Das symmetrische Dreiphasensystem (Drehstromsystem)

HTW Dresden FB Elektrotechnik
Grundlagen der Elektrotechnik
H. Neundorf
\drephae1.doc //nd_98_01_30
Das symmetrische Dreiphasensystem (Drehstromsystem)
1. Spannungen
Die in den drei räumlich gegenseitig um 120° versetzt angeordneten Strängen U, V, W eines
Drehstromgenerators erzeugten Spannungen (”Strangspannungen”) (Bild 1a)
u U = ϕ U1 − ϕ U 2 = u$ U ⋅ sin ωt
2π 

− ϕV 2 = u$V ⋅ sin  ωt −
(1)


3 
4π 

uW = ϕ W1 − ϕW 2 = u$W ⋅ sin  ωt −


3 
bilden ein symmetrisches Dreiphasensystem,
wenn ihre Amplituden gleich sind
u$ u = u$ v = u$ w
2π
und ihre gegenseitige Phasenverschiebung
beträgt (Bild 1b).
3
Die Spannungszeiger u$ u , u$ v , u$ w bzw. Uu, Uv, Uw bilden dann einen symmetrischen Stern (Bild 1c).
uV = ϕ V1
Prinzip des
Dreiphasengenerators
Liniendiagramm der Strangspannungen
u
uV
uU
π
0
2
− π
3
Zeigerdiagramm der
Strangspannungen
uW
u$W
2π
ωt
2π
3
u$ U
2π
3
u$V
4
− π
3
Bild 1 a)
b)
Entstehung des dreiphasigen Spannungssystems (Dreiphasensystem)
2π
3
hnd
c)
2π
versetzten Spulen mit diesem Spannungssystem ein
3
drehendes Magnetfeld (Drehfeld) erzeugt werden kann, ist auch die Bezeichnung: ”Drehstrom”
gebräuchlich.
Die Erzeugung eines rotierenden magnetischen Drehfeldes mit Hilfe eines dreiphasigen
Spannungssystems ist die Funktionsgrundlage aller Drehfeldmaschinen (Motoren wie Generatoren).
Wenn in einer Drehfeldmaschine p symmetrische dreiphasige Spulensysteme angeordnet sind, ergibt
sich bei der Frequenz f des speisenden Dreiphasensystems
2π ⋅ f
60 ⋅ f
die Winkelgeschwindigkeit Ω : Ω =
und die Drehzahl n:
n=
in U/min.
(2)
p
p
Daraus folgen die gängigen Synchrondrehzahlen der Drehfeldmaschinen bei Speisung aus dem 50HzNetz: ”Polpaarzahl” p:
1
2
3
4
6
Synchrondrehzahl n:
3000 1500 1000 750
500
in U/min
Weil bei der Speisung von drei räumlich um
Die drei Stränge U, V, W können
”unverkettet” einzelne Verbraucher speisen: ”Offenes Dreiphasensystem” (Bild 2a) (ist von
untergeordneter technischer Bedeutung)
oder zwecks Einsparung von zwei bzw. drei Leitern
miteinander verbunden (verkettet) sein :
”Verkettetes Dreiphasensystem”: Standard der öffentlichen Energieversorgungsnetze.
-2-
dbox2\drephae2.doc //nd
2. Das verkettete Dreiphasensystem
Bezezeichnungen von Spulenanschlüssen, Leitern und Formelzeichen: DIN 40 108
Die drei Stränge können auf zwei prinzipielle Weisen miteinander verbunden (verkettet) werden:
• Alle Strangenden (U2, V2, W2) zum „Sternpunkt N“ verbunden: Sternschaltung (Bild 2b)
• oder im Phasenfolge-Sinn jeweils Strangende mit Stranganfang ( U2-V1, V2-W1, W2-U1) zur
Ringschaltung verbunden: Dreieckschaltung (Bild 2c).
U1
U
V
V2
U2
W2
L1
U1
U
N
V
W2
U1
V1
L2
V1
U2
W1
W
W
W1
L2
V2
L3
V1
L3
W1
1
Bild 2
L1
N
hnd
2a) unverkettetes
Dreiphasensystem
2b) Stränge in
Sternschaltung verkettet
2c) Dreickschaltung der Stränge
mit Dreileiter-Netz
2.1.Sternschaltung
An dem gemeinsamen Sternpunkt N kann ein für alle Stränge gemeinsamer Rückleiter (Neutraler
Leiter N) angeschlossen werden (Bild 2b).
Die Sternschaltung mit neutralem Leiter N bildet das universelle Vierleiternetz des öffentlichen
Energieverteilungssystems mit den Leiterbezeichnungen der Außenleiter L1, L2, L3, N (Bild 3).
Die Leiterbezeichnungen R, S, T, Mp sind nicht mehr gebräuchlich!
o
30
L1
U12
U12
V1
L2
UUN
UVN
U1N
U1
N
U3N
UWN
(N)
L1
(U1)
U2N
N
U2N
U1N
U31
U31
o
120
U3N
U23
U 23
L3
(W1)
L3
W1
Bild 3
3a
Spannungssysteme des Vierleiternetzes
L2
(V1)
Bild 3b
Das Vierleiternetz (Bild 3a) bietet zwei Spannungssysteme mit insgesamt sechs in Betrag und Phase
verschiedenen Spannungen (Bild 3b):
1. Das Dreiphasensystem der Sternspannungen (Außenleiterspnngn. gegen N) : U 1N , U 2 N , U 3 N
Es ist jeweils eine Sternspannung UY gleich einer Strangspannung Ustr :
U 1 = U 1N = U U N
= U UN ∠0 °
U 2 = U 2 N = U VN
= U UN ∠ − 120 °
U 3 = U 3 N = U WN
= U UN ∠ − 240°
Wenn Verwechslung ausgeschlossen ist,
kann U 1 für U 1 N , U 2 für U 2 N , U 3 für U 3 N
geschrieben werden.
(3)
-3-
dbox3\drephae3.doc //nd
2. Das Dreiphasensystem der Außenleiterspannungen („verkettete Spannungen“,„Dreieckspannung)
Die Spannung zwischen den Außenleitern L1-L2-L3 eines Dreiphasensystems wird
Dreieckspannung genannt.
Aus dem Zeigerbild (Bild 3b) ist die Bildung der drei Außenleiterspannungen zwischen jeweils zwei
Strang-Anfängen ersichtlich. Wegen der Übereinstimmung der Sternspannungen mit den Strangspannungen ( Gl(3): U 1N = U UN ; U 2 N = U V N ;
U 3 N = U WN ) folgt:
U 12 = U UN − U V N
U 23 = U VN − U WN
U 31 = U WN − U UN
(4)
Für die Beträge der Dreickspannung U ∆ und der Sternspannung UY ergibt sich aus den
Winkelbeziehungen
U12 = 2 ⋅ UUN ⋅ cos 30 o = 3 ⋅ UUN
(5)
U ∆ = 3 ⋅ UStrang = 3 ⋅ UY
(6)
Allgemein gilt für jeden Strang:
Wir werden fortan im Verbraucher-Netz die Sternspannungen oder die Leiterspannungen
(Dreieckspannungen) verwenden.
Als Nennspannung U des Dreiphasennetzes ist die Dreieckspannung vereinbart.
(„400V-Netz“ heißt:
Dreieckspannung U∆ = 400 V,
Sternspannung UY = 230 V )
In Bezug auf den hier gleich Null gewählten Nullphasenwinkel der Spannung U1 = U1N = UUN (Bild 3b)
folgen aus der Verwendung der Nennspannung U die komplexen Stern- und Dreieckspannungen:
Sternspannungen
U
U 1N =
∠ 0°
3
U
U 2N =
∠ − 120°
3
U
U 31 =
∠ − 240°
3
Dreieckspannungen
U 12 = U ∠30 °
U 23 = U ∠ − 90 °
(7a)
(7b)
U 31 = U ∠ − 210 °
2.2. Dreieckschaltung des Erzeugers
Bei Dreieckschaltung der Erzeugerstränge steht nur ein symmetrisches Spannungssystem mit drei
um ebenfalls 120° gegeneiander verschobenen Spannungen an den Außenleitern zur Verfügung.
Dabei gilt:
Außenleiterspannung = Strangspannung = Dreieckspannung
L1
UU
U1
U12
U2
W2
Legt man wieder die Strangspannung UU in die reelle Achse,
ergibt sich das Spannungssystem der Dreieckspannungen:
U31
L2
V1
UW
UV
W1
V2
U 12 = U U = U U ∠ 0 °
U12
U 23 = U V = U U ∠ − 120 °
U23
U31
U23
U 31 = U W = U U ∠ − 240°
L3
(8)
Bild 4a
Bild 4 Erzeuger in Dreieckschaltung
Bild 4b
Nach dem Maschensatz muß die Summe der Strangspannungen und damit auch der Außenleiterspannungen gleich Null sein. Die Zeiger der Spannungen bilden ein symmetrisches Dreieck (Bild 4b).
Im Gegensatz zur Sternschaltung des Erzeugers steht hier ein Sternpunkt für den Anschluß eines
neutralen Leiters nicht zur Verfügung (Dreileiternetz).
-4-
dbox5\drephae4.doc //nd
3. Das Dreiphasensystem bei symmetrischer Belastung
3.1 Strangströme und Außenleiterströme bei Sternschaltung und bei Dreieckschaltung
Die Relationen der Ströme in den Außenleitern und in den Strängen treten in Erzeuger und Verbraucher
gleichermaßen auf.
Eine Belastung heißt symmetrisch, wenn der komplexe Widerstand Z der drei Belastungsstränge gleich
ist (Bild 5a auf Seite 5). Wir nehmen den Erzeuger als ideale, symmetrische dreiphasige
Spannungsquelle an.
Im Bild 5a sind zusammengefaßt die Anschlüsse eines symmetrischen Verbrauchers in Sternschaltung
und daneben eines Verbrauchers in Dreieckschaltung an ein symmetrisches Vierleiternetz dargestellt.
Darunter sind im Bild 5b jeweils die Zeigerdiagramme der Strangspannungen und der Strangströme bei
symmetrischer Belastung gezeichnet.
Die Zusammenhänge zwischen den Strangströmen und den (Außen-)Leiterströmen bei Sternschaltung
und bei Dreieckschaltung sind aus den Zeigerdiagrammen im Bild 5c ersichtlich..
Hierzu die Erläuterung:
3.1.1 Sternschaltung des Verbrauchers
An jedem Verbraucherstrang liegt die Sternspannung des Netzes (Bild 5a, links).
Den Zeiger der Sternspannung U1 = U1N = UUN legen wir wieder in die reelle Achse (Bild 5b).
Mit dem in allen Strängen gleichen komplexen Widerstand Z des symmetrischen Verbrauchers
folgt gemäß Bild 5a und b unter Verwendung von Gln (8) für die Strangströme, die hier gleich den
Außenleiterströmen sind:
I1 = ⋅
U1 N
Z
I2 =
U 2N
I3 =
U 3N
Z
Z
=
=
=
U 1N = U UN =
1 U
⋅
∠ − ϕZ
Z
3
U1 N
∠ − 120° =
Z
U1 N
Z
∠ − 240 °
1 U
⋅
∠ ( −120 °−ϕ Z )
Z
3
=
I1 ∠ − 240 °
I1 = ⋅
U
U
3
∠ 0°
(9)
∠ − ϕZ
I2 =
3⋅Z
I1 ∠ − 120°
I3 =
I1 ∠ − 240 °
Bei symmetrischer Belastung bilden auch die Strangströme wegen
der jeweils gleichen Phasenverschiebung von 120° ein symmetrisches Dreieck mit den Effektivwerten
I1 = I2 = I3 = IY =
UY
=
Z
U∆
(10)
3⋅Z
Infolgedessen ist der Summenstrom IN im neutralen Leiter Null (Bild 5c):
I N = I1 + I 2 + I 3 = 0
(11)
Demnach genügt es, den Strom nur für einen Strang zu berechnen. Die Ströme der beiden anderen
Stränge ergeben sich durch Multiplikation des Zeigers des ersten Stromes mit dem
„Drehoperator“
a =e
−j
2π
3
= cos120°− j ⋅ sin120° = −0 ,5 − j ⋅ 0 .866
(12)
Nur bei unsymmetrischer Belastung ergänzen sich die Strangströme nicht zu Null, und es fließt im
neutralen Leiter ein Strom
nd
I N = I1 + I 2 + I 3
(13)
Ströme im Dreiphasensystem bei symmetrischer Belastung
S. 5 dbox5\drephae5.doc
Vierleiternetz
L1
L1
U1N
V1
U12
U31
L2
UVN
UUN
L2
L3
N
U1
U23
U2N
L3
U3N
N
N
UWN
W1
I3
IN
Erzeuger/ Transformator
I2
I1
I1
I3
U1
U1
I31
U1N
Z
Verbraucher
I2
U31
U12
Z
Z
Z
I12
Z
Z
W1
U3N U2N
N
a) Anschluß und Schaltung
der Verbraucher
W1
Verbraucher in Sternschaltung
I2
b) Strangspannungen
und Strangströme
V1
ϕZ
I1
U 12
ϕZ
ϕZ
I3
V1
(U2) (V1)
ϕZ
I23
U3N
I23
U23
Verbraucher in Dreiecksch.
U2N
U1N
U2
(U1)
(W2)
I1
30
o
U2N
U1N
I31
I 12
U 31
U3N
U 23
I2
ϕZ
(W1)
hnd
c) Strang- und
Leiterströme
(V2)
-I23
I12
I2
I3
I1
I3
I31
I31
I23
120°
I12
I2
Strangstrom =
Leiterstrom
Dreieck der
Strangströme
120°
I23
30°
-I12
-I31
I1
Bild 5
hnd
Strangströme und Leiterströme
bei symmetrischer Belastung
Bildung der Leiterströme I1, I2, I3
-6-
dbox5\drephae6.doc //nd
3.1.2 Dreieckschaltung des Verbrauchers
Bei der Dreieckschaltung liegen an den Strängen des Verbrauchers die Dreieckspannungen U12 , U23 , U31
des Drehstromnetzes (Bild 5a). Aus den Dreieckspannungen gemäß Gln (7b) folgen die Strangströme in
Analogie zu Gln (9).
I12 =
Mit
U 12
Z
=
U
∠ ( 30 °− ϕ Z ) = I12 ∠ ( 30 °− ϕ Z )
Z
(14)
bei symmetriebedingter Gleichheit der Effektivwerte der Strangströme
I12 = I23 = I31 =
I∆ =
U∆ U
=
Z
Z
(15)
I12 = I ∆ ∠ ( 30 °−ϕ Z )
folgt
I23 = I ∆ ∠ ( − 90°−ϕ Z )
(16)
I31 = I ∆ ∠ ( − 210 °− ϕ Z )
Diese im Bild 5b in Bezug zu den Strangspannungen eingetragenen Zeiger der Strangströme (I12,...) des
Verbrauchers müssen sich wegen des fehlenden Sternpunktleiters in jedem Belastungsfall zu einem
Dreieck schließen (Bild 5c Mitte).
Die Außenleiterströme folgen aus dem Knotensatz an den Anschlußklemmen (Bild 5a):
I1 = I12 - I31
I2 = I23 - I12
I3 = I31 - I23
(17)
Aus den Winkelbeziehungen der Strang- und Außenleiterströme in Bild 5c folgt die Beziehung zwischen
den Effektivwerten von Strang- und Außenleiterströmen bei Dreieckschaltung:
I = 2 ⋅ I ∆ ⋅ cos 30 °
=
3 ⋅ I∆
(18)
Die Außenleiterströme eines in Dreieck geschalteten Verbrauchers sind 3 mal so groß wie die
Strangströme !
Wird derselbe symmetrische Verbraucher einmal in Sternschaltung und einmal in Dreieckschaltung
seiner Stränge an das gleiche Drehstromnetz angeschlossen (wie z. B. in Bild 6), dann erhöht sich der
Leiterstrom bei Dreieckschaltung gemäß den Gln. (19),(20) um den Faktor 3 !
Sternschaltung des Verbrauchers:
U
U
(19)
I = IY = Y =
Z
3⋅Z
Dreieckschaltung :
I = 3 ⋅ I∆ =
Das Verhältnis der Leiterströme:
3⋅
ILeiter
U
=
Z
∆
ILeiter Y
3⋅
3 ⋅ UY
3 ⋅ UY
=
= 3 ⋅ IY
Z
Z
(20)
= 3
(20a)
Dieser Sachverhalt wird beim sogenannten Stern-Dreieck-Anlauf von Drehstrom-Asynchronmotoren zur
Reduzierung der infolge der großen Anlaufströme (ca. 6∗INenn) bedingten Netzbelastung genutzt.
nd
W2
U2
V2
U1
V1
W1
L1
L2
L3
Lage der
Anschlußlkemmen und
Schaltbrücken im
Klemmenkasten eines
Drehstrommotors
W2
U2
V2
U1
V1
W1
Bild 6
L1
L2
L3
-7-
\dbox5\drephae7.doc //nd
3.2. Die Leistung im Dreiphasensystem
Die Leistung in einem Dreiphasensystem ergibt sich aus der Summe der Leistungen in den Strängen
(folgend Index Str für Stranggrößen).
PStr = UStr ⋅ IStr ⋅ ⋅ cos ϕ Str
Wirkleistung eines Stranges:
Gesamtleistung der drei Stränge
bei symmetrischer Belastung
P = ∑ PStr
(I1Str = I2Str = I3Str, ):
P = 3 ⋅ PStr = 3 ⋅ U Str ⋅ I Str ⋅ cos ϕ
(21)
(22)
Mit den abgeleiteten Beziehungen zwischen Strang- und Leitergrößen bei Stern- und bei
Dreieckschaltung (Bild 5 b und c)
Sternschaltung
U = 3 ⋅ UStr
Dreieckschaltung
U = UStr
I = IStr
I = 3 ⋅ IStr
nd
(23)
ergibt sich für die Berechnung der Gesamtleistung aus den meßbaren Leitergrößen U und I
P = 3⋅
für die Sternschaltung
für die Dreieckschaltung P = 3 ⋅ U ⋅
U
3
⋅ I ⋅ cos ϕ
=
3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ
(24)
I
⋅ cos ϕ =
3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ .
3
Diese Übereinstimmung der Leistungsberechnung für Stern- und Dreieckschaltung besteht auch für die
Scheinleistung und für die Blindleistung im Dreiphasensystem:
Wirkleistung:
P = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ
(25)
Blindleistung:
Q = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ sin ϕ
(26)
Scheinleistung
S = 3U ⋅ I
S = P2 + Q2
(27)
λ = cos ϕ =
Leistungsfaktor
P
S
(28)
Berechnungshinweis für Stromaufnahme eines Drehstrommotors:
Leistungsangabe (auch PN auf Typenschild) ist stets abgegebene (mechanische) Leistung.
P
Pel = ab
Deshalb:
(29)
η
daraus
I=
Pel
3 ⋅ U ⋅ cos ϕ
Richtwerte: cos ϕ ≈ 0,7K0,9 ; Wirkungsgrade η ≈ 0,7...0,96 im Bereich der Nennleistung
(kleine Werte für PN ≈ 0,5 kW, die großen Werte für PN ≈ 1000 kW).
(30)
-8-
drephae8.doc //nd
3.3 Leistungsmessung im Drehstromsystem
Gemessen wird in der Regel die Wirkleistung.
Wirkleistungsmessung im Vierleiternetz
Unabhängig davon, ob der Sternpunkt N des Verbrauchers mit dem Neutralen Leiter N
verbunden ist oder nicht, ergibt sich die vom Verbraucher aufgenommene Wirkleistung aus
der Summe der von den Wattmetern angezeigten Einzelleistungen:
P = P1 +P2 +P3
P1
L1
I1
Verbraucher
Z1
I2
Z2
W
P2
L2
W
P3
L3
I3
N
(Sternpunkt)
Z3
W
U2N
U1N
U3N
nd
N
Bild 7
Wirkleistungsmessung
imVierleiternetz
Wirkleistungsmessung im Dreileiternetz
Wegen des nichtangeschlossenen Sternpunktes ist im Dreileiternetz zwangsweise I1 + I2 + I3 = 0 .
Unter dieser Voraussetzung erhält man die vom Verbraucher aufgenommene gesamte Wirkleistung aus den
in der „Aronschaltung“ (Bild 8) von den zwei Wattmetern angezeigten Leistungen P1 und P2:
Verbraucher
P1
I1
Z1
I2
Z2
(32)
W
L1
U 12
L2
N
P2
L3
P = P1 + P2
U 32
Z3
I3
W
Bild 8
Wirkleistungsmessung
am Dreileiternetz
Aronschaltung
(Zweiwattmeter-Methode)
4. Anschluß von drei- und einphasigen Verbrauchern an das Vierleiternetz
Im Bild 9 sind die gebräuchlichen Anschlußmöglichkeiten von einphasigen und dreiphasigen
Verbrauchern an das Drehstrom-Vierleiternetz angegeben.
Die Anschlußbilder sind ohne die erforderlichen Schalt- und Schutzeinrichtungen gezeichnet !!
L1
L2
L3
PEN
nd
N
PE
Schutzleiter PE
U1 V
W1
M
3∼
Drehstrommotor 400
U2
U1
Dreileitersystem
mit Schutzleiter
für einphasige
Verbraucher
M
1∼
Einphasenmotor 230
Lampen
230 V
Kleine Heizgeräte,
Netzanschluß für
Heimelektronik,
PC und andere einphasige
SchukoSteckdose
Bild 9: Anschluß von dreiphasigen und einphasigen Verbrauchern an das Drehstromnetz