Landschaften - Institut für Visualisierung und Interaktive Systeme

Landschaften - Institut für Visualisierung und Interaktive Systeme

Seminar
Algorithmen für Computerspiele“
”
Prozedurale Modellierung: Terrains
Katrin Scharnowski
13. Juli 2010
Institut für Visualisierung und Interaktive Systeme
Universität Stuttgart
Inhaltsverzeichnis
1 Prozedurale Modellierung
1.1 Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Anwendungsgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Heightmap-basierte Terrain-Modellierung
2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Der Fault-Algorithmus . . . . . . . . .
2.3 Voronoi-Diagramme . . . . . . . . . .
2.4 Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Spektral-Synthese . . . . . . .
2.4.2 Perturbation . . . . . . . . . .
2.5 Thermale Erosion . . . . . . . . . . . .
2.6 Praxis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Tribal Trouble . . . . . . . . .
2.7.2 Terragen . . . . . . . . . . . . .
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4 Schluss
4.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Literatur
21
3 Voxel-basierte Terrain-Modellierung
3.1 Einführung . . . . . . . . . . . .
3.2 Der Marching-Cubes-Algorithmus
3.3 Eine Dichte-Funktion generieren
3.3.1 Initialisierung . . . . . . .
3.3.2 Spektral-Synthese . . . .
3.4 Praxis . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Plattformen . . . . . . . .
3.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Forever War . . . . . . . .
3.5.2 Acropora . . . . . . . . .
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1 Prozedurale Modellierung
1.1 Begriff
Möchte man ein Modell erzeugen, so gibt es dafür im Allgemeinen verschiedene Vorgehensweisen. Neben der rein manuellen Modellierung kann z.B. über verschiedene Scan-Verfahren
die Form von realen Objekten zu Geometrie-Daten ausgewertet werden.
Prozedurale Modellierung stellt eine weitere Möglichkeit dar. Hier werden die Modelle von
einem dafür vorgesehenen Algorithmus erzeugt und der menschliche Einfluss auf das Ergebnis
ist nur indirekt möglich, indem einzelne Parameter der entsprechenden Prozedur verändert
werden.
1.2 Motivation
Durch prozedurale Modellierung besteht, neben der Reduzierung des Festplattenspeicherbedarfs, die Möglichkeit Arbeitszeit einzusparen. Dies zeigt sich vor allem wenn viele ähnlich
aussehende Objekte erstellt werden sollen, da hier der entsprechende Algorithmus einmal
implementiert werden muss und zur eigentlichen Modellierung nur die Veränderung der
entsprechenden Parameter nötig ist.
Prozedurale Modellierung ermöglicht es außerdem durch die Verwendung spezieller Algorithmen bestimmte physikalische Vorgänge in der Natur besonders exakt zu imitieren und so
den Realismus der Ergebnisse zu erhöhen.
Jedoch muss bedacht werden, dass sich prozedurale Modellierung trotz der Vorteile nicht für
jede Art von Modell eignet. Schwierig sind vor allem Objekte, die aus vielen unterschiedlich
aussehenden Einzelteilen bestehen, die eine bestimmte festgelegte Anordnung haben, dazu
zählen z.B. Alltagsgegenstände wie Fahrräder, ein Uhrwerk, aber auch Gesichter.
Zudem benötigt das prozedurale Erstellen von Modellen, je nach Art der Implementierung,
unter Umständen eine merkliche Rechenzeit, was als Preis für den geringeren Festplattenspeicherbedarf gesehen werden kann.
Es lässt sich außerdem sagen, dass, subjektiv betrachtet, die indirekte Einflussname über
Parameter nicht immer so intuitiv ist wie beispielsweise die manuelle Modellierung in einem
entsprechenden Programm.
1.3 Anwendungsgebiete
Wie bereits angedeutet eignet sich prozedurale Modellierung vor allem für Objekte, die eine
gewisse Regelmässigkeit innerhalb ihres Aufbaus aufweisen.
Dies trifft zum Beispiel auf natürliche Vegetation zu. Bei der prozeduralen Modellierung von
1.3 Anwendungsgebiete
3
Pflanzen wird über sogenannte selbstorganisierende Modelle versucht die Natur nachzuahmen, indem die Geometrie unter der Einhaltung bestimmter Regeln, die sich am natürlichen
Wachstumsprozess orientieren, aufgebaut wird (siehe auch [9]). Derartige prozedurale
Modelle werden z.B. in der Entwicklungsumgebung SpeedTree verwendet, die in diversen
kommerziellen Spielen zum Einsatz kommt.
Abbildung 1.1: Ein prozedurales Baum-Modell (links), prozedurale Vegetation in The Elder
Scrolls IV: Oblivion (rechts) [1].
Ein weiteres Anwendungsgebiet stellt die prozedurale Modellierung von Gebäuden bzw.
Architektur dar. Hier werden die Objekte durch sogenannte Shape-Grammars gebildet, die,
basierend auf einer Menge von kontextsensitiven Ersetzungsregeln, die Modelle aufbauen.
Diese Regeln machen es möglich unter bestimmten Bedingungen Objekte zu transformieren
oder durch andere Objekte zu ersetzen und so die gewünschte Menge von Modellen zu
erzeugen.
Abbildung 1.2: Zwei prozedural modellierte Gebäude, die auf derselben Menge von Ersetzungsregeln basieren [7].
Zu guter Letzt bietet es sich noch an Terrains bzw. Landschaften prozedural zu erzeugen.
Speziell bei der Simulation von Erosion oder bei der Erzeugung “zufälliger“ Unregelmäßigkeiten ist es schwer sich auf rein manuelle Methoden zu beschränken, da der Aufwand, die
4
Prozedurale Modellierung
nötige Präzision und die Komplexität zu hoch wären.
Abbildung 1.3: Ein prozedural erzeugtes Terrain, die detailreiche Oberflächenstruktur wäre
durch manuelle Modellierung nur schwer zu erreichen [8].
2 Heightmap-basierte Terrain-Modellierung
2.1 Einführung
Heightmaps zeichnen sich besonders durch ihren einfachen Aufbau und ihre einfache Implementierung aus. Es wird lediglich ein zweidimensionales Array erzeugt, in dem die jeweiligen
Höhenwerte gespeichert werden. Dieses Array lässt sich als Triangle-Strip oder mit Hilfe von
Triangle-Fans rendern, wobei sich die Koordinaten der Vertizes aus den Indizes des Arrays
und den Höhenwerten an der entsprechenden Stelle ergeben.
Heightmaps können aufgrund ihrer Struktur auch als Textur, bzw. Bild aufgefasst werden,
das mit Graustufen-Werten gefüllt ist. Darum wird ein solches Graustufen-Bild oft als
Repräsentation für eine Heightmap gewählt (Abbildung 2.1).
Abbildung 2.1: Repräsentation einer Heightmap durch ein Graustufen-Bild (links) und als
Polygon-Grafik gerendert (rechts) [8].
2.2 Der Fault-Algorithmus
Um mit dem Fault-Algorithmus eine Terrain-Form zu erzeugen wird zunächst eine zufällige
Gerade g in der x-z-Ebene bestimmt, die die Heightmap in zwei Abschnitte teilt. Die
Höhenwerte der Punkte können anschließend berechnet werden, indem jeder Punkt der
Heightmap einem der beiden Abschnitte zuordnet wird. Dafür wird der Richtungsvektor von
g als Normalen-Vektor einer senkrecht auf der Heightmap stehenden Ebene aufgefasst. Sei
nun e(x, y, z) = ax + by + cz + d die Koordinatengleichung dieser Ebene und of f s das aktuell
verwendete Offset, dann ist
6
Heightmap-basierte Terrain-Modellierung
(
h(x, z) + of f s,
h(x, z) =
h(x, z) − of f s,
falls e(x, 0, z) ≥ 0
falls e(x, 0, z) < 0
Es werden also alle Punkte der Heightmap im ersten Abschnitt um ein bestimmtes Offset
angehoben und die Punkte im zweiten Abschnitt um dasselbe Offset abgesenkt, wodurch
eine Treppenform erzeugt wird. Dieses Vorgehen wird nun jeweils mit einer neuen zufälligen
Gerade sooft wiederholt bis die gewünschte Anzahl von Iterationsschritten erreicht ist (siehe
auch [2]).
(a) eine Iteration
(b) 10 Iterationen
(c) 25 Iterationen
(d) 50 Iterationen
(e) 100 Iterationen
(f) 400 Iterationen
Abbildung 2.2: Zustand der Heightmap nach 1, 10, 25, 50, 100 bzw. 400 Iterationen des
Fault-Algorithmus bei konstantem Offset.
Neben der Wahl eines konstanten Offsets wie in Abbildung 2.2 besteht die Möglichkeit den
Wert nach jedem Iterationsschritt durch einen bestimmten Faktor zu verringern. Da auf
diese Art aber relativ schnell keine wahrnehmbaren Höhenunterschiede mehr erzeugt werden,
bietet es sich an das Offset asymptotisch gegen einen geeigneten Grenzwert laufen zu lassen,
so dass auch nach einer größeren Anzahl von Iterationsschritten noch eine Veränderung zu
sehen ist.
Eine weitere Möglichkeit der Variation stellt das Ersetzen der Treppenform durch andere
Funktionen dar. Eine Verwendung des Cosinus oder Sinus hätte beispielsweise ein glatteres
und runderes Aussehen des Terrains zur Folge.
Einen ähnlichen Ansatz wie der Fault-Algorithmus verfolgt der Circles-Algorithmus, wobei
der Unterschied lediglich in der Art der Aufteilung der Heightmap liegt. Nach der Bestimmung eines zufälligen Punktes p auf der Heightmap werden alle Punkte, die sich innerhalb
2.3 Voronoi-Diagramme
7
eines bestimmten Radius um p befinden so verschoben, dass sie eine nach oben gerichtete
Halbkugel bilden. Dabei kann der Radius, ähnlich dem Offset, wie oben beschrieben, variiert
werden. Anders als beim Fault-Algorithmus lassen sich so z.B. durch die Wahl eines anfangs
großen, schnell kleiner werdenden Radius, einzelne herausstehende Berge generieren.
Abbildung 2.3: Terrain nach 1 bzw. 300 Iterationen des Circles-Algorithmus
2.3 Voronoi-Diagramme
Voronoi-Diagramme definieren eine Aufteilung des Raumes in zusammenhängende Punktemengen, sogenannte Regionen in Abhängigkeit einer Teilmenge Q = {q0 , q1 , ..., qn } von
Punkten. Die Region eines Punktes qi enthält dabei genau diejenigen Punkte, die zu diesem
Punkt einen geringeren Abstand als zu allen anderen Punkten aus Q haben. Formal ist eine
Region definiert durch
R(qi ) = { p | ∀qj ∈ Q, j 6= i : dist(p, qi ) < dist(p, qj ) }
Es gibt also auch Punkte die keiner Region zugeordnet werden. Diese Punkte haben zu
mehreren Elementen aus Q denselben Abstand und bilden somit die Kanten des VoronoiDiagramms.
Aus Sicht der Terrain-Generierung ermöglichen Voronoi-Diagramme damit eine explizite
Kontrolle über einzelne zusammenhängende Punktemengen auf der Heightmap.
Eine Möglichkeit aus einem Voronoi-Diagramm ein Terrain zu generieren besteht darin,
die Höhenwerte als Linearkombination der Abstände zu den einzelnen Punkten aus Q zu
berechnen. Die endgültige Form des Terrain kann dann durch die vorherige Festlegung von
Koeffizienten c0 , ..., cn beeinflusst werden. Um die Koeffizienten richtig zuzuordnen werden
zuerst die Abstände zu den qi bestimmt und anschließend aufsteigend der Größe nach
geordnet. Die Höhe h(x, z) ist dann
h(x, z) = c0 d0 + c1 d1 + ... + cn dn
8
Heightmap-basierte Terrain-Modellierung
Abbildung 2.4: Ein Voronoi-Diagramm mit 7 Regionen (die zugehörigen Punkte qi sind rot
dargestellt). Punkte, die auf den Kanten (blau) liegen gehören zu keiner Region.
mit d0 < d1 < ... < dn (siehe auch [8]).
Aufgrund der vielen auffällig geraden Kanten sehen die so entstandenen, meist wabenartigen,
Formen in der Regel recht unnatürlich aus und müssen noch weiter bearbeitet werden (siehe
Abschnitt 2.4).
(a) c0 = 1, restliche ci = 0
(b) c0 = −1, c1 = 1, restliche ci = 0
(c) c0 = 1, c1 = −1, restliche ci = 0
(d) willkürliche ci
Abbildung 2.5: Voronoi-Diagramme und die Auswirkung verschiedener Koeffizienten auf das
Terrain.
2.4 Noise
9
2.4 Noise
Bei der prozeduralen Terrain-Generierung ist es nicht immer einfach eine interessante
Grundform und eine abwechslungsreiche Terrain-Oberfläche innerhalb einer Prozedur zu
erzeugen. Die Verwendung von Noise ermöglicht es die oftmals steril wirkenden, glatten
Oberflächen im Nachhinein interessanter zu gestalten indem die Werte einer Noise-Funktion
auf eine vorhandene Heightmap addiert werden.
2.4.1 Spektral-Synthese
Eine simple Möglichkeit Noise-Funktionen zu erstellen bietet die sogenannte SpektralSynthese. Dabei werden zuerst einzelne Noise-Funktionen mit verschiedenen Frequenzen
und Amplituden erzeugt, indem in festen Abständen Zufallswerte zugewiesen und die Werte
dazwischen interpoliert werden. Diese Funktionen werden anschließend, wie in Abbildung 2.6
zu sehen, addiert und ergeben so eine neue Funktion mit höherem Detailgrad.
(a) f0
(b) f1
(c) f2 = f0 + f1
Abbildung 2.6: Spektral Synthese im 1D-Raum, f1 besitzt im Vergleich zu f0 eine verdoppelte
Frequenz, sowie eine halbierte Amplitude, f2 entspricht der Addition der beiden Funktionen.
Dieses Vorgehen lässt sich auf beliebig viele Dimensionen erweitern um Heightmaps (siehe
Abbildung 2.7), 3D-Texturen oder sogar Bewegungsmuster zu erzeugen.
2.4.2 Perturbation
In einigen Fällen reicht es nicht aus die Höhenwerte durch Noisefunktionen vertikal zu
verschieben, insbesondere wenn sich im Terrain einzelne gerade Linien stark abzeichnen, wie
es beispielsweise bei Terrains der Fall ist, die mit Voronoi-Diagrammen erzeugt wurden. Hier
kann es helfen die Werte zusätzlich horizontal zu verschieben und somit zu “verwirbeln“.
Dafür wird jedem Punkt auf der Heightmap ein zufälliges Offset in x- und z-Richtung
zugewiesen und der Wert entsprechend verändert. Sei also n(x, z) eine Noise-Funktion, dann
wird die neue Heightmap berechnet durch
hneu (x, z) = halt (x + n(x, z), z + n(x, z))
10
Heightmap-basierte Terrain-Modellierung
(a) 2D-Noise mit jeweils in der nächsten Detailstu- (b) Die Summe aller Detailstufen
fe halbierter Amplitude, sowie verdoppelter Fre- entspricht der endgültigen Noisequenz.
Funktion.
Abbildung 2.7: Spektral-Sythese im 2D-Raum erzeugt eine mit Rauschen gefüllte Heightmap
[3].
Dabei ist zu beachten, dass n(x, z) eine stetige Funktion sein sollte, damit Punkte, die in der
alten Heightmap nahe beieinander liegen, auch ein ähnliches Offset zugewiesen bekommen.
Würde n(x, z) nur aus weißem Rauschen bestehen, dann würde die ursprüngliche TerrainForm nicht nur verwirbelt, sondern komplett zerstört werden, da nebeneinanderliegende
Höhenwerte dann keinerlei Zusammenhang mehr hätten.
Abbildung 2.8: Ein mit Voronoi-Diagrammen erstelltes Terrain vor (links) und nach der Anwendung von Perturbation.
2.5 Thermale Erosion
Durch die Imitation von thermaler Erosion kann der Realismus-Grad des Terrains noch
weiter erhöht werden. Dabei wird ein Vorgang in der Natur nachgeahmt, bei dem durch
2.5 Thermale Erosion
11
starke Temperaturschwankungen (z.B. Tag- und Nachtwechsel) bestimmte Gesteinsschichten
rissig und porös werden und schließlich wegbrechen. Das so entstandene Geröll verteilt sich
anschließend in der näheren Umgebung und füllt tiefer liegende Mulden und Täler auf.
Das Gelände erhält hierdurch ein etwas flacheres, gleichmäßigeres Aussehen wie in Abbildung
2.9 zu sehen.
Abbildung 2.9: Ein Terrain vor und nach der Anwendung thermaler Erosion (100 Iterationsschritte) [4].
Um diesen physikalischen Vorgang in einem Algorithmus zu formalisieren wird zunächst ein
minimaler Höhenunterschied H festgelegt, den zwei benachbarte Punkte auf der Heightmap
mindestens haben müssen. Anschließend werden nach und nach alle Punkte der Heightmap
mit ihren 8 Nachbarpunkten q0 · · · q7 verglichen. Ist der Höhenunterschied eines Punktes p
zu einem seiner Nachbarn qi dabei größer als H, wird solange Material von p nach qi verteilt
bis der Höhenunterschied H entspricht.
Eine exakte Umsetzung dieses Verfahrens wäre zwar mathematisch möglich, beispielsweise durch ein lineares Gleichungssystem, bei dem die Unbekannten für die Menge von
Material ständen, die einem Punkt qi zugeteilt würde. Jedoch würde man damit unter
Umständen die Gesetze der Physik missachten, da dieses Gleichungssystem auch negative
Lösungen haben könnte.
Eine Möglichkeit, Material so zu verteilen, dass die Höhenunterschiede zwischen den einzelnen
Punkte sich asymptotisch an H annähern wird in [8] beschrieben. Dafür werden zunächst alle
Höhenunterschiede di eines Punktes mit seinen Nachbarpunkten ausgerechnet. Anschließend
werden das Maximum dM AX dieser Höhenunterschiede, sowie die Summe dT OT AL aller di
> H berechnet. Nachbarpunkte, die den Mindesthöhenunterschied H bereits unterschritten
haben werden bei der Berechnung von dT OT AL folglich nicht beachtet. Zudem wird ein
Koeffizient c zu Steuerung der Stärke der Erosion festgelegt.
Sei nun h die Höhe des aktuell betrachteten Punktes p und hi die Höhe eines Nachbarpunktes qi , dann berechnet sich die neue Höhe aller Punkte wie folgt (siehe Abbildung
2.10):
12
Heightmap-basierte Terrain-Modellierung
hi = hi + c ∗ (dM AX − H) ∗
di
dT OT AL
es ist außerdem
h = h + c ∗ (dM AX − H)
H
d1
H
d0
h0
h
h1
h0
h
h1
Abbildung 2.10: Höhenwerte vor (links, mit dM AX = d0 ) und nach Durchführung eines Iterationsschrittes (rechts) bei c = 0.45 und H = 1.0. h1 hat den Mindesthöhenunterschied H
unterschritten und wird beim nächsten Iterationsschritt nicht weiter erhöht.
2.6 Praxis
In der Praxis ist es oft notwendig, dass ein Terrain bestimmte Anforderungen erfüllt, die
auch durch eine geschickte Wahl von Algorithmen nicht immer garantiert werden können.
In Strategiespielen werden beispielsweise oft große, zusammenhängende Flächen benötigt um
z.B. Gebäude zu platzieren oder Einheiten bewegen zu können. Um diese Anforderung zu
erfüllen ist es nötig nach der eigentlichen Erstellung des Terrains noch einige Nachbesserungen
vorzunehmen.
Zum Einen besteht die Möglichkeit das gesamte Terrain, wie in Abbildung 2.11 zu sehen, um
ein bestimmtes Offset nach unten zu verschieben und alle negativen Werte auf 0 zu clippen.
Der Vorteil dieser Methode ist, dass sie auf jede beliebige Heightmap angewendet werden
kann, da die ursprüngliche Form des Terrains keine Rolle spielt.
Abbildung 2.11: Ein Terrain vor und nach dem Vorgang des Clippens [8].
2.7 Beispiele
13
Eine andere Vorgehensweise besteht darin bestimmte Gebiete der Heightmap einzuebnen
(Abbildung 2.12). Hierfür ist jedoch eine explizite Kontrolle über vereinzelte Regionen nötig,
weswegen sich besonders Terrains anbieten, die mit Hilfe von Voronoi-Diagrammen erstellt
worden sind. Hier besteht zudem die Möglichkeit bei der Wahl der flachen Regionen eine
weitere Zufallskomponente einzubringen.
Abbildung 2.12: Schwarze Regionen werden eingeebnet und weiße Regionen behalten ihre
Höhe (links). Auf das Terrain angewendet ergeben sich einzelne flache Regionen (rechts) [8].
2.7 Beispiele
2.7.1 Tribal Trouble
Tribal Trouble1 ist ein Strategiespiel, das 2005 von Oddlabs2 veröffentlicht wurde und prozedural erzeugtes Terrain verwendet. Die Erzeugung des Terrains wird dabei nur durch einige wenige Parameter, die unter Anderem das Vorkommen von durch Voronoi-Diagramme
erzeugten Hügeln beschreiben, gesteuert. Es wird außerdem ein modifizierter, geschwindigkeitsoptimierter Erosions-Algorithmus verwendet ([8]).
The Procedurality Engine ist ein Ableger der in Tribal Trouble verwendeten Terrain-Engine
und wurde von Oddlabs unter der GPL veröffentlicht.
2.7.2 Terragen
Terragen3 ist ein Modeling-Programm, das die prozedurale Erstellung von Heightmapbasierten Terrains ermöglicht. Dabei werden unter Anderem einige der hier vorgestellten
Algorithmen, wie beispielsweise der Fault-Algorithmus oder die Spektral-Synthese, verwendet.
1
http://tribaltrouble.com
http://oddlabs.com
3
http://www.planetside.co.uk/
2
14
Heightmap-basierte Terrain-Modellierung
Abbildung 2.13: Tribal Trouble ist ein Strategiespiel, das prozedural erzeugtes Terrain verwendet.
Abbildung 2.14: Terragen ist ein prozedurales Modeling-Programm für Heightmap-basierte
Terrains.
3 Voxel-basierte Terrain-Modellierung
3.1 Einführung
Die Verwendung von Heightmaps zur Datenrepräsentation bietet einige Vorteile wie die einfache Implementierung und das einfache Rendering. Allerdings birgt der einfache Aufbau auch
den entscheidenden Nachteil, dass einige Formen wie Aushöhlungen oder Brücken sich nicht
darstellen lassen, da pro (x,z)-Koordinate nur ein Höhenwert abgespeichert wird.
Um diese Einschränkung zu umgehen, müssen Voxel-basierte Modelle verwendet werden. Die
Daten werden dabei in einem dreidimensionalen Array, der sogenannten Dichte-Funktion gespeichert. Mit Hilfe des Vorzeichens dieser Funktion kann nun bestimmt werden, welche Vertizes sich oberhalb und welche sich unterhalb der Terrain-Oberfläche befinden. Sei d(x, y, z)
die Dichte-Funktion, dann gilt:
d(x, y, z) > 0 ⇔ der Punkt befindet sich unterhalb der Terrain-Oberfläche
d(x, y, z) < 0 ⇔ der Punkt befindet sich oberhalb der Terrain-Oberfläche
d(x, y, z) = 0 ⇔ der Punkt befindet sich exakt auf der Terrain-Oberfläche
-2 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1 -1 1
-1 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 1 2
1 -1 -1 -2 -1 1 1 1 2 2
2
2
3
1 -1 -2 -1 1 2
2 1 -1 -1 1 2
2 1 -1 -1 -1 1
2
2
2
3 3
3 4
3 4
3
2
2 1 -1 -2 -1 1
1 -1 -1 -1 -1 1
2
2
3 4
3 4
2
3
2
2
2
2
3 4
3 4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Abbildung 3.1: Senkrechter Querschnitt durch einen Terrain-Block. Die Oberfläche verläuft
zwischen den positiven und den negativen Werten.
3.2 Der Marching-Cubes-Algorithmus
Um die Werte der Dichte-Funktion in Polygone umzuwandeln kann der Marching-CubesAlgorithmus verwendet werden. Dafür wird zuerst das komplette Terrain in Voxel, Würfelförmige Unterabschnitte, ähnlich einem Pixel im 2D-Bild, aufgeteilt. Anschließend werden in
16
Voxel-basierte Terrain-Modellierung
jedem Voxel die Vorzeichen der Dichtewerte der 8 Ecken betrachtet. Anhand dieser Werte lässt
sich für jeden Voxel bestimmen, welche der Ecken sich innerhalb und welche sich außerhalb
des Terrains finden befinden. Man unterscheidet dabei 3 Fälle:
Fall 1: die Vorzeichen aller 8 Ecken sind positiv
Fall 2: die Vorzeichen aller 8 Ecken sind negativ
Fall 3: es gibt positive und negative Werte
Wenn Fall 1 oder Fall 2 eintrifft liegt der Voxel entweder komplett außerhalb (alle Vorzeichen
sind negativ) oder komplett innerhalb (alle Vorzeichen sind positiv) des Terrains. Beim
Rendern müssen diese Voxel folglich nicht beachtet werden. Im dritten Fall schneidet der
entsprechende Voxel die Terrain-Oberfläche. Es können nun mit Hilfe der Dichtewerte der
Ecken die genauen Schnittpunkte der Polygone mit den Würfelkanten interpoliert werden, da
diese laut Definition genau auf dem Nullpunkt zwischen Ecken mit jeweils unterschiedlichem
Vorzeichen liegen. Anschließend kann die Zusammensetzung der Polygone hergeleitet oder
aus einer entsprechenden Look-Up-Table ausgelesen werden.
Abbildung 3.2: Die 14 grundlegenden Fälle des Marching-Cubes-Algorithmus [6], alle weiteren
Fälle lassen sich durch entsprechende Translationen herleiten.
3.3 Eine Dichte-Funktion generieren
3.3.1 Initialisierung
Wenn eine bestimmte Form angestrebt wird ist es wichtig die Dichte-Funktion entsprechend
zu initialisieren. Für die Terrain-Generierung ist eine Ebene nützlich, daher setzt man
3.3 Eine Dichte-Funktion generieren
17
d(x, y, z) = −y
Hierdurch bekommen alle Punkte mit einer positiven Y-Koordinate einen negativen Wert
und im Gegenzug alle anderen Punkte einen positiven Wert, was in einer Ebene auf der Höhe
0 resultiert. Zusätzlich gilt, dass der Dichtewert betragsmäßig immer größer wird je weiter
man sich von der Oberfläche dieser Ebene entfernt. Dies ist ein entscheidender Punkt, wenn
es darum geht Noise-Funktionen zu der Dichte-Funktion zu addieren.
3.3.2 Spektral-Synthese
Auch im 3D-Raum lässt sich eine Spektral-Synthese, wie in Abschnitt 2.4.1 beschrieben,
durchführen. Das Vorgehen ist dabei fast identisch, mit dem Unterschied, dass 3D-NoiseFunktionen verwendet werden und im 3D-Raum interpoliert wird. Abbildung 3.3 enthält eine
solche 3D-Noise-Funktion nachdem sie mit Hilfe des Marching-Cubes-Algorithmus gerendert
wurde. Die Polygone sind dabei gleichmäßig im Raum verteilt.
Abbildung 3.3: 3D-Rauschen mit Hilfe des Marching-Cubes-Algorithmus visualisiert [5].
Um ein Terrain aufzubauen ist es jedoch wünschenswert, dass sich Unregelmässigkeiten
vorallem in der Nähe der Oberfläche bilden und frei schwebende Geländeteile möglichst
vermieden werden. Dies kann zum Teil erreicht werden durch die oben beschriebene Initialisierung. Durch die niedrigen Werte in der Nähe der Oberfläche gibt es bei Addition der
Noise-Funktion vorallem dort immer wieder Vorzeichenwechsel der Dichtewerte, was eine
Verschiebung der Oberfläche zur Folge hat. Weiter weg von der Oberfläche passiert das
potentiell weniger bis garnicht, da dort die Werte betragsmäßig zu hoch sind. Vorausgesetzt
ist ein entsprechender Wertebereich der Noise-Funktion.
Durch die Addition von verschiedenen Noise-Funktionen kann die Oberfläche nun in jede
beliebige Richtung verschoben werden, wodurch auch Höhlen und Überhänge möglich werden.
Trotz der Initialisierung kann es jedoch vorkommen, dass sich einzelne Teile komplett vom
Gelände ablösen, dieser Umstand lässt sich rein prozedural nur schwer beheben.
18
Voxel-basierte Terrain-Modellierung
Abbildung 3.4: Ein voxelbasiertes Terrain nach mehrmaligem Aufaddieren verschiedener
Noise-Funktionen [6].
3.4 Praxis
3.4.1 Plattformen
Wenn vereinzelt ebene Flächen auftreten sollen, können diese gezielt an den entsprechenden
Stellen ins Terrain integriert werden. Dafür werden zunächst der Ort (x, z) und die gewünschte
Höhe h der Plattform festgelegt. Anschließend wird jedem Punkt innerhalb eines bestimmten
Radius ein fixer Wert zugewiesen:
d(x, y, z) = h − y
Dies erzeugt geometrisch gesehen einen Zylinder der Höhe h an der Stelle (x, z).
Um die so entstandene Plattform besser in die Umgebung einzufügen kann nun das ursprüngliche Terrain mit einer bestimmten Gewichtung in den neuen Höhenwert miteingerechnet
werden. Die Zuweisung eines fixen Wertes wird dann beispielsweise ersetzt durch
d(x, y, z) = d(x, y, z) · 0.3 + (h − y) · 0.7
Auch hier werden vor allem in der Nähe der Plattform-Oberfläche Unregelmäßigkeiten auftreten, da die Plattform ähnlich wie die Ebene in Abschnitt 3.3.1 initialisiert wurde. Um die
Plattform-Ränder vollkommen ins Gelände überzublenden kann die Gewichtung der ursprünglichen Dichte-Funktion nach außen hin immer weiter erhöht werden. Ein ähnliches Vorgehen
wird in [6] beschrieben.
3.5 Beispiele
19
-2 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1 -1 1
-1 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -1 1 2
1 -1 -1 -2 -1 1 1 1 2 2
-2 -3 -3 -1 -1 -1 -2 -1 -1 1
-1 -2 -2 0 0 0 -1 -1 1 2
1 -1 -1 1 1 1 1 1 2 2
2
2
3
1 -1 -2 -1 1 2
2 1 -1 -1 1 2
2 1 -1 -1 -1 1
2
2
2
3 3
3 4
3 4
2
2
3
1 -1 2
2 1 3
2 1 4
2
3
4
2
3
4
2
2
1
2
2
2
3 3
3 4
3 4
3
2
2 1 -1 -2 -1 1
1 -1 -1 -1 -1 1
2
2
3 4
3 4
3
2
2 1 5
1 -1 6
5
6
5
6
1
1
2
2
3 4
3 4
2
3
2
2
2
2
3 4
3 4
2
3
2
2
7
8
7
8
1
2
2
2
3 4
3 4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
7
8
Abbildung 3.5: Querschnitt durch das Terrain vor (links) und nach dem Einfügen der Plattform (rechts).
Abbildung 3.6: Eingefügte Plattform mit ausgeblendeten Rändern [6].
3.5 Beispiele
3.5.1 Forever War
Forever War1 ist ein quelloffener Egoshooter, der mit Voxel-basiertem, zufällig erzeugtem
Terrain arbeitet. Es gibt zudem einen Level-Editor der verschiedene Arten von 3D-Noise
erzeugen kann.
3.5.2 Acropora
Bei Acropora2 handelt es sich um einen prozedurales Modeling-Programm, das unter
Anderem die 3D-Spektralsynthese verwendet.
1
2
http://foreverwar.sourceforge.net/
http://www.voxelogic.com/
20
Voxel-basierte Terrain-Modellierung
Abbildung 3.7: Forever War
Abbildung 3.8: Acropora
4 Schluss
4.1 Zusammenfassung
Es wurden einige Voxel-basierte sowie Heightmap-basierte Verfahren zur Terrain-Generierung,
zur Verwendung von Noise-Funktionen, sowie der Simulation von Erosion vorgestellt. Abschließend lässt sich sagen, dass viele der 2D-Algorithmen sich ins Dreidimensionale
übertragen lassen. Ein Beispiel hierfür ist die bereits erwähnte Spektral-Synthese. Denkbar
wäre auch eine 3D-Version des Fault-Algorithmus, wobei die Gerade durch eine den TerrainBlock schneidende Ebene ersetzt werden könnte.
4.2 Bewertung
Trotz der zahlreichen Vorteile prozeduraler Modellierung ist es in der Praxis teilweise sinnvoll
prozedurale mit manueller Modellierung zu kombinieren. Dadurch kann der Nachteil der
fehlenden Kontrolle bei rein prozeduraler Modellierung umgangen werden. Auf diese Art
lassen sich Probleme wie beispielsweise die frei schwebenden Geländeteile bei der Verwendung
von 3D-Noise im Nachhinein beheben.
Geskriptete Ereignisse wie sie in Computerspielen oft vorkommen erfordern meist eine
bestimmte Form des Terrains. Auch hier bietet sich die Kombination beider Methoden an,
da so die wesentliche Grundform an die speziellen Anforderungen manuell angepasst und im
Nachhinein das Terrain prozedural erodiert oder mit mehr Details versehen werden kann.
Literaturverzeichnis
[1] http://www.speedtree.com.
[2] http://www.lighthouse3d.com/opengl/terrain/.
[3] http://freespace.virgin.net/hugo.elias/models/m_perlin.htm.
[4] http://www.m3xbox.com/GPU_blog.
[5] http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/texture_colour/perlin.
[6] Ryan Geiss. GPU Gems 3, chapter Generating Complex Procedural Terrains Using the
GPU. Addison-Wesley Professional, 2007.
[7] Pascal Müller, Peter Wonka, Simon Haegler, Andreas Ulmer, and Luc Van Gool. Procedural modeling of buildings. 2006.
[8] Jacob Olsen. Realtime procedural terrain generation. 2004.
[9] Wojciech Palubicki, Kipp Horel, Steven Longay, Adam Runions, Brendan Lane, Radomı́r
Měch, and Przemyslaw Prusinkiewicz. Self-organizing tree models for image synthesis.
2009.
Erklärung
Ich versichere, dass ich die Arbeit ohne fremde Hilfe und ohne Benutzung anderer als
der angegebenen Quellen angefertigt habe, und dass die Arbeit in gleicher oder ähnlicher
Form noch keiner anderen Prüfungsbehörde vorgelegen hat und von dieser als Teil einer
Prüfungsleistung angenommen wurde. Alle Ausführungen, die wörtlich oder sinngemäß
übernommen wurden, sind als solche gekennzeichnet.
Stuttgart, den 13. Juli 2010
(Katrin Scharnowski)