Teil F: Input-Output

Teil F: Input-Output-Rechnung
1. Einleitung
Die Input-Output-Rechnung liefert eine Darstellung der vielfältigen Bezugs- und Lieferverflechtungen
eines Wirtschaftsraums. Mit ihr lassen sich die Interdependenzen zwischen verschiedenen Sektoren
einschließlich der möglichen Rückkoppelungseffekte herausarbeiten.
Im Rahmen der Input-Output-Rechnung wird unterschieden zwischen der deskriptiven Auswertung der
Input-Output-Tabelle und der Input-Output-Analyse, in der produktionstheoretische Modellannahmen Berücksichtigung finden.
Die erste Input-Output-Tabelle wurde 1936 von W. Leontief veröffentlicht. Es war eine Tabelle für die
Volkswirtschaft der USA des Jahres 1919. Seitdem sind eine Vielzahl von internationalen, nationalen
und regionalen Tabellen erstellt worden.
-1-
2. Input-Output-Tabellen
Input-Output-Tabellen für die Bundesrepublik Deutschland
Für die BRD wurden bzw. werden nationale Tabellen vom Statistischen Bundesamt und den großen
Wirtschaftsforschungsinstituten erstellt:
Statistsches Bundesamt: I-O-Tabellen mit 58 Produktionsbereichen und 58 Gütergruppen für die Jahre
1978, 1980, 1982, 1984, 1985, 1986, 1987, 1988, 1991, 1993, 1997, 1999 (wird 2003 veröffentlicht).
Ifo-Institut: I-O-Tabellen mit 62 Produktionsektoren für 1961-64
RWI: I-O-Tabellen mit 51 Produktionssektoren für 1960-1978
DIW: I-O-Tabellen mit 56 Produktionssektoren für 1962, 1967, 1972, 1976 und 1980
Auch im Statistischen Amt der Europäischen Gemeinschaft (EUROSTAT) werden I-O-Tabellen erstellt.
-2-
Aufbau einer Input-Output-Tabelle
Ausgangspunkt der Darstellung ist ein sektorales Produktionskonto (z.B. des Industriesektors 2), auf
dem die Entstehung der Produktion und ihre Verwendung, sichtbar werden:
Produktionskonto Sektor 2
Vorleistungskäufe
Vorleistungsverkäufe
von Sektor 1
V12
an Sektor 1
V21
von sich selbst
V22
an sich selbst
V22
von Sektor 3
V32
an Sektor 3
V23
von Sektor n
Vn2
an Sektor n
V2n
Kauf von Importgütern
IM2
Verkauf von Konsumgütern
C2
Ind. Steuern abzgl. Subv.
T2
Verkauf von Investitionsgütern
I2
Abschreibungen
D2
Verkauf an das Ausland
Löhne und Gehälter
L2
Gewinne
G2
Bruttoproduktionswert
BPW2
Bruttoproduktionswert
-3-
EX2
BPW2
Ordnet man die Entstehungsseite als Spalte und die Verwendungsseite als Zeile einer Matrix derart
an, daß der In-sich-Vorleistungsstrom den Schnittpunkt bildet, so ergibt sich folgendes Gleichungskreuz:
V12
V21
V22
V23
V2n
C2
V32
Vn2
IM2
T2
D2
L2
G2
BPW2
-4-
I2
EX2
BPW2
Die folgende Abbildung zeigt diese Rechnung exemplarisch für eine Volkswirtschaft mit 3 Sektoren.
V11
V12
V13
C1
I1
EX1
BPW1
V21
V22
V23
C2
I2
EX2
BPW2
V31
V32
V33
C3
I3
EX3
BPW3
IM1
IM2
IM3
T1
T2
T3
D1
D2
D3
L1
L2
L3
G1
G2
G3
BPW1 BPW2 BPW3
-5-
Für den allgemeinen Fall mit n Sektoren erhält man dann folgendes Schema einer Input-OutputTabelle:
Xij
Si
Yik
(Quadrant I)
(Quadrant II)
Uj
Yk
Plj
Pl
(Quadrant III)
Pj
P
Xj
X
-6-
Yi
Xi
Y
X
Entsprechend den 3 Quadranten lassen sich drei Teilmatrizen unterscheiden:
− die Vorleistungsmatrix (Quadrant I)
− die Endnachfragematrix (Quadrant II)
− die Primäraufwandsmatrix (Quadrant III)
Die
Vorleistungsmatrix
ist
das
Kernstück
der
Input-Output-Tabelle.
Sie
enthält
die
Vorleistungslieferungen der n Sektoren untereinander.
Die Spaltensumme enthält den gesamten Vorleistungsverbrauch eines Sektors.
Uj =
n
i =1
xij
Dieser wird auch als “intermediärer Input“ bezeichnet.
Die Zeilensumme weist den Teil der Produktion eines Sektors aus, der nicht an die Endnachfrage
Si =
n
geliefert wird, sondern als Vorleistungslieferung an alle anderen Sektoren.
xij
j =1
Er wird auch als “intermediärer Output“ oder Zwischennachfrage bezeichnet.
-7-
Die Endnachfragematrix enthält die Lieferungen der n Produktionssektoren für den Endverbrauch. In
einer offenen Volkswirtschaft mit staatlicher Aktivität teilt sich die Endnachfragematrix in die Spalten:
privater Verbauch, Staatsverbrauch, Bruttoinvestitionen und Exporte auf. In Verbindung mit der
Vorleistungsmatrix beschreiben die Zeilen der Input-Output-Tabelle somit die Output-Struktur der
Sektoren. Der Gesamtoutput oder Bruttoprodutionswert Xi läßt sich als Summe aus
Si + Yi = X i
mit Si =
n
Zwischennachfrage Si (Vorleistungslieferungen) und Endnachfrage Yi darstellen:
xij
j =1
Die Primäraufwandsmatrix enthält die sogenannten “primären Inputs“, also Löhne und Gehälter,
Gewinne, Abschreibungen, Importe und indirekte Steuern abzüglich Subventionen. In Verbindung mit
der Vorleistungmatrix beschreiben die Spalten der Input-Output-Tabelle die Input-Struktur der
l =1
Plj = X j
n
mit m Arten von primären Inputs und U j =
-8-
Uj +
m
Sektoren. Der Gesamtinput Xj besteht aus empfangenen Vorleistungen Uj und primären Inputs Pj.
i =1
xij
Input- Outputkoeffizienten und Vorleistungsquote
Will man mit Hilfe der Input-Ouput-Tabelle Aussagen über die wirtschaftliche Verflechtung der
Sektoren innerhalb der betrachten Volkswirtschaft treffen, so sind die absoluten Werte der in der InputOutput-Tabelle verbuchten Werte noch nicht sehr aussagekräftig. Deshalb ermittelt man, um den Grad
der industriellen Verflechtung oder den Anteil einer Primäraufwandskomponente am Gesamtinput bzw.
einer Endnachfragekomponente am Gesamtoutput der Sektoren feststellen zu können, sogenannte
Strukturkoeffizienten.
Informationen
über
die
Entstehungs-
bzw.
Inputkoeffizienten:
aij =
xij
Xj
-9-
Kostenstruktur
der
Produktion
liefern
die
Setzt man die gesamten bezogenen Vorleistungen eines Sektors ins Verhältnis zu seinem gesamten
Input, so erhält man die Vorleistungsquote:
VQ j =
Uj
Xj
Die Verwendungs- bzw. Absatzstrukturen der Sektoren lassen sich durch die Outputkoeffizienten
beschreiben:
bij =
xij
Xi
-10-
Illustration der Berechnung von Input- und Outputkoeffzienten sowie der Vorleistungsquote anhand
eines Zahlenbeispiel für eine 3-Sektoren Input-Output-Tabelle ohne Staat und Außenwirtschaft.
2
3
1
8
5
4
+
1
2
=
20
2
0
1
0
+
9
0
=
10
3
2
0
2
+
0
6
=
10
+
+
+
Dj
3
2
2
1,2,3 : Sektoren
Lj
4
1
1
Ci : privater Konsum
Gj
3
1
1
Ii : Bruttoinvestitionen
=
=
=
Di : Abschreibungen
20
10
10
Lj : Löhne und Gehälter
Xj
Ci
Xi
1
Ii
Gi : Gewinne
Xi : Bruttoproduktion
-11-
1
1
8
2
0
3
2
VQj
20
20
20
10
20
Dj
3
Lj
4
Gj
3
20
20
20
2
5
10
1
10
0
10
6
10
2
10
1
10
1
10
xij
Xj
Berechnung der Inputkoeffizienten aij =
und der Vorleistungsquote VQ j =
3
4
1
2
3
10
1
0,4
0,5
0,4
10
2
0
0,1
0
10
3
0,1
0
0,2
10
VQj
0,5
0,6
0,6
10
1
10
1
10
Dj
0,15
0,2
0,2
Lj
0,2
0,1
0,1
Gj
0,15
0,1
0,1
0
2
6
2
Uj
Xj
.
Die Inputkoeffizienten lassen z.B. erkennen, daß die Produktion des Sektors 2 stark von den
Vorleistungen des Sektors 1 abhängt. So besteht 50% des Inputs von Sektor 2 aus Vorleistungen von
Sektor 1. Die niedrigste Vorleistungsquote mit 0,5 weist der Sektor 1 auf.
-12-
Bildung der Outputkoeffizienten bij =
1
1
8
2
0
3
2
20
10
10
2
5
20
1
10
0
10
3
4
0
2
xij
Xi
Ci
Ii
2
20
+
1
10
+
9
10
+
0
20
10
10
0
6
1
2
3
Ci
Ii
0,25 0,2
+
0,05
0,1
0
0,1
0
+
0,9
0
0,2
0
0,2
+
0
0,6
20
1
0,4
10
2
10
3
Die Outputkoeffizienten zeigen z.B., daß der größte Teil der Produktion von Sektor 1 (85%)
Vorleistung an andere Sektoren darstellt. Nur 15% des Outputs gehen an die Endnachfrage.
-13-
Prinzipien der Sektorenbildung
Neben der räumlichen und zeitlichen Abgrenzung, der Größe der Tabelle und der Erfassung und
Bewertung der Transaktionen - entweder nach der Input- oder nach der Outputmethode, je nachdem,
ob vorwiegend Kosten- bzw. Verbrauchsstatistiken oder aber Absatzstatistiken vorliegen - spielt das
Prinzip der Sektorenbildung eine wesentliche Rolle bei der Tabellenerstellung. Die beiden wichtigsten
Prinzipien der Sektorenbildung sind das funktionelle und das institutionelle Prinzip
Beim institutionellen Prinzip werden die Sektoren nach dem Schwerpunktprinzip gebildet, d.h. die
statistischen Einheiten (z.B. Unternehmen oder Betrieb) werden nach ihrem Hauptprodukt klassifiziert.
Mithin zielt das institutionelle Prinzip auf eine Erfassung der über den Markt laufenden Produktströme
ab (Marktverflechtungsprinzip).
Beim funktionellen Prinzip erfolgt die Aggregation dagegen nach Produkten oder homogenen
Produktgruppen. Hier wird z.B. für den Fall, daß ein Unternehmen zwei unterschiedliche Produktarten
herstellt,
die
Produktion
auf
zwei
Wirtschaftssektoren
-14-
aufgeteilt.
Das
Ziel
dieses
Prinzips ist es somit alle, d.h. neben den über den Markt umgesetzten auch die unternehmensinterne
Produktströme, die den Markt nicht berühren, auszuweisen (Produktionsverflechtungsprinzip).
Der Vorteil des institutionellen Prinzips besteht darin, daß das benötigte Datenmaterial leichter
verfügbar ist. Die Daten aus der Gewinn- und Verlustrechnung können unmittelbar verwendet werden,
weil
kein
Zurechnungsproblem
auftritt.
Nachteilig
ist
jedoch,
daß
sich
aufgrund
des
Schwerpunktprinzips die Heterogenität der Transaktionen vergrößert, da viel Produkte trotz ihrer
Gleichartigkeit in verschiedenen Sektoren erfaßt werden.
Die Tabellen des Statistischen Bundesamtes, des RWI und des IFO-Instituts sind nach dem
funktionellen Prinzip, die Tabellen des DIW nach dem institutionellen Prinzip aufgebaut.
-15-
3. Input-Output-Analyse
Im Gegensatz zur deskriptiven Auswertung handelt es sich bei der Input-Output-Analyse um eine
modellmäßige Auswertung der Input-Output-Tabelle.
Bei den statischen Modellen wird die Zeit nicht explizit berücksichtigt. Die Rechnung bezieht sich zwar
auf einen Zeitraum; es wird aber nicht analysiert, wie sich der untersuchte Zustand aus den vorherigen
Perioden entwickelt hat.
Das offene statische Input-Output-Modell
Die größte Bedeutung hat das offene statische Leontief-Modell erlangt. Ihm liegen folgende Annahmen
zugrunde:
Es existiert eine lineare Technologie, d.h. in jedem Produktionssektor sind die Faktoreinsatzmengen
zu der jeweiligen Output-Menge proportional.
Der Output jedes Sektors ist homogen, bei sektoraler Heterogenität des Produktionsprogramms wird
die Produktionsmischung jedes Sektors als konstant angenommen.
-16-
Jeder Sektor hat ein von anderen Wirtschaftssektoren verschiedenes Produktionsverfahren.
Ein Teil der Nachfrage innerhalb des Gesamtsystems - die Endnachfrage - wird als autonom
angesehen
Ausgangspunkt ist eine linear-homogene Inputfunktion der Form
xij = aij X j
Wird diese Beziehung in das Input-Output-Schema einbezogen und nach der Endnachfrage Y
aufgelöst, so ergibt sich:
X1 − a11 X1 − a12 X 2 − − a1n X n = Y1
X n − a n1 X1 − a n 2 X 2 − − a nn X n = Yn
-17-
Man erhält somit die Grundgleichung des offenen statischen Leontief-Modells:
X − A⋅ X = Y
mit: X = Vektor der Bruttoproduktion
A = Matrix der Inputkoeffizienten
Y = Vektor der Endnachfrage
Interessiert das aufgrund einer Endnachfrage erforderliche Produktionsvolumen, so formt man obige
Gleichung nach X um und erhält:
X = ( I − A)
−1
⋅Y
mit I = Einheitsmatrix
Die Matrix C = ( I − A)
−1
wird als „Leontief-Inverse“ bezeichnet.
− Die Elemente cij geben an, wieviel der Sektor i mehr produzieren muß, wenn sich die autonome
Nachfrage nach Gütern des Sektors j um eine Einheit erhöht.
-18-
− Die Summe
n
cij der Elemente der Spalte eines Sektors j gibt an, was alle Sektoren (einschließlich j)
i =1
zusätzlich erzeugen müssen, wenn sich die autonome Nachfrage nach Gütern des Sektors j um eine
− Die Summe
n
Einheit erhöht.
cij der Elemente der Zeile eines Sektors i gibt an, was Sektor i erzeugen muß, wenn
j =1
sich die autonome Nachfrage nach Gütern aller Sektoren um eine Einheit erhöht.
Im Beispiel:
Matrix der Input -
Leontiefinverse
0,6 − 0,5 − 0,4
0
0,9
0
− 0,1
0
0,8
0,4 0,5 0,4
0 0,1 0
0,1 0 0,2
( I − A) −1
( I − A)
koeffizienten A
1,82 1,01 0,91
0 111
0
,
0,23 0,13 1,36
Eine autonome Veränderung der Nachfrage nach Gütern des Sektors 1 erhöht die Produktion des
Sektors 1 um 1,82 Einheiten. Die Produktion des Sektors 2 bleibt unverändert, während sich die
Produktion des Sektors 3 um 0,23 Einheiten erhöht.
Die Lösung läßt sich auch als Potenzreihe darstellen:
-19-
Im Beispiel:
Zunächst führt in der ersten Runde die autonome Nachfrageerhöhung nach Gütern des Sektors 1 um
eine Einheit zu einer Erhöhung der Produktion in diesem Sektor um eine Einheit.
1
∆Y = 0
0
Zur Erhöhung der Produktion des Sektors 1 bedarf es jedoch Vorleistungen der anderen Sektoren.
Dieser Vorleistungsbedarf ergibt sich aus der Multiplikation der Matrix der Inputkoeffizienten mit der
dem Vektor der nachgefragten Mehrproduktion.
0,4 0,5 0,4
A ⋅ ∆Y =
1
0,4
0 0,1 0 ⋅ 0 = 0
0,1 0 0,2 0
0,1
Zur Ermittlung des für diese Produktion
A ⋅ ∆Y
notwendigen Vorleistungsbedarfs muß nun
entsprechend A ⋅ ∆ Y mit der Matrix der Inputkoeffizienten multipliziert werden.
-20-
0,4 0,5 0,4
A 2 ⋅ ∆ Y = A ⋅ A ⋅ ∆Y =
0,4
0,2
0 0,1 0 ⋅ 0 = 0
0,1 0 0,2
0,1
0,06
Will man nach dieser 3 Runde die Wirkung auf die Produktion messen, so braucht man bloß die drei
1,6
0 + 0 = 0
01
,
0,06
016
,
∆ X = ∆Y + A ⋅ ∆Y + A 2 ⋅ ∆Y = 0 +
0,2
0,4
1
Ausdrücke ∆ Y , A ⋅ ∆ Y , A 2 ⋅ ∆Y zu addieren.
0
Die Gesamtwirkung auf die Produktion läßt sich dann verallgemeinert durch folgende Potenzreihe
formulieren
∆ X gesamt = ∆Y + A ⋅ ∆Y + A2 ⋅ ∆Y + A3 ⋅ ∆Y +
(
)
∆ X gesamt = I + A + A2 + A3 + + A n ⋅ ∆Y
Da, wie oben gezeigt wurde, ∆ X gesamt = ( I − A)
( I − A) −1 = ( I + A + A 2 + A 3 +
+ An
−1
⋅ ∆Y ,folgt:
)
-21-
Die Zerlegung der Wirkung einer Endnachfrageänderung in einzelne Produktionsschritte erlaubt die
Trennung in:
− die auslösenden Effekte (Veränderung der Endnachfrage ∆Y )
− die im ersten Schritt vom betroffenen Sektor weitergegebenen Effekte (direkte Vorleistungen A ⋅ ∆Y )
− die weiteren indirekten Effekte (indirekte Vorleistungen A 2 ⋅ ∆Y + A 3 ⋅ ∆Y + )
-22-
Kritik am offenen statischen Leontief-Modell:
− Konstanz der Inputkoeffizienten
− Nichtbeachtung von Kapazitätsauslastung, Lagerentwicklung, Arbeitszeit
− keine Berücksichtigung von Muliplikator- und Akzeleratoreffekten
− exogene Vorgabe der Endnachfrage
Diese Kritik, insbesondere der an der Annahme der Strukturkonstanz, versuchte man durch die
Weiterentwicklung der Input-Output-Analyse zu begegnen. Dazu entwickelte man Input-OutputModelle mit Koeffizientenanpassung, die dazu dienen, wertvolle Informationen - z.B. über einzelne
Randdaten oder Entwicklungssprünge in einzelnen Wirtschaftssektoren -, die nach der Entstehung der
Basistabelle gesammelt werden konnten, in die Input-Output-Analyse einzubeziehen.
-23-
• Koeffizientenanpassungsmodelle
Koeffizienten-
Verfahren
Vorgehen
anpassungsmodell
Einfach-proportionale Input- PKK-Verf.
Zeilenweise durchgeführte Korrektur der Leontief-Inversen
Output-Modelle
Doppelt-proportionale
RAS-Ver., PKK 1-
Input-Output-Modelle
Verf., MODOP Verf.
Zufallsmodelle
Zeilen- und spaltenweise durchgeführte Korrektur der Leontief-Inversen
Annahme: Veränderung der Elemente der Koeffizientenmatrix zufällig
Schätzen der Korrekturmatrix mit Methode der kleinsten Quadrate
Lösung des Ansatzes mit Hilfe von Lagrange-Multiplikatoren
Koeffizienten-Trend-Modell KTM-Verf.
Annahme: Änderung der Koeffizienten folgt einem Trend
Schätzen eines linearen Trends je Spalte mit Methode der kleinsten Quadrate
Resteverteilungsmodelle
oft in Verbindung mit
Vergleich der geschätzten Vorleistungszeilen- und spaltensummen mit
KTM-Verf.
vorgegebenen Randdaten, Verteilung der Residuen mit Methode der kleinsten
Quadrate
Regressions- und
Es wird die Abweichung von Basistabelle und folgenden Tabellen ermittelt und
Programmierungsmodelle
diese anschließend durch Hinzuziehung von exogenen Variablen in einer
Regression erklärt.
-24-
Beispiel: PKK-Verfahren
Dieses Verfahren geht davon aus, daß sich die einzelnen Inputkoeffizienten einer Zeile proportional
zur Zeilensumme der Koeffizienten verändern. Dahinter steht die Annahme, einer gleichmäßig
wirkenden Substitution in allen Sektoren. Durch zeilenweise durchgeführte Korrekturen - dargestellt
durch ri - werden die Veränderungen der Inputstruktur von der Basisperiode t bis zur Bezugsperiode k
(Korrekturjahr) berücksichtigt.
aijk = ri ⋅ aijt
aijt X tj
Xt
bzw.:
sik =
Sik
X
k
Sit
t
si = t =
X
Für die Berechnung der ri benötigt man zunächst die Quotienten
=
aijk X kj
Xk
worin Sik und Sit die i-te Zeilensumme des intermediären Outputs und X k und X t die
Bruttoproduktionswerte des Korrektur- bzw. Basisjahres darstellen.
-25-
Der Einfluß der Outputrelationen kann dadurch ausgeschaltet werden, daß die Bruttoproduktionswerte
des Basisjahres durch die des Korrekturjahres substituiert werden:
∗
sit
=
aijt X kj
Xk
Der Korrekturfaktor lautet dann
ri =
k
sik
∗
sit
=
aijk X kj
aijt X kj
Somit ergibt sich für das Korrekturjahr folgendes Gleichungssystem:
X k = R k ⋅ At ⋅ X k + Y k
(
X k = I − R k ⋅ At
)
−1
⋅Y k
mit
-26-
0
Rk =
r22
r11
0
rnn
Man sieht, daß sich bei diesem einfachen Koeffizientenverfahren die Einzelkoeffizienten einer Zeile
der Vorleistungsmatrix proportional zur Koeffizientensumme dieser Zeile verändern. Das
Gleichungssystem ist konsistent in den Zeilensummen, nicht aber in den Spaltensummen (→ doppeltproportionale Input-Output-Modelle).
-27-
Statische Input-Output-Modelle mit endogenisierter Endnachfrage
Um wirtschaftstheoretische Verhaltensannahmen, die ihre modellmäßige Abbildung z.B. in Konsumund Investitionsfunktionen finden, im Rahmen der Input-Output-Rechnung berücksichtigen zu können,
werden Input-Output-Modelle mit endogenisierter Endnachfrage entwickelt.
Bei Verwendung einfacher sektoraler Konsum- und Investitionsfunktionen zeigte sich, daß die Modelle
mit endogenisierter Endnachfrage höhere Produktionseffekte aufwiesen als das offene statische
Leontief-Modell. Dieses ist vor allem bei der Beurteilung staatlicher Maßnahmen, z.B. der
Durchführung von Konjunkturprogrammen, von Interesse.
-28-
Endogene Erklärung des privaten Konsums und der privaten Investitionen im Input-OutputModell:
Sektorale Konsumfunktion
Cipr = ci ⋅ Y + gi ,
i = 1,
,n
mit::
Cipr : die von den privaten Haushalten konsumierten Güter aus dem Sektor i
Y:
Volkseinkommen
ci:
marginale Konsumquote
gi :
Basiskonsum
Sektorale Investitionsfunktion
Iipr = di ⋅ Y + hi
i = 1,
,n
mit
Iipr : die zur privaten Bruttoinvestition verwendeten Güter aus dem Sektor i
Y:
Volkseinkommen
di :
die nicht-negative marginale private Bruttoinvestitionsneigung
-29-
hi :
autonome private Bruttoinvestitionen
Ausgangspunkt ist das statische offene Leontieff-Modell:
Budgetgleichung:
n
xij + Cipr + I ipr + Cist + I ist + Exi = X i
j =1
mit
Exi : Exporte aus dem Sektor i
Cist : die vom Staat konsumierten Güter aus dem Sektor i
I ist : die für staatliche Bruttoinvestitionen verwendeten Güter aus dem Sektor i
Es gilt folgende Inputrelation:
xij = a ij ⋅ X j
-30-
Einsetzen dieser Gleichung in die Budgetrestriktion ergibt:
eij − a ij ) ⋅ X j = Cipr + I ipr + Cist + I ist + Exi
(
j =1
n
mit:
0 für i ≠ j
eij =
1 für i = j
Lösung dieses Modells in Matrizenschreibweise:
X = ( I − A)
−1
(C
pr
+ I pr + C st + I st + Ex
)
-31-
2 Weiterentwicklungen:
1. Version: Endogenisierung des privaten Konsums
Volkseinkommen ist die Summe aller Wertschöpfungen W j :
Y=
n
Wj
j =1
Dabei gilt:
Wj = X j −
n
i =1
xij − M j − D j − T j
mit
M j : Importe
D j : Abschreibungen
Tj : indirekte Steuern (abzüglich Subventionen)
-32-
Annahme: Die Wertschöpfung ist proportional zum Output.
Wj = w j ⋅ X j
Einsetzen in die Budgetfunktion ergibt:
eij − aij − ci ⋅ w j ) ⋅ X j = gi + I ipr + Cist + I ist + Exi
(
j =1
n
→ nur noch Basiskonsum ist exogen.
In Matrizenschreibweise ergibt sich:
(I − Z ( ) ) ⋅ X = (g + I
1
pr
+ C st + I st + Ex
)
Z (1) =
a n1 + cn ⋅ w1
a11 + c1 ⋅ w1
mit:
-33-
Lösung des Modells:
(
X = I − Z (1)
) (g + I
−1
pr
+ C st + I st + Ex
)
2. Version: Private Bruttoinvestitionen werden endogenisiert
eij − aij − ( ci + di ) ⋅ w j ) ⋅ X j = gi + hi + Cist + I ist + Exi
(
j =1
n
In Matrizenschreibweise:
(I − Z ( ) ) ⋅ X = (g + h + C
2
st
+ I st + Ex
)
a n1 + ( cn + dn) ⋅ w1
Z ( 2) =
a11 + ( c1 + d1 ) ⋅ w1
mit:
Lösung des Modells:
(
X = I − Z ( 2)
) (g + h + C
−1
st
+ I st + Ex
)
-34-
Dynamische Input-Output-Modelle
Die dynamischen Input-Output-Modelle unterscheiden sich von den statischen durch die explizite
Berücksichtigung der Zeit. Dieses ist eine wichtige Erweiterung, da die Abhängigkeiten zwischen
machen Variablen nur mit Hilfe von „leads“ oder „lags“ dargestellt werden können.
Das dynamische Input-Output-Modell beinhaltet durch die Berücksichtigung des Kapazitätseffekts
der Investition die Endogenisierung eines Teils der Endnachfrage. Die Grundgleichung des offenen
statischen Leontieff-Modells:
X = A⋅ X + Y
wird modifiziert zu
X = A⋅ X + I n + Y∗
mit::
I n : Nettoinvestitionen
Y ∗:
Spaltenvektor der Endnachfrage abzüglich der Nettoinvestitionen
-35-
Ist Kij ( t ) der Bestand des Sektors j an Kapitalgütern aus dem Sektor i zur Beginn der Periode t,
dann gilt für die Nettoinvestitionen:
I ijn ( t ) = Kij ( t + 1) − Kij ( t )
Es wird deutlich, daß durch die Berücksichtigung des Kapazitätseffektes eine Dynamisierung des
Gleichungssystems erreicht wurde.
-36-