R1 - Institut für Prozess- und Produktionsleittechnik

Institut für Prozess- und
Produktionsleittechnik
Prof. Dr. O. Zirn
Dipl.-Ing. C. Pelczar
Script
Elektronik II
S 8738
Inhalt
1 Einführung
2 Modellierung und Schaltungsanalyse
2.1 Ersatzschaltbilder
2.2 Vierpole
2.3 Rechnergestützte Netzwerkanalyse mit PSPICE
3 Bauteile und Kennlinien
3.1 Diode
3.2 Bipolartransistor
3.3 Feldeffekttransistor
3.4 IGBT
3.5 Betriebsarten
3.6 Verlustleistung
4 Kleinsignalverstärker
4.1 Arbeitspunkteinstellung
4.2 OP-Grundschaltungen
4.3 Anwendungsbeispiel: Strommessung
5 Filterschaltungen
5.1 Theoretische Grundlagen
5.2 Aktive Filterschaltungen
5.3 Anwendungsbeispiel: Tiefpass 2. Ordnung
6 Regler- und Messschaltungen
6.1 Elektronischer PID-Regler
6.2 Meßschaltungen
6.3 Anwendungsbeispiel: PI-Analogregler
7 Leistungsverstärker
7.1 Gleichstromverstärker
7.2 Umrichter für Drehfeldmotoren
7.3 Anwendungsbeispiel: MOS-FET-Fahrtenregler
15
10
5
0
-5
0s
V(V4:+)
0.2ms
0.4ms
I(R1)
V(U2:OUT)
V(R8:1)
8 Thermalanalyse
8.1 Grundlagen der Thermalanalyse
8.2 Thermalanalyse elektronischer Schaltungen
9 Mechatronische Systeme am Beispiel eines Baßlautsprechers
Literatur
Anhang
0.6ms
0.8ms
1.0ms
Time
1.2ms
1.4ms
1.6ms
1.8ms
2.0ms
Script_EL_II.doc
2
1 Einführung
Die Vorlesung „Elektronik II“ wendet sich an Hörer der Studiengänge
Informationstechnik sowie Maschinenbau/Mechatronik und knüpft an die Vorlesung
„Elektronik I“ von Prof. Kemnitz an. Das Ziel dieser Vorlesung ist die Vertiefung der
Kenntnisse zu ausgewählten Halbleiterbauelementen und deren prinzipiellen
Schaltungsanwendungen sowie die Einführung in den Schaltungsentwurf mittels
rechnergestützter Simulation.
Zunächst werden die wichtigsten Bauelemente (Diode, Transistor, Operationsverstärker) detaillierter hinsichtlich ihrer halbleitertechnischen Zusammenhänge und
Kennlinien beschrieben und modelliert. Eine weitgehend vollständige Behandlung
der Halbleiterbauelemente ist im Standardwerk (Tietze/Schenk, 2002) zu finden, aus
dem verschiedene Darstellungen für dieses Script entnommen sind. Das Lehrbuch ist
ab Herbst 2009 auch als E-Book in der Universitätsbibliothek zugänglich. Im
zeitlichen Rahmen dieser Vorlesung können nur wenige Bauelemente detailliert
erläutert werden. Das vorliegende Script stellt eine Mitschreibehilfe dar und soll,
ergänzt um die Tafelanschriebe, beispielhafte Datenblätter von Bauelementen und
selbständig bearbeitete Übungsaufgaben, eine erste Basis für das umfangreiche und
sich stetig fortentwickelnde Gebiet der analogen Elektronik sein.
Zur Veranschaulichung werden die Bauteile anhand einfacher PSPICE-Modelle
simuliert und analysiert. Eine Einführung in das Ingenieurwerkzeug PSPICE wird im
Rahmen der vorlesungsbegleitenden Übungen gegeben. Eine sehr gute Einführung
mit vielen Beispielen ist in (Beetz, 2008) zu finden, das auch als E-Book in der
Universitätsbibliothek verfügbar ist. Alle Beispiele werden mit der kostenlos
erhältlichen Studentenversion von PSPICE (Download von der Homepage von Prof.
Beetz: http://www.fht-esslingen.de/~beetz/pspice-b) behandelt.
Anschließend werden die Modelle auf verschiedene Verstärker-, Regler- und
Meßschaltungen erweitert.
PSPICE stellt für das temperaturabhängige Verhalten von Bauteilen durchaus
leistungsfähige Modelle und Analysemethoden zur Verfügung. Allerdings ist das
thermische Verhalten der gesamten Schaltung von verschiedenen peripheren
Einflussfaktoren (Kühlkörpermontage, Übergangswiderstände, Lüftung, etc.)
abhängig, die nicht mit dem Werkzeug PSPICE allein simuliert werden können. Zur
Vorhersage des Temperaturverlaufes in den Halbleiterbauelementen hat sich die
Thermalanalyse mit MATLAB/Simulink auf der Basis diskreter Mehrkörpermodelle als
sehr effizientes Simulationswerkzeug erwiesen. Daher schließt diese Vorlesung mit
einer ausführlichen Einführung in die Thermalanalyse und deren Anwendung auf
elektronische Schaltungen.
Script_EL_II.doc
3
2 Modellierung und Schaltungsanalyse
2.1 Ersatzschaltbilder
Spannungsquelle
Stromquelle
Stromgesteuerte Stromquelle
Spannungsgesteuerte Stromquelle
Spannungsgesteuerte Spannungsquelle
Script_EL_II.doc
4
2.2 Vierpole
aus (Führer et al. 1997)
Script_EL_II.doc
5
Reihenschaltung von Vierpolen:
Parallelschaltung von Vierpolen:
Script_EL_II.doc
6
Reihen-Parallelschaltung von Vierpolen:
Kettenschaltung von Vierpolen:
Script_EL_II.doc
7
Umrechnung der Vierpolparameter:
(aus Herter, Lörcher: Nachrichtentechnik, Hanser 2000)
Script_EL_II.doc
8
2.3 Rechnergestützte Netzwerkanalyse mit PSPICE
Bild 2.1:
Programmteile und Dateien für Simulation Programm for Integrated
Cirquit Emphasis als Simulationskern (Beetz, 2008)
http://www2.hs-esslingen.de/~beetz/pspice-b/download_programme.html
Script_EL_II.doc
9
PSPICE-Kurzeinführung (ORCAD-Studentenversion)
Bild 2.2:
Einfaches Schaltungsbeispiel mit Arbeitspunktanzeige
Script_EL_II.doc
10
**** 10/16/08 11:41:06 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) **************
** Profile: "SCHEMATIC1-DC_Analyse" [ E:\tuc\Lehre\Elektronik\test_elii-schematic1-dc_analyse.sim ]
**** CIRCUIT DESCRIPTION
******************************************************************************
** Creating circuit file "test_elii-schematic1-dc_analyse.sim.cir"
** WARNING: THIS AUTOMATICALLY GENERATED FILE MAY BE OVERWRITTEN BY SUBSEQUENT SIMULATIONS
*Libraries:
* Local Libraries :
* From [PSPICE NETLIST] section of pspiceev.ini file:
.lib "nom.lib"
*Analysis directives:
.PROBE
.INC "test_elii-SCHEMATIC1.net"
**** INCLUDING test_elii-SCHEMATIC1.net ****
* source TEST_ELII
V_V1
N00009 0 10Vdc
R_R1
N00009 N00016 1k
R_R2
0 N00016 1k
**** RESUMING test_elii-schematic1-dc_analyse.sim.cir ****
.INC "test_elii-SCHEMATIC1.als"
**** INCLUDING test_elii-SCHEMATIC1.als ****
.ALIASES
V_V1
V1(+=N00009 -=0 )
R_R1
R1(1=N00009 2=N00016 )
R_R2
R2(1=0 2=N00016 )
.ENDALIASES
**** RESUMING test_elii-schematic1-dc_analyse.sim.cir ****
.END
**** 10/16/08 11:41:06 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) **************
** Profile: "SCHEMATIC1-DC_Analyse" [ E:\tuc\Lehre\Elektronik\test_elii-schematic1-dc_analyse.sim ]
****
SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION
TEMPERATURE = 27.000 DEG C
******************************************************************************
NODE VOLTAGE
NODE VOLTAGE
(N00009) 10.0000 (N00016)
NODE VOLTAGE
NODE VOLTAGE
5.0000
VOLTAGE SOURCE CURRENTS
NAME
CURRENT
V_V1
-5.000E-03
TOTAL POWER DISSIPATION 5.00E-02 WATTS
JOB CONCLUDED
TOTAL JOB TIME
Bild 2.3a:
.08
Output-File zum Beispiel aus Bild 2.2
Script_EL_II.doc
11
*
*--------------------------------------------------------------------------*
* This is a reduced version of OrCAD's standard parts model libraries. Some
* components from several types of component libraries have been included
* here.
*
*
* The following is a summary of parts in this library:
*
*
Part name
Part type
*
----------------*
Q2N2222
NPN bipolar transistor
*
Q2N2907A
PNP bipolar transistor
*
Q2N3904
NPN bipolar transistor
*
Q2N3906
PNP bipolar transistor
*
*
Q2N6052
PNP Darlington power transistor
*
Q2N6059
NPN Darlington power transistor
*
…
*
D1N750
zener diode
*
MV2201
voltage variable capacitance diode
*
D1N4002
power diode
*
D1N4148
switching diode
*
…
*
IXGH40N60
N-channel Insulated Gate Bipolar Transistor
*
*
LM324
linear operational amplifier
*
LF411
linear operational amplifier
*
UA741
linear operational amplifier
*
LM111
voltage comparator
*
…
*
IRF150
N-type power MOS field effect transistor
*
IRF9140
P-type power MOS field effect transistor
*
…
*
A4N25
optocoupler
*
…
*
555D
555 timer subcircuit
*
…
*-----------------------------------------------------------------* Library of bipolar transistor model parameters
*
* This is a reduced version of OrCAD's bipolar transistor model library.
* You are welcome to make as many copies of it as you find convenient.
*
* The parameters in this model library were derived from the data sheets for
* each part. Each part was characterized using the Parts option.
* Devices can also be characterized without Parts as follows:
*
*
NE, NC
Normally set to 4
*
BF, ISE, IKF
These are adjusted to give the nominal beta vs.
*
collector current curve. BF controls the mid*
range beta. ISE/IS controls the low-current
*
roll-off. IKF controls the high-current rolloff.
*
ISC
Set to ISE.
*
IS, RB, RE, RC
These are adjusted to give the nominal VBE vs.
*
IC and VCE vs. IC curves in saturation. IS
*
controls the low-current value of VBE. RB+RE
*
controls the rise of VBE with IC. RE+RC controls
*
the rise of VCE with IC. RC is normally set to 0.
*
VAF
Using the voltages specified on the data sheet
*
VAF is set to give the nominal output impedance
*
(RO on the .OP printout) on the data sheet.
*
CJC, CJE Using the voltages specified on the data sheet
*
CJC and CJE are set to give the nominal input
*
and output capacitances (CPI and CMU on the .OP
*
printout; Cibo and Cobo on the data sheet).
*
TF
Using the voltages and currents specified on the
*
data sheet for FT, TF is adjusted to produce the
*
nominal value of FT on the .OP printout.
*
TR
Using the rise and fall time circuits on the
*
data sheet, TR (and if necessary TF) are adjusted
*
to give a transient analysis which shows the
*
nominal values of the turn-on delay, rise time,
*
storage time, and fall time.
*
KF, AF
These parameters are only set if the data sheet has
*
a spec for noise. Then, AF is set to 1 and KF
Script_EL_II.doc
12
*
is set to produce a total noise at the collector
*
which is greater than the generator noise at the
*
collector by the rated number of decibels.
*
*$.model Q2N3904 NPN(Is=6.734f Xti=3 Eg=1.11 Vaf=74.03 Bf=416.4 Ne=1.259
+
Ise=6.734f Ikf=66.78m Xtb=1.5 Br=.7371 Nc=2 Isc=0 Ikr=0 Rc=1
+
Cjc=3.638p Mjc=.3085 Vjc=.75 Fc=.5 Cje=4.493p Mje=.2593 Vje=.75
+
Tr=239.5n Tf=301.2p Itf=.4 Vtf=4 Xtf=2 Rb=10)
*
National pid=23
case=TO92
*
88-09-08 bam
creation
*$
*
…
*------------------------------------------------------------------------------* Library of diode model parameters
*
* This is a reduced version of OrCAD's diode model library.
* You are welcome to make as many copies of it as you find convenient.
*
* The parameters in this model library were derived from the data sheets for
* each part. Most parts were characterized using the Parts option.
* Devices can also be characterized without Parts as follows:
*
IS
nominal leakage current
*
RS
for zener diodes: nominal small-signal impedance
*
at specified operating current
*
IB
for zener diodes: set to nominal leakage current
*
IBV
for zener diodes: at specified operating current
*
IBV is adjusted to give the rated zener voltage
*
…
**** Switching Diodes ***
*$
.model D1N4148 D(Is=2.682n N=1.836 Rs=.5664 Ikf=44.17m Xti=3 Eg=1.11 Cjo=4p
+
M=.3333 Vj=.5 Fc=.5 Isr=1.565n Nr=2 Bv=100 Ibv=100u Tt=11.54n)
*$
*
…
Bild 2.3b:
Bauteilbibliothek eval.lib (Ausschnitte)
Detaillierte Bauteilmodelle in SPICE (Simulation Program with Integrated Cirquit
Emphasis) und eine Einführung in die SPICE-Grundfunktionen sind in (Reisch 2007)
dargelegt.
Script_EL_II.doc
13
Bild 2.4:
RC-Tiefpass mit pulsförmiger Speisung
Bild 2.5:
Ergebnisausgabe mit dem PROBE-Fenster
Script_EL_II.doc
14
Analysearten:
•
Arbeitspunktanalyse (Bias-Point) mit/ohne DC-Sweep
•
Analyse im Zeitbereich - Transientenanalyse
•
Analyse im Frequenzbereich – Spektralanalyse, AC-Sweep, Rauschanalyse
•
Statistische Analyse (Monte-Carlo-Analyse)
•
Worst-Case-Analyse
•
Temperaturanalyse
Bild 2.6:
Analyse-Einstellungen (hier für die Transientenanalyse)
Script_EL_II.doc
15
3 Bauteile und Kennlinien
3.1 Diode
Bild 3.1:
Strom-Spannungs-Kennlinie einer Kleinsignaldiode
Script_EL_II.doc
16
Sperrrichtung
Bild 3.2:
Durchlassrichtung
Aufbau einer Diode
Script_EL_II.doc
17
Bild 3.3:
Einfache Ersatzschaltung
10
0
-10
-20
0s
V(D2:1,D2:2)
Bild 3.4:
100ns
-I(L1)
200ns
300ns
V(D2:1)
Time
Simulationsbeispiel Schaltverhalten am Einweggleichrichter
(Darstellung aus PROBE: View/AlternateDisplay, Window/CopytoClipboard)
Script_EL_II.doc
18
Bild 3.5:
Vollständiges Modell einer Diode
Modellparameter
Diffusionsstrom
Näherungsgleichung
⎞
⎛ nU⋅UD '
I DD = I S ⋅ ⎜ e T − 1⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
Rekombinationsstrom
⎛ UD '
⎞
I DR = I SR ⋅ ⎜ e n R ⋅U T − 1⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
Durchbruchstrom
Bahnwiderstand
Sperrschichtkapazität
Diffusionskapazität
Script_EL_II.doc
I DBR = − I BR ⋅ e
−U D ' +U BR
n BR ⋅U T
RB = RBp + RBn+ + RBn-
CS =
CDD
⎞
⎟
⎟
⎠
Durchbruch-Kniestrom IBR =100 µA
Durchbruch-Spannung UBR=100 V
Emmissionskoeffizient nBR = 1
RB = 0,6 Ohm
Null-Kapazität CS0=4 pF
Diffusionsspannung UDiff = 0,5 V
Kapazitätskoeffizient mS=0,33
CS 0
⎛
⎜1 − U D '
⎜ U
Diff
⎝
τ ⋅I
= T DD
n ⋅ UT
PSPICE-Beispiel 1N4148
Sättigungs-Sperrstrom IS = 2,68 nA
Emmissionskoeffizient n = 1,84
Temperaturspannung UT = 26mV
(temperaturabhängig UT = kT/e)
Leck-Sättig.-Sperrstrom ISR=1,57 fA
Emmissionskoeffizient nR = 2
mS
Transitzeit τT =11,5 ns
19
Simulationsbeispiel Gleichrichterschaltung:
(Brückengleichrichter mit Glättung und Last)
20V
10V
0V
-10V
-20V
0s
5ms
V(D6:2)
10ms
V(R1:2,V1:-)
15ms
20ms
25ms
Time
Script_EL_II.doc
20
30ms
35ms
40ms
45ms
50ms
3.2 Bipolar-Transistor
Bild 3.6:
Aufbau, Schaltzeichen, Schaltungsprinzip
Bild 3.7:
Kennlinienfeld am Beispiel des npn-Transistors BC107
Script_EL_II.doc
21
Bild 3.8:
Vollständiges Modell eines Transistors
Wichtigste Kenngrößen (s.a. Datenblatt Beispiel BC107oder 2N2222):
- Maximalstrom ICmax bzw. Safe Operating Area (UCE-IC-Ausgangskennlinienfeld)
- Maximale Kollektor-Emitter-Spannung UCE0
- Maximale Basis-Emitter-Spannung UBE0
- Zulässige Verlustleistung (abhängig von der Kühlung) bzw.
Sperrschicht- (Junction-) Temperatur
- Maximale Spannungs-Strombelastung aufgrund des Durchbruchs 2.Art
Script_EL_II.doc
22
50m
IB = 200 uA
40m
20m
IB = 20 uA
0
0V
IC(Q1)
2V
(15V-V_UCE)/500
4V
0.5W / V_UCE
6V
8V
10V
12V
14V
V_UCE
Bild 3.9:
Simulationsbeispiel Transistorkennlinien mit DC-Sweep
Script_EL_II.doc
23
16V
18V
20V
3.3 Feldeffekttransistor
Insulated Gate FET - MOSFET
Bild 3.10:
Sperrschicht-FET (JFET)
Aufbau, Schaltzeichen und Kennlinien von verschiedenen FET-Typen
Script_EL_II.doc
24
Bild 3.11:
Ausgangskennlinie IRF150 (Auszug aus dem Datenblatt)
Wichtigste Kenngrößen (s.a. Datenblatt Beispiel IRF150):
- Maximalstrom IDmax bzw. Safe Operating Area (UDS-ID-Ausgangskennlinienfeld)
- Maximale Kollektor-Emitter-Spannung UDSmax
- Kanalwiderstand rDS(on)
- Zulässige Verlustleistung (abhängig von der Kühlung) bzw.
Sperrschicht- (Junction-) Temperatur
Bild 3.12:
Modell des FET
Script_EL_II.doc
25
3.4 IGBT
Die Vorteile von Bipolar- und Feldeffekttransistor vereinigt ein vergleichsweise neues
Bauteil, der Insulated Gate Bipolar Transistor. Beim IGBT handelt es sich wie beim FET um
ein spannungsgesteuertes Bauelement. Der IGBT kann vereinfacht als DarlingtonSchaltung von FET und Bipolartransistor aufgefasst werden:
Bild 3.13:
Aufbau/Ersatzschaltbild und Schaltzeichen des IGBT (Lindner et al.,2008)
Besondere Eigenschaften:
• IGBT’s haben einen kleinen Widerstand im leitenden Zustand und somit im Vergleich zu
FET’s im gleichen Spannungsbereich deutlich geringere Verluste.
• Nachteilig sind die – wie beim Bipolartransistor - großen Schaltverluste beim Abschalten
(Stromschweif).
• Über die Emitter-Kollektor Strecke eines IGBT’s fällt eine vergleichsweise hohe Spannung
ab (typ. 2,3 V). Dies macht den IGBT für niedrige Betriebsspannungen uninteressant.
Somit liegt der Hauptanwendungsbereich des IGBT bei höheren Spannungen über 400 V,
hohen Leistungen und Arbeitsfrequenzen bis ca. 100 kHz.
Script_EL_II.doc
26
3.5 Betriebsarten
Schaltung
Emitterschaltung
Basisschaltung Kollektorschaltung
Eingangswiderstand re
100 Ω ... 10 kΩ
10 Ω ... 100 Ω
10 kΩ ... 100 kΩ
Ausganswiderstand ra
1 kΩ ... 10 kΩ
10 kΩ ... 100 kΩ
10 Ω ... 100 Ω
Spannungsverstärkung vU
20 ... 100 fach
100 ... 1000 fach <=1
Gleichstromverstärkung B
10 ... 50 fach
<=1
10 ... 4000 fach
Phasenverschiebung
180°
0°
0°
Temperaturabhängigkeit
groß
klein
klein
Leistungsverstärkung vP
sehr groß
mittel
klein
hoch
niedrig
Grenzfrequenz fg niedrig
Anwendungen
Bild 3.14:
NF- und HF-Verstärker, HF-Verstärker
Leistungsverstärker,
Schalter
Anpassungsstufen,
Impedanzwandler
Grundschaltungen des Bipolartransistors (www.elektronik-kompendium.de)
In Abschnitt 4.1 wird die Arbeitspunkteinstellung für die Emitterschaltung diskutiert, mit der
es gelingt, die eigentlich hoch nichtlineare Kennlinie von Transistoren für einen
Arbeitsbereich zu linearisieren. Der Transistor wird für Messaufgaben und kleine
Verstärkerleistungen als veränderlicher bzw. steuerbarer Widerstand eingesetzt. Sobald
jedoch größere Leistungen gesteuert werden sollen, erfordern die Verluste in den
Transistoren erhebliche Kühlaufwendungen.
Script_EL_II.doc
27
Pulsbetrieb:
Alternativ zum teildurchgesteuerten Betrieb kann der Transistor als Schalter eingesetzt
werden. Im leitenden Betriebszustand fällt nahezu keine Spannung am Transistor ab, d.h.
die Verluste sind gering. Im sperrenden Zustand sind keine Verluste vorhanden. Wird die
Schaltfrequenz so gewählt, dass die Abschaltzeit des Transistors wesentlich geringer als
die Pulsperiode ist, so kann über die Einschaltdauer bezogen auf die Pulsperiode eine
mittlere Spannung für einen Verbraucher vorgegeben werden.
Im Beispiel in Bild 3.15 soll ein Verbraucher (R1=50 Ohm) mit 6 V Nennspannung an einer
12V-Spannungsquelle
betrieben
werden.
Realisiert
man
dies
mit
einem
teildurchgesteuerten Transistor, an dem UCE=6V abfallen, werden 720 mW Wärmeverluste
im Transistor auftreten. Der Transistor müsste mit einem Kühlkörper versehen werden, um
diese Wärmeverluste abführen zu können. Der Wirkungsgrad der Steuerschaltung liegt hier
bei 50%.
Im Pulsbetrieb mit 5 kHz und 50% Einschaltdauer (ED 50%) / Pulsweite (PW) hingegen
sind die Schaltverluste vernachlässigbar gering. Hier könnte der Transistor frei ohne
Kühlkörper auf der Leiterplatte sitzen.
Parallelschaltung:
Eine Parallelschaltung von Bipolartransistoren, Dioden und IGBT’s ist meist kritisch, da
diese einen negativen Temperaturkoeffizienten besitzen. Dies bedeutet, dass das ohnehin
wärmere Bauteil eine noch höhere Leitfähigkeit hat und dann einen größeren Anteil am
parallel geleiteten Strom aufnimmt. Dies führt zu weiterer Erwärmung und schnell zu
Bauteilversagen. Leistungs-MOSFET’s besitzen einen positiven Temperaturkoeffizienten
und können parallel geschaltet werden.
Freilaufdiode:
Bipolartransistoren und IGBT’s sind in Rückwärtsrichtung nur begrenzt sperrfähig. Meist ist
daher bereits eine Freilaufdiode zwischen Kollektor und Emitter eingebaut, die in
Rückwärtsrichtung leitet. Bei Bedarf kann diese interne Diode durch externe Schaltdioden
mit kürzeren Schaltzeiten ergänzt werden.
Script_EL_II.doc
28
Simulationsbeispiel:
Transistor im Pulsbetrieb
20
10
0
-10
0s
V(V2:+)
100us
-I(R1)
200us
V(R1:2,R1:1)
300us
Time
Bild 3.15:
Spannungsteiler mit gepulstem Transistor
Script_EL_II.doc
29
400us
500us
3.6 Verlustleistung
Wie im PSPICE-Output-File in Bild 2.3 gezeigt, liefert die Simulation am Ende eine Angabe
über die Wärmeleistungsabgabe der gesamten Schaltung. Dies liefert erste Hinweise für
die Gehäuse- und Kühlkörpergestaltung.
Eine detailliertere Thermalanalyse (siehe Abschnitt 8) benötigt eine genauere Aufteilung
der Verluste auf die einzelnen Bauteile, um die thermischen Verhältnisse v.a. in den
Halbleiterbauelementen gezielt vorhersagen zu können. Sind diese Bauteiltemperaturen
bekannt, so kann eine erneute Simulation mit temperaturangepassten Bauteilparametern
Aufschluss über die Schaltungsfunktion im Dauerbetrieb geben.
Man unterscheidet zwischen ohm’schen Verlusten (Stromwärmeverluste an Widerständen),
Sperrschichtverlusten und Schaltverlusten.
Für die leitende Diode gilt
PV =U D ⋅ I D =U D '⋅I D + RB ⋅ I D ≈U F ⋅ I D + RB ⋅ I D
2
2
Die Verluste einer sperrenden Diode sind näherungsweise vernachlässigbar.
Bild 3.4 zeigt beispielhaft das Abschaltverhalten einer Diode. Bevor die Diode vollständig
sperrt, muss zunächst die Ladung in der Sperrschichtkapazität abgebaut werden. Hierzu
fließt ein Rückwärts-Strom (Reverse Current), der nach der Rückwärts-Erholzeit (Reverse
recovery) tRR auf unter 10% des maximalen Wertes IR abgebaut ist. In dieser Zeit sperrt die
Diode schon, d.h. es liegt eine Sperrspannung UD < 0 an der Diode an. Damit betragen die
Verluste während des Abschaltens:
t RR
WV = ∫ U D ⋅ I D dt ≈U D ⋅ I R ⋅ t RR
0
Daraus wird deutlich, dass mit hohen Schaltfrequenzen betriebene Dioden kurze
Erholzeiten aufweisen müssen (typischerweise <100ps bei schnellen Schottky-Dioden bis
zu > 1µs bei Gleichrichterdioden für Netzspannungsanwendungen). Zur Abschätzung der
mittleren Schaltverluste wird die Schaltfrequenz f benötigt:
PV ≈U D ⋅ I R ⋅ t RR ⋅ f
Bei Bipolartransistor und IGBT dominieren im statischen Betrieb die Verluste in der
Sperrschicht der Kollektordiode:
PV =U BE ⋅ I B + U CE ⋅ I C ≈U CE ⋅ I C
Für den vollständig durchgesteuerten Transistor (Schaltbetrieb) ist von einer KollektorEmitter-Spannung von UCE = 1 - 2,3 V auszugehen. Dieser Wert unterliegt jedoch einer
erheblichen Streuung und wird in den Datenblättern oft nicht angegeben. Im für
Kleinsignalverstärker typischen teildurchgesteuerten Betrieb fällt eine erheblich größere
Spannung am Transistor ab, weshalb hier die Verluste stark anwachsen.
Wie bei der Diode wird das Abschalten des Transistors durch die zunächst in den
Sperrschichtkapazitäten und den Diffusionskapazitäten abzubauenden Ladungen
verzögert. Insbesondere bei hohen Strömen nimmt die Diffusionsladung stark zu (sog.
Hochstromeffekt) und führt zu einer wachsenden Transitzeit τT. Entsprechend lange kann
es daher dauern, bis der sperrende Transistor den Stromfluss ganz unterbindet (sog.
Stromschwanz). In dieser Zeit liegt am Transistor die gesamte Sperrspannung (etwa die
Versorgungsspannung) an, was zu erheblichen Abschaltverlusten führen kann. Auch hier
sind den Datenblättern oft keine oder nur wenige Informationen entnehmbar. Bild 3.16 zeigt
das nahezu verzögerungsfreie Einschalt- und das deutlich verzögerte Abschaltverhalten
beispielhaft für einen kleinen Bipolartransistor:
Script_EL_II.doc
30
2.0
1.0
0
-1.0
0s
V(V2:+)
0.5us
-I(R1)
1.0us
1.5us
2.0us
2.5us
3.0us
Time
Bild 3.16:
„Stromschwanz“ beim schnell geschalteten Transistor 2N2222
Das Schaltverhalten beim Feldeffekttransistor hingegen ist wesentlich schneller, womit die
Schaltverluste bis hin zu sehr hohen Schaltfrequenzen im MHz-Bereich vernachlässigbar
sind. Kritischer ist hier die aufgrund der Gate-Source-Kapazität bedingte Verzögerung des
Schaltens, so dass während des Schaltvorgangs der FET im verlustreichen
teildurchgeschalteten Betrieb ist. Hier ist ein ausreichend kleiner Pull-Down-Widerstand und
eine Steuerquelle mit geringem Innenwiderstand wichtig.
Im statischen Betrieb dominieren die ohm’schen Verluste im leitenden Kanal:
PV = rDS ( on ) ⋅ I D 2
Script_EL_II.doc
31
4 Kleinsignalverstärker
4.1 Arbeitspunkteinstellung
Bild 4.1:
Emitterschaltung, Ersatzschaltbild und Verstärkung
Bild 4.2:
Arbeitspunkteinstellung mit Strom- und Spannungsgegenkopplung
Script_EL_II.doc
32
Bild 4.3:
Arbeitspunkteinstellung am Kleinsignalverstärker
Script_EL_II.doc
33
Simulationsbeispiel: Kleinsignalverstärker
400mV
0V
-400mV
0s
5ms
V(C2:2)
10ms
15ms
V(R3:1)
Time
60m
40m
20m
0
0V
IC(Q1)
5V
38.5mA - V_UCE /390
10V
V UCE
Script_EL_II.doc
34
15V
20V
4.2 OP-Grundschaltungen
Bild 4.4:
Nichtinvertierende Grundschaltung
Bild 4.5:
Invertierende Grundschaltung
Script_EL_II.doc
35
Bild 4.6:
Summierer
Bild 4.7:
Integrator
Bild 4.8:
Differenzierer
Script_EL_II.doc
36
4.3 Anwendungsbeispiel: Strommessung
Sie wollen einen hohen Strom (z.B. bei einem Servomotor) von bis zu 100 A messen. Dazu
kann man in Reihe zum Servomotor einen kleinen Messwiderstand einschalten (sog.
Shunt-Widerstand).
a) Wenn am Shunt nur 10 W Verluste zulässig sind, welchen Widerstand Rshunt sollte
der Shunt dann haben?
b) Entwerfen Sie eine geeignete Verstärkerschaltung mit einem OP, um die kleine
Spannung Ushunt in eine Ausgangsspannung für ein Drehspulvoltmeter (Skalierung:
10 V entsprechen 100 A) umzuwandeln.
Æ Tafelanschrieb
Script_EL_II.doc
37
5 Filterschaltungen
Filter sind Schaltungen (Vierpole) mit vorgeschriebenem Frequenzgang, die bestimmte
Frequenzbereiche unterdrücken (Sperrbereiche) und andere bevorzugt übertragen
(Durchlassbereiche). Man unterscheidet analoge Filter und zeitdiskrete Filter. Im Rahmen
dieser Vorlesung soll nur auf analoge aktive RC-Filter eingegangen werden, da diese
vergleichsweise einfach zu berechnen sind und eine rückwirkungsfreie Kombination von
Teilfiltern ermöglichen. Sie eignen sich daher sehr für Laboraufbauten im Rahmen von
Forschungsprojekten.
Bezüglich zeitdiskreter Filter sei auf die Literatur zu digitalen Filtern (FIR/IIR-Filter) und
Abtastfilter (SC, CCD-Filter) verwiesen.
5.1 Theoretische Grundlagen
U
R
R
U
C
e
Bild 5.1:
a
U
e
R
C
R
U
C
U
a
L
C
e
U
Einfache passive Tiefpässe 1. und 2. Ordnung
0
-50
-100
DB(V(R1:2)/V(V4:+))
0d
-100d
SEL>>
-200d
100mHz
300mHz
P(V(R1:2)/V(V4:+))
1.0Hz
3.0Hz
10Hz
Frequency
Bild 5.2:
Frequenzgang (Bode-Diagramm)
Script_EL_II.doc
38
30Hz
100Hz
300Hz
1.0KHz
a
Filter werden neben der Frequenzgangcharakteristik auch durch das Sprungantwortverhalten beschrieben:
•
•
Anstiegszeit
Verzögerungszeit
1.0V
0.5V
0V
0s
V(R1:2)
100ms
V(V1:+)
200ms
300ms
400ms
500ms
Time
Bild 5.3:
Anstiegs- und Verzögerungszeit am sprungförmig angeregten Tiefpass 2.
Ordnung
Script_EL_II.doc
39
Die allgemeine normierte Übertragungsfunktion
K
(5.1)
G ( jω ) =
2
2 ⎞
⎞ ⎛
⎛
ω
ω
ω
ω
⎜1 + j ⋅ a1 ⋅
− b2 ⋅ 2 ⎟ ⋅ ....
− b1 ⋅ 2 ⎟ ⋅ ⎜1 + j ⋅ a2 ⋅
⎟ ⎜
⎜
ω
ω
ω
ω g ⎟⎠
g
g
g ⎠ ⎝
⎝
bildet die Berechnungsgrundlage für Tiefpassfilter. Für Hochpassfilter folgt analog:
K
(5.2)
G ( jω ) =
2
2
⎛
⎞ ⎛
⎞
ω
ω
ω
ω
g
g
g
g
⎜1 + j ⋅ a1 ⋅
− b1 ⋅ 2 ⎟ ⋅ ⎜1 + j ⋅ a2 ⋅
− b2 ⋅ 2 ⎟ ⋅ ....
⎜
⎟ ⎜
ω
ω
ω
ω ⎟⎠
g
⎝
⎠ ⎝
Übertragungsfunktionen mit rein reellen Polen können mit passiven RC-Filtern realisiert
werden, komplexe Pole erfordern RLC- oder aktive Filterschaltungen.
Bandpässe und –sperren können entweder durch Verkettung von Hoch- und Tiefpässen
realisiert werden oder durch folgende Übertragungsfunktionen als Berechnungsgrundlage:
⎛
ω 2 ⎞⎟
ω
⎜
⋅
−
K
1
K ⋅D⋅ j⋅
⎜ ω2⎟
ωr
r ⎠
⎝
(5.3)
G ( jω ) =
G ( jω ) =
2
⎛
⎛
ω ω ⎞
ω ω2 ⎞
⎜1 + j ⋅ D ⋅
⎜1 + j ⋅ D ⋅
− 2 ⎟⎟
− 2 ⎟⎟
⎜
⎜
ω
ω
ω
ωr ⎠
r
r
r ⎠
⎝
⎝
Dabei bestimmt der Dämpfungsfaktor D (Kehrwert des Gütefaktors Q) die Bandbreite.
Script_EL_II.doc
40
5.2 Aktive Filterschaltungen
Für Tiefpassfilter mit komplexen Polen wurden verschiedene „optimierte“ Frequenzgangcharakteristiken entwickelt. Die wichtigsten sind:
•
Krit. Dämpfung (Reihenschaltung entkoppelter Tiefpässe)
•
Bessel (optimales Rechteckübertragungsverhalten)
•
Butterworth (horizontaler Betragsfrequenzgang, wirksamer Sperrbereich)
•
Tschebyscheff (welliger Betragsfrequenzgang, sehr wirksamer Sperrbereich)
Insbesondere bei höherer Ordnung haben Butterworth- und Tschebyscheff-Filter einen
wesentlich steileren Abfall der Verstärkung im Sperrbereich. Die dazugehörigen
Filterkoeffizienten sind bis zur 4. Ordnung in der nachfolgenden Tabelle 5.1 angegeben.
Koeffiziententabellen für Filter höherer Ordnung sind in (Tietze/Schenk 2002) gegeben.
Tabelle 5.1: Filterkoeffizienten, aus (Lindner et al. 2008)
Script_EL_II.doc
41
Bild 5.4:
Aktiver Tiefpass/Hochpass 1. Ordnung (Gegenkopplung)
Script_EL_II.doc
42
5.3 Anwendungsbeispiel: Tiefpass 2. Ordnung
Bild 5.5:
Aktives Tiefpassfilter 2. Ordnung mit Mehrfachgegenkopplung
Script_EL_II.doc
43
6 Regler- und Meßschaltungen
6.1 Elektronischer PID-Regler
Bild 6.1:
PID-Regler
Bild 6.2:
PID-Regler mit entkoppelt einstellbaren Koeffizienten
Script_EL_II.doc
44
6.2 Meßschaltungen
Instrumentierungsverstärker
Bild 6.3:
Subtrahierer mit vorgeschalteten Impedanzwandlern
Script_EL_II.doc
45
6.3 Anwendungsbeispiel: PI-Analogregler
Æ PSPICE-Beispiel
Script_EL_II.doc
46
7 Leistungsverstärker
7.1 Gleichstromverstärker
Bild 7.1
Emitterfolger im A-Betrieb
Bild 7.2
Komplementärer Emitterfolger im B-Betrieb
Bild 7.3
Erhöhung des Ausgangsstroms am OP
Script_EL_II.doc
47
7.2 Umrichter für Drehfeldmotoren
M o to r
P r in z ip s c h a ltb ild :
F
T
2 3 0 V
C
Z
3
T
5
U
T
4
T
6
M o to rk a b e l
T
1
S te rn p u n k t
P h a s e 3
b
N
P h a s e 1
Z
T
2
T
V e rs o rg u n g s m o d u l
P h a s e 2
1 ..6
K o m m u tie r u n g s a u to m a t, P W M
U
T
K
Is ts tro m e r m ittlu n g
j
s o ll
n i
S ta to r
R o to r p o s itio n s e rfa s s u n g
S tro m r e g le r
p i
R o to r
S
I
I s o l+l
M
s o ll
1 /K
L e is tu n g s m o d u l
M
P h y s ik a lis c h e s M o d e ll:
L e is tu n g s m o d u l
M o to r
R e lu k ta n z
1 /K
M
K
M
p i
,T
n i
T
to t
U
R
U
s o ll
S tro m r e g le r
Bild 7.2:
M
Z
P W M
Z w is c h e n k r e is S p a n n u n g
U
L
I
U
L
M
w , j
J
i
M
R
Prinzipschaltbild und physikalisches Modell der elektronisch kommutierten
permanentmagnetisch erregten Synchronmaschine (EC-Motor)
Script_EL_II.doc
48
7.3 Anwendungsbeispiel: MOS-FET-Fahrtenregler
12
8
4
0
-4
0s
-I(R1)
0.2ms
V(L1:2,R3:1)
0.4ms
V(R2:2)
0.6ms
0.8ms
1.0ms
1.2ms
1.4ms
1.6ms
1.8ms
2.0ms
Time
710mV
400mV
0V
-264mV
1.0200ms
1.0122ms
VD(M1)
VG(M1)
1.0400ms
1.0600ms
1.0800ms
Time
Script_EL_II.doc
49
1.1000ms
1.1200ms
1.1328ms
8 Thermalanalyse
Um sicherzugehen, dass die Schaltung im vorgesehenen Betrieb nicht durch Überhitzung
ausfällt oder sich unter Temperatureinfluss der elektrische Betriebspunkt nicht unzulässig
verschiebt, muss auch das thermische Verhalten für eine kostenoptimale und zuverlässige
Schaltungsdimensionierung betrachtet werden. Diese Fragestellung kann - wenn sie nicht
messtechnisch an geeigneten Prototypen untersucht werden kann – mit einem ausreichend
detaillierten thermischen Modell beantwortet werden. Hier kann der Wärmefluss durch eine
weitgehende Diskretisierung von Bauteilen in thermische Widerstände und Kapazitäten
recht anschaulich und mit ausreichender Genauigkeit beschrieben werden. Die
thermischen Zeitkonstanten von Kühlkörpern und Gehäusebauteilen liegen meist mehrere
Größenordnungen über den elektronischen Zeitkonstanten. Hier kann die Erwärmung mit
vergleichsweise geringem Aufwand aus der statischen Betrachtung des thermischen
Netzwerkes gewonnen werden (statische Modellierung).
Vereinzelt stellt sich neben dem Temperaturverhalten im Verharrungszustand die Frage
nach dem zeitlichen Einschwingverhalten („Wärmegang“). Daher steht hier die dynamische
Modellierung im Vordergrund.
Die Analyse anhand eines Mehrkörpermodelles ist mit deutlich weniger Zeitaufwand
machbar als die messtechnische Untersuchung von Prototypen oder eine detaillierte
thermische FE-Analyse. Allerdings erfordert die Modellierung mit diskreten Teilkörpern
Vereinfachungen, deren Randbedingungen bei jeder Anwendung zu überprüfen und
gegebenenfalls anzupassen sind.
Zur Erhöhung der Modellsicherheit ist zumindest ein Plausibilitätstest mit Hilfe der FEM
anhand eines Lastfalles oder eine messtechnische Validierung anhand geeigneter
(verwandter) Prototypen wünschenswert.
8.1 Grundlagen der Thermalanalyse
Die thermische Modellbildung folgt dem 4-stufigen Phasenplan gemäß (Zirn und Weikert,
2005):
1 Vorgaben sammeln
Die wesentlichen Vorgaben zur thermischen Modellbildung sind:
• Ort und Zeitverlauf der in das System eingebrachten thermischen Leistungen (z.B.
Verlustleistungen von Transistoren, Widerständen, ...);
• Ort und Zeitverlauf der aus dem System abgeführten thermischen Leistungen (z.B.
Kühlwasserkreisläufe, Umgebungsluft, Klimatisierung,...);
• Materialdaten, Massen und geometrische Maße der Systemkomponenten (z.B.
spezifische Wärmekapazität, spezifischer Wärmeleitwert, thermisch wirksame Längen,
Querschnittsflächen, ...);
Vereinzelt ist der Wärmeübergangswiderstand sowie die thermische Zeitkonstante in den
Produktunterlagen von Bauteilen angegeben. Aufgrund der unterschiedlichen möglichen
Einbauverhältnisse vermeiden die Hersteller diese Angaben jedoch oft. Im Anhang A sind
die wichtigsten thermischen Stoffdaten tabellarisch aufgeführt. Ausführliche Kennzahlen
und
Berechnungshinweise
für
technisch
relevante
Oberflächengeometrien,
Strömungsverhältnisse und Medien sind im VDI-Wärmeatlas (VDI 2002) zusammengefasst.
Script_EL_II.doc
50
Material/Stoff
Dichte
ρ in kg/m3
Luft
1,293 (bei 0°/1bar)
Wasserstoff (H2) 0,09 (bei 0°/1bar)
Wasser
1000
Eis
920
Öl
910
Aluminium
2700
Beton
1800 .. 2200
Eisen (rein),
7870
Stahl
Gußeisen
7250
Glas
2400 .. 2700
Holz (lufttrocken) 200 .. 720
Kupfer
8960
Polystyrol
1050
Hartschaum
-Ziegel (trocken) >1900
Zinn
7290
Wärmeleitfähigkeit
λ in W/(m. K)
0,026 .. 0,034
0,18
0,060
2,3
0,13
204
1
81
Wärmekapazität
c in J/(kg.K)
1000
14240
4180
2,09
2090
940
880
465
58
0,81
0,06 .. 0,17
384
0,17
0,04
1
66
500
830
210 .. 290
390
1300
-900
240
Tabelle 8.1: Thermische Materialdaten
absolut schwarzer Körper
Dachpappe
Ziegelsteine
Schwarzer Mattlack
Heizkörperlack, Buchenholz
Stahl verrostet / poliert
Kupfer, poliert
Aluminium, poliert
absolut weisser Körper
ε=1
ε=0,91
ε=0,92
ε=0,97
ε=0,93
ε=0,85/0,26
ε=0,03
ε=0,04
ε=0
Tabelle 8.2: Emissions-/Absorptionskoeffizienten von Oberflächen (Herr 1994)
2 Wirkzusammenhänge ergründen
Zur anschaulicheren Darstellung der thermischen Wirkzusammenhänge sollen zunächst die
Mechanismen der Wärmeleitung in Medien, des Wärmeübergangs an Oberflächen und der
Wärmespeicherung erläutert werden:
• Wärmeleitung in Medien:
Der Wärmetransport in einem zylinderförmigen Bauteil hängt von dessen Geometrie
(Querschnittsfläche A und Länge L) sowie vom Material des Bauteils ab. Aus
Materialtabellen (z. B. Anhang C) kann der spezifische Wärmeleitwert λ von technischen
Stoffen entnommen werden:
L
R
A
J
P
P
J
1
J
J
1
C
1 0
J
1 0
= J 1- J
0
0
Bild 8.1. Wärmeleitung in Medien, Wärmewiderstand
Script_EL_II.doc
51
0
A
A
(8.1)
⋅ (ϑ1 − ϑ0 ) = λ ⋅ ⋅ ϑ10
L
L
Analog zum elektrischen Widerstand wird die Eigenschaft von Bauteilen, den
Wärmeleistungstransport nur bei einer Temperaturdifferenz zuzulassen (zweiter Hauptsatz
der Thermodynamik), durch den thermischen Widerstand R beschrieben:
ϑ
1 L
(8.2)
R = 10 = ⋅
P λ A
Gl. (8.2) wird auch als das "Ohm'sche Gesetz der Wärmeleitung" bezeichnet.
P=λ⋅
• Wärmeübergang an Grenzflächen
Grenzflächen sind Übergänge von festen Bauteilen zu umgebenden Medien (z.B. Luft, Öl,
Wasser). Der Wärmetransport an solchen Grenzflächen kann den Effekten
Wärmestrahlung und Konvektion beschrieben werden:
Wärmestrahlung:
Der wärmere Körper strahlt mehr Wärme an das kältere umgebende Medium ab als das
kältere Medium in den wärmeren Körper und umgekehrt, so dass ein Wärmetransport
durch Strahlung auch bei umgebendem Vakuum funktioniert (Dobrinski 1996).
Wärmestrahlen sind elektromagnetische Wellen und damit nicht an ein
Übertragungsmedium gebunden. An der Oberfläche des Körpers mit höherer Temperatur
wird Wärmeenergie in Strahlungsenergie (Photonen) umgewandelt (Emission). An der
Oberfläche des Körpers oder Mediums mit niedrigerer Temperatur wird die
Strahlungsenergie in Wärmeenergie umgewandelt (Absorption). Emission und Absorption
hängen von der Beschaffenheit (v.a. der Farbe) der strahlenden Oberfläche ab. Gleich
beschaffene (gleichfarbige) Oberflächen besitzen identische Absorptions- und Emissionseigenschaften.
Für die abgestrahlte Wärmeleistung gilt:
P = ε ⋅ σ ⋅ A ⋅ ϑ14 − ϑ0 4
(8.3)
(
mit
ε
σ
ϑ1
ϑ0
)
- Emissions-/Absorptionskoeffizient (siehe Anhang C)
- Strahlungskonstante (5,67.10-8 W/(K4.m2))
- Temperatur der Oberfläche (absolut in K)
- Umgebungstemperatur (absolut in K)
Führt man anstelle der Temperatur ϑ1 die Temperaturdifferenz ϑ10=ϑ1-ϑ0 ein, so kann für
Umgebungstemperaturen im Bereich der Raumtemperatur (ϑ0= 273 .. 313 K) folgende
Vereinfachung für Gl. (8.3) angegeben werden:
P = ε ⋅ σ ⋅ A ⋅ (ϑ0 + ϑ10 )4 − ϑ0 4 ≈ 4 ⋅ ε ⋅ σ ⋅ A ⋅ ϑ0 3 ⋅ ϑ10
(8.4)
Die abgestrahlte Leistung ist somit näherungsweise proportional zur Temperaturdifferenz.
Daraus folgt für das flächenbezogene Wärmestrahlungsvermögen αs:
P
αS =
≈ 4 ⋅ ε ⋅ σ ⋅ A ⋅ ϑ0 3
(8.5)
A ⋅ ϑ10
Oberflächen mit beschichteter, matter Oberfläche besitzen Emissionskoeffizienten in der
Größenordnung von ε ≅ 0,9 (Anhang C). Damit ergibt sich ein typischer Wert für αs von ca.
5 W/(K.m2). Das Strahlungsvermögen polierter, glänzender Oberflächen ist deutlich kleiner
und kann oft vernachlässigt werden.
(
Script_EL_II.doc
)
52
P
G re n z s c h ic h t
G r e n z flä c h e
A
M e d iu m
J 0
J
J
d
1 0
= J 1- J
1
0
Bild 8.2: Wärmeübergang an einer Grenzschicht
Konvektion:
Das an der Grenzfläche vorbeiströmende Medium nimmt Wärmeleistung vom wärmeren
Körper ab oder erwärmt ihn, wenn er kälter als das umgebende Medium ist. Man
unterscheidet hierbei
- freie Konvektion, d.h. die am
Körper erwärmte Luft steigt aufgrund des
Dichteunterschiedes auf und erzeugt so einen laminaren Kühlluftstrom, sowie
- erzwungene Konvektion, d.h. das Medium wird z.B. durch Lüfter oder Umwälzpumpen
bewegt. Besonders effizient ist die Kühlung, wenn eine turbulente Konvektion erzwungen
wird. Anschaulich betrachtet berühren bei großer Strömungsgeschwindigkeit mehr kühle
Fluid- oder Gasteilchen die Oberfläche und verbessern damit den Wärmeübergang.
Der Wärmeübergang an der Grenzschicht zwischen Oberfläche und vorbeiströmendem
Medium kann durch die zuvor bereits erläuterte Wärmeleitung beschrieben werden:
ϑ
A
P = 10 = λ ⋅ ⋅ ϑ10 = α K ⋅ A ⋅ ϑ10
(8.6)
R
δ
Das flächenbezogene Wärmeabfuhrvermögen
αK =
λ
λ
= Nu ⋅
δ
L
(8.7)
ist somit abhängig von der Wärmeleitfähigkeit λ des Mediums und der Breite δ der
Grenzschicht. Die Grenzschichtbreite ist von der Strömungsgeschwindigkeit, der
Strömungsart und den geometrischen Abmessungen (charakteristische Länge oder Breite
L) der das Medium führenden Kanäle abhängig. Hierzu wird die sogenannte Nußelt-Zahl
Nu eingeführt. Ausführliche Kennzahlen und Berechnungshinweise für technisch relevante
Oberflächengeometrien, Strömungsverhältnisse und Medien sind im VDI-Wärmeatlas (VDI
2002) zusammengefasst. In Tabelle 2.2 sind daraus einige praktische Näherungswerte und
Handformeln für die Berechnung des Wärmeabfuhrvermögens durch Konvektion
zusammengestellt:
Script_EL_II.doc
53
Medium
(Strömungsgeschwindigkeit v in
m/s)
Wasser (v>0)
Luft, Gase (v=0)
Luft, Gase (v>0)
Wärmeabfuhrvermögen αk
durch Konvektion in W/(K.m2)
580 + 2100 . v1/2
2 .. 10
2 + 12 . v1/2
Tabelle 8.3 Näherungswerte für das Wärmeabfuhrvermögen durch Konvektion
Die Berechnung genauer Werte über die oben angegebenen Näherungsformeln hinaus ist
aufwändig, hier sind Messungen und Erfahrungen mit vergleichbaren Anordnungen
zielführender.
Beide Effekte – Strahlung und Konvektion – werden im spezifischen Wärmeabfuhrvermögen von Oberflächen α zusammengefasst:
P
(8.8)
A ⋅ ϑ10
Dabei ist P die über die Grenzfläche transportierte Leistung, A der Flächeninhalt der
Oberfläche und ϑ10 die Temperaturdifferenz zwischen Oberfläche und umgebendem
Medium.
Bei freier Konvektion in Luft kann ein Daumenwert von α = 15 W/(m2.K) angesetzt werden
(ca. 1/3 Strahlung, 2/3 Konvektion). Bei erzwungener Konvektion werden je nach
Strömungsgeschwindigkeit, -art oder Kühlmedium wesentlich höhere Werte erreicht
(α = 20..15000 W/(m2.K)). Somit lohnt sich die Zwangsbelüftung aus thermischer Sicht
immer, da hier auch bei kleinen Oberflächen erhebliche Wärmeleistungen abgeführt
werden können.
Analog zum elektrischen Widerstand wird die Eigenschaft von Grenzflächen, den
Wärmeleistungstransport nur bei einer Temperaturdifferenz zuzulassen, ebenfalls durch
den thermischen Widerstand beschrieben:
ϑ
1
(8.9)
R = 10 =
P α⋅A
Man nennt den Daumenwert für Strahlung und freie Konvektion auch
"Kachelofenkonstante", weil damit die Wärmeabgabe von Kachelöfen und anderen
flächigen Raumheizungen (z.B. auch unbelüftete Kühlkörper in der Elektronik) recht
anschaulich und ausreichend genau beschrieben werden kann:
α = αS + αK =
α = 15 W/(m2.K) bedeutet, dass eine Oberfläche von 1 m2, die um 1 K wärmer als die
Umgebungsluft ist, etwa 15 W Wärmeleistung an diese Umgebung abgibt.
Script_EL_II.doc
54
• Wärmekapazität
Die Fähigkeit eines Körpers, Wärmeenergie W zu speichern, hängt von seiner Masse m
sowie von seiner materialspezifischen Wärmekapazität c und der Temperaturdifferenz ϑ10
ab, mit der der Körper thermisch "aufgeladen" wurde. Aus Materialtabellen (z.B. Anhang C)
kann die spezifische Wärmekapazität von technischen Stoffen entnommen werden:
W = ∫ P( t ) dt = c ⋅ m ⋅ (ϑ1 − ϑ0 ) = c ⋅ m ⋅ ϑ10
(8.10)
C
P
J
J
1
J
1 0
= J 1- J
0
0
Abb. 8.3. Wärmekapazität
Analog zur elektrischen Kapazität wird die Eigenschaft von Bauteilen, Energie bei
Erwärmung zu speichern, durch die thermische Kapazität – oder Wärmekapazität - C
beschrieben:
W
C=
= c⋅m
(8.11)
ϑ10
dϑ10
d (ϑ1 − ϑ0 )
(8.12)
=C⋅
dt
dt
Gl. (2.24) beschreibt den Wärmetransport an einer Wärmekapazität, der nur bei einer
zeitlich veränderlichen Temperaturdifferenz stattfindet.
P=C⋅
Die Analogie zwischen elektrischem Stromfluss und thermischem Wärmeleistungsfluss legt
es nahe, die analytische Beschreibung von elektrischen Netzwerken auf thermische
Netzwerke zu übertragen. Man kann thermische Zusammenhänge sehr anschaulich durch
ein Ersatzschaltbild als physikalisches Modell beschreiben.
Das einfachste thermische System ist ein Körper, der durch seine Wärmekapazität, zwei
Wärmewiderstände und eine in den Körper eingebrachte Wärmeleistung beschrieben wird.
Analog zur Punktmasse in der Mechanik spricht man hier von einer thermischen
Punktmasse, deren räumliche Ausdehnung als sehr klein angenommen werden kann.
Wärmetransportvorgänge innerhalb des Körpers sind sehr schnell, so dass von einer
konstanten Temperatur im gesamten Körper ausgegangen werden kann. Der Körper ist
somit ein Temperaturknoten:
L e is tu n g s flu s s :
p h y s ik a lis c h e s M o d e ll:
P
z u g e fü h r te L e is tu n g
P 1
1
P
R
1 2
U m g e b u n g s lu ft J
0
55
1 2
J
1 0
1 0
1 0
Bild 8.3: Thermisches Einmassenmodell, Ersatzschaltbild
Script_EL_II.doc
P
J
U m g e b u n g s lu ft J
1 0
1 2
1
C
1 0
P
P
R
J
b e n a c h b a rte r
K ö rp e r J 2
J
1
0
- "E rd k n o te n "
2
Der Widerstand R10 beschreibt die Wärmeabgabe P10 der Punktmasse über die Oberfläche
an die Umgebung. Ist ein Körper gegenüber der Umgebung gut isoliert, so nimmt R10 sehr
große Werte an oder kann gegebenenfalls auch im Netzwerk weggelassen werden.
Der Widerstand R12 beschreibt den Wärmetransport P12 zu einem benachbarten Körper
(Temperaturknoten 2). Für eine räumliche Anordnung kann ein Wärmetransport an mehrere
benachbarte Körper erfolgen.
Die Wärmekapazität wird immer auf den Knoten 0 der Umgebungsluft oder des
umgebenden Kühlmittels bezogen. Dies kann einfach veranschaulicht werden, wenn man
davon ausgeht, dass ein Körper mit Umgebungstemperatur keine Wärmeenergie –
bezogen auf die Umgebung – mehr speichert. Damit ist die Temperaturdifferenz eines
Körpers zum kalten Zustand (also der Umgebungstemperatur) der für die gespeicherte
Wärmeenergie relevante Parameter.
In Anlehnung an elektrische Schaltungen wird die Umgebungsluft auch oft als "Erdknoten"
bezeichnet 1 .
P
K n o te n m
R
m
J
R
K n o te n j
P
J
i0
R
R
i
K n o te n i
J
i
i0
C
J
0
i0
P
J
ij
R
jm
R
j
ij
J
j
j0
C
J
0
R
j0
m
J
J
K n o te n n
m n
m 0
m 0
0
jk
J
C
m n
K n o te n k
jk
R
jp
P
K n o te n p
R
R
p
J
p
C
p 0
J
p 0
J
p q
K n o te n q
p q
0
Bild 8.4: Thermisches Mehrmassenmodell, Ersatzschaltbild
Interessieren die Wärmetransportvorgänge in einem Körper oder ist ein System räumlich
verteilt, aus verschiedenen Materialien aufgebaut oder wird von verschiedenen Punkten
Wärmeleistung zu- bzw. abgeführt, so kann dies durch eine Verkettung von thermischen
Einmassensystemen
angenähert werden. Daraus entsteht ein diskretisiertes
Mehrmassenmodell (Bild 8.4) des eigentlich räumlich verteilten Systems.
Als Wärmequellen treten die in Abschnitt 3.6 diskutierten Verluste der Halbleiterbauteile
sowie ggf. weitere Verlustleistungen von Wicklungswiderständen, Leistungswiderständen
oder Motoren auf.
1 Bei streng physikalischer Betrachtung müsste als Erdknoten für die Wärmekapazitäten der absolute
Nullpunkt ϑ0’= 0 K =-273°C gewählt werden, da ein Körper erst bei dieser Temperatur keine Wärmeenergie
mehr besitzt. Man „erkauft“ sich den ersparten zusätzlichen Erdknoten u.U. durch – physikalisch sinnlose –
negative Wärmeenergien in Kapazitäten, die kühler als die Umgebungsluft sind.
Script_EL_II.doc
56
Analog zu elektrischen Netzwerken gelten im thermischen Netzwerk gemäß Abb. 2.11 die
Kirchhoff’schen Regeln, d.h. die Summe aller in einen Knoten einfließenden Leistungen ist
Null:
(8.13)
∑ Pk = 0
k
Weiterhin muss die Summe aller Temperaturdifferenzen in einer Masche Null sein:
(8.14)
∑ϑk = 0
k
Dabei gilt für die Leistung Pij, die zwischen den Knoten i und j transportiert wird das
"Ohm'sche Gesetz" der Wärmeleitung:
1
Pij =
⋅ ϑij
(8.15)
Pij
3 Quantitatives Modell
Die Anwendung der Knotenregel Gl. (8.13) auf jeden Knoten ergibt mit Gln. (8.12) und
(8.15) die Differentialgleichung in Laplace-transformierter Form 2 :
⎛ Po ⎞ ⎛ 1 /R11 + 1 /R12 + ..
⎜ ⎟ ⎜
− 1 /R21
⎜ P1 ⎟ ⎜
=
⎜ :⎟ ⎜
:
⎜ ⎟ ⎜
⎜P ⎟ ⎜
− 1 /Rn 1
⎝ n⎠ ⎝
⎛ C10
⎜
⎜ 0
+ s ⋅⎜
:
⎜
⎜ 0
⎝
bzw.
P = G ⋅ϑ + s ⋅ C ⋅ϑ
mit
P
n
G
C
ϑ
:
− 1 /R1 n
⎞
⎟ ⎛ ϑ10 ⎞
⎟
:
:
⎟ ⎜
:
⋅
⎟
⎟ ⎜
:
:
⎟ ⎜⎝ϑn0 ⎟⎠
: 1 /Rnn + 1 /Rn 1 + ..⎟⎠
: 0 ⎞
⎟ ⎛ ϑ10 ⎞
⎟
: : ⎟ ⎜
:
⋅
⎟
⎜
: : ⎟ ⎜
⎟ ⎝ϑn0 ⎟⎠
: Cn 0 ⎟⎠
(8.16)
- Leistungsvektor
- Anzahl diskreter Teilkörper
- Leitwertmatrix
- Kapazitätsmatrix
- Temperaturvektor
Dabei sind in den Diagonalelementen 1/Rii alle am Knoten i angeschlossenen Leitwerte
aufaddiert.
2 Die Herleitung der Differentialgleichung erfolgt analog zur Herleitung des Bader-Schemas zum
Knotenpotentialverfahren für komplexe elektrische Netzwerke (Führer et al. 1997)
Script_EL_II.doc
57
4 Gleichungen aufbereiten
Aus Gl. (16) ergibt sich für s→0 ein Gleichungssystem zur direkten Berechnung des
thermischen Beharrungszustandes, welches zu Beginn dieses Abschn.s als statisches
Modell bezeichnet wurde:
ϑ = R −1 ⋅ P
(8.17)
Die Zustandsdarstellung eignet sich besonders bei thermischen Modellen, die aus vielen
Teilkörpern aufgebaut werden und bei denen im Wesentlichen nur die Temperaturverläufe
von Interesse sind. Sie ist in vielen Simulationswerkzeugen sehr effizient zu
implementieren:
s ⋅ϑ = A ⋅ϑ + B ⋅ P
(8.18)
mit der Zustandsmatrix
A = −C −1 ⋅ G
(8.19)
und der Eingangsmatrix
B = C −1
(8.20)
Script_EL_II.doc
58
8.2 Thermalanalyse elektronischer Schaltungen
Das thermische Verhalten elektronischer Schaltungen kann hinreichend genau mit dem in
Bild 8.5 dargestellten 3-Körpermodell (Sperrschicht – Bauteilgehäuse – Kühlkörper)
beschrieben werden:
Bild 8.5:
3-Körper-Modell Leistungshalbleiter-Kühlkörper
Zunächst werden die Verluste im interessierenden Betriebspunkt ermittelt (siehe Abschnitt
3.6). Da die thermischen Zeitkonstanten von Halbleiterschaltungen meist deutlich höher als
die Periodendauer von Schaltvorgängen sind, genügen hier zeitliche Mittelwerte der
Verlustleistungen.
Das Netzwerk in Bild 8.5 kann nun wie folgt modelliert werden:
Script_EL_II.doc
59
Übungsfragen
Übung 8.1:
Ein Feldeffekttransistor eines Netzgerätes erzeugt im Schaltbetrieb eine elektrische
Verlustleistung von P = 20 W. Zur Wärmeabfuhr soll ein Aluminiumgehäuse (10 cm Länge,
5 cm Breite, 3 cm Höhe, 2 mm Wanddicke) als Kühlkörper eingesetzt werden. Das
Gehäuse wird nicht zwangsbelüftet. Aus elektrischen Gründen ist der Transistor mit einem
Glimmerplättchen vom Gehäuse isoliert. Durch die Verwendung von Wärmeleitpaste
können die Übergangswiderstände zwischen Transistorgehäuse und Glimmerplättchen
sowie zwischen Glimmerplättchen und Gehäuse vernachlässigt werden. Das
Glimmerplättchen sei zunächst als so dünn anzusehen, dass sein Wärmewiderstand
ebenfalls vernachlässigbar klein wird.
Aus dem Datenblatt des Transistors kann noch die Wärmekapazität inklusive Gehäuse von
CT=2,5 J/W sowie der Wärmewiderstand zwischen Gehäuse und Halbleiter RT= 3 K/W
entnommen werden.
Modellieren Sie das System und simulieren Sie das transiente thermische Verhalten, d.h.
den Zeitverlauf der Bauteiltemperatur sowie der Gehäusetemperatur. Halten Sie die dabei
auftretenden Werte noch für angemessen?
Übung 8.2:
Aufgrund eines Montagefehlers wurden anstelle der dünnen Glimmerplättchen dickere
Plättchen mit LG=1 mm Dicke eingebaut, womit der thermische Widerstand der Plättchen
nicht mehr vernachlässigbar ist. Die Montagefläche mit der der Transistor auf dem
Glimmerplättchen aufliegt ist ca. AG=2 cm2. Die Leitfähigkeit von Glimmer beträgt ca.
λG=0,7 W/(m.K). Schätzen Sie ab, wie warm der Transistor jetzt wird.
Script_EL_II.doc
60
Lösungen zu den Übungsfragen
zu Übung 8.1:
Bei vernachlässigbar kleinem Wärmewiderstand zwischen Transistorgehäuse und
Kühlkörper können das Transistorgehäuse und der Kühlkörper zu einem Teilkörper
zusammengefasst werden.
Die spezifische Wärmekapazität des Alu-Gehäuses mit der Masse mAlu=100 g beträgt:
CAlu = cAlu . mAlu = 940 J/(kg.K).0,1 kg = 94 J/K
Die gesamte Oberfläche des Gehäuses ist OAlu=190 cm2, daraus folgt für den
Wärmeübergangswiderstand an die Umgebungsluft: R10 = 1/(OAlu . α) = 3,5 K/W
Der Wärmeleitungswiderstand durch das Aluminiumgehäuse ist aufgrund der sehr großen
Wärmeleitfähigkeit von Aluminium (λAlu=204 W/(K.m)) vernachlässigbar klein.
Die gesamte Wärmekapazität von Transistorgehäuse und Kühlkörper beträgt somit:
C10 = CAlu +CT = 96,5 J/K
P2
Das Ersatzschaltbild kann dann gemäß Abb. 1.1
R12
ϑ1
folgendermaßen dargestellt werden:
ϑ2
ϑ2 ist die Temperatur im Halbleiter des
Transistors,
ϑ1 ist die Kühlkörpertemperatur.
Weiter gilt:
sowie
und
R10
ϑ10
P10
R12 = RT= 3 K/W
P2 = 20 W
ϑ0= 20 °C
Script_EL_II.doc
C10
Umgebungsluft ϑ0 – "Erdknoten"
61
ϑ20
% Kuehlkoerper1_dat.m
Matlab-Script-Datei zur Simulation des
%
thermischen Verhaltens eines
%
Transistors an einem Kühlkörper
%
Zirn 30.10.03
clear all % alle Variablen löschen
% Modellparameter des thermischen Modells
R10=3.5;
% K/W Wärmeübergangswiderstand des Kühlkörpers
C10=96.5;
% J/K Wärmekapazität Transsitor und Kühlkörper
R12=3;
% K/W Wärmewiderstand Halbleiter - Transistorgehäuse
T0=20;
% °C Umgebungs- und Kühlwassertemperatur
% Simulationsparameter
Tsim=900;
% Simulationszeit
dt=1;
% Integrationsschrittweite
ein_opts=simset('MaxRows',10000,'Solver','ode5','FixedStep',dt);
% Simulationsaufruf
[x,y,t]=sim('Kuehlkoerper1_mod',Tsim, ein_opts);
% Darstellung
figure(1); hold off; plot(ts,T1s,'k'); hold on;
plot(ts,T2s,'k');
title('Simulation des thermischen Verhaltens')
xlabel('t in s'); ylabel('T1,2 in Grad Celsius'); grid on
Das Blockschaltbild ist im Simulinkmodell "Kuehlkoerper1_mod.mdl" bereits implementiert.
Die Simulation (gesteuert von der Matlab-Script-Datei "Kuehlkoerper1_dat.m") ergibt den
oben dargestellten Temperaturverlauf.
Die Temperatur am Halbleiter erreicht ca. 150 K, was bereits eine kritische Erwärmung
darstellt. Die Temperatur am Kühlkörper ist mit ca. 90 °C definitiv zu hoch. Man müsste
entweder die Verluste senken oder den Kühlkörper vergrößern bzw. zwangsbelüften.
Script_EL_II.doc
62
zu Übung 8.2:
Der gesamte Wärmewiderstand des dickeren Glimmerplättchens beträgt:
R12 = LG /(AG . λG) = 7 K/W
Bei diesem nicht mehr vernachlässigbaren Wärmewiderstand zwischen Transistorgehäuse
und Kühlkörper müssen Transistorgehäuse und Kühlkörper als getrennte Teilkörper
behandelt werden.
ϑ3
P3
Die Wärmekapazitäten betragen somit:
C10 = CAlu = 94 J/K
C20 = CT = 2,5 J/K
Das Ersatzschaltbild kann dann gemäß Abb. 1.2
R23
folgendermaßen dargestellt werden:
Weiter gilt:
sowie
und
R23 = RT= 3 K/W
P3 = 20 W
ϑ0= 20 °C
R12
ϑ1
ϑ2 ist die Temperatur des Transistorgehäuses,
ϑ1 ist die Kühlkörpertemperatur.
R10
P10
ϑ2
ϑ20
C10
C20
ϑ10
Umgebungsluft ϑ0 – "Erdknoten"
% Kuehlkoerper2_dat.m
Matlab-Script-Datei zur Simulation des...
% Modellparameter des thermischen Modells
R10=3.5;
% K/W Wärmeübergangswiderstand des Kühlkörpers
C10=94;
% J/K Wärmekapazität Kühlkörper
C20=2.5;
% J/K Wärmekapazität Transistor
R12=7;
% K/W Wärmewiderstand Transistorgehäuse-Kühlkörper
R23=3;
% K/W Wärmewiderstand Halbleiter - Transistorgehäuse
T0=20;
% °C Umgebungs- und Kühlwassertemperatur
% Simulationsparameter
...
[x,y,t]=sim('Kuehlkoerper2_mod',Tsim, ein_opts);
...
Script_EL_II.doc
63
ϑ30
Das Blockschaltbild ist im Simulinkmodell "Kuehlkoerper2_mod.mdl" implementiert. Die
Simulation (gesteuert von der Matlab-Script-Datei "Kuehlkoerper2_dat.m") ergibt den
nachfolgend dargestellten Temperaturverlauf:
Die sich dabei stationär einstellenden Temperaturen sind definitiv zu hoch, hier würde auch
kein größerer Kühlkörper oder eine Zwangsbelüftung helfen.
Script_EL_II.doc
64
9 Mechatronische Systeme am Beispiel eines Baßlautsprechers
Der Basslautsprecher in Bild 9.1 soll als elektro-mechanisches Modell nachgebildet werden,
um daraus das Übertragungsverhalten des Lautsprechers zu ermitteln. Dabei sind folgende
Fragestellungen von Interesse:
•
•
•
•
Verhalten des Lautsprechers bei einer impulsförmigen Anregung durch den
Verstärker (Impulshöhe 2 V an den Verstärkerklemmen, Impulsdauer 0,1 s)
frequenzabhängiger Schalldruckpegel im Abstand von 1 m
(Amplitudenfrequenzgang)
Impedanzfrequenzgang
Elektroakustischer Wirkungsgrad
Bild 9.1:
Baßlautsprecher Typ WS 250 S 4 Ohm (www.visaton.de).
Neben den Maßen und den in Tabelle 2.1 genannten Produktdaten ist der gemessene
Impedanz- und Schalldruckpegelfrequenzgang des Lautsprechers bekannt (Bild 9.2). Der
Frequenzgang wurde in einer als unendlich angenommenen Schallwand, d.h. in einer
geschlossenen Box mit als sehr groß anzunehmendem Volumen gemessen.
Bild 9.2:
Amplituden- und Impedanzfrequenzgang (www.visaton.de).
Script_EL_II.doc
65
Modellbildung
1 Vorgaben sammeln:
Aus den Produktinformationen (www.visaton.de) sind folgende Daten des Lautsprechers zu
entnehmen:
Nennimpedanz
ZN = 4 Ohm
Schwingspuleninduktivität
L=0,93 mH
Antriebsfaktor Bxl (entspricht der SpannungsKF = Kv = 8,94 T.m = 8,94 N/A
bzw. Kraftkonstante des Tauchspulantriebs)
Gleichstromwiderstand bzw. Spulenwiderstand
R = 3,7 Ohm
Effektive Membranfläche
AM = 350 cm2
bewegte Masse (Membran, Spule, ...)
m = 32 g
Mittlerer Schalldruckpegel (bei 1 W
Lp = 90 dB
Eingangsleistung und 1 m Abstand)
Nennbelastbarkeit (Sinus)
Pmax = 100 W
Maximalhub
xmax=14 mm
Mechanischer Q-Faktor Qms
Qms=2,24
Äquivalentes Luftvolumen
Vers=140 l
Tabelle 9.1: Modellparameter des Lautsprechers
2 Wirkzusammenhänge ergründen
Die gesamte Antriebskette aus Verstärker, Tauchspulantrieb, Membran und akustischer
Wandlung kann zweckmäßigerweise durch ein elektromechanisches Ersatzschaltbild
dargestellt werden (Bild 9.3), das aus dem Ersatzschaltbild des Tauchspulmotors in Heft 1
abgeleitet werden kann. Der Verstärker wird als Ersatzspannungsquelle mit dem
Innenwiderstand Ri=ZN nachgebildet. Die Membran wird als Punktmasse mit gedämpft
elastischer Membranaufhängung modelliert. Die Schalleistungsabgabe Ps(t) wird gemäß
Abschnitt 1.5 als zusätzliche (frequenz-abhängige) Dämpfungskraft nachgebildet.
Ps(t)
ds
R
Ri
d
L
k
U(t)
Uo(t)
P(t)
Bild 9.3:
Ui(v(t))
=Kv.v(t)
I(t)
m
F=KF.I(t)
x
Elektromechanisches Ersatzschaltbild des Lautsprechers mit Verstärker
(physikalisches Modell)
Der Impedanz- und Amplitudenfrequenzgang gemäß Bild 9.2 wurde mit einer sehr
großvolumigen Box aufgenommen. Dadurch kann davon ausgegangen werden, dass das
Luftvolumen im Innern der Box, das als "Luftfeder" wirkt, so groß ist, dass die dadurch
eigentlich zusätzlich zur Membranaufhängung wirkende Luftfedersteifigkeit kluft
vernachlässigbar klein ist.
Die Kompressibilität von Luft bei Atmosphärendruck p=1 bar=105N/m2 gemäß Tabelle 1.1
(9.1)
beträgt
Bluft ≅ 1,4 . p= 1,4. 105 N/m2
Script_EL_II.doc
66
Ersetzt man in (1.8) die Volumenänderung ΔV durch eine Verschiebung Δx der festen
Membranfläche AM und die Druckänderung Δp durch die daraus resultierende Federkraft Fk
bezogen auf die Membranfläche
V
V
F
ΔV = A M ⋅ Δx = ers ⋅ Δp = ers ⋅ k ,
(9.2)
B luft
B luft A M
so kann mit dem äquivalenten Luftvolumen Vers die Federsteifigkeit k der
Membranaufhängung ermittelt werden:
2
Fk B luft ⋅ A M
k=
=
= 1225 N/m
(9.3)
Δx
Vers
Der mechanische Gütefaktor (Q-Faktor in Tabelle 9.1) Qms von 2,24 entspricht etwa einer
Dämpfung von D=0,2 (Sahm, 1978). Mit dem Lehr'schen Dämpfungsmaß kann die
Dämpfungskonstante der Membranaufhängung ermittelt werden:
d = 2 ⋅ D ⋅ k ⋅ m = 2,5 Ns/m
(9.4)
Für die Eigenfrequenz f0 gilt für kleine Dämpfungswerte
1
k
f0 =
= 31 Hz
(9.5)
2⋅π m
was zu der im Impedanzfrequenzgang in Bild 9.2 deutlich sichtbaren Resonanz bei ca. 32
Hz sehr gut passt.
Nach (1.21) gilt für die schallbedingte Dämpfung dS:
für f ≥ 1025 Hz
⎧ A M ⋅ ρluft ⋅ c luft = dsmax ≈ 15,5 Ns/m
⎪ 2
3
Ns
(9.6)
ds = ⎨ A M ⋅ ρluft ⋅ π 2
⋅ f = d' s ⋅f 2 ≈ 1,47 ⋅ 10 −5
⋅ f 2 für f < 1025 Hz
⎪
c luft
m
⎩
(9.6) macht deutlich, dass die schallbedingte Dämpfung erst bei Frequenzen über ca. 400
Hz die Wirkung der Eigendämpfung der Membranaufhängung übertrifft. Damit kann für das
Impulsverhalten des Laustsprechers die schallbedingte Dämpfung mit guter Näherung
vernachlässigt werden.
Für die Kopplung zwischen elektrischem und mechanischem Systemteil über die Spule im
magnetischen Feld gelten die von Elektromotoren (z.B. Tauchspulmotor) bekannten
F = KF . I
(9.7,8)
Beziehungen:
Ui = Kv . dx/dt
3 Quantitatives Modell:
Die Maschenregel liefert für den elektrischen Modellteil:
mit (3.7)
dI(t)
dI(t)
dx(t)
U(t) = R ⋅ I(t) + L ⋅
+ Ui (t) = R ⋅ I(t) + L ⋅
+Kv ⋅
dt
dt
dt
bzw. Laplace-transformiert:
U(s) = (R + L ⋅ s) ⋅ I(s) + K v ⋅ s ⋅ x(s)
Differentialgleichung des mechanischen Systemteils
d2 x(t)
dx(t)
dx(t)
m⋅
= F(t) − Fk (t) − Fd (t) − Fds (t) = K F ⋅ I(t) − k ⋅ x(t) − d ⋅
− ds ⋅
2
dt
dt
dt
bzw. Laplace-transformiert:
m ⋅ s 2 ⋅ x(s) = K F ⋅ I(s) − k ⋅ x(s) − d ⋅ s ⋅ x(s) − ds ⋅ s ⋅ x(s)
(9.8)
(9.9)
(9.10)
(9.11)
4 Gleichungen aufbereiten:
Die Aufbereitung des quantitativen Modells für die Simulation der Impulsantwort als
Blockschaltbild führt zum in Bild 9.4 dargestellten Blockschaltbild. Dabei wird die
Script_EL_II.doc
67
schallbedingte Dämpfung ds gegenüber der systemeigenen Dämpfung d der
Membranaufhängung vernachlässigt. Weiterhin wird der Innenwiderstand des Verstärkers
dem Spulenwiderstand zugerechnet, womit sich die elektrische Zeitkonstante Tel=L/(R+Ri)
verkleinert.
Für die Frequenzgänge kann eine analytische Lösung angegeben werden:
U(s) − K v ⋅ s ⋅ x(s)
Aus (9.9) folgt für den Strom:
I(s) =
(9.12)
(R + L ⋅ s)
Setzt man (9.12) in (9.11) ein, so kann zur Übertragungsfunktion zwischen VerstärkerAusgangsspannung U(s) und dem Membrabhub x(s) umgeformt werden:
KF
x(s)
G(s) =
=
3
2
U(s) (L ⋅ m ⋅ s + (L ⋅ (d + ds ) + R ⋅ m) ⋅ s + (L ⋅ k + R ⋅ (d + ds ) + K F ⋅ K v ) ⋅ s + R ⋅ k )
(9.13)
Der Übergang vom Bildbereich der Laplacetransformation in den Bildbereich der FourierTransformation (auch Frequenzbereich genannt) erfolgt durch die Substitution
s = j . ω = j . 2πf
(9.14)
Danach folgt mit (9.6) aus (9.13) für f >1025 Hz:
(9.15 a)
KF
G(f) =
2
3
R ⋅ k − (L ⋅ (d + dsmax ) + R ⋅ m) ⋅ (2πf ) + j ⋅ (L ⋅ k + R ⋅ (d + dsmax ) + K F ⋅ K v ) ⋅ (2πf ) - L ⋅ m ⋅ (2πf )
und für f ≤ 1025 Hz:
(9.15 b)
KF
G(f) =
2
3
2
R ⋅ k − (L ⋅ (d + d' s ⋅f ) + R ⋅ m)⋅ (2πf ) + j ⋅ (L ⋅ k + R ⋅ (d + d' s ⋅f 2 ) + K F ⋅ K v )⋅ (2πf ) - L ⋅ m ⋅ (2πf )
Setzt man für die periodische und harmonische Verstärker-Ausgangsspannung U den
Effektivwert an, so kann man mit Hilfe von (9.15) die effektive Membrangeschwindigkeit
ermitteln:
(9.16)
v(s) = s ⋅ x(s) = s ⋅ G(s) ⋅ U(s)
bzw. v(j ⋅ ω) = j ⋅ ω ⋅ x(j ⋅ ω) = j ⋅ ω ⋅ G(j ⋅ ω) ⋅ U(j ⋅ ω)
Die Ausgangsleistung beträgt dann gemäß (1.23):
2
(9.17)
Pm = d s ⋅ v 2 = d s ⋅ ( j ⋅ ω ⋅ G(j ⋅ ω) ⋅ U(j ⋅ ω) )
(
)
(
)
Daraus kann mit (1.25) der Schalldruck für die Entfernung r =1 m und der Schalldruckpegel
Lp gemäß (1.26) berechnet werden.
Ausgehend von der an den Verstärker-Innenwiderstand Ri angepassten Nennimpedanz von
RN= ZN= 4 Ohm kann der Effektivwert für die Verstärkerausgangsspannung für eine
Eingangsleistung von P=1W an den Verstärkerklemmen wie folgt abgeschätzt werden:
U = RN ⋅ P = 2 V
(9.18)
Ausgehend von einer Eingangsleistung von P=1W an den Verstärkerklemmen gilt für den
P
elektroakustischen Wirkungsgrad:
(9.19)
η= m
P
Der Impedanzfrequenzgang kann analytisch ermittelt werden, wenn zunächst (9.11) nach
K F ⋅ I(s)
x(s) aufgelöst wird:
(9.20)
x(s) =
2
m ⋅ s + (d + ds ) ⋅ s + k
(9.20) in (9.9) eingesetzt liefert:
K F ⋅ I(s)
(9.21)
U(s) = (R + L ⋅ s) ⋅ I(s) + K v ⋅ s ⋅
2
(m ⋅ s + (d + ds ) ⋅ s + k )
Formt man (9.21) nach der Impedanz Z(s) = U(s)/I(s) um, so erhält man: (9.22)
(
Script_EL_II.doc
)
68
(
)
U(s) L ⋅ m ⋅ s 3 + (L ⋅ (d + ds ) + R ⋅ m) ⋅ s 2 + (K v ⋅ K F + R ⋅ (d + ds ) + L ⋅ k ) ⋅ s + R ⋅ k
=
I(s)
m ⋅ s 2 + (d + ds ) ⋅ s + k
bzw.
(9.23)
2
3
R ⋅ k − (L ⋅ (d + ds ) + R ⋅ m) ⋅ (2πf ) + j ⋅ (K v ⋅ K F + R ⋅ (d + ds ) + L ⋅ k ) ⋅ (2πf ) − L ⋅ m ⋅ (2πf )
Z(f) =
2
k - m ⋅ (2πf ) + j ⋅ (d + ds ) ⋅ (2πf )
Dabei muss die frequenzabhängige Dämpfung ds durch die Schallabstrahlung gemäß (9.6)
berücksichtigt werden, die sich jedoch nur für hohe Frequenzen auswirkt. Im
Übertragungsbereich des Baßlautsprechers spielt diese Dämpfung eine untergeordnete
Rolle.
Z(s) =
(
)
(
Script_EL_II.doc
)
69
Implementierung in Matlab/Simulink
Abb. 9.4:
Simulink-Modell zur Simulation der Impulsantwort des Lautsprechers
% "Lautsprecher_dat.m" MATLAB-Script-Datei zur
% Simulation eines Basslautsprechers
%
Zirn 16.12.03
clear all % alle Variablen löschen
% Modellparameter
m=0.032;
% kg effektive Masse (Membran, Spule, ..)
L=0.93e-3;
% H Spuleninduktivität
LF=3.2e-3;
% H Tiefpassfilter-Induktivität
%L=L+LF;
% Gesamtinduktivität mit Tiefpass - Übung 9.2
k=1225;
% N/m Membransteifigkeit
D=0.20;
% relative Membrandämpfung
d=2*D*sqrt(k*m); % Ns/m Dämpfungskonstante nach Lehr
KF=8.94; % N/A Kraftfaktor
Kv=8.94; % Vs/m Spannungsfaktor
R=3.7;
% Ohm Spulenwiderstand
AM=350e-4; % m2 Membranfläche
U0=4;
% V Quellenspannung im Verstärker
Ri=4;
% Ohm Innenwiderstand des Verstärkers
Tel=L/(R+Ri);
% s elektrische Zeitkonstante
cluft=340;
% m/s Schallgeschwindigkeit
Dichte=1.3; % kg/m3 Luftdichte
% k=2940;
% Steifigkeit mit 100 l - Box - Übung 9.1 und 9.2
% Eingangsimpuls
Tsoll=[0 0.1 0.101 0.2];
Usoll=[U0 U0 0 0];
% Simulationsparameter definieren
simulation_opt=simset('MaxRows',10000,'Solver','ode5','FixedStep',1e-4);
Tsim=0.2; % s Simulationsdauer
% Simulation starten
[x,y,t]=sim('Lautsprecher_mod',Tsim,simulation_opt);
% Simulationsergebnisse darstellen
figure(1); hold on; plot(ts,1e3*xs,'k');
hold on; plot(ts,Us,'k--');axis([0 Tsim 0 4.5]);
xlabel('t in s');
ylabel('x(t) in mm; U(t) in V');
title('Impulsantwort der Membran');
Script_EL_II.doc
70
% Frequenzgangberechnung von 1 Hz bis 10000 Hz
f=logspace(1,4,1000);
% logarithmische Frequenzwerte
fgrenz=cluft/sqrt(AM*pi); % Fallunterscheidung der Schalldämpfung
U=U0/2;
% Klemmenspannung für P = 1 W
r=1;
% m Entfernung von der Membran
p0=2e-5;
% N/m^2 Schalldruck an der Hörschwelle
for i=1:1:length(f)
if (f(i) < fgrenz)
ds=(AM^2*Dichte*pi/cluft)*f(i)^2;
else
ds=AM*cluft*Dichte;
end % of if
w=2*pi*f(i); % Winkelgeschwindigkeit
% Impedanzfrequenzgang berechnen
Z(i)=R*k+((d+ds)*L+R*m)*w^2+j*((Kv*KF+R*(d+ds)+L*k)*w-L*m*w^3);
Z(i)=Z(i)/(k-m*w^2+j*(d+ds)*w);
% Schalldruckpegelfrequenzgang berechnen
G=R*k+((d+ds)*L+R*m)*w^2+j*((Kv*KF+R*(d+ds)+L*k)*w-L*m*w^3);
G=KF/G; % Spannungs-Membranweg-Frequenzgang
Pm=ds*(w*abs(G)*U)^2; % Leistungsabgabe
p=sqrt(Pm*Dichte*cluft/(4*pi*r^2)); % Schalldruck
Lp(i)=20*log10(p/p0);
% Schalldruckpegel
eta(i)=Pm/1; % elektroakustischer Wirkungsgrad (auf P=1W bezogen)
end % of i
figure(2);hold on; semilogx(f,abs(Z),'k'); grid
xlabel('Frequenz in Hz'); ylabel('Impedanz Z(f) in Ohm')
figure(3); hold on; semilogx(f,Lp,'k'); grid
xlabel('Frequenz in Hz'); ylabel('Schalldruckpegel in dB')
figure(4); hold on; loglog(f,100*eta,'k'); grid
xlabel('Frequenz in Hz'); ylabel('elektroakustischer Wirkungsgrad in %')
axis([10 1e4 0.01 1])
Bild 9.5:
Matlab-Script-Datei zur Simulation der Impulsantwort sowie zur
Berechnung und Darstellung der Frequenzgänge von Schallpegel und
Impedanz
Die Script-Datei in Bild 9.5 steuert die Simulation der Impulsantwort des Lautsprechers und
führt die Berechnung der Frequenzgänge im Bereich von 10 Hz bis 10 kHz durch. Dabei
macht man sich die Fähigkeit von Matlab zunutze, komplexe Zahlen in
Komponentenschreibweise interpretieren und verarbeiten zu können. Die komplexe Zahl
Z=Re(Z)+j.Im(Z)=10 + j.5 kann im Matlab-Editor oder im Matlab- Eingabefenster (Command
Window) wie folgt eingegeben werden:
>> Z=10+j*5;
Script_EL_II.doc
oder alternativ
>> Z=10+5j
71
Simulationsresultate:
Bild 9.7:
Impulsantwort des Lautsprechers (Membranposition x(t))
Bild 9.8:
Amplitudenfrequenzgang (Schalldruckpegel) des Lautsprechers
Script_EL_II.doc
72
Bild 9.9:
Impedanzfrequenzgang des Lautsprechers
Die Simulation der Impulsantwort in Bild 9.7 zeigt das Tiefpassverhalten des Lautsprechers,
der dem Spannungspuls des Verstärkers nur verzögert folgen kann. Der berechnete
Impedanzfrequenzgang in Bild 9.9 passt gut zur Messung aus den Produktdaten in Bild 9.2.
Der berechnete Amplitudenfrequenzgang in Bild 9.8 stellt nur bis ca. 800 Hz eine
akzeptable Näherung des gemessenen Ergebnisses in Bild 9.2 dar. Der höhere Schalldruck
des Lautsprechers bei Frequenzen im Bereich von 800 .. 4000 Hz resultiert aus
Partialschwingen der Membran (Stark, 1992), die im Modell mit der als starr
angenommenen Membran nicht erfasst sind.
Ein weiterer Hinweis auf die Partialschwingungen am realen Lautsprecher, bei der Teile der
Membran nicht gleichphasig, sondern gegeneinander phasenverschoben schwingen, sind
die Resonanzüberhöhungen bei 2 kHz, 3 kHz, 4 kHz und 6,5 kHz. Es empfiehlt sich nicht,
diesen Frequenzbereich zu nutzen, da der Lautsprecher hier zwar einen hohen Schalldruck,
aber aufgrund der Resonanzüberhöhungen ein stark hörbar unterschiedliches
Wiedergabeverhalten aufweist.
Bestimmt man weiterhin noch den Frequenzverlauf des elektroakustischen Wirkungsgrades
η, so wird deutlich, welch geringer Anteil der vom Verstärker an den Klemmen
abgegebenen Energie in Schall umgewandelt wird:
Script_EL_II.doc
73
Bild 9.10:
Frequenzgang des elektroakustischen Wirkungsgrades
Script_EL_II.doc
74
Übung 9.1:
Wie
sieht
die
Impulsantwort
und
der
Schalldruck-(Amplituden-)
bzw.
Impedanzfrequenzgang aus, wenn der Lautsprecher in ein geschlossenes Boxengehäuse
mit ca. 100 l Luftvolumen eingebaut wird?
Übung 9.2:
Um diese Box als Sub-Baß-Lautsprecher zu betreiben ("Subwoofer") soll eine
Frequenzweiche 1. Ordnung (Spule LF mit vernachlässigbarem Spulenwiderstand in Reihe
zum Lautsprecher) vorgeschaltet werden. Wie müssen Sie LF wählen damit bei einer
angenommenen Lautsprecherimpedanz von 4 Ohm die Grenzfrequenz bei 200 Hz liegt?
Wie sieht der Schalldruckfrequenzgang nun aus?
Übung 9.3:
Der Baßlautsprecher wurde bislang konsequent als elektro-mechanisches Modell
implementiert. Lediglich die mechanisch-akustische Wandlung wurde als zusätzliche
Dämpfung im mechanischen Teilmodell nachgebildet.
Ps(t)
ds
Ri
R
d
L
k
U(t)
Uo(t)
P(t)
m
Ui(v(t))
=Kv.v(t)
I(t)
F=KF.I(t)
x
Wenn nur das elektrische Verhalten des Lautsprechers - z.B. zur Betrachtung der
Verstärkerbelastung - von Interesse ist, könnte man auch mit einem rein elektrischen
Modell des Lautsprechers arbeiten:
Ri
Uo(t)
R
L
U(t)
P(t)
Lm
Cm
Rm
Rs
Ps
I
Dabei symbolisiert die Parallelschaltung aus Lm, Cm und Rm die gedämpft schwingfähig
aufgehängte Membran. Der Widerstand Rs bildet die akustische Leistungsabgabe nach.
Leiten Sie das elektrische Ersatzschaltbild des Lautsprechers her, in dem neben den
elektrischen Bauteilen auch die mechanischen und akustischen Systemteile durch
entsprechende elektrische Bauteile (Widerstände, Induktivitäten, Kapazitäten) nachgebildet
sind.
Implementieren Sie dieses Ersatzschaltbild in PSPICE und stellen Sie die Impulsantwort
sowie den Impedanzfrequenzgang dar.
Script_EL_II.doc
75
Lösungshinweise
Übung 9.1:
Ein Gehäusevolumen V in der Größenordnung des in den Produktdaten angegebenen
äquivalenten Volumens Vers führt zu einer Versteifung der Membranaufhängung durch die
in der Box eingeschlossene "Luftfeder".
Die Steifigkeit kbox dieser Luftfeder
2
B luft ⋅ A M
= 1715 N/m
k box =
V
muss zur vorhandenen Steifigkeit k der Membran hinzuaddiert werden:
kges= kbox + k = 2940 N/m
Setzt man – ohne die Dämpfung zu verändern – diese neue Gesamtsteifigkeit kges in das
Script-Datei in Abb. 3.5 ein, so erhält man folgende Ergebnisse:
Script_EL_II.doc
76
Damit wird deutlich, dass das kleinere Boxengehäuse (wobei Boxen mit 100 l in einem
durchschnittlichen Wohnzimmer beileibe nicht als klein zu bezeichnen sind) die
mechanische Eigenfrequenz des Lautsprechers anhebt, dabei die Dämpfung verschlechtert
wird und zudem der Schallpegel bei tiefen Frequenzen schwächer wird. Volumen ist für
geschlossene Boxen somit zur optimalen Basswiedergabe unverzichtbar. Alternativen für
begrenztes Volumen sind das Bassreflexrohr und "Transmission-Line"-Systeme (Stark,
1992).
Übung 9.2:
Die Grenzfrequenz fg eines Tiefpasses erster Ordnung, bestehend aus Tiefpass-Induktivität
LF und dem als ohm'schen Nennwiderstand RN=4 Ohm angenäherten Lautsprecher ist:
RN
fg =
2 ⋅ π ⋅ LF
Daraus folgt bei einer Grenzfrequenz fg= 200 Hz für die Induktivität LF= 3,2 mH. Diese
Filterinduktivität LF muß nun zur Spuleninduktivität hinzuaddiert werden.
Der Frequenzgang zeigt deutlich, wie der Tiefpass die Wiedergabe hoher Frequenzen
unterdrückt.
Script_EL_II.doc
77
Ps(t)
ds
Übung 9.3:
Ri
R
d
L
k
U(t)
Uo(t)
P(t)
m
Ui(v(t))
=Kv.v(t)
I(t)
F=KF.I(t)
x
Um vom elektromechanischen Ersatzschaltbild zum rein elektrischen Ersatzschaltbild zu
gelangen, muss die Spannungsquelle Ui durch einen elektrischen Zweipol mit identischem
Klemmenverhalten ersetzt werden.
Betrachten wir zunächst das mechanische Teilsystem. Aus dem laplace-transformierten
Kräftegleichgewicht F(s) = K F ⋅ I(s) = m ⋅ s 2 ⋅ x(s) + (d + d s ) ⋅ s ⋅ x(s) + k ⋅ x(s)
folgt für die Geschwindigkeit
v(s) = s ⋅ x(s) =
und damit für die induzierte Spannung
s ⋅ K v ⋅ K F ⋅ I(s)
Ui (s) = K v ⋅ v(s) =
=
m ⋅ s 2 + (d + d s ) ⋅ s + k
Ri
Uo(t)
R
U(t)
P(t)
s ⋅ K F ⋅ I(s)
m ⋅ s + (d + d s ) ⋅ s + k
2
s ⋅ I(s)
(d + ds )
m
k
⋅ s2 +
⋅s +
K v ⋅KF
K v ⋅KF
K v ⋅KF
L
Ui(t) Lm
Cm
IL
I(t)
Rs
Rm
Ic
Im
Ps(t)
Is
Für das rein elektrische Ersatzsystem muss die Knotenregel gelten:
dUi (t)
1
1
1
I(t) = IL (t) + IC (t) + Im (t) + Is (t) =
⋅ ∫ Ui dt +
⋅ Ui (t) +
⋅ Ui (t) + C m ⋅
Lm
Rm
Rs
dt
bzw. laplace-transformiert:
1
1
1
I(s) =
⋅ Ui (s) +
⋅ Ui (s) +
⋅ Ui (s) + C m ⋅ s ⋅ Ui (s)
Lm ⋅ s
Rm
Rs
Script_EL_II.doc
78
Daraus folgt für die induzierte Spannung
s ⋅ I(s)
Ui (s) =
⎛ 1
1 ⎞
1
⎟⎟ ⋅ s +
+
C m ⋅ s 2 + ⎜⎜
Lm
⎝ Rm R s ⎠
Durch Koeffizientenvergleich folgt:
K ⋅K
K ⋅K
m
Cm =
Lm = v F
Rm = v F
K v ⋅KF
k
d
Rs =
K v ⋅KF
ds
Das Ergebnis kann durch Einheitenkontrolle auf Plausibilität geprüft werden:
s
s
kg
kg
=1
=1
z.B.: [C m ] = 1F = 1 = 1
q.e.d.
Vs N
kg ⋅ m
V/A
Ω
⋅
Vs s 2
m A
⋅
A
m
Zudem bietet sich die Kontrolle des Impedanzfrequenzgangs an. Die Gesamtimpedanz Z
des elektrischen Netzwerkes ergibt sich aus der Reihenschaltung von R, L und der
Parallelschaltung von Lm, Cm, Rm, und Rs:
1
Z (jω ) = R + jω ⋅ L +
⎛ 1
1
1 ⎞
⎟
+ ⎜⎜
+
jω ⋅ C m +
jω ⋅ L m ⎝ R m R s ⎟⎠
Diese Impedanz kann mit einigem Aufwand unter Zuhilfenahme der oben genannten
Ergebnisse in die in Heft 5, Kapitel 3 hergeleitete Form (Gleichung (3.23)) überführt werden:
2
3
R ⋅ k − (L ⋅ (d + ds ) + R ⋅ m) ⋅ (2πf ) + j ⋅ (K v ⋅ K F + R ⋅ (d + ds ) + L ⋅ k ) ⋅ (2πf ) − L ⋅ m ⋅ (2πf )
Z(f) =
2
k - m ⋅ (2πf ) + j ⋅ (d + ds ) ⋅ (2πf )
(
Script_EL_II.doc
)
79
Literatur
Beetz, B.: Elektroniksimulation mit PSPICE. 406 Seiten, Vieweg-Verlag, 2008.
ISBN 978-3-8348-0238-5.
Tietze, U.; Schenk, C.: Halbleiterschaltungstechnik, Springer-Verlag, 2002.
ISBN 3-540-42849-6.
Reisch, M.: Elektronische Bauelemente – Funktion, Grundschaltungen, Modellierung mit SPICE.
Springer-Verlag, 2007. ISBN 3-540-42849-6.
Lindner, H.; Bauer, H.; Lehmann, C.: Taschenbuch der Elektrotechnik und Elektronik. HanserVerlag, 2008. ISBN 978-3-446-41458-7.
Führer, A.; Heidemann, K.; Nerreter, W.: Grundgebiete der Elektrotechnik. Hanser-Verlag, 1997.
ISBN 3-446-19067-8
Müller, G.; Groth, C.: FEM für Praktiker. Expert-Verlag, 1999.
Führer, A. u.a.: Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 1. Hanser-Verlag, 1997
Dobrinski, P. u.a.: Physik für Ingenieure, Teubner-Verlag, 1996.
N.N.: FEMLAB Users Manual, Comsol AB, Stockholm, 2002. (www.femlab.com)
Herr, H.: Wärmelehre – Technische Physik Band 3. Verlag Europa-Lehrmittel, 1994
VDI: Wärmeatlas – Berechnungsblätter für den Wärmeübergang. Springer-Verlag, 2002
Zirn, O.: Modellbildung und Simulation mechatronischer Systeme. Expert-Verlag, 2002.
Tabellenbuch Metall, Verlag Europa-Lehrmittel, 1987.
Stark, B.: Lautsprecher-Handbuch. Pflaum-Verlag, 1992
Sahm, H.: HiFi-Lautsprecher. Franzis-Verlag, 1978
Cremer, L.; Hubert, M.: Vorlesungen über technische Akustik. Springer-Verlag, 1985
Zirn, O.; Weikert, S.: Modellbildung und Simulation hochdynamischer Fertigungssysteme.
Springer-Verlag, 2005. ISBN 3-540-25817-5.
Stölting u. Kallenbach 2001
Script_EL_II.doc
80
Anhang
MOSFET-Fahrtenregler mit P-Stromregler:
15
10
5
0
-5
0s
V(V4:+)
0.2ms
0.4ms
I(R1)
V(U2:OUT)
V(R8:1)
0.6ms
0.8ms
1.0ms
Time
Script_EL_II.doc
81
1.2ms
1.4ms
1.6ms
1.8ms
2.0ms