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Notwendigkeit von Naturkatastrophenmodellen
Modellierung von (Natur-)Katastrophen
Anwendung im Versicherungswesen
Kritische Würdigung
Literatur
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
Absicherung durch Rückversicherung
Extremwerttheorie
Die partitionierte multidimensionale Risiko-Methode (PMRM)
Individuelles Risikomodell
Beispiel für die Modellierung von Tropenstürme
Cat-Bonds
Portfolio Risk Management
Problematiken
Zusammenfassung, Ausblick und Herausforderungen
Literatur
2
Literatur
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
Extremwerttheorie
Cat-Bonds
Problematiken
Literatur
2
Literatur
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
Extremwerttheorie
Cat-Bonds
Problematiken
Literatur
2
Literatur
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
Extremwerttheorie
Cat-Bonds
Problematiken
Literatur
2
Literatur
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
5
Extremwerttheorie
Cat-Bonds
Problematiken
Literatur
2
Literatur
Die Natur schlägt zurück
Erdbeben in Haiti, Januar 2010: mit einer Stärke von 7.0 Mw
handelt es sich aufgrund der Opferzahlen, die auf ca. 270.000
geschätzt werden, zu den Verheerendsten des 21. Jahrhunderts.
Abbildung: Erbeben in Haiti, Epizentrum bei Port-au-Prince
Politiker und Klimaforscher weltweit sind der Meinung, dass die
Bedrohung durch Naturkatastrophen in den nächsten Jahren
weiterhin ansteigen wird und beschäftigen sich daher zunehmend
mit der Modellierung und Prognose von Naturkatastrophen.
3
Literatur
Was: Absicherung gegen finanzielle Schäden und
Risikomodellierung von Katastrophen ⇒ Risikobewältigung
einzelner Versicherungsnehmer und der Minimierung des
Ausfallrisikos durch Großschäden
Wer: Versicherungs- und Rückversicherungsunternehmen: wie
MunichRE oder SwissRe, eigens gegründete Firmen, wie die
US-amerikanische Air Worldwide.
In den letzten Jahren nahmen sowohl die Anzahl, als auch die
Schäden, die durch Naturkatastrophen entstanden sind,
drastisch zu
4
Literatur
NatCatSERVICE
Große Naturkatastrophen 1950 – 2009
A
Anzahl
hl der
d Ereignisse
E i i
mit
it Trend
T d
16
14
12
An
nzahl
10
8
6
4
2
1950
1955
1960
1965
Geophysikalische Ereignisse
(Erdbeben, Tsunami,
Vulkanausbruch)
1970
1975
Meteorologische Ereignisse
(Sturm)
1980
1985
1990
1995
Hydrologische Ereignisse
(Überschwemmung,
Massenbewegung)
2000
2005
Klimatologische Ereignisse
(Temperaturextreme,
Dürre, Waldbrand)
© 2010 Münchener Rückversicherungs-Gesellschaft, GeoRisikoForschung, NatCatSERVICE – Stand Januar 2010
Abbildung: Zunahme von Naturkatastrophen
5
Literatur
NatCatSERVICE
Große Naturkatastrophen 1950 – 2009
G
Gesamtschäden
t häd und
d versicherte
i h t Schäden
S häd mit
it Trend
T d
220
200
180
160
Mrd
d. US$
140
120
100
80
60
40
20
1950
1955
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
Gesamtschäden (in Werten von 2009)
Versicherte Schäden (in Werten von 2009)
Trendlinie Gesamtschäden
Trendlinie versicherte Schäden
2005
© 2010 Münchener Rückversicherungs-Gesellschaft, GeoRisikoForschung, NatCatSERVICE – Stand Januar 2010
Abbildung: Zunahme von Versicherungssumme und Gesamtschäden
6
Literatur
Extremwerttheorie
Ansätze: Berechnung des Erwartungswertes des Risikos, das
durch den Eintritt einer Naturkatastrophe entsteht
⇒ Multiplikation der Konsequenz eines Umweltzustandes
(z.B. Schäden durch Erdbeben, Hurrikans etc,) mit dessen
Eintrittswahrscheinlichkeit und Summierung bzw. Integration
über den gesamten beobachteten Zustandsraum
⇒ durchschnittliches Risikomaß ⇒ NICHT sinnvoll
7
Literatur
Extremwerttheorie
Abbildung: Ausgelegt für den Durchschnitt?
Verlass auf durchschnittliche Risikoerwartung nicht
ausreichend, da gerade Extremereignisse, Ereignisse mit
hohem Ausmaß aber geringer Eintrittswahrscheinlichkeit, von
Bedeutung sind
8
Literatur
Extremwerttheorie
Ziel der Risikomodellierung
Beschreibung natürlicher Phänomene
deren Ausmaß
Wahrscheinlichkeit
regionale Ausbreitung
⇒ Ableitung eines Risk Management Konzepts, sowie Prognose
potentieller Schäden
9
Literatur
Extremwerttheorie
Extremwerttheorie
ist die Grundlage für die Modellierung der Naturkatastrophen und
deren Schäden
Hintergrund:
kleine Schwester“der klassischen Statistik entstand im
”
Holland der 50er Jahre.
Befassung mit Ausreißern“anstelle vom zentralen
”
Datenbereich
Zwei klassische Ansätze: Betrachtung von Maxima bzw.
Minima oder von Überschreitungen bzw. Unterschreitungen.
10
Literatur
Extremwerttheorie
Der zentrale Grenzwertsatz der Extremwerttheorie“I
”
Maxima unabhängiger und identisch verteilter Größen folgen einer
der drei sog. Extremwertverteilungen:
G0 (x) = exp(−exp(−(x − µ)/σ)) (Gumbel)
α
Gα (x) = exp(−((x − µ)/σ) ), α < 0 (Frechet)
α
Gα (x) = exp(((x − µ)/σ) ), α > 0 (Weibull),
(1)
(2)
(3)
µ ∈ R, σ > 0.
11
Literatur
Extremwerttheorie
Bewertung
Contra: Daten- und Informationsverlust, da nur Maxima
betrachtet werden
Pro: Informationsgewinnung, da aus einer vorher unbekannten
Verteilung eine der drei obengenannten Extremwertverteilungen
geworden ist. Somit erhält man z.B. die Verteilung der maximalen
jährlichen Fluthöhe an einem Deich in Holland.
12
Literatur
Extremwerttheorie
Der zentrale Grenzwertsatz der Extremwerttheorie“II
”
Alternativ: Betrachtung unabhängig und identisch verteilter Daten
unter der Bedingung, dass sie einen hohen Schwellenwert
überschreiten
⇒ Überschreitungen folgen einer sog. verallgemeinerten
”
Pareto-Verteilung“:
W (x) = 1 + logG (x),
(4)
wobei G eine Extremwertverteilung ist (wichtigstes Beispiel:
Exponentialverteilung).
13
Literatur
Extremwerttheorie
Bewertung
Durch diesen moderneren Ansatz hat man i.A. mehr Daten als
bei den Maxima, aber weiterhin Informationen über die
Verteilung.
Beispielsweise erhält man die Verteilung der Schadensfälle, die
einen festen Betrag, z.B. 1.000.000 Euro überschreiten
(Rückversicherung).
14
Literatur
Extremwerttheorie
Die partitionierte multidimensionale Risiko-Methode
(PMRM)
Idee: Modellierung anhand der Überschreitung bestimmter
Schwellenwerte:
Fokus auf bedingten Erwartungswert E[X |Y ∈ I ]
gegeben, dass die Zufallsvariable Schadenshöhe X“in ein
”
bestimmtes Intervall I in den Extrembereichen fällt
Vorgehensweisen:
Partitionierung an der Schadensachse“
”
Partitionierung an der Wahrscheinlichkeitsachse“
”
⇒ Für jeweils gegebene Intervalle werden verschiedene
Erwartungswertfunktionen generiert, Risiko-Funktionen“
”
15
Literatur
Extremwerttheorie
Partitionierung an der Schadensachse
Schritt 1: Generierung der probability of exceedance (POE):
POE = 1 − Px (·)
(5)
Schritt 2: Wahl der Grenzen β auf der Schadensachse: [βi , βi+1 ]
für i = 1, 2, . . . N
Schritt 3: Berechnung der bedingten Erwartungswerte
R βi+1
β
E[X |βi 5 X 5 βi+1 ] = R βi
i+1
βi
xpx (x; sj )dx
(6)
px (x; sj )dx
wobei sj für das Szenario steht.
16
Literatur
Extremwerttheorie
Partitionierung an der Wahrscheinlichkeitsachse
Katastrophenereignis besitzt POE von 10−5
Faustregel: bei drei Intervallen für normalverteilte Schäden
”
sind die Werte der einfachen (0.84) und vierfachen (0.99968)
Standardabweichung eine effiziente Lösung.“
Interpretation:
Das Intervall für geringe Schäden“enthält 84% der
”
Schadensereignisse,
für mittlere Schadensausmaße“weniger als 16%
”
und für Katastrophenschäden“etwa 0.032%.
”
17
Literatur
Extremwerttheorie
Schritt 1: Generierung der probability of exceedance (POE):
POE = 1 − Px (·)
(7)
Schritt 2: Festlegung der Partitionen der Wahrscheinlichkeitsachse:
[1 − αi , 1 − αi+1 ]
für i = 1, 2, . . . N
Schritt 3: Abbilden der Wahrscheinlichkeitsachse auf die
Schadensachse für jedes Szenario sj : [βi,j , βi+1,j ] für i = 1, 2, . . . N
∀ j, mit der Zuordnung:
βi,j
βi+1,j
= Px−1 (1 − αi )
= Px−1 (1 − αi+1 ).
18
Literatur
Extremwerttheorie
Schritt 4: Berechnung der bedingten Erwartungswerte
R βi+1,j
β ,j
E[X |βi,j 5 X 5 βi+1,j ] = R βi
i+1,j
βi ,j
xpx (x; sj )dx
(8)
px (x; sj )dx
Anmerkung zu Gleichung (8): Nenner ist für die verschieden
Szenarien, also für alle j, konstant denn:
Z
β2,j
px (x; sj )dx = (1 − α1 ) − (1 − α2 ) = α2 − α1
(9)
β1,j
19
Literatur
Extremwerttheorie
Projektionen auf die Schadensachse sind nicht identisch für
verschiedene Szenarien j, d.h. [β11 , β12 ] 6= [β21 , β22 ]
bei Partitionierung auf der
Schadensachse: für
gleiche Schadensintervalle
ergeben sich verschiedene
Gewichtskoeffizienten im
Nenner, da der Nenner in
diesem Fall nicht konstant
für verschiedene sj ist.
Abbildung: Abbildung der Wahrscheinlichkeitsachse
auf die Schadenshöhe
20
Literatur
Extremwerttheorie
Modellierung von finanziellem Verlust durch
Naturkatastrophen anhand individueller Risikomodelle
Annahme:
n Versicherungspolicen in einer speziellen geographischen Lage
Policen explizit für ein Katastrophenereignis (z.B. Erbeben,
Tropenstürme etc.)
Zeitraum (ein, drei, sechs oder zwölf Monate)
es werden ausschließlich Events berücksichtigt die in den
gewählten Zeitraum fallen
21
Literatur
Extremwerttheorie
Die Verluste über eine bestimmte Zeitspanne, verursacht durch
Katastrophen, für den i-ten Vertrag:
(P
M0
k=1 Ci,k , wenn M0 > 0
(10)
XiCAT =
0,
wenn M0 = 0
Idee:
M0 : Anzahl der Katastrophen in der spezifischen Region
innerhalb des gewählten Zeitraums
Ci,k der k-te Verlust durch eine Katastrophe, zu dem Vertrag
bzw. der Police i
für eine gegebene Police i sind Ci,1 , Ci,2 , . . . iid verteilt und
unabhängig von M0
⇒ X1CAT , . . . , XnCAT nicht unabhängig, da diese von M0 abhängen;
⇒ C1,k , C2,k , . . . , Cn,k für eine bestimmte Katastrophe k, nicht
notwendigerweise unabhängig
22
Literatur
Extremwerttheorie
Weitere Modellannahmen und Notationen
innerhalb eines Jahres
in einer spezifischen Region
tritt nur eine Katastrophe auf
⇒ Zufallsvariable Kosten“XiCAT , die mit dem Katastrophenschutz
”
verbunden sind:
(
CiCAT , wenn M0 = 1
XiCAT =
(11)
0,
wenn M0 = 0
mit M0 als Bernoulli-Variable, mit Erwartungswert q und CiCAT
(finanzieller Verlust für den Fall, dass für den Vertrag i ein
Katastrophen-Event eintritt)
23
Literatur
Extremwerttheorie
Für diesen Verlust wird weiterhin angenommen, dass dieser
proportional zum Wert bi des Versicherungsgegenstandes ist, d.h.
CiCAT = UiCAT × bi ,
mit UiCAT ∈ [0, 1] als Damage Ratio oder Verlustanteil“
”
⇒ Variablenübersicht:
XiCAT : Verlust für den Vertrag i (kummuliert)
M0 : Anzahl der Katastrophen
CiCAT : Verlust durch eine Katastrophe für Vertrag i
UiCAT : Damage Ratio
bi : Wert des Versicherungsgegenstandes
24
Literatur
Extremwerttheorie
Damage Ratios als zufällige Funktion von
Katastrophenintensität
Annahmen und Notation:
Damage Ratio UiCAT als Zufallsgröße
mit einer Verteilungsfunktion bedingt auf der Intensität I und
den individuellen Eigenschaften des versicherten Risikos:
P[UiCAT = u|I = x] = piux
⇒ abhängig vom individuellen Risiko i (z.B. Baujahr, Bautyp)
25
Literatur
Extremwerttheorie
Erwartungswert und Kovarianz
Annahme: U1CAT , . . . , UnCAT bedingt auf I unabhängig
E[UiCAT UjCAT ] = EI [E[UiCAT UjCAT |I ]]
= EI [E[UiCAT |I ]E[UjCAT |I ]]
Cov (UiCAT , UjCAT ) = bi bj E[M0 ]EI [E[UiCAT |I ]E[UjCAT |I ]]
− bi bj E[M0 ]2 E[UiCAT ]E[UjCAT ]
26
Literatur
Extremwerttheorie
AIR Worldwide
Risikomodellierung und Beratung
seit 1987 Entwicklung von Risikomodellen für über 50 Länder
Zusammenarbeit mit div. Klimabehörden
AIR Typhoon Model for China“:
”
modelliert das Risiko eines Tropensturms und daran
anschließende Überschwemmungsgefahr
27
Literatur
Extremwerttheorie
Tropenstürme in China
Kein anderes Land auf der Welt, erfährt soviele Tropenstürme pro
Jahr wie China, das durchschnittlich neun derartige Ereignisse pro
Jahr verzeichnet.
Abbildung: Bedrohung der chinesischen Küste durch Taifune ( Quelle: Prospekt für The Air Typhoon Model for
”
China“, 2009 AIR WORLDWIDE)
28
Literatur
Extremwerttheorie
AIR Typhoon Model for China
verwendete Software: CATRADER oder CLASIC/2 beeinhaltet
Provinz- und Staatenniveau
CLASIC/2 auf Postleitzahlenebene oder exakter
geographischer Längen- und Breitengrade
zugrundeliegende Datenbank umfasst insgesamt 294 206
Fälle, darunter historische Ereignisse von Taifunen, wie z.B.
Winnie“im Jahr 1997 oder Saomai“im Jahr 2006
”
”
Komponenten berücksichtigen das Risiko des Sturmes und der
Flutwelle
29
Literatur
Extremwerttheorie
meteorologische Faktoren:
Küstengebirge, die die
Niederschlagswahrscheinlichkeit
erhöhen
Abbildung:
Modellierter akkumulierter Niederschlag des
Super Typhoon Winnie“(1997) ( Quelle: Prospekt für The
”
”
Air Typhoon Model for China“, 2009 AIR WORLDWIDE)
jährliche South China
”
Sea Monsoon“, der
tropische Feuchtigkeit an
Chinas Südost-Küste im
Frühjahr und Herbst
bringt
30
Literatur
Extremwerttheorie
Komponenten der Modellierung
⇒ separate Schadensfunktionen für:
Windgeschwindigkeit
Flutwellen
⇒ Erfassung der Beziehung der jeweils modellierten Variable und
der Schadensanfälligkeit der betrachteten Objekte (z.B. Gebäude)
⇒ Berücksichtigung der speziellen Eigenheiten des vorherrschenden
Baustils, der Materialien etc. und auch Versicherungsstrukturen
31
Literatur
Extremwerttheorie
Beispiel Naturkatastrophen USA
Abbildung: Häufigkeiten von Katastrophen, gemessen an ihren Poisson Parametern, pro Quartal, Typ und Region,
1949-1994 ( Quelle: The Pricing of U.S. Catastrophe Reinsurance, Kenneth, A. Froot, 1997)
32
Literatur
CAT-Bonds
⇒ Bewertung von Risiko ist ein bedeutender Mechanismus, um der
Gesellschaft bestimmte vorhandene Risiken, sowie die
Notwendigkeit die Risikovorsorge zuerhöhen, vor Augen zuführen.
Beispiel:CAT-Bonds
Eigenschaften:
Hochzinsanleihen, die über ein SPV emittiert werden
Möglichkeit für Versicherer oder Rückversicherer, sich gegen
finanzielle Schäden, durch Naturkatastrophen, abzusichern
bzw. den Verlust zu kompensieren
Instrument um Risiken zu Verbriefen
Zunahme der Emittenten um Industrieunternehmen (z.B.
Vergnügungspark in Japan)
vertragliche Gestaltung über das Eintreten oder Nichteintreten
einer Katastrophe liegt in der Freiheit des Emittenten
33
Literatur
CAT-Bonds
Funktionweise der CAT-Bonds
Zwei Szenarien sind nach Kauf eines Cat-Bonds denkbar:
Szenario 1: Eintritt einer Naturkatastrophe
Investor bekommt sein eingesetztes Kapital nicht zurück und
sein Anspruch auf die ausstehenden Zinszahlungen erlischt
Kompensation des finanziellen Verlust des Versicherers, der
durch Versicherungsforderungen eingetreten ist
Szenario 2: Nichteintritt einer Naturkatastrophe
Emittent ist verpflichtet, Zinsen und eingesetztes Kapital bei
Fälligkeit der Anleihe an Investoren auszuzahlen
34
Literatur
CAT-Bonds
Bewertung
Vorteil für den Emittenten: Risiko an den Kapitalmarkt
weiterzugeben
Vorteil für den Investor: Diversifikation seines Portfolios ⇒
Hohe Verzinsung von derzeit bezahlten Renditen von 3-6%
über LIBOR
Aktuell: MunichRe und SwissRe schätzen, dass im Jahr 2010 Cat
”
Bonds bis zu über 5 Milliarden Dollar ausgegeben werden. Das
entspräche einem Anstieg von 43 Prozent gegenüber dem Vorjahr.“
35
Literatur
CAT-Bonds
Auswirkung des Katastrophenrisikos auf das finanzielle Risiko
Diversifikation unter unabhängigem Risiko oder
unter Katastrophenrisiko
Unabhängiges Risiko ⇒ Ausfallwahrscheinlichkeit ξn geht gegen
Null (bekanntes Diversifikationsprinzip)
wenn die Anzahl n der im Portfolio enthaltenen Assets stark
ansteigt
und zugleich die Risikoprämie den Erwartungswert übersteigt.
36
Literatur
CAT-Bonds
Auswirkung des Katastrophenrisikos auf das finanzielle Risiko
Diversifikation unter unabhängigem Risiko oder
unter Katastrophenrisiko
Unabhängiges Risiko ⇒ Ausfallwahrscheinlichkeit ξn geht gegen
Null (bekanntes Diversifikationsprinzip)
wenn die Anzahl n der im Portfolio enthaltenen Assets stark
ansteigt
und zugleich die Risikoprämie den Erwartungswert übersteigt.
36
Literatur
CAT-Bonds
Katastrophenrisiko: Zufallsvariablen X1CAT , . . . , XnCAT als
individueller Verlust pro Police, ist nicht unabhängig
⇒ (Rück-)Versicherungsunternehmen können nicht allein durch
”
Prämienzahlung das finanzielle Risiko, das durch Katastrophen
verursacht wird, diversifizieren, nicht einmal mit einem großen
Portfolio.“
Annahmen:
die ersten zwei Momente der ZV XiCAT sind endlich und
positiv
P
ZV SnCAT sei der aggregierte finanzielle Verlust ni=1 XiCAT
Ausfallwahrscheinlichkeit
!
n
X
ξnCAT = P SnCAT >
πiCAT
i=1
πiCAT
η)E[XiCAT ],
mit Prämie
= (1 +
zur Absicherung der
Katastrophe im i-ten Vertrag und η als Sicherheitsspanne
37
Literatur
CAT-Bonds
Beweis
Für das CAT-Modell gilt:
U1CAT , . . . , UnCAT sind positive Zufallsfunktionen Ψi der ZV
Intensität I
⇒Ausfallwahrscheinlichkeit ξi geht gegen einen positiven Anteil
der Eintrittswahrscheinlichkeit q einer Katastrophe, falls gilt, dass:
0<η<
E[CiCAT ]
1
−1= −1
q
E[XiCAT ]
somit gibt es eine positive reelle Zahl c, 0 < c ≤ 1, sodass
lim ξ CAT
n→∞ i
= q × c > 0.
38
Literatur
Problematiken
Problematik: Datenlage
Eine große Problematik findet sich in der aktuellen Datenlage.
Risikomodelle erfordern hochauflösende Datensätze die folgende
Informationen beeinhalten:
(GPS) Koordinaten
geotechnische Informationen
Eigenschaften von Gebäuden (Höhe, Bauart, Alter,
Fassungsvermögen, Auslastung)
39
Literatur
Problematiken
Unsicherheiten in der Modellierung
Komponenten:
genaue Erfassung des Ereignisses (Hurrikan, Erdbeben,. . . )
in Lage und Ausmaß (z.B. Betroffene Regionen).
Bestimmung der Intensität des Events (z.B. Stärke des
Erdbebens auf der Intensitätsskala)
Berücksichtigung des lokalen Einflusses (z.B.Frequenz)
Risikoinformation (Bauqualität, Standort)
Schadensanfälligkeit (durchschnittliche Schäden,
Schadensverteilung)
entstehenden Verluste
40
Literatur
Problematiken
Problematik: Limited Financing
Situation: Zunahme finanzieller Ausfälle von Haushalten und
Unternehmen
~

Versicherungen allein besitzen
nicht genug Kapital
~

Rückversicherung (eher selten) ⇒ Warum limitiertes Risk-Sharing?
zu hohe Preise für Rückversicherung, wegen:
zu wenig Kapital vorhanden (z.B. $7,0 MRD für dte.
Rückversicherer)
hohe Kosten (Makler-, Transaktionskosten)
Moral Hazard und Adverse Selection Problem auf Seiten der
Versicherer
41
Literatur
Problematiken
Zusammenfassung
Anstieg der Versicherungssummen und somit der
Schadenssummen bei Eintritt einer Naturkatastrophe
Risikomodellierung zur Absicherung (Extremwerttheorie,
PMRM, Individuelles Risikomodell)
Verwendung von Cat-Bonds im Versicherungswesen
(Rück-)Versicherungsunternehmen können nicht allein durch
”
Prämienzahlung das finanzielle Risiko,das durch Katastrophen
verursacht wird, diversifizieren, nicht einmal mit einem großen
Portfolio“
Probleme bei Datenbeschaffung und Modellierung (Definition
und Genauigkeit)
42
Literatur
Problematiken
Ausblick und Herausforderungen
Von der Stecknadel zur Computersimulation“
”
Limitieren von Risiko, Anfälligkeit und Ausmaß
Konsequenzen für Baugewerbe, Versicherungen,. . . →
Gesellschaft
Zunahme der Weltbevölkerung → Besiedlung gefährdeter
Regionen
Besondere Herausforderungen: Terrorismus-Modelle,
Modellierung von Pandemie-Risiken
Verluste sammeln sich ggf. über längere Zeiträume langsamer
an
Wie sollen menschliches Verhalten und Entscheidungen in
Modelle einfließen?
Welche Korrelation haben Verluste im Zusammenhang mit
Änderungen der Lebenshaltung und dem med. Fortschritt?
43
Literatur
Haimes, Yacov Y. (2004):Risk Modeling, Assessment, and
Management.2.Auflage, Wiley-Interscience, New Jersey.
Cossette, H., Duchesne, T. und Marceau, E. (2003). Modeling
Catastrophes and their Impact on Insurance Portfolios, North
American Actuarial Journal (NAAJ) 7(4), 1-22
D’Acry, S.und France, V. (1992). Catastrophe Futures: A
better Hedge for Insurers. The Journal of Risk and Insurance
59 (4), pp. 575-600
44

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