Das Leontief - Modell - Übungsaufgabe 1

Das Leontief - Modell
GS - 09.09.06 - leo_uebg1.mcd
Das Leontief - Modell
- Übungsaufgabe 1 Mathcad-Einstellung: Menü Extras --> Arbeitsblattoptionen --> origin 1
Übungsaufgabe 1:
Die drei Zweigwerke U, V und W eines Unternehmens sind nach dem Leontief-Modell miteinander
verflochten.
1 1 1 

5

Gegeben ist die Inputmatrix A =  0

2
 5
1.1
5
2
5
4
5


3 

10

1 
5 
5
Wieviele Mengeneinheiten (ME) müssen in den einzelnen Zweigwerken produziert werden, wenn mit
 12 
→  
einer Nachfrage von y =  18  gerechnet wird.
 40 
 
1.2
1.3
Zeichnen Sie für diese Produktion ein Verflechtungsdiagramm mit allen intern verbrauchten und an
den Konsum gelieferten Mengen.
 100 
→ 
Für das kommende Jahr ist die Produktion x =  50  geplant.
 100 


Wie groß wird dann die Abgabe an den Konsum sein?
1.4
Es ist ein neues Produktionsverfahren geplant. Dadurch ändern sich die Elemente der Inputmatrix A.
Die Lieferanteile aus den drei Zweigwerken an Zweigwerk U verdoppeln sich und die an V werden
halbiert. Bei W entfällt der Eigenverbrauch.
Zweigwerk W produziert 200 ME und Zweigwerk V doppelt soviel wie U.
 12 
→  
Es wird die Nachfrage y =  18  erwartet.
 24 
 
Bestimmen Sie die Lieferanteile der Zweigwerke U und V an Zweigwerk W sowie den
Produktionsvektor.
Übungsaufgabe 1
1/4
07.06.2010
Das Leontief - Modell
1.1
→
→
Typ: Inputmatrix A und Nachfrage y gegeben ⇒ gesucht Produktionsvektor x
→ →
( E − A) ⋅ x = y
Grundgleichung für Verflechtungen:
Einheitsmatrix:
Inputmatrix:
 1 0 0 
E :=  0 1 0 
0 0 1 


 1
5

A :=  0

2
 5
Lösung:
Produktionsvektor:
1
5
2
5
4
5
Nachfrage:

5 
3 

10

1 
5 
1
 x1 
x ( x1 , x2 , x3) :=  x2 
 
 x3 
 0.2 0.2 0.2 
A =  0 0.4 0.3 
 0.4 0.8 0.2 


 12 
y :=  18 
 40 
 
 0.8 −0.2 −0.2 
E−A= 0
0.6 −0.3 
 −0.4 −0.8 0.8 


Zu lösendes Gleichungssystem:
 4 ⋅ x − 1 ⋅ x − 1 ⋅ x 
1 5 2 5 3
 5



3
3
( E − A) ⋅ x ( x1 , x2 , x3) = y → 
⋅ x2 −
⋅ x3

10
5


 −2

4
4
 5 ⋅ x1 − 5 ⋅ x2 + 5 ⋅ x3 


 12 
=  18 
 40 
 
Gaußmatrix aufstellen:
 4 −1 −1 12 
 5 5 5



3 −3
G := erweitern ( E − A , y) →  0
18 
5 10


 −2 −4 4

 5 5 5 40 
In Diagonalform bringen:
 1 0 0 132 
Gdiag := zref ( G) →  0 1 0 176 
 0 0 1 292 


Lösungsvektor abrufen:
〈4〉
x := Gdiag
Übungsaufgabe 1
2/4
⇒
 132 
x =  176 
 292 


07.06.2010
Das Leontief - Modell
1.2
→
→
Typ: Inputmatrix A, Nachfrage y und Produktion x gegeben ⇒ Warenflusstabelle
→
Die Zahlen im Diagramm errechnen sich durch zeilenweises multiplizieren A ⋅ x .
Verflechtung
 "Zweigwerke" "U" "V"

"U"
26.4 35.2

Warenflussmatrix =

"V"
0
70.4

"W"
52.8 140.8



58.4 12 132 
87.6 18 176 

58.4 40 292 
"W" "y" "x"
Lieferungen
1.3
Eigenbedarf_U = 26.4
Lieferung_UV = 35.2
Lieferung_UW = 58.4
Lieferung_VU = 0
Eigenbedarf_V = 70.4
Lieferung_VW = 87.6
Lieferung_WU = 52.8
Lieferung_WV = 140.8
Eigenbedarf_W = 58.4
Produktion_U = 132
Konsum_U = 12
Produktion_V = 176
Konsum_V = 18
Produktion_W = 292
Konsum_W = 40

→

→
Typ: Inputmatrix M und neue Produktion x1 gegeben ⇒ gesucht neuer Konsumvektor y1
 100 
x1 :=  50 
 100 


1.4
 50 
y1 =  0 
0 
 
y1 := ( E − A) ⋅ x1

→
Typ: Neue Inputmatrix M2 und neuer Konsumvektor y2 gegeben ⇒ gesucht neue

→
Lieferanteile der Zweigwerke x2 .
Alte Inputmatrix:
Übungsaufgabe 1
 1
5

A→0

2
 5
1
5
2
5
4
5

5 
3 

10

1 
5 
1
 0.2 0.2 0.2 
=  0 0.4 0.3 
 0.4 0.8 0.2 


3/4
 12 
y2 :=  18 
 24 
 
07.06.2010
Das Leontief - Modell
Bedingungen:
Verdoppelung:
Halbierung:
( )
〈2〉
1
a12 := ⋅ A
1
2
( )
〈2〉
1
a22 := ⋅ A
2
2
( )
〈2〉
1
a32 := ⋅ A
3
2
〈1〉
a11 := 2 ⋅ A
1
〈1〉
a21 := 2 ⋅ A
2
〈1〉
a31 := 2 ⋅ A
3
( )
a13
nicht bekannt
( )
a23
nicht bekannt
( )
a33 := 0
Neue Inputmatrix:
Konkret:
 a11 a12 a13 
A2 ( a13 , a23) :=  a21 a22 a23 


 a31 a32 a33 
 2 1 a 
13
 5 10



1
A2 ( a13 , a23) →  0
a23 
5


4 2

5 5 0 


Produktion von Zweigwerk U :
x1
alt:
neu:
Produktion von Zweigwerk V:
x2 x1 := 2 ⋅ x1
 12 
y =  18 
 40 
 
 y1 
 
y2 :=  y2 
 
 24 
Produktion von Zweigwerk W:
x3 := 200
( )
Es gibt ein neues Gleichungssystem:
 x1 


(E − A2(a13 , a23)) ⋅  2 ⋅ x1 


 200 
Auflösen:
x1 :=
−8
5
a_23 :=
 2 ⋅ x − 200 ⋅ a 
1
13
5

8

= y2 →  ⋅ x1 − 200 ⋅ a23 
5

 −8

 5 ⋅ x1 + 200 
 12 
=  18 
 24 
 
⋅ x1 + 200 = 24 auflösen , x1 → 110
 8 ⋅ x1 − 200 ⋅ a  = 18 auflösen , a → 79

23
23
100
5

2
4
a_13 := ⋅ x1 − 200 ⋅ a13 = 12 auflösen , a13 →
5
25
x1 = 110
a_23 = 0.79
a_13 = 0.16
Lieferung
Lieferung_UW = 0.16
Lieferung_VW = 0.79
Übungsaufgabe 1
4/4
07.06.2010