M-V Zentralabitur Mathematik mit CAS

Abitur 2009 Mathematik
Seite 1
Name, Vorname: ....................................................
Aufgabe A0 (beinhaltet die Aufgaben 1−3 des Arbeitsblattes)
Arbeitsblatt
Dieses Arbeitsblatt ist vollständig und ohne Zuhilfenahme von Tafelwerk und Taschenrechner
zu bearbeiten. Das Arbeitsblatt wird nach einer Bearbeitungszeit von genau 45 Minuten
eingesammelt. Zusätzliche Lösungsblätter sind mit Ihrem Namen zu versehen und in dieses
Arbeitsblatt einzulegen.
1
1.1
a)
b)
Analysis
In dem Koordinatensystem ist der
Graph einer der Funktionen
f(x) = − x3 + 5x − 1 oder
g(x) = − x3 + 3x2 dargestellt.
Geben Sie an, welche der beiden
Funktionen dargestellt ist.
Begründen Sie.
Skizzieren Sie den Verlauf der
Ableitungsfunktion der
dargestellten Funktion in dasselbe
Koordinatensystem.
y6
5
4
3
2
1
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
1.2
Der Graph der Funktion mit der Gleichung f ( x ) = x 2 + bx + c hat im Punkt (3 | 2) den
Anstieg 1.
Berechnen Sie b und c.
1.3
Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f(x) = x 4 + 5x 2 mit x ∈ \ keinen Wendepunkt
besitzt.
Abitur 2009 Mathematik
1.4
Seite 2
Untersuchen Sie die Monotonie der Funktion f(x) = 2 − e x und begründen Sie.
2
1.5
Berechnen Sie alle Lösungen für k.
∫ (x + 5)dx =
k
2
2.1
2.2
45
2
Analytische Geometrie
Ein Dreieck ist durch die Eckpunkte A(−1 | −1 | 1), B(3 | 2 | 1) und C(−2 | 3 | 1) gegeben.
Prüfen Sie, ob der Winkel BAC ein rechter Winkel ist.
Berechnen Sie die Länge der Strecke AB .
Geben Sie den Mittelpunkt der Seite BC an.
G
G G
G
Geben Sie den Vektor x mithilfe der Vektoren a , b und c an.
G
c
G
x
G
b
G
a
Abitur 2009 Mathematik
Seite 3
2.3
Bestimmen Sie einen Wert für k, sodass der Punkt P(3 | k2 | k) auf der Geraden AB mit
A(1 | 2 | 4) und B(0 | 1 | 5) liegt.
3
3.1
Stochastik
Eine Tür kann nur mit einem Code, der aus vier Feldern besteht, geöffnet werden.
Für jedes Feld stehen die Zeichen „0“ oder „1“ zur Verfügung.
Wie viele verschiedene vierstellige Codes sind höchstens möglich?
3.2
Ein Würfel wird 100-mal geworfen. Formulieren Sie jeweils das Gegenereignis zu den
folgenden Ereignissen.
A: Weniger als 10-mal erscheint die Augenzahl 6.
B: Mindestens bei der Hälfte der Würfe fällt eine 3 oder eine 4.
3.3
In einem Behälter liegen 2 rote und 3 blaue Kugeln.
Es wird eine Kugel zufällig gezogen, ihre Farbe notiert und nicht wieder in den Behälter
gelegt. Anschließend wird dieser Vorgang mit einer zweiten Kugel wiederholt.
Begründen Sie, dass es sich bei diesem Vorgang nicht um eine Bernoulli-Kette handelt.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden gezogenen Kugeln die gleiche
Farbe besitzen.
a)
b)
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2
Hinweise für Schüler
Aufgabenwahl:
Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B.
Der Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten.
Von den Aufgaben A1, A2 und A3 sind zwei auszuwählen.
Prüfungsteilnehmer, die die Prüfung unter erhöhten
Anforderungen ablegen, bearbeiten zusätzlich den
Prüfungsteil B.
Von den Aufgaben B1, B2 und B3 ist eine auszuwählen.
Bearbeitungszeit:
Allen Prüfungsteilnehmern steht eine Bearbeitungszeit von
195 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl
zur Verfügung.
Den Prüfungsteilnehmern, die die Prüfung unter erhöhten
Anforderungen ablegen, stehen zusätzlich 60 Minuten
Bearbeitungszeit zur Verfügung.
Hilfsmittel:
Für die Bearbeitung der Aufgaben sind zugelassen:
• das an der Schule eingeführte Tafelwerk,
• der an der Schule zugelassene Taschenrechner und
das zugelassene CAS,
• Zeichengeräte
• ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung.
Hinweis:
Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch
exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen.
In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar
sein.
Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen
werden, wenn sie zusammenhängend konzipiert sind und die
Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden
Gesamtumfanges beinhaltet.
Sonstiges:
Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich
vergeben werden bei
• guter Notation und Darstellung,
• eleganten, kreativen und rationellen Lösungswegen,
• vollständiger Lösung einer zusätzlichen Wahlaufgabe.
Maximal zwei Bewertungseinheiten können bei mehrfachen
Formverstößen abgezogen werden.
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A1
Analysis
1.1
Untersuchen Sie, ob es eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit
folgenden Eigenschaften gibt:
Ihr Graph schneidet die x-Achse an den Stellen –10 und 30 und verläuft
99 ⎞
⎛
durch den Punkt P ⎜ 15
. Die Funktion hat an der Stelle 10 ein lokales
8 ⎟⎠
⎝
Minimum vom Wert 12.
1.2
Gegeben sind die Funktionenschar hk und die Funktion f mit ihren Gleichungen.
f(x) =
− 21 4
x + 3 x 3 + 81
100000
500
10
hk (x) = k ⋅ e− 0,003x
2
+ 0,1x
x,k ∈ \; k > 0
1.2.1 Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von f mit den
Koordinatenachsen.
Ermitteln Sie die Größe und den Umfang der Fläche F, die der Graph von f
mit den Achsen im 1. Quadranten einschließt.
Der Graph der Funktion h2 zerlegt F in zwei Teilflächen.
Berechnen Sie den prozentualen Anteil einer der beiden Teilflächen an der
Gesamtfläche F.
1.2.2 Weisen Sie nach, dass jeder Graph der Funktionenschar hk genau einen
Hochpunkt hat.
Ermitteln Sie deren Koordinaten in Abhängigkeit von k.
Geben Sie die Gleichung der Geraden an, auf der alle Hochpunkte liegen.
1.2.3 Hk bezeichnet die Fläche zwischen den Graphen von hk und der x-Achse
über dem Intervall [0; 50] in Abhängigkeit von k.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt von H2.
Ermitteln Sie, für welche k der Inhalt von Hk größer als 100 FE wird.
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A2
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Analytische Geometrie
Im Physikraum befindet sich eine ebene
neigbare Projektionsfläche.
Legt man den Ursprung des kartesischen
Koordinatensystems in einer Ecke
des Raumes fest, so ergeben sich für die
Projektionsfläche folgende Eckpunkte
A(10 | 180 | 130), B(10 | 330 | 130),
C(30 | 330 | 280) und D(30 | 180 | 280).
Alle Angaben erfolgen in cm.
2.1
Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene an, in der sich die
Projektionsfläche befindet.
2.2
Untersuchen Sie folgende Aussagen jeweils auf ihren Wahrheitsgehalt.
Aussage 1: Die Punkte A, B, C und D bilden ein Parallelogramm.
Aussage 2: Die Punkte A, B, C und D bilden ein Rechteck.
Aussage 3: Die Punkte A, B, C und D bilden ein Quadrat.
2.3
Die Projektionsfläche ist bezüglich der hinter ihr liegenden senkrechten Wand,
welche in der yz-Ebene liegt, nach vorn geneigt.
Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Projektionsfläche.
2.4
Während eines Vortrages benutzt der Lehrer einen Laserpointer. Der Laserstrahl
tritt im Punkt P(520 | 430 | 150) aus dem Pointer aus und hat die Richtung
⎛ −5 ⎞
G ⎜ ⎟
a = ⎜ −2 ⎟ .
⎜ 1⎟
⎝ ⎠
2.4.1 Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S, in dem der Laserstrahl die
Projektionsfläche trifft.
Berechnen Sie den Abstand des Punktes P vom Punkt S und die Größe des
Winkels zwischen Laserstrahl und Projektionsfläche.
2.4.2 Stellen Sie das Viereck ABCD und den Verlauf des Laserstrahls in einem
kartesischen Koordinatensystem grafisch dar.
2.5
Vor der Projektionsfläche befindet sich eine vertikal verschiebbare rechteckige
Tafel. In der tiefsten Position haben die Eckpunkte der Tafel die Koordinaten
K(25 | 130 | 115), L(25 | 130 | 15), M(25 | 370 | 15) und N(25 | 370 | 115).
Prüfen Sie, ob es möglich ist, die Tafel um 145 cm nach oben zu verschieben,
ohne dass es zu einer Kollision mit der in ihrer Neigung unveränderten
Projektionsfläche kommt.
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A3
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Stochastik und Analysis
Eine mittelständische Firma aus dem Metall verarbeitenden Gewerbe stellt u.a.
Räucheröfen her. Mit diesen Produkten präsentiert sich die Firma regelmäßig auf
Verbrauchermessen. Langfristige Beobachtungen haben ergeben, dass sich ca. 2 %
aller Besucher derartiger Messen speziell für diese Räucheröfen interessieren.
3.1
Bei einer solchen Messe kommen an einem Tag 3450 Besucher.
3.1.1 Geben Sie an, mit wie vielen Interessenten die Vertreter dieser Firma an diesem
Tag rechnen können.
3.1.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:
A: Weniger als 60 Interessenten besuchen an diesem Tag den Stand.
B: Mehr als 80 Interessenten besuchen an diesem Tag den Stand.
C: Mindestens 60, aber höchstens 70 Interessenten besuchen an diesem Tag
den Stand.
3.2
Die Firmenleitung beschließt, ihr Engagement bei der nächsten Messe zu
verstärken und bereitet dazu ein Gewinnspiel für 5000 Besucher vor.
Gespielt wird mit 4 gewöhnlichen Würfeln, bei denen jeweils die Zahlen 1 bis 6
mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Bei jedem Wurf werden alle 4 Würfel
gleichzeitig geworfen. Würfelt man einen 6-er-Pasch, d.h. alle 4 Würfel zeigen
zugleich die 6 an, gewinnt man einen Räucherofen im Wert von 690 €. Würfelt
man einen anderen Pasch, gewinnt man ein Buch zum Thema Räuchern im Wert
von 15 €. Weitere Preise gibt es nicht, das Spiel ist für die Besucher kostenlos.
3.2.1 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für den Gewinn eines Räucherofens
bzw. eines Buches bei einem Wurf.
3.2.2 Berechnen Sie den zu erwartenden Gesamtwert aller Gewinne, wenn 5000
Besucher jeweils genau einmal an diesem Spiel teilnehmen.
3.3
Auf der Messe wird ein neuer Räucherofen zum voraussichtlichen Verkaufspreis
von 499 € vorgestellt. Abzüglich der Händlerprovision würden dabei die
Einnahmen für die Firma 329 € je ausgelieferten Räucherofen betragen. Zur
Untersuchung der Wirtschaftlichkeit werden als Modell die stetigen Funktionen U
und K verwendet. Die Umsatzfunktion U beschreibt die Einnahmen in € in
Abhängigkeit von der Anzahl x der ausgelieferten Räucheröfen.
U(x) = 329 x
Die Kostenfunktion K beschreibt den Zusammenhang zwischen der Anzahl x der
ausgelieferten Räucheröfen und den Produktionskosten in €.
K(x) = 0,007178 x 3 – 2,888 x 2 + 497 x + 20 000
Zeichnen Sie die Graphen von K und U in ein Koordinatensystem.
Ermitteln Sie für die Anzahl der ausgelieferten Räucheröfen das Intervall, für
das die Firma mit Gewinn arbeitet.
Bestimmen Sie die Anzahl x, bei der die Firma den größtmöglichen Gewinn
erzielt.
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B1
Seite 6
Analysis
Betrachtet wird die Funktion f mit der Gleichung f(x) = 2,4 x 2 − x 3 ; x ∈ \ .
Der Graph der Funktion f schließt mit der x-Achse die Fläche A vollständig ein.
1.1
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A.
1.2
Die Fläche A soll durch Rechtecke der Breite 1 LE vollständig bedeckt werden.
Die Rechtecke können verschiedene Längen besitzen. Die Länge wird in
Richtung der y-Achse festgelegt. Die Längen der einzelnen Rechtecke sollen
möglichst klein sein. Die Rechtecke überdecken sich gegenseitig nicht.
1.2.1 Stellen Sie den Graphen der Funktion f und die Rechtecke in einem
Koordinatensystem für den Fall dar, dass die linke Seite des linken Rechtecks
auf der y-Achse liegt.
Berechnen Sie die Summe der Rechtecklängen.
1.2.2 Ermitteln Sie rechnerisch die Anzahl und Lage der Rechtecke so, dass die
Summe der Rechtecklängen möglichst klein ist und beschreiben Sie die Lage der
Rechtecke für diesen Fall.
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B2
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Analytische Geometrie
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte durch ihre Koordinaten
A( 2 | 0 | 0 ), B( 5 | 6 | –2 ), C( –1 | 8 | –5 ), D( xD | yD | zD ), S1( 3 | 5 | 6 ) und
S2( 1 | – 3 | –7 ) gegeben.
Die Punkte A, B, C und D liegen in der Ebene ε und bilden ein Parallelogramm mit AC
als Diagonale.
2.1
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D.
2.2
Begründen Sie, dass S1 und S2 auf verschiedenen Seiten von ε liegen.
2.3
Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem die beiden Pyramiden ABCDS1 und
ABCDS2.
Prüfen Sie rechnerisch, ob die beiden Pyramiden ABCDS1 und ABCDS2
spiegelsymmetrisch zur Ebene ε liegen.
2.4
⎛ −10 ⎞ ⎛ 13 ⎞
G ⎜
⎟ ⎜
⎟
Die Gerade g besitzt die Gleichung g : x = ⎜ 15 ⎟ + t ⎜ −10 ⎟ .
⎜ 13 ⎟ ⎜ −7 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
Zeigen Sie, dass S1 auf g liegt.
Auf der Geraden g gibt es einen Punkt S3, sodass S3 die Spitze einer geraden
Pyramide mit der Grundfläche ABCD ist.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S3.
Abitur 2009 Mathematik mit CAS
B3
Analytische Geometrie und Stochastik
3.1
Eine Lagerhalle der Firma „HAMMER & HART“
besitzt die Grundfläche ABCD und hat ein Pultdach
EFGH (siehe Skizze).
Beide Flächen haben die Form eines Rechtecks.
In einem kartesischen Koordinatensystem
(1 LE = 1 m)
besitzen die Eckpunkte folgende Koordinaten:
A(4 | 0 | 0), B(16 | 9 | 0), C(13 | 13 | 0), D(1 | 4 | 0),
E(4 | 0 | 4), F(16 | 9 | 4), G(13 | 13 | 6), H(1 | 4 | 6).
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(Skizze nicht maßstäblich)
3.1.1 Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Dachfläche liegt.
Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche gegenüber der
Grundflächenebene.
3.1.2 An einem im Mittelpunkt der Dachfläche EFGH befestigten Seil soll an dessen
Ende im Punkt L ein Beleuchtungskörper aufgehängt werden.
Prüfen Sie, ob bei einer Seillänge von 1,00 m der Abstand des Punktes L von der
Dachfläche EFGH noch mindestens 0,90 m beträgt.
3.1.3 Im Punkt H der Dachfläche befindet sich ein in Richtung der z-Achse
verlaufender Fahnenmast, der 2,00 m aus der Dachfläche herausragt.
⎛7⎞
⎜ ⎟
Bei Einfall von parallelem Sonnenlicht in Richtung des Vektors ⎜ −1 ⎟ wirft dieser
⎜ −3 ⎟
⎝ ⎠
Mast einen Schatten, der sich zum Teil auf der Dachfläche EFGH befindet.
Berechnen Sie die Länge des Schattens auf der Dachfläche EFGH.
3.2
Die Firma „HAMMER & HART“ produziert Geräte, von denen erfahrungsgemäß
2 % als Garantiefälle reklamiert werden.
3.2.1 Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 600 verkauften Geräten die
Anzahl der Garantiefälle weniger als 15 beträgt.
3.2.2 Ermitteln Sie, nach wie vielen verkauften Geräten die Wahrscheinlichkeit für das
Auftreten mindestens eines Garantiefalles erstmals über 75 % liegt.
3.2.3 Es wird vermutet, dass der Anteil der Garantiefälle doch höher sein könnte als
angegeben. Dazu sollen 1000 Geräte in ihrer Garantiezeit beobachtet werden.
Formulieren und begründen Sie dazu eine Entscheidungsregel, wobei die
Irrtumswahrscheinlichkeit zwischen 5 % und 6 % liegen soll.