σ σ σ µ σ µ σ

Aufgaben Konfidenzintervalle
Grundaufgabe
In einer Umfrage unter 1000 zufällig ausgesuchten Personen vertraten 620 eine bestimmte Meinung.
a) Nenne Beispiele von Erfolgswahrscheinlichkeiten, die mit dem Stichprobenergebnis verträglich sind
(Sicherheitswahrscheinlichkeit 95%).
b) Welches ist die kleinste bzw. größte Erfolgswahrscheinlichkeit, in deren Annahmebereich das
Stichprobenergebnis liegt.
Aufgabe Artikelmängel (Mathematik Bigalke/Köhler, 978-3-06-005900-3)
Der Hersteller garantiert seinen Kunden, dass höchstens 10% seiner Artikel Mängel aufweisen. Bei
einer vom Kunden durchgeführten Stichprobe zeigen tatsächlich nur 8% der Ware Mängel.
Untersuchen Sie, ob der Kunde bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95,5% davon ausgehen
kann, dass die Behauptung des Herstellers zutrifft, wenn der Umfang der Stichprobe
a) n= 50
b) n= 200
c) n = 2000 beträgt.
Lösungsvorschlag:
p − 2⋅
Mit
σ
n
σ
n
≤
X
σ
≤ p − 2⋅
n
n
= 0, 08 ergibt sich
für a):
3,1% ≤ p ≤ 19,1%
4,94% ≤ p ≤ 12, 71%
b)
Das Vertrauensintervall überschreitet jeweils die 10%-Grenze, daher kann die Herstellergarantie nicht
als gesichert angesehen werden.
Für c) ergibt sich: 6,9% ≤ p ≤ 9,3% .
Der Kunde kann daher bei einer Stichprobengröße von n = 2000 mit 95,5% Sicherheit davon ausgeben,
dass die Herstellergarantie zutrifft.
Aufgabe Rentiere (EdM 11/12, 978-3-507-87920-1)
Um herauszufinden, mit welcher absoluten Häufigkeit eine bestimmte Tierart vorkommt, fängt man im
betrachteten Gebiet Tiere dieser Art ein und markiert sie. Danach setzt man sie wieder aus. Nach
einiger Zeit zählt man Tiere dieser Art und stellt fest, wie viele davon markiert sind. Nach einiger Zeit
zählt man Tiere dieser Art und stellt fest, wie viele davon markiert sind.
a) In einem Bezirk Finnlands werden 200 Rentiere gefangen und mit einem gut sichtbaren Farbfleck
gekennzeichnet. Einige Wochen später fotografiert man vom Flugzeug aus verschiedene
Rentierherden mit insgesamt 430 Tieren, von denen 72 eine Markierung tragen.
b) Von 120 markieren Fischen eines Fischteichs werden 28 beim zweiten Mal gefangen; 104 Fische
des zweiten Fangs waren nicht markiert.
Schätzen Sie den Anteil markierter Tiere in der Gesamtheit. Wie viele Tiere der betrachteten Art wird es
– mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% - in dem Bezirk bzw. dem Fischteich geben?
Lösungsvorschlag:
µ − 1,96σ ≤ X ≤ µ − 1,96σ
a) n=430, X=72
solve Î 0,136 ≤ p ≤ 0, 205
Grundgesamtheit: x
Anteil:
200
= 0,135 ⇒ x = 1480, 4
x
200
= 0, 205 ⇒ x = 972, 6
x
Die Anzahl der Rentiere liegt zwischen ca. 972 und
1480.
b) n=132, X=28
solve Î 0,151 ≤ p ≤ 0, 289
Grundgesamtheit: x
Anteil:
120
= 0,151 ⇒ x = 794, 7
x
120
= 0, 289 ⇒ x = 415, 2
x
Die Anzahl der Rentiere liegt zwischen ca. 415
und 795.
Aufgabe Schweiger/Pflaume
(überlappende Konfidenzintervalle)
1997 belegte ohne Zweifel Till
Schweiger den ersten Platz im
Herzen der 20-50jährigen
Frauen. Kann aber Kai Pflaume
mit einer
Sicherheitswahrscheinlichkeit von
95% den zweiten Platz vor Henry
Maske beanspruchen?
Als Lösung der Ungleichung p − 1,96 ⋅
p ⋅ (1 − p )
≤ h ≤ p + 1,96 ⋅
n
p ⋅ (1 − p )
erhält man
n
p ≥ 0, 2346 und p ≤ 0, 2872 . Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% erhält man also das
Konfidenzniveau [23,5% / 28,7%] den Anteil aller deutschen Frauen zwischen 20 und 50 Jahren, die
Kai Pflaume am meisten Sexappeal zuweisen. Für Henry Maske erhält man analog das
Konfidenzintervall [21,3% / 24,9%].
Da sich die beiden Intervalle überlappen, kann man auf Grund der Umfrage Kai Pflaume den zweiten
Platz nicht zusprechen.
Aufgabe
Alkohol
(in Anlehnung Abitur 2008, Bremen)
Aus einer Unfallstatistik 2006 der Polizei in Baden-Württemberg entnimmt man folgende Schätzwerte
für Wahrscheinlichkeiten von Unfällen außerhalb von Ortschaften:
P(ein Unfall ist ein Unfall unter Alkoholeinfluss) = 0,075
P(ein Unfall unter Alkoholeinfluss endet für eine daran beteiligte Person tödlich) = 0,052
P(ein Unfall ohne Alkoholeinfluss endet für eine daran beteiligte Person tödlich) = 0,015
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Unfall außerhalb von Ortschaften für eine
daran beteiligte Person tödlich endet.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Unfalltod außerhalb von Ortschaften durch
Alkohol verschuldet ist. Runden Sie bei den Zwischenergebnissen auf 4 Stellen genau.
Aus Verkehrskontrollen in Deutschland nimmt man an, dass ca. 5% aller Fahrten unter Alkoholeinfluss
stattfinden.
b) Erläutern Sie, unter welchen Annahmen man die Kontrolle von Autofahrern und -fahrerinnen auf
Alkoholgenuss als einen mehrstufigen Bernoulli-Versuch auffassen kann und nennen Sie ein
Beispiel dafür, wann diese Bedingungen verletzt sind.
c) Am Dienstag wurde in einer Stadt bei 1867 Fahrern eine Kontrolle durchgeführt.
Bei 82 Fahrern wurde ein Alkoholeinfluss ermittelt. Bewerten Sie dieses Ergebnis in Bezug auf den
bundesweiten Wert.
Aufgabe Große Männer im Saarland
(vgl. Abitur 2009 eA, Niedersachsen)
In einer saarländischen Wachstumsstudie, in der u. a. 436 männliche 18-Jährige untersucht
wurden, waren 218 männliche 18-Jährige größer als der Mittelwert M= 181,6 cm.
Ermitteln Sie unter Annahme einer Binomialverteilung für die unbekannte Wahrscheinlichkeit p, dass im
Saarland ein männlicher 18-Jähriger größer als M= 181,6 cm ist, zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von
95% das Vertrauensintervall.
Lösungsvorschlag:
Anmerkungen:
• Es handelt sich um eine Aufgabe, die im Rahmen der Übungsphase oder der
Klausurvorbereitung im Unterricht eingesetzt werden kann.
• Die Inhalte dieser Aufgabe sind: Bestimmen und Vergleichen von Konfidenzintervallen und die
Herleitung einer Abschätzung für die Intervalllänge d des Konfidenzintervalls bzw. für die Wahl
eines genügend großen Stichprobenumfangs n.
• Die Bestimmung der Konfidenzintervalle kann auf verschiedener Weise erfolgen:
• Betragsungleichung (EdM, S. 444)
Die Anzahl männlicher 18jähriger, die in einer Stichprobe vom Umfang n größer als 181,6 cm sind, ist
binomialverteilt. Für den Erwartungswert E und die Standardabweichung σ dieser Anzahl gilt:
E = n ⋅ p und σ = n ⋅ p ⋅ (1 − p ) . Mit der relativen Häufigkeit h =
218
= 0,5 und n = 436 erhält
436
man bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95% über die Lösung der Ungleichung
p − 1,96 ⋅
Aufgabe
p ⋅ (1 − p )
≤ h ≤ p + 1,96 ⋅
n
Stahlzylinder
p ⋅ (1 − p )
als Vertrauensintervall [0,453; 0,547].
n
(vgl. Abitur 2009 gA, Niedersachsen)
Bei einer Produktion von Stahlzylindern treten herstellungsbedingt Abweichungen von den
vorgegebenen Maßen auf. Der Produktion wird eine Stichprobe von 200 Zylindern entnommen, dabei
werden 80 Zylinder der Qualitätsklasse I zugeordnet.
a)
Bestimmen Sie ein Vertrauensintervall zu einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95% für die
Wahrscheinlichkeit, dass ein produzierter Zylinder zur Qualitätsklasse I gehört.
b) Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. Begründen Sie Ihre
Entscheidung (ohne Rechnung).
(i) Die Länge des Vertrauensintervalls wird größer, wenn der Stichprobenumfang vergrößert wird.
(ii) Die Länge des Vertrauensintervalls wird größer, wenn die Sicherheitswahrscheinlichkeit erhöht
wird.
Lösungsvorschlag
a) Aufgrund der Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95% ist der Faktor 1,96 zu wählen, näherungsweise
ergibt sich für die relative Häufigkeit der Stichprobe (h = 80/200 = 0,4) und n=200 über
p − 1,96 ⋅
c)
p ⋅ (1 − p )
≤ h ≤ p + 1,96 ⋅
n
p ⋅ (1 − p )
das Vertrauensintervall [0,335; 0,469].
n
Die erste Aussage ist falsch. Argumentation über Annäherung des Stichprobenumfangs an die
Grundgesamtheit und folglich h gegen p strebt und die Sicherheit wächst.
Die zweite Aussage ist falsch. Wird die Sicherheitswahrscheinlichkeit erhöht, so müssen größere
Intervalle gewählt werden, damit die vorgegebene relative Häufigkeit mit der Wahrscheinlichkeit
verträglich ist.
Aufgabe
Allergien bei Jugendlichen
Aufgaben:
a) Gib die wesentlichen Inhalte des Zeitungsberichtes mit eigenen Worten wieder.
b) Berechne das Konfidenzintervall (95%-Niveau) für den Anteil der Jugendlichen mit mindestens
einer allergischen Krankheit. Interpretiere das Ergebnis.
c) Bestimme den Anteil der ost- und westdeutschen Jugendlichen in der Studie (Tipp: 34% aller
deutschen Jugendlichen sind 28% der ostdeutschen und 37% der westdeutschen
Jugendlichen) und zeige dann, dass die westdeutschen Jugendlichen tatsächlich stärker
allergisch sind.
d) Du befragst die 260 Schülerinnen und Schüler der Jahrgangsstufe 7 – 9. Mit wie vielen
Jugendlichen mit einer allergischen Erkrankung musst du rechnen
(Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95%)?
Lösungsvorschlag:
Hinweis. Dieser Lösungsvorschlag beinhaltet den Weg über den Näherungsansatz, der nicht
Bestandteil des KCs ist. Eine Lösung mit dem solver des TCs ist problemlos möglich.
Aufgabe Politbarometer (Abitur NRW LK 2010 )
Im Dezember 2008 veröffentlichte das ZDF im Politbarometer.
Hinweis: 2 % der Befragten sind in ihrer Erwartung für das neue Jahr unentschlossen.
Dieser Anteil wurde in der ZDF-Graphik nicht abgebildet.
a) Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Befragten in der Umfrage, die ein
besseres Jahr erwarten.
(1) Geben Sie an, unter welchen Voraussetzungen die Binomialverteilung eine gute
Näherung an die Verteilung von X ist.
Es wird angenommen, dass der wirkliche Anteil der Personen in der Bevölkerung gleich
der relativen Häufigkeit in der Umfrage ist.
(2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 zufällig ausgesuchten
Personen mindestens 18 ein besseres Jahr erwarten.
(3) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 1000 zufällig ausgesuchten
Personen mindestens 210 und höchstens 230 Personen ein besseres Jahr erwarten.
b) Der tatsächliche Anteil aller Wahlberechtigten, die ein besseres Jahr erwarten, sei gleich 20 %.
Bestimmen Sie das 95 %-Konfidenzintervall und prüfen Sie, ob das Ergebnis der Umfrage
der Forschungsgruppe Wahlen unter 1268 Personen (p =22%) mit einem wirklichen
Anteil von 20 % verträglich ist (Sicherheitswahrscheinlichkeit 95 %).
Betrachten Sie im Folgenden den Anteil der Personen, die ein schlechteres Jahr erwarten. Der
tatsächliche Anteil p dieser pessimistischen Bürger sei unbekannt.
c) Skeptiker der aktuellen Politik möchten einen möglichst großen Anteil pessimistischer
Bürger angeben. Die relative Häufigkeit in der Umfrage der Forschungsgruppe Wahlen
soll natürlich verträglich mit diesem Anteil sein.
Bestimmen Sie das 95 %-Konfidenzintervall für p und geben Sie diesen Anteil an.
d) Die Forschungsgruppe Wahlen war daran interessiert, die Umfrage so anzulegen, dass
sie damit möglichst sichere Aussagen über die Gesamtbevölkerung treffen kann.
(1) Ermitteln Sie, um welchen Betrag sich der Anteil pessimistischer Bürger in der Umfrage unter
1268 Wahlberechtigten bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 90 % höchstens vom
(unbekannten) wirklichen Anteil p ∈ [0;1] pessimistischer Bürger in der Gesamtbevölkerung
unterscheidet.
(2) Beschreiben Sie, wie sich diese Abweichung ändert, wenn der Stichprobenumfang
verändert wird, und begründen Sie Ihre Aussage mit einer Rechnung.
Lösungsvorschlag
a)
(1) Für jede befragte Person gibt es zwei mögliche Antworten (besseres Jahr oder kein besseres Jahr).
Die „Erfolgswahrscheinlichkeit“ ist von Person zu Person gleich, d. h.,
die Grundgesamtheit muss groß sein im Vergleich zum Stichprobenumfang und die befragten
Personen müssen in ihrer Einschätzung unabhängig voneinander sein.
(2) Die Zufallsgröße X ist B100;0,22-verteilt mit µ= 22 und σ = 17,16 ≈ 4,14 > 3
P ( X ≥ 18) = 1 − P( X ≤ 17) ≈ 0,862
(3) X ist nun B1000;0,22-verteilt mit µ= 220 und
σ = 171, 6 ≈ 13,1 > 3 .
P (210 ≤ X ≤ 230) ≈ 0,577
b)
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Personen, die ein besseres Jahr erwarten.
Für n = 1268 und p = 0,2 erhält man
µ = n ⋅ p = 253,6 und σ = n ⋅ p ⋅ (1 − p ) ≈ 14, 24 > 3 .
Mit Hilfe der σ-Tabelle also:
sie definieren das Konfidenzintervall [0,178; 0,222].
Die relative Häufigkeit in der Umfrage des ZDF beträgt 0,22 und liegt in diesem Intervall.
Das Stichprobenergebnis ist somit verträglich mit dem Anteil p = 0,2.
Abituraufgaben ohne Lösungsvorschlag:
Aufgabe (vgl. Abitur 2009 eA Nachschreibtermin)
Eine Firma beschriftet Messzylinder. In der Qualitätskontrolle erfolgt eine Einstufung der fertig
skalierten Zylinder in die hohen Qualitätsstufen A und B und die niedrige Qualitätsstufe C. Bei einer
aufwändigen Kontrolle von 600 Messzylindern werden 54% in die Stufe A und 21% in die Stufe B
eingeordnet, der Rest erhält die Qualitätsstufe C.
Untersuchen Sie, ob die Firma bei gleich bleibenden Produktionsbedingungen aufgrund dieses
Kontrollergebnisses bei künftigen Lieferungen auch ohne eine Qualitätskontrolle zu einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95,5% dem Kunden zusagen kann, dass mehr als 70% der gelieferten
Messzylinder den hohen Qualitätsstufen A und B angehören.
Aufgabe (vgl. Abitur 2010 gA)
Vor und während der Wahl zum Bundestag am 27.09.2009 war die Wahrscheinlichkeit, dass ein
Wahlberechtigter tatsächlich wählt, unbekannt. Kurz nach Schließung der Wahllokale meldeten bereits
die ersten Bezirke mit insgesamt 15320 Wahlberechtigten eine Wahlbeteiligung von durchschnittlich
72,4%.
a) Bestimmen Sie ein Vertrauensintervall (γ = 95%) für die zu diesem Zeitpunkt noch unbekannte
Wahlbeteiligung auf Bundesebene.
b) Dieses Vertrauensintervall überdeckt nicht die tatsächliche bundesweite Wahlbeteiligung. Nennen
Sie eine mögliche Ursache hierfür.
c) Beurteilen Sie die folgende Aussage: „Hätten wir etwas länger gewartet und die Ergebnisse von
doppelt so vielen Wahlberechtigten berücksichtig, so wäre das Vertrauensintervall für die
bundesweite Wahlbeteiligung nur halb so lang.“
Aufgabe (Abitur 2010 eA)
In einer Fabrik werden Präzisionsschrauben von Maschine A hergestellt. Da die Fehlerquote hierbei
verfahrensbedingt sehr groß ist, untersucht Maschine B die Schrauben auf Defekte. Sie sortiert dabei
erfahrungsgemäß 98% aller defekten, aber auch 1% aller einwandfreien Schrauben aus. Die nicht
aussortierten Schrauben werden ausgeliefert. Der Hersteller behauptet, dass nur 4% aller
ausgelieferten Schrauben defekt sind.
a) Ein Kunde untersucht eine Stichprobe von 450 Schrauben und findet 32 defekte Schrauben.
Bestimmen Sie ein Vertrauensintervall ( γ = 90% ) für den Anteil der defekten Schrauben und
beurteilen Sie die obige Herstellerangabe auf der Grundlage Ihres Ergebnisses.
Aufgabe (vgl. Abitur 2010 gA Nachschreiber)
Ein Großhändler verkauft Grafikrechner. Erfahrungsgemäß sind 5% der Geräte defekt und werden
ausgetauscht.
Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der defekten Geräte. Es darf von einer Binomialverteilung
ausgegangen werden.
a) […]
Seit 2010 bietet der Großhändler einen neu entwickelten Grafikrechner an. In einer ersten
Stichprobe werden 240 Geräte getestet und 16 defekte Rechner gefunden.
b) Bestimmen Sie ein Vertrauensintervall für die unbekannte Wahrscheinlichkeit, dass ein solcher
Rechner defekt ist ( γ = 90% ).
Die Schule möchte für die 105 Schülerinnen und Schüler des nächsten 7. Jahrgangs eine
Sammelbestellung für das neu entwickelte Modell aufgeben. Da der Händler anbietet,
überschüssige oder defekte Geräte zurückzunehmen, entscheidet sich die Schule dazu, 120
Rechner zu bestellen.
Bestimmen Sie die zum Vertrauensintervall gehörenden Erwartungswerte für die Anzahl defekter
Geräte und beurteilen Sie die Entscheidung der Schule.
Aufgabe (Abitur 2010 eA Nachschreiber)
Die Wahl zum Bürgermeister einer Großstadt gewinnt derjenige Kandidat, der mehr als 50% der
Stimmen erhält.
a) […]
Bereits vor der Bürgermeisterwahl wurden Umfragen zum Wahlausgang durchgeführt.
b) In einer repräsentativen Umfrage gaben 424 von 800 Personen an, den amtierenden Bürgermeister
wählen zu wollen.
Entscheiden Sie mithilfe eines Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95%, ob
der amtierende Bürgermeister mit einem Wahlsieg rechnen konnte.
In einer weiteren repräsentativen Umfrage unter n zufällig ausgewählten Personen gaben 54% der
Befragten an, den amtierenden Bürgermeister wählen zu wollen.
Ermitteln Sie die Mindestanzahl n an Personen, die befragt worden sein müssen, damit das
Vertrauensintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95% für den unbekannten Stimmenanteil
p nur Werte enthält, die größer als 0,5 sind.