2.2 Rauschen, Langevin-Gleichung, Fokker-Planck

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Rauschen
mikroskopische Beschreibung
makroskopische Beschreibung
2.2 Rauschen, Langevin-Gleichung,
Fokker-Planck-Gleichung.
Seminar: Theoretische Mechanik – Prof. Dr. Mielke
WS 2008/2009
Karsten Pufahl
19.11.2008
Rauschen
1
Rauschen
Was ist Rauschen?
2
Bewegungsgleichung
Stochastische Kraft
Lösung
Fluktuations-Dissipations Theorem
3
makroskopische Beschereibung
Wahrscheinlichkeitsdichte für deterministische Bewegung
Wahrscheinlichkeitsdichte für nicht-deterministische
Bewegung
Fokker-Planck-Gleichung
Beispiele
Rauschen
Was ist Rauschen?
Störung
Rauschen
Was ist Rauschen?
Störung
zufällig
Rauschen
Was ist Rauschen?
Störung
zufällig
verschiedene Arten ( dw
dν = Spektrale Leistungsdichte)
Rauschen
Was ist Rauschen?
Störung
zufällig
Wärmerauschen
dw
dν
= const.
Rauschen
Was ist Rauschen?
Störung
zufällig
Wärmerauschen dw
dν = const.
1
dw
1
f -Rauschen dν ∼ f
Rauschen
Was ist Rauschen?
Störung
zufällig
Wärmerauschen dw
dν = const.
1
dw
1
f -Rauschen dν ∼ f
1
dw
1
f 2 -Rauschen dν ∼ f 2
Rauschen
Fußball
Abbildung: Fußball auf dem Spielfeld
Rauschen
Fußball
Abbildung: Fußball auf dem Spielfeld
m · v̇ = F
Rauschen
Beispiel eines kleinen Teilchens
m · v̇ = F
Rauschen
m · v̇ = F
Kraft F wird ersetzt durch einzelne Stoßkräfte Φj
Φj = ϕδ(t − tj )
Rauschen
m · v̇ = F
mv̇ = ϕδ(t − tj )
Rauschen
m · v̇ = F
Z
tj +0
Z
tj +0
mv̇ dτ =
tj −0
tj −0
ϕδ(t − t0 )dτ
Rauschen
m · v̇ = F
Z
tj +0
Z
tj +0
mv̇ dτ =
tj −0
ϕδ(t − t0 )dτ
tj −0
mv(tj + 0) − mv(tj − 0) ≡ m∆v = ϕ
Rauschen
Random Walk“
”
Φ(t) = ϕ
X
j
δ(t − tj )
Rauschen
Random Walk“
”
Φ(t) = ϕ
X
δ(t − tj )
j
nach dem Prinzip des Random Walk“ (2 Richtungen)
”
Rauschen
Random Walk“
”
Φ(t) = ϕ
X
δ(t − tj )
j
”
X
Ψ(t) = ϕ
δ(t − tj )(±1)j
j
Rauschen
Random Walk“
”
Φ(t) = ϕ
X
δ(t − tj )
j
”
X
Ψ(t) = ϕ
δ(t − tj )(±1)j
j
mv̇ = −γv + Ψ(t)
v̇ = −αv + F (t)
mit: α =
γ
m
Rauschen
Random Walk“
”
Φ(t) = ϕ
X
δ(t − tj )
j
”
X
Ψ(t) = ϕ
δ(t − tj )(±1)j
j
mv̇ = −γv + Ψ(t)
v̇ = −αv + F (t)
mit: α =
F (t) ≡
γ
m
1
ϕX
Ψ=
δ(t − tj )(±1)j
m
m
j
Rauschen
Erwartungswert und Korrelation
Der Erwartungswert von F muss verschwinden:
hF (t)i = 0
Rauschen
Erwartungswert und Korrelation
Der Erwartungswert von F muss verschwinden:
hF (t)i = 0
hF (t)F (t0 )i =
ϕ2
δ(t − t0 ) = Cδ(t − t0 )
m2 t0
Rauschen
Lösung der Langevin Gleichung
Die Lösung von
v̇ = −αv + F (t)
ist
Rauschen
Lösung der Langevin Gleichung
Die Lösung von
v̇ = −αv + F (t)
ist
Z
v(t) =
0
t
e−α(t−τ ) F (τ ) dτ + v(0)e−tα
Rauschen
mittlere Kinetische Energie des Teilchens
Die mittlere kinetische Energie ist
m 2
2 hv i
Rauschen
2
Die mittlere kinetische Energie ist m
2 hv i
mit der Lösung von v(t):
Z t
Z t
m
0
e−α(t−τ ) F (τ ) dτ
e−α(t−τ ) F (τ 0 ) dτ 0
2
0
0
Rauschen
2
2 hv i
Z t
Z t
m
0
e−α(t−τ ) F (τ 0 ) dτ 0
2
0
0
ersetze die Kräfte durch
hF (τ )F (τ 0 )i = Cδ(τ − τ 0 )
Rauschen
2
2 hv i
Z t
Z t
m
0
e−α(t−τ ) F (τ 0 ) dτ 0
2
0
0
ersetze die Kräfte durch
hF (τ )F (τ 0 )i = Cδ(τ − τ 0 )
m
m 2
hv i =
2
2
Z tZ
0
0
t
0
dτ dτ 0 e−2αt+α(τ +τ ) Cδ(τ − τ 0 )
Rauschen
Fluktuationskonstante C
m 1
m 2
hv i = C (1 − e−2αt )
2
2 2α
Rauschen
m 1
m 2
hv i = C (1 − e−2αt )
2
2 2α
Für große t:
m 2
m2 C
hv i =
2
4γ
Rauschen
m 1
m 2
hv i = C (1 − e−2αt )
2
2 2α
Für große t:
m 2
m2 C
hv i =
2
4γ
Thermisches Gleichgewicht: ⇒ Ekin = Etherm
Rauschen
m 1
m 2
hv i = C (1 − e−2αt )
2
2 2α
Für große t:
m 2
m2 C
hv i =
2
4γ
⇔
1
m 2
hv i = kb T
2
2
Rauschen
m 1
m 2
hv i = C (1 − e−2αt )
2
2 2α
Für große t:
m 2
m2 C
hv i =
2
4γ
⇔
Fluktuationskonstante C:
1
m 2
hv i = kb T
2
2
Rauschen
m 1
m 2
hv i = C (1 − e−2αt )
2
2 2α
Für große t:
m 2
m2 C
hv i =
2
4γ
⇔
1
m 2
hv i = kb T
2
2
Fluktuationskonstante C:
C=
2γ
kb T
m2
Rauschen
Herleitung der Wahrscheinlichkeitsdichte
Bewegungsgleichung bei sehr starker Dämpfung (K(q) >> mq̈)
q̇(t) = K(q(t))
Rauschen
q̇(t) = K(q(t))
Wahrscheinlichkeitsdichte:
P (q, t) = δ(q − q(t))
Rauschen
q̇(t) = K(q(t))
Wahrscheinlichkeitsdichte:
P (q, t) = δ(q − q(t))
Zeitliche Änderung:
Ṗ (q, t) =
(Kettenregel)
d
δ(q − q(t))q̇(t)
dq(t)
Rauschen
Ersetze
d
δ(q − q(t))q̇(t)
dq(t)
durch
−
d
δ(q − q(t))q̇(t)
dq
Rauschen
Ersetze
d
δ(q − q(t))q̇(t)
dq(t)
durch
−
d
δ(q − q(t))q̇(t)
dq
Mit der Bewegungsgleichung...
q̇(t) = K(q(t))
Rauschen
Kontinuitätsgleichung der Wahrscheinlichkeitsdichte
Ṗ (q, t) = −
d
(K(q)P )
dq
Rauschen
Ṗ (q, t) = −
d
(K(q)P )
dq
mit
~q = (q1 , . . . , qn )
q˙i = Ki (~q), mit i = 1, . . . , n
Rauschen
Ṗ (q, t) = −
d
(K(q)P )
dq
mit
~q = (q1 , . . . , qn )
q˙i = Ki (~q), mit i = 1, . . . , n
Kontinuitätsgleichung:
~
Ṗ (~q, t) = −∇q~(P K)
Rauschen
Summation über alle Pfade
P1 (q, t) = δ(q − q1 (t))
Rauschen
P1 (q, t) = δ(q − q1 (t))
P2 (q, t) = δ(q − q2 (t)) . . .
Rauschen
P1 (q, t) = δ(q − q1 (t))
P2 (q, t) = δ(q − q2 (t)) . . .
f (q, t) = hP (q, t)i
Rauschen
P1 (q, t) = δ(q − q1 (t))
P2 (q, t) = δ(q − q2 (t)) . . .
f (q, t) = hP (q, t)i
f (q, t) =
X
i
pi δ(q − qi (t))
Rauschen
P1 (q, t) = δ(q − q1 (t))
P2 (q, t) = δ(q − q2 (t)) . . .
f (q, t) = hP (q, t)i
f (q, t) =
X
pi δ(q − qi (t))
i
f (q, t) = hδ(q − q(t))i
Rauschen
Änderung der Wahrscheinlichkeitsdichte
∆f (q, t) ≡ f (q, t + ∆t) − f (q, t)
Rauschen
∆f (q, t) ≡ f (q, t + ∆t) − f (q, t)
∆f (q, t) = hδ(q − q(t + ∆t))i − hδq − q(t)i
Rauschen
∆f (q, t) ≡ f (q, t + ∆t) − f (q, t)
q(t + ∆t) = q(t) + ∆q(t)
Rauschen
∆f (q, t) ≡ f (q, t + ∆t) − f (q, t)
q(t + ∆t) = q(t) + ∆q(t)
Entwicklung bis zur 2. Ordnung in ∆q(t)
Rauschen
∆f (q, t) ≡ f (q, t + ∆t) − f (q, t)
q(t + ∆t) = q(t) + ∆q(t)
Entwicklung bis zur 2. Ordnung in ∆q(t)
d
∆f (q, t) =
− δ(q − q(t)) ∆q(t)
dq
1
d2
2
+
− 2 δ(q − q(t)) (∆q(t))
2
dq
Rauschen
mit der Langevin-Gleichung
q̇(t) = −γq(t) + F (t)
Rauschen
q̇(t) = −γq(t) + F (t)
Z
t+∆t
q̇(t) dt ≡ ∆q
t
Rauschen
q̇(t) = −γq(t) + F (t)
Z
t+∆t
q̇(t) dt ≡ ∆q
t
eingesetzt in die Entwicklung liefert:
df
d
1 d2
= (γqf ) + Q 2 f
dt
dq
2 dq
Rauschen
q̇(t) = −γq(t) + F (t)
Z
t+∆t
q̇(t) dt ≡ ∆q
t
eingesetzt in die Entwicklung liefert:
df
d
1 d2
= (γqf ) + Q 2 f
dt
dq
2 dq
⇒ Fokker-Planck-Gleichung
Rauschen
Beispiellösung
fHq, tL
-2
-1
0
1
q
2
Rauschen
FPG mit stochastischer Kraft
mit δ korrelierter Kraft hF (t)F (t0 )i = Cδ(t − t0 )
Rauschen
und Langevin Gleichung
q̇i = Ki (~q) + Fi (t)
Rauschen
und Langevin Gleichung
q̇i = Ki (~q) + Fi (t)
X
∂2
~ )+ 1
f˙ = −∇q~(Kf
Qij
f
2
∂qi ∂qj
ij
Rauschen
FPG als Kontinuitätsgleichung
f˙ +
n
n
X
∂f
∂
1X
Kk f −
Qkl
=0
∂qk
2
∂ql
k=1
l=1
Rauschen
f˙ +
n
n
X
∂f
∂
1X
Kk f −
Qkl
=0
∂qk
2
∂ql
k=1
l=1
1 df
j = Kf − Q
2 dq
Rauschen
f˙ +
n
n
X
∂f
∂
1X
Kk f −
Qkl
=0
∂qk
2
∂ql
k=1
l=1
1 df
j = Kf − Q
2 dq
d
f˙ + j = 0
dq
Rauschen
f˙ +
n
n
X
∂f
∂
1X
Kk f −
Qkl
=0
∂qk
2
∂ql
k=1
l=1
1 df
j = Kf − Q
2 dq
d
f˙ + j = 0
dq
~j = (j1 , j2 , . . . , jn )
Rauschen
f˙ +
n
n
X
∂f
∂
1X
Kk f −
Qkl
=0
∂qk
2
∂ql
k=1
l=1
1 df
j = Kf − Q
2 dq
d
f˙ + j = 0
dq
~j = (j1 , j2 , . . . , jn )
n
jk = Kk f −
1X
∂f
Qkl
2
∂ql
l=1
Rauschen
f˙ +
n
n
X
∂f
∂
1X
Kk f −
Qkl
=0
∂qk
2
∂ql
k=1
l=1
1 df
j = Kf − Q
2 dq
d
f˙ + j = 0
dq
~j = (j1 , j2 , . . . , jn )
n
jk = Kk f −
1X
∂f
Qkl
2
∂ql
l=1
f˙ + ∇q~ · ~j = 0
Rauschen
stationäre Lösung (1-dim.)
da f˙ = 0 muss gelten
Rauschen
j = const.
Rauschen
j = const.
Annahme: f → 0 für q → ±∞
Rauschen
j = const.
1 df
Q = Kf
2 dq
Rauschen
j = const.
1 df
Q = Kf
2 dq
Z q
V (q) = −
K(q) dq
qo
Rauschen
j = const.
1 df
Q = Kf
2 dq
Z q
V (q) = −
K(q) dq
qo
f (q) = N exp
{
−2V (q)
}
Q
Rauschen
Der n-dim Fall ist analog zum 1-dim.
Mit zusätzlichen Annahmen:
Rauschen
~ k sei konservativ
K
Rauschen
~ k sei konservativ
K
Qkl sei isotrop
Rauschen
~ k sei konservativ
K
Qkl sei isotrop
f (~q) = N exp
{
−2V (~
q)
}
Q
Rauschen
Harmonischer Oszillator
K(q) = −αq
Rauschen
Harmonischer Oszillator
K(q) = −αq
zugehöriges Potential
V (q) =
α 2
q
2
Rauschen
2
q2
fHq1, q2L
1
0
-1
1.0
-2
0.5
0.0
-2
-1
0
q1
1
2
Abbildung: Potential V (q)
Rauschen
fHq1, q2L
1.0
0.5
2
1
0
0.0
-2
-1
q2
-1
0
q1
1
2
-2
Abbildung: Wahrscheinlichkeitsdichte f (q)
Rauschen
fHq1, q2L V@q1, q2D
2
q2
1
0
-1
1.0
-2
0.5
0.0
-2
-1
0
q1
1
2
Abbildung: kombiniert V (q), f (q)
Rauschen
Bibliographie
Haken, Hermann Synergetics - introduction and advanced
topics, 2004
Risken, Hannes The Fokker-Planck Equation, 1989
Mielke, Andreas Skript Vorlesung WS 02/03

2.2 Rauschen, Langevin-Gleichung, Fokker-Planck

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