02 Binäre Arithmetik (VL07)

N‐Bit Darstellung von Gleitkommazahlen
Normalisierte, wissenschaftliche Darstellung zur Basis 2. Beispiel:
Allgemein:
Sign‐and‐Magnitude‐Darstellung für beispielsweise 32 Bits:
(s=0 für „+“ und s=1 für „‐“)
s
exponent
fraction
1 Bit
8 Bits
23 Bits
Tradeoff:
Viele Fraction‐Bits: hohe Genauigkeit der Fraction
Viele Exponent‐Bits: großer darstellbarer Zahlenbereich
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
97
Beispiel
s
exponent
fraction
1 Bit
8 Bits
23 Bits
Was ist der Dezimalwert x des folgenden Bit‐Strings?
100000101101100000000000000000000
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
98
Wertebereiche, Overflow und Underflow
s
exponent
fraction
1 Bit
8 Bits
23 Bits
Kleinste darstellbare Zahl annähernd 2,0 * 10‐38
Größte darstellbare Zahl annähernd 2,0 * 1038
Was, wenn die darzustellende Zahl außerhalb dieses Bereichs ist?
Overflow: Zahl zu groß
(Exponent ist zu groß um im Exponent‐Feld darstellbar zu sein)
Underflow: Zahl zu klein
(Negativer Exponent ist zu groß um im Exponent‐Feld darstellbar zu sein)
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99
Double‐ und Single‐Precision
Beispiel:
Single‐
Precision
Double‐
Precision
Insgesamt 32 Bits
s exponent
1 Bit
8 Bits
fraction
23 Bits
Insgesamt 64 Bits
s
exponent
1 Bit
11 Bits
fraction
52 Bits
Double‐Precision hat höhere Genauigkeit der Fraction und mit größerem Exponent auch einen größeren darstellbaren Zahlenbereich.
Double‐Precision in diesem Beispiel:
Kleinste darstellbare Zahl annähernd 2,0 * 10‐308
Größte darstellbare Zahl annähernd 2,0 * 10308
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100
Der Zahlenformatstandard IEEE 754
Single‐
Precision
Double‐
Precision
Insgesamt 32 Bits
s exponent
1 Bit
8 Bits
fraction
23 Bits
Insgesamt 64 Bits
s
exponent
1 Bit
11 Bits
fraction
52 Bits
Bit‐Aufteilungen in dieser Form sind in IEEE 754 spezifiziert.
Betrachte die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung:
[+ oder ‐] 1,xxxxxxxx * 2yyyy
Beobachtung: die „1“ vor dem Komma ist redundant.
Somit: Bei IEEE 754 wird die „1“ implizit angenommen und in „fraction“ nicht codiert. „fraction“ speichert nur Nachkommastellen.
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101
Beispiel
s
exponent
fraction
1 Bit
8 Bits
23 Bits
Es sei die „1“ vor dem Komma implizit angenommen. „Fraction“ speichere damit nur die Nachkommastellen. Was ist der Dezimalwert x des folgenden Bit‐Strings?
1000001010110000000000000000000
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102
Weitere Eigenschaften von IEEE 754
Unterscheidung von „Fraction“ und „1+Fraction“ in der Darstellung
(‐1)S * (1 + Fraction) * 2Exponent
1+Fraction wird als Significant (deutsch: Mantisse) bezeichnet.
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
103
Motivation für eine geeignete Exponent‐Darstellung
Annahme: Exponent wäre mit Zweierkomplement dargestellt. Wie macht man einen Größer‐Kleiner‐Vergleich der folgenden beiden Zahlen?
Zahl 1: 000000111101000100000000000000000
Zahl 2: 011010111010010000010000000000000
1. Vergleiche erst mal die Vorzeichenbits. Bei unterschiedlichen Vorzeichenbits ist der Vergleich beendet.
2. Vergleiche die Exponenten. Ist einer größer als der andere, ist der Vergleich beendet. (Signed‐Vergleich)
3. Vergleiche die Fractions. (Unsigned‐Vergleich)
Kann man Schritt 2 und 3 in einem durchführen? Kleinster Exponent müsste 00000000 und größter Exponent müsste 11111111 sein, dann könnte man Exponent und Fraction für einen Vergleich einfach konkatenieren.
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Darstellung des Exponenten in Biased‐Notation
Erinnerung: Biased‐Notation (hier mit 8‐Bit und Bias 127):
0000 0000 =
0000 0001 =
...
0111 1110 =
0111 1111 =
1000 0000 =
...
1111 1110 =
1111 1111 =
-127
-126
(0-Bias = -127)
(1-Bias = -126)
-1
0
1
(126-Bias = -1)
(127-Bias = 0)
(128-Bias = 1)
127
128
(254-Bias = 127)
(255-Bias = 128)
Zusammengefasst: Der Wert x einer Zahl in IEEE 754 Darstellung ist
(Single‐Precision (8‐Bit‐Exponent) Bias=127, Double‐Precision (11‐Bit‐Exponen) Bias=1023)
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105
IEEE 754 Encoding
Wie stellt man im IEEE 754 Format eigentlich die „0“ dar!?
(‐1)S * (1 + Fraction) * 2(Exponent—Bias)
Single‐Precision (Bias=127)
Double‐Precision (Bias=1023)
Dargestelltes Objekt
Exponent
Fraction
Exponent
Fraction
0
0
0
0
0
0
Nicht‐Null
0
Nicht‐Null
(+/‐ Denormalised Number)
1 bis 254
Beliebig
1 bis 2046
Beliebig
+/‐ Gleitkommazahl
255
0
2047
0
+/‐ Unendlich
255
Nicht‐Null
2047
Nicht‐Null
NaN (Not a Number)
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
106
Quiz
Betrachte IEEE 754 Single‐Precision, also Bias = 127. Was ist der Dezimalwert der folgenden Binärzahl?
010000000110000000000000000000000
(‐1)S * (1 + Fraction) * 2(Exponent—Bias)
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107
Quiiiiz
Bestimme S, Fraction und Exponent der IEEE 754 Single‐Precision Repräsentation (also Bias = 127) der Dezimalzahl ‐0.75.
(‐1)S * (1 + Fraction) * 2(Exponent—Bias)
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
108
Gleitkommaarithmetik
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
109
Gleitkommaarithmetik
Addition von binären n‐Bit Gleitkommazahlen
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
110
Vorüberlegung
Addition mit gleichem Exponent (Nachkomma mit 4 Bits kodiert):
Addition mit unterschiedlichen Exponenten (Nachkomma 4 Bits):
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
111
Vorüberlegung
Ergebnis muss unter Umständen wieder normalisiert werden:
Bei Einschränkung auf n Bit (z.B. Nachkomma auf 4 Bit einge‐
schränkt) kann dies anschließendes Auf‐ bzw. Abrunden erfordern.
Beispiel: Runden nach der „Schulmethode“
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
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Vorüberlegung
Das Runden kann ggf. neues Normalisieren erforderlich machen:
Normalisierungen können Overflows und Underflows hervorrufen.
Beispiel: IEEE 754 Single‐Precision erlaubt Exponenten von ‐126 bis 127. Somit ist zum Beispiel:
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Additionsalgorithmus
2 Beispiele: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten.
Beispiel 1
1,000 * 2‐1
‐ 1,110 * 2‐2
(1)
Start
Beispiel 2
1,001 * 210
+ 1,101 * 211
(1) Vergleiche Exponenten der beiden Zahlen. Shifte die kleinere Zahl nach rechts, so dass der Exponent mit dem Exponent der größeren Zahl übereinstimmt. (Mantissen‐
Alignment)
(2)
(2) Addiere die Mantissen.
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Additionsalgorithmus
2 Beispiele: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten.
Beispiel 1
(2)
(3)
0,001 * 2‐1
Beispiel 2
10,001 * 211
(3) Normalisiere die Summe, entweder durch Rechts‐Shift
und hoch setzen oder durch Links‐Shift und runter setzen des Exponenten.
Im Beispiel 8‐Bit für
den Exponenten.
Overflow oder Underflow?
nein
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ja
„Exception“
115
Additionsalgorithmus
zurück
nach (3)
2 Beispiele: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten.
Beispiel 1
(3)
1,000 * 2‐4
Beispiel 2
1,0001 * 212
(4) Runde die Mantisse auf die verfügbare Anzahl Bits.
(4)
Immer noch normalisiert?
nein
ja
Fertig
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116
Noch eine Bemerkung
Betrachte die folgende binäre Floats mit 8‐Bit Mantisse: x = −1,100 000 * 2100, y = 1,100 000 * 2100 , z = 1,000 0000
Was ist x + (y + z)?
Was ist (x + y) + z?
Somit ist x + (y + z) ≠ (x + y) + z, d.h. die Gleitkommaaddition ist nicht assoziativ!
Quiz: Was ist die Konsequenz, wenn man x1 + x2 + ... + xn parallel berechnen möchte?
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Gleitkommaarithmetik
Multiplikation von binären n‐Bit Gleitkommazahlen
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
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Vorüberlegung
Multiplikation von zwei beliebigen binären Floats in normalisierter Darstellung. Was ist der Exponent des Ergebnisses?
Multiplikation der Mantissen. Wo kommt das Komma hin?
Was ist das Vorzeichen v von x ¢ y?
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Algorithmus
Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten.
Start
1,101 * 2‐1 ¢ ‐1,100 * 2‐2
(1)
(1) Addiere die Exponenten. (Subtrahiere Bias im Falle von Biased‐Notation )
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Algorithmus
Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten.
(1) Der Exponent ist ‐3
Die Mantissen sind:
1,101 und 1,100
(2)
(2) Multipliziere die Mantissen.
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Algorithmus
Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten.
(2)
(3)
10,011100 * 2‐3
(3) Normalisiere das Produkt Falls notwendig. Normalisierung erfolgt durch Rechts‐Shift und erhöhen des Exponenten.
Im Beispiel 8‐Bit für
den Exponenten.
Overflow oder Underflow?
nein
Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐ Logik und Arithmetik
ja
„Exception“
122
zurück
nach (3)
Algorithmus
Beispiel: 4 Bit für die Mantisse und 8 Bit für den Exponenten.
(Eingabe: 1,101 * 2‐1 ¢ ‐1,100 * 2‐2)
(3)
(4)
1,0011100 * 2‐2
(4) Runde die Mantisse auf die verfügbare Anzahl Bits.
Immer noch normalisiert?
nein
ja
(5)
(5) Setze Vorzeichen auf „+“ wenn die Vorzeichen der Eingaben gleich waren. Sonst setze Vorzeichen auf „‐“.
Fertig
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