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Hans Walser
Mathematik für die Sekundarstufe 1
Modul 402
Schnittpunkte im Dreieck
Hans Walser: Modul 402, Schnittpunkte im Dreieck
ii
Inhalt
1 Schnittpunkte im Dreieck ............................................................................................1 1.1 Zur Einstimmung..................................................................................................1 1.2 Die vier Klassiker .................................................................................................2 1.3 Weitere Beispiele .................................................................................................3 2 Vom Beweisen .............................................................................................................5 2.1 Klassischer Beweis: Der Dialog ...........................................................................5 2.2 Rechnerische Beweise ..........................................................................................6 2.3 Der Zug-Modus. Wahrscheinlichkeitsbeweis ......................................................7 2.4 Schräge Sicht ........................................................................................................8 2.5 Zentrische Streckung ............................................................................................8 2.6 Beweis mit Pflastersteinen .................................................................................10 3 Der FERMAT-Punkt ....................................................................................................10 3.1 Wegenetze ..........................................................................................................11 3.2 Der FERMAT-Punkt .............................................................................................12 3.3 Experimente mit Seifenlauge .............................................................................13 3.4 Wegenetze im Viereck .......................................................................................13 4 Der Satz von CEVA ....................................................................................................16 4.1 Beispiel zum Satz von CEVA ..............................................................................16 4.2 Theorie ...............................................................................................................16 4.3 Beispiele .............................................................................................................20 Modul 402 für die Lehrveranstaltung: Mathematik für die Sekundarstufe 1
Sommer 2000 Erstausgabe
Sommer 2002 Korrekturen, Ergänzungen
Sommer 2004 Korrekturen, grafische Überarbeitung, Straffung
Sommer 2006 Straffungen und Ergänzungen. Geändertes Layout
Frühjahr 2008 MathType
Frühjahr 2010 Fehlerkorrektur
last modified: 6. Juni 2014
Hans Walser
www.walser-h-m.ch/hans
1
1 Schnittpunkte im Dreieck
When shall we three meet again?
In thunder, lightning or in rain?
William Shakespeare, Macbeth
Wir suchen drei Linien in einem beliebigen Dreieck, welche sich unabhängig von der
speziellen Form des Dreieckes in einem Punkt schneiden.
Drei Linien, welche sich in einem Punkt schneiden, werden als kopunktal bezeichnet.
1.1 Zur Einstimmung
Wir zeichnen eine Dreieck mit Umkreis (Umkreisfigur im Anhang) und schneiden den
Kreis aus. Dann falten wir die Außensegmente an den Dreiecksseiten hinein. Was geschieht?
Einfalten der Außensegmente
Die drei Kreisbogen scheinen sich in einem Punkt zu schneiden; zudem vermuten wir,
dass dies der Höhenschnittpunkt ist.
C
B
A
Überlegungsfigur
2
1.2 Die vier Klassiker
Mit Schnittpunkten im Dreieck werden allgemein die vier „klassischen“ Schnittpunkte
assoziiert: Der Schwerpunkt S (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden), der Schnittpunkt
U der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten (Umkreismittelpunkt), der Höhenschnittpunkt H und der Schnittpunkt I der Winkelhalbierenden (Inkreismittelpunkt).
U
S
Die vier Klassiker
I
H
3
1.3 Weitere Beispiele
Es gibt sehr viele weitere Beispiele von Schnittpunkten dreier Geraden im Dreieck.
a) Wir verbinden die Berührungspunkte des Inkreises mit den Gegenseiten. Die drei
Geraden schneiden sich in einem Punkt; dieser ist aber nicht der Inkreismittelpunkt.
Zum Beweis dieser Schnittpunktseigenschaft kann der Satz von CEVA verwendet
werden.
Dreieck mit Inkreis
b) Wir setzen auf jeder Dreiecksseite (das Dreieck braucht nicht rechtwinklig zu sein)
ein Quadrat auf und ergänzen an den Dreiecksecken zu einem Parallelogramm gemäß Figur. Dann verbinden wir die Quadratmitten mit den gegenüberliegenden äußersten Eckpunkten der Parallelogramme. Die drei Linien schneiden sich in einem
Punkt.
4
Aufgesetzte Quadrate und Parallelogramme
Nun ist es allerdings so, dass Studierende statt kopunktale Geraden das Duale dazu,
nämlich kollineare Punkte entdecken. Und es gibt noch mehr zu entdecken.
Verschiedenes fällt auf
Überlegungsfigur
5
2 Vom Beweisen
Wenn drei Geraden durch ein und denselben Punkt verlaufen – drei solche Geraden
werden als kopunktal bezeichnet –, so kann das ein Zufall sein oder aber eine besondere
Eigenschaft dieser drei Geraden (zum Beispiel der drei Seitenhalbierenden eines Dreieckes), eine Eigenschaft, welche in jedem beliebigen Dreieck gilt. Es stellt sich dann die
Frage, ob und wie diese Eigenschaft der Kopunktalität für jedes beliebige Dreieck –
anders gesagt: Für ein allgemeines Dreieck – nachgewiesen werden kann. Zum Beweis
können ganz unterschiedliche Methoden verwendet werden, wie am Beispiel des
Schwerpunktes gezeigt werden soll.
2.1 Klassischer Beweis: Der Dialog
Wir stellen die Gedankengänge von Petra und Quasi einander gegenüber. Petra argumentiert so:
0
s0
s1
P
0
10
M1
2
P
M1
12
1
1
M0
2
01
M0
02
2
Unterteilung
Im Dreieck A0 A1 A2 schneiden wir die beiden Seitenhalbierenden s0 und s1 in P. Zusammen mit der Strecke A2 P entstehen so vier kleine Teildreiecke Δ 0 1, Δ 0 2, Δ 1 2 und
Δ 1 0 sowie ein offenbar größeres Restdreieck Δ 2 .
Die Teildreiecke Δ 0 1 und Δ 0 2 sind flächengleich, da sie mit A1 M0 beziehungsweise
M0 A2 gleich lange Grundseiten sowie die gemeinsame von P ausgehende Höhe dazu
haben. Analog (das Wort analog weist darauf hin, dass derselbe Gedankengang nochmals durchgespielt wird, aber mit einer anderen „Besetzung“ der beteiligten Punkte,
Geraden, Strecken und Dreiecke) folgt, dass die beiden Teildreiecke Δ 1 2 und Δ 1 0 flächengleich sind.
Nun ist aber Δ 0 1 + Δ 0 2 + Δ 1 2 die halbe Dreiecksfläche (warum?) und Δ 0 2 + Δ1 2 + Δ 1 0
ist ebenfalls die halbe Dreiecksfläche. Durch Vergleich ergibt sich Δ 0 1 = Δ 1 0, und damit sind alle vier kleinen Teildreiecke flächengleich. Δ 1 2 ist also flächenmäßig ein Drittel des Dreieckes A1 A2 M1 . Weil es mit diesem Dreieck die von A2 ausgehende Höhe
gemeinsam hat, misst die Strecke M1 P einen Drittel der Strecke M1 A1 . Analog zeigt
Petra, dass auch die Strecke M0 P einen Drittel der Strecke M0 A0 misst. Soweit Petra.
Quasi geht von einer anderen Grundfigur aus: Er schneidet die beiden Seitenhalbierenden s1 und s2 in Q.
6
0
M2
s1
M1
Q
s2
1
2
Die Figur von Quasi
Seine Überlegungen, die analog verlaufen wie jene von Petra, führen zu folgenden
Schlüssen: Die Strecke M1Q misst einen Drittel der Strecke M1 A1 , und die Strecke
M2Q misst einen Drittel der Strecke M2 A2 .
Nun liegen zwei einander scheinbar widersprechende Aussagen vor: Petra findet, dass
die Strecke M1 P einen Drittel der Strecke M1 A1 misst. Quasi dagegen findet, dass die
Strecke M1Q einen Drittel der Strecke M1 A1 misst. Da die beiden Punkte P und Q beide im Innern der Strecke M1 A1 liegen, kann der Widerspruch nur dadurch gelöst werden, dass P und Q ein und derselbe Punkt sind. Damit ist aber auch klar, dass alle drei
Seitenhalbierenden durch diesen Punkt verlaufen.
2.2 Rechnerische Beweise
2.2.1 Vektorrechnung
Die Geraden und deren Schnittpunkt werden mit Hilfe der Vektorgeometrie dargestellt.
!
!
Wir bezeichnen mit ai den Vektor vom Koordinatenursprung zum Punkt Ai und mit mi
den Vektor vom Koordinatenursprung zum Seitenmittelpunkt Mi . Dann gilt zunächst
(die Indizes werden immer modulo 3 gerechnet):
!
!
!
mi = 12 ( ai+1 + ai+2 )
Für die Seitenhalbierende si ergibt sich die Parameterdarstellung:
(
)
!
!
!
!
!
!
si : xi ( ti ) = 12 ( ai+1 + ai+2 ) + ti ai − 12 ( ai+1 + ai+2 )
!
!
! !
Für ti = 13 folgt xi 13 = 13 ( a0 + a1 + a2 ) . Dieses Resultat ist unabhängig vom Index i,
das heißt, es verlaufen alle drei Seitenhalbierenden s0 , s1 und s2 durch diesen Punkt.
()
In unserer Rechnung haben wir heuristisch den Schwerpunkt beim Parameterwert
ti = 13 vermutet (warum ist diese Vermutung sinnvoll?) und dann ein zyklisch symmetrisches Resultat erhalten, das heißt ein Resultat, das sich nicht ändert, wenn i durch
i + 1 oder durch i + 2 ersetzt wird. Ohne dieses heuristische Vorgehen ist die Rechnung
weniger elegant.
7
2.2.2 Spezielle Wahl der Koordinaten
Wir haben in unseren Rechnungen die Eckpunkte des Dreieckes A0 A1 A2 beliebig gewählt. Gelegentlich ist es aber auch sinnvoll, eine möglichst spezielle Wahl zu treffen.
Da Schnittprobleme ähnlichkeitsinvariant sind, kann die Länge einer Dreiecksseite vorgegeben werden. Eine besonders spezielle Wahl der Eckpunktskoordinaten ist zum Beispiel A0 ( 0, 0) , A1 (1,0) , A2 ( p, q) . Die ganze Konfiguration hängt dann noch von den
beiden Parametern p und q ab.
y
A2(p,q)
1
A0
A1(1,0)
x
Spezielle Wahl der Koordinaten
So oder so: Die algebraischen Rechnungen können recht aufwändig werden und sind
praktisch oft nur mit einem Computer-Algebra-System wie zum Beispiel Maple oder
Mathematica zu bewältigen. Bei orthodoxen Geometern stellt sich dann sofort die Frage, ob das noch ein „gültiger“ Beweis sei.
2.3 Der Zug-Modus. Wahrscheinlichkeitsbeweis
Geometrie-Software wie zum Beispiel Cabri-géomètre oder Euklid besitzt in der Regel
einen Zug-Modus: In einer fertigen Konstruktion können die Ausgangsdaten, zum Beispiel die drei Eckpunkte eines der Konstruktion zugrunde liegenden Dreieckes, im
Nachhinein durch Ziehen mit der Maus verändert werden. Ein allgemeingültiger
Schnittpunkt dreier Geraden bleibt bei diesem Veränderungsprozess erhalten. Die Frage
ist nun umgekehrt, ob die Invarianz eines (vermuteten) Schnittpunktes beim ZugProzess schon als „Beweis“ gelten kann. Es können ja – wegen der Pixel-Rasterung –
letztlich nur endlich viele Fälle betrachtet werden. Andererseits ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schnittpunktseigenschaft dann doch nicht stimmen könnte, so klein, dass
wir uns eine tolerantere Haltung gegenüber Zug-Modus-“Beweisen“ angewöhnen müßten. Gefährlich wir die Angelegenheit bei „Fast“-Schnittpunkten, wo drei Geraden zwar
nicht kopunktal sind, aber während des ganzen Zug-Prozesses ein Dreieck bilden, das
von einer Kreisscheibe mit konstantem („kleinen“) Radius überdeckt werden kann.
Cabri-géomètre besitzt zwar eine Vergrößerungsmöglichkeit, aber diese ist nach oben
beschränkt. Jedenfalls ist der Zug-Modus ein gutes interaktives Instrument zur Auffindung und ersten Kontrolle eines Schnittpunktes.
8
2.4 Schräge Sicht
Es gibt geometrische Eigenschaften, welche sich bei schräger Ansicht nicht verändern,
zum Beispiel Inzidenz, Parallelität und Teilverhältnisse (insbesondere „Mittelpunkt“).
Geometrische Konstruktionen, welche nur auf diesen Eigenschaften basieren, sind gegenüber schräger Sicht invariant. Ein Beispiel dazu ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, also der Schwerpunkt. Da jedes beliebige Dreieck als schräge Ansicht eines
regelmäßigen Dreieckes interpretiert werden kann, genügt es in solchen Fällen, die
Schnittpunktseigenschaft im regelmäßigen Dreieck zu beweisen, wo der Beweis oft
recht einfach ist. (Diese schräge Sicht wird als affine Abbildung bezeichnet.)
2
2
M1
M0
M1
S
S
M0
0
0
1
M2
M2
1
Dreieck als affines Bild eines regelmäßigen Dreieckes
Dieses Verfahren funktioniert nicht, sobald rechte Winkel oder Winkelhalbierende im
Spiel sind, also beim Höhenschnittpunkt, beim Umkreismittelpunkt und beim Inkreismittelpunkt.
2.5 Zentrische Streckung
Zwei Figuren, die durch eine zentrische Streckung aufeinander abgebildet werden können, heißen perspektivähnlich. Perspektivähnliche Figuren sind ähnlich, zudem sind
entsprechende Geraden zueinander parallel.
Perspektivähnlichkeit
Wie ist es bei der Camera obscura?
9
2.5.1 Camera obscura
Die Lichtstrahlen gehen vom Motivpunkt geradlinig und wellenförmig diffus in alle
Richtungen aus. Das Loch bewirkt eine Auswahl aus diesen Lichtstrahlen. Es geht rein
theoretisch nur ein Lichtstrahl durch dieses Loch und erzeugt auf einer Wand, einem
Schirm oder einer lichtempfindlichen Schicht einen Bildpunkt. Das Bild, daß sich aus
verschiedenen Bildpunkten zusammensetzt ist kopfstehend und seitenverkehrt.
2.5.2 Anwendung der Perspektivähnlichkeit
Perspektivähnlichkeit heißt aber umgekehrt, dass die Verbindungsgeraden entsprechender Punkte zweier perspektivähnlicher Dreiecke kopunktal sind; sie schneiden sich im
Streckungszentrum.
Das einfachste Beispiel liefert wiederum der Schwerpunkt: Die beiden Dreiecke
A0 A1 A2 und M0 M1M2 sind perspektivähnlich.
2
M1
M0
0
M2
1
Perspektivähnlichkeit beim Schwerpunkt
10
2.6 Beweis mit Pflastersteinen
Wir zerlegen ein Dreieck in 36 kongruente und zum Ausgangsdreieck ähnliche Pflastersteine und bemalen diese gemäß Figur. Dann ist alles klar.
Pflasterung und Färbung
3 Der FERMAT-Punkt
Pierre de FERMAT, 1601/07 – 1665
11
3.1 Wegenetze
3.1.1 Optimales Wegenetz im Dreieck
Welches Wegenetz im Dreieck ABC hat eine optimale, das heißt hier minimale Gesamtlänge? (Problem von FERMAT, vgl. [Coxeter 1963, S. 38])
C
A
B
Optimales Wegenetz?
3.1.2 Beliebige Wegenetze im Dreieck
C
C
P
P
A
A
P*
B
60°
B
C*
Gesamtlänge?
Minimale Gesamtlänge
Wie lang ist das gesamte Wegenetz mit dem beliebigen Verzweigungspunkt P, welches
die drei Eckpunkte A, B und C verbindet? Zur Bestimmung der Gesamtlänge des Wegenetzes drehen wir das Dreieck BPA um B um 60°. Das Dreieck BPP* ist dann gleichseitig, die Strecke PP * also gleich lang wie die zum Wegenetz gehörende Strecke BP des
12
Wegenetzes. Ferner sind die beiden Strecken C * P * und AP gleich lang. Das gesamte
Wegenetz ist also gleich lang wie der Polygonzug C*P*PC.
3.1.3 Minimale Länge
Bei jedem Wegenetz erhalten wir bei diesem trickreichen Verfahren denselben Punkt
C*. Wenn also die Gesamtlänge des Wegenetzes minimiert werden soll, heißt das, dass
die Gesamtlänge C * P * + P * P + PC des Polygonzuges C*P*PC minimiert werden
soll. Dies wird durch die Strecke C * C erreicht.
3.2 Der FERMAT-Punkt
Den FERMAT-Punkt finden wir schließlich, indem wir in analoger Weise die Strecken
A * A und B * B zeichnen. Die Punkte A*, B* und C* sind jeweils die äußeren Eckpunkte der den Dreiecksseiten a, b und c nach außen aufgesetzten gleichseitigen Dreiecke. Die drei Strecken A * A , B * B und C * C haben je die Länge des minimalen
Wegenetzes mit dem FERMAT-Punkt; sie sind also gleich lang und haben den FERMATPunkt als gemeinsamen Schnittpunkt. Zudem schneiden sie sich im FERMAT-Punkt unter drei gleichen Winkeln von 120°. Der FERMAT-Punkt lässt sich daher auch als gemeinsamer Schnittpunkt der drei Ortsbogen über den Dreiecksseiten für den Winkel
120° konstruieren.
B*
C
F
A
B
C*
Der FERMAT-Punkt
A*
13
3.3 Experimente mit Seifenlauge
3.3.1 Plexiglasmodell
Minimale Wegenetze können mit Hilfe von Seifenlauge dargestellt werden. Dazu benötigen wir ein Dreiecksmodell, das aus zwei parallelen Plexiglasscheiben mit ca. 1 cm
Abstand besteht, in welchem die Eckpunkte durch verbindende Stifte dargestellt werden. Dies kann durch Schrauben von ca. 3 mm Durchmesser realisiert werden; mit zusätzlichen Muttern kann der Abstand zwischen den Plexiglasscheiben justiert werden.
3.3.2 Seifenlauge nach Großmutterart
Rezept:
1
Liter lauwarmes Wasser
500
g
Zucker
750
g
Hakawerk Neutralseife
25g
Tapetenkleister (Methylan von Henkel)
Alles mischen, einen Tag stehen lassen
9
Liter Wasser dazugeben, gut rühren
3.3.3 Das minimale Wegenetz
Wir tauchen das Plexiglasmodell kurz in die Seifenlösung. Dadurch bildet sich ein Film
zwischen den beiden Plexiglasscheiben und den die Eckpunkte darstellenden Verbindungsschrauben. Dieser Film hat das Bestreben, sich möglichst dick zu machen. Daher
müssen die anderen Dimensionen minimiert werden. Da der Scheibenabstand gegeben
ist, kann nur noch die Dimension, welche den Weglängen entspricht, minimiert werden.
Die Praxis zeigt, dass diese Modelle recht gut spielen.
3.4 Wegenetze im Viereck
3.4.1 Minimales Wegenetz im Quadrat
C
D
D
C
120°
120°
120°
A
B
Diagonalen
A
B
Optimales Wegenetz
14
Das minimale Wegenetz im Quadrat besteht nicht, wie man anfänglich vermutet, aus
den beiden Diagonalen, sondern aus einem Netz mit zwei Verzweigungspunkten, in
welchen die Wege Winkel von 120° einschließen. Man kann allgemein zeigen, dass in
Verzweigungspunkten in Minimalnetzen die Wege bei Verzweigungspunkten immer
drei gleiche Winkel von 120° einschließen müssen.
3.4.2 Beliebige Wegenetze
C
D
P
Q
A
B
Wegenetz im Viereck
Wie kann die gesamte Länge eines beliebigen Wegenetzes in einem allgemeinen Viereck visualisiert werden?
Der Trick (nun ist es bereits eine Methode) besteht wiederum darin, geeignete Dreiecke
um 60° herauszudrehen. Dadurch entsteht ein Polygonzug, der gleich lang ist wie das
gesamte Wegenetz. Die Endpunkte dieses Polygonzuges sind Ecken von nach außen
aufgesetzten gleichseitigen Dreiecken. Diese Endpunkte sind - bei gegebener Netztopologie - invariant; die Minimallänge des gesamten Netzes ergibt sich daher durch die
Strecke, welche diese Endpunkte verbindet.
C
D
60°
60°
C
D
P
A
B
Minimale Gesamtlänge
Q
A
B
Verzweigungspunkte
Die Verzweigungspunkte finden sich dann durch die Umkreise der beiden gleichseitigen Dreiecke, welche auch Ortsbogen für 120° sind.
15
3.4.3 Die zweite Lösung
Wenn wir die beiden gleichseitigen Dreiecke an den anderen beiden Vierecksseiten aufsetzen, ergibt sich eine zweite Lösung mit einer anderen Netztopologie. Dieses Netz hat,
wie am Rechteck leicht überlegt werden kann, eine andere Gesamtlänge. Unsere Konstruktionen liefern also nicht in jedem Fall das Minimalnetz, sondern allenfalls bloß ein
relatives Minimalnetz, das heißt das Minimalnetz bei gegebener Netztopologie.
C
D
A
B
Andere Netztopologie
3.4.4 Weitere Fragen
• Minimalnetz im stumpfwinkligen Dreieck
• Minimalnetze im regelmäßigen Fünfeck
• Minimalnetze im Fünfeck
• Minimalnetze im n-Eck. Wie viele Netztopologien gibt es?
16
4 Der Satz von CEVA
4.1 Beispiel zum Satz von CEVA
a a a
Wie groß ist das Produkt: 0 1 1 2 2 0 =
a0 2 a1 0 a2 1
a02
2
B0
a01
1
a12
t0
t2
t1
a21
B1
a10
B2
a20
0
Beispiel zum Satz von CEVA
4.2 Theorie
Der Satz von CEVA ist ein sehr effizientes Hilfsmittel zum Beweis von Schnittpunkten.
Er ist auch aus historischer Sicht recht interessant: Er ist der erste Satz der Elementargeometrie, der nicht schon in der griechischen Geometrie bekannt war. Giovanni
CEVA (1647 - 1734) lebte in Mantua und publizierte 1678 in Mailand die Schrift De
lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio. CEVA argumentierte in seinen
Überlegungen mit an den Eckpunkten eines Dreieckes angebrachten Gewichten ungleicher Größe und fragte nach deren Schwerpunkt (vgl. [Chasles 1968]). Der übliche
Schwerpunkt eines Dreieckes erscheint in diesen Überlegungen als Sonderfall für die
gleichmäßige Gewichtsverteilung 1:1:1.
Der Satz von CEVA besagt folgendes:
17
2
a12
a02
t2
B1
a10
B0
t0
0
a20
t1
B2
a21
a01
1
Der Satz von CEVA
Drei Eckpunktstransversalen t0 , t1 und t2 sind genau dann kopunktal, wenn für die
jeweils auf der Gegenseite gebildeten Abschnittsverhältnisse gilt:
a01 a12 a20
=1
a02 a10 a21
a
Bemerkung: Sehr oft werden die im Satz von CEVA verwendeten Teilverhältnisse a i,i+1
i,i+2
mit einem Vorzeichen definiert, das genau dann negativ ist, wenn sich der Teilpunkt Bi
im Innern der Strecke Ai+1Ai+2 befindet. In dieser Notation muss das Produkt der drei
Teilverhältnisse − 1 sein. Ist das Produkt + 1, so liegen die drei Punkte B0 , B1 und B2
auf einer Geraden (Satz von FERMAT). Der Satz von CEVA gilt auch dann, wenn der
gemeinsame Punkt der drei Ecktransversalen außerhalb des Dreieckes liegt. Die im Satz
von CEVA vorkommenden Begriffe und Teilverhältnisse sind affin invariant.
18
Für den Beweis des Satzes von CEVA gehen wir von drei kopunktalen Ecktransversalen
aus und verwenden Flächenverhältnisse von Teildreiecken.
2
a12
a02
t2
B1
a10
0
h02
P t0
B0
t1 h
01 a01
a20
B2
a21
1
Flächenverhältnis von Teildreiecken
Die beiden Dreiecke A0 A1P und A0 A2 P haben eine gemeinsame Seite PA0 . Ihre Flächen verhalten sich also wie die zugehörigen Höhen h0 1 und h0 2. Aufgrund der Strahlensätze verhalten sich diese beiden Höhen h0 1 und h0 2 wie die Abschnitte a0 1 und
a0 2 . Somit gilt, wenn A den Flächeninhalt bezeichnet:
a01 AΔA0 A1P
=
a02 AΔA0 A2 P
Analog gilt:
a12 AΔA1A2 P
=
a10 AΔA1A0 P
und
a20 AΔA2 A0 P
=
a21 AΔA2 A1P
Daraus ergibt sich:
a01 a12 a20
=1
a02 a10 a21
19
Für drei Ecktransversalen, welche nicht kopunktal sind verwenden wir zunächst den
Schnittpunkt von zwei der drei Ecktransversalen, zum Beispiel P0 1 als Schnittpunkt von
t0 und t1 .
2
a12
a02
t2
B1
t2*
a10
B0
P01
t0
t1
a20
0
a20
B2
B2*
a01
a21
a21
1
Nicht kopunktale Ecktransversalen
Es sei dann
t2∗
die Transversale durch A2 und P0 1. Somit gilt:
a01
a02
a12
a10
∗
a20
∗
a21
=1
Wegen a2 0 < a2∗0 und a2 1 > a∗2 1 (oder allenfalls umgekehrt, also a2 0 > a2∗0 und
a2 1 < a∗2 1) ist
wiesen.
∗
a20
a20
a01 a12 a20
und
damit
≠
≠ 1 . Damit ist der Satz von CEVA be∗
a21
a02 a10 a21
a21
20
4.3 Beispiele
4.3.1 Der Schwerpunkt
a
a
Die Punkte Bi sind die Mittelpunkte der Strecken Ai +1Ai+ 2 . Daher ist a01 = 1 , a12 = 1
02
10
a
a
a
a
und a20 = 1 , woraus unmittelbar a01 a12 a20 = 1 folgt.
21
02 10 21
4.3.2 Der Höhenschnittpunkt
2
a12
a02
B1
h2
a10
h1
B0
H
h0
a01
0
a20
B2
a21
1
Der Höhenschnittpunkt
Aus A := AΔA0 A1A2 = 12 h0 a0 folgt h0 =
a01
=
a02
a22
a12
− h02
− h02
=
2A
a0 .
Nach dem Satz des Pythagoras gilt dann:
( )
−( )
a22 − 2A
a
2
0
a12
2A
a0
2
=
a02 a22 − 4A 2
a02 a12 − 4A 2
Analog folgt:
a12
=
a10
a
a
a
a12 a02 − 4A 2
a12 a22 − 4A 2
und
a20
=
a21
a22 a12 − 4A 2
a22 a02 − 4A 2
Daraus folgt a01 a12 a20 = 1 , womit die Existenz des Höhenschnittpunktes gesichert ist.
02 10 21
21
Bemerkung: Die Existenz des Höhenschnittpunktes lässt sich auch ohne den Satz von
CEVA beweisen. Der Höhenschnittpunkt des Dreieckes A0 A1 A2 ist nämlich der Mittelsenkrechtenschnittpunkt des zum Dreieck A0 A1 A2 ähnlichen, aber längenmäßig doppelt
so großen Dreieckes D0 D1 D2 .
D1
2
D0
H
0
1
D2
Höhenschnittpunkt als Mittelsenkrechtenschnittpunkt
Anhang
Dreieck mit Umkreis
-
Dreieck einzeichnen (Ecken auf Umkreis)
-
Kreis ausschneiden
-
Außensegemente an Dreiecksseiten hineinfalten
-
???
22

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