Modellierung elektroakustischer Wandler in MATLAB

Transcription

Modellierung elektroakustischer Wandler in
MATLAB
Bachelorarbeit
durchgeführt von
Florian Pokorny
(flopok@sbox.tugraz.at)
Graz, im September 2009
Institut für Breitbandkommunikation
der Technische Universität Graz
Leiter: Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Gernot Kubin
Betreuer: Ao.Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Gerhard Graber
Eidesstattliche Erklärung
Ich erkläre an Eides statt, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst, andere
als die angegebenen Quellen/Hilfsmittel1 nicht benutzt, und die den benutzten Quellen
wörtlich und inhaltlich entnommenen Stellen als solche kenntlich gemacht habe.
Graz, am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.........................................
(Unterschrift)
1
Die vorliegende Bachelorarbeit wurde unter Verwendung von LATEX angefertigt. Alle Abbildungen ohne
Quellenangabe wurden entweder mit CorelDRAW 12 erstellt, oder aus MATLAB 7.0.4 exportiert.
2
Zusammenfassung
Im Zuge dieser Bachelorarbeit war ein MATLAB-GUI zu programmieren, das ergänzend
zur Vorlesung „Elektroakustik“ am Institut für Breitbandkommunikation der technischen Universität Graz das tiefere Verständnis des Stoffes ermöglichen sollte. Im Mittelpunkt stand dabei eine unkomplizierte nähere Betrachtung der wichtigsten im Skriptum erläuterten Wandlermodelle, nämlich des idealen dynamischen Wandlers, des idealen piezoelektrischen Wandlers, des idealen dielektrischen Wandlers, des realen dynamischen Wandlers, des realen piezoelektrischen Wandlers, des realen dielektrischen Wandlers, des dynamischen Mikrofons, des Kristallmikrofons, des Kondensatormikrofons, des
Lautsprechers in unendlicher Schallwand, des Lautsprechers im geschlossenen Gehäuse, des Lautsprechers im ventilierten Gehäuse und der kreisförmigen Kolbenmembran.
Es entstand WandLab 1.0 und die nachfolgende schriftliche Arbeit dient als technische
Dokumentation. Sie beinhaltet eine grobe Erschließung der theoretischen Hintergründe
der im Programm behandelten, eben genannten elektroakustischen Wandler, hilfreiche
Hinweise zur Bedienung des GUIs und dessen Menüführung, sowie ausführliche Erläuterungen der MATLAB-spezifischen Implementierung mit zahlreichen ProgrammcodeAusschnitten und Abbildungen. Weiters wird auf Versions-bedingte Probleme mit MATLAB 7.0.4 hingewiesen.
Abstract
In the course of this bachelor’s thesis a graphical user interface had to be programed in
MATLAB and thereby in addition to the lecture “Electroacoustics“ by the Institute of
Bradband Communications of Graz University of Technology an improved comprehension of the material should have been allowed. A main focus of attention was the possibility
of an uncomplicated closer examination of the basic models of transducers, illustrated in
the lecture script, the ideal dynamic transducer, the ideal piezoelectric transducer, the
ideal dielectric transducer, the real dynamic transducer, the real piezoelectric transducer, the real dielectric transducer, the dynamic microphone, the crystal microphone, the
condenser microphone, the speaker in an infinite baffle, the speaker in an closed cabinet,
the speaker in an ventilated cabinet and the circular piston diaphragm. WandLab 1.0 has
been created and the following written work serves as a technical documentation. It includes a rough treatment of the theoretical background of the above listed electroacoustic
transducers, available in the program, useful hints for how to handle the graphical user
interface and for the menu navigation and also detailed information on the MATLABspecific implementation with lots of listings and figures. Furthermore problems due to the
used MATLAB version 7.0.4 are pointed out.
3
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
7
2 Aufbau und Funktionen des GUIs
2.1 Menüführung . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bedienung der Wandler-GUIs . . . .
2.2.1 Realer dynamischer Wandler
2.2.2 Kreisförmige Kolbenmembran
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3 Implementierung
3.1 Wechsel in andere Domänen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Berechnung der Wandlerkonstanten . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Dynamischer Wandler . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Piezoelektrischer Wandler . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Dielektrischer Wandler . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Aufstellen der Übertragungsfunktionen . . . . . . . . . .
3.4 Berechnung der Eingangsimpedanzen . . . . . . . . . . .
3.5 Ermittlung der Resonanzfrequenzen . . . . . . . . . . .
3.6 Behandlung der kreisförmigen Kolbenmembran . . . . .
3.6.1 Richtungsfaktor und Richtungsmaß . . . . . . . .
3.6.2 Bündelungsmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Abstrahlwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.4 Strahlungsimpedanz . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.5 Strahlungsblindwiderstand und Massenhemmung
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4 Evaluierung und Ausblick
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Literatur
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Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
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Zusammenwirken der Domänen beim elektroakustischen Schallwandler . .
Dynamisches Wandlerprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Piezoelektrisches Wandlerprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dielektrisches Wandlerprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
File-Struktur von WandLab 1.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hauptfenster von WandLab 1.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Über WandLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Menü-Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GUI des realen dynamischen Wandlers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anzeige-Features . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GUI der kreisförmigen Kolbenmembran . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektromechanische Analogien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektroakustische Analogien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umrechnung zwischen elektrischen und mechanischen Größen . . . . . . .
Panel zur Dimensionierung der dynamischen Wandlerkonstante . . . . . .
Panel zur Dimensionierung der piezoelektrischen Wandlerkonstante . . . .
Panel zur Dimensionierung der Piezokonstante . . . . . . . . . . . . . . .
Panel zur Dimensionierung der dielektrischen Wandlerkonstante . . . . .
Elektrisches Ersatzschaltbild des realen dynamischen Wandlers . . . . . .
Spannungs-Übertragungsfunktion des dynamischen Lautsprechers im ventilierten Gehäuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strom-Übertragungsfunktion des dynamischen Mikrofons . . . . . . . . .
Eingangsimpedanz des dynamischen Lautsprechers im ventilierten Gehäuse
Serienresonanz und Parallelresonanz beim realen dynamischen Wandler .
Resonanzfrequenzen beim dynamischen Lautsprecher im ventilierten Gehäuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modell der kreisförmigen Kolbenmembran . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Richtungsfaktor der Kolbenmembran in kartesischen Koordinaten . . . . .
Fehlerhafte Darstellung des Richtungsmaßes in Polarkoordinaten bei negativen Werten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Richtungsfaktor der Kolbenmembran in Polarkoordinaten . . . . . . . . .
Richtungsmaß der Kolbenmembran in Polarkoordinaten . . . . . . . . . .
Bündelungsmaß der Kolbenmembran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strahlungsimpedanz der Kolbenmembran . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ortskurve der Strahlungsimpedanz der Kolbenmembran . . . . . . . . . .
Strahlungsblindwiderstand und Massenhemmung der kreisförmigen Kolbenmembran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Listings
Listings
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Überprüfung der Eingabe der Zuleitungskapazität Cz beim Piezomikrofon
auf reine Zahlenwerte in der Edit Text-Box . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umrechnung mechanischer Größen in elektrische beim realen dynamischen
Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umrechnung mechanischer Größen in elektrische beim realen dielektrischen Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umrechnung akustischer Größen in elektrische beim dynamischen Lautsprecher im ventilierten Gehäuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufstellen der Übertragungsfunktion beim realen dynamischen Wandler .
Berechnung der Eingangsimpedanz beim Lautsprecher in unendlicher Schallwand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
fRes.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung des Richtungsfaktors in kartesischen Koordinaten . . . . . . .
Berechnung des Richtungsfaktors in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . .
Berechnung des Bündelungsmaßes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gamma.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung der Strahlungsimpedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
struve.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung der Ortskurve der Strahlungsimpedanz . . . . . . . . . . . . .
Berechnung des Strahlungsblindwiderstands und der Massenhemmung . .
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1 Einleitung
1 Einleitung
Unter elektroakustischen Schallwandlern versteht man in der Audiotechnik Systeme, die
Luftschall in elektrische Schwingungen umwandeln, hier spricht man von Mikrofonen,
bzw. elektrische Schwingungen in Luftschall, dabei handelt es sich um Lautsprecher.
Zur mathematischen Modellierung dieses Vorgangs ist sowohl die Beschreibung des physikalischen Wandlerprinzips, als auch die des Schwingungsverhaltens einer Membran,
sowie die der Ankopplung des Wandlers an das Schallfeld erforderlich. Dieses Zusammenwirken von Modellen aus drei unterschiedlichen physikalischen Domänen, nämlich
der elektrische, der mechanischen und der akustischen, führt zunächst zu einer gewissen Komplexität, die allerdings zugleich die Möglichkeit vielseitiger Variation bietet,
was den Entwurf eines Wandlers innerhalb bestimmter Vorgaben betrifft. [WG08, S.2f.]
Abbildung 1 veranschaulicht die domänenspezifischen Zusammenhänge.
Abbildung 1: Zusammenwirken der Domänen beim elektroakustischen Schallwandler
[WG08, S.3]
Am häufigsten zur Anwendung kommen das dynamische Wandlerprinzip, das piezoelektrische und das dielektrische.
Der dynamische Wandler basiert auf einem stromdurchflossenen Leiter in einem statischen Magnetfeld, auf den die Lorentz-Kraft wirkt, bzw. auf einem bewegten Leiter in
einem Magnetfeld, in den eine Spannung induziert wird. Abbildung 2 zeigt die beiden
Fälle. Ein Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte B sei also für den Betrieb eines
dynamische Wandlers vorausgesetzt. [WG08, S.23]
7
1 Einleitung
Abbildung 2: Dynamisches Wandlerprinzip [WG08, S.23]
Beim piezoelektrischen Wandler, auch Kristallwandler genannt, kommt der Effekt der
an der Oberfläche spezieller Kristalle messbaren Ladungstrennung als Folge mechanischer Deformation zur Anwendung. Auch umgekehrt führt das Anlegen elektrischer Spannung zur mechanischen Deformation eines Piezokristalls. [WG08, S.27] Der Aufbau des
Kristallwandlers ist in Abbildung 3 dargestellt.
Abbildung 3: Piezoelektrisches Wandlerprinzip [WG08, S.27]
Dem Prinzip des dielektrischen Wandlers, bzw. Kondensatorwandlers liegt, wie in
Abbildung 4 zu sehen, ein geladener Plattenkondensator zugrunde, bei dem eine Abstandsänderung der Platten eine Spannungsänderung bewirkt. [WG08, S.30]
Abbildung 4: Dielektrisches Wandlerprinzip [WG08, S.30]
8
Die Aufgabe bestand nun darin, ein MATLAB-GUI (GUI - Graphical User Interface
[The05]) zu programmieren, welches die Möglichkeit zur komfortablen Dimensionierung
und anschließenden Evaluierung verschiedenster elektroakustischer Wandler bieten sollte
und somit zur praktischen Ergänzung und Vertiefung des Stoffs der Vorlesung „Elektroakustik“ dienen könnte. Behandelt wurden dabei die zuvor kurz beschriebenen Prinzipien
des dynamischen, des piezoelektrischen und des dielektrischen Wandlers jeweils sowohl
unter idealer, als auch unter realer Betrachtung, das Modell der Kolbenmembran als
konphas schwingende Platte, weiters das dynamische Mikrofon, das Kristallmikrofon
und das Kondensatormikrofon und außerdem der dynamische Lautsprecher in unendlicher Schallwand, im geschlossenen Gehäuse und zuletzt im ventilierten Gehäuse. An
dieser Stelle ist anzumerken, dass der idealen Betrachtung eines Wandlers ein abstraktes
System zugrunde liegt, in dem Energie weder verbraucht noch gespeichert werden kann
[WG08, S.23], wo es hingegen beim realen Wandler zur Berücksichtigung zusätzlicher
Impedanzen kommt. Diese resultieren aus, als reaktive Speicher wirkenden Kapazitäten
und Induktivitäten, an die elektrische bzw. magnetische Felder zwangsläufig gekoppelt
sind. Zusätzlich liefert die Membran Reaktanzen auf der mechanischen Seite und in
elektrischen und mechanischen Widerständen kommt es außerdem zur Umwandlung von
Energie in Wärme. Trotzdem wird beim realen Wandler näherungsweise nur von einer verlustbehafteten elektrischen Reaktanz und eine einfachen mechanischen Membran
ausgegangen. [WG08, S.35]
Diese Bachelorarbeit dient vorrangig als technische Dokumentation des GUIs und
enthält ausführliche Beschreibungen einzelner Berechnungen, Ansätze und Implementierungen bestimmter Details. Sie soll weiters die Bedienung des Programms erleichtern
und auf gewisse, durch die verwendete MATLAB-Version bedingte Schwierigkeiten hinweisen.
In Anbetracht eines möglichen Gebrauchs des im Zuge dieser Bachelorarbeit entstandenen Programms zur Vertiefung des Stoffs der Vorlesung „Elektroakustik“, wurden die
Funktionen stark an den Inhalt des Skriptums angepasst. Zur Programmierung wurde
die MATLAB Help (siehe [The05]) unterstützend verwendet.
2.1 Menüführung
Zur fehlerfreien Verwendung des GUIs wird davon ausgegangen, dass sich alle zugehörigen MATLAB-Dateien, sowie der Bilder-Ordner in einem gemeinsamen Projekt-Ordner
befinden. Er muss als Current Directory ausgewählt werden. Abbildung 5 veranschaulicht die File-Struktur von WandLab 1.0 und so auch die Verknüpfung der einzelnen
Dateien untereinander.
9
Dokumentation.pdf
About_WandLab.m
About_WandLab.fig
IW_DY.m
IW_DY.fig
fRes.m
IW_P.m
IW_P.fig
IW_DI.m
IW_DI.fig
RW_DY.m
RW_DY.fi
RW_P.m
RW_P.fig
RW_DI.m
RW_DI.fig
WandLab_run.m
fRes
IW_DY
IW_P
WandLab.m
WandLab.fig
Res onanzfrequenz
Idealer dyna mischer Wandler
Idealer piezoelektris cher Wandler
IW_DI
Idealer dielektris cher Wandler
RW_DY
Rea ler dynamischer Wandler
RW_P
RW_DI
MIK_DY
MIK_ P
MIK_K
LS_DYUS
LS_DYGG
LS_DYVG
K SP_KK
Rea ler piezoelektrischer Wandler
MIK_DY.m
MIK_DY.fig
MIK_P.m
MIK_P.fig
MIK_K.m
MIK_K.fi
LS_DYUS.m
LS_DYUS.fig
Bilder
Rea ler dielektrischer Wandler
Dynamisches Mikrofon
Piezomikrofon
LS_DYGG.m
LS_DYGG.fi
Kondensatormikrofon
Dynamischer Lautsprecher in unendlicher
Schallwand
Dynamischer Lautsprecher im geschlos senen
Gehäuse
Dynamischer Lautsprecher im ventilierten
Gehäuse
Konphas schwingende Platte - Kreisförmige
Kolbenmembran
LS_DYVG.m
LS_DYVG.fig
KSP_KK.m
KSP_KK.fig
gamma.m
struve.m
Abbildung 5: File-Struktur von WandLab 1.0
Das Ausführen der Datei WandLab_run.m startet die Anwendung. Es erscheint das
in Abbildung 6 dargestellte Hauptfenster des GUIs, das Hauptfenster von WandLab
1.0, dessen Name als Kombination aus Wandler und Labor sowohl grob auf Inhalt und
Anwendungsbereich, als auch gleichzeitig auf das zur Implementierung verwendete Pro-
10
gramm, nämlich auf MATLAB Bezug nimmt.
Abbildung 6: Hauptfenster von WandLab 1.0
Hier stehen die ausklappbaren Menüleisten Datei, Auswahl, Hilfe und Fenster zur Verfügung. Unter dem Auswahlmenü können nun die einzelnen elektroakustischen Wandler
selektiert und in weiterer Folge näher betrachtet werden. WandLab 1.0 ist so aufgebaut, dass für jeden Wandler ein eigenes GUI geöffnet wird, welches als Unterfenster vor
dem Hauptfenster zentriert und etwas kleiner als dieses erscheint und somit weiterhin
die ständige Nutzung der Menüfunktionen des Hauptfensters erlaubt. Auch ein Öffnen
mehrere Wandler gleichzeitig ist möglich. Im Dateimenü finden sich dann Einträge zur
gleichzeitigen Schließung aller im Moment geöffneten Wandler-GUIs, sowie zum Beenden des gesamten Programms, was auch ein Schließen aller Unterfenster mit sich bringt.
Die Hilfemenüleiste bietet dem Benutzer unter dem Eintrag „Dokumentation“ die Einblendung dieser Arbeit. Die Auswahl von „Über WandLab“ lässt ein kleines Fenster
erscheinen, das die wichtigsten Informationen über die Entstehung von WandLab 1.0
liefert. Es ist in Abbildung 7 zu sehen.
11
Abbildung 7: Über WandLab
Wie auch von anderen Programmen gewohnt, kann die Fensterleiste dazu genutzt
werden, um zwischen allen momentan geöffneten, in diesem Fall MATLAB-spezifischen
Fenstern hin und her zu wechseln. In Abbildung 8 ist noch einmal ein Überblick über
die im Hauptfenster von WandLab 1.0 zur Verfügung stehenden Menüs und deren Funktionen gegeben.
WandLab 1.0
Datei
Auswahl
Hilfe
Fenster
Dynamischer Wandler
Alle Wandler
schließen
Ideale Wandler
Piezoelektrischer Wandler
Dielektrischer Wandler
Dokumentation
Dynamisches Mikrofon
Reale Wandler
Beenden
Kristallmikrofon
Kondensatormikrofon
Konphas schwingende Platten
Mikrofone
Lautsprecher
Über WandLab
Kreisförmige Kolbenmembran
Dynamischer Wandler
Piezoelektrischer Wandler
Dielektrischer Wandler
Dynamischer Lautsprecher in unendlicher Schallwand
Dynamischer Lautsprecher im geschlossenen Gehäuse
Dynamischer Lautsprecher im ventilierten Gehäuse
Abbildung 8: Menü-Übersicht
12
0 MATLAB
Command
Window
1 WandLab
...
2.2 Bedienung der Wandler-GUIs
WandLab 1.0 lässt den Benutzer, wie schon in der Einleitung erwähnt mit idealen und
realen Wandlern, mit einem Vertreter der konphas schwingenden Platten, mit Mikrofonen und Lautsprechern arbeiten. Zur genauen Beschreibung der Funktionen der WandlerGUIs und deren Nutzung wird nun auf die kreisförmige Kolbenmembran und zuvor stellvertretend für alle weiteren, wohlgemerkt gleich aufgebauten Wandler-Fenster, auf den
realen dynamischen Wandler näher eingegangen.
2.2.1 Realer dynamischer Wandler
Das Unterfenster des realen dynamischen Wandlers ist, wie auch alle anderen, mit Ausnahme des der kreisförmigen Kolbenmembran, in vier Panel unterteilt. Wie in Abbildung 9 zu erkennen, bietet das rechts angeordnete Optionen-Panel die Möglichkeit, zwischen elektromechanischem und elektrischem Ersatzschaltbild zu wechseln. Dieses wird
stets links unten in einem eigenen Panel angezeigt. Weiters findet man unter Optionen
auch ein Panel für Dimensionierung. Hier können die Werte aller im Ersatzschaltbild
visualisierten Bauteile, sowie die Wandlerkonstante über Edit Text-Boxen eingegeben
werden. Für die Initialisierung wurden sinnvolle Startwerte gewählt. Beim Umschalten
des Ersatzschaltbilds findet zugleich eine Umrechnung der aktuellen Bauteilwerte in die
jeweils andere Domäne statt, sodass das Bild immer mit den einstellbaren Werten konform geht.
Abbildung 9: GUI des realen dynamischen Wandlers
Lediglich bei den Mikrofonen stehen ausschließlich die elektrischen Ersatzschaltbilder
zur Verfügung. Unter Optionen ist trotzdem ein Wechsel in die andere Domäne möglich,
was wiederum ein Umrechnen der Bauteile mit sich bringt. Für die Lautsprecher wurden die elektroakustischen und die elektrischen Ersatzschaltbilder implementiert. Als
13
Startwert ist immer die elektromechanische Betrachtung, bzw. bei den Lautsprechern
die elektroakustische festgelegt. Die idealen Wandler dienen in WandLab 1.0 in erster
Linie zur anschaulicheren Betrachtung des Wandlerprinzips. Somit wurde auf eine Visualisierung der rein elektrischen Ersatzschaltbilder verzichtet.
Neben den Panels für Optionen und das Ersatzschaltbild findet man links oben eines
für Anzeigeoptionen. Hier kann über Check Boxes die Visualisierung der Übertragungsfunktion des Wandlers in Blau, der Eingangsimpedanz in Grün und die der Resonanzfrequenzen in Rot im darunter liegenden Anzeige-Panel gesteuert werden. Zu Beginn
sind alle drei Check Boxes angehakt. Bei alleiniger Auswahl der Check Box für die Resonanzfrequenzen, werden diese zusätzlich zur roten Markierung als Dezimalzahl mit zwei
Nachkommastellen angezeigt. Weiters stehen am rechten Rand des Panel für Anzeigeoptionen Radio Buttons zur wahlweisen Verwendung des Zoom Mode oder des Datacursor
Mode, der den Startzustand bildet, zur Verfügung. Soll der Cursor, nachdem er auf der
Kurve der Eingangsimpedanz angewandt wurde, im Anschluss zur näheren Betrachtung
der Übertragungsfunktion, oder der Resonanzfrequenz dienen, so muss die Visualisierung
der Eingangsimpedanz deaktiviert, mit dem Mauszeiger auf die gewünschte Stelle der
nun zu untersuchenden Kurve geklickt und diese dann deaktiviert und erneut aktiviert
werden. Grund dafür ist ein Problems der für dieses Projekt verwendeten MATLABVersion 7.0.4 in Verbindung mit dem Befehl plotyy, der zur Darstellung mehrerer Grafen mit gleicher x-Achse, jedoch unterschiedlicher y-Achse dient. Weiters findet im Zoom
Mode lediglich für die Eingangsimpedanz eine Vergrößerung beider Achsen statt. Für
die Übertragungsfunktion und die Resonanzfrequenzen ist das Zoomen über den Befehl
zoom on in Verbindung mit plotyy ausschließlich für die x-Achse möglich. So wurde
zur genaueren und flexibleren Betrachtung der Übertragungsfunktion ein Pop-up Menu
realisiert, mit Hilfe dessen ein Umskalieren der y-Achse eine Veränderung der Größe
des Kurvenausschnitts ermöglicht. In Abbildung 10 sind die Bedienelemente der gerade
beschriebenen Features dargestellt.
Abbildung 10: Anzeige-Features
14
3 Implementierung
2.2.2 Kreisförmige Kolbenmembran
Das GUI der kreisförmigen Kolbenmembran besteht, wie in Abbildung 11 zu sehen,
aus einem Anzeige-Panel und einem für Optionen, innerhalb dessen wiederum in einem
Unter-Panel für Dimensionierung verschiedene Parameter eingegeben werden können.
Hierbei handelt es sich um den Membranradius, die Frequenz und den zu betrachtenden
Winkel. Die Berechnung des Abstrahlwinkels findet automatische statt. Dieser wird im
selben Panel für Dimensionierung unter der Winkel-Rubrik ausgegeben. Das AnzeigePanel ist in vier Sektoren unterteilt. In jedem dieser Sektoren kann die Visualisierung
über ein Panel für Anzeigeoptionen gesteuert werden. Dieses lässt wiederum am rechten
Rand einen Wechsel zwischen Zoom Mode und Datacursor Mode zu. Die Anzeige im
linken oberen Sektor stellt den Richtungsfaktor in kartesischen Koordinaten dar, die im
rechten oberen in Polarkoordinaten. Zusätzlich hat man hier die Möglichkeit, zwischen
Richtungsfaktor und Richtungsmaß umzuschalten. An dieser Stelle sei erwähnt, dass die
Kurve des Richtungsmaßes in MATLAB 7.0.4 nur mit einem Offset von in diesem Fall
50 dB sinnvoll zu zeichnen ist, da negative Werte beim Befehl polar zu Unstetigkeiten
führen. (siehe Abbildung 27 und Abbildung 29) Links unten kann über Radio Buttons
wahlweise das Bündelungsmaß, die Strahlungsimpedanz, oder die Massenhemmung visualisiert werden. Rechts unten befindet sich die Ortskurve der Strahlungsimpedanz.
Abbildung 11: GUI der kreisförmigen Kolbenmembran
3 Implementierung
Nachdem in Kapitel 2 die Funktionen von WandLab 1.0 und dessen Bedienung erklärt wurden, soll nun in diesem Kapitel auf die mathematischen Hintergründe und
die MATLAB-spezifische Implementierung näher eingegangen werden. Zu diesem Zweck
findet abermals eine getrennte Behandlung der Berechnungen an den idealen und realen
15
3 Implementierung
Wandlern, Mikrofonen und Lautsprechern und am Modell der kreisförmigen Kolbenmembran statt.
3.1 Wechsel in andere Domänen
Zur anschaulicheren Beschreibung des Gesamtübertragungsverhaltens eines elektroakustischen Wandlers führt man üblicherweise das elektrische, das mechanische und das akustische Teilmodell in ein und die selbe Domäne über. Zumeist wird dazu die elektrische
gewählt. [WG08, S.3]
Zwischen der elektrischen und der mechanischen Domäne unterscheidet man zwei
mögliche Analogiebildungen, welche formal gleichwertig sind, in der Praxis jedoch unterschiedlich verwendet werden. Bei der FU-Analogie, der Kraft-Spannungs-Analogie,
entsprechen einander jeweils die potentiellen bzw. die kinetischen Energien, was sie physikalisch nahe liegender macht. Dafür weisen die elektrischen und mechanischen Netzwerke bei der FI-Analogie, der Kraft-Strom-Analogie, den gleichen strukturellen Aufbau
auf. [WG08, S.7] Abbildung 12 veranschaulicht die Zusammenhänge.
Abbildung 12: Elektromechanische Analogien [WG08, S.7]
Ebenso sind die elektrische und die akustische Domäne, wie in Abbildung 13 zu sehen,
über zwei formal gleichwertige Analogien miteinander verknüpft. Hier erfüllt die physikalische nahe liegendere pU-Analogie, die Druck-Spannungs-Analogie, im Gegensatz zur
pI-Analogie, der Druck-Strom-Analogie, sowohl die Eigenschaft der Energiegleichheit,
als auch die der Strukturgleichheit. [WG08, S.16]
16
3 Implementierung
Abbildung 13: Elektroakustische Analogien [WG08, S.16]
Aufgrund der Abstimmung von WandLab 1.0 auf die Vorlesung „Elektroakustik“, wird
bei sämtlichen Wandlermodellen mit jener Analogie gerechnet, die dem Ersatzschaltbild
des entsprechenden Wandlers auch im Skriptum zu Grunde liegt.
Im Prinzip gibt es jedoch keine eindeutige quantitative Zuordnung zwischen den Bauteilwerten unterschiedlicher Domänen. Es bleibt eine Modellkonstante frei wählbar. Sie
wird Einheitswandlerkonstante genannt und bei verwendeter FU-Analogie mit NU , bei
der FI-Analogie mit NI bezeichnet. [WG08, S.12]
In Abbildung 14 kann die Umrechnung zwischen mechanischen und elektrischen Größen unter Einbeziehung der jeweiligen Einheitswandlerkonstante betrachtet werden.
Abbildung 14: Umrechnung zwischen elektrischen und mechanischen Größen [WG08,
S.13]
17
3 Implementierung
In WandLab 1.0 erfolgt der Domänenwechsel und damit auch das Umrechnen aller
aktuell im Panel für Dimensionierung vorhandenen Bauteilwerte, wie schon im vorigen
Kapitel erwähnt, durch das Umschalten des Ersatzschaltbilds, bzw. bei den Mikrofonen
durch das explizite Wechseln der Domäne im gleichnamigen Panel.
An dieser Stelle sei kurz erwähnt, dass alle in WandLab 1.0 zur Eingabe der Bauteilwerte verwendeten Edit Text-Boxen so programmiert sind, dass ausschließlich Zahlenwerte akzeptiert und dadurch die entsprechenden Bauteile aktualisiert und erfolgreich
neu dimensioniert werden. Eine versehentliche Texteingabe hat die Wiederholung des
letzten gültigen Werts zur Folge. Listing 1 veranschaulicht die Implementierung anhand
der über edit2 steuerbaren Zuleitungskapazität Cz des Piezomikrofons. Sie beruht auf
der in MATLAB zur Verfügung stehenden Abfrage isnan (is not a number).
Listing 1: Überprüfung der Eingabe der Zuleitungskapazität Cz beim Piezomikrofon auf
reine Zahlenwerte in der Edit Text-Box
1
global Cz;
2
3
4
if isnan(str2double(get(hObject,’String’)))
set(handles.edit2,’String’,Cz);
5
6
else
Cz = str2double(get(hObject,’String’));
7
8
9
end
So wie im Skriptum wurde beim realen dynamischen Wandler, beim realen piezoelektrischen Wandler, beim dynamischen Mikrofon, beim Kristallmikrofon, sowie bei
allen Lautsprechern die für die Umrechnung in andere Domänen quantitativ entscheidende Einheitswandlerkonstante der Wandlerkonstante gleichgesetzt. Beim realen dielektrischen Wandler und beim Kondensatormikrofon findet die Berechnung der Einheitswandlerkonstante über die Zusammenhänge N U = C · α [WG08, S.44] und N U = C = · α
[WG08, S.30,72] mit C als Koppelkapazität, C= als Kapselkapazität und α als Wandlerkonstante statt. Listing 2 und Listing 3 zeigen beispielhaft die in MATLAB implementierte Umrechnung mechanischer Größen in elektrische in den m-files der GUIs des
realen dynamischen und des realen dielektrischen Wandlers.
Listing 2: Umrechnung mechanischer Größen in elektrische beim realen dynamischen
Wandler
1
2
3
4
5
6
global C;
C = m/(alpha^2);
global R;
R = (alpha^2)/Rm;
global L;
L = (alpha^2)/s;
%Definition globaler Variablen
%Umrechnung in elektrische Domäne
18
3 Implementierung
Listing 3: Umrechnung mechanischer Größen in elektrische beim realen dielektrischen
Wandler
1
2
3
4
5
6
global CM;
CM = (N^2)/s;
global LM;
LM = m/(N^2);
global RM;
RM = Rm/(N^2);
Bei den Lautsprechern kann im GUI zwischen elektroakustischen und elektrischen
Ersatzschaltbildern umgeschaltet werden. Das bedeutet, dass beim Umrechnen der dem
Ersatzschaltbild entsprechenden Bauteilwerte zuerst ein Wechsel von der akustischen in
die mechanische und anschließend einer von der mechanischen in die elektrische Domäne
stattfinden muss. Der Übergang zwischen akustischer und mechanischer Betrachtung
erfolgt über die Membranfläche. In Listing 4 ist die Umrechnung der akustischen Größen
in elektrische beim dynamischen Lautsprecher im ventilierten Gehäuse gezeigt, wobei Am
die Membranfläche beschreibt.
Listing 4: Umrechnung akustischer Größen in elektrische beim dynamischen Lautsprecher im ventilierten Gehäuse
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
global C3A;
C3A = maA*(Am^2)/(alpha^2);
global R3A;
R3A = (alpha^2)/(RaA*(Am^2));
global L2;
L2 = (alpha^2)*ca/(Am^2);
global C3I;
C3I = maI*(Am^2)/(alpha^2);
global R3I;
R3I = (alpha^2)/(RaI*(Am^2));
global C4;
C4 = mar*(Am^2)/(alpha^2);
global R4;
R4 = (alpha^2)/((Am^2)*Rar);
global C5;
C5 = mao*(Am^2)/(alpha^2);
global R5;
R5 = (alpha^2)/((Am^2)*Rao);
Nun nach der Beschreibung der Implementierung des Domänenwechsels wird im folgenden Unterkapitel näher auf die Dimensionierung der, bislang als gegeben behandelten
Wandlerkonstanten eingegangen.
3.2 Berechnung der Wandlerkonstanten
Neben den dem jeweiligen Ersatzschaltbild zugeordneten Bauteilwerten hat der Benutzer von WandLab 1.0 auch die Möglichkeit, die entsprechende Wandlerkonstante durch
Dimensionierung der ihr zu Grunde liegenden Größen beliebig zu wählen.
19
3 Implementierung
3.2.1 Dynamischer Wandler
Das Prinzip des dynamischen Wandlers beruht auf einem stromdurchflossenen Leiter im
Magnetfeld (siehe auch Kapitel 1). Die auf diesen wirkende Lorentz-Kraft berechnet sich
für den Fall, dass Kraft-, Feld- und Stromrichtung aufeinander senkrecht stehen über
F = B · l · I = α · I. Für die Wandlerkonstante ergibt sich also α = B · l. [WG08,
S.23] Abbildung 15 zeigt das Eingabe-Panel zur Dimensionierung der Wandlerkonstante,
das bei allen Wandler-GUIs mit dynamischem Wandlerprinzip zur Verfügung steht.
Abbildung 15: Panel zur Dimensionierung der dynamischen Wandlerkonstante
3.2.2 Piezoelektrischer Wandler
Für die Berechnung der Wandlerkonstante geht man beim piezoelektrischen Wandlerprinzip davon aus, dass die am Kristall erzeugte Oberflächenladung Q
A der relativen
√
Q
∆x
∆x
Dickenänderung x proportional ist. A = e · x mit der Piezokonstante e = · E ∗ .
beschreibt die Dielektrizitätskonstante, E ∗ das Elastizitätsmodul. Nach der Ableitung
nach der Zeit ergibt sich I = e · A
x · v = α · v. Die Wandlerkonstante berechnet
sich also zu α = e · A
.
[WG08,
S.27]
In Abbildung 16 ist nun wiederum das Panel zur
x
Dimensionierung der Wandlerkonstante, diesmal für alle Wandler-GUIs mit piezoelektrischem Wandlerprinzip zu sehen. Zusätzlich dient das in Abbildung 17 gezeigte Panel
zur Dimensionierung der Piezokonstante.
20
3 Implementierung
Abbildung 16: Panel zur Dimensionierung der piezoelektrischen Wandlerkonstante
Abbildung 17: Panel zur Dimensionierung der Piezokonstante
3.2.3 Dielektrischer Wandler
Für die Wandlerkonstante des dielektrischen Wandlers gilt α = Ux== = E= = Q·=A ,
wobei U= jene Gleichspannung beschreibt, die auf der Ruhekapazität C= = x·=A die
Ladung Q= erzeugt. x= ist der Plattenabstand des Kondensators. [WG08, S.30] Über
das in Abbildung 18 dargestellte Panel kann die Wandlerkonstante in allen GUIs dielektrischer Wandler dimensioniert werden.
21
3 Implementierung
Abbildung 18: Panel zur Dimensionierung der dielektrischen Wandlerkonstante
Die Umsetzung aller, das Panel für Optionen betreffenden Funktionen wurden nun
behandelt. In den nächsten Unterkapiteln folgen die Berechnungen der visualisierbaren
Wandlereigenschaften, nämlich der Übertragungsfunktion, der Eingangsimpedanz und
der Resonanzfrequenzen.
3.3 Aufstellen der Übertragungsfunktionen
Die DIN 40 148 definiert den Verstärkungsfaktor eines elektrischen Geräts, oder allgemein den Übertragungsfaktor eines Übertragungsglieds als das Verhältnis von Ausgangszu Eingangsgröße von Spannung oder Strom. Bei Hervorheben der Frequenzabhängigkeit des Übertragungsfaktors bezeichnet man diesen als Übertragungsfunktion. [Dic97,
S.431f.] WandLab 1.0 greift zu ihrer Berechnung auf Kettenmatrizen zurück, die ausgehend vom elektrischen Ersatzschaltbild für jedes einzelne Bauelement aufgestellt werden. Diese Kettenmatrizen beschreiben die Zusammenhänge zwischen Eingangsspannung, Eingangsstrom, Ausgangsspannung und Ausgangsstrom nach der Form:
U1
I1
!
= M·
U2
I2
!
Befindet sich ein Bauelemente mit der Impedanz
! Z im elektrischen Ersatzschaltbild in
1 Z
Serie, so ergibt sich eine Matrix M =
. Bei parallel geschalteten Teilen erhält
0 1
1
!
0
man M =
. Zum Aufstellen der Kettenmatrix des gesamten Wandlers müs1
1
Z
sen nun lediglich die einzelnen Bauteil-Matrizen in richtiger Reihenfolge vom Eingang
zum Ausgang miteinander multipliziert werden. [WG08, S.36f.] Dieser Vorgang sei hier
anhand des Beispiels des realen dynamischen Wandlers veranschaulicht. Ausgegangen
22
3 Implementierung
wird vom elektrischen Ersatzschaltbild in Abbildung 19.
Abbildung 19: Elektrisches Ersatzschaltbild des realen dynamischen Wandlers [WG08,
S.37]
1 s · LS
0 1
MLS =
1 RS
0 1
MR S =
!
1
0
s·C 1
MC =
!
1
MR =
0
1
1
R
!
!
1
ML =
0
1
1
s·L
!
KM = MLS · MRS · MC · MR · ML =
1 s · LS
0 1
=
!
.
1 RS
0 1
!
.
1
0
s·C 1
!
.
1
1
R
0
1
!
.
1
1
s·L
0
1
!
Daraus folgt:
U1
I1
!
= KM ·
U2
I2
!
Wie bereits erwähnt, werden in WandLab 1.0 zur Betrachtung der einzelnen Wandler dieselben Analogien und somit auch dieselben Ersatzschaltbilder verwendet, die auch
im Skriptum der Veranschaulichung dienen. Zur Berücksichtigung aller Einzelkomponenten des Wandlers und somit z.B. zur Vermeidung einer festgebremsten Membran, wird
aus der gebildeten Kettenmatrix bei allen idealen Wandlern, beim realen dynamischen
Wandler, beim Kristallmikrofon, beim Kondensatormikrofon und bei allen Lautsprechern die Spannungs-Übertragungsfunktion und beim realen piezoelektrischen Wandler, beim realen dielektrischen Wandler und beim dynamischen Mikrofon die StromÜbertragungsfunktion zur Beschreibung des Übertragungsverhaltens des Wandlers aufgestellt. Für die Spannungs-Übertragungsfunktion gilt:
U2
U1
=
1
KM (1,1) ,
für I 2 = 0
23
3 Implementierung
Die Strom-Übertragungsfunktion ergibt sich zu:
I2
I1
=
1
KM (2,2) ,
für U 2 = 0
Listing 5 zeigt die Umsetzung für den realen dynamischen Wandler in MATLAB, Abbildung 20 die Spannungs-Übertragungsfunktion des dynamischen Lautsprechers im ventilierten Gehäuse, bzw. Abbildung 21 die Strom-Übertragungsfunktion des dynamischen
Mikrofons, jeweils für die initialisierten Startwerte der Bauelemente.
Listing 5: Aufstellen der Übertragungsfunktion beim realen dynamischen Wandler
1
2
3
4
5
MLs = [1 s*Ls; 0 1];
MRs = [1 Rs; 0 1];
MC = [1 0;s*C 1];
MR = [1 0;1/R 1];
ML = [1 0;1/(s*L) 1];
%Aufstellen der Kettenmatrizen für die einzelnen Bauteile
KM = MLs*MRs*MC*MR*ML;
%Aufstellen der Gesamtkettenmatrix
G = 1/KM(1,1);
%Berechnung der Übertragungsfunktion aus der Gesamtkettenmatrix
6
7
8
9
Abbildung 20: Spannungs-Übertragungsfunktion des dynamischen Lautsprechers im
ventilierten Gehäuse
24
3 Implementierung
Abbildung 21: Strom-Übertragungsfunktion des dynamischen Mikrofons
3.4 Berechnung der Eingangsimpedanzen
Die Eingangsimpedanz kann aus der Kettenmatrix des Wandlers wie folgt abgeleitet
werden:
U1
I1
!
U2
I2
= KM ·
!
a11 a12
a21 a22
=
!
·
U2
I2
!
U 1 = a11 · U 2 + a12 · I 2
I 1 = a21 · U 2 + a22 · I 2
U2 =
I 1 −a22 · I 2
a21
U1 =
a11
a21
U1
U2
U1
I1
=
1
a21
· I1 −
a22
a21
· I2
a11
a21
· (I 1 − a22 · I 2 ) + a12 · I 2 =
!
=
a11
a21
=
=
a11
a21
1
a21
KM (1,1)
KM (2,1)
a12 −
− aa22
21
a11 · a12
a21
!
.
· I 1 + (a12 −
I1
I2
a11 · a22
a21 ) · I 2
!
für I 2 = 0
In Listing 6 ist das Aufstellen der Kettenmatrix mit anschließender Berechnung der
Eingangsimpedanz für den Lautsprecher in unendlicher Schallwand dargestellt, in Abbildung 22 die im GUI visualisierte Eingangsimpedanz für den dynamischen Lautsprecher
im ventilierten Gehäuse.
25
3 Implementierung
Listing 6: Berechnung der Eingangsimpedanz beim Lautsprecher in unendlicher
Schallwand
1
2
3
4
5
6
7
MRs
MLs
MR1
ML1
MC1
MC3
MR3
=
=
=
=
=
=
=
[1
[1
[1
[1
[1
[1
[1
Rs; 0 1];
s*Ls; 0 1];
0;1/R1 1];
0;1/(s*L1) 1];
0;s*C1 1];
0;s*C3 1];
0;1/R3 1];
8
9
KM = MRs*MLs*MR1*ML1*MC1*MC3*MR3;
10
11
12
G = 1/KM(1,1);
Z = KM(1,1)/KM(2,1);
Abbildung 22: Eingangsimpedanz des dynamischen Lautsprechers im ventilierten
Gehäuse
3.5 Ermittlung der Resonanzfrequenzen
In Abhängigkeit von den Bauteilwerten stellt sich in elektrischen Netzwerken mit Blindelementen bei bestimmten Frequenzen eine Situation ein, die man Resonanz nennt.
In diesem Fall pendelt die gesamte Energie nur zwischen z.B. einer Spule und einem
Kondensator hin und her. [IGT03, S.57]
So tritt beim realen dynamischen Wandler, wie in Abbildung 23 veranschaulicht, zwischen der Schwingspule und dem aus der Membranmasse ins Elektrische übertragenen
Kondensator Serienresonanz auf, die für beliebige Bauteilwerte näherungsweise über den
Zusammenhang fResSerie =
berechnet werden kann. Für die Parallelresonanz
1
√
2 · π · LS · C
zwischen den übergeführten Membranelementen C und L gilt fResP arallel =
.
1
√
2·π· L·C
26
3 Implementierung
Abbildung 23: Serienresonanz und Parallelresonanz beim realen dynamischen Wandler
[WG08, S.37] (nachbearbeitet mit Corel PHOTO-PAINT 12)
Zur exakteren Ermittlung der Resonanzfrequenzen bei beliebiger Dimensionierung des
Wandlers werden in WandLab 1.0 lediglich die Nulldurchgänge des Imaginärteils der
Übertragungsfunktion gesucht. [IGT03, S.57] Diese Berechnung findet mit Hilfe der programmierten Funktion fRes.m statt. Sie ist in Listing 7 zu sehen.
Listing 7: fRes.m
1
function [fRes_vector] = fRes(h,f) %Funktion zur Ermittlung der Resonanzfrequenzen
2
3
4
5
fRes_vector = []; %Initialisierung eines leerer Vektors
for k = 1:(length(h)-1) %Schleife zur Detektion von Nulldurchgängen
if (imag(h(k)) <= 0 && imag(h(k+1)) > 0) || (imag(h(k)) >= 0 && imag(h(k+1)) < 0)
6
7
8
9
10
11
12
if abs(imag(h(k))) <= abs(imag(h(k+1)))
%Abfrage nach jenem der beiden den Nulldurchgang bildenden Werte, der betragsmäßig näher bei Null liegt
fRes_vector(length(fRes_vector)+1) = f(k); %Befüllen des zuvor initialisierten Vektors
else
fRes_vector(length(fRes_vector)+1) = f(k+1); %Befüllen des zuvor initialisierten Vektors
end
13
end
14
15
end
16
17
end
Beim dynamischen Lautsprecher im ventilierten Gehäuse bildet der Tunnel mit dem
dahinter liegenden Gehäusevolumen ein akustisches Masse-Feder-System, das unter dem
Namen Helmholtzresonator bekannt ist [WG08, S.114]. Abbildung 24 zeigt die für diesen
Lautsprecher von WandLab 1.0 detektierten Resonanzfrequenzen, wobei die zweite von
links die Helmholtzresonanz darstellt [WG08, S.120].
27
3 Implementierung
Abbildung 24: Resonanzfrequenzen beim dynamischen Lautsprecher im ventilierten
Gehäuse
Nach der Beschreibung der für alle idealen und realen Wandler, sowie für die Mikrofone und Lautsprecher implementierten Funktionen wird nun mit den Berechnungen an
der kreisförmigen Kolbenmembran fortgesetzt. Behandelt werden Richtungsfaktor und
Richtungsmaß, Bündelungsmaß, Abstrahlwinkel, Strahlungsimpedanz, Strahlungsblindwiderstand und Massenhemmung.
3.6 Behandlung der kreisförmigen Kolbenmembran
Ausgegangen wird vom Modell einer, in eine starre, endlose Wand eingebauten, kreisförmigen, konphas schwingenden Platte, deren Schnelle parallel zur Flächennormalen
verläuft und nach Betrag und Phase auf der gesamten Platte gleich groß ist. Es wird nur
nach einer Seite Schall abgestrahlt. Die Schallschnelle der Luftmoleküle an der Wand
beträgt überall Null. [WG08, S.51] Abbildung 25 verdeutlicht die Gegebenheiten.
Abbildung 25: Modell der kreisförmigen Kolbenmembran [WG08, S.51]
3.6.1 Richtungsfaktor und Richtungsmaß
Die kreisförmige Kolbenmembran erzeugt ein um die z-Achse rotationssymmetrisches
Schallfeld, daher genügt es für sämtliche Betrachtungen, den Messpunkt lediglich durch
28
3 Implementierung
den Abstrahlwinkel ϑ und seine Entfernung zur Quelle r zu berücksichtigen. Für feste
Abstrahlwinkel nimmt der Schalldruck für Entfernungen des Messpunkts weit größer
als der Radius der Kolbenmembran rM , gleich wie bei der Kugelwelle mit 1r ab. Die ϑRichtungsabhängigkeit des Schalldrucks kann nun für jede feste Entfernung r >> rM
durch den Richtungsfaktor ΓKo (ϑ) beschrieben werden. Seine Berechnung erfolgt über
die Bessel-Funktion erster Ordnung nach dem Zusammenhang ΓKo (ϑ) = 2 · Jx1 (x) , für
x = k · rM · sin(ϑ). [WG08, S.52f.] k beschreibt hier die Kreiswellenzahl. Listing 8 veranschaulicht die Implementierung des Richtungsfaktors in MATLAB.
Listing 8: Berechnung des Richtungsfaktors in kartesischen Koordinaten
1
function calculation1(hObject, eventdata, handles)
2
3
4
5
6
7
8
global
global
global
global
global
global
rm;
m;
k;
c;
f;
theta;
9
10
11
12
%Berechnung und Anzeige des Richtungsfaktors in kartesischen Koordinaten
axes(handles.axes3);
hold off;
13
14
15
16
17
18
19
x = 0.5:0.5:40;
GammaKo = 2*besselj(1,x)./x;
plot([0,x],[1,GammaKo],’LineWidth’,2);
xlabel(’x = k.r_M.sin(\theta)’);
ylabel(’\Gamma_K_o’);
grid on;
%allgemeine Kurve
20
21
22
23
24
hold on;
GammaKo = 2*besselj(1,k*rm*sin(theta/180*pi))/(k*rm*sin(theta/180*pi));
%aktueller Wert in Abhängigkeit vom eingestellten Winkel Theta und der Frequenz
stem(k*rm*sin(theta/180*pi),GammaKo,’LineWidth’,2,’Color’,’r’);
Für einen Membranradius von rM = 0, 12 m und einen Abstrahlwinkel von ϑ = 90◦
zeigt Abbildung 26 den in WandLab 1.0 für eine Frequenz von f = 1000 Hz berechneten
und in Rot visualisierten Richtungsfaktor in kartesischen Koordinaten.
29
3 Implementierung
Abbildung 26: Richtungsfaktor der Kolbenmembran in kartesischen Koordinaten
Für das Richtungsmaß gilt: DKo (ϑ) = 20 · log[ΓKo (ϑ)]. [WG08, S.54] Im folgenden
Listing 9 können Berechnung und Darstellung des Richtungsfaktors, sowie des Richtungsmaßes in Polarkoordinaten betrachtet werden.
Listing 9: Berechnung des Richtungsfaktors in Polarkoordinaten
1
2
3
4
5
6
7
8
global
global
global
global
global
global
rm;
m;
k;
c;
f;
theta;
9
10
11
12
%Berechnung und Anzeige des Richtungsfaktors oder Richtungsmaßes in Polarkoordinaten
hold off;
13
14
15
16
17
18
19
thetaa = -pi/2:0.01:pi/2;
ka = 2*pi*f/c;
x = ka*rm*sin(thetaa);
GammaKo = abs(2*besselj(1,x)./x);
GammaKodB = 20*log10(abs(2*besselj(1,x)./x));
GammaKodB(find(GammaKodB < -50)) = -50;
20
21
22
23
24
25
26
if get(handles.radiobutton1,’value’) == 1
H = polar(thetaa,GammaKo);
set(H,’LineWidth’,2);
grid on;
zoom reset;
ylabel(’\Gamma_K_o(\theta)’);
%Richtungsfaktor
27
28
end
30
3 Implementierung
29
30
31
32
33
34
35
36
37
H = polar(thetaa,GammaKodB+50);
%Richtungsmaß
set(gca,’YTick’,[-50 0]);
set(H,’LineWidth’,2,’Color’,[0 0.6 0]);
grid on;
zoom reset;
set(gca,’YTickLabel’,{’-50’;’10’;’0’});
ylabel(’D_K_o(\theta) = 20.log[\Gamma_K_o(\theta)] [dB]\newline + 50 dB Offset’);
38
39
end
Um den Befehl polar nicht auf negative Werte anwenden zu müssen - dies würde in
der verwendeten MATLAB-Version 7.0.4, wie in Abbildung 27 ersichtlich zu fehlerhaften
Resultaten führen - ist zur stetigen Darstellung ein Offset von 50 dB erforderlich (siehe
auch Kapitel 2.2.2).
Abbildung 27: Fehlerhafte Darstellung des Richtungsmaßes in Polarkoordinaten bei negativen Werten
In den Abbildungen 28 und 29 erkennt man den Richtungsfaktor und das Offsetkorrigierte Richtungsmaß in Polarkoordinaten, wie sie in WandLab 1.0 für einen Membranradius von 0, 08 m und eine Frequenz von 6000 Hz visualisiert werden.
31
3 Implementierung
Abbildung 28: Richtungsfaktor der Kolbenmembran in Polarkoordinaten
Abbildung 29: Richtungsmaß der Kolbenmembran in Polarkoordinaten
Unter räumlicher Betrachtung des Richtungsfaktors, bzw. des Richtungsmaßes in Polarkoordinaten entsteht eine Hauptkeule und viele konzentrische Nebenkeulen. Benachbarte Trichter weisen dabei jeweils einen gegenphasigen Schalldruck auf. [WG08, S.54]
3.6.2 Bündelungsmaß
Wie nun bereits gezeigt, dienen Richtungsfaktor und Richtungsmaß zur Beschreibung
der Richtungsabhängigkeit der Schallabstrahlung, bzw. -aufnahme. Der Bündelungsgrad
γ(f ) hingegen sorgt für eine pauschale Kennzeichnung der Richtwirkung. Seine Berechnung erfolgt über die Integration des quadrierten Richtungsfaktors über alle Winkel,
bezogen auf eine Kugeloberfläche.
32
3 Implementierung
γ(f ) = H
S
S
Γ2 (f )dS
S = 4 · π · r2
Für das Bündelungsmaß gilt:
d(f ) = 10 · log[γ(f )] [WG08, S.54]
Listing 10 zeigt die Umsetzung zur Gewinnung des exakten Bündelungsmaßes nach den
gerade beschriebenen Zusammenhängen, sowie der angenäherte Kurve. Dieser liegt die
Annahme einer Grenze zwischen gerichteter und ungerichteter Abstrahlung der Kolben√
membran zu Grunde, die bei k · rM ≈ 1...2 liegt. Die Grenzfrequenz beträgt k · rM = 2.
Die Kolbenmembran strahlt nun definitionsgemäß auch bei sehr tiefen Frequenzen nur
in einen Halbraum, weshalb
√ keine Werte des Bündelungsmaßes unter 3 dB möglich sind.
Für Frequenzen k · rM ≥ 2 beschreibt folgende Beziehung den angenäherten Verlauf
des Bündelungsmaßes:
dKo = 20 · log(k · rM )[ dB]
[WG08, S.55]
Listing 10: Berechnung des Bündelungsmaßes
1
2
3
4
5
6
7
8
global
global
global
global
global
global
rm;
m;
k;
c;
f;
theta;
9
10
11
12
%Berechnung und Anzeige des Bündelungsmaßes
hold off;
13
14
fa = logspace(-1,5,500);
15
16
17
d = real(20*log10(gamma(fa,rm,c)));
%genaue Kurve des Bündelungsmaßes
18
19
20
21
22
23
24
25
26
semilogx(fa, d,’LineWidth’,2);
xlim([10^-1 20000]);
ylim([0 40]);
set(gca,’XTick’,[10^0 10^1 10^2 10^3 10^4]);
xlabel(’f[Hz]’);
ylabel(’d_K_o [dB]’)
grid on;
zoom reset;
27
33
3 Implementierung
hold on;
fg = (sqrt(2)/rm)*c/(2*pi);
Ig = max(find(fa < fg));
dKo1 = 20*log10(sqrt(2))+0*fa(1:Ig);
dKo2 = 20*log10((2*pi*fa((Ig+1):end)/c)*rm);
dKo = [dKo1, dKo2];
%Annäherung
28
29
30
31
32
33
34
semilogx(fa,dKo,’LineWidth’,2,’Color’,’m’,’LineStyle’,’--’);
35
36
hold on;
d = real(20*log10(gamma(f,rm,c)));
stem(f,d,’LineWidth’,2,’Color’,’r’);
37
38
39
%aktueller Wert
40
41
end
Zur Lösung des Integrals über alle Winkel dient die in Listing 11 gezeigte Funktion
gamma.m.
Listing 11: gamma.m
1
function [y] = gamma(f,rm,c) %Funktion zur Berechnung des Bündelungsgrads gamma(f)
2
3
r = 1;
4
5
y = zeros(size(f)); %Erzeugen eines Nullvektors
6
7
for k = 1:length(f)
8
y(k) = 4*pi*r^2/(pi*quad(@(theta) Gammasqared(theta,f(k),rm,c),-pi/2,pi/2));
%Integration des quadrierten Richtungsfaktors über alle Winkel, bezogen auf eine Kugeloberfläche
9
10
11
12
end
13
14
end
15
16
function [y] = Gammasqared(theta,f,rm,c) %nested function
17
k = 2*pi*f/c;
x = k*rm*sin(theta);
I = find(x > -0.00001 & x < 0.00001);
x(I) = 1;
18
19
20
21
22
y = (2*besselj(1,x)./x).^2;
y(I) = 1;
23
24
25
26
27
end
In Abbildung 30 sind die exakte Kurve in Blau, die angenäherte in Magenta und in
Rot der aktuelle Wert des Bündelungmaßes der kreisförmigen Kolbenmembran für einen
Membranradius von rM = 0, 12 m und eine Frequenz von 1 kHz dargestellt.
34
3 Implementierung
Abbildung 30: Bündelungsmaß der Kolbenmembran
Als nächstes folgt die Berechnung der Strahlungsimpedanz.
3.6.3 Abstrahlwinkel
Der Abstrahlwinkel der Kolbenmembran beschreibt jenen Winkelbereich, innerhalb dessen für das Richtungsmaß D ≥ −6 dB gilt. Er kann aber, wie in Abbildung 26 ersichtlich, nur für k.rM ≥ 2, 22 sinnvoll angegeben werden, da im Richtdiagramm überhaupt
erst D ≤ −6 dB, bzw. ein Richtungsfaktor von Γ ≤ 0, 5 erreicht werden muss. Eine
höhere Bündelung hat einen kleineren Abstrahlwinkel zur Folge. Er berechnet sich zu:
φ = 2 arcsin k2,22
· rM
[WG08, S.55]
3.6.4 Strahlungsimpedanz
Die Belastung der Kolbenmembran, hervorgerufen durch das sie umgebende Medium bezeichnet man als Strahlungsimpedanz Z Ko . Strahlt die Membran im Vakuum, so ergibt
sich durch Z Ko = 0 ein Kurzschluss. Die Ermittlung der Strahlungsimpedanz erfolgt
über die Zerlegung der Membranfläche in Teilflächen dA und anschließender Berechnung eines dZ Ko gemäß dem Huygens’schen Prinzip. Hierbei muss jede Teilfläche gegen
den Luftschalldruck arbeiten, der von den benachbarten Teilflächen erzeugt wird. Es gilt:
· k · rM ) + j · 2 · H1 (2 · k · rM ) ) =
Z Ko = Z0 · (1 − 2 · J1 (2
2 · k.rM
2 · k · rM
Ns
= Z0 · [A(2 · k · rM ) + j · B(2 · k · rM )] = <{Z Ko } + j · ={Z Ko }[ m
3 ] mit Z0 als Schallkennimpedanz.
35
3 Implementierung
H1 beschreibt die Struve’sche Funktion erster Ordnung über:
H1 (x) =
2·x
π
·
R
π
2
0
sin(x · cos ϕ) · sin2 (ϕ) · dϕ
Nach Ausdrücken der Besselfunktion und der Struve’schen Funktion durch deren Reihenentwicklungen und anschließendem Abbrechen nach dem ersten Glied, erhält man
folgende Näherungslösungen:
A(2 · k · rM ) ≈
(2 · k · rM )2
8
(k · rM )2
2
=
A(2 · k · rM ) ≈ 1 für k · rM >
√
für k · rM <
√
2
2
√
B(2 · k · rM ) ≈
4 · (2 · k · rM )2
3·π
=
8 · k · rM
3·π
für k · rM <
B(2 · k · rM ) ≈
4
π · (2 · k · rM )
=
2
π · k · rM
für k · rM >
3
2
√
3
2
[WG08, S.56]
Die Implementierung sowohl der exakten, als auch der angenäherten Strahlungsimpedanz, sowie deren Visualisierung können für einen Membranradius von rM = 0, 06 m
und eine Frequenz von f = 1500 Hz in Listing 12, bzw. in Abbildung 31 betrachtet
werden.
Listing 12: Berechnung der Strahlungsimpedanz
1
2
3
4
x = 2*(2*pi*fa/c)*rm;
ReZKo = 1 - 2*besselj(1,x)./x; %genaue Kurve des Realteils der Strahlungsimpedanz
ImZKo = 2*struve(x)./x; %ganuae Kurve des Imaginärteils der Strahlungsimpedanz
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
semilogx(fa,20*log10(ReZKo),’LineWidth’,2);
xlim([10^-1 20000]);
set(gca,’XTick’,[10^0 10^1 10^2 10^3 10^4]);
ylim([-50 5]);
set(gca,’YTick’,[-48 -36 -24 -12 0]);
xlabel(’f [Hz]’);
ylabel(’Z_K_o/Z_0 [dB]’);
grid on;
zoom reset;
15
16
17
hold on;
semilogx(fa,real(20*log10(ImZKo)),’LineWidth’,2,’Color’,[0 0.6 0]);
18
19
20
21
22
23
hold on;
fg1 = (sqrt(2)/rm)*c/(2*pi);
Ig1 = max(find(fa < fg1));
fg2 = (sqrt(3)/(2*rm))*c/(2*pi);
24
25
26
x1 = (2*pi*fa(1:Ig1)/c)*rm;
ReZKo1 = x1.^2./2;
36
3 Implementierung
x2 = (2*pi*fa(Ig1+1:end)/c)*rm;
ReZKo2 = ones(1,length(x2));
ReZKo = [ReZKo1, ReZKo2]; %angenäherte Kurve des Realteils der Strahlungsimpedanz
27
28
29
30
x1 = (2*pi*fa(1:Ig2)/c)*rm;
ImZKo1 = 8*x1./(3*pi);
ImZKo2 = 2./(pi*x2);
ImZKo = [ImZKo1, ImZKo2]; %angenäherte Kurve des Imaginärteils der Strahlungsimpedanz
31
32
33
34
35
36
semilogx(fa,20*log10(ReZKo),’LineWidth’,2,’Color’,’m’,’LineStyle’,’--’);
hold on;
semilogx(fa,20*log10(ImZKo),’LineWidth’,2,’Color’,’m’,’LineStyle’,’--’);
37
38
39
40
hold on;
x = 2*(2*pi*f/c)*rm;
ReZKo = 1 - 2*besselj(1,x)/x; %aktueller Wert des Realteils der Strahlungsimpedanz
ImZKo = 2*struve(x)/x; %aktueller Wert des Imaginärteils der Strahlungsimpedanz
stem(f,20*log10(ReZKo),’LineWidth’,2,’Color’,’r’);
hold on;
stem(f,20*log10(ImZKo),’LineWidth’,2,’Color’,’r’);
legend(’Re\{Z_K_o/Z_0\}’,’Im\{Z_K_o/Z_0\}’,’location’,’NorthWest’);
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
end
Da die Struve’sche Funktion in MATLAB 7.0.4 nicht zur Verfügung steht, wurde diese
in einem separaten m-file, wie im folgenden Listing 13 veranschaulicht ausprogrammiert.
Listing 13: struve.m
1
function [H1x] = struve(x) %Implementierung der struve’schen Funktion 1.Ordnung
2
3
H1x = zeros(size(x)); %Erzeugen eines Nullvektors
4
5
for k = 1:length(x)
6
H1x(k) = 2*x(k)/pi*quad(@(phi) f(phi,x(k)),0,pi/2); %Lösen des struve’schen Integrals 1.Ordnung
7
8
9
end
10
11
end
12
13
function [y] = f(phi,x) %nested function
14
y = sin(x*cos(phi)).*sin(phi).^2;
15
16
17
end
37
3 Implementierung
Abbildung 31: Strahlungsimpedanz der Kolbenmembran
Der Programmcode zur Gewinnung der Ortskurve der Strahlungsimpedanz der kreisförmigen Kolbenmembran ist in Listing 14 zu sehen, in Abbildung 32 ihr genauer Verlauf
in Blau, die Annäherung in Magenta, sowie der Momentanwert für rM = 0, 06 m und
f = 1500 Hz in Rot.
Listing 14: Berechnung der Ortskurve der Strahlungsimpedanz
1
2
3
4
5
6
7
8
global
global
global
global
global
global
rm;
m;
k;
c;
f;
theta;
9
10
11
12
%Berechnung und Anzeige der Ortskurve der Strahlungsimpedanz
hold off;
13
14
15
16
17
fa = logspace(-1,5,500);
x = 2*(2*pi*fa/c)*rm;
ReZKo = 1 - 2*besselj(1,x)./x; %genaue Kurve des Realteils der Strahlungsimpedanz
ImZKo = 2*struve(x)./x; %genaue Kurve des Imaginärteils der Strahlungsimpedanz
18
19
20
21
22
23
24
plot(ReZKo,ImZKo,’LineWidth’,2);
axis equal;
axis tight;
xlabel(’Re{Z_K_o}/Z_0’);
ylabel(’Im{Z_K_o}/Z_0’);
grid on;
25
26
27
hold on;
fg1 = (sqrt(2)/rm)*c/(2*pi);
38
3 Implementierung
28
29
30
fg2 = (sqrt(3)/(2*rm))*c/(2*pi);
31
32
33
34
35
36
x1 = (2*pi*fa(1:Ig1)/c)*rm;
ReZKo1 = x1.^2./2;
x2 = (2*pi*fa(Ig1:end)/c)*rm;
ReZKo2 = ones(1,length(x2));
ReZKo = [ReZKo1, ReZKo2]; %angenäherte Kurve des Realteils der Strahlungsimpedanz
37
38
39
40
41
42
x1 = (2*pi*fa(1:Ig2)/c)*rm;
ImZKo1 = 8*x1./(3*pi);
x2 = (2*pi*fa(Ig2:end)/c)*rm;
ImZKo2 = 2./(pi*x2);
ImZKo = [ImZKo1, ImZKo2]; %angenäherte Kurve des Imaginärteils der Strahlungsimpedanz
43
44
45
plot(ReZKo,ImZKo,’LineWidth’,2,’Color’,’m’,’LineStyle’,’--’);
axis tight;
46
47
48
49
50
hold on;
x = 2*k*rm;
ReZKo = 1 - 2*besselj(1,x)/x; %aktueller Werte des Realteils der Strahlungsimpedanz
ImZKo = 2*struve(x)/x; %aktueller Wert des Imaginärteils der Strahlungsimpedanz
51
52
53
stem(ReZKo,ImZKo,’LineWidth’,2,’Color’,’r’);
axis tight;
Abbildung 32: Ortskurve der Strahlungsimpedanz der Kolbenmembran
39
3 Implementierung
3.6.5 Strahlungsblindwiderstand und Massenhemmung
Für die Strahlungsimpedanz in der mechanischen Domäne gilt:
Z m,Ko = <m + j · Xm = <m + j · ω · m[ Nms ]
Der Strahlungsblindwiderstand, also der Imaginärteil der mechanischen Strahlungsimpedanz kann näherungsweise wie folgt berechnet werden:
Xm ≈ Z0 · 8 ·3k··πrM · AM = ω · m für k · rM < 1
Xm ≈ Z0 · π · k2· rM · AM = ω · m für k · rM > 1
Das entspricht für k · rM < 1 einem Anstieg mit 6 dB pro Oktave und für k · rM > 1
einem selbigen Abfall.
Der exakten Verlauf der Kurve kann wiederum über die Struve’sche Funktion erster
Ordnung ermittelt werden:
Xm ≈ Z0 · 2 · H12(2· k· k· r·MrM ) · AM
Für die Massenhemmung ergibt sich aus dem Strahlungsblindwiderstand:
m ≈
Xm
ω
[WG08, S.58ff.]
Listing 15 zeigt die Ermittlung der exakten, sowie der angenäherten Verläufe des
Strahlungsblindwiderstands und der Massenhemmung in WandLab 1.0.
Listing 15: Berechnung des Strahlungsblindwiderstands und der Massenhemmung
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x = 2*(2*pi*fa/c)*rm;
Xm = 2*struve(x)./x*rm^2*pi;
%genaue Kurve des Strahlungsblindwiderstands
loglog(fa,abs(Xm),’LineWidth’,2);
xlim([10^0 20000]);
set(gca,’XTick’,[10^0 10^1 10^2 10^3 10^4]);
xlabel(’f [Hz]’);
ylabel(’ZmKo [Ns/m], m [g]’);
grid on;
set(gca,’YTickMode’,’auto’);
zoom reset;
12
13
14
15
16
hold on;
m = Xm./(2*pi*fa);
%genaue Kurve der Massenhemmung
loglog(fa,abs(m),’LineWidth’,2,’Color’,[1 0.5 0]);
legend(’Im\{Z_m_,_K_o/Z_0\}’,’m’,’location’,’SouthWest’);
17
18
hold on;
40
3 Implementierung
fg1 = (1/rm)*c/(2*pi);
x1 = (2*pi*fa(1:Ig1)/c)*rm;
Xm1 = 8*x1./(3*pi)*rm^2*pi;
Xm2 = 2./(pi*x2)*rm^2*pi;
Xm = [Xm1, Xm2];
%angenäherte Kurve des Strahlungsblindwiderstands
loglog(fa,Xm,’LineWidth’,2,’Color’,’m’,’LineStyle’,’--’);
19
20
21
22
23
24
25
26
27
hold on;
m = Xm./(2*pi*fa);
%angenäherte Kurve der Massenhemmung
loglog(fa,m,’LineWidth’,2,’Color’,’m’,’LineStyle’,’--’);
28
29
30
31
hold on;
x = 2*(2*pi*f/c)*rm;
Xm = 2*struve(x)/x*rm^2*pi;
%aktueller Wert des Strahlungsblindwiderstands
h = stem(f,abs(Xm),’LineWidth’,2,’Color’,’r’);
set(h,’BaseValue’,1);
32
33
34
35
36
37
hold on;
m = Xm/(2*pi*f);
%aktueller Wert der Massenhemmung
stem(f,abs(m),’LineWidth’,2,’Color’,’r’);
38
39
40
41
42
end
Abbildung 33 veranschaulicht Strahlungsblindwiderstand und Massenhemmung der
kreisförmigen Kolbenmembran für rM = 0, 04 m und f = 10 kHz.
Abbildung 33: Strahlungsblindwiderstand und Massenhemmung der kreisförmigen
Kolbenmembran
41
WandLab 1.0 dient vorrangig der Vertiefung des Verständnisses grundlegender elektroakustischer Zusammenhänge, indem sämtliche Wandlertypen schnell, unkompliziert und
grafisch unterstützt dimensioniert und die wichtigsten, den Wandler charakterisierenden Eigenschaften simuliert, evaluiert und untereinander verglichen werden können. Der
strukturierte Aufbau des Programms sollte dabei für eine möglichst intuitive Menüführung sorgen. Der Vergleich der verschiedenen Wandler untereinander wird z.B. durch
die separaten Wandler-GUIs, mit welchen auf diese Weise bei gleichzeitiger gemeinsamer Sichtbarkeit im Vordergrund, ganz unabhängig voneinander gearbeitet werden kann,
gefördert. So lag ein Hauptaugenmerk dieser Arbeit wahrlich auf der grundlegenden Organisation aller Funktionen und Features. Schlussendlich lässt WandLab 1.0 nun auf
Grund der Realisierung über ein Haupt-GUI und mehrere Unter-GUIs die Möglichkeit
zur simplen Erweiterung durch zusätzliche Wandler und Modelle, sowie zur Verbesserung
offen. Der Gebrauch einzelner m-files für die einzelnen Wandler gewährt einen gewissen
Überblick über das Gesamtkonzept und bietet den Vorteil eines raschen Anknüpfens an
diese Arbeit. Auf die Frage, in wie weit MATLAB zur Umsetzung der im Vorfeld festgelegten Anforderungen geeignet war, sei hier nicht näher eingegangen. Tatsache ist, dass
mehrere versionsbedingte Fehler zu Problemen geführt haben, die leider nicht alle zur
Gänze beseitigt werden konnten und dadurch nun zur Akzeptierung von Kompromissen
zwingen.
42
Literatur
Literatur
[Dic97] Dickreiter, Michael: Handbuch der Tonstudiotechnik: Band 2. 6.Auflage. K.
G. Saur Verlag KG, 1997. – ISBN 3–598–11322–6
[IGT03] IGTE: Skript zur Lehrveranstaltung „Elektrotechnisches Grundlabor“, Übung
5: Messung an Schwingkreisen. 2003
[The05] The MathWorks, Inc.: MATLAB Help: Version 7.0.4.365 (R14) Service
Pack 2, 2005
[WG08] Weselak, Werner ; Graber, Gerhard: Skript zur Vorlesung „Elektroakustik“
von Graber, Gerhard; Version 8.3. 2008
43

Modellierung elektroakustischer Wandler in MATLAB

Transcription

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Xxxx - Elac