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Elementare Relationen rationaler Lösungen der elliptischen Gleichung y²=x³-36x
Wolfgang Fensch,
Email: 478836.893848@kabelbw.de
Die Frage nach der Darstellbarkeit der Summe der mit eins beginnenden, aufeinanderfolgenden Quadratzahlen als Quadratzahl ist in Form einer Rätsel-Aufgabe- in Pyramidenform
gestapelte Kugeln sollen in der Ebene ein Quadrat ausfüllen- seit langem bekannt, aber erst
zu Anfang des 20. Jahrhundert gelöst worden. Mathematisch formuliert, handelt es sich um
die Diophantische Gleichung
x(x+1)(2x+1)=6y²,
die für natürliche Zahlen größer als 1 in x und y gelöst werden soll. Bekannt war die Lösung x=24, y=70, gefragt war nach weiteren ganzzahligen Lösungen und vermutet wurde,
dass keine weiteren ganzzahligen Lösungen existieren.
Naheliegende Lösungsansätze durch Problemreduktion, Wurzelapproximationen, quadratische Zahlkörper, Modulo-Rechnungen oder Pellsche Gleichungen stellen sich, manchmal
erst nach langen Untersuchungen, als nicht erfolgreich heraus.
Die Gleichung beschreibt eine elliptische Kurve, und so ist es naheliegend, sich die inzwischen sehr umfangreiche Literatur dazu zu Nutze zu machen. Einige Stichworte seien aufgezählt: abelsche Gruppe der rationalen Lösungen, Endlichkeitssatz einer Restklassengruppe,
Torsionssatz, Abstiegsprozedur, Darstellung abelscher Gruppen aus Torsionsgruppen und
freien Gruppen.
Die theoretisch-strukturellen Konzepte sichern zwar die Endlichkeit ganzzahliger Lösungen,
aber nicht die Einzigkeit von x=24, y=70.
Im Folgenden wird eine Problemlösung dargestellt, die anstelle der Verwendung sehr weitreichender, algebraische Zahlkörper erfassender Struktursätze, lediglich elementare
Faktorisierungen
mehrvariabliger Ausdrücke benötigt. Dabei
wird das
Computeralgebrasystem Maple verwendet und theoretisch Bezug genommen auf das Lehrbuch über elliptische Kurven mit dem Titel “The Arithmetic of Elliptic Curves” von
J.H.Silverman, 1986 Springer-Verlag.
Mit ganzzahligen x und y sind auch b=72y und a=12x+6 ganzzahlig. Die obige Gleichung
schreibt sich dann, x=(a-6)/12 und y=b/72,
(a-6)/12*(a+6)/12*a/6 = 6b²/72²,
und führt zur Gleichung
a³ - 36a=b² ,
die ebenfalls eine elliptische Kurve beschreibt und in sog. Weierstraßform vorliegt.
Wenn x und y ganzzahlig sind, so auch a und b. Offensichtlich kann ein nichtganzzahliges a
nicht zu einem ganzzahligen x führen, es genügt also die strukturell einfachere
Weierstraßform zu untersuchen.
Es wird nachgewiesen, dass die gesamte ganzzahlige Lösungsmenge der Weierstraßform aus
13 Elementen besteht:
{(0,0),(-6,0),(6,0),(-3,-9),(-3,9),(-2,-8),(-2,8),(12,36),(12,-36),(18,72),(18,-72),
(294,5040),(294,-5040)}.
Daraus entsteht nur eine einzige ganzzahlige Lösung von x(x+1)(2x+1)=6y² mit x>1 und
y>1. Das soll im Folgenden ausgeführt werden.
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I. Die Abelsche Gruppe der rationalen Lösungen von y²=x³-36x
Betrachtet man die Kurve y²=x³-36x, so fällt auf, dass Sekanten, wenn überhaupt, so nur noch
einmal die Kurve schneiden.
Aus der Kenntnis von zwei Kurvenpunkten A und B, also von zwei rationalen Lösungen,
kann dadurch ein dritter Kurvenpunkt, also eine weitere rationale Lösung, gefunden werden.
In der vorliegenden Zeichnung entsteht durch die Sekante aus A(-2|-8) und B(6|0) der
dritte Schnittpunkt (-3|-9) ; eingetragen ist sein Spiegelbild (-3|9), das J.H. Silverman mit
A+B bezeichnet, so entsteht aus zwei Lösungen eine dritte.
Das folgende Maple-Protokoll führt zu einem Ausdruck s für die erste Koordinate einer
dritten Lösung, falls die Sekante aus A(x1|y1) und B(x2|y2) nicht parallel zur y-Achse ist, die
ersten Koordinaten von A und B, x1x2, also nicht übereinstimmen, und zu einem Ausdruck
sy für die zweite Koordinate der Spiegelung.
> a:=(y1+(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1));
> b:=numer(simplify(a^2))-denom(simplify(a^2))*(x^3-36*x):
> c:=expand(b):
>
d:=expand(subs(y1^2=x1^3-36*x1,y2^2=x2^3-36*x2,y1^4=(x1^3-36*x1)^2,y2^4=(x2^3-x2*
36)^2,y1^3=y1*(x1^3-36*x1),y2^3=y2*(x2^3-36*x2),c)):
> factor(d);
-(-x+x1)*(x2-x)*(x22*x-x22*x1-x12*x2-2*x2*x1*x+36*x2+x12*x+36*x1+2*y1*y2)
> s:=solve(op(4,factor(d)),x);
36 · 2
2 · 1
1 · 2 2· 1· 2
2
1 ²
36 · 1
Mit den Daten A(-2|-8) und B(6|0) erhält man tatsächlich
s=(-36*6-6^2*2 +4*6 +36*2)/64 = - 32*6/64 =
Die zweite Koordinate sy berechnet sich über die Sekantengleichung:
-3.
> sy:=subs(x=s,y1+(y2-y1)/(x2-x1)*(x-x1)):
> sy:=-simplify(subs(y1^2=x1^3-36*x1,y2^2=x2^3-36*x2,numer(sy))/denom(sy));
3
1 2
3 1 2 1
36 2 2
3 2 1 2
2
108 1 2
1 ³
108 2 1
2 1
36 1 1
Mit den Daten A(-2|-8) und B(6|0) erhält man
sy = (-8*36*6+3*16*36+108*8*6-36*16)/8³ = 64*(81-9)/64/8 = 9.
Naheliegenderweise können weitere rationale Lösungen auch durch Schnittpunkte von Tangenten erhalten werden. Wird x2=x1+h in den Ausdruck für s eingesetzt und dann der
Grenzwert h->0 gebildet, erhält man allein durch A(x1|y1) einen weiteren Schnittpunkt mit
der sog. Verdopplungsformel:
> term:=subs(x2=x1+h,numer(s))/subs(x2=x1+h,denom(s));
> term2:=simplify(term);
72 1 36
2 1
3 1
1
2
²
2 1 2
>term3:=(subs(y1=sqrt(x1^3-36*x1),(subs(y2=taylor(sqrt((x1+h)^3-(x1+h)*36),h=0,3),num
er(term2))))):
> limit(term3/h^2,h=0);
1
72 1² 1296
4 1 1
36
1
36 ²
4 1²
Die zweite Koordinate kann ebenfalls durch Grenzwertbildung gewonnen werden, sodass für
die Verdopplungen von (x,y), y0, gilt :
2
,
4
36 ²
,
36
36 ·
12
8
36 ·
36
12
36
Für 2(-2|-8) entsteht so 40²/256= 25/4 als erste Koordinate und
40*(-32+24)*(-32-24)/(-64²) = -35/8
als zweite.
Eine Operation A+B ist damit auch für A=B erklärt, falls die zweite Koordinate ungleich null
ist.
Wenn jedoch A=B mit y=0 vorliegt, entsteht so kein numerischer Wert: die Tangente liegt
parallel zur y-Achse. Um die Addition auch in diesem Fall erklären zu können, ist die
Adjunktion eines nichtnumerischen Objekts erforderlich.
In der Menge aller Geraden der (x,y)-Ebene ist durch Parallelität eine Äquivalenzrelation
gegeben. Als nichtnumerisches Element der Lösungsmenge wird nun bzgl. dieser
Äquivalenzrelation diejenige Klasse O hinzugenommen, in der die y-Achse liegt. Im Folgenden soll nachgewiesen werden, dass O die Forderung an ein neutrales Element erfüllt.
Zunächst wird definitorisch festgelegt
(x, y) + (x, -y) = O
für alle numerischen Paare, sowie O + O = O für O selbst.
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Zum Beispiel gelten für die drei Scheitelpunkte (-6,0),(0,0) und (6,0) die Relationen:
2*(-6,0) = 2*(0,0) = 2*(6,0) = O.
Inverses Paar zu (x,y) ist somit das Paar (x,-y) und invers zu O ist wiederum O.
Eine Operation A+B ist durch die Hinzunahme von O damit auch erklärt, wenn zwar A B,
aber die ersten Koordinaten identisch sind.
Durch diese Festlegungen kann die Kollinearität dreier Punkte der elliptischen Kurve einfach
beschrieben werden:
Es sind A, B und C genau dann kollinear, wenn gilt
A + B + C = O.
Um die Neutralitätsrelation (x1,y1)+O = (x1,y1) für numerische Paare zu beweisen, ist die
Unabhängigkeit vom Repräsentanten zu bestätigen, d.h. gelten muss
(x1,y1) + ((x,y) + (x,-y)) = (x1,y1)
für alle Kurvenpunkte (x1,y1), (x,y). Dazu ist zunächst die Assoziativität nachzuweisen.
Wir führen den Nachweis mit Maple unter der Voraussetzung der paarweisen Verschiedenheit der Paare.
Verglichen wird ((u1,v1)+(u2,v2))+(u3,v3) mit (u1,v1)+((u2,v2)+(u3,v3)). Dabei müssen
die höheren Potenzen von v1,v2 und v3 durch die ersten Koordinaten u1,u2, u3 ersetzt werden. Die Differenzen der Ausdrücke für die Koordinaten werden durch vergleichx und
vergleichy bezeichnet und auf null getestet.
Das Protokoll beginnt mit einer Menge Sv von Ersetzungsrelationen.
> Sv:={seq(op({v.n^2=u.n^3-36*u.n,v.n^3=v.n*(u.n^3-36*u.n),v.n^4=(u.n^3-36*u.n)^2,
v.n^5=v.n*(u.n^3-36*u.n)^2,v.n^6=(u.n^3-36*u.n)^3}),n=1..3)}:
> tx12:=subs(x1=u1,y1=v1,x2=u2,y2=v2,s):
> ty12:=subs(x1=u1,y1=v1,x2=u2,y2=v2,sy):
> tx12_3:=subs(Sv,numer(subs(x1=tx12,y1=ty12,x2=u3,y2=v3,s)))/
subs(Sv,denom(subs(x1=tx12,y1=ty12,x2=u3,y2=v3,s))):
> Zx12_3:=expand(numer(tx12_3)):
> Nx12_3:=expand(denom(tx12_3)):
> ty12_3:=subs(Sv,numer(subs(x1=tx12,y1=ty12,x2=u3,y2=v3,sy)))/
subs(Sv,denom(subs(x1=tx12,y1=ty12,x2=u3,y2=v3,sy))):
> Zy12_3:=expand(numer(ty12_3)):
> Ny12_3:=expand(denom(ty12_3)):
>
>
> tx23:=subs(x1=u2,y1=v2,x2=u3,y2=v3,s):
> ty23:=subs(x1=u2,y1=v2,x2=u3,y2=v3,sy):
> tx1_23:=subs(Sv,numer(subs(x1=u1,y1=v1,x2=tx23,y2=ty23,s)))/
subs(Sv,denom(subs(x1=u1,y1=v1,x2=tx23,y2=ty23,s))):
> Zx1_23:=expand(numer(tx1_23)):
> Nx1_23:=expand(denom(tx1_23)):
> if Zx1_23=Zx12_3 then print(j) fi:
> vergleichx:=simplify(subs(Sv,expand(Zx1_23*Nx12_3-Zx12_3*Nx1_23))):
>
> if vergleichx=0 then print(ja) fi:
ja
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> ty1_23:=subs(Sv,numer(subs(x1=u1,y1=v1,x2=tx23,y2=ty23,sy)))/
subs(Sv,denom(subs(x1=u1,y1=v1,x2=tx23,y2=ty23,sy))):
>
> Zy1_23:=expand(numer(ty1_23)):
> Ny1_23:=expand(denom(ty1_23)):
> vergleichy:=simplify(subs(Sv,expand(Zy1_23*Ny12_3-Zy12_3*Ny1_23))):
> if vergleichy=0 then print(ja) fi:
ja
Für den Neutralitätsnachweis für O bilden wir mit den obigen Ausdrücken
((u1,v1)+(u,v))+(u,-v)
und erwarten (u1,v1). Für die erste Koordinate gelingt das sofort, nicht aber für die zweite,
weil dann erst einmal die algebraische Relationen zwischen u und v auszunutzen sind.
> factor(subs(v^2=u^3-36*u,simplify(subs(u2=u,v2=v,u3=u,v3=-v,tx12_3))));
u1
Für die zweite Koordinate ist der Zähler mit dem v1-fachen des Nenners zu vergleichen:
>
expand(subs(Sv,expand(v1*(subs(v^2=u^3-36*u,simplify(subs(u2=u,v2=v,u3=u,v3=-v,Ny12_3
)))))))> expand(subs(v^2=u^3-36*u,simplify(subs(u2=u,v2=v,u3=u,v3=-v,Zy12_3))));
0
Damit ist der Nachweis der Gruppenstruktur beendet. Die Gruppe ist offensichtlich abelsch,
sie soll - wie bei J.H.Silverman- mit E bezeichnet werden, E1 sei die Menge der Abszissen,
E2 die Menge der Ordinaten von E. Wir betrachten nur rationale Lösungen!
Wir haben schon drei numerische Elemente der Ordnung 2 kennengelernt: die Scheitelpunkte.
Die drei Scheitelpunkte liegen auf der x-Achse, eine Spiegelung wird unnötig, wir haben
daher die folgenden drei Relationen
(-6,0) + (0,0) = (6,0)
(-6,0) + (6,0) = (0,0)
(0,0) + (6,0) = (-6,0),
die zeigen, dass {O, (-6,0), (0,0), (6,0)} Träger einer Kleinschen Vierergruppe ist. Diese
Vierergruppe ist auch schon die gesamte Torsionsgruppe, wie aus Proposition 6.1 (Kapitel X)
bei Silverman direkt hervorgeht. Im vorliegenden Fall ist ein Beweis aber auch elementar
möglich, allerdings benötigen wir dazu eine Verallgemeinerung der Verdopplungsformel, die
erst später entwickelt wird. Zunächst beweisen wir die Endlichkeit der Faktorgruppe E/2E.
Der Nachweis der Endlichkeit dieser Faktorgruppe wird als schwaches Theorem von
Mordell-Weil zitiert und ist der Kern des Beweises der endlichen Erzeugbarkeit der unendlichen Gruppe E (starkes Theorem von Mordell-Weil). In den theoretischen Untersuchungen
beschränken sich die Elemente von E jedoch nicht nur auf rationale Zahlen, sondern auf
Elemente aus algebraischen Zahlkörpern. Wenn nur der rationale Zahlkörper infrage steht,
zeigen elementare Relationen im vorliegenden Fall auch ohne Heranziehung nichtarchimedisch bewerteter Körper, dass die Faktorgruppe E/2E aus genau 8 Elementen besteht. Die
Untersuchungen im allgemeinen Zahlkörperfall scheinen aber ohne diese Bewertungszu-
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sammenhänge nicht erfolgreich zu sein. In konkreten Fällen könnte man versuchen, die Möglichkeiten von Computeralgebrasystemen voll auszuschöpfen.
Allgemein wird die Endlichkeit der Faktorgruppe E/2E durch Einbettung in spezielle Produkte aus Faktorgruppen, die mit Bewertungen zusammenhängen,
nachgewiesen.
Silverman bezeichnet diesen Zusammenhang als vollständigen 2-Abstieg (Proposition 1.4 im
Kapitel X): die Einbettung erfolgt durch Systeme quadratischer Gleichungen. Betrachtet man
nur den rationalen Fall, so ist ein natürlicher Zusammenhang zwischen Lösungen (x,y) der
elliptischen Gleichung und quadratischen Systemen naheliegend, wenn die Faktorisierung
x³ - 36x = x*(x-6)*(x+6) beachtet wird: sind z.B. x, x-6, x+6 rationale Quadratzahlen, so ist x
aus E1; allgemeiner gilt offensichtlich
Sind a,g ganze Zahlen und ist das System
a*R² - 6 = g*S²,
a*R² + 6 = a*g*T²
rational lösbar, so ist (a*R², ± a*g*R*S*T) rationales Lösungspaar der elliptischen
Gleichung y2= x3-36x.
Die ganzen Zahlen a,g sind dabei natürlich nicht willkürlich wählbar, z.B. kommt ersichtlich
g=5 nicht infrage. Nicht unmittelbar einsichtig ist, dass auch umgekehrt ein rationales Lösungspaar (x,y) aus E zu solchen Gleichungen führt. Um das einzusehen, beginnen wir mit
einer Aussage über rational nichtlösbare quadratische Gleichungen in x und y.
Es seien α, β, γ ganzzahlig,
es sei β inkongruent zu 0 modulo 3 ,
es seien modulo 9 α und γ inkongruent zueinander und jeweils inkongruent zu 0,
aber α oder γ kongruent zu 0 modulo 3,
weiterhin sei α+β inkongruent zu 0 und zu γ modulo 3,
und αx²= γ sowie βy²=γ rational nicht lösbar.
Dann ist auch αx² + βy² = γ rational nicht lösbar.
Beweis.
Den Voraussetzungen ist zu entnehmen, dass die Zahlen α, β, γ und ebenso die Lösungen x,y
von null verschieden sind.
Gäbe es eine Lösung x,y müssten ganze Zahlen a,b,c,d,e,f existieren, sodass die Relation
3^(2a)*α*(cf)² + 3^(2b)*β*(ed)² = γ*(df)²
besteht, wenn x=3^a*c/d, y= 3^b*e/f und c,d,e,f
0 (3) angenommen wird, woraus folgt,
2
2
dass die auftretenden Quadrate c , d²,e , f² kongruent zu 1 modulo 3 sind.
Wir untersuchen 3 Fälle.
1. Sei α 0 (3) und γ 0(3).
Dann folgt
3^(2a+1)*A*(cf)² + 3^(2b)*β*(ed)²=γ*(df)², wobei A,β 0(3) ist.
Sei m:=min(2a+1,2b). Es kann m>0 nicht bestehen, sonst müsste γ 0(3) sein.
Wenn m<0 wäre, könnte mit 3^(-m) multipliziert werden, die rechte Seite wäre kongruent 0
modulo 3, die linke Seite wäre modulo 3 entweder A oder β, ein Widerspruch.
Übrig bleibt der Fall m=0. Dann müsste b=0 und 2a+1>0 sein. Es wäre dann βγ(3) und es
ergäbe sich ein Widerspruch zu α+β γ (3).
2. Sei α 0 (3) und γ 0 (3).
Dann folgt
3^(2a)*A*(cf)² + 3^(2b-1)*β*(ed)² = C*(df)² mit A,C 0(3) .
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Sei m:= min(2a,2b-1). Dann erhält man bei m>0 sofort einen Widerspruch zur Inkongruenz
zu 0 modulo 3 der rechten Seite. Bei m<0 wäre nach Multiplikation mit 3^(-m) die rechte
Seite modulo 3 zwar nullkongruent, die linke jedoch kongruent entweder zu A oder zu β, was
unmöglich ist.
Der Fall m=0 führt zu a=0 und 2b-1>0. Es wäre modulo 3 A kongruent zu C. Das ist ein
Widerspruch zur Inkongruenz zwischen α und γ modulo 9.
3. Sei α 0(3) und γ 0 (3).
Dann folgt
3^(2a-1)*α*(cf)² + 3^(2b-1)*β*(ed)² = C*(df)² mit C 0(3) .
Sei m:= min(2a-1,2b-1). Man erhält bei m>0 sofort einen Widerspruch zur Inkongruenz von
C zu 0 modulo 3. Für m<0 und a ungleich b erhält man nach Multplikation mit 3^(-m) ebenfalls einen Widerspruch zur Inkongruenz entweder von α oder von β zu 0 modulo 3. Der
Fall m<0 und a=b führt nach Multiplikation mit 3^(-m) modulo 3 auf der linken Seite zu α+β
auf der rechten zu null, das widerspricht der Voraussetzung α+β 0 (3) . Der Fall m=0 ist
nicht möglich, das beendet den Beweis.
Beispiele:
In den folgenden Fällen ist αx² + βy² = γ rational nicht lösbar:
α
1
β
1,-2
γ
3,6,-6
6
-6
±1
1
3,12
6
3
2,±1
6
3
3
±3
6
±6
-1
-2
1
-1
1
1,4,-3,
-12
-4
2
1
2
Nicht nur g, sondern auch x aus E1 muss strukturell eingeschränkt werden.
Wir zeigen:
Die rationalen Lösungen von y²=x³- 36x sind zu erhalten durch x=X/f², y=Y/f³, wobei
X,Y, f ganzzahlig und X,Y zu f teilerfremd ist.
Beweis.
Die Aussage ist trivial für die Lösung x=y=0.
Eine Darstellung für eine rationale Lösung x0 schreiben wir X/N mit zu X teilerfremdem
positiven N. Daraus ergibt sich für y
y² = (X³ - 36*X*N²)/N³.
N ist teilerfremd zu X³-36*X*N² . Der Quotient (X³ - 36*X*N²)/N³ kann daher nur dann
eine rationale Quadratzahl sein, wenn N eine Quadratzahl ist. Da N positiv angenommen
war, gibt es also eine positive ganze Zahl f mit N=f². Da N positiv sein sollte, muss auch
X³-36*X*N² positiv sein und damit ergibt sich für y y=±Y/f³ mit der positiven Quadratwurzel
Y= (X³-36*X*N²). 
Einschränkungen erhalten wir für den Zähler einer Lösung x aus E1\{0}, wenn wir den
quadratfreien Faktor von X betrachten. Dazu zerlegen wir X ganzzahlig in der Form
X= a*Q mit quadratfreiem a und einer Quadratzahl Q und beweisen:
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Es sei (x,y), x0, rationale Lösung von y²=x³- 36x mit x=X/f², X,f ganzzahlig, zueinander teilerfremd und X=a*Q mit quadratfreiem ganzzahligen a und einer ganzzahligen
Quadratzahl Q. Dann ist a ein Teiler von 6 und teilerfremd zu Q.
Beweis.
Die Aussage ist trivial für a²=1. Im Folgenden sei daher a² 1.
Für den Zähler Y der Lösung y gilt mit N= f²
Y²= a³·Q³ - 36·a·Q·N² = a·Q·(a·Q-6N)·(a·Q+6N).
Es sei p ein Primteiler von a, dann ist p kein Teiler von N. Wäre p auch kein Teiler von 6, so
würde p weder a·Q-6N noch a·Q+6N teilen. Der Exponent von p in der Primfaktorzerlegung
von a³·Q³ - 36·a·Q·N² wäre ungerade und Y² könnte kein ganzzahliges Quadrat sein, also
muss p Teiler von 6 sein.
Wenn p Teiler von 6 und von Q wäre, könnte sowohl a·Q-6N als auch a·Q+6N nicht mehr
durch p² geteilt werden. Auch in diesem Fall wäre der Exponent von p in der Zerlegung von
Y² ungerade, Y² könnte kein ganzzahliges Quadrat sein. Es kann p in Q also nicht mehr vorkommen, damit ist a teilerfremd zu Q.
Über die Lösbarkeit von Gleichungen benötigen wir schließlich noch die folgende Aussage:
Für rationale Zahlen z ist (x²+36)² - 4z²(x³-36x) =0 rational genau dann lösbar in x, wenn
z²-6 und z²+6 rationale Quadratzahlen sind.
Beweis.
Offensichtlich muss z ungleich null sein.
Es gelte z² - 6 = a² und z²+ 6 = b² mit rationalen Zahlen a,b. Dann ist z4 = 36 + (ab)² und die
Resolvente R des reduzierten Polynoms (notiert in x) wird
R= x³ +(144-12*z^4)*x²+ (48z^8-1728z^4)x +(-64z^12+4608z^8-82944z^4)
mit den Nullstellen
4z4-24z²,4z4 + 24z² , 4z4-144.
Dadurch erhält man rationale Lösungen.
Ein Maple-Protokoll:
> P:=expand((x^2+36)^2 - 4*z^2*(x^3-36*x)):
> Pxi:=expand(subs(x=xi+z^2,P));
Pxi :=ξ^4 - 6*ξ^2*z^4 - 8*ξ*z^6 - 3*z^8 + 72*ξ^2 + 288*ξ*z^2 +216*z^4+1296
> p:=72-6*z^4:
> q:=288*z^2-8*z^6:
> r:= 216*z^4-3*z^8+1296:
> expand(xi^4+xi^2*p+xi*q+r- Pxi);
0
> R:=expand(chi^3+2*p*chi^2+(p^2-4*r)*chi -q^2);
R:=χ^3+144*χ^2 -12*χ^2*z^4-1728*χ*z^4+48*χ*z^8-82944*z^4+4608*z^8-64*z^12
> solve(R,chi);
-24*z^2 + 4*z^4 , 24*z^2 + 4*z^4 , -144 + 4* z^4
Diese Nullstellen sind Quadratzahlen, denn es ist
4z4+24z2 = (2z)²(z²+6) = (2zb)², 4z4-24z2 = (2z)²(z²-6) = (2za)² und 4z4 - 144 = 4(z4 -36)=
(2ab)².
Da sich die Nullstellen einer Gleichung vierten Grades aus den Quadratwurzeln der Nullstellen der Resolvente linear kombinieren lassen, ist (x²+36)² - 4z²(x³-36x)=0 rational lösbar.
Sei, umgekehrt, (x²+36)² - 4z²(x³-36x)=0 für eine rationale Zahl z rational lösbar. Dann ist
9
z²(x³-36x) von null verschieden, rationale Quadratzahl und somit
z² =(x² + 36)²/(4w²),
wenn w= (x³-36x) gesetzt wird.
z²- 6 = ((x²+36)² - 24w² )/(4w²) = (x4+72x²+36² - 24x³+24·36x)/(4w²)= (x²-36 -12x)²/(4w²)
zeigt, dass z²-6 rationale Quadratzahl ist, ebenso zeigt dies
z²+6 = ((x²+36)²+24w²)/(4w²) =(x4+72x²+36²+24x³+24· 36x)/(4w²)=(x²-36+12x)²/(4w²).

Folgerung:
Die positive Abszisse eines rationalen Lösungspaars (x,y) von y²= x³-36x ist genau dann
quadratisch, wenn das Paar (x,y) durch Verdopplung eines rationalen Lösungspaars
(z,w) entsteht.
Wir bemerken, dass die triviale Lösung (0,0) nicht mehr aus einer Verdopplung hervorgeht.
Es müsste sonst eine Tangente an (ξ,η), ξ0, geben, die durch den Nullpunkt verläuft. Daraus
würde die Relation -η = (3ξ² - 36)/(2η)*(-ξ) und weiter -2η² = -3ξ³ + 36ξ sowie
-2ξ³ + 72ξ = -3ξ³ + 36ξ und ξ³ + 36ξ=0 folgen.
Diese Gleichung ist rational jedoch nur durch ξ=0 lösbar.
Von den ganzzahligen Lösungspaaren haben wir schon (6,0) sowie (294, 5040) kennengelernt und für Abszissen aus dem Intervall [-6,0] die beiden Scheitelpunkte (-6,0) und (0,0)
erwähnt. Das Aufsuchen weiterer ganzzahliger Abszissen aus dem Intervall [-6,0] ist erfolgreich mit (-2,±8) sowie (-3,±9) und Additionen mit diesen Lösungen führen zu den Paaren (12,±36), (18, ±72), (25/4, ±35/8).
Damit haben wir ausreichend viele verankernde Beispiele für folgende Aussage:
Es sei (x,y) rationales Lösungspaar von y²=x³- 36x, x0, und a der ganzzahlige, nichtquadratische Faktor von x. Dann gibt es genau eine ganze Zahl g{±1,±2,±3,±6}, sodass
das
System
(A)
x-6 =
g*r² ,
x + 6 = a*g*s²
rational lösbar ist.
Beweis.
Für die beiden Scheitelpunkte (-6,0),(6,0) sind solche Zahlen leicht angebbar:
a=-6, g=-3,r²=4, s beliebig für den linken, a=6, g=2,s²=1, r beliebig für den rechten Scheitelpunkt.
Für den Nullpunkt ist eine Faktorisierung der Abszisse zwar nicht eindeutig, aber das System
(A) wird für x=0 rational lösbar für g{±1,±2,±3,±6} nur durch g=-6,a= -1, r²=s²=1.
Wir setzen im Folgenden y0 voraus.
Wie vorher hergeleitet, ist a einer der 8 ganzzahligen Teiler von 6. Es zeigt sich, dass zu jedem möglichen a der Faktor g durch genau einen Teiler von 6 festlegt ist. Die Möglichkeiten für g werden im Einzelnen diskutiert. Offensichtlich kommen für positive Teiler a auch
nur positive Werte für g infrage und für negative Teiler a nur negative Werte für g. Für die
auszuschließenden Fälle wird die Tabelle auf S. 7 herangezogen. Ist eine Möglichkeit für g
ermittelt, erhält man die rationalen Zahlen r und s aus den Ordinaten, für a=1 sogar konstruktiv, sonst indirekt über Ausschlussdiskussionen durch die Tabelle auf S.7.
1. Fall: a=1.
10
Es sind negative g nicht möglich, wir können uns für g auf die positiven Teiler von 6 beschränken. Wir setzen x=h² mit rationalem h.
Die Spalten 1,4,3 der Tabelle auf S. 7 zeigen, dass weder h²-6=2r² noch h²+6=3s² noch
h²-6=6r² rational lösbar sind, also kommt nur g=1 infrage.
Als Beispiel erwähnen wir (25/4, 35/8)E, zu dem das System
x – 6 = (1/2)² , x + 6 = (7/2)²
gehört.
Allgemeiner zeigen wir, dass Verdopplungen zum Fall a=1 gehören. Auszunehmen sind natürlich die Lösungspaare (0,0),(-6,0),(6,0)E , die durch Verdopplung nur zu nichtnumerischen Lösungen führen, denn 2(0,0) = 2(-6,0) =2(6,0) = O.
Ist aber (z,w)E mit w0 und (x,y)=2(z,w), so erhalten wir für x nach der Verdopplungsformel die Beziehung
x= (z² + 36)²/ (4w²),
damit ist x rationale positive Quadratzahl, also a=1. Nach der Folgerung ist dann
x - 6 = r², x + 6 = s²
rational lösbar, also g=1 und r und s konstruktiv bestimmbar.
Ist, umgekehrt, für eine rationale Quadratzahl z² das System z² - 6 =r², z²+6 = s² rational lösbar, so ist natürlich z*r*s0 und (z², ± z*r*s) sind rationale Lösungspaare für die elliptische
Gleichung mit a=1. Wie in der Folgerung gezeigt wurde, gibt es rationale Zahlen x, so dass
z² = (x²+36)²/(4(x³-36x)) gilt.
Es muss also x³-36x rationale Quadratzahl sein und d.h. (x,±(x³-36x)) sind rationale Lösungspaare der elliptischen Gleichung und (z², ±z*r*s) ihre Verdopplungen.
2. Fall a= - 1.
Es sind positive g nicht möglich, wir können uns für g auf die negativen Teiler von 6 beschränken. Sei x= -h².Die Spalten 1,1,4 der Tabelle auf S. 7 zeigen, dass weder
–h²+6=s² noch –h²-6=-2r² noch -h²-6= -3r²
rational lösbar ist, also kommt nur g=-6 infrage.
Das Paar (-144/25, 504/ 125) = (0,0)+(25/4,35/8) zeigt diese Möglichkeit, denn
-(12/5)²- 6 = -6*(7/5)² und –(12/5)² + 6 = 6*(1/5)².
Setzt man h² = Q/f² mit ggT(Q,f)=1 an, so zeigt das Beispiel, dass 6 Teiler von Q ist.
Das gilt allgemein:
Für Elemente x=-h²=-Q/f² aus E1 mit ggT(Q,f)=1 muss
-Q(-Q-6f²)(-Q+6f²)
ganzzahlige Quadratzahl sein.
Wären –Q-6f² und –Q+6f² teilerfremd, wären sie auch teilerfremd zu Q, es müssten ganze
Zahlen G und H existieren und das System
-Q-6f² = -G² , -Q+6f² = H²
erfüllen, dem widerspricht Spalte 8.
Offensichtlich kommen als gemeinsame positive Teiler, die auch Teiler von Q sind, nur 2,3
und 6 infrage. Es könnten also Gleichungen
-Q-6f² = -t*G² , -Q+6f² = t*H²
mit t=2,3 oder 6 bestehen. Es widerspricht aber t=2 Spalte 1 und t=3 Spalte 4. Damit verbleibt t=6 und es ist x-6 = -6r² und x+6= 6s² rational lösbar durch r=G/f, s=H/f.
3. Fall a= 2.
Es sind negative g nicht möglich, wir können uns für g auf die positiven Teiler von 6
schränken.
be-
11
Sei x=2h² mit rationalem h.
Da nach Spalte 1 der Tabelle auf S.7 r²-2h² =-6 nicht lösbar ist, ist g=1 nicht möglich.
Weiterhin ist g=6 nicht möglich, weil 2h²-6=6r² äquivalent zu 3r²-h²=-3 (Spalte 5) ist.
Der Fall g=2 würde zu 2r²+6=4s²-6, also zu -6= r²-2s² führen, dem widerspricht Spalte 1.
Übrig bleibt g=3.
Ein Beispiel dazu liefert das Lösungspaar (18, 72) mit h²= 9:
18 - 6 = 3*2² und 18 + 6 = 2*3*2².
Setzt man h² = 2Q/f² mit ggT(2Q,f)=1 an, so zeigt das Beispiel, dass 3 Teiler von Q ist.
Das gilt allgemein:
Für Elemente x=2h²=2Q/f² aus E1 mit ggT(2Q,f)=1 muss
2Q(2Q-6f²)(2Q+6f²) = 2³Q(Q-3f²)(Q+3f²)
ganzzahlige Quadratzahl sein.
Offensichtlich kann dann 2 nicht Teiler von Q sein, weil der Exponent des Primfaktors 2 im
gesamten Produkt ungerade wäre. Dadurch erhalten wir die Kongruenzen Q-3f² 2 4 und Q+3f² 4 8 : der Primfaktor 2 kommt im Faktor Q‐3f² nur einfach, im Faktor Q 3f² nur quadratisch vor. Ein weiterer gemeinsamer Primfaktor kann nur 3 sein. Träfe das nicht zu, müsste erfüllbar sein Q‐3f² 2u² dem widerspricht Spalte 7 der Tabelle. Ein Teiler 3 von Q‐3f² impliziert Q 0 3 und damit Q 3f² 0 9 . Da außer 2 und 3 kei‐
ne weiteren gemeinsamen Teiler auftreten können, muss es ganze Zahlen G und H ge‐
ben, sodass Q‐3f² 6G² und Q 3f² 3H² gilt. Dadurch erhalten wir 2Q/f² -6 = 3r² und 2Q/f² + 6= 3*2*s²
mit r 2G /f und s H/f. 4. Fall a= -2.
Es sind positive g nicht möglich, wir können uns für g auf die negativen Teiler von 6 beschränken.
Sei x= -2h².
Die Wahl g=-1 würde zu -2h²+r²=6 führen, dem widerspricht Spalte 1 der Tabelle.
Die Wahl g=-6 würde zu h²+6s²=3 führen, dem widerspricht Spalte 2 der Tabelle.
Die Wahl g= -3 würde zu 6=3r²-2h² führen, dem widerspricht Spalte 4 der Tabelle.
Übrig bleibt g=-2.
Ein Beispiel gibt (-2,8)E:
-2-6=-2*2², -2+6=4*1².
Für Elemente x=-2h²=-2Q/f² aus E1 mit ggT(2Q,f)=1 muss
-2Q(-2Q-6f²)(-2Q+6f²) = -2³Q(-Q-3f²)(-Q+3f²)
ganzzahlige Quadratzahl sein.
Offensichtlich kann, wie im vorigen Fall, 2 nicht Teiler von Q sein und wir erhalten die Kongruenzen -Q-3f² 4 8 und -Q+3f² 2 4 : der Primfaktor 2 kommt im Faktor –Q 3f² nur einfach, im Faktor –Q‐3f² nur quadratisch vor. Ein weiterer gemeinsamer Primfaktor 3, wie im vorigen Fall, müsste zu dem System ‐Q‐3f² ‐3H² und –Q 3f² 6G² führen. Dem widerspricht aber Spalte 4. Also bleibt nur die Möglichkeit ‐Q‐3f² ‐ H² und –Q 3f² 2G². Wir erhalten -2Q/f² -6 = -2r² und -2Q/f² + 6= (-2)*(-2)*s²
mit r H/f und s G/f. 5. Fall a= 3.
Wir können uns für g auf die positiven Teiler von 6 beschränken und setzen
12
x=3h²
mit rationalem h. Es kann nicht g=1 gewählt werden, weil dem nach Spalte 4 3h²-r²=6 widerspricht.
Die Wahl von g=2 würde zu 3h²-2r² = 6 führen und widerspräche Spalte 4.
Die Wahl von g=3 würde zu 3s²-r² = 4 führen und widerspräche Spalte 5.
Übrig bleibt g=6. Ein Beispiel dazu liefert (12,36)
3*2² - 6 = 6*1² und 3*2² + 6 = 18*1².
Setzt man
x=3h² = 3Q/f² mit ggT(3Q,f)=1 an,
so zeigt das Beispiel, dass 2 Teiler von Q ist.
Das ist allgemeingültig:
Für Elemente x=3h²=3Q/f² aus E1 mit ggT(3Q,f)=1 muss
3Q(3Q-6f²)(3Q+6f²) = 3³Q(Q-2f²)(Q+2f²)
ganzzahlige Quadratzahl sein.
Offensichtlich kann 3 nicht Teiler von Q sein, weil der Exponent des Primfaktors 3 im gesamten Produkt ungerade wäre. Es ist daher Q+2f² 0 3 und Q-2f² 1 3 .Wäre Q ungera‐
de, wären Q‐2f² und Q 2f² zueinander teilerfremd und teilerfremd zu Q. Um eine ganz‐
zahlige Quadratzahl zu erhalten, müsste das System Q ‐2f² u² und Q 2f² 3v² ganzzahlig lösbar sein. Daraus würde auch eine Lösung von 3v²/f² - u²/f²= 4 folgen, dem widerspricht Spalte 5. Es muss also Q gerade, Q 2f² 0(4) und damit lösbar sein
Q ‐2f² 2u² und Q 2f² 6v². Wir erhalten x-6= 3Q/f² -6 = 6r² und x+6=3Q/f² + 6= 3*6*s²
mit r u/f und s v/f. 6. Fall a= -3.
Wir können uns für g auf die negativen Teiler von 6 beschränken und setzen x=-3h² mit
rationalem h.
Es kann nicht g=-2 gewählt werden, weil dem nach Spalte 4 3s²+r²=6 widerspricht.
Die Wahl von g=-3 würde zu 3s²+h² = 2 führen und widerspräche Spalte 7.
Die Wahl von g=-6 würde zu 6s²+h² = 2 führen und widerspräche Spalte 9.
Übrig bleibt g=-1. Ein Beispiel dazu liefert (-3,9) :
-3*1² - 6 = -3² und -3*1² + 6 = 3*1².
Für Elemente x=-3h²=-3Q/f² aus E1 mit ggT(3Q,f)=1 muss
-3Q(-3Q-6f²)(-3Q+6f²) = 3³Q(Q+2f²)(-Q+2f²)
ganzzahlige Quadratzahl sein.
Wie im vorigen Fall kann 3 nicht Teiler von Q sein und mit einer geraden Quadratzahl Q
müsste gelten
Q+2f² = 6u² und –Q+2f² =2v².
Daraus würde v²+3u²=2f² folgen, dem widerspricht Spalte 7.
Es muss also Q ungerade sein und damit lösbar
-Q-2f² = -3u² und –Q+2f² =v².
Wir erhalten
x-6 = -3Q/f² -6 = -r² und x+6 = -3Q/f² +6 = (-3)*(-1)*s²
mit r=3u/f und s=v/f.
7 . Fall a= 6.
Wir setzen x=6h² mit rationalem h und diskutieren die positiven Teiler von 6.
13
Es kann nicht g=1 gewählt werden, weil r²+6=6s²-6 Spalte 2 widerspricht.
Die Wahl von g=3 würde zu 6h²+6 = 18r² führen und widerspräche Spalte 5.
Die Wahl von g=6 würde zu 6s²-h² = 1 führen und widerspräche Spalte 8.
Übrig bleibt g=2. Ein Beispiel dazu liefert (294,-5040):
6*7² - 6 = 2*12² und 6*7² + 6 = 2*6*5².
Setzt man
x=6h² = 6Q/f² mit ggT(6Q,f)=1 an,
so zeigt das Beispiel, dass weder 2 noch 3 Teiler von Q sind.
Das ist allgemeingültig:
Für Elemente x=6h²=6Q/f² aus E1 mit ggT(6Q,f)=1 muss
6Q(6Q-6f²)(6Q+6f²) = 6³Q(Q-f²)(Q+f²)
ganzzahlige Quadratzahl sein.
Es kann Q die beiden Primfaktoren 2 und 3 nicht zu Teilern haben, weil sonst die Exponenten
dieser Primfaktoren ungerade wären. Wenn nun Q ungerade ist, wird Q-f² 0 3 , Q‐f² 0 8 und Q+f² 2 3 , Q+f² 2 8 . Da Q teilerfremd zu Q f² ist und Q f² teilerfremd zu Q‐f², muss also ganzzahlig lösbar sein Q‐f² 3*u² und Q f² 2*v². Wir erhalten
x-6 = 6Q/f² -6 = 2r² und x+6 = 6Q/f² +6 = 6*2*s²
mit r=3u/f und s=v/f.
8. Fall a= -6.
Wir können uns für g auf die negativen Teiler von 6 beschränken und setzen x=-6h² mit
rationalem h.
Es kann nicht g=-1 gewählt werden, weil dem -6h²-6 = -r² nach Spalte 3 widerspricht.
Die Wahl von g=-2 würde zu -3h²+r² = 3 führen und widerspräche Spalte 5.
Die Wahl von g=-6 würde zu 36s²+6r² = 12 führen und widerspräche Spalte 9.
Übrig bleibt g=-3. Ein nichttriviales Beispiel dafür ist (-6/49, -720/343), die Summe aus
(-6,0) und (25/4, 35/8):
-6/49 – 6 = - 300/49 = -3*(10/7)² und -6/49 + 6= 288/49= (-3)*(-6)*(4/7)² .
Für Elemente x=-6h²=-6Q/f² aus E1 mit ggT(6Q,f)=1 muss
-6Q(-6Q-6f²)(-6Q+6f²) = 6³Q(Q+f²)(-Q+f²)
ganzzahlige Quadratzahl sein.
Wie im vorigen Fall kann 2 und 3 nicht Teiler von Q sein und mit einer geraden Quadratzahl
Q müsste gelten
Q+f² = 2u² und –Q+f² =3v².
Wir erhalten
x-6 = -6Q/f² -6 = -3r² und x+6 = -6Q/f² +6 = (-6)*(-3)*s²
mit r=2u/f und s=v/f. Das beendet den Beweis.
Auf S. 6 haben wir gesehen, dass rationale Lösungen in R,S,T der quadratischen Gleichungen
a·R² - 6 = g·S² und a·R² + 6 = a·g·T²
bei gegebenen ganzzahligen a und g zu Lösungen der elliptischen Gleichung y²=x³-36x führen, und zwar durch x=aR² und y=±a·g·R·S·T.
Der eben geführte Beweis sichert auch die Umkehrung: zu jeder Lösung (x,y) der elliptischen Gleichung y²=x³-36x korrespondiert die rationale Lösung eines quadratischen Systems
a·h²- 6 = g·r² und a·h²+ 6 = a·g·s². Dabei sind a und g ganzzahlige Teiler von 6 mit x= ah² und y==±a·g·h·r·s. Für x=0 ist g=-1
und sonst ist g eindeutig durch a bestimmt. Die Lösungspaare (x,y) lassen sich also ausnahmslos durch (ah², ±a·h·w) darstellen und Vereinfachungen von Termen bei Berechnungen
14
mit Elementen aus E lassen sich ohne Verwendung von Radikalen z.B. durch
Substitutionen von h4 erhalten. Für alle ah² 0 gilt
h4 = (36+ a·w²)/a².
Im folgenden Maple-Protokoll wird nachgewiesen, dass die Summe zweier Elemente aus E ,
(a*h²,a*h*w1)+(a*u²,a*u*w2), zu einer Verdopplung führt, also Element aus 2E ist:
> Aus:=-(36*x2-x2^2*x1-x1^2*x2+2*y1*y2+36*x1)/(x2-x1)^2:
> S:={x1=a*h^2,y1=a*h*w1,x2=a*u^2,y2=a*u*w2}:
> T:=simplify(subs(S,Aus));
T := -1/a*(36*u^2-a^2*u^4*h^2-a^2*h^4*u^2+2*a*h*w1*u*w2+36*h^2)/(-u^2+h^2)^2
> Z:=numer(T);
Z := -36*u^2+a^2*u^4*h^2+a^2*h^4*u^2-2*a*h*w1*u*w2-36*h^2
> N:=denom(T);
N := a*(-u^2+h^2)^2
> T4:=factor(subs(h^4=(36+a*w1^2)/a^2,u^4=(36+a*w2^2)/a^2,Z));
T4 := a*(u*w1-h*w2)^2
> Ergebnis:=T4/N;
Ergebnis := (u*w1-h*w2)^2/(-u^2+h^2)^2
Daraus lässt sich folgern, dass zwei Elemente mit gleichem quadratfreien ganzzahligen Abszissenfaktor modulo 2E äquivalent sind. (Hier soll noch einmal auf die Besonderheit des
Elements (0,0) hingewiesen werden: (0,0) ist modulo 2E äquivalent zu (-144/25,504/125),
erhält also den Faktor a=-1.)
Das nun folgende Protokoll zeigt, dass alle Elemente einer Klasse (a·h²,a·h·w1) + 2E denselben quadratfreien ganzzahligen Abszissenfaktor a haben:
> S:={x1=a*h^2,y1=a*h*w1,x2=u^2,y2=u*w2}:
> T:=simplify(subs(S,Aus));
T := -(36*u^2-u^4*a*h^2-a^2*h^4*u^2+2*a*h*w1*u*w2+36*a*h^2)/(-u^2+a*h^2)^2
> Z:=numer(T);
Z := -36*u^2+u^4*a*h^2+a^2*h^4*u^2-2*a*h*w1*u*w2-36*a*h^2
> N:=denom(T);
N := (-u^2+a*h^2)^2
> T4:=factor(subs(h^4=(36+a*w1^2)/a^2,u^4=36+w2^2,Z));
T4 := a*(u*w1-h*w2)^2
> Ergebnis:=T4/N;
Ergebnis := a*(u*w1-h*w2)^2/(-u^2+a*h^2)^2
>
Die Gruppe E zerfällt daher modulo 2E in genau so viele Klassen, wie es Teiler von 6 gibt,
also 8. Damit ist bewiesen:
Die Gruppe E/2E besteht nur aus 8 Elementen.
15
Da die Elemente der Faktorgruppe E/2E eindeutig durch die Zahlenpaare (a,g) bestimmt sind,
lässt sich die Addition in der Faktorgruppe durch folgende Übersicht darstellen:
+
(-6,-3)
(-3, -1)
(-2,-2)
(-1,-6)
(1,1)
(2,3)
(3,6)
(6,2)
(-6,-3)
(1,1)
(2,3)
(3, 6)
(6, 2)
(-6,-3)
(-3,-1)
(-2,-2)
(-1,-6)
(-3,-1)
(2,3)
(1,1)
(6,2)
(3,6)
(-3,-1)
(-6,-3)
(-1,-6)
(-2,-2)
(-2,-2)
(3,6)
(6,2)
(1,1)
(2,3)
(-2,-2)
(-1,-6)
(-6,-3)
(-3,-1)
(-1,-6)
(6,2)
(3,6)
(2,3)
(1,1)
(-1,-6)
(-2,-2)
(-3,-1)
(-6,-3)
(1,1)
(-6,-3)
(-3,-1)
(-2,-2)
(-1,-6)
(1,1)
(2,3)
(3,6)
(6,2)
(2,3)
(-3,-1)
(-6,-3)
(-1,-6)
(-2,-2)
(2,3)
(1,1)
(6,2)
(3,6)
(3,6)
(-2,-2)
(-1,-6)
(-6,-3)
(-3,-1)
(3,6)
(6,2)
(1,1)
(2,3)
(6,2)
(-1,-6)
(-2,-2)
(-3,-1)
(-6,-3)
(6,2)
(3,6)
(2,3)
(1,1)
Sieht man diese 8 Zahlenpaare, unabhängig von ihrer Herkunft, als Elemente von
*/ *²  */ *² an, unter Beachtung der multiplikativen Struktur, so liegt eine Gruppenstruktur mit dem neutralen Element (1,1) vor: (3,6)*(6,2) z.B. wird zunächst (18,12) und dann
quadratfrei (2,3).
Diese Gruppe ist direktes Produkt aus 3 zyklischen Gruppen der Ordnung 2, etwa
{(-1,-6)}{(-2,-2)}{(-3,-1)} und eine Einbettung der Faktorgruppe E/2E.
Im konkreten Fall der Gleichung y² = x³-36x und der Beschränkung auf rationale Lösungen
liegt hier nur eine elementare Sicht des schwachen Theorems von Mordell-Weil vor.
Um die Anzahl der Erzeugenden der Gruppe E angeben zu können, benötigen wir Aussagen
über die „unfreien“ Elemente von E, also Kenntnisse über die Torsionsgruppe (Elemente aus
E mit endlichen Ordnungen). Wie wir schon hergeleitet haben, ist der Nullpunkt kein Verdopplungspunkt. Daraus folgern wir zunächst:
Die geraden Ordnungen der Elemente von E sind inkongruent 0(4).
Beweis.
Wäre eine gerade Ordnung n kongruent 0(4), so hätten wir 4k(ξ,η)=O , 2k(ξ,η)  O und
nach der Verdopplungsformel durch 2kξ eine numerische Nullstelle des Polynoms x³-36x.
Dann wäre 2k(ξ,η) entweder (0,0) oder (-6,0) oder (6,0). Alle diese Punkte sind jedoch keine
Verdopplungspunkte, denn zu ihnen gehören die quadratfreien a-Faktoren -1,-6,6. 
Weitere Aussagen über endliche Ordnungen können mit den bisherigen Kenntnissen nicht
dargestellt werden. Wir wollen aber auch hier elementar herangehen und eine
Vielfachenformel verwenden. Die erforderlichen sperrigen Rechnungen mit multivariablen
Ausdrücken lassen wir von Maple ausführen.
16
II.
Vielfachenformel
Für die Strukturierung der Lösungspaare elliptischer Gleichungen ist nicht nur die Verdopplungsformel von großer Bedeutung, sondern allgemeiner eine Formel zur Berechnung der
Vielfachen n*(x,y) für n>2. Lässt man mit einem Computeralgebrasystem n*(x,y) für n=3..50
berechnen, erkennt man, dass sich n*(x,y) durch rationale Ausdrücke R1, R2 aus (x) algorithmisch berechnen lassen, sodass sich
n*(x,y) = (R1, y*R2)
ergibt. Ein solcher Zusammenhang ist z.B. aufgezeigt durch die Übungsaufgabe 3.7 des
Lehrbuchs “The Arithmetic of Elliptic Curves” von
J.H.Silverman, III., § 10
Automorphism Group ( dort nicht gelöst). Die rationalen Funktionen sollen, wie bei
Silverman auch, durch Zählerfunktionen Φ,Ω und Nennerfunktionen Ψ, die Polynome mit
ganzzahligen Koeffizienten in x sind, bezeichnet sein. Begonnen wird mit den
Nennerpolynomen. Rekursiv erklärt sind Polynome Ψn , für gerade n soll auch ψn erklärt
sein,wie folgt:
Ψ
1, Ψ
2 ,Ψ
3
216
1296
Ψ
4
36
Ψ
12
Ψ
Ψ
36
Ψ
Ψ
Ψ
12
36
1
2
Dadurch wird weiterhin erhalten
Ψ
ΨΨ
ΨΨ ,
Ψ
,
, Ψ
Ψ
ΨΨ
Ψ
ΨΨ , Ψ
ΨΨ
ΨΨ ,
.
Für die Indizes 5 und 6 ergibt sich in faktorieller Form konkret
Ψ = (5x4-72x2+1296)(x8-432x6-33696x4+2426112x2+1679616)
Ψ
6y(x +216x -3888)(x -72x -432)(x -24x -216x2-864x+1296)(x4+24x3-216x2+864x+1296)
4
2
4
2
4
3
Das zeigt, dass Ψ ,Ψ , Ψ Polynome aus [x] und Ψ ,Ψ , Ψ Polynome aus
sind. Das setzt sich allgemein fort und wir setzen für gerade Indizes m
y· [x]
17
Ψ
=
·ψ
mit Polynomen ψ
aus [x].
Wir weisen nach, dass m sowohl im geraden als auch im ungeraden Fall der höchste Koeffizient der Polynome Ψ ist. Bei den Polynomgraden ergibt sich eine Unterscheidung: für
alle m>1 ist der Grad von Ψ ² als Polynom aus [x] (nach Ersetzung von y²) zwar m²-1 und
für ungerade m der Grad von Ψ demgemäß auch (m²-1)/2 , aber für gerade m ist der
Grad von ψ
(m²-4)/2.
Die konkreten Polynome zeigen die Richtigkeit der Behauptung für die Indizes m von 1 bis 6.
Zur Berechnung der Polynome vom Index m werden nur Polynome herangezogen, deren
Index höchstens m/2+2 beträgt. Da für ganze Zahlen m ,größer als 4, diese Indizes größer
als m sind, kann für m>6 ein Induktionsbeweis geführt werden.
Wir setzen z.B. die Gültigkeit bis zum Index 2k, 3k, voraus und betrachten, m=2k+1.
Es ist zwischen geradem und ungeradem k zu unterscheiden. Sei z.B. k zunächst gerade.
Dann ist
Ψ
Ψ
2
·
und somit der höchste Koeffizient (k+2)k³ und der Grad 6+(k²+4k+3k²-12)/2=2k²+2k.
Einfacher ist der Subtrahend zu behandeln,
Ψ
Ψ
1
1
bringt ersichtlich den Koeffizienten (k²-1)(k²+2k+1)=k4+2k³-2k-1 und den Grad
(k²-2k+3k²+6k)/2= 2k²+2k. Beide Grade stimmen überein und sind identisch mit
((2k+1)²-1)/2 = (4k²+4k)/2 = 2k²+2k, wie behauptet. Die Differenz der Koeffizienten
erfüllt mit 2k+1 ebenfalls das Verlangte.
Sei jetzt k ungerade. Dann ist der Minuend leicht zu behandeln:
Ψ
Ψ
2
Der Koeffizient wird k4+2k³ und der Grad wird (k²+4k+3+3k²-3)/2=2k²+2k.
Der Subtrahend wird
Ψ
Ψ
1
1
Der höchste Koeffizient berechnet sich wie vorhin zu k4+2k³-2k-1. Wird y4 als Polynom in x
angesehen, erhöht sich der Grad um 6, wir erhalten 6+(k²-2k-3+3k²+6k-9)/2 = 2k²+2k und
damit ist auch in diesem Fall die Behauptung nachgewiesen.
Wenn wir von m=6 ausgehen, haben wir damit jedoch bisher nur die Gültigkeit für m=7 gezeigt.
Um auf m=8 zu schließen, brauchen wir den Nachweis für die geraden Fälle, wir müssen also
die Formeln für die geraden Indizes verwenden. Wir setzen die Gültigkeit für alle m<2k
und m>4 voraus und gehen aus von
Ψ
Ψ Ψ
Ψ
Sei wieder zunächst k gerade, dann erhalten wir
Ψ
Ψ
/ 2 .
18
Ψ Ψ
Ψ
ψ ψ
Ψ
2
1
Ψ Ψ
Ψ
ψ ψ
Ψ
2
1
und
Für die y²-freien Polynome sind die Grade identisch:
(k²-4+k²+4k)/2+k²-2k= (k²-4+k²-4k)/2+k²+2k= 2k²-2
und dadurch wird der höchste Koeffizient der Differenz
k((k+2)(k-1)² -(k-2)(k+1)²)= k((k+2)(k²-2k+1)-(k-2)(k²+2k+1))=
k(k³-2k²+k+2k²-4k+2 - (k³+2k²+k-2k²-4k-2))= 4k.
2k²-2=(4k²-4)/2 und sein höchster Koeffizient 2k,
Also wird der Grad des Polynoms
wie behauptet.
Sei k ungerade. Dann ist k-1 und k+1 gerade, also
Ψ Ψ
Ψ
Ψ Ψ
ψ
2
1
Ψ Ψ
Ψ
Ψ Ψ
ψ
2
1
und
Der höchste Grad des ersten Produkts, ohne Berücksichtigung von y², ist
(k²-1+k²+4k+3)/2+ k²-2k - 3 = 2k² -2,
der höchste Grad des zweiten Produkts (ohne y²) ist ebenso
(k²-1+k²-4k+3)/2 + k² +2k - 3 = 2k² -2.
Die Differenz der Koeffizienten ist, wie vorhin auch, 4k, das y bleibt auch für ungerade k
erhalten und der höchste x-Grad von ψ2k ist für ungerade k ebenfalls 2k²-2.
Damit ist für alle positiven Indizes m bewiesen:
Ψ
m · x
, wenn m ungerade und
ψ
m · x
, wenn m gerade.
Maple zeigt, dass die Koeffizienten, ausgenommen die höchsten, der ersten 20 Polynome
kongruent zu 0 modulo 72 sind. Das gilt ist allgemein. Wir beweisen:
Für alle m>2 sind die Koeffizienten von Ψm , ausgenommen die höchsten, kongruent zu
0 modulo 72.
Beweis.
Die Aussage ist für m=3,4,5,6 sofort verifizierbar und durch die einfachen Ausdrücke für den
Index 2m+1 die Vererbung der Koeffizienteneigenschaft offensichtlich. Für die Indizes
2m haben wir schon erkannt, dass
Ψm+2Ψm-1² und Ψm-2Ψm+1²
denselben Grad besitzen, dabei können die beiden Faktoren, je nach Kongruenz von m bzgl.
2 als Polynome in x mit Koeffizienten aus [y] (m0(2)) oder aus [y²] (m1(2)) angesehen
19
werden.Die Differenz beider Faktoren ergibt danach entweder die höchsten Koeffizienten
y*(m+2)*(m-1)² - y*(m-2)*(m+1)²
oder
y²*(m+2)*(m-1)² - y²*(m-2)*(m+1)²
mit den Resultaten 4y oder 4y². Also ist das höchste Glied der Differenz offensichtlich
kongruent 0(4) und die anderen Glieder sind nach Induktionsvoraussetzung kongruent 0(72).
Eine Division der Differenz durch 2y führt also zu Koeffizienten, die 0(2) sind, und zu Polynomen aus entweder [x] oder y [x]. Durch eine weitere Multiplikation mit Ψm erhält
man in beiden Fällen Polynome aus y [x] mit Koeffizienten, ausgenommen die höchsten,
die sogar kongruent zu 0 modulo 144 sind.
Für alle m>2 sind die Polynome Ψm Polynome aus
[x²] oder y [x²].
Beweis.
Die konkreten Fälle m=3 und m=4 zeigen die Richtigkeit der Aussage. Die Rekursionsgleichungen zeigen das Allgemeine, denn ein Auftreten von y4 im ungeraden Fall führt zum
Faktor x6- 72x4 + 36²*x², ein Auftreten y² im geraden Fall führt wegen der Division durch 2y
nur noch zu y. 
Mit Blick auf die Torsionselemente beweisen wir:
Für alle ungeraden Primzahlen p sind rationale Nullstellen von Ψp ganzzahlig.
Beweis.
Setzen wir n= (p²-1)/2 , so ist das höchste Glied p*xn , das nächste c*xn-2 , das letzte d.
Wenn wir x=X/N für eine rationale Nullstelle x setzen, erhalten wir die folgende ganzzahlige
Relation
·
·
+c·
·
0
Daraus ist ersichtlich, dass N² das Produkt p*Xn teilen muss, was offensichtlich ein Widerspruch ist, wenn eine gekürzte Darstellung für x verwendet wird. Es bleibt nur N=±1 als
Möglichkeit.
Die auf S. 16 angegebene Rekursionsdefinition erweist sich als nachteilig bei Untersuchungen mit Computeralgebrasystemen. Es wird deshalb eine Relation hergeleitet, durch die sich
Ψn aus den 4 unmittelbaren Vorgängern Ψn-4 ,..., Ψn-1 berechnen lässt. Auf eine solche Relation wird man, wie sich weiter unten ergibt, beim Aufstellen der Vielfachenformel geführt.
Mithilfe von Maple kann diese Relation zunächst durch die angegebenen 6 Polynome bestätigt und danach durch Induktion, getrennt für 2m und 2m+1, bewiesen werden.
Die Relation wird mit (R) bezeichnet und für n-2..n+2 formuliert. Für alle n>2 gilt:
6
72 Ψ
Ψ Ψ
4
144 Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
0
Beweis:
Maple zeigt für n=3..10 die Gültigkeit der Relation (R), Sy steht für die Substitution von y²
durch x³-36x und fsil ist die rekursive Prozedur auf S.16 für die Ψ-Polynome:
20
> for n from 3 to 10 do
> Z:=(144*x-4*x^3)*fsil(n)^3+(6*x^2-72)*fsil(n-1)*fsil(n)*fsil(n+1):
> Z:=expand(Z):Z:=subs(Sy,Z):
> Z:=expand(Z):
> L:=expand(fsil(n+2)*fsil(n-1)^2+fsil(n-2)*fsil(n+1)^2):
> L:=subs(Sy,L):
> L:=factor(L):
> print(n," ",simplify(Z-L)):
> od:
3, " ", 0
4, " ", 0
5, " ", 0
6, " ", 0
7, " ", 0
8, " ", 0
9, " ", 0
10, " ", 0
Geht n über diesen Bereich hinaus, so kann n=2m und n=2m+1 mit m>3 angesetzt werden
und ein Induktionsnachweis geführt werden. Die Gültigkeit von (R) wird also im Folgenden
für m vorausgesetzt. Für n=2m+1 ist dann die folgende Relation zu bestätigen:
6
72 Ψ
Ψ
Ψ
4
144 Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Wird die linke Seite mit Un , die rechte Seite mit Vn bezeichnet, so zeigt das folgende
Maple-Protokoll, dass unter den Faktoren der Differenz Un-Vn sich der Faktor Um-Vm befindet, die Relation ( R ) vererbt sich also von m auf n. Die Polynome mit den Indizes
2m-1,…,2m+3 werden mit A,..,E bezeichnet, die Polynome mit den Indizes m-2,…,m+3 mit
a,…,f. Die Rekursionsbeziehungen werden in S zusammengefasst:
> u:=(6*x^2-72)*B*C*D:
> v:=(4*x^3-144*x)*C^3+E*B^2+A*D^2:
>S:={A=d*b^3-a*c^3,B=c*(e*b^2-a*d^2)/(2*y),C=e*c^3-b*d^3,D=d*(f*c^2-b*e^2)/(2*y),
E=f*d^3-c*e^3}:
> S2:={op(S),y^2=x^3-36*x,y^4=expand((x^3-36*x)^2)};
S2 := {A = d*b^3-a*c^3, B = 1/2*c*(e*b^2-a*d^2)/y, C = e*c^3-b*d^3, E = f*d^3-c*e^3,
y^2 = x^3-36*x, y^4 = x^6-72*x^4+1296*x^2, D = 1/2*d*(f*c^2-b*e^2)/y}
> f1:=factor(subs(S2,u-v)):
> f2:=numer(f1):
> f3:=factor(subs(y^2=x^3-36*x,f2)):
> f4:=factor(subs(f=((6*x^2-72)*c*d*e-(4*x^3-144*x)*d^3-b*e^2)/c^2,f3));
f4
:=
(a*d^2-144*x*c^3+4*c^3*x^3+72*b*c*d-6*b*x^2*c*d+e*b^2)*(-4*x^3*e^3*c^6+12*b*x^
3*d^3*c^3*e^2-12*b^2*x^3*e*d^6+4*a*d^8*x^3-6*b*x^2*c^4*d*e^3+12*b^2*x^2*c*d^4
*e^2-6*a*d^6*c*e*x^2+144*x*e^3*c^6-432*b*x*d^3*c^3*e^2-144*a*d^8*x+432*b^2*x*
e*d^6+72*b*c^4*d*e^3+a*d^2*c^3*e^3+b^2*c^3*e^4+72*a*d^6*c*e-144*b^2*c*d^4*e^2
+a*d^5*b*e^2-3*d^3*b^3*e^3)
Der erste Faktor von f4 entspricht gerade der Differenz Um – Vm, das Polynom mit dem Index m+3 wurde eliminiert.
21
Ähnlich verläuft der Induktionsbeweis für gerade n=2m, nachzuweisen ist:
6
72 Ψ
Ψ
Ψ
4
144 Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Die Polynome werden wieder durch A,…,E bezeichnet, die Anzahl der durch die Rekursion
bestimmten Polynome erhöht sich, zu a,…,f kommmt hinzu g, die Rekusionsrelationen sind
in Sg zusammengefasst.
>Sg:={A=c*(e*b^2-a*d^2)/(2*y),B=e*c^3-b*d^3,C=d*(f*c^2-b*e^2)/(2*y),D=f*d^3-c*e^3,
E=e*(g*d^2-c*f^2)/(2*y)}:
> Sg2:={op(Sg),y^2=x^3-36*x,y^4=expand((x^3-36*x)^2)}:
> fg1:=factor(subs(Sg2,u-v)):
> fg2:=numer(fg1):
> fg3:=factor(subs(y^2=x^3-36*x,fg2)):
> fg4:=factor(subs(g=((6*x^2-72)*d*e*f-(4*x^3-144*x)*e^3-c*f^2)/d^2,fg3)):
> fg5:=factor(subs(f=((6*x^2-72)*c*d*e-(4*x^3-144*x)*d^3-b*e^2)/c^2,fg4));
fg5
:=
x*(x-6)*(x+6)*(4*d^6*x^3-144*d^6*x+72*c*d^4*e-6*c*d^4*e*x^2+b*d^3*e^2+c^3*e^3)^
2*(a*d^2-144*x*c^3+4*c^3*x^3+72*b*c*d-6*b*x^2*c*d+e*b^2)/c^3
fg5 zeigt, dass die Differenz Un-Vn durch U(m-1) – V(m-1) faktorisiert wird, dabei sind zwei
Eliminationen (f und g) durchgeführt worden.
Da die Gültigkeit von (R) schon für n=3..10 bestätigt wurde, ist der getrennt (gerade und ungerade Indizes) geführte Induktionsbeweis erbracht. 
Eine unmittelbare Konsequenz ist die Teilerfremdheit der Polynome Ψn und Ψn-1 im Ring
[x,y]. Wir beweisen:
Für alle geraden Indizes n>2 sind ψn zu Ψn±1 teilerfremd in
[x].
Beweis.
noch von Ψ3 oder Ψ5 . Daher haben
Offensichtlich sind 0, -6,6 weder Nullstellen von Ψ1
diese Polynome auch keine gemeinsamen Teiler mit 2(x³-36x).
Die Rekursionsdefinition für Ψn mit ungeradem Index n zeigt für n>5, dass entweder der
Minuend oder der Subtrahend einen gemeinsamen Teiler mit 2(x³-36x) hat, weil in diesen
Fällen ein Faktor y4 gebildet wird und die höchsten Koeffizienten gerade sind. Ein Induktionsbeweis sichert daher, dass die Ψ-Polynome mit ungeradem Index teilerfremd zu 2(x³-36x)
sind.
Die Teilerfremdheit von ψ2 und Ψ3 ist trivial, die Teilerfremdheit von ψ4 mit Ψ3 und Ψ5 usw.
bestätigt Maple bis zum Index 30 durch folgendes Protokoll:
>for n from 2 by 2 to 30 do print(n,"
",gcd(expand(fsil(n)/y),fsil(n-1)),"
22
",gcd(expand(fsil(n)/y),fsil(n+1))) od:
2 " " 1 " " 1
4 " " 1 " " 1
6 " " 1 " " 1
8 " " 1 " " 1
10 " "
1 " " 1
12 " "
1 " " 1
14 " "
1 " " 1
16 " "
1 " " 1
18 " "
1 " " 1
20 " "
1 " " 1
22 " "
1 " " 1
24 " "
1 " " 1
26 " "
1 " " 1
28 " "
1 " " 1
30 " "
1 " " 1
Es sei n-2 gerade und die Teilerfremdheit zwischen
und Ψ , Ψ
sen.
Da n-2 gerade ist, erhält man die folgende Relation (Rg) mit Polynomen aus
(Rg)
6
72 Ψ
ψ
Ψ
4
36
ψ
ψ Ψ
schon bewie-
[x]
ψ
Ψ
Ein gemeinsamer Teiler t von
und Ψ müsste auch Teiler von 4
36 ψ
sein.
Da aber, wie eingangs erwähnt, Ψ teilerfremd zu 4(x3-36x)2 ist, müsste t Teiler von
ψ sein. Das ist aufgrund der Induktionsvoraussetzung ausgeschlossen, also liegt
Teilerfremdheit vor.
Da der Index n-1 ungerade ist, kann aus (R) ein Faktor y² herausgezogen werden und es wird
eine einfachere Relation zwischen Polynomen aus [x] erhalten:
(Ru)
6
72 ψ
Ψ
ψ
4Ψ
Ψ
ψ
Ψ
ψ
Ein gemeinsamer Teiler t von
und Ψ müsste auch Teiler von 4Ψ
sein. Da Ψ ganzzahlig nicht durch 2 geteilt werden kann, müsste t sowohl
als auch Ψ
teilen.
Das war vorher ausgeschlossen. Also ist
teilerfremd zu Ψ und Ψ . 
Eine weitere Eigenschaft der Ψ-Polynome ist ihre Teilerrelationentreue, d.h. aus der Teilbarkeit von m durch n folgt die Teilbarkeit von Ψm durch Ψn in [x] bzw. y [x].
Der Zusammenhang ist aufgrund der bisherigen Erkenntnisse nicht direkt herzustellen, erweist sich jedoch als eine Folgerung aus der Vielfachenformel, weil natürlich
(k*n)*(x,y) = k*(n*(x,y))
gelten muss.
Unter Beachtung der Reduktionsmöglichkeit
y²=x³-36x werden - zum Erhalt einer
23
Vielfachenformel - über die Ψ-Polynome Zählerfunktionen Φ und
Für m=1 ist Φ1 = x,
Ω1 = y und sonst, bei Ψ0 = 0 :
Φ
Ψ
Ψ
Ψ
Ω
Ψ
Ψ
Ψ
Ω
Ψ
eingeführt.
/ 4
Wir stellen zunächst fest:
Die Funktionen Φ und Ω sind Polynome aus
[x] oder y [x].
Beweis.
Wenn der bei den Operanden der Φ-Funktionen immer auftretenden Faktor y² durch x³-36x
ersetzt wird, erkennt man leicht, dass nach dieser Substitution Φ aus [x] ist.
Die Ω-Funktionen sind für gerade Indizes m sofort als Elemente aus [x] erkennbar. Für
gerade und ungerade m sind offensichtlich die Polynomgrade der beiden Operanden im Zähler identisch
und die höchsten Koeffizienten werden 4y (m gerade) oder 4y² (m ungerade) . Da die restlichen
Koeffizienten schon als kongruent zu 0(72) erkannt wurden, sind für gerade Indizes m Ω
Elemente aus [x], für ungerade aus y [x]. 
Wir legen fest, für die ungeraden Indizes m zu schreiben
Ω
·
.
Im Unterschied zu den Ψ-Polynomen sind die Φ- und Ω-Polynome normiert.
Da wir schon die Teilerfremdheit von Ψ-Polynomen mit benachbarten Indizes bewiesen
haben, ist auch folgende Aussage bewiesen:
Φn und Ψn²
sind teilerfremde Polynome aus [x].
Die Φ- und Ω-Polynome sind nicht mehr teilerfremd, wie schon die Indizes m=2, 3 und 4
zeigen:
Ω1 = y ,
Φ1 = x,
2
2
Φ2= (x +36) , Ω2= (x +36)(x +12x-36)(x2-12x-36),
Φ3=x(x4+216x2-3888)2,
4
2
4
3
Ω3=y(x +216x -3888)(x -24x -216x2-864x+1296)(x4+24x3-216x2+864x+1296),
Φ4=(x8+720x6-33696x4+933120x2+1679616)2
,
8
6
4
2
Ω4=(x +720x -33696x +933120x +1679616)*
(x8-48x7-432x6-1728x5+49248x4+62208x3-559872x2+2239488x+1679616)*
(x8+48x7-432x6+1728x5+49248x4-62208x3-559872x2-2239488x+1679616)
2
2
Augenfällig sind die quadratischen Grade der Φ-Polynome. Wir beweisen allgemein für Indizes m>0:
Φm sind normierte Polynome aus [x] vom Grade m².
Beweis.
Wenn m ein gerader Index ist, so wird
24
Φm = xy²m²x^(m²-4) - (m+1)(m-1)x^( ((m+1)²-1)/2)x^( ((m-1)²-1)/2)+...
Da xy²= x^4+.. zu beachten ist, wird der führende Term des Minuenden m²x^m².
Für den führenden Term des Subtrahenden erhalten wir (m²-1) x^((2m²+2m-2m)/2), damit
wird der führende Term von Φm gleich x^m², die Φm sind also normierte Polynome vom Grad
m².
Wenn m ein ungerader Index ist, so wird der führende Term des Minuenden ebenfalls
xm²x^(m²-1)= m² x^m²
Für den führenden Term des Subtrahenden ist y² zu berücksichtigen und wir gewinnen
(m²-1)x³ x^( ((m+1)²-4)/2)x^( ((m-1)²-4)/2) = (m²-1) x^m² .
Damit sind die Φm auch für gerade Indizes m normiert vom Grade m². 
Wir wenden uns den Funktionen Ωm zu.
Sei m gerade. Dann ist sowohl m-2 als auch m+2 gerade und wir erhalten
Ωm = (ψm+2 Ψm-1² - ψm-2 Ψm+1² )/4
Der führende Term des Minuenden im Zähler wird
(m+2)(m-1)²x^(((m+2)²-4)/2)x^((m-1)²-1) = (m³-3m+2)x^(3m²/2),
der führende Term des Subtrahenden im Zähler wird
(m-2)(m+1)²x^(((m-2)²-4)/2)x^((m+1)²-1) = (m³-3m-2)x^(3m²/2).
Damit ist Ωm normiert und vom Grad 3m²/2.
Sei m ungerade. Dann ist m-1 und m+1 gerade und wir erhalten für ωm
ωm= (Ψm+2 ψm-1² - Ψm-2 ψm+1² )/4 .
Der führende Term des Minuenden im Zähler wird
(m+2)(m-1)²  x^(((m+2)²-1)/2)x^((m-1)²-4) = (m³-3m+2) x^((m²-1)3/2),
der führende Term des Subtrahenden
(m-2)(m+1)² x^(((m-2)²-1)/2)x^((m+1)²-4) = (m³-3m-2)  x^((m²-1)3/2).
Damit ist ωm normiertes Polynoms vom Grade 3(m²-1)/2.
Für gerade Indizes m ist Ωm ganzzahliges normiertes Polynom vom Grade 3m²/2
und
für ungerade Indizes m ist ωm ganzzahliges normiertes Polynom vom Grade
3(m²-1)/2.
Mit den Zählerpolynomen Φ und Ω und den Nennerpolynomen Ψ lässt sich die
Vielfachenformel formulieren und beweisen.
Für den Index m=1 erhält man durch (Φ1 / Ψ1² , Ω1 /Ψ1 ³ ) = (x,y) ein Lösungspaar zurück
und für m=2 erhält man seine Verdopplung bei y0 :
(Φ2 / Ψ2² , Ω2 /Ψ2 ³ ) = ((x²+36)²/(4y²), (x²+36)(x²+12x-36)(x²-12x-36)/(8y³)),
in Übereinstimmung mit der Verdopplungsformel auf S. 4, wenn y²= x³ -36x substituiert
wird.
Mit den eingeführten Polynomen beweisen wir die Vielfachenrelation in folgender Fassung:
Für alle n>0 und alle Lösungspaare (x,y) der elliptischen Gleichung y²=x³-36x mit y0 gilt
n·(x,y) = (Φn/Ψn2, Ωn/Ψn3).
Für gerade n gilt
25
n·(x,y) =
Für ungerade n gilt
,
Ω
).
n·(x,y) = (Φn(x)/Ψn2(x), yωn(x)/Ψn3(x)).
Auch die Vielfachenformel zeigt, wie schon die Verdopplungsformel, dass die Abszissen der
Vielfachen allein durch die Abszissen der Ausgangspaare bestimmt sind.
Die Vielfachen von (x,y) mit y0 sind also erhältlich durch (R, yS) mit rationalen Funktionen
R,S aus (x). In dieser Fassung ist der Zählergrad von R genau um 1 größer als der
Nennergrad, jedoch ist bei S der Zählergrad gleich dem Nennergrad.
Beweis.
Die oben angegebenen Polynome zeigen die Korrektheit dieser Aussagen für n=1 und n=2.
Maple bestätigt die Vielfachenformel schnell für n=3..8, aber zögerlich beim Ermitteln der
Ordinate im Falle n=9. Die aufgrund der Relation ( R) berechneten Polynome wurden mit
Psi.n bezeichnet, durch Sy werden y-Potenzen mit geradem Exponenten durch x-Ausdrücke
ersetzt. Für die ersten 10 Indizes werden die Φ- und Ω-Polynome berechnet.
> for n from 1 to 10 do i:=n-1:j:=n+1:Phi.n:=expand(x*Psi.n^2-Psi.i*Psi.j):
> Phi.n:=factor(subs(Sy,Phi.n)):
> od:
> for m from 2 to 10 do i:=m+2:j:=m-1:k:=m-2:l:=m+1:
> Omega.m:=(Psi.i*Psi.j^2-Psi.k*Psi.l^2)/4/y:
> Omega.m:=expand(Omega.m):
> od:
Die Terme hx3 und hy3 sind erklärt durch die Addition (x1,y1)+(x2,y2) = (hx3,hy3):
>hl:=(y2-y1)/(x2-x1):hn:=(y1*x2-y2*x1)/(x2-x1):hx3:=hl^2-x1-x2:
> hy3:=-hl*hx3-hn:
> # die Vielfachenformel für n=2..8:
> for n from 2 to 8 do
> E1:=simplify(subs(x1=x,y1=y,x2=Phi.n/Psi.n^2,y2=Omega.n/Psi.n^3,hx3)):
> E1:=factor(subs(Sy,numer(E1)))/factor(subs(Sy,denom(E1))):
> di1:=factor(Phi.(n+1))*denom(E1)-factor(Psi.(n+1)^2)*numer(E1):
> di1:=simplify(subs(Sy,di1)):
> print(n,"..",di1):
> E2:=simplify(subs(x1=x,y1=y,x2=Phi.n/Psi.n^2,y2=Omega.n/Psi.n^3,hy3)):
> E2:=factor(subs(Sy,numer(E2)))/factor(subs(Sy,denom(E2))):
> di2:=factor(Omega.(n+1))*denom(E2)-factor(Psi.(n+1)^3)*numer(E2):
> di2:=simplify(subs(Sy,di2)):
> print(di2):
> od:
2, "..", 0
0
3, "..", 0
0
26
4, "..", 0
0
5, "..", 0
0
6, "..", 0
0
7, "..", 0
0
8, "..", 0
0
Nach dieser ausreichenden Verankerung wird der Induktionsbeweis formal geführt mit
Schluss von m auf m+1. Werden die auftretenden Polynome mit dem Index m durch om,
phim und fm bezeichnet, so finden sich die Definitionsbeziehungen für om und phim wieder
in den Substitutionen von Om und pim gemäß
> Om:=(f."m+2"*f."m-1"^2-f."m-2"*f."m+1"^2)/4/y:
> pim:=x*fm^2-f."m-1"*f."m+1":
Vorauszusetzen ist
m·(x,y)= (phim/fm², om/fm³)
und zu berücksichtigen
om²=phim³-36·phim·fm4.
Um (m+1)·(x,y) zu erhalten, kann die Addition herangezogen werden
(x,y) + (phim/fm², om/fm³).
Setzt man das Result in der Form (hx3,hy3) an, erhält man W als Ausdruck in den Variablen
x,y,phim, om und fm für hx3. Auftretende Potenzen von y werden durch die Substitution Sy
unter Ausnutzung von y²=x³-36x reduziert, man erhält W1. Auftretende Potenzen von om
werden ebenfalls, unter Ausnutzung der Induktionsvoraussetzung, reduziert, man erhält W2.
Schrittweise werden die definierenden Formeln für phim und om eingesetzt, y-Potenzen
werden reduziert. Es resultiert ein rationaler Ausdruck W5 in den Variablen x, f.”m-2" ,..,
f.”m+2". Dieser Ausdruck ist zu vergleichen mit dem Variablenäquivalent zu Φm+1/Ψm+12, das
sich
(x*f.”m+1"^2 - fm*f.”m+2")/f.”m+1"^2
schreiben lässt.
Der Nenner von W5 wird 2*f.“m-1“^2*f.”m+1"^2.
Um nachzuweisen, dass der Zähler 2*f.“m-1“^2*(x*f.“m+1“^2-fm*f.“m+2“) ist, wird die
Differenz diW gebildet. Die Faktoren von diW sind fm und die Differenz aus linker und
rechter Seite der Relation (R) , also ist diW=0 , wie erwartet. Maple-Protokoll:
>W:=simplify(subs(x1=phim/fm^2,y1=om/fm^3,x2=x,y2=y,hx3)):W1:=subs(Sy,numer(W))/d
enom(W):
>
W2:=subs(om^2=phim^3-36*phim*fm^4,om^3=om*(phim^3-36*phim*fm^4),numer(W1))/de
nom(W1):
> W3:=simplify(subs(phim=pim,numer(W2))/subs(phim=pim,denom(W2))):
> W4:=simplify(subs(om=Om,numer(W3))/denom(W3)):
> W5:=simplify(subs(Sy,numer(W4))/denom(W4));
W5 := 1/2 (-144* fm^4 * x – fm* fm+2* fm-1^2 + fm* fm-2* fm+1^2
+ 72* fm^2*
fm-1* fm+1 + 4*x^3* fm ^4 – 6*x^2*fm^2 * fm-1* fm+1 + 2* x* fm-1^2 * fm+1^2 ) /
27
(fm-1^2* fm+1^2 )
/
>
##
es
sollte
W5=
Phi(m+1)/Psi(m+1)^2
numer(W5)=2f(m-1)^2*(xf(m+1)^2-fm*f(m+2)) ###
sein,
also
> diW:=numer(W5)-2*f."m-1"^2*(x*f."m+1"^2-f."m"*f."m+2"):
> factor(diW);
fm (-144* fm^3* x +4* fm^3* x^3 +72* fm-1* fm+1* fm -6* fm* fm-1* x^2* fm+1+fm+2*
fm-1^2 +fm-2 *fm+1^2 )
Etwas komplizierter ist der Nachweis für die zweite Komponente.
Ausgangspunkt ist die Definitionsrelation für Ωm :
4yΩm = Ψm+2Ψm-12 – Ψm-2Ψm+12
Addition von 2Ψm-2 Ψm+1² auf beiden Seiten und Verwendung von der Relation (R) ergibt
4yΩm = (144x-4x³)Ψm 3+(6x²-72)Ψm-1ΨmΨm+1 – 2 Ψm-2Ψm+12
Im folgenden Maple-Protokoll wird der Ausdruck auf der rechten Seite mit t1 bezeichnet und
das Quadrat (yΩm )² mit Au7. Durch Anwendung der Induktionsvoraussetzung entsteht durch
16*Au7-t1² ein Ausdruck in f.”m-2",..,f.”m+1". Er beinhaltet das Nullpolynom und wird
Faktor von diW4, wodurch diW4 ebenfalls das Nullpolynom wird und der Seitenvergleich
die Induktionsbehauptung ergibt.
Ausgangsanweisung ist die zweite Komponente hy3 der Gruppenaddition
(x,y) + (phim/fm^2, om/fm^3) :
>W
:=simplify(subs(x1=phim/fm^2,y1=om/fm^3,x2=x,y2=y,hy3)):
Daraus werden weitere Ausdrücke entwickelt, sodass W rationaler Ausdruck in x,y und einigen f-Indizierungen wird. Potenzen von y und om werden ersetzt.
> W1:=subs(Sy,numer(W))/denom(W):
>W2:=subs(om^2=phim^3-36*phim*fm^4,om^3=om*(phim^3-36*phim*fm^4),numer(W1))/
denom(W1):
> W3:=simplify(subs(phim=pim,numer(W2))/subs(phim=pim,denom(W2))):
> W4:=simplify(subs(om=Om,numer(W3))/denom(W3)):
> W5:=simplify(subs(Sy,numer(W4))/denom(W4)):
> denom(W5);
4* y* f.”m+1"^3*f.”m-1"^3
Der Nenner von W5 enthält also schon den geforderten Faktor f.”m+1"^3.
Nachzuweisen für den Zähler ist also seine Übereinstimmung mit 4y*f.”m-1"^3* o.”m+1" .
Da aufgrund der Definition 4y*o.”m+1"= f.”m+3"*fm^2 - f.”m-1"*f.”m+2"^2 gilt, haben
wir für Wz,den Zähler von W5, die Relation
Wz= f.”m-1"^3*(f.”m+3"*fm^2 - f.”m-1"*f.”m+2"^2)
herzuleiten.
28
> Wz:=numer(W5):
> Wr:=f."m-1"^3*(f."m+3"*fm^2-f."m-1"*f."m+2"^2):
Es wird die Differenz diW gebildet und durch Interpretation eines Faktors als Nullpolynom
die Gleichheit gezeigt.
> diW:=factor(Wz-Wr);
Ein Test wird mit m=4 durchgeführt, um den Nachweis konkret prüfen zu können.
>
diWE:=simplify(subs(f."m-3"=Psi1,f."m-2"=Psi2,f."m-1"=Psi3,fm=Psi4,f."m+1"=Psi5,f."m
+2"=Psi6,f."m+3"=Psi7,diW)):
> simplify(subs(Sy,numer(diWE)));
0
Die in diW enthaltenen Variablen werden über Substitutionen unter Anwendung der Relation
(R) reduziert: Sf3 ersetzt f.”m+3" und Sf2 ersetzt f.”m+2":
> diW3:=factor(subs(Sf3,diW)):
>
Sf2:={f."m+2"=((6*x^2-72)*f."m-1"*fm*f."m+1"-(4*x^3-144*x)*fm^3-f."m-2"*f."m+1"^2)
/(f."m-1"^2)}:
> diW4:=factor(subs(Sf2,diW3)):
In diW4 sind , wie „Anzeige“ zeigt, nur noch die Variablen x und f.”m-2",..., f.”m+1" enthalten:
> Anzeige :=diW4;
Anzeige:= -2*`fm+1`^2*(-4*`fm+1`*`fm-1`^3*x^3+144*`fm+1`*`fm-1`^3*x-1296*`fm-1`^2*
fm^2-4*fm^3*x^3*`fm-2`+144*x*fm^3*`fm-2`-72*`fm+1`*`fm-1`*fm*`fm-2`+6*`fm+1`*fm*`
fm-1`*x^2*`fm-2`-216*x^2*fm^2*`fm-1`^2+3*x^4*fm^2*`fm-1`^2-`fm+1`^2*`fm-2`^2)
Aufgrund der Induktionsvoraussetzung kann y^2*om^2 durch x und f.”m-1",..,f.”m+1" ausgedrückt werden:
> # nach Voraussetzung ist y^2*omega.m^2 = y^2*(Phi.m^3-36*Phi.m*fm^4)
> Anzeige:=expand((x^3-36*x)*(pim^3-36*pim*fm^4));
>
Anzeige:=1296*fm^6*x^2-72*x^4*fm^6+144*x^3*fm^4*`fm-1`*`fm+1`-1296*fm^4*`fm-1`*`fm+1
`*x+x^6*fm^6-3*x^5*fm^4*`fm-1`*`fm+1`+3*x^4*fm^2*`fm-1`^2*`fm+1`^2-108*x^2*fm^2*
`fm-1`^2*`fm+1`^2-`fm-1`^3*`fm+1`^3*x^3+36*`fm-1`^3*`fm+1`^3;
>
> Au7:=Anzeige:
Das folgende Polynom Hilf, die Differenz 16y²om²-t1², ist unter Annahme der Induktionsvoraussetzung für m das Nullpolynom und ein Faktor von diW4, womit die Gleichheit von hy3
mit Ωm+1/ψm+1³ gezeigt ist.
29
>
Hilf:=16*Au7-((144*x-4*x^3)*fm^3+(6*x^2-72)*f."m-1"*f."m"*f."m+1"-2*f."m-2"*f."m+1"
^2)^2:
> Hilf:=expand(Hilf):
>Anzeige:=Hilf;
Anzeige:=
12*x^4*fm^2*`fm-1`^2*`fm+1`^2-864*x^2*fm^2*`fm-1`^2*`fm+1`^2-16*`fm-1`^3*`fm+1`^3
*x^3+576*`fm-1`^3*`fm+1`^3*x-5184*`fm-1`^2*`fm+1`^2*fm^2-16*fm^3*x^3*`fm-2`*`fm+
1`^2+576*x*fm^3*`fm-2`*`fm+1`^2-288*`fm-1`*`fm+1`^3*fm*`fm-2`+24*fm*`fm-1`*x^2*`f
m+1`^3*`fm-2`-4*`fm-2`^2*`fm+1`^4;
Ein Test für Hilf mit m=4:
> simplify(subs(Sy,simplify(subs(f."m-2"=Psi2,f."m-1"=Psi3,fm=Psi4,f."m+1"=Psi5,Hilf))));
0
Hilf ist identisch mit -2*diW4:
> expand(-2*diW4)-Hilf;
0
Damit ist diW4=0 und die Vielfachenformel hergeleitet.

Die ersten 6 Ψ-Polynome zeigen, dass aus der Teilbarkeit der Indizes, die Teilbarkeit der
Polynome im Ring [x] bzw. y [x] folgt. Allgemein beweisen wir als erste Konsequenz
aus der Vielfachenformel:
Sind m und n zwei positive Indizes und wird m von n geteilt, so wird Ψm von Ψn geteilt.
Beweis.
Es sei r eine ganze Zahl positive Zahl und m= r*n. Dann gilt m*(x,y)= r(n*(x,y)) und aufgrund der Vielfachenformel und nach Multiplikation mit Ψn2r² mit a,b aus [x]:
Φr(Φn/Ψn2)·Ψm² = Φm · Ψr²(Φn/Ψn²)
(Φnr²+…+a· Ψn2r²)·Ψm² = Φm·(r²·Φnr²-1· Ψn²+…+b·Ψn2r²)
Auf der rechten Seite kann Ψn² ausdistribuiert werden, auf der linken Seite teilt Ψn² nicht Φn,
also muss Ψm² durch Ψn² teilbar sein.
Dann wird auch Ψm durch Ψn geteilt , wenn m und n ungerade sind, weil [x] ZPE-Ring ist.
Wenn m gerade, aber n ungerade ist, enthält Ψn weder x noch x-6 oder x+6 als Primfaktoren,
wie wir oben eingesehen haben. Daher muss Ψn² auch ψm ² teilen, daher Ψn auch ψm .
Wenn m und n gerade sind, kann y² als gemeinsamer Faktor herausgezogen werden und
ψm ² wird durch ψn² geteilt, also ψm durch ψn , insbesondere dann Ψm durch Ψn . 
Wir beweisen nun, dass Elemente von Primzahlordnung ganzzahlig sein müssen.
Für ungerade Primzahlen p kann p*(x,y)=O nur gelten, wenn x ganzzahlig ist.
Beweis.
Wenn p*(x,y)=O gelten soll, kann nicht y=0 sein, weil es damit nur die 3 Lösungen (0,0),
30
(-6,0), (6,0) aus E gibt und in diesen Fällen ist p*(x,y)=(x,y). Wenn aber y0 ist, muss
Ψp(x) = 0 gelten, sonst wäre p*(x,y) ein rationales Lösungspaar der elliptischen Gleichung,
denn Ψp und Φp , können nicht dieselbe Nullstelle x haben, weil sie teilerfremd sind.
Für x aus E1 kann, wie oben nachgewiesen, Ψp(x) = 0 nur für ganzzahlige x zutreffen. 
Die Ψ-Polynome mit ungeradem Index haben keine ganzzahligen Nullstellen in E1, weil sie
modulo 5 keine Nullstellen in E1 haben , wir beweisen:
Die Polynome Ψn haben modulo 5 für ungerade n keine Nullstellen in E1.
Beweis.
Maple findet für die ungeraden n von 3 bis 29 modulo 5 überhaupt keine Nullstellen.
Allgemein kann die Nichtganzzahligkeit von Nullstellen nur für Elemente aus E1 leicht
nachgewiesen werden.
Es wird ein Induktionsbeweis geführt, die Verankerung großzügig angelegt, sodass die Indizes m+1 und m+2 klein sind gegenüber 2m+1.
Die infrage kommenden Lösungspaare (x,y) der elliptischen Gleichung modulo 5 sind
(0,0), (1,0),(2,1),(2,3),(2,4),(3,3),(4,0).
Da x²+36 mod 5 für x=2,3 kongruent 0 wird, die anderen Lösungspaare aber y=0 enthalten,
ist für alle n, die kongruent 0 modulo 4 sind, und für alle Nullstellen x aus E1 mod 5 auch
yψn(x) kongruent 0 modulo 5, denn yψn wird durch yψ4 geteilt.
Das bedeutet, dass für alle 2m+1 mit geradem m der Term Ψm+2 *Ψm mod 5 verschwindet.
Für die ungeraden Produkte Ψm-1 *Ψm+1 wird die Inkongruenz modulo 5 aufgrund des Induktionsverfahrens vorausgesetzt, dadurch bleibt auch Ψ2m+1 inkongruent 0 modulo 5.
Wenn m ungerade ist, so ist m-1 oder m+1 0(4), also das Produkt Ψm-1 *Ψm+1 für die relevanten Paare kongruent 0 modulo 5. Die Indizes m+2 und m sind beide ungerade und durch die
Induktionsvoraussetzung sind beide Faktoren Ψm+2 und Ψm , damit auch das Produkt, inkongruent 0 modulo 5, also wird auch in diesem Fall Ψ2m+1 inkongruent 0 modulo 5. Damit ist
die Aussage bewiesen. 
Da die Ψ-Polynome mit ungeradem Index modulo 5 keine Nullstellen in E1 haben, können
sie auch keine ganzzahligen Nullstellen in E1 haben. Es gibt daher keine rationalen Lösungspaare von ungerader Primzahlordnung, also außer der Ordnung zwei auch keine weiteren endlicher Ordnung. Wir haben also, zusammengefasst, bewiesen:
Die Torsionsgruppe von E ist die Kleinsche Vierergruppe {O,(0,0),(-6,0),(6,0)}.
Das ist auch das Ergebnis aufgrund der Proposition 6.1 im Kapitel X (es ist hier D=-36) bei
Silverman. Die Gruppe wird dort durch /2 /2 gekennzeichnet.
Daraus ergibt sich eine einfache algebraische Struktur der Lösungsmenge E, weil E/2E nur
aus 8 Elementen besteht. Wir beweisen allgemein:
Wenn die Torsionsgruppe einer abelschen Gruppe G aus einer Kleinschen Vierergruppe V besteht und die Gruppe G/2G 8 Elemente hat, gibt es genau 8 Elemente g
aus G für die G direkte Summe aus V und Z*g ist.
Beweis.
Die Gruppe G besteht offensichtlich nicht nur aus der Vierergruppe V und die Faktorgruppe
31
G/V ist eine freie Gruppe. Nach Sätzen der Algebra (z.B. Kurosch, Gruppentheorie I, S. 117)
ist dann V direkter Summand von G: es gibt also eine freie Gruppe F, die, bis auf die Neutrale O, disjunkt zu V ist, sodass gilt G= V + F. Allerdings ist F nur bis auf Isomorphie festgelegt.
Wenn v1 und v2 verschiedene Elemente aus V sind, so kann es keine Elemente g1, g2 aus G
geben, die v1+2g1 = v2 + 2g2 erfüllen. Es wäre sonst v1-v2 = 2(g2-g1), also 4(g2-g1)=O und
damit g2-g1 Torsionselement, also aus V, damit v1=v2. Verschiedene v1,v2 erzeugen somit
verschiedene Klassen v1+2G, v2+2G. Wir haben durch v+2G und v aus V also 4 Elemente
der Faktorgruppe G/2G.
Sei weiterhin g ein erzeugendes Element aus F, dann sind auch g+v+2G, 4 verschiedene
Restklassen. Es ist nicht unmittelbar ersichtlich, ob sie auch von den 4 Restklassen v+2G
verschieden sind. Zu untersuchen ist daher die Relation
g+ v1 + 2x = v2 + 2y
mit x,y aus G, v1,v2 aus V und g aus F. Verdopplung würde O= -2g + 4(y-x) ergeben.
Es kann y-x nicht aus V sein. Also ist es aus F. Es kann auch y-x kein Vielfaches von g sein,
sonst wäre g Torsionselement. Da F eine Basis haben muss, kann diese Basis aus g und weiteren Erzeugenden e1,…,es zur Darstellung von y-x bestehen. Dann müsste es ganze Zahlen
z, z1,…,zs mit O = -2g + 4z*g+4z1*e1+…+4zs*es geben, g wäre von den Erzeugenden abhängig, die Relation ist nicht erfüllbar, durch g+v+2G und v+2G entstehen insgesamt 8
Klassen der Faktorgruppe G/2G.
Obwohl die Faktorgruppe G/2G schon durch eine einzige Erzeugende festgelegt ist, könnte
die freie Gruppe F außer g noch eine weitere unabhängige Erzeugende g2 haben und es
könnten die Restklassen g2+v+2G mit den schon aufgeführten übereinstimmen, sicherlich
natürlich nicht mit v+2G. Zu untersuchen ist daher die Relation
g2+ v2 + 2x = g + v1 + 2y
mit g,g2 aus F, v1,v2 aus V und x,y aus G. Wie vorhin auch, verdoppeln wir wieder und erhalten
2(g2-g) + 4(x-y) = O.
Da g2-g in F liegt und von O verschieden ist, können wir g2-g zum Ausgang einer Basiswahl
bestimmen, um x-y, das wiederum in F liegt, darzustellen. Mit einem unabhängigen System
g2-g, e1,…,et erhalten wir
2(g2-g) + 4z*(g2-g)+4z1*e1+…+4zt*et = O.
Wie vorhin auch, ließe sich g2-g aus e1,…,et kombinieren, im Widerspruch zur Unabhängigkeit. Wir folgern daraus, dass es in F kein von g unabhängiges Element gibt, G hat den
Rang 1: G = V + g.
Mit g ist natürlich auch –g Erzeugende, weitere Unabhängige aus F gibt es nicht. F ist aber
nicht eindeutig festgelegt: direkte Zerlegungen können auch erhalten werden durch
V+ g+v) und V+ ‐g+v),
wenn v aus V\{O} ist. Das sind insgesamt 8 Erzeugende.
Angenommen, es gibt noch eine davon verschiedene weitere Erzeugende e, dann würde
e = v + k*g, und
g = w + m*e
zu O = (2*m*k - 2)*g führen, daraus ergäbe sich m=k=-1 oder m=k=1, d.h. aber, dass e
zu einem der aufgeführten 8 Fälle gehört. Damit gibt es genau 8 Erzeugende. 
32
Wir bemerken, dass durch die geraden Vielfachen von Erzeugenden g schon die gesamte
2G-Gruppe erzeugt wird. Denn zu jedem x aus 2G gehört ein y mit x = 2y . Wird nun
y = v +k*g verwendet, entsteht x= 2k*g, also ist
2G = Z*(2g).
Die 8 Restklassen modulo 2G sind dann mit solchen Erzeugenden g zu beschreiben
durch
{v + 2k*g  kZ}
und
{v + (2k+1)*g  kZ}, wobei v aus V ist .
Wir gehen nun auf Suche nach den Erzeugenden von E und bemerken zunächst, dass
Elemente mit den quadratfreien Faktoren a=-1, a=-6, a=6 nicht infrage kommen, weil ihre
ungeraden Vielfachen den Faktor a nicht verändern, und durch Addition eines Elements aus
der Vierergruppe V lediglich ein weiteres Element aus V und eine Verdopplung entsteht.
Dadurch kann aber z.B. (-2,-8) nicht erreicht werden.
Somit ist (294, 5040) keine Erzeugende für E.
Die Suche nach den Erzeugenden kann eingeschränkt werden durch Suche unter den Elementen mit negativer Abszisse. Wir beweisen:
Die Erzeugenden von E können durch Elemente mit negativer Abszisse erhalten werden.
Beweis.
Eine Abszisse null kommt nicht infrage, weil (0,0) in der Vierergruppe liegt. Es sei daher
ε erzeugendes Element und ε1 seine positive Abszisse. Mit ε ist, wie vorhin entwickelt, auch
(0,0)+ε eine Erzeugende, deren Abszisse ist aber negativ, denn die Abszisse der Summe
(0,0)+ ε
ergibt -36/ε1. 
Wir versuchen, an eine solche Erzeugende ε durch eine Beziehung zum Lösungspaar (-2,-8)
heranzukommen.
Der quadratfreie ganzzahlige Faktor der Abszisse des Lösungspaars (-2,-8) ist a=-2. Damit
liegt (-2,-8) nicht in der Vierergruppe modulo 2E, denn für Lösungen in diesen Restklassen
sind die a-Zahlen 1,-1,6,-6. Es gibt also nur 4 Möglichkeiten (-2,-8) durch geeignete ungerade Vielfache von ε zu erhalten: v + (2k+1)*ε mit v aus {O, (0,0),(-6,0),(6,0)} und k aus
. Bilden wir daher die Summen (-2,-8)+v mit v aus V, so muss (-2,-8) + v = (2k+1)*ε durch
k und v lösbar sein.
Diese Summen sind
(-2,-8) + O
= (-2,-8)
(-2,-8)+ (0,0) = (18,-72)
(-2,-8)+(-6,0) = (12,36)
(-2,-8) +(6,0) = (-3,9)
und einige müssten ungerades Vielfaches von ε (mit negativer Abszisse) sein.
Für (-2,-8) und (18,-72) müssten wir für die Abszisse -2Q/f² ansetzen, für (12,36) und (-3,9)
aber -3Q/f². Nach der Vielfachenformel müsste mit positivem n also z.B. lösbar sein
33
Φ
Ψ
2
2
2
2
2 18
Es müsste f² den Zähler teilen. Da f² bis auf den ersten Summanden alle anderen
Zählersummanden teilt, besteht diese Möglichkeit nur durch f=1. Unter den ganzzahligen
negativen Lösungsabszissen der Form -2Q findet sich jedoch nur -2, sodass für ε nur die
Paare (-2, 8) möglich sind. Analog kann beim Ansatz -3Q/f² mit den Zielen 12 und -3 auf
f=1 geschlossen werden, sodass nur (-3, 9) infrage kommen. Die Möglichkeiten schließen
sich nicht aus, sondern bedingen einander:
(-2,-8)=- (-2,8) , (-3,9) = -(-3,-9),(-2,-8) (-3,9) mod V.
Es sind also sowohl (-2, 8) als auch (-3, 9) Erzeugende.
Die noch fehlenden weiteren vier erhalten wir , wie vorhin ausgeführt, durch Additionen mit
den Elementen aus der Vierergruppe. Wir fassen zusammen:
Die abelsche Gruppe E hat die Erzeugenden
(-2,±8), (-3,±9),(12,±36), (18,±72).
Das Ergebnis lässt sich auch mit dem Abstiegstheorem (Silverman, S. 199) über abelsche
Gruppen und der üblichen Höhenfunktion konstruktiv gewinnen. Um die aufwändigen Computerrechnungen einzuschränken, ist es ratsam, sich auf negative Abszissen zu konzentrieren
und Ausschlussmöglichkeiten zu berücksichtigen.
III. Teilbarkeitseigenschaften in E
Wenn die quadratfreien ganzzahligen Faktoren a der Elemente aus E1 nicht unbedingt von
struktureller Bedeutung sind, schreiben wir für die Lösungspaare von E in gekürzter Form
(X/f², Y/f³)
mit positiven natürlichen Zahlen f, und dazu teilerfremden ganzen Zahlen X,Y, die untereinander i.Allg. nicht mehr teilerfremd sind, wie an 2*(-2,-8) = (25/4,-35/8) zu sehen ist.
(E1) In der Folge der Abszissen von n*(-2,-8), n>0, wechselt das Vorzeichen.
Die geraden Vielfachen liegen in 2E und daher sind die Abszissen rationale Quadratzahlen,
also positiv, die ungeraden Vielfachen liegen in der Restklasse (-2,-8)+2E , ihr a-Faktor
bleibt a= -2, damit sind sie negativ.
Es sei Xn ,Yn,fn erklärt durch (Xn/fn²,Yn/fn³) = n*(-2,-8), dabei gelte ggT(Xn, fn)=ggT(Yn, fn)=1.
Es ist also Xn für ungerade n immer negativ, sonst immer positiv.
Weiterhin sei fn die positive Quadratwurzel des Nenners der Abszisse von n*(-2,-8).
Für n=1,2,3,4 sind diese Werte 1,2,33,140.
34
(E2)
Für alle ungeraden n ist Xn kongruent 2 modulo 4.
Beweis.
Wir haben eingangs festgestellt, dass in den Darstellungen aQ/f² für die Elemente aus E1, ein
Primfaktor in a nicht mehr in Q vorkommen kann und ggT(aQ,f)=1 gilt. Da die ungeraden
Vielfachen von (-2,-8) in der Restklasse (-2,-8) + 2E liegen, ist ihr a-Faktor -2, dann hat aber
Q keinen Primfaktor 2. 
(E3)
Für gerades n ist fn gerade und Xn positiv und ungerade.
Beweis.
Die Aussage gilt für n=2 mit f2 =2 und X2 = 25. Da (-2,-8) kein Torsionselement ist, müssen
die Abszissen der geraden Vielfachen positive Quadratzahlen sein.
Nach der Verdopplungsformel führt 2*(X/f²,Y/f³) zur Abszisse
36
4
36
und daraus folgt, dass sich die Aussage (E3) von einem geraden n auf 2n vererbt, da der Zähler ungerade und der Nenner das Quadrat von f*2*Y, also gerade, ist.
Ist n ungerade, so wissen wir aus (E2), dass Xn gerade, damit zwar fn ungerade, aber es
auch der Zähler des obigen Quotienten gerade. Wir wenden daher die Verdopplung direkt auf
(-2,-8) an, 2*(-2,-8)=(25/4, -35/8), und untersuchen 2n*(-2,-8) = n*(25/4, - 35/8) mit der Φnund Ψn- Funktion an der Stelle 25/4. Wir wissen, dass Φn normiert vom Grade n² und Ψn²
vom Grade n²-1 mit höchstem Koeffizienten n² ist. Erweitern wir den Ausdruck X2n /f2n²
mit 4^n², erhalten wir für den Zähler einen ganzzahligen Ausdruck der Form
25n*n + 4*an*n-125n*n-1+…+a0*4n*n
,
der wegen der geraden Koeffizienten kongruent zu 1 mod 8 ist und für den Nenner einen
ganzzahligen Ausdruck der Form
n²*25n*n-1*4 + bn*n-2*25n*n-2*4² + … + b0*4n*n,
der offensichtlich durch 4 teilbar ist. Unabhängig von gemeinsamen Teilern beider Ausdrücke bleibt nach Kürzungen der Nenner gerade, der Zähler ungerade. Damit ist (E3) bewiesen.

(E4)
Für alle n>2 und n0 mod 3 ist fn  0 mod 3.
Beweis.
Die Aussage ist korrekt für f1=33 und f3= 2639802, sei n=3k, k>1. Um Aussagen über den
Nenner der Abszisse von n*(-2,-8) zu erhalten, verwenden wir die Tripelformel (X3= -4418)
X3k/f3k2 = Φk(-4418/33²)/Ψk2(-4418/33²).
Wir erweitern den rechten Term mit 33^(2k²) und erhalten für den Zähler
35
(-4418)k*k + 33²*ak*k-1*(-4418)k*k-1+…+a0*332k*k,
der inkongruent zu 0 modulo 9 ist. Der Nenner ist natürlich durch die Erweiterung kongruent
zu 0 modulo 9, also fn  0 mod 3, und bleibt es auch nach Kürzungen gemeinsamer Teiler. 
(E5) Für alle n>0 ist Xn  1 mod 3.
Beweis.
Wir gehen auf die eingangs untersuchten a-Faktoren zurück und setzen Xn=a*Q. Die ungeraden Indizes führen zu a=-2 . Auf S.11 wurde gezeigt, dass dann Q teilerfremd zu 3 ist, daraus
folgt a*Q 1(3). Für gerade Indizes n liegen n*(-2,-8) in 2E, also ist ihre Abszisse bestimmt
durch Q/f². Da für gerade n Xn ungerade ist, könnte Q zwar nicht durch 6, aber durch 3 teilbar
sein. Dann müsste ganzzahlig - nach den Überlegungen auf S. 9 - lösbar sein Q-6f² = u² , damit f einen Teiler 3 haben, dem widerspricht die Teilerfremdheit zwischen Q und f. Es ist
daher Q nicht durch 3 teilbar, also Q  1 mod 3.
(E6)
Für alle ungeraden n ist Xn  4 mod 6.
Beweis.
Im ungeraden Fall haben wir für Xn zu beachten, dass Xn  1 mod 3 und Xn  0 mod 2 gilt.
Gerade Zahlen kongruent zu 1 modulo 3 sind offensichtlich 4,10,16,22,28,..., also modulo 6
kongruent zu 4. 
IV.
Rekursionsformeln für die gekürzten Nenner
Es ist nicht zu erwarten, dass die teilerfremden Zähler Xn und Nenner fn² mit den
Polynomwerten Φn(-2) und Ψn2(-2) übereinstimmen. Andrerseits sind Rekursionsformeln
für die gekürzten Nenner nicht offensichtlich. Wir zeigen im Folgenden, dass sich Rekursionen ergeben, wenn durch geeignete Zweierpotenzen dividiert wird.
Für die folgenden Überlegungen sei gesetzt
en :=Ψn(-2).
Der Vorteil in der Verwendung von en zur Berechnung von fn liegt in der Vermeidung von
Primfaktorzerlegungen: problemlos kann z.B. f300 erhalten werden, wohingegen Maple schon
bei f15 in Schwierigkeiten gerät, um den Wert aus 15*(-2,-8) zu erhalten. Der Vorteil ist aber
nicht nur numerischer sondern auch struktureller Art und führt zu einem Ausschlussargument
für große ganzzahlige Lösungen. Bei den Untersuchungen stößt man häufig auf die Situation,
dass das Vorkommen ungerader Primteiler von Bedeutung ist.
Die Abszisse der Summe (X/f²,Y/f³) + (-2,-8) führt auf einen Ausdruck
-2 + 8f(-3Xf+10f³+2Y)/(X+2f²)²,
wenn der Verdopplungsfall X=-2 und f=1
zu (-2,-8), also mit (-2,8),
entsteht ein glei-
36
cher Ausdruck, lediglich das Vorzeichen vor Y wechselt.
Mit
T1 = -3*X*f + 10*f³ + 2*Y und T2 = -3*X*f + 10*f³ - 2*Y
erhalten wir:
T1-T2 = 4Y, T1+T2 = -6Xf+20f³ = f (20f²-6X) und für das Produkt
(F)
T1*T2 = (25f²- 4X)*(X+2f²)².
(F) gilt auch für X+2f²=0 , weil dafür nur X= -2, f=1 infrage kommt und dann ist T1=0 bei
Y= -8 oder T2=0 bei Y= 8.
Wird dieser Fall ausgeschlossen, muss ein ungerader Primteiler p von X+2f² T1 oder T2
teilen. Würde p>2 sowohl T1 als auch T2 teilen, müsste, da p nicht f teilt,
20f²-6X=32f²-6(X+2f²) von p geteilt werden , also auch f², ein Widerspruch. Daher gilt:
(F1)
Ungerade Primteiler von (X+2f²) 0
teilen entweder T1 oder T2.
Nach der Definition auf S. 33 und aufgrund von (n+1)*(-2,-8)= n*(-2,-8)+(-2,-8) und
(n-1)*(-2,-8) =n*(-2,-8)+ (-2,8) kann die Differenz Xn+1/fn+1² - Xn-1/f n-1² durch die Differenz
der T-Terme, versehen mit dem Faktor 8fn und dem Nenner (Xn +2fn² )² ,ausgedrückt werden,
man erhält dadurch:
(G)
Für alle n>1 ist
32*fn *fn+1²* fn-1²* Yn = (Xn +2fn² )²*(Xn+1 f n-1² -Xn-1 f n+1² ).
Die ungeraden Primteiler von Xn +2fn²  0 sind dadurch Teiler von fn-1 oder fn+1 oder Yn .
Da ein ungerader Primteiler p von Xn +2fn² aber weder Xn -6fn² noch Xn +6fn² noch Xn teilen kann, kommt p als Teiler von Yn nicht infrage. Damit ist gezeigt:
(F2)
Ungerade Primteiler von Xn +2fn²  0 sind Teiler von fn-1 oder fn+1 .

Durch Einsetzen von x=-2 in die Relation (R) erhalten wir eine Relation für die en :
(F3)
-48en-1*en*en+1=256en³+en+2*en-1²+en-2*en+1².

Daraus folgt
(F4)
Für alle n>1 ist ggT(en-1 , en ) eine Zweierpotenz.
Beweis.
Die ersten en-Glieder sind 1, -16,-2112, -573440,11769479168.
Maple zeigt Primfaktorzerlegungen gemeinsamer Teiler der ersten 7 benachbarten Glieder:
>seq(ifactor(gcd(e(n),e(n+1))),n=1..7);
1, (2)^4 , (2)^6 , (2)^14 , (2)^18 , (2)^28 , (2)^36
Hätte jetzt für n>6 en+2 und en+1 einen gemeinsamen ungeraden Primteiler, so würde sich aus
(F3) ergeben, dass auch en mit en+1 einen ungeraden Primteiler haben müsste. Das würde sich
nach unten hin weiterfolgern lassen. Es entstünde ein Widerspruch. 
Wir folgern aus (F4), dass auch die gemeinsamen Teiler von Φn(-2) und en nur Zweierpotenzen sein können.
37
(F5)
Für alle n hat Φn(-2) mit en keinen ungeraden Primteiler gemeinsam.
Beweis.
Ein ungerader Primteiler von en , der auch -2en ² - en-1*en+1 = Φn(-2) teilt, müsste en-1 oder en+1
teilen, das schließt aber (F4) aus, also gilt (F5). 
Um kürzer formulieren zu können, treffen wir folgende Verabredung:
Für ganze Zahlen g soll der Exponent des Primfaktors 2 in g mit z(g) bezeichnet werden.
(F6)
Für ungerade n ist z(en ) = 3*(n²-1)/4 und für gerade n ist z(en) > 3*n²/4.
Beweis.
Der gerade Fall wird später präzisiert. Mit den obigen Daten wird (F6) bestätigt:
z(e1)=0, z(e2)=4, z(e3)=6,z(e4)=14, z(e5)=18.
Es liegen also Verankerungen vor, um einen Induktionsbeweis führen zu können.
Sei n>2 eine gerade natürliche Zahl und (F6) für alle kleineren als n+2 gültig.
Die Zahl n-1 ist ungerade und daher gilt nach Induktionsvoraussetzung z(en±1 ) = 3*(n²±2n)/4.
Aus (F3) erhalten wir
en+2 en-1² = -48en-1 en en+1 -256en³ - en-2 en+1 ²
und daraus einen Mindestwert für den Zweierexponenten der rechten Seite. Wir haben
z(48en-1 en en+1 ) > 4+3*(n²-2n)/4 + 3*n²/4 + 3*(n²+2n)/4 = 4+ 9n²/4 ,
z(256en³ ) > 8 + 9n²/4 und
z(en-2 en+1 ² )> 3(n²-4n+4)/4 + 6(n²+2n)/4 = 3 + 9n²/4.
Dadurch wird z(en+2 ) > 3 + 9n²/4 - 6(n²-2n)/4 = 3+ 3n²/4 + 3n = 3(n+2)²/4, wie behauptet.
Es sei n>3 eine ungerade Zahl und (F6) für alle kleineren Zahlen als n+2 gültig.
Wir wenden jetzt die Rekursionsformel für die Ψ-Polynome mit ungeraden Indizes an und
erhalten in unserem Fall bei n=2k+1die Relation
e2k+1 = ek+2 *ek³
- ek-1 *ek+1 ³ .
Sei k ungerade, dann ist z(ek+2 *ek³ ) = 3(k²+4k+3)/4 + 9(k²-1)/4= 3(k²+k) und
z(ek-1 *ek+1 ³ ) > 3(k²-2k+1)/4 + 9(k²+2k+1)/4 = 3k² + 3k + 3, somit
z(e2k+1 ) = 3k²+3k = 3((2k+1)²-1)/4,
wie behauptet.
Sei k gerade, dann ist z(ek+2 *ek³ ) > 3(k²+4k+4)/4 + 9k²/4 = 3k² + 3k + 3 und
z(ek-1 *ek+1 ³ ) = 3(k²-2k)/4 + 9(k²+2k)/4 = 3k² + 3k, somit z(e2k+1 ) = 3k² + 3k, wie behauptet.
Durch (F6) ist ein Weg aufgezeigt, auch für die gekürzten Nenner Rekursionsformeln
zu finden. Wir machen Gebrauch von folgenden Relationen:
(F7) Für alle k>0
gilt
f2k+1= |e2k+1|/8k(k+1)
und
f2k= |e2k|/8k*k
X2k+1=Φ2k+1(-2)/82k(k+1) und X2k =Φ2k(-2)/82k*k
38
Y2k+1=signum(e2k+1)*Ω2k+1(-2)/83k(k+1) und
Y2k = signum(e2k)*Ω2k(-2)/83k*k.
Beweis.
Wir haben in der Relation Xn/fn² = Φn(-2)/en² auf der linken Seite eine gekürzte, auf der rechten Seite eine ungekürzte Darstellung der Abszisse von n*(-2,-8).
Wenn aus dem ungekürzten Quotienten Φn(-2)/en² ein ungerader Primfaktor herausgekürzt
werden könnte, müsste dieser Faktor sowohl in Φn(-2) als auch in en² vorkommen. Das widerspricht (F5). Es kann also nur Kürzungen mit Zweierpotenzen geben.
Für ungerade n ist z(2*en² ) = 1+3(n²-1)/2 = (3n²-1)/2 und
z(en-1 * en+1 ) > 3(n²-2n+1)/4 + 3(n²+2n+1)/4 = (3n²+3)/2,
also wird z(Φn(-2))= (3n²-1)/2. Dadurch kann nur maximal mit dem Zweierexponenten
3(n²-1)/2 gekürzt werden, der Nenner wird erwartungsgemäß ungerade, der Zähler gerade.
Setzt man n=2k+1 wird dieser Exponent 3(4k²+4k)/2 = 6k² + 6k = 2*3*(k²+k), d.h. es kann en
durch 8^(k²+k) geteilt werden.
Wenn n gerade ist, wird z(2*en² ) > 1+3n²/2 und
z(en-1 * en+1 ) = 3(n²-2n)/4 + 3(n²+2n)/4 = 3n²/2,
damit z(Φn(-2))= 3n²/2. Es kann mit dem Zweierexponenten 3n²/2 gekürzt werden, der
Zähler wird ungerade, der Nenner gerade. Setzt man n=2k, wird 3*4*k²/2 = 6*k² = 2*3*k²,
also en durch 8^k² teilbar, es verbleiben aber noch weitere Zweierfaktoren in fn , der Zähler
wird jedoch ungerade, wie gefordert. Die Aussage für Xn ist offensichtlich.
Für die Ordinaten ist in der gekürzten Fassung zu beachten, dass die Nenner fn per Definition
positiv sind, was für die en jedoch nicht allgemein gilt. Zwei Relationen sind heranzuziehen:
Yn² = Xn³ - 36*Xn*fn4 und Ωn(-2)² = Φn(-2)³ - 36*Φn(-2)*en4.
Ωn(-2) und Φn(-2) könnten gemeinsame ungerade Primfaktoren haben, nicht aber Ωn(-2) und
en. Es gibt zwischen Ωn(-2) und en nur gemeinsame Zweierpotenzen.
Für ungerade n=2k+1 war en²= 8k(k+1)2*fn2 und Φn(-2) = 8k2(k+1)*Xn . Daraus folgt
Ωn(-2)² = Yn2 *86k(k+1).
Zwar ist, weil Xn gerade ist, z( Ωn(-2)²)>18k(k+1), aber der Quotient Ωn(-2)/en3 nicht weiter
kürzbar, weil das gerade Yn teilerfremd zu fn ist.
Für gerade n=2k erhält man analog
Ωn(-2)² = Yn2 *86k*k.
Da in diesem Fall Yn ungerade ist, gilt z(Ωn(-2)²)= 6k². Weitere Zweierpotenzen sind aus dem
Quotienten Ωn(-2)/en3 nicht herauszuziehen, fn ist gerade.
Das Vorzeichen der Ordinate von n*(-2,-8) ist in beiden Fällen bestimmt durch das Vorzeichen von Yn , das nur dann mit dem Vorzeichen von Ωn(-2) übereinstimmt, wenn en positiv
ist. Das schließt den Beweis.
Im folgenden Maple-Protokoll wird die Übereinstimmung für die ersten Indizes angezeigt.
Die Werte für fn, Xn,Yn sind in den Listen LNeu, XNeu, YNeu an den (n+1)-ten Positionen
zu finden, weil an erster Stelle das neutrale Element steht. Ωn(-2) und Φn(-2) sind nicht extra
ausgewiesen, sondern durch die Ausdrücke -32*Ωn(-2) = en+2*en-1² - en-2*en+1² und
39
Φn(-2) = -2*en2 – en-1*en+1 implizit berücksichtigt:
> LNeu[2..10];
[1, 2, 33, 140, 44897, 2639802, 1657367489, 483435791720, 2928574368531009]
> seq(e(n),n=1..7);
1, -16, -2112, -573440, 11769479168, 354308226809856,-113893426603338235904
> seq(e(2*n-1)/8^(n^2-n),n=1..5);
1,-33,44897,-1657367489,2928574368531009
> seq(e(2*n)/8^(n^2),n=1..4);
-2, -140, 2639802,483435791720
> XNeu[2..10];
[-2, 25, -4418, 1442401, -1074902978, 60473718955225,-15703132146020645762,
4386303618090112563849601, -8209232305198929306221504642]
> seq((-2*e(2*n-1)^2-e(2*n-2)*e(2*n))/8^(2*n^2-2*n),n=1..5);
-2, -4418, -1074902978, -15703132146020645762, -8209232305198929306221504642
> seq((-2*e(2*n)^2-e(2*n-1)*e(2*n+1))/8^(2*n^2),n=1..4);
25, 1442401, 60473718955225, 4386303618090112563849601
> seq(YNeu[2*k+1],k=1..4);
-35,1726556399,-339760634079313268605, 8704369109085580828275935650626254401
> seq(-signum(e(2*k))*(e(2*k+2)*e(2*k-1)^2-e(2*k-2)*e(2*k+1)^2)/32/8^(3*k^2),k=1..4);
-35,1726556399,-339760634079313268605, 8704369109085580828275935650626254401
> seq(YNeu[2*k+2],k=1..4);
319976, -394955797978664, 19830090239372020077660464072,
-4662459062967572474829312235508936373992791112
>seq(-signum(e(2*k+1))*(e(2*k+3)*e(2*k)^2-e(2*k-1)*e(2*k+2)^2)/32/8^(3*k^2+3*k),k=1.
.4);
319976, -394955797978664, 19830090239372020077660464072,
-4662459062967572474829312235508936373992791112
Obwohl die en für große Indizes n sehr hohe Potenzen von 2 enthalten, sind sie selbst i.Allg.
keine reinen Potenzen von 2. Es gilt aber:
(F8)
Für alle n haben en und en+2 keinen ungeraden gemeinsamen Primfaktor.
Beweis.
Aufgrund von (F3) und (F4) würde ein ungerader Primfaktor von en und en+2
auch einen solchen für en und en-2 oder en und en+1 zur Folge haben. Beides ist ausgeschlossen, das eine durch Induktionsvoraussetzung, das andere durch (F4). 
Daraus folgt sofort:
40
(F9)
Für alle n haben fn und fn+2 keine gemeinsamen ungeraden Primfaktoren. 
Für gerade Indizes n sind allerdings sowohl fn als auch fn+2 gerade. Wir erhalten eine Verschärfung von (F2):
(F10)
fn+1.
Die ungeraden Primfaktoren von Xn + 2fn ² 0 sind entweder Teiler von fn-1 oder von
Da benachbarte Nenner fn entweder gerade oder ungerade sind, folgt aus (F4):
(F11)
Für alle n sind fn und fn+1 teilerfremd.

Aus der Relation Φn(-2)= -2en2-en-1*en+1 erhält man für gerade Indizes n=2k, dann ist
Φn(-2)>0, durch (F7) die Relation :
Xn + 2fn ² = fn-1 * fn+1 .
Ein positiver oder negativer Faktor 8 kommt rechts hinzu, wenn der Index ungerade ist.
Wir beweisen:
(F12) Für alle ungeraden n gilt Xn + 2fn ² =
±8* fn-1 * fn+1 , sonst
Xn + 2fn ² = fn-1 * fn+1 .
Beweis.
Wir erhalten mit n=2k+1 und (F7) für Xn + 2fn ² die Relation
(-2e2k+12-e2k*e2k+2+2*e2k+12)/82k(k+1)= (-8*e2k*e2k+2)/(8k*k*8k*k+2k+1)
Bis auf ein von den e-Termen abhängendem Vorzeichen ist das rechts ±8* fn-1 * fn+1 .

Überraschenderweise können nicht nur die Nennerzahlen fn durch ihre Vorgänger berechnet
werden, sondern auch die in (F) eingeführten Terme T1 und T2 allein aus Nennern mit benachbarten Indizes.
(F13) Für alle ungeraden n gilt T1= 8*fn-1 ² * fn+2 und T2 = 8*fn+1 ² * fn-2 .
Beweis.
Zu untersuchen sind die Ausdrücke T1 = -3Xnfn +10fn³ +2Yn und T2= -3Xnfn +10fn³ -2Yn.
Sei n=2k+1, dann ist nach (E1) Xn <0 , aber Xn±1 > 0 und Φn±1(-2) > 0, also
müssen wegen Φn±1(-2) = -2*en±1² - en* en±2 >0 die Produkte en * en+2 und en * en-2 negativ sein.
Sei en >0, damit sind en+2 und en-2 negativ. Multiplikation von T1 mit
aufgrund von (F7)
N=8^(3k²+3k) liefert
N*T1=-3*(-2e2k+12-e2k*e2k+2)*e2k+1+10*e2k+13+( e2k-1 *e2k+22-e2k+3*e2k2 )/16 =
16e2k+13 + 3 e2k*e2k+1*e2k+2+( e2k-1 *e2k+22-e2k+3*e2k2 )/16
und nach Ersetzen von 3e2ke2k+1e2k+2 aufgrund von (F3) daraus
N* T1=
- e2k+3 *e2k² /8 , und
mit f2k+3 = - e2k+3 /8^(k²+3k+2) und f2k ² = e2k² /8^(2k²) somit
41
T1 = 8*fn+2 * fn-1².
Analog verläuft die Rechnung mit T2 und liefert N*T2 = -e2k-1 *e2k+2² /8.
Daraus entsteht
T2 = 8*fn-2 * fn+1².
Wenn en <0 anzunehmen ist, sind en+2 und en-2 positiv und nach (F7) haben wir
f n = -en /8^(k²+k) und N*32*Yn= en+2 *en-1 ² - en-2 *en+1 ² .
Dann folgt
N*T1= 3*(-2e2k+12-e2k*e2k+2)*e2k+1-10*e2k+13-( e2k-1 *e2k+22-e2k+3*e2k2 )/16 =
-16e2k+13 - 3e2k*e2k+1*e2k+2-( e2k-1 *e2k+22-e2k+3*e2k2 )/16
und durch Ersetzen von e2k*e2k+1*e2k+2 nach (F3)
N* T1=
e2k+3 *e2k² /8,
schließlich mit (F7)
T1 = 8*fn+2 * fn-1².
Analog wird
N*T2= e2k-1 *e2k+2² /8 und,
weil auch e2k-1 positiv ist, somit
T2 =8*fn-2 * fn+1².

Für das Produkt T1*T2 erhalten wir aus (F13) für ungerade Indizes 64*fn-2*fn+2*fn-12*fn+12.
Dadurch gewinnen wir aus (F) und (F12)
(F14) Für alle ungeraden n>1 gilt 25*fn² - 4*Xn = fn-2 * fn+2.
Eine Konsequenz, zunächst für ungerade Indizes, daraus ist:
(F15) Für alle ungeraden n>1
gilt en+2 * en-2 = 2112*en ² +256*en-1 * en+1.
Beweis.
Für ungerade n ist, wie vorher auch ausgenutzt, das Produkt aus en+2 und en sowie aus
en-2 und en jeweils negativ. Dadurch ist aber das Produkt en+2 * en-2 für alle ungeraden n
immer positiv. Sei n=2k+1. Dann ist n-2 = 2k-1, n+2=2k+3 und das Produkt fn-2 * fn+2 wird:
en-2 * en+2 /(8^(k²-k)*8^(k²+3k+2)) = en-2 * en+2 /8^(2k²+2k+2).
42
Die linke Seite der Relation (F14) multiplizieren wir mit 8^(2k²+2k) und gewinnen
25*en² - 4*(-2en² - en-1 *en+1 ) = 33en ² + 4*en-1 *en+1 . Multiplikation mit 8² bringt (F15). 
Wir versuchen (F15) auch für gerade n unter Verallgemeinerung von (F14) nachzuweisen.
Für gerade Indizes n kann (F14) offensichtlich nicht generell gelten, weil z.B. Xn gegenüber
fn sehr groß werden kann, sodass die linke Seite negativ wird. (F16) zeigt, dass ein negatives Vorzeichen der einzige Defekt gegenüber dem ungeraden Fall ist. Wir beweisen:
(F16)
Für alle geraden n>0 gilt
T1 = fn-1 ² * fn+2 * signum(- en+2) und T2 =fn+1 ² *fn-2*signum(-en-2) für en > 0 und
T1 = fn-1 ² * fn+2 * signum( en+2)
und T2 =fn+1 ² *fn-2*signum(en-2) für en < 0.
Beweis.
Sei n=2k und en positiv. Mit N=8^(3k²) wird wie im ungeraden Fall ein Ausdruck in den
e-Termen erhalten
N*T1 = -3*(-2e2k2-e2k-1*e2k+1)*e2k+10*e2k3+(e2k-2 *e2k+12-e2k+2*e2k-12 )/16
= 16e2k3 + 3 e2k-1*e2k*e2k+1+(e2k-2 *e2k+12-e2k+2*e2k-12 )/16
und durch Ersetzen von 3e2k-1*e2k*e2k+1 nach (F3)
N*T1 = -e2k+2*e2k-12 /8.
Im Unterschied zum ungeraden Fall kann aus dem Vorzeichen von e2k nicht unmittelbar auf
das Vorzeichen von e2k+2 geschlossen werden. Deshalb folgt aus (F7) nur
T1 = f2k+2 *f2k-1² * signum(-e2k+2 ).
Analog erhält man
T2 = f2k-2 *f2k+1² * signum(-e2k-2 ).
Ist e2k negativ, so wird f2k= -e2k*8k*k und N*T1 = e2k+2 *e2k-1²/8. Daraus folgt
T1 = f2k+2 *f2k-1² * signum(e2k+2 ) und
T2 = f2k-2 *f2k+1² * signum(e2k-2 ), wie behauptet.

Dadurch entsteht für den Ausdruck 25*fn² - 4*Xn im geraden Fall nur eine kleine Variante
gegenüber dem ungeraden:
(F17)
Für alle geraden n>2 gilt 25*fn² - 4*Xn = fn-2 * fn+2 * signum(en-2 * en+2 ).
Beweis.
Für gerade Indizes n ist Xn positiv, also Xn+2*fn² von null verschieden, nach (F),(F12) und
(F16) ist daher 25*fn² - 4*Xn = T1*T2/(Xn + 2*fn² )² = fn-2 * fn+2 * signum(en-2 * en+2 ). 
43
Sei nun n=2k und N=8^(2k²). Nach Multiplikation der Gleichung (F17)
dung von (F7) wird erhalten
25*en²
mit N und Anwen-
- 4(-2*en² -en-1 * en+1) = (en-2 * en+2 )/ 8².
Durch Multiplikation mit 8² folgt damit (F15) auch für gerade Indizes gilt, insgesamt also:
(F18)
Für alle n>2 gilt en+2 * en-2 = 2112*en ² +256*en-1 * en+1.

Die Verdopplungsformel zur Berechnung von 2*(x,y) führt auch zu einer Rekursionsrelation
für die Φ-Polynome, denn:
Für alle Indizes n>0 gilt : Φ2n
(F19):
Φn2 36*Ψn4 2.
Beweis:
Die Verdopplungsformel 2*(x,y) erhalten wir durch die Quotienten Φ2/Ψ2² und Ω2/Ψ2³.
Da (Φ2n/Ψ2n², Ω2n/Ψ2n³) die Verdopplung von (Φn/Ψn², Ωn/Ψn³) ist, wird somit
Φ2n/Ψ2n² = Φn2 36*Ψn4 2/ 4* Ψn2* Ωn2).
Aus den definierenden Rekursionen für die Ψ-Polynome geht die Identität der Nenner hervor,
damit sind auch die Zähler identisch. Das beweist (F19), es folgt jedoch daraus nicht die
Teilerfremdheit von Ωn und Φn , die alllgemein nicht gegeben ist, wie oben schon gezeigt
wurde. 
Um aus (F19) Schlüsse für rationale Zahlen ziehen zu können, untersuchen wir zunächst die
Situation für die Nenner, die sich für gerade und ungerade Indizes unterschiedlich darstellt.
(F20) Für alle ungeraden n ist f2n=fn|Yn|/4, für alle geraden n ist f2n= 2fn|Yn|.
Beweis.
Wir gehen auf die Ausdrücke (F7) zurück und erhalten für gerade n und Beachtung von
|Yn| = |Ωn(-2)|/8^(3n²/4) und der Rekursionsdefinition e2n= en*2Ωn(-2):
f2n= |e2n|/8^n² = 2|en||Ωn(-2)|/8^n² = 2 (|en|/8^(n²/4))  (|Ωn(-2)|/8^(3n²/4)) = 2 fn  |Yn|.
Für ungerade n erhalten wir :
f2n= |e2n|/8^n² = 2|en||Ωn(-2)|/8^n² = 2 (|en|/8^(n²/4-1/4))  (|Ωn(-2)|/8^(3n²/4-3/4)  1/8 =
= fn  |Yn|/4 .

Wir erhalten dadurch:
(F21)
Für alle ungeraden n ist 64 X2n = (Xn²+36 fn4 )² , für alle geraden n gilt X2n = (Xn²+36 fn4 )² .
Beweis.
Die Abszisse der Verdopplung von (Xn/fn2, Yn/fn3) führt zur Relation
44
X2n/f2n2 = (Xn2/fn4+36)²/(4*Yn2/fn6) = (Xn²+36 fn4 )²/(4*Yn2*fn2) und
(F21) ist direkte Folgerung aus (F20). 
Gehen wir auf die Definition der Ω-Funktionen zurück, so erhalten wir bei x=-2, y= -8
:
- 32*Ωn(-2) = en-1²* en+2 - en-2*en+1² .
Wenn n ungerade ist, n=2k+1, wird daraus nach (F7) und mit der Vorzeichenfunktion σ:
-32*Yn *σ(en) *8^(3k²+3k)= fn-1²*fn+2*σ(en+2)*8^(2k²+k²+3k+2)
- fn-2*fn+1²*σ(en-2)*8^(k²-k+2k²+4k+2).
Wir haben schon nachgewiesen, dass die Vorzeichen bei den ungeraden Indizes von en alternieren, deshalb erhalten wir:
(F22)
Für alle ungeraden n gilt
Yn = 2*( fn-1²*fn+2 - fn-2*fn+1²).
(F22) zeigt, dass für ungerade n Yn kongruent 0 modulo 8, also z(Yn) 3 ist. Aus
Y²=X³-36Xf4 ist nicht sofort ersichtlich, dass höhere Exponenten als 3 nicht möglich sind,
weil Differenzen ungerader Quadrate durchaus kongruent zu 0 modulo 32 sein können. Wir
führen daher einen Beweis über z(en) und zeigen:
(F23)
Für alle n>0 ist z(en) = z(n) +3*[n²/4] .
Beweis.
Für ungerade n haben wir das schon in (F6) nachgewiesen. Für gerade n unterscheiden
wir n0 mod 4 und n 2 mod 4. Für die ersten geraden Indizes 2,4,6 zeigt
1+3*[2²/4] = 4, 2+3*[4²/4] =14, 1+3*[6²/4] = 28 die Richtigkeit durch die von Maple ermittelten größten gemeinsamen Teiler auf S.36.
Um den Nachweis für n=8 zu führen, setzen wir allgemein n= 2k, k gerade, an und erhalten aus (F18) für die Summanden der rechten Seite und der Gültigkeit für Indizes kleiner als
n+2: z(2112*en² ) = 6 + 2*3*k²+ 2*z(n) = 6 + 6k² + 2*z(n) und
z(256*en-1 * en+1 ) = 8 + 3(k²-k) + 3(k²+k) = 8 + 6k² .
Da z(n) größer als 1 ist, schließen wir, dass der Zweierexponent der rechten Seite nur 8+6k²
sein kann. Auf der linken Seite haben wir z(n±2)= 1 und, voraussetzbar,
z(en-2 ) = 1 + 3(k² -2k +1) = 3k² - 6k +4.
Dann bleibt
z(en+2 )=8+6k²-3k²+6k-4=3k²+6k+4 = 3(k²+2k+1)+1 = z(n+2)+3[(n+2)²/4] .
Für ungerade k versagt dieser Schluss, weil auf der rechten Seite von (F18) noch weitere
Zweierfaktoren ausdistribuierbar sind.
Um die Gültigkeit z.B. auch für n=10 nachzuweisen, gehen wir auf die definierende Rekursionsformel zurück, die Gültigkeit für kleinere n voraussetzend:
e2k = (ek *ek+2*ek-1² - ek * ek-2 *ek+1²)/(-16).
Wenn k ungerade ist, haben wir z(k)=z(k+2)=z(k-2)=0 und z(k-1)z(k+1), wobei entweder
z(k+1)=1 oder z(k-1)=1 gilt. Die Summanden im Einzelnen mit k=2m+1:
z( ek+2*ek-1² ) = 3(m²+3m+2) + 2z(k-1) + 2*3m²= 9m²+9m+6+2z(k-1)
z(ek-2 *ek+1²) = 3(m²- m) + 2z(k+1) + 2*3(m²+2m+1)=9m²+9m+6+2z(k+1)
z(ek) = 3(m² + m) .
Somit ist
45
z(e2k ) = 12m² + 12m + 6 + 2 - 4 = 12m² + 12m +4.
Da wir 3*(2m+1)² = 12m² + 12m + 3 und z(2k)=1 haben, ergibt sich die Behauptung.

Aus (F23) erhalten wir mittels (F7) einen einfachen Zusammenhang zwischen den Zweierexponenten der Nenner fn und den Zweierexponenten der Indizes n:
(F24)
Für alle n>0 ist z(fn ) = z(n).
Weil für ungerade n entweder z(n-1)=1 oder z(n+1)=1 gilt, erhalten wir aus (F24) und (F22),
dass die Zählerordinaten Yn entweder ungerade sind oder genau 8 der Zweierfaktor ist:
(F25)
Für alle geraden Indizes n ist z(Yn )= 0, für alle ungeraden z(Yn )= 3.
DieTeilerrelationentreue der Ψ-Polynome zieht natürlich die Teilerrelationentreue der en
nach sich:
wenn m durch n geteilt wird, so auch em durch en .
Aus (F24) lässt sich folgern, dass auch die gekürzten Nenner fn teilerrelationentreu sind.
Wir beweisen:
(F26)
Wenn m durch n geteilt wird, so auch fm durch
fn .
Beweis.
Die ungeraden Primfaktoren kommen in en,m und fn,m in gleicher Vielfachheit vor.
Wegen der Teilerrelationentreue sind Vielfache ungerader Primfaktoren von en auch Vielfache ungerader Primfaktoren von em , damit sind die Vielfachen ungerader Primfaktoren von
fn auch Vielfache ungerader Primfaktoren von fm und es bleibt nur noch nachzuweisen, dass
z(m) nicht kleiner ist als z(n), das geht aber aus der Teilbarkeit von m durch n hervor. 
Auch die Umkehrung von (F26) lässt sich beweisen:
(F27)
Wenn m und n positiv und teilerfremd sind, so auch
fm und
fn .
Beweis.
Die Aussage ist offensichtlich richtig für m=1 oder n=1. Sind m und n größer als 1 und teilerfremd, so lässt sich die eins mit ganzen Zahlen a und b kombinieren:
1 = a*m + b*n,
dabei sind die Zahlen r= a*m und s=b*n positiv und nur um eins voneinander verschieden. Nach (F11) sind dann fr und fs teilerfremd, dann auch nach (F26) fm und fn .
Zu beachten ist, dass aus der Teilerrelationentreue nicht die Multiplikativität folgt, z.B. ist
f3*f5  f15 .
Durch (F22) konnten die Ordinaten Y mit ungeradem Index allein aus den Nennern ermittelt
werden. Der Nachweis nutzte wesentlich das alternierende Vorzeichenverhalten der e-Zahlen
mit ungeradem Index aus. Für gerade Indizes ist das Vorzeichenverhalten jedoch unübersichtlich, wir legen deshalb eine andere Relation zugrunde und beweisen:
(F28)
Beweis:
Für gerade positive Indizes n>3 gilt Yn = (fn+1³*fn-3 - fn-1³*fn+3)/(128*fn).
46
Für gerade Indizes n liefert (F12) Xn +2fn² = fn+1 * fn-1 und somit (G)
32*fn *Yn = Xn+1*f n-1² -Xn-1*f n+1² .
Da n+1 und n-1 ungerade sind, folgt aus (F15) Xn+1 = (25fn+1² -fn-1*fn+3)/4 und
Xn-1 = (25fn-1² -fn-3*f n+1)/4, dadurch weiter 128*fn *Yn = -fn-1³f n+3 + fn-3 f n+1³ , wie behauptet.

Die bisherigen Formeln ermöglichen schon, die X,Y,f-Zahlen ohne die stark anwachsenden
e-Zahlen zu verwenden. Die definierenden Rekursionen für die e-Zahlen erlauben jedoch eine
Übertragung auf die f-Zahlen nur über e-Vorzeichen. Spätere Überlegungen machen durch
Verwendung eines geeigneten Moduls die genaue Kenntnis entbehrlich .
Wir verwenden deshalb lediglich folgende Version ohne Bezug auf e-Vorzeichen und beweisen:
F(29) Für n 3(4) und m=(n-1)/2 gilt fn= fm+2*fm3 8*fm-1*fm+13 und
für n 1(4) und m=(n-1)/2
fn= fm-1*fm+13 8*fm+2*fm3.
Beweis:
Ausgangspunkt der Überlegungen ist die e-Rekursion
e2m+1 = em+2*em3 – em-1*em+13.
Wenn m gerade ist, wird σ(em-1*em+1³) = -1 und σ(e2m+1 ) = 1. Das Vorzeichen des Minuenden
ist von den e-Vorzeichen abhängig.
Aus (F7) erhalten wir mit m= 2k:
e2m+1 = f2m+1 * 8^(m²+m)
e m-1*em+1³ = - fm-1*fm+1³ *8^(k²-k)*8^(3k²+3k)
em+2*em³ = ± fm+2*fm³ * 8^(k²+2k+1)*8^(3k²)
und daraus
f2m+1 = fm-1*fm+1³ ± fm+2*fm³ * 8 .
Wenn m ungerade ist, wird σ(em+2*em³) = -1 und σ(e2m+1 ) = -1. Das Vorzeichen des
Subtrahenden ist von den e-Vorzeichen abhängig. Mit m = 2k+1 folgt
e2m+1 = -f2m+1 * 8^(m²+m) = -f2m+1 * 8^(4k²+6k+2)
em-1*em+1³ =± fm-1*fm+1³ *8^(k²)*8^(3k²+6k+3) = ± fm-1*fm+1³ *8^(4k²+6k+3)
em+2*em³ = - fm+2*fm³ * 8^(k²+3k+2)*8^(3k² + 3k)= - fm+2*fm³ * 8^(4k²+6k+2)
und daraus
f2m+1 = fm+2*fm³ ± fm-1*fm+1³ *8 .

Aus der Relation (F18) kann für die gekürzten Nenner eine Rekursion hergeleitet werden,
die nur von den jeweils 4 unmittelbaren Vorgängern abhängig ist. Eine Teilerrelation macht
die genaue Kenntnis der e-Vorzeichen entbehrlich. Wir beweisen:
(F30)
Es gilt
Für gerade n>5 gilt fn= |33fn-22-4fn-1fn-3|/fn-4.
f5=33f32+32f2f4 und f7=(33f52-f4f6)/f3 und für n>7
fn= (33fn-22-32fn-3fn-1)/fn-4 , falls der Ausdruck ganzzahlig ist, sonst
fn= (33fn-22+32fn-3fn-1)/fn-4.
47
Beweis:
Wir gehen aus von (F18) und diskutieren den Fall n gerade. Dann wird σ(en-1*en+1) = -1 und
es ergibt sich mit n=2m und (F7):
±fn+2*fn-2*8^(m²+2m+1)*8^(m²-2m+1)=2112*fn²*8^(2m²)-256*fn-1*fn+1*8^(2m²)
Division durch 8^(2m²+2) beweist wegen 2112= 64*33 obige Aussage.
Der ungerade Fall wird für n=5 numerisch bestätigt durch 33*33²+32*2*140 = 44897. Für
n=7 zeigt Maple
>F[7];
1657367489
> (33*F[5]^2+32*F[6]*F[4])/F[3];
2374113729
> (33*F[5]^2-32*F[6]*F[4])/F[3];
1657367489
Die ungeraden Indizes n>3 können nicht zu fn =1 oder fn =33 führen, weil aufgrund von (F15)
fn+2 = (25 fn² - 4Xn)/fn-2 > 25*fn *(fn / fn-2 ) induktiv beweist, dass die Folge der Nenner mit
ungeradem Index monoton wachsend ist.
Für ungerade n>7 kann fn-4 nicht Teiler sowohl von 33fn-2² + 32fn-3*fn-1 als auch
33fn-2² - 32fn-3fn-1 sein, sonst wäre das ungerade fn-4 Teiler von 66fn-22, dem widerspricht (F9).
Wir wenden (F18) mit n=2m+1 an. Dann wird σ(en-2*en+2) = 1 und es ergibt sich mit (F7):
fn-2*fn+2*8^(m²-m)*8^(m²+3m+2)=2112*fn²*8^(2m²+2m)±256*fn-1*fn+1*^(2m²+2m+1).
Division durch 8^(2m²+2m+2) bringt
fn+2=(33fn2± 32fn-1fn+1)/fn-2, wie behauptet. 
V. Ganzzahlige Lösungen in der Restklasse Z(-2,-8)
Die Größen Xn,fn, Yn sind nur für positive Indizes n definiert worden. Für n=0 haben wir
0*(-2,-8)=O, also keinen numerischen Wert, für negative Indizes haben wir
-n*(-2,-8) = (Xn /fn² , - Yn /fn³ ),
also keine Veränderung in den Abszissen, daher genügt es, sich auf positive Indizes zu beschränken. Für gerade positive Indizes n sind die Nenner nach (F24) gerade, also kommen die
geraden Indizes für ganzzahlige Lösungen nicht in Betracht. Für die ungeraden Indizes kennen wir die ganzzahlige Lösung (-2,-8) und weitere negative Lösungen können nicht eintreten, weil unter den negativen ganzzahligen Lösungen allein -2 die Lösung mit a=-2 ist, und
der ganzzahlige quadratfreie Faktor a=-2 wird nur durch die ungeraden Vielfachen von
(-2,-8) erhalten. In der Restklasse Z(-2,-8) liegen also nur die beiden ganzzahligen Lösungen
(-2,-8) und (-2,8).
VI. Ganzzahlige Lösungen in der Restklasse (0,0) + Z(-2,-8)
Eine ganzzahlige Lösung in dieser Restklasse ist natürlich (0,0). Wir beweisen im Folgenden,
dass weitere ganzzahlige Lösungen nur noch (18, ±72) sind.
Die Addition (0,0) + (X/f², Y/f³) bringt (- 36f²/X, 36*Y*f/X²) , dadurch wird
48
(0,0) - (X/f², Y/f³) = (0,0) + (X/f², -Y/f³) = (- 36f²/X, -36*Y*f/X²) .
Maple-Protokoll:
> P:=factor(Eadd([0,0],[X/f^2,Y/f^3]));
P := [-(-Y^2+X^3)/f^2/X^2, Y*(-Y^2+X^3)/f^3/X^3]
> P1:=subs(Y^2=X^3-36*X*f^4,P);
P1 := [-36*f^2/X, 36*Y*f/X^2]
Der Wechsel von positiven Vielfachen von (-2,-8) zu negativen verändert also nicht die Abszissen, sondern lediglich die Vorzeichen der Ordinaten. Die geraden Vielfachen von (-2,-8)
ergeben negative Abszissen, weil die X-Werte positiv sind. Die einzigen negativen ganzzahligen Lösungen (-6,0),(-3,±9),(-2,±8) liegen nicht in der Restklasse, deshalb brauchen wir nur
die Summen mit ungeraden Vielfachen von (-2,-8) zu untersuchen. Wenn nur positive Lösungen zu suchen sind, muss X negativ sein und 36 teilen. Für ungerade n ist nach (E3) und
(E5) Xn  2(4) , Xn  1(3), also kommt als Teiler nur Xn=-2 infrage. Wir erhalten mit n=1
z.B. die ganzzahlige Lösung
(0,0) + (-2,-8) = (18, -72)
und mit n=-1 natürlich
(0,0) - (-2,-8) = (0,0) + (-2, +8) = (18, 72).
Weitere Lösungen sind jedoch denkbar mit einem Nenner fn >1.
Numerische Rechnungen führen zur Vermutung, dass die Folge (Xn ) mit ausschließlich ungeraden Indizes stark monoton fallend ist:
-2, -4418, -1074902978,-15703132146020645762
Daraus würde sich die Unmöglichkeit weiterer Lösungen ergeben. Der Nachweis der Monotonie ist aber nicht offensichtlich, wir gehen deshalb einen anderen Weg.
Aus Xn= -2 erhalten wir für ungerade n>1 aus (F12) die Relation
fn ² 1 = 4* fn-1 * fn+1.
Wir beweisen, dass eine solche Relation nicht möglich ist.
Dualdarstellungen zeigen die Verschiedenheit beider Seiten für die ungeraden 3< n<300 an
den führenden Positionen.
Wir beweisen im Folgenden, dass für alle ungeraden n>1 für die Nenner fn die Kongruenz
(A)
fn  1 mod 2^α
mit α = z(4n²-4) besteht.
Daraus folgt fn²  1 mod 2^(α+1),wogegen aufgrund von (F24) z(4*fn-1*fn+1)= α und daher
4*fn-1* fn+1 0 mod 2^(α+1)
gelten muss.
Vorbemerkungen.
Wenn n eine ungerade natürliche Zahl größer als 1 und α = z(4n²-4) ist, so ist α>4 und
4(n²-1)modulo 2^(α+2) entweder kongruent zu 2^α oder zu 3*2^α, denn da α höchster
Zweierexponent von 4n²-4 ist, gibt es eine ungerade Zahl b, sodass
4n²-4 = 2^α*b
gilt und es ist entweder b  1 modulo 4 oder b  3 modulo 4.
Betrachtet man die Dualdarstellungen von 4n²-4, so stehen an den führenden Positionen die
Einsen dicht beieinander z.B. bei 7 (4*48= 110000002 ) und weit z.B. bei 9
(4*80=1010000002).
Es soll der Index n>1 deshalb
eng heißen, wenn 4(n²-1)3*2^α mod 2^(α+2) und
49
weit, falls 4(n²-1)2^α mod 2^(α+2) gilt.
Jede ungerade Zahl n>1 ist natürlich entweder eng oder weit. Um die Enge und Weite an
Darstellungen der Indizes direkt, nicht erst durch ihre Quadraturen, erkennen zu können,
machen wir Gebrauch von einer Aussage der elementaren Zahlentheorie (I.M.Winogradow,
Elemente der Zahlentheorie, S. 64) :
eine Kongruenz x² u (mod 2^α) ist für α>4 und ungerade u1 mod 8 genau viermal lösbar;
ist davon x1 die kleinste im Bereich der positiven Repräsentanten, so sind die restlichen bestimmt durch
x2=2^(α-1)-x1, x3=2^α-x1, x4=2^α-x2.
Sei n eng. Aus α = z(4n²-4)
und 4(n²-1)3*2^α mod 2^(α+2) erhalten wir für n² die
Kongruenz n²1 + 3*2^(α-2) mod 2^α, dabei gilt wegen α>4 1 + 3*2^(α-2)1 mod 8.
Nun ist offensichtlich n1=-1+2^(α-3) eine Lösung dieser Kongruenz für α6, denn
n1²=1-2^(α-2) +2^(2α-6) (1+3*2^(α-2)) mod 2^α.
Die restlichen Lösungen sind dann
n2= 2^(α-1)-2^(α-3) + 1 = 3* 2^(α-3)+1 = 1+ 2^(α-3)+ 2^(α-2)
n3=2^α -n1= 2^α - 2^(α-3) +1 = 7*2^(α-3) +1= 1+ 2^(α-3) + 3*2^(α-2)
n4=2^α - n2= 2^α- 2^(α-2) - 2^(α-3) -1 = 5*2^(α-3)-1= 2^(α-3)-1 + 2*2^(α-2).
Im Modul 2^(α-2) betrachtet gilt dann
entweder
n= 2^(α-3)-1 + v*2^(α-2) mit geradem v
oder
n= 1+2^(α-3) + v*2^(α-2) mit ungeradem v.
Im Fall α=5 ist n=-1 + 4=3 keine enge Lösung, sondern eine weite. Um enge Lösungen zu
erhalten, ist zu lösen n²25 mod 32. Man erhält n1=5, n2=11, n3=27, n4=21. Diese Lösungen
lassen sich beschreiben durch entweder 5+v*8 , v gerade, oder 3+v*8, v ungerade.
Die weiten Indizes lassen sich leicht über den Zusammenhang mit den engen behandeln:
Wenn n ein weiter Index ist, so ist n+2^(α-2) ein enger, denn
n² +n*2^(α-1) 1+2^(α-2) + 2^(α-1)  1+ 3*2^(α-2) mod 2^α.
Damit ist für ungerade n>1 gezeigt:
(EW)
Für α=5 ist n>1 genau dann
eng, wenn entweder n= 5+ v*8 , v gerade,
oder n= 3 + v*8, v ungerade, und
weit, wenn entweder
n= 5+ v*8 , v ungerade, oder n= 3 + v*8, v gerade, gilt.
Für α>5 ist n>1 genau dann
eng, wenn entweder
n= 2^(α-3) -1 + v*2^(α-2), v gerade, oder
n= 2^(α-3) +1 + v*2^(α-2), v ungerade, und
weit, wenn entweder
n= 2^(α-3) -1 + v*2^(α-2), v ungerade, oder n= 2^(α-3) +1 + v*2^(α-2), v gerade, gilt.
Im Fall α=5 ist durch die folgende Aussage und (EW) auch (A) nachgewiesen.
(F31) Für alle ungeraden n gilt fn  (1 + 25)(n²-1)/8 mod 27 .
Beweis.
Die Aussage ist gültig für n=1,3,5,7 mit den Nennern 1, 33, 44897,1657367489, wobei nur 3
und 5 zu α=5 führen.
a) Sei n= 1+4*k, k>0. Dann haben wir mit k=(n-1)/4 nach (F29) und m=2k
fn = fm-1 *fm+1³ ± 8*fm+2 *fm³ .
50
Nun ist z(8*(2k+2)*(2k)³)3+1+3=7, also
fn  fm-1 *fm+1³ mod 27 .
Wenn wir die Kongruenz schon für kleinere Indizes als n als bewiesen unterstellen, errechnet
sich ein Exponent zur Basis 33 durch (4k²-4k+12k²+12k)/8= 2k²+k=((1+4k)²-1)/8 = (n²-1)/8.
b) Sei n=3+4*k, k>0. Dann haben wir mit (n-1)/2 = m = 2k+1, also nach (F29)
fn = fm+2 *fm ³ ± 8*fm-1*fm+1³ .
Nun ist z(8*(2k)*(2k+2)³)  3+1+3=7, daher
fn  fm+2 *fm³ mod 27 .
Der Exponent zur Basis 33 errechnet sich jetzt, wenn wir die Gültigkeit der Aussage für
kleinere Indizes als n unterstellen, zu
((2k+3)²-1 + 3*((2k+1)²-1))/8 = (4k²+12k+8+12k² + 12k)/8 = 2k²+3k+1,
und das ist auch (n²-1)/8=((3+4k)²-1)/8 = (8+24k + 16k²)/8 =2k² + 3k + 1. 
Wir beweisen nun mit (F31) die Gültigkeit von (A) für Indizes n>1 mit α=5 .
Für solche Indizes ist nach (EW) n= 5+v*8, v gerade, oder n= 3+v*8, v ungerade, also im
ersten Fall (n²-1)/8 = (24+80v+64v²)/8= 3+10v+8v².
Dadurch wird mit v=2k der Exponent von 33 3 + 20k+ 32k² 3 mod 4 und somit
fn  1+3*32 mod 27 ,
weil 33^4  1 mod 27 und 33³  97 mod 27 ist.
Im zweiten Fall erhalten wir mit v=2k+1 ebenso
(n²-1)/8 = (8+48v+v²8²)/8 = 1+6v+v²8=7+12k+v²8 3 mod 4,
also im engen Fall insgesamt fn  1+ 25 + 26 mod 27 , damit gilt fn  1 mod 32.
Im weiten Fall ist für n mit α=5 nach (EW) n= 3+v*8, v gerade, und der Exponent wird mit
v=2k
(n²-1)/8 = 1+6v+v²8 = 1+12k+v²8  1 mod 4, also
fn  1+ 25 mod 27 , damit fn  1 mod 32.
Für n = 5 + v*8 und v ungerade wird 3+10v+8v² mit v=2k+1 der Exponent zur Basis 33
ebenfalls 13+20k+8v² 1 mod 4, also fn  1+ 25 mod 27 , damit fn  1 mod 32.
Für ungerade Indizes n>1 mit α=5 ist die Aussage (A) also erfüllt , es gibt in der Restklasse
(0,0)+Z(-2,-8) für solche Indizes keine ganzzahligen Lösungen.
Wir versuchen, ähnliche Kongruenzen auch für die übrigen Indizes aufzustellen, benötigen
dazu jedoch einige Hilfsaussagen und beweisen zunächst:
(F32) Für alle natürlichen Zahlen v gilt
f3+8v* f5+8v  1+ 27 + 28 mod 29 .
Beweis.
Wir führen einen Induktionsbeweis über v und verankern mit v=0:
44897 mod 2^9 = 353, 33*353 mod 2^9 = 385 = 1 + 128 + 256.
Wir untersuchen die geraden Fälle für v, sei v=2k. Dann wird nach (F29) mit 3+8v= 3+16k,
m=1+8k,
f3+8v = f3+8k* f1+8k ³ ± 8* f8k* f2+8k ³ und
für den zweiten Term z(8*8k*(2+8k)³)  3 +3 + 3, damit
f3+8v  f3+8k* f1+8k ³ mod 29 .
Für den zweiten Faktor der Kongruenz erhalten wir mit 5+8v= 5+ 16k, m= 2+ 8k, also
f5+8v = f1+8k* f3+8k ³ ± 8* f8k+4* f2+8k ³ und
für den zweiten Term z(8*(8k+4)*(2+8k)³) = 3 +2 + 3= 8, damit
f5+8v  f1+8k* f3+8k ³ + 28 mod 29 .
51
Wir erhalten für das Produkt
f3+8v* f5+8v f1+8k4 * f3+8k4 + 28 mod 29 .
Nach (F31) ist
f1+8k 33^(8k²+2k) mod 2^7 und f3+8k 33^(1+6k+8k²) mod 2^7 , also
f1+8v* f3+8v  33^(1+8k+16k²) mod 2^7  33 mod 2^7, damit
f1+8k4 * f3+8k4  334 mod 29  (1+27) mod 29 , somit, wie behauptet,
f3+8v* f5+8v  1+ 27 + 28 mod 29 für gerade v.
Sei v=2k+1. Dann wird mit 3+8v= 11 + 16k, m= 5+8k nach (F29),
f3+8v = f7+8k* f5+8k ³ ± 8* f8k+4* f6+8k ³.
Da z(8*(8k+4)*(6+8k)³)= 3+2+3=8, ist
f3+8v  f7+8k* f5+8k ³ + 28 mod 29 .
Die Zerlegung des zweiten Faktors gibt 5+8v= 13+16k, m= 6+8k
f5+8v = f5+8k*f7+8k ³ ± 8* f8k+8* f6+8k ³.
In diesem Fall ist z(8*(8k+8)*(6+8k)³) 3 + 3 + 3, also
f3+8v * f5+8v  f5+8k 4* f7+8k4 + 28 mod 29 .
Nach (F31) ist der Exponent von 33 für das Produkt f5+8k* f7+8k
((5+8k)²-1)+((7+8k)²-1))/8 = (24+80k+8²k²+48+112k+8²k²)/8=9+24k+16k²  1 mod 4,
damit
f5+8k * f7+8k  33 mod 27 .
Wie im geraden Fall folgt daraus
f3+8v*f5+8v  f5+8k 4 * f7+8k4 + 28 mod 29  334 + 28 mod 29  1+ 27 + 28 mod 29 .

(F32) stellt eine Verankerung für einen allgemeinen Fall dar, den wir nach der Induktionsmethode im Folgenden beweisen:
(F33)
Für alle natürlichen Zahlen v und alle α5 gilt mit r=2α-3-1+v*2α-2 und
-3
s=2α +1+v*2α-2
fr*fs ≡ 1 + 22α-3+22α-2 mod 22α‐1
Beweis.
Der Fall α=5 ist durch (F32) schon erledigt. Sei deshalb α=6. Der Index des ersten Faktors
ist kongruent zu 3(4), es wird m=2^2-1+v*2^3 und zu untersuchen ist (mit Blick auf (F29))
z(8*(m-1)*(m+1)³)= 3+1+6=10.
Der Index des zweiten Faktors ist kongruent zu 1(4), es wird m=2^2+v*2^3 und zu untersuchen ist
z(8*(m+2)*m³) = 3 + 1 + 6 = 10.
Damit wird
f7+v16≡ f5+v8*f3+v8³+210 mod 211
f9+v16≡ f3+v8*f5+v8³+210 mod 211 , also
f7+v16*f9+v16≡(f3+v8*f5+v8)4 mod 211.
Aus (F32) erhält man (1+ 27 + 28 )4  1+
29 + 210
mod 211 , wie behauptet.
Sei α>6. Der Modulexponent 2α-1 ist auf den Vorgänger 2α-3 zurückzuführen.
Der Index des ersten Faktors ist wie vorher auch kongruent zu 3(4), es wird ((F29))
52
m = 2^(α-4)-1+v*2^(α-3)
und zu untersuchen ist
z (8*(m-1)*(m+1)³) = 3+1+3(α-4)=3α-8 2α-1,
wenn α>6 gilt. Damit liefert der zweite Term mod 2^(2α-1) keinen Beitrag.
Der Index des zweiten Faktors ist wieder kongruent zu 1(4), es wird
m = 2^(α-4)+v*2^(α-3)
und zu untersuchen ist
z (8*(m+2)*m³) = 3+1+3*(α-4) =3α-8 2α-1,
wenn α>6 gilt; der zweite Term liefert mod 2^(2α-1) keinen Beitrag.
Setzt man also die Gültigkeit für α-1 voraus, erhält man für α
(1+ 2^(2α-5) + 2^(2α-4))^4  1 + 2^(2α-3) + 2^(2α-2) mod 2^(2α-1).

Wir haben jetzt die Hilfsmittel zum Beweis der Aussage (A) aufgezeigt und schließen
die Untersuchungen ab mit
(A2)
Wenn der ungerade Index n>1 eng ist, gilt
fn  1 + 2α + 2α+1 mod 2α+2 ,
wenn der ungerade Index n>1 weit ist, gilt
fn  1 + 2α mod 2α+2 ,
dabei ist α = z(4n²-4).
Beweis.
Wir beginnen mit α= 5 , setzen n=3+ v*8 in (F31) ein und erhalten für den Exponenten zur
Basis 33 dadurch 1+6*v+v²*8 1+2v (4). Dann ist für v1(2)
fn  33³ (128) = 1+32+64 (128) und
fn  33 (128) = 1+32 (128) für v0(2);
im ersten Fall ist nach (EW) n eng, im zweiten Fall weit.
Mit n= 5+ v*8 wird (n²-1)/8= 3+10v+v²8 3+2v (4). Dann ist für v1(2)
fn  33 (128) = 1+32 (128) und
fn  33³ (128) = 1+32+64 (128) für v0(2),
im ersten Fall also nach (EW) n weit, im zweiten eng, wie behauptet.
Sei α> 6 und n= 2^(α-3)-1 + v*2^(α-2)  3(4), m=2^(α-4)-1+v*2^(α-3); dann ist
z(8*(m-1)*(m+1)³) = 3+1+3(α-4)= 3α-8 α+2.
Wir erhalten
fn  fm+2 * fm³ mod 2α+2 .
Aufgrund von (F33) erhalten wir für das einfache Produkt
fm+2 * fm  (1+22α-5) mod 2α+2 ,
da 2α-3 und 2α-4α+2 ist. Es bleibt
fn  (1+22α-5) *fm ² mod 2α+2 .
Bei Anwendung einer Induktionsvoraussetzung muss zwischen geradem und ungeradem v
unterschieden werden. Sei v gerade, also n eng, dann ist auch m eng (und α(m)= α-1):
fm  1+2α-1+ 2α mod 2α+1.
Es folgt
fn (1+22α-5) *(1+2α +2α+1 ) mod 2α+2  (1+2α +2α+1 ) mod 2α+2 ,
weil 2α-5α+2 für α> 6 gilt.
Wenn v ungerade ist, wird n weit, dann auch m, man erhält aufgrund der Induktionsvoraussetzung (und α(m)= α-1)
53
fm  1+2α-1 mod 2α+1.
Es folgt
fn (1+22α-5) *(1+2α ) mod 2α+2  (1+2α ) mod 2α+2 ,
weil 2α-5α+2 für α> 6 gilt.
Sei α> 6 und n= 2^(α-3)+1 + v*2^(α-2)  1(4), m=2^(α-4)+v*2^(α-3); dann ist ebenso
z(8*(m+2)*m³) = 3+1+3(α-4)= 3α-8 α+2.
Wir erhalten
fn  fm-1 * fm+1 ³ mod 2α+2
und
aufgrund von (F33) für das einfache Produkt
fm-1 * fm+1  (1+22α-5) mod 2α+2 ,
da 2α-3 und 2α-4α+2 ist. Es ergibt sich wie im Fall n  3(4)
fn  (1+22α-5) *fm+1 ² mod 2α+2
und daraus die Behauptung mit den gleichen Überlegungen wie im Fall n 3(4).
Bei α=6 ist das unterschiedliche Verhalten zwischen m und n zu berücksichtigen: die α-Zahl
von m ist 5, aber ein enges n impliziert ein weites m, ein weites n ein enges m.
Sei zunächst n eng, dann ist 3+v*8 bei geradem v weit, damit gilt
fm  1+32 mod 128 und fm²  1+64 mod 256, also
fn  (1+27) *(1+26 ) mod 28  1 + 26 +27 mod 28 , wie behauptet.
Sei n weit, also v ungerade, dann ist 3+v*8 eng, damit gilt
fm  1+32+64 mod 128 und fm²  1+64+128 mod 256, also
fn  (1+27) *(1+26 +27 ) mod 28  1 + 26 mod 28 , wie behauptet. 
Eine Konsequenz aus (A2) ist offensichtlich (A).
Damit gibt es in der Restklasse
(0,0)+ Z(-2,-8) nur die ganzzahligen Lösungen (0,0), (18,72) und (18, -72).
VII
Ganzzahlige Lösungen in der Restklasse (-6,0) + Z (-2,-8)
Wir beweisen, dass in der Restklasse (-6,0)+Z(-2,-8) nur die ganzzahligen Elemente
und (12, ±36) liegen. Das folgende Maple-Protokoll zeigt
(-6,0)
(-6,0) +(X/f², Y/f³) =(-6(-6f² + X)/(X+6f²) , -72f*Y/(X+6f²)²).
> hl:=(y2-y1)/(x2-x1):hn:=(y1*x2-y2*x1)/(x2-x1):hx3:=hl^2-x1-x2:
>hy3:=-hl*hx3-hn:simplify(subs(Y^2=X^3-36*X*f^4,simplify(subs(x1=X/f^2,y1=Y/f^3,x2=-6
,y2=0,hx3))));
-6(-6f^2+X)/(X+6f^2)
> simplify(subs(Y^2=X^3-36*X*f^4,simplify(subs(x1=X/f^2,y1=Y/f^3,x2=-6,y2=0,hy3))));
-72fY/(X+6f^2)^2
54
>
Aus der Tabelle auf S.15 geht hervor, dass die ganzzahligen quadratfreien Faktoren der Abszissen von Elementen der Restklasse (-6,0)+Z(-2,-8) nur a=-6 und a=3 sind. Von den negativen Lösungsabszissen kommt daher nur -6 infrage, von den positiven Lösungsabzissen ist 12
dabei, also liegen sicherlich (-6,0),(12, -36), (12,36) in der Restklasse und wir können weitere
ganzzahligen Lösunge nur unter den positiven finden.
Sei also für n>0
g= (36fn²-6Xn)/(6fn²+Xn)
eine positive ganze Zahl. Ein positives Xn würde wegen 6fn² < Xn zu einem negativen g führen, also muss n ungerade, Xn negativ , gerade und nach (E6) kongruent 4 mod 6 sein.
Für n=1 mit fn = 1 und Xn = -2 erhalten wir g= (36+12)/4 = 12 und -72*(-8)/16= 36 ,Yn = -8 ,
für n=-1 wieder dieselbe Abszisse, aber negative Ordinate:
(-6,0) +(-1)*(-2,-8) = (-6,0)+(-2,8)= (12, -36).
Wir setzen im Folgenden n>1 voraus, negative n ändern ja lediglich die Vorzeichen der Ordinaten.
Wir wissen aufgrund von (E5) und (E6), dass für ungerade n
6fn²+Xn  4 (6) und 6fn²+Xn  1(3) gilt.
Es kann also nicht 6fn²+Xn =1 und p=3 Primteiler von 6fn²+Xn >1 sein.
Da g eine ganze Zahl positive Zahl sein sollte, muss 6fn²+Xn die Zahl 36fn²-6Xn teilen.
Jeder Teiler von 6fn²+Xn und 36fn²-6Xn ist wegen der Relation
6*(6fn²+Xn) + (36fn²-6Xn ) = 72fn²
aber auch Teiler von 72, denn fn² ist ungerade und ungerade Primteiler von 6fn²+Xn , die größer als 3 sind, können fn² nicht teilen, sonst müssten sie auch Xn teilen.
Es muss also 6fn²+Xn >1 mit einem Teiler von 72 identisch sein. Da 6fn²+Xn  4 mod 6 gilt,
kommt nur 4 infrage, also muss gelten
Xn = 4- 6fn² .
Aufgrund von (F12) haben wir Xn + 2fn² = ± 8*fn-1*fn+1 , damit 4- 4fn² = ± 8*fn-1*fn+1 , also
fn² - 1 = 2* fn-1 * fn+1 .
Das ist erst recht nicht möglich, denn z(2fn-1fn+1)= α-1 widerspricht fn²≡1 mod 2α+1 (Folgerung
aus (A)).
Die einzigen ganzzahligen Lösungen in (-6,0)+Z(-2,-8) sind also (-6,0), (12, -36), (12, 36).
VIII
Ganzzahlige Lösungen in der Restklasse (6,0) + Z(-2,-8)
Zunächst finden wir die Lösungen (6,0) und
(6,0) + (-2,-8) = (-3, 9) sowie (6,0) - (-2,-8) = -((6,0)+(-2,-8)) = (-3,-9).
Die Lösungen (-6,0), (-2,±8),(0,0) können aufgrund unterschiedlicher a-Werte nicht in der
Restklasse (6,0)+Z(-2,-8) liegen, denn durch (6,0)+n(-2,-8) entsteht nur entweder a=6 oder
a=-3.
Da negative n nur die Vorzeichen der Ordinaten wechseln, konzentrieren wir uns auf positive
gerade Vielfache n.Wir erhalten die Abszissen von (6,0) + (X/f², Y/f³) durch die Ausdrücke
(36f²+6X)/(X-6f²),
wie aus dem folgenden Maple-Protokoll hervorgeht:
> a1:=Eadd([6,0],[X/f^2,Y/f^3])[1];
a1 := Y^2/f^6/(X/f^2-6)^2-6-X/f^2
55
> factor(expand(subs(Y^2=X^3-36*X*f^4,a1)));
6*(X+6*f^2)/(X-6*f^2)
Für negative X ist |X/f²|<6, also 6f²+X>0, X-6f²<0 und (36f²+6X)/(X-6f²)<0. Unter den negativen ganzzahligen Abszissenlösungen kommt nur -3 mit X=-2 zum Zug, weitere Lösungen
sind also nur mit positiven X zu gewinnen und die Indizes n müssen gerade sein.
Wir setzen X= Xn mit n>1, gerade, und erhalten z.B. für n=2 Xn = 25, fn =2 die ganzzahligen
Lösungen:
( 6,0)+2(-2,-8)= (294,5040) und (6,0)-2(-2,-8)=-(294,5040)=(294,-5040),
daher können wir uns auf gerade n>2 konzentrieren.
Da Xn für gerade Indizes nach (E3) und (E5) weder 2 noch 3 zu Primteilern hat, ist (Xn-6fn²)
teilerfremd zu 6 und zu (Xn+6fn²) , also muss gelten
Xn - 6fn ² =1.
Für die Nenner müsste nach (F12) dann gelten
1+8fn ² = fn-1*fn+1 .
Wir beweisen im Folgenden, dass für gerade n>2 eine solche Relation nicht bestehen kann,
denn es gilt
(B) Für alle geraden n>2 gilt mit dem Modul m=2^(α1+α2 - 1)
1+ 8fn² fn-1*fn+1 mod m,
wenn α1= z(4n²-8n) und α2 = z(4n²+8n) ist.
Beweis:
Für n=4 haben wir α1=5 und α2 =5 und nach (F32) f3*f5  1+27+28 mod 29 , aber
mod 29 ist 1+8*f4² kongruent zu 1+27, wie direkt mit f4= 140 bestätigt wird.
Für n>4 sind zwei wesentlich voneinander verschiedene Fälle zu betrachten: n2(4) und
n0(4). Im ersten Fall ist 5 der α-Wert entweder von n-1 oder von n-1, im zweiten Fall
sind die α-Werte von n-1 und n+1 identisch. In beiden Fällen sind zur Beweisführung noch
einige Vorbereitungen erforderlich. Zunächst eine Variante von (F33):
(F34)
Sei n2(4), n>2, α1= z(4*((n-1)²-1)) und α2= z(4*((n+1)²-1)).
Dann ist α1α2 und entweder α1=5 oder α2=5.
Sei α= max(α1, α2) und n±1 diejenigen Zahl mit z(4*((n±1)²-1))=α.
Es sei γ=1, falls entweder α=6 und n±1 weit oder α>6 und n±1 eng, sonst sei γ=3.
Dann gilt
fn-1*fn+1  33 + γ*2^(α+2) mod 2^(α+4) .
Beweis:
Für n2(4) ist entweder 4*n²-8*n oder 4*n²+8*n inkongruent zu 0 mod 64, sonst wäre
8n²0(64), also n²0(16).
Setzt man n=2+4v, wird n-1=1+4v, n+1= 3+4v,
4*(1+8v+16v² -1)=32v(1+2v)) und 4*(9+24v+16v²-1)= 32(1+3v+2v²),
also α2=5, wenn v gerade, und α1=5, wenn v ungerade ist.
Wir beginnen mit dem Sonderfall α=6, also z(4*((n±1)²-1))=6, folglich z(n(n± 2))=4.
Es hat n±3 denselben α-Wert wie n±1,
weil z(4*(n-3)²-4)= z(4*(n-1)²-4) und z(4*(n+3)²-4)=z(4*(n+1)²-4) ist.
Nach (F33) gilt daher für α=6
56
fn±1*fn±3  1 + 3*29 (211 ), also fn±1*fn±3  1 +29 (210 ) und (fn±1*fn±3 )² 1 (210 ).
Dadurch haben wir
fn 1*fn±1  (1+ 29 )*fn±1² * (fn 1*fn±3 ) mod 210 .
Anwendung von (F30) bringt
fn 1*fn±3 = 33* fn±1² ± 32*fn*fn±2,,
wegen z(32*n*(n±2))=9 damit
fn 1 *fn±3  33* fn±1² + 29 (210 ) und wir erhalten
fn 1 *fn±1  (1+ 29 )* fn±1²*(33*fn±1² + 29 )  33*fn±14 mod (210 ),
weil fn±1  1(2) ist. Aufgrund von (A2) haben wir für enges n+1 oder enges n-1
fn±1  1+ 26 + 27 mod 28 .
4
8
Dadurch wird fn±1  1+ 2 + 29 mod 210 im engen Fall und fn±1 4  1+ 28 mod 210 im weiten.
Es folgt also modulo 210 die Kongruenz von fn 1*fn±1 zu 1+25 + 28 + 29 im engen Fall (γ=3)
und zu 1+25 + 28 im weiten (γ=1), wie behauptet.
Sei α>6.
(F33) bringt analog zum vorigen Fall
fn±1*fn±3  1 +3*22α-3(22α-1 ), also fn±1*fn±3  1 +22α-3(22α-2 ).
Für α>6 ist aber 2α-3α+4 und daher fn±1*fn±3  1(2α+4 ).
Um (F30) anzuwenden, benötigen wir z(n±2). Angenommen, n+1 hat den größeren α-Wert,
dann ist n+1 3(4) und nach (EW) n+1 = 2α-3 -1 + 2α-2 *v , also z(n+2)= α-3. Hat n-1 den
größeren α-Wert, so ist n-1 1(4) und nach (EW) n-1 = 2α-3 +1 + 2α-2 *v , somit ebenfalls
z(n-2)= α-3.Dadurch haben wir z(32*n*(n±2)) = 5+1+α-3 = α+3 und nach (F30)
fn 1 *fn±3  33* fn±1² + 2α+3 (2α+4 ) .
Multiplikation mit fn±1² ergibt
fn 1 *fn±1  33* fn±1 4 + 2α+3 (2α+4 ) .
Aufgrund von (A2) haben wir für ein enges n±1
fn±1  1+ 2α + 2α+1 mod 2α+2
und erhalten
fn 1*fn±1  33* fn±1 4 + 2α+3  33*(1+2α+2 + 2α+3 ) + 2α+3 33+ 2α+2 (2α+4 ) ,
also ein weites Produkt (γ=1), wie behauptet. Wenn n±1 weit ist, wird
fn±1  1+ 2α mod 2α+2 und fn 1*fn±1  33*(1+2α+2 )+ 2α+3  33 + 3*2α+2 (2α+4 ) ,
also ein enges Produkt (γ=3) erhalten, wie behauptet. 
Die eben aufgetretenen vierten Potenzen sind auch für die folgenden Überlegungen nützlich,
wir beweisen:
(Q) Für ungerade n>1 mit z(4(n²-1))=α sei c=1, wenn n weit, c=3, wenn n eng ist.
Dann gilt
f2n 4  (16+c*2^(3+α)) mod 2^(α +5) .
Beweis.
Wir führen einen Induktionsbeweis und verankern mit n=3 und n=5. Durch f6  954 (1024)
und f10  330 (1024) wird f64  16 + 28 (1024) und f104  16+ 3*28 (1024) , wie behauptet
(3 ist weit, 5 ist eng). Für ungerade n haben wir nach (F20) und nach (F22)
f2n4=fn4(fn+24fn-18-4fn+2³fn-16fn-2fn+12+6fn+2²fn-14fn-2²fn+14-4fn+2fn-12fn-23fn+16+fn-24fn+18)/16.
Sei
z(4(n²-1))=α.
57
Unabhängig von Enge oder Weite gilt offensichtlich z(n²-1)=α-2>2, genauer:
z(n-1)=1, z(n+1)=α-3 für n 3(4) und
z(n+1)=1, z(n-1)= α-3 für n 1(4).
Die Analyse der Zweipotenzen obiger Summanden zeigt, dass bei α>6 modulo 2^(α+5) nur
ein einziger relevant ist, bei α=6 sind es zwei, bei α=5 drei.
Sei zunächst n 1(4). Dann ist der erste Summand unbeachtlich:
8*(α-3) -4= 8α-28>α+5, weil 7α>33.
Für den zweiten Summanden ist zu untersuchen
2+6*(α-3)+2 -4=6*α-18>α+5, weil 5α>23.
Für den dritten Summanden ist zu untersuchen
1+4*(α-3)+4 -4=4*α-11  α+5, für α>5, für α=5 ist der Zweierexponent 9 zu beachten.
Für den vierten Summanden ist zu untersuchen
2+2*(α-3) +6 -4= 2*α-2α+5 für α>6 , für α=6 ist zu beachten 2^10, für α=5 ist
zu beachten -2^8*u, u ungerade.
Der fünfte Summand ist immer im Spiel.
Fall 1: α>6.
Es bleibt modulo 2^(α+5) übrig
f2n 4  fn4*fn-24 *fn+18 /16 mod 2^(α+5).
Setzen wir die Induktionsvoraussetzung für (n+1)/2 an, erhalten wir
fn+14 =(16+c*2^(α+2)) + w* 2^(α+4),
dadurch
fn+18 /16 = (16²+c*16*2^(α+3)+ c²*2^(2α+4) + w*2^(α+5)*16*e) /16
= 16 + c*2^(α+3) + k*2^(5+α).
(EW) zeigt, dass in diesem Fall n genau dann eng ist, wenn es auch (n+1)/2 ist.
Fall 2:α=6.
Modulo 2^11 erhalten wir
f2n 4  fn4*fn-24 *fn+18 /16 + 2^10.
Für ein enges n ist aufgrund der Annahme n 1(4) anzusetzen n= 9+ u*16, u ungerade.
Daraus wird (n+1)/2 = 5 + u*8, also (n+1)/2 weit. Nach Induktionsvoraussetzung wird
fn+14 =(16+2^8) + w* 2^(10),
dadurch
fn+18/16=(16²+16*2^9+2^16+w*16*2^11*e)/16=16+2^9+ v*2^11
somit
f2n 4  16+3*2^9 mod 2^11 ,
wie behauptet. Für ein weites n führt n=9 + g*16 mit geradem g zu (n+1)/2=5+g*8, also zu
einem engen (n+1)/2. Dann ist 3*2^9+2^10  2^9 (2^11), damit der Faktor c=1, wie behauptet.
Fall 3:α=5.
Da unter der Annahme n1(4) auch n-2 den α-Wert 5 hat, gilt nach (F33)
fn*fn-2  1+3*27 mod 2^9 und es wird
(fn*fn-2)4 1+29 mod 2^10.
Für ein enges n ist anzusetzen n= 5 + g*8 mit geradem g. Dann hat n+2 den α-Wert 6. Es
wird (n+1)/2=3+g*4, also (n+1)/2  3(4) und (n+1)/2 = 3 + h*8, damit bleibt der α-Wert 5
erhalten. Vom dritten Summanden kommt modulo 2^10 nur 2^9.
Um den Summanden -4fnfn+2fn-12fn-23fn+16 beurteilen zu können, ziehen wir (A2) heran. Danach ist mit natürlichen Zahlen k,l,m gültig
58
fn=1+2^5*k, fn-2= 1+2^5*l, fn+2=1+2^6*m und
man erhält eine natürliche Zahl r, sodass gilt -4fnfn+2fn-12fn-23fn+16= -2^8-r*2^10.
Aus (F33) folgt fn4fn-24= 1+2^9 + s*2^10, also bleibt modulo 1024 insgesamt übrig
28 + fn+18/16*(1+29).
Anwendung der Induktionsvoraussetzung führt modulo 2^10 zu
2^8+(16+c*2^8)²/16*(1+2^9),
das ist sowohl für c=1 als auch für c=3 kongruent zu 16+2^8+2^9, wie behauptet.
Für ein weites n ist anzusetzen n=5+u*8 mit ungeradem u. Es wird (n+1)/2=3+u*4=7+h*8
und wird der α-Wert für (n+1)/2 größer als 5. Für n-2 ist der α-Wert 5, für n+2 jedoch größer
als 6. Die Überlegungen für enges n bleiben erhalten, aber bei Anwendung der Induktionsvoraussetzung erhalten wir mit einem Exponenten e, der größer als 8 ist,
(16+c*2^e)²/16*(1+2^9)  16 (1024), und dadurch
fn4  16 + 2^8 (1024), wie behauptet.
Wenn n3(4) gilt, haben n und n+2 denselben α-Wert und es ist z(n-1)=1. Die obigen Überlegungen lassen sich übernehmen: das Pluszeichen ist durch das Minuszeichen zu ersetzen
und von den Summanden sind die beiden letzten ohne Einfluss. 
Wir gehen jetzt zum Beweis von (B) über und beginnen mit dem einfachen Fall n0(4).
Dann haben n-1 und n+1 dieselbe α-Zahl, es ist also in (B) α1= α2= α , und nach (F33) das
Produkt fn-1*fn+1 kongruent zu 1+3*2^(2α-3) modulo 2^(2α-1). Setzt man fn =2^e*u, mit einer
ungeraden Zahl u an, so wird die linke Seite von (B) mit einem Faktor v:
1+2^(2e+3)*u^2= 1+ 2^(2e+3)*(1+4v)=1+2^(2e+3)+2^(2e+5)v.
Eine Übereinstimmung mit 1+3*2^(2α-3) + k*2^(2α-1) ist für kein α>4 möglich, es gilt also
Inkongruenz.
Für n2(4), n>2, sind die Fälle n=6 und n=10 direkt zu beurteilen. Wir haben
und 8f10² 8*330² 800(1024), aber
8f6² 8*954²288(1024)
f5*f7 -1 32+3*256 800(1024) und f9*f11 -1 32+256 288(1024) nach (F34).
Sei also n>10 und n 2(4). Entweder hat dann n-1 oder n+1 eine -Zahl 5. Wir untersuchen
zwei Fälle, beginnend mit -Zahl 5 für n-1.
Fall I: z(4*((n-1) ²-1))=5 und z(4*((n+1)²-1))=α>5, also n=2^(α-3) -2 +v*2^(α-2). Für m=n/2
ist dann m=2^(α-4)-1+v*2^(α-3) 1(2) und nach (F20) und (F22)
8*fn2=2fm²*(fm+2*fm-1²-fm-2*fm+1²)²=2fm²*fm+2²*fm-14- 4fm²fm+2*fm-1²*fm-2*fm+1²+2fm²fm- 2²*fm+14.
Wir diskutieren die drei Summanden im Einzelnen.
Fall 1: α=6 und n+1 eng, wie z.B. n=38, dann ist m= 3+g*8 , g gerade, und m und m+2 haben den α-Wert 5. Da (m-1)/2=1+h*8 modulo 8 weder zu 3 noch zu 5 kongruent ist, muss der
α-Wert von (m-1)/2 größer als 5 sein. Modulo 2^10 kommt vom letzten Summanden wegen
z(2*(m+1)^4)=1+4*2=9 nur 2^9, vom vorletzten wegen z(4(m-1)²(m+1)²)=2+2+4=8 nur
-2^8, wie vorher schon diskutiert, es verbleibt
2fm²*fm+2²*fm-14 +2^9 - 2^8.
Nach (Q) und (F33) wird daraus mit einem Exponenten e>8 und c=1 oder c=3:
8*fn2  2*(1+3*2^8)*(16+c*2^e) + 2^8 (1+3*2^8)*32 + 2^8  32 + 2^8 (1024).
Nach (F34) wird mit den Indizes n-1 und n+1 γ=3, also fn-1*fn+1 - 1  32 + 3*2^8 (1024),
59
das beweist die Aussage (B).
Fall 2: α=6 und n+1 weit, dann ist m= 3+u*8 mit ungeradem u, also (m-1)/2= 1+u*4=5+h*8,
damit ist 5 der α-Wert von (m-1)/2. Zu diskutieren ist jetzt unter Anwendung von (Q) und
(F33):
2*(1+3*2^8)*(16+c*2^8) + 2^8 (1+3*2^8)*(32+c*2^9) + 2^8  32 +2^8+2^9 (1024).
Nach (F34) wird mit den Indizes n-1 und n+1 γ=1, also fn-1*fn+1 - 1  32 + 2^8 (1024),
das beweist die Aussage (B) auch in diesem Fall.
Fall 3: α=7, und n+1 eng, dann ist m=7+g*16 mit geradem g und (m-1)/2=3+g*8, also
ist 5 der α-Wert von (m-1)/2 und (m-1)/2 ist weit, damit in (Q) c=1. Für den letzten Summanden haben wir z(2*(m+1)^4)=1+4*3=13, er ist mod 2^11 unbeachtlich.Für den vorletzten
Summanden ist der Zweierexponent z(4(m-1)²(m+1)²)=2+2*1+2*3=10, damit, wie vorher
schon diskutiert, verbleibt mod 2^11
2fm²*fm+2²*fm-14 -2^10  (1+ 3*2^10)*(32+1*2^9) + 2^10  32 + 2^9+ 2^10(2^11).
Nach (F34) wird mit den Indizes n-1 und n+1 γ=1, also fn-1*fn+1 - 1  32 + 2^9 (2^11),
das beweist die Aussage (B) auch in diesem Fall.
Fall 4: α=7 und n+1 weit, dann ist m=7+u*16 mit ungeradem u und (m-1)/2=3+u*8, also
ist 5 der α-Wert von (m-1)/2 und (m-1)/2 ist eng, damit in (Q) c=3. Es ist 8fn² mod 2^11
kongruent zu
(1+ 3*2^10)*(32+3*2^9) + 2^10  32 + 3*2^9+ 2^10  32 + 2^9 (2^11).
Nach (F34) wird mit den Indizes n-1 und n+1 γ=3, also fn-1*fn+1 - 1  32 + 3*2^9 (2^11),
das beweist die Aussage (B) .
Fall 5: α>7 . Dann ist m=2^(α-4)-1+v*2^(α-3) und von den drei Summanden ist nur der erste
zu beachten, weil z(2*(m+1)^4)=1+4*(α-4) = 4α-3  α+4 und
z(4(m-1)²(m+1)²)= 2+2+2(α-4) = 2α-4 α+4 gilt,
also ist 8fn² kongruent zu 2fm²*fm+2²*fm-14 im Modul 2^(α+4). Aufgrund von (F33) erhalten
wir für das Produkt
fm²*fm+2²  1+3*2^(2α-4) mod 2^(2α-2).
Für α>7 ist 2α-4 α+4 , also ist das Produkt mod 2^(α+4) nicht relevant, zu berücksichtigen
ist lediglich 2*fm-14 . Aus der Darstellung für m erhalten wir (m-1)/2 = 2^(α-5)-1+v*2^(α-4)
und folgern daraus, dass (m-1)/2 die α-Zahl α-2>5 hat. Enge und Weite von (m-1)/2 sind
dieselben wie von n+1. Aufgrund von (Q) erhalten wir im engen Fall
2*fm-14  2(16+ 3*2^(α+1)) = 32 + 3*2^(α+2) mod 2^(α+4) und im weiten Fall
2*fm-14  2(16+ 2^(α+1)) = 32 + 2^(α+2) mod 2^(α+4) .
Nach (F34) erhalten wir für ein enges n+1 γ=1, also
fn-1*fn+1 - 1  32 +2^(α+2) mod 2^(α+4)
und für ein weites n+1 γ=3, also
fn-1*fn+1 - 1  32 +3*2^(α+2) mod 2^(α+4).
Damit ist die Aussage (B) auch in diesem Fall bewiesen.
Zu untersuchen bleibt noch der Fall n 2(4), n>10 und α(n+1)=5.
Fall II: Sei z(4*((n+1) ²-1))=5 und z(4*((n-1)²-1))=α>5, dann ist n= 2^(α-3) +2 +v*2^(α-2)
und
8*fn2=2fm²*(fm+2*fm-1²-fm-2*fm+1²)²=2fm²*fm+2²*fm-14- 4fm²fm+2*fm-1²*fm-2*fm+1²+2fm²fm- 2²*fm+14,
60
aber mit m=2^(α-4)+1 + v*2^(α-3). Die α-Zahl von m und m-2 vermindert sich um 1.
Zu untersuchen sind wieder die Zweierexponenten der drei Summanden:
z(2*(m-1)^4)= 1+4(α-4)= 4α-15 > α+4 bei α>6, 9 bei α=6;
z(4*(m-1)^2*(m+1)^2)= 2+2(α-4)+2=2α-4α+4 bei α>7 , 10 bei α=7, 8 bei α=6;
z(2*(m+1)^4)=1+4=5 ist wesentlich kleiner als α+4, also immer zu berücksichtigen.
Wie im Fall I sind die Fälle α=6, α=7 und α>7 gesondert zu diskutieren.
Fall 1: α=6, und n-1 eng, dann ist n-1 = 9+u*16, also m= 5 +u*8 , u ungerade und
(m+1)/2=7+h*8 hat einen größeren α-Wert als 5, wie mod 8-Rechung zeigt. Der erste Summand wird 2^9 , der zweite Summand wird kongruent zu -2^8 und es verbleibt mod 1024
2^9-2^8+ 2fm²*fm-2²*fm+14 .
Nach (Q) und (F33) wird daraus mit einem Exponenten e>8 und Koeffizienten c=1 oder
c=3:
2^9-2^8+2*(1+3*2^8)*(16+c*2^e) 2^8 +32(1024).
Nach (F34) wird mit den Indizes n-1 und n+1 γ=3, also fn-1*fn+1 - 1  32 + 3*2^8 (1024),
das beweist die Aussage (B).
Fall 2: α=6, und n-1 weit, dann ist m=5 + g*8, g gerade, (m+1)/2= 3+g*4 = 3+h*8 und 5
ist der α-Wert von (m+1)/2. Wie im Fall 1 verbleibt mod 1024
2^9-2^8+2fm²*fm-2²*fm+14 .
Nach (Q) und (F33) wird daraus mit einem Koeffizienten c=1 oder c=3:
2^9-2^8+(1+3*2^8)*(32+c*2^9)2^8+(1+3*2^8)*(32+2^9)  32+3*2^8 (1024).
Nach (F34) wird bei α=6 und weitem n-1 γ=1, also fn-1*fn+1 - 1  32 + 2^8 (1024),
das beweist die Aussage (B).
Fall 3: α=7, und n-1 eng, dann ist m=9+u*16 mit ungeradem u und (m+1)/2=5+u*8, also
ist 5 der α-Wert von (m+1)/2 und (m+1)/2 ist weit, damit in (Q) c=1.
Da vom zweiten Summanden -2^10 zu beachten ist, verbleibt mod 2048
-2^10+2fm²*fm-2²*fm+14  (1+2^10)*(32+1*2^9) - 2^10  32 + 2^9+ 2^10(2^11).
Nach (F34) wird mit den Indizes n-1 und n+1 γ=1, also fn-1*fn+1 - 1  32 + 2^9 (2^11),
das beweist die Aussage (B) auch in diesem Fall.
Fall 4: α=7, und n-1 weit, dann ist m=9+ g*16 mit geradem g und (m+1)/2=5+g*8, also
ist 5 der α-Wert von (m+1)/2 und (m+1)/2 ist eng, damit in (Q) c=3.
Da vom zweiten Summanden -2^10 zu beachten ist, verbleibt mod 2048:
-2^10+2fm²*fm-2²*fm+14 (1+2^10)*(32+3*2^9)-2^1032+3*2^9-2^1032+2^9 (2048).
Nach (F36) wird bei α>6 und weitem n-1 γ=3, also fn-1*fn+1 - 1  32 + 3*2^9 (2^11),
das beweist die Aussage (B) auch in diesem Fall.
Fall 5: α>7 . Dann ist m=2^(α-4)+1+v*2^(α-3) und von den drei Summanden ist nur der letzte zu beachten, also ist 8fn² kongruent zu 2fm²*fm+2²*fm+14 im Modul 2^(α+4). Aufgrund
von (F33) erhalten wir für das Produkt
fm²*fm-2²  1+3*2^(2α-4) mod 2^(2α-2).
Für α>7 ist 2α-4 α+4 , also ist dieses Produkt mod 2^(α+4) nicht relevant, zu berücksichtigen ist lediglich 2*fm+14. Aus der Darstellung für m erhalten wir
(m+1)/2 = 2^(α-5)+1+v*2^(α-4) und folgern,
dass (m+1)/2 die α-Zahl α-2>5 hat und Enge oder Weite von (m+1)/2 dieselbe ist wie die von
n-1. Aufgrund von (Q) erhalten wir
61
2*fm+14  32+ 3*2^(α+2) mod 2^(α+4) im engen Fall und
2*fm+14  32+ 1*2^(α+2)) mod 2^(α+4) im weiten.
Nach (F34) erhalten wir jedoch für ein enges n-1 γ=1, also
fn-1*fn+1 - 1  32 +2^(α+2) mod 2^(α+4)
und für ein weites n-1 γ=3, also
fn-1*fn+1 - 1  32 +3*2^(α+2) mod 2^(α+4).
Damit ist die Aussage (B) auch in diesem Fall gültig.
Die Aussage (B) ist also erfüllt und somit liegen in der Restklasse (6,0) + Z(-2,-8)
nur die ganzzahligen Lösungen
(6,0), (-3,-9),(-3,9),(294,5040),(294,-5040).
Insgesamt hat daher die elliptische Gleichung y³ = x³ -36x nur die folgenden 13 ganzzahligen
Lösungen
(0,0), (-2,-8),(-2,8),(-3,-9),(-3,9), (-6,0), (6,0),(12,-36), (12,36), (18, 72), (18,-72), (294,5040)
und (294,-5040).
Wie eingangs erwähnt, ist also eine nichttriviale Diophantische Lösung von
1^2+2^2+3^2+…+n^2= m^2
nur durch n=24 und m=70 möglich.
Numerischer Aspekt. Nach der Theorie sind die Logarithmen von fn, |Xn|,|Yn| approximativ
proportional zu n². Numerische Auswertungen zeigen Stabilität für die ersten drei Dezimalen
schon ab n=112: 0,444; 0,888;1,332.
Abschließend soll noch auf den Zusammenhang mit einem anderen zahlentheoretischen
Problem hingewiesen werden, durch den die vier Restklassen mod (-2,-8) ihre Nützlichkeit
erweisen. Es ist das Problem der Kongruenzzahl. Eine natürliche Zahl n heißt Kongruenzzahl, wenn es ein rechtwinkliges Dreieck mit ausschließlich rationalen Seiten gibt, das die
Fläche n hat. Die Zahl n=6 ist eine solche Zahl, denn das „pythagoräische“ Dreieck mit den
Katheten 3 und 4 hat offensichtlich die Fläche 6. Sind nun allgemein a und b rationale Katheten zur Fläche 6, so zeigen die Zahlen x=a*(a+c)/2 und y=a*x, dass (x,y) Lösung der elliptischen Gleichung y²=x³-36x ist, denn
(a²+ac)³= a^6+3a^5c+3a^4*c^2+a^3*c^3 = a^6+3a^5*c+3a^6+3a^4*b^2+a^5*c+a^3*b^2*c
= 4a^6+4a^5*c+3a^4*b^2+ a^3*b^2*c und
36*x= a^2*b^2*(a^2+ac)/8= a^4*b^2/8+a^3*b^2*c/8
bringt
x^3-36*x=a^6/2+a^5*c/2+a^4*b^2/4 und ebenso
y^2=a^2*a^2*(2a^2+2ac+b^2)/4=a^6/2+a^5c/2+a^4*b^2/4.
Die Dreieckskathete a gibt also den Anstieg der Geraden an, die den Nullpunkt mit (x|y) verbindet.
Umgekehrt führt ein Element (x,y) aus E, dass nicht in der Torsionsgruppe liegt, zu Katheten
eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Fläche 6:
a=|y/x|=| und b=|12x/y| liefert
62
a²+b²=y²/x²+144x²/y² = ((x³-36x)²+144x4)/(x³(x²-36x))=(x²+6)²/y²
eine rationale Quadratzahl c².
Die Inversen (x,-y) führen natürlich zu denselben Katheten und die Summen
(0,0)+(x,y), (-6,0)+(x,y) und (6,0)+(x,y)
zeigen, dass auch dadurch nur die schon bekannten Katheten gebildet werden:
(0,0)+(x,y)=(-36/x,36y/x²) bringt a=|y/x| , b=|12x/y|;
(-6,0)+(x,y)=(-6(x-6)/(x+6),-72y/(x+6)²) bringt a=|12y/(x²-36)|=|12x/y|, b=|(x²-36)/y|=|y/x|;
(6,0)+(x,y) = (6(x+6)/(x-6), -72y/(x-6)²) bringt a=|12y/(x²-36)| =|12x/y|, b=|(x²-36)/y|=|y/x|.
Allein durch die Vielfachen von (-2,-8) sind daher alle rationalen Möglichkeiten für die Katheten zu erhalten. Anfang einer Liste mit den ersten durch n(-2,-8) generierten kürzesten
Katheten:
[3,7/10,3404/1551,2017680/1437599,3122541453/2129555051,
43690772126393/20528380655970,3538478409041570404/4644050785034096801,
12149807353008887088572640/4156118808548967941769601,
562877367535365225251484084003/9096802581030701081135787921001,
980360596310493084857750540913762240600/31849720982909420672712416881546090
0807,
18191574951971287104449938705210484717973598996/285098481212714275198072745
81732330676009760751,
21929138919604046938040163740757618953522127258567818399/969596010399029433
1025984943841149560825669775138168420,
107678491232504214629027366203609143706610045561881253147888227347/80304789
058118229075736578976728059627039657981964461933622942851,
638686275366681889789788669730841297975070777160618154198122040800885900716
0/4176501831301593836542885342768698632287714214832228338980765292538706358
393,… ].