rechner TI

Zur Notation: Was Sie in den Taschenrechner eingeben sollen, ist in fetter CourierSchrift dargestellt, die Anzeige des Taschenrechners in normaler Schrift unterstrichen
und eventuelle Kommentare in eckigen Klammern, z. B.:
24 ÷ 2.25 x² 5.0625 = 4.74074
[5,0625 wird sofort angezeigt]
1 Formeleingabe
Grundsätzlich so, wie man sie auch schreibt bzw. spricht.
1.1 Grundlegende Bedienungselemente
1.1.1 Negatives Vorzeichen
28
Beispiel: -0,7 =?
Eingabe:
28 / (-).7 = -40
[Vorkomma Null ist nicht erforderlich]
Für negatives Vorzeichen die Taste (-) der Zahl voranstellen!
1.1.2 Der Antwortspeicher
Rechnung fortführen:
(Ergebnis) × 12 = -480
[im Display wird sofort Ans∗ angezeigt]
Anzeige: Ans für letztes Ergebnis.
Das Ergebnis (nach = Taste) wird im Antwortspeicher (Answer) permanent
gespeichert.
Es soll nun –144 / (Ergebnis) berechnet werden. Eingabe:
(-)144 / Ans = 0.3
[Ans wird eingegeben als 2nd Ans ]
Die Taste ‚Ans’ liegt auf der zweiten Ebene (blaue Beschriftung). Den blauen Tastenfunktionen muss ‚2nd’ vorangestellt werden. Das Drücken der Taste ‚2nd’ wird durch ein
kleines „2nd“ im Display angezeigt. Erfolgte es aus Versehen, nochmals ‚2nd’ drücken.
Ansonsten erhalten die Tasten nach ‚2nd’ ihre blau bezeichnete Bedeutung.
Durch die Taste ‚Ans’ kann der Inhalt des Antwortspeichers wie eine Zahl in die Berechnungsformel eingesetzt werden. Leider wird der aktuelle Zahlenwert nicht angezeigt.
Jetzt ist 0,3 im Antwortspeicher enthalten. Überprüfen des Antwortspeichers:
Clear (löscht Anzeige und Formeleingabe) Ans = 0.3
Rechner ausschalten mit ‚OFF’ (geht automatisch nach ca. 6 Minuten aus!).
Rechner einschalten mit ‚ON’. Anzeige ist leer.
Ans = 0.3
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Der vorige Inhalt des Antwortspeichers wird wieder angezeigt.
Der Antwortspeicher bleibt beim Ausschalten erhalten (permanenter Speicher).
1.2 Quadrieren, Wurzelziehen
Beispiel: es soll die Formel
(23 + 4 x2) /
23 + 42
berechnet werden. Eingabe:
169
x 169 ) = 3 [ x öffnet automatisch eine Klammer]
Die Eingabe erfolgt so, wie man die Formel schreibt, also
Wurzel voranstellen, Quadrat nachstellen!
Klammern, die noch nicht geschlossen wurden, werden mit Drücken der ‚=’-Taste
automatisch geschlossen. Ich rate dazu, davon möglichst wenig Gebrauch zu machen.
Trotzdem dazu ein Beispiel:
x 196 = 14
1.3 Kehrwertbildung
Brüche der Art 1/x sollten nicht als Division, sondern mit Hilfe der Kehrwerttaste
1
berechnet werden. Beispiel: 1 1 . Eingabe:
3–4
(3 x-1 – 4 x-1) x-1 = 12
Hat man die Klammern vergessen, muss nach der Berechnung des Nenners erst die
‚=’-Taste gedrückt werden. Da die Kehrwertbildung auch als Potenz „hoch –1“ verstanden werden kann, wird die Kehrwerttaste ebenso wie bei „hoch 2“ nachgestellt.
Kehrwerttaste nachstellen!
Beispiel aus der Elektrizitätslehre: Zwei parallel geschaltete Widerstände R1 und R2
ergeben insgesamt den Widerstand R nach der Formel
1/R = 1/R1 + 1/R2
Beispiel mit R1 = 300, R2 = 700: Wir berechnen zunächst 1/R:
300 x-1 + 700 x-1= 0.00476...
Fortführung der Rechnung:
x-1 = 210
Ergebnis: R = 210 Ohm.
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2
2 Korrekturmöglichkeiten
2.1 Bearbeiten der Formelzeile
2.1.1 Ersetzen
Beispiel: Wir wollen 270 / 3 berechnen, geben aber fälschlicherweise ein:
270 + 3
/ = 90
Die letzte Formel kann auch nach Drücken der ‚=’-Taste auf diese Weise korrigiert
werden. Wir ändern jetzt die Formel auf 270∗3 ab:
× = 810
Beispiel: cos 60 soll berechnet werden. Falsche Eingabe:
sin 60 ) = 0.866
cos = 0.5
Es können Ziffern, Rechenoperatoren (+, -, x, /) und Funktionen korrigiert werden.
Wenn der Cursor als grosser, blinkender Block angezeigt wird, wird mit einem Tastendruck das überschrieben, worauf der Cursor stand (zum Einfügen s. u.).
Tipp: In einer langen Eingabezeile gelangen Sie mit ‚2nd’
und mit ‚2nd’ an das Ende.
an den Anfang der Formel
2.1.2 Löschen
Mit ‚DEL’ wird das Zeichen unter dem Cursor gelöscht bzw. das Zeichen links vom
Cursor, wenn er am Ende der Formel stand. Beispiel: 27 / 3 soll berechnet werden.
Falsche Eingabe:
270 / 3
DEL = 9
Beispiel: Es sollen die Prozentzahlen 17; 28; 11; und 44 maßstäblich in ein Kreisdiagramm eingetragen werden. Um den zugehörigen Winkel zu erhalten müssen wir sie
mit 360/100 = 3,6 multiplizieren (1% = 3,6 ).
3.6 × 17
DEL
DEL
DEL
= 61.2
DEL 28 = 100.8
DEL 11 = 39.6
DEL 44 = 158.4
Wenn der blinkende Cursor in der Formel steht, löscht DEL die Ziffer unter dem Cursor.
Wenn der Cursor am Ende der Formel steht, löscht DEL die Ziffer links vom Cursor.
Um den ganzen Rest der Formel zu löschen, wird die ‚CLEAR’-Taste benutzt. Bsp.:
[Cursor auf ∗] CLEAR x-1 = 0.27777
Innerhalb einer Formel löscht CLEAR den Rest der Zeile.
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3
2.1.3 Einfügen
Beispiel: Es soll 270 / 32 × 5 berechnet werden. Falsche Eingabe:
[Cursor auf ∗] 2nd DEL x2 = 150
270 / 3 × 5
Der Einfügemodus wird durch ‚2nd’ ‚DEL’ (= ‚INS’) begonnen und beendet. Er wir
außerdem beendet durch =, und . Der Einfügemodus wird dadurch angezeigt, dass
der Cursor nun ein Unterstrich ist.
Einfügemodus ein-/ausschalten mit ‚INS’ (= ‚2nd’ ‚DEL’).
2.1.4 Gesamtlöschung
Wenn die ganze Formel gelöscht werden soll: Wenn der Cursor bei der Formeleingabe
ganz am Ende oder am Anfang steht, wird mit der ‚CLEAR’-Taste die gesamte Formel
gelöscht. Bsp.:
CLEAR [löscht die ganze Formel]
Am Ende oder am Anfang einer Formel löscht CLEAR die gesamte Formel!
Steht der Cursor dagegen in der Mitte einer Formel, muss ‚CLEAR’ zweimal gedrückt
werden. Beispiel:
[Cursor auf ∗] CLEAR [bleibt 270/3 stehen] CLEAR
270 / 3 × 5
2.1.5 Die vorigen Formeln
Die vorige Formel lässt sich mit wieder bearbeiten (im Display erscheint ein kleiner
Pfeil nach oben). Entsprechend gelangt man mit zur nächsten Formel (wenn im
Display ein kleiner Pfeil nach unten zu sehen ist). So lassen sich ähnliche Formeln
durch Aufwärtsscrollen und bearbeiten schneller ändern.
Beispiel: Die Koordinaten eines Punktes auf einem Kreis mit 6 cm Radius sollen für die
Winkel ϕ=20°, 40° und 60° berechnet werden. Die Formeln dafür lauten:
x = r·cos(ϕ);
y = r·sin(ϕ)
Für ϕ=20° erhalten wir:
6 × cos 20 ) = 5.638 [x-Koordinate]
6 × sin 20 ) = 2.052 [y-Koordinate]
Für ϕ=40° holen wir die vorletzte Formel zurück:
4 = 4.596
4 = 3.856
Noch einmal für ϕ=60°:
6 = 3
6 = 5.196
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3 Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise
Bei sehr großen oder sehr kleinen Zahlen ist die Dezimalbruchschreibweise sehr
unübersichtlich und fehlerträchtig. Beispiele:
1 t SKE = 29.307.600.000 J
1 Elementarladung (e) = 0,000 000 000 000 000 001 602 Coulomb
Übersichtlicher ist die Darstellung in Zehnerpotenzschreibweise (scientific notation):
1 t SKE = 29,3076 109 J = 29,3076 GJ
1 Elementarladung (e) = 1,602 10-19 Coulomb
Exponent
3.1 Zur Erinnerung
30.000
= 3 10.000 = 3 104
3000
=3
1000
= 3 103
300
=3
100
= 3 102
30
=3
10
= 3 101
3
=3
1
= 3 100
0,3
=3
0,1
= 3 10-1
0,03
=3
0,01
= 3 10-2
0,003
=3
0,001 = 3 10-3
0,0003
=3
0,0001 = 3 10-4
1,602 10-19
Mantisse
Positive Zehnerpotenz: Exponent = Anzahl der Nullen
Negative Zehnerpotenz: Exponent = Anzahl der Nullen inkl. der Null vor dem Komma.
In der Physik sind hauptsächlich die Exponenten interessant, die ein Vielfaches von 3
sind (9, 6, 3, 0, -3, -6, -9 usw.). Mit ihnen lassen sich die gängigen Vorsätze für dezimale Vielfache bzw. Teile in Verbindung bringen (z. B. „kilo“ = 103, „milli“ = 10-3 usw.).
3.2 Rechenregeln für Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise
3.2.1 Multiplikation
3 102 7 108 = 3 7
-3 102
7 10-8 = -3
102+8 = 21 1010 = 2,1 1011
7
102+(-8) = -21 10-6 = -2,1 10-5
Multiplikation: Exponenten werden addiert!
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3.2.2 Division
-8*106 8
6-4
2
5*104 = -5 10 = -1,6 10 = -160
8*10-6 8
5*10-4 = 5
10-6-(-4) = 1,6 10-2 = 0,016
Division: Exponenten werden subtrahiert!
3.2.3 Potenzieren
2
(8 104) = 82
2
(6 10-10) = 62
102*4 = 64 108 = 6,4 109
102*(-10) = 36
10-20 = 3,6 10-19
Potenzieren: Exponenten werden multipliziert!
3.2.4 Wurzelziehen
9*108 = 9
108 = 3 108/2 = 3 104 = 30.000
9*107 = 9
107 = 3 107/2 = 3 103+½ = 3 103
10½ = 3000
10 = 9486,8
Wurzelziehen: Zehnerexponent wird durch Wurzelexponent geteilt!
3.2.5 Addition und Subtraktion
Hierfür gibt es keine vereinfachenden Rechenregeln. Eine Vereinfachung kann gegebenenfalls durch Ausklammern erzielt werden. Beispiel:
3 105 – 7 102 = 3 103
102 – 7 102 = (3000 – 7) 102 = 2993 102 =299.300
Durch das Ausklammern der gemeinsamen Zehnerpotenz wird die Größe der Zahlen im
Verhältnis zueinander sichtbar.
3.3 Eingabe in den Taschenrechner
Beispiel: 3 102
7 108 = ? Eingabe:
3 EE 2 × 7 EE 8 = 2.1 1011
Der Zehnerexponent wird nach ‚EE’ eingegeben. Die 10 wird nie eingegeben! In der
Anzeige erscheint ein „E“, wenn Sie ‚EE’ drücken.
Zweites Beispiel: -3 102 7 10-8 = ? Eingabe:
(-)3 EE 2 × 7 EE (-)8 = -0.000021
Der Taschenrechner ist also sowohl bei der Zahlenanzeige als auch bei der Zahleneingabe auf die Zehnerpotenzschreibweise bereits eingerichtet. Dagegen führt die Berech-
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nung als Produkt –3∗102 (über die Zehnerpotenzfunktion ‚2nd’ ‚LOG’) meist zu fehlerhaften Ergebnissen.
Rechnen Sie eine Zahl in Zehnerpotenzschreibweise nie als Produkt aus!
8*10-6
Weitere Beispiele: 5*10-4 = ? Eingabe:
8 EE (-)6 / 5 EE (-)4 = 0.016
8,37 104
Sonderfall:
= ? In solch einem Fall ergänzt der Taschenrechner die fehlende
109
Mantisse im Nenner automatisch als „1“. Eingabe:
8,37 EE 4 / EE 9 = 0.0000837
Das funktioniert auch beim Quadrieren, Wurzelziehen usw.
Beispiel:
106 = ? Eingabe:
x EE 6 ) = 1000
4 Zahlendarstellung
Die hier beschriebenen Einstellungen wirken sich nur auf die Anzeige der Ergebnisse
aus. Die Ergebnisse selbst bleiben unverändert und werden stets mit der vollen
Genauigkeit in nachfolgende Berechnungen übernommen.
4.1 Engineering-Format (ENG)
Beispiel: Wieviel Joule sind 133 kWh? Umrechnung:
1 kWh = 3,6 MJ
Folglich müssen wir 133 mit 3,6 106 multiplizieren:
3.6 EE 6 × 133 = 478800000
Das Ergebnis ist sehr unübersichtlich. Drücken Sie
2nd SCI/ENG
[aus dem Menü ENG auswählen] 478.8 106
Ergebnis: 478,8 MJ. Im Display erscheint der Indikator „ENG“.
Mit dem ENG Format werden Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise so dargestellt, daß
der Exponent ein Vielfaches von 3 ist.
Die Anzeige im ENG Format ist sehr praktisch, weil die Zahl dann direkt durch die gängigen Vorsätze kilo, Mega usw. ausgedrückt werden kann. Nutzen Sie diese bequeme
Möglichkeit! Die Einstellung bleibt auch über das Ausschalten hinaus erhalten.
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4.2 Scientific Notation (SCI)
Das SCI(entific notation) Format ist für Berechnungen in Physik und Technik günstig.
Dabei werden alle Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise in der Normdarstellung dargestellt. D. h.: Die Zahl beginnt mit einer von Null verschiedenen Ziffer vor dem Dezimalpunkt, die restlichen Ziffern folgen nach dem Dezimalpunkt. Der Zehnerexponent wird
automatisch angepasst. Einstellung:
2nd SCI/ENG
[aus dem Menü SCI auswählen] 4.788 108
Die Einstellung wird durch „SCI“ im Display angezeigt. Diese Einstellung ist ebenfalls
permanent. Beispiel:
4 / 2000 = 2 10-3
/ 12 = 1.666 10-4
= [wiederholt die letzte Berechnung] 1.388 10-5
= [wiederholt die letzte Berechnung] 1.157 10-6
2.5 × 4 = 1 1001
Man sieht: auch „einfache“ Zahlen werden in Zehnerpotenzschreibweise dargestellt,
obwohl es jetzt eigentlich nicht nötig wäre.
Im SCI Format werden alle Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise dargestellt.
4.3 Umstellung auf die Normaldarstellung (FLO)
Die Standardeinstellung FLO (floating point, Fließkomma) kann wiederhergestellt werden durch
2nd SCI/ENG
[aus dem Menü FLO auswählen] 10
Eine Anzeige im Display erfolgt nicht. Diese Darstellung ist bei sehr großen und sehr
kleinen Zahlen unübersichtlich und täuscht auch eine Ungenauigkeit vor. Bsp.:
π = 3.141592654
/ 10 = 0.314159265 [die letzte Stelle fehlt scheinbar]
= 0.031415927 [65 wurde aufgerundet]
= 0.003141593 [wieder gerundet, nur noch 7 signifikante Ziffern]
= 0.000314159
= 0.000031416 [wird allmählich unübersichtlich]
= 0.000003142
= 0.000000314 [nur noch 3 signifikante Ziffern]
= 0.000000031
= 0.000000003 [extrem ungenaue Anzeige]
= 3.141592654 10-10
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[jetzt sind wieder alle Ziffern da!]
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Die Umstellung auf Zehnerpotenzschreibweise erfolgt zwar automatisch, aber leider so
spät wie möglich. Der intern verwendete Zahlenwert ist zwar nicht verändert worden,
aber die Zahlenanzeige wurde zunehmend ungenauer. Wird eine solch ungenau ausgewiesene Zahl wieder in den Taschenrechner eingetippt und damit die Rechnung fortgeführt, kann das zu einer erheblichen Ungenauigkeit des Endergebnisses führen.
Stellen Sie daher die Zahlendarstellung rechtzeitig auf SCI oder ENG um, auch um sich
nicht zu „vernullen“.
4.4 Einstellung der Stellenzahl (FIX)
Unabhängig vom Zahlenformat können die Nachkommastellen mit der ‚FIX’-Taste
festgelegt werden. Im folgenden Beispiel werden 2 Nachkommastellen eingestellt, wie
es für kaufmännische Rechnungen vorteilhaft ist:
2nd FIX 2 3.14 10-10 [statt Menüauswahl kann direkt die
Stellenzahl 2 eingegeben werden]
Im Display erscheint der Indikator „FIX“. Zahlen werden jetzt auf 2 Nachkommastellen
gerundet dargestellt. Die weitere Berechnung erfolgt aber mit der internen Genauigkeit.
Beispiel:
× 10 = 0.00 [huch? wo ist die Zahl geblieben?]
Das Ergebnis müsste 3,14159... 10-9 sein, das ist 0,000 000 003 141 59..., auf 2
Nachkommastellen gerundet ist das in der Tat 0,00. Weiter:
= 0.00
= 0.00
= 0.00
= 0.00
= 0.00
= 0.00
= 0.03
= 0.31
= 3.14
= 31.42
= 314.16
Allmählich kommen die wirklichen Ziffern wieder zum Vorschein.
= 3141.59
= 31415.93
= 314159.27
= 3141592.65
= 31415926.54
= 314159265.4 [jetzt lassen sich 2 Nachkommastellen nicht mehr
anzeigen]
= 3141592654.
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= 3.14 1010 [Umstellung auf Zehnerpotenzschreibweise]
= 3.14 1011
[usw.]
Im FIX Format erfolgt bei kleinen Zahlen keine automatische Umschaltung auf Zehnerpotenzschreibweise! Dadurch kann ein falsches Ergebnis vorgetäuscht werden!
Das eingestellt FIX Format bleibt permanent erhalten. Die Einstellung wird durch „Fix“
im Display angezeigt.
Die Normaldarstellung (so viele Nachkommastellen wie es das Display erlaubt) erreicht
man durch die Auswahl ‚F’ im FIX Menü. Alternativ (und schneller) kann auch der Punkt
eingegeben werden. Wir probieren es aus:
2nd FIX . 3.14159 1011
[Punkt statt F]
5 Verwendung der Speicher
Das Gerät besitzt mehrere Speicher (A – E), die zur Aufnahme von Zahlen verwendet
werden können (und sollten). Alle Speicher sind permanent.
5.1 Abspeichern eines Wertes
Zum Abspeichern dient die Taste STO (STO für store). Es erscheint das Speichermenü,
aus dem der gewünschte Speicher ausgewählt wird. Dabei wird der momentane
Speicherinhalt in der unteren Displayzeile angezeigt, sehr praktisch! Abschliessend
‚ENTER’ drücken.
Hat man bereits eine Formel angefangen, löst STO sofort eine Berechnung aus (wie
‚=’-Taste). Daher ist es leider nicht möglich, eine Zahl, die inmitten einer Formel
auftaucht, abzuspeichern (außer die erste). Stattdessen wird das bis dahin erreichte
Ergebnis abgespeichert.
Benötigte Zahlen vor der Berechnung abspeichern!
Beispiel: Es sollen die Werte der nebenstehenden Tabelle als
Balken maßstäblich gezeichnet werden. Bei den y-Werten kann
es sich beispielsweise um Energien in Joule handeln. Da alle
y-Werte kleiner als 45 sind, legen wir fest, dass 45 in der Länge
7 cm auf dem Papier erscheinen soll. Die Länge der zu zeichnenden Werte (y’) ergibt sich dann aus folgender DreisatzRechnung:
45
1
y’
y-Werte
12,5
22,7
44,3
39,6
y’ in cm
= 7 cm
= 7/45 cm = 0,156 cm
= y 0,156 cm
Es müssen also alle Werte mit dem Faktor 0,156 multipliziert werden, um die Länge auf
dem Papier zu erhalten. Da diese Zahl mehrmals gebraucht wird, speichern wir sie ab.
Vorgehensweise:
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7 ÷ 45 STO A [Ergebnis wurde berechnet] × 12.5 = 1.944
Mit Drücken der STO Taste wurde die Berechnung ausgelöst und die Zahl 0,156 auch
in den Antwortspeicher geschrieben. Mit diesem rechnet der Taschenrechner weiter,
wenn wir die ‚×’-Taste drücken.
Mit STO wird automatisch eine Berechnung ausgelöst.
5.2 Verwenden des abgespeicherten Wertes
Den abgespeicherten Wert setzen wir durch „RCL A“ (recall) in eine Formel ein. Nach
dem Drücken von „RCL“ erscheint in der Anzeige ein Menü, aus dem wir den gewünschten Speicher (A-E) auswählen können, dabei wird der gespeicherte Wert in der
unteren Displayzeile angezeigt. Danach „ENTER“ drücken oder gleich mit der Formeleingabe fortfahren.
Die weiteren Zentimeter Zahlen berechnen wir wie folgt:
RCL A × 22.7 = 3.531
RCL A × 44.3 = 6.891
RCL A × 39.6 = 6.16
Der Zugriff auf einen gespeicherten Wert mit ‚RCL’ funktioniert auch mitten in einer
Formel. Beispiel: Es soll 1 + A berechnet werden. Eingabe:
1 +
x RCL A ) = 1.394...
Mit den anderen Speichern geht es ganz analog.
Mit RCL wird der gespeicherte Zahlenwert in die Berechnung eingefügt.
5.3 Ansicht der abgespeicherten Werte
Die abgespeicherten Zahlen können mit „MEMVAR“ eingesehen werden. Verlassen mit
‚CLEAR’.
Damit das folgende Beispiel aussagekräftiger wird, speichern wir zunächst noch einige
Zahlen ab:
STO B [Resultat des vorigen Beispiels 1,394...]
3.8 EE 13 STO C
2 × 5 = 10 [um eine Zahl im Antwortspeicher zu haben]
Wir sehen uns nun die Speicherbelegung an:
MEMVAR [mit
und
Speicher inspizieren] CLEAR
Die letzte Anzeige erscheint wieder. Der Antwortspeicher bleibt unverändert!
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5.4 Speicherinhalt mit MEMVAR abrufen
Mit „MEMVAR“ kann auch der Speicherinhalt in die Berechnung eingefügt werden. Im
Unterschied zu „RCL“ setzt „MEMVAR“ nicht die Zahl, sondern den Speicher selbst in
die Formel ein. Geänderte Zahlen in den Speicherzellen führen somit zu einem anderen
Ergebnis. Um die Technik vorzuführen, analysieren wir die Ergebnisse einer Wahl:
Partei
Stimmen
CDU
12081
SPD
9855
FDP
4112
Grüne
3987
Linke
768
andere
412
rel. Hfk.
kum. rel. Hfk.
Die Gesamtzahl der gültigen Stimmen berechnen wir in Speicher A.
12081 STO A
9855 + MEMVAR A = STO A = 21936
4112 = 26048
3987 = 30035
usw.
Die Gesamtzahl ist 31215 (gültige) Stimmen.
Der Vorteil dieser Technik ist, dass sie auf sehr lange Zahlenreihen angewendet
werden kann, wohingegen die normale Summe (+) durch die Länge der Eingabezeile
begrenzt ist.
Die relative Häufigkeit ist die Stimmenzahl geteilt durch die Gesamtzahl. Die kumulative
(kumulierte) relative Häufigkeit ist die aufaddierte relative Häufigkeit. Die kumulative
relative Häufigkeit wird in B aufaddiert.
12081 / MEMVAR A = = 0,3870 [Anteil der CDU]
STO B
9855 DEL = 0,3157 [Anteil der SPD]
Ans + MEMVAR B = STO B = 0,7027
9855 = 0,1317 [Anteil der FDP]
= 0,8345 [Anteil der 3 traditionellen Parteien zusammen]
3987 = 0,1277 [Anteil der Grünen]
= 0,9622
usw.
Als letzte kumulative Häufigkeit muss 1 herauskommen (Probe!).
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Als zweites Beispiel berechnen wir den Kontostand und die Zinsen eines Sparguthabens von anfänglich 100 €, das mit 2% verzinst wird, nach 1, 2, 3 usw. Jahren.
100 STO A =
Die Zinsen von 2% erhalten wir durch Multiplikation mit 0,02 (100 steht in Ans):
× 0.02 = 2
Den Wert addieren wir zu A dazu (Zinszuschlag nach einem Jahr):
MEMVAR A + Ans STO A = 102 [Kapital nach 1 Jahr]
Nun kommen wieder die Zinsen auf das erhöhte Kapital von 102 €:
= 2.04 [Zinsen nach 2 Jahren]
Zinszuschlag:
= 104.04 [Kapital nach 2 Jahren]
= 2.0808 [Zinsen nach 3 Jahren]
= 106.1208 [Kapital nach 3 Jahren]
usw.
Ergebnisse für die ersten 7 Jahre:
!
!
"! !
Mit MEMVAR kann die Speicherzelle selbst (nicht ihr Inhalt) in die Formel eingesetzt
werden.
Berechnen Sie Kapital und Zinsen eines Sparguthabens von 2500 €, das mit 2,5%
verzinst wird, für die ersten 10 Jahre.
5.5 Löschen der Speicher
Normelerweise ist es nicht erforderlich, einen (oder alle) Speicher zu löschen. Wenn es
dennoch sein soll:
Nur einen Speicher löschen durch Speichern einer 0 (am Beispiel B):
0 STO B = 0 [der Antwortspeicher ist damit auch 0]
Für die anderen Speicher geht man analog vor.
Alle Speicher löschen:
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CLRVAR [es erfolgt keine Rückfrage!]
Kontrolle:
MEMVAR [keine Anzeige im unteren Bereich] CLEAR
5.6 Stolpersteine
Das Abspeichern einer Zahl inmitten einer Formel ist nicht möglich. Beispiel:
12.5 × 0.14 STO A = 1.75
Es wurde die Berechnung durchgeführt und gleich das Ergebnis in A (und im Antwortspeicher) gespeichert, nicht die Zahl 0,14 alleine. Mehrfach benötigte Zahlen daher
vorher abspeichern oder damit die Rechnung beginnen (wenn möglich)!
5.7 Übersicht Speicherfunktionen
Abspeichern
STO A (B, C...) =
Abrufen
RCL A (B, C,...) = oder MEMVAR A (B, C,...)
Anzeigen
MEMVAR...CLEAR
Löschen A
0 STO A =
Löschen alle
CLRVAR
5.8 Der Antwortspeicher
Neben den Variablenspeichern A-E steht uns auch noch der Antwortspeicher zur Verfügung. Es wird leider oft übersehen, dass auch er nutzbringend in die Berechnung eingefügt werden kann. Sein Nutzen sei anhand eines praktischen Beispiels dargestellt:
Die lineare Abschreibung einer Maschine.
Eine Maschine im Wert von 22.400 Euro soll über 8 Jahre abgeschrieben werden.
Welchen Wert hat sie noch nach 1, 2, 3... Jahren?
Berechnung des jährlichen Abschreibungsbetrags: 22.400 / 8 = ?
22400 / 8 STO A = 2800
Berechnung des Buchwerts nach 1, 2, 3... Jahren:
Restwert(neu) = Restwert(alt) – 2800
Wir schreiben zunächst nur die Zahl 22400 in den Antwortspeicher (das ist der Trick):
22400 = 22400
Erst jetzt beginnen wir die erste Rechnung:
- RCL A = = 19600 [Wert nach 1 Jahr]
= 16800 [Wert nach 2 Jahren]
= 14000 [Wert nach 3 Jahren]
= 11200 [Wert nach 4 Jahren]
usw. Hier wird immer mit dem Antwortspeicher (= Restwert(alt)) weitergerechnet.
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6 Weitere Funktionen
6.1 Konstantenrechnung
Es kommt häufig vor, dass die gleiche Rechnung wiederholt durchgeführt werden muss.
Beispiele hatten wir bereits kennengelernt (die lineare Abschreibung aus Abschnitt 5.8
oder die Umrechnung in Papierkoordinaten für eine Zeichnung aus Abschnitt 5.1). Für
derartige wiederholte Berechnungen stellt der TR die Funktion „Konstantenrechnung“
zur Verfügung, die bei unserem Modell recht vielseitig ist. Man kann hier nicht nur (wie
bei anderen Modellen) eine Grundrechenart mit einer Konstanten anhängen, sondern
den Teil einer Formel! Wir nehmen ein Beispiel:
Es soll eine Wertetabelle im Bereich –3...+3 in Einerschritten der linearen Funktion
f(x) = 0,5·x – 1,685
angelegt werden. Wir stellen um:
f(x) = x·0,5 - 1,685
Dabei tritt immer der unterstrichene Term wieder auf. Diesen Term definieren wir
zunächst als Konstante mit der ‚K’-Taste (= 2nd ÷):
K × 0.5 – 1.685 = K=∗.5-1.685
Damit ist die Konstante erstmal festgelegt. Im Display erscheint der „K“ Anzeiger, der
uns daran erinnert, dass wir jetzt im Konstantenmodus sind. Dieser konstante Term
wird ab jetzt an jede Eingabe angehängt, wenn wir die „=“-Taste drücken.
Wir legen jetzt die Wertetabelle an (füllen Sie nebenher die Tabelle aus):
-3 = -3.185
x
y
-2 = -2.685
-3
-3,185
-1 = -2.185
-2
usw. Wir beenden den Konstantenmodus, indem wir erneut ‚K’
drücken. Der eingegebene Term bleibt gespeichert.
-1
Das nächste Beispiel ist schon komplizierter und zeigt die Verwendung von Funktionen und Klammern in der Konstanten. Es
soll wieder eine Wertetabelle angelegt werden (gleicher Zahlenbereich wie eben) von der Funktion
40
f(x) = (x-1)²
0
1
2
3
Wir stellen zunächst wieder um:
2
f(x) = (x-1)-2∗40 = (x-1)-1 ∗40
Der unterstrichene Teil kommt immer wieder in gleicher Weise vor. Ihn definieren wir als
Konstante:
K - 1 ) x-1 x² × 40 =
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Wir probieren es aus:
-3 = Syntax Error
x
y
Wir haben die öffnende Klammer vergessen. Beenden Sie die
Fehlermeldung mit
-3
2.5
CLEAR
Der TR zeigt die Formel an und positioniert den Cursor dort, wo
der Fehler erkannt wurde.
-2
-1
0
1
Eine Fehlermeldung mit CLEAR löschen.
2
3
Wir korrigieren nun die Formel:
CLEAR [wird automatisch wieder angehängt]
Am Anfang die fehlende Klammer einfügen:
2nd
INS ( = 2.5
Ab jetzt machen wir es richtig:
( -2 = 4.444
usw.
Bei x=1 tritt wieder ein Fehler auf: Divide by 0 Error (Division durch 0). Löschen Sie die
Fehlermeldung wieder mit
CLEAR
und dann die ganze Formel mit
CLEAR CLEAR
An der Stelle 1 kann die Funktion nicht berechnet werden. Vervollständigen Sie jetzt die
Tabelle. Beenden Sie den Konstantenmodus dann durch
K
Die Konstantenfunktion ist sehr mächtig und kann immer dann benutzt werden, wenn
sich das x einer Formel voranstellen lässt.
Konstante Terme definieren: K [Funktionsterm eingeben] =
Konstantenmodus beenden: K
Übungsaufgabe: Legen Sie nach dieser Technik eine Wertetabelle der Funktion
(2-x)²
f(x) = 6
an. Formen Sie zunächst um, um eine geeignete Konstante definieren zu können!
Lösung in TI-30XIISÜAs.xls
Wie groß ist der prozentuale Anteil der 5 größten Lieferländer am deutschen Ölimport?
Daten aus Arbeitsblatt „Wer lieferte wieviel Erdöl (1993)“.
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Land
Import in Anteil in %
1000 t
Norwegen
18.339
GUS
17.282
Großbritannien
12.363
Libyen
11.499
Saudi-Arabien
8.165
insgesamt
99.464
Lösung in TI-30XIISÜAs.xls
6.2 Die allgemeine Potenz
Beispiel 1: Das Guthaben eines Sparbuchs wird mit 2,75% verzinst. Wie stark ist das
Guthaben nach 7 Jahren gewachsen?
Zinseszinsformel: Kn = K0∗(1 + p/100)n
Aufzinsungsfaktor: (1 + p/100)n
7
Im Beispiel ergibt sich 1,0275 = ? (Basiszahl kann noch im Kopf berechnet werden)
1.0275 ^ 7 = 1.2091...
Wieviel ist aus 2000 Euro geworden?
× 2000 = 2418.26
Die Eingabe erfolgt so, wie man die Formel schreibt oder spricht („hoch“
^).
Potenzieren bindet stärker als Punktrechnung. Ergibt sich die Basiszahl oder der Exponent aus einer Berechnung, so sind Klammern erforderlich.
Die allgemeine Potenz ist jedoch unpraktisch, wenn man eine Tabelle der Guthaben im
Jahresrythmus anlegen will. In diesem Fall ist es geschickter, jährlich mit dem Faktor
1,0275 aufzuzinsen. Wir gehen wieder von 2000 € Startguthaben aus (im Modus FIX 2):
2000 = 2000.00
× 1.0275 = 2055.00
= 2111.51
= 2169.58
usw. (s. TI-30XIISÜAs.xls)
Beispiel 2: Die Aktivität eines radioaktiven Stoffs klingt mit der Zeit ab gemäß dem radioaktiven Zerfallsgesetz:
t/T
A(t) = A(0) ½
Dabei ist T die Halbwertszeit des Stoffes und A(0) seine Anfangsaktivität. Jod-131 ist
ein Betastrahler mit einer Halbwertszeit von 8 Tagen. Wie groß ist die Aktivität einer
Probe nach 30 Tagen, wenn sie anfangs die Aktivität 10 MBq (Mega Becquerel) hat?
10 EE 6 × 0.5 ^ (30 / 8) = 743254.4
Ergebnis: 743254 Bq oder 0,743 MBq.
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Berechnen Sie für die ersten 14 Tage die Aktivität der obigen Jod-131 Probe in MBq.
Ergebnisse in Tabellenform! Überlegen Sie sich ein geschicktes Verfahren (s. Lineare
Abschreibung), dann geht es ganz einfach.
Lösung in TI-30XIISÜAs.xls
6.3 Die allgemeine Wurzel
Beispiel: In einen Rentenfonds wurde vor 6 Jahren 5000 Euro eingezahlt. Durch zwischenzeitliche Ausschüttungen und Kurssteigerungen beträgt der heutige Wert der
Fondsanteile 7716,51 Euro. Wie hat sich das Kapital im Durchschnitt verzinst?
Lösung: Der Aufzinsungsfaktor beträgt
7716.51 / 5000 = 1.543302
Dies ist gleich (1 + p/100)6, wie groß ist dann p? Dazu müssen wir zunächst die 6. Wurzel ziehen, um den Aufzinsungsfaktor (1 + p/100) zu erhalten.
6 2nd
x
y 2nd Ans = 1.075
Sofern noch nötig, können Sie sich den Zinsfuß nun ausrechnen:
-1 = 0.075 × 100 = 7.5
Es kommt also eine durchschnittliche Verzinsung von 7,5% heraus.
Die Eingabe erfolgt genau so, wie man es schreibt:
Erst Wurzelexponent, 2nd
x
y , dann Radikand.
Übungsaufgabe: In zwei Fonds (A und B) wurden je 1000 € angelegt. Welcher hat sich
besser entwickelt?
# Fonds A hat nach 4 Jahren einen Wert von 1272,03 €
$# Fonds B hat nach 6 Jahren einen Wert von 1402,54 €
6.4 Die Winkelfunktionen und Winkelmodi
6.4.1 Die Winkelfunktionen
Beispiel: sin 30 = ? Eingabe:
sin 30 ) = 0.5
Auch hier öffnet der TR gleich eine Klammer. Analog geht es mit cos und tan.
Übungsaufgabe: In der xy-Ebene liegt ein Punkt P 6 LE vom Nullpunkt entfernt. Die
Verbindungslinie 0P bildet mit der x-Achse einen Winkel von 53,13°. Welche xy-Koordinaten hat der Punkt?
Lösung: Nach den Formeln (r=Abstand, ϕ=Winkel)
x = r·cos(ϕ);
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y = r·sin(ϕ)
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berechnen wir x und y:
6 × cos 53.13) = 3.60
sin = 4.799
6.4.2 Umschaltung des Winkelmodus
Bei diesen Berechnungen wurde davon ausgegangen, daß der Winkel in Grad angegeben wurde (Anzeiger „DEG“ für „degree“ im Display). In der Physik werden Winkel
jedoch oft im Bogenmaß (Radiant) angegeben. Das Bogenmaß gibt die Länge des
Kreisbogens über dem Winkel am Einheitskreis an. Der gesamte Kreisbogen (= 360 )
ist dann 2 lang. Der Halbkreis hat dann das Bogenmaß , der Viertelkreis /2 usw.
Der im Bogenmaß angegebene Winkel erhält die (Pseudo-) Einheit „rad“ (für Radiant),
obwohl er eigentlich eine reine Zahl ist.
Soll der Winkel für die Winkelfunktionen in Radiant angegeben werden, muß der
Taschenrechner zunächst in den Radiant-Modus umgestellt werden. Eingabe:
DRG
= CLEAR [RAD auswählen, letzte Formel löschen]
Im Display erscheint jetzt der Anzeiger „RAD“.
Beispiel: Es soll der Kosinus von
cos
/6 berechnet werden. Eingabe:
÷ 6 ) = 0.866
Der Winkelmodus spielt auch eine Rolle bei der Ausgabe der Winkel durch die
umgekehrten Winkelfunktionen (s. nächsten Abschnitt).
Zurück in den Degree-Modus geht es mit
DRG
= [wahlweise noch] CLEAR
Der 3. Modus (GRD) wird praktisch nicht gebraucht.
Die Angabe eines Winkels für Winkelfunktionen muß in Übereinstimmung mit dem
gerade eingestellten Winkelmodus erfolgen. Umschaltung mit DRG und Auswahl aus
dem Menü.
6.4.3 Die Arkus-Funktionen
Der eingestellte Winkelmodus bestimmt auch die Ausgabe der Arkus-Funktionen (Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen). Diese sind auf dem Taschenrechner mit sin-1
usw. bezeichnet und über 2nd erreichbar.
Beispiel (im Degree Modus): Bei welchem Winkel nimmt der Sinus den Wert 0,9 an?
Lösung: arc sin 0,9=? Eingabe:
2nd sin .9 ) = 64.158 [Grad]
Im Radiant Modus erfolgt die Angabe in Radiant:
DRG
= [RAD auswählen, die letzte Formel wird automatisch
wieder aktiviert] = 1.119 [Ergebnis in rad]
Zur Kontrolle rechnen wir dies in Grad um (Gradzahl = 180 /
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Radiantzahl):
19
× 180 /
= 64.158
Wir schalten wieder in den DEG Modus um:
DRG
= CLEAR [die Wiederholung der letzten Formel ist nicht
sinnvoll]
Beispiel: Die Steigung einer Geraden ist m=-1,6. Wie groß ist ihr Steigungswinkel?
Allgemein gilt: Steigung m = tan α. Also lautet die Antwort: α = arctan(-1,6).
Rechnung:
2nd tan –1.6 ) = -57.99 [Grad]
Das Ergebnis der Arkusfunktionen hängt vom eingestellten Winkelmodus ab!
6.5 Bruchrechnung
6.5.1 Eingabe von Bruchzahlen
Brüche (echte und unechte) sowie gemischte Zahlen lassen sich direkt eingeben. Dazu
dient die Bruchtaste A b/c. Der Taschenrechner quittiert den Tastendruck bei der
Eingabe mit einem Haken. Beispiel die Zahl 2 14/16 soll eingegeben werden:
2 A
b
b
/c 14 A
/c 16 = 2u7/8 (zu interpretieren als 2
7
/8 )
N. B.: Nach der letzten Zahl wird die Bruchtaste nicht noch einmal gedrück (anders als
bei der sexagesimalen Eingabe!)! Der Taschenrechner kürzt automatisch!
In gleicher Weise werden Brüche ohne ganzzahligen Anteil eingegeben.
Beispiel: Wieviel ergibt 3/8 von dieser Zahl? Rechnung:
× 3 A
b
/c 8 = 1u5/64
Ebenso darf man auch unechte Brüche eingeben:
+ 13 A
b
/c 6 = 3u47/192
Die Eingabe von Brüchen erfolgt mit der ‚A b/c’-Taste.
6.5.2 Umwandlung Bruchdarstellung – Dezimaldarstellung
Ist die Berechnung erfolgt (durch ‚=’-Taste), so dient die Taste ‚F
D’ zur Umwandlung in eine Dezimalzahl und umgekehrt (fraction decimal). Probieren Sie es aus:
F
D = 3.244 F
D = 3u47/192
Die Umwandlungsfunktion ist auf „einfache“ Zahlen beschränkt (Nenner maximal
3stellig). Kompliziertere Zahlen lässt der TR einfach unverändert stehen. Beispiel:
3 A b /c 7 A
ziert]
b
/c 1002 = 3.00698 F
D = 3.00698 [Zahl zu kompli-
Generell sollten Sie immer versuchen, eine Zahl als Bruch darzustellen. Das Aufschreiben einer Bruchzahl ist kürzer und auch genauer als bei einer Dezimalzahl. Sollten Sie
versehentlich die Zahl nicht gespeichert haben und später wieder benötigen, so kann
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eine Bruchzahl ohne Verlust an Genauigkeit wieder eingetippt werden, eine Dezimalzahl oftmals nicht. (Das gilt sogar dann, wenn Sie sich alle angezeigten Stellen notiert
haben, da der TR intern noch etwas genauer rechnet.) Wenn es nicht geht, ist nichts
verloren.
Wechsel zwischen Dezimalzahl- und Bruchzahldarstellung mit F
D.
6.5.3 Umwandlung Gemischte Zahl – unechter Bruch
d
Die ‚A b/c
/e’-Taste (also 2nd A b/c) dient zur Umwandlung einer gemischten Zahl in
einen unechten Bruch und zurück. Dabei spielt es keine Rolle, ob im Display eine Dezimalzahl oder eine Bruchzahl steht. Wir probieren:
2 A
b
/c 7 A
b
/c 8 = 2u7/8 2nd A
b
/c = 23/8 2nd A
b
/c = 2u7/8
Wechsel zwischen Darstellung als gemischte Zahl und unechtem Bruch mit A b/c
d
/e.
Beispiel: Es werden 3 Torten (Erdbeer, Zitrone und Lübecker Marzipan) serviert. Jede
Torte ist in 16 Stücke eingeteilt. Die Gäste nehmen von der ersten Torte 3 Stücke, von
der zweiten 4 Stücke und von der dritten 10 Stücke. Was bleibt zusammengenommen
übrig (in Torten und in Stücken)? Rechnung:
3 – 3 A b/c 16 – 4 A
31/16
b
/c 16 – 10 A
b
/c 16 = 1u15/16 2nd A
b
/c =
Es verbleiben also 1 15/16 Torten (verschiedener Art) bzw. 31 Stücke.
Ergebnis als Dezimalzahl:
F
D = 1.9375
6.5.4 Was sonst noch wissenswert ist
Kommen in einer Rechnung nur Bruchzahlen vor, wird das Ergebnis auch als Bruchzahl
angezeigt. Kommen dagegen Bruchzahlen und Dezimalzahlen gemischt vor, wird das
Ergebnis als Dezimalzahl angezeigt. Beispiel: 11/14 ∗ (-1,4). Eingabe:
b
11 A
/c 14 × (-)1.4 = -1.1
Anzeige als gemischte Zahl:
F
D –1u1/10 [zu interpretieren als –1
1
/10]
Anzeige als unechter Bruch:
A
b
/c
d
/e –11/10
Die Eingabe von Brüchen und gemischten Zahlen lässt sich natürlich mit anderen Funktionen kombinieren. Als Beispiel soll hier die Wurzel aus 1 13/36 berechnet werden. Wir
überlegen uns: 1 13/36 = 49/36, daraus die Wurzel ergibt 7/6 oder 1 1/6. Probieren wir es
aus:
x 1 A
b
/c 13 A
b
/c 36 ) = 1u1/6
Die Bruchzahldarstellung versagt allerdings, wenn der Radikand keine Quadratzahl war.
Hier als Gegenbeispiel die Wurzel aus 1 12/36:
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x 1 A
b
/c 12 A
b
/c 36 ) = 1.1547 F
D 1.1547
Die Darstellung wird nicht verändert!
Als letztes Beispiel die Kombination von Brüchen mit Quadrieren: Wir quadrieren wieder
1 1/6 (was dann wieder 1 13/36 ergeben sollte):
1 A
b
b
/c 1 A
/c 6 x² = 1u13/36
Das Quadrieren (ebenso: Kehrwert) bezieht sich automatisch auf die ganze gemischte
1
Zahl. Klammer setzen ist also nicht unbedingt erforderlich. Wollten wir die Zahl 1 6²
eingeben, müssten wir wie folgt vorgehen:
1 + 1 A
b
/c 6 x² = 1u1/36
Ebenso bezieht sich ein vorangestelltes Minuszeichen immer auf die ganze gemischte
Zahl. Bsp: -11/4 – 31/2 = -43/4. Rechnung:
(-) 1 A
b
/c 1 A
b
/c 4 – 3 A
b
/c 1 A
b
/c 2 = -4u3/4
Zu beachten ist, dass ein Quadrat immer stärker bindet als ein Minuszeichen (auch bei
Dezimalzahlen)! Bsp.: (-1 1/7)2 rechnen wir folgendermassen:
( (-) 1 A
b
/c 1 A
b
/c 7 ) x² = 1u15/49
Ohne die Klammern würden wir ein negatives Ergebnis erhalten (ausprobieren).
6.6 Prozentrechnung
6.6.1 Prozentwert berechnen
Beispiel: Eine Ware kostet netto 300 Euro. Der Mehrwertsteuersatz beträgt z. Z. 19%.
Wie hoch ist die Mehrwertsteuer? Eingabe:
300 × 19 % = 57 [Euro MwSt]
Die Prozenttaste wirkt also genau wie eine Division durch 100.
Wie hoch ist der Endpreis (Bruttopreis)?
+ 300 = 357
Umkehrung: Jetzt gehen wir vom Endpreis aus (263,50 €) und berechnen daraus die
Mehrwertsteuer. Dazu ist es notwendig, zuerst den Grundwert (Nettopreis) zu berechnen und dann davon 19%. Den Grundwert erhalten wir aus folgender Überlegung:
x ∗ 119% = 263,50
x=? x=263,50/119%
263.50 ÷ 119 % = 221.4285714
Davon sind 19% zu berechnen:
× 19 % = 42.07
Wenn der Nettopreis nicht benötigt wird, geht es in einem Rutsch ohne Prozenttaste
einfacher:
263.50 ÷ 119 × 19 = 42.07
Übungsaufgabe: Ein Unternehmen führt zur Räumung des Lagers einen sog. dänischen
Ausverkauf durch. Am Montag wird auf alle Artikel 20% Rabatt gewährt, am Dienstag
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30% usw. bis es am Samstag ?% sind. Wie hoch ist jeweils die Einsparung bei einem
Artikel, der normalerweise 67 € kostet? (Konstantenrechnung!)
Wochentag
Rabatt in %
Mo
20
Di
30
Einsparung
Mi
Do
Fr
Sa
Nach Abschluss der Berechnung den Konstantenmodus wieder deaktivieren!
Den rabattierten Preis können wir nun durch Differenzbildung berechnen (für Mo):
67 – 13.40 = 53.6
Wenn wir den Rabatt selbst nicht benötigen, kann die Rechnung in einem Rutsch
ausgeführt werden:
67 × (1 – 20 % ) = 53.6
Umkehrung: kennen wir den rabattierten Preis (53,60 €) und den Prozentsatz (20%),
berechnen wir den ursprünglichen Preis folgendermaßen:
53.6 ÷ (1 – 20 % ) = 67
Übungsaufgabe: Beim Ausverkauf der Firma Müller werden alle Waren mit 20% Rabatt
angeboten. Herr Schickermann möchte einen Anzug kaufen, der ursprünglich 180 €
gekostet hatte. Wegen eines kleinen Fehlers erhält er zusätzlich noch 7% Rabatt auf
den Ausverkaufspreis. Wieviel hat er zu bezahlen?
Lösung:
normaler Ausverkaufspreis .................................................
davon 7% Rabatt abziehen ergibt ................................. 133,92 €
Wie wäre das in einer Rechnung zu erledigen?
6.6.2 Grundwert berechnen
Bekannt ist der Prozentsatz und der Prozentwert, gesucht ist der Grundwert (100%
Wert). Beispiel:
Die Eisenerzvorkommen eines Bergwerks haben einen Eisengehalt von 23%. Wieviel
Erz muss für die Produktion von 6 t Eisen gefördert werden?
Lösung: Wir haben die Gleichung
x ∗ 23% = 6 t
nach x aufzulösen:
x = 6 t / 23%. Rechnung:
6 ÷ 23 % = 26.08695652
Beispiel 2: Eine Bank verzinst ein Sparbuch mit 3,5%. Herr Macke erhält am Jahresende eine Zinsgutschrift von 43,05 €. Wie hoch war sein Guthaben (vorausgesetzt,
dass es sich im Jahresverlauf nicht geändert hat)?
Lösung: x = 43,05 / 3,5%. Rechnung:
10.11.10, 23:38
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43.05 ÷ 3.5 % =
Beispiel 3: Im Jahr 1977 wurden in der BRD 2,8 Millionen Kraftfahrzeuge neu zugelassen. Dies entspricht einem Zuwachs von 10% gegenüber dem Vorjahr. Wieviele
Kraftfahrzeuge waren 1976 zugelassen, wie viele waren es 1977?
Lösung: x= Bestand der Kfz im Jahr 1976. Ansatz:
x ∗ 10% = 2,8
aufgelöst nach x:
x=
1977 waren es also
6.6.3 Prozentsatz berechnen
Bei diesem Aufgabentyp ist der Grundwert und der Prozentwert bekannt. Der gesuchte
Prozentsatz dient der besseren Vergleichbarkeit, da er immer einen Grundwert von 100
unterstellt.
Beispiel: Bei einer Untersuchung unter Waschmittelkäufern eines Supermarktes in
Flensburg wählten 75 von 250 Käufern das Waschmittel „Berzil lupenrein“. Eine entsprechende Untersuchung in Stuttgart zeigte, dass dort von 400 Käufern 90 zu „Berzil
lupenrein“ griffen. Wo ist dieses Waschmittel beliebter?
Lösung: Der Anteil der „Berzil lupenrein“ Käufer in Flensburg ist 75/250. Den Prozentsatz erhalten wir daraus durch Multiplikation mit 100:
75 ÷ 250 = 0.3 [versierte Schüler entnehmen daraus schon den
Prozentsatz 30%] × 100 = 30
Die gleiche Rechnung für Stuttgart ergibt:
90 ÷ 400 × 100 = 22.5
Folglich ist das Waschmittel in Flensburg beliebter. Die Prozenttaste ist bei diesem
Aufgabentyp nicht hilfreich.
Häufig ist aber nicht der Prozentwert, sondern gleich der Endwert bekannt.
Beispiel: Ein Händler setzt im Ausverkauf einen Artikel von 90 € auf 73,80 € herab.
Wieviel Prozent Rabatt gewährt er uns dadurch?
Wir berechnen zunächst den Prozentwert:
73.80 – 90 = -16.2 [Euro herabgesetzt]
÷ 90 = -0.18 [wer will noch] × 100 = -18 [% Rabatt]
Übungsaufgabe: Ein Lebensmittelgeschäft bietet eine Tafel Schokolade zu 0,78 € an.
Vier Tafeln kosten 3 €. Wieviel Prozent spart man beim Kauf der größeren Menge?
Lösung: Grundwert berechnen:
4 × 0.78 = 3.12 STO A
Prozentwert berechnen:
3 – Ans =
Prozentsatz berechnen:
÷ RCL A × 100 = -3.846 [Prozent gespart]
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24
Übungsaufgabe: Bennos Vater trinkt abends manchmal einen Whisky mit Soda. Dazu
gießt er Whisky mit einem Alkoholgehalt von 42% in ein Glas und schüttet die doppelte
Menge Sodawasser hinzu. Wieviel Prozent Alkohol hat das Mischgetränk?
Lösung: x sei das Volumen des Whiskys.
Das Alkoholvolumen im Whisky ist dann (Prozentwert):
Menge des Sodawassers (doppelte Menge vom Whisky):
Gesamtmenge des Mischgetränks (Grundwert):
Prozentualer Alkoholanteil am Mischgetränk:
Übungsaufgabe: Der Umsatz einer Firma belief sich im 1. Geschäftsjahr auf 175 000
Euro. Im zweiten Geschäftsjahr wurden bereits 183 750 Euro umgesetzt. Um wieviel
Prozent wurde der Umsatz gesteigert?
Lösung: Prozentwert (Umsatzsteigerung) berechnen:
183 750
Umsatzsteigerung bezogen auf das Vorjahr (Grundwert):
÷ 175 000 =
Wer will: Prozentsatz berechnen:
× 100 = 5
6.7 Zeiten und Winkel
Die Unterteilung von Stunden (Grad) folgt nicht dem Dezimalsystem, sondern dem
Sexagesimalsystem:
1 Stunde (Grad) = 60 (Bogen-) Minuten
1 (Bogen-) Minute = 60 (Bogen-) Sekunden
Für einen Winkel von 10 Grad, 20 Bogenminuten und 42 Bogensekunden schreibt man
kurz 10 20 42 , entsprechend als Zeitangabe 10 h 20 42 . Winkel und Zeiten lassen
sich in diesem sog. Sexagesimal-Format direkt eingeben. Meistens braucht man diese
Funktion für Zeitangaben.
Die Eingabe einer Zeitangabe in Stunden, Minuten und Sekunden (Sexagesimal-Format) kann menügeführt mit der Taste ´´´erfolgen. Der Einfachheit halber wird diese
Taste hier als hms dargestellt. Durch die Menüführung ist die Eingabe relativ umständlich. Zudem muss immer die Reihenfolge Stunden, Minuten, Sekunden eingehalten
werden (die Bedienungsanleitung ist in diesem Punkt falsch).
Bei der sexagesimalen Eingabe muss die Reihenfolge Stunden, Minuten, Sekunden
eingehalten werden.
Beispiel: Wie lange dauerte eine Zugfahrt, die im Ort A um 6 Uhr 45 begann und im Ort
B um 13 Uhr 23 endete?
13 hms ° [= Taste kann entfallen] 23 hms ' – 6 hms ° 45 hms ' = =
6.6333 [Stunden dezimal]
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25
Um das Ergebnis wieder im sexagesimalen Format darzustellen, benutzen wir die
DMS Funktion. Sie befindet sich im Menü ganz rechts:
hms
= Ans DMS = 6°38'0" [also 6 Stunden und 38 Minuten]
Wenn keine Sekunden vorkommen, können wir das Ergebnis aber schneller mit Hilfe
der Bruchrechnung erhalten:
13 A b/c 23 A
6°38'0"
b
/c 60 - 6 A
b
/c 45 A
b
/c 60 = 6 19/30
DMS = =
Mit dieser Zahl kann direkt weitergerechnet werden. Eine Umwandlung in eine Dezimalzahl ist nicht erforderlich.
Beispiel: Wir setzen die Zugfahrt um 13 Uhr 48 fort und kommen in C um 17 Uhr 3 an.
Wie lang war die Fahrtzeit insgesamt?
+ ( 17 A b/c 3 A
9°53'0"
b
/c 60 - 13 A
b
/c 48 A
b
/c 60 ) = 9.88333
DMS = =
Wenn man unbedingt wieder eine Dezimaldarstellung haben will, kann man einfach 0
addieren:
+ 0 = 9.88333
Die sexagesimale Eingabe ist aber nützlich, wenn auch Sekunden ins Spiel kommen.
Bsp.: Wie lange dauerte die Lösung einer Aufgabe, die um 27'
48" begonnen und um
1h3'
12" beendet wurde?
1 ° 3 ' 12 " - 0 ° 27 ' 48 " = = 0.59 [Stunden dez.]
0°35'24"
DMS = =
N. B.: Die fehlenden Stunden müssen als 0 Std. ergänzt werden. Allgemein gilt:
Fehlende Angaben nach links müssen als 0 ergänzt werden. Fehlende Angaben nach
rechts dürfen ausgelassen werden.
Kommen Tage (Abkz. d) mit ins Spiel, rechnet man sie am besten in Stunden um.
Beispiel: Wie lange dauert der Flug von Hamburg (Abflug 19 Uhr 38) nach Bombay
(Ankunft 11 Uhr 17 Ortszeit am nächsten Morgen)? Die Zeitverschiebung beträgt 6
Stunden.
Lösung: Die Ankunftszeit nach Hamburger Zeit ist dann um 5 Uhr 17. Da es am
nächsten Tag ist, müssen noch 24 Std. addiert werden. Rechnung:
24 + 5 ° 17 ' - 19 ° 38 ' = 9.65
10.11.10, 23:38
DMS = = 9°39'0"
TI-30XIIS.doc
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Inhaltsverzeichnis
1
2
Formeleingabe......................................................................................................... 1
1.1
Grundlegende Bedienungselemente ................................................................ 1
1.2
Quadrieren, Wurzelziehen................................................................................ 2
1.3
Kehrwertbildung................................................................................................ 2
Korrekturmöglichkeiten ............................................................................................ 3
2.1
3
4
5
6
Bearbeiten der Formelzeile .............................................................................. 3
Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise ...................................................................... 5
3.1
Zur Erinnerung.................................................................................................. 5
3.2
Rechenregeln für Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise................................... 5
3.3
Eingabe in den Taschenrechner....................................................................... 6
Zahlendarstellung .................................................................................................... 7
4.1
Engineering-Format (ENG)............................................................................... 7
4.2
Scientific Notation (SCI) ................................................................................... 8
4.3
Umstellung auf die Normaldarstellung (FLO) ................................................... 8
4.4
Einstellung der Stellenzahl (FIX) ...................................................................... 9
Verwendung der Speicher ..................................................................................... 10
5.1
Abspeichern eines Wertes.............................................................................. 10
5.2
Verwenden des abgespeicherten Wertes....................................................... 11
5.3
Ansicht der abgespeicherten Werte................................................................ 11
5.4
Speicherinhalt mit MEMVAR abrufen ............................................................. 12
5.5
Löschen der Speicher..................................................................................... 13
5.6
Stolpersteine................................................................................................... 14
5.7
Übersicht Speicherfunktionen......................................................................... 14
5.8
Der Antwortspeicher ....................................................................................... 14
Weitere Funktionen................................................................................................ 15
6.1
Konstantenrechnung ...................................................................................... 15
6.2
Die allgemeine Potenz.................................................................................... 17
6.3
Die allgemeine Wurzel.................................................................................... 18
6.4
Die Winkelfunktionen und Winkelmodi ........................................................... 18
6.5
Bruchrechnung ............................................................................................... 20
6.6
Prozentrechnung ............................................................................................ 22
6.7
Zeiten und Winkel........................................................................................... 25
10.11.10, 23:38
TI-30XIIS.doc
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