Spitzenwertreduktion bei Unique

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Diplomarbeit
Spitzenwertreduktion bei Unique-Word
OFDM
Jakob Rettelbach
Betreuer:
Prof. Dr.–Ing. Johannes B. Huber
Dr.–Ing. Clemens Stierstorfer
am
Lehrstuhl für Informationsübertragung
Friedrich–Alexander–Universität Erlangen–Nürnberg
Prof. Dr.–Ing. Johannes Huber
29.04.2012
I
Lehrstuhl für
Informationsübertragung
Diplomarbeit
für
Herrn Jakob Rettelbach
Spitzenwertreduktion bei Unique-Word
OFDM
Das Verhältnis von Spitzenleistung zu mittlerer Leistung (peak to average power ratio, PAPR) ist ein
wichtiger Paramter von Sendesignalen, da hierduch die Effizienz von Hochleistungssendeendstufen
maßgeblich beeinflusst wird. Da bei OFDM-Sendesignalen ein hoher PAPR-Wert auftritt, wurden
verschiedene Verfahren entwickelt, das PAPR für OFDM zu senken. Besonderer Bedeutung kommt
hierbei der Methode ,,Selected Mapping“ (SLM) zu. Neue Konzepte für Hochleistungsendstufen
beruhen auf einer getrennten Verarbeitung von Einhüllender und phasenmodulierter Schwingung des
Sendesignals. In diesem Fall sind auch sehr kleine Werte der Einhüllenden des Sendesignals nachteilig,
da diese zu schnellen Phasenmodulationen führen. Aus diesem Grund erfährt auch das Verhältnis von
maximaler zu minimaler Einhüllender von Sendesignalen (peak to minimum ratio, PMR) steigende
Aufmerksamkeit. Auch für das kürzlich vorgestellte Unique-Word OFDM (UW-OFDM), welches
anstelle des sog. cyclic prefix ein fixes Wort (sog. unique word) zur Transformation der linearen in
eine zyklische Faltung verwendet, ergibt sich diese Problematik bzgl. PAPR und PMR.
Herr Rettelbach erhält die Aufgabe, die Anwendung und die Leistungsfähigkeit des Verfahrens SLM
zur PAPR-Reduktion bei UW-OFDM zu untersuchen, sowie SLM zur Minimierung des PMR zu modifizieren. In der Untersuchung sollen analytische Lösungen für die komplementäre Verteilungsfunktion
des PAPR und PMR bei Anwendung von SLM für UW-OFDM abgeleitet und durch Simulationen
verifiziert werden. Dabei sind sowohl das im Symboltakt, als auch das zeitkontinuierliche Sendesignal
zu betrachten. Darüberhinaus ist zu prüfen, inwieweit SLM erfolgreich zur Reduktion der Leistung
der sog. redundanten Träger bei UW-OFDM eingesetzt werden kann, und wie sich diese und andere
Maßnahmen auf die PAPR- und PMR-Reduktion auswirken.
Als Hilfsmittel für numerische Untersuchungen und Simulationen steht MATLAB zur Verfügung.
Auf eine klare und effiziente Programmierung und ausführliche Dokumentation wird besonderer
Wert gelegt.
Ausgabe:
Abgabe:
01.11.2011
02.05.2012
Prof. Dr.-Ing. J. Huber
Erklärung
Ich versichere, dass ich die Arbeit ohne fremde Hilfe und ohne Benutzung anderer als der
angegebenen Quellen angefertigt habe und dass die Arbeit in gleicher oder ähnlicher Form noch
keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegen hat und von dieser als Teil einer Prüfungsleistung
angenommen wurde. Alle Ausführungen, die wörtlich oder sinngemäß übernommen wurden,
sind als solche gekennzeichnet.
Erlangen, 29. März 2012
Jakob Rettelbach
Junkersstr. 26
90158 Erlangen
jakobobicar@gmx.net
i
Inhaltsverzeichnis
Zusammenfassung
iii
Symbolverzeichnis
iv
Abkürzungsverzeichnis
vi
1 Einleitung
1
2 Unique-Word OFDM
3
2.1 Das OFDM-Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2 Erzeugen des Unique Word
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3 Leistung in den redundanten Subträgern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.4 Unique-Word OFDM mit Systematic Noise im Schutzintervall . . . . . . . . . .
10
2.5 Unique-Word OFDM als Non-Systematic Code
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Spitzenwert-Metriken
14
3.1 Peak-to-Average Power Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.1.1 Nyquist-abgetastetes Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.1.2 Überabgetastetes Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2 Peak-to-Minimum Power Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2.1 Nyquist-abgetastetes Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2.2 Überabgetastetes Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4 Spitzenwertreduktionsverfahren
4.1 Selected Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
26
INHALTSVERZEICHNIS
ii
4.1.1 Nyquist-abgestastetes Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.1.2 Abbildungsvorschriften für SLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.2 Partial Transmit Sequences
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Peak-to-Average-Power Ratio bei Unique-Word OFDM
5.1 Selected Mapping für Unique-Word OFDM
32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.2 Partial Transmit Sequences für Unique-Word OFDM . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.3 Überabgetastetes Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
6 Leistungsreduktion bei UW-OFDM mittels SLM
6.1 PAPR-Reduktion und Leistungsreduktion bei UW-OFDM . . . . . . . . . . . .
7 Peak-to-Minimum-Power Ratio Reduktion bei Unique-Word OFDM
41
44
49
7.1 Selected Mapping zur PMPR-Reduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
7.2 PMPR-Reduktion und Leistungsreduktion bei UW-OFDM . . . . . . . . . . . .
53
7.3 Überabgetastetes Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
8 Zusammenfassung und Ausblick
55
A Summe der Betragsquadrate von normalverteilten Zufallsvariablen
56
Anhang
56
B Berechnung des ursprungsnächsten Punktes auf einer Geraden
58
C Algoritmus für PAPR und Gesamtleistungsreduktion
60
Literatur
62
iii
Zusammenfassung
Diese Diplomarbeit behandelt das Verhalten von Unique-Word OFDM im Bezug auf den Spitzenwert. Zudem wird noch der Spitzenwertverhalten von Unique-Word OFDM mit Systematic
Noise und Unique-Word mit Non-Systematic-Code geschildert. Dazu wird das Peak-to-AveragePower Ratio betrachtet. Zudem wird eine neue Spitzenwertmetrik - Peak-to-Minimum-Power
Ratio - eingeführt. Eine neue Klasse von Schaltverstärkern verlangt nach einem niedrigen Peakto-Minimum-Power Ratio. Sowohl für das Peak-to-Average-Power Ratio als auch für das Peakto-Minimum-Power Ratio gibt diese Arbeit eine analytische Lösung unter der Annahme normalverteilter Abtastwerte an. Ziel ist es, den Spitzenwertfaktor von Unique-Word OFDM zu
untersuchen und mit dem von Cyclic-Prefix OFDM zu vergleichen. Es stellt sich heraus, dass
Unique-Word OFDM im Bezug auf das Peak-to-Average-Power Ratio einen leicht geringeren
Erwartungswert als Cyclic-Prefix OFDM hat. Bei Peak-to-Minimum-Power Ratio ergibt sich
- für das verwendete 4-QAM Mapping - ein immenser Gewinn von Cyclic-Prefix OFDM zu
Unique-Word OFDM, da Unique-Word OFDM wegen der redundanten Subträger keinen Signalpunkt im Ursprung der komplexen Ebene erzeugt.
Mit den bekannten Reduktionsverfahren Selected Mapping und Partial Transmit Sequences
werden Peak-to-Average-Power Ratio und Peak-to-Minimum-Power Ratio von Unique-Word
OFDM verringert. Hier zeigt sich, dass beide Verfahren mit geringen Modifikationen auf UniqueWord OFDM angewendet werden können. Die Gewinne durch beide Verfahren sind dieselben
wie bei Cyclic-Prefix OFDM. Neben Nyquist-abgetasteten Signalen werden auch überabgetastete Signale betrachtet.
Unique-Word OFDM hat auf Grund der redundanten Subträger eine datenabhängige Leistung.
Diese Arbeit zeigt, wie Selected Mapping benutzt werden kann, um die mittlere Leistung zu
senken. Eine analytische Lösung für die Verteilung der Gesamtleistung in den redundanten
Subträgern wird - wieder unter der Annahme normalverteilter Abtastwerte - hergeleitet. Es
zeigt sich, dass die Leistung in den redundanten Subträgern durch Selected Mapping annähernd
halbieren lässt. Außerdem werden die Korrelationen zwischen Leistung in den redundanten
Subträgern und dem Peak-to-Average-Power Ratio respektive dem Peak-to-Minimum-Power
Ratio analysiert.
iv
Symbolverzeichnis
{a, b, c}
Menge mit den Elementen a, b, c
ccdf X (x)
Complementary Cumulative Distribution Function: Komplementäre Verteilungsfunktion
cdf X (x)
Cumulative Distribution Function: Verteilungsfunktion
diag{x}
Erzeugt eine Diagonalmatrix aus dem Vektor x
⌈·⌉
Runden zur nächstgrößeren ganzen Zahl
0
Matrix mit ausschließlich 0-Elementen
1
Matrix mit ausschließlich 1-Elementen
A
Matrix
M
Anzahl der Signalpunkte des Mappings
FN
DFT-Matrix der Dimension N × N
I
Einheitsmatrix
[X]i,j
Element in Zeile i und Spalte j der Matrix X
Nd
Länge des Datenvektors
N
Länge der DFT
Nr
Länge des Vektors mit redundanten Subträgern
Nz
Anzahl der Nullsubträger
⊕
XOR
pdf X (x)
Probability Density Function: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
trace{X} Summe der Hauptdiagonalenelement der Matrix X
~x
2-dimensionaler Vektor mit geometrischer Bedeutung
v
d̃
Frequenzbereichsvektor
[x]i
Element i des Vektors x
x
Zeitbereichsvektor
xGF
Galois Feld Element
vi
Abkürzungsverzeichnis
BLUE
Best Linear Unbiased Estimator
CCDF
Complementary Cumulative Distribution Function
CDF
Cumulative Distribution Function
CP-OFDM
Cyclic-Prefix OFDM-System
DC
Gleichanteil (von Direct Current)
DFT
Diskrete Fourier Transformation
IDFT
Inverse Diskrete Fourier Transformation
i.i.d.
independent and indentically distributed
LMMSE
Linear Minimum Mean Square Error
OFDM
Orthogonal Frequency Division Multiplex
PAM
Pulsamplitudenmodulation
PAPR
Peak-to-Average-Power Ratio
PDF
Probability Density Function
PTS
Partial Transmit Sequences
PWM
Puls-Weiten Modulation
QAM
Quadratur Amplituden Modulation
SLM
Selected Mapping
UW-OFDM Unique-Word OFDM
WLAN
Wireless Local Area Network
1
Kapitel 1
Einleitung
In digitalen Datenübertragungssystemen werden um die Herausforderungen von Mehrwegeausbreitung handhaben zu können Mehrträgerverfahren eingesetzt. Bei Mehrträgerverfahren wird
das Signal auf mehreren Trägerfrequenzen übertragen. Das am weitesten verbreitete Mehrträgerverfahren ist Orthogonal Frequency Division Multiplex (OFDM). So kommt es unter anderem
bei WLAN (Wireless Local Area Network ) [80299], Datenübertragung im Mobilfunk [3GPP06]
oder terrestrischem Fernsehrundfunk [DVB97] zum Einsatz. Bei OFDM werden die Daten im
Frequenzbereich definiert und blockweise übertragen. Den Transformation vom Frequenz- in
den Zeitbereich führt die inverse Diskrete Fourier Transformation (IDFT) durch.
Unique-Word OFDM ist eine neue Variante von OFDM. Bei Unique-Word OFDM wird zwischen
den Blöcken eine definierte Sendesequenz eingefügt, die für Synchronisationszwecke verwendet
werden kann.
Der Nachteil von OFDM, und auch von Unique-Word OFDM, ist ein hoher Spitzenwert. Ein
hoher Spitzenwert bedeutet, dass eine gelegentlich Spannungsspitze im Signal vorkommt. Signal
mit hohem Spitzenwert verlangen einen Verstärker, der über einen sehr großen Bereich linear
arbeitet. Dieser lineare Betrieb hat einen geringeren Wirkungsgrad als Verstärker, die im nichtlinearen Bereich arbeiten. Somit steigt der Leistungsverbrauch des Geräts. Für OFDM-Systeme
existieren zahlreiche Methoden, diesen Spitzenwert zu senken. Allerdings wurde bis jetzt das
Verhalten von Unique-Word OFDM im Bezug auf den Spitzenwert und die Anwendbarkeit von
bekannten Spitzenwertreduktionsverfahren auf Unique-Word OFDM noch nicht untersucht.
Zudem gibt es in der Entwicklung von Verstärkern den Versuch, Verstärker im Schaltbetrieb
einzusetzen. Dies verlangt nach einem neuen Bewertungskriterium für die Güte des Signals
im Hinblick auf die Verstärkerverträglichkeit. Das neue Bewertungskriterium heißt Peak-toMinimum Ratio. Diese Arbeit soll erste Versuche unternehmen, OFDM-Signale nach diesem
Kriterium zu verbessern.
Die Arbeit gliedert sich wie folgt: Kapitel 2 stellt Unique-Word OFDM und zwei Varianten von
Unique-Word OFDM vor. Kapitel 3 behandelt die Spitzenwertmetriken Peak-to-Average-Power
1. Einleitung
2
Ratio und Peak-to-Minimum-Power Ratio, rechtfertigt den Einsatz der Metriken und leitet
analytische Verläufe der Wahrscheinlichkeitsverteilung her. Kapitel 4 stellt die Spitzenwertreduktionsverfahren Selected Mapping und Partial Transmit Sequences vor. In Kapitel 5 wendet
Selected Mapping und Partial Transmit Sequences auf Unique-Word OFDM an und analysiert
das Peak-to-Average-Power Ratio von Unique-Word OFDM. Kapitel 6 zeigt die Möglichkeit
auf, mit Hilfe von Selected Mapping die mittlere Leistung in den redundanten Subträgern
zu reduzieren, und Kapitel 7 reduziert das Peak-to-Minimum-Power Ratio von Unique-Word
OFDM.
3
Kapitel 2
Unique-Word OFDM
Um Mehrwegeausbreitung entzerren zu können, wird bei OFDM Systemen ein Schutzintervall
eingeführt. Unique-Word OFDM (UW-OFDM) ist eine neue Variante zur Implementierung des
Schutzintervall.
2.1
Das OFDM-Signal
OFDM ist ein Mehrträgermodulationsverfahren. Die orthogonalen Träger werden bei OFDM
durch die inverse Diskrete Fourier Transformation (IDFT) erzeugt. Gleichung (2.1) zeigt die
Definition der IDFT vom Frequenzbereichswerten d˜i = [d̃]i in den Zeitbereich xi = [x]i .
xi =
N
−1
X
2π
e+j N ik d˜k , k = 0..(N1 )
(2.1)
k=0
Dieser Zusammenhang lässt sich mit einer entprechenden Matrix FN ∈ CN ×N auf folgende Art
und Weise in Matrixnotation schreiben:
x = F−1
N d̃.
(2.2)
Abbildung 2.1 zeigt das Grundblockschaltbild für ein allgemeines Cyclic-Prefix OFDM-System
(CP-OFDM). Kanalcodierung ist nicht Thema dieser Arbeit und hat keinen Einfluss auf den
Spitzenwert.1 Deshalb wird sie im Folgenden nicht mit berücksichtigt. Als Mapping wird in
dieser Arbeit Quadratur Amplituden Modulation mit M = 4 Stufen angewendet (4-QAM), wie
es z. B. in [Pro01] definiert ist. OFDM wird in Blöcken verarbeitet, die bei CP-OFDM aus Nd
Datensubträgern und Nz Nullsubträgern. Der Kern des OFDM-Systems ist die IDFT der Länge
1
Es sei denn man integriert in die Kanalcodierung einen Spitzenwertreduktionsmechanismus [FS08]
2. Unique-Word OFDM
4
N = Nd + Nz bei CP-OFDM. Als Vergleichssystem wird in dieser Arbeit ein CP-OFDM-System
aus dem WLAN-Standard [80299] mit N = 64, Nd = 52 und Nz = 12 verwendet. Nach dem
Einfügen des Cyclic Prefix wird das Signal mit dem Sendegrundimpuls g(t) Pulsamplitudenmoduliert (PAM) und auf die Trägerfrequenz gemischt. Vor der Antenne befindet sich der
Leistungsverstärker. Eben dieses Bauelement verlangt einen niedrigen Spitzenwert (siehe dazu
Kapitel 3).
Binäre
Quelle
Kanalcodierung/
Interleaving
Leistungs−
verstärker
Mapping:
QAM
Hoch−
mischen
OFDM−Block
erzeugen
PAM mit
g(t)
IDFT
Cyclic Prefix
einfügen
Abbildung 2.1: Blockschaltbild für die Signalerzeugung bei CP-OFDM
Abbildung 2.2 zeigt das Systemmodel von Unique-Word OFDM. Die Signalerzeugung ist ähnlich
wie bei CP-OFDM mit dem Unterschied, dass anstatt des Cyclic Prefix ein Unique Word
eingefügt wird. Das Unique-Word wird durch redundante Subträger erzeugt. Die redundanten
Subträger werden wiederum wird aus den Datensubträgern erzeugt.
Binäre
Quelle
Kanalcodierung/
Interleaving
Leistungs−
verstärker
Mapping:
QAM
Hoch−
mischen
Redundante
Subträger erzeugen
PAM mit
g(t)
OFDM−Block
erzeugen
Unique−Word
addieren
IDFT
Abbildung 2.2: Blockschaltbild für die Signalerzeugung bei UW-OFDM
2.2
Erzeugen des Unique Word
Der Unterschied zwischen UW-OFDM und CP-OFDM besteht in der Implementierung des
Schutzintervalls. Das Schutzintervall sorgt dafür, dass die lineare Faltung des Kanals in eine
zyklische Faltung übergeht (vgl. IDFT). In Cyclic-Prefix-OFDM aus dem WLAN-Standard
802.11a [80299] wird das Schutzintervall durch eine Wiederholung der letzten Daten eines Blocks
erreicht. Abbildung 2.3 zeigt die Datenblöcke, wie sie bei CP-OFDM gesendet werden. CP1
bzw. CP2 repräsentieren dabei die Voranstellung der letzten Abtastwerte. Das Cyclic-Prefix ist
also abhängig von den Daten, die in dem Block gesendet werden. Die gestrichelte Linie deutet
dabei an, wie das Cyclic-Prefix durch die Faltung des Kanals in den Datenblock interferiert.
2. Unique-Word OFDM
5
Man sieht, dass - unter Vernachlässigung des Rauschens - lineare und zyklische Faltung aus
Sicht eines Blockes äquivalent sind. Das Cyclic-Prefix wird dann am Empfänger verworfen
und der Datenblock demoduliert. Die Demodulation erfolgt durch Rücktransformation in den
Frequenzbereich mit der DFT. Im Frequenzbereich hat das Signal keine Intersymbolinterferenz
und kann sehr einfach entzerrt werden.
In Bild 2.4 wird der Ablauf bei UW-OFDM illustriert. Im Gegensatz zum Cyclic-Prefix wird
das (bis auf das erste gesendete) Unique-Word in der DFT mit verarbeitet. Zudem ist das
Unique-Word nicht datenabhängig sondern deterministisch. Das Unique-Word kann somit für
Synchronisationszwecke angepasst werden.
TDFT
CP1
TDFT
CP1 CP2
CP2
Abbildung 2.3: Zeitlicher Ablauf bei CP-OFDM
TDFT
UW
TDFT
UW
UW
Abbildung 2.4: Zeitlicher Ablauf bei UW-OFDM
Für die Erzeugung des Unique-Word sind im Frequenzbereich redundante Subträger r̃ ∈ CNr ×1
vorgesehen, die aus den Datensubträgern d̃ ∈ CNd ×1 gewonnen werden. In [OH10] wird gezeigt,
dass es günstiger ist, das Unique-Word in zwei Schritten aus den redundanten Subträgern zu
erzeugen:
1. Zunächst wird an der Stelle des Unique-Word ein Nullwort 0 ∈ {0}Nu ×1 erzeugt
2. Dann wird das Unique-Word xU ∈ CNu ×1 addiert
Die Position der redundanten Subträger r̃ hat Einfluss auf die mittlere Leistung in diesen. Durch
heuristische Verfahren wird in [HHH10] die Position der redundanten Subträger optimiert. Es
stellt sich heraus, dass eine möglichst gleichmäßige Verteilung der redundanten Subträger r̃
unter den Datensubträgern d˜ zur geringsten mittleren Leistung führt. Für die mathematische
Beschreibung der Positionierung der redundanten Subträger wird die Permutationsmatrix
P ∈ {0, 1}(Nd +Nr )×(Nd +Nr ) eingeführt. Wie in [80299] werden auch bei UW-OFDM der DCSubträger und die Subträger an den Rändern des Spektrums auf Null gesetzt. Der DC-Subträger
wird auf Null gesetzt, um Schwierigkeiten im Digital/Analog-Wandler zu vermeiden. Die Nullen
2. Unique-Word OFDM
6
an den Bandrändern dienen der spektralen Formung. Die eingefügten Nullen werden durch die
Matrix B ∈ {0, 1}(Nd +Nr )×N mathematisch beschrieben.
Mit der Matrix P zum Permutieren der Subträger, der Matrix B zum Einfügen der Nullsubträger und der DFT-Matrix F N ∈ CN ×N aus Gleichung (2.2) ergibt sich für UW-OFDM folgende
Gleichung:
   
d̃ xd 
F−1
BP
  =  .
N
0
r̃
(2.3)
Da das Gleichungssystem überbestimmt ist, sind die redundanten Subträger r̃ abhängig von
den Datensubträgern d̃. Um diese Abhängigkeit aufzulösen, wird die Hilfsmatrix M eingeführt:


M11 M12 
(2.4)
M = F−1
,
N BP = 
M21 M22
mit M21 ∈ CNr ×Nd und M22 ∈ CNr ×Nr . Durch umstellen des unteren Teils des Gleichungssystems aus (2.4) lässt sich M21 d̃ + M22 r̃ = 0 folgern. Die Beziehung zwischen redundanten
Nr ×Nd
gilt. Das Einfügen
und Datensubträgern ist dann: r̃ = −M−1
22 M21 d̃ = Td̃, wobei T ∈ C
der redundanten Subträger kann als inhärente Kanalcodierung mit systematischer Codierung
interpretiert werden. Die Matrix G aus Gleichung (2.5) übernimmt die Funktion der Generatormatrix des Codes. Diese Erzeugung der Codeworte c̃ ist in Gleichung (2.5) und Abbildung
2.5 veranschaulicht.
 
 
I
d̃
c̃ = P   = P   d̃ = Gd̃,
T
r̃
d˜
P
T
(2.5)
c̃
r̃
Abbildung 2.5: Codeworterzeugung bei UW-OFDM
2. Unique-Word OFDM
7
Der Sendevektor x ∈ CN ×1 ist in Gleichung (2.6) beschrieben. x̃ ist der Vektor am Eingang der
IDFT.
−1
x = F −1
Bc̃
N BGd̃ = F N |{z}
(2.6)
x̃
Nebenbei sei erwähnt, dass die Redundanz der redundanten Subträger ausgenutzt werden kann,
um die Fehlerwahrscheinlichkeit im Empfänger zu senken. In [HOH11] werden mehrere Entzerrer wie zum Beispiel der Best Linear Unbiased Estimator Empfänger (BLUE) oder Linear
Minimum Mean Square Error Empänger (LMMSE) diskutiert.
Die Simulationsparameter werden weitestmöglich aus [80299] übernommen. Die Länge der DFT
ist N = 64. Die Anzahl der Datensubträger, die dem 4-QAM-Alphabet entnommen sind, ist
Nd = 36. Die Anzahl der redundanten Subträger und die Länge des Unique-Word sind jeweils
Nu = Nr = 16. Die Indizes der Nullsubträger sind {0, 27, 28, ..., 37}, die Indizes der redundanten
Subträger {2, 6, 10, 14, 17, 21, 24, 26, 38, 40, 43, 47, 50, 54, 58, 62}.
Abbildung 2.6 zeigt die Verteilung der mittleren Leistung auf die Subträger für Datensubträger mit mittlerer Leistung σx2 = 1. Auf die Nullsubträger entfällt keine Leistung. Die Leistung
jedes redundanten Subträgers ist ein stochastischer Prozess mit dem entsprechenden Erwartungswert und abhängig von dem momentanen Datenvektor. Die erwartete Gesamtleistung der
redundanten Subträger ist gegeben durch trace{TTH } (trace{X} ist die Summe der Hauptdiagonalenelement der Matrix X). Für die gegebenen Parameter mit Nr = 16 redundanten
Subträgern ist die Summenleistung gegeben als trace{TTH } = 36.57, also in etwa genauso
groß, wie die Summe der Nd = 36 Datensubträger.
2.3
Leistung in den redundanten Subträgern
Wie im vorherigen Kapitel erwähnt, ist die Energie in den redundanten Subträgern ein stochastischer Prozess. In [HRSH12] wird eine analytische Lösung für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Gesamtenergie in den redundanten Subträgern angegeben. Die Gesamtenergie der
redundanten Subträger ist definiert als rGes = r̃H r̃. Mit der Matrix T aus Kapitel 2 lässt sich
die Korrelationsmatrix der redundanten Subträger Q = TTH ermitteln. Die Matrix Q enthält Elemente ungleich 0 außerhalb der Hauptdiagonalen. Das bedeutet, dass die redundanten
Subträger untereinander korreliert sind. Unter Einbezug dieser Korrelationen ist es unmöglich, eine geschlossene analytische Lösung für die Summenenergie der redundanten Subträger
zu ermitteln. Daher werden die Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen ignoriert, um eine
analytische Näherung für die Summenenergie zu erhalten. Es bleiben Nr stochastisch unabhängige Subträger mit unterschiedlichen mittleren Leistungen wie in Abbildung 2.6 gezeigt.
2. Unique-Word OFDM
8
Nullsubträger
Datensubträger
Redundante Subträger
3
Mittlere Leistung
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Subträgerindex
Abbildung 2.6: Mittlere Leistung der Subträger für Datensubträger mit mittlerer Leistung σx2 =
1
Durch den zentralen Grenzwertsatz lässt sich annehmen, dass jeder einzelne redundante Subträger komplex-normalverteilt ist [BSMM05]. Die Leistung ri = |[r̃]i |2 ist somit exponentialverteilt, wie in Appendix A gezeigt. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (Probability Density
Function) der einzelnen Subträger mit der Leistung a1i = [Q]i,i ist dann gegeben durch:
pdf ri (x) = ai e−ai x
,
ai > 0
(2.7)
Um die Summe der statistisch unabhängigen Zufallsvariablen ri zu berechnen, muss die Nr -fache
Faltung aus Gleichung (2.8) durchgeführt werden. Durch Fourier-Transformation U bekommt
man die charakteristische Funktion der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion [Luk60] und die Faltung transformiert sich in eine Multiplikation (Gleichung (2.9)).
2. Unique-Word OFDM
9
pdf rGes (x) = pdf r1 (x) ∗ pdf r2 (x) ∗ ... ∗ pdf rNr (x)
(2.8)
ˆ
Nr
Y
PDFrGes (f ) = U{pdf rGes (x)} =
PDFri (f ) =
Nr
Y
i=1
i=1
ai
ai + j2πf
(2.9)
Um die Fourier-Rücktransformation U−1 zu vereinfachen, wird das Produkt aus (2.9) in Partialbrüche zerlegt. Aus Abbildung 2.6 geht hervor, dass die Faktoren ai auf Grund der Symmetrie
paarweise auftreten. Es werden für die analytische Berechnung Abweichungen bei den Faktoren
ai eingeführt, so dass keine zwei gleichen ai auftreten. Dadurch vereinfacht sich die Partialbruchzerlegung auf den Ausdruck in Gleichung (2.10). Die Zähler Ai , i = 1..Nr werden mit
Hilfe des Residuensatzes berechnet [BSMM05].
Nr
X
PDFrGes (f ) =
i=1
Ai =
j2π
d
df
Q
Ai
,
ai + j2πf
QNr
l=1
Nr
l=1 (al
(2.10)
al
+ j2πf ) a
f =j 2πi
Durch Rücktransformation erhält man die analytisch berechnete PDF für die Gesamtenergie
der redundanten Subträger.
PDFrGes (f ) =
Nr
X
i=1
Ai
ai + j2πf
(2.11)
Ai e−ai x
(2.12)
ˆ
pdf rGes (x) =
Nr
X
i=1
Die Complementary Cumulative Distribution Function , also die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Summenenergie überschritten wird, ergibt sich dann durch folgende Integration
[BSMM05].
Z∞
Nr
X
Ai −ai x
e
, x>0
(2.13)
ccdf rGes (x) = pdf rGes (x)dx =
a
i
i=1
x
2. Unique-Word OFDM
2.4
10
Unique-Word OFDM mit Systematic Noise im Schutzintervall
Wie in Abbildung 2.6 gezeigt wird, ist die Gesamtenergie in den redundanten Subträgern im
Mittel sehr hoch und in der selben Größenordnung wie die Gesamtenergie der Datensubträger.
[HHH10] zeigt, dass man die mittlere Energie der redundanten Subträger senken kann, indem
man im Schutzintervall ein Restrauschen ∆xu belässt. Gleichung (2.3) verallgemeinert sich zu:

  

M11 M12  d̃  xd 

  = 

∆xu
r̃
M21 M22
(2.14)
Die Gleichung (2.15) für die redundanten Subträger ist unterbestimmt und hat als Freiheitsgrad
das Restrauschen.


 r̃ 
 = −M21 d̃
M22 −I 
∆xu
(2.15)
r ×1
u ×1
In [HHH10] werden die Gewichtungsvektoren wr ∈ RN
und w u ∈ RN
, die als Parameter
+
+
für den Austausch von Leistung in den redundanten Subträgern und dem Restrauschen im
Unique-Word dienen, eingeführt. Die Gewichtungsvektoren werden zu einer Diagonalmatrix
zusammengefasst.
 


 wr 
 
(2.16)
W = diag  


 wu 
Gesucht ist die Matrix T′ ∈ CNr ×Nd , die die redundanten Subträger aus den Datensubträgern
für das entsprechende Restrauschen erzeugt. Ziel dabei ist es, die Energie in den redundanten
Subträgern und das Restrauschen zu minimieren unter der Nebenbedingung, dass Gleichung
(2.15) gültig bleibt. In [HHH10] wird diese Optimierung durchgeführt und T′ berechnet sich
zu:
T′ = − I 0 W−1 AH (AW−1AH )−1 M21 ,
(2.17)
mit A = M22 − I . Mit den gewonnenen Freiheitsgraden kann auch Nr < Nu gelten. In dieser
Arbeit wird nur eines der vielen möglichen Szenarien mit Systematic Noise betrachtet werden:
Gleiche Länge des Unique-Word und des Vektors r̃: Nr = Nu = 16
2. Unique-Word OFDM
11
Konstante Gewichtungfaktoren für die redundanten Subträger: w r = 1
Größeres Restrauschen am Anfang des Schutzintervalls, also steigende Gewichtungsfaktoren: wu,n = 0.5 · en/2 , n = 1..Nu
Abbildung 2.7 zeigt die Leistung der jeweiligen Subträger. Das Ziel, die mittlere Leistung der
redundanten Subträger zu senken, wurde auf Kosten des Restrauschens erreicht. Die Gesamtleistung der redundanten Subträger ist nur noch trace{T′ T′H = 3.96}, also fast um den Faktor
10 reduziert.
Nullsubträger
Datensubträger
Redundante Subträger
1
0.9
Mittlere Leistung
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Subträgerindex
Abbildung 2.7: Mittlere Leistung der Subträger für UW-OFDM mit Restrauschen
2.5
Unique-Word OFDM als Non-Systematic Code
Wie in Abbildung 2.5 in Kapitel 2.2 gezeigt, ist in UW-OFDM ein Kanalcode mit systematischer Codierung enthalten. [HHH12] beschreibt, wie man bei UW-OFDM nicht-systematische
2. Unique-Word OFDM
12
Codierung verwenden kann. Nicht-systematische Codierung heißt in diesem Fall, keine dezidierten Subträger für die Daten zu reservieren, sondern die Daten über alle Subträger zu verteilen.
Um die nicht-systematische Codierung zu implementieren muss die Generatormatrix des Codes verändert werden. In Gleichung (2.6) wird die neue Generatormatrix Ǧ ∈ C(Nd +Nr )×Nd
eingesetzt:
x = F −1
N BǦd̃
(2.18)
Es gibt viele Möglichkeiten der nicht-systematischen Codierung. Die optimale Generatormatrix
ist abhängig von der Empfängerstruktur. In [HHH12] wird ein Optimalitätskriterium für die
Generatormatrix bei nicht-systematischer Codierung und BLUE-Entzerrer (siehe Kapitel 2.2)
angegeben. Die Optimierung sorgt dafür, dass die Sendeleistung und Leistung des Fehlers nach
dem Entzerrer gemeinsam minimiert wird. Für diese Minimierung wird in [HHH12] folgende
Kostenfunktion definiert:
JBLUE = trace{ǦH Ǧ} · trace{(ǦH Ǧ)−1 }
(2.19)
Der Faktor trace{ǦH Ǧ} steht für die Sendeleistung, trace{(ǦH Ǧ)−1 } ist proportional zur Gesamtfehlerleistung am Ausgang des Entzerrers. Die optimale Generatormatrix für den BLUEEntzerrer ist in [HHH12] beschrieben durch folgenden Satz:
Eine Generatormatrix Ǧ ist optimal, dass heißt sie führt auf ein globales Minimum
in der Kostenfunktion in Gleichung (2.19), wenn gilt:
ǦH Ǧ = α · I
(2.20)
und zudem Ǧ dafür sorgt, dass gilt:
 
∗
F −1
B
Ǧ
=
 
N
0
(2.21)
Bedingung (2.21) sorgt dafür, dass die Generatormatrix auch tatsächlich das Unique-Word erzeugt. In Gleichung (2.20) wird gefordert, dass die Matrix Ǧ unitär sein soll, um eine optimale
Generatormatrix zu sein. Damit wird durch die Matrix Ǧ die Gesamtleistung nur um einen
konstanten Faktor geändert (genau wie bei der DFT-Matrix FN ) und ist kein stochastischer
Prozess mehr wie bei normalem UW-OFDM. Durch Normierung ist dann die Gesamtsendeleistung deterministisch und beläuft sich auf trace{ǦH Ǧ} = Nd = 36. Abbildung 2.8 zeigt
die mittlere Sendeleistung der einzelnen Subträger. Man sieht, dass keiner der Subträger als
eindeutiger Datensubträger zu erkennen ist. Die Leistung der Daten wird auf die Subträger
verteilt. Die Leistung der einzelnen Subträger ist ein stochastischer Prozess, in Summe ist die
Leistung aber immer die errechneten 36.
2. Unique-Word OFDM
13
Nullsubträger
Benutzte Subträger
0.8
0.7
Mittlere Leistung
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
50
60
70
Subträgerindex
Abbildung 2.8: Mittlere Leistung der Subträger für UW-OFDM als Non-Systematic Code
14
Kapitel 3
Spitzenwert-Metriken
Wie im Kapitel 2.1 erwähnt ist es der Verstärker, der einen hohen Spitzenwert nicht verarbeiten
kann. Der Verstärker kommt bei zu hoher Momentanleistung in den Sättigungsbereich und wird
übersteuert. Das Ausgangssignal folgt nicht dem Eingangssignal sondern wird amplitudenbegrenzt (Clipping). Das Problem hierbei ist nicht so sehr der zusätzlich eingefügte Fehler, sondern eher die Tatsache, dass das OFDM-Signal an Bandbreite zunimmt. Durch das nicht-lineare
Verhalten des Leistungsverstärkers werden Frequenzanteile außerhalb des Frequenzbandes des
Signal erzeugt. Abbildung 3.1 zeigt als Beispiel das Spektrum eines OFDM-Blocks mit Parametern aus dem WLAN-Standard 802.11a (Nd = 52 Datensubträger, Länge der IDFT N = 64
und f = 20MHz, siehe [80299]). In Abbildung 3.2 daneben ist das gleiche Signal, allerdings amplitudenbegrenzt im Zeitbereich, dargestellt. Man sieht deutlich die erhöhten Frequenzanteile
außerhalb des 20MHz breiten Bandes. Um dies zu vermeiden kann ein Verstärker im A-Betrieb
verwendet werden. Klasse-A Verstärker sind über einen großen Bereich linear. Allerdings weisen
sie dadurch deutlich niedrigere Wirkungsgrade auf.
20
15
15
Spektrum eines OFDM−Kanals mit Clipping
10
Spektrum eines OFDM−Kanals
10
5
0
−5
−10
5
0
−5
−10
−15
−20
−20
−15
−10
−5
0
f/Mhz
5
10
15
Abbildung 3.1: OFDM-Spektrum eines
Kanals im WLAN-Standard 802.11a
20
−15
−20
−15
−10
−5
0
f/Mhz
5
10
15
20
Abbildung 3.2: OFDM-Spektrum eines Kanals im WLAN-Standard 802.11a mit amplitudenbegrenztem Zeitsignal
3. Spitzenwert-Metriken
15
Die Metrik, nach der Spitzenwertreduktionsverfahren das Sendesignal optimieren, wird durch
die Randbedingungen bestimmt, unter denen der Spitzenwert reduziert werden soll. In diesem
Kapitel sollen zwei Metriken vorgestellt werden.
3.1
Peak-to-Average Power Ratio
Die klassische Metrik für die Spitzenwertreduktion ist der Crest-Faktor oder das PAPR (Peakto-Average Power Ratio). Als Randbedingung soll hier die mittlere Leistung nicht erhöht werden, da dies die Leistungseffizienz des Übertragungsverfahrens verschlechtern würde. Formel
(3.1) bzw. (3.2) zeigt die Definition des Crest-Faktors ζ und des PAPR. Es gilt dabei xi = [x]i .
max|xi |
ζ=p
E {|xi |2 }
max x2i
max |xi |2
=
PAPR =
E{|xi |2 }
σx2
3.1.1
, i = 1..Nd
(3.1)
, i = 1..Nd
(3.2)
Nyquist-abgetastetes Signal
Nimmt man zur Berechnung des PAPR nur die Werte am Ausgang der IDFT und lässt die
Impulsform außer Acht, so können die Zufallsvariablen xi als unabhängig angenommen werden.
Auf Grund des zentralen Grenzwertsatzes1 kann jeder Zeitbereichsabtastwert xi als komplexwertig normalverteilt angenommen werden [Sie10]:
xi ∼ CN (0, σx2 )
(3.3)
Normiert man die Betragsquadrate auf ci = σx2i , so sind Real- und Imaginärteil normalverteilt:
x
ci ∼ CN (0, 1). Die Summe der Quadrate aus zwei unabhängigen, normalverteilten Variablen
ǫi = (ℜ{ci })2 + (ℑ{ci })2 ist exponentialverteilt pdfexp (x) = ge−gx , x ≥ 0 mit g = ǫi und die
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ergibt sich zu:
pdf ǫ (ǫi ) = e−ǫi
(3.4)
Eine detaillierte Herleitung dieses Zusammenhangs befindet sich in Anhang A. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung (Cumulative Distribution Function), also die Wahrscheinlichkeit, dass ein
bestimmter Wert ǫi kleiner als ein Grenzwert ǫth ist, errechnet sich durch Integrieren der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (3.4) in den Grenzen von 0 bis ǫth [BSMM05].
1
die Werte xi werden durch die IDFT aus Gleichung (2.1) aus der Summe unabhängiger Zufallsvariablen mit
gleicher Wahrscheinlichkeitsverteilung (i.i.d.) erzeugt
Pr{ǫi < ǫth } = cdf ǫi (ǫth ) =
16
Z
0
ǫth
pdf(ǫi )dǫth = 1 − e−ǫth
(3.5)
Wieder unter der Annahme, dass die Werte xi i.i.d. sind, errechnet sich die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass alle Werte ǫi kleiner als der Grenzwert ǫth sind, durch:
Pr{(ǫ1 ≤ ǫth ) ∧ . . . ∧ (ǫNd ≤ ǫth )} = cdf ǫ (ǫth ) = (cdf ǫi (ǫth ))Nd = (1 − e−ǫth )Nd
(3.6)
Das übliche Maß für die Bewertung des PAPR ist die Complementary Cumulative Distribution
Function (CCDF). Also die Wahrscheinlichkeitsverteilung, dass ein bestimmter Grenzwert ǫth
von einem beliebigen ǫi überschritten wird:
Pr{(ǫ1 > ǫth ) ∨ . . . ∨ (ǫNd > ǫth )} = ccdf ǫ (ǫth ) = 1 − (1 − e−ǫth )Nd
(3.7)
Abbildung 3.3 zeigt simulierte Ergebnisse der CCDF-Grafen für verschiedene Parameter Nd .
Man sieht, dass bei höherer Subträgeranzahl Grenzwertüberschreitungen wahrscheinlicher sind.
Allerdings sind die Steigungen für alle Nd ungefähr gleich und der Verlust äußert sich nur durch
Verschiebung der Kurve nach rechts. Die theoretische Kurve bei Nd = 64 weicht im Vergleich
zu den höheren Subträgerzahlen weiter von der gemessenen Kurve ab. Das lässt sich dadurch
erklären, dass bei Nd = 64 der zentrale Grenzwertsatz noch nicht angewendet werden darf, also
die Annahme der Standardnormalverteilung falsch ist.
17
0
10
Nd=64
Nd=128
−1
10
Nd=256
Theorie
−2
ccdfε(εth)
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
2
3
4
5
6
7
8
10 log10(εth)
9
10
11
12
Abbildung 3.3: CCDF der PAPR-Verteilung für OFDM-Blöcke variabler Subträgerzahl Nd
3.1.2
18
Überabgetastetes Signal
Am Verstärkereingang liegt das zeitkontinuierliche Signal an; vgl. Abbildung 2.2. Das Signal
wird aus mit den Koeffizienten xi gewichteten Impulsen g(t) erzeugt. g(t) implementiert normalerweise ein Root-Raised-Cosine Filter mit einem bestimmten Banderweiterungsfaktor α
[Pro01]. Zunächst wird also ein Rechteckfilter verwendet (α = 0). Das überabgetastete (upsampled )
Signal im Frequenzbereich d˜us ∈ CNd L ist dann:


˜

, ∀k = 1.. N2d

dk
d˜us,k = 0
(3.8)
, ∀k = ( N2d + 1)..(LNd − N2d )



d˜k−LN +N , ∀k = (LNd − Nd + 1)..(LNd )
d
d
2
Das um den Faktor L überabgetastete Signal xus ergibt sich dann durch die IDFT:
˜
xus = F −1
Nd L dus
(3.9)
Da die Elemte von xus nicht mehr stochastisch unabhängig sind, kann für große Nd keine
analytische Lösung berechnet werden. In [Sie10] wird eine heuristische Lösung für die CCDFKurve ccdf us,ǫ (ǫth ) angegeben:
2
ccdf us,ǫ (ǫth ) = 1 − (1 − e−ǫth )Nd (3− L )
(3.10)
Abbildung 3.4 zeigt Simulationsergebnisse für verschiedene Abtastraten L. Der Verlauf des
Graphen ändert sich für L > 4 nicht mehr. Es gilt limL→∞ ccdf us,ǫ (ǫth ) = 1 − (1 − e−ǫth )3Nd .
Der Graph zeigt auch, dass der das Nyquist-abgestastete Signal den Verlauf des PAPR gut
wiederspiegelt.
3.2
Peak-to-Minimum Power Ratio
Eine neue Bauart von Verstärkern verstärkt das Sendesignal nicht direkt. In Klasse-S Verstärkern (vgl z. B. [SSFW09]) wird das Signal Puls-Weiten Moduliert (PWM). Der Transistor des
Verstärkers kann im Schaltbetrieb arbeiten und erreicht höhere Wirkungsgrade als im Klasse-A
Betrieb. Abbildung 3.5 und 3.6 zeigen eine Trägerschwingung bei fc = 5GHz und das entsprechende PWM-Signal. Die Amplitude wird auf die Weite des Pulses abgebildet. Diese Pulse
werden mit einem Transistor im Schaltbetrieb verstärkt. Durch Tiefpassfilterung kann das verstärkte Eingangssignal rekonstruiert werden. Bei kurzen Pulsen kann der Transistor den Einund Ausschaltvorgang nicht schnell genug ausführen. Die Pulslänge, die ein Puls nicht unterschreiten sollte, heißt Transistor-Limit [Sam09]. Sind die Pulse kürzer als das Transistorlimit,
19
0
10
−1
10
−2
ccdfε(εth)
10
−3
10
Nd=64, L=1
−4
10
L=2
L=4
−5
10
L=8
Theorie
−6
10
2
3
4
5
6
7
8
10 log10(εth)
9
10
11
12
Abbildung 3.4: CCDF der PAPR-Verteilung für OFDM-Blöcke mit variabler Überabtastung L
arbeitet der Verstärker nicht mehr effizient. In [CC09] wird gezeigt, dass das Peak-to-Minimum
Power Ratio (PMPR) die Pulsbreite des PWM-Signals bestimmt. Das PMPR ist in Gleichung
(3.11) definiert.
PMPR =
3.2.1
ǫmin
max |xi |2
=
2
min |xi |
ǫmax
, i = 1..Nd
(3.11)
Nyquist-abgetastetes Signal
In [HRSH12] wird eine analytische Lösung für die CCDF des PMR hergeleitet. Hierzu wird
wieder wie in Kapitel 3.1 davon ausgegangen, dass xi ∼ CN (0, σx ) gilt und die Abtastwerte
stochastisch unabhängig sind. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit darf σx = 1 angenommen
werden. Eine andere Varianz würde sich aus dem PMPR kürzen. Damit ist die PDF für ǫi = |xi |2
wie in Gleichung (3.4) gegeben durch:
pdf ǫi (x) = e−x
(3.12)
20
1
1
0.8
0.6
0.8
0.4
0.6
0.2
0
0.4
−0.2
−0.4
0.2
−0.6
−0.8
0
−1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
t/ns
0.12
0.14
0.16
0.18
0
0.2
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
t/ns
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Abbildung 3.5: Sinus-Trägerschwingung Abbildung 3.6: PWM-Signal zum Sinusmit Frequenz 5 GHz
Signal mit Frequenz 5 GHz
Damit kann die Wahrscheinlichkeit angegeben werden, dass das Betragsquadrat des kleinsten
Abtastwerts ǫmin = min ǫi = min |xi |2 , also genau ein ǫi , i = 1..Nd , einen Grenzwert ǫth unterschreitet:
cdf ǫmin (ǫth ) = Pr(min ǫi ≤ ǫth )
= Pr((ǫ1 ≤ ǫth ) ∧ . . . ∧ (ǫNd ≤ ǫth ))
= 1 − Pr((ǫ1 > ǫth ) ∨ . . . ∨ (ǫNd > ǫth ))
Nd
= 1 − Pr(ǫi > ǫth )
Z ∞
Nd
=1−
pdf ǫi (x)dx
ǫth
−Nd ǫth
=1−e
(3.13)
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Zufallsvariable ǫmin ergibt sich dann durch Ableiten:
d
pdf ǫmin (ǫth ) =
cdf ǫmin (ǫth ) = Nd · e−Nd ǫth
(3.14)
dǫth
Die restlichen Nd − 1 Abtastwerte sind immer noch exponential-verteilt wie in Gleichung (3.12)
beschrieben. Allerdings müssen alle Nd − 1 Abtastwerte größer als der kleinste Wert ǫmin sein.
Die Verbundswahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Zufallsvaribalen ǫmin und die übrigen
Abtastwerte ǫi geht aus diesen beiden Annahmen hervor:

0
pdf ǫi ,ǫmin (x, ǫth ) =
e−x
, x < ǫth
, x ≥ ǫth
(3.15)
21
Die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist dann gegeben durch Gleichung (3.16), da
sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung der restlichen Abtastwerte nicht ändert, sie aber größer
als das Minimum sein müssen.
pdf ǫi (x|ǫmin

0
= ǫth ) =
e−(x−ǫth )
, x < ǫth
, x ≥ ǫth
(3.16)
Durch Integration berechnet sich die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung der restlichen Abtastwerte. Da die restlichen Abtastwerte stochastisch unabhängig sind, kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den maximalen Wert dieser Abtastwerte ǫmax = max ǫi durch Multiplikation
der Wahrscheinlichkeiten bestimmt werden.
cdf ǫmax (y|ǫmin = ǫth ) = Pr(ǫmax ≤ y|ǫmin = ǫth )
Z y
(Nd −1)
=
pdf ǫi (x|ǫmin = ǫth )dx
ǫth
= 1 − e−(y−ǫth )
(Nd −1)
(3.17)
Da ǫmax = PMPR · ǫmin gilt kann durch Einsetzen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für das
PMPR angegeben werden. Um auf die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung cdf PMPR (y|ǫmin = ǫth )
zu kommen, muss y durch y · ǫth substituiert werden. Dies ist Gleichung (3.18) gezeigt.
cdf PMPR (y|ǫmin = ǫth ) = cdf ǫmax /ǫth (y|ǫmin = ǫth )
ǫmax
≤ y|ǫmin = ǫth )
= Pr(
ǫth
(Nd −1)
= 1 − e−(ǫth ·y−ǫth)
(3.18)
In Gleichung (3.19) wird die Bedingung aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung eliminiert.
cdf PMPR (y) =
Z
∞
0
=
Z
∞
0
cdf PMPR (y|ǫmin = ǫth ) · pdf ǫmin (ǫth )dǫth
(Nd −1)
1 − e−(ǫth ·y−ǫth)
· Nd · e−Nd ǫth dǫth
d −1
NX
i Nd − 1
=
e−(ǫth ·y−ǫth)·i · Nd · e−Nd ǫth dǫth
(−1)
i
0
i=0
Z ∞
N
d −1
X
i Nd − 1
e−ǫth ((y−1)·i+Nd ) dǫth
(−1)
= Nd ·
i
0
i=0
Z
∞
(3.19)
22
Das endgültige Ergebnis ist dann:
cdf PMPR (y) =
N
d −1
X
i=0
Nd
Nd − 1
(−1)
i
(y − 1) · i + Nd
i
(3.20)
Und die CCDF ist:
ccdf PMPR (y) = Pr(PMPR > y) = 1 − cdf PMPR (y)
N
d −1
X
Nd
i Nd − 1
(−1)
=1−
(y − 1) · i + Nd
i
i=0
(3.21)
Abbildung 3.7 zeigt simulierte Ergebnisse für die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter
PMPR-Wert y überschritten wird. Die Theorie wird für verschiedene Subträgerzahlen Nd geprüft. Auffällig ist, dass die theoretische Kurve nur für kleine PMPR-Werte
(z. B. 10 log10 (PMPR) < 45dB für Nd = 256) dem Verlauf der simulierten Kurve folgt. Danach
laufen die simulierte Kurve flach aus. Wenn am Eingang der IDFT 4-QAM-Symbole anliegen,
können bestimmte Abtastwerte Null sein. Die Annahme der normalverteilten Abtastwerte trifft
nicht zu2 . Aus xi = 0 folgt dann PMPR = ∞. Die Wahrscheinlichkeit für xi = 0 in einem
OFDM-Block nimmt mit steigender Subträgerzahl Nd ab.
3.2.2
Es ist offensichtlich, dass das Nyquist-abgetastete Signal nicht den wirklichen Verlauf des Signals im Bezug auf das PMPR widerspiegelt. In der komplexen Ebene kann bei der Interpolation
zwischen zwei Punkten ein Wert sehr nah am Ursprung liegen. Deshalb ist es im Gegensatz zu
PAPR (wie in Kapitel 3.1.2 gezeigt) wichtig, das überabgetastete Signal zu betrachten. Die
Überabtastung erfolgt dabei wie in Gleichung (3.8) beschrieben. Um eine noch genauere Auflösung zu bekommen wird das überabgetastete Signal zusätzlich linear interpoliert. Bei der
linearen Interpolation ist nur der Punkt von Bedeutung, der am nächsten zum Ursprung der
komplexen Ebene liegt, da nur dieser das Minimum beeinflusst (ein Maximum kann durch lineare Interpolation nicht entstehen). Um Rechenzeit zu sparen ist es deshalb von Vorteil, nur
diesen Punkt zu errechnen. Abbildung 3.8 zeigt diese Konstellation in der komplexen Ebene dargestellt.3 ~x1 und ~x2 sind in der Grafik zwei aufeinanderfolgende Abtastwerte aus dem
überabgetasteten Signalvektor xus . Die zwei Dimensionen sind Realteil und Imaginärteil der
Abtastwerte. ~a bezeichnet den Vektor, der durch die Differenz von ~x2 und ~x1 aufgespannt wird:
2
bei normalverteilten Zufallsvariablen gilt Pr{X = 0} = 0
Vektoren mit einer geometrischen Bedeutung im 2-dimensionalen Raum werden hier mit ~x dargestellt, um
den Unterschied zu den Signalvektoren hervorzuheben.
3
23
0
10
−1
10
−2
−3
10
ccdf
PMPR
(y)
10
−4
10
N =64
d
−5
10
Nd=128
N =256
d
Theorie
−6
10
0
10
20
30
40
50
10 log10(y)
60
70
80
90
Abbildung 3.7: CCDF der PMPR-Verteilung für OFDM-Blöcke variabler Subträgerzahl Nd
 
a1 
~a =   = ~x2 − ~x1
a2
(3.22)
Der Punkt, auf den der Vektor ~a′ zeigt, markiert das Minimum auf der Geraden zwischen ~x1
und ~x2 . ~a′ muss senkrecht auf ~a stehen. Dadurch ist ~a′ gegeben:


 a2 
~a′ = 

−a1
(3.23)
Durch Gleichung (3.23) ist die Orientierung des Vektors gegeben. Die Länge stimmt nicht. Um
das Minimum zu berechnen, muss folgendes Gleichungssystem gelöst werden:
β~a′ = ~x1 + α~a
(3.24)
Durch ~y = β~a′ ist die Position des Minimums gegeben. Das Gleichungssystem ist in Anhang
B gelöst. Die Lösungen für das Gleichungssystem sind in den Gleichungen (3.25) und (3.26)
angegeben.
24
ℑ
~x2
~a′ ~a
0
ℜ
~x1
Abbildung 3.8: Lineare Interpolation zur Berechnung des PMPR
a2 x1 − a1 x2
a21 + a22
a1 x1 + a2 x2
α=−
a21 + a22
β=
(3.25)
(3.26)
Das Minimum liegt bei ~y = β~a′ , ist aber nur für α ∈ [0, 1] auf der Gerade zwischen den beiden
Abtastwerten. Also beschreibt β~a′ nur für diesen Fall ein neues Minimum. Mit Hilfe dieser
Berechnung wird der überabgetastete Signalvektor linear interpoliert.
Die Kurven in Abbildung 3.9 zeigen den Verlauf. Als Referenz ist die Kurve für Nyquistabgetastete Abtastwerte und die Theorie dazu noch einmal aufgeführt. Man sieht, dass die
Überabtastung den Verlauf des PMPR deutlich beeinflusst, also die gesendeten Signale ein
deutlich schlechteres PMPR haben als das Nyquist-abgetastete Signal vermuten lässt. Zudem
sieht man, dass die Überabtastung von L = 8 nicht ausreicht, um das reale PMPR zu berechnen.
Alle drei simulierten Kurven streben für große PMPR-Werte gegen die gleiche Wahrscheinlichkeit. Durch die Überabtastung entstehen keine neuen Zeitbereichsabtastwerte xus = 0. Diese
entstehen nur durch die IDFT davor.
25
0
10
−1
10
−2
−3
10
ccdf
PMPR
(y)
10
−4
10
Nd=64, L=1
−5
10
N =64, L=8
d
N =64, L=8, linear interpoliert
d
Theorie
−6
10
0
10
20
30
40
50
10 log (y)
60
70
80
10
Abbildung 3.9: CCDF der PMPR-Verteilung für überabgetastete OFDM-Blöcke
90
26
Kapitel 4
Spitzenwertreduktionsverfahren
Das Problem der Spitzenwertreduktion ist in vielen Artikeln behandelt. [HL05] bespricht und
vergleicht viele dieser Spitzenwertreduktionsverfahren. Die zu optimierende Metrik bei diesen
Verfahren ist immer das PAPR, da nur bei neueren Verstärkern das Minimum neben dem
Maximum ausschlaggebend ist. Dieses Kapitel stellt zwei Spitzenwertreduktionsverfahren vor
und vergleicht sie.
4.1
Selected Mapping
In [BFH96] wird Selected Mapping (SLM) beschrieben. Mit SLM ist es möglich, bestimmte
Signaleigenschaften zu verändern. Zum Beispiel kann mit SLM der Spitzenwert reduziert werden. Hierzu werden V unterschiedliche Signalrepräsentationen durch eine injektive Abbildung
(Mapping) erzeugt. Aus den Signalrepräsentationen wird dann diejenige mit den gewünschten
Eigenschaften ausgewählt. Abbildung 4.1 zeigt ein Blockschaltbild von SLM. d˜ bezeichnet dabei
den Datenvektor, der gesendet werden soll, Mi die unterschiedlichen Abbildungen und x den
Vektor, der gesendet wird. In Anhang C ist der Algoritmus beschrieben.
M1
MV
′
d˜V
IDFT
Select
d˜
′
d˜1
IDFT
Abbildung 4.1: Blockschaltbild SLM
x
4. Spitzenwertreduktionsverfahren
4.1.1
27
Nyquist-abgestastetes Signal
Beim Nyquist-abgetasteten Signal sind die V unterschiedlichen Signalrepräsentationen stochastisch unabhängig, da die Nd Datenvektoren auch stochastisch unabhängig sind. 1
Ganz allgemein kann man die CCDF für einen Parameter X, den man reduzieren will, durch
Potenzieren der CCDF des Parameters mit V angeben:
ccdf SLM (x) = (ccdf X (x))V
(4.1)
SLM wird meist zur Reduktion des PAPR verwendet. Aus Formel 3.7 in Gleichung (4.1) folgt
die Wahrscheinlichkeit, dass die Signalrepräsentationen mit dem niedrigsten PAPR zu einem
PAPR größer als ǫth .
ccdf SLM (ǫth ) = (ccdf ǫ (ǫth ))V = (1 − (1 − e−ǫth )Nd )V
(4.2)
Um die Information am Empfänger wieder richtig decodieren zu können, muss das verwendete Mapping bekannt sein. Damit kann der Empfänger mit Hilfe des inversen Mappings
˜
M−1
k , k = 1..V den eigentlichen Datenvektor d rekonstruieren. Um dem Empfänger das verwendete Mapping mitzuteilen, muss Seiteninformation (explizit oder implizit) übertragen werden.
Die Anzahl der Bits, die als Seiteninformation übertragen werden müssen, NSLM sind gegeben durch die Anzahl der Signalrepräsentationen: NSLM = ⌈log2 (V )⌉. In Gleichung (4.3) ist
der Verlust beschrieben, der durch die Übertragung der Seiteninformation entsteht. LR gibt
an, um welchen Faktor sich die Leistungseffizienz durch die Redundanz verschlechtert. Fehler,
die aus fehlerhafter Erkennung des Signalkandidaten entstehen, sind nicht berücksichtigt und
verschlechtern die Leistungseffizienz zusätzlich.
LR =
4.1.2
Nd log2 (M) − log2 (V )
Nd log2 (M)
(4.3)
Abbildungsvorschriften für SLM
In [BFH96] wird vorgeschlagen, jedes Element mit einer Phasendrehung [b]i , i = 1..Nd zu multiplizieren und so zu neuen Signalrepräsentationen zu kommen. Um Synchronisationsalgorithmen
ohne Anpassung weiter verwenden zu können, wird die Phase des Vektorelements auf vielfache
von π beschränkt: [b]i ∈ {1, j, −1, −j}. Je nach Anzahl der Signalkandidaten werden V unterschiedliche Vektor bl , l = 1..V mit zufälligen Einträgen [b]i ∈ {1, j, −1, −j} erstellt. Das neue
1
Genau genommen sind die Signalrepräsentationen nur unabhängig, wenn zwei bestimmte Abbildungen Ma
und Mb theoretisch auch gleich sein könnten. Bei gut gewählten Abbildungsvorschriften ist die Wahrscheinlichkeit, die gleiche Signalrepräsentation zu bekommen, sehr klein
28
Signal ist dann2 :
′
d˜l = d˜ · diag{bl }, l = 1..V
(4.4)
Die V Kandidaten für die Phasendrehung stehen dabei am Empfänger durch Synchronisierte
Zufallsgeneratoren auch zur Verfügung. Die Information über den gewählten Kandidaten muss
explizit übertragen werden.
Eine weitere Möglichkeit besteht in der Permutation des Datenvektors. Mit Hilfe einer zufälligen
Permutationsmatrix P l werden die Signalkandidaten erzeugt.
′
˜ l = 1..V
d˜l = P l d,
(4.5)
Auch hier muss der gewählte Kandidat explizit übertragen werden.
In [BMH00] wird ein Verfahren vorgestellt, bei dem die Seiteninformation implizit übertragen
wird.
Die Kandidaten ykGF ∈ F2 , k = 1..MNd werden durch ein rein rekursive IIR-Filter der Län∈ F2 , k = 1..MNd noch vor
ge NSLM im Galoisfeld F2 (Scrambler ) aus den Datenbits xGF
k
NSLM
dem Mapping erzeugt. Sie ergeben sich durch die V = 2
möglichen AnfangswertkombiGF
nationen av ∈ F2 , v = 1..NSLM der NSLM Speicher. Bild 4.2 zeigt beispielhaft ein Filter der
Länge NSLM = 3, also für SLM mit V = 8 Kandidaten. Am Empfänger wird mit dem entsprechenden FIR-Filter (Descrambler ) die Information wieder zurückgewonnen. Dabei verwirft der
Empfänger die Anfangswerte. Fehler in den decodierten Anfangswerten bedingen Folgefehler
in den nachfolgenden Datenwerten. (Einflusslänge der Anfangswerte ist die Länge des Filters).
Deshalb ist die Bitfehlerrate erhöht und liegt ca. um 0.4dB schlechter. Der Graph in Abbildung 4.3 zeigt dies. Der Effekt der Folgefehler könnte durch Kanalcodierung oder Erhöhung
der Sendeleistung kompensiert werden. Dies wird an dieser Stelle allerdings nicht untersucht.
Für den Graph wurde OFDM-Übertragung ohne Schutzintervall im AWGN-Kanal mit 4-QAM
p
als Mapping simuliert. Daher ist der theoretische Verlauf gegeben durch: BER ≈ Q( 2Eb /N0 )
[Pro01]. Bei der Simulation der Scrambler-Kurve wurde die Energie der Bits der Anfangszustände ai , i = 1..NSLM , die keine Information tragen, ignoriert. Das heißt weder Bitfehler noch
die Energie von ai wurden berücksichtigt. Berücksichtigt man die Energie, die in den Bits der
Anfangszustände steckt, verschlechtert sich die Leistungseffizienz von SLM mit Scrambler um
weitere 10 log10 (LR )dB.
In Abbildung 4.4 werden die Ergebnisse der verschiedenen Mappings verglichen. Die Theorie
trifft sehr gut auf SLM mit Phasenrotation zu. Durch dieses Mapping werden bei 4-QAM im
Prinzip neue Signalpunkte gewürfelt. SLM mit Scrambler reduziert das PAPR ähnlich gut,
allerdings etwas schlechter als SLM mit Phasenrotation. Bei SLM mit Permutation fällt auf,
2
diag{x} erzeugt eine Diagonalmatrix aus dem Vektor x
29
aGF
1
xGF
k
D
ykGF
aGF
2
aGF
3
D
D
Abbildung 4.2: Blockschaltbild des Scramblers mit V = 8
0
10
OFDM, 4−QAM
OFDM, 4−QAM mit Scrambler
Theorie
−1
10
−2
BER
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
0
1
2
3
4
5
10 log10(Eb/N0)
6
7
8
9
10
Abbildung 4.3: BER-Kurve N = 64, 4-QAM, AWGN-Kanal
dass bei 10 log10 (ǫth ) ∼ 6.5dB die Kurve ausflacht. Zwar gibt es bei diesem Verfahren mit
Nd ! genug Kombinationen zur Verfügung, allerdings hat die Permutation bei Datenvektoren d˜
mit hohem DC-Anteil (also vielen gleichen d˜i , i = 1..Nd ) keinen Effekt. Bei Nd = 64 ist die
Wahrscheinlichkeit, eine Konstellationen mit hohem DC-Anteil zu bekommen, nicht vernachlässigbar klein. Mit Nd > 256 schlägt sich dieser Effekt nicht mehr nieder und Permutation ist
als Abbildungsvorschrift genau so effektiv wie Phasenrotation.
Im Folgenden wird immer SLM mit Phasenrotation verwendet.
30
0
10
−1
10
−2
ccdfε(εth)
10
−3
10
Nd=64
−4
10
SLM, Phasenrotation
SLM, Permutation
−5
10
SLM, Scrambler
Theorie
−6
10
2
3
4
5
6
7
8
10 log10(εth)
9
10
11
12
Abbildung 4.4: CCDF der PAPR-Verteilung für verschiedene Abbildungsvorschriften bei SLM
4.2
Partial Transmit Sequences
Im Jahr 1997 wurde SLM zu Partial Transmit Sequences (PTS) weiterentwickelt [MH97]. Die
Idee besteht darin, die Linearität der Fouriertransformation auszunutzen und das Mapping erst
nach der Fouriertransformation auszuführen. Der Datenvektor d̃ wird in U gleichgroße Teile
Nd
d̃′i ∈ C U ×1 aufgeteilt. 3 Auf diesen Vektor wird die IDFT angewandt. Als Mapping wird in
dieser Arbeit wie bei SLM eine Phasenrotation wie in Gleichung (4.4) verwendet. Es können
bis zu Vmax = 4U −1 Kandidaten erzeugt werden. Abbildung 4.5 zeigt ein Blockschaltbild von
PTS. Der Vorteil gegenüber SLM besteht darin, dass anstatt einer IDFT der Länge Nd nur
V IDFTs der Länge NUd ausgeführt werden müssen. Da PTS keine stochastisch unabhängigen
Signale erzeugen kann, ist es nicht möglich eine analytische Lösung wie bei SLM anzugeben
[Sie10].
In Abbildung 4.6 sind simulierte CCDF-Kurven für das PAPR abgebildet. Für PTS wurde
3
Hier wird angenommen, dass der
schiedlich groß
Nd
V
ganzzahlig ist. Ist
Nd
U
nicht ganzzahlig, sind die Teilvektoren d̃′i unter-
Partioning
′
d˜1
d˜
31
IDFT
′
d˜U
x′1
M1
Mk
IDFT
x′V
M1
Best
PAPR
x
Mk
Abbildung 4.5: Blockschaltbild PTS
U = 4 und V = 2 gewählt. Als Orientierungshilfe ist die Theorie für SLM mit V = 1 und V = 2
angegegeben. Der Gewinn im Bezug auf das PAPR bei PTS ist geringer als bei SLM.
0
10
−1
10
−2
ccdfε(εth)
10
−3
10
Nd=64
−4
10
Nd=512
Nd=64, PTS V=2
−5
Nd=512, PTS V=2
10
Theorie Nd=64
Theorie Nd=512
−6
10
2
3
4
5
6
7
10 log10(εth)
8
9
10
11
12
Abbildung 4.6: CCDF der PAPR-Verteilung von PTS für verschiedene U = 4, V = 2 und
verschiedene Nd = 64 bzw. Nd = 512
32
Kapitel 5
Peak-to-Average-Power Ratio bei
Unique-Word OFDM
In diesem Kapitel soll das Verhalten von Unique-Word OFDM im Bezug auf das Peak-toAverage-Power Ratio betrachtet werden. Zudem werden die PAPR-Reduktionsmethoden aus
Kapitel 4 auf Unique-Word OFDM angewendet. Für die Betrachtung des PAPR wird dabei das
Unique-Word nicht beachtet und nur die Nd + Nr = 52 Abtastwerte xd aus Gleichung (2.3)
betrachtet. Das Unique-Word muss (wie schon erwähnt) für Synchronisationszwecke entworfen
werden und könnte als CAZAC-Sequenz (constant amplitude zero autocorrelation) implementiert werden [RCZZ08]. Damit hätte das Unique-Word sogar einen positiven Einfluss auf das
PAPR. Eine analytische Lösung für das PAPR bei UW-OFDM kann nicht ohne weiteres gefunden werden, da der Einfluss der redundanten Subträger nicht vorherzusehen ist. Als theoretische
Vergleichskurve dient wieder die Annahme normalverteilter Abtastwerte.
5.1
Selected Mapping für Unique-Word OFDM
Abbildung 5.1 zeigt das Vorgehen für SLM für UW-OFDM. Die Signalkandidaten d̃′i entstehen wieder durch die Phasenrotation der Vektorelemente von d̃. Aus diesen werden dann die
unterschiedlichen Codewortkandidaten c̃′i erzeugt. Nach der IDFT wird der beste der V Signalkandidaten ausgewählt.
In 5.2 sind die CCDF-Kurven für normales OFDM aus Kapitel 2.2 dargestellt. Der Parameter
ist die Anzahl der Signalkandidaten V . Die theoretischen Kurven sind aus Kapitel 3.1 bzw. 4
entnommen. Die Theorie ist mit Nd = 52 Datenträger berechnet. Das CP-OFDM ist entprechend dem WLAN-Standard [80299] mit Nd = 52 Datensubträgern und Nz = 12 Nullsubträgern
simuliert. UW-OFDM ist wie in Kapitel 2.2 beschrieben mit IDFT-Länge N = 64, Nd = 36
Datensubträger und Nr = 16 redundanten Subträger. Die Nz = 12 Nullsubträger haben keinen Einfluss auf das PAPR. Man sieht, dass die redundanten Subträger einen positiven Effekt
5. Peak-to-Average-Power Ratio bei Unique-Word OFDM
M1
d˜
Mv
′
d˜1
′
d˜V
BG
BG
x̃′1
x̃′V
33
IDFT
Best
PAPR
von
x
xd
IDFT
Abbildung 5.1: SLM für Unique-Word OFDM
auf das PAPR von UW-OFDM haben und UW-OFDM leicht besser als CP-OFDM im Bezug
auf das PAPR ist. Die Unterschiede beider simulierter Kurven zum theoretischen Verlauf begründet sich wieder durch geringe Subträgeranzahl. Damit ist die Annahme normalverteilter
Zeitbereichsabtastwerte falsch. SLM erzielt bei beiden OFDM Varianten ähnliche Gewinne und
UW-OFDM behält den Grundgewinn gegenüber CP-OFDM, den es ohne SLM besitzt.
0
10
−1
10
−2
ccdfε(εth)
10
−3
10
−4
10
−5
10
CP−OFDM, V=1,2,4,8,16
UW−OFDM, V=1,2,4,8,16
Theorie, V=1,2,4,8,16
−6
10
0
2
4
6
10 log10(εth)
8
10
12
Abbildung 5.2: CCDF für normales UW-OFDM
Graph 5.3 zeigt die Ergebnisse für UW-OFDM mit Non-Systematic-Code für die Konfiguration
aus Kapitel 2.5. Da die Struktur von UW-OFDM mit Non-Systematic-Code an SC-FDE (singlecarrier frequency domain equalization) erinnert und SC-FDE bessere Eigenschaften bezüglich
PAPR hat als OFDM, hätte man auch hier einen Gewinn erwarten können. Dies ist nicht
34
der Fall und UW-OFDM mit Non-Systematic-Code ist bei Betrachtung des PAPR schlechter
als normales UW-OFDM. Die Kurve deckt sich des weiteren sehr genau mit der Kurve für
CP-OFDM.
0
10
−1
10
−2
ccdfε(εth)
10
−3
10
−4
10
−5
10
CP−OFDM, V=1,2,4,8,16
Non−Systematic−Code UW−OFDM, V=1,2,4,8,16
Theorie, V=1,2,4,8,16
−6
10
0
2
4
6
10 log10(εth)
8
10
12
Abbildung 5.3: CCDF für UW-OFDM mit Non-Systematic-Code
Als letztes wird noch UW-OFDM mit Systematic Noise aus Kapitel 2.4 in Abbildung 5.4 betrachtet. Wieder trifft die Kurve ähnlich wie bei UW-OFDM mit Non-Systematic-Code die
Kurve von CP-OFDM. Dieses Ergebnis überrascht, denn die Leistung in den redundanten Subträgern ist sehr gering. Man könnte vermuten, dass der Einfluss der Nr = 16 redundanten
Subträger dadurch, ähnlich wie Nullsubträger, zu vernachlässigen ist und nur die Nd = 36 Datensubträger von UW-OFDM Einfluss auf das PAPR haben. Der Theorie nach wäre dann das
PAPR-Verhalten deutlich besser als bei 54 aktiven Subträgern. Dies ist nicht so. Ein Grund
mag die Tatsache sein, dass die Leistung der redundanten Subträger ein stochastischer Prozess ist. Ein weiterer Grund ist die Korrelation zwischen den redundanten Subträgern und den
Datensubträgern.
In Abbildung 5.5 ist eine Momentaufnahme von Zeitbereichsabtastwerten eines UW-OFDM
Signals gezeigt. Die Nr = 16 letzten Abtastwerte beinhalten das Unique-Word und sind deshalb
Null. Der Graph zeigt, dass der Maximalwert des Signals durch SLM stark reduziert wurde.
Des weiteren sind die mittleren Leistungen der Signale dargestellt. Durch SLM hat das Signal
in diesem Fall eine leicht höhere Leistung als das ursprüngliche Signal. Da aber der Mittelwert
35
0
10
−1
10
−2
ccdfε(εth)
10
−3
10
−4
10
−5
10
CP−OFDM, V=1,2,4,8,16
UW−OFDM mit Systematic Noise, V=1,2,4,8,16
Theorie, V=1,2,4,8,16
−6
10
0
2
4
6
10 log10(εth)
8
10
12
Abbildung 5.4: CCDF für UW-OFDM mit Systematic Noise
in die Berechnung des PAPR eingeht, ist im Mittel keine erhöhte Leistung zu erwarten. Diese
Problematik wird in Kapitel 6.1 eingehender besprochen.
36
5
x
xSLM
4.5
Mittlere Leistung von x
Mittlere Leistung von xSLM
4
3.5
Leistung
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
10
20
30
40
50
60
Zeit
Abbildung 5.5: Momentaufnahme von UW-OFDM Abtastwerten mit und ohne SLM
70
5.2
37
Partial Transmit Sequences für Unique-Word OFDM
Wie bei SLM muss das Blockschaltbild geringfügig modifiziert werden. Die Matrizen G und B
erzeugen den Vektor x̃. Auf den Vektor x̃ wird gemäß dem Verfahren aus Kapitel 4.2 PTS angewendet. In Abbildung 5.7 werden die Simulationergebnisse gezeigt. Als Orientierung und zum
Vergleich ist die Theorie für SLM angegeben. Aus dem Vergleich zu SLM erkennt man, dass die
PAPR-Reduktion durch PTS geringer ist als die durch SLM. Das PAPR von CP-OFDM und
UW-OFDM wird durch PTS gleichmaßen reduziert. Der Vorteil bleibt die geringere Komplexität. Im Vergleich zu CP-OFDM muss bei UW-OFDM neben der IDFT auch die Berechnung der
redundanten Subträger durchgeführt werden. Bei SLM befindet sich diese Berechnung auch in
jedem der parallelen Zweigen. Daher reduziert sich die Komplexität von PTS gegenüber SLM
bei UW-OFDM stärker als bei CP-OFDM.
BG
x̃
Partioning
d˜
x̃′1
x̃′U
IDFT
M1
Mk
IDFT
M1
x′1
x′V
Mk
Abbildung 5.6: PTS für Unique-Word OFDM
Best
PAPR
x
38
0
10
−1
10
−2
ccdfε(εth)
10
−3
10
−4
10
−5
10
CP−OFDM, V=1,2,4,8,16
UW−OFDM, V=1,2,4,8,16
Theorie, V=1,2,4,8,16
−6
10
0
2
4
6
10 log10(εth)
8
10
Abbildung 5.7: CCDF-Kurven des PAPR bei UW-OFDM mit PTS
12
5.3
39
Obwohl in Kapitel 3.1.2 gezeigt wird, dass das überabgetastete Signal das PAPR des Nyquistabgetasteten Signals gut widerspiegelt, soll in diesem Kapitel trotzdem das Verhalten des realen,
überabgetasteten UW-OFDM-Signals und die Anwendung von SLM auf dieses betrachtet werden. Da sich die UW-OFDM Konfigurationen bezüglich des PAPR ähnlich sind, wird nur normales UW-OFDM untersucht. Wie in dem genannten Kapitel gezeigt, reicht eine Überabtastung
mit L = 4 aus. Dazu wird das Signal gemäß Gleichung (3.8) überabgetastet und nach der IDFT
der Kandidat mit dem niedrigsten PAPR ausgewählt (Abbildung 5.8). Die spektrale Formung
übernimmt das OFDM-System durch die Nullsubträger. Ein Root-Raised-Cosine mit Banderweiterungsfaktor α < NNz = 0.1875 hat keinen Einfluss, da die entsprechenden Spektralanteile
sowieso nicht vorhanden sind. Die Abbildung 5.9 zeigt die Ergebnisse zu dieser Simulation. Als
Orientierungshilfe sind die analytisch berechneten Kurven für Nyquist-abgetastete Signale abgedruckt, da keine analytische Lösung für die Überabtastung gefunden werden kann. Hier wird der
Gewinn von UW-OFDM gegenüber CP-OFDM deutlicher. UW-OFDM hat für alle V ein um
ca. 0.4dB besseres PAPR bei einer Überschreitungswahrscheinlichkeit von Pr(ǫ > ǫth ) = 10−3.
d˜
M1
MV
′
d˜1
′
d˜V
BG
BG
x̃′1
x̃′V
IDFT
Überabtastung
Best
PAPR
IDFT
Überabtastung
Abbildung 5.8: SLM für überabgetastetes Unique-Word OFDM
x
40
0
10
−1
10
−2
ccdfε(εth)
10
−3
10
V =1
V = 16
V =2
−4
10
V =8
V =4
−5
10
CP−OFDM, V=1,2,4,8,16
UW−OFDM, V=1,2,4,8,16
Theorie, V=1,2,4,8,16
−6
10
0
2
4
6
10 log (ε )
8
10
10 th
Abbildung 5.9: CCDF für verschiedene V bei Überabtastung L = 4
12
41
Kapitel 6
Leistungsreduktion bei UW-OFDM mittels
SLM
Kapitel 2.3 zeigt dass die Leistung bei UW-OFDM in den redundanten Subträgern ein stochastischer Prozess ist. SLM kann verwendet werden um die mittlere Leistung zu senken. Dazu
wird in Blockschaltbild 5.1 als Auswahlkriterium die geringste Leistung genommen. Laut der
Theorie zu SLM aus Kapitel 4.1 können die zu erwartenden Gewinne durch Potenzieren der
CCDF ccdf rGes (x) aus Gleichung (2.13) mit der Anzahl der Signalkandidaten gewonnen werden.
Gleichung (6.1) zeigt dies:
V
ccdf SLM
rGes (x) = (ccdf rGes (x)) =
Nr
X
i=1
V
Ai
ai + j2πf
(6.1)
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für die Gesamtleistung in den redundanten Subträgern
kann durch Differentiation berechnet werden. Damit lässt sich der Erwartungswert für die theoretische Analyse berechnen:
EV =
Z
∞
−∞
x·
pdf SLM
rGes (x)dx
=
Z
∞
−∞
x·
d
ccdf SLM
rGes (x)dx
dx
(6.2)
In Abbildung 6.2 sind die simulierten Kurven der CCDF für die Gesamtenergie der redundanten Subträger abgebildet. Zusätzlich ist die berechnete Theorie abgedruckt. Trotz der groben
Verallgemeinerung durch das Ignorieren der Korrelationen trifft der Verlauf der theoretischen
Kurven ungefähr die gemessene Kurve. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen aus Bild 6.1
wurden durch numerische Differentiation der simulierten bzw. der berechneten Wahrscheinlichkeitsverteilungen berechnet. Es wird ersichtlich, dass die Theorie größere Gewinne verspricht
als in der Messung tatsächlich auftreten.
Um die Leistungsfähigkeit des Verfahrens zu bewerten wird der Gewinn definiert als:
6. Leistungsreduktion bei UW-OFDM mittels SLM
42
1
k=1
k=2
k=4
k=8
k=16
Theorie
0.9
0.8
0.7
Ges
ccdfr
SLM
(x)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
40
x
50
60
70
80
Abbildung 6.1: CCDF für die Gesamtenergie in den redundanten Subträgern
GSLM = −10 log10
N log (M) − log (V ) EV + Nd
d
2
2
+ 10 log10
.
H
trace(TT ) + Nd
Nd log2 (M)
(6.3)
Der erste Summand beschreibt dabei den Gewinn, der durch die Leistungsreduktion entsteht.
Der zweite Summand gibt den Ratenverlust wie in Gleichung (4.3) an, der aus der Übermittlung
der Seiteninformation hervorgeht. In Tabelle 6.1 sind Erwartungswert und Gewinn mit und ohne
Ratenverlust für die theoretische Verteilung der Gesamtleistung gegeben. Als erstes fällt auf,
dass die Leistung bei nur einem Signalkandidaten V = 1, also normales UW-OFDM, nicht der
berechneten Leistung trace(TTH ) = 36.57 aus Kapitel 2.2 entspricht. Das liegt an der leichten
Abweichung in den Faktoren ai , die in Kapitel 2.3 eingeführt wurde. Man sieht, dass ein Gewinn
besteht, auch wenn man den Ratenverlust mit einbezieht.
Tabelle 6.2 zeigt gemessene Resultate. Wie aus der Betrachtung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen hervorgeht, sind die Gewinne etwas kleiner als die, die die Theorie vorhersagt.
Trotzdem bleibt ein Gesamtgewinn übrig. SLM als Leistungsreduktionsverfahren bei den andere vorgestellten UW-OFDM Varianten aus Kapitel 2.5 und 2.4 anzuwenden ist nicht sinnvoll.
Bei UW-OFDM mit Systematic Noise ist die Leistung der redundanten Subträger sehr klein,
bei UW-OFDM mit Non-Systematic-Code verändert sich die Gesamtleistung der redundanten
Subträger nicht abhängig von den Daten.
43
k=1
k=2
k=4
k=8
k=16
Theorie
Ges
(x)
pdfSLM
r
0.1
0.05
0
0
10
20
30
40
x
50
60
70
80
Abbildung 6.2: PDF für die Gesamtenergie in den redundanten Subträgern
Abbildung 6.3 zeigt, wie sich die Reduktion der Leistung auf die redundanten Subträger verteilt.
1
Für V = 1 Signalkandidaten ist die Leistungsverteilung für die redundanten Subträger die
gleiche wie in Abbildung 2.6. Je größer die Energie in einem redundanten Subträger, desto
stärker wird seine Leistung durch SLM reduziert. Das führt dazu, dass sich die Leistung der
redundanten Subträger angleichen. Bei V = 16 Signalkandidaten sind die Leistungen in den
redundanten Subträgern mit den Indizes i = 2..5, 12..15 ungefähr gleich. Die Leistung in den
redundanten Subträgern an den Bandgrenzen mit Indizes i = 8, 9 steigt sogar geringfügig an
mit wachsender Anzahl Signalkandidaten.
1
Die Werte wurden simulativ erzeugt
44
Tabelle 6.1: Analytische Ergebnisse für den Gewinn durch SLM bei UW-OFDM
V
1
EV
2
4
8
16
32
36.53 31.09 27.06 23.97 21.51 19.50
GSLM (ohne Ratenverlust) (dB)
–
0.34 0.61 0.83 1.01 1.16
GSLM (dB)
–
0.28 0.49 0.64 0.76 0.85
Tabelle 6.2: Simulierte Ergebnisse für den Gewinn durch SLM bei UW-OFDM
V
EV
6.1
1
2
4
8
16
36.57 31.99 28.43 25.58 23.23
GSLM (ohne Ratenverlust) (dB)
–
0.28 0.52 0.71 0.88
GSLM (dB)
–
0.22 0.39 0.53 0.63
PAPR-Reduktion und Leistungsreduktion bei UW-OFDM
Durch die Erkenntnisse aus dem Kapitel 5.1 und diesem Kapitel kann man mit Hilfe von
SLM gemeinsam Spitzenwert und Leistungseffizienz optimieren. Zudem ist von Interesse, ob
die Energie in den redundanten Subträgern und der Spitzenwert korreliert sind. Dazu wird eine
Konstante t > 0 eingeführt und der Algorithmus von SLM wird angepasst:
1. Als Referenz wird ein zufälliger Signalkandidat i mit PAPR ǫi und Gesamtenergie in den
redundanten Subträgern rGes,i genommen
2. Ein anderer Kandidat mit dem Index j wird nur dem Kandidaten i vorgezogen, wenn für
sein PAPR ǫj < ǫi und gleichzeitig rGes,j < t · rGes,i gilt
3. Alle Kandidaten werden auf diese Weise miteinander verglichen
Wählt man zum Beispiel t = 2, so wird ein Kandidat mit niedrigerem PAPR nur dann gewählt,
wenn die Gesamtenergie in den redundanten Subträgern höchstens doppelt so groß ist, wie die
Energie des aktuell besten Kandidaten. In Anhang C wird das Vorgehen genauer beschrieben.
45
3
V=1
V=2
V=4
V=8
V=16
2.5
Mittlere Leistung
2
1.5
1
0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Index des redundanten Subträgers
14
15
16
Abbildung 6.3: Leistungsreduktion in den Subträgern für V Signalkandidaten
Aus der Einstellung des Faktors t ergeben sich Wertepaare für die mittlere Leistung und das
mittlere PAPR. In Bild 6.4 sind diese Paare gegeneinander aufgetragen. Dabei ist t ∈ [0, ∞]. Im
Versuch wurden V = 16 Signalkandidaten ausgewertet. t = ∞ bedeutet, dass keine Rücksicht
auf die Leistung bei der Reduktion des PAPR genommen wird. Es ist zu erkennen, dass sich die
mittlere Leistung bei der Reduktion des PAPR durch SLM nicht signifikant erhöht. Erklären
lässt sich die Definition des PAPR aus Gleichung (3.2). Die Leistung OFDM-Blocks geht im
Nenner in das PAPR ein. 2 Für t = 1.5 zeigt sich bereits eine deutliche Reduktion der mittleren
Leistung, wobei das PAPR lediglich um 0.05 erhöht wird. Die Kurve flacht für höhere Werte
von t weiter aus und erreicht für t = 0.9 ein Minimum. Eigentlich würde man das Minimum
für t = 1 erwarten. Das Minimum wird aber für t = 0.9 erreicht, da PAPR und mittlere
Leistung, wie schon erwähnt, korreliert sind. Das Minimum befindet sich bei PAPR = 3.7 und
rGes = 28.13. Der Bereich mit t > 0.9 hat keinen praktischen Nutzen. Man büßt an PAPRReduktion ein ohne die Leistung zu reduzieren, weil weniger Kandidaten gefunden werden, die
beide Bedingungen für PAPR und mittelere Leistung erfüllen. Bei den Punkten für t > 0.8 an
der Stelle PAPR = 4.5 und rGes = 36.57 wird kein besserer Kandidat mehr gefunden und das
2
Bei CP-OFDM ist die Leistung (abgesehen vom Cyclic Prefix) bei 4-QAM wegen dem Parsevalschen Theorems für jeden OFDM-Block gleich. Daher reicht bei SLM für CP-OFDM die Betrachtung des größten Wertes
des OFDM-Blocks aus.
46
Mittlere Leistung in den redundanten Subträgern
System verhält sich wie UW-OFDM ohne SLM.
37
SLM mit unterschiedlichen Grenzleistungen
Mittlere Leistung ohne SLM
t=∞
36
t=2
35
t = 1.5
t = 0.5
34
33
32
31
30
t = 0.9
29
28
3
3.2
3.4
3.6
3.8
PAPR
4
4.2
4.4
4.6
Abbildung 6.4: Mittlere Leistung in den redundanten Subträger für verschiedene PAPR-Werte
bei V = 16 Signalkandidaten für SLM
Als nächstes werden die Rollen von PAPR und mittlerer Leistung getauscht. Der Faktor t
bestimmt nun, um welchen Faktor sich das PAPR verändern darf. Das führt auf die Kurve in
Abbildung 6.5. Für t = ∞ wird die mittlere Leistung von rGes = 23.23 aus Tabelle 6.2 erreicht.
Dabei wird das PAPR nur auf PAPR = 4.6, also geringfügig, erhöht. Das Minimum wird für
t = 0.9 erreicht. Hier befindet sich das System im Punkt PAPR = 3.5 und rGes = 29.44.
Die Korrelation der beiden Zufallsvariablen PAPR und rGes kann durch die gemeinsame kom
plementäre Wahrscheinlichkeitsverteilung ccdf PAPR,rGes (x, y) = Pr (PAPR < x) ∧ (rGes < y)
veranschaulicht werden. Durch die Korrelationen benötigt man zur Berechnung die bedingten
Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die nicht zur Verfügung stehen. Daher kann keine analytische
Lösung für die gemeinsame CCDF angegeben werden und die Verteilung nur simulativ ermittelt werden. Die Kurve ist in Abbildung 6.6 aufgezeigt. Für unkorrelierte Zufallsvariablen muss
Pr (PAPR < x) ∧ (rGes < y) = Pr(PAPR < x) · Pr(PAPR < x) gelten. Durch die simulierten
Kurven kann gezeigt werden, dass dies nicht gilt und somit bewiesen ist, dass die Zufallsvariablen nicht stochastisch unabhängig sind. In der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
sieht man, dass ein UW-OFDM Block mit einer Wahrscheinlichkeit größer 0.5 in dem Bereich
10 log10 (PAPR) < 6.3dB und rGes < 36 liegt. Mit diesen Werten kann die Güte des UW-OFDM
47
4.8
SLM mit unterschiedlichem PAPR−Grenzwerten
4.6
t=∞
t=2
4.4
t = 0.5
t = 1.5
PAPR
4.2
4
3.8
t = 0.95
3.6
3.4
22
24
26
28
30
32
34
Mittlere Leistung in den redundanten Subtraegern
36
38
Abbildung 6.5: PAPR-Werte bei verschiedenen mittleren Leistungen in den redundanten Subträger bei V = 16 Signalkandidaten für SLM
Blocks bewertet werden.
48
0.5
(x,y)
ccdf
PAPR,r
Ges
1
0
0
10
2
20
4
30
6
40
8
50
10
10 log10(x)
60
12
70
y
Abbildung 6.6: Gemeinsame CCDF für mittlere Leistung in den redundanten Subträgern und
das PAPR
49
Kapitel 7
Peak-to-Minimum-Power Ratio Reduktion
bei Unique-Word OFDM
In diesem Kapitel soll das Verhalten von UW-OFDM im Bezug auf PMPR aus Kapitel 3.2
untersucht werden. Des weiteren werden Mittel zur Reduktion des PMPR vorgestellt.
7.1
Selected Mapping zur PMPR-Reduktion
Selected Mapping eignet sich ebenfalls zur Reduktion des PMPR. Ausgangspunkt ist das Bild
5.1. Das Auswahlkriterium ist nun das geringste PMPR. Die theoretische CCDF-Kurve für
das PMPR und Einsatz von SLM kann durch Gleichung (4.1) und Gleichung (3.21) angegeben
werden:
ccdf SLM
PMPR (x)
d −1
V
NX
Nd
i Nd − 1
= (ccdf PMPR (y)) =
(−1)
(y − 1) · i + Nd
i
i=0
V
(7.1)
Abbildung 7.1 zeigt das PMPR von UW-OFDM im Vergleich zu CP-OFDM. Unterschiedliche
Anzahlen von Signalkandidaten V werden beschrieben. Wie in Kapitel 5.1 wird der WLANStandard [80299] zum Vergleich herangezogen. Entsprechend ist die Theorie aus Gleichung (7.1)
auch mit Nd = 52 aufgezeigt. Man sieht, dass die Annahme normalverteilter Zufallsvariablen
bei UW-OFDM wesentlich besser zutrifft. Durch die redundanten Subträger, die nicht auf den
Signalpunkten der QAM-Konstallation stehen, wird bei UW-OFDM durch die IDFT nie eine
absolute Null erzeugt. Im Vergleich dazu tritt bei CP-OFDM das in Kapitel 3.2 beschriebene
Problem der echten Nullen auf. Erst bei V = 16 tritt dieser Effekt nicht mehr auf, sorgt
aber dafür, dass UW-OFDM sich im Bezug auf PMRP besser verhält als CP-OFDM. Die
Abbildungen 7.2 und 7.3 zeigen die Ergebnisse der Simulationen für UW-OFDM mit Systematic
7. Peak-to-Minimum-Power Ratio Reduktion bei Unique-Word OFDM
50
0
10
−1
10
−2
−3
10
ccdf
SLM
(y)
PMPR
10
−4
10
−5
10
CP−OFDM, V=1,2,4,8,16
UW−OFDM, V=1,2,4,8,16
Theorie
−6
10
0
10
20
30
40
50
10 log10(y)
60
70
80
90
Abbildung 7.1: CCDF für das PMPR bei normalem UW-OFDM
Noise und Non-Systematic-Code UW-OFDM. Beide UW-OFDM Konfigurationen erzielen das
gleiche Ergebnis wie normales UW-OFDM.
In Abbildungen 7.4 und 7.5 ist der Signalraum in der komplexen Ebene für ein CP-OFDM Signal
bzw. ein UW-OFDM Signal dargestellt. Um die Maxima und Minima besser identifizieren zu
können, ist ein Kreis mit entsprechendem Radius gezeichnet. Bei CP-OFDM ist das Maxima
bei SLM größer als ohne SLM, da das Minimum vor der Anwendung von SLM im Ursprung
liegt und auf PMPR = ∞ führt. Damit ist das Maximum für die Berechnung des PMPR
irrelevant und jeder andere Signalkandidat mit einem Minimum außerhalb des Ursprungs hat ein
geringeres PMPR. Bei UW-OFDM ist nach Anwendung von SLM sowohl Maximum geringer, als
auch Minimum größer, da UW-OFDM keine Signalpunkte im Ursprung der komplexen Ebene
generiert.
51
0
10
−1
10
−2
−3
10
ccdf
PMPR
(y)
10
−4
10
−5
10
CP−OFDM, V=1,2,4,8,16
UW−OFDM mit Systematic Noise, V=1,2,4,8,16
Theorie, V=1,2,4,8,16
−6
10
0
10
20
30
40
50
10 log (y)
60
70
80
90
10
Abbildung 7.2: CCDF für das PMPR bei UW-OFDM mit systematic Noise
0
10
−1
10
−2
−3
10
ccdf
PMPR
(y)
10
−4
10
−5
10
CP−OFDM, V=1,2,4,8,16
Non−Systematic−Code UW−OFDM , V=1,2,4,8,16
Theorie, V=1,2,4,8,16
−6
10
0
10
20
30
40
50
10 log (y)
60
70
80
10
Abbildung 7.3: CCDF für das PMPR bei UW-OFDM mit Non-Systematic-Code
90
3
52
4
x
xSLM
Minimum/Maximum x
Minimum/Maximum xSLM
2
x
xSLM
3
Minimum/Maximum x
Minimum/Maximum xSLM
2
1
Im
Im
1
0
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−3
−2
−1
0
Re
1
Abbildung 7.4: Momentaufnahme
eines CP-OFDM Blocks mit und
ohne SLM.
2
3
−4
−4
−3
−2
−1
0
Re
1
2
3
4
Abbildung 7.5: Momentaufnahme eines
UW-OFDM Blocks mit und ohne SLM.
7.2
53
PMPR-Reduktion und Leistungsreduktion bei UW-OFDM
Wie in Kapitel 6.1 für das PAPR beschrieben kann auch die gemeinsame komplementäre
Wahrscheinlichkeitsverteilung ccdf PMPR,rGes (x, y) = Pr (PMPR < x) ∧ (rGes < y) durch
Simulation ermittelt werden. Bei Betrachtung der Wahrscheinlichkeiten stellt sich raus, dass
Pr (PMPR < x) ∧ (rGes < y) ≈ Pr(PMPR < x) · Pr((rGes < y) gilt, also die beiden Zufallsvariablen nur schwach abhängig sind. Im Gegensatz zum PAPR wird das PMPR nicht mit Hilfe
der mittleren Leistung berechnet. Daher ist die stochastische Unabhängigkeit zu erwarten. Für
Pr (PMPR < x) ∧ (rGes < y) < 0.5 muss gelten 10 log10 (PMPR) < 24.9dB und rGes < 36.
Abbildung 7.6: CCDF für das PMPR bei UW-OFDM mit Non-Systematic-Code
7.3
54
Da bei PMPR das Nyquist-abgetastete Signal wenig aussagekräftig ist, wird in diesem Kapitel
noch ein Blick auf das überabgetastete Signal geworfen. Dabei wird wie in Kapitel 3.2.2 das
Nyquist-abgetastete Signal zunächst mit L = 8 überabgetastet und dann das Minimum auf den
Geraden berechnet. Die CCDF-Kurve in Abbildung 7.7 zeigen die Simulationsergebnisse für
das überabgetastete Signal für verschiedene V . CP-OFDM und normales UW-OFDM (für die
anderen UW-OFDM Varianten sind keine anderen Ergebniss zu erwarten) werden verglichen
und als Anhaltspunkt die theoretischen Kurven für das Nyquist-abgetastete Signal mit eingefügt. CP-OFDM verliert wieder gegenüber UW-OFDM auf Grund der Nullen, die entstehen,
und auf ein PMPR = ∞ führen. Deshalb gibt es weniger geeignete Signalkandidaten und im
Gegensatz zu Nyquist-abgetastetem PMPR behält UW-OFDM sogar bei V = 16 Kandidaten einen Gewinn von ca. 2dB bei Pr(PMPR > y) = 10−3 gegenüber CP-OFDM. Vergleicht
man den überabgetasteten Graph von UW-OFDM bei V = 1 mit der theoretischen Kurve des
Nyquist-abgetasteten Signals so ergibt sich eine Differenz von ungefähr 30dB. Dies unterstreicht
noch mal die Notwendigkeit, das überabgetastete Signal zu betrachten.
0
10
V =1
−1
10
V =2
−2
ccdf PMPR (y)
10
V =4
−3
10
V =8
−4
10
V = 16
−5
10
CP−OFDM linear interpoliert, V=1,2,4,8,16
UW−OFDM linear interpoliert, V=1,2,4,8,16
Theorie (Nyquist−Abtastung), V=1,2,4,8,16
−6
10
0
10
20
30
40
50
10 log (y)
60
70
80
90
10
Abbildung 7.7: CCDF für verschiedene V bei Überabtastung L = 8 und linearer Interpolation
55
Kapitel 8
Zusammenfassung und Ausblick
In dieser Arbeit werden die Signaleigenschaften der OFDM-Variante Unique-Word OFDM analysiert und verbessert. Die analysierten Signaleigenschaften sind Peak-to-Average-Power Ratio,
Peak-to-Minimum-Power Ratio und die mittlere Sendeleistung.
Bezüglich Peak-to-Average-Power Ratio zeigt sich, dass bei UW-OFDM im Mittel ein geringeres PAPR erwartet werden kann als bei der vergleichbaren Cyclic-Prefix Variante aus dem
WLAN-Standard. Die untersuchten Reduktionsverfahren SLM und PTS verringern das PAPR
in gleichem Maße wie beim dem Vergleichssystem. In weiteren Untersuchungen können andere
Spitzenwertreduktionsverfahren aus [HL05], wie zum Beispiel Tone Resevation oder Clipping
and Filtering, auf Unique-Word OFDM angewendet werden. UW-OFDM mit Non-SystematicCode liefert keine verbesserten Spitzenwerteigenschaften. Hier könnte nach einer Vorcodierung
gesucht werden, die ähnlich wie SC-FDE das Spitzenwertproblem umgeht.
Das Peak-to-Minimum Ratio reduziert sich ebenfalls durch SLM. Allerdings bleibt zu untersuchen, ob die vorhandene Reduktion ausreicht, um Klasse-S Verstärker vernünftig zu betreiben.
In zukünftige Arbei müssen andere Verfahren untersucht werden, die das PMPR erhöhen. Als
Beipiel könnte Tone Reservation zur PMPR-Reduktion angepasst werden. Zudem bleibt die
Frage, wie sich PMPR- und PAPR-Reduktion gegeneinander verhalten. Konkret stellt sich die
Frage, ob das PAPR steigt, wenn das PMPR reduziert wird. Diese Frage stellt sich auch für
den überabgetasteten Fall bei Cyclic-Prefix OFDM.
Die Reduktion der mittleren Leistung verbessert die Leistungseffizienz von UW-OFDM. Hier
bleibt zu untersuchen, wie PTS die Leistung reduziert. Zwar sind die redundanten Subträger
bereits erzeugt, die Signale können sich jedoch konstruktiv oder destruktiv überlagern. Des weiteren muss die Korrelation mit PAPR und PMPR genauer untersucht werden, um gemeinsame
Optimierungen vornehmen zu können.
Als großes Endziel wäre es zu Wünschen, eine Abbildung der Daten vorzunehmen, so dass
bestimmte Signaleigenschaften gar nicht vorkommen können. Im Idealfall kann das Wissen
dieser Abbildung im Empfänger zu Entzerrung verwendet werden.
56
Anhang A
Summe der Betragsquadrate von
normalverteilten Zufallsvariablen
Die Herleitung ist angelehnt an [WWW.STATLECT.COM]:
Sei Z standard-normalverteilt:
Z ∼ N (0, 1)
(A.1)
Des weiteren gilt X = Z 2 . Dann ist Wahrscheinlichkeitsverteilung FX (x) = Pr{X <= x}
gegeben durch:
FX (x) = Pr{X <= x} =
√
√
= Pr{Z 2 <= x} = Pr{− x <= Z <= x} =
Z √x
= √ fZ (z)dz =
1
=√
2π
− x
Z √
x
√
− x
(A.2)
(A.3)
(A.4)
2
e−0.5z dz
(A.5)
Gleichung (A.2) ist die Definition der Wahrscheinlichkeitsverteilung, Gleichung (A.3) ergibt sich
aus der Definition von X. In Gleichung (A.5) wird die Wahrscheinlichkeitsdichtfunktion der
Normalverteilung eingesetzt. Um auf die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fX (x) zu kommen,
muss folgenden die Wahrscheinlichkeitsverteilung differenziert werden:
d
dFX (x)
=
fX (x) =
dx
R √x
√
− x
FZ (z)
(A.6)
dx
Gleichung (A.6) kann mit Hilfe der Leibnizregel für Parameterintegrale vereinfacht werden.
Gleichung (A.7) zeigt die Leibnizregel [BSMM05].
d
dα
Z
b(α)
a(α)
db(α)
da(α)
f(x, α)dx =
f(b(α), α) −
f(a(α), α) +
dα
dα
Z
b(α)
a(α)
∂f(x, α)
dx
∂α
(A.7)
A. Summe der Betragsquadrate von normalverteilten Zufallsvariablen
Die partielle Ableitung
∂fZ (z)
∂x
57
ist null. Damit bleibt:
√
√
√
d x √
d− x
fX (x) =
fZ ( x) −
fZ i(− x) =
dx
dx
1 − 1 1 −0.5x 1 − 1 1 −0.5x
= x 2√ e
+ x 2√ e
=
2
2
2π
2π
1
e−0.5x
=√
2πx
fX (x) =
√
1
e−0.5x
2xΓ(0.5)
(A.9)
(A.10)
√
π ergibt sich die χ2 -Verteilung
, ∀x < 0
(A.11)
Mit der trivialen Ergänzung fX (x) = 0∀x <= 0 und Γ(0.5) =
mit einem Freiheitsgrad:

0
(A.8)
, ∀x >= 0
Sei nun Y = X + X gegeben. Die Wahrscheinlichkeitsdichtfunktion der Summe von zwei unabhängigen Zufallsvariablen ergibt sich aus der Faltungsformel in Gleichung (A.12). Durch
Fouriertransformation U wird die Faltung zu einer Multiplikation (Gleichung (A.13)).
fX1 +X2 (y) =
Z
∞
−∞
fX1 (x)fX2 (x − z)dx = fX1 (x) ∗ fX2 (x)
(A.12)
ˆ
U{fX1 +X2 (y)} = U{fX1 (x)} · U{fX2 (x)}
(A.13)
Setzt man die charakteristische Funktion U{fX (x)} ein (Gleichung (A.14)) , so erhält man
durch Rücktransformation die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion fY (y) in Gleichung (A.15).
U{fY =X1 +X2 (y)} = √
1
1
1
·√
=
1 − 2jy
1 − 2jy
1 − 2jy
(A.14)
˜
1 1
fY (y) = − e− 2 y
2
(A.15)
58
Anhang B
Berechnung des ursprungsnächsten
Punktes auf einer Geraden
Wie in Kapitel 3.2.2 muss folgendes Gleichungssystem gelöst werden:
β~a′ = ~x1 + α~a
(B.1)
Mit:
 
a1 
~a =  
a2


 a2 
~a′ = 

−a1
 
x1 
~x1 =  
x2
Ausgeschrieben ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
A:
βa2
= x1 + αa1
B : −βa1 = x2 + αa2
Zunächst wird die Lösung für β berechnet:
(B.2)
(B.3)
(B.4)
B. Berechnung des ursprungsnächsten Punktes auf einer Geraden
A · a2 :
B · (−a1 ) :
βa22
= x1 a2 + αa1 a2
βa21
= −x2 a1 − αa1 a2
A + B : βa22 + βa21 = x1 a2 − x2 a1
⇒
β
=
x1 a2 − x2 a1
a21 + a22
Die Lösung für α berechnet sich analog:
= x1 a1 + αa21
A · a1 :
βa1 a2
A+B:
0
= x1 a1 + αa21 + x2 a2 + αa22
⇒
α
=−
B · a2 : −βa1 a2 = x2 a2 + αa22
x1 a1 + x2 a2
a21 + a22
59
60
Anhang C
Algoritmus für PAPR und
Gesamtleistungsreduktion
Algoritmus für SLM zur PAPR-Reduktion:
function SLM(V, d)
P AP Rmax =calcPAPR(d);
dBEST = d;
for i := 2 to V do
d′ =map(d,i);
R=calcpower(d′ );
if P AP R > P AP Rmax then
P AP Rmax = P AP R;
dBEST = d;
end if
end for
return P AP Rmax , dBEST ;
C. Algoritmus für PAPR und Gesamtleistungsreduktion
61
Der Algoritmus zur gemeinsamen Optimierung von PAPR und mittlere Leistung in den redundanten Subträgern aus Kapitel 6.1:
function SLMwithRestrictedMeanPower(V ,t, d)
Rmax =calcpower(d);
P AP Rmax =calcPAPR(d);
dBEST = d;
for i := 2 to V do
d′ =map(d,i);
R=calcpower(d′ );
P AP R =calcPAPR(d′ );
if R < t · Rmax then
if P AP R > P AP Rmax then
Rmax = Rges;
P AP Rmax = P AP R;
dBEST = d;
end if
end if
end for
return Rmax , P AP Rmax, dBEST ;
Hilfsfunktionen:
function calcPAPR(d)
return max(d)2 /sum(abs(d))2 ;
function map(d)
for i := 2 to length(d) do
d′i =rand({1, j, −1, −j}) · di ;
end for
return d′ ;
function calcpower(d)
r =T ·d
return sum(abs(r))2 ;
62
Literatur
[3GPP06] 3GPP. TR 25.814:
Physical layer aspect for evolved Universal Terrestrial Radio Access (UTRA), Oktober
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Spitzenwertreduktion bei Unique

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