Formelsammlung der BWL

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Formelsammlung der BWL - caj

-1-
Formelsammlung der Betriebswirtschaft
Eine Übersicht über die wichtigsten mathematischen Konzepte und Rechenverfahren
in Rechnungswesen, Controlling und Betriebswirtschaft
Version 8.90 © Harry Zingel 1992-2004, EMail: HZingel@aol.com, Internet: http://www.zingel.de
Nur für Zwecke der Aus- und Fortbildung
Inhaltsübersicht
1.
2.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
4.
4.1.
4.2.
5.
5.1.
5.2.
5.3.
6.
7.
Vorwort .................................................................................. 1
Grundlagen der Zinsrechnung ................................................ 1
Statistik .................................................................................. 4
Grundlagen der deskriptiven Statistik ..................................... 4
Analyseverfahren der schließenden Statistik ........................... 4
Kombinatorik ......................................................................... 6
Steuerrecht ............................................................................. 7
Umsatzsteuer .......................................................................... 7
Einkommensteuer ................................................................... 7
Kosten- und Leistungsrechnung .............................................. 9
Kostenartenrechnung ............................................................ 10
Vollkostenrechnung ............................................................. 11
Teilkostenrechnung .............................................................. 13
Investitionsrechnung ............................................................ 16
Rentenrechnung ................................................................... 20
8.
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
9.
10.
11.
12.
12.1.
12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
12.6.
Bilanzanalyse ....................................................................... 20
Horizontale Kennziffern ...................................................... 21
Vertikale Kennziffern ........................................................... 21
Aufwandsstrukturkennzahlen ............................................... 22
Andere Auswertungsverfahren ............................................. 23
Betriebswirtschaftliche Funktionenlehre ............................... 25
Betriebswirtschaftliche Optimierung .................................... 29
Volkswirtschaft .................................................................... 29
Anhang ................................................................................. 31
Verzeichnis der Symbole ...................................................... 31
Tabelle der Gauß’schen Normalverteilung ........................... 33
Tabelle der Binomialverteilung (n = 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20) .... 34
Tabelle der Binomialverteilung (n = 15, 25) ........................ 35
Tabelle der Binomialverteilung (n = 16, 32) ........................ 36
Tabelle der Binomialverteilung (n = 50) .............................. 37
Diese Formelsammlung ist Teil der von Autoren veröffentlichten BWL CD, die eine Vielzahl weiterer Materialien enthält:
Im Excel-Ordner auf dieser CD finden Sie zu nahezu allen mathematischen Problemen entsprechende Beispiele für Excel
ab Version 97. Wenn Sie die CD erwerben, erhalten Sie alle Excel-Passwörter, so daß Sie die Formeln und Rechenverfahren
auch eigenen Zwecken anpassen können. Im Manuskripte-Ordner auf der CD finden Sie hunderte weiterführende Skripte zu
allen hier behandelten Inhalten (und noch vielen weiteren). Im Übungs-Ordner sind mehrere Tausend Übungsaufgaben,
Fallstudien und Klausurfragen versammelt. Im Lexikon für Rechnungswesen und Controlling, dem Hauptwerk der CD,
finden Sie ein kompaktes Nachschlagewerk mit mehreren Tausend Stichworten.
1. Vorwort
2. Grundlagen der Zinsrechnung
Diese Formelsammlung dient als Unterstützung im Unterricht zu mathematisch orientierten Themen der Betriebswirtschaft. Sie soll Ihnen übermäßiges Mitschreiben
ersparen und den Kopf freihalten zu wirklichen Verstehen der Lehrinhalte. Es wird daher empfohlen, sich diese
Datei auszudrucken und Ihren Aufzeichnungen vorzuheften oder sonst stets bereit zu halten.
Kapitalendwert aus Anfangsbetrag mit Zinseszinsen:
Unter dem Kapitalendwert versteht man den Wert, der
unter Berücksichtigung von Zinsen und Zinseszinsen am
Ende eines Spar- oder Investitionszeitraumes vorhanden
ist.
C n = C 0 (1 + i ) n
Didaktische Hinweise: Formeln sind abstrakte Darstellungen, und wollen nicht auswendig gelernt, sondern
angewandt werden. Lernen Sie also nicht (nur) die Symbole, sondern rechnen Sie es durch - üben Sie! Das geht
übrigens viel besser mit dem Computer. Die eingangs
erwähnte BWL CD enthält eine Vielzahl von Gelegenheiten für eigene Übungen.
Wichtig: Zinseszinsvereinbarungen sind unter Nichtbanken (also auch unter Kaufleuten) verboten (§248 Abs.
1 BGB)!
Kapitalanfangswert aus Endbetrag mit Zinseszinsen:
Der Kapitalanfangswert ist der Wert, der am Anfang
eines Spar- oder Investitionszeitraumes vorhanden sein
muß, damit ein bestimmter Kapitalendwert entsteht.
Formale Hinweise: Die verwendeten Symbole finden Sie
am Ende im Anhang.
C0 =
In Formeln, die die Prozentrechnung voraussetzen, wird
die 100 als 1 dargestellt, weil dies auch in Tabellenkalkulationsprogrammen so gemacht wird. Also: Auf
eine Zahl 10% aufzuschlagen, wird nicht als
Cn
= Cn (1 + i ) − n
(1 + i ) n
Kapitalendwert bei unterjahriger Verzinsung:
Unterjährige Verzinsung bedeutet, daß die Zinsen und
Zinseszinsen mehrfach im Jahr berechnet werden - was
bei Banken beispielsweise bei überzogenen Girokonten
üblich ist. Die Verzinsung wird damit in absoluten Zahlen
ausgedrückt höher.
X ⋅ 110
100
dargestellt, sondern einfach als
X ⋅ 1,1
Cn = C0 (1 +
Die 110 und die 100 werden also gekürzt.
© HZ
i nm
)
m
-2ster noch immer die folgenden Methoden der Zinstagerechnung:
Kapitalanfangswert bei unterjähriger Verzinsung:
C0 =
Cn
i
= (1 + ) − nm
i
m
(1 + ) nm
m
z 30/360-Methode: Diese sogar von der International
Securities Market Association favorisierte Verfahren
berechnet alle Monate grundsätzlich mit 30 Tagen
und das Jahr zu 360 Tagen. Fällt ein Kalendertermin
auf einen 31. Tag, den die Methode nicht kennt, so ist
der 30. Tag des jeweiligen Monats anzusetzen. Dieses
seltsame Verfahren gibt es sogar noch in einer deutschen und einer US-Variante, die sich jedoch nur in
der Behandlung des Februars unterscheiden: der deutsche Februar har 30 Tage, der US-Februar 28 oder 29,
aber das Jahr hat stets nur die 360 Tage.
Kapitalendwert bei stetiger Verzinsung:
Stetige Verzinsung bedeutet, daß die Zinsen nicht zu
mehreren Terminen im Jahr berechnet werden, sondern
unendlich häufig. Formal geht also die Zahl der Zinstermine m bei der stetigen Verzinsung gegen unendlich.
C n = C0 e in
z Echt/360-Methode: Dieses Verfahren ist auch als die
französische oder internationale Methode bekannt
und geht von den Monaten in ihrer wirklichen Länge
aus, berechnet das Jahr aber ebenfalls zu 360 Tagen,
was ebenfalls Anlaß zu netten, unerklärlichen Fehlern
im Rechenergebnis ist.
Kapitalanfangswert bei stetiger Verzinsung:
Co =
Cn
= C n e −in
e in
Wechseldiskont taggenau berechnen:
z Echt/Echt-Methode: Hier passiert, was man als selbstverständlich voraussetzen sollte, d.h., die zu rechnenden Zeitperioden werden mit ihrem wirklichen Wert
angesetzt, also der tatsächlichen Zahl von Tagen: die
Monate zu 28, 29, 30 oder 31 Tagen und das Jahr zu
365 oder 366 Tagen.
Wechseldiskont ist der Zins, der für einen Wechsel fällig
ist. Er wird stets für einen Zinstermin berechnet.
D=
C ⋅i ⋅t
360
z Die Methode der PAngV: Schließlich schreibt die
Preisangabeverordnung (PAngV) zur Berechnung des
Effektivzinses bei Konsumentenkrediten seit dem Jahr
2000 noch eine weitere Methode vor, die darin besteht,
das Jahr stets zu 365 Tagen, 52 Wochen oder 12
gleichlangen Monaten anzusetzen. Ein Monat ist dabei
ein 12. eines Jahres und hat 30,416666666 Tage, was
auf eine ganz gewisse Art für das deutsche Gen des
Bürokratismus typisch ist.
Traditionelle Zinsrechnungsmethode:
Dieses Verfahren ist bei Banken o.ä. manchmal noch
üblich, kann aber ansonsten vernachlässigt werden außer, man muß fürchten, es in einer Prüfung vorzufinden:
Zinszahl =
Zinsen =
C ⋅t
360
und Zinsdiviso r =
, dann:
1
i
Zinszahl
Zinsdivisor
Betrachten wir ein Beispiel: Ein Schuld i.H.v. von 1.000
€ mit einem Zinssatz von 10% p.a. entsteht am 1. Januar
2004 und ist am 15.03.2005 fällig. Die beiden Endtage (1.
Januar und 15. März) sind als Zinstage mitzurechnen.
Hier ist weiterhin bemerkenswert, daß 2004 ein Schaltjahr ist: das Beispiel würde also andere Ergebnisse erbringen, wenn es für andere Jahre berechnet werden würde.
Welche Zinszahlung ist am Ende der Laufzeit fällig? Für
ein Jahr wären offensichtlich 100 Euro Zinsen fällig. Wie
ist es aber für die „krumme“ Zeitperiode bis zum 15. März
2005?
Stetige Verzinsung bedeutet, daß die Zinsen nicht zu
mehreren Terminen im Jahr berechnet werden, sondern
unendlich häufig. Formal geht also die Zahl der Zinstermine m bei der stetigen Verzinsung gegen unendlich.
Die vorstehenden Rechenmethoden nehmen die Zinsperiode als gegebene Zeitperiode hin. Das gilt auch für die
vorstehend betrachtete unterjährige Verzinsung. Tatsächlich ist die Zinsrechnung jedoch komplexer als die Formeln es vermuten lassen, denn die Unregelmäßigkeiten
des Kalenders müssen auch in der Zinsrechnung berücksichtigt werden. Es ist also bedeutsam zu wissen, für
wieviele kalendermäßige Tage eine Schuld besteht. Gab
es in der Vergangenheit hierfür eine Vielzahl von Hilfsmethoden, die das manuelle Rechnen erleichtern sollten,
könnte man meinen, daß da nun überall Computer zur
Verfügung stehen solche Verfahren obsolet geworden
sind - was aber keineswegs der Fall ist: noch immer
kursieren die seltsamsten Rechenmethoden, die auf zum
Teil noch seltsamere Namen hören, was auch geeignet ist,
den Spaßfaktor in Prüfungen zu optimieren. So finden
sich in der grauen Welt der Banker und Finanzdienstlei-
z Einfache 30/360-Methode: 1 × 360 Tage + 2,5 × 30
Tage = 435 Zinstage; die Zinsen betragen dann 435 /
360 × 100 = 120,83 €.
z Deutsche 30/360-Methode: Hier wird der Februar nur
mit 29 Tagen angesetzt (2004 ist ein Schaltjahr!), so
daß wir auf 434 Tage kommen (die einfache 30/360Methode setzte für jeden Monat 30 Tage an). Die
Zinsen sind damit 434 / 360 × 100 = 120,56 €.
z Echt/360-Methode: Für 2004 setzt diese Methode 360
Tage an; in 2005 haben aber der Januar 31 und der
Februar 28 Tage, zu denen sich noch 15 Tage im März
gesellen, was in 2005 dann 74 Tage oder insgesamt
© HZ
-3434 Tage ausmacht, so daß die Zinsen hier auch
120,56 € betragen. Wäre aber die Schuld schon in
2003 entstanden, und daher in 2004 ausgelaufen, so
wäre der Schalttag im Schaltjahr 2004 mitzurechnen,
435 Zinstage oder 120,83 € zu rechnen.
verzugsrichtlinie der Europäischen Union 2000/35/
EG vom 29.06.2000, die einen Verzugszins von sieben Prozentpunkten über dem Zinssatz von EZBHauptrefinanzierungsgeschäften vorsieht.
z Im Handelsrecht gilt ein gesetzlicher Zinssatz von 5%
unter Kaufleuten (§352 Abs. 1 HGB).
z Echt/Echt-Methode: Die tatsächliche Differenz vom
01.01.2004 bis zum 15.03.2005 beträgt 439 Tage, so
daß die Zinsen 439 / 365 × 100=120,27 betragen. Dies
ist auch das Ergebnis, wenn man die Zinstage mit
einer Tabellenkalkulationssoftware wie Excel berechnet, denn solche Programme kennen nur die wirklichen Zeitabstände und keine der vereinfachenden
Rechenmethoden.
z Der Wert unverzinslicher Forderungen oder Schulden, deren Laufzeit mehr als ein Jahr beträgt und die
zu einem bestimmten Zeitpunkt fällig sind, ist der
Betrag, der vom Nennwert nach Abzug von Zwischenzinsen unter Berücksichtigung von Zinseszinsen verbleibt. Dabei ist von einem Zinssatz von 5,5% auszugehen (§12 BewG).
z Berechnung nach der PAngV: Hier liegen 14,5 Monate vor, die nach der Verordnung ja gleichlang (!) sein
sollen, also jeweils 365 / 12 = 30,416666666 Tage
haben, was in unserem Beispiel 14,5 × 30,416666666
= 441,041666 Zinstage ausmacht. Der Zins beträgt
damit 441,041666 / 365 × 100 = 120,83 €.
z Auch Verbindlichkeiten mit einer Restlaufzeit von
über 12 Monaten sind mit dem Zinssatz von 5,5%
abzuzinsen (§6 Abs. 1 Nr. 3 EStG). Dies gilt nur für
unverzinsliche Verbindlichkeiten. Unverzinslich ist
eine Verbindlichkeit, auf die ein Zinssatz von 0% zu
zahlen ist; die vertragliche Vereinbarung eines Zinssatzes von 0% zu dem alleinigen Zwecke, der Verzinsung der Verbindlichkeit auszuweichen, kann eine
mißbräuchliche Vertragsgestaltung i.S.d. §42 AO sein
(BMF-Schreiben vom 23.8.1999, IV C 2 - S. 2175 - 25/
99, BStBl. 1999 I, S. 818).
Was hier nur Centbeträge ausmacht, kann bei größeren
Summen und höheren Zinssätzen schnell Differenzen
ausmachen, die um einige Zehnerpotenzen größer sind.
Es ist also unter Umständen bedeutsam, sich über die
jeweils verwendete Rechenmethode Klarheit zu verschaffen, wenn man sich die Mühe macht, Kontoauszüge und
ähnliche Dokumente nachzurechnen.
z Im Einkommensteuerrecht gilt ein pauschaler
Kalkulationszinsfuß von 6% (§4d Abs. 1 Nr. 1 Buchst.
b EStG).
Für didaktische wie für praktische Zwecke wird ausschließlich die Echt/Echt-Methode empfohlen, sofern
nicht die Vorschriften der Preisangabeverordnung entgegenstehen, schon alleine weil das Werkzeug des Zinsrechners heute nunmal eine Maus und eine Tastatur hat,
und alle einschlägigen Softwarepakete ausschließlich
atsächliche kalendermäßige Tage berechnen. Nur für die
Berechnung nach der PAngV muß man i.d.R. individuelle Prozeduren schreiben.
z Dieser Zinssatz gilt auch für nichtabzugsfähige Schuldzinsen, §4 Abs. 4a EStG.
z Insbesondere für die Bewertung und Bilanzierung von
Pensionsverpflichtungen wird der Zins von 6% als
Kalkulationszinsfuß angewandt (§6a Abs. 3 EStG und
R 41 Abs. 14 EStR).
z Als Kosten der Zwischenfinanzierung bei Bauvorhaben dürfen nur Kosten für Darlehen oder für eigene
Mittel des Bauherrn angesetzt werden, deren Ersetzung durch zugesagte oder sicher in Aussicht stehende endgültige Finanzierungsmittel bereits bei dem
Einsatz der Zwischenfinanzierungsmittel gewährleistet ist. Eine Verzinsung der vom Bauherrn zur
Zwischenfinanzierung eingesetzten eigenen Mittel
darf höchstens mit dem marktüblichen Zinssatz für
erste Hypotheken angesetzt werden (§8 II. BV).
Gesetzliche Zinssätze:
z Die Zinssätze der EZB gelten als volkswirtschaftliche
Basiszinsen. Man unterscheidet die Deposit Facility
(Einlagenfazilität), zu der die Banken Geld kurzfristig bei der Zentralbank hinterlegen können, die Main
Refinancing Operations Bid Rate (Mindestbietungssatz
der Hauptrefinanzierungsgeschäfte) sowie die Marginal Lending Facility (Spitzenrefinanzierungssatz), zu
denen die Geschäftsbanken sich mit Geld von der
Zentralbank refinanzieren können.
z Für Eigenleistungen des Bauherren darf eine Verzinsung des marktüblichen Zinssatzes für erste Hypotheken angesetzt werden. Im öffentlich geförderten sozialen Wohnungsbau darf für den Teil der Eigenleistungen, der 15% der Gesamtkosten des Bauvorhabens
nicht übersteigt, eine Verzinsung von 4% angesetzt
werden (§20 II. BV).
z Im bürgerlichen Recht gilt allgemein ein gesetzlicher
Zinssatz von 4% (§246 BGB).
z 2002 wurde ein variabler Basiszinssatz in das BGB
eingeführt, der am 1. September 2001 anfänglich
festgelegt und sodann jeweils zum 01.01. und 01.07.
eines jeden Jahres durch Veröffentlichung im Bundesanzeiger neu festgesetzt. Bezugsgröße für die Veränderung ist jeweils die Veränderung des Zinssatzes der
Main Refinancing Operations Bid Rate der Europäischen Zentralbank (§247 Abs. 1 und 2 BGB). Dies
dient insbesondere der Umsetzung der Zahlungs-
z Im Rentenrecht gilt die Vermutung eines Zinses, der
als sogenannter Ertragsanteil an einem Rentenrecht
versteuert wird (§22 Nr. 1 Satz 3 Buchstabe a EStG).
Diese Zinsvermutung hängt bis 2004 vom Alter des
Rentenberechtigten bei Beginn der Rente an und ist
willkürlich; ab 2005 wird durch das Alterseinkünfte© HZ
-4gesetz ein fiktiver, ansteigender Ertragsanteil normiert.
Gewogenes Mittel (z.B. bei Lagerbewertung nach §240
Abs. 4 HGB):
z Die Mietsicherheit des Mieters einer Wohnung ist mit
dem für dreimonatige Termingelder üblichen Zinssatz zu verzinsen (§550b Abs. 2 BGB). Dies ist ein
Beispiel für eine relative Definition eines gesetzlichen
Zinses.
n
µ=
σ=
2
∑(X
i =1
i
− µ )2
n
Diese Variante der Varianz ist die, die sich bei Vorliegen
lediglich klassierter Daten eignet.
n
σ=
2
∑ h ⋅ (µ − m )
i =1
i
2
i
n
Vielfach wird in beiden vorstehenden Gleichungen im
Nenner des Bruches statt n eingesetzt n - 1. Dies erbringt
bessere Ergebnisse beim Rechnen mit der Normalverteilung.
3. Statistik
3.1. Grundlagen der deskriptiven Statistik
3.2. Analyseverfahren der schließenden Statistik
Die deskriptive Statistik beschreibt; sie stellt durch Erhebungen gefundene Sachverhalte mit mathematischen
Mitteln dar.
Die schließende Statistik wird auch als Wahrscheinlichkeitsrechnung bezeichnet. Sie macht Aussagen über die
Wahrscheinlichkeit des Eintretens bestimmter Sachverhalte oder Zustände.
Mittelwert aus einer Reihe von Merkmalsausprägungen:
Als Merkmal bezeichnet man den zu erhebenden Sachverhalt (z.B. Alter von Personen); die Merkmalsausprägung ist die hinsichtlich eines einzelnen Erhebungsobjektes gefundene Tatsache (wirkliches Alter einer bestimmten Person).
Erwartungswert einer Handlungsalternative:
Erwartungswert ist der Wert, den eine Handlungsalternative langfristig, d.h., im statistischen Mittel aufweist.
E = Erlös ⋅ PErlös − Kosten ⋅ PKosten
n
i
=
n
Regeln:
1. Tue niemals etwas mit E ≤ 0
2. Aus mehreren Alternativen wähle stets die mit dem
maximalen E
1 n
⋅∑ Xi
n i =1
Mittelwert aus einer Reihe von Merkmalsausprägungen:
Definition: Rational ist eine Entscheidung, die den beiden
vorstehenden Regeln folgt.
Diese Methode ist sinnvoll, wenn keine exakten Werte
vorliegen, etwa weil die genauen Daten nicht verfügbar
sind oder geheimgehalten werden.
Lottospielen ist damit ebensowenig rational wie der
Abschluß von Versicherungsverträgen, weil beide Handlungen gegen die 1. Regel verstoßen, d.h., negative Erwartungswerte mitbringen!
n
∑ (m ⋅ h )
i =1
n
Mittlere lineare Abweichung bei klassierten Daten:
z Der Säumniszuschlag für rückständige Steuerbeträge
beträgt im Steuerrecht 1% des rückständigen Betrages
pro angefangenem Monat für je angefangene 100 DM
(bis 2001) bzw. je angefangene 50 € (ab 2002) (§240
Abs. 1). Dies entspricht indirekt einer gesetzlichen
Verzinsung.
µ=
⋅ qi )
n
z Die Zinsen auf Steuerstundungen und hinterzogene
Steuern (§§233-239 AO) betragen 0,5% pro vollen
Monat (§238 Abs. 1 Satz 1 AO).
i =1
i
Diese quadratische Rechenmethode ist die, die zur Anwendung der gauß’schen Normalverteilung und anderer
Verfahren der schließenden Statistik zu benutzen ist.
z Ab 2002 liegt ferner der Verzugszins bei Rechtsgeschäften, bei denen ein Verbraucher (§13 BGB) nicht
beteiligt ist, acht Prozent über dem Basiszinssatz
(§288 Abs. 2 BGB). Diese Vorschrift ist ein lex
specialis zu der Fünfprozent-Vorschrift des §352 HGB.
µ=
i =1
Mittlere quadratische Abweichung (Varianz):
z Eine Geldschuld ist während des Verzuges mit einem
Zinssatz von 5% über dem Basiszinssatz nach §1 des
Diskontsatz-Überleitungsgesetzes vom 9. Juli 1998
bzw. ab 2002 von 5% über dem Basissatz zu verzinsen
(§288 Abs. 1 Satz 1 BGB). Diese ab dem 1. Mai 2000
geltende Regel dient insbesondere dem Gläubigerschutz.
∑X
∑(X
i
i
Korrelationsfaktor für metrisch skalierte Wertepaare:
n
∑h
i =1
Die Korrelation ist ein Zusammenhangsmaß; sie zeigt,
wie stark der Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen
i
© HZ
-5den zugehörigen Werten der Regressionsfunktion Y*=f(x)
zu einem Minimum wird. Es gilt also:
ist. Der Zusammenhang ist klein, wenn K in der Nähe von
null liegt, und hoch, wenn K gegen 1 oder -1 geht.
n
Wichtiger Hinweis: Die Korrelation ist niemals eein Beweis! Auch Merkmale, die miteinander nichts zu tun
haben, können eine hohe Korrelation aufweisen, etwa die
Zahl der Kinder und die Zahl der Störche an einem Ort.
Statistik mit Beweisführung zu verwechseln ist oft ein
Zeichen politischer Propaganda, etwa im Ökologismus
oder bei dem vorgeblichen Treibhauseffekt, der dem
Grunde wie der Ursache nach noch immer hochgradig
umstritten ist.
n
1 ∑
K = ⋅ i =1
n
∑( y
i =1
Wenn insgesamt n Wertepaare vorliegen, bestimmt man
also a und b so, daß die Funktion
x
i
y
σ x ⋅σ y
X ² = ∑∑
[ h( x j ; yk ) −
j =1 k =1
h( x j )h(k y )
n
h( x j )h(k y )
]2
i =1
Diese Ableitung werden Null gesetzt, dann erhält man die
Normalgleichungen zur Bestimmung der Koeffizienten
einer linearen Kleinste-Quadrate-Regressionsfunktion:
n
1. Normalgleichung:
X²-Kontingenzkoeffizient:
K=
i =1
∂f (a , b) n
= ∑ 2( yi − a − bxi )(−1)
∂a
i =1
∂f (a , b) n
= ∑ 2( yi − a − bxi )(− xi )
∂b
i =1
Diese Formel liefert eine Korrelation für nominale Merkmale. Die X²-Hilfsgröße wird benötigt, um den Korrelationskoeffizienten K in der Folge zu berechnen:
q
n
ein Minimum wird. Notwendige Bedingung für ein Minimum der Summe der quadrierten Abweichungen ist das
Verschwinden der partiellen Ableitung erster Ordnung
von f(a,b) nach a und b. Für die partielle Ableitung ergibt
sich
X²-Analyseformel (X²-Hilfsgröße):
m
n
f (a , b) = ∑ ( yi − y *i ) 2 = ∑ ( yi − a − bxi ) 2
[( x − µ ) ⋅ ( y − µ )]
i
− y * i ) 2 → Min !
i
n
∑y
X2
X2 +n
i =1
n
i
= na + b ∑ xi
i =1
2. Normalgleichung:
n
Exponentielle Glättung:
∑y x
Das exponentielle Glättungsverfahren setzt die sukzessive Anwendung der Glättung der 1. Ordnung und daraus
der Klättung der 2. Ordnung voraus; erst dann kann ein
Prognosewert bestimmt werden.
i =1
i
i
n
n
i =1
i =1
= a ∑ x i + b ∑ xi 2
Löst man das System der Normalgleichungen nach a und
b auf, so erhält man die Bestimmungsgleichungen für die
Regressionskoeffizienten a und b.
Exponentielle Glättung 1. Ordnung:
Bestimmungsgleichungen für lineare Regression:
X * t = αX t + (1 − α ) X * t −1
Exponentielle Glättung 2. Ordnung:
n
X ** t = αX * t + (1 − α ) X ** t −1
a=
Prognose aus Exponentieller Glättung berechnen:
n
n
i =1
i
i
i =1
n
i =1
2
b=
Die Regressionsrechnung liefert Informationen über die
Art eines numerischen Zusammenhanges; der Gleichungstyp muß vorher bekannt sein.
n
i
i
n
n ⋅ ∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi
i =1
n
i =1
n
i =1
n ⋅ ∑ xi − (∑ xi ) 2
i =1
Zunächst werden die Koeffizienten einer Regressionsfunktion Y*=f(x) für einen Zusammenhang zwischen den
Merkmalen X und Y so bestimmt, daß die Summe der
quadrierten Abweichungen der Beobachtungswerte yj von
n
i =1
i =1
n
Regressionsrechnung:
i
n ⋅ ∑ xi − (∑ xi ) 2
i =1
X P t +1 = 2 X * t − X ** t −1 = X * t + ( X * t − X ** t −1 )
n
∑x ∑ y −∑x ∑x y
2
2
i =1
Praktische Anmerkung: Zur Berechnung einer linearen
Regression genügt i.d.R. die Kenntnis der Bestimmungsgleichungen.
© HZ
-6Normalgleichungen für nichtlineare Regression:
Summenregel:
Zur Auflösung eigen sich die Matritzenrechnung oder das
Gleichungsverfahren. Für nichtlineare Fälle vom Typ
Gegeben seien die beiden unvereinbaren Ereignisse E1
und E2. Für E1 gebe es n1 Möglichkeiten und für E2 gebe
es n2 Möglichkeiten. Die Anzahl der insgesamt vorhandenen Möglichkeiten ist die Summe der Möglichkeiten aller
Einzelereignisse. Diese Regel ist nur von geringer Bedeutung.
y = a + bx + cx 2
gibt es keine Bestimmungsgleichungen, solange diese
sich nicht durch Logarithmierung aus den linearen Bestimmungsgleichungen ableiten lassen.
∑y
=na + b∑ xi +c ∑ xi
i
∑x y
i
∑x
2
Für n verschiedene, beliebig austauschbare Elemente gibt
es n! verschiedene Anordnungen.
2
=a ∑ xi +b∑ xi +c ∑ xi
2
i
n!= n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ ... ⋅ ( n − ( n − 1)) ⋅ 1
3
yi =a ∑ xi +b∑ xi + c ∑ xi
2
Anzahl der Anordnungen mit Zurücklegen:
3
Anzahl der Anordnungen ohne Zurücklegen:
4
Bei der Potenzfunktion
Soll aus insgesamt n Elementen eine s-elementige Anordnung ohne Wiederholungen gebildet werden (etwa durch
Ziehen von Losen oder Kugeln aus einer Urne), dann ist
die Anzahl der möglichen s-elementigen Mengen:
y = ax b
k = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ ... ⋅ ( n − ( s − 1)) für s ≤ n
kann man auch mit der linearen Bestimmungsgleichung
eine Regression erzielen, indem man die Gleichung einfach logarithmiert:
Die Anzahl der entnommenen Kugeln s muß gleich oder
kleiner als die Anzahl der vorhandenen Kugeln n sein.
log y * = log a + b log x
Gegeben sei eine Menge mit n Elementen, etwa Kugeln.
Von diesen Elementen werden s Elemente mit einem Griff
entnommen. Hierdurch entsteht eine Untermenge der
Stärke s. Da nie mehr Kugeln entnommen werden können
als vorhanden sind, gilt s ≤ n. In dieser Situation gibt es
i
Logarithmierung per Bestimmungsgleichung:
Anzahl der Anordnungen bei Bildung von Untermengen:
Mit log wird dabei der dekadische Logarithmus (zur Basis
10) bezeichnet. Die Bestimmungsgleichung lautet nun:
log a =
n
n
n
i =1
i =1
n
i =1
n
i =1
n ∑ (log xi ) 2 −( ∑ log xi ) 2
i =1
n
b=
n
∑ (log xi ) 2 ∑ log yi − ∑ log xi ∑ log xi log yi
i =1
n
„n über s“ Mögliche Untermengen, d.h., mögliche
Entnahmekombinationen. Man beachte, daß dies nur eine
Anwendung der Bildung der s-elementigen Anordnung
aus der n-elementigen Menge ohne Wiederholungen ist!
n
n ∑ log xi log yi − ∑ log xi ∑ log yi
i =1
i =1
i =1
n
n
i =1
i =1
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − ( s − 1))  n 
=  
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ s
s 
n ∑ (log xi ) 2 − ( ∑ log xi ) 2
Bernoulli-Kette (Biomialverteilung):
Formel zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsreihe
der Binomialverteilung:
3.3. Kombinatorik
Die Kombinatorik macht Aussagen über die Zahl der
Kombinationsmöglichkeiten von Objekten; dies ist bedeutsam für die Wahrscheinlichkeitsrechnung bei diskontinuierlichen Merkmalsausprägungen. Vgl. in diesem Zusammenhang die Tabellen der Binomialverteilung
am Schluß dieses Werkes.
 n
bn ( x) =   ⋅ p x ⋅ q n − x
 x
Poisson-Verteilung:
Nachfolgerechnung zur Binomialverteilung bei großem
Wert für n:
Produktregel:
Ein Versuch wird in k Stufen durchgeführt. Auf der 1.
Stufe gebe es n1 Möglichkeiten, auf der zweiten Stufe n2
Möglichkeiten und auf der k-ten Stude nk Möglichkeiten.
Die Anzahl der insgesamt vorhandenen Möglichkeiten ist
das Produkt der Möglichkeiten bei den einzelnen Stufen,
in denen der Versuch durchgeführt wurde:
Pλ (n) =
λn
n!⋅eλ
Gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit n Ereignisse
eintreten, wenn die Grundwahrscheinlichkeit pro Zeitoder sonstige Einheit λ beträgt.
n = n1 ⋅ n2 ⋅ ... ⋅ nk
© HZ
-7Gauß’sche Normalverteilung:
Veranlagungszeitraum 2004:
Formel für die Dichtefunktion:
§32a Einkommensteuertarif. §32a Einkommensteuertarif. Die
tarifliche Einkommensteuer bemißt sich nach dem zu versteuernden Einkommen. Sie beträgt vorbehaltlich der §§32b, 34,
34b und 34c jeweils in Euro für zu versteuernde Einkommen
f ( x) =
1
σ ⋅ 2 2π
⋅e
−
( x− µ )2
2σ 2
1. bis 7.664 Euro (Grundfreibetrag): 0,
2. von 7.665 Euro bis 12.739 Euro:
(793,10 • y + 1.600) • y;
4. Steuerrecht
4.1. Umsatzsteuer
(265,78 • z + 2.405) • z + 1.016;
Nettopreis aus Bruttopreis ausrechnen:
4. von 55.152 Euro an:
0,45 x - 8.845;
Brutto
Netto =
1,16
„y“ ist ein Zehntausendstel des 7.664 Euro übersteigenden Teils
des auf einen vollen Euro-Betrag abgerundeten zu versteuernden Einkommens. „z“ ist ein Zehntausendstel des 12.739 Euro
übersteigenden Teils des auf einen vollen Euro-Betrag abgerundeten zu versteuernden Einkommens. „x“ ist das auf einen
vollen Euro-Betrag abgerundete zu versteuernde Einkommen.
Der sich ergebende Steuerbetrag ist auf den nächsten vollen
Euro-Betrag abzurunden
Umsatzsteuer aus Nettopreis ausrechnen:
USt. = Netto ⋅ 0,16 =
Brutto
⋅ 0,16
1,16
Bei 7% USt.-Satz den Faktor 1,16 gegen 1,07 und den
Faktor 0,16 gegen 0,07 ersetzen!
(2) (...) (3) (...) (4) (...)
(5) Bei Ehegatten, die nach den §§26, 26b zusammen zur
Einkommensteuer veranlagt werden, beträgt die tarifliche Einkommensteuer vorbehaltlich der §§32b, 34 und 34b das Zweifache des Steuerbetrages, der sich für die Hälfte ihres gemeinsam zu versteuernden Einkommens nach den Absätzen 1 bis 3
ergibt (Splitting-Verfahren). (...).
4.2. Einkommensteuer
Tarifliche Einkommensteuer ohne Steuertabelle aus zu
versteuerndem Jahreseinkommen bestimmen:
Veranlagungszeitraum 2002 und 2003:
(6) (...)
Veranlagungszeitraum 2005:
(768,85 · y + 1.990) · y;
(278,65 · z + 2.300) · z + 432;
(883,74 • y + 1.500) • y;
0,485 x - 9.872;
(228,74 • z + 2.397) • z + 989;
„y“ ist ein Zehntausendstel des 7.200 Euro übersteigenden
Teiles des nach Absatz 2 ermittelten zu versteuernden Einkommens. „z“ ist ein Zehntausendstel des 9.216 Euro übersteigenden Teils des nach Absatz 2 ermittelten zu versteuernden
Einkommens. „x“ ist das nach Absatz 2 ermittelte zu versteuernde Einkommen.
0,42 x - 7.914;
„y“ ist ein Zehntausendstel des 7.664 Euro übersteigenden Teils
des auf einen vollen Euro-Betrag abgerundeten zu versteuernden Einkommens. „z“ ist ein Zehntausendstel des 12.739 Euro
übersteigenden Teils des auf einen vollen Euro-Betrag abgerundeten zu versteuernden Einkommens. „x“ ist das auf einen
vollen Euro-Betrag abgerundete zu versteuernde Einkommen.
Der sich ergebende Steuerbetrag ist auf den nächsten vollen
Euro-Betrag abzurunden
(2) Das zu versteuernde Einkommen ist auf den nächsten
durch 36 ohne Rest teilbaren vollen Euro-Betrag abzurunden,
wenn es nicht bereits durch 36 ohne Rest teilbar ist, und um 18
Euro zu erhöhen.
(3) (...) (4) (...)
(2) (aufgehoben) (3) (aufgehoben) (4) (...)
(6) (...)
(6) (...)
© HZ
-8Schema zur Berechnung der Einkommensteuer:
– Steuerbegünstigung der zu Wohnzwecken genutzten
Wohnungen, Gebäude und Baudenkmale sowie der
schutzwürdigen Kulturgüter (§§10e bis 10i EStG, 52
Abs. 21 Satz 6 EStG i. d. F. vom 16.4.1997, BGBl. I
S. 821 und §7 FördG)
– Verlustabzug nach §10d EStG i. d. F. vom 16.4.1997,
BGBl. I S. 821 (§52 Abs. 25 EStG)
+ zuzurechnendes Einkommen gemäß §15 Abs. 1 AStG
= Einkommen (§2 Abs. 4 EStG)
– Freibeträge für Kinder (§§31, 32 Abs. 6 EStG)
– Haushaltsfreibetrag (§32 Abs. 7 EStG)
– Härteausgleich nach §46 Abs. 3 EStG, §70 EStDV
= zu versteuerndes Einkommen (§2 Abs. 5 EStG).
Die Einkommensteuer wird auf das zu versteuernde Jahreseinkommen erhoben, das nach dem nachfolgend dargestellten
Schema zu ermitteln ist (in Anlehnung an R3 EStR):
+
+
+
+
+
+
+
–
=
–
–
=
–
–
–
Summe der positiven Einkünfte aus Land- und Forstwirtschaft
Summe der positiven Einkünfte aus Gewerbebetrieb
Summe der positiven Einkünfte aus selbständiger
Arbeit
Summe der positiven Einkünfte aus nichtselbständiger
Arbeit = Arbeitslohn
./. Versorgungs-Freibetrag (§19 Abs. 2 EStG)
./. Werbungskosten- oder Arbeitnehmer-Pauschbetrag (§9a Nr. 2 EStG)
Summe der positiven Einkünfte aus Kapitalvermögen
= Kapitalerträge
./. Werbungskosten- oder Werbungskosten-Pauschbetrag
./. Sparer-Freibetrag (§9a Nr. 2 EStG)
Summe der positiven Einkünfte aus Vermietung und
Verpachtung
Summe der positiven sonstigen Einkünfte (§22 EStG)
Hinzurechnungsbetrag (§52 Abs. 3 Satz 3 EStG),
sowie §8 Abs. 5 Satz 2 AIG)
ausgleichsfähige negative Summen der Einkünfte (§2
Abs. 3 Sätze 3 bis 8 EStG)
Summe der Einkünfte
Altersentlastungsbetrag (§24a EStG)
Freibetrag für Land- und Forstwirte (§13 Abs. 3 EStG)
Gesamtbetrag der Einkünfte (§2 Abs. 3 Satz 1
EStG)
Verlustabzug nach §10d EStG i. d. F. des Steuerentlastungsgesetzes 1999/2000/2002 vom 24.3.1999,
BGBl I S. 402
Sonderausgaben (§§10, 10a, 10b, 10c EStG)
außergewöhnliche Belastungen (§§33 bis 33c EStG)
Grundlegend steuerpflichtig sind hier die sieben verschiedene Einkunftsarten. Von diesen sind die in dem
Schema folgenden zahlreichen Einzelposten hinzuzurechnen oder zu subtrahieren. Die dabei anzuwendenden
Rechenschritte und einzelnen Sachverhaltsbeurteilungen
machen das EStG zu einem der kompliziertesten Gesetze
überhaupt. Nach Berücksichtigung aller Arbeitsschritte
erreicht man das zu versteuernde Einkommen, das die
Grundlage der Besteuerung bildet. Dabei gibt es einen
Grundfreibetrag, der seit 1990 in zahlreichen Schritten
angehoben worden ist.
Die Berechnung der Steuer erfolgt grundsätzlich nach
§32a EStG. Da die Berechnung relativ kompliziert ist,
werden die Steuertarife auch als Einkommensteuertabellen veröffentlicht. Aufgrund dieses Tarifes wird die Einkommensteuer nach folgendem Schema festgesetzt (R4
EStR):
Steuerbetrag
a) laut Grundtabelle/Splittingtabelle (§32a Abs. 1, 5,
§50 Abs. 3 EStG) oder
b) nach dem bei Anwendung des Progressionsvorbehalts (§32b EStG) oder der Steuersatzbegrenzung sich ergebenden Steuersatz
Tarifübersicht zum Einkommensteuergesetz
Jahr
Grenzsteuersätze
Min.
Max.
1958-1964
1965-1974
1975-1977
1978
1979-1980
1981-1985
1986-1987
1988-1989
1990-1995
1996-1997
1998
1999
2000
2001
2002-2003
2004
ab 2005
20,0%
19,0%
22,0%
22,0%
22,0%
22,0%
22,0%
22,0%
19,0%
25,9%
25,9%
23,9%
22,9%
19,9%
19,9%
16,0%
15,0%
53,0%
53,0%
56,0%
56,0%
56,0%
56,0%
56,0%
56,0%
53,0%
53,0%
53,0%
53,0%
51,0%
48,5%
48,5%
45,0%
42,0%
Grundfreibetrag bis
DM/Jahr
€/Jahr
1.680,00
1.680,00
3.029,00
3.329,00
3.690,00
4.212,00
4.536,00
4.752,00
5.611,00
12.095,00
12.365,00
13.067,00
13.499,00
14.093,00
14.541,60
14.989,48
14.989,48
DM
DM
DM
DM
DM
DM
DM
DM
DM
DM
DM
DM
DM
DM
DM
DM
DM
858,97
858,97
1.548,70
1.702,09
1.886,67
2.153,56
2.319,22
2.429,66
2.868,86
6.184,08
6.322,12
6.681,05
6.901,93
7.205,64
7.435,00
7.664,00
7.664,00
€
€
€
€
€
€
€
€
€
€
€
€
€
€
€
€
€
Maximaler Grenzsteuersatz ab
DM/Jahr
€/Jahr
110.040,00 DM/Jahr 56.262,56 €/Jahr
110.040,00 DM/Jahr 56.262,56 €/Jahr
130.020,00 DM/Jahr 66.478,17 €/Jahr
130.020,00 DM/Jahr 66.478,17 €/Jahr
130.000,00 DM/Jahr 66.467,94 €/Jahr
130.000,00 DM/Jahr 66.467,94 €/Jahr
130.032,00 DM/Jahr 66.484,31 €/Jahr
130.032,00 DM/Jahr 66.484,31 €/Jahr
120.042,00 DM/Jahr 61.376,50 €/Jahr
120.042,00 DM/Jahr 61.376,50 €/Jahr
120.042,00 DM/Jahr 61.376,50 €/Jahr
120.042,00 DM/Jahr 61.376,50 €/Jahr
114.696,00 DM/Jahr 58.643,13 €/Jahr
107.568,00 DM/Jahr 54.998,65 €/Jahr
107.621,50 DM/Jahr 55.026,00 €/Jahr
102.000,45 DM/Jahr 52.152,00 €/Jahr
102.000,45 DM/Jahr 52.152,00 €/Jahr
Hinweis: In dieser Tabelle symbolisiert Fettdruck die Währung, in der das EStG die Tarife festlegte. Bis 2001 waren also die
Tarife noch in DM und erst ab 2002 in Euro definiert.
© HZ
-9Grenzsteuer und Gesamtsteuer
25%
20%
15%
10%
5%
Da die Grenzsteuer mit zunehmendem zu versteuernden Einkommen
ansteigt, spricht man auch vom sogenannten „Progressivtarif“.
1990-1995
70.000
60.000
50.000
40.000
30.000
20.000
10.000
0
0%
Zu versteuerndes Jahreseinkommen
2005
Steuertarifvergleich Gesamtsteuer
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
1990-1995
70.000
60.000
Zu versteuerndes Jahreseinkommen
2005
+ Steuer aufgrund Berechnung nach den §§34, 34b
EStG
= tarifliche Einkommensteuer (§32a Abs. 1, 5 EStG)
– Entlastungsbetrag nach §32 c EStG
– ausländische Steuern nach §34c Abs. 1 und 6 EStG,
§12 AStG
– Steuerermäßigung nach §35 EStG
– Steuerermäßigung für Stpfl. mit Kindern bei Inanspruchnahme erhöhter Absetzungen für Wohngebäude oder der Steuerbegünstigungen für eigengenutztes
Wohneigentum (§34f Abs. 1, 2 EStG)
– Steuerermäßigung bei Zuwendungen an politische
Parteien und unabhängige Wählervereinigungen (§34g
EStG)
– Steuerermäßigung nach §34f Abs. 3 EStG
– Steuerermäßigung nach §35a EStG
+ Steuern nach §34c Abs. 5 EStG
+ Nachsteuer nach §10 Abs. 5 EStG i. V. m. den §§30,
31 EStDV
+ Zuschlag nach §3 Abs. 4 Satz 2 Forstschäden-Ausgleichsgesetz
+ Anspruch auf Zulage für Altersvorsorge nach §10a
Abs. 2 EStG
+ Kindergeld oder vergleichbare Leistungen, soweit in
den Fällen des §31 EStG das Einkommen um Freibeträge für Kinder gemindert wurde
= festzusetzende Einkommensteuer (§2 Abs. 6 EStG).
50.000
40.000
30.000
20.000
0%
10.000
Durchschnittssatz Einkommensteuer in %
Gesamtsteuer (oder auch Durchschnittssteuer) ist der Gesamtbetrag
der Steuer durch den Gesamtbetrag
des zu versteuernden Einkommens.
Da die Grenzsteuer aber ansteigt,
steigt auch die Durchschnittssteuer;
nur tut sie das nicht deckungsgleich
mit der Grenzsteuer: hat jemand ein
Einkommen das gerade über dem
Grundfreibetrag liegt, so zahlt er nur
auf den den Grundfreibetrag übersteigenden Betrag eine Steuer (in 2005
von 15%); die Durchschnittssteuer
bezieht aber auch den Grundfreibetrag
mit ein und ist daher sehr niedrig.
30%
0
Grenzsteuersatz ist der für den geweils
nächsten Euro fällige Steuerbetrag.
Er ist in der Tarifformel in Zeile 2
und 3 der Faktor hinter der Addition
durch hundert in Prozent (in 2005
also 15% und 23,97%) und in der
letzten Zeile der Faktor vor dem „x“,
also (in 2005) 42%.
Steuertarifvergleich Grenzsteuersätze
Grenzsatz Einkommensteuer in %
Tarifvergleich 1990/2005
Grenzsteuersatz berechnen:
Grenzsteuersatz ist der für die jeweils nächste Einheit der
Bemessungsgrundlage fällige Steuer.
Grenzsteuersatz =
∆Steuer
∆Bemessungsgrundlage
Steigt der Grenzsteuersatz mit zunehmender Bemessungsgrundlage an, so spricht man von einer Progressivsteuer.
Sinkt er, so handelt es sich um eine Proportionalsteuer.
Der Einkommensteuersatz wird traditionell anhand von Steuertabellen ermittelt. Diese sind bis 2001 in Schritten von 54 DM
für Ledige bzw. 108 DM für Verheiratete aufgebaut (§32a Abs.
2 EStG); in 2002 tritt anstelle dieses Betrages eine neue
Schrittweite von 36 € in den Tabellen für Ledige bzw. 72 € in den
Tabellen für Verheiratete. Ab 2003 wird dieser sogenannte
Stufentarif vollkommen abgeschafft. Ab diesem Jahr gibt es
keine amtlichen Tabellen mehr, was indirekt einer Pflicht zur
elektronischen Ermittlung der Einkommensteuerlast gleichkommt. Dennoch wird es gewiß weiterhin Einkommensteuertabellen geben, die dann jedoch nicht mehr verbindlich sind.
5. Kosten- und Leistungsrechnung
Die Kostenartenrechnung richtet sich darauf, die Kosten
zunächst von den Auszahlungen, Ausgaben und Aufwendungen abzugrenzen, also die Auszahlungen, Ausgaben
und Aufwendungen, die nicht zugleich Kosten sind, aus
© HZ
- 10 der Kostenrechnung herauszuhalten, aber die Kosten, die
weder Aufwendungen noch Ausgaben noch Auszahlungen sind, in die Rechnung einzubeziehen; anschließend
werden die Kosten nach relevanten Kritegrien in EG und
GK sowie in variable und fixe Kosten gegliedert.
Digitale Abschreibung:
Die AfA-Beträge steigen oder fallen bei diesem steuerlich
nicht zulässigen Verfahren mit der Zeit.
Degression =
Dies ist die Grundlage für die Vollkostenrechnung und
die Teilkostenrechnung. Wir betrachten daher zunächst
die Kostenartenrechnung als gemeinsame Basis:
∑ Jahresziffern
i =1
5.1. Kostenartenrechnung
Hieraus kann dann die Abschreibung pro Periode bestimmt werden:
Kalkulatorische Abschreibung (linear):
Kalk . AfAdig = Degression × Jahresziff ern
Dies hat mit der steuerlichen Abschreibung nichts zu tun.
Die steuerliche AfA ist ein neutraler Aufwand und hat in
der Kostenrechnung nichts verloren!
Kalk . AfA{€ } =
WBW − SW
n
Die Reihenfolge, in der die Jahresziffern in diese Formel
eingesetzt werden (fallend oder steigend), bestimmt, ob es
sich um eine degressive oder eine progressive Abschreibungsmethode handelt.
WBW − SW
n
Bilanzielle, steuerliche Abschreibung (degressiv):
100
Lin. AfA{%} =
n
Dies hat eigentlich mit der Kostenrechnung nichts zu tun;
die steuerliche AfA ist ausschließlich ein Aufwand. Die
kalk. AfA kann sich aber hieran orientieren:
Die Nutzungsdauer n ist in dieser Formel stets die tatsächliche technische Lebensdauer und hat oft nichts mit der
nach politischen Gesichtspunkten festgesetzten mehr oder
weniger fiktiven Abschreibungsdauer der Steuertabelle
zu tun.
Grenzwerte, Anschaffung bis 31.12.2000:
D. AfA{%} = 3 ⋅ lin. AfA{%}
D. AfA{%} = max .30%
Der Wiederbeschaffungswert wäre zunächst zu schätzen.
Eine gute Schätzung ergibt sich, wenn man die Anschaffungskosten mit der Inflationsrate verzinst:
Grenzwerte, Anschaffung ab 01.01.2001:
WBW = AK ⋅ (1 + Inflation)
D. AfA{%} = max . 20%
D. AfA{%} = 2 ⋅ lin. AfA{%}
ntechn
Das funktioniert jedoch nur in stabilen und gereiften
Märkten, in denen die Verhältnisse (und damit die zu
refinanzierenden Werte) sich nicht wesentlich ändern, ist
also bei Fahrzeugen (Störungen durch Politik) ebenso wie
bei Computern (technischer Fortschritt) ungeeignet. Eine
im Einzelfall richtige Schätzung ist oft schwierig und
manchmal unmöglich aber stets besser als gar keinen
Wert einzusetzen!
Bei der Entscheidung, welche Formel anwendbar ist,
kommt es auf den Anschaffungszeitpunkt an. Die Grenzwerte bleiben auch nach Änderung der Rechtsvorschriften
gleich (Vertrauensschutz).
Berechnung (zeitpunktunabhängig):
D.Zeitwert t = AK ⋅ (1 − D. AfA%) t
Steuerrechtliche und kalkulatorische Abschreibung
Steuerrechtliche Abschreibung
Kalkulatorische Abschreibung
Zweck
Steuerersparnis durch Inanspruchnahme von
Abschreibungsvorteilen
Refinanzierung der Ersatzinvestition durch
Abwälzung des Wertes einer Anlage in die
Preise
Ausgangswert
Steuerrechtliche Anschaffungskosten (§§7ff
EStG)
Geschätzter Wiederbeschaffungswert bei
künftigem Ersatzzeitpunkt
Null oder tatsächl. Verkaufspreis
Schrottwert oder tatsächl. Verkaufspreis, auch
negativer Endwert (bei Entsorgungskosten)
Abschreib.Dauer
Adressat
So kurz wie möglich, um Gewinn und damit
Gewinnsteuer zu minimieren
Extern (Finanzamt)
So realistisch wie möglich, um „wahre“ Preise
kalkulieren zu können
Nur intern (Kalkulator, Controller)
Gesetzl. Regelung
EStG, KStG, HGB, zahlreiche Spezialgesetze
Keine
Endwert
© HZ
- 11 D. AfA{€} = AK ⋅ D. AfA% ⋅ (1 − D. AfA%) ( t −1)
KVorhalte =
Der Wechsel von der degressiven zur linearen Abschreibung ist gemäß §7 Abs. 3 EStG zulässig, ein umgekehrter
Wechsel hingegen nicht.
WBW − SW AK + SW
+
⋅ Rmin
ntechn
2
5.2. Vollkostenrechnung
Die Vollkostenrechnung richtet sich auf die Kalkulation;
sie bestimmt die Selbstkosten und die Angebotspreise und
umfaßt den BAB und die Kalkulation.
Anwendung in der Kostenrechnung:
Kalk.Zeitwertdegr = (WBW − SW ) ⋅ (1 − AfA%)t
Kalk . AfAdegr = (WBW − SW ) ⋅ AfA% ⋅ (1 − AfA%)t −1
Hier bestehen keine gesetzlichen Vorschriften für die
Höhe der AfA in %!
Kalkulatorischer Zinssatz in %:
Zuschlagssatz und Kostenverursachung:
Allgemein dient ein Zuschlagssatz der indirekten Zurechnung der Gemeinkosten auf eine kostenverursachende
Größe:
Zuschlagssatz =
Gemeinkosten
Kostenverursachergröße
Kapitalmarkt-Guthabenzins auf dem betriebsnotwendigen Vermögen vergleichbare Investitionssumme
+ Allgemeine Risikozulage (z.B. Insolvenzquote)
= Mindestrentabilität (Rmin)
Zuschlagssatz, Normalfall:
Anmerkungen: Die Risikozulage (und damit die Mindestrentabilität) ist größer in Krisenzeiten, in Krisenbranchen
und in Kleinunternehmen; sie ist kleiner in Zeiten der
Hochkonjunktur, in Boom-Branchen und in Großunternehmen.
Zuschlagss atz =
Allgemein gilt, daß der Kostenzuschlag auf eine kostenverursachende Größe zu berechnen ist:
Im Prinzip reicht diese einzige Formel; es macht aber
Sinn, sich die Implikationen dieser Rechnung anzusehen.
Wenn die Einzelkosten die kostenverursachende Größe
sind, bedeutet dies:
Kalkulatorischer Zins in € bei Einzelanlage:
Die Verzinsung rechnet sich auf die mittlere Kapitalbindung, die vereinfachend linear angenommen wird.
Kalk .Zins =
AK + SW
⋅ Rmin
2
Zuschlagss atz =
Gemeinkosten
Einzelkost en
Angewandt auf den BAB bedeutet dies:
Für Vermögensgegenstände, die keine Wertminderung
unterliegen (Grundstücke!), kann die Mindestrentabilität
direkt auf den Anschaffungswert gerechnet werden (Ausnahme).
ZS =
GK
EK
ZS =
GK 2
EK
Kalkulatorischer Zins in € für gesamtes Unternehmen:
Vereinfachend gilt:
Kalk . Zins = Bilanzsumme ⋅ Rmin
(Bei BAB ohne VwGK-Umlage)
(Bei BAB mit VwGK-Umlage)
In der Verwaltung und im Vertrieb gibt es keine Einzelkosten; aber die HKU sind kostenverursachend:
Nichtbetriebsnotwendige Vermögensgegenstände, beispielsweise ungenutzte Anlagen oder leerstehende Gebäude, sind zuvor aus der Bilanzsumme herauszurechnen.
Man kann dann auch rechnen:
Zuschlagssatz in der Verwaltungskostenstelle:
VwZS =
Kalk. Zins = Betriebsnotwendiges Kapital ⋅ Rmin
VwGK
HKU
Zuschlagssatz in der Vertriebskostenstelle:
Betriebsnotwendiges Kapital:
+
=
–
=
zuzuschlagende Größe
verursachende Größe
Betriebsnotwendiges Anlagevermögen
Betriebsnotwendiges Umlaufvermögen
Betriebsnotwendiges Vermögen
Abzugskapital
Betriebsnotwendiges Kapital
VtZS =
VtGK
HKU
In Handwerks- und einzelfertigenden Betrieben sowie im
Dienstleistungsgewerbe sind die Größen HKU und HKP
identisch, weil es keine Zwischen- oder Ausgangslagerung
gibt. Sie unterscheiden sich nur, wenn Zwischen- und/
oder Ausgangsläger bestehen.
Vorhaltekosten:
Kalk. Abschreibung und kalk. Zinsen ergeben die MindestVorhaltekosten einer technischen Anlage:
© HZ
- 12 HKU und HKB in BAB von Industriebetrieben:
+
+
+
=
+
–
=
Fertigungslöhne
Fertigungsgemeinkosten
Fertigungsmaterial
Materialgemeinkosten
Herstellkosten der Produktion
Bestandsminderungen der FE/UFE
Bestandsmehrungen der FE/UFE
Herstellkosten des Umsatzes
Allgemein gilt:
FL
FGK
FM
MGK
HKP
Konkret bedeutet dies:
HKU
Maschinenzuschlag =
Maschinenzuschlag =
Kalkulationsaufschlag aus Kalkulationsfaktor bestimmen:
BarVKP − SK
SK
Stückselbstkosten =
Für jede Stufe der Kalkulation kann ein eigener Kalkulationsaufschlag (und damit ein eigener Kalkulationsfaktor) bestimmt werden. An Stelle des Barverkaufspreises können also auch andere Werte treten. Ebenso ist
der Kalkulationsaufschlag auch auf die Einzelkosten anwendbar. Eine andere Definition wäre beispielsweise:
K ges
X produziert
Mit Ausgangslagerung gilt:
Stückselbstkosten =
HK
X produziert
+
VtGK
X verkauft
Äquivalenzziffernkalkulation:
ListenVKP − EK
EK
Diese ist im Grunde nur die Anwendung der Divisionskalkulation auf Sortenfertigung. Es gilt:
Voraussetzung für die Faktorrechnung ist stets, daß nur
eine einzige Einzelkostenart besteht und keine Zwischenwerte wie Bezugskosten zu addieren sind - sonst funktioniert es nicht!
1. Multipliziere die Faktoren mit den Leistungs- oder
Mengenwerten, das ergibt die Umrechnungszahlen
2. Addiere die Umrechnungszahlen
3. Berechne die Selbstkosten der Hauptsorte:
Kalkulationsfaktor aus Kalkulationsaufschlag bestimmen:
KF =
X
Dieses seltene Verfahren wird i.d.R. nur bei Massenfertigung angewandt. Es basiert auf der Division der Gesamtkosten durch eine Bezugsgröße. Ohne Ausgangslagerung:
Kalkulationsaufschlag aus Kalkulation bestimmen:
KA =
Kfix + K varStück ⋅ X
Divisionskalkulation:
KA = ( KF − 1)
KA =
Maschinenkosten
Maschinenleistung
SK Faktor1 =
KA
+1
100
SK Periode
∑Umrechnungszahlen
4. Aus diesem Ausgangswert kann durch Multiplikation
mit den anderen Fakroren die Selbstkosten der anderen Sorten berechnet werden.
„Gesamtaufschlag“ und „Kalkulationsaufschlag“ sind
identisch!
Berechnung des Einstandspreises:
Grundschema der Kalkulation:
Einzelkosten
+ Gemeinkosten
= Selbstkosten
–
=
–
=
+
+
+
=
Kalkulation mit Kalkulationsfaktor:
SK = EK ⋅ KF
An Stelle der Selbstkosten kann jeder andere, durch den
Kalkulationsfaktor zu bestimmende Wert treten, beispielsweise der Barverkaufspreis oder der Listenverkaufspreis.
Definition und Anwendung des Kalkulationsfaktors müssen einander ergänzen!
Netto-Listenpreis
Lieferantenskonto
Ziel-Einkaufspreis
Lieferantenskonto
Bar-Einkaufspreis
Bezugskosten
Nebenkosten
Nachträgliche (zurechenbare) Kosten
Anschaffungskosten oder Einstandspreis
Dies ist eine Anwendung von §255 Abs. 1 HGB.
Einfache Handelskalkulation:
Zuschlagssatz einer Maschinenkostenstelle:
–
=
–
=
+
+
Die Maschinenrechnung wird im BAB angewandt, wenn
die keine kostenverursachenden Einzelkosten vorhanden
sind; das ist etwa bei automatisierter Fertigung oder sonst
hoher Technizität der Fall.
© HZ
Netto-Listenpreis
Lieferantenskonto
Ziel-Einkaufspreis
Lieferantenskonto
Bar-Einkaufspreis
Bezugskosten
Nebenkosten
- 13 +
=
+
=
+
=
+
=
Nachträgliche (zurechenbare) Kosten
Anschaffungskosten oder Einstandspreis
Gemeinkostenzuschlag
Barverkaufspreis
Kunden-Skonto (i.H.)
Zielverkaufspreis
Kunden-Rabatt (i.H.)
Listenverkaufspreis
die Break Even Rechnung, aber auch die Maschinenrechnung und eine Vielzahl von Optimierungsverfahren
wie den Simnplex-Algorithmus oder die Methoden der
Transportoptimierung. Die Teilkostenrechnung ist damit
weitaus komplexer, aber auch weitaus vielseitiger als die
Vollkostenrechnung.
Deckungsbeitrag:
Der Deckungsbeitrag ist der Betrag, der nach Abzug der
variablen Kosten vom Umsatz (oder Verkaufspreis) übrig
bleibt:
Hier ist insbesondere zu berücksichtigen, daß die Berechnung der Kundenskonti und -Rabatte im Wege der imHundert-Rechnung (i.H.) geschehen muß, während der
Rest des Rechenschemas als vom-Hundert-Rechnung
ausgeführt werden muß. Um dies zu verstehen ist es
sinnvoll, sich in die Lage des Kunden zu versetzen, der
vom Listenverkaufspreis aus mit seiner Rechnung beginnt (also diesen Wert als 100%-Basis verwendet) und
davon die einzelnen Größen abzieht.
DB = Pvk − K var
Manche Lehrbücher verwenden die folgende Abgrenzung:
DB:
db:
Einfache Industriekalkulation:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
+
=
+
=
Σ
+
+
=
Fertigungsmaterial
Material-Gemeinkosten
Materialkosten
Fertigungslöhne
Lohn-Gemeinkosten
Fertigungskosten
3 + 6 = Herstellkosten
Verwaltungsgemeinkosten
Vertriebsgemeinkosten
Selbstkosten
Wir folgen im Rahmen der vorliegenden Darstellung
(und der anderen Werke auf der BWL CD) dieser Vereinbarung jedoch nicht.
FM
MGK
MK
FL
FGK
FK
HK
VwGK
VtGK
SK
Die vorstehenden Definitionen faßt man auch als sogenannten absoluten Deckungsbeitrag zusammen. In der
Sortimentsplanung kann es sinnvoll sein, den Deckungsbeitrag auf eine verbrauchte Faktoreinheit zu beziehen.
Man spricht dann vom sogenannten relativen Deckungsbeitrag:
DBrel =
Die Teilschritte 1 bis 3 und 4 bis 6 sind für jede Kostenstelle auszuführen. Das Kalkulationsschema und der
Betriebsabrechnungsbogen müssen zusammenpassen,
sonst werden Kosten nicht gedeckt.
×
=
Maschinenzeit
Material-Stundensatz
Maschinenkosten
DBabs Pvk − K var
=
V
V
Mehrstufige Deckungsbeitragsrechnungen:
Die Deckungsbeitragsrechnung wird aussagekräftiger,
wenn sie differenziert wird. Allgemeines Beispiel:
Ist eine Maschinenkostenstelle beteiligt, so kann gerechnet werden:
1.
2.
3.
Gesamtdeckungsbeitrag (z.B. Gesamtbetrieb)
Deckungsbeitrag eines einzelnen Produktes
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
MZ
MS
MC
Wichtig: Es gibt kein feststehendes Schema der Industriekalkulation. Jede Kalkulation muß immer den konkreten
Gegebenheiten angepaßt werden. Dies bedeutet, daß kein
auswendig gelerntes Schema immer richtig ist; ein vertieftes Verständnis ist unerläßlich!
Das Schema kann wie die vorstehende Handelskalkulation
durch Gewinnaufschlag zu den Selbstkosten und dann
durch Skonto- und Rabattaufschlag bis zum Listenverkaufspreis fortgeführt werden.
–
=
–
=
–
=
–
=
=
Erlöse/Umsätze
variable Kosten
Deckungsbeitrag I
Produktfixkosten
Deckungsbeitrag II
Produktlinienfixkosten
Deckungsbeitrag III
Unternehmensfixkosten
Deckungsbeitrag IV
Betriebsergebnis
Muster für eine kundenspezifische mehrstufige Deckungsbeitragsrechnung:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Kapazität und Frequenz bei Dienstleistern:
Kapazität = Objekte ⋅ Verfügbark eitstage
Verkaufte Einheiten
Frequenz =
Kapazität
5.3. Teilkostenrechnung
Die Teilkostenrechnung basiert auf fixen und variablen
Kosten. Sie enthält zunächst die Deckungsbeitrags- und
© HZ
–
=
–
=
–
=
–
=
–
Bruttoumsatz
Direkte Erlösschmälerungen
Nettoumsatz I
Indirekte Erlösschmälerungen
Nettoumsatz II
Wareneinsatz (Handel)
Rohertrag
variable Produktionskosten (Industrie)
Deckungsbeitrag I
Proportionale, dem Kunden direkt zurechenbare Kosten (z.B. Delkredere, Wechselspesen
usw.)
- 14 =
13.
14.
=
15.
16.
=
Deckungsbeitrag II
dem Kunden individuell zurechenbare Marketingetats (z.B. Aktionsrabatte)
Deckungsbeitrag III
dem Kunden individuell zurechenbare Verkaufskosten (z.B. persönliche Besuche)
Deckungsbeitrag IV
dem Kunden individuelle zurechenbare Logistik- oder Servicekosten (z.B. Spedition,
Regalpflege)
Deckungsbeitrag V
Sonderleistungen (z.B. für Einrichtungsgegenstände)
Deckungsbeitrag VI
–
–
–
17.
18.
=
19.
=
–
Beispiel für Break Even Punkt bei Serienfertigung:
7
6
Gewinnzone
5
4
n
∑ DB
i =1
n
= K fix
Kges
Kvar
(50€/St.)
3
Verlustzone
2
Break Even Punkt bei Einzelfertigung:
X min wenn
Uges
(Pvk=100€/St.)
K; U
[€*106]
(Pvk=90€/St.)
11.
12.
Kfix
=150000€
1
Beispiel für Break Even Punkt bei Einzelfertigung:
K; U
[€*106]
0
Uges
7
Kges
Kvar
5
Σ DB(t)
4
3
Kfix
1
0
1
2
3
4
5
BE
6
7
Perioden
4
5
6
7
Tausend
Stück
BE2=3750
BE1=3000
Beispiel: In einem bestimmten Monat lagen die Gesamtkosten eines Unternehmers bei einer Ausbringung von
20.000 Stück bei 124.000 €. Im Folgemonat betrug die
Ausbringung 24.000 Stück und die Gesamtkosten lagen
bei 136.800 €. Der Umsatz betrug im ersten Monat
96.000 € und im zweiten Monat 115.200 €. Veränderungen an den Produktionsmitteln oder den Preisen der
Produktionsfaktoren waren nicht zu berücksichtigen.
Anmerkung zur vorstehenden Grafik: Der Break Even
Punkt ist erreicht, wenn der kumulierte Umsatz die kumulierten Kosten erreicht. Die Grafik betrachtet vereinfachend nur aufeinander folgende Aufträge, also zu keiner
Zeit werden zwei Aufträge parallel bearbeitet.
Steigt die Kostenlinie schneller an als die Umsatzlinie, so
ist der Deckungsbeitrag negativ. Das ist im skizzierten
Beispiel beim zweiten Auftrag der Fall.
Hauptproblem bei diesem Aufgabentyp ist, daß man mit
den Standarddefinitionen nicht weiterkommt. Man muß
die grundlegenden Konzepte verstanden haben, und sie
analog anwenden. Das ist schwierig:
Auch wenn die Skizze vereinfachend ist, so fördert sie
doch das Verständnis der Zusammenhänge!
Frage: Bei welcher Ausbringungsmenge beträgt die Umsatzrentabilität genau 0%?
Break Even Punkt bei Serien- oder Sortenfertigung oder
im Handel:
X min =
3
Break Even aus Gesamtkosten berechnen: Kerngedanke
dieser Aufgabengestaltung ist, daß nur Gesamtkosten und
Gesamtumsätze sowie die zugehörigen Stückzahlen angegeben werden. Der Prüfungsteilnehmer muß aus der
Gesamtkostenänderung die variablen Kosten, aus der
Differenz zu den Gesamtkosten die Fixkosten und daraus
schließlich den Deckungsbeitrag und den Break Even
bestimmen.
Verlustzone
2
2
Vorsicht! Diese scheinbar einfachen Zusammenhänge
geben Anlaß zu Aufgabengestaltungen von großer Komplexität. Wer solche Aufgabentypen nicht vor der Prüfung
studiert, kann in der Prüfung eine böse Überraschung
erleben. Wir präsentieren daher hier zwei Beispiel-Aufgabengestaltungen aus IHK-Prüfungen:
Gewinnzone
6
1
Antwort: Die Umsatzrentabilität beträgt 0% beim Break
Even Punkt, weil da kein Gewinn gemacht wird, zuvor
aber Verlust und hernach Gewinn. Es sind also erst die
Fixkosten und die variablen Kosten sowie der Stückum-
K fix
DB
© HZ
- 15 satz zu ermitteln. Der Verkaufspreis beträgt 96.000 :
20.000 = 115.200 : 24.000 = 4,80 €/Stück. Die Mengenänderung bewirkt eine Kostenänderung, die nur auf die
variablen Kosten zurückgehen kann (Definition!). Die
variablen Kosten betragen also Kostenänderung : Mengenänderung = (136.800-124.000) : (24.000-20.000) = 3,20
€/Stück. Der Deckungsbeitrag beträgt damit 4,80 - 3,20 =
1,60 €/Stück. Die Fixkosten können aus der Differenz der
gesamten variablen Kosten zu den Gesamtkosten ermittelt werden und betragen 124.000-3,20·20.000 = 136.8003,20·24.000 = 60.000 €. Der Break Even Punkt ist also bei
einer Ausbringung von 37.500 Stück.
trägt 360.000 - 300.000 = 60.000 € und setzt sich aus
Gewinn und variablen Kosten zusammen.
Der Gewinnanteil in dieser Differenz beträgt bei einer
Umsatzrentabilität von 5% genau gerade 360.000 · 0,05 =
18.000 €
Die Differenz von 60.000 - 18.000 = 42.000 ist eine
variable Kostengröße.
Wie kommt man aber von diesen 42.000 variablen Kosten
bei 60.000 auf die fixen Kosten bei 300.000? Ganz
einfach, man nehme den Dreisatz! 42.000 : 60.000 = X :
300.000 ergibt die variablen Kosten; Lösung durch Kvar
= 42.000 / 60.000 · 300.000 = 210.000 €. Aus der
Differenz dieses Ergebnisses zu den Gesamtkosten kann
man nun ganz einfach die Fixkosten bestimmen: Kfix =
300.000 - 210.000 = 90.000 €
Man kann diesen Aufgabentyp noch erweitern; dann ist
die Kenntnis der Definition der Umsatzrentabilität erforderlich:
Frage: Der Unternehmer strebt eine Umsatzrentabilität
von 10% an. Welche Ausbringung muß er leisten, um
dieses Ziel zu erreichen?
Didaktischer Hinweis: Man kann es sich auch so verdeutlichen, daß 300.000 einfach als Menge betrachtet wird.
Dann wäre der Verkaufspreis = 1 und die variablen
Kosten = 42.000 / 60.000 = 0,7 €. Die Annahme des
Verkaufspreises und der Menge 1 ist dabei beliebig; es
geht mit jeder Zahl, wobei es mit der 1 am einfachsten ist.
Antwort: G = 10% vom Umsatz = 0,1 P · X
0,1 P · X = U - Kges
0,1 · 4,8 X = 4,8 X - 3,2 X - 60.000
0,48 X = 1,6 X - 60.000
60.000 = 1,12 X
X = 53.571,42857
Zur Frage der vom-Hundert/im-Hundert-Rechnung: es ist
nur ein Umsatz (und kein Gewinn) genannt; es muß daher
bei der Berechnung des Gewinnes mit der vom-HundertRechnung (und keinesfalls mit der im-Hundert-Rechnung, also 360.000/1,05) gearbeitet werden. Das läßt sich
auch durch die Lösung zur folgenden Frage unter Beweis
stellen!
Es kann Sinn machen, hier eine Kontrollrechnung anzuschließen.
Frage: Wie hoch sind Gesamtkosten, Umsatz und Gewinn
bei der Lösung aus der vorstehenden Frage?
Antwort: K ges = 60.000 + 53.571,42857 · 3,20 =
231.428,571
U = 4,80 · 53.571,42857 = 257.142,857
G = 257.142,857 - 231.428,571 = 25.714,2857
= genau 10% vom Umsatz.
Frage: Der Konkurrent strebt eine Umsatzrentabilität von
15% an. Bei welchem Umsatz erreicht er diese?
Antwort: Hier ist vorzugehen wie bei der Lösung zu oben
dargestellten ersten Aufgabenvariante; allerdings muß
hier die Annahme zugrundegelegt werden, daß der
Verkaufspreis 1 € und die variablen Stückkosten 0,7 €
betragen (vgl. oben). Diese Aufgabe ist also ein erweiternder Anwendungsfall der vorstehend demonstrierten
Lösungsmethode. Und so geht’s:
Break Even ohne Mengenangaben berechnen: Dieser
Aufgabentyp ist noch komplexer und eignet sich gut,
Prüfungskandidaten zu kippen. Kernannahme ist, daß
eine Menge angenommen werden muß, oder per Dreisatz
zu rechnen ist. Es liegen damit sogar zwei alternative
Lösungswege vor!
G = 15% vom Umsatz = 0,15 P · X
0,15 P · X = U - Kges
0,15 · 1 X = 1 X - 0,7 X - 90.000
0,15 X = 0,3 X - 60.000
90.000 = 0,15 X
X = 600.000
Beispiel: Sie werben einem Konkurrenten erfolgreich
einen Verkäufer ab, und im Einstellungsgespräch verrät Ihnen dieser, daß Ihr Konkurrent bei einem Umsatz
von 300.000 € genau kostendeckend gearbeitet hat.
Weiterhin habe es bei einem Umsatz von 360.000 € eine
Umsatzrentabilität von 5% gegeben, mit der der Konkurrent sehr unzufrieden gewesen sei.
Hinweis für den Dozenten: Verwenden Sie die Datei
„Break Even aus Gesamtkosten.xls“ im Excel-Ordner der
BWL CD, um Aufgabenstellungen dieses Typs auf unkomplizierte Art und Weise zu erstellen oder zu lösen!
Frage: Wie hoch liegen die Fixkosten des Konkurrenten,
wenn keine Änderungen von Faktorpreisen oder Produktionsmitteln eingetreten sind?
Allgemeine Maschinenrechnung:
Hier geht es um die Bestimmung der Kosten, die einer
technischen Anlage zuzurechnen sind.
Antwort: Didaktische Anmerkung: das Hauptproblem
besteht hier darin, daß keine Mengendaten genannt sind.
Kerngedanke derLösung: per Dreisatz vorgehen, weil alle
Kostenverläufe ja stets linear sind.
Gesamtkosten:
K ges Jahr = K fix + X ⋅ K var
Die erste Größe ist der Break Even Punkt; die zweite liegt
im Gewinnbereich. Die Differenz zwischen beiden be© HZ
- 16 Kosten pro Leistungseinheit:
K gesStück =
(10)
(11)
(12)
K fix + X ⋅ K var
X
G = P (1000-4P) - 6000 - 50 (1000-4P)
G = 1000P - 4P2 - 6000 - 50000 + 200P
G = -56000 + 1200P - 4P2
Dies ergibt die abgebildete, charakteristische preisabhängige Gewinnfunktion. Um den optimalen Preis zu
ermitteln, muß man aus (12) die erste Ableitung bilden
Kritische Leistung zweier Anlagen:
(13)
K gesA = K gesB
G' = 1200 - 8P
diese sodann zu null setzen und auszurechnen:
K fix A + K varA X = K fixB + K varB X
Die kritische Leistung ist aber nur definiert, wenn gilt:
(14)
(15)
entweder K fix A < K fixB und K varA > K varB
Da nur ein einziges Maximum besteht, verzichten wir auf
die Untersuchung weiterer lokaler Maxima.
oder K fixA > K fixB und K varA < K varB
Die eingangs dargestellte Abkürzung macht die Sache
erheblich leichter!
Preis-Gewinn-Relation ohne Integralrechnung rechnen:
Popt =
0 = 1200 - 8P
Popt = 150
Visualisierung des vorstehenden Beispieles:
− N M K var
+
2e
2
Nachfrage
Gewinn
Dies geht nur, wenn die Nachfragefunktion die Form
N = N max + e ⋅ P
hat. Für den hier zugrundegelegten Elastizitätskoeffizienten gilt:
e=
Muster einer Preis-Gewinn-Relation
Nmax
Die Nachfragefunktion bestimmt
die Gewinnfunktion. die Bestimmung des optimalen Verkaufspreises geschieht über die Differentialrechnung.
∆Nachfrage
∆Preis
N=0
Gmax
Preis-Gewinn-Relation mit Integralrechnung rechnen:
In Prüfungen wird oft die „offizielle“ Methode der Bestimmung des optimalen Preises gefordert:
(01)
Preis
0
X = 1000 - 4P
Popt
Die Kostenfunktion des Unternehmens beschreibt die
Gesamtkosten als Summe der Fixkosten (Kfix) und variablen Kosten (Kvar) für den Fall einer beliebigen Produktionsmenge. Es gelten:
(02)
(03)
(04)
(05)
G = -6000
Kfix = 6000 €/Periode
Kvar= 50 €/Stück
Kges = Kfix + Kvar
Kges = 6000 + 50X
G = -6000 - 50 • 1000 = -56000
Um den gewinnmaximalen Preis zu ermitteln, benötigen
wir zwei weitere Hilfsdefinitionen: Der Umsatz U ist
definiert:
(06)
6. Investitionsrechnung
Grunddefinitionen (Investition & Finanzierung):
U=P·X
Man kann die Abgrenzung der beiden Basisbegriffe gut
aus der Bilanz herleiten. Die Definition eignet sich auch,
das Wesen der doppelten Buchführung als doppelte
Rechenschaftslegung zu demonstrieren: Jeder Investition
steht immer auch eine Finanzierung gegenüber:
und der Gewinn ist die Differenz aus Umsatz und Kosten:
(07)
G = U - Kges
Folgendermaßen kann nun ausgehend von (07) der optimale Gewinn ermittelt werden:
(08)
(09)
G = P · X - Kges
G = P · X - (6000 + 50X)
Aktiva
Grundschema der Bilanz
Mittelverwendung
Vermögen (Anlage- & Umlauf)
= Investition
Die Gleichung (01) kann nunmehr für X eingesetzt
werden:
© HZ
Passiva
Mittelherkunft
Kapital (eigenes & fremdes)
= Finanzierung
- 17 Produktivität, allgemeine Definition:
Ein Sonderfall ist die Cash Flow Profitability (Cash Flow
Umsatzverdienstrate), in der an Stelle des Gewinnes der
aussagefähigere Cash Flow tritt:
Produktivität ist allgemein das Verhältnis zwischen Input
und Output:
Produktivität =
Output
Input
CFP =
Cash Flow
Umsatz
Leverage-Effect:
Die Produktivität ist die wichtigste und zentralste aller
nachfolgenden Kennziffern. Die Produktivität weist auch
volkswirtschaftlich die höchste Korrelation mit anderen
Größen wie etwa dem Bruttoinlandsprodukt auf.
Der sogenannte Hebel-Effekt besagt im Wesentlichen,
daß Verschuldung sich lohnt, wenn der tatsächlich am
Markt erzielbare Gesamtkapitalzins (also die Mindestrentabilität Rmin) größer ist als der Fremdkapitalzins (positiver Leverage-Effect), sich jedoch nicht lohnt, wenn der
Gesamtkapitalzins kleiner ist als der Fremdkapitalzins
(negativer Leverage-Effect):
Wirtschaftlichkeit:
Die Wirtschaftlichkeit ist das Verhältnis zwischen Aufwand und Ertrag und damit ein Anwendungsfall der
grundlegenden Produktivitätsdefinition:
REK =
G − iFK ⋅ FK RGK ⋅ GK − iFK ⋅ FK
=
EK
EK
Rentabilität, allgemeine Definition:
REK =
RGK ⋅ EK + RGK ⋅ FK − iFK ⋅ FK
EK
Rentabilität ist das Verhältnis zwischen Gewinn und
Kapital. Die Rentabilität ist damit ebenfalls eine Anwendung der Rentabilitätskennziffer:
REK = RGK + ( RGK − iFK ) ⋅
Wirtschaft lichkeit =
Rentabilit ät =
Ertrag
Aufwand
Gewinn
Kapital
Statische Amortisationsrechnung:
Allgemein kann die Amortisationsdauer folgendermaßen
berechnet werden:
Eigenkapitalrentabilität:
Amortisationsdauer =
Die Eigenkapitalrentabilität ist das Verhältnis zwischen
Gewinn und Eigenkapital:
REK =
Amortisati onsdauer =
Die Gesamtkapitalrentabilität vergleicht den Gewinn und
das gesamte Kapital:
Kapitalwertmethode:
C=
n
∑(E
t =0
t
− At )(1 + i ) − t
Dies ist eine Anwendung der allgemeinen Zinsformel:
Gewinn + Fremdkapitalzinsen
Gesamtkapital
C0 =
Dynamische Rentabilität:
Cn
= Cn ⋅ (1 + i ) − n
(1 + i ) n
Es gilt, daß bei einem gegebenen Kalkulationszinsfuß i
der Kapitalwert positiv sein muß. Bei der Beurteilung
einer Investition sollte für i der Mindestrentabilitätszins
eingesetzt werden.
Diese ist das Verhältnis zwischen Gewinn und Umsatz:
RDyn =
Investitionssumme
Cash Flow
Der Kapitalwert ist nichts anderes als die Summe der
Barwerte einer Reihe zukünftiger Zahlungen auf den
Jetztzeitpunkt abgezinst. Die Kapitalbarwertformel ist
nichts als ein Sonderfall der allgemeinen Barwertformel!
Gewinn
Gesamtkapital
Vielfach wird der gezahlte Fremdkapitalzins als eine Art
vorweggenommene Rentabilitätsgröße betrachtet. Er soll
daher nach Ansicht einiger Autoren zum Gewinn hinzuaddiert werden:
RGK =
Investitionssumme
∅ jährl . Rückflüsse
Ein Sonderfall dieser Methode verwendet des Cash Flow
als pagatorisches Rückflußmaß:
Gewinn
Eigenkapital
Gesamtkapitalrentabilität:
RGK =
FK
EK
Gewinn
Umsatz
© HZ
- 18 Interne Zinsfußmethode:
linear ist. Wie kann man also diese Aufgabe dennoch
lösen? Hier scheitert, wer es nicht bis auf den Grund
verstanden hat, und das dürfte das Ziel der Übung sein!
Der interne Zinsfuß ist der Zins, bei dem der Kapitalwert
null erreicht, also die wirkliche Verzinsung eines Zahlungsreihe:
Man stellt einfach die allgemeine Kapitalwertformel um:
n
C = ∑ ( Et − At ) ⋅ (1 + i ) −t 
→ 0
C = − A0 + En ⋅ (1 + i ) −n = − A0 +
Er kann allgemein nur iterativ berechnet werden, aber es
gibt eine Näherungsformel:
Da hier aber gilt
i −i
r ^ = i1 − C1 2 1
C2 − C1
C = − A0 + En ⋅ (1 + i ) − n = − A0 +
i =0
1. Wahl eines beliebigen Kalkulationszinsfußes i1 und
Ermittlung des zugehörigen Kapitalwertes C1.
2. Wahl eines zweiten Kalkulationszinsfußes i2 und Ermittlung des zugehörigen Kapitalwertes C2.
3. Es sollte gelten: C1 < 0 < C2 oder C2 < 0 < C1
4. Näherungsformel berechnen.
A0 =
A0 ⋅ (1 + i ) n = En
Das aber heißt:
(1 + i ) n =
Internen Zinsfuß ohne Näherung per Taschenrechner
exakt berechnen: Wenn der Prüfungsteilnehmer stets nur
lernt, daß es keine präzise Lösung des Effektivzinsproblemes ohne Computer gebe, dann kann der Prüfungslyriker ihn leicht eines Besseren belehren:
(1 + i ) = n
i=n
-50.000,00 €
50.000,00 €
+25.000,00 €
0,00 €
En
−1
A0
Wer jetzt keinen Taschenrechner mit der n-ten Wurzel
besitzt muß noch seine Schulmathematik parat haben und
also wissen, daß die 5. Wurzel auch berechnet werden
kann, indem man die Potenz zu einem Fünftel berechnet.
Im vorliegenden Fall bedeutet dies:
Eine exakte Lösung ist aber auch ohne Zielwertsuche und
ohne Computer mit einfachen Mitteln ausschließlich über
die Potenzfunktion des Taschenrechners möglich. Hierzu
ist zunächst zu bedenken, daß beim Effektivzins der
Barwert null ist. Es muß also gelten:
-50.000,00 €
75.000,00 €
En
A0
Und nunmehr kann man i explizit berechnen:
Frage: Wie hoch ist die exakte Effektivverzinsung im
vorstehenden Beispiel?
Barwert
En
A0
Daher kann man aber auch sagen:
Beispiel Zur Finanzierung einer Anlage im Anschaffungswert von 50.000 € plant ein Unternehmen eine
Kreditaufnahme. Insbesondere wird eine Finanzierungsform gesucht, die zu Anfang tilgungsfrei ist, weil zunächst
ein neues Produkt am Markt eingeführt werden soll.
Ihre Hausbank schlägt vor, den Kredit als Fälligkeitsdarlehen auszugestalten. Insbesondere sollen 5 Jahre
nach 100%iger Auszahlung der Kreditsumme der Kredit und die Summe aller Zinsen durch eine einzige
Zahlung i.H.v. 75.000 € getilgt werden.
Zahlung
En
(1 + i ) n
Also gilt:
Die Näherungsmethode ist zwar ungenau, aber die einzige „taschenrechnertaugliche“ Berechnungsmethode. Die
Ungenauigkeit ist um so größer, je höher der Betrag der
verwendeten Kapitalwerte ist.
0
5
En
=0
(1 + i ) n
kann man auch sagen:
Vorgehensweise:
Jahr
En
(1 + i ) n
i=5
75.000
− 1 = 0,084471771 = 8,4471771%
50.000
Wendet man diesen Zins auf die 75.000 € Rückzahlung
an, so erhält man genau die oben skizzierte Barwerttabelle. Dividiert man die 75.000 € Rückzahlung durch
1,0884471771, so erhält man genau 50.000 €.
Diese Methode gilt nur für den Fall des Fälligkeitsdarlehens mit einer einzigen Rückzahlung, ist also eigentlich wenig realistisch: wo gibt es schon Fälligkeitsdarlehen ohne Zinszahlungen während der Laufzeit?
Aber ist das vor einer Prüfung die richtige Frage? Zero
Bonds zeigen allerdings eine dem hier angenommenen
Verhalten ähnliche Zahlungsreihe und können unter
Wie hoch ist aber der hier zugrundegelegte Zins? Wir
vergegenwärtigen uns nochmal, daß keine Näherungsmethode angewandt werden soll, und dies auch gar nicht
möglich wäre, weil der Verkauf der Barwertkurve nicht© HZ
- 19 Die Spannen tK und t’K’ werden in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückt. Zugrundegelegt werden für das
Jahr 365 Tage, 52 Wochen oder 12 gleichlange Monate,
wobei für letztere eine Länge von 365/12 = 30,41666666
Tagen angenommen wird.
Umständen auf diese Art berechnet werden; auch hier ist
der praktische Nutzen der Rechenmethode jedoch gering.
Aber ob das auch die Prüfungslyriker wissen? Die Aufgabe ist geradezu ein Lehrbuchbeispiel für meine Dauerpredigt, man dürfe nicht auswendig lernen (und solle
möglichst nicht mal mitschreiben), sondern müsse die
den Dingen zugrundeliegenden Strukturen erkennen und
verinnerlichen: wer die ihm präsentierten Standardmethoden schematisch auswendig lernt, scheitert mit
Sicherheit an dieser Knallschote, denn hier ist ein unkonventioneller Lösungsweg erforderlich, der sich nur erschließt, wenn man das der Effektivzinsrechnung zugrundeliegende Verfahren wirklich verstanden hat!
Der Prozentsatz ist auf zwei Dezimalstellen genau anzugeben. Bei der Rundung ist kaufmännisch vorzugehen,
d.h., wenn die dritte Dezimalstelle eine 5 oder größer ist,
ist aufzurunden, sonst muß abgerundet werden.
Bemerkenswert ist hierbei, daß der effektive Jahreszins
nicht selbst vorgeschrieben wird, also wie zuvor mit etwa
der internen Zinsfußmethode oder der Zielwertsauche
(„schrittweise Annäherung“) ermittelt werden darf. Lediglich die Summe der Aus- und die Summe der Einzahlungen muß gleich sein. Damit wird indirekt verboten,
Kosten in Nebenbestimmungen zum Kredit zu „verstecken“.
Berechnung des Effektiven Jahreszinses gemäß §6 Abs. 1
Preisangabeverordnung (verbindlich ab 01.09.2000):
Die Methode ist eine Anwendung der internen Zinsfußmethode und setzt die exakte (iterative) Lösung voraus.
Die mathematische Formel zur Berechnung des Effektivzinses aus der Anlage zum Gesetz lautet:
K =m
K '= m '
AK
K =1
K '=1
Unter einem Disagio versteht man ein Abgeld, also einen
Teil der Kreditsumme, das dem Kreditnehmer gar nicht
erst ausgezahlt wird (sondern der Bedienung der Abschlußkosten als Gebühr dient). Bei Anleihen bildet das
Disagio einen zusätzlichen Zins für den Anleger.
A'K
∑ (1 + i) K = ∑ (1 + i)
t
Effektivzins bei Krediten oder Anleihen mit Disagio:
t'
K'
Die Formel drückt die Gleichheit zwischen Darlehen
einerseits und Tilgungszahlungen und Kosten andererseits aus. In der Formel bedeuten (zitiert nach dem Gesetzestext):
K
K’
AK
A’K’
m
tK
t’K’
i
Diese Formeln erlauben eine vereinfachte Effektivzinsrechnung; die interne Zinsfußmethode steht immer
als präzises Verfahren zur Verfügung, benötigt jedoch
eine iterative Lösung und ist daher nicht „taschenrechnertauglich“.
Laufende Nummer der Auszahlung eines Darlehens oder Darlehensabschnitts
Laufende Nummer einer Tilgungszahlung oder
einer Zahlung von Kosten
Auszahlungsbetrag des Darlehens mit der Nummer K
Betrag der Tilgungszahlung oder einer Zahlung
von Kosten mit der Nummer K’
Die laufende Nummer der letzten Auszahlung des
Darlehens oder Darlehensabschnittes
Der in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückte Zeitabstand zwischen dem Zeitpunkt der Darlehensauszahlung mit der Nummer 1 und den
Zeitpunkten darauf folgender Darlehensauszahlungen mit den Nummern 2 bis m; t1=0
Der in Jahren oder Jahresbruchteilen ausgedrückte Zeitabstand zwischen dem Zeitpunkt der
Darlehensauszahlung mit der Nummer 1 und den
Zeitpunkten der Tilgungszahlung oder Zahlung
von Kosten mit den Nummern 2 bis m; t1=0
Der effektive Jahreszinssatz, der entweder algebraisch oder durch schrittweise Annäherung oder
durch ein Computerprogramm errechnet werden
kann, wenn die sonstigen Gleichungsgrößen aus
dem Vertrag oder auf andere Weise bekannt sind
Effektivzins bei endfälliger Tilgung:
ieff =
inom +
D
n
KA
Effektivzins bei Tilgung in gleichen Raten (also bei
Annuitätendarlehen):
inom +
ieff =
D
n +1
2
KA
Effektivzins bei Annuitätendarlehen mit anfänglicher
Tilgungsfreier Zeit:
inom +
ieff =
Die vom Kreditgeber und Kreditnehmer zu unterschiedlichen Zeitpunkten gezahlten Beträge sind nicht notwendigerweise gleich groß und werden nicht notwendigerweise in gleichen Zeitabständen entrichtet.
tf +
D
(n − t f ) + 1
2
KA
Annuitätenmethode:
Eine Annuität ist eine gleichbleibende Summe aus Zins
und Tilgung in beispielsweise dem Kapitaldienst eines
Darlehens:
Anfangszeitpunkt ist der Tag der ersten Darlehensauszahlung.
© HZ
- 20 i
i (1 + i ) n
a=C
oder a = C
n
1 − (1 + i ) − n
(1 + i ) − 1
sn =
MAPI-Methode:
und der Endwert der Rente r ist:
r
Rn = r ⋅
MAPI
=
( 2 ) + ( 3) − ( 4 ) − (5)
(1)
Es gilt:
(1) Wert (=Ausgabe) der Ersatzinvestition;
(2) Mehrgewinn infolge Ersatzinvestition;
(3) Vermiedener Kapitalverzehr des nächsten Jahres
(=AfA des Defender);
(4) Entstehender Kapitalverzehr der Neuanlage (z.B. AfA
des Challengers) im nächsten Jahr;
(5) Durchschnittliche zusätzliche Ertragssteuern unter
Berücksichtigung aller relevanten Vorgänge.
(1 + i) n − 1
i
(1 + i )n − 1
i
Rentenbarwert:
Der Barwert der Rente zu Beginn ihrer Laufzeit ist:
R0 = Rn ⋅ (1 + i )
(1 + i )n − 1
=r⋅
(1 + i ) n ⋅ i
Rentenzeitwert:
Entsprechend läßt sich auch der Zeitwert Rt zu einem
beliebigen Zeitpunkt t ermitteln:
Devisentermingeschäfte:
Zwei Parteien tauschen Beträge in unterschiedlichen
Währungen zu einem fest vereinbarten Termin in der
Zukunft, wobei der Umtauschkurs bereits bei Vertragsschluß festgelegt wird. Zwischen Abschluß des Geschäfts
und dem vereinbarten Termin liegen mindestens drei
Valutatage. Der zugrundegelegte Terminkurs (am Erfüllungstag) ist abhängig vom Kassakurs und einem entsprechenden Aufschlag („Report“) oder Abschlag („Deport“).
Report und Deport spiegeln also die Zinsdifferenzen auf
den Kapitalmärkten der zu betrachtenden Devisen wieder
und gleichen die Zinsvorzeile bzw. -nachteile bei der
Geldanlage bzww. Geldaufnahme aus.
(1 + i)n − 1
Rt = r ⋅
(1 + i)n−t ⋅ i
Ewige Rente:
Bei vielen Arten von Rente ist jedoch ein Ende nicht
zeitlich bestimmt. So eine Art von Rente nennt man auch
eine ewige Rente. Wegen der Unbestimmtheit ihres Endes
ist ihr kein Endwert zuzuordnen. Es ist jedoch ein Barwert
zu ermitteln, indem man R0 mit dem Kehrwert von (1+i)n
erweitert:
Allgemein gilt:
1−
1
(1 + i ) n
i
z ZinsAusland > ZinsInland Æ Deport = Abschlag auf inländischen Kassakurs (Terminkurs < Kassakurs)
R0 = r ⋅
z ZinsAusland < ZinsInland Æ Report = Aufschlag auf inländischen Kassakurs (Terminkurs > Kassakurs)
Wegen
Die Differenz zwischen Termin- und Kassakurs ist der
sogenannte Swapsatz. Dieser entspricht im Effekt den
Kurssicherungskosten, mit denen das Unternehmen kalkuliert. Die Berechnung geschieht folgendermaßen:
lim (1 + i)
Swapsatz =
−n
1
n→∞
n
=0
ergibt sich
Fremdwähru ngskurs ⋅ ∆Zins ⋅ Laufzeit
360
lim R
n →∞
7. Rentenrechnung
0
1 r
=r⋅ =
i i
Sind die Zahlungen einer Rente zu Beginn eines jeden
Jahres fällig, so wird der Endwert dieser vorschüssigen
Rente zu:
Rentenendwert:
Ist der Zeitabstand jeweils ein Jahr, und die Rente zum
Ende jeden Jahres („nachschüssig“) fällig, so ergibt sich
der Wert Rn der Rente r am Ende ihrer Laufzeit n zu:
(1 + i ) n − 1
Rvn = r ⋅ (1 + i ) ⋅
= Rn ⋅ (1 + i )
i
r ⋅ (1 + i ) n−1 + r ⋅ (1 + i ) n−2 + ... + r ⋅ (1 + i ) + r

Rn = 

r ⋅ (1 + (1 + i ) + (1 + i ) 2 + ... + (1 + i ) n− 2 + (1 + i ) n−1 
8. Bilanzanalyse
Allgemein unterscheidet man vertikale und horizontale
Kennziffern. Eine vertikale Kennziffer vergleicht Dinge,
die in der Bilanz übereinander stehen, oder Bilanzposten
mit der Bilanzsumme. Eine horizontale Kennziffer vergleicht Posten, die in der Bilanz nebeneinander stehen.
Der Ausdruck in der Klammer stellt eine geometrische
Reihe mit dem Anfangsglied 1 und dem Quotienten (1+i)
dar, so daß der Wert sn dieses Ausdruckes sich ergibt aus:
© HZ
- 21 Die vertikalen Kennziffern haben alleine i.d.R. keine
Aussage; sie müssen insbesondere im Zusammenhang
mit den horizontalen Kennziffern betrachtet werden.
Diese Zahl sollte nie unter 100% fallen. Sie ist wegen der
schlechten Zahlungsmoral von Auftraggebern in bestimmten Gewerben (Baugewerbe) oft weit über 100%.
Wirtschaftliches Eigenkapital:
Liquiditä t3 =
Viele Kennziffern verwenden das Eigenkapital. Dieses ist
bilanziell zu ermitteln; je nach Erkenntnisziel kann auch
das wirtschaftliche Eigenkapital verwendet werden:
UV
Kfr . FK
Diese Zahl sollte nicht zu groß werden, weil dies für eine
schlechte Ausnutzung des Kapitals spricht und ferner auf
eine Nichteinhaltung der silbernen Bilanzregel schließen
läßt; was „zu groß“ ist, kann jedoch nicht allgemein
bestimmt werden und ist stark branchenabhängig, weil in
bestimmten Branchen große Läger erforderlich sind (Einzelhandel), während andere Branchen praktisch kein
Eingangs- oder Zwischenlager führen (Just-in-Time-Fertigung). Hier sind also in der Regel Branchenwerte als
Vergleich erforderlich.
I. Gezeichnetes Kapital;
+ II. Kapitalrücklage;
+ III. Gewinnrücklagen:
1. gesetzliche Rücklagen;
2. Rücklagen für eigene Anteile;
3. satzungsmäßige Rücklagen;
4. andere Gewinnrücklagen.
+ IV. Gewinnvortrag/Verlustvortrag;
+ V. Jahresüberschuß/Jahresfehlbetrag
= Bilanzielles Eigenkapital
– Ausstehende Einlagen (die nicht direkt verfügbar
sind),
+ Forderungen gegen Gesellschafter (die eingetrieben
werden können)
– Verbindlichkeiten gegen Gesellschafter (die abgeführt werden müssen)
+ Eigenkapitalersetzende Darlehen i.S.d. §32a GmbHG
+ Sonderpostem mit Rücklageanteil.
= Wirtschaftliches Eigenkapital
Working Capital:
CW = UV − Kfr.FK
Zeigt, welcher Anteil des UV fremdfinanziert ist.
1. Deckungsgrad des Anlagevermögens:
1. Anlagedeckung =
Effektive Geldmittel:
Eigenkapital
Anlagevermögen
Goldene Bilanzregel: 1. Deckungsgrad soll größer als 1
sein, d.h., das Anlagevermögen soll eigenkapitalfinanziert
sein (in der Praxis sehr selten).
In Kennziffern, in denen liquide Geldmittel benötigt
werden, kann auch mit den Effektivmitteln gerechnet
werden:
2. Deckungsgrad des Anlagevermögens:
Summe aller Guthaben in Kassen (Bargeld)
+ Summe aller Guthaben in Sichtkonten (Buchgeld)
+ Summe verfügbarer (d.h., nicht in Anspruch genommener) Kontokorrentkredite
= Effektive Geldmittel
2. Anlagedeckung =
Eigenkapital + lfr. FK
Anlagevermögen
Silberne Bilanzregel: 2. Deckungsgrad soll größer als 1
sein, d.h., wenn das Anlagevermögen schon nicht eigenkapitalfinanziert ist, dann sollte es wenigstens durch
langfristige Fremdkapitalien (z.B. Darlehen, Hypotheken) finanziert werden. Grenze der Kreditwürdigkeit,
wenn nicht eingehalten!
Da Banken dazu neigen, Kreditlinien auf Girokonten in
Krisensituationen plötzlich zu kürzen oder ganz zu streichen, ist die Rechnung mit den effektiven Geldmitteln
risikoreich aber angesichts der schlechten Zahlungsmoral
oft notwendig.
8.2. Vertikale Kennziffern
8.1. Horizontale Kennziffern
Anlageintensität:
Kennzahlen der Zahlungsbereitschaft (Liquidität):
Anlagevermögen
Gesamtvermögen
Geldmittel
Liquiditä t1 =
Kfr . FK
Anlageintensität =
Die erste Liquidität muß in absoluten Zahlen ausgedrückt
mindestens ausreichen, die in der Bilanz ausgewiesenen
vierzehntägigen kurzfristigen Verbindlichkeiten zu decken, d.h. insbesondere, die LSt-, USt.- und SV-Verbindlichkeiten (Passiva, C8). Eine absolute Untergrenze kann
daher nur situationsbezogen und nicht allgemein genannt
werden. Es gibt also keinen Prozentmindestwert.
Zeigt, wie hoch der Anteil des Anlagevermögens am
Gesamtvermögen, und also an der Bilanzsumme ist.
Geldmittel + Kfr . Ford
Liquiditä t2 =
Kfr . FK
Zeigt den Anteil am Umlaufvermögen am Gesamtvermögen. Die Summe aus Anlage- und Umlaufintensität
ist stets 1 oder 100%.
Umlaufintensität:
Umlaufintensität =
© HZ
Umlaufvermögen
Gesamtvermögen
- 22 Vorratsquote:
Vorratsquote =
Vorräte
Gesamtvermögen
Diese Kennzahl sollte insbesondere im Zusammenhang
mit der Liquidität gesehen werden; für sich genommen ist
eine hohe Fremdkapitalquote wenig aussagekräftig.
Zeigt, welcher Anteil am Gesamtvermögen (also der
Bilanzsumme) aus Vorräten besteht. Vorräte sind Rohstoffe, Hilfsstoffe, Betriebsstoffe, Waren, Halbfertigprodukte und Fertigerzeugnisse.
Selbstfinanzierungsgrad:
Selbstfinanzierung =
Forderungsquote:
Forderungsquote
Forderungen
Gesamtvermögen
Rücklagen
Gesamtkapital
Maß für Selbstfinanzierungsgraft; sagt, inwieweit der
Unternehmer aus Gewinnen (bei Verwendung der Gewinnrücklagen) oder aus Gewinnen plus Emissionen (bei
Verwendung der Gewinn- und Kapitalrücklagen) Eigenkapital bilden kann.
Zeigt, wie hoch der Anteil der Forderungen am Gesamtvermögen ist. Diese Kennzahl ist für sich genommen
wenig aussagekräftig, sollte aber u.U. im Zusammenhang
mit der 2. Liquiditätskennzahl gesehen werden.
Verschuldungsgrad:
Forderungsumschlag:
Verschuldungsgrad =
Forderungsumschlag =
Umsatz
∅Forderungen
Fremdkapital
Eigenkapital
Kapitalumschlag:
Maß für die „Umwälzgeschwindigkeit“ des investierten
Kapitals und damit indirekt ein Produktivitätsmaß.
Kundenziel:
Kundenziel =
Fremdkapital
Gesamtkapital
Fremdkapitalquote =
360
Forderungsumschlag
Kapitalumschlag =
Zahlungsmittelquote:
ZahlMittelquote =
Umsatz
Kapital
Hieraus kann man berechnen, wie lange ein Euro durchschniittlich im Unternehmen verbleibt:
Liq. Mittel
Gesamtvermögen
Kapitalumschlagsdauer =
Zeigt, wie hoch der Anteil der liquifen (flüssigen) Zahlungsmittel am Gesamtvermögen ist. Diese Kennzahl ist
für sich genommen wenig aussagekräftig, sollte aber u.U.
im Zusammenhang mit der 1. Liquiditätskennzahl gesehen werden.
360
Kapitalumschlag
8.3. Aufwandsstrukturkennzahlen
Allgemeines Erfolgsmaß in der G&V-Rechnung:
Aufgrund der Daten der GuV-Rechnung:
Grad der finanziellen Unabhängigkeit:
Das Maß, zu dem der Unternehmer eigenfinanziert, also
von den Vorgaben eines Fremdkapitaleigners unabhängig ist.
Wirtschaftlichkeit =
Erlös
Aufwand
Im Rahmen der Kostenrechnung:
Eigenkapital
Eigenkapitalquote =
Gesamtkapital
Wirtschaft lichkeit =
Diese Kennzahl sollte insbesondere im Zusammenhang
mit der Anlagedeckung gesehen werden; für sich genommen ist eine geringe Eigenkapitalquote wenig aussagekräftig. Viele Banken haben beispielsweise deutlich unter
5% Eigenkapitalquote, was isoliert betrachtet noch nichts
aussagt!
Leistungen
Kosten
Man bedenke, daß die kostenrechnerische Definition sich
von der Definition der GuV-Rechnung unterscheidet!
Materialaufwandsquote:
Materialaufwandsquote =
Grad der Verschuldung:
Das Maß, zu dem der Unternehmer von Kreditgebern
abhängig ist; die Größe ist auch als Anspannungsgrad
bekannt:
Materialeinsatz
Gesamtleistung
Zeigt, welchen Anteil die Materialaufwendungen an der
Gesamtleistung im Sinne der GuV-Rechnung haben.
© HZ
- 23 Personalaufwandsquote:
Personalaufwandsquote =
– Auszahlungen aus finance leasing
– Auszahlungen aus Zinsen
= Cash Flow aus Investing activities (3)
Personalaufwand
Gesamtleistung
(1) + (2) + (3) = CASH FLOW
Indirekter Cash Flow nach IAS 7:
Zeigt, welchen Anteil die Personalaufwendungen an der
Gesamtleistung im Sinne der GuV-Rechnung haben. Die
Kennzahl ist damit ein indirektes Maß für die Technizität
der Unternehmung.
Jahresüberschuß/Jahresfehlbetrag (income statement)
(1)
Cash flows from operating activities:
+ Abschreibungen, Einstellungen in Rücklagen und
Rückstellungen, Bestandsminderungen, Währungsverluste
- Zuschreibungen, Entnahmen aus Rücklagen und Rückstellungen, Bestandsmehrungen, Währungsgewinne
= Cash Flow adjustment aus Operating activities (2)
Abschreibungsquote:
Abschreibungsquote =
Abschreibungen
Gesamtleistung
Die Kennzahl zeigt, welchen Anteil die Abschreibungen
an der Gesamtleistung im Sinne der GuV-Rechnung
haben. Die Kennzahl ist damit ein Maß für die Kapitalintensität des Unternehmens. Sie kann nach ordentlichen
und außerordentlichen Abschreibungen defferenziert
werden.
Cash flows from investing activities:
+ Abschreibungen, noch nicht ausgezahlte Zinsen
- Zuschreibungen, noch nicht eingezahlte Zinsen
= Cash Flow adjustment aus Investing activities (3)
Cash flows from financing activities:
+ Noch nicht ausgezahlte Dividenden, Konzernaufwendungen
- Noch nicht eingezahlte Dividenden, Konzernerträge
= Cash Flow adjustment aus Investing activities (4)
8.4. Andere Auswertungsverfahren
Cash Flow Rechnung:
Direkte Ermittlung des Cash Flow:
Zahlungsgleiche Erlöse
– Zahlungsgleiche Aufwendungen
= Cash Flow
(1) ± (2) ± (3) ± (4) = CASH FLOW
Diese Grundstruktur der Kapitalflußrechnung ist im Rahmen der allgemeinen Zulässigkeit von Konzernabschlüssen nach IAS auch für deutsche Unternehmen zulässig.
Indirekte Ermittlung des Cash Flow
Jahresüberschuß/Jahresfehlbetrag
+ Zahlungsungleiche Aufwendungen
– Zahlungsungleiche Erträge
= Cash Flow
EVA-Konzept:
EVA = Economic Value Added. Es gilt:
NOPAT: Der Net Operating Profit After Taxes entspricht im wesentlichen dem Gewinn nach
Steuern, d.h., dem Jahresüberschuß im Schema der GuV-Rechnung sowohl im GuV-Gliederungsschema nach dem Gesamtkostenverfahren als auch nach dem Umsatzkostenverfahren).
Cash Flow Profitability (Cash Flow Umsatzverdienstrate):
CFP =
Cash Flow
Umsatz
Direkter Cash Flow nach IAS 7:
NOA:
Cash flows from operating activities:
Einzahlungen von Kunden
– Auszahlungen an Lieferanten
– Auszahlungen aus Steuern
– Außergewöhnliche Auszahlungen
= Cash Flow aus Operating activities (1)
Die Net Operating Assets sind die Summe der
tatsächlich eingesetzten Vermögensgegenstände, was im wesentlichen den betriebsnotwendigen Kapital entspricht sowie
CoC:
Cost of Capital, was grundsätzlich die Fremdkapitalaufwendungen meint. Das EVA-Konzept macht nicht die „typisch deutschen“ spitzfindigen Unterscheidungen nach Aufwand und
Kosten.
Cash flows from investing activities:
Einzahlungen aus Verkauf von Vermögensgegenständen
+ Einzahlungen aus Zinserlösen und Dividenden
– Auszahlungen aus Kauf von Vermögensgegenständen
= Cash Flow aus Investing activities (2)
Visualisierung:
NOPAT
EVA = NOPAT - NOA × CoC
Cash flows from financing activities:
Einzahlungen aus Ausgabe von Anteilen
+ Einzahlungen aus Darlehen und Ausleihungen
NOA
© HZ
CoC
- 24 Hilfsrechnungen:
Market Value Added:
Operating
Conversion
Tax
Conversion
+
=
+
./.
=
Economic
Model
Accounting
Model
Funding
Conversion
MVA schließt sich an EVA an!
Shareholder
Conversion
EBIT:
WACC:
Earnings before Interest and Taxes:
+ Gewinn- und Ertragssteuern (GewSt, KSt)
+ Zinsaufwendungen
= EBIT
EK M
FK M
× iEK +
× iFK × (1 − KSt %)
GK M
GK M
Hier gilt:
EBITDA:
z EKM: Marktwert des Eigenkapitals der Unternehmung, also eine Größe, die nicht dem bilanziellen
Eigenkapital entspricht.
Earnings before Interest, Taxes, Depreciation and Amortization:
z FKM: Marktwert des Fremdkapitals der Unternehmung.
+ Gewinn- und Ertragssteuern (Gewerbesteuer, Körperschaftsteuer)
+ Zinsaufwendungen
+ Abschreibungen
+ Tilgungen von Darlehen und Krediten
= EBITDA
z GKM: Marktwert des Gesamtkapitals (also der Bilanzsumme) der Unternehmung, also gilt GKM = EKM: +
FKM.
z iEK: Der Eigenkapitalzins, der der Mindestrentabilität
(Rmin) auf das Eigenkapital entsprechen kann.
BSC:
z iFK: Der Fremdkapitalzins, was der Verzinsung der
Verbindlichkeiten entspricht.
Ein einfaches Grundmodell:
z KSt%: Der Körperschaftsteuersatz (oder sonst jeweils
anwendbare Gewinnsteuersatz) in %.
Finanzen
Diese Methode wird oft benutzt, um die Cost of Capital
(CoC) im EVA-Konzept zu bestimmen. In manchen
Berechnungsbeispielen findet man die Formel auch noch
weiter ausdifferenziert, z.B. indem den thesaurierten
Gewinnen, den Kapitalrücklagen und verschiedenen Aktiengattungen und verschiedenen Arten von Verbindlichkeiten wie z.B. den Anleihen unterschiedlich hohe Zinsen
zugewiesen werden.
Umsatz,
Wachstumsrate
Die WACC-Größe bietet eine Durchschnittsverzinsung,
wobei ein Mittelwert aus Eigen- und Fremdkapitalverzinsung entspricht. Dies führt unter den Rahmenbedingungen des internen Rechnungswesens jedoch zu
einer zu geringen Verzinsung, weil hier die Schuldzinsen, also Aufwendungen anstatt die wirklichen Kosten, d.h., die kalkulatorischen Zinsen eingesetzt werden.
Der durch WACC ermittelte Betrag bietet also keine
wirkliche Richtschnur, welcher Betrag insgesamt am
Markt in Form von Zinsen als Return ersetzt werden
müßte. Die WACC-Methode ignoriert damit den der
Kostenrechnung fundamental zugrundeliegenden Unterschied zwischen Aufwendungen (Fremdkapitalzins) und
Kosten (Vermögenszins). Dies schränkt die Brauchbarkeit der WACC-Rechnung im Rahmen deutscher Unternehmen stark ein.
Kosten,
Kapitalbindung
Kunde/
Markt
Qualität
Prozesse
Finanzen
Kosten
Innovation,
Lernen
Ko
Ka
l
ta
pi
© HZ
n
ste
Wachstum
Kunde/
Markt
Qualität
KVP, TQM
oder
W
et
tb
ew
er
b
WACC =
Barwert der EVAs
Barwert der Restwerte nach Planungsende
MVA (Market Value Added)
NOA (Net Operating Assets)
Fremdkapital
Unternehmenswert (Eigenkapital; Equity)
Prozesse
- 25 DuPont’sches Kennzahlensystem:
Nettoumsatz
Gesamtdarstellung, grundlegende Version:
Gewinn
Gewinn in
% d. Ums.
Gewinn in
% d. Kap.
Deckungsbeitrag
÷
./.
./.
Umsatz
Fixe
Kosten
Umsatz
Umlaufvermögen
Das DuPont’sche
Kennzahlensystem
÷
+
Investiert.
Kapital
Anlagevermögen
Produkt.Programm
./.
Erlösschmälg.
Absatzwege
Umsatzvar. Fert.-Mat
=
Kosten
(Rohst.)
+
FertiVerwalt.+
gungs-GK
GK
+
=
*
Kapitalumschlag
Bruttoumsatz
./.
Zahlungsmittel
+
Forderungen
+
Bestände
(Läger)
9. Betriebswirtschaftliche Funktionenlehre
Fertigungslöhne
+
Sonst. Var
FGK
Vertrbs.GK
Das DuPont’sche Kennzahlensystem ist eine relativ
einfache Zusammenfassung grundlegender betrieblicher Größen. Sein Vorteil ist die leichte Handhabbarkeit. Sein wesentlicher Nachteil ist, daß grundlegende
Begriffsdefinitionen ignoriert werden. So rechnet das
Kennzahlensystem die Zinsaufwendungen in die Kosten, und ignoriert die kalkulatorischen Kosten. Es
muß daher an die gegebenen betrieblichen Erfordernisse angepaßt und ggfs. an vorausgesetzte Definitionen angepaßt werden. Es sachgerecht anzuwenden ist
also aufwendiger, als die einfache Grundstruktur zunächst vermuten läßt!
Bestell- und Lieferintervall entsprechen nur bei einem
eisernen Bestand von null der maximalen Lagerdauer.
Meldebestand:
Allgemein kann gesagt werden:
Der Bestand, bei dem eine Bedarfsmeldung geschrieben
werden muß, die einen Beschaffungsvorgang auslöst:
B=
MB = EB + Vt ⋅ TL
HB
M
− t Si =
VTag
VTag
Höchstbestand:
Sicherheitsabstand:
Maximalbestand, der im Lager liegen kann; Bestimmung
aus Tagesverbrauch und Bestellintervall B:
Der Sicherheitsabstand ist hiermit durch die genannten
Einflußfaktoren bestimmt. Andererseits kann auch gesagt werden:
HB = EB + Vt ⋅ B
t si =
Bestimmung aus tatsächlicher Liefermenge M:
HB = EB + M
EB
VTag
Der Sicherheitsabstand ist eine Funktion der Schwankungen der Lieferzeit und des Bedarfs. je größer Nachfrageund Versorgungsunsicherheit, desto größer muß der Sicherheitsabstand sein. Während die Bestimmung zwar
statistisch u.a. mit Hilfe der Normalverteilung möglich
ist, gibt es doch keine feste Relation.
Diese Formeln zeigen, was das Lager aufnehmen können
muß, nicht aber, was es tatsächlich aufnehmen kann!
Bestellmenge:
Die Bestellmenge ist die tatsächlich bestellte (und gelieferte) Menge. Sie ist beschränkt durch den verfügbaren
Lagerraum und bestimmt sich aus
Durchschnittsbestand (1 Monat):
M = HB − EB = VTag ⋅ L = VTag ⋅ B
∅B =
Bestellintervall:
Durchschnittsbestand (1 Jahr):
Der zeitliche Abstand zwischen zwei Bestellungen; ist
i.d.R. mit dem Lieferintervall identisch:
B=
AB + SB
2
12
AB + ∑ SB j
( HB − EB)
Vt
∅B =
© HZ
j =1
13
- 26 Durchschnittsbestand (wenn EB und M bekannt sind, das
ist die optimale Berechnungsmethode):
∅Best =
Optimale Bestellmenge (Grundformel):
Die Basisversion der sogenannten Andler-Formel:
2 EB + M
2
M opt = 2
Man bedenke, daß dies eine Durchschnittsformel ist; es ist
durch 2 (und nicht durch 3!) zu dividieren, weil EB+M
den Höchstbestand darstellt, das zweite EB aber den
Mindestbestand bezeichnet. Es ist also durch 2 zu dividieren, weil nur zwei Werte im Zähler stehen!
Optimale Bestellmenge (Simultane Bestellplanung):
Diese Fassung der Gleichung berücksichtigt knappen
Lagerplatz im Rahmen des sogenannten Lagrange-Multiplikators. Der Wert λ ist materialübergreifend iterativ
zu optimieren. Da er für mehrere Materialarten gilt, kann
die Formel nicht nach λ hin umgestellt werden. Das
Verfahren setzt also zwingend die Anwendung der Zielwertsuche oder vergleichbarer elektronischer Methoden
voraus:
Lagerumschlagshäufigkeit:
Die Umwälzgeschwindigkeit des Lagers, als Grundlage
für die zeitbezogenen Kennziffern:
LU =
V
EB + M
M opt = 2
Durchschnittliche Lagerdauer:
∅LD =
360
2 LU
X opt = 2
EB + M
= 2 ∅LD
VTag
Bei dieser Akkordart ist der Akkordrichtsatz in Geld je
Stück festgelegt:
Stückakkordsatz =
Ergibt die Zinskosten im Lager, die von den Zinsaufwendungen zu unterscheiden sind!
Bruttolohn = Stückakkordsatz × Stückzahl
∅ LD ⋅ Rmin
360
Der Stundenlohn ist dann:
Stundenlohn =
Kosten der Lagerung:
Die Gesamtkosten der Lagerung, die die Zinsen enthalten:
Bruttolohn
Stundenzahl
Zeitakkord:
bei dieser Akkordlohnform ist der Akkordrichtsatz in
Auftragszeit pro Einheit festgelegt. Hierbei wird entweder die normale Stunde zu 60 Minuten oder die sogenannte Industriestunde zu 100 Minuten angewandt. Letzteres
hat den Vorteil, daß die Zeitakkordrechnung zur Prozentrechnung wird:
( 2 ⋅ EB + M ) ⋅ q
⋅ MGZ
2
Der Materialgemeinkostenzuschlag enthält hierbei die
Summe der im Lager entstehenden Gemeinkosten als
Prozentsatz gemäß BAB.
Zeitakkordsatz =
Kosten des Einkaufes:
KE =
Akkordrichtsatz
Normalleistung
Der Bruttolohn wird aufgrund der tatsächlichen Leistung
bestimmt:
Kalkulatorischer Lagerzins:
KL =
2 ⋅ V ⋅ K Rüst
HK Stück ⋅ MGZ
Stückakkord:
Wichtig: Bei Anwendung des FIFO-Verfahrens i.S.d.
§256 HGB ist die durchschnittliche Lagerdauer stets
gleich der maximalen Lagerdauer; bei Anwendung der
LIFO-Methode i.S.d. §256 HGB ist keine durchschnittliche Lagerdauer festzustellen.
Kalk .Zins Lager =
2 ⋅V ⋅ K B
q ⋅ MGZ − 2λa
Optimale Losgröße in der Serienfertigung:
Maximale Lagerdauer:
LDmax =
2 ⋅V ⋅ K B
q ⋅ MGZ
V
K
M B
60 oder 100
Normalleistung
und
Minutenfak tor =
Die Summe der Lager- und Einkaufskosten wird in der
Bestellmengenoptimierung minimiert.
© HZ
Akkordrichtsatz
60oder 100
- 27 Die Berechnung des Bruttolohnes ist nun:
= Zeitakkord satz × Minutenfaktor × Stückzahl
Ist der Prämiensatz 0%, so ist der Lohnkostenverlauf des
Prämienlohnes nach Halsey identisch mit dem Lohnkostenverlauf bei Zeitlohn:
Der Stundenlohn wird wieder genauso bestimmt wie beim
Stückakkord:
Tatsächl.
Zeit
Ersparte
Zeit
10,00 Std.
9,50 Std.
9,00 Std.
8,50 Std.
8,00 Std.
7,50 Std.
7,00 Std.
6,50 Std.
6,00 Std.
5,50 Std.
5,00 Std.
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
Bruttolohn
Stundenzah l
Stundenloh n =
Prämienlohn nach Halsey:
Der Arbeiter erhält einen Teil des Lohnes, der durch
schnellere Arbeit eingespart wird, als Prämie ausgezahlt.
Der Grundlohn ist dabei garantiert. Die Ersparnis wird
zwischen Unternehmen und Mitarbeiter aufgeteilt. Die
Prämie liegt zumeist in der Gegend zwischen 30% und
50%, d.h., bei einer Prämie von 30% würde der Arbeiter
30% des ersparten Lohnes ausgezahlt bekommen. Die
Motivationswirkung läßt sich damit flexibel staffeln.
Ersparte
Zeit
Prämie
10,00 Std.
9,50 Std.
9,00 Std.
8,50 Std.
8,00 Std.
7,50 Std.
7,00 Std.
6,50 Std.
6,00 Std.
5,50 Std.
5,00 Std.
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
0,00 € 100,00 €
2,50 € 97,50 €
5,00 € 95,00 €
7,50 € 92,50 €
10,00 € 90,00 €
12,50 € 87,50 €
15,00 € 85,00 €
17,50 € 82,50 €
20,00 € 80,00 €
22,50 € 77,50 €
25,00 € 75,00 €
Std.
Std.
Std.
Std.
Std.
Std.
Std.
Std.
Std.
Std.
Std.
Art der Arbeit
Einfachste Arbeit
Einfache Arbeit
Brutto
gesamt
Facharbeit mit
besonderen
Anforderungen
10,00
10,00
10,00
10,00
10,00
10,00
10,00
10,00
10,00
10,00
10,00
€
€
€
€
€
€
€
€
€
€
€
Prämienlohn nach Rowan:
Der Arbeiter erhält eine Prämie, die soviel Prozent vom
Grundlohn ausmacht, wie er die Vorgabezeit unterschritten hat. Auch hier ist der Grundlohn garantiert. Die
Prämie ist damit nicht wie beim Halsey-Prämienlohn fest,
sondern variabel. Geringe Unterschreitungen der Vorgabezeit führen bereits zu einer relativ hohen Prämie, während höhere Mehrleistungen nur noch zu einer relativ
geringen Prämie führen. Qualitätsmängel durch stark
überhastetes Arbeitstempo werden damit vermieden.
Erforderliche Anlernzeit
bzw. Erfahrung
Erforderliches fachliches Können
Keinerlei Erfordernisse
Lohngruppe
1
Kurze Unterweisung und kurze
Übung
2
Kurze Einarbeitungszeit
3
Geringe Sach- und Arbeitskenntnis
4
Begrenzte Sach- und Arbeitskenntnis
5
über 2 Monate
begrenztes Können
6
bis 3 Jahre
Berufsausbildung und zusätzliche
Berufserfahrung
7
über 3 Jahre, bis 5 Jahre
Berufsausbildung und besondere
Berufserfahrung
8
über 5 Jahre bis 7 Jahre
Fachkönnen, Arbeiten mit besonderem
Schwierigkeitsgrad
9
über 7 Jahre
Hohes fachliches Können, mehrjährige
Berufserfahrung
10
Angelernte Tätigkeit bis zu 2 Monate
Facharbeit
€
€
€
€
€
€
€
€
€
€
€
Kurze einmalige Unterweisung
0,00 € 100,00 €
0,00 € 95,00 €
0,00 € 90,00 €
0,00 € 85,00 €
0,00 € 80,00 €
0,00 € 75,00 €
0,00 € 70,00 €
0,00 € 65,00 €
0,00 € 60,00 €
0,00 € 55,00 €
0,00 € 50,00 €
Brutto
pro Std.
Diese beiden Fälle sind jedoch Ausnahmen. Normalerweise
liegt die Prämie im Prämienlohn nach Halsey allerdings
stets zwischen dem reinen Zeit- und dem echten Akkordlohn, d.h., der Anwender des Prämienlohnes nach Halsey
kann dessen Motivations- und Anreizwirkung je nach
konkreter Situation flexibel anpassen.
Brutto
pro Std.
10,00
10,26
10,56
10,88
11,25
11,67
12,14
12,69
13,33
14,09
15,00
Std.
Std.
Std.
Std.
Std.
Std.
Std.
Std.
Std.
Std.
Std.
Brutto
gesamt
Bei einem Prämiensatz 100% deckt sich der Prämienlohn
nach Halsey genau mit dem Akkordlohn.
Beispiel: Ein Stundenzeitlohn von 10 € wird garantiert.
Die Vorgabezeit beträgt 10 Std. für den Auftrag. Bei
einem Prämiensatz 50% werden also 50% des ersparten
Lohnes als Prämie ausgezahlt:
Tatsächl.
Zeit
Prämie
Muster für eine einfache analytische Arbeitswertstudie (es gibt viele Varianten)
© HZ
- 28 Beispiel: Der Stunden-Zeitlohn bei Normalleistung betrage wiederum 10 €/Std., und die Vorgabezeit 10 Std. Es
ergibt sich nun:
Tatsächl.
Zeit
Ersparte
Zeit
Prämie
Brutto
gesamt
10,00 Std.
9,00 Std.
8,00 Std.
7,00 Std.
6,00 Std.
5,00 Std.
4,00 Std.
3,00 Std.
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
0,00 € 100,00 €
9,00 € 99,00 €
16,00 € 96,00 €
21,00 € 91,00 €
24,00 € 84,00 €
25,00 € 75,00 €
24,00 € 64,00 €
21,00 € 51,00 €
2,00 Std.
1,00 Std.
16,00 €
9,00 €
36,00 €
19,00 €
18,00 €
19,00 €
Vergleichsweise kleine Mehrleistungen führen hier schon
zu relativ hohen Prämien.
Brutto
pro Std.
10,00
11,00
12,00
13,00
14,00
15,00
16,00
17,00
80,00%
90,00%
Anmerkung zu den Prämienlohnformen: Die hier vorgestellten Prämienlohnmodelle setzen mechanische Arbeitsgänge mit quantitativem Ergebnis voraus. In dem Maße,
in dem Deutschland deindustrielisiert wird, verlieren
diese Modelle an Bedeutung.
€
€
€
€
€
€
€
€
Vielfach wird Prämienlohn daher nur noch in der Form
einer festen ereignisbezogenen Prämie ausgezahlt.
Produktionsfunktionen:
Analysebereiche der Produktionsfunktionen
Fragestellung
Konstante Größe
Schnitt durch das
Ertragsgebirge
Untersuchungsgegenstand
Welche Kombinationen der Produktionsfaktoren Ausbringungsr1 und r2 erlauben die Herstellung einer gegebenen menge (m)
Ausbringung m?
horizontal
Isoquanten
Wie ändert sich die Ausbringung m in Abhängig- Faktoreinsatzkeit von r1 wenn r2 konstant bleibt (oder umge- menge (r1 oder r2)
kehrt)?
vertikal oder
parallel zu einer
der Achsen
Partielle Faktorvariation
Wie ändert sich die Ausbringung m, wenn r1 und Faktoreinsatzverhältnis (r1:r2)
r2 simultan verändert werden?
vertikal, entlang
der Prozeßgeraden
Totale Faktorvariation
Produktionskennzahlen sind quantitative Beziehungsrelationen über Vorgänge und Umstände im Produktionsbereich
sowie mit Bezügen zu anderen betrieblichen Teilbereichen. Sie sind meistens Sonderfälle der Produktivität. Sie können
Grenznutzenbetrachtungen hinsichtlich der eingesetzten Produktionsfaktoren durchführen und Relationen zwischen
Input-Faktoren und der Ausbringung darstellen. Werden Produktionskennzahlen in Geldeinheiten bewertet, so
beschreiben sie zumeist Produktionsfunktionen. Dabei entstehen oft die für Kostenfunktionen typischen Verläufe.
Übersicht über wichtige Produktionskennzahlen
Begriff
Berechnung
Art der
Analyse
Erläuterung
Grenzrate der
Substitution
dr1
dr2
Analyse der
Isoquanten
Lineare oder nichtlineare Austauschrelation zwischen
Produktionsfaktoren (r) bei konstanter Ausbringungsmenge (m).
Grenzrate der
Produktivität
δm δm
,
δr1 δr2
Analyse der
partiellen Faktorvariation
Analyse der
Variation der Ausbringungs-menge (m) in Abhängigkeit von infinitesimal kleinen Änderungen einer Faktoreinsatzmenge
Variation der Ausbringungs-menge (m) in Abhängigkeit von hinreichend kleinen kleinen Änderungen einer
Faktoreinsatzmenge
Partielles
Grenzprodukt,
Grenzertrag
des variablen
faktors
Durschnittsertrag, Durchschnittsproduktivität,
Produktivität
Produktionskoeffizient
dmr1 =
δm
⋅ dr
δr1 1
dmr 2 =
δm
⋅ dr
δr2 2
e1 =
m
m
, e2 =
r1
r2
Analyse der
Durchschnittlicher Ertrag der eingesetzten Produktionsfaktoren
a1 =
r Analyse der
r1
, a2 = 2 partiellen Faktorm
m
Anzahl der im Produktionsprozeß durchschnittlich notwendigen Faktoreinsatzmengen zur Produktion einer
Einheit m.
variation
© HZ
- 29 10. Betriebswirtschaftliche Optimierung
Lösungshinweis: Als Anfangswert ist für die erste Zeile
oder Spalte zunächst eine 0 einzusetzen. Diese ist die
Grundlage für die Bildung der weiteren Potentiale. Es gibt
aber keine immer richtige Herangehensweise. In vielen
Fällen entstehen während der Festlegung der Randwerte
Widersprüche, die unauflösbar sind. In diesem Fall ist mit
einem neuen Anfangswert und/oder mit einer neuen
Anfangszeile oder -spalte erneut zu beginnen („Schüttelalgorithmus“). Auch wenn nicht immer eine eindeutige Lösung möglich ist, so ist doch immer eine Lösung
vorhanden!
Sogenannte Nordwest-Ecken-Regel zur einfachen Lösung von Transportproblemen:
1. Es ist mit der „Nord-West-Ecke“ X11 zu beginnen.
2. Das zu betrachtende Feld bekommt den maximal
zulässigen Wert. Dieser ist entweder der Bedarf des
Empfängers i oder die Verfügbarkeit Versenders j
minus alle dem Empfänger oder Versender zuvor
bereits zugeordnete Mengen.
3. Ist hierdurch die Verfügbarkeit des Versenders j erschöpft, so wird in das darunterstehende Feld Xi, j+1
der dann noch mögliche maximale Wert eingetragen.
Dieser wird nach Vorschrift 2 bestimmt.
Simplex-Algorithmus zur Optimierung industrieller Produktionsprogramme und Produktionsfaktoreneinsatzverhältnisse bei linearer Substitutionalität:
1. Befindet sich in der Zielzeile (d.h., in der letzten
Zeile) ein negativer Wert? Nein Æ Eine Optimallösung wurde erreicht. Sonst:
4. Ist der Bedarf des Empfängers gedeckt, so ist mit dem
nächsten Empfänger in Feld Xi+1, j nach den Vorschriften 2 und 3 fortzufahren.
Diese Methode erbringt nur eine Basislösung, leistet aber
keine Optimierung!
2. Den kleinsten Wert der Zielzeile aufsuchen. Sind
mehrere Werte zugleich am kleinsten, so kann beliebig verfahren werden.
Vogel’sche Approximationsmethode zur Transportoptimierung:
3. Die Restriktionen durch die Werte der Spalte mit dem
kleinsten Wert der Zielzeile teilen.
1. Von allen Kostenwerten jeder Zeile wird der kleinste
Wert der betreffenden Zeile subtrahiert:
4. Das Pivot-Element ist das, für dessen Zeile in Operation 3. der kleinste Wert entstand. Es ist stets eine 1.
K*ij = Kij - min(Kij); i=1, ..., m
5. An den anderen Elemente der ausgewählten Spalte
Nullen produzieren, indem Vielfache der Zeile mit
dem Pivot-Element zu den zu bearbeitenden anderen
Zeilen zu addieren sind.
2. Von allen K*ij jeder Spalte der so erhaltenen Tabelle
wird der kleinste Spaltenwert abgezogen:
K'ij = K*ij - min(K*ij); i=1, ..., n
6. Mit Operation 1 erneut beginnen.
3. Für jede Zeile und jede Spalte der so erhaltenen
Tabelle der K'ij-Werte bestimmt man nun die Differenz zwischen den beiden kleinsten Werten.
Erscheint in der Zielzeile einer Basisvariable eine 0, so
liegt Mehrdeutigkeit vor. Ergibt sich für eine Basisvariable der Wert 0, so besteht Degeneration.
4. In der Zeile bzw. Spalte mit der größten Differenz
besetzt man das Feld mit dem kleinsten K'ij-Wert mit
der größtmöglichen Menge.
Das Verfahren kann für Maximierungs- und Minimierungsaufgaben gleichermaßen Verwendung finden. Es
kommt dabei lediglich auf die Ablesung an!
5. Die Spalte bzw. Zeile, deren Beschränkung durch
Schritt 4. erfüllt ist, wird gestrichen und für die so
reduzierte Tabelle ist mit Schritt 3. fortzufahren.
11. Volkswirtschaft
Preisniveau:
Methode der Potentiale zur Optimalitätsprüfung:
Preisniveaustabilität als volkswirtschaftliches Ziel bedeutet nur, daß die Größe P stabil bleibt, nicht aber jeder
einzelne Preis:
1. Zu jeder Zeile und zu jeder Spalte der Kostentabelle
ist ein Potential ui bzw. vj zu berechnen und zwar
derart, daß für alle besetzten Felder (d.h., alle Felder
mit Variablen der Basislösung) gilt: Kij = ui + vj.
n
2. Für alle unbenutzten Felder (d.h., alls Nicht-Basisvariablen) ist aus den Potentialen ein Kostenänderungswert ∆Kij = Kij - ui - vj zu berechnen. Dieser Wert
gibt an, um wieviel sich die Kosten ändern, wenn man
einen gegenwärtig unbenutzten Transportweg durch
Änderung des Transportplanes in Anspruch nähme.
P=
∑( p ⋅ x )
i =1
i
i
n
∑x
i =1
i
Laspeyres-Index:
Es wird über die Zeit hinweg ermittelt, was ein bestimmter, konstanter Warenkorb q mit Preisen p aus dem
Basisjahr 0 in den Folgejahren t1, t2, ..., tn kostet:
3. Eine Lösung ist optimal, in der keine negativen ∆Kij
vorkommen. Kommen negative ∆Kij vor, so ist (z.B.
durch Vogel’sche Approximation) eine neue Basislösung zu bilden und mit Vorschrift 1 erneut zu beginnen.
Plast =
© HZ
pt ⋅ q0
p0 ⋅ q0
- 30 Paasche-Index:
Reales Bruttonationaleinkommen:
Es wird über die Zeit hinweg ermittelt, was der für jedes
Jahr t neu zu bildende Warenkorb q mit Preisen p der
Zeitpunkte t1, t2, ..., tn jeweils im Basisjahr 0 gekostet
hätte:
Yreal =
Ppaat
Die Änderung der Terminologie hat im wesentlichen den
Zweck der internationalen Vereinheitlichung.
p ⋅q
= t t
p0 ⋅ qt
Volkswirtschaftliche Gesamtgleichung:
Y + Im = C pr + C st + I pr + I st − Ex
Volkswirtschaftliche Gesamtrechnung:
Der Begriff „Bruttosozialprodukt“ (BSP) wurde gegen
den Begriff „Bruttonationaleinkommen“ ersetzt, das
Berechnungsschema hat sich aber nicht verändert:
+
±
=
–
=
+
+
=
+
=
–
=
–
+
=
Ynom
P
Grundgleichung Geldtheorie (sog. Monetarismusformel):
M ⋅ v = P ⋅Y
Verkäufe (Umsatz)
Selbsterstellte Anlagen
Änderungen der Vorräte
Produktionswert
Vorleistungen (Produktionskosten)
Bruttowertschöpfung
nichtabzugsfähige Umsatzsteuer
Einfuhrabgaben
Bruttoinlandsprodukt
Einkommen aus der übrigen Welt
Bruttonationaleinkommen
Abschreibungen
Nettonationaleinkommen
Indirekte Steuern
Subventionen
Volkseinkommen
Volkswirtschaftliche Geldmengendefinitionen:
M1 = Nominalwert aller Münzen und Scheine
M2 = M1 + Sichtguthaben
M3 = M2 + Kurzfristige Terminguthaben
M4 = M3 + Langfristige Terminguthaben
Es gilt stets:
M1 < M 2 < M 3 < M 4
und
∆M 1 < ∆M 2 < ∆M 3 < ∆M 4
Dies besagt, daß zwischen den Geldmengen Multiplikatoren bestehen. Eine kleine Änderung einer Geldmenge
führt also stets zu einer entsprechend größeren Änderung
Schematische Übersicht über die Volkswirtschaftliche Gesamtrechnung
Entstehungsrechnung
Beitrag der
Unternehmen zum
Verwendungsrechnung
Güterproduktion für
privaten
Konsum
Privater Konsum
Investitionsgüterproduktion
Private Investition
Staatl.
Bruttoinvestition
Produktion
von Vorleistungen
für den
Staat
Beitrag des
Staates
zum
Staatliche
Vorleistungskäufe
Sachausgaben des
Staates
Verteilungsrechnung
Privat
verfügbarer
Anteil am
Staatl.
Bruttoinvestition
Staatsverbrauch
Löhne und sonstige
Personalausgaben des
Staates
© HZ
HH-Defizit
Gesamtausgaben
des Staates
für Güter
und
Dienste:
Staatshaushalt
Indirekte
Steuern
minus
Subventionen
Direkte
Steuern
minus
Transferleistungen
Nettoübertragung an
den Staat
(Staatsquote)
- 31 der nachfolgenden Geldmengen. Dies ist die theoretische
Begründung u.a. für das Verbot der Zinseszinsen (§248
BGB), aber zugleich auch die Begründung der hohen
Wirksamkeit der Zins- und der Mindestreservepolitik.
Die zum Teil riesigen Geldmengen, die sich in Derivatgeschäften bewegen, sind so lange volkswirtschaftlich
unschädlich, wie sie sich im Bereich der Geldmengen M3
und M4 bewegen. Platzt die Spekulationsblase, dann
erscheinen die in Derivaten gebundenen Geldmengen in
den Geldmengen M1 und M2. Dies hätte eine explosionsartige Wirkung auf das Preisniveau. Wir haben also
bereits seit Jahren eine latente Hyperinflation, die (noch
für ein paar weitere Jahre) abzuwehren die wahre Aufgabe
der sogenannten Treibhausgasemissionsberechtigungen
ist, denn hierdurch entsteht ein neues Derivatgeschäft,
das aber hinsichtlich Wert und Knappheit administrativ
steuerbar ist.
12. Anhang
12.1. Verzeichnis der Symbole
Abkürzungen und Symbole in griechischen Buchstaben
befinden sich am Ende dieser Zusammenfassung.
a
= Annuität; gleichbleibende Gesamtsumme aus Zins und Tilgung eines Kredites oder Darlehens. Der Tilgungsanteil nimmt
über die Zeit zu und der Zinsanteil ab.
a
= Flächenbeanspruchungskoeffizient; Platzbedarf eines gelagerten Gegenstandes in m² oder m³.
A
= Angebot an einem Gut.
AB
= Anfangsbestand (in einem Lager).
AfA
= Absetzung für Abnutzung, z.B. nach §7 EStG oder nach §253
HGB.
AK
= Anschaffungskosten i.S.d. §§253 Abs. 1, 255 Abs. 1 HGB.
At
= Auszahlungen zum Zeitpunkt t.
AV
= Anlagevermögen; Vermögen, das dazu bestimmt ist, dem
Unternehmen langfristig zu dienen (§247 Abs. 2 HGB).
B
= Bestellintervall; bei regelmäßigem Bestellverhalten der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Bestellungen.
BSC
= Balanced Scorecard.
C
= Ein Kapitalbetrag, auch: Kapitalbarwert.
C0
= Kapitalanfangsbetrag.
= Kapitalendbetrag, z.B. nach Verzinsung.
Cn
Cpr
= Privater Konsum.
Cst
= Staatlicher Konsum.
CW
= Working Capital.
D
= Disagio (Damnum), bei Darlehen oder Anleihen, in % angegeben.
D
= Diskont, z.B. Wechseldiskont.
DB
= Deckungsbeitrag. Heißt so, weil der die Fixkosten (ÆKfix)
decken soll.
e
= Elastizitätskoeffizient, Rückgang der Nachfrage nach einem
Gut, der aus einem bestimmten Preisanstieg (z.B. um 1 €)
resultiert. Die Größe e geht gegen 0 bei lebensnotwendigen-,
Sucht-, Sammler- und manchen Modegütern und ist groß z.B.
bei vielen Luxusartikeln.
e
= Euler'sche Zahl: e = 2,71812818
EigenK = Eigenkapital, Summe aus Gezeichnetem Kapital, Rücklagen
und Gewinn i.S.d. §266 HGB.
EB
= Eiserner Bestand; Lagerbestand, der bei normaler Betriebstätigkeit nicht angetastet werden sollte und zur Überbrückung
von Lieferengpässen oder erhöhter Nachfrage dient.
EBIT = Earnings before Interest and Taxes.
EBITDA= Earnings before Interest, Taxes, Depreciation and Amortization.
EK
= Eigenkapital (in der Bilanzanalyse).
EK
= Einzelkosten; Kosten, die einem Produkt direkt zurechenbar
sind.
Et
= Einzahlungen zum Zeitpunkt t.
EVA
= Economic Value Added.
Ex
= Export.
FGK
FL
FM
FremdK
G
GesK
GK
=
=
=
=
=
=
=
GK
h
=
=
HB
HK
HKP
HKU
=
=
=
=
i
=
ieff
iFK
=
=
Im
inom
Ipr
Ist
j
=
=
=
=
=
KA
KB
KE
Kfix
=
=
=
=
Kfr.FK =
Kfr.Ford =
=
KL
Kvar
=
l
=
LDmax =
Lfr.FK =
LU
=
m
=
M
=
M
=
MaGKges
MB
=
© HZ
MGK
MGZ
Mopt
MVA
n
=
=
=
=
=
N
NM
=
=
P
P
P
=
=
=
Plas
Popt
=
=
Fertigungsgemeinkosten.
Fertigungslöhne.
Fertigungsmaterial.
Fremdkapital.
Gewinn
Gesamtkapital = EigenK + FremdK.
Gemeinkosten; Kosten, die einem Produkt nicht direkt zurechenbar sind.
Gesamtkapital (in der Bilanzanalyse).
Häufigkeit des Auftretens von Merkmalsausprägungen (z.B.
in einer Klasse)
Höchstbestand; Maximalkapazität eines Lagers.
Herstellkosten.
Herstellkosten der Produktion i.S.d. §256 HGB.
Herstellkosten des Umsatzes i.S.d. §256 HGB; ist in Handwerks- und einzelfertigenden Betrieben zumeist mit HKP
identisch.
Zinssatz in %. Wichtig: i wird angegeben ohne mit 100 zu
multiplizieren; i=0,5 = 50% !
In Verbindung mit dem Summenzeichen Σ ist i in der Regel ein
Zähler.
Effektivzins; bedeutungsgleich mit r^.
Fremdkapitalzins, tatsächlicher Durchschnittswert (in Formel
für Leverage-Effect)
Import.
Nominalzins.
Private Investition.
Staatliche Investition.
In der Lagerkostenberechnung die kalkulatorischen Zinsen
des Lagers; zu bestimmen aufgrund von Rmin.
Auszahlungskurs (eines Darlehens).
Bestellkosten.
Kosten des Einkaufes.
Fixe Kosten; Kosten, die bei höherem oder geringerem Umsatz
konstant bleiben. Das heißt nicht, daß Fixkosten immer gleich
blieben! Fixkosten sind stets Gemeinkosten (ÆGK).
Kurzfristiges Fremdkapital; traditionell solches, das binnen 6
Monaten zurückgezahlt werden muß (Kurzfristigkeitsgrenze).
Kurzfristige Forderungen.
Kosten der Lagerung.
Variable Kosten; umsatzproportionale Kosten. Einzelkosten
(ÆEK) sind immer, ausnahmslos variable Kosten, während
Gemeinkosten (ÆGK) nur einen kleinen variablen Kostenanteil haben.
In der Lagerkostenberechnung der Materialgemeinkostenzuschlagssatz (MGZ) ohne Berücksichtigung der kalkulatorischen Zinsen.
Maximale Lagerdauer eines Produktes.
Langfristiges Fremdkapital, d.h., alle Schulden, die Zahlungsfristen von 6 Monaten oder länger haben.
Lagerumschlagshäufigkeit; durchschnittliche "Umwälzgeschwindigkeit" eines Lagers.
Klassenmitte
Tatsächliche Bestellmenge eines Produktes.
Geldmenge (allgemein).
Maschinenabhängige Gemeinkosten gesamt.
Meldebestand; Lagerbestand, bei dem eine Meldung an die
Einkaufsabteilung zu schreiben ist.
Materialgemeinkosten
Materialgemeinkostenzuschlagssatz Æ ZS.
Optimale Bestellmenge eines Produktes.
Market Value Added.
Eine Zahl von Rechnungsperioden, z.B. die Zeit, über die eine
Verzinsung oder eine Abschreibung läuft.
Nachfrage nach einem Gut.
Maximalnachfrage. Nachfrage, die potientiell überhaupt vorhanden ist. NM tritt ein bei P=0.
Preis eines Gutes.
Probability, Wahrscheinlichkeit, von 0% bis 100%.
Preisniveau, d.h., gewogenes Mittel aller Preise. In der Realität durch Paasche-, Laspeyres- oder ähnliches Indexverfahren
ermittelt.
Laspeyres-Index.
Optimaler Verkaufspreis, Verkaufspreis, bei dem ein maximaler Gewinn erzielt wird.
- 32 Ppaa
Pvk
q
R
R
r^
R0
Rn
Rmin
Rt
SB
SW
t
tf
TL
UV
= Paasche-Index.
= Verkaufspreis, Umsatz für ein einzelnes verkauftes Produkt.
Wichtig: Der Umsatz wird im Rechnungswesen gebucht,
wenn der Kaufvertrag besteht und die Rechnung geschrieben
wurde, nicht erst bei Zahlung des Betrages!
= Preis; in der Bestellmengenformel der Preis des zu beschaffenden Gutes. Die Symbole P und q werden gleichbedeutend für
den Preis eines Gutes eingesetzt. q tritt ein, wenn das Symbol
P bereits anderweitig verwandt wurde.
= Rentabilität.
= Rente.
= Interner Zinsfuß, d.h., der Zinsfuß, bei dem gilt C=0.
= Rentenbarwert
= Rentenendwert
= Mindestkapitalrentabilität eines Betriebes. Diese ergibt sich
aus einem entsprechenden Kapitalanlageguthabenzins, der für
einer mit der Bilanzsumme vergleichbare Summe zu erzielen
wäre, plus einer Zulage für das allgemeine unternehmerische
Risiko.
= Rentenzeitwert zum Zeitpunkt t.
= Schlußbestand (in einem Lager).
= Schrottwert einer Anlage nach Ende der Abschreibung. Kann
null sein, kann kleiner null sein (Beseitigungskosten!) oder
sogar höher als die Anschaffungskosten (Immobilie). In letzterem Fall spricht man auch besser von einem Wiederverkaufswert.
= Ein Zeitpunkt im Bereich 0...n.
= Tilgungsfreie Zeit (bei Darlehen).
= Gesamtlieferzeit (d.h., vom Auslösen der Bestellung bis zum
Eingang der Lieferung).
= Umlaufvermögen; alle Vermögensgegenstände, die nicht zum
Anlagevermögen (Æ AV) gehören.
v
V
Vt
VtGK
VwGK
WBW
=
=
=
=
=
=
X
Xi
=
=
Xmin
=
Y
Ynom
=
=
Yreal
=
ZS
=
∅B
∅LD
=
=
Geldumlaufgeschwindigkeit.
Verbrauch.
Tagesverbrauch.
Vertriebsgemeinkosten.
Verwaltungsgemeinkosten.
Wiederbeschaffungswert einer Anlage. Sieser kann höher sein
als Anschaffungswert (Immobilien!) oder niedriger (EDVAnlagen).
Menge, Stückzahl eines Produktes.
In statistischen Formeln eine Merkmalsausprägung. Als sog.
Merkmalsausprägung bezeichnet man den konkreten für eine
Variable zu einem bestimmten Zeitpunkt gemessenen Wert.
Minimale Stückzahl zur Erzielung von Gewinn = Break Even
Punkt.
Bruttonationaleinkommen (ehemals Bruttosozialprodukt).
Nominales Bruttonationaleinkommen, d.h., Bruttonationaleinkommen zu den Preisen des jeweiligen Wirtschaftsjahres.
Reales Bruttonationaleinkommen, d.h., inflationsbereinigtes
Bruttonationaleinkommen zu den Preisen eines Basisjahres.
Zuschlagssatz; Verhältnis zwischen Einzel- und Gemeinkosten in einer Kostenstelle.
Durchschnittsbestand (in einem Lager).
Durchschnittliche Lagerdauer (in einem Lager) in Tagen.
Abkürzungen und Symbole in griechischen Buchstaben:
α
λ
λ
µ
σ
© HZ
=
=
=
=
=
Glättungsfaktor bei exponentieller Glättung.
Interdependenter Faktor in der simultanen Lagerplanung.
Wahrscheinlichkeit in der Poisson-Verteilung.
Mittelwert.
Standardabweichung.
σ
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
0
0,00000%
3,98279%
7,92597%
11,79114%
15,54217%
19,14625%
22,57469%
25,80364%
28,81447%
31,59399%
34,13447%
36,43339%
38,49303%
40,31995%
41,92433%
43,31928%
44,52007%
45,54346%
46,40697%
47,12835%
47,72499%
48,21356%
48,60966%
48,92759%
49,18025%
49,37903%
49,53388%
49,65330%
49,74448%
49,81341%
49,86500%
1
0,39894%
4,37954%
8,31661%
12,17195%
15,90970%
19,49743%
22,90692%
26,11480%
29,10300%
31,85888%
34,37523%
36,65004%
38,68605%
40,49020%
42,07301%
43,44783%
44,63011%
45,63671%
46,48522%
47,19335%
47,77845%
48,25709%
48,64475%
48,95559%
49,20237%
49,39634%
49,54729%
49,66358%
49,75229%
49,81928%
49,86937%
2
0,79784%
4,77585%
8,70644%
12,55158%
16,27572%
19,84682%
23,23712%
26,42376%
29,38920%
32,12136%
34,61358%
36,86431%
38,87675%
40,65824%
42,21961%
43,57445%
44,73839%
45,72838%
46,56206%
47,25711%
47,83084%
48,29970%
48,67907%
48,98296%
49,22397%
49,41322%
49,56035%
49,67359%
49,75988%
49,82498%
49,87361%
3
1,19665%
5,17168%
9,09541%
12,93000%
16,64021%
20,19441%
23,56528%
26,73050%
29,67307%
32,38145%
34,84950%
37,07618%
39,06514%
40,82408%
42,36414%
43,69916%
44,84493%
45,81849%
46,63751%
47,31967%
47,88218%
48,34143%
48,71263%
49,00969%
49,24506%
49,42969%
49,57307%
49,68332%
49,76725%
49,83051%
49,87772%
4
1,59535%
5,56700%
9,48348%
13,30717%
17,00314%
20,54015%
23,89138%
27,03501%
29,95459%
32,63912%
35,08300%
37,28568%
39,25122%
40,98773%
42,50663%
43,82198%
44,94974%
45,90705%
46,71159%
47,38102%
47,93249%
48,38227%
48,74546%
49,03582%
49,26564%
49,44574%
49,58547%
49,69280%
49,77443%
49,83589%
49,88170%
5
1,99389%
5,96177%
9,87063%
13,68306%
17,36448%
20,88403%
24,21540%
27,33727%
30,23375%
32,89439%
35,31409%
37,49280%
39,43502%
41,14919%
42,64707%
43,94292%
45,05285%
45,99409%
46,78433%
47,44120%
47,98179%
48,42224%
48,77756%
49,06133%
49,28572%
49,46138%
49,59754%
49,70202%
49,78140%
49,84111%
49,88557%
6
2,39223%
6,35595%
10,25681%
14,05764%
17,72419%
21,22603%
24,53732%
27,63728%
30,51055%
33,14724%
35,54277%
37,69755%
39,61653%
41,30850%
42,78549%
44,06200%
45,15428%
46,07961%
46,85573%
47,50022%
48,03008%
48,46137%
48,80894%
49,08625%
49,30531%
49,47664%
49,60929%
49,71099%
49,78817%
49,84617%
49,88932%
7
2,79032%
6,74949%
10,64198%
14,43087%
18,08225%
21,56612%
24,85712%
27,93501%
30,78498%
33,39768%
35,76903%
37,89995%
39,79576%
41,46565%
42,92191%
44,17924%
45,25403%
46,16365%
46,92582%
47,55809%
48,07739%
48,49966%
48,83962%
49,11060%
49,32443%
49,49150%
49,62074%
49,71971%
49,79476%
49,85109%
49,89296%
Wertereihe µ bis σ - Interpretation: Vom Mittelwert bis zum angegebenen σ-Wert liegen ... % der Fälle.
12.2. Tabelle der Gauß’schen Normalverteilung
8
3,18814%
7,14237%
11,02612%
14,80272%
18,43863%
21,90427%
25,17478%
28,23046%
31,05704%
33,64569%
35,99289%
38,09998%
39,97274%
41,62066%
43,05633%
44,29466%
45,35214%
46,24621%
46,99460%
47,61483%
48,12373%
48,53713%
48,86962%
49,13437%
49,34309%
49,50600%
49,63188%
49,72820%
49,80116%
49,85587%
49,89649%
9
3,58565%
7,53454%
11,40918%
15,17317%
18,79331%
22,24047%
25,49030%
28,52362%
31,32671%
33,89129%
36,21434%
38,29767%
40,14746%
41,77355%
43,18879%
44,40826%
45,44861%
46,32731%
47,06211%
47,67046%
48,16912%
48,57379%
48,89894%
49,15758%
49,36128%
49,52012%
49,64274%
49,73645%
49,80737%
49,86050%
49,89991%
- 33 -
© HZ
- 34 -
12.3. Tabelle der Binomialverteilung
für n = 1, 2, 3, 4, 5, 10 und 20
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
0
1
,900000
,100000
,800000
,200000
,700000
,300000
,600000
,400000
,500000
,500000
,400000
,600000
,300000
,700000
,200000
,800000
,100000
,900000
0
1
2
,810000
,180000
,010000
,640000
,320000
,040000
,490000
,420000
,090000
,360000
,480000
,160000
,250000
,500000
,250000
,160000
,480000
,360000
,090000
,420000
,490000
,040000
,320000
,640000
,010000
,180000
,810000
0
1
2
3
,729000
,243000
,027000
,001000
,512000
,384000
,096000
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,343000
,441000
,189000
,027000
,216000
,432000
,288000
,064000
,125000
,375000
,375000
,125000
,064000
,288000
,432000
,216000
,027000
,189000
,441000
,343000
,008000
,096000
,384000
,512000
,001000
,027000
,243000
,729000
0
1
2
3
4
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,291600
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,000100
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,409600
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,025600
,001600
,240100
,411600
,264600
,075600
,008100
,129600
,345600
,345600
,153600
,025600
,062500
,250000
,375000
,250000
,062500
,025600
,153600
,345600
,345600
,129600
,008100
,075600
,264600
,411600
,240100
,001600
,025600
,153600
,409600
,409600
,000100
,003600
,048600
,291600
,656100
0
1
2
3
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5
,590490
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,312500
,312500
,156250
,031250
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,230400
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,259200
,077760
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,051200
,204800
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,000450
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,205078
,117188
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,000977
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9
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11
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13
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18
19
20
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© HZ
- 35 -
für n = 15 und 25
10%
20%
30%
40%
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