Systeme mit verteilten Parametern IFAT–Vorlesung im SS 2014
Transcription
Systeme mit verteilten Parametern IFAT–Vorlesung im SS 2014
Systeme mit verteilten Parametern IFAT–Vorlesung im SS 2014 Prof. Dr. Dietrich Flockerzi Max-Planck-Institut Sandtorstrasse 1 D-39106 Magdeburg Tel.: 0391-6110-362 email: flockerzi@mpi-magdeburg.mpg.de Version 05-pdess14/20.Mai 2014 Kaustiken u2x + u2y = c2 mit u(x, y) = 0 für x2 + y 2 = 1 SVP–Handout (Sommer 2014) 1 Continuum Mechanics 1.1 Hilfsmittel aus der Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Eulerian Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Energy Conservation and Heat Equation . . . . . . . . . . 1.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Convection/Advection (cf. Charakteristikenmethode 1.4.2 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Navier-Stokes Equations . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Transmission of Sound Waves . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Adiabatic Gas Equations . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Vibrating String or Membrane . . . . . . . . . . . . 1.4.7 Electromagnetism (Maxwell’s Equations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – App.B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 4 6 6 6 7 7 7 8 8 2 Analysis-Grundlagen 11 2.1 Funktionenfolgen – Funktionenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Parameterabhängige Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Fourier–Analysis 19 3.1 Die schwingende Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Die 4.1 4.2 4.3 4.4 klassischen PDEs Wellengleichung . . . . . . . . . . . Potentialgleichung . . . . . . . . . . Wärmeleitungsgleichung . . . . . . Sturm–Liouville Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Integraltransformationen 5.1 Anwendungen der Fourier–Transformation 5.1.1 Heuristik . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 ODEs und Regelungstechnik . . . . 5.1.4 Integralgleichungen . . . . . . . . . 5.1.5 Sampling Theorem . . . . . . . . . 5.2 Anwendungen der Laplace–Transformation 5.2.1 Heuristik . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 ODEs und Regelungstechnik . . . . 5.2.3 PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Integralgleichungen . . . . . . . . . 5.3 Tafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Appendix: Eigenschaften der Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 29 30 31 . . . . . . . . . . . . 33 33 33 35 37 39 39 40 40 41 42 44 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 SVP–HANDOUT (SOMMER 2014) Literatur – Aufgaben 51 A Eigenwerte und Singulärwerte A.1 Grundlagen – Exkurs in Lineare Algebra . . . . . . . . A.2 Anwendungen der Singulärwertzerlegung (SVD) . . . . A.3 Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4 Anwendungen auf Differentialgleichungen . . . . . . . . A.4.1 ODE–Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . A.4.2 Dirichletprobleme der Wärmeleitungsgleichung A.4.3 Hyperbolic PDE Systems of First Order . . . . 53 53 56 60 61 61 61 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B PDEs erster Ordnung: Charakteristikenmethode 67 C Weak Solutions and Shocks 71 C.1 Weak Solutions – Rankine-Hugoniot Conditions . . . . . . . . . . . . . . . 71 C.2 Riemann-Problems for Quasilinear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 D Sturm-Liouville Randwertprobleme E Topics aus Linearer Algebra E.1 Fredholm Alternative . . . . . . . E.2 Schurform und Spektralzerlegung E.3 Standard Matrix-Norms . . . . . E.4 Weighted Scalar Products . . . . . . . . 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Keine Angst vor der Kybernetik! Am Ende schaltet sie sich selber aus (S.J.Lec). 85 85 86 88 88 Handout zur SVP–Vorlesung 2014 Kapitel 1 Continuum Mechanics 1.1 Hilfsmittel aus der Analysis Satz von Stokes/Green: R div(f )dx = B R ∂B (1.1) f • n dσ für anständiges B m RN und RN –Funktion f ∈ C 1 (B) ∩ C(B) bei äusserer Normalen n und Oberflächenelement dσ. Es ergibt sich für die partielle Integration R ∂B ρ (v • n) dσ = R B div(ρv) dx = R B ∇ρ • v dx + R B ρ (∇ • v) dx für ρ : B → R, v : B → R3 , insbesondere für v = ∇w mit w : B → R: R ρ (∇w • n) dσ = ∂B R div(ρ∇w) dx = B R ∇ρ • ∇w dx + B R B ρ ∆w dx Satz von Liouville: Rt Ẏ = A(t)Y, Y (0) = Y0 ⇒ det(Y (t)) = exp[ 0 tr(A(s))ds]det(Y0 ). (1.2) • Ein direkter Beweis via Determinanten: Mit W (t) = det(Y (t)) und Spalten Yj in Y hat man Ẇ = det(AY1 , Y2 , .., YN ) + · · · + det(Y1 , Y2 , .., AYN ) = tr(A)W da det[(s − A)Y ] einerseits gleich det[s − A]det[Y ] = (sN − tr(A)sN −1 + · · · )det[Y ] und andererseits gleich det[(s − A)Y1 , ..., (S − A)YN ] = sN det[Y ] − sN −1 (det(AY1 , Y2 , .., YN ) + · · · + det(Y1 , Y2 , .., AYN )) + · · · ist. Allgemeinere Form von Liouville’s Theorem (Volumen-Evolution): Für die Lösung Φ(t, x) einer glatten Dgl. ξ˙ = v(t, ξ) mit Anfangswert ξ(0) = x gilt für die 1 2 KAPITEL 1. CONTINUUM MECHANICS Funktionaldeterminante δ(t) = det[Φx (t, x)] die Beziehung δ̇ = div(v(t, Φ(t, x))) δ, δ(0) = 1, Rt i.e. δ(t) = exp[ 0 div(v(t, Φ(t, x)))dt] (1.3) bei Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen in d d d d v(t, Φ(t, x)) = vx (t, Φ(t, x))Φx , Φx (0, x) = Φx = Φt = x=I dt dx dx dx denn aus der Identität Φ(t + h, x) = Φ(t, x) + v(t, Φ(t, x))h + O(h2 ) folgen δ(t + h) = δ(t) det[Φx (t, x)−1 ] det[I + vx (t, Φ(t, x))h + O(h2 )] det[Φx (t, x)] und somit δ(t + h) = δ(t) [1 + tr(vx (t, Φ(t, x))h + O(h2 )], d δ = tr(vx (t, Φ(t, x))) δ(t) = div(v(t, Φ(t, x))) δ(t), dt δ(0) = 1 . Transport Theorem: Für Bt = Φ(t, B0 ) = {x = Φ(t, ξ) : ξ ∈ B0 } (bei anständigem B0 ⊂ RN ) und skalar– oder vektorwertiges glattes f gilt bei Anwendbarkeit der Substitutionsregel R R (1.4) f (t, x)dx = f (t, Φ(t, ξ))|detΦx (t, ξ)|dξ B0 Bt die Transportgleichung R d dt f (t, x)dx = Bt was sich im skalaren Fall als R d dt R Bt f (t, x)dx = Bt [ft + fx v + f div(v)](t, x)dx, (1.5) R (1.6) Bt [ft + div(f v)](t, x)dx schreiben lässt. Für f ≡ 1 hat man daher Z d V ol(Bt ) = div(v)dx dt Bt mit Volumenerhaltung im Fall div(v) ≡ 0. 1.2 Eulerian Description Literatur: [11], [12] Appendix B A continuum may occupy a set Ω ⊂ R3 and be in motion with a flow Φ(t, x) generated by a vector field v(t, x): d Φ(t, x) dt = v(t, Φ(t, x)), Φ(0, x) = x. (1.7) For a nice subset B0 of Ω we denote Φ(t, B0 ) by Bt and assume det(Φx (t, x)) to be positive. With ρ = ρ(t, x) standing for the mass density the Euler postulates are 1.2. EULERIAN DESCRIPTION 3 (I) Conservation of mass: d dt ρ(t, x)dx = 0. (1.8) ρvdx = F = total force, (1.9) [x × ρv]dx = T = total torque. (1.10) (II) Momentum Equations: d dt d dt R Bt R R Bt Bt Writing F = Fext + Fint with external and internal forces R Fext = ρF dx and Fint = Bt R ∂Bt T n dσ we introduce the external force density F and the stress tensor T ∈ R3×3 (which may depend on ’everything’). By Green’s Theorem one has F= R ρF dx + Bt R Bt div(T )dx, where div(T ) stands for the column (div(Trow1), div(Trow2), div(Trow3 ))T . Writing T = Text + Tint with external and internal contributions Text = R Bt [x × ρF ]dx and Tint = and writing x × T n = Sn one arrives at T = with R Bt div(S) = x × div(T ) + ∆ [x × ρF ]dx + and R Bt R ∂Bt [x × T n] dσ div(S)dx, ∆ = (T32 − T23 , T13 − T31 , T21 − T12 )T . An application of the Transport Theorem in (I) and (II) leads to ρt + ρx v + ρdiv(v) = 0, (1.11) ρ[vt + vx v] = ρF + div(T ), (1.12) x × (ρ[vt + vx v]) = x × (ρF + div(T )) + ∆, (1.13) wher (1.11) is already is used in the derivation of (1.12). Hence ∆ needs to vanish (ie. T needs to be symmetric). In this case we are left with the four nonlinear partial differential equations (1.11) (conservation of mass) and (1.12) (momentum equation) for the four unknowns ρ and v ∈ R3 . One may also write ρ̇ + ρdiv(v) = ρt + div(ρv) = 0, ρv̇ = ρF + div(T ). (1.14) 4 KAPITEL 1. CONTINUUM MECHANICS An assumption like ρv = −k∇ρ in div(ρv) leads to ρt = k∆v + ∇k • ∇ρ , a diffusion equation by Fourier’s or Fick’s law!. The standard form of the stress tensor is T = [−p + λdiv(v)]I + µ[vx + vxT ] (1.15) with pressure p = p(t, x) and viscosity coefficient µ in front of the streching tensor field. In case of fluids one has the cases: • perfect (λ = 0, µ = 0), • ideal (div(v) = 0, µ = 0), • Navier-Stokes (div(v) = 0, µ 6= 0). The formula for div(T ) with T from (1.15) is div(T ) = −∇p + (λ + µ)∇(div(v)) + µ∆v. (1.16) It enters (1.12) and asks for one more equation (or assumption) for the pressure p. 1.3 Energy Conservation and Heat Equation As above, suppose a continuum occupies Ω ⊂ R3 and moves via the flow Φ(t, x) generated by a (convective) vector field v(t, x) with (1.7) – think of v ≡ 0 for solids. For subsets B0 of Ω we denote Φ(t, B0 ) by Bt . Further Legend: • u temperature, e density of internal energy (later on e = cu), • F density for external forces, T symmetric, f source/sink density, J flux, R • E = Bt ρe dx internal energy, R • K = Bt ρ|v|2 /2 dx kinetic energy, R R • W = Bt ρF • v dx + ∂Bt T n • v dσ work done (mechanical power), R R • Q = Bt ρf dx − ∂Bt J • n dσ heat supply (nonmechanical power). The second term in the heat supply is to be specified, eg. by Fourier’s law J = −κ∇u (yielding the (diffusive) vector field for the exchange on the surface of Bt (flux!)) or by the alike Fick’s law for diffusive mass transfer. The first law of thermodynamics asks for d [E dt + K] = Q + W . (1.17) By the transport theorem, Green’s theorem and (1.11) and (1.12) we can derive the infinitesimal versions in form of PDEs. We obtain R d ρė dx. E = dt Bt 1.3. ENERGY CONSERVATION AND HEAT EQUATION d K dt = R Bt W = ρv T v̇ dx = R R Bt v T (ρF + div(T ))dx. ρF • v dx + Bt Q= R Bt ρf dx − 5 R Bt R Bt div(T v)dx. div(J)dx. With div(T v) − v T div(T ) = trace(T vx ) one arrives at the energy balance (law of energy conservation) ρė = ρf − div(J) + trace(T vx ). (1.18) ρ[et + ex v] = ρf + κ∆u + trace(T vx ), (1.19) With J = −κ∇u one has which reduces in the special case v ≡ 0 to ρet = ρf + κ∆u In the special case e = cu (constant c), div(v) ≡ 0, T = −pI (1.20) one arrives at a heat equation u̇ = ut + ux v = 1c f + κ ∆u cρ (1.21) since trace(T vx ) = 0 (no matter what the pressure is). This is a PDE for the temperature taking into account the convection by the flow Φ and sources/sinks. Remark for v ≡ 0: With Fourier’s law J = ρew = −κ∇u (1.22) for the diffusive vector field w (for the flow of Bt – the flow of ’heat’/ ρ, c constant) one has R R d ρe dx = Bt [ρ(et + div(ew)]dx = dt Bt R R κ [ρcut − div(κ∇u)]dx = Bt ρc[ut − cρ ∆u]dx . Bt κ Thus, the heat equation ut = cρ ∆u describes the conservation of energy by asking for R d ρe dx = 0 along the set Bt flowing according to Fourier’s law (1.22) (with vector dt Bt field w). 6 KAPITEL 1. CONTINUUM MECHANICS Summary: We have obtained five balancing equations from the Eulerian postulates and the first law of thermodynamics: • Mass balance or continuity equation: ρt + div(ρv) = 0. (1.23) • Momentum balance or Cauchy’s equation (in 3 dimensions): ρ[vt + vx v] = ρF + div(T ). (1.24) In case of T = −pI one has div(T ) = −∇p. • Energy balance: ρ[et + ex v] = ρf − div(J) + trace(T vx ). (1.25) reducing for v ≡ 0 to ρet + div(J) = ρf . These equations still have to be supplemented by the constitutive equations which describe the behavior of the materials under investigation (material laws). 1.4 Applications We specialize the above set of equation in various ways: 1.4.1 Convection/Advection (cf. Charakteristikenmethode – App.B) • Convection/Advection Problems (Transport Equation): ct + dic(cv) = 0 from mass balance. • Attraction/Repulsion/Migration Problems: ct + div(κc∇Ψ) = 0 for a potential function Ψ (eg. electrostatic field charging particles). Der Theorie derartiger Gleichungen ist Appendix B gewidmet. 1.4.2 Diffusion • Diffusion Problems: Fick’s Law J = −D∇c in the energy balance leads to the diffusion equation ct − div(D∇c) = 0. Cf. (1.22). 1.4. APPLICATIONS 7 • Chemotaxis in Microorganisms: ut = −div(χu∇Ψ) + div(D∇u) with potential Ψ and diffusion coeffient D. • Laplace/Potential Equation: For the pressure u in a fluid with velocity field v in a porous medium one has Darcy’s law v = −p0 ∇u. In the imcompressible case (div(v) = 0) one has potential equation ∆u = 0. For the potential equation in problems of Ionic Mass Transport see Prentice [13] pp152 (who ends up with div(κ(c)Ψ) = 0 which reduces to ∆Ψ = 0 for constant κ). • Propagation Along Axons: For the charge density q and the ’flux’ J of charged particles one has qt + div(J) = f = source/sink density (eg. net ionic current I into the axon). With q = p2 v and J = −p3 vx for the voltage v one has vt = κvvv + f . 1.4.3 Navier-Stokes Equations From (1.14) and (1.16), the Navier Stokes equations are div(v) = 0, ρ[vt + vx v] + ∇p − µ∆v = ρF (1.26) with 4 equations and 4 unknowns (when the presuure is ’known’). 1.4.4 Transmission of Sound Waves Suppose an ideal fluid (div(v) = 0, T = −pI) where one has the Euler–equations ρv̇ = ρ[vt + vx v] = −∇p + ρF (1.27) from (1.14) and (1.16) (in addition to the mass balance equation in (1.14)). Under the assumption that the terms vx v and ρt v can be neglected and under the (adiabatic) assumption of ρ = h(p) (let’s take ρ = a0 p) an application of div to the Euler equation (ρv)t = −∇p + F and the mass balance equation yield −∆p + div(F ) = [div(ρv)]t = [−ρt ]t = −a0 ptt which is a wave equation for the pressure. 1.4.5 Adiabatic Gas Equations A reformulation of the energy conservation can be given in terms of entropy conservation d S(t, x(t)) ≡ 0. Suppose one has dt p = f (S)ρ1+α (α > 0). This implies f˙ = f ′ (S)Ṡ = 0, ie. the entropy conservation takes the form ∂ p ∂ p + v=0 1+α ∂t ρ ∂x ρ1+α in addition to the continuity equation (1.23) and the Euler equation (1.27). 8 1.4.6 KAPITEL 1. CONTINUUM MECHANICS Vibrating String or Membrane The balancing of Newton forces and the sum of the vertical contribution of tension and the vertical load, ie. Z Z Z p dx, T0 ux n dσ + ρutt dx = B0 B0 ∂B0 leads to the wave equation ρutt = T0 div(∇u) + p = T0 ∆u + p. 1.4.7 Electromagnetism (Maxwell’s Equations) Let E be the electric, H be the magnetic field, let D and J stand for the electric flow density and the current density resp.. Finally let I denote the magnetic induction. One has Maxwell’s Equations, ie. the requirements (a) rot(E) + It = 0 (F araday), (b) rot(H) = J + Dt , (Ampere), (c) div(D) = ρ (Gauss/Coulomb), (1.28) (d) div(I) = 0. These can be transformed into a set of wave equations in the following way. Taking div of the first two laws is leading to (aa) [div(I)]t = 0, (bb) div(J) + [div(D)]t = div(J) + ρt = 0. (1.28)(d) is more restrictive than (1.28)(a) and (aa). We consider homogeneous media with D = εE and I = µH (maybe with J = σE in addition) and thus with (a) rot(E) + µHt = 0, (b) rot(H) = J + εEt (⇒ 0 = div(J + εEt ), (c) div(εE) = ρ, (1.29) (d) div(H) = 0. (i) In case ρ = 0 – with div(E) being 0 by (1.29)(c) – one obtains by rot(rot(X)) = {∇(div(X)) − ∆X} the relation µ rot(Ht ) = −rot(rot(E)) = ∆E and thus a wave equation for E: µεEtt = µ[rot(H) − J]t = ∆E − µJt . In an analogous way one receives a wave equation for H: µεHtt = ∆H + rot(J). (1.30) 1.4. APPLICATIONS 9 (ii) In the case where ρ is not identically 0: From (1.29)(d) we can write H = rot(A) (with an integration ’constant’ ∇ψ (gauge freedom)). Inserting into (1.29)(a): 0 = rot(E + µAt ). Therefore one has E + µAt ≡ −∇B with an integration ’constant’ φ. With (1.30) for A Ampere’s equation then becomes {∇(div(A)) − ∆A} = J + εEt or L(A) := εµAtt − ∆A = J − {∇(div(A)) + ε[∇B]t } = J − ∇D(A, B), with D(A, B) := div(A) + εBt . Equation (1.29)(c) implies ε∆B = −ρ − εµ[div(A)]t . Thus in case D(A, B) ≡ 0 we have [div(A)]t = −εBtt and L(A) = J, εL(B) = ρ. (1.31) So, given A and B with (1.31), we modify them in passing to α = A + ∇ψ and β = B − ψt with a ψ such that D(α, β) = 0 by taking a solution ψ of the inhomogeneous scalar wave equation (1.32) L(ψ) = D(A, B). We then have L(α) = J and L(β) = ρ so that H = rot(α) and E = −µαt − ∇β (1.33) satisfy Maxwell’s equation (1.29). So Maxwell’s equations are reduced to three wave equations in (1.31) and (1.32). 10 KAPITEL 1. CONTINUUM MECHANICS Handout zur SVP–Vorlesung 2014 Kapitel 2 Analysis-Grundlagen 2.1 Funktionenfolgen – Funktionenreihen Literatur: [1] pp.221–224, [4] pp.146–154 Definition 2.1 Auf einem Intervall I ⊂ R seien die Funktionen fn : I → R, n ∈ N, gegeben. Die Funktionenfolge (fn ) heißt auf I (a) punktweise konvergent, wenn in jedem Punkt x ∈ I der Grenzwert limn→∞ fn (x) =: f (x) existiert, (b) gleichmäßig konvergent gegen die Grenzfunktion f : I → R, wenn limn→∞ ||fn − f ||I = 0 gilt mit ||fn − f ||I := sup |fn (x) − f (x)|. x∈I Bemerkung 2.2 (a) fn (x) = xn auf [0, 1] konvergiert punktweise gegen die unstetige Grenzfunktion f mit f (x) = 0 auf [0, 1) und f (1) = 1. Keine gleichmäßige Konvergenz auf [0, 1]. (b) fn (x) = xn auf [0, 1) konvergiert punktweise gegen f ≡ 0, aber nicht gleichmäßig. Jedoch liegt gleichmäßige Konvergenz auf jedem kompakten Teilintervall [0, q] mit 0 < q < 1 vor. (c) fn (x) = n−1/2 sin nx konvergiert auf R gleichmäßig gegen f (x) ≡ 0, aber fn′ (x) = n1/2 cos nx konvergiert (überhaupt) nicht: Differentiation und Limes sind nicht vertauschbar. √ (d) fn (x) = n1 [ 1 + n2 x2 − 1] konvergiert (monoton) gegen die stetige Grenzfunktion f (x) = |x|. fn′ (x) existiert und ist stetig für jedes n, aber die Grenzfunktion ist nicht differenzierbar an x = 0. (e) fn (x) = x/(1 + n2 x2 ) konvergiert auf ganz R gegen die Grenzfunktion f (x) ≡ 0 mit f ′ (x) ≡ 0. Die Ableitungen fn′ (x) existieren überall, konvergieren aber gegen 1 an x = 0 (und gegen 0 sonst). 11 12 KAPITEL 2. ANALYSIS-GRUNDLAGEN (f) fn (x) = np x(1 − x2 )n (mit p = 1 oder 2) konvergiert punktweise auf [0, 1] gegen f (x) ≡ 0. Integration und Limes sind aber nicht vertauschbar, denn es gilt (z.B. für p = 1) Z 1 1 1 n → für n → ∞. fn (x)dx = 2 n+1 2 0 (g) Für fn (x) = x2 (1 + x2 )−n konvergiert sN = gegen 0 an x = 0). PN fn für x 6= 0 gegen 1 + x2 (aber 0 Satz 2.3 (Stetigkeit) Konvergiert die Folge der Funktionen fn : I → R gleichmäßig auf I und sind die fn stetig an p ∈ I, so ist die Grenzfunktion f ebenfalls stetig an p. Insbesondere gilt: Der gleichmäßige Limes f stetiger Funktionen fn auf I ist stetig. Für jeden Häufungspunkt ξ von I gilt lim lim fn (x) = lim lim fn (x). x→ξ n→∞ n→∞ x→ξ Satz 2.4 (Integration) Konvergiert die Folge der stetigen Funktionen fn : I → R gleichmäßig auf dem kompakten I = [a, b], so ist die Grenzfunktion f stetig (und somit integrierbar) und es gilt lim n→∞ Z b fn (t)dt = a Z b f (t)dt = a Z a b ( lim fn (t)) dt. n→∞ Satz 2.5 (Differentiation) Die Funktionen fn : I → R seien auf dem kompakten Intervall I = [a, b] differenzierbar. Konvergiert dann die Folge der Ableitungen (fn′ ) gleichmäßig auf I und konvergiert die Folge der Funktionen (fn ) an mindestens einem Punkt x0 ∈ I, so konvergiert (fn ) gleichmäßig auf I gegen eine differenzierbare Funktion f : I → R und für jedes x ∈ I gilt f ′ (x) = ( lim fn )′ (x) = lim fn′ (x). n→∞ Eine Funktionenreihe ∞ X k=1 fk (x) n→∞ mit fk : I → R P ist definitionsgemäß die Funktionen–Folge sn (x) = nk=1 fk (x) der Partialsummen. Man verwendet das Symbol auch dann, wenn die Partialsummenfolge divergent ist. Die obigen Konvergenz– und Vertauschungssätze gelten natürlich auch für Reihen. Überdies hat man folgendes einfaches Vergleichskriterium: Satz 2.6 (Majorantenkriterium) Ist (fn ) eine Funktionenfolge n (x)| ≤ cn für alle x ∈ I) P auf I ⊂ R mit ||fn ||I ≤ cn (i.e. |fP ∞ c , so ist die Funktionenreihe und konvergiert die Reihe ∞ n=1 fn auf I gleichmäßig n=1 n konvergent. 2.1. FUNKTIONENFOLGEN – FUNKTIONENREIHEN 13 Satz 2.7 (Potenzreihen) P k Die Potenzreihe f (x) = ∞ k=0 ak (x − p) besitze einen positiven Konvergenzradius R. Auf jedem kompakten Teil K des Konvergenzintervalls J := (−R + p, p + R) konvergiert sie dann gleichmäßig. Das Beispiel der geometrischen Reihe zeigt, daß gleichmäßige Konvergenz nicht auf dem ganzen Konvergenzintervall gegeben sein muß. Beispiel 2.8 [Trigonometrische Reihen – [2] 292] Die Reihe ∞ X cos(nx) fn (x), fn (x) := C(x) := n2 n=1 konvergiert gemäß 2.6 gleichmäßig und absolut. C(x) ist daher stetig und gleich c(x) := (x − π)2 π 2 − , 0 ≤ x ≤ 2π, 4 12 wie sich zeigen wird. Auf R ist C(x) die gerade 2π–periodische Fortsetzung hiervon. Gliedweise Differentiation von −C(x) führt formal zu SN (x) = N X sin(nx) n n=1 mit SN (0) = 0. Ist gliedweise Differentiation gestattet? Als Grenzfunktion wird sich die 2π–periodische Sägezahnfunktion s : R → R mit 1 s(x) := (π − x), 0 < x < 2π, 2 1 mit s(0) := [s(0+) + s(0−)] = 0 2 ergeben. Beachte s(x) = −c′ (x) auf (0, 2π). • Die Dirichlet-Kerne DN (x) := N X n=−N einx = 1 + 2cosx + · · · + 2cos(Nx) = sin(N + 12 )x sin x2 für alle x 6= 2mπ erfüllen DN (2mπ) = 2N + 1 (m ∈ Z) wegen der geometrischen Summenformel. Für 0 < x < 2π dividiert man durch 2, integriert von π nach x und erhält Z x sin(N + 12 )t x−π sinNx x−π dt + SN (x) = + sinx + · · · + = RN (x) := 2 2 N 2sin 2t π mit |RN (x)| ≤ 1+1 , 0 < x < 2π. (2N + 1)sin x2 Punktweise an x ∈ (0, 2π) strebt RN (x) also gegen 0. 14 KAPITEL 2. ANALYSIS-GRUNDLAGEN • Auf kompakten Teilintervallen [ρ, 2π − ρ] hat man wegen der |RN |–Abschätzung gleichmäßige Konvergenz der Reihe gegen s(x). • Man hat die Mittelwerteigenschaft für die Grenzfunktion S der SN : 1 S(x) = [s(x+) + s(x−)]. 2 An den Unstetigkeiten verifiziert man dies direkt – sonst Satz 2.3. • Man hat das Gibbs–Phänomen an Unstetigkeitsstellen: Für große N überschwingen die Partialsummen SN (x) den Sprung von s(x) um etwa 17.89 Prozent (beim Periodenintervall [0, 2π]). Betrachte dazu RN (x) nahe x = 0 und die erste positive Maximalstelle ξN := 2N2π+1 . Für N → ∞ geht ξN gegen 0. Es gilt lim |SN (ξN ) − s(0)| = 1.1789... · |s(0+) − s(0)|. N →∞ • c(x) ergibt sich mit gliedweiser Integration von S(x) = s(x). Die Konstante −π 2 /12 in c(x) ergibt sich aus gliedweiser Integration der C(x)–Reihe über [0, 2π], denn deren Integral ist 0. Also muß dies auch für das Integral über c(x) richtig sein. • Spezielle Reihenwerte: C(0) = π 2 /6, C(π) = π 2 /12. 2.2 Parameterabhängige Integrale Literatur: [1] 430–435, [2] 347 Satz 2.9 (Eigentliche Integrale) Ist die vom Parameter λ abhängige Funktion f : D = [a, b] × [α, β] → R, (t, λ) 7→ f (t, λ) stetig, so gelten: Rb (a) F (λ) := a f (t, λ)dt ist auf [α, β] stetig. ∂ (b) Existiert überdies die (partielle) Ableitung ∂λ f (t, λ) auf D und ist sie dort stetig, so ist F (λ) stetig differenzierbar mit Z b ∂ ∂ F (λ) = f (t, λ)dt. ∂λ a ∂λ (c) Satz von Fubini: Z β Z b Z bZ β f (t, λ)dtdλ = f (t, λ)dλdt. a α R∞ Uneigentliche Integrale – z.B. der Form – a f (t, λ)dt sind als Grenzwerte Z bn f (t, λ)dt (bn → ∞) lim Fn (λ) mit Fn (λ) := α n→∞ a a definiert. Bei gleichmäßiger Konvergenz gegen F (λ) kann man dann Differentiation und Limes vertauschen. Eine hinreichende Bedingung bietet der folgende Satz. 2.2. PARAMETERABHÄNGIGE INTEGRALE 15 Satz 2.10 (Uneigentliche Integrale) • Die vom Parameter λ abhängige Funktion f : D = [a, b) × [α, β] → R, (t, λ) 7→ f (t, λ) sei stetig und es existiere eine Funktion g : [a, b) → R mit den Eigenschaften Z |f (t, λ)| ≤ g(t) auf D, b g(t)dt < ∞ . a Dann gelten: (a) Das uneigentliche Integral F (λ) := lim λ→λ0 Z b Rb a f (t, λ)dt konvergiert und ist stetig: Z f (t, λ)dt = a Überdies liegt Vertauschbarkeit vor: Z b Z β Z f (t, λ)dλ dt = a α b f (t, λ0 )dt. a β α Z b a f (t, λ)dt dλ. ∂ f (t, λ) ebenfalls auf D stetig und exi(b) Ist überdies die (partielle) Ableitung ∂λ stiert eine Funktion h : [a, b) → R mit den Eigenschaften ∂ | f (t, λ)| ≤ h(t) auf D, ∂λ Z a b h(t)dt < ∞, so ist F (λ) stetig differenzierbar mit der Ableitung ∂ F (λ) = ∂λ • Ist f : R2 → R stetig mit Z Z R R Z b a ∂ f (t, λ)dt. ∂λ R |f (x, y)|(dxdy) < ∞, so gilt Z Z f (x, y)dx dy = f (x, y)dy dx . R2 R Beachte: Die gleichmäßige Konvergenz von nicht aus. R R R f (x, y)dy für x ∈ R reicht i.a. hierfür Bemerkung 2.11 [Kettenregel] Unter geeigneten Voraussetzungen gilt ∂ ∂λ Z β(λ) α(λ) ′ ′ f (t, λ)dt = f (β(λ), λ)β (λ) − f (α(λ), λ)α (λ) + Z β(λ) α(λ) ∂ f (t, λ)dt. ∂λ 16 KAPITEL 2. ANALYSIS-GRUNDLAGEN Beispiel 2.12 [Anwendungen] (a) Ableitung der Gamma–Funktion: Z ∞ Z x−1 −t ′ Γ(x) = t e dt ⇒ Γ (x) = 0 ∞ tx−1 e−t ln t dt. 0 (b) Laplace–Transformation (cf. [2] 71): F (s) = L{f (t)} := Z ∞ e−st f (t)dt 0 falls das uneigentliche Integral existiert. R∞ 1 • Für f (t) = sint t ergibt sich F ′ (s) = − 0 e−st sin t dt = − 1+s 2 für s > 0 (vgl. Satz 2.10 mit s ≥ s0 > 0 ). Also folgt F (s) = c − arctan s mit c = π2 (F (∞) = 0). Insbesondere gilt F (0) = π2 . • Für f (t) = eµt mit komplexem µ erhält man F (s) = Exponentiell beschränkte Funktionen f mit 1 , s−µ falls Re(s − µ) > 0. |f (t)| ≤ Mekt haben L–Transformierte für s > k, deren Urbildfunktionen bis auf endlich viele Punkte eindeutig bestimmt sind. Unter Umständen erhält man L{f ′(t)} = sL{f (t)} − f (0+). Ein Anfangswertproblem ẋ + ax = f (t), x(0) = x0 , mit konstanten Koeffizienten kann man L–transformieren zu (sX − x0 ) + aX = F (s), woraus sich F (s) + x0 s+a ergibt. Rücktransformation x(t) = L−1 {X(s)} liefert dann die Lösung (Funktionentheorie!). Man benutzt hierzu Tabellen. X(s) = (c) Fourier–Transformation (cf. [2] 350): F (ω) = F {f (t)} := Z ∞ e−iωt f (t)dt , −∞ falls existent (f muß schnell fallen!). Die Rücktransformation ist dann Z ∞ 1 −1 eiωt F (ω)dω, f (t) = F {F (ω)} := 2π −∞ 2.2. PARAMETERABHÄNGIGE INTEGRALE 17 falls existent. Man hat F {f ′ (t)} = iωF (ω), F ′ (ω) = F {−itf (t)}. Die Differentialgleichung ẋ + ax = f (t), a > 0, führt zu 1 F (ω) = H(ω) F (ω). iω + a Für h(t) = e−at für t ≥ 0 und 0 für t < 0 mit F {h} = H gilt dann Z ∞ Z t x(t) = (h ∗ f )(t) := h(t − τ )f (τ )dτ = h(t − τ )f (τ )dτ, X(ω) = −∞ −∞ falls existent (z.B. für f (t) = e−|τ | und a > 1), was eine Lösung der Differentialgleichung sein sollte. Wodurch ist sie charakterisiert? 18 KAPITEL 2. ANALYSIS-GRUNDLAGEN Handout zur SVP–Vorlesung 2014 Kapitel 3 Fourier–Analysis 3.1 Die schwingende Saite In diesem Abschnitt berechnen wir formal die Lösung u(x, t) der Wellengleichung (vgl. [2] pp.387) utt = c2 uxx u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x), u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, 0 ≤ x ≤ π, t≥0 über [0, π] × [0, ∞) für g(x) ≡ 0 und allgemeines f (x). Der Separationsansatz u(x, t) = X(x)T (t) führt (aus physikalischen und mathematischen Gründen) zu den Gleichungen ′′ X + λ2 X = 0, T̈ + λc2 T = 0 mit den Nebenbedingungen X(0) = X(π) = 0, X(x)T (0) = f (x), X(x)Ṫ (0) = 0. Nichttrriviale Lösungen erhält man für λ = λn = n ∈ Z, nämlich X(x) = Xn (x) = sin nx. Die entsprechenden T –Lösungen sind dann T (t) = Tn (t) = an cos cnt + bn sin cnt. Die n–te Eigenschwingung un (x, t) = Xn (x)Tn (t), n ∈ N, besitzt die Frequenz cn mit der p 2 2 Amplitude an + bn . Durch Superposition u(x, t) := ∞ X n=1 19 un (x, t) 20 KAPITEL 3. FOURIER–ANALYSIS der Eigenschwingungen verucht man nun die Anfangsbedingungen zu erfüllen: P u(x, 0) = ∞ n=1 an sin nx = f (x) , P∞ ut (x, 0) = n=1 bn cn sin nx = g(x) = 0 . Die beiden Reihen bestehen aus ungeraden Gliedern. Daher denke man sich f ungerade zu einem 2π–periodischen f˜ fortgesetzt. Man multipliziert die Gleichungen mit sin mx und integriert über [−π, π] und erhält formal (vgl. Übung 8.4) Z 2 π an = f (s)sin ns ds, bn = 0. π 0 Die formale Lösung ist dann R Rπ P 2 π sin nx [ u(x, t) = ∞ f (s)sin ns ds] cos cnt = G(x, t; s)f (s)ds ≡ Gf (x, t) n=1 π 0 0 mit der Kernfunktion G(x, t; s) = ∞ ∞ 1X 2X sin nx cos cnt sin ns = [sin (n(x − ct)) + sin (n(x + ct))] sin ns. π n=1 π n=1 Für die in der Mitte angezupfte Saite mit π π f (x) = βx für x ∈ [0, ], f (x) = β(π − x) für x ∈ [ , π] 2 2 ergeben sich die Amplituden aus den nπ 4β 1 1 4β sin = (1, 0, − , 0, , 0, ... ), bn = 0. 2 nπ 2 π 9 25 Der Ton ist rein, da die Obertöne schnell schwach werden. Der Ton ist weich, da die geraden Oberschwingungen fehlen. Für die am Ende angezupfte Saite mit an = f (x) = αx auf [0, π), f (π) = 0, ergeben sich die Amplituden aus den 2α 1 1 cos nπ = 2α (1, − , , ... ), n 2 3 Der Ton ist nicht rein und hart. an = − bn = 0. Wann ist diese Vorgehen in Ordnung? Es stellen sich folgende Fragen: • Wann und wo konvergiert die un –Reihe? Wo konvergiert sie gleichmäßig? P • Wann konvergiert die Reihe an sin nx mit den angegebenen an wirklich gegen f ? • Wann kann man Integration und Summation vertauschen? • Wann kann man beim Verifizieren, daß u Lösung ist, Differentiation und Summation vertauschen? • Ist u die Lösung der Wellengleichung? 3.2. FOURIERREIHEN 3.2 21 Fourierreihen Literatur: [2] pp.286-319 Eine Funktion f : R → R oder R → C heißt periodisch, wenn ein T > 0 exisiert mit f (t + T ) = f (t) für alle t ∈ R. Das minimale T > 0 nennt man die Periode von f . f heißt dann auch T –periodisch. Auf [0, T ] definierte Funktionen f kann man auf verschiedene Weisen zu T – oder 2T – periodischen Funktionen – wieder f genannt – fortsetzen, z.B. (a) direkte T –periodische Fortsetzung, (b) gerade 2T –periodische Fortsetzung, (c) ungerade 2T –periodische Fortsetzung. Notationen: Wir gehen im folgenden stets von mindestens stückweise stetigen 2π–periodischen Funktionen f, g, ... von R nach R oder C (mit höchstens endlich vielen Unstetigkeitsstellen) aus, denn wir werden Integrationen durchführen. Wir setzen Z 2π p 1 < f, g >:= f (t)g(t)dt, ||f ||2 := < f, f >. 2π 0 Wir definieren Φk (t) := eikt , k ∈ Z, und erhalten die Orthonormalitätsrelationen Z 2π 1 eimt e−int dt = δmn . < Φm , Φn >= 2π 0 Definition 3.1 Als trigonometrisches Polynom (der Periode 2π) bezeichnet man jede Funktion der Form N X N a0 X f (t) = ck Φk (t) = + [an cos nt + bn sin nt] 2 n=1 k=−N mit komplexen Koeffizienten ck , an , bn . Ist |c−N | + |cN | = 6 0 bzw. |aN | + |bN | = 6 0, so nennt man N den Grad von f . Trigonometrische Reihen schreibt man entsprechend (auch im Falle der Divergenz). Satz 3.2 Für ein trigonometrisches Polynom f vom Grad N gelten: (a) a0 = 2c0 , an = cn + c−n , bn = i(cn − c−n ), R 2π 1 f (t)e−ikt dt, (b) ck =< f, Φk >= 2π 0 (c) f ≡ 0 ⇔ ck = 0, (−N ≤ k ≤ N), 22 KAPITEL 3. FOURIER–ANALYSIS (d) f reellwertig ⇔ ck = c−k (0 ≤ k ≤ N), (e) f hat höchstens 2N Nullstellen in [0, 2π). Beispiel 3.3 P∞ int konvergiert für kein einziges t (vgl. Bsp. 2.8). (a) −∞ e (b) Aus der geometrischen Reihe erhält man für |r| < 1: ∞ X n int r e n=0 ∞ 1 − r2 [1 − rcost] + i rsint X |n| int , r e = . = 2 1 − 2rcost + r 2 1 − 2rcost + r n=−∞ Die Koeffizientenformeln in Satz 3.2 (b) gelten bei gleichmäßiger Konvergenz auch für Reihen (cf. Satz 2.4): Satz 3.4 P Konvergiert eine trigonometrische Reihe ck eikt gleichmäßig auf [0, 2π] gegen eine Funktion f (t), so ist f auf R stetig mit ck =< f, Φk > für k ∈ Z. Definition 3.5 (Fourierreihen) Für stückweise stetiges f : [0, 2π] → C definiert man die zugehörige Fourierreihe durch Sf (t) = ∞ X ck Φk (t) = k=−∞ ∞ X ck eikt k=−∞ mit den Fourierkoeffizienten 1 ck =< f, Φk >= 2π Man hat also: Sf (t) = P∞ 1 −∞ 2π R 2π 0 Z 2π f (t)e−ikt dt. 0 f (τ )Φk (t − τ )dτ = P∞ 1 −∞ 2π R 2π 0 f (t − τ )Φk (τ )dτ. Sei SN die N–te Partialsumme von Sf . Dann gelten aufgrund der Orthonormalität < SN , SN >= N X k=−N |ck |2 =< f, SN > . Daraus folgt 0 ≤ ||f − SN ||22 =< f − SN , f − SN >= ||f ||22 − Resultat liefert: PN k=−N |ck |2 , was folgendes Satz 3.6 (Besselungleichung) P 2 2 Für jede stückweise stetige f auf [0, 2π] gilt ∞ k=−∞ |ck | ≤ ||f ||2. P∞ Funktion 2 und lim|n|→∞ cn = 0. Insbesondere gelten k=−∞ |ck | < ∞ 3.2. FOURIERREIHEN 23 Bemerkung 3.7 [Faltung] Haben Sf und Sg die Fourierkoeffizienten ck bzw. dk , so hat die Faltung von f und g Z 2π 1 (f ∗ g)(t) := f (s)g(t − s)ds 2π 0 P die Fourierkoeffizienten ck dk . Es gilt also Sf ∗g = ∞ −∞ ck dk Φk (t). Dies beweist man durch Vertauschung der auftretenden Doppelintegrale. Die Dirichlet-Kerne DN (x) aus Bsp. 2.8 Rπ 1 D (x)dx = 1, erfüllen DN (0) = 2N + 1 und erlauben die Darhaben Mittelwert 2π N −π stellung der N–ten Partialsumme der Fourierreihe Sf (x) als Faltung Z π 1 Sf,N (x) = f (x − t)DN (t)dt = (f ∗ DN )(x) . 2π −π Die Dirichlet-Kerne DN (x) approximieren irgendwie den Dirac–Impuls. Wir untersuchen im folgenden, wann die Fourierreihe Sf gegen f konvergiert. Satz 3.8 (Vollständigkeit) Hat eine stückweise stetige, 2π–periodische Funktion f : R → C die 1 Mittelwerteigenschaft: f (t) = [f (t−) + f (t+)], t ∈ R, 2 und gilt < f, Φk >= 0 für alle k ∈ Z, so ist f (t) ≡ 0. Insbesondere gelten: (a) Haben zwei in [0, 2π] stückweise stetige Funktionen dieselben Fourier–Koeffizienten und besitzen beide die Mittelwerteigenschaft, so sind sie identisch (Eindeutigkeit). (b) Ist f stetig und 2π–periodisch und konvergiert die Fourierreihe Sf gleichmäßig auf [0, 2π], so gilt f (t) = Sf (t) für alle t ∈ R. (c) Für in [0, 2π] stückweise stetiges, 2π–periodisches f gilt die Parsevalsche Gleichung: ∞ X −∞ |ck |2 = ||f ||22. (d) Konvergenz im quadratischen Mittel: Die Fourierreihe Sf einer auf [0, 2π] stückweise stetigen Funktion f konvergiert stets auf [0, 2π] im quadratischen Mittel gegen f , d.h. limN →∞ ||f − SN ||2 = 0. Die Betrachtungen im Beispiel 2.8 übertragen sich auf beliebige periodische Funktionen, falls die nicht zu wild sind. Satz 3.9 (Darstellungssatz) Ist f : R → C eine 2π–periodische, stückweise stetig differenzierbare Funktion, für welche in den Ausnahmestellen alle möglichen einseitigen Grenzwerte von f und f ′ existieren, so gilt für ihre Fourierreihe Sf : 24 KAPITEL 3. FOURIER–ANALYSIS (a) Ist f stetig auf einem [a, b], so konvergiert dort Sf gleichmäßig gegen f . (b) Sf (t) = 21 [f (t+) + f (t−)] für alle t ∈ R. (c) An jeder Sprungstelle tritt das Gibbs–Phänomen auf (vgl Bsp. 2.8). Bemerkung: Schreibt man in den Unstetigkeitsstellen den Mittelwert vor, so gilt praktisch immer f = Sf . Satz 3.10 (Abschätzung der F–Koeffizienten) Ist f 2π–periodisch und sind f, f ′ , ..., f (m) stetig mit stückweise stetig differenzierbarem f (m+1) (z.B. f ∈ C m+2 ), so gilt für die Fourierkoeffizienten ck |ck | ≤ M |k|m+2 (k 6= 0) mit einer Konstanten M – beachte < f ′ , Φk >= ik < f, Φk >. Bemerkung 3.11 [Lokalisierungssatz] Stetigkeit von f allein genügt nicht einmal für globale punktweise Konvergenz (du BoisReymond, 1873). Vgl. in diesem Zusammenhang Rudin ([3] p.184/5 oder Real and Complex Analysis, pp.106-108): Man hat gemäss Bemerkung 3.7 und Bsp. 2.8 Rπ f (x−t)−f (x) sin((N + 12 )t)dt = sin(t/2) R π f (x−t)−f (x) R π f (x−t)−f (x) 1 1 cos(t/2)sin(Nt)dt + 2π sin(t/2)cos(Nt)dt. 2π −π sin(t/2) sin(t/2) −π Sf,N (x) − f (x) = 1 2π −π Ist nun f Lipschitz-stetig an x [i.e. existieren positive Konstanten δ und L mit |t| < δ ⇒ |f (x + t) − f (x)| ≤ L|t| (beschränkter Differenzenquotient!)], so sind die Faktoren von sin(Nt) bzw. cos(Nt) beschränkt. Folglich konvergieren die beiden Integrale gegen 0 für N → ∞ und man hat punktweise Konvergenz. Daraus ergibt sich der folgende Lokalisierungssatz für Fourierreihen: • Gilt f (ξ) = g(ξ) in einer geeigneten Umgebung von x, so gilt Sf,N (x) − Sg,N (x) = Sf −g,N (x) → 0, N → ∞. Anders als bei Potenzreihen können sich zwei Fourierreihen in einem Intervall gleich verhalten, in einem anderen Intervall jedoch kann ihr Verhalten völlig verschieden sein. 3.3 Fouriertransformation Literatur: [2] pp.337–351 und 393/4 3.3. FOURIERTRANSFORMATION 25 Definition 3.12 Eine Funktion f : R → C heißt Fourier–transformierbar, wenn Z T e−iωt f (t)dt F (ω) := F {f (t)} := lim T →∞ −T R für alle ω ∈ R existiert. Man schreibt auch kürzer: R e−iωt f (t)dt. Die inverse Fouriertransformation von F : R → C lautet dann Z 1 −1 eiωt F (ω)dω. F {F (ω)} := 2π R Beispiel 3.13 (a) Der Rechteckimpuls f (t) = a oder = 0 für |t| ≤ b bzw. |t| > b hat die F – Transformation 2ab sinωb . ωb (b) Der abfallende Impuls f (t) = e−at für t ≥ 0 und 0 sonst (mit a > 0) führt zu 1 , der beidseitig abfallende Impuls f (t) = e−a |t| zu F (ω) = a22a . Man F (ω) = a+iω +ω 2 sieht: Ist f langsam fallend, so ist F schnell fallend (und umgekehrt). 2ε Insbesondere liefert fε (t) := e−ε|t| die Funktion Fε (ω) := ε2 +ω 2 . Für ε → 0 streben fε und Fε gegen 1 bzw. 0, aber das Integral von Fε über R hat Grenzwert 2π: Z x Fε (ω)dω = 2arctan |+∞ = 2π . ε −∞ R Mit der ”Dirac–Delta–Funktion”δ(t), die man sich durch 1 für 0 < t < ε, δε (t) = ε δε (t) = 0 sonst , Z δε (t)dt = 1, R approximiert denken kann und die vorerst aber nur unter dem Integral im Sinne von Z Z f (t)δ(t − t0 )dt := lim f (t)δε (t − t0 )dt ε→0 R R benutzt werden sollte [ – für stetiges f erhält man den Funktionswert f (t0 ) – ], folgt . . F {1} = 2πδ(ω), F {δ(t − a)} = e−iωa . (c) Die Heavyside–Funktion H(t) = 1 für t > 0 und 0 sonst hat die F –Transformation 1 + πδ(ω). Beachte δε (t) = 1ε [H(t) − H(t − ε)]. iω Bemerkung 3.14 [Rechenregeln] (a) Ist f stetig und stückweise stetig differenzierbar und ist f ′ F – transformierbar, so gilt mit partieller Integration F {f ′ (t)} = iωF (ω). Analog gilt: iF ′ (ω) = i ∂ e−iωt f (t)dt R ∂ω R = F {tf (t)} – vgl. Satz 2.10. 26 KAPITEL 3. FOURIER–ANALYSIS (b) Für das Faltungsprodukt (f ∗ g)(t) := Z R f (t − s)g(s)ds = Z R f (s)g(t − s)ds gilt die Produktregel F {(f ∗ g)(t)} = F (ω) · G(ω), falls die auftretenden Integrale Sinn machen – vgl. Satz 2.10. Analog gilt: F {f (t) · g(t)} = 1 (F 2π ∗ G)(ω) – vgl. Satz 2.10. Definition 3.15 Eine Funktion f : R → C heißt R absolut integrierbar, wenn sie auf jedem endlichen Intervall stückweise stetig ist mit R |f (t)|dt < ∞. Satz 3.16 (Konvergenzsatz) Ist f absolut integrierbar, so existiert F (ω) = F {f (t)} für alle ω. F ist stetig und beschränkt auf R und es gilt die Plancherel–Gleichung Z Z 1 2 |F (ω)| dω = |f (t)|2 dt. 2π R R Beachte: F ist nicht notwendig absolut integrierbar. Satz 3.17 (Fourier–Integraltheorem) Ist f absolut integrierbar und in jedem endlichen Intervall stückweise stetig differenzierbar, so gilt auf R Z Z Ω 1 1 −iωt iωx [f (x+) + f (x−)] = lim e f (t)dt dω. e 2 2π Ω→∞ −Ω R Satz 3.18 (Umkehrsatz/Eindeutigkeitssatz) Ist f absolut integrierbar, in jedem endlichen Intervall stückweise stetig differenzierbar und besitzt f die Mittelwerteigenschaft, dann ist mit f (t) auch F (ω) F –transformierbar und es gilt 1 F −1 {F (ω)} = F { F (−ω)} = f (t) für alle t ∈ R. 2π Beispiel 3.19 (a) Der RC–Tiefpaßfilter ρẋ + x = u(t) mit ρ = RC > 0 führt bei existenten F – Transformierten zu 1 X(ω) = U(ω) =: H(ω)U(ω). 1 + iωρ Die Übertragungsfunktion H(ω) ist die F –Transformierte des einseitig abfallenden Impulses h(t) = ρ−1 e−t/ρ für t > 0 aus Bsp. 3.13 (b). Man erhält daher die für t → −∞ beschränkte Lösung Z t x(t) = (h ∗ u)(t) = ρ−1 e−(t−s)/ρ u(s)ds. −∞ 3.3. FOURIERTRANSFORMATION 27 (b) Die Wärmeleitungsgleichung auf dem ganzen x–Raum ut = a2 uxx mit u(x, 0) = f (x) für x ∈ R, t > 0 liefert bei Separationsansatz – bei ’anständigem’ f – Z u(x, t) = [a(λ)cos(λx) + b(λ)sin(λx)] exp(−a2 λ2 t)dλ R mit den Koeffizienten 1 a(λ) = 2π Z f (s)cos(λs)ds, R Dies läßt sich mit der Kernfunktion r G(x, t, s) := 1 b(λ) = 2π Z f (s)sin(λs)ds . R 1 (s − x)2 exp(− ) 4a2 πt 4a2 t R auch in der Form u(x, t) = R G(x, t, s)f (s)ds schreiben. Dies sollte für auf dem Abschluß stetige und im Inneren zweimal stetig differenzierbare Funktionen die eindeutige Lösung sein (mit limtց0 u(x, t) = f (x)). Zur Herleitung mit der F –Transformation: Für die Fouriertransformierten gelten Ut = −a2 ω 2 U, U(ω, t) = F (ω) exp(−a2 ω 2t). ω Nun erfüllt g(ω) := F {exp(−βx2 )} mit β > 0 die Differentialgleichung g ′ + 2β g=0 p 1 gilt: mit g(0) = π/β. Mit a2 t = 4β h(x) := r 1 x2 exp(− ) 4πa2 t 4a2 t ⇒ H(ω) := F {h(x)} = exp(−a2 ω 2 t). Also gelten U(ω, t) = F (ω) · H(ω) = F {(f ∗ h)(t)} und u(x, t) = (f ∗ h)(t). 28 KAPITEL 3. FOURIER–ANALYSIS Handout zur SVP–Vorlesung 2014 Kapitel 4 Die klassischen PDEs 4.1 Wellengleichung Die Wellengleichung aus dem ersten Abschnitt hat die formale Lösung uM (x, t) = = = 4β P∞ 1 nπ n=1 n2 sin 2 sin nx cos cnt π P∞ 1 1 4β nπ [ n=1 n2 sin 2 {sin n(x − ct) 2 π 1 ˜ [f (x − ct) + f˜(x + ct)] 2 + sin n(x + ct)}] für die in der Mitte bzw. uE (x, t) = −2α P∞ 1 n=1 n cos nπ sin nx cos cnt für die am Ende angezupfte Saite (cf. d’Alembert–Ansatz). Die Konvergenz an t = 0 gegen die Anfangsfunktion ist gewährleistet. Die uM –Reihe konvergiert offensichtlich gleichmäßig. Für die uE –Reihe könnte dies gemäß Bsp. 2.8 auch der Fall sein (???). Integration und Summation sind dann vertauschbar, so daß die Darstellungen mit der Kernfunktion zulässig sind. Die gliedweise Differentiation ist erscheint nicht gestattet. Die beiden Anfangsfunktionen sind nicht glatt genug. Man sollte ein zweimal stetig differenzierbares f˜ mit stückweise stetig differenzierbarer dritter Ableitung haben (vgl. Satz 3.10). Oder man ersetzt gleich f˜ durch eine Partialsumme seiner Fourierreihe. 4.2 Potentialgleichung Das Dirichlet–Problem für die Potentialgleichung im Kreis ist (vgl. [2] 391) uxx + uyy = 0 für x2 + y 2 < 1 , u(x, y) = f (x, y) für x2 + y 2 = 1 29 30 KAPITEL 4. DIE KLASSISCHEN PDES mit einer stetig differenzierbaren reellen Randfunktion f . In Polarkoordinaten lautet dies urr + 1r ur + 1 u r 2 ϕϕ = 0, 0 < r < 1, u(0+, ϕ) beschränkt , u(1, ϕ) = g(ϕ) := f (cosϕ, sinϕ). Man verifiziert, daß u = un (r, ϕ) = r n e±inϕ , n = 0, 1, ... , die Differentialgleichung löst. Durch Superposition gelangt man zum Ansatz u(r, ϕ) = ∞ X |k| ikϕ ck r e mit u(1, ϕ) = ∞ X ! ck eikϕ = g(ϕ). k=−∞ k=−∞ Also sollten die ck die Fourierkoeffizienten von g sein. g sollte dabei in der Tat gleich seiner Fourierreihe Sg sein. Mit Beispiel 3.3 und Bemerkung 3.7 ergibt sich formal Z 2π 1 u(r, ϕ) = G(r, ϕ; ψ)g(ψ)dψ = Gg(r, ϕ) , r < 1 2π 0 mit der Kernfunktion G(r, ϕ; ψ) := 1 − r2 . 1 − 2rcos(ϕ − ψ) + r 2 Die Fourierkoeffizienten von u sind ck r |k| . Sie erzeugen für r < 1 Glattheit der Lösung, so daß gliedweise Differentiation bzw. Differentiation unter dem Integral gestattet sind. Für welche g gilt limrր1 u(r, ϕ) = g(ϕ)? 4.3 Wärmeleitungsgleichung Die Wärmeleitungsgleichung (vgl. [2] pp.383–386) ut = a2 uxx + F (x, t), a > 0, u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ π, u(0, t) = g(t), u(π, t) = h(t), t≥0 über [0, π] × [0, ∞) behandelt man in drei Schritten. • F ≡ 0, g ≡ 0, h ≡ 0: Hier muß dann auch f (0) = 0 = f (π) gelten. Der Separationsansatz u(x, t) = X(x)T (t) führt zu den Gleichungen ′′ X + λ2 X = 0 mit X(0) = X(π) = 0, Ṫ + λ2 a2 T = 0, Nichttrriviale Lösungen erhält man für λ = n ∈ Z: Xn (x) = sin nx. Die entsprechenden T –Lösungen sind dann Tn (t) = cn exp(−a2 n2 t). Nach Superposition u(x, t) := ∞ X n=1 2 n2 t cn e−a sin nx 4.4. STURM–LIOUVILLE RANDWERTPROBLEME soll gelten: u(x, 0) = ∞ X 31 cn sin nx = f (x) . n=1 2 π Rπ Man errechnet cn = f (s)sin ns ds . Die Lösung u(x, t) = Gf (x, t) ist dann 0 R Rπ P 2 π −a2 n2 t = 0 G(x, t; s)f (s)ds u(x, t) = ∞ n=1 sin nx [ π 0 f (s)sin ns ds] e mit der Kernfunktion G(x, t; s) = ∞ 2X 2 2 sin nx sin ns e−a n t π n=1 . Die Zeitfaktoren bewirken wieder eine Glättung der Lösung für t > 0, falls f am Rand ebenfalls mitsamt seinen Ableitungen verschwindet. Für welche f gilt limtց0 u(x, t) = f (x) ? Dies ist eine Frage der gleichmäßigen Konvergenz. • g ≡ 0, h ≡ 0: Man bestimmt die Fourier–Sinus–Reihe von F bezüglich x mit den Fourierkoeffizienten Fn (t), was mit dem Ansatz u(x, t) := ∞ X un (t) sin nx n=1 zu den Differentialgleichungen u̇n = −(an)2 un + Fn (t) mit un (0) = cn , führt. Deren Lösung ist −a2 n2 t un (t) = e cn + Z t 2 n2 (t−τ ) e−a Fn (τ )dτ. 0 • Der allgemeine Fall wird über x [h(t) − g(t)], π auf den letzten Fall zurückgeführt. v(x, t) ist dann als Lösung einer Gleichung mit homogenen Randbedingungen zu bestimmen: u(x, t) = v(x, t) + w(x, t), w(x, t) := g(t) + vt = a2 vxx + F (x, t) − wt (x, t), v(x, 0) = f (x) − w(x, 0), v(0, t) = 0, v(π, t) = 0, 4.4 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0. Sturm–Liouville Randwertprobleme Für eine heuristische Einfürung siehe Appendix A.4.2. Diesem Thema Sturm–Liouville ist der Appendix D gewidmet. Beachte auch die entsprechenden Aufgaben. 32 KAPITEL 4. DIE KLASSISCHEN PDES Handout zur SVP–Vorlesung 2014 Kapitel 5 Integraltransformationen Literatur: [8], [2], [10]. 5.1 Anwendungen der Fourier–Transformation Für die grundlegenden Definitionen F (λ) = R∞ f (ξ)e−iλξ dξ = F (f (·))(λ) (5.1) 1 2π R∞ F (λ)eiλx dλ = F −1 (F (·))(x) (5.2) und f (x) = −∞ −∞ Resultate siehe Abschnitt 3.3 und das Handout zur Vorlesung (Eigenschaften/Tabelle). Aufgrund der Differentiationsformel F (f ′ )(ω) = iωF (f )(ω) (5.3) und der Faltungsformel (f ⋆ g)(t) ≡ R∞ −∞ f (t − s)g(s)ds ⇒ F (f ⋆ g) = F (f ) · F (g) (5.4) eignet sich die F –Transformation für ODEs, PDEs und Integralgleichungen. 5.1.1 Heuristik (a) Beschränkte ODE–Lösung Betrachte bei e–stabilem A und beschränktem f u′ = du dx = Au + f (x) 33 (5.5) 34 KAPITEL 5. INTEGRALTRANSFORMATIONEN und suche/bestimme die auf ganz R beschränkten Lösungen. Multiplikation mit e−Ax und Integration von 0 nach x liefert e−Ax u(x) − u0 = Bei beschränktem u(x) folgt für x → −∞: Rx 0 e−Aξ f (ξ)dξ. R −∞ e−Aξ f (ξ)dξ, Rx R∞ u(x) = −∞ eA(x−ξ) f (ξ)dξ = 0 eAs f (x − s)ds . u0 = 0 (5.6) (5.7) Das ist in der Tat die einzige global beschränkte Lösung von (5.5). (b) Beschränkte ODE–Lösung (Fourier) Betrachte nun den skalaren Fall. Man kann auch (5.5) mit e−iλx multiplizieren und – unter geeigneten Voraussetzungen – über ganz R integrieren. Bei der partiellen Integration erzwinge man verschwindende Rand-Terme. Es folgen iλ R R u(x)e−iλx dx = A oder in Kurzschreibweise R R u(x)e−iλx dx + R R f (x)e−iλx dx iλû(λ) = Aû(λ) + fˆ(λ) (5.8) (5.9) mit Lösung û(λ) = ĥ(λ)fˆ(λ), ĥ(λ) = 1 . iλ−A (5.10) Die Rücktransformation û(λ) → u(x) ist i.a. problematisch, hier nicht. Mit der Faltungsregel folgt (5.7). Die an f und u zu stellenden Forderungen sind dabei ziemlich restriktiv. (c) Beschränkte PDE–Lösung (Fourier) Betrachte nun den skalaren PDE–Fall auf R × R+ : ut = a2 uxx , u(x, 0) = f (x) auf R, u global beschränkt. (5.11) Man multipliziert mit e−iλx und integriert über R und erhält – unter geeigneten Voraussetzungen – ût (λ, t) = (iλ)2 a2 û(λ, t), û(λ, 0) = fˆ(λ). (5.12) fˆ(λ). (5.13) Die Lösung hiervon ist 2 λ2 t û(λ, t) = e−a Die Rücktransformation û(λ, t) → u(x, t) ist i.a. problematisch, hier nicht. 5.1. ANWENDUNGEN DER FOURIER–TRANSFORMATION 5.1.2 35 PDEs Mit |f | ∈ L1 (R) und für (x, t) ∈ R × R+ betrachte man ut = a2 uxx , |u(x, t)| < ∞, (5.14) u(x, 0) = f (x). Der Separationsansatz u(x, t) = X(x)T (t) liefert die ODEs Ṫ + a2 λ2 T = 0, X ′′ + λ2 X = 0 (5.15) mit Lösungen T (t; λ) = exp(−a2 λ2 t), X(x; λ) = 1 S(λ)eiλx . 2π Die formale Summation/Integration liefert den Ansatz u(x, t) = R∞ T (t; λ)X(x; λ)dλ u(x, 0) = R∞ X(x; λ)dλ = f (x). mit der Anfangsbedingung Lässt sich f (x) schreiben als F (λ)eiλx dλ = F −1 (F (·))(x) (5.16) F (λ) = R∞ f (ξ)e−iλξ dξ = F (f (·))(λ) (5.17) (vgl. Satz 2.9), so liefert = = mit ! R∞ mit F –Transformierter = −∞ 1 2π f (x) = u(x, t) = −∞ −∞ −∞ R∞ T (t; λ)[F (λ)eiλx ]dλ −∞ R 2 2 ∞ R∞ 1 e−a λ t eiλx e−iλξ f (ξ)dλdξ 2π −∞ −∞ R∞ g(x − ξ, t)f (ξ)dξ −∞ √ R ∞ −z 2 √1 e f (x − z 4a2 t)dz → f (x) π −∞ (5.18) für t → 0 2 ]. g(x − ξ, t) = (4πa2 t)−1/2 exp[− (x−ξ) 4a2 t (5.19) Alternativ kann man die F –Transformation schon direkt auf die PDE (5.14) anwenden und erhält die vom Parameter λ abhängige ODE U̇(λ; t) = −a2 λ2 U(λ; t), U(λ; 0) = F (λ) 36 KAPITEL 5. INTEGRALTRANSFORMATIONEN mit der Lösung 2 λ2 t U(λ; t) = e−a F (λ) ≡ G(λ; t)F (λ). Die Rücktransformation des Produkts der λ–Funktionen G und F liefert die Faltung von g(·; t) und f (·), wie sie sich in (5.18) und (5.19) zeigt: u(x, t) = F −1 U(·; t)(x) = R∞ −∞ g(x − ξ, t)f (ξ)dξ . Bemerkung 5.1 [F –Sinus/Cosinus–Transformationen] Schreibt man fˆ(ω) = R f (t)[cosωt − i sinωt]dt = a(ω) − ib(ω), R a(ω) = R f (t)cos(ωt)dt, b(ω) = R f (t)sin(ωt)dt R R mit geradem a und ungeradem b, so gilt 2π f (t) = R [a(ω) − ib(ω)] · [cosωt + i sin(ωt)]dω R∞ = 2 0 [a(ω)cos(ω) + b(ω)sinωt)]dω. In einem reellen Ansatz R f (t) = R∞ 0 [A(λ)cosλt + B(λ)sinλt]dλ (5.20) hat man also Koeffizientenformeln A(λ) = 1 π R f (t)cos(λt)dt und B(λ) = R 1 π R R f (t)sin(λt)dt . (5.21) Beispiel 5.2 [Wärmeleitung auf [0, ∞)] Betrachte auf R+ × R+ ut = uxx , u(0, t) = 0, (5.22) |u(x, t)| ≤ M, u(x, 0) = f (x). Mit f ∗ (x) als ungerader Fortsetzung von f betrachte das Ersatzproblem ut = uxx , u(x, 0) = f ∗ (x), |u| ≤ M, (5.23) 2 wofür F –Transformation zu U(ω, t) = e−ω t F ∗ (ω) führt. Mit der Faltungseigenschaft und der Aufspaltung des Integrals auf (−∞, 0) und (0, ∞) ergibt sich – aus Tabelle – u(x, t) = √1 4πt R∞ 0 2 2 ] − exp[− (x+ξ) ]}f (ξ)dξ . {exp[− (x−ξ) 4t 4t (5.24) 5.1. ANWENDUNGEN DER FOURIER–TRANSFORMATION 37 Aufgabe (Wellengleichung für 0 < x < ∞): Man betrachte für (x, t) ∈ R+ × R+ utt = c2 uxx , u(0, t) = 0, u(x, 0) = f (x), (5.25) |u(x, t)| < ∞, ut (x, 0) = g(x) mit |f | ∈ L1 (R), |g| ∈ L1 (R). Bestimmen Sie eine formale Lösung u(x, t) mit Hilfe einer F –Transformation nach Bemerkung (5.1). Aufgabe (Potentialgleichung auf Halbraum): Man betrachte für (x, y) ∈ R × R+ uxx + uyy = 0, (5.26) |u(x, y)| < ∞, u(x, 0) = f (x) mit f ∈ C2 (R) und |f | ∈ L1 (R). Nutzen Sie die F –Transformation bzgl. der x–Variablen, um die Lösung u(x, y) = y π R∞ f (ξ) dξ −∞ (x−ξ)2 +y 2 mit u(x, 0+) = f (x) herzuleiten. = 1 π R π/2 −π/2 f (x − y tanτ )dτ für x ∈ R, y > 0 Aufgabe (Transmission Line): Betrachten Sie utt + αut + βu = γ 2 uxx , u(x, 0) = f (x), x ∈ R, > 0, ut (x, 0) = g(x) (5.27) mit positiven α, β, γ und |f | ∈ L1 , |g| ∈ L1 . Benutzen Sie die F –Transformation und berechnen Sie die Lösung der transformierten Gleichungen. 5.1.3 ODEs und Regelungstechnik Gegeben sei ein lineares zeit-invariantes System ẋ = Ax + Bu, (5.28) y = Cx mit n–dim. Zustand x, m–dim. Input u und q–dim. Output y. Die Eigenwerte von A mögen alle negativen Realteil besitzen, so dass zu auf R beschränktem Input u(·) genau ein auf ganz R beschränkter Zustand/Output xp (t) = Rt eA(t−s) Bu(s)ds / yp (t) = −∞ Rt −∞ CeA(t−s) Bu(s)ds 38 KAPITEL 5. INTEGRALTRANSFORMATIONEN gehört, wogegen ein jeder Zustand/Output von (5.28) strebt für t → ∞ strebt. Verifiziere! Setzt man K(t) = CeAt B für t ≥ 0, K(t) = 0 für t < 0, so hat man die Schreibweise yp (t) = R R K(t − s)u(s)ds in Form einer Faltung. Für u(t) gleich Dirac’s δ(t−t0 )u0 ergibt yp (t) = K(t−t0 )u0 . Daher nennt man K die Impulsantwortmatrix. Die F –Transformierte von K(t), ie. K̂(ω) = R R K(t)e−iωt dt, nennt man Frequenzgangmatrix, denn es gilt – bei Input u(t) = eiωt u0 – yp (t) = R R K(t − s)eiωs u0 ds = eiωt R R K(τ )e−iωτ u0 dτ = K̂(ω)eiωt u0 . Andererseits hat man aus einem Ansatz yp (t) = eiωt y0 yp (t) = C(iω − A)−1 Beiωt u0 = H(iω)u(t) mit der Übertragungsmatrix H(s) = C(s − A)−1 B und der Frequenzgangmatrix H(iω) = K̂(ω). Bemerkung 5.3 Mit der Plancherelformel (vgl. Satz 3.16) erhält man eine Abschätzung der Energie–Verstärkung, denn es gilt ||y||L2 ≤ ||H||∞||u||L2 , ||H||∞ := supω∈R |H(iω)|, bei ŷ(ω) = H(iω)û(ω) wegen (y, y)L2 = ≤ 1 (ŷ, ŷ)L2 2π 1 |H(iω)|2|û(ω)|2dω 2π R 1 (û, û)L2 = supω∈R |H(iω)|2(u, u)L2 supω∈R |H(iω)|2 2π R = Beispiel 5.4 Im Fall n = 4 mit A= 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −a0 −a1 −a2 −a3 , 5.1. ANWENDUNGEN DER FOURIER–TRANSFORMATION und u ∼ ′ Bu = e4 (b0 , b1 , 1) u , u′′ 39 C = eT 1 = (1, 0, 0, 0) entspricht (5.28) der ODE x(4) + a3 x(3) + a2 x′′ + a1 x′ + a0 x = u′′ + b1 u′ + b0 u mit y = x. Mit den Polynomen χA (s) = s4 + a3 s3 + a2 s2 + a1 s + a0 , χB (s) = s2 + b1 s + b0 ergibt sich so yp (t) = C(iω − A)−1 Beiωt u0 = χB (iω) iωt u0 χA (iω) e mit dem Frequenzgang H(iω) = 5.1.4 χB (iω) χA (iω) = |H(iω)|eiφ Integralgleichungen Gewisse Integralgleichungen (Faltungen) lassen sich leicht mit F –Transformationen lösen, zB. R k(t − s)x(s)ds − λx(t) = f (t) R führt bei existenten F –Transformationen zu (k̂(ω) − λ)x̂(ω) = fˆ(ω) und somit zu x(t) = 5.1.5 1 2π fˆ(ω) eiωt dω R k̂(ω)−λ R . Sampling Theorem Gilt für fˆ(ω) = die Bedingung R R f (t)e−iωt dt, f (t) = 1 2π R R fˆ(ω)eiωt dω fˆ(ω) = 0 für |ω| > Ω, so lässt sich formal fˆ in eine Fourierreihe entwickeln für −Ω ≤ ω ≤ Ω: P fˆ(ω) = Z fˆn einωπ/Ω , RΩ 1 2π fˆn = 2Ω f (− nπ ). fˆ(ω)e−inωπ/Ω = 2Ω Ω −Ω (5.29) 40 KAPITEL 5. INTEGRALTRANSFORMATIONEN Es gilt dann f (t) = = = = RΩ 1 fˆ(ω)eiωt dω 2π −Ω R P nπ inωπ/Ω iωt 1 2π Ω e dω Z f (− Ω )e 2π 2Ω −Ω P 1 nπ 1 Z f (− Ω ) i(t+nπ/Ω) exp(iω(t + nπ/Ω)) 2Ω P nπ sin(Ωt+nπ) Z f (− Ω ) Ωt+nπ . Satz 5.5 (Sampling Theorem) Erfüllt eine stückweise stetige Spektralfunktion fˆ(ω) die Bedingung (5.29) und und ist die grösser gleich 2Ω, so gilt für die zugehörige Zeitfunktion f(t) sogenannte Abtastfrequenz 2π δ obige Darstellung P sin( πδ (t−nδ)) (5.30) f (t) = n∈Z f (nδ) π (t−nδ) . δ Es lässt sich also f (t) aus den diskreten Funktionswerten f (nδ) rekonstruieren für δ ≤ Ωπ . 5.2 Anwendungen der Laplace–Transformation Wir greifen die Laplace–Transformation F (s) = L{f (t)} := R∞ 0 e−st f (t)dt (5.31) aus Beispiel 2.12 wieder auf und verweisen auf das Handout zur Vorlesung (Eigenschaften/Tabelle). Aufgrund der Differentiationsformel L(f ′ )(s) = sL(f )(s) − f (0+) (5.32) und der Faltungsformel (f ⋆ g)(t) ≡ Rt 0 f (t − s)g(s)ds ⇒ L(f ⋆ g) = L(f ) · L(g) (5.33) eignet sich die L–Transformation für ODEs, PDEs und Integralgleichungen. 5.2.1 Heuristik Anfangswertprobleme (Laplace) Betrachte bei A < 0 das Anfangswertproblem u′ = du dx = Au + f (x), u(0) = u0 . (5.34) Man multipliziert mit e−sx , s > 0, und integriert über [0, ∞) und erhält – unter geeigneten Voraussetzungen – mit partieller Integration R∞ R∞ R∞ u(x)e−sx |∞ −u(0+) + s · 0 u(x)e−sx dx = A 0 u(x)e−sx dx + 0 f (x)e−sx dx (5.35) 5.2. ANWENDUNGEN DER LAPLACE–TRANSFORMATION 41 oder in Kurzschreibweise bei beschränktem u û(s) = u(0+) s−A + fˆ(s) . s−A (5.36) Die Rücktransformation û(s) → u(x) ist i.a. problematisch, hier nicht. ODEs höherer Ordnung lassen sich leicht Laplace–transformieren und so in algebraische Gleichungen umwandeln. In Analogie auch für PDEs nützlich. 5.2.2 ODEs und Regelungstechnik In der Regelungstechnik spielt die L–Transformation eine zentrale Rolle. ODE–Systeme der Form (5.37) ẋ = Ax + Bu, y = Cx, mit exponentiell stabilem A gehen bei L–Transformation über in sX − x(0+) = AX + BU, X(s) = (s − A)−1 [BU(s) + x(0+)], Y = CX, Y (s) = C(s − A)−1 [BU(s) + x(0+)] Von nun an sei der Anfangswert x(0) = x(0+) = 0 gewählt – bei beschränkten Inputs streben die Systemantworten asymptotisch gegen die global beschränkte Lösung, so dass der Anfangswert keine bedeutende Rolle bzgl. der asymptotischen Systemantwort hat. Man hat dann Y (s) = G(s)U(s) mit der Übertragungsmatrix G(s) = C(s − A)−1 B. Einer Reihenschaltung von Systemen S1 und S2 vom Typ (5.37) enstpricht das Produkt G2 G1 der Übergangsmatrizen, einer Parallelschaltung die Summe G1 + G2 und einer Rückführungsschaltung – ausführlich geschrieben als ẋ1 = A1 x1 + B1 v, y1 = C1 x1 , ẋ2 = A2 x2 + B2 y1 , y2 = C2 x2 , v = u − y2 entspricht Y1 = (I + G1 G2 )−1 G1 U und Y2 = (I + G2 G1 )−1 G2 G1 U mit der loop gain matrix L ≡ G1 G2 . 42 KAPITEL 5. INTEGRALTRANSFORMATIONEN Aufgabe (Elektronenbewegung): Berechnen Sie mit Hilfe von L–Transformierten die Lösung von ẍ − ẏ = 0, x(0) = ẋ(0) = 0, ÿ + ẋ = u, y(0) = ẏ(0) = 0 (5.38) bei konstantem u. In der (x, y)–Ebene ergibt sich als Lösungskurve eine Zykloide. 5.2.3 PDEs Im Rahmen der PDEs mit konstanten Koeffizienten eignet sich die L–Transformation für homogene und inhomogene lineare Gleichungen (auch bei inhomogenen Randbedingungen). Das trifft auf endliche und unendliche Randwertaufgaben zu. Vergleiche Abschnitt 4.3. Beispiel 5.6 [Aufspaltung bei Inhomogenitäten] Man betrachte auf R+ × R+ ut = uxx , u(0, t) = a(t), |u(x, t)| ≤ M, (5.39) u(x, 0) = f (x) und spalte in die Teilprobleme vt = vxx , v(0, t) = a(t), |v(x, t)| ≤ M1 , (5.40) v(x, 0) = 0 und wt = wxx , w(0, t) = 0, x ∈ R+ , t > 0 |w(x, t)| ≤ M2 , (5.41) w(x, 0) = f (x) oder wt = wxx , x ∈ R, t > 0, |w(x, t)| ≤ M3 , w(x, 0) = f ∗ (x) (5.42) 5.2. ANWENDUNGEN DER LAPLACE–TRANSFORMATION 43 mit der ungeraden Fortsetzung f ∗ von f . Mit der L–Transformatiom kann man das Problem (5.40), mit der F –Transformation die Probleme (5.41) bzw. (5.42) angehen. Es ergibt sich für V (x, s) = L(v(x, t)) in (5.40) sV = Vxx , mit Lösung V (x, s) = e− √ sx V (0, s) = A(s), |V (x, s)| ≤ M1 s (5.43) A(s) und – aus (geeigneter) Tabelle – x v(x, t) = L (V (x, s)) = √ 4π −1 Z t 0 (t − τ )−3/2 exp[− x2 ] a(τ ) dτ . 4(t − τ ) Die w–Lösung von (5.42) steht als (5.24) in Beispiel 5.2. Die Lösung von (5.39) ist dann u = v + w. Aufgabe (Inhomogene Randbedingungen): Betrachten Sie die Wellengleichung utt = c2 uxx , x > 0, t > 0, u(0, t) = f (t), |u| < ∞, (5.44) u(x, 0) = ut (x, 0) = 0, Wenden Sie die L–Transformation (bei ’anständigem’ f ) an und berechnen Sie die entsprechende Lösung für die transformierten Gleichungen. Anschliessend bestimme man auch die zugehörige Lösung u(x, t) = heav(t − xc )f (t − xc ). Aufgabe (Inhomogenitäten): Betrachten Sie die Wärmeleitungsgleichung ut = uxx + q(x, t), 0 < x < 1, t > 0, u(0, t) = 0, u(1, t) + γux (1, t) = f (t), (5.45) u(x, 0) = g(x) mit Quellterm q. Wenden Sie die L–Transformation (bei ’anständigen’ f , g und q) an und berechnen Sie die entsprechende Lösung für die transformierten Gleichungen. Vergleiche Abschnitt 4.3 zwecks einer eventuellen Aufspaltung in Teilprobleme. Bemerkung 5.7 [Duhamel’s Principle] Wie man Quellterme bei homogenen Anfangsbedigungen mit Hilfe des Duhamelschen Prinzips behandeln kann, zeigen wir exemplarisch an der Wärmeleitung ut = uxx + q(x, t), x ∈ R, t > 0, u(x, 0) = 0. (5.46) 44 KAPITEL 5. INTEGRALTRANSFORMATIONEN Assoziiert man das parameterabhängige Problem vt = vxx , x ∈ R, t > τ, (5.47) v(x, τ ; τ ) = q(x, τ ) Rt mit der Lösung v(x, t; τ ), so löst u(x, t) := 0 v(x, t; τ )dτ (5.46). Verifiziere! In Analogie assoziiert man zur Wellengleichung utt = uxx + q(x, t), x ∈ R, t > 0, (5.48) u(x, 0) = 0, ut (x, 0) = 0 das Problem vtt = vxx , x ∈ R, t > τ, (5.49) v(x, 0) = 0, vt (x, τ ; τ ) = q(x, τ ), wofür wieder obiger Lösungszusammenhang gilt. Verifiziere! 5.2.4 Integralgleichungen Gleichungen mit Faltungsintegralen wie x(t) + Rt 0 lassen sich L–transformieren. Die Rücktransformation von X(s) = errechnet sich eine Lösung x(t) von ẋ(t) + Rt 0 (5.50) k(t − s)x(s)ds = f (t), t > 0, x(s)cosh(t − s)ds = 0, F (s) 1+K(s) x(0) = 1 mittels der L–Transformation aus sX(s) − 1 + X(s) als x(t) = 1 − t2 /2. 5.3 Tafeln s2 s = 0, −1 X(s) = 1 1 − 3 s s löst (5.50). Z.B. (5.51) 5.3. TAFELN Fourier–Transformation 45 46 Laplace–Transformation KAPITEL 5. INTEGRALTRANSFORMATIONEN 5.4. APPENDIX: 5.4 EIGENSCHAFTEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION 47 Appendix: Eigenschaften der Laplace-Transformation (I) Eine Funktion f : [0, ∞) → C heisst Laplace-transformierbar (L-transformierbar), wenn das uneigentliche Integral F (z) ≡ L[f (·)](z) := R∞ 0 e−zt f (t)dt, z = s + iω, (5.52) für ein z ∈ C konvergiert. In diesem Fall heisst F (s) die L-Transformierte von f . Wir betrachten (vorerst) nur (in endlichen Intervallen) stückweise stetige f von höchstens exponentiellem Wachstum, d.h. es existieren positive Konstanten M und σ mit |f (t)| ≤ Meσt für alle t ≥ 0. Meist betrachten wir die reelle Form und schreiben s an Stelle von z: F (s) ≡ L[f (·)](s) (mit s > σ). M für s > σ, woraus lims→∞ F (s) = 0 folgt. Elementare Integratios−σ nen liefern z.B. für a ∈ C Man hat |F (s)| ≤ f (t) = tn 7→ F (s) = n! s , s > 0; n+1 insbesondere also cos(ωt) 7→ Man kann (leicht) beweisen: s s2 +ω 2 f (t) = eat 7→ F (s) = und sin(ωt) 7→ ω s2 +ω 2 1 , s > Re(a), s−a (5.53) für s > 0. • Das uneigentliche Integral in (5.52) ist für s > σ gleichmässig konvergent und f ist – bis auf die Funktionswerte an den Unstetigkeitsstellen – durch F eindeutig bestimmt (vgl. nachstehendes (5.63)). Die Rückrechnung von F nach f gelingt nur in Ausnahmefällen auf elementare Weise, z.B. mit Partialbruchzerlegung in F (s) = s+1 −1/2 −1/6 2/3 = + + , s(s + 2)(s − 1) s s+2 s−1 was zu f (t) = − 21 − 61 e−2t + 23 et führt. (II) Die Integraldefinition und die erwähnte Gleichmässigkeit der Konvergenz ziehen natürlich einige Rechenregeln nach sich, insbesondere die Differentiationsregel (R3) und die Faltungsregel (R6): (R1) Linearität: L[af (t) + bg(t)](s) = aF (s) + bG(s). (R2) Ähnlichkeit: L[f (ct)](s) = 1 c F ( sc ), c > 0. (R3) Ableitung von f : L[f (n (t)](s) = sn F (s) − sn−1 f (0+) − · · · − f (n−1) (0+), Rf Integral von f : L[ 0 (τ )dτ ](s) = 1s F (s). 48 KAPITEL 5. INTEGRALTRANSFORMATIONEN (R4) Ableitung von F : Integral von F : dn F (s) = (−1)n L[tn f (t)](s), dsn R∞ ](s). F (ξ)dξ = L[ f (t) t s (R5) Translationen: L[e−at f (t)](s) = F (s + a) und e−as F (s) = R∞ a e−sτ f (τ − a)dτ . Mit der Heaviside-Funktion heav(t) mit Wert 0 für t < 0 und Wert 1 für t ≥ 0 ergeben sich L[f (t − a)heav(t − a)](s) = e−as F (s) insbes. L[heav(t − a)](s) = e−as 1 . s (R6) Faltung(sprodukt)/Konvolution: Für das Faltungsprodukt (f ⋆ g)(t) := der Funktionen f (t) und g(t) gilt Rt 0 (f (t − τ )g(τ )dτ (5.54) (5.55) L[(f ⋆ g)(t)](s) = F (s) G(s) . Hierbei ist das ∗-Produkt wirklich ein Produkt im üblichen R t Sinne – aber die Funktion e(t) ≡ 1 ist nicht das neutrale Element ((e ⋆ f )(t) = 0 f (τ )dτ . Die Formel (5.55) beruht auf einer Änderung der Integrationsreihenfolge im Doppelintegral über den Kegel {(u, t) : 0 ≤ u ≤ t}: F (s)G(s) = = = R∞ hR∞ 0 0 e i g(τ )dτ f (u)du = i −st e g(t − u)dt f (u)du = u hR i ∞ −st e g(t − u)f (u)du dt = L[(f ⋆ g)(t)](s) u 0 0 R∞ hR∞ R∞ −s(u+τ ) (R7) Grenzwertsatz für f mit existentem Grenzwert limt→0+ f (t) = f (0+) und Ableitung f ′ von höchstens exponentiellem Wachstum: (5.56) f (0+) = lims→∞ sF (s) . Grenzwertsatz R ∞ ′ für f mit existentem Grenzwert limt→∞ f (t) = f∞ und beschränktem Integral 0 |f (t)|dt: (5.57) f∞ = lims→0+ sF (s) . Beide Grenzwertbeziehungen ergeben sich aus partieller Integration von sF (s). Sie sind in vielen Anwendungen sehr gewinnbringend einzusetzen: Was diese Grenzwerte angeht, kann man sich Rücktransformationen ersparen. (R8) Am Rande: Ist f T -periodisch, so gilt F (s) = 1 1−e−sT RT 0 e−st f (t)dt. 5.4. APPENDIX: EIGENSCHAFTEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION 49 (III) Erweiterung mit Dirac-scher ‘Deltafunktion’: Wir erweitern den Raum der L-transformierbaren Funktionen und betrachten hierzu die Funktion heav(t) − heav(t − ε) (5.58) δε (t) − , ε > 0, ε mit der Eigenschaft, dass δ(t − t0 ) identisch 0 ist mit Ausnahme des Intervalls [t0 , t0 + ε], auf welchem der Wert 1ε angenommen wird. Man hat R∞ −∞ δε (t)dt = 1 (5.59) ∀ ε > 0. Die Diracsche ‘Deltafunktion’ ist formal definiert durch (5.60) δ(t) := limε→0 δε (t) . Sie ist charakterisiert durch die Integralbeziehung R∞ f (t0 ) = −∞ f (t)δ(t − t0 )dt für stetige f . (5.61) Wir setzen daher (R9) L[δ(t)](s) = 1 & L[δ(t − t0 )](s) = e−t0 s (t0 > 0) . Im Sinne der L-Transformation wird die ‘Deltafunktion’ formal als Ableitung der Heaviside Funktion aufgefasst: L[heav ′ (t − t0 )](s) = s L(heav(t − t0 )](s) − heav(0+ − t0 ) = = se−st0 1 s − 0 = L[δ(t − t0 )](s) . (5.62) (IV) Schliesslich noch zur inversen Laplace-Transformation: Konvergiert die L-Transformation einer (in endlichen Intervallen) stückweise stetigen Funktion f : [0, ∞) → C von höchstens exponentiellem Wachstum (|f (t)| ≤ Meσt ) und setzt man diese durch f (t) ≡ 0 für negative t-Werte fort, so betrachte man die F -Transformation von g(t) = e−st f (t): ĝ(ω) = F [g(t)](ω) = R∞ −inf ty e−iωt g(t)dt = Mit der inversen F -Transformation hat man e−st f (t+) + f (t−) = 2 1 2π R∞ −∞ R∞ −inf ty e−(s+iω)t f (t)dt = L[f (t)](s + iω) . eiωt ĝ(ω)dω = 1 2π Zusammengefasst hat man also mit z = s + iω: f (t+) + f (t−) = 2 1 2π R∞ −inf ty est eiωt F (s + iω)dω = R∞ −∞ 1 2π eiωt F (s + iω)dω . R∞ −∞ ezt F (z)dω , (5.63) was eine Integration auf der vertikalen Geraden durch s + i0 im Konvergenzbereich der L-Transformation in C (s = Re(z) > σ) entspricht. Derartige Integrale berechnet man – wenn überhaupt möglich – mit dem Residuensatz der Funktionentheorie. 50 KAPITEL 5. INTEGRALTRANSFORMATIONEN Literaturverzeichnis [1] Meyberg, Vachenauer: Höhere Mathematik 1, 2. Auflage, Springer 1997. [2] Meyberg, Vachenauer: Höhere Mathematik 2, 2. Auflage, Springer 1997. [3] Rudin: Analysis, Physik Verlag 1980. [4] Schmieder: Analysis, Oldenburg 1994 [5] Young N.: An Introduction to Hilbert Space, Cambridge University Press 1988. [6] Renardy&Rodgers: An Introduction to Partial Differential Equations, Springer 1992. [7] Schecter M.: Principals of Functional Analysis, Academic Press 1971. [8] Powers, D.L.: Boundary Value Problems, Academic Press 1972 (5th edition, 2006). [9] DuChateaux & Zachmann: PDEs, Schaum’s Outline, 1986. [10] Farlow: PDEs for Scientists and Engineers, Dover 1993. [11] Bähr H.D. & Stephan K.: Heat and Mass Transfer, Springer, 2nd ed., 2006 [12] Betounes, David: PDEs for Computational Science, Springer Telos 1998. [13] Prentice G.: Electrochemical Engineering Principles, Prentice Hall 1991. [14] Bressan A.: Hyperbolic Systems of Conservation Laws: The One-Dimensional Cauchy Problem, Oxford Univ. Press 2000. Aufgaben Die Übungsblätter werden im Verlauf der Vorlesung erstellt und ins Netz gestellt. 51 52 Literatur Anhang A Eigenwerte und Singulärwerte A.1 Grundlagen – Exkurs in Lineare Algebra Gegeben sei f : Cn → Cn via x 7→ Ax. Betrachte Eigenwert λ mit Rechtseigenvektor r 6= 0 (Spalte)und Eigenwert µ mit Linkseigenvektor ℓ∗ 6= 0 (Zeile): Ar = λr, ℓ∗ A = µℓ∗ . (A.1) Bei gegebenem Skalarprodukt (x, y) = y ∗ x definiert man die adjungierte Abblidung (Matrix) via (A.2) ∀x, y (f (x), y) = (x, f ∗ (y)) [or (Ax, y) = (x, A∗ y)]. f bzw. A heisst normal im Fall A∗ A = AA∗ , A heisst selbstadjungiert im Fall A = A∗ . • Fakt 1 λℓ∗ r = ℓ∗ Ar = µℓ∗ r (A.3) impliziert: λ 6= µ ⇒ ℓ∗ r = 0. • Fakt 2 A∗ A = AA∗ ⇒ |Ax − λx|2 = |A∗ x − λ̄x|2 . (A.4) Daraus folgt: Ar = λr ⇔ r ∗ A = λr ∗ (Rechtseigenvektor ist automatisch Linkseigenvektor). • Fakt 3 A = A∗ ⇒ r ∗ λr = r ∗ Ar = r ∗ A∗ r = λ̄r ∗ r (A.5) was zeigt, dass selbstadjungierte Matrizen nur reelle Eigenwerte haben. • Fakt 4 A∗ A = AA∗ , Ar = λr, Aw = µw ⇒ λ(r, w) = (Ar, w) = (r, A∗ w) = (r, µ̄w) = µ(r, w). (A.6) Das impliziert: Rechtseigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zueinander. 53 54 ANHANG A. EIGENWERTE UND SINGULÄRWERTE • Fakt 5 – Erinnere Orthogonalisierungsverfahren von E.Schmidt/ QRFaktorisierung: Es sei X ein Vektorraum mit (· , · ), und es sei A = (a1 , .., am ) eine linear unabhängige Menge von Vektoren aus X. Dann existiert eine reguläre obere Dreiecksmatrix ∆ ∈ Km,m , so daß Q = (q1 , .., qm ) = (a1 , .., am )∆ = A∆ folgende Eigenschaften für j, k = 1, .., m besitzt: Q∗ Q = I, Lin(q1 , .., qj ) = Lin(a1 , .., aj ). Mit der regulären oberen Dreiecksmatrix R := ∆−1 gilt dann A = QR. Zum Beweis setze q1 = a1 /|a1 | und nehme an, daß q1 , .., qj−1 mit den gewünschten Eigenschaften schon gefunden sind. Setze dann pj := aj − j−1 X k=1 (aj , qk )qk , qj := pj /|pj |. – Schurform und Spektralzerlegung: Es sei A = (ajk ) ∈ Cn,n eine Matrix mit den Eigenwerten λ1 , .., λn . Dann gelten: (a) Es existiert eine unitäre Matrix U ∈ Cn,n (mit U ∗ U = I), so daß U −1 AU = U ∗ AU eine obere Dreiecksmatrix ist. Überdies: Ist A reell und sind alle Eigenwerte reell, so ist U reell wählbar. (b) A ist normal [i.e. A∗ A = AA∗ ] ⇔ es existiert ein unitäres U ∈ Cn,n mit U −1 AU = U ∗ AU = diag(λ1 , ..., λn ), also A = λ1 u1 u∗1 + ... + λn un u∗n , Ax = λ1 u1 (x, u1 ) + ... + λn un (x, un ). Dies nennt man die Spektralzerlegung der Matrix A. Algorithmischer Beweis der Schur–Form : Es sei u1 Eigenvektor von A1 = A der Länge 1 zum Eigenwert λ1 . Ergänze mit ‘Schmidt’ zu einer O–Basis U1 = (u1 , V1 ). U1 ist dann unitär, und es gilt λ1 a∗2 λ1 u∗1 AV1 ∗ . = U1 AU1 = 0 A2 0 V1∗ AV1 Wiederhole diesen Schritt nun für A2 bezüglich des Eigenwerts λ2 mit normiertem Eigenvektor v2 ∈ Cn−1 und unitärem (v2 , V2 ) und nehme die (unitäre) (n, n)–Matrix 1 0 . U2 = 0 (v2 , V2 ) A.1. GRUNDLAGEN – EXKURS IN LINEARE ALGEBRA 55 Man hat dann folgendes Zwischenergebnis: U2∗ U1∗ AU1 U2 λ1 ⋆ ⋆ = 0 λ2 ⋆ . 0 0 A2 Und so weiter. Sind für reelles A alle Eigenwerte reell, so kann U reell gewählt werden. Ist A normal, so ist a2 = 0 [wegen |Ax − λx|2 = |A∗ x − λx|2 ] und A2 ist wieder normal. Daraus ergibt sich die eine Richtung in Aussage (b). Bemerkung: Über R hat man für nichtreelle Eigenwerte (2, 2)-Blöcke auf der Diagonalen der Blockdreiecksmatrix U ∗ AU. • Fakt 6 Hat man für allgemeinnes A ∈ Cn×n eine Rechtseigenvektor-Basis R = (r1 , ..., rn ) (|rk | = 1 o.B.d.A.) zu den Eigenwerten λk mit (dualer) Linkseigenvektor-Basis L∗ , welche L∗ R = I erfüllt (⇒ L∗ = R−1 ), so gilt mit Λ = diag(λk ): x = Rξ [⇔ ξ = L∗ x] ⇒ y = Ax = ARξ = RΛξ = mit der Koordinatenabblildung P λk (x, ℓk )rk = P ηk rk (A.7) (A.8) ξ 7→ η = Λξ . Insbesondere hat man die Ähnlichkeitsbeziehung R−1 AR = L∗ Ar = L∗ RΛ = Λ . (A.9) Im Spezialfall einer Rechtseigenvektor-Orthonormalbasis (z.B. bei normalem A) ergibt sich R∗ AR = Λ oder auch in Form der Spektralzerlegung A = RΛR∗ = P λk Pk , Pk = rk rk∗ , (A.10) wobei die dyadischen Produkte selbstadjungierte Rang-1 Projektionen sind mit P k rk = 1 · rk , Pk [rk ]⊥ = 0 . (A.11) Bei selbstadjungiertem A kann man R (zusammen mit den reellen Eigenwerten) reell nehmen (Hauptachsentransformation). • Fakt 7 – Singulärwertzerlegung (SVD): Für A ∈ Km,n bezeichne man mit σj2 (j = 1, .., r) mit σ1 ≥ ...σr > 0 die positiven Eigenwerte von A∗ A, die restlichen n − r Eigenwerte σj2 sind 0. Die 56 ANHANG A. EIGENWERTE UND SINGULÄRWERTE σj > 0 (j = 1, .., r) heißen ‘Singulärwerte von A’. Es existieren dann unitäre Matrizen U ∈ Kn,n und V ∈ Km,m und eine Matrix Σ ∈ Rm,n mit Σjj = σj für j = 1, .., r und Σjk = 0 sonst, so daß A = V ΣU ∗ gilt. Beweis der SVD und Bemerkungen: Für A∗ Au = λu gilt 0 ≤ u∗ A∗ Au = λ|u|2. Daraus folgt, daß die Eigenwerte von A∗ A nichtnegativ sind. Bezüglich einer geeigneten unitären Eigenvektor–Basis U = (Ur , Ũ ) = (u1 , .., ur |.., un ) aus Eigenvektoren uj von A∗ A gilt A∗ AU = Udiag(D 2 , 0), D = diag(σ1 , ..σr ). Wählt man dann eine unitäre Matrix V = (Vr , Ṽ ) = (v1 , .., vr |.., vm ) ∈ Km,m , Vr = (v1 , .., vr ) = AUr D −1 aus Eigenvektoren von AA∗ , so folgen V ∗ AU = Σ und somit A = V ΣU ∗ = Vr [D(Ur )∗ ] ≡ F G∗ . (A.12) Man spricht bei (A.12) von der Singulärwert–Zerlegung V ΣU ∗ und der full–rank–factorization F G∗ von A. Im Fall m ≥ n kann man dies mit Vn := (v1 , .., vn ) auf die Polar–Zerlegung wie folgt umschreiben: A = Vn Σn U ∗ = [Vn U ∗ ] [UΣn U ∗ ] ≡ W S mit orthonormalem W [W ∗ W = I] und positiv–semidefinitem S ≡ Fall m ≤ n analog: A = S̃ W̃ . A.2 Anwendungen (SVD) der √ A∗ A. Im Singulärwertzerlegung (a) Die Moore-Penrose-Inverse von A = V ΣU ∗ ist A+ = UΣ+ V ∗ mit Σ+ ∈ Rn,m , −1 Σ+ für j = 1, .., r, jj = σj Σ+ jk = 0 sonst. Das Minimierungsproblem der Ausgleichsrechnung für Ax = b (cf. Section A.4) lässt sich mit SVD elegant lösen: xopt = A+ b. (b) det(A) = Πσj . (c) Spektralmatrixnorm ||A|| ≡ max{|Ax|2 : |x|2 = 1} = σ1 . P P 2 2 ∗ (d) Für Frobeniusnorm: :||A||2F ≡ = i,j |aij | j σj = spur(A A) = ∗ spur(AA ). A.2. ANWENDUNGEN DER SINGULÄRWERTZERLEGUNG (SVD) 57 (e) Kondition regulärer Matrizen: κ(A) = ||A|| ||A−1|| = σmax /σmin . (f) Das Bild der Einheitskugel B = {x : |x|2 = 1} unter A ist ein Ellipsoid um 0 mit den Hauptachsen σj vj (Hauptachsentransformation). (g) Robustheit: Für reguläres A = V ΣU ∗ und ||B|| < σn ist A + B regulär, für B = −σn vn u∗n mit ||B|| = σn ist A + B singulär. Zum Beweis der ersten Aussage beachte man F := −V ∗ BU Σ−1 → ||F || ≤ ||B|| · ||Σ−1 || = ||B|| · σn−1 < 1 . Aus A + B = V (I − F )ΣU ∗ und der Invertierbarkeit aller vier Faktoren folgt die Regularität von A + B. Die Eigenwerte von F haben Betrag < 1, die Inverse von I − F ist durch die P∞ Neumann–Reihe k=0 F k gegeben. (h) Low–Rank–Approximations: Für A ∈ Km,n seien σ1 ≥ ...σr > 0 die positiven Singulärwerte von A mit ∗ A = V ΣU = r X σj vj u∗j . j=1 Dann ist für k < r die Matrix Ak = k X j=0 σj vj u∗j ≡ Vk Σk Uk∗ (A.13) die beste Approximation vom Rang k im Sinne ||A − Ak ||2 = min{||A − B|| : rang(B) = k}. Weiter gilt natürlich ||A − Ak ||2 = σk+1 . Beweis (Low–Rank–Approximations):P r Man schreibe A = Ak + R mit R = j=k+1 σj vj u∗j und ||R||2 = σk+1 . Eine jede Matrix B vom Rang k ist der Nullraum n − k-dimensional. Der von u1 , ..., uk+1 aufgespannte Raum W ist (k + 1)-dimensional. Daher gibt es einen Einheitsvektor w ∈ W ∩ N (B) und es gilt 2 2 |U ∗ w|22 = σk+1 ||A − B||22 ≥ |(A − B)w|22 = |Aw|22 = |ΣU ∗ w|22 ≥ σk+1 . (i) Principal Component Analysis: Gegeben sei eine Daten–Matrix X ∈ Rm,n vom Rang r mit Spaltensummen e∗j X = 0, wobei o.B.d.A. m ≥ n sei. Die Kovarianzmatrix ist dann cov(X) = 1 X ∗ X = A∗ A, m−1 Mit der SVD von A = V ΣU ∗ gilt dann X= √ m − 1 V ΣU ∗ = r X √ j=0 A= √ 1 X . m−1 m − 1 σj vj u∗j . Die Low–Rank–Approximations Ak von A aus (A.13) liefern dann k– dimensionale Approximationen der Datenmatrix X, der Fehler2 in 2–Norm 2 ist (m − 1)σk+1 . Man kann den Fehler2 natürlich auch mit Frobenius messen, 2 wo er gleich (m − 1)(σk+1 + ... + σr2 ) ist. 58 ANHANG A. EIGENWERTE UND SINGULÄRWERTE – Gegeben sei eine Spalte b = Aes von A. Mit Ausgleichsrechnung kann man den Projektionspunkt πb = Ak es ∈ R(Ak ) im Ak –Ellipsoid und den Abstand |b − πb|2 = |Res | von b zum PC–Modell R(Ak ) ermitteln. Das ist klar wegen Aes = Ak es ⊕ Res . Ein grobes Mass liefert die Frobeniusnorm von Ak bzw. R. – Gegeben sei ein b ∈ Rm mit Spaltensumme 0 (sinnvollerweise?). Mit Ausgleichsrechnung kann man den Projektionspunkt πb = Ak (Ak )+ b = Vk Vk∗ b ∈ R(Ak ) und den Abstand |b − πb|2 = |(I − Vk Vk∗ )b|2 von b zum PC–Modell R(Ak ) ermitteln. Wo liegt πb in Bezug auf das Ak –Ellipsoid, auf dessen Rand die projizierten Spalten von A liegen? – Setze J1∗ = (Ik , 0k×(m−k) ) und J2∗ = (Ik , 0k×(n−k) ) und setze Pj = Jj Jj∗ . Mit Vk = V J1 ∈ Rn,k , Σk = J1∗ ΣJ2 ∈ Rk,k und Uk∗ = J2∗ U ∗ ∈ Rk,n hat man dann A = Ak + R = Vk Σk Uk∗ + R, R = A − Ak = V (Σ − P1 ΣP2 )U ∗ . (A.14) Daraus folgt RR∗ = V Σ(I − Uk Uk∗ )Σ∗ V ∗ = AU (I − Uk Uk∗ )(AU )∗ = A(I − Uk Uk∗ )A∗ (A.15) 2 mit Frobeniusnorm ||R||2F = spur(RR∗ ) = σk+1 + ... + σr2 . Analog ergeben sich Ak A∗k = Vk Σ2k Vk∗ , A∗k Ak = Uk Σ2k Uk∗ mit Spur gleich σ12 + ... + σk2 . Vegleiche auch Hotelling T 2 –Statistik. (A.16) A.2. ANWENDUNGEN DER SINGULÄRWERTZERLEGUNG (SVD) Originalabbildung −− 341 Moden rekonstruierte Abbildung −− 170 Moden 100 100 150 150 Pixel 50 Pixel 50 200 200 250 250 300 300 100 200 300 Pixel 400 500 100 Originalabbildung −− 410 Moden 200 300 Pixel 400 500 rekonstruierte Abbildung −− 111 Moden 50 50 100 100 150 150 Pixel Pixel 59 200 200 250 250 300 300 350 350 400 400 100 200 300 Pixel 400 500 100 200 300 Pixel 400 500 60 ANHANG A. EIGENWERTE UND SINGULÄRWERTE A.3 Ausgleichsrechnung Gegeben sei ein System Φ linear unabhängiger Vektoren (Φk )K k=1 in einem Skalarproduktraum V . Sei A = (Φ1 , ..., ΦN ) ein endliches Teilsystem. Ziel ist es, ein gegebenes f ∈ V möglichst gut mit einem Element Ac zu approximieren im Sinne eines minimalen Fehlerquadrats |||f − Ac||2 . Wie ist ein Minimizer c∗ mit |||f − Ac∗ ||2 ≤ |||f − Ac||2 ∀c (A.17) zu bestimmen? Einen Kandidaten erhält man aus der Lotbedingung ’Fehler ⊥ Bild(A)’, also aus ! (A.18) (f − Ac, Φj ) = 0 ∀j = 1, ..., N. Dies lässt sich schreiben als (f, Φj ) = (Ac, Φj ) = P (A.19) (Φk , Φj )ck oder F = Mc mit Matrix M = Mj,k ≡ ((Φk , Φj )) und Spaltenvektor F (Komponenten Fj = (f, Φj )). M ist invertierbar (verifiziere!). Daher ist die Lösung von (A.19) gegeben durch c = c∗ = M −1 F . Im Fall eines Orthonormalsystems A ist M die Einheitsmatrix (⇒ c∗ = F ). Betrachte nun c’s der Form c = c∗ + δ und ||f − Ac||2 = ||(f − Ac∗ ) − Aδ||2 = ||(f − Ac∗ )||2 − (f − Ac∗ , Aδ) − (Aδ, f − Ac∗ ) + ||Aδ||2 = (A.20) ||(f − Ac∗ )||2 + ||Aδ||2 ≥ ||(f − Ac∗ )||2 wegen (A.19) mit Gleichheit genau für δ = 0. Das besagt: • c∗ ist in der Tat der Minimizer des Fehlerquadrats. • ||(f − Ac∗ )||2 = ||f ||2 − (f, Ac∗ ) − (Ac∗ , f ) + ||Ac∗ ||2 = ||f ||2 − ||Ac∗ ||2 wegen (A.19) (ie. (f − Ac∗ , Ac∗ ) + (Ac∗ , f − Ac∗ ) = 0). Dies ist die Aussage des Pythagoras (Bessel/Parseval) ||f ||2 = ||Ac∗ ||2 + ||(f − Ac∗ )||2 mit dem Lotfußpunkt Ac∗ und dem ’Fehler’ (f − Ac∗ ). Der Sonderfall einer Orthonormalbasis Φ liefert die schönen Formeln f = und (c∗ )j = (f, Φj ), P Ac∗ = N j=1 (f, Φj )Φj , PK f − Ac∗ = j=N +1 (f, Φj )Φj , P 2 ||f − Ac∗ ||2 = K j=N +1 |(f, Φj )| . PK k=1 (f, Φk )Φk (A.21) Hierbei ist es gleichgültig, ob man RK , CK oder den L2 der Fouriertheorie betrachtet. A.4. ANWENDUNGEN AUF DIFFERENTIALGLEICHUNGEN A.4 A.4.1 61 Anwendungen auf Differentialgleichungen ODE–Anfangswertprobleme Wir betrachren ODE–Anfangswertprobleme der Form u̇ = Au, (A.22) u(0) = c im Rn mit Skalarprodukt (x, y) = y ∗ x, Rechtseigenvektor-Basis R = (r1 , ..., rn ), Linkseigenvektor-Basis L∗ = (ℓ1 , ..., ℓn )∗ (mit L∗ R = I) zu reellen Eigenwerten λ1 , ..., λn gilt mit Λ = diag(λk ): Schreibt man u = u(t) = Rα(t) = n X αj (t)rj , c = Rγ [γ = L∗ c, γk = (c, ℓk )], j=1 und multipliziert man mit L∗ von links (i.e. bildet man komponentenweise in (A.22) das Skalarprodukt mit ℓk ), so ergibt sich α̇ = L∗ Rα̇ = L∗ u̇ = L∗ ARα = Λα [α̇k = λk αk ] , mit Lösung α = eΛt L∗ c [αk (t) = eλk t (c, ℓk )] . Insgesamt erhält man so die Lösung u(t) = ReΛt L∗ c = Pn (c, ℓk ). Pn (c, rk ). λk t rk k=1 e (A.23) Im Fall einer reellen symmetrischen Matrix ist R als Orthonormalmatrix wählbar mit L∗ = R∗ und (A.23) wird zu u(t) = ReΛt R∗ c = λk t rk k=1 e (A.24) Bemerkung: Da es sich hier immer nur um endliche Summen handelt, treten keine Konvergenzfragen auf und Vertauschungsprozesse von Summation und Differentiation sind gestattet. A.4.2 Dirichletprobleme der Wärmeleitungsgleichung Für Dirichletprobleme der Wärmeleitung–PDE u̇ − Lu = 0, u(0, x) = c(x) über [0, π], (A.25) mit Lu(t, x) = uxx (t, x) (A.26) für C 2 –Funktionen u und homogenen Randbedingungen u(t, 0) = 0 = u(t, π) : (A.27) 62 ANHANG A. EIGENWERTE UND SINGULÄRWERTE (a) Wir bestimmen erst t–unabhängige Funktionen v = v(x) mit (A.28) Lv := −vxx = λv, v(0) = 0 = v(π), sozusagen Eigenwerte λ und Eigenvektoren v = Φ(x) der linearen Abbildung L. Bekanntlich folgt λ = λn = n2 , v = Φn (x) = q 2 sin(nx) π , wobei der Vorfaktor der Normierung dienen wird. Man versucht, diese Eigenfunktionen die Rolle der Orthonormalbasis übernehmen zu lassen und zwar bzgl. des Skalarprodukts Rπ (A.29) (f, g) = 0 ḡ(x)f (x)dx für Funktionen f, g, für die das Integral existiert. Es gilt nun (in der Tat) (Φj , Φk ) = δjk , was die Orthonormalität der Eigenvektoren Φk bzgl. des Skalarprodukts (A.29) belegt. Allgemeiner und ohne explizite Berechnung der Eigenwerte/Eigenvektoren: • Man hat u Lv − v Lu = −[(uv ′ − vu′ )]′ und somit ’Selbstadjungiertheit’: R (u, Lv) − (Lu, v) = [Lv̄ u − v̄ Lu]dx = R [−(uv̄ ′ − v̄u′ )]′ dx = −(uv̄ ′ − v̄u′ ) |π0 = 0. • Weiterhin gilt für φ = u = v mit (A.28): 0 = (Lφ, φ) − (φ, Lφ) = −[(λφ, φ) − (φ, λφ)] = −(λ − λ̄) (φ, φ). Mit (φ, φ) > 0 folgt dass λ reell sein muss. • Aus Lφ = λφ und Lψ = µψ folgt 0 = (Lφ, ψ) − (φ, Lψ) = (λ − µ) (φ, ψ). Aus λ − µ 6= 0 folgt daher Orthogonalität [(φ, ψ) = 0]. • Eine Abschätzung der (reellen) Eigenwerte bei reellen Eigenfunktionen Φ ergibt sich mit partieller Integration aus R R R λ|Φ|2 dx = λ(Φ, Φ) = (LΦ, Φ) = − Φ′′ Φdx = −[0 − Φ′ Φ′ dx] > 0 . Die Eigenwerte sind also positiv. • Frage: Bilden die Φk auch in einem geeigneten Sinne eine Basis von ???, ja wovon? A.4. ANWENDUNGEN AUF DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 63 (b) Formal geht’s weiter wie oben im ODE–Fall: Man schreibt u = u(t, ·) = P∞ j=1 αj (t)Φj (·) (Konvergenz (???)) und bildet in (A.25) das Skalarprodukt mit Φk , so ergibt sich (bei gliedweiser Differentiation (???)) wieder α̇k = λk αk mit Lösung αk (t) = eλk t βk . (c) Damit die Anfangsbedingung erfüllt ist, muss ∞ X αk (0)Φk (·) = ∞ X βk Φk (·) = c(·) k=1 k=1 gelten. Schreibt man c = c(x) bzgl. der Eigenvektorbasis als c(x) = P∞ k=1 Φk (x)γk (A.30) (hinreichend ’viele’ Φk (???)), so folgt durch eine Skalarproduktbildung mit Φj aufgrund der Orthonormalität βj = γj = (c, Φj ). Insgesamt erhält man genau so wie in (A.23) die Lösung P λn t (A.31) u(t, ·) = ∞ Φn (·) (c, Φn ) , n=1 e welche aber bisher nur eine formale Lösung ist. (d) Bemerkungen: Da es sich hier immer nur um unendliche Summen handelt, treten Konvergenzfragen auf und Vertauschungsprozesse von Summation und Differentiation sind problematisch. Der zugrundegelegte Funktionenraum der C 2 –Funktionen mit homogenen Randwerten bzgl. der vom Skalarprodukt (A.29) induzierten Norm ||f ||2 = { Rπ 0 |f (x)|2 ds}1/2 (A.32) ist nicht vollständig. Was bedeutet das bei Konvergenzfragen? Wann hat man auch im PDE–Fall die Existenz einer ’Orthonormalbasis’ aus Eigenvektoren eines Differentialoperators wie das obige L mit (A.26), (A.27)? Wann lassen sich die Anfangsprofile c(x) wie in (A.30) darstelllen? 64 A.4.3 ANHANG A. EIGENWERTE UND SINGULÄRWERTE Hyperbolic PDE Systems of First Order We consider first the Cauchy problem ut + Aux = 0, u(0, x) = f (x), (A.33) for x ∈ Rn and t ≥ 0 with a smooth initial profile f (x) and a constant A ∈ Rn×n having n distinct real eigenvalues λ1 < · · · < λn with normalized right and left eigenvectors rj ∗ and ℓT j satisfying ℓj rk = δjk . Let Λ = diag(λj ), R = (r1 , ..., rn ) and L = (ℓ1 , ..., ℓn ) be the corresponding matrices satisfying L∗ A = ΛL∗ , AR = RΛ, L∗ R = I . (A.34) u = Rv (A.35) The change of variables v = L∗ u with inverse leads to n decoupled initial value problems in vt + Λvx = 0, v(0, x) = g(x) := L∗ f (x) . (A.36) Its solution components are vj (t, x) = gj (x − λj t) = ℓ∗j f (x − λj t) (A.37) so that the u solution is written out as ℓ∗1 f (x − λ1 t) .. , u(t, x) = Rv(t, x) = R . ℓ∗n f (x − λn t) u(t, x) = Pn j=1 ℓ∗j f (x − λj t) rj (A.38) (A.39) showing a decomposition of the initial profile into a sum of n waves (each one with a characteristic speed λj in the space [rj ]). In the case of a piecewise constant initial profile f (x) = u− for x < 0, f (x) = u+ for x > 0 (A.40) one speaks of Riemann problem. Let’s write u± = Rv ± , let’s write the jump [u+ − u− ] with respect to the rj as [u+ − u− ] = Rc [i.e. L∗ [u+ − u− ] = c] (A.41) and define the intermediates ωk = u − + Pk j=1 cj rj , ω0 = u − , ωn = u + . (A.42) A.4. ANWENDUNGEN AUF DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 65 For x < λ1 t one has f (x − λj t) = u− for j ≥ 1. Hence (A.38)&(A.39) imply u(t, x) = ℓ∗1 u− r1 + · · · + ℓ∗n u− rn = u− = ω0 (A.43) For λ1 t < x < λ2 t one has f (x − λ1 t) = u+ and f (x − λj t) = u− for j ≥ 2. Hence (A.38)&(A.39) imply u(t, x) = ℓ∗1 u+ r1 + ℓ∗2 u− r2 + · · · + ℓ∗n u− rn = ℓ∗1 [u+ − u− ] r1 + ℓ∗1 u− r1 + ℓ∗2 u− r2 + · · · + ℓ∗n u− rn (A.44) = c1 r1 + u − = ω 1 . And so on up to u(t, x) = u+ for x > λn t . (A.45) One thus has a piecewise constant solution with jumps ωi − ωi−1 = ci ri in ’eigenvector direction’ (u-space!) at the discontinuity lines x = λi t in ’eigenvalue direction’ ((t, x)plane!). This topic will be continued in Appendix C. 66 ANHANG A. EIGENWERTE UND SINGULÄRWERTE Anhang B PDEs erster Ordnung: Charakteristikenmethode Set Up: Gegeben sei im n–dimensionalen x–Raum eine skalare quasilineare PDE der Form ux (x)f1 (x, u(x)) = f2 (x, u(x)) (B.1) x = x0 (ξ), u = u0 (ξ), ξ ∈ Q = [0, 1]n−1 , (B.2) mit der Nebenbedingung wobei hier und im folgenden alles so anständig/glatt wie nötig ist. Die u–Werte sind also durch (B.2) auf einer Hyperfläche H der Dimension (n − 1) im Rn vorgegeben. Sei Ĥ die über ξ parametrisierte, durch (B.2) gegebene (n − 1)–dimensionale Fläche im Rn+1 . Gleichung (B.1) lässt sich mit v(z) = u(x) − y, z = (x, y)T , f = (f1 , f2 )T (B.3) schreiben als (ux (x), −1)f (x, u(x)) = 0 (B.4) vz (z)f (z) |v=0 = 0. (B.5) oder auch als (B.4) oder (B.5) sind aber genau die Beziehungen, die M = {z : v(z) = 0} = {(x, y) : y = u(x)} (B.6) als Integralmannigfaltigkeit für das Vektorfeld f definieren. ⋆ Exkurs: Ist der Anfangswert z0 aus M (mit v(z0 ) = 0) und gilt längs der Lösung des AWPs ż = dz dt = f (z), 67 z(0) = z0 (B.7) 68 ANHANG B. PDES ERSTER ORDNUNG: CHARAKTERISTIKENMETHODE die Beziehung vz (z(t))f (z(t)) = (ux (x(t)), −1)f (x(t), y(t)) = 0, (B.8) so gilt für w(t) := v(z(t)) die Beziehung w(0) = 0 & ẇ = vz (z(t))ż(t) = vz (z(t))f (z(t)) ≡ 0. (B.9) Dh.: Die Lösung verbleibt in M = {v(z) = 0} auf ihrem Existenzintervall. Umgekehrt gilt: Ist eine Lösung z(t) aus M über ihrem maximalen Existenzintervall Imax (mit y(t) = u(x(t))), so folgen y(0) = u(x(0)) (dh. z(0) ∈ M) und ẏ(t) = ux (x(t))ẋ(t), ie. f2 (x(t), y(t)) = ux (x(t))f1 (x(t), y(t)) (vgl. (B.8) und (B.4) bzw. (B.5)). Zusammenfassend: Gegeben seien eine glatte Fläche der Form y = u(x) und die (B.7)–Lösungen z(t) mit Komponenten x(t) und y(t) mit y(0) = u(x(0)). Dann gilt auf Imax : y(t) = u(x(t)) ⇔ (B.8). (B.10) Das heisst: Die Fläche y = u(x) ist genau dann invariant bzgl. (B.7), wenn das Vektorfeld f längs der (B.7)–Lösung z(t) senkrecht zur Flächennormalen über x(t) ist wie durch (B.8) gefordert (bzw. im Tangentialraum der Fläche über x(t) liegt). Charakteristikenmethode: Gemäß (B.4) oder (B.5) sucht man eine invariante Fläche der Form y = u(x) bzgl. des Vektorfelds f bei Berücksichtigung der Nebenbedingung (B.2). Daher assoziiert man zu (B.1) und (B.2) die ODE–Anfangswertprobleme x (ξ) 0 = f (z), z | = z (ξ) = (B.11) ż = dz t=0 0 dt u0 (ξ) für ξ ∈ Q und notiert die Lösung als x φ1 (t, ξ) = φ(t, ξ) mit φ(0, ξ) = z0 (ξ). z= = y φ2 (t, ξ) (B.12) Diese Lösungen von (B.11) generieren eine invariante Fläche,welche die Anfangsbedingung erfüllt, aber über Variable t, ξ (an Stelle der gewünschten Variablen x) parametrisiert ist. Ist nun die Abbildung φ1 nahe 0 × Q glatt invertierbar – was der Fall ist unter (B.14) – , so betrachte dort die Funktionen u(x) := φ2 (φ−1 1 (x)) und v(z) = u(x) − y . Für sie gelten die PDE (B.1) und die Nebenbedingung (B.2) bzw. (B.5) wegen ux (x)f1 (x, u(x)) = (Dt φ2 , Dξ φ2 ) |φ−1 (Dt φ1 , Dξ φ1 )−1 |φ−1 f1 (x, u(x)) = 1 (x) 1 (x) (f2 (φ(t, ξ)), (Dξ φ2 ) |φ−1 ) (f1 (φ(t, ξ)), (Dξ φ2 ) |φ−1 )−1 f1 (φ(t, ξ)) = 1 (x) 1 (x) f2 (φ(t, ξ)) = f2 (x, u(x)). (B.13) 69 • Beim Aufsuchen invarianter Kurven y = u(x) bzgl. (B.7) bei skalaren x und y entspricht dies dem Übergang zu ∂y f2 (x, y) = , ∂x f1 (x, y) ! wenn man die Lösung dieser Gleichung mit y = u(x) bezeichnet (f1 6= 0). Die angestrebte Invertierbarkeit ist nahe der Nebenbedingung (B.2) sicher gegeben, falls das Vektorfeld f1 auf (B.2) transversal zu dem (n − 1)–dimensionalen Tangentialraum an H aus (B.2) ist, also falls 0 (ξ) ) 6= 0 f1 (z0 (ξ)) ∈ / T H |x0 (ξ) dh. det( f1 (z0 (ξ)), ∂x ∂ξ (B.14) gilt. Am Rande: Es folgt dann automatisch, dass f am Punkt z0 (ξ) nicht im dortigen 0 Tangentialraum von Ĥ – aufgespannt von den Spalten von ∂z (ξ) – liegt. ∂ξ Der Begriff Charakteristik wird in der Literatur nicht einheitlich benutzt. Oft werden die (B.7)–Lösungen z = φ(t, ξ) als Charakteristiken und die x = φ1 (t, ξ) als deren Projektionen bezeichnet. Die z–Kurven können sich nicht schneiden (bei glatten Ausgangsdaten), die Projektionen schon. Liest man also von sich schneidenden Charakteristiken, so sind wohl die x–Kurven als Charakteristiken definiert worden. Spezialfall: (B.15) uθ + b(θ, s, u)us = c(θ, s, u) mit θ = 0, s = ξ, u = u0 (ξ) für (θ, s, u) ∈ R × Rn−1 × R und ξ ∈ [0, 1]n−1 . Setze x = (θ, s), f = (1, b, c), so dass sich als assoziierte ODE θt = 1, θ |t=0 = 0, st = b(θ, s, y), yt = c(θ, s, y), (B.16) s |t=0 = ξ, y |t=0 = u0(ξ) ergibt mit θ ≡ t und dem nichtautonomen System st = b(t, s, y), yt = c(t, s, y). Zusatz: Die Integralmannigfaltigkeit M kann auch implizit durch eine Beziehung V (x, y) = 0 gegeben sein, wenn diese Gleichung nur eindeutig und glatt in der Form y = u(x) auflösbar ist. Gelten z.B. (B.17) Vz f (z) |V =0 = 0, Vy |V =0 6= 0 und V (x, y) = 0 ⇔ y = u(x), so folgen (Vx , Vy ) I ux = Vx + Vy ux ≡ 0 auf V = 0, f (z) |V =0 ∈ Bild I ux . Letzteres ist nun äquivalent zu (B.1), ie. (ux (x), −1)f (x, u(x)) = 0 (Fredholm!). (B.18) 70 ANHANG B. PDES ERSTER ORDNUNG: CHARAKTERISTIKENMETHODE Verallgemeinerung: All dies lässt sich verallgemeinern auf skalare partielle Differentialgleichungen der Form F (x, u, ux) = 0 bzw. (B.19) F (x, u, q) = 0 & q = ux mit der Nebenbedingung (B.2), dh. bei ′ = ∂ ∂ξ mit F (x0 (ξ), u0(ξ), q0 (ξ)) = 0 & u′0 (ξ) = q0 (ξ)x′0 (ξ). (B.20) Hat man ein Vektorfeld (A, B, C)T , so dass F = 0 eine Integralmannigfaltigkeit für xt A = B (x, u, q) ≡ f (z), zt ≡ u t C qt ut = ux ẋ = q T xt (B.21) (B = q T A) unter Berücksichtigung der Nebenbedingung liefert, so gelten F (z(t, ξ)) = F (x(t, ξ), u(t, ξ), q(t, ξ)) ≡ 0, ut (t, ξ) ≡ q T (t, ξ)xt (t, ξ). (B.22) Eine Differentiation bzgl. t liefert A T 0 = Fx xt + Fu ut + Fq qt = (Fx , Fu , Fq ) B & ut = q xt C (B.23) [Fx + Fu q T ]A + Fq C = 0. (B.24) und mit B = q T A Mit der Wahl A = FqT gelangt man zu C T = −[Fx + Fu q T ] als Lösung (modulo KernFq ). Betrachte daher als als assoziiertes ODE–Anfangswertproblem xt = FqT , ut = Fq q, x |t=0 = x0 (ξ), u |t=0 = u0 (ξ), (B.25) qt = −FxT − Fu q, q |t=0 = q0 (ξ). Beachte, dass Dx F (x, u, ux) ≡ 0 zu Fx + Fu ux + Fq uxx = Fx + Fu q + qt ≡ 0 führt. Aus der Invertierung der Komponente x = φ1 (t, ξ) der Lösung φ(t, ξ) = (φ1 , φ2 , φ3 )T (t, ξ) erhält man wie oben eine Funktion u = φ2 (φ−1 1 (x)), welche – in der Tat und automatisch – die −1 Gleichung ux (x) = φ3 (φ1 (x)) erfüllt. Anhang C Weak Solutions and Shocks This appendix applies – of course – also to one-dimensional equations for scalar-valued function u : [0, T ] × R → R1 where it simplifies a lot. C.1 Weak Solutions – Rankine-Hugoniot Conditions (I) A measurable function u is a distributional solution of ut + (f (u))x = 0 with C 1 -function f if for every C 1 φ with compact support one has RR [uφt + f (u)φx]dxdt = 0 . Ω⊂R2 (C.1) (C.2) Given an initial ū(x) in L1loc the function u : [0, T ] × R → Rn is a distributional solution of the Cauchy-problem if RT R R (C.3) [uφt + f (u)φx ]dxdt + R ū(x)φ(0, x)dx = 0 0 R for every C 1 φ with compact support in (−∞, T ] × R. Such a function is a weak solution if it is continuous in t from [0, T ] to L1loc with u(0, x) = ū(x) and if its restriction to (0, T ] × R is a distributional solution of the Cauchy-problem. Consider a piecewise Lipschitz-function u with a finite number of jump or shock curves in the (t, x)-plane. Let’s start with U(t, x) = u+ , x > λt, U(t, x) = u− , x < λt . (C.4) It is a distributional solution of (C.1) iff the Rankine-Hugoniot condition cf.(II) – λ [u+ − u− ] = f (u+ ) − f (u− ) = A(u+ , u− ) [u+ − u− ] 71 (C.5) 72 ANHANG C. WEAK SOLUTIONS AND SHOCKS holds with A(u, v) = R1 0 A(su + (1 − s)v)ds . (C.6) This follows from the divergence theorem on {x < λt} and {x > λt} with normal vector ν T = (λ, −1) to the separating straight line. We rewrite (C.5) as + − u − u . ν T [F (u+ ) − F (u− )] = 0 = (λ, −1) (C.7) f (u+ ) − f (u− ) The Rankine-Hugoniot conditions are satisfied more generally at every (τ, ξ) where a solution has an approximate jump discontinuiy. • Note from (C.5) that in the scalar case the mean value theorem implies λ= f (u+ )−f (u− ) u+ −u− = f ′ (u∗ ) (C.8) with an intermediate u∗ out of the interval bounden by u± . In case f ′ is monotone λ can be related to f ′ (u± ). [When f ′′ > 0 one necessarily has u− > u+ and hence f ′ (u− ) > λ > f ′ (u+ ).] A necessary and sufficient condition for a piecewise Lipschitz-function to be a distributional solution of (C.1) can be stated for PL-systems (piecewise Lipschitz-regularity with finitely many exceptional Lipschitz-curves γj (t) ). • Bressan’s Theorem 4.2 in [14] For a PL-system u is a distributional solution if and only if the quasilinear eqaution ut + A(u)ux = 0 holds almost everywhere and, moreover for each j, one has almost everywhere in (aj , bj ) − + − γ̇j (t)[u+ j (t) − uj (t)] = f (uj (t)) − f (uj (t)). • The notion of weak solution is not invariant under coordinate transformations of the dependent u-variable. The notion of weak solution is not stringent enough to single out unique solutions. (II) Derivation of the Rankine-Hugoniot-Condition for weak solutions: We write ut + (F (u) R ξ = 0 as div(A(x, u)) = 0 with scalar u and (t, ξ) = x ∈ Q = {t ≥ 0, x ∈ R}, consider Q div(A(x, u))φ(x)dx = 0 and integrate by parts R Q gradφ(x)A(x, u)dx = 0 ∀φ ∈ C0∞ (Q). (C.9) Classical solutions are weak solutions, weak solutions with A(x, u) ∈ C 1 are classical solutions. Let now Q be divided by the straight line Γ = {ξ = σt} with unit normal √ ν = (−σ, 1)/ 1 + σ 2 (C.10) C.1. WEAK SOLUTIONS – RANKINE-HUGONIOT CONDITIONS 73 pointing into Ω+ where Ω± = {±ξ > σt}. Let u ∈ C 1 (Ω± ) be a weak solutions with A(x, u) ∈ C 1 (Ω± ). Rewriting (C.9) we have R Ω− div(A(x, u))φ(x)dx + R Ω+ div(A(x, u))φ(x)dx = 0 ∀φ ∈ C0∞ (Q). (C.11) Via integration by parts we obtain with the jump (C.12) [[A(x, u)]] := limΩ− ∋x→Γ A(x, u(x)) − limΩ+ ∋x→Γ A(x, u(x)) the relation R Γ φ(x)ν[[A(x, u)]]do = 0 ∀φ ∈ C0∞ (Q) (C.13) and thus ν[[A(x, u)]] = 0, i.e. the ! Rankine-Hugoniot Jump Condition σ (ω+ − ω− ) = F (ω+ ) − F (ω− ) (C.14) for ω± denoting the respective u-limits as Ω± ∋ x → Γ. (III) Exercise: Consider first the n-dimensional Cauchy problem −1 3/2 , u(0, x) = f (x), ut + Aux = 0, A = 3/2 3 (C.15) for x ∈ R and t ≥ 0 with a piecewise constant initial profile −1 2 for x < 0, f (x) = u+ for x > 0 . f (x) = u− = 1 3 (C.16) One has AR = RΛ With with Λ = −3/2 0 0 , R = (r1 , r2 ) = 7/2 ω1 = ω0 + r1 r1∗ 3 ω0 = u − = −1 −1 1 √1 10 3 1 −1 3 2 1 + . (C.17) , 7 10 3 1.1 = −1 0.3 11 1 3 2 1 + 9 = = u+ ω2 = ω1 + r2 r2∗ = 10 10 3 3 2 3 = (C.18) 74 ANHANG C. WEAK SOLUTIONS AND SHOCKS we arrive at − ω0 = u u(t, x) = ω1 ω2 = u + for (S1) : for (S2) : for (S3) : x < − 23 t, − 32 t < x < 72 t, x > 72 . (C.19) What’s the special property of (C.19)? The Rankine-Hugoniot-Condition for weak solutions: Look at (C.20) σ [ωj+1 − ωj ] = A[ωj+1 − ωj ] along a jump line x = σt. It enforces σ = λ1 , ω 1 = ω 0 + µ 1 r1 , σ = λ2 , ω 2 = ω 1 + µ 2 r2 (C.21) for suitable µj with ω0 + µ1 r1 = ω2 − µ2 r2 , i.e. u+ − u− = ω2 − ω0 = Rµ, µ = R∗ [u+ − u− ] = √1 10 3 −1 1 3 3 2 = √ 10 0.7 0.9 (C.22) leading to (C.18). C.2 Riemann-Problems for Quasilinear Systems Taken from [14]: Given ut + (a(u))x = ut + A(u)ux = 0 (C.23) with initial profile u(0, x) = f (x). In the case of a piecewise constant initial profile f (x) = u− for x < 0, f (x) = u+ for x > 0 (C.24) one speaks of the Riemann problem. Let A(u) ∈ Rn×n have n distinct real eigenvalues λ1 (u) < · · · < λn (u) – strictly hyperbolic case – with normalized right and left T eigenvectors rj (u) and ℓT j (u) satisfying ℓj (u) rk (u) = δjk . (i) Consider the i-th characteristic (vector) field ri (u) together with the autonomous IVP dU dσ = ri (U), U(0) = u− (C.25) σ + ≥ 0, (C.26) and denote its solution by U(σ). Let’s assume u+ = U(σ + ), and d λ (U(σ)) dσ i = gradλi (U(σ)) ri (U(σ)) > 0 (C.27) C.2. RIEMANN-PROBLEMS FOR QUASILINEAR SYSTEMS 75 on [0, σ + ] – genuine nonlinearity. Then the map σ : [0, σ + ] ∋ σ 7→ Λi (σ) := λi (U(σ)) ∈ [Λi (0), Λi (σ + )] is a strictly increasing bijection. − U(0) = u , u(t, x) = U(σ) , U(σ + ) = u+ , (C.28) We define the i–th (centered) rarefaction wave x ≤ Λi (0)t x = Λi (σ)t = λi (U(σ)) ∈ [Λi (0)t, Λi (σ + )t] x ≥ Λi (σ + )t (C.29) This u is clearly a solution for x < Λi (0)t and for x > Λi (σ + )t. For the region Λi (0)t < x = Λi (σ)t < Λi (σ + )t in between one has u(t, Λi (σ)t) ≡ U(σ) (C.30) and hence for the derivatives wrt t and σ: ut (t, Λi (σ)t) + ux (t, Λi (σ)t) Λi (σ) = ut + ux xt = 0, ux (t, Λi (σ)t) grad(λi (U(σ))) Uσ (σ) t = Uσ (σ) = ri (U(σ)). (C.31) This shows – by (C.27) – that ux (t, Λi (σ)t) is a nontrivial element of the eigenspace [ri (U(σ))] so that one has Λi (σ)ux (t, Λi (σ)t) = A(U(σ))ux (t, Λi (σ)t) = A(u(t, x))ux (t, Λi (σ)t) . (C.32) From (C.30) and (C.32) we thus obtain the solution property of (C.29): 0 = ut (t, Λi (σ)t) + ux (t, Λi (σ)t) Λi (σ) = ut (t, x) + A(u(t, x))ux (t, x) . (C.33) (ii) Let’s look for shock waves of the form ( u− u(t, x) = u+ for x < λt for x > λt (C.34) for some λ satisfying the Rankine-Hugoniot condition a(u+ ) − a(u− ) = λ[u+ − u− ] (C.35) which can be written by the mean-value theorem as a(u) − a(u− ) = Ã(u, u− )[u − u− ] = λ[u − u− ] R1 with Ã(u, u− ) = 0 A(θu + (1 − θ)u− )dθ (C.36) offering λ as eigenvalue with eigenvector u − u− . For fixed u− one has n equations for the + (n + 1) unknowns λ and u+ 1 , ..., un . 76 ANHANG C. WEAK SOLUTIONS AND SHOCKS • Theorem ([14] 5.1, p.93) For u+ close to u− there exist locally n smooth curves u+ = Si (σ) together with scalar functions λi = λi (σ) with a(Si (σ)) − a(u− ) = λi (σ)[Si (σ) − u− ], −σ0 ≤ σ ≤ σ0 . (C.37) The parametrization can be chosen such that one has |dSi /dσ| = 1 and Si (0) = u− , λi (0) = λi (u− ), dSi (0) dσ = ri (u− ), dλi (0) dσ = 12 [grad(λi )ri ] |u− , d2 Si (0) dσ2 = [Dri ri ] |u− . (C.38) • In the case of genuine nonlinearity d λ (U(σ)) dσ i = gradλi (U(σ)) ri (U(σ)) > 0 (C.39) the orientation of the eigenvector ri and the parametrization of Si are uniquely determined. In case of linear degenaracy d λ (U(σ)) dσ i = gradλi (U(σ)) ri (U(σ)) ≡ 0 (C.40) the i-th shock curve Si (σ) coincides with the ith rarefaction curve Ui (σ) of (C.25). The function ( u− for x < λi (σ)t u(t, x) = Si (σ) for x > λi (σ)t (C.41) is a weak solution of (C.23). In case of genuine nonlinearity it is called a compressive shock for σ < 0 and a rarefaction shock for σ > 0. In case of linear degenaracy it is called a contact discontinuity. Anhang D Sturm-Liouville Randwertprobleme Das Randwertproblem L(Φ)(x) ≡ (c(x)Φ′ (x))′ + q(x)Φ(x) = λp(x)Φ(x), α1 Φ(a) + α2 Φ′ (a) = 0, (D.1) β1 Φ(b) + β2 Φ′ (b) = 0 heisst reguläres Sturm–Liouville Problem, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: (a) c, c′ , q und p sind stetig auf [a, b], c und p sind positiv auf [a, b], (b) α12 + α22 > 0, β12 + β22 > 0. Der Sturm-Liouville Operator L(Φ) sei definiert auf D(L) bestehend aus komplexwertigen L2 –Funktionen f : [a, b] → C, die den Randbedingungen in (D.1) genügen und deren zweite Ableitungen existieren in L2 . Rb (⋆) f ist so eine L2 –Funktion, wenn (f, f ) = a |f (x)|2 dx endlich ist, also wenn f in diesem Sinne quadrat–integrierbar ist. Für u, v ∈ D(L) gelten: (a) uL(v) − vL(u) = [c(uv ′ − vu′ )]′ . (b) (L(u), v) = (u, L(v)) mit dem Skalarprodukt (u, v) := Rb a v ′ udx. (c) Jeder Wert λ (Eigenwert), welcher eine nichttriviale Lösung Φ (Eigenfunktion) von (D.1) zulässt, ist reell. √ (d) Zwei mit p gewichtete (reelle) Eigenfunktionen Φ1 und Φ2 zu verschiedenen Eigenwerten λ1 bzw. λ2 sind orthogonal in L2 (a, b), dh. p Rb p √ √ ( pΦ1 , pΦ2 ) = a [ p(x)Φ1 (x)][ p(x)Φ2 (x)]dx = 0. Verifizieren Sie (formal) die Eigenschaften (a) bis (d). Vergleiche Appendix A.4.2! 77 78 ANHANG D. STURM-LIOUVILLE RANDWERTPROBLEME Sturm–Liouville Theorem Das reguläre Sturm–Liouville Problem (D.1) hat unendlich viele, reelle einfache Eigenwerte λn mit eindimensionalen ’Eigenräumen’. Es gilt λn → −∞ für n → ∞: λ1 > λ2 > λ3 > · · · → −∞ . Die Folge √ ( p Φn )∞ n=1 √ der mit p gewichteten Eigenfunktionen Φn zu λn bildet ein vollständiges OrthoRb gonalsystem in L2 (a, b), denn für σ(φ, ψ) := a p(x)φ(x)ψ(x)dx und n 6= m gilt: p Rb p √ √ σ(Φn , Φm ) = a [ p(x)Φn (x)][ p(x)Φm (x)]dx = ( pΦn , pΦm )L2 = 0. Somit lassen sich in formalen Reihenentwicklungen bezüglich der Eigenfunktionen die Koeffizienten folgendermassen errechnen: P (D.2) f (x) = ∞ j=1 fj Φj (x) ⇒ fn = σ(f, Φn )/σ(Φn , Φn ) . Überdies haben die Eigenfunktionen Φn genau n − 1 Nullstellen in (a, b). Aufgabe SLP-1 (Transformationen auf Sturm-Liouville Form) ′′ ′ Die spezielle Form (cΦ′ )′ in (D.1) ist nicht R x so speziell. Sie lässt sich aus Φ + β(x)Φ + α(x)Φ = 0 durch Multiplikation mit exp( β(s)ds) erzeugen. Allgemeiner lässt sich eine PDE ut = c(x)uxx + b(x)ux + a(x)u + p(x, t) auf die Form wt = (c(x)wx )x + q(x)w + p̃(x, t) durch eine Transformation u(x, t) = ψ(x)w(x, t) bringen. Verifizieren Sie: Die Differentialgleichung (Lu)(x) = −a(x)u′′ (x) − b(x)u′ (x) + c(x)u(x) = λu(x), 0 ≤ x ≤ 1, (D.3) ist äquivalent zu einem verallgemeinerten Sturm–Liouville Eigenwertproblem (Lu)(x) = −(p(x)u′ )′ + q(x)u(x) = λw(x)u(x), 0≤x≤1 (D.4) für glatte Funktionen a, b, c mit a(x) 6= 0 auf [0, 1]. Bestimmen Sie p, q und w. Aufgabe SLP-2 (Allgemeine konvektive Randbedingungen für Lu = uxx ) Gegeben sei a Gegeben sei das Randwertproblem Φ′′ + λΦ = 0, α1 Φ(0) + α2 Φ′ (0) = 0, β1 Φ(1) + β2 Φ′ (1) = 0 über dem Intervall [0, 1], wobei nicht beide Produkte α1 β1 und α2 β2 gleich 0 sind. (D.5) 79 • Unter welchen Bedingungen existiert eine nichttriviale Lösung für λ = 0? • Für λ = ±µ2 6= 0 hat man die Lösungen (D.6) Φ(x) = As(µx) + Bc(µx) der Differentialgleichung, wobei s(µx), c(µx) gleich sin(µx) bzw. cos(µx) für λ = +µ2 und gleich sinh(µx) bzw. cosh(µx) für λ = −µ2 gesetzt sind. Setze entsprechend t(µx) = tan(µx) bzw. tanh(µx). Um eine nichttriviale Lösung Φ(x) der Differentialgleichung inklusive Randbedingungen zu erhalten, muss – bei nichtverschwindendem Nenner – α1 β2 −α2 β1 α1 β1 ∓α2 β2 µ2 (D.7) · µ = −t(µ) gelten. Warum? Skizzieren Sie die drei Fälle α1 β1 = 0 und α2 β2 = 0 und α1 β1 6= 0, α2 β2 6= 0 für (D.7). Nur im Fall λ = +µ2 > 0 (mit t(µ) = tan(µ) ) erhält man somit eine Folge von Eigenwerten −µ2n (welche gegen −∞ streben). Exkurs/Aufgabe SLP-3 (Laplace-Operator in neuen Koordinaten) (a) Betrachte den Laplace-Operator ∆u = uxx + uyy im R2 und die Koordinatentransformatiom Φ : R+ × [0, 2π) → R2 gegeben durch (D.8) (x, y) = Φ(r, θ) = (r cosθ , r sinθ). Setze v(r, θ) = u(Φ(r, θ)) = u(r cosθ r sinθ) und berechne die partiellen Ableitungen vr , vθ , vrr und vθθ , um auf die Formel ∆v = 1 ∂ [r ∂v ] r ∂r ∂r + 1 ∂2v r 2 ∂θ 2 (D.9) für den Laplace-Operator in Polarkoordinaten zu kommen. (b) Führen Sie die Schritte in Abschnitt 4.2 des Skripts (Potentialgleichung im Kreis) explizit aus. (c) In entsprechenden Zylinder-Koordinaten (r, θ, z) lautet der Laplace-Operator ∆v = 1 ∂ [r ∂v ] r ∂r ∂r + 1 ∂2v r 2 ∂θ 2 + ∂2v . ∂z 2 (D.10) (d) In Kugel-Koordinaten (x, y, z) = (r cosθ sinφ , r sinθ sinφ , r cosφ) mit r > 0, 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ φ < π lautet der Laplace-Operator h i 1 ∂ ∂v 1 ∂2v ∂ 1 2 ∂v ∆v = r2 ∂r [r ∂r ] + sinφ ∂φ [sinφ ∂φ ] + sin2 φ ∂θ2 . (D.11) (D.12) 80 ANHANG D. STURM-LIOUVILLE RANDWERTPROBLEME Exkurs SLP-4: Singuläre Sturm-Liouville Probleme/Besselfunktionen (a) Man betrachte das Wärmeleitungsproblem k1 ut = uxx + uyy auf einem Kreis {(x, y) = Φ(r, θ) = (r cosθ , r sinθ) : 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ < 2π} mit Radius a. Für v(r, θ) = u(Φ(r, θ)) = u(r cosθ, r sinθ) gilt dann: 1 v k t = ∆v ≡ 1 ∂ [r ∂v ] r ∂r ∂r v(a, θ, t) = f (θ), + 1 ∂2v , r 2 ∂θ 2 v(r, θ, 0) = g(r, θ) (D.13) mit v beschränkt für r → 0+, v(r, θ, t) = v(r, θ + 2π, t). (D.14) Sei f (θ) ≡ 0 (homogene Randbedingung!). Benutzen Sie den Ansatz der Trennung der Veränderlichen v(r, θ, t) = Φ(r, θ)T (t) = R(r)Θ(θ)T (t) (D.15) und leiten Sie die Gleichungen für R, Θ und T her. Das resultierende Eigenwertproblem für Θ ist ein ’einfaches’, dasjenige für R lässt sich wie folgt schreiben: (rR′ )′ − n2 R r + λ2 rR = 0, R(a) = 0, 0 < r < a (n ∈ N0 ) , R beschränkt für r → 0 + . (D.16) Gleichung (D.16) heisst bessel-gleichung. Erinnnere das Sturm-Liouville Theorem, was Orthogonalität von Eigenfunktionen angeht, und vergleiche Teil (c) dieser Aufgabe. Eine Reihendarstellung für die Lösung erhält man aus dem Ansatz R(r) = r α P∞ j=0 cj r j (D.17) bei geeignetem α. Bestimmen Sie α und die cj , j ≥ 1, in Abhängigkeit von c0 . Wählt man speziell c0 = λn /(2n n!) , so ergibt sich die in der Literatur mit Jn (λr) bezeichnete Besselfunktion erster Art (Gattung) der Ordnung n. (b) Betrachtet man die Wellengleichung auf einem solchen Kreis mit Radius a 1 v c2 tt v(a, θ, t) = f (θ), = ∆v, v(r, θ, 0) = g(r, θ), vt (r, θ, 0) = h(r, θ) (D.18) mit v beschränkt für r → 0+, v(r, θ, t) = v(r, θ + 2π, t). (D.19) und f (θ) ≡ 0 (homogene Randbedingung!), so stösst man auf die ’gleichen’ Eigenwertprobleme für Θ und R. 81 (c) Bessel–Gleichungen/Besselfunktionen: Die Differentialgleichung (xy ′ )′ − µ2 y x + λ2 xy = 0 (D.20) für die zu bestimmende skalare Funktion y = y(x) heisst Besselsche Differentialgleichung. Eine Lösung Jµ (λx) – Besselfunktion erster Art – erhält man aus dem Reihenansatz P j (D.21) y(x) = xµ ∞ j=0 cj x mit µ ≥ 0 und Koeffizientenvergleich. Linear unabhängig davon ist die Besselfunktion Yµ (λx) zweiter Art, welche man über Variation der Konstanten erhalten kann (Y = Jc mit zubestimmender Funktion c = c(x) – oder auch J−µ (λx) für µ ∈ / Z). Die Besselfunktionen erster Art erscheinen als gedämpfte Oszillationen. Aufgabe SLP-5: Oszillationen einer Kette Das folgende System utt = (xux )x , u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = 0 für 0 ≤ x ≤ 1, sup|u(x, t)| < ∞ für 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0, (D.22) u(1, t) = 0 für t ≥ 0 beschreibt kleine Oszillationen einer hängenden Kette. Separation u(x, t) = X(x)T (t) führt zum singulären Sturm–Liouville Problem (xX ′ )′ + λX = 0, 0 ≤ x ≤ 1, X(1) = 0, X beschränkt. (D.23) Die auftretende Differentialgleichung ist eine aus der klassischen Physik. Die Substitution √ y2 (D.24) ) y = 2 λx , Y (y) = X(x) = X( 4λ führt zu einer Bessel-Differentialgleichung Y ′′ + y1 Y ′ + Y = 0, (D.25) deren beschränkte Lösungen von der Form γJ0 (y) sind, wobei γ eine beliebige Konstante ist und J0 für die Besselfunktion nullter Ordnung steht. Die Nullstellen zj von J0 sind einfach, liegen in R+ und erfüllen 0 < z1 < z2 < · · · → ∞ . √ Insgesamt ergeben sich die Eigenfunktionen J0 (zj x) von (D.23) zu den Eigenwerten λj = zj2 /4 und somit die formale Reihenlösung u(x, t)) = zj t j=1 [aj cos( 2 ) P∞ + bj sin( √ zj t )] J (z x) 0 j 2 (D.26) 82 ANHANG D. STURM-LIOUVILLE RANDWERTPROBLEME mit den Anfangsbedingungen ! f (x) = u(x, 0) = ! 0 = ut (x, 0) = √ P∞ j=1 aj J0 (zj x), P∞ bj zj √ j=1 2 J0 (zj x). (D.27) Wähle bj = 0 und bestimme die aj über Projektionen (Orthogonalitätsrelationen in Exkurs 1.1 (1.Übungsblatt)), um zu einer formalen Lösung von (D.22) zu gelangen. • Aufgabe: Verifizieren Sie die Schritte in diesem Beispiel. Exkurs SLP-6: Singuläres Sturm–Liouville Problem ohne Eigenwert. Das Beispiel L(X)(x) := (x2 X ′ )′ + λX = 0, X(1) = 0, X, X ′ , ... beschränkt auf (0, 1), (D.28) zeigt, dass ein singuläres Sturm–Liouville Problem überhaupt keinen Eigenwert zu haben braucht: Gilt L(X) + λX = 0 für ein λ, so ist X identisch 0. Lösungsskizze: • Betrachte das Eigenwertproblem Lu = −(x2 u′ )′ = λu für auf (0, 1] beschränkte u mit u(1) = 0. Man hat die ’Symmetrie’ (’Selbstadjungiertheit’) bzgl. des L2 – Skalarprodukts: (Lu, v) = (u, Lv): −(Lu, v) = ((x2 u′ )′ , v) = (x2 u′ v)(1) − (x2 u′ v)(0) − (x2 u′ , v ′ ) = −(x2 u′ , v ′ ) = − −(u, Lv) = (u, (x2 v ′ )′ ) = (ux2 v ′ )(1) − (ux2 v ′ )(0) − (u′ , x2 v ′ ) = −(u′ , x2 v ′ ) = − R1 0 R1 0 x2 u′ (x)v ′ (x)dx, u′ (x)x2 v ′ (x)dx. (D.29) • Ein etwaiger Eigenwert λ mit Eigenfunktion q ist nichtnegativ (λ = µ2 ≥ 0) wegen λ(q, q) = (Lq, q) = (x2 q ′ , q ′) = R1 0 x2 q ′ (x)q ′ (x) dx ≥ 0. (D.30) • Für die ODE (x2 u′ )′ + µ2 u = 0 hat man nichttriviale Lösungen der Form u(x) = xα mit p (D.31) [α(α + 1) + µ2 ] xα = 0, α = α± = (−1 ± 1 − 4µ2 )/2. • Für 1 4 6= µ2 > 0 hat man die allgemeine Lösung u(x) = Axα+ + Bxα− , ! (D.32) was mit u(1) = A + B = 0 zu u(x) = A[xα+ − xα− ] führt. Wegen Re(α± ) < 0 ist u unbeschränkt für x → 0+ oder trivial. 83 • Im Fall 14 = µ2 mit α+ = α− = − 21 ist jede an x = 1 verschwindende Lösung von der Form (D.33) u(x) = x−1/2 [A + B ln(x)] = Bx−1/2 ln(x) mit Unbeschränktheit für x → 0+. Erinnere: An mehrfachen Nullstellen α liefern die Ableitungen von xα nach α weitere Lösungen. • Insgesamt liefert die Annahme eines ’Eigenwerts’ λ, dass sie zugehörige ’Eigenfunktion’ trivial oder unbeschränkt ist. Und somit keine wirkliche Eigenfunktion. Aufgabe SLP-7 (Balkengleichung) Betrachten Sie die Balkengleichung utt + c2 uxxxx = 0, 0 ≤ x ≤ π, t ≥ 0, (2.5.1) mit positivem Parameter c bei den (für Antennen typischen) Randbedingungen u(0, t) = 0, ux (0, t) = 0, uxx (π, t) = 0, uxxx(π, t) = 0 für t ≥ 0 (2.5.2) und den kompatiblen glatten Anfangsbedingungen u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ π. (2.5.3) P Berechnen Sie erst eine formale Reihenlösung αn Φn (x) des räumlichen (d.h. t– unabhängigen) Problems (2.5.1) & (2.5.2). Welche P Beziehungen müssen dann die Koeffizienten ξn (t) eines Lösungsansatzes u(x, t) = n Φn (x)ξn (t) für (2.5.1) & (2.5.2) & (2.5.3) genügen. 84 ANHANG D. STURM-LIOUVILLE RANDWERTPROBLEME Anhang E Topics aus Linearer Algebra E.1 Fredholm Alternative Es seien X = Kn , Y = Km mit K = C oder R mit den kanonischen Basen ausgestattet. (a) Für Spaltenvektoren x, y und Matrizen A ∈ Km,n schreiben wir für das komplexkonjugierte Transponierte x∗ , y ∗ bzw. A∗ ∈ Kn,m . Im Reellen nutzen wir auch die Schreibweisen x∗ = xT und A∗ = AT . (b) Für Unterräume U, V schreiben wir U ⊥ V , falls u∗ v = 0 = v ∗ u für alle u ∈ U, v ∈ V gilt. L (c) Für die direkte Summe U ⊕ V von Unterräumen schreiben U V (orthogonale direkte Summe), falls zusätzlich U ⊥ V gilt. Wir erinneren an die Dimensionsformel für lineare Abbildungen ℓ : X → Y, x → ℓ(x) = Ax und an ‘Zeilenrang = Spaltenrang’: dimR(A) + dimN(A) = dimX = n , dimR(A) = rg(A) = rg(A∗ ) = dimR(A∗ ) , (E.1) woraus dimR(A∗ ) + dimN(A) = n, dimR(A) + dimN(A∗ ) = m folgen. Die bekannte Fredholm-Alternative in der Linearen Algebra notieren wir in der Form L L (E.2) Kn = R(A∗ ) N(A) , Km = R(A) N(A∗ ) . Weiterhin sei an Kern(A) = Kern(A∗ A) , Bild(A) = Bild(A∗ A) (E.3) erinnert. Schliesslich nennen wir eine Matrix A ∈ Rn×n positiv semi-definitıpositiv semidefinite Matrix, falls A gleich AT ist und xT Ax ≥ 0 für alle x gilt. Ist hier xT Ax > 0 für alle x 6= 0, so nennen wir A positiv definitıpositiv definite Matrix. 85 86 E.2 ANHANG E. TOPICS AUS LINEARER ALGEBRA Schurform und Spektralzerlegung Mit dem Orthonormalisierungsverfahren von E.Schmidt, der QR-Faktorisierung, erhält man für eine komplexe Matrix A = (ajk ) ∈ Cn,n folgenden Resultat. Satz (Schurform und Spektralzerlegung) Für eine Matrix A = (ajk ) ∈ Cn,n mit den Eigenwerten λ1 , .., λn gelten: (a) Es existiert eine unitäre Matrix U ∈ Cn,n (mit U ∗ U = I), so dass U −1 AU = U ∗ AU eine obere Dreiecksmatrix ist. Ist A reell und sind alle Eigenwerte reell, so ist U reell wählbar. (b) Es existiert ein unitäres U ∈ Cn,n mit U −1 AU = U ∗ AU = diag(λ1 , ..., λn ) genau dann, wenn A ist normalınormale Marix (d.h. A∗ A = AA∗ ). Bezüglich der Spalten uj von U = (u1 , ..., un ) hat man dann die Spektralzerlegung von A gegeben durch A = λ1 u1u∗1 + ... + λn un u∗n , Ax = λ1 u1 (x, u1 ) + ... + λn un (x, un ) . Die Dreicksmatrix U ∗ AU wird Schur-Form oder Schur-Normalform von A genannt. Also sind genau die normalen Matrizen A unitär diagonalisierbar. Reelle symmetrische Matrizen sind spezielle normale Matrizen. ⊡ Die reelle Schur-Form führt zu einer Block-Dreiecksmatrix (vgl. Aufgabe oder Appendix). Es sei A = (ajk ) ∈ Rn,n eine Matrix mit den m reellen Eigenwerten λ1 , .., λm und den 2k nicht-reellen Eigenwerte λ± j = αj ± iβj . Dann existiert eine reelle orthonormale Matrix U, so dass die Blocksdreiecksmatrix U ∗ AU von folgender Form ist: λ1 ∗ ∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ .. . ∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ λ ∗∗ ∗∗ ∗∗ m ∗ U AU = (E.4) Λ ⋆ ⋆ 1 .. . ⋆ Λk ist, wobei die reellen (2 × 2)-Blöcke Λj genau die nicht-reellen Eigenwerte = αj ± iβj von A als Eigenwerte besitzen. Erinnere das Orthogonalisierungsverfahren von E.Schmidt/ QR-Faktorisierung: Es sei X ein Vektorraum mit (· , · ), und es sei A = (a1 , .., am ) eine linear unabhängige Menge von Vektoren aus X. Dann existiert eine reguläre obere Dreiecksmatrix ∆ ∈ Km,m , so dass Q = (q1 , .., qm ) = (a1 , .., am )∆ = A∆ E.2. SCHURFORM UND SPEKTRALZERLEGUNG 87 folgende Eigenschaften für j, k = 1, .., m besitzt: Q∗ Q = I, Lin(q1 , .., qj ) = Lin(a1 , .., aj ). Mit der regulären oberen Dreiecksmatrix R := ∆−1 gilt dann A = QR. Zum Beweis setze q1 = a1 /|a1 | und nehme an, dass q1 , .., qj−1 mit den gewünschten Eigenschaften schon gefunden sind. Setze dann pj := aj − j−1 X k=1 (aj , qk )qk , qj := pj /|pj |. Algorithmischer Beweis der Schur–Form: Es sei u1 Eigenvektor von A1 = A der Länge 1 zum Eigenwert λ1 . Ergänze mit ‘Schmidt’ zu einer O–Basis U1 = (u1, V1 ). U1 ist dann unitär, und es gilt λ1 u∗1 AV1 λ1 a∗2 ∗ . U1 AU1 = = 0 A2 0 V1 ∗ AV1 Wiederhole diesen Schritt nun für A2 bezüglich des Eigenwerts λ2 mit normiertem Eigenvektor v2 ∈ Cn−1 und unitärem (v2 , V2 ) und nehme die (unitäre) (n, n)–Matrix 1 0 . U2 = 0 (v2 , V2 ) Man hat dann folgendes Zwischenergebnis: U2∗ U1∗ AU1 U2 λ1 ⋆ ⋆ = 0 λ2 ⋆ . 0 0 A2 Und so weiter. Sind für reelles A alle Eigenwerte reell, so kann U reell gewählt werden. Ist A normal, so ist a2 = 0 [wegen |Ax − λx|2 = |A∗ x − λx|2 ] und A2 ist wieder normal. Daraus ergibt sich die eine Richtung in Aussage (b). • Aufgabe/Am Rande: Legt man z.B. bei einer Transformation T = (u, −v) mit α −β AT = T = T Γ [⇐ A(u + iv) = (α + iβ)(u + iv)] β α Wert auf eine orthonormale Transformation (cf. Schur-Normalform im n-dim. Fall), so ergibt sich mit der QR-Zerlegung von T (T = QR mit orthonormalem Q und oberer Dreiecksmatrix R) und mit der Transformation x ∈ R2 7→ y := Q∗ x ∈ R2 (E.5) das AWP ẏ = Q∗ AQ y = RΓR−1 y =: Λ y , y(0) = η := Q∗ ξ . (E.6) Hierbei ist Λ = RΓR−1 eine reelle (2 × 2)-Matrix mit den Eigenwerten α ± iβ. 88 ANHANG E. TOPICS AUS LINEARER ALGEBRA E.3 Standard Matrix-Norms For real or complex m × n–matrices A denote by σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σr the nonvanishing singular values, i.e. the square roots of the positive eigenvalues of A∗ A. (a) One has the column-sum or row-sum matrix-norm kAk1 := sup{|Ax|1 : n |x|1 = 1} = max k=1 m kAk∞ := sup{|Ax|∞ : |x|∞ = 1} = max i=1 (b) The spectral norm of A is given by Pm i=1 Pn k=1 |aik |, |aik |. ||A||2 := max{|Ax|2 : |x|2 = 1} = σ1 }. (c) The Frobenius norm is given by P P ||A||2F := i,j |aij |2 = rj=1 σj2 = trace(A∗ A) = trace(AA∗ ). One has the following estimates: √ ||A||2 ≤ ||A||F ≤ n||A||2 , √ √1 kAk∞ ≤ ||A||2 ≤ mkAk∞ , n ||A||22 ≤ kAk1 kAk∞ , √ √1 kAk1 ≤ ||A||2 ≤ nkAk1 . m Note that the condition number of a regular matrix A is defined by ||A||2 ||A−1 ||2 = σ1 /σr . E.4 (E.7) (E.8) (E.9) (E.10) κ(A) = Weighted Scalar Products Consider the vector space Rn with the scalar product (x, y)G = y T Gx for a positiv definite matrix G ∈ Rn×n : • G = GT with positive eigenvalues γk P and corresponding orthonormal eigenvectors P √ T 1/2 rk so that G = γk rk rk and G = γk rk rkT hold (cf. Appendix A.1 or E.2). Take a linear mapping x 7→ Ax for a A ∈ Rn×n and compute its adjoint A∗ with respect to the given scalar product. One has to have (Ax, y)G = (x, A∗ y) ∀ x, y ∈ Cn (E.11) implying ! ! y T GAx = (A∗ y) T Gx ∀ x, y ∈ Rn and hence GA = (A∗ ) T G. So it’s easy to see that the adjoint is given by A∗ = (GAG−1 )T = G−1 AT G . Thus one has a self-adjoint mapping iff A = A∗ = G−1 AT G and hence iff GA = AT G = (GA)T . (E.12) E.4. WEIGHTED SCALAR PRODUCTS 89 • Example: Given e.g. G= 1 0 0 4 and A = −1 2 1 2 1 , (E.13) is A self-adjoint with respect to the scalar product (·, ·)G ? Does one have A = A∗ ? • Application: This approach can be reversed in the following sense: The matrix A in (E.13) is obviously not self-adjoint with respect to the standard Euclidean scalar product. One might ask whether there exists a positive definite matrix G and an associated weighted scalar product (·, ·)G so that A becomes self-adjoint with respect to the new scalar product (·, ·)G . If so, then the spectral decomposition theorem (cf. Appendix A.1 or E.2) can be applied! Given the ODE ẋ = Ax with A from (E.13). We choose the G from (E.13) and change coordinates via y = G1/2 x to arrive at ẏ = By with B = G1/2 AG−1/2 . This B is now self-adjoint with respect to the Euclidean scalar product (·, ·)2 since (E.12) implies B = B T . For such symmetric B one has a (real) orthonormal basis [r1 , r2 ] such that the change of coordinates z = RT y = R−1 y with R = (r1 , r2 ) leads to ż = Cz with a diagonal C = R−1 BR = diag(γ1 , γ2) having the (necessarily real) eigenvalues as diagonal entries. Initial values x0 are transformed accordingly: y0 = G1/2 x0 , z0 = R−1 y0 = R−1 G1/2 x0 . The x(t)-solutions are thus given by x(t) = G−1/2 R diag(eγ1 t , eγ2 t ) R−1 G1/2 x0 = G−1/2 R eCt R−1 G1/2 x0 = eG −1/2 RCR−1 G1/2 x0 = eAt x0 . For the scalar products one then has (x, x̃)G = (y, ỹ)2 = (z, z̃)2 so that the norms of the solutions satisfy ||x(t)||2G = ||y(t)||22 = ||z(t)||22 . Aside: The defining formula (E.11) says that the kernel ker(A) is G-orthogonal to the image im(A∗ ) and that the kernel ker(A∗ ) is G-orthogonal to the image im(A). Because of the associated dimensions (i.e. ranks of A and A∗ ) these spaces are G-orthogonal complements: Rn = ker(A) + im(A∗ ) , Rn = ker(A∗ ) + im(A) , ker(A) ⊥G im(A∗ ) , ker(A∗ ) ⊥G im(A) . Cf. Fredholm-Alternative! For an example we take 1 0 0 −1 2 2 G= 0 4 0 , A = 4 1 1 ≡ (A1 , A2 , A3 ) . 0 0 1 1 4 4 (E.14) (E.15) 90 ANHANG E. TOPICS AUS LINEARER ALGEBRA 0 Then the columns A1 and A2 form a basis for im(A) and −11 is a basis for ker(A). Exercise: Compute the adjoint A∗ with respect to the scalar product (·, ·)G . Is it given by A∗ = −1 16 1 1 2 2 1 1 ? 4 4 Compute im(A∗ ) and ker(A∗ ) and check the properties listed in (E.14)! (E.16)