des Vortrags (5,5 MB!)

Nicht alles ist Zahl
Pythagoras und seine Lehre
1
Pythagoras
Tag der Mathematik
2
Chartres: die septem artes liberales
Tag der Mathematik
3
Die septem artes liberales
Quadrivium
Arithmetik
Grammatik
Geometrie
Musik
Rhetorik
Astronomie
Dialektik/Logik
Trivium
Tag der Mathematik
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Chartres: die septem artes liberales
Dialektik:
Rhetorik:
Geometrie:
Astronomie:
Grammatik:
Aristoteles
Cicero
Euklid
Ptolemäus
Donatus
im 4. Jahrhundert n. Chr. lebender
Autor einer lateinischen Grammatik
Arithmetik:
Boethius
Verwaltungsbeamter und Philosoph
am Hofe Theoderichs des Großen
Musik:
Pythagoras
Tag der Mathematik
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Pythagoras
um 570 v. Chr. auf Samos geboren
nur wenige Fakten gesichert
man kennt von ihm kein einziges Werk
besuchte vermutlich Phönizien, Ägypten, Babylon und
Persien, wo er die Religion und die dort bekannte
Mathematik studierte
Tag der Mathematik
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Pythagoras
bei seiner Rückkehr nach Samos herrschte dort
Polykrates (538-522 v. Chr.)
Er stand auf seines Daches Zinnen,
er schaute mit vergnügten Sinnen
auf das beherrschte Samos hin.
„Dies alles ist mir untertänig“,
begann er zu Ägyptens König,
„gestehe, dass ich glücklich bin.“
Schiller, Der Ring des Polykrates
Tag der Mathematik
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Pythagoras
wanderte um 530 nach Kroton (Unteritalien) aus
als beeindruckender und überzeugender Redner
gewann er in Süditalien erheblichen politischen
Einfluss
starb um 480 in Metapont (am Golf von Tarent)
gründete eine Sekte (Bruderschaft, Orden)
Wiedergeburtslehre
Pythagoreer zu strengster Geheimhaltung
verpflichtet
Tag der Mathematik
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Alles ist Zahl
Seit Aristoteles gilt die Erkenntnis der
Zahlenhaftigkeit der Welt als der Inbegriff der
pythagoreischen Philosophie.
Selbst im Alten Testament haben diese Gedanken
Spuren hinterlassen (Buch der Weisheit 11,20):
Du aber hast alles nach Maß, Zahl und Gewicht
geordnet.
Zahlen meinen stets natürliche Zahlen (ohne 0).
Tag der Mathematik
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Alles ist Zahl
Mathematik im heutigen Sinne haben Pythagoras
und seine Anhänger weniger getrieben.
Der häufigste und überzeugendste Beweis bei den
“
Pythagoreern lautete angeblich „
„er selbst hat es gesagt“; lat. „ipse dixit“.
Tag der Mathematik
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Alles ist Zahl
Interesse der Pythagoreer ist besser mit dem Wort
Zahlenmystik umschrieben
Nach Aristoteles nannten die Pythagoreer die Zahl
5 „Hochzeit, da die Hochzeit das Zusammenkommen von männlich und weiblich ist. Männlich
ist nämlich nach ihrer Ansicht ungerade, weiblich
gerade. Fünf aber ist die erste Zahl, die aus der
Zwei als erster gerader und der Drei als erster
ungerader Zahl entsteht.“
Tag der Mathematik
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Pythagoras und die Musik
Überzeugung der Zahlenhaftigkeit der
Welt hat wohl ihren Ursprung in der Musik.
Sie waren wohl die ersten, die eine
Harmonielehre betrieben und das
Verhältnis zweier Saitenlängen bei
Akkorden untersuchten.
- Oktave: 2 : 1
- Quinte: 3 : 2
- Quarte: 4 : 3
Tag der Mathematik
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Raffael: Die Schule von Athen
Tag der Mathematik
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Raffael: Die Schule von Athen
Tag der Mathematik
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Raffael: Die Schule von Athen
12:6 = 2:1:
Oktave
12:8 = 9:6 = 3:2: Quinte
12:9 = 8:6 = 4:3: Quarte
9:8?
(4:3) (9:8) = 3:2
also:
9:8: ganzer Ton
Aufgabe:
2 Halbtöne 1 Ganzton
Pythagoreisches Komma
Tag der Mathematik
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Nicht alles ist Zahl
Alles ist Zahl alles in ganzzahligen Verhältnissen fassbar
Für beliebige Strecken(längen) s,t müsste also gelten:
s : t = m : n (m,n natürliche Zahlen; o.E. teilerfremd)
Solche kommensurablen Strecken(längen) s,t haben das
gemeinsame Maß e= t/n = s/m wegen
s = m (t/n) = m e,
t = n (s/m) = n e.
Mit einer Strecke der Länge e kann sowohl s als auch t
restlos ausgelegt werden.
Um die Mitte des 5. Jahrhunderts v. Chr. führte die
Entdeckung inkommensurabler Strecken zu einer
Erschütterung dieses Weltbilds.
Tag der Mathematik
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Wechselseitige Wegnahme
Man kann ein gemeinsames Maß e zweier Strecken d, s
(d > s) wie folgt durch wechselseitige Wegnahme finden.
Wegen r := d - s = nde - nse = (nd - ns)e
hat auch die Strecke r das Maß e.
Um e zu finden, kann man also s, r anstelle von d, s
betrachten und wieder die kleinere von der größeren
abziehen.
Man erhält so eine Folge immer kleiner werdender
Strecken mit dem gemeinsamen Maß e.
Das Verfahren endet, wenn beide Strecken gleich lang sind
und damit mit dem gemeinsamen Maß e übereinstimmen.
Tag der Mathematik
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Das Fünfeck und der Goldene Schnitt
MEPHISTOPHELES
Gesteh ichs nur! Daß ich hinausspaziere,
verbietet mir ein kleines Hindernis:
der Drudenfuß an Eurer Schwelle –
FAUST
Das Pentagramma macht dir Pein?
Ei, sage mir, du Sohn der Hölle:
wenn das dich bannt: wie kamst du denn herein?
Wie ward ein solcher Geist betrogen?
MEPHISTOPHELES
Beschaut es recht! es ist nicht gut gezogen:
Der eine Winkel, der nach außenzu,
ist, wie du siehst, ein wenig offen.
(Goethe, Faust I, 1393-1402)
Tag der Mathematik
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DE || AC = FG || HL
BC || AD = KL || FH
AFHL und (Symmetrie!) GCHL
sind Parallelogramme
Das Fünfeck und der
Goldene Schnitt
d1 = s2 + 2d2
Im Parallelogramm CDEF sieht man
s1 = d2 + s2
d1 - s1 = d2 , s1 - d2 = s2
Wechselseitige Wegnahme liefert also
d1 , s1 s1 , d2 d2 , s2
s
,
d
2 3 d3 , s3 …
Verfahren lässt sich unendlich oft
iterieren.
Somit kann kein gemeinsames Maß
existieren.
Tag der Mathematik
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Das Fünfeck und der
Goldene Schnitt
Tag der Mathematik
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Das Fünfeck und der
Goldene Schnitt
Tag der Mathematik
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Tag der Mathematik
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Das Fünfeck und der
Goldene Schnitt
Der Goldene
Schnitt
Tag der Mathematik
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Das Fünfeck und der Goldene Schnitt
Tag der Mathematik
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Goldene Zirkel
Tag der Mathematik
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Zahlen, Zahlen, Zahlen
Warum haben um 450 v. Chr.
in Rom genau zehn Männer ein
Zwölftafelgesetz (zunächst auf
zehn Tafeln) formuliert?
Harro Heuser:
Die Magie der Zahlen
Tag der Mathematik
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