vorsatzzeichen lassen sich dezimale Vielfache bzw. Teile bilden:
Vorsatz
Vorsatzzeichen
Deka
Hekto
Kilo
Mega
Giga
Tera
da
h
k
M
G
T
101
102
103
106
109
1012
Vorsatz
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nano
Piko
Vorsatzzeichen
d
c
m

n
p
Winkelmaße:
In der Geodäsie wird das Gradmaß und das Bogenmaß verwendet. Es muss je nach Aufteilung
des Vollkreises unterschieden werden in:
Sexagesimalteilung:
Der Vollkreis hat 360 °
Zentesimalteilung:
Der Vollkreis hat 400 gon
Seit 1937 wird im Vermessungswesen in Deutschland einheitlich die Zentesimalteilung benutzt.
Vorteil hierbei ist, dass die Nachkommastellen Dezimalwerte sind. Alle Berechnungen werden also
grundsätzlich in GON vorgenommen! Diese Einteilung kann bei Berechnungen mit dem Taschenrechner problemlos berücksichtigt werden, indem in die Winkeleinheit GRAD gewechselt
wird.
Üblich für die Angabe von Teilen eines Gon-Winkels ist die Angabe mgon. Die Bezeichnung Neugrad (g), Neuminute (c) und Neusekunde (cc) sind seit 1978 ungültig und dürfen nicht mehr benutzt werden!
Geodätisches Koordinatensystem
Das geodätische Koordinatensystem ist ein Linkssystem. Die positive Abszissen - (X) Achse zeigt
nach Norden, die Ordinaten - (Y) Achse zeigt nach Osten. Ein Winkel wird von der X - Achse
rechtsläufig abgetragen, er heißt
Richtungswinkel t.
x
P
t
y
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Vermessungskunde 1
Lage der Quadranten:
IV
I
III
II
Geodätische Hauptaufgaben
1. Hauptaufgabe:
Berechnung von polaren Punkten
Gegeben: P1 (y1 ; x1)
t1,2 und s
Gesucht: P2 (y2 ; x2)
x
y2 = y1+y
x2
y = s  sin t1,2
x t1,2
s
 P2
x = s  cos t1,2
x2 = x1+x
x1
y1
 P1
y
2. Hauptaufgabe:
Berechnung von Richtungswinkel und Entfernung
Gegeben: P1 (y1 ; x1)
P2 (y2 ; x2)
Gesucht: t und s
x
y2
y2 - y1
x2
x2 - x1
x1
y1
t1,2
P 2
t2,1
s
 P1
y
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Vermessungskunde 1
-6-
Zur Vereinfachung der Berechnungsansätze und zur Vermeidung von Verwechslungen mit dem
mathematischen kartesischen Koordinatensystem werden zweckmäßiger Weise als Koordinatenachsen die Bezeichnungen Rechts und Hoch eingeführt.
Mit R  R 2  R1 und H  H2  H1 lässt sich die Strecke entsprechend dem Lehrsatz des Pythagoras bestimmen zu: s  R 2  H 2 . Damit und mit den trigonometrischen Funktionen lässt
sich im rechtwinkligen Dreieck der Dreieckswinkel  jeweils ermitteln:
tan  
R
H
bzw.
sin  
R
s
cos  
H
s
Mit allen drei Berechnungsansätzen müsste sich für den gesuchten Richtungswinkel t immer das
gleiche Ergebnis ergeben!
Beispiel:
ΔR
Q
ΔH
s
  arctan .
[gon]
t
t
  arcsin .   arccos .
[gon]
[gon]
[gon]
I
3
4
5
40,966
40,966
t=α
40,966
40,966
II
3
-4
5
-40,966
159,033
t = α + 200
40,966
159,033
III
-3
-4
5
40,966
240,966
t = α + 200
-40,966
159,033
IV
-3
4
5
-40,966
359,033
t = α + 400
-40,966
40,966
Zur eindeutigen Festlegung ist auf jeden Fall die Betrachtung der Lage in den jeweiligen Quadranten erforderlich.
Eine einfachere Berechnung erlaubt die Polarfunktion POL bzw. die Polartaste des Taschenrechners: Beim SHARP – Taschenrechner müsste folgende Eingabe vorgenommen werden:
Tasten:
ΔR ↕ ΔH ↕
Q
ΔR
ΔH
SHIFT → r θ
↕
liefert s
liefert θ
[gon]
t
[gon]
t
[gon]
I
3
4
5
40,966
40,966
t=θ
II
3
-4
5
159,033
159,033
t=θ
III
-3
-4
5
-159,033
240,966
t = θ + 400
IV
-3
4
5
-40,966
359,033
t = θ + 400
Der angezeigte Winkel θ hat also den Definitionsbereich
(  200    200 )
in gon.
Zur eindeutigen Bestimmung des Richtungswinkels ist folgende Vorgehensweise sinnvoll:
Es wird über – ΔR und – ΔH zunächst der Gegenrichtungswinkel berechnet und danach
grundsätzlich 200 gon hinzuaddiert. Dies führt nun zum Definitionsbereich für t ( 0  t  400 ).
Bei der Programmierung im SHARP Taschenrechner kann über die Polarfunktion POL sofort der
richtige Richtungswinkel berechnet werden über: A=POL(-ΔH , - ΔR):S=Y:T=Z+200
Hinweis: Bei SHARP liegt in der Variablen Y die Strecke, in der Variablen Z der Winkel.
Auch bei MICROSOFT EXCEL kann über: =ARCTAN2(-ΔH ; -ΔR)*200/PI()+200
rekt der richtige Richtungswinkel (in gon) berechnet werden.
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jeweils di-
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Vermessungskunde 1
Hinweise zum Führen eines Vermessungsrisses
Ein Vermessungsriss sollte folgende Inhalte haben:
1. Jeder angemessene Punkt wird durch einen Punkt markiert. Grenzpunkte erhalten, wenn sie
vermarkt sind, eine Signatur, die die Art der Vermarkung (Grenzstein, Rohr, Nagel etc.) kennzeichnet.
2. Vermessungspunkte, deren Koordinaten bekannt sind -sog. NP's- erhalten eine Kreissignatur
( =4mm) und eine unterstrichene Punktnummer.
3. Grenzlinien und Gebäudeseiten werden voll ausgezogen, Messungslinien werden gestrichelt
dargestellt.
4. Die Maßzahlen auf den Messungslinien werden vom Anfangs- bis zum Endpunkt durchlaufend
quer zur Messungslinie eingetragen. Dabei werden die Maßzahlen bei abgehenden Messungslinien oder Einbindelinien auf der freien Seite eingetragen.
5. Das Maß am Ende einer Messungslinie ist doppelt zu unterstreichen. Bei abgehenden Einbindelinien oder dem Schnittpunkt zweier Messungslinien ist das Maß einfach zu unterstreichen. Eine
Verlängerung erhält eine Pfeilspitze.
6. Die durchlaufende Schreibweise der Messungszahlen kennzeichnet die Geradheit der Messungslinie; ansonsten muss ein Geradheitszeichen dargestellt werden (  kein Knickpunkt).
7. Einzelmaße (Streben, Spannmaße, Gebäudemaße) sind mit dem Fuß auf die gemessene Linie
zu schreiben. Gerechnete Maße werden in Klammern geschrieben.
8. Ein durch ein Rechtwinkelinstrument bestimmter rechter Winkel wird durch zwei Viertelkreise
gekennzeichnet.
9. Bei Straßen und Wegen ist die Begrenzung der Fahrbahn aufzumessen und darzustellen.
10.Bei Gleisen werden nur Punkte der Gleisachse aufgemessen.
11.Topographische Elemente (Bäume, Laternen) werden nur auf dm angemessen.
12.Beschriftungen werden zur Erläuterung vorgenommen, z.B.
- Nutzungsart (Hf, G, A, W, etc.)
- Gebäudeart (Whs, Ga, Stall, etc.)
- Straßenart (L 3112, B 52, Weg, etc.)
- Nordpfeil
- Datum und Unterschrift des Feldbuchführers
z. B.
gemessen am 16. Juli 2014, Maier (Bau Ing.)
Weitere Einzelheiten können der DIN 18702 entnommen werden.
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Vermessungskunde 1
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Schreibweise der Maßzahlen in Vermessungsrissen gemäß DIN 18 702
Das Muster zeigt die bei durchlaufender
Messung anzuwendende Schreibweise

Verlängerung

Endmaß
(Ende der Messungslinie)

Spannmaß

Steinbreite

Strebe

gerechnetes Maß

mehrere Punkte auf einer
Geraden

Gebäudeeinmessung

abgehende Linie

Einmessung eines topographischen Gegenstandes
11 Schnittpunkt
12 angelegtes Maß
Nordpfeil nach DIN
Das Feldbuch (Vermessungsriss, Formulare) ist sauber und ordentlich zu führen, sodass
ein erneutes Abschreiben nicht erforderlich wird.
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-9-
Vermessungskunde 1
Hinweise zum Fertigen eines Lageplanes
Ein Lageplan stellt maßstäblich ein Stück der Erdoberfläche dar. Gebräuchliche Maßstäbe sind
1 : 250, 1 : 500 und 1 : 1000; für die freie Feldlage ggf. auch 1 : 2000. Als Zeichenträger werden
üblicherweise transparentes Zeichenpapier oder -folie benutzt; jedoch auch glatter Zeichenkarton,
der zur Erhöhung der Maßhaltigkeit auch mit einer Metalleinlage versehen sein kann. Für die
Zeichnung auf Karton oder transparentem Papier kann normale Tusche, für die Zeichnung auf Folie muss eine Spezialtusche verwendet werden.
Anhand des Zahlenmaterials der örtlichen Aufmessung, die im Vermessungsriss festgehalten wurden, kann der Lageplan kartiert werden. Dazu wird zunächst für den Entwurf ein Bleistift (2H) benutzt. Erst am Ende wird die Kartierung mit Tusche ausgezogen. Weitere Hilfsmittel sind Anlegemaßstab, Kopiernadel, zwei Zeichendreiecke aus transparentem Material, Zirkel und ggf. Kurvenlineale. Die Kartiergenauigkeit liegt bei 0,1 mm; entsprechend ist bei einem Kartenmaßstab von
1 : 500 eine Genauigkeit von 5 cm (im Gelände) möglich.
Lagepläne sind grundsätzlich nach Norden orientiert (Nordpfeil!!). Ein Nordpfeil ist nicht erforderlich, wenn eine Rahmenkarte im Gauß-Krüger-Koordinatensystem oder UTM-Koordinatensystem
mit dem entsprechenden Quadratnetz und Koordinatenangaben gefertigt wird. Bei der Kartierung
von Verkehrswegen wird von dieser Regel abgewichen; diese Pläne werden entsprechend des
Verlaufs unabhängig von der Nordrichtung unter Angabe eines Nordpfeils von links nach rechts orientiert.
In folgender Reihenfolge ist bei der Kartierung vorzugehen:
1. Konstruktion des Quadratnetzes und Kartierung der koordinatenmäßig bekannten Punkte.
2. Kartierung der Messungslinien unter Berücksichtigung eventueller Abweichungen, die proportional verteilt werden.
3. Danach Kartierung der Objekte durch rechtwinkliges Abtragen von den Messungslinien oder
Konstruktion mittels der Einbindelinien.
4. Auszeichnung mit Tusche. Zunächst der Kartenrahmen mit Angabe der Koordinatenwerte und
des Maßstabs. Eigentums- und Flurstücksgrenzen werden mit einer Strichbreite von 0,35 mm;
Gebäudeumrisslinien, Nutzungsartengrenzen, Begrenzungen von Fahrbahnen mit 0,25 mm
ausgezogen. Nachgeordnete Vermessungspunkte (NP's - Polygonpunkte) erhalten einen Kreis
von 2,5 mm Durchmesser mit Punktnummer (unterstrichen); abgemarkte Grenzpunkte einen
Kreis mit 1,5 mm Durchmesser. Messungslinien werden nicht dargestellt.
5. Beschriftungen sind so anzuordnen, dass sie vom unteren Blattrand lesbar sind. Beschriftungen
von Verkehrswegen folgen der Richtung der Anlage; Hausnummern sind mit dem Fuß der Zahl
zur Straße gerichtet einzutragen.
6. Gebäudeflächen sind zu schraffieren. Wohngebäude und öffentliche Gebäude werden unter 50
gon zu den Begrenzungslinien, Wirtschaftsgebäude werden parallel zur kürzesten Seite schraffiert. Die Nutzungsart wird nur in öffentliche Gebäude -z.B. Kirche, Rathaus, Post etc.- eingetragen, ansonsten wird sie nicht eingetragen.
Weitere Einzelheiten können der DIN 18702 entnommen werden.
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Vermessungskunde 1
- 10 -
Lageberechnung
Kleinpunktberechnung
Gegeben: PA (yA ; xA)
PE (yE ; xE)
Gesucht: Pi (yi ; xi)
x
y

E
o
x
yi
si
xi

y
s AE gem.
Pi
sAE
a

x
s AE gem.
= Ordinatenkonstante
= Abszissenkonstante
y
A
yi = yA + o  si
Für Punkte Pi auf der Messungslinie gilt:
xi = xA + a  si
yi = yA + o  si + a  hi
Für Punkte Pi seitlich der Messungslinie gilt:
xi = xA + a  si - o  hi
wobei für hi links der Messungslinie AE ein negativer Wert verwendet werden muss!
Beispiel:
Gegeben folgende Koordinaten und die Messungsanordnung:
Punkt
Rechts (Y)
Hoch (X)
021 = A
35
23 652,14
52
15 739,96
023 = E
35
23 628,36
52
15 821,39

023
Riss:
022/1 



Hochschule Trier
021
022
023/4
- 11 -
Vermessungskunde 1
Messungslinienberechnung
Ort:
_ Trier
Datum:
Projekt: ___B 51__________
2.2.2014
Berechnung : __Müller________
sger.
d
sgem.
dzul.
si
hi
Punkt
Nr.
021
022
15,62
022/1F
43,26
022/1
023/4F
Seite : ______1________
o
a
o . si
a . si
yi
xi
a . hi
- o . hi
Punkt
yi
xi
Nr.
35 23 652,14
52 15 739,96
A
35 23 628,36
52 15 821,39
E
Bemerkungen
-5,39
73,14
023/4
8,48
84,87
023
!
Formelansa tz : s ger. = (y E - y A ) 2 + (xE - x A ) 2
m  a2  o2 
s ger.
s gem.
o=
yE - y A
sgem.
a=
xE - x A
sgem.
d  s ger.  sgem.
Form MessL 01 -
 2014 by FH Trier - FB BLV
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 12 -
Flächenbestimmung aus Feldmaßen
Beispiel:
Gegeben ist die folgende Messungsanordnung. Bestimmen Sie die Fläche des Sechseckes durch
Zerlegung in Teilflächen (Dreieck, Trapez und verschränktes Trapez).
E
49,32
10,66
42,34
11,29
33,76
14,93
31,25
12,28
13,72
8,12
7,51
0,00
Hochschule Trier
- 13 -
Vermessungskunde 1
Flächenbestimmung aus Koordinaten
Aus Orthogonalkoordinaten:
Gauß'sche Trapezformel:
n
- für die Projektion auf die X - Achse:
2 A   ( y i  y i 1 )  ( x i  x i 1 )
i 1
n
- für die Projektion auf die Y - Achse:
2 A   ( x i  x i 1 )  ( y i 1  y i )
i 1
Gauß'sche Dreiecksformel:
n
- für die Projektion auf die X - Achse:
2 A   y i  ( x i 1  x i 1 )
i 1
n
- für die Projektion auf die Y - Achse:
2 A   x i  ( y i 1  y i 1 )
i 1
Aus Polarkoordinaten:
Nullrichtung
des Teilkreises

2
1

A1
r1
r2
S
3
s2
A4
s3 A3
r3


A2
s1
r4
s4

4
n
2A   si  s i1  sin( ri1  r i )
i 1
Das Polarplanimeter
f Fahrarmlänge
p Polarmlänge
q Abstand Messrolle - Gelenk
R Messrolle
G Gelenk
P Pol
F Fahrstift
Funktionsprinzip des Polarplanimeters mit dem Pol außerhalb der Fläche
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 14 -
Höhenfestpunkte
Deutscher Normalhöhenpunkt von 1879
Deutsches Haupthöhennetz 1992 (DHHN 92)
Hochschule Trier
- 15 -
Vermessungskunde 1
Höhenpunktfestlegungen
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 16 -
Instrumentenkunde
Einfache Höhenmessgeräte
Grundgedanke des Nivellierens
Bauarten von Nivellierinstrumenten
Libellennivellier ohne Kippschraube
(Norddeutsches Nivellier)
Schlauchwaage
Libellennivellier mit Kippschraube
(Süddeutsches Nivellier)
Setzlatte
Längsschnitt durch das Ni 2 von ZEISS
Nivellier mit automatischer Horizontierung
Abkürzungen:
F Fußschrauben
Li Röhrenlibelle
K Kippschraube
S Seitenklemme
SF Seitenfeintrieb
Kompensationseinrichtung im Ni 2
Hochschule Trier
D
LL
ZZ
VV
Dosenlibelle
Libellenachse
Zielachse
Vertikalachse
- 17 -
Vermessungskunde 1
Gerätebauteile
Röhrenlibelle
Einfaches Strichkreuz
mit Distanzstrichen
Dosenlibelle
Strichkreuz nach DIN 18 725
mit Distanzstrichen
Strichkreuz mit Keil
für Feinnivellements
Koinzidenzlibelle
Zubehör
Justiermöglichkeit
des Strichkreuzes
Lattenuntersatz
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 18 -
Nivellierlatten
17
16
15
Lattenablesung
Höhe:
Entfernung:
1,653 m
14,7 m
a
b
c
d
Nivellierlatten
a) einfache Felderteilung
b) doppelte Felderteilung
c) umgekehrte Felderteilung
d) Digitallatte
Lattenablesung
Höhe:
Entfernung:
1,328 m
50 m
Nivellementsarten
Bezeichnung
BAU - Nivellement
charakteristische Aufgaben
Höhenangaben für Wohnhäuser
Höhenaufnahmen im Gelände
Höhenangaben für Straßen, Kanäle
INGENIEUR - Nivellement Höhennetze von lokaler Ausdehnung
Verdichtung von Ortshöhennetzen
Höhenangaben für Ingenieurbauwerken
PRÄZISIONS - Nivellement Ingenieur- und Landesvermessungshöhennetze
Höhenangaben für Maschinenanlagen
Setzungs- und Überwachungsmessungen
Hochschule Trier
Standardabweichung
auf 1 km
Doppelnivellement
> 1 cm
2 - 10 mm
< 1 mm
- 19 -
Vermessungskunde 1
Das einfache Nivellement
2,286
r2
r1 2,871
1,342
3,488
v1
r3
I2
v2
3,808
1,022
v3
W1
A
I1
h
32
HP1
32
22
I3
20
B
36
Formularnotierung
38
Liniennivellement
Ort :
Trier
Datum :
16.11.10
Seite : 1
Projekt: ___Linie 3_________
Beobachter : Maurer
Feldbuchführer : Schmitt
Gruppe :
Wetter :
heiter
Temp.: _6__°C
Punkt
Nr.
Zielweite
Rückblick
A
32
2,871
W1
32
W1
22
HP1
20
HP1
36
B
38
Vorblick
Sicht : _3__ km
Höhenunterschied = R - V
+
-
Instrument : Ni 2 – 4311
Höhe
ü. NN
Bemerkungen
212,133
1,342
2,286
3,488
1,022
3,808
209,670
= h soll
= h ist
=w
wzul. = 2 + 5
 s
km 
wzul.=
vi =
w (s r  s v )
s
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 20 -
Ablaufschema eines Nivellements
Nivellier auspacken 2) und auf dem Stativ befestigen
Okular scharf stellen
5)
Latte  Anfangspunkt P A
i = 1
Instrument  Standpunkt Ii
Stativbeine festtreten
Gerät horizontieren 4)
i =i+1
Latte anzielen
Fernrohr fokussieren
Latte ablesen
Ablesung notieren
Latte auf W i ?
nein
Latte  W i
ja
W i = PE ?
nein
Latte drehen!
ja
hist = [Ri] - [Vi]
w = hsoll - hist
w < wzul. ?
nein
ja
Instrument einpacken
endgültige Auswertung
Hinweise zum Ablauf eines Nivellements
1. Transport des Gerätes
Kompensatorgeräte werden, wenn sie auf
dem Stativ sind, geneigt getragen, damit der
Kompensator nicht hin- und herschlägt. Libellengeräte werden grundsätzlich mit vertikaler
Stehachse getragen.
2. Aus- und Einpacken des Gerätes
Vor dem Herausnehmen des Instrumentes
merke man sich die Lage im Transportbehälter. Beim Einpacken sind Klemmschrauben
zunächst zu lösen und wenn das Gerät im
Behälter ist, leicht anzuziehen.
3. Aufstellung des Gerätes
Der Instrumentenstandpunkt kann frei gewählt werden. Es ist jedoch darauf zu achten,
dass Kfz-Verkehr nicht behindert wird. Die
Zielweiten sollten nicht über 40 m liegen und
die Zielweiten sollten gleich lang sein. Die
Stativbeine werden soweit ausgezogen, dass
in bequemer Haltung beobachtet werden
Hochschule Trier
kann. In ebenem Gelände sind die Beine
gleich lang und bilden ein gleichseitiges Dreieck, bei geneigtem Gelände stehen zwei Stativbeine zur Talseite. Der Stativteller sollte
grundsätzlich horizontal, die Fußschrauben in
Mittenstellung sein. Während der Messung
wird das Stativ nicht angefasst!
4 Horizontierung
Die Libelle folgt bei gleichzeitiger, gegenläufiger Drehung an zwei Fußschrauben der
Bewegungsrichtung des linken Daumens; die
dritte Fußschraube sollte deshalb auch mit
der linken Hand verstellt werden.
5 Okular scharf stellen
Den Himmel oder ein weißes Blatt Papier,
das vor das Fernrohr gehalten wird, betrachten und das Strichkreuz mit dem Einstellring
am Okular scharf stellen. Das Strichkreuz
darf sich beim Hinundherbewegen des Auges
nicht verändern.
- 21 -
6. Wechselpunkte
Die Nivellierlatte muss in den Wechselpunkten immer auf einen Lattenuntersatz gestellt
und beim Instrumentenwechsel vorsichtig gedreht werden. Sollte die Nivellierlatte einmal
abgelegt werden, dann grundsätzlich mit der
Ableseseite nach oben.
7. Feldbuch
Die abgelesenen Werte werden grundsätzlich
sauber in einem Formular notiert. Dazu sagt
Vermessungskunde 1
der Beobachter laut und deutlich die abgelesenen Werte -Nachkommastellen werden
einzeln genannt- , der Feldbuchführer wiederholt die Zahlenwerte und der Beobachter
bestätigt diese Werte durch eine erneute Ablesung. Am Ende der Messungen erfolgt sofort eine Überprüfung der Messwerte, ob sie
innerhalb der Fehlergrenzen liegen. Die Berechnung der endgültigen Höhen kann später
erfolgen.
Nivellierprobe nach NÄBAUER
B
A
a2
b2
c
c
c b1
c
a1
I1
I2
h
s
I1:
I2:
h1
h2
s
=
=
s
( a1 - c ) - ( b1 - 2c ) = a1 - b1 + c
( a2 - 2c ) - ( b2 - c ) = a2 - b2 - c
Wird die Differenz h1 - h2 gebildet, so erhält man:
2 c = a2 - b2 - ( a1 - b1 )
Wenn kein Zielachsenfehler vorliegt, ist c = 0. Der Sollwert im 2. Instrumentenstandpunkt ist dann:
a2 Soll = b2 + ( a1 - b1 )
Beispiel zur Fehlerrechnung und Abgleichung eines Doppelnivellements
HP
h'
h"
si
d
m
m
km
mm
dd
dd
si
hm
vi
h
H
m
mm
m
m
1609
156,924
+2,468 -2,472 0,82
17
+1,037 -1,033 0,74
18
+5,826 -5,832 1,90
19
-3,704 +3,708 1,47
1610
162,559

Standardabweichung eines 1 km langen Doppelnivellements:
 1kmD 
1 1  dd 
2 n  s 
n = Anzahl der gemessenen h
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 22 -
Längs- und Querprofile
Längsprofil
R=
Ein Längsprofil stellt als Vertikalschnitt die Höhenlage der Erdoberfläche entlang einer Trasse dar.
Durch Höhenmessung wird die Höhe (über NN) zunächst der regelmäßig angeordneten Stationierungspunkte und ggf. von Punkten bei markanten Änderungen der Geländeverhältnisse bestimmt.
Ist die Trasse bereits in die Örtlichkeit übertragen, werden auch die Höhen an den Punkten bestimmt, an denen eine Änderung der Trassierungselemente eintritt. Bei der anschließenden graphischen Auswertung wird die Geländedarstellung in der Regel im Verhältnis 1 : 10 überhöht (z.B.
MdL = 1 : 1 000, MdH = 1 : 100) wiedergegeben.
0+300
A = 80
R=
0+247,82 = UA
0+200
0+100
Abmarkung eines Stationspunktes
mit Grundpflock und beigestelltem
Nummerierungspflock
Hochschule Trier
0+000
= Ausbauanfang
- 23 -
Vermessungskunde 1
Flächennivellement
Ort:
Trier
Datum:
1.2.2014
Seite : 1
Projekt:
Querprofil
Wetter:
heiter
Temp.: _20_°C
Zwischenblick
Beobachter : Maier
_
Feldbuchführer : Müller
_
_
Gruppe:
Sicht : _2_ km
Vorblick
_
Instrument : Ni 2 - 4376
Punkt
Nr.
Zielweite
Rückblick
Höhe der
Zielachse
Höhe
ü. NN
HP1
69
1,732
W1
72
W1
71
0+000
-
0,87
175,07
0+050
-
1,47
174,47
0+100
-
2,13
173,81
0+150
-
2,91
173,03
W2
63
W2
69
0+200
-
0,74
172,37
0+247
-
1,58
171,53
0+250
-
2,07
171,04
0+300
-
3,62
169,49
0+350
-
2,83
170,28
0+400
-
2,14
170,97
W3
64
W3
67
_
Bemerkungen
173,416
1,138
1,927
175,937
3,461
0,632
173,108
1,738
3,841
175,211
0+450
2,61
172,60
0+486
1,84
173,37
0+500
1,27
173,94
Form Niv 02 -  2014 by FH Trier - FB BLV
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 24 -
173,94
173,37
172,60
170,97
170,28
169,49
171,04
171,53
172,37
173,03
173,81
174,47
175,07
Hochschule Trier
- 25 -
Vermessungskunde 1
Querprofile
Querprofile sind Vertikalschnitte der Erdoberfläche, die links und rechts senkrecht zum Längsprofil
wenigstens in den Stationierungspunkten systematisch (etwa alle 5 m) erfasst werden. Die Erfassungsbreite ist von dem jeweiligen Projekt abhängig und geht über dessen Breite hinaus. In der
Darstellung wird eine Überhöhung in der Regel nicht vorgenommen, damit spätere Flächenbestimmungen zur Ermittlung von Auf- oder Abtragsmassen auch mit graphischen Methoden (Polarplanimeter) möglich sind.
Trassenverlauf im Grundriss mit
Darstellung der Querprofile
Damm
Teil eines Längsprofils mit bereits eingetragener Gradiente
Anschnitt
Einschnitt
Querprofile zu dem Längsprofil
Flächennivellement
Höhenrost
Feldbuch über die Absteckung eines quadratischen Rostes
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 26 -
Höhenlinieninterpolation
Höhenlinienkonstruktion
Höhenliniendarstellung
Interpolation von Höhenlinien
Falsche Interpolation durch nicht
ausreichende Punktdichte
Erdmassenberechnung
Erdmassenberechnung aus Querprofilen
Volumen zwischen zwei Querprofilen - Auftragsmasse eines Dammes
(Fi und Fi+1 sind positiv)
Hochschule Trier
- 27 -
Vermessungskunde 1
Koordinatenfestlegung und Punktnummerierung zur rechnerischen Bestimmung der (positiven)
Auftragsfläche und der (negativen) Abtragsfläche
Prismatoidformel:
1
V  (F1  4Fm F2 )  
6
Prismenformel:
1
V  (F1 F2 )  
2
Pyramidenstumpfformel:
1
V  (F1  F1 F2 F2 )  
3
Wechsel von Auftrag zu Abtrag
Berechnung der Damm- bzw. Einschnittlänge:
D  
F1 / b 1
F1 / b 1  F2 / b 2
E  
F2 / b 2
F1 / b 1  F2 / b 2
Bei gleicher Breite b1 = b2 vereinfachen sich die Längenberechnungen zu
D  
F1
F1  F2
E   
F2
F1  F2
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 28 -
Mit den vorher genannten Längen lassen sich dann mit der positiven Auftragsfläche und der negativen Abtragsfläche die getrennten Volumen berechnen:
Auftrag:
V1 
1
F1   D
2
Abtrag:
V2 
1
F2   E
2
Erdmassenberechnung aus Prismen
Volumen zwischen Geländeoberfläche und Bezugsfläche bei
horizontaler Bezugsfläche
unterschiedlich geneigten Bezugsflächen
Die mittlere Höhe hmi ergibt sich für ein Dreiecksprisma aus:
hmi 
hi1  hi2  hi3
3
Die Addition aller Dreiecksprismen ergibt das Gesamtvolumen:
n
n
V   Vi   Fi  hmi
i1
i1
Erdmassenberechnungen lassen sich heute auf einfache Weise mit Hilfe von EDV-Programmen
auch für größere Gebiete durchführen (digitale Höhenmodelle - DHM).
Darstellung verschiedener digitaler Höhenmodelle
Hochschule Trier
- 29 -
Vermessungskunde 1
Erdmassenberechnung aus Höhenlinien
Aufteilung eines Erdkörpers durch horizontale Schichten
Der Rauminhalt einer Schicht ergibt sich nach der Pyramidenstumpfformel:
Vi 
1
(F 
3 u
Fu  Fo  Fo )   h
Beispiel: Massenberechnung durch Aufteilung des oben abgebildeten Erdkörpers in horizontale
Schichten oberhalb einer Bezugsfläche in 70 m Höhe.
Höhe
BegrenzungsFläche
punkte
2
[m]
70
71
72
73
73,5
[m ]
GILMCG
GIKDG
GIJEG
GHFG
G
Volumen
zwischen
h
Fu
2
Fo
2
[m]
[m]
[m]
[m ]
[m ]
70,0
71,0
1,0
285
205
71,0
72,0
1,0
205
99
72,0
73,0
1,0
99
10
73,0
73,5
0,5
10
0
Vi
[m3]
285
205
99
10
0
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 30 -
Grundlagen der Lagemessung
Geographisch Nord, Magnetisch Nord, Gitternord
Geogr. Nord
Magn. Nord
Geographische Koordinaten
Gi.N.
Gi.N.
Gi.N.
M. N.
M. N.
Meridiankonvergenz , Deklination  und Nadelabweichung n in einem Meridianstreifen
Alaska
180°
Sibirien
70°
80°
magn.Nordpol
Nordpolarmeer
geogr.Nordpol
Grönland
0°
Spitzbergen
Nordkap
Lage des magnetischen Nordpols
Schwerkraft
West
Ost
Kreisel am Äquator
Hochschule Trier
Kreiseltheodolit und Aufsatzkreisel
Präzession und Nutation
- 31 -
Vermessungskunde 1
Polbewegung 1967 - 1973
Kartennetzentwürfe
Art der Abbildungsfläche
Art der Lage
Azimutale Abbildung
Normale Lage
Konische Abbildung
Transversale Lage
Zylindrische Abbildung
Schiefachsige Lage
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 32 -
Mehrere geodätische Bezugssysteme
Für die Fläche der Bundesrepublik Deutschland und den Grenzbereich der Nachbarstaaten sind
derzeit noch vier geodätische Bezugssysteme von besonderer Bedeutung.
Das wiedervereinigte Deutschland verwendet derzeit das Gauß-Krüger-Meridianstreifensystem
bezogen auf das Bessel-Ellipsoid von 1841. Dieses Bezugssystem wurde von 1927 an auch in
Deutschland bzw. in der Bundesrepublik Deutschland vor der Wiedervereinigung verwendet.
In der ehemaligen DDR wurde das System 42/83 auf dem Krassowskij-Ellipsoid verwendet. Die
Kartenwerke wurden mit einem 6 Grad breiten Gauß-Krüger-Streifensystem dargestellt.
Das militärische Geowesen verwendet den europäischen NATO-Standard mit dem Europäischen
Datum ED50 auf dem Internationalen Ellipsoid von Hayford von 1924. Die militärischen Kartenwerke verwenden das UTM-Streifensystem (Universale Transversale Mercatorprojektion) zur Darstellung.
Durch die starke Akzeptanz und auch dem Vertrieb preiswerter Empfangsgeräte für das Satellitennavigationssystem GPS gewinnt das 1984 festgelegte World Geodetic System (WGS84) immer
mehr an Bedeutung.
Im Bereich der Europäischen Union (EU) sollte vom Jahr 2005 an ein einheitliches Koordinatensystem für alle Mitgliedsländer gelten. Bereits 1991 hat die Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen der Länder der Bundesrepublik Deutschland (AdV) beschlossen, dass dies das
UTM-System sein soll, das bereits bei den Umweltbehörden, beim Katastrophenschutz und im militärischen Bereich verwendet wird. Die endgültige Umstellung bei den Landesvermessungsbehörden wird aber wohl noch bis zum Jahr 2010 dauern.
Gauß-Krüger-Koordinatensystem
Längentreue Abbildung des Hauptmeridians
bei der Transversalen Mercatorprojektion
Meridianstreifen nach Gauß-Krüger
Hochschule Trier
Ellipsoidische Orthogonalkoordinaten
- 33 -
Vermessungskunde 1
180°
N
0°
3° 6°ö.L.
Berührungszylinder bei 3° und 6°
Meridianstreifensysteme nach Gauß-Krüger in
Deutschland
Differentielle Abbildungsverzerrungen
UTM-System
Das Universale–Transversale–Mercator–System ist eine winkeltreue Abbildung und in seinem
Aufbau dem Gauß-Krüger-System ähnlich. Mercator ist dabei der Name eines Geographen und
Kartographen, der eigentlich Kremer hieß und Mitte des 16. Jahrhunderts eine Weltkarte für die
Seefahrer schuf. Der durch ihn in dieser Karte verwendete winkeltreue Kartennetzentwurf trägt
den Namen Mercatorprojektion und wird bis heute in der See- und Luftfahrt verwendet; eine Linie, die alle Meridiane unter dem gleichen Winkel schneidet (Loxodrome) wird in der Karte als Gerade dargestellt.
In Europa wird als Bezugsellipsoid das Internationale Ellipsoid von Hayford von 1924 verwendet. Die Meridianstreifen sind 6° breit. Diese Meridianstreifen werden als Zonen bezeichnet und
vom Hauptmeridian 177° westliche Länge (für den Bereich von 180° w. Länge bis 174° w. Länge)
nach Osten bis zum Hauptmeridian 177° östliche Länge von 1 bis 60 durchnumeriert. Das Gebiet
von Deutschland liegt in den Zonen mit den Nummern 32 und 33.
Damit sich die zum Rand hin auftretenden Verzerrungen in Grenzen halten, gibt es nicht wie bei
der Gauß-Krüger-Abbildung einen längentreuen Hauptmeridian, sondern durch Verwendung eines
Schnittzylinders zwei längentreue Kreisbögen. Der Bereich zwischen diesen beiden Kreisbögen
wird verkürzt dargestellt. Dabei erhält der Hauptmeridian einen Verjüngungsfaktor von 0,9996;
dies entspricht 40cm auf 1000m oder 4cm auf 100m oder 4mm auf 10m oder 0,4mm auf 1m. Die
Außenbereiche werden vergrößert bis zum Faktor 1,00015 am jeweiligen Grenzmeridian. Damit im
Randbereich zwischen zwei Streifen übergangslos gemessen und gerechnet werden kann, ist eine
Überlappungszone von ca. 20 km je Zone = 40 km insgesamt vorhanden. 40 km am Äquator entsprechen ca. 22', so dass jede Zone eine Breite von 3°11' westlich und östlich des Hauptmeridians
= 6°22' Zonenbreite hat.
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 34 -
Schnittzylinder
um 0,9996
zu verjüngender
Hauptmeridian
längentreue
Schnittkreisbögen
Transversaler Schnittzylinder
80°
72° X
W
64°
56° V
U
48°
T
40°
S
32°
R
24°
Q
16°
P
8°
N
0°
0°
M
8°
L
16°
K
24°
J
32°
H
40°
G
48°
F
56°
E 64°
D 72°
C 80°
Einteilung in Zone und Band
Aufgrund des Schnittzylinders können die Bereiche an den Polen nicht mehr unverzerrt abgebildet
werden, so dass das UTM-System auf einen Bereich zwischen 80° (tlw. 84°) nördlicher Breite und
80° südlicher Breite begrenzt ist. Innerhalb einer Zone werden acht Breitengrade durch einen großen Buchstaben bezeichnet (sog. Band). Die Buchstaben I und O werden zur Vermeidung von
Verwechslungen nicht genutzt. Die Bezeichnung für einen solchen Bereich ist Gitterzone. Deutschland liegt zum überwiegenden Teil in der Gitterzone 32U.
Koordinaten für den Dom in Trier:
Gauß-Krüger-Koordinaten
2
Rechts
546 382,61
5
Hoch
513 486,76
Geographische Koordinaten Länge
Breite
06° 38' 37,618'' 49° 45' 26,279''
UTM-Koordinaten
(Hayford)
(WGS84)
UTM Meldeplanquadrat
East
32 330 321,10
North
5 514 388,99
32 330 242,32
5 514 187,95
32U LA 3014
Umstellung des geodätischen Bezugssystems
Die Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen der Länder der Bundesrepublik Deutschland (AdV) hat schon 1991 für alle Aufgabenbereiche des Vermessungs- und Katasterwesens die
Einführung des European Terrestrial Reference Systems (ETRS89) beschlossen. Da alle europäischen Länder ihre bisher lokalen Referenznetze umstellen und an das einheitliche Bezugssystem ETRS89 anschließen, ist zukünftig die Verwendung staatenübergreifender Geodaten in einem
einheitlichen Koordinatensystem möglich.
Hochschule Trier
- 35 -
Vermessungskunde 1
Als Abbildungssystem wird die Universale Transversale Mercatorprojektion (UTM) mit 6 Grad breiten Meridianstreifen auf dem GRS80-Ellipsoid (Geodetic Reference System) mit Datum ETRF89
(European Terrestrial Reference Frame) verwendet. Die Koordinaten im GRS80 stimmen bis auf
wenige Millimeter mit WGS84 überein.
Die endgültige Umsetzung des Beschlusses der AdV war für das Jahr 2000 vorgesehen, wird aber
noch einen längeren Zeitraum in Anspruch nehmen. In diesem Zeitraum werden die alten Systeme
neben dem neuen System verwendet werden müssen.
Grundlagennetze
Ungefähr seit 1837 wurde in Deutschland mit der Vermessung der einzelnen Staatsgebiete begonnen. Als Messmethode wurde die Triangulation angewendet. Dazu wurden, ausgehend von
einer zu damaligen Zeit sehr genau gemessenen Strecke (Basis), Dreieckswinkel (Angulus = Winkel) gemessen und so die gemessene Strecke in die weiteren drangehängten Dreiecke übertragen.
Anschließend erfolgte eine umfassende Berechnung der Dreiecksnetze unter der Bedingung, dass
die Summe der Dreieckswinkel 180° ergeben musste (Netzausgleichung nach der Gauß'schen
Methode der kleinsten Quadrate). Mehrere Netzteile wurden zum Deutschen Hauptdreiecksnetz
(DHDN) zusammengeschlossen. Als mathematische Berechnungsfigur diente das Rotationsellipsoid nach Bessel von 1841 mit dem Fundamentalpunkt Rauenberg bei Berlin
Basis
Triangulationsnetz (mit Basis)
Trilaterationsnetz
Neuere Vermessungen (im Ausland) haben seit ungefähr 1960 zur Bestimmung der Koordinaten
der Lagefestpunkte die Methode der reinen Streckenmessung angewendet. Diese Trilaterationsnetze (Latus = Strecke) sind heute auch nicht mehr die aktuellste Methode zur landesweiten Bestimmung eines Festpunktfeldes, heute werden die Methoden der Positionsbestimmung mit Hilfe
künstlicher Erdsatelliten angewendet.
Die Lagefestpunkte der Grundlagenvermessungen werden heute überwiegend als Bodenpunkte
durch eine unterirdische Platte mit einem daraufgestellten Pfeiler vermarkt. Wegen der früher vorherrschenden Messmethode werden die Punkte als Trigonometrische Punkte (TP) bezeichnet.
Entsprechend ihrer Bedeutung haben die Steinpfeiler Dimensionen von 12 x 12 x 60 cm über
16 x 16 x 60 cm bis 30 x 30 x 90 cm. Die Vermessungsnetze sind in bestimmte Ordnungen eingeteilt. So haben die Lagefestpunkte entsprechend ihrer Ordnung folgende Abstände:
Netz
1. Ordnung
2. Ordnung
3. Ordnung
4. Ordnung (Aufnahmepunkte - AP's)
Seitenlänge des Dreiecks
30 – 50 km
10 – 30 km
3 – 10 km
1 – 3 km
Zur weiteren Punktverdichtung wurden früher Polygonzüge gemessen, so dass in bebauten Bereichen etwa alle 100 – 200 m ein Lagefestpunkt vorhanden ist.
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 36 -
Merkblatt
über den Schutz der Grenz- und Vermessungsmarken
1.Die Grenzmarken und die Vermessungsmarken des amtlichen Lage-, Höhen- und Schwerenetzes (Steine,
Kunststoffmarken, Rohre, Bolzen und dgl.) bilden eine wichtige Grundlage für viele öffentliche und private
Vermessungsarbeiten. Neben ihrem allgemeinen öffentlichen Nutzen dienen sie insbesondere auch der
Sicherung des Grundeigentums und der Wahrung des Grenzfriedens.
2.Die Abmarkungen erfolgen im allgemeinen oberirdisch.
3.Die Grenzmarken und die Vermessungsmarken sind durch das Abmarkungsgesetz unter besonderen
Schutz gestellt.
4.Bei Erdarbeiten besteht die Gefahr, dass Grenz- und Vermessungsmarken zerstört, beschädigt oder verschüttet werden. Verursacht jemand vorsätzlich oder fahrlässig derartige Veränderungen an Grenz- und
Vermessungsmarken, so begeht er eine Ordnungswidrigkeit; ihm können eine Geldbuße und die Kostender Wiederherstellung der Abmarkung auferlegt werden. In bestimmten Fällen kann Strafanzeige erstattet
werden (§§ 274 und 304 des Strafgesetzbuches).
5.Ordnungswidrige Veränderungen an Abmarkungen und hohe Unkosten können vermieden werden, wenn
die Auftraggeber von Erdarbeiten bzw. die ausführenden Unternehmer
a) dem zuständigen Katasteramt von dem beabsichtigten Bauvorhaben und dem Beginn der Arbeiten
rechtzeitig Kenntnis geben und bei diesem Katasteramt oder bei einem Öffentlich bestellten Vermessungsingenieur die Sicherung der gefährdeten Abmarkungen beantragen - in diesem Fall trägt das Land
die Kosten für die Sicherung und Versetzung von Vermessungsmarken. Für die Sicherung und Versetzung von Grenzmarken hat der Auftraggeber (Grundstückseigentümer, ausführender Unternehmer) die
Kosten zu tragen, die nach der Kostenordnung für Leistungen der Katasterbehörden bzw. Kostenordnung für Leistungen der Öffentlich bestellten Vermessungsingenieure erhoben werden.
b) die am Bauvorhaben beteiligten Hilfskräfte zur gebotenen Sorgfalt und Vorsicht bei den Arbeiten anweisen.
6.Es empfiehlt sich, die Unternehmer bei der Auftragserteilung auf den Schutz und die Sicherung der Grenzund Vermessungsmarken besonders hinzuweisen und sie zu verpflichten, die infolge der von ihnen zu vertretenden Versäumnisse entstehenden zusätzlichen Kosten zu tragen.
VA 1
Merkblatt über den Schutz der Grenz- und Vermessungsmarken
Winkelmessung mit dem Theodolit
Horizontal-, Vertikal- und Positionswinkel
H
x
P1
P2
h1
h2

2
1
r1
r2
S
y
Darstellung des Horizontalwinkels  = r2 - r1, Vertikal(Höhen-)winkels  und Positionswinkels 
Hochschule Trier
- 37 -
Vermessungskunde 1
Bauteile und Zubehör eines Theodolits
Theodolitbauteile
Darstellung eines einfachen Theodolits
Verbindung Stativ - Dreifuß
Dreifuß mit Zwangszentrierung
Kreisklemme
optisches Lot
Zieltafeln für Zwangszentrierung
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 38 -
Einteilung der Theodolite
Klein- oder Bautheodolite
Ingenieurtheodolite
Feinmesstheodolite
1 - 2 cgon
1 - 2 mgon
0,1 - 0,5 mgon
Horizontalkreis 
50 - 100 mm
70 - 100 mm
80 - 100 mm
Vertikalkreis 
50 - 75 mm
60 - 85 mm
70 - 90 mm
Fernrohrvergrößerung
18 - 25 fach
25 - 30 fach
30 - 35 fach
Ablesung
Verwendung
Bauabsteckung
Polygonierung, Abste- Triangulation, Feinabckung, Kleintriangula- steckung, Industrietion
vermessung
Ausschnitte von Teilkreisen
Analoge Ablesung
Digitale Abtastung
Ablesung: 265,4412
Koinzidenzmikroskop vor und nach Betätigung des Mikrometers
Hochschule Trier
- 39 -
Vermessungskunde 1
Ablesebeispiele analoger Theodolite
Sehfelder von Strichmikroskopen
Sehfelder von Skalenmikroskopen
Sehfelder von Strichmikroskopen mit optischem Mikrometer
Ablesung: 378,8506 gon
94°12'44,3"
Sehfelder von Koinzidenzmikroskopen
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 40 -
Horizontierung des Theodolits, Justierung der Stehachslibelle
1. Instrument auf dem Stativ festschrauben und mit der Dosenlibelle grob horizontieren.
2. Röhrenlibelle parallel zur Verbindungslinie zweier Fußschrauben F1 und F2 stellen und mit diesen die Libellenblase gleichzeitig gegenläufig in der Mitte (Normalpunkt) einspielen. Die Libellenblase folgt dabei der Drehbewegung
des Daumens der linken Hand.
3. Theodolitoberbau um 100 gon drehen, so dass die Libelle
zur dritten Fußschraube zeigt. Auch hier die Libellenblase
im Normalpunkt einspielen lassen.
4. Theodolitoberbau um 200 gon drehen. Bleibt die Libellenblase nicht im Normalpunkt, ist die Libelle dejustiert. Durch
Beseitigung des halben Libellenausschlags a mit der Fußschraube F3 wird die Libelle in den Spielpunkt gebracht.
5. Drehung des Theodolitoberbaues um 100 gon, damit die
Libellenblase wieder parallel zu den beiden Fußschrauben
steht. Die Libellenblase auch hier auf den Spielpunkt bringen. Damit ist i. d. R. das Instrument horizontiert.
6. Überprüfung der Horizontierung durch Drehung um 50 gon.
Wandert die Libelle aus, so werden die Schritte 2. bis 6.
wiederholt.
7. Mit Hilfe der Libellenjustierschraube kann die Libellenblase
auf den Normalpunkt eingespielt werden. Dadurch ist der
Spielpunkt in den Normalpunkt gelegt worden und die Libelle justiert. Zur Kontrolle wird der Theodolit um 200 gon
gedreht. Zeigt sich ein Libellenausschlag, sollten die Schritte 2. bis 7. wiederholt werden.
Hinweise zum Ablauf einer Horizontalrichtungsmessung
1. Transport des Gerätes
Kompensatorgeräte werden, wenn sie auf
dem Stativ sind, geneigt getragen, damit der
Kompensator nicht hin- und herschlägt. Libelleninstrumente werden stets mit vertikaler
Stehachse getragen.
2. Aus- und Einpacken des Gerätes
Vor dem Herausnehmen des Instrumentes
merke man sich die Lage im Transportbehälter. Beim Einpacken sind Klemmschrauben
zunächst zu lösen und wenn das Gerät im
Behälter ist, leicht anzuziehen.
3. Aufstellung
Die Stativbeine werden soweit herausgezogen, dass in bequemer Haltung beobachtet
werden kann. In ebenem Gelände bilden die
Stativbeine ein gleichseitiges Dreieck, in geneigtem Gelände stehen zwei Beine zur Talseite. Der Stativteller muss genähert horizontal sein, die Fußschrauben des Dreifußes sollten in Mittenstellung sein.
Hochschule Trier
Die Aufstellung erfolgt zentrisch über dem
Bodenpunkt mit Hilfe des optischen Lotes.
Während der Messung wird das Stativ nicht
angefasst.
4. Horizontierung
Die Horizontierung eines Theodolites wir zunächst grob mit Hilfe der Dosenlibelle vorgenommen, danach präzise mittels der Röhrenlibelle. Die Libelle folgt bei gleichzeitiger, gegengegenläufiger Drehung an zwei Fußschrauben der Bewegungsrichtung des linken
Daumens; die dritte Fußschraube sollte auch
mit der linken Hand verstellt werden. Wandert
die Libelle während der Messung aus, wird jedoch erst zu Beginn eines neuen Satzes wieder neu horizontiert. Weisen die Messergebnisse des vorherigen Satzes zu den nach
der erneuten Horizontierung ab, so ist grundsätzlich ein weiterer Satz zu beobachten und
ggf. ist der Satz mit den abweichenden Werten zu streichen.
- 41 -
5. Okular scharf stellen
Dazu den Himmel oder ein weißes Blatt Papier, das vor das Fernrohr gehalten wird, betrachten und das Strichkreuz mit dem Einstellring am Okular scharf einstellen. Das Strichkreuz darf sich beim Hinundherbewegen des
Auges nicht verändern. Auch das Ableseokular muss scharf eingestellt werden. Dazu
muss Licht über einen Spiegel in das Instrument gespiegelt werden. Dieser muss vorsichtig gedreht und geneigt werden.
6. Messung
Je nach Genauigkeitsanforderung und Zielpunktanordnungen werden volle Sätze oder
Halbsätze beobachtet, in der Regel durch drei
Sätze. Die Anzielung der Ziele erfolgt in Lage
I von links nach rechts, anschließend in Lage
II von rechts nach links. Zunächst wird das
Ziel grob über das Diopter, das sich auf dem
Fernrohr befindet, angezielt. Erst danach wird
durch das Fernrohr geschaut und das Ziel
endgültig mittels der Feintriebschrauben
scharf eingestellt.
Vermessungskunde 1
7. Feldbuch/Formular
Über die Messungsanordnung ist grundsätzlich eine Zeichnung (Riss) zu fertigen.
Die abgelesenen Messwerte werden
grundsätzlich sauber in einem Formular notiert. Dazu sagt der Beobachter laut und
deutlich die abgelesenen Werte Nachkommastellen werden einzeln genannt- , der Feldbuchführer wiederholt die
Zahlenwerte und der Beobachter bestätigt
diese Werte durch eine erneute Ablesung.
Am Ende der Messungen erfolgt sofort eine Überprüfung der Messwerte, ob sie hinreichend übereinstimmen. Ansonsten ist
der Satz, der nicht in die Beobachtungsreihe passt, zu streichen und durch eine weiteren Satz zu ersetzen. Nach Abschluss
der Messung erfolgt unmittelbar die Auswertung der Fehlerrechnung. Erst danach
kann mit dem Instrument zu einem anderen
Standpunkt gewechselt bzw. eingepackt
werden.
Ablaufschema einer Horizontalrichtungsmessung
Stativ zentrisch, Stativteller horizontal aufstellen 3)
r = Anzahl der Ziele
n = Anzahl der Sätze
2)
Theodolit auspacken
und auf dem Stativ befestigen,
zentrieren und horizontieren
Okulare scharf einstellen
Fernrohr in Lage I
i = 1
Zieli grob einstellen, klemmen
Fernrohr fokussieren
Zieli scharf mit Feintrieb einstellen
Ablesung notieren
ja
i = r?
durchschlagen
nein
ja
Lage I
i=i+1
nein
i = 1
nein
i=i-1
ja
weitere Sätze?
ja
Teilkreis um
200/n verstellen
nein
Summenprobe, reduzieren
ja
grober Fehler?
nein
endgültige Auswertung
Instrument einpacken
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 42 -
Horizontalrichtungsmessung
Ort:
Trier
Datum:
1.2.2014
Gruppe:
5
Wetter:
heiter
Projekt:____Turnhalle__________
Seite:
Beobachter: Müller
Feldbuchführer: Maier
Temp.:_3__°C
Stand- Zielpunkt punkt
Sicht:
Horizontalkreis
Ablesung
Lage I
Lage II
[gon]
_5__ km
Mittel aus
I und II
[gon]
Instrument: T 16 - 47 13
reduziertes
Satzmittel
[gon]
[gon]
31
22
24
25
26
2
64
128
214
347
163
513
907
202
264
328
14
345
160
511
906
31
22
24
25
26
67
129
193
280
574
389
737
130
267
329
393
80
572
387
736
128
67
129
193
280
573
0 000
388 61 815
736 126 163
129 212 556
31
22
24
25
26
133
195
259
346
486
303
652
045
333
395
59
146
484
302
650
043
133
195
259
346
485
0 000
302 61 817
651 126 166
044 212 559
f=(r-1).(n-1)
s
Mittel aus
allen
Fehlerrechnung
Beobachtungen
[gon]
0,1 mgon
d
v
vv
vv
=
Form Trig 01 -  2014 by FH Trier - FB BLV
f
Hochschule Trier
2
- 43 -
Vermessungskunde 1
Verfahren der Einzelpunktbestimmung
Rückwärtsschnitt
Gegeben:
P
Koordinaten der Festpunkte A, M, B
rA

rB 
Gemessen: Auf dem Neupunkt die Richtungen
rA, rM, rB zu den Festpunkten
rM
A Gesucht:

G
Koordinaten des Neupunktes P

M
F

P
M

B

H
A
B
A
B
Rückwärtsschnitt nach COLLINS
  rM - rA
M
P
= rB - rM
Günstige Bestimmungsrichtungen
wenn     200 gon
wenn     200 gon
 '  , '  
 '    200 gon, '    200 gon
AB = ( y B  y A ) 2 + ( x B - x A ) 2
t A,B
P
y - yA
= arctan B
xB - x A

A

P'
AM = ( y M  y A ) 2 + ( x M - x A ) 2
t A,M


y - yA
= arctan M
xM - x A
B
 = t A ,B - t A,M
M
Gefährlicher Kreis
Hinweis: Treten bei den folgenden Streckenberechnungen negative Werte auf, so sind diese bei
den weiteren Berechnungen auch zu berücksichtigen!
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
AH = AB 
- 44 -
sin '
sin (' + ' )
GH = - AH  sin '
FM = - AM  sin 
AG = AH  cos '
AF = AM  cos 
 = arctan
t
P, H
(GH  FM)
auf die Lage in den Quadranten achten!
( AG  AF)
= t A, B  
t P,H = t P,H  200 gon, wenn GH  FM
t A,P = t P,H  '  200 gon
 = - (  ' )
AP = AH 
sin 
sin '
Neupunktberechnung:
y P = y A  AP  sin t A,P
x P = x A  AP  cos t A,P
Kontrolle:
t P,B = arctan
yB  yP
xB  xP
Soll
Soll
t P,B  t P,M = '
t P,B  t P,A = ''
Hinweis:Der Rückwärtsschnitt sollte aufgrund eventuell ungünstiger Messungsanordnungen zugunsten anderer Messmethoden (polare Messung) nicht mehr angewendet werden.
Vorwärtsschnitt
Vorwärtsschnitt über Dreieckswinkel
rBA
B
Gegeben:
rBP
Gemessen: Auf den Festpunkten die Richtungen
rAB, rAP, rBA, rBP

Gesucht:
rAB

Koordinaten der Festpunkte A und B
P
rAP
AB =
A
( yB  y A )2 + ( xB - xA )2
t A ,B = arctan
  rAP - rAB
Hochschule Trier
 = rBA - rBP
yB - y A
xB - xA
- 45 -
t A,P = t A,B  
AP = AB 
Vermessungskunde 1
t B,P = t B,A    t A,B  200 gon  
sin 
sin ( + )
BP = AB 
Neupunktberechnung:
sin 
sin ( + )
Kontrolle:
yP = y A  AP  sin t A,P
y P = y B  BP  sin t B, P
xP = xA  AP  cos t A,P
x P = x B  BP  cos t B, P
Vorwärtsschnitt über Richtungswinkel
rBD
B

C
D
Gegeben: Koordinaten der Festpunkte A, B, C und D
Gemessen:Auf den Festpunkten die Richtungen
- zum Neupunkt rAP, rBP
- zu den Fernzielen rAC, rBD,
rBP
Gesucht:
P

rAC
rAP
A
AB =
( y B  y A )2 + ( x B - x A )2
t A,B = arctan
t A,C = arctan
yC - yA
xC - x A
yB - y A
xB - x A
t B,D = arctan
yD - y B
xD - xB
t A,P = t A,C + (rAP - rAC )
t B,P = t B,D + (rBP - rBD )
 = t A,P - t A,B
 = t B,A - t B,P  t A,B  200 gon - t B,P
AP = AB 
sin 
sin ( + )
Neupunktberechnung:
BP = AB 
sin 
sin ( + )
Kontrolle:
yP = y A  AP  sin t A,P
y P = y B  BP  sin t B, P
xP = xA  AP  cos t A,P
x P = x B  BP  cos t B, P
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 46 -
Bogenschnitt
B
Gegeben:
P'
+
-
Koordinaten der Festpunkte A und B
Gemessen: Strecken AP, BP und ggf. AB
P
Gesucht:
-
+
Ist AB nicht gemessen, kann ein Maßstabsfaktor
m
A
ABber.
nicht eingeführt werden. Anstelle ABgem.
ABgem.
muß ABber. bei der Berechnung verwen det werden.
2
2
2
AB gem.  AP gem.  BP gem.
  arccos
2  AB gem.  AP gem.
ABber. =
( yB  y A )2 + ( xB - x A )2
t A ,B = arctan
yB - y A
xB - x A
t A ,P = t A,B + 
Hinweis: Vorzeichen von  beachten!
Neupunktberechnung:
Kontrolle:
yP = y A  (m  AP)  sin t A,P
xP = x A  (m  AP)  cos t A,P
Hochschule Trier
Soll
BP =
( yB  yP )2 + ( xB - xP )2
- 47 -
Vermessungskunde 1
Vertikalwinkelmessung
Vertikalkreisablesung
Stehachse
Höhenindexlibelle
Zenit
Zielachse
Ablesefenster mit
Index - Doppelstrich
Feinstellschraube
Vereinfachte Darstellung der Vertikalkreisablesung
Zenitwinkel z und Indexabweichung vz
Einfluss der Indexabweichung
Zenit
Zenit
0 gon
0 gon
Ziel
Ziel
vz
z
a1
vz
z
300 gon
100 gon
a2
Fernrohrlage I
Fernrohrlage II
z = a1 + vz
z = 400 - (a2 + vz)
!
z  a1  v z  400  (a 2  v z )
z
400  (a1  a 2 )
2
vz 
400  (a 1  a 2 )
2
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 48 -
Vertikalwinkelmessung
Projekt: _____Turnhalle_________
Ort:
Trier
Datum:
1.2.2014
Seite:____1_______
Beobachter:_Müller______
Gruppe: 5
Wetter:
Feldbuchführer:_Maier_______
heiter
Temp.:
Stand- Zielpunkt punkt
i=
t=
_3__°C
Vertikalkreis
Ablesung
Lage I
Lage II
[gon]
[gon]
Sicht:
_5__ km
Instrument:_T 16_- 47 13_
Gesamtmittel Fehlerz=
( I + 400 ) - II ( I + 400 ) - II z = [ z ] / n rechnung
2
0,1 mgon
I + II
[gon]
[gon]
[gon]
[gon]
42
53
55
56
58
99
92
71
62
126
826
375
915
300
307
328
337
893
194
645
105
42
53
55
56
58
99
92
71
62
125
822
372
912
300
307
328
337
891
194
644
104
400
400
400
400
016
016
016
016
198
185
142
125
234
628
728
808
99
92
71
62
117
814
364
904
42
53
55
56
58
99
92
71
62
129
829
374
914
300
307
328
337
892
194
648
108
400
400
400
400
021
023
022
022
198
185
142
125
237
635
726
806
99
92
71
62
118
818
363
903
42
53
55
56
58
1,52
1,63
1,58
3,27
5,12
f = nz . ( ns - 1 )
Hochschule Trier
s =
v v
f
v
vv
Form Trig 02 -  2014 by FH Trier - FB BLV
- 49 -
Vermessungskunde 1
Trigonometrische Höhenmessung
Grundlagen
e
tB
h
d
z
HB
iA
HA
NN
h = e . cot z
oder
h = d . cos z
HB = HA + h + iA - tB
Turmhöhenbestimmung mit horizontalem Hilfsdreieck
Grundriss
Aufriss
Hochziel T
T
zB
zA
hB sBT
sBT
sAT
sAT
rBT
rAT

Basis b
 = rAB - rAT
rBA Standpunkt B
iB
iA

Stand- rAB
punkt A
hA
b
HA
A
NN
B
HB
 = rBT - rBA
s AT 
sin 
b
sin (  )
hA = sAT . cot zA
HT = HA + hA + iA
sBT 
sin 
b
sin (  )
hB = sBT . cot zB
HT = HB + hB + iB
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 50 -
Turmhöhenbestimmung mit vertikalem Hilfsdreieck
Aufriss
T
in A gilt mit IA = HA + iA :
zB
zA
HT = IA + (b + x) . cot zA
HT
iB
iA
HA
in B gilt mit IB = HB + iB :
b
NN
A
HB
B
x
HT = IB + x . cot zB
Werden beide Ansätze gleichgesetzt und nach x aufgelöst, erhält man:
x
dies oben eingeI  cot zB  I B cot zA  b  cot z A  cot zB
HT  A
setzt liefert:
cot zB  cot zA
IA  I B  b  cot z A
cot zB  cot z A
oder, nachdem Zähler und Nenner durch cot zA. cot zB dividiert werden:
HT 
IA  tan z A  I B tan zB  b
tan z A  tan zB
Einfluss der Erdkrümmung
Einfluss der Refraktion
und der Erdkrümmung
HB = HA + h + kE
mit kH = kE - kR
HB = HA + h + kH
kH 
Zielpunkt B
z'
z
z
Standpunkt A
h
e
kE
HA
Standpunkt A
HB
B
z
kR
h
e
kE
HA
HA
r
(1  k ) 2
e
2r
HB
HA
r
r
kurze Entfernungen
RL
RL
r
große Entfernungen
Entfernung e
50 m
100 m
200 m
300 m
500 m
1 km
5 km
10 km
Korrektion kE
0,1 mm
0,7 mm
3,0 mm
7,0 mm
19,5 mm
7,8 cm
1,96 m
7,84 m
Korrektion kH
0,1 mm
0,6 mm
2,7 mm
6,1 mm
17,0 mm
6,8 cm
1,71 m
6,82 m
Hochschule Trier
- 51 -
Vermessungskunde 1
Elimination von Refraktion und Erdkrümmung durch gleichzeitige – gegenseitige Zenitwinkelmessung in zwei Standpunkten
e . cot zB
e
tB
iB
B
tA
zA
e . cot zA
hB =
hA =
zB
H
iA
A
Höhenunterschied von A nach B:
H  e  cot z A 
(1  k ) 2
e  i A  tB
2r
(I)
Höhenunterschied von B nach A:
 H  e  cot zB 
(1  k ) 2
e  iB  t A
2r
diese Gleichung mit (-1) multipliziert liefert:
H   e  cot zB 
(1  k ) 2
e  iB  t A
2r
(II)
Summe (I) und (II) liefert:
2 H  e (cot z A  cot z B )  i A  iB  t A  t B
Damit ist die Höhenkorrektion kH heraus gefallen; dies ist der doppelte Höhenunterschied zwischen
A und B, jedoch frei von Erdkrümmung und Refraktion.
Zusammenfassung:
1. bei Entfernungen bis 250 m muss die Erdkrümmung und Refraktion nicht berücksichtigt werden,
2. bei Entfernungen bis 2 – 3 km muss die Höhenkorrektion k H 
(1  k ) 2
e angebracht werden,
2r
3. bei größeren Entfernungen müssen gleichzeitig gegenseitige Zenitwinkelmessungen ausgeführt
werden.
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 52 -
Koordinatentransformationen
Ähnlichkeitstransformation
Mit Hilfe der Ähnlichkeitstransformation lassen sich Koordinaten, die in einem orthogonalen
y' - x' - Koordinatensystem gegeben sind über zwei identische Punkte (Punkte, die in beiden Koordinatensystemen bekannt sind) in ein anderes orthogonales y - x - Koordinatensystem umrechnen:
x'
x





Pi
Pi

PE
Pi
PA
x0
y'
y0
y
Zunächst werden die Koordinatendifferenzen der identischen Punkte berechnet:
dy'  y'E  y'A
dy  y E  y A
dx'  x'E  x'A
dx  x E  x A
Die Transformationskonstanten ergeben sich aus:
a
Hinweis:
dx' dx  dy' dy
dx' 2  dy' 2
o
Der Nenner ist bei den Transformationskonstanten gleich!
a2  o2
Maßstabsfaktoren:
m 
Drehwinkel:
  arc tan
Translationsparameter:
y 0  y A  o  x' A  a  y' A
o
a
bzw.
x 0  x A  a  x'A o  y'A
Neupunktberechnung:
yi  y 0  o  x'i  a  y'i
xi  x0  a  x'i  o  y 'i
Hochschule Trier
dx' dy  dy' dx
dx' 2  dy' 2
  arc cos
a
m
  arc sin
bzw.
y 0  yE  o  x'E  a  y'E
bzw.
x0  xE  a  x'E  o  y'E
o
m
- 53 -
Vermessungskunde 1
Koordinatentransformation
Ort: _ Trier
Projekt: ___Sportplatz_________
Datum: 2.2.2014
Berechnung : __Schmitt________
S
d
s
m
o
AltesSystem
x'A
x'i
x'i
x'E
23
8 338,99
8 586,69
481
7 319,35
8 802,06
482
8 858,81
9 717,54
24
7 918,31
9 538,01
y  yE  yA
x  xE  xA
a
NeuesSystem
y'A
y'i
y'i
y'E
Punkt
Nr.
Seite : ______1_________
yA
yi
yi
yE
xA
xi
xi
xE
3 497 944,99
5 208 664,62
3 497 564,56
5 209 632,75
Punkt
Nr.
y  yE  yA
x  y  y  x
o
s2
x  xE  xA
y  y  x  x
s2  y 2  x2 S2  y2  x2 d  S  s
a
m
s2
o
S
Maßstabsfaktor: m  a 2  o 2 
Drehwinkel:   arc tan
s
a
Form
Transf
.
.
.
.
yi = o x'i + a y'i
xi = a x'i - o y'i
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 54 -
Überbestimmte Ähnlichkeitstransformation
Mit Hilfe der überbestimmten Ähnlichkeitstransformation (Helmerttransformation) lassen sich Koordinaten, die in einem orthogonalen y' - x' - Koordinatensystem gegeben sind über identische Punkte in ein anderes orthogonales y - x - Koordinatensystem umrechnen. Die Zahl der identischen
Punkte, die in beiden Systemen gegeben sein müssen, ist n  3. Um numerisch günstige Werte
für die Berechnung der Transformationskonstanten zu erhalten, werden die Berechnungen mit Koordinatendifferenzen, bezogen auf den Schwerpunkt der gegebenen Punkte, durchgeführt:
Schwerpunktkoordinaten:
n = Anzahl der identischen Punkte
y'
y 's  i
n
ys
x'
x's  i
n
yi
n
xs 
für i = 1 ... n
xi
n
Danach werden die Koordinatendifferenzen zu jedem Koordinatenwert berechnet:
dy'i  y 'i  y's
dx'i  x'i  x's
dy i  y i  y s
dx i  x i  x s
für i = 1 ... n
a
o
Hinweis:
dx'i  dx i  dy 'i  dy i
[
dx'i 2  dy 'i 2
dx'i  dy i  dy 'i  dxi
dx'i 2  dy'i 2
Der Nenner ist bei den Transformationskonstanten gleich!
a2  o2
Maßstabsfaktoren:
m 
Drehwinkel:
  arc tan
y 0  y s  o  x's  a  y's
o
a
bzw.
x0  xs  a  x's  o  y's
Neupunktberechnung:
yi  y 0  o  x'i  a  y'i
xi  x0  a  x'i  o  y 'i
Hochschule Trier
] = Gauß'sches Summenzeichen
  arc cos
a
m
  arc sin
o
m
- 55 -
Vermessungskunde 1
Für die identischen Punkte lassen sich mit diesen Berechnungsansätzen die Restklaffungen in den
Koordinaten bestimmen:
v yi  yi ber .  yi
v xi  xi ber .  xi
v yi  v xi  0
Kontrolle:
Mit Hilfe der Restklaffungen lässt sich die Standardabweichung eines Koordinatenwertes berechnen:
v yi 2  v xi 2
sx  sy 
n > 2  Anzahl der identischen Punkte
2n  4
Die Standardabweichung eines Punktes ergibt sich aus:
sP  s x 
2
Affintransformation
Bei der Affintransformation werden Koordinaten, die in einem y' - x' - System gegeben sind, in ein
kartesisches y - x - System umgerechnet. Die Koordinatenachsen des y' - x' - Systems können
windschief zueinander sein und unterschiedliche Maßstäbe haben. Bei 3 identischen Punkten ist
die Lösung eindeutig, bei mehr als 3 identischen Punkten liegt eine Überbestimmung vor, bei der
[vv] = Minimum wird.

x
P2
x'
x




Pi
Pi

P3
P1

x0
Pi
y
P4
y'
y0
y
Zur Berechnung der Transformationskonstanten werden zunächst die Schwerpunktkoordinaten in
beiden Koordinatensystemen aus den Koordinaten der identischen Punkte bestimmt.
Schwerpunktkoordinaten:
n = Anzahl der identischen Punkte
y'
y 's  i
n
ys
yi
n
x'
x's  i
n
xs 
für i = 1 ... n
xi
n
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Vermessungskunde 1
- 56 -
Danach werden die Koordinatendifferenzen zu jedem Koordinatenwert berechnet:
dy'i  y 'i  y's
dx'i  x'i  x's
dy i  y i  y s
dx i  x i  x s
für i = 1 ... n
2
ax
dy'i  dx'i  dx i  dx'i  dy'i  dy 'i  dx i
dx'i2  dy 'i2  dx'i  dy 'i
2
2
ox
dy'i  dx'i  dy i  dx'i  dy 'i  dy 'i  dy i
dx'i 2  dy'i 2  dx'i  dy'i
2
2
ay
dx'i  dy 'i  dy i  dx'i  dy 'i  dx'i  dy i
dx'i 2  dy 'i 2  dx'i  dy 'i
2
2
oy
Hinweis:
dx'i  dy 'i  dx i  dx'i  dy'i  dx'i  dx i
dx'i 2  dy 'i 2  dx'i  dy'i
2
Der Nenner ist bei allen Transformationskonstanten gleich!
a x2  o x2
Maßstabsfaktoren:
mx 
my 
Drehwinkel:
 x  arc cos
y 0  y s  ay  y's  o x  x's
ax
mx
2
ay  o y
 y  arc cos
2
ay
my
x0  xs  ax  x's  oy  y's
yi  y 0  o x  x'i  ay  y'i
Neupunktberechnung:
xi  x0  a x  x'i  oy  y'i
Standardabweichung der Koordinaten:
v y i 2  v xi 2
sx  sy 
2n  6
Standardabweichung eines Punktes:
sP  s x 
Hochschule Trier
2
n > 3  Anzahl der identischen Punkte
- 57 -
Vermessungskunde 1
BASIC - Programm zur Affintransformation
HINWEIS: Vor jeder Zeile muss i. d. R. eine Zeilennummer stehen (hier ab 3000).
3000
3010
3020
3030
3040
3050
3060
3070
3080
3090
3100
3110
3120
3130
3140
3150
3160
3170
3180
3190
3200
3210
3220
3230
3240
3250
3260
3270
3280
3290
3300
3310
3320
3330
3340
3350
3360
3370
3380
3390
3400
3410
3420
3430
3440
PRINT "AFFINTRANSFORMATION N>3!"
INPUT "ZAHL D. ID. PUNKTE";N
DIM YA(N),XA(N),YN(N),XN(N)
XA=0:YA=0:XN=0:YN=0:GRAD
REM EINGABE DER KOORDINATEN DER IDENTISCHEN PUNKTE
FOR I=1 TO N
Z$=STR$(I)
PRINT "PUNKT";Z$
INPUT "RECHTS(ALT)=";YA(I)
INPUT "HOCH (ALT)=";XA(I)
INPUT "RECHTS(NEU)=";YN(I)
INPUT "HOCH (NEU)=";XN(I)
YA=YA+YA(I)
XA=XA+XA(I)
YN=YN+YN(I)
XN=XN+XN(I)
NEXT I
REM SCHWERPUNKTBERECHNUNG
YA=YA/N
XA=XA/N
YN=YN/N
XN=XN/N
REM SUMMENBILDUNG
S1=0:S2=0:S3=0:S4=0:S5=0:S6=0:S7=0
FOR I=1 TO N
S1=S1 + (YA(I) - YA)^2
S2=S2 + (XA(I) - XA)^2
S3=S3 + (YA(I) - YA) * (XA(I) - XA)
S4=S4 + (XA(I) - XA) * (XN(I) - XN)
S5=S5 + (XA(I) - XA) * (YN(I) - YN)
S6=S6 + (YA(I) - YA) * (XN(I) - XN)
S7=S7 + (YA(I) - YA) * (YN(I) - YN)
NEXT I
REM BERECHNUNG DER TRANSFORMATIONKONSTANTEN
NE=S1 * S2 - S3^2
K1=(S1 * S4 - S3 * S6)/NE
:REM
AX
K2=(S1 * S5 - S3 * S7)/NE
:REM
OX
K3=(S2 * S7 - S3 * S5)/NE
:REM
AY
K4=(S2 * S6 - S3 * S4)/NE
:REM
OY
REM BERECHNUNG DER MASSTABSFAKTOREN
PRINT "MASSTABSFAKTOREN:"
MY=SQR(K3^2 + K4^2)
PRINT "MY=";MY
MX=SQR(K1^2 + K2^2)
PRINT "MX=";MX
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
3450
3460
3470
3480
3490
3500
3510
3520
3530
3540
3550
3560
3570
3580
3590
3600
3610
3620
3630
3640
3650
3660
3670
3680
3690
3700
3710
3720
3730
3740
3750
3760
3770
3780
3790
- 58 -
REM DREHWINKELBERECHNUNG
PRINT "DREHWINKEL:"
EY=ACS(K3/MY)
PRINT "PHI(Y)=";EY
EX=ACS(K1/MX)
PRINT "PHI(X)=";EX
REM TRANSLATIONSPARAMETER
YO=YN - K3 * YA - K2 * XA
XO=XN - K1 * XA - K4 * YA
REM RESTKLAFFUNGSBERECHNUNGEN
PRINT "RESTKLAFFUNGEN:"
SA=0
FOR I=1 TO N
Z$=STR$(I)
PRINT "PUNKT";Z$
VY=YO + K2 * XA(I) + K3 * YA(I) - YN(I)
PRINT "VY=";VY
VX=XO + K1 * XA(I) + K4 * YA(I) - XN(I)
PRINT "VX=";VX
SA=SA + VY^2 + VX^2
NEXT I
REM STANDARDABWEICHUNGSBERECHNUNG
SA=SQR(SA/(2 * N - 6 + 1. E -10))
PRINT "STANDARDABW.=";SA
PRINT "EINES PUNKTES=";SA*SQR(2)
REM NEUPUNKTBERECHNUNG
PRINT "NEUPUNKTBERECHNUNG:"
INPUT "RECHTS(ALT)=";RA
INPUT "HOCH (ALT)=";HA
RN=YO + K2 * HA + K3 * RA
PRINT "RECHTS(NEU)=";RN
HN=XO + K1 * HA + K4 * RA
PRINT "HOCH (NEU)=";HN
GOTO 3700
END
Hochschule Trier
- 59 -
Vermessungskunde 1
Freie Standpunktwahl
Steht zur Messung ein elektronischer Tachymeter (elektronischer Theodolit mit elektronischem
Streckenmessteil) zur Verfügung, können von einem koordinatenmäßig unbekannten Instrumentenstandpunkt nach Anmessung (mit Richtung und Strecke) von mindestens zwei koordinatenmäßig bekannten Punkten, weitere Neupunkte durch Messung von Richtung und horizontaler Strecke
mit Hilfe der freien Standpunktwahl lagemäßig bestimmt werden.
Die mit dem Instrument zu allen Punkten gemessenen Richtungen ri und horizontalen Strecken si
(Polarkoordinaten) werden über
y'i = si . sin ri
x'i = si . cos ri
in lokale orthogonale Koordinaten umgerechnet. Hierbei ist die x' - Achse identisch mit der Nullrichtung des Instrumententeilkreises. Die Nullrichtung des Teilkreises kann mit der Richtung zum ersten Ziel zusammenfallen (reduzierte Nullrichtung).
Für die koordinatenmäßig bekannten Punkte liegen damit Koordinatenwerte in zwei Systemen vor,
so dass diese Punkte als identische Punkte für eine Koordinatentransformation verwendet werden
können. Hierbei ist der Instrumentenstandpunkt, der je nach den örtlichen Gegebenheiten günstig
in das Gelände gelegt werden kann, der Koordinatenursprung des lokalen Systems.
x
x'
FP2
P1
FP1
P2
y'
r1
r0
s0
s1
r3
r2
s2
s3
Pi
ri
si
Standpunkt
FPi
y
Liegen nur zwei bekannte Punkte vor, erfolgt die Berechnung über eine Ähnlichkeitstransformation
(s. dort). Bei mehr als zwei bekannten Punkten wird zur Genauigkeitssteigerung die Berechnung
mit Hilfe aller identischen Punkte durch eine überbestimmte Ähnlichkeitstransformation vorgenommen.
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 60 -
Polygonzüge
Bei der Polygonzugmessung sind folgende zulässige Abweichungen einzuhalten:
1,1
- für die Winkelabweichung:
ZW 
- für die Längsabweichung:
Z L  0,004
- für die Querabweichung:
Z Q  0,005 n
[s gem. ]
(n  1)
n  0,01
in gon
s ger .  0,00015 s ger .  0,06
in m
n  0,00007 s ger .  0,06
in m
n = Anzahl der Polygonzugpunkte (einschließlich Anfangs- und Endpunkt)
[ ]
= Gauß'sches Summenzeichen
[sgem. ] = Summe der gemessenen Polygonzugseiten (in m)
sger.
= aus Koordinaten gerechnete Strecke zwischen Anfangs- und Endpunkt (in m)
Beiderseits angeschlossener Polygonzug
FZ1
gegebene Koordinaten:
TP A, TP E, FZ1, FZ2
gemessene Elemente:
1 - 5, s1 - s4
gesuchte Koordinaten:
P1 - P3
FZ2
3
2
4
1
s1
P1
s2
P2
s3
TP A
P3
5
s4
TP E
TP A, FZ1
gemessene Elemente:
1 - 4, s1 - s4
P1 - P4
Einseitig angeschlossener Polygonzug
FZ1
3
2
4
1
s1
TP A
P1
s2
P2
s3
P3
s4
P4
Hochschule Trier
- 61 -
Vermessungskunde 1
Freier Polygonzug (Einrechnungszug)
TP A, TP E
gemessene Elemente:
1 - 3, s1 - s4
P1 - P3
2
1
3
s1
s2
P1
P2
s3
TP A
P3
s4
TP E
Ringpolygonzug
i. d. R. keine
gemessene Elemente:
1 - 5, s1 - s5
P1 - P5
3
2
s2
P3
s3
P2
s1
P4
P1
4
s4
1
s5
P5
5
Bei einem Ringpolygonzug muss bei der Bestimmung der Fehlergrenzen anstelle von sger. der
Wert für [sgem. ] verwendet werden!
Erläuterungen:
gemessene Richtung
gegenseitige Richtungen
gegenseitige Richtungen mit Strecke
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 62 -
Polygonzugberechnung
Ort:
Trier
Projekt: __Zug 14________________
Datum:
1.2.2014
Gruppe: __3___
Punkt-
Richtungswinkel t
nummer
Verbesserung
Strecke s
Berechnung: _Müller________
Verbesserung
Verbesserung
 y = s . sin t
 y = s . sin t
 x = s . cos t
 x = s . cos t
Brechungswinkel β
[gon]
y
[m]
TP 23
TP 4
308
040
200
3 524 806 80
5 215 739 96
3 523 652 14
5 215 405 41
3 523 779 92
5 215 964 99
3 524 775 32
5 216 035 25
[m]
139 50
242
148
195 74
NP
1203
[m]
Kontrolle:
001
NP
1202
[m]
x
153 24
NP
1201
Seite: _1____________
210
320
126 22
TP 116
TP 62
252
941
Form Polyber -  2014 by FH Trier - FB BLV
Hochschule Trier
- 63 -
Vermessungskunde 1
Koordinatentransformation
Ort: _ Trier
Projekt: ___Sportplatz_________
_ 1.2.2014
Datum:
Berechnung : __Schmitt________
S
d
s
m
o
AltesSystem
Punkt
Nr.
Seite : ______1_________
y'A
y'i
y'i
y'E
a
NeuesSystem
x'A
x'i
x'i
x'E
yA
yi
yi
yE
xA
xi
xi
xE
Punkt
Nr.
Einrechnungszug
TPA
1000,00
PP 1
1000,00
1000,00
3 496 387,12
5 206 423,89
3 496 844,66
5 206 105,32
PP 2
TPB
y  yE  yA
x  xE  xA
y  yE  yA
x  y  y  x
o
s2
x  xE  xA
y  y  x  x
s2  y 2  x2 S2  y2  x2 d  S  s
a
m
s2
o
S
Maßstabsfaktor: m  a 2  o 2 
Drehwinkel:   arc tan
s
a
Form
Transf
.
.
.
.
yi = o x'i + a y'i
xi = a x'i - o y'i
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 64 -
Tachymetrische Geländeaufnahme
Unter Tachymetrie versteht man die Bestimmung von Geländepunkten nach Lage und Höhe durch
gleichzeitiges Messen von Entfernung, Richtung und Höhenunterschied (originäre Messwerte) mit
einem Tachymeterinstrument.
Koordinatenmäßig bekannte Punkte:

P1
 = Fernziel
 = Standpunkt (+ Höhe)

P2
Zubestimmende Punkte:


P3

FZ

 Standpunkt
= Geländepunkt
Messelemente:
Richtung
Entfernung, Richtung
und Höhenunterschied
Pn
Das Gelände muss durch geeignete Auswahl der aufzunehmenden Punkte so erfasst werden,
dass zwischen benachbarten Punkten möglichst konstantes Gefälle besteht und linear interpoliert
werden kann. Die Lage der Geländepunkte ist in aller Regel willkürlich. Die Anzahl der Geländepunkte ist von den Geländeverhältnissen, den Genauigkeitsansprüchen und dem Kartenmaßstab
abhängig. Sie liegt für den Maßstab 1 : 5 000 bei etwa 300 - 700 Punkte je km2, für den Maßstab
1 : 1 000 bei etwa 2 000 - 3 000 Punkte je km2.
Aus den originären Messwerten können im Tachymeterinstrument direkt dreidimensionale Koordinaten (Lage plus Höhe) der Geländepunkte bestimmt werden; dies kann in einem örtlichen (lokalen) Koordinatensystem aber auch direkt im übergeordneten Koordinatensystem sein, wenn die
Standpunktkoordinaten und die Koordinaten des Fernziels -der Anschlusspunkte bei der Freien
Standpunktwahl- vor der Messung in das Instrument eingegeben wurden bzw. vom PC via Transferkabel/Speicherkarte übertragen wurden.
Grundsätze
Vor der Messung muss der Maßstab der Karte, in der die Planung vorgenommen werden soll, festliegen. Denn danach richtet sich die Punktdichte. Der Anfänger neigt dazu, weitaus mehr Punkte
aufzunehmen, als später in der Karte darstellbar sind. Deshalb soll man sich bei der Geländeaufnahme immer wieder die Frage stellen, ob die aufgenommenen Punkte in dem geforderten Maßstab in Lage und Höhe noch darstellbar sind.
Eine übersichtliche Rissführung ist die Voraussetzung für eine einwandfreie Kartenherstellung. Im
Riss müssen die Punktnummern mit denen im Instrument eingegebenen, bzw. im Formular notierten übereinstimmen. Dies ist bei jedem 10. Punkt durch Zuruf sicherzustellen.
Bei der Einzelpunktaufnahme mit einem elektronischen Tachymeter werden die Messungen der
Horizontalrichtungen und der Vertikalwinkel nur in einer Fernrohrlage vorgenommen. Das Tachymeterinstrument ist deshalb vor der Messung auf Zielachsfehler und Höhenindexfehler zu überprüfen und ggf. zu korrigieren.
Hochschule Trier
- 65 -
Vermessungskunde 1
Auswahl und Aufnahme der Geländepunkte
Zunächst muss festgelegt sein, wie die Weiterverarbeitung der Geländepunkte erfolgen soll. Es
gibt folgende grundlegende Methoden der Punktverarbeitung
Dreiecksmethode
+
Originalmesspunkt
Dreiecksseiten
Bruchkanten
Gittermethode
+
Originalmesspunkt
interpolierte Gitterwerte
Bruchkanten
Wobei bei den heutigen CAD-Programmen die Dreiecksmethode eine höhere Priorität hat. Aus
den diskreten dreidimensionalen Geländepunkten werden die Vermaschungen durch einen bestimmten Algorithmus automatisch vorgenommen (Delaunay-Triangulation)
 siehe dazu:
http://www.pi6.fernuni-hagen.de/GeomLab/
http://de.wikipedia.org/wiki/Delaunay-Triangulation
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Vermessungskunde 1
- 66 -
Führung des Vermessungsrisses
Ein während der Messung sorgfältig geführter Feldhandriss und ein ordentliches Feldbuch ist
ebenso wichtig, wie die eigentliche Punktaufnahme selbst. Denn nur eine sorgfältige Dokumentation der Messungsanordnung und der Messwerte gewährleistet später einen guten Grundriss und
einen guten Höhenplan. Auch wenn mit den heutigen Messinstrumenten der Datenfluss der Messwerte unmittelbar zum Auswerterechner gegeben ist, muss die Lage der Punkte und die Darstellung des Geländes in einem ungefähr maßstäblichen Feldhandriss unbedingt festgehalten werden.
Bei der späteren Auswertung können eventuell auftretende Fragen über die örtlichen Verhältnisse
damit problemlos überprüft werden. Steht bei der späteren Auswertung ein Feldhandriss nicht zur
Verfügung, muss ggf. erneut das Gelände in Augenschein genommen werden. Da das Vermessungsgebiet nicht immer in unmittelbarer Nähe gelegen ist, führt dies zu Zeitverzögerungen und zu
unnötigen zusätzlichen Kosten.
Als Grundlage für den Feldhandriss können je nach den örtlichen Gegebenheiten verschiedene
Unterlagen genutzt werden:
- Ist die tachymetrische Geländeaufnahme in einer Ortslage vorzunehmen, ist es vorteilhaft, sich
bei dem zuständigen Katasteramt eine Abzeichnung der Flurkarte des entsprechenden Gebietes
zu besorgen, die dann ggf. in einen zweckmäßigen Maßstab vergrößert wird. Damit steht ein
zwar nicht immer absolut aktueller Nachweis der Flurstücksgrenzeinrichtungen (Grenzmarken,
Grenzmauern), des Gebäudebestandes und der sonstigen Vermessungspunkte zur Verfügung.
Jedoch ist die Karte eine nützliche Orientierungshilfe, sie dann durch die eigenen Vermessungen
so ergänzt werden kann, dass alle planungsrelevanten Elemente erfasst und übersichtlich dargestellt werden können.
- Bei einer tachymetrischen Geländeaufnahme in freiem Gelände nutzt eine Flurkarte i. d. R. relativ wenig, da Grenzmarken ohne größeren Aufwand in den seltensten Fällen örtlich aufgefunden
werden können. Hier ist es zweckmäßig auf eine (mehrfach vergrößerte) Kopie der Deutschen
Grundkarte im Maßstab 1 : 5 000 (DGK 5) zurückzugreifen. Hier sind i. d. R. zusätzlich zu den
Flurstücksgrenzen auch Einzelheiten der Topographie dargestellt, die eine Orientierung im Gelände erleichtern und damit als Grundlage zur Rissführung dienen können.
Als Hilfsmittel zur Rissführung dienen:
- Feldbuchrahmen (Feldtisch) in entsprechender
Größe (DIN A2)
- transparenter Zeichenträger (Transparentpapier,
Zeichenfolie)
- Zeichenmaterial (Bleistift, Geodreieck mit Gonteilung, Anlegemaßstab)
Ausschnitt aus einer DGK 5
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Vermessungskunde 1
Allgemein sind die aufzunehmenden Punkte in einer so dichten Folge zu legen, dass eine zutreffende Darstellung der Umrisslinien topographischer Objekte, vor allem bei gekrümmten Linien (z.B.
Bäche, Waldwege) gewährleistet ist. Die charakteristischen Geländelinien (Bruchkanten) müssen
als Hilfslinien erkannt, im Riss dargestellt und in Orientierung daran die zu messenden Punkte
sachgerecht verteilt ausgewählt werden.
Bei der Punktaufnahme soll die Geländegestalt mit möglichst wenigen Punkten morphologisch
richtig erfasst werden. Die Auswahl der aufzunehmenden Punkte erfordert Übung, Geschick und
Erfahrung; sie ist Aufgabe des Ingenieurs, der auch den Riss führt. Dieser soll als maßstäbliche
Skizze (Vermessungsriss) neben den Stand- und Aufnahmepunkten und deren Punktnummern alle
wichtigen Einzelheiten auch die Geländelinien enthalten. Zu den Geländelinien gehören die:
Geripplinien
-
Rückenlinien (Kammlinien, Wasserscheiden)
-
Muldenlinien (Tallinien, Wassersammler)
-
Falllinien
-
Formlinien (Leitlinien)
-
Kantenlinien (Bruchkanten, Geländekanten)
Das Gelände gliedert sich in Rücken, Kuppen, Täler, Mulden, Kessel, Sättel usw., die
messtechnisch durch Einzelpunkte zu erfassen sind. Die höchsten Punkte sind die Kuppen, die tiefsten die Mulden, die geländerelevanten Linien sind die Rücken- und Muldenlinien. Zwischen je zwei Aufnahmepunkten soll
eine geradlinige Steigung des Geländes herrschen, so dass später die Höhenlinien zwischen diesen Punkten linear interpoliert werden können.
Beispiel: Riss zu einer Tachymeteraufnahme
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Vermessungskunde 1
- 68 -
Punktnummerierung
Jeder angemessene Punkt wird im Riss dargestellt und erhält eine Punktnummer, die auch in das
Instrument vor der Registrierung der Messwerte eingegeben wird. Damit ist später eine eindeutige
Zuordnung der Messelemente zum jeweiligen Aufnahmepunkt möglich. Die Punktnummer besteht
aus einer Leitnummer und Folgenummern.
Die Leitnummer ist i. d. R. die Nummer des Festpunktes (NP), von dem aus die Aufmessung erfolgt. Ist die Zuordnung der angemessenen Punkte im Riss zum Leitpunkt nicht eindeutig, weil beispielsweise mehrere Aufnahmepunkte dargestellt sind, werden Leitpunktbezirke gebildet. Durch
eine Abgrenzungslinie werden die zum jeweiligen Leitpunkt gehörenden Aufnahmegebiete diesem
eindeutig zugeordnet. Die Vergabe der Leitnummer ist grundsätzlich im Riss zu vermerken.
Die Folgenummern werden fortlaufend für jeden angemessenen Punkt vergeben und im Riss dem
jeweiligen Punkt eindeutig zugeordnet. Sie sind von der Leitnummer eindeutig durch einen
Schrägstrich (/) zu trennen. Ist die Zuordnung des Folgepunktes zu einem Leitpunkt im Riss eindeutig, kann die Folgenummer auch ohne vorgesetzte Leitnummer und Trennungszeichen angegeben werden. Die Folgenummer hat i. d. R. maximal drei Ziffern. Sie wird vor jeder Registrierung
der Messelemente in das Instrument eingegeben.
Beispiel:
Leitpunkt ist NP 13
Punktnummern:
oder, wenn eindeutig:
z.B.
z.B.
13/1, 13/2 usw.
6, 7, 8 usw.
Ausschnitt eines Katasterrisses mit Leitpunkt, Leitpunktbezirk und Folgepunkten
Schlüsselzahlen
Zusätzlich zu den Punktnummern kann für jeden angemessenen Punkt eine oder mehrere Schlüsselzahlen in das Instrument eingegeben werden. Damit kann schon bei der Geländeaufnahme eine
Zuordnung zu bestimmten topographischen Merkmalen oder Linienarten erfolgen. Die Schlüsselzahlen ergeben sich entweder aus den speziellen CAD-Programmen oder entsprechend dem Objektschlüsselkatalog OSKA LIKA – Objektschlüsselkatalog Liegenschaftskataster der AdV (Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen der Länder der Bundesrepublik Deutschland).
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Beispiel:
- 69 -
Schlüsselzahlen
2
4
5
9
22
25
0
0
0
0
0
0
0
9
Vermessungskunde 1
Merkmal
Böschung OK
Grabensohle
Durchlass
Polygonpunkt
Fahrbahnrand
Bankett
Polygonseite
Die Verwendung der Schlüsselzahlen und deren Eingabe in das Instrument setzt jedoch vom
Messtruppführer die Kenntnis des umfassenden Schlüsselnummerkataloges voraus.
Weitere Identifikationskriterien
Die im elektronischen Tachymeter gespeicherten Datensätze können während der Messung durch
weitere Informationen ergänzt werden. Dazu können folgende Daten gehören:
- Header (Titelsatz zur Bezeichnung des Projektes)
- Instrumentenhöhe zusätzlich zur Standpunktnummer
- Reflektorhöhen und Reflektorlagen zusätzlich zur Zielpunktnummer:
z. B.:
20
21
22
23
24
Zielpunkt zentrisch
Zielpunkt exzentrisch, Punkt liegt vor dem Zentrum
Zielpunkt exzentrisch, Punkt liegt links vom Zentrum
Zielpunkt exzentrisch, Punkt liegt hinter dem Zentrum
Zielpunkt exzentrisch, Punkt liegt rechts vom Zentrum
- weitere Kennziffern zur Identifizierung des Punktes:
- Höhenfestpunkt
- Station
- linker Fahrbahnrand
- rechter Fahrbahnrand
- links der Achse
- rechts der Achse usw.
Der detaillierte Aufbau der Datensätze ist unterschiedlich und von den jeweiligen Geräteherstellern
abhängig. Der jeweilige Softwarehersteller bietet in seinen Produkten dann entsprechende Umsetzungsprogramme an, die es erlauben die Daten von dem Datenformat des Geräteherstellers in das
Datenformat des Softwareproduktes zu konvertieren.
Personeller Aufwand
1 Ingenieur zur Organisation des Messablaufs und Rissführung,
1 Beobachter am Instrument,
2 Messgehilfen zum Tragen und Aufstellen der Reflektoren
Die Kosten belaufen sich dementsprechend in etwa auf:
1 Ingenieur
1 Beobachter
2 Messgehilfen
je 40
€ / Stunde
70
50
80
€ / Stunde
€ / Stunde
€ / Stunde
200
€ / Stunde
Jede Einsparung von Arbeitskräften verzögert und verteuert die Geländeaufnahme.
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- 70 -
Vermessung mit Hilfe von Satelliten
Mit dem Aufkommen der Raumfahrt und dem Aussetzen von künstlichen Erdsatelliten (1957 Sputnik 1 von der UdSSR - 1958 Explorer 1 von den USA) wurde erkannt, dass die Satelliten für länderübergreifende Vermessungen genutzt werden könnten. Dabei wurden die zunächst passiven Satelliten (1960 Echo 1
USA) als hochfliegende Ziele betrachtet, die, zeitgleich von
mehreren Punkte aus angemessen, eine sogenannte Hochzieltriangulation erlaubten. Zur Anmessung wurden keine
Theodolite verwendet, sondern Spezialkameras mit hochpräzisen Objektiven, die vor dem Hintergrund des Sternenhimmels
von der Satellitenbahn zeitsynchrone Fotografien aufnahmen.
Die geodätischen Berechnungen erfolgten dann nach Ausmessung der Satellitenbahn in den fotografischen Aufnahmen.
Praktische Anwendung dieser Methode war die vermessungstechnische Verbindung Skandinaviens an Europa und die Verbindung von Frankreich nach Algerien im Jahr 1962.
Die technologische Entwicklung führte zu immer kleineren Satelliten, die dann auch selbst aktiv
Signale aussandten. Schon 1964 wurde vom amerikanischen Verteidigungsministerium erkannt,
dass die Satelliten zur Navigation (zunächst für die Polarisunterseeboote) genutzt werden könnten.
Speziell dazu wurde das zweidimensionale Satellitennavigationssystem TRANSIT entwickelt. Dieses lieferte jedoch aufgrund der instabilen (niedrigen) Umlaufbahnen der Satelliten nicht hinreichend genaue Informationen; auch sollte eine dreidimensionale Navigation möglich sein.
1973 wurde vom amerikanischen Verteidigungsministerium der Beschluss gefasst, ein weltumspannendes genaues Satellitennavigationssystem zu schaffen, das auch den strategischen Raketen eine hohe Zielpunktgenauigkeit ermöglichen sollte. Der Aufbau dieses als
NAVigational Satellite Time And Ranging - Global Positioning System
NAVSTAR - GPS
bezeichneten Systems begann 1973 und sollte 1993 abgeschlossen sein. Fehlstarts, Ausfälle und
die Challanger-Katastrophe von 1986 führten zu zeitlichen Verzögerungen. Seit 1995 ist der endgültige Ausbauzustand mit mindestens 24 weltumspannenden Satelliten erreicht. Derzeit (2011)
sind 32 Satelliten in Betrieb. Das System wird ständig ergänzt, da die Entwurfslebensdauer eines
solchen Satelliten bei nur 7,5 Jahren liegt. Jeder Satellit hat ein Gewicht von ca. 850 kg, die
Stromversorgung erfolgt über zwei Kollektorplatten für Sonnenenergie. Er verfügt über ein Antriebssystem zur Lagestabilisierung und Erhaltung der Bahnposition.
GPS - 24 Satelliten-Konstellation
GPS-Satellit
Als Navigationssystem ist das GPS im Kraftfahrzeugbereich, beim Segeln und Wandern bereits
weit verbreitet.
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- 71 -
Vermessungskunde 1
Nach Auflösung der Union der Sozialistischen Sowjet Republiken wurde bekannt, dass auch dort
ein satellitengestütztes Navigationssystem existierte. Dieses System trägt die Bezeichnung
GLONASS
und wird zwischenzeitlich auch kommerziell genutzt. Auch die Volksrepublik China besitz zwischenzeitlich ein auf den asiatischen Raum begrenztes Satellitennavigationssystem COMPASS.
Für Europa ist ein eigenständiges neues Navigationssystem derzeit in der Entwicklungsphase:
GALILEO  http://de.wikipedia.org/wiki/Galileo_(Satellitennavigation)
Liste aller Navigationssatelliten:
 http://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_Navigationssatelliten
Für präzise geodätische Vermessungen (insbesondere bei nicht vorhandenem Grundlagennetz)
werden GPS und GLONASS heute gemeinsam benutzt. Heute wird die Bezeichnung GNSS für ein
Globales Navigationssatellitensystem (von dem engl. Global Navigation Satellite System) verwendett.
GNSS-Satelliten übermittel über Funk ihre
genaue Position und Uhrzeit. Zur Positionsbestimmung muss ein Empfänger die Signale
von mindestens vier Satelliten gleichzeitig
empfangen. Im Empfangsgerät werden dann
die vier Signallaufzeiten (von den Satelliten
zur Empfangsantenne) errechnet. Daraus
werden dann die aktuelle Position (inklusive
der Höhe) und die genaue Empfängeruhrzeit
ermittelt.
Methode der Positionsbestimmung
Bei einer Flughöhe der GPS-Satelliten von ca. 20.200 km und einer Anzahl von wenigstens
24 Satelliten soll stets sichergestellt sein, dass die Empfangsgeräte - auch bei nicht vollkommen
freier Sicht, insbesondere in Horizontnähe - möglichst immer Signale von mindestens vier Satelliten gleichzeitig empfangen.
Dazu werden von verschiedenen Geräteherstellern Empfangsgeräte mit integrierten Auswerterechnern (Black Box) und entsprechende Auswertesoftware angeboten. Diese GPS - Empfänger
erlauben die dreidimensionale Positionsbestimmung auf der Erdoberfläche mit cm - Genauigkeit.
Voraussetzung zur Positionsbestimmung ist der Empfang der Signale von mindestens vier Satelliten (4 Unbekannte  3 Pseudostrecken und 1 Zeitsignal). Aus diesen Daten werden dreidimensionale orthogonale geozentrische Koordinaten im World Geodetic System 1984 (WGS84) abgeleitet.
z
zP
P
xP
yP
0°
x
90°
Äquator
geozentrisches Koordinatensystem
y
Schnittpunkt von 3 Kugelflächen
Die Kosten für ein solches Empfangssystem belaufen sich auf ca. 40 000 EUR.
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- 72 -
Zur Standortbestimmung werden Laufzeiten - auf zwei unterschiedlichen Frequenzen – aus den
codiert ausgesandten Signalen von mindestens vier Satelliten und Zeitsignale ermittelt. Jede dieser (Pseudo-) Entfernungen definiert eine Kugelfläche um den zugehörigen Satelliten, auf der sich
der Empfänger befindet. Zwei Kugelflächen schneiden sich in einem Kreisbogen und drei Kugelflächen ergeben den Empfängerstandpunkt. Der vierte Satellit wird benötigt, um die Abweichung zwischen den Uhren der GNSS-Satelliten und der des Empfängers zu ermitteln und aus den gemessenen Laufzeiten herauszurechnen, d. h. die Pseudoentfernungen in tatsächliche Entfernungen
umzurechnen. Da sich die Satellitenstandorte ständig ändern, ändern sich auch die Entfernungen
der Satelliten zum Empfänger im Standpunkt. Jedoch kann der Nutzer aus den in den Satellitensignalen enthaltenen Bahndaten (Ephemeriden) die Satellitenstandorte für jeden Zeitpunkt berechnen. Diese Bahndaten werden für jeden Satelliten von den Bodenkontrollstationen regelmäßig
überprüft und bei GPS ca. alle 2 Stunden abgeglichen.
Die Entfernung vom Satelliten zum Empfänger erschließt sich aus der Signallaufzeit. Jeder Satellit
strahlt fortwährend seinen individuellen Code und seine individuellen Bahndaten aus. Der Code
wiederholt sich bei GPS und GLONASS jede Millisekunde. Der Empfänger erzeugt dieselben Satellitencodes und gleicht diese über eine entsprechende Zeit- und Frequenzverschiebung an die
empfangenen Satellitensignale an. Um den Empfänger nicht mit einer entsprechend hochgenauen
Atomuhr auszustatten zu müssen, wird die Abweichung der Empfängeruhr ermittelt und bei der
Positionsberechnung berücksichtigt. Zur Bestimmung der vier Unbekannten (drei Raumkoordinaten und Empfängeruhrenfehler) benötigt man deshalb vier Satelliten. Dies führt zu vier Gleichungen mit vier Unbekannten.
Die so gemessene Zeitverschiebung entspräche bei genau synchronisierten Uhren im Satelliten
und Empfänger der Laufzeit der Satellitensignale. Die Multiplikation dieser Laufzeit mit der Signalgeschwindigkeit (annähernd Lichtgeschwindigkeit) ergibt die Strecke vom Satelliten zum Empfänger. Die Laufzeiten der einzelnen Satellitensignale werden jedoch durch unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Signale in der Erdatmosphäre - hier insbesondere in der Troposphäre
und der Ionosphäre - für jeden Satellitenstandort unterschiedlich beeinflusst. Die Positionsbestimmung unter diesem "Störfaktor“ ist nur mit einer Genauigkeit von etwa 10 m möglich.
Zur Genauigkeitssteigerung (im Bereich des Vermessungswesens) kann die Differentiell GPSMethode (DGPS) eingesetzt werden. Hierbei werden mit zwei gleichartigen GPS-Empfängern (Referezstation – Roverstation) zeitgleich Messungen ausgeführt. Diese zwei Empfänger können über
eine Funkverbindung miteinander verbunden werden und somit ihre Empfangsdaten austauschen.
Vorteil ist, dass die Einflüsse durch unterschiedlich atmosphärische Bedingungen eliminiert werden
können, da sie sich auf beide Empfänger in gleicher Größenordnung auswirken. Die beiden Empfänger befinden relativ nah zueinander und es gibt keine unterschiedlichen atmosphärischen Bedingungen während der Messung.
Die Messungen beziehen sich zunächst rein auf das GPS Bezugssystem WGS84. Eine Umrechnung der gemessenen WGS 84 Koordinaten in Gauß-Krüger-Koordinaten oder UTM-Koordinaten
des ETRS89 kann durch eine dreidimensionale Koordinatentransformation (sog. 7 Parametertransformation) direkt vor Ort mit dem Prozessrechner des GPS-Empfängers vorgenommen werden. Mit
Hilfe von drei identischen Punkten, die nach Lage und Höhe in WGS 84 Koordinaten angemessen
werden und deren Gauß-Krüger-Koordinaten mit NN-Höhen (oder UTM + Höhe) bekannt sind,
können die 7 Unbekannten (3 Rotationen, 3 Translationen und ein Maßstabsfaktor) des Berechnungsansatzes einer 3-D-Transformation (sog. 7 - Parametertransformation) bestimmt werden.
Mit dieser Art der Koordinatentransformation ist dann sofort eine Umrechnung der mit der Roverstation gemessenen WGS84 Koordinaten in das jeweilige Zielsystem möglich.
Dadurch, dass bei dieser Messmethode jeweils zwei (baugleiche) GPS-Empfänger (Referenz- und
Roverstation) benutzt werden müssen, ist der instrumentelle Aufwand relativ groß. Aus diesem
Grund hat die Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen der Länder der Bundesrepublik
Deutschland den Aufbau eines flächendeckenden GPS-Referenzsystems SAPOS beschlossen
und umgesetzt.
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- 73 -
Vermessungskunde 1
SAPOS
Der Satellitenpositionierungsdienst der deutschen Landesvermessung (SAPOS) ist ein
Gemeinschaftsprojekt der Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen der Länder der
Bundesrepublik Deutschland (AdV). Er stellt Korrekturdaten zur Verfügung, mit denen in Deutschland eine genauere Positionsbestimmung mittels Satelliten möglich ist.
Die Grundlage dieses Dienstes bildet ein Netz von permanent betriebenen GNSSReferenzstationen (früher als „Permanentstationen“ bezeichnet). Mit über 270 Stationen ist ganz
Deutschland abgedeckt. SAPOS stellt Korrekturdaten für Positionierung und Navigation mit GPS
und des GLONASS bereit. Die SAPOS-Referenzstationen werden von den Ländern betrieben und
sind bundesweit einheitlich nutzbar. Sie ersetzen bei differentiellen GPS-Messungen den notwendigen zweiten Empfänger, so dass der Nutzer nur noch einen einzigen benötigt. Der Datenaustausch zwischen den SAPOS Sendern und den GPS-Empfängern kann auf unterschiedliche Art
und Weise vorgenommen werde. Entweder können mit speziellen Empfängern Radiosignale empfangen werden, die von der ARD ausgestrahlt werden oder die Daten können über Mobiltelefone
(die Online mit dem GPS-Empfänger verbunden bzw. Bestandteil sind) abgerufen werden. Der Datenempfang ist grundsätzlich gebührenpflichtig.
Siehe dazu:  http://www.hamburg.de/sapos/
Für ausgerüstete und berechtigte Anwender bietet SAPOS drei verschiedene Genauigkeitsstufen
zur Nutzung in Echtzeit (Realtime) oder für nachträgliche Berechnungen (Postprocessing) an. Drei
Dienstbereiche umfasst SAPOS mit unterschiedlichen Eigenschaften und Genauigkeiten:
Abkürzung
EPS
HEPS
GPPS
Name
Echtzeit-PositionierungsService
Hochpräziser EchtzeitPositionierungs-Service
Geodätischer Postprocessing-PositionierungsService
Verfahren
Lagegenauigkeit
Höhengenauigkeit
DGPS
0,5 bis 3 m
1 bis 5 m
RTK
1 bis 2 cm
2 bis 3 cm
Postprocessing
unter 1 cm
1 bis 2 cm
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Vermessungskunde 1
- 74 -
Statistik und Fehlerlehre
Einführung - Terminologie
Die statistische Einheit ist das Einzelobjekt einer statistischen Untersuchung. Sie ist Träger
der Information(en), für die man sich bei der Untersuchung interessiert.
Jede statistische Einheit wird im Hinblick auf das Untersuchungsziel durch sachliche, räumliche
und zeitliche Kriterien identifiziert bzw. abgegrenzt. Es wird ausdrücklich darauf hingewiesen,
dass über eine richtige bzw. zweckmäßige Abgrenzung der statistischen Einheiten keine allgemeingültigen Aussagen gemacht werden können. Die Identifikationskriterien müssen aus der
jeweiligen Aufgabenstellung abgeleitet werden.
Beispiel: Für eine Kommunalwahl in einer Großstadt soll eine Prognose für das Wahlergebnis erstellt werden. Nennen Sie die Identifikationskriterien:
- Sachlich:
- Räumlich:
- Zeitlich:
Eine statistische Masse ist eine Gesamtheit (Menge) von statistischen Einheiten mit übereinstimmenden Identifikationskriterien (Grundgesamtheit). Die sachlichen, räumlichen und zeitlichen Identifikationskriterien ergeben sich aus der Zielsetzung bzw. Aufgabenstellung der statistischen Untersuchung. Die statistische Einheit ist das Einzelobjekt einer statistischen Analyse. Die
Ergebnisse der Untersuchung sollen im allgemeinen Aussagen über die statistische Masse oder
Teilen davon liefern. Häufig wird deshalb die Statistik als Wissenschaft zur Untersuchung von
Massenerscheinungen bezeichnet. Sofern die Ergebnisse einer statistischen Untersuchung in irgendeiner Form für Vergleichszwecke herangezogen werden, ist vor allem auf die Gleichartigkeit
von Massen zu achten.
Beispiel: Eine Analyse der Mietpreisentwicklung ist nur für gleichartige Wohnungen sinnvoll. Änderungen im Wohnkomfort können zu Verschiebungen der Mietpreisanalyse führen.
Aus Zeit-, Kosten- und anderen Gründen ist es häufig nicht möglich, im Rahmen einer statistischen
Untersuchung eine statistische Masse vollständig zu erfassen. Wird bei einer statistischen Untersuchung nur ein Teil der interessierenden Masse erfasst, dann heißt dieser Teil Stichprobe. In der
beschreibenden Statistik beziehen sich alle Ergebnisse und Aussagen immer nur auf die untersuchte Masse oder Stichprobe. Eine Verallgemeinerung oder Übertragung auf eine übergeordnete Masse ist unzulässig. Dies ist Aufgabe der induktiven Statistik.
Statistische Massen können nach unterschiedlichen Gesichtspunkten klassifiziert werden. Nach
dem Umfang unterscheidet man unendliche Massen, zu denen unendlich viele Einheiten gehören und endliche Massen mit endlich vielen Einheiten.
Eine weitere Unterscheidungsmöglichkeit ist der Zeitpunkt der Untersuchung der statistischen
Masse:
Eine statistische Masse, deren Einheiten für ein gewisses Zeitintervall der Masse angehören, d.h.
zu einem bestimmten Zeitpunkt in die Masse eintreten (Zugang) und erst zu einem späteren Zeitpunkt aus der Masse austreten (Abgang), heißt Bestandsmasse.
Beispiel: Bestandsmassen sind die zugelassenen Kraftfahrzeuge in Deutschland (Zugang: Zulassung; Abgang: Abmeldung)
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- 75 -
Vermessungskunde 1
Eine statistische Masse, deren Einheiten Ereignisse sind, die in einem bestimmten Zeitraum auftreten, heißt Ereignismasse oder Bewegungsmasse.
Beispiel: Ereignismassen sind die Neuzulassungen von Kraftfahrzeugen in Deutschland im Dezember 1994 oder der Bierverbrauch in Rheinland - Pfalz im Jahr 1993.
Eine statistische Einheit kann gewisse Eigenschaften haben. Diese Eigenschaften heißen Merkmale, die statistischen Einheiten sind Merkmalsträger. Merkmale werden mit großen lateinischen
Buchstaben bezeichnet: X, Y, A, B ... . Ein Merkmal, das abzählbar viele Werte annehmen kann,
heißt diskret (Zwischenwerte sind nicht möglich!). Ein Merkmal, das beliebige Werte annehmen
kann, heißt stetig.
Beispiel: Diskrete Merkmale sind:
Anzahl von Verkehrsunfällen, Zahl der Einwohner einer Stadt, Gehalt
Hinweis: Bei allen Geldgrößen gibt es eine kleinste (Währungs-) Einheit
Stetige Merkmale sind:
Körpergröße, Alter, Körpergewicht, Temperatur
Also: Alle Merkmale, die man durch abzählen erhält, sind diskret, alle Merkmale, die irgendwie
gemessen werden (Gewicht, Länge, Volumen, ...), sind stetig.
Die möglichen Werte, die ein Merkmal annehmen kann, heißen Merkmalsausprägungen. Eine
bei einer statistischen Untersuchung an einer bestimmten statistischen Einheit festgestellte Merkmalsausprägung heißt Merkmalswert oder Beobachtungswert. Dies sind die Daten, die bei der
statistischen Analyse verarbeitet werden. Sie werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet und mit einem Index i versehen: x1, x2, ... , xi, ... xn (n = Umfang der Messreihe).
Zusammenfassendes Beispiel:
statistische Masse:
statistische Einheit:
Merkmal:
Merkmalsausprägung:
Merkmalswert:
Bevölkerung der BRD
jeder Bürger der BRD
Geschlecht
männlich, weiblich
Männer in einem bestimmten Alter
Frauen mit einer bestimmten Haarfarbe
Häufigkeitsverteilungen
Werden die für eine statistische Untersuchung erhobenen Beobachtungswerte nacheinander aufgeschrieben, so erhält man eine statistische Reihe. Es werden geordnete und ungeordnete statistische Reihen unterschieden. Wenn die Beobachtungswerte in der Reihenfolge, in der sie erfasst
werden, aufgeschrieben werden, erhält man eine Urliste.
Eine erste Aufbereitung der durch die Urliste gegebenen Daten besteht nun darin, die auf die einzelnen Merkmalsausprägungen entfallende Anzahl von statistischen Einheiten auszuzählen. Wenn
das Datenmaterial nicht zu umfangreich ist, kann das Auszählen mit Hilfe einer Strichliste erfolgen.
Zur weiteren Aufbereitung des Datenmaterials benötigt man die sogenannten absoluten und relativen Häufigkeiten.
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Vermessungskunde 1
- 76 -
Beispiel: Anlässlich einer Schulstatistik wurde in einer Klasse das Alter von 25 Schülern festgestellt. Dabei erhielt man folgende Urliste:
Nr. i der statis- Merkmalswert xi Nr. i der statis- Merkmalswert xi Nr. i der statis- Merkmalswert xi
tischen Einheit
1
2
3
4
5
6
7
8
(in Jahren)
14
15
14
16
17
15
14
15
tischen Einheit
9
10
11
12
13
14
15
16
(in Jahren)
16
14
15
17
15
16
15
14
tischen Einheit
17
18
19
20
21
22
23
24
25
(in Jahren)
17
15
16
15
14
15
17
16
15
Die Auswertung der Tabelle führt zu folgender Strichliste:
Nr. i
Alter xi Anzahl der Schüler
mit dem Alter xi
1
14
2
15
3
16
4
17
Die Anzahl der Beobachtungswerte mit der Merkmalsausprägung xi heißt absolute Häufigkeit der
Merkmalsausprägung und wird mit h( xi ) bezeichnet. Die absolute Häufigkeit jeder Merkmalsausprägung kann in Beziehung zu der Gesamtzahl n der Beobachtungswerte gesetzt werden.
k
Für die absoluten Häufigkeiten gilt:
0  h( xi )  n
(i = 1,2,...,k) und
 h( x )  n
i
i1
Der relative (prozentuale) Anteil der absoluten Häufigkeit einer Merkmalsausprägung xi an der Gesamtzahl der Beobachtungswerte heißt relative Häufigkeit f( xi ) . Die relativen Häufigkeiten können
als Dezimalbrüche oder als Prozentzahlen angegeben werden. Im letzten Fall heißen sie dann relative prozentuale Häufigkeiten.
h( xi )
Es gilt:
f( xi ) 
Für die relativen Häufigkeiten gilt:
0  f( xi )  1
n
bzw. f( xi ) =
h( xi )
n
 100 (%)
k
(i = 1,2,...,k) und
 f( x )  1
i
i1
Beispiel: Von 80 Personen, die nach ihrem Wahlverhalten befragt wurden, haben 20 die Partei A
gewählt.
Merkmalsausprägung xi :
Absolute Häufigkeit:
Relative Häufigkeit:
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Partei A
h (xi) = 20
f (xi) = 20 / 80 = 0,25
oder
25 %
- 77 -
Vermessungskunde 1
Graphische Darstellungen
Anschaulicher als tabellarische Darstellungen von Häufigkeitsverteilungen sind graphische Darstellungen.
Beispiel: Eine Untersuchung über die soziale Struktur einer Region hat ergeben, dass 40% der
Beschäftigten Arbeiter, 25 % Angestellte, 15 % Beamte und 20 % Selbständige sind.
Darstellungen bei qualitativen Merkmalen
Bei qualitativen Merkmalen, die im allgemeinen nur wenige Merkmalsausprägungen haben, empfiehlt sich häufig eine der folgende graphischen Darstellungen:
S
B
B
An
S
An
Ar
Ar
Ar
A
B
S
Abb.: Stabdiagramm, Rechteckdiagramm, Kreisdiagramm zu obigen Beispiel
Eine anschauliche Darstellung (in Zeitungen) ist die Verwendung von Piktogrammen:
MMMMMMMM
40% Arbeiter
MMMMM
25% Angestellte
MMM
15% Beamte
MMMM
20% Selbständige
MM
Arbeiter
40%
Angestellte
25%
M
M
Beamte
15%
Selbständige
20%
Abb.: Zwei Arten von Piktogrammen - zweckmäßiger Weise mit Zahlenwerte ergänzt.
Darstellungen bei quantitativen Merkmalen
Bei der graphischen Darstellung quantitativer Merkmale kann ein Stabdiagramm in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden. Auf der horizontalen Achse werden in einem geeigneten
Maßstab die Merkmalsausprägungen aufgetragen. Beginnen die Ausprägungen nicht mit Null, so
wird dies durch eine am Ursprung unterbrochene Linie angedeutet. Die Höhen der Stäbe werden
durch die Häufigkeiten (relativ oder absolut) bestimmt.
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Vermessungskunde 1
hi
fi
10
0,40
8
0,32
6
0,24
4
0,16
2
0,08
- 78 -
14
15
16
Alter xi (in Jahren)
17
Abb.: Stabdiagramm zum Beispiel des Alters von Schülern in einer Klasse
Verbindet man die Endpunkte der Stäbe des Stabdiagramms miteinander und zeichnet die Stäbe
nicht ins Diagramm ein, so erhält man ein Häufigkeitspolygon.
hi
fi
10
0,40
8
0,32
6
0,24
4
0,16
2
0,08
14
15
16
Alter xi (in Jahren)
17
Abb.: Häufigkeitspolygon zum gleichen Beispiel
Beispiel: In einem Betrieb wurden die Mitarbeiter nach ihrem Alter zahlenmäßig erfasst. Dabei ergab sich folgende absolute Häufigkeitsverteilung:
hi
4
3
2
1
16
20
25
30
35
40
45
50
55
60
64
Alter
In einer Tabelle lassen sich diese Daten in Altersklassen zusammenfassen:
Nr. der statis- Altersklasse
tischen Einheit
absolute
Häufigkeit
1
15 - < 20
4
2
20 - < 30
8
3
30 - < 40
10
4
40 - < 50
6
5
50 - < 60
7
6
60 - 65
5
Hochschule Trier
Häufigkeit
Klassenbreite
- 79 -
Vermessungskunde 1
Bei dem vorherigen Beispiel war die Einteilung in die verschiedenen Altersklassen in Abstände von
vollen zehn Jahren sinnvoll und aufgrund der Altersstruktur zweckmäßig.
Bei diskreten Merkmalen mit sehr vielen Merkmalsausprägungen oder stetigen Merkmalen können
die Häufigkeiten nicht mehr jeder einzelnen Merkmalsausprägung zugeordnet werden. Hier empfiehlt es sich, mehrere Merkmalsausprägungen in bestimmte Klassen einzuteilen.
Klasseneinteilungen
Anzahl der Klassen:
k n
Spannweite:
R  x max.  x min.
R
x 
k
Klassenbreite:
Mitte des Messwertbereiches: (xmax.  xmin. ) / 2
Beispiel: Eine Messreihe mit 80 ganzzahligen (diskreten) Messwerten soll in Klassen eingeteilt
werden. Der Messwertsprung = 1, d.h. jede ganze Zahl zwischen x max. und x min. ist ein
möglicher Messwert.
Gegeben sind folgende Daten:
xmax. = 21
k
x 
(x max.
xmin. = 5
80  8,94
R = 21 - 5 = 16
n = 80 Messwerte
 k  9 (ungerade Klassenanzahl)
16
= 1,78
9
+ x min. ) / 2 = 13
 x = 2
( =÷ möglicher Messwert)
Mittel aller Messwerte:
x = 13,12 ;
(x max. + x min. ) / 2 + x / 2 = 14
Rechter Klassenrand der mittleren Klasse: 14 + 0,5 = 14,5 
Linker Klassenrand:
Addition des halben Messwertsprungs wegen
x > (x max. + x min. ) / 2
14,5 - x = 12,5
Mittlere Klassenmitte: 14,5 - x /2 = 13,5
R = (xmax. - xmin.) = 16
Addition wegen x  ( x m a x .  x min. ) / 2
(xmax. + xmin.)/2
 x/2 + 0,5 = 1,5
xmin.
5
mögliche Messwerte
kleinster Messwertsprung
x

5,5
4,5
7,5
6,5
9,5
8,5
xmax.
21
11,5
10,5
13,5
12,5
15,5
14,5
Klassenmitten
x
17,5
16,5
19,5
18,5
21,5
20,5
22,5
Klassenränder
mittlere Klassenmitte
Abb.: Darstellung der Herleitung der Klasseneinteilung
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Vermessungskunde 1
- 80 -
Beispiel: An 40 Probewürfeln wurden die in folgender Tabelle wiedergegebenen Betondruckfestigkeiten xi [N/mm2] ermittelt. Stellen Sie diese Stichprobe durch Klasseneinteilung in
Form von Histogrammen, einem Häufigkeitspolygon und einem Summenhäufigkeitspolygon graphisch dar.
Nr. der
statistischen
Einheit
Festigkeit
xi
Nr. der
statistischen
Einheit
Festigkeit
xi
Nr. der
statistischen
Einheit
Festigkeit
xi
Nr. der
statistischen
Einheit
Festigkeit
xi
1
52,6
11
43,8
21
50,2
31
48,9
2
49,8
12
49,7
22
55,2
32
46,1
3
52,3
13
50,4
23
49,6
33
51,5
4
47,4
14
54,6
24
57,0
34
53,6
5
46,3
15
42,1
25
51,8
35
47,1
6
44,5
16
50,4
26
52,8
36
51,1
7
46,1
17
53,9
27
49,4
37
48,5
8
48,3
18
51,3
28
49,2
38
47,1
9
44,5
19
55,1
29
48,1
39
50,8
10
50,8
20
46,7
30
53,1
40
48,6
Verteilungsformen
Bei Häufigkeitsverteilungen lassen sich im allgemeinen nach dem Aussehen ihrer graphischen
Darstellungen verschiedene Verteilungsformen unterscheiden.
Die folgenden Abbildungen zeigen die typische Gestalt der wichtigsten Verteilungsformen. Die
dargestellten Häufigkeitskurven kann man als geglättete Häufigkeitspolygone auffassen. Die Verteilungsform einer Häufigkeitsverteilung gibt einen ersten Überblick über die Struktur der entsprechenden statistischen Masse.
symmetrisch, eingipflig
symmetrisch, mehrgipflig
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rechts steil, links schief
symmetrisch, steilgipflig
links steil, rechts schief
symmetrisch, flachgipflig
- 81 -
Vermessungskunde 1
Statistische Maßzahlen eindimensionaler Häufigkeitsverteilungen
Für viele statistische Fragestellungen ist die detaillierte und umfassende Information, die die Darstellung der Häufigkeitsverteilung liefert, unnötig oder sogar störend. Man ist vielmehr daran interessiert, eine Häufigkeitsverteilung durch einige wenige, für die Problemstellung informative Größen zu ersetzen.
Die Charakterisierung einer Häufigkeitsverteilung durch statistische Maßzahlen stellt wie die Klasseneinteilung eine Datenreduktion dar, die dem Ziel dient, das Datenmaterial überschaubarer und
aussagekräftiger zu machen.
Die statistischen Maßzahlen werden nach sachlichen Gesichtspunkten im wesentlichen in Lageparameter und Streuungsparameter eingeteilt.
Lageparameter
Ein Durchschnitt ist ein Wert, der typisch oder repräsentativ für eine Menge von Daten ist. Da
solche typischen Werte dazu neigen, mitten in einer Menge von der Größe nach geordneten Daten
zu liegen, werden Durchschnitte auch Lageparameter genannt.
Verschiedene Arten von Durchschnitten können definiert werden, von denen das arithmetische
Mittel oder kurz der (empirische) Mittelwert, der Median, der Modus, das geometrische Mittel
und das harmonische Mittel die gebräuchlichsten sind.
Das arithmetische Mittel
Das arithmetische Mittel oder der Mittelwert x einer Menge von n Zahlen x1 , x 2 , x 3 ,..., x n ist definiert durch:
x 
x1  x2  x3 ... xn

n
 xi
n
Dieser Mittelwert wird auch als empirisches Mittel bezeichnet.
Beispiel: Das arithmetische Mittel der Zahlen 8, 3, 5, 12, 10 ist
x 
8  3  5  12  10
38

 7 ,6
5
5
Kommen die Zahlen x1 , x 2 , x 3 ,..., x m jeweils mit den absoluten Häufigkeiten h1, h 2 , h3 ,..., hm vor,
so ist das arithmetische Mittel
x 
Dabei ist n 
h1  x1  h 2  x 2 ...h m  x m
1

h 1  h 2 ...h m
n
 hi
m
h
i
 xi
i 1
die gesamte absolute Häufigkeit ( Anzahl aller xi ).
Beispiel: Kommen 5, 8, 6 und 2 jeweils mit den Häufigkeiten 3, 2, 4 und 1 vor, so ist das arithmetische Mittel:
x 
3  5  2  8  4  6  1  2 15  16  24  2

 5 ,7
3  2  4 1
10
Bei klassifizierten Häufigkeitsverteilungen repräsentiert die Klassenmitte xi* die gesamte Klasse.
Es ergibt sich demnach als Näherungswert für das arithmetische Mittel.
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Vermessungskunde 1
- 82 -
1
n
x 
k
 hi *  xi *
i1
wobei die hi* die absoluten Häufigkeiten in den Klassen mit den jeweiligen Klassenmitten xi* sind.
Die Anzahl der Klassen ist k.
Das gewogenes arithmetisches Mittel
Manchmal ordnet man den Zahlen x1 , x 2 , x 3 ,..., x n gewisse Gewichtungsfaktoren oder Gewichte p1, p2, ..., pn zu, die von ihrer Bedeutung oder Wichtigkeit abhängen. In diesem Fall wird
p1  x1  p 2  x 2 ...p n  x n

p 1  p 2 ...p n
x 
 pi  xi
 pi
als gewogenes arithmetisches Mittel bezeichnet.
Beispiel: Wenn die Abschlussklausur einer Vorlesung dreimal so hoch gewertet wird wie eine
Kurzklausur und ein Student bei der Abschlussklausur eine Punktzahl von 85 und bei
den Kurzklausuren Punktzahlen von 70 und 90 erhalten hat, so ist die durchschnittliche
Punktzahl
x 
1  70  1  90  3  85
415

 83
1 1  3
5
Der Median
Der Median x Z einer Menge von Zahlen, die ihrer Größe nach geordnet sind , ist der Wert in der
Mitte oder das arithmetische Mittel der beiden Werte in der Mitte. Er wird auch als Zentralwert
bezeichnet.
Sind x1 , x 2 , x 3 ,..., x n die aufsteigend geordneten Merkmalswerte einer Grundgesamtheit, so ist
der Median folgendermaßen definiert:
xZ  x n1
falls n ungerade
2
xZ 
x n 2  x n 2 1
falls n gerade
2
Beispiel: 1. Für die Menge der Zahlen 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10 erhält man folgenden Median:
n ist ungerade

x Z  x n 1  x 9 1  x 10  x 5  6
2
2
2
2. Für die Menge der Zahlen 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18 erhält man folgenden Median:
n ist gerade

xZ 
x n 2  x n 2 1
2

x 8 2  x 8 2 1
2

x4  x5
2

9  11
 10
2
Liegen die Daten in Form einer Häufigkeitstabelle (klassifizierte Daten) vor, so ist bei der Berechnung des Medians zu beachten, dass sich die Berechnungsformeln für den Median auf die einzelnen Merkmalswerte xi und nicht auf die klassifizierten Merkmalsausprägungen xi* der Häufigkeitstabelle beziehen.
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- 83 -
Vermessungskunde 1
Der Modus
Der einfachste Lageparameter ist der Modus xD , der auch als dichtester Wert oder häufigster
Wert bezeichnet wird. Der Modus ist die Merkmalsausprägung, die am häufigsten vorkommt. Er ist
um so aussagekräftiger, je stärker die entsprechende Merkmalsausprägung dominiert. Kommen
mehrere Merkmalsausprägungen als Modus in Frage, so verliert er an Aussagekraft.
Beispiel: 1. Die Menge 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18, hat den Modus xD  9.
2. Die Menge 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16, hat keinen Modus.
3. Die Menge 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 hat zwei Modi, xD  4 und xD  7.
Eine Verteilung, die nur einen Modus hat, wird als unimodal bezeichnet, eine Verteilung mit zwei
Modi bezeichnet man als bimodal.
Quartile, Dezile, Zentile, Quantile, Fraktile
Wird eine Menge von Daten der Größe nach geordnet, so ist der Wert in der Mitte - oder das arithmetische Mittel der beiden Werte in der Mitte -, der die Menge in zwei gleiche Teile teilt, der
Median. Wird die Menge der Daten in vier gleiche Teile geteilt, bezeichnet man die Werte, die die
Aufteilung vornehmen, als Quartile Q1 - Q3.
Gleichermaßen werden die Werte, die die Daten in zehn gleiche Teile teilen, Dezile D1 - D9 genannt.
Bei einer Aufteilung in einhundert gleiche Teile heißen die Aufteilungswerte Zentile Z1 - Z99.
Das 2. Quartil, das 5. Dezil und das 50. Zentil entsprechen dem Median. Das 25. und 75. Zentil
entsprechen dem 1. und 3. Quartil.
Die Begriffe Quartile, Dezile, Zentile und andere Werte werden zusammenfassend als Schwellenwerte oder auch Quantile bezeichnet. Bei normalverteilten Daten ist zur Festlegung eines bestimmten Bereiches der Daten auch die Bezeichnung Fraktil gebräuchlich (5% Fraktil).
Das geometrische Mittel
Das geometrische Mittel xG einer Menge von n Zahlen x1, x2, x3, ..., xn ist die n-te Wurzel aus
dem Produkt dieser Zahlen.
Geht man von den Merkmalswerten einer Grundgesamtheit aus, so ist das geometrische Mittel
xG 
n
x1  x 2    xn
Beispiel: Das geometrische Mittel der Zahlen 2, 4, 8 ist
xG 
3
248 
3
64  4
Das harmonische Mittel
Das harmonische Mittel xH einer Menge von Zahlen x1, x2, x3, ..., xn ist der reziproke Wert des
arithmetischen Mittels der reziproken Werte der Zahlen.
Geht man von den Merkmalswerten der Grundgesamtheit aus, so ist das harmonische Mittel als
xH 
n

1
xi
definiert.
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Vermessungskunde 1
- 84 -
Streuungsparameter
Häufig reichen die Lageparameter zur Charakterisierung einer Häufigkeitsverteilung nicht aus.
Deshalb werden sie oft durch einen Streuungsparameter ergänzt, der erkennen lässt, ob sich die
Merkmalswerte eng um den Mittelwert konzentrieren oder mehr oder weniger stark streuen.
Spannweite
Die Spannweite R ist der einfachste Streuungsparameter. Sie ist definiert als die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten vorkommenden Merkmalswert xi, d.h.
R  x max.  x min.
Die Aussagekraft der Spannweite wird dadurch stark eingeschränkt, dass nur die beiden extremen
Merkmalswerte berücksichtigt werden und über die Streuung der dazwischenliegenden Merkmalswerte nichts ausgesagt wird. Insbesondere untypische Extremwerte der Verteilung (sogenannte Ausreißer) verzerren die Aussagekraft der Spannweite.
Beispiel: Zu den Merkmalswerten 27, 4, 8, 3, 12, 10, 26, 6, 19, 16 gehört die Spannweite
R = 27 - 3 = 24
Die Spannweite ist für eine erste, schnelle Abschätzung der Streuung insbesondere deshalb geeignet, weil die übrigen Streuungsparameter mit einem zum Teil erheblichen Rechenaufwand verbunden sind.
Varianz und Standardabweichung
Der wichtigste Streuungsparameter, der die Güte der Messwerte einer Messreihe wiedergibt, ist
die Varianz  2 bzw. s 2; die positive Wurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung 
bzw. s. Die Varianz ist das arithmetische Mittel der quadratischen Abweichungen der Merkmalswerte xi vom arithmetischen Mittel, bzw. von einem Erwartungswert  .
1. Bei Merkmalswerten einer Grundgesamtheit ist die Varianz definiert als

2

1
n
 (x i  x )2

bzw.
2

1
n
 (xi  )2
wobei der empirische Mittelwert x ein Schätzwert für den Erwartungswert  (wahrscheinlicher
Wert ) einer Messreihe sein kann.
2. Bei Merkmalswerten einer Stichprobe ( Auswahl aus der Grundgesamtheit ) ist die Varianz definiert als
s2 
1
n1
 (xi  x)2
3. Bei klassifizierten Häufigkeitsverteilungen mit Daten der Grundgesamtheit, bei denen die Klassenmitte xi* die gesamte Klasse repräsentiert, ergibt sich für die Varianz als Näherungswert.
s2 
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1
n
k
 (x*i  x)2 hi*
i1
i = 1, 2, ..., k
k = Anzahl der Klassen
- 85 -
Vermessungskunde 1
Die Varianz besitzt als Dimension das Quadrat der Dimensionen der einzelnen Merkmalswerte.
Werden z.B. die Merkmalswerte in Meter gemessen, so hat die Varianz die Dimension Quadratmeter. Die Standardabweichung hat den Vorteil, dass sie die gleiche Dimension wie die Merkmalswerte besitzt.
Für die Berechnung der Varianz ist häufig die folgende Formel, insbesondere bei Berechnung mit
dem Taschenrechner, günstiger:

2
 xi2  n  x 2

n
mit
x 
 xi
n
Entsprechend ergibt sich auch für die Berechnung aus Merkmalswerten einer Stichprobe die Varianz aus:
s2 
 xi2  n  x2
n1
und bei klassifizierten Häufigkeitsverteilungen aus:
k
s2 
 hi*  xi*2  n  x 2
i1
wobei
n
x 
 xi
n
ist.
Variationskoeffizient
Der Variationskoeffizient v ist ein sogenannter relativer Streuungsparameter und wird als
Quotient aus Standardabweichung und arithmetischem Mittel definiert, d.h.
v 
s
x
bzw.
v 
s
 100%
x
Der Variationskoeffizient dient zum Vergleich von Stichproben eines Grundgesamtheittypes.
Da beim Variationskoeffizienten Standardabweichung und arithmetisches Mittel die gleiche Dimension haben, ergibt sich eine dimensionslose Zahl. Unsinnig wird die Aussagekraft des Variationskoeffizienten, wenn der Mittelwert nahe Null wird, bzw. verliert er jegliche Aussagekraft, wenn
der Mittelwert gleich Null ist.
Zweidimensionale Merkmalsausprägungen
Treten zwei voneinander abhängige - korrelierte - Merkmalsausprägungen xi und yi auf, lassen
diese sich in einer Merkmalsebene darstellen. Dazu trägt man auf der Abszissenachse die Merkmalsausprägungen des Merkmals X und auf der Ordinatenachse die Merkmalsausprägungen des
Merkmals Y ab.
Die statistische Einheit mit der Nummer i liefert ein Wertepaar (xi ; yi), deren Darstellung in der
Merkmalsebene als Streuungsdiagramm bezeichnet wird.
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Vermessungskunde 1
- 86 -
Körpergewicht y (in kg)
75


70


65


60



55



50






 
45



155




160
165
170
175
180
Körperlänge x (in cm)
Abb.: Streuungsdiagramm in der Merkmalsebene
Treten zusätzlich Häufigkeitsmerkmale zu den einzelnen Merkmalen auf, so gilt für die absolute
Häufigkeit
r
m
  h ij
j1
 n
i1
und für die relative Häufigkeit
r
m
  fij
j1
 1
wobei
fij 
i1
h ij
n
ist.
Zur Auswertung bedient man sich einer zweidimensionalen Häufigkeitstabelle oder einer dreidimensionalen Grafik.
Y
X
x1
x2
.
.
.
xi
.
.
.
xm

y1
y2
...
yj
...
yr

h11
h21
.
.
.
hi1
.
.
.
hm1
h.1
h12
h22
.
.
.
hi2
.
.
.
hm2
h.2
...
...
h1j
h2j
.
.
.
hij
.
.
.
hmj
h.j
...
...
h1r
h2r
.
.
.
hir
.
.
.
hmr
h.r
h1.
h2.
.
.
.
hi.
.
.
.
hm.
n
...
...
...
...
...
...
Abb.: Zweidimensionale Häufigkeitstabelle für absolute Häufigkeiten
(für relative Häufigkeiten gilt dies analog!)
Abb.: Graphische Darstellung einer zweidimensionalen Häufigkeitsverteilung
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- 87 -
Vermessungskunde 1
Zur weiteren statistischen Untersuchung können zweidimensionale Merkmalswerte gewissen mathematischen Methoden (Analysen) unterzogen werden:
Regressionsanalyse
Liegen mehrere zweidimensionale Merkmalswerte vor, können diese Werte durch eine Kurve repräsentiert und mathematisch ausgedrückt werden. Die Kurven sollen dabei der Bedingung
 d i2
 Min.
folgen. Dabei sind in der Regel die di die Abstände der Kurve von den einzelnen Merkmalswerten
in y-Richtung.
Die Kurven werden als Regressionsfunktionen bezeichnet.
Folgende Funktionen finden Anwendung:
Gerade
Parabel
Potenzfunktion
Exponentialfunktion
y = ax + b
y = ax2 + bx + c
y = bxa
y = bax
Welche davon zweckmäßig ist, hängt von der jeweiligen Merkmalsverteilung ab. Lösungsansätze
können in der Literatur nachgeschlagen werden. Nachfolgend jedoch die
Lineare Regression
Hierbei wird als Regressionsfunktion eine Gerade der Form y = ax + b verwendet, sie heißt Regressionsgerade.

Y


6


4


4
6

2


2
8
10
12
14
X
Abb.: Regressionsgerade
Die Koeffizienten der Geraden lassen sich durch folgende Formeln berechnen:
a 
b 
n
 xi yi   xi  yi
2
n   x i2   x i 
 x i2  y i   x i  x i y i
2
n   x i2   x i 
Somit besteht die Möglichkeit für einen gewissen Merkmalswert xi den dazugehörigen Merkmalswert yi zu bestimmen.
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Vermessungskunde 1
- 88 -
Korrelationsanalyse
In einer Korrelationsanalyse verfolgt man das Ziel, die Stärke des Zusammenhangs zwischen
zwei Merkmalen durch eine geeignete Maßzahl zu beschreiben. Diese Maßzahl bezeichnet man
als Korrelationskoeffizient r.
Er drückt den Grad der Linearität des Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen X und Y aus
und wird nach folgendem Ansatz berechnet:
2
sxiyi
r 
wobei
sx i x i  sy iy i
sxix i

 x i2

 x 
i
n
2
syiy i

 y i2
sxiy i

 xiyi

 y 

i
n
 xi   yi
n
ist.
Der Korrelationskoeffizient r ist eine Zahl zwischen +1 und -1. Der Zusammenhang zwischen
Korrelationskoeffizient und Beobachtungswerten kann folgenden Darstellungen entnommen werden:
r=1
r=-1
y
y r0



   
    

   
    








x
x
r1
y


y
r-1
y r0







x









x



x
x
Abb.: Streuungsdiagramme mit unterschiedlichen Korrelationskoeffizienten
Mit Hilfe der Korrelationsanalyse lässt sich stets nur nachweisen, ob ein formaler Zusammenhang
zwischen zwei Merkmalen besteht.
Normalverteilung
Die wichtigste Verteilung von Zufallsgrößen, wie sie bei vielen statistischen Untersuchungen genauso wie bei fehlertheoretischen Betrachtungen auftreten, ist die Normalverteilung. Sie wurde von
C. F. Gauß mit der Theorie der Messfehler eingeführt. Sie ist auch unter der Bezeichnung
Gauß'sche Glockenkurve
bekannt.
Die Kurve der Normalverteilung, auch als Dichtefunktion f(x) oder Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)
bezeichnet, hat die Funktion
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- 89 -
Vermessungskunde 1
1  x  2

 
 
1
f(x) 
e 2 
 2
für
(  x  )
wobei:
σ = Standardabweichnung  Streuungsparameter
π = 3,1418
e = 2,718
μ = Mittelwert (Erwartungswert)  Lageparameter
x = Messwert
ist.
Die Funktion hat folgendes Aussehen:
Abb.: Dichtefunktion f(x) der Normalverteilung für  = 0 und den Standardabweichungen  = 0,25;
 = 0,5 und  = 1
Beispiel: Konstruktion einer Normalverteilungskurve f(x)
Standardisierte Normalverteilung
Für den praktischen Gebrauch geht man von einer standardisierten (= zentrierten und normierten)
Normalverteilung aus, die den Erwartungswert  = 0 und die Standardabweichung  = 1 besitzt.
Mit der Substitution
z
x

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Vermessungskunde 1
- 90 -
lassen sich die x - Werte einer beliebigen Normalverteilung N (,) in die standardisierten Werte z
einer Zufallsvariablen transformieren, die der Normalverteilung N (0,1) entsprechen.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte f(z) der standardisierten Normalverteilung hat die Funktion:
z 2
f(z) 

1
e 2
2
und folgende Darstellung:
Abb.: Wahrscheinlichkeitsdichte f(z) der standardisierten Normalverteilung
Umgekehrt lassen sich die Funktionswerte einer beliebigen Normalverteilung N (m,s) aus den
Funktionswerten der standardisierten Normalverteilung N(0,1) einfach durch folgenden Ansatz
bestimmen:
1
f(x) 
f(z)

Vorteil der standardisierten Normalverteilung ist, dass die Funktionswerte einer Tabelle entnommen werden können.
Beispiel: Konstruktion einer standardisierten Normalverteilung f(z)
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- 91 -
Vermessungskunde 1
z
,00
,01
,02
,03
,04
,05
,06
,07
,08
,09
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
,3989
,3970
,3910
,3814
,3683
,3989
,3965
,3902
,3802
,3668
,3989
,3961
,3894
,3790
,3653
,3988
,3956
,3885
,3778
,3637
,3986
,3951
,3876
,3765
,3621
,3984
,3945
,3867
,3752
,3605
,3982
,3939
,3857
,3739
,3589
,3980
.3932
,3847
,3725
,3572
,3977
,3925
,3836
,3712
,3555
,3973
,3918
,3825
,3697
,3538
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
,3521
,3332
,3123
,2897
,2661
,3503
,3312
,3101
,2874
,2637
,3485
,3292
,3079
,2850
,2613
,3467
,3271
,3056
,2827
,2589
,3448
,3251
,3034
,2803
,2565
,3429
,3230
,3011
,2780
,2541
,3410
,3209
,2989
,2756
,2516
,3391
,3187
,2966
,2732
,2492
,3372
,3166
,2943
,2709
,2468
,3352
,3144
,2920
,2685
,2444
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
,2420
,2179
,1942
,1714
,1497
,2396
,2155
,1919
,1691
,1476
,2371
,2131
,1895
,1669
,1456
,2347
,2107
,1872
,1647
,1435
,2323
,2083
,1849
,1626
,1415
,2299
,2059
,1826
,1604
,1394
,2275
,2036
,1804
,1582
,1374
,2251
,2012
,1781
,1561
,1354
,2227
,1989
,1758
,1539
,1334
,2203
,1965
,1736
,1518
,1315
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
,1295
,1109
,0940
,0790
,0656
,1276
,1092
,0925
,0775
,0644
,1257
,1074
,0909
,0761
,0632
,1238
,1057
,0893
,0748
,0620
,1219
,1040
,0878
,0734
,0608
,1200
,1023
,0863
,0721
,0596
,1182
,1006
,0848
,0707
,0584
,1163
,0989
,0833
,0694
,0573
,1145
,0973
,0818
,0681
,0562
,1127
,0957
,0804
,0669
,0551
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
,0540
,0440
,0355
,0283
,0224
,0529
,0431
,0347
,0277
,0219
,0519
,0422
,0339
,0270
,0213
,0508
,0413
,0332
,0264
,0208
,0498
,0404
,0325
,0258
,0203
,0488
,0396
,0317
,0252
,0198
,0478
,0387
,0310
,0246
,0194
,0468
,0379
,0303
,0241
,0189
,0459
,0371
,0297
,0235
,0184
,0449
,0363
,0290
,0229
,0180
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
,0175
,0136
,0104
,0079
,0060
,0171
,0132
,0101
,0077
,0058
,0167
,0129
,0099
,0075
,0056
,0163
,0126
,0096
,0073
,0055
,0158
,0122
,0093
,0071
,0053
,0154
,0119
,0091
,0069
,0051
,0151
,0116
,0088
,0067
,0050
,0147
,0113
,0086
,0065
,0048
,0143
,0110
,0084
,0063
,0047
,0139
,0107
,0081
,0061
,0046
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
,0044
,0033
,0024
,0017
,0012
,0043
,0032
,0023
,0017
,0012
,0042
,0031
,0022
,0016
,0012
,0040
,0030
,0022
,0016
,0011
,0039
,0029
,0021
,0015
,0011
,0038
,0028
,0020
,0015
,0010
,0037
,0027
,0020
,0014
,0010
,0036
,0026
,0019
,0014
,0010
,0035
,0025
,0018
,0013
,0009
,0034
,0025
,0018
,0013
,0009
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
,0009
,0006
,0004
,0003
,0002
,0008
,0006
,0004
,0003
,0002
,0008
,0006
,0004
,0003
,0002
,0008
,0005
,0004
,0003
,0002
,0008
,0005
,0004
,0003
,0002
,0007
,0005
,0004
,0002
,0002
,0007
,0005
,0003
,0002
,0002
,0007
,0005
,0003
,0002
,0002
,0007
,0005
,0003
,0002
,0001
,0006
,0004
,0003
,0002
,0001
Tabelle: Wahrscheinlichkeitsdichte f(z) der standardisierten Normalverteilung
Wegen der Symmetrie der Dichtefunktion f(z) sind in der Tabelle nur positive Werte aufgeführt; sie
gelten ebenso für negative Werte.
Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung
Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, ob eine normalverteilte Zufallsgröße innerhalb bestimmter
vorgegebener Grenzen liegt, dient die Verteilungsfunktion F(x):
F(x) 
1
 2
x
e
1  x  2
 

2  
dx
für
(  x  )

Sie gibt die Fläche unterhalb der Dichtefunktion f(x) für einen Erwartungswert  mit der Standardabweichung  bis zu einer Grenze x an.
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 92 -
Führt man auch hier standardisierte Werte ( = 0,  = 1) ein, erhält man die Verteilungsfunktion
der standardisierten Normalverteilung:
F(z) 
1
2

z
z 2
2
e
dz

Vorteil dieser Funktion ist, dass auch deren Werte in Tabellen zusammengestellt sind:
z
,00
,01
,02
,03
,04
,05
,06
,07
,08
,09
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
,5000
,5398
,5793
,6179
,6554
,5040
,5438
,5832
,6217
,6591
,5080
,5478
,5871
,6255
,6628
,5120
,5517
,5910
,6293
,6664
,5160
,5557
,5948
,6331
,6700
,5199
,5596
,5987
,6368
,6736
,5239
,5636
,6026
,6406
,6772
,5279
,5675
,6064
,6443
,6808
,5319
,5714
,6103
,6480
,6844
,5359
,5753
,6141
,6517
,6879
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
,6915
,7257
,7580
,7881
,8159
,6950
,7291
,7611
,7910
,8186
,6985
,7324
,7642
,7939
,8212
,7019
,7357
,7673
,7967
,8238
,7054
,7389
,7704
,7995
,8264
,7088
,7422
,7734
,8023
,,8289
,7123
,7454
,7764
,8051
,8315
,7157
,7486
,7794
,8078
,8340
,7190
,7517
,7823
,8106
,8365
,7224
,7549
,7852
,8133
,8389
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
,8413
,8643
,8849
,9032
,9192
,8438
,8665
,8869
,9049
,9207
,8461
,8686
,8888
,9066
,9222
,8485
,8708
,8907
,9082
,9236
,8508
,8729
,8925
,9099
,9251
,,8531
,8749
,8944
,9115
,9265
,8554
,8770
,8962
,9131
,9279
,8577
,8790
,8980
,9147
,9292
,8599
,8810
,8997
,9162
,9306
,8621
,8830
,9015
,9177
,9319
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
,9332
,9452
,9554
,9641
,9713
,9345
,9463
,9564
,9649
,9719
,9357
,9474
,9573
,9656
,9726
,9370
,9484
,9582
,9664
,9732
,9382
,9495
,9591
,9671
,9738
,9394
,9505
,9599
,9678
,9744
,9406
,9515
,9608
,9686
,9750
,9418
,9525
,9616
,9693
,9756
,9429
,9535
,9625
,9699
,9761
,9441
,9545
,9633
,9706
,9767
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
,9772
,9821
,9861
,9893
,9918
,9778
,9826
,9864
,9896
,9920
,9783
,9830
,9868
,9898
,9922
,9788
,9834
,9871
,9901
,9925
,9793
,9838
,9875
,9904
,9927
,9798
,9842
,9878
,9906
,9929
,9803
,9846
,9881
,9909
,9931
,9808
,9850
,9884
,9911
,9932
,9812
,9854
,9887
,9913
,9934
,9817
,9857
,9890
,9916
,9936
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
,9938
,9953
,9965
,9974
,9981
,9940
,9955
,9966
,9975
,9982
,9941
,9956
,9967
,9976
,9982
,9943
,9957
,9968
,9977
,9983
,9945
,9959
,9969
,9977
,9984
,9946
,9960
,9970
,9978
,9984
,9948
,9961
,9971
,9979
,9985
,9949
,9962
,9972
,9979
,9985
,9951
,9963
,9973
,9980
,9986
,9952
,9964
,9974
,9981
,9986
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
,9987
,9990
,9993
,9995
,9997
,9987
,9991
,9993
,9995
,9997
,9987
,9991
,9994
,9995
,9997
,9988
,9991
,9994
,9996
,9997
,9988
,9992
,9994
,9996
,9997
,9989
,9992
,9994
,9996
,9997
,9989
,9992
,9994
,9996
,9997
,9989
,9992
,9995
,9996
,9997
,9990
,9993
,9995
,9996
,9997
,9990
,9993
,9995
,9997
,9998
Tabelle: Verteilungsfunktion F(z) der standardisierten Normalverteilung
Wegen der Symmetrie der Dichtefunktion f(z) sind in der Tabelle nur positive Werte aufgeführt; sie
gelten ebenso für negative Werte. Will man die Wahrscheinlichkeit P bestimmen, dass ein bestimmter Merkmalswert zwischen zwei Grenzen liegt, muss die Differenz der Funktionswerte beider Grenzen gebildet werden.
Es gilt:
Hochschule Trier
P(a  z  b)  F(b)  F(a)
- 93 -
Vermessungskunde 1
Liegen die Grenzen im negativen Bereich, muss 1 - F(+z) verwendet werden.
Beispiel: a = - 1,28 b = + 0,89
F (b) - F (a) = 0,8133 - (1 - 0,8997) = 0,7130
 71,30%
Werden als symmetrische Grenzwerte jeweils ein vielfaches der Standardabweichung eingeführt,
ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:
P(    x    )  68%
P(  2    x    2  )  95,5%
P(  3    x    3  )  99,7%
Die beiden ersten Wahrscheinlichkeiten haben folgendes Aussehen:
Ganz ähnlich ergeben sich für die Statistik wichtige Wahrscheinlichkeiten:
P(  196
,    x    196
,  )  95%
P(   2,58    x    2,58  )  99%
P(  3,29    x    3,29  )  99,9%
P(  3,89    x    3,89  )  99,99%
Beispiel: Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsgröße x, wobei die Zufallsgröße die Länge einer
Strecke mit  = 130,100 m und  = 4,0 cm sei.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P dafür, dass eine Streckenmessung xi zwischen die
Grenzen 130,040 m und 130,120 m fällt.
Also:
P(130 ,040 m  x  130120
,
m)
Die Normierung ergibt zunächst:
,
x   13012
,  13010
, 
 130 ,04  13010
P





0 ,04

0 ,04
P( 1,5  z  0 ,5 )
=
F(+0,5) - F(-1,5)
=
F(+0,5) - F(1 - F(+1,5))
Aus der Tabelle der Verteilungsfunktion F(z) kann entnommen werden für:
z = + 0,5  F(z) = 0,6915
z = + 1,5  F(z) = 0,9332
06915 - (1 - 0,9332) = 0,6247
=
62%
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert xi in dem angegebenen Bereich liegt, ist
62%.
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Vermessungskunde 1
- 94 -
Fehlerlehre
Die Fehlerlehre befasst sich mit der Auswertung fehlerbehafteter Messwerte. Die grundlegenden
Gedanken dazu wurden im Jahr 1794 von dem damals 17-jährigen Mathematikstudenten Carl
Friedrich Gauß als "Methode der kleinsten Quadrate" entwickelt.
Durch die Unvollkommenheit des Messgegenstandes, der Messgeräte und der Messverfahren wird
jedes Messergebnis verfälscht. Einflüsse der Messbedingungen in der Umwelt (Temperatur, Luftdruck und -feuchte, elektrische und magnetische Felder) oder durch persönliche, von den Eigenschaften oder der Fähigkeit des Beobachters abhängige Einflüsse (Aufmerksamkeit, Sehschärfe,
Schätzvermögen) kommen hinzu.
Deshalb ist keine Messung frei von Fehlern. Trotz größter Sorgfalt gelingt es nicht, den wahren
Wert einer gesuchten Größe durch Messungen zu bestimmen. Der Fehler einer Messung wird
zwar kleiner je genauer die Messgeräte sind, grundsätzlich lassen sich Fehler jedoch nicht von
vornherein ausschalten. Aufgabe der Berechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate ist es,
bei Berücksichtigung aller Messwerte die plausibelsten oder wahrscheinlichsten Werte für die gesuchten Größen zu bestimmen und Genauigkeitsmaße für alle in die Berechnung eingehenden
Messwerte anzugeben.
Man wird dabei zwar feststellen, dass die ermittelten Werte genauer sind als die in die Berechnung
eingehenden, es ist aber immer zu bedenken, dass die Methode der kleinsten Quadrate nicht in
der Lage ist, aus schlechten Messungen gute zu machen.
Fehlerarten
Es gibt folgende drei grundlegenden Arten von Messfehlern:
Grobe Fehler
Sie entstehen durch mangelnde Sorgfalt und sind wesentlich größer, als durch das angewandte
Messverfahren zu erwarten ist. Sie werden hervorgerufen durch grob fehlerhafte Ablesungen an
den Messgeräten, Zielverwechslungen usw. . Durch entsprechende Kontrolle und Aufmerksamkeit
sind sie jederzeit vermeidbar und können somit ausgeschieden werden.
Systematische Fehler
Sie hängen meistens von bestimmten äußeren Einflüssen ab und verfälschen das Messergebnis in
gleichmäßiger Weise. Hervorgerufen werden sie durch unzureichende Kalibrierung und einseitige
Handhabung der Messgeräte, sowie durch systematische Einflüsse äußerer Bedingungen wie
Luftdruck und Temperatur usw. auf das Messgerät oder den zu messenden Gegenstand. Diese
Fehler lassen sich durch entsprechende Eichung, Auswahl eines zweckmäßigen Messverfahrens
und rechnerische Berücksichtigung zum größten Teil eliminieren.
Zufällige Fehler
Sie sind die wichtigste Gruppe der Messfehler und der eigentliche Gegenstand der Fehlerrechnung. Ihre Ursache haben sie in der Unvollkommenheit der Messgeräte und der menschlichen
Sinne und durch wechselnde äußere Einflüsse wie Wind, Temperatur- und Beleuchtungsänderungen. Sie bewirken den Umstand, dass mehrmaliges Messen derselben Größe trotz größter Sorgfalt nicht immer den gleichen Wert liefern. Zufällige Fehler setzen sich meist durch mehrere zufällige Elementarfehler zusammen. So entsteht beispielsweise im Vermessungswesen der Fehler einer Richtungsmessung aus Zielfehler, Kreisteilungsfehler und Ableseungenauigkeiten.
Zufällige Fehler haben ebenso oft positive wie negative Vorzeichen, unterliegen aber trotz der
scheinbaren Regellosigkeiten den Gesetzen des Zufalls und können entsprechend mit statistischen Methoden untersucht werden ( Normalverteilung).
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- 95 -
Vermessungskunde 1
Begriffsdefinition
Früher waren Begriffe wie durchschnittlicher Fehler, wahrscheinlicher Fehler, mittlerer Fehler,
Grenzfehler, Maximalfehler usw. gebräuchlich. Heute gilt als Maß der Genauigkeit von Beobachtungswerten entweder die Angabe der Standardabweichung oder des Vertrauensbereiches
(%-Fraktilen).
Auswertung direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit
Ist eine Messungsgröße mehrfach mit gleicher Genauigkeit gemessen worden, so werden die
Messungen durch Bestimmung des empirischen Mittelwertes und der Standardabweichung ausgewertet, ggf. müssen die Messwerte um einen konstanten Betrag reduziert werden, um günstige
Zahlenwerte zu erhalten!
Dabei benutzt man folgende Ansätze:
Beobachtungswerte:
Li
Mittelwert:
L
L i 
n
vi  L  L i
Verbesserungen:
v  0
v v  Minimum
v - Probe:
Standardabweichung einer Messung:
s
Standardabweichung des Mittelwertes:
s 0
v v
n1
s
n
Beispiel: Gegeben sind die in folgender Tabelle aufgeführten sechs Messwerte für eine Winkelbestimmung. Wie groß ist der wahrscheinlichste Wert des Winkels und wie groß ist seine
Standardabweichung?
Li
vi  L  L i
vv
gon
mgon
mgon
n=6
2
53,356
53,349
L =
53,346
53,348
s =
53,352
53,355
s0 =
[ ]=
Auswertung direkter Beobachtungen verschiedener Genauigkeit
Ist eine Messungsgröße mehrfach mit verschiedener Genauigkeit bestimmt worden, müssen bei
der Bildung des Mittelwertes die Genauigkeitsverhältnisse der einzelnen Messwerte berücksichtigt
werden. Diese Genauigkeitsverhältnisse werden üblicherweise als Gewichte p bezeichnet.
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Vermessungskunde 1
- 96 -
Dabei werden folgende Ansätze benutzt:
Beobachtungswerte:
Li
jeweils mit dem Gewicht pi, wobei gilt:
A: Sind die Standardabweichungen si der einzelnen Messungsgrößen, aus denen der Mittelwert
gebildet werden soll, bekannt, ergibt sich das Gewicht der einzelnen Messungen zu:
c
pi 2
si
B: Sind die Standardabweichungen unbekannt, die Messungsgrößen aber in verschiedenen Messungsperioden mit unterschiedlicher Anzahl von Beobachtungswerten bestimmt worden, ergibt
sich das Gewicht der einzelnen Messungen aus:
pi
ni
c
Dabei ist c die sog. Gewichtseinheit, d.h. c ist ein konstanter Faktor, mit dem die Gewichte pi zahlenmäßig günstige Werte erhalten
L i  p i 
p i 
Mittelwert:
L
Verbesserungen:
vi  L  L i
p v - Probe:
p v  0
p v v  Minimum
Standardabweichung einer Messung mit dem Gewicht 1:
s
Standardabweichung des gewogenen Mittelwertes:
s 0
p v v
n1
s
p i 
Beispiel zu A: Eine Strecke wurde mit vier verschiedenen Messgeräten unterschiedlicher Genauigkeit gemessen. Wie groß ist der wahrscheinlichste Wert der Strecke und wie groß ist
seine Standardabweichung?
1
Messband
128,024 m
Standardabweichung si
30 mm
2
Schneidenlatten
128,019 m
10 mm
3
2m - Basislatte
128,032 m
15 mm
4
Elektrooptisch - Elta 2
128,039 m
8 mm
Nr.
Messgerät
Messwert Li
Lösung: Festlegung der Gewichte der vier Einzelmessungen: p i 
p1 
100

900
p2 
100

100
p3 
100

225
p4 
100

64
Hochschule Trier
c
s 2i
mit
[ pi ] =
c = 100 mm2
- 97 -
Vermessungskunde 1
Gewogener Mittelwert:
L
128 ,024 
128 ,019 
128 ,032 
128 ,039 

Auswertung:
Nr.
L  Li
vi
m
mm
1
128,03105 - 128,024
2
128,03105 - 128,019
3
128,03105 - 128,032
4
128,03105 - 128,039
pi
pv
pvv
mm
mm
2
[ ]=
Ergebnis:
Beispiel zu B:
Mittelwert:
L =
s =
s0 =
Ein Winkel wurde an vier aufeinanderfolgenden Tagen beobachtet, und zwar am
1. Tag 8mal, am 2. Tag 4mal, am 3. Tag 12mal und am 4. Tag 8mal mit gleichem
Messgerät und gleicher Genauigkeit. Es ergaben sich dabei als Tagesmittel die in
folgender Tabelle wiedergegebenen Winkelwerte. Wie groß ist der wahrscheinlichste Wert des Winkels und wie groß ist seine Standardabweichung? Die Gewichtseinheit sei ein viermal gemessener Winkel.
Tag
Messwert Li
1.
40,1714 gon
2.
40,1719 gon
3.
40,1721 gon
4.
40,1725 gon
Lösung: Festlegung der Gewichte der vier Einzelmessungen: p i 
p1 
8

4
p2 
4

4
p3 
12

4
p4 
8

4
ni
c
mit
c=4
[ pi ] =
Gewogener Mittelwert:
L
40 ,1714 
 40 ,1719 
 40 ,1721 
 40 ,1725 

Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 98 -
Auswertung:
Nr.
L  Li
vi
gon
mgon
1
40,1720 - 40,1714
2
40,1720 - 40,1719
3
40,1720 - 40,1721
4
40,1720 - 40,1725
pi
pv
pvv
mgon
mgon
2
[ ]=
Ergebnis:
Mittelwert:
L =
s =
s0 =
Das Fehlerfortpflanzungsgesetz
Setzt sich eine zu bestimmende Größe aus mehreren, verschiedenen Messwerten Li mit unterschiedlichen Standardabweichungen si zusammen, pflanzen sich diese "Fehler" über die Funktion,
mit der die zu bestimmende Größe bestimmt werden soll, fort. Der Berechnungsansatz dazu ist
das Fehlerfortpflanzungsgesetz (entwickelt von Gauß) oder -in der Terminologie der Statistik- das
Varianzfortpflanzungsgesetz.
Für eine Funktion F = F(L1,L2,...,Ln) mit untereinander unabhängigen Messwerten L1,L2,...,Ln und
deren Standardabweichungen s1,s2,...,sn ergibt sich die Standardabweichung der zu bestimmenden Größe aus den partiellen Ableitungen der Funktion nach den einzelnen Bestimmungsgrößen und dem folgenden Gauß'schen Fehlerfortpflanzungsgesetz:
2
sF
2
 F

 F

 F

 
 s 1   
 s 2   ...  
 s n 
  L1

L2

Ln

2
Beispiel: Zur Bestimmung einer Strecke wurde diese in drei Teilstücken mit unterschiedlichen
Genauigkeiten gemessen:
Messwert Li
53,24 m
63,78 m
78,16 m
2,9 cm
3,7 cm
5,2 cm
Wie groß ist die Gesamtstrecke und deren Standardabweichung?
Funktion: F = L1 + L2 + L3
F
=
 L1
Hochschule Trier

F
=
L2
F
=
 L3
Lgesamt = 195,18 m
- 99 -
2
Vermessungskunde 1
2
sF 
 F

 F

 F







  L  s 1     L  s 2   ...    L  s n 
 1





2
n
sF 

2  

2  

2
2

sF 
Ergebnis:
Strecke:
S=
m
Standardabweichung:
s=
cm
Sind die Einzelbeobachtungen mit gleicher Genauigkeit gemessen worden, also
s1 = s2 = s3 = s0
ergibt sich die Standardabweichung der Gesamtstrecke zu:
sF  s 0  n
Beispiel: In einem Dreieck wurden die Winkel  und  und die Seite a mit ihren Standardabweichungen gemessen:
Messwert Li
 = 60,75 gon
 = 81,31 gon
a = 134,56 m
20 mgon
20 mgon
5 cm
Wie groß ist die Seite b und deren Standardabweichung?
Funktion:F = b  a 
sin 
sin 
(Sinussatz)
F
=
L2
F
=
 L1
s1 =
20
=

s2 =
F
=
 L3
20
=

2
mit  63 662
2
sF 
 F

 F

 F


 
  ...  


s

s

s
1
2
n
L

L

L

 1





2
n
sF 


2  
b = 157,87 m


2  

2
2
sF 
Ergebnis:
Strecke:
S=
m
Standardabweichung:
s=
cm
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 100 -
Toleranzen im Bauwesen
Grundsätze
Toleranzen sollen die Abweichungen von den Nennmaßen der Größe, Gestalt und Lage von Bauteilen und Bauwerken begrenzen. Trotz unvermeidlicher Ungenauigkeiten beim Messen, bei der
Fertigung und bei der Montage muss das funktionsgerechte Zusammenfügen von Bauteilen des
Roh- und Ausbaus ohne Anpass- und Nacharbeiten möglich sein.
In DIN 18 202 und DIN 18 203 sind die Toleranzen für das Bauwesen angegeben, die in der Regel
anzuwenden sind; sie stellen die im Rahmen der üblichen Sorgfalt zu erreichenden Genauigkeiten
dar. Sie gelten stets, soweit nicht andere Genauigkeiten vereinbart werden. Sind jedoch für Bauteile oder Bauwerke andere Genauigkeiten erforderlich, so sollen sie nach wirtschaftlichen Maßstäben vereinbart werden. Diese Vereinbarungen müssen in den Vertragsunterlagen, z.B. Leistungsverzeichnis, Zeichnungen usw. , angegeben und die erforderlichen Kontrollmöglichkeiten während
der Bauausführung sichergestellt werden.
Prüfung
Die Einhaltung von Toleranzen soll nur geprüft werden, wenn es erforderlich ist. Die Prüfungen
sind so früh wie möglich durchzuführen, spätestens jedoch bei der Übernahme der Bauteile oder
des Bauwerks durch den Folgeauftragnehmer bzw. spätestens bei der Bauabnahme.
Die Wahl des Messverfahrens bleibt dem Prüfer überlassen. Das angewendete Messverfahren
und die damit verbundene Messunsicherheit sind anzugeben und bei der Beurteilung zu berücksichtigen.
Begriffe
- Nennmaß (Sollmaß): Maß, das zur Kennzeichnung von Größe, Gestalt und Lage eines Bauteils
oder Bauwerks angegeben und in Zeichnungen eingetragen wird.
- Istmaß:
Durch Messung festgestelltes Maß
- Istabmaß:
Differenz zwischen Istmaß und Nennmaß
- Größtmaß:
Das größte zulässige Maß
- Kleinstmaß:
Das kleinste zulässige Maß
- Grenzabmaß:
Differenz zwischen Größtmaß und Nennmaß oder Kleinstmaß und Nennmaß
- Maßtoleranz:
Differenz zwischen Größtmaß und Kleinstmaß
Größtmaß
1620+12=1632
Fensteröffnung:
Grenzabmaß ± 12mm
Maßtolleranz 24mm
Nennmaß 1620
Kleinstmaß
1620-12=1608
Grenzabmaß (-)
Kleinstmaß
Größtmaß
Maßtolleranz
Abb.: Toleranzbegriffe im Bauwesen
Hochschule Trier
Größtmaß
1608-(2 X10)=1588
Istabmaß
Nennmaß
Istmaß
Grenzabmaß (+)
Gewählte Fugenbreite 10 mm
Größtmaß=1588
Nennmaß
1588-4=1584
Gewählte Fugenbreite 10 mm
Fensterrahmen:
Grenzabmaß ± 4mm
Maßtolleranz 8mm
Kleinstmaß
1588-4=1584
Abb.: Anwendung der Begriffe und der Passung
am Beispiel eines Fensters
- 101 -
Vermessungskunde 1
Hinweise zur Ausarbeitung der Übungen im Fach Vermessungskunde
Übungen sind Studienleistungen. Da ihre Anerkennung Voraussetzung für die Zulassung zu der
Prüfung ist, haben sie wie diese einen urkundenähnlichen Charakter. Dies muss auch in der Ausarbeitung zum Ausdruck kommen.
Folgende Hinweise sind unbedingt zu beachten:
Gruppenübungen:
Es gibt Hörsaalübungen und Geländepraktika. Die Hörsaalübungen untergliedern sich in Rechenübungen, Gerätedemonstrationen und Praktika. Als Studienleistungsanerkennung ist nur die Abgabe der Übungen in Form der Hörsaal- und Geländepraktika erforderlich. Die Übungen sind
Gruppenübungen mit jeweils vier Mitgliedern.
Für die verschiedenen Übungen ist jeweils ein Gruppenmitglied verantwortlich, sowohl in der Ausführung als auch in der Ausarbeitung. Voraussetzung zur Anerkennung als Studienleistung ist eine
Bearbeitung von mindestens 80 %; d.h. jedes Gruppenmitglied hat mindestens 20% der insgesamt
geforderten Leistung zu erbringen. Die Abgabe der Übungen erfolgt gruppenweise geheftet (fest
zusammen geklammert) jeweils im Original, der jeweilige Bearbeiter muss dabei eindeutig zu erkennen sein. Zweckmäßigerweise kopiert sich jedes Gruppenmitglied die Ausarbeitungen der anderen Gruppenmitglieder, damit jeder ein komplettes Exemplar hat.
Die Übungen finden bei jedem Wetter statt. Die für die Übungen erforderlichen Instrumente und
Geräte werden zu Beginn der Übungsstunde gegen Empfangsbescheinigung des für die Übung
Verantwortlichen im Raum C 13 ausgegeben.
Beim Empfang festgestellte Mängel sind sofort zu melden. Die Instrumente sind schonend zu behandeln. Für Verluste und Beschädigungen durch Fahrlässigkeit haften die Mitglieder der Gruppe
gemeinsam. Bei Vorsatz haftet der Täter persönlich für den verursachten Schaden. In jedem Fall
ist Mitteilung über den Vorgang zu machen! Reparaturen werden nur vom vermessungstechnischen Labor ausgeführt.
Um einen reibungslosen und erfolgreichen Ablauf der Übungen zu gewährleisten, haben sich alle
Übungsteilnehmer auf die Übungen vorzubereiten. Die Aufgabenblätter und die notwendigen Formulare können jeweils eine Woche vor der Übung im Raum C 13 von einem Gruppenmitglied abgeholt werden. Über die Termine der einzelnen Übungen gibt es einen Aushang.
Das Feldbuch (Formulare) wird mit dokumentenechten Schreibstiften (Kugelschreiber) geführt.
Zeichnungen (Vermessungsriss) können mit Bleistift gefertigt werden.
Das Feldbuch (Vermessungsriss, Formulare) ist sauber und ordentlich zu führen, sodass
ein erneutes Abschreiben nicht erforderlich wird. Vor Abschluss der Übung muss das Testat des Übungsbetreuers eingeholt werden.
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 102 -
Inhalt der Ausarbeitungen:
1) Ausführliche Beschreibung des Rechenweges am Anfang der Bearbeitung.
2) Angabe der benutzten Formeln in allgemeiner Form, soweit nicht in Vordrucken gerechnet wird.
Bezeichnungen (Variable) müssen durch Text oder Skizze erläutert werden.
3) Alle ausgeführten Berechnungen mit Zwischenergebnissen.
4) Kontrollen.
5) Zusammenstellung der Ergebnisse in Tabellen.
6) Diskussion der Ergebnisse.
Form der Ausarbeitungen:
1) Die Übungsausarbeitungen bestehen grundsätzlich aus Deckblatt, Aufgabenblatt, Messungsformularen und weiteren Ausarbeitungsseiten. Sie sind jeweils geklammert abzugeben.
Das Deckblatt hat dabei in etwa folgenden Kopf zu tragen:
Semester.: ........................
Gruppennummer : ............
Vermessungskunde 1
Bearbeiter : .........................................................
Thema
Übung - Nr.
Datum : .......................................
Testat : ..........................................................................
2) Für Korrekturen ist ein ausreichender Rand vorzusehen.
3) Zeichnungen sind mit Tusche anzufertigen.
4) Für Unterstreichungen, Bruchstriche, Wurzelzeichen und ähnliches ist ein Lineal zu benutzen.
5) Rot darf nur in Zeichnungen verwendet werden.
6) Falscher Text oder falsche Rechnungen sind mit einem Lineal sauber durchzustreichen. Zahlen, die durch Übereinanderschreiben verbessert wurden, gelten als falsch.
Übungen, die dieser Form nicht entsprechen, werden bei der Abgabe
erst gar nicht angenommen!
Hochschule Trier
- 103 -
Vermessungskunde 1
Stichwortverzeichnis und Abkürzungen:
Achse
AdV
AP
BKG
Bussole
DGK 5
DHDN 90
DHHN 92
DHSN 96
ETRS 89
Geoid
GKK
GLONASS
GPS
Gradiente
IfAG
KA
LVA
NN
NHN
NivP
NP
ÖbVI
PP
t
Tachymeter
Theodolit
TK
TP
Trasse
TÜK 200
UTM
WGS 84
z
Horizontaler Verlauf der Trasse
Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen der Länder der Bundesrepublik
Deutschland
Aufnahmepunkt
Bundesamt für Kartographie und Geodäsie
Früher:  IfAG
Kompass zum Aufsetzen auf einen Theodolit oder Tachymeter
Deutsche Grund Karte 1 : 5 000
Deutsches Hauptdreiecksnetz 1990 - Amtliches Lagefestpunktfeld für Deutschland von 1990
Deutsches Haupthöhennetz 1992 - Amtliches Höhenfestpunktfeld für Deutschland von 1992
Deutsches Hauptschwerenetz 1996 – Amtl. Schwerefestpunktfeld für Deutschland von 1996
European Terrestrial Reference System 1989
Niveaufläche des Erdschwerefeldes bezogen auf die Höhe des mittleren Meeresniveaus
Gauß-Krüger-Koordinatensystem - System ebener rechtwinkliger Koordinaten mit 3° breiten
Meridianstreifen,  UTM
Globales Navigations Satelliten System (ehem. UdSSR)  GPS
Global Positioning System (USA) - Satellitengestütztes Navigations- und Vermessungssystem zur Bestimmung dreidimensionaler Koordinaten
Vertikaler Verlauf der Trasse
Institut für angewandte Geodäsie (Frankfurt – Berlin – Leipzig)
Heute: Bundesamt für Kartographie und Geodäsie (BKG)
Katasteramt - Unterste Vermessungsbehörde bei der Kreisverwaltung
Landesvermessungsamt
Normal Null - Höhenbezugspunkt - ehemals definiert mit 37 m unter dem Normalhöhenpunkt
an der Berliner Sternwarte
Normalhöhennull - In Deutschland die aktuelle Bezeichnung der Bezugsfläche für das Nullniveau der Höhen über dem Meeresspiegel im DHHN 92. Nachfolger des Normalnull (NN)
Nivellement Punkt
Nachgeordneter Vermessungspunkt
Öffentlich bestellter Vermessungsingenieur
Polygonpunkt
Richtungswinkel - rechtläufiger Horizontalwinkel zu einem Punkt bezogen auf die Gitternordrichtung
Messinstrument zum Messen von Horizontalrichtungen, Vertikalwinkeln und räumlichen
Strecken - heute meist elektronisch zur Bestimmung dreidimensionaler Koordinaten - tachymetrische Geländeaufnahme
Messinstrument zum Messen von Horizontalrichtungen und Vertikalwinkeln
Topographische Karte; z. B. TK 25 = Topographische Karte 1 : 25 000
Trigonometrischer Punkt - Vermessungspunkt des Lagefestpunktfeldes
Räumlicher Verlauf einer (Straßen-) Planung
Topographische Übersichtskarte 1 : 200 000
Universale Transversale Mercatorprojektion – System ebener rechtwinkliger Koordinaten mit
6° breiten Meridianstreifen
World Geodetic System 1984 – Aus Satellitenbeobachtungen bestimmtes globales dreidimensionales Koordinatensystem
Zenitwinkel, Vertikalwinkel bezogen auf die Nullrichtung im Zenit
Weitere Stichwortinformationen zum Thema Geodäsie gibt es im Internet unter:
 http://de.wikipedia.org/wiki/Geodäsie
Hochschule Trier
Vermessungskunde 1
- 104 -
Literaturangaben:
H. Kahmen, Angewandte Geodäsie: Vermessungskunde,
20. Auflage 2006,
Verlag de Gruyter, ISBN 9783110184648, Preis: 49,95 €
B. Witte/P. Sparla, Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das Bauwesen,
7. Aufl. 2011,
Verlag Herbert Wichmann, ISBN 9783879074976 , Preis: 29,80 €
B. Resnik/R. Bill, Vermessungskunde für den Planungs-, Bau- und Umweltbereich,
3. Auflage 2010, mit CD-ROM
Verlag Herbert Wichmann, ISBN 9783879074884, Preis 29,95 €
V. Matthews, Vermessungskunde Teil 1, 29. Aufl. 2003,
Verlag B. G. Teubner, ISBN 351925252X, Preis: 29,95 €
V. Matthews, Vermessungskunde Teil 2, 17. Aufl. 1997,
Verlag B. G. Teubner, ISBN 3519152533, Preis: 49,95 €
F. J. Gruber/R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen,
15. Aufl. 2010,
Verlag B. G. Teubner, ISBN 3834813664, Preis: 19,95 €
Günter Petrahn, Taschenbuch Vermessung Grundlagen der Vermessungstechnik,
5., akt.. Aufl. 2010,
Verlag Cornelsen, ISBN 9783464433355, Preis: 30,50 €
Günter Petrahn, Grundlagen Formelsammlung Vermessungstechnik
Aufl. 2011
Verlag Cornelsen, ISBN 9783064504837, Preis 19,95 €
G. Groß, Vermessungstechnische Berechnungen,
3. Aufl. 2004,
Verlag B. G. Teubner, ISBN 9783808546475, Preis: 25,00 € - nicht lieferbar
Bauer, Manfred, Vermessung und Ortung mit Satelliten.
GPS und andere satellitengestützte Navigationssysteme. 6. Aufl. 2011,
Verlag Wichmann, ISBN 9783879074822, Preis: 64,00 €
F. Deumlich/R. Staiger, Instrumentenkunde der Vermessungstechnik,
9. Aufl. 2002,
Verlag Wichmann, ISBN: 9783879073054, Preis: 86,00 €
Wilhelm Benning, Statistik in Geodäsie, Geoinformation und Bauwesen,
4. Aufl. 2011,
Verlag Wichmann, ISBN: 9783879075126, Preis:28,00 €
Erwin Kreyszig, Statistische Methoden und ihre Anwendungen
7. Auflage 1991, 5. unveränd. Nachdruck 1998
Verlag Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN 3525407173, Preis: 26,95 €
Regina Storm, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik und statistische Qualitätskontrolle, 12. Auflage 2007 - Fachbuchverlag Leipzig, ISBN 9783446409064, Preis: 34,90 €
Lehr- und Übungsbuch Mathematik, Band IV
13. Auflage 1992 - Fachbuchverlag Leipzig, ISBN 3-343-99833-8
Stand: Juli 2014
Hochschule Trier

Skript zur Vorlesung

Transcription

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