Aufgabenblatt 2 - Fachbereich Wirtschaftswissenschaften

Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Professur für Wirtschaftsmathematik
Prof. Dr. Heinrich Rommelfanger
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MATHEMATIK FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLER
2. Übungsblatt
WS 2006/2007
A. Übungsaufgaben, die nach privater Vorbereitung in den Tutorien besprochen werden.
1.
An welchen Stellen hat die Funktion
a. z = f ( x, y) = x 2 + y 2 − 4x
c.
b.
z = g ( x , y) = x 3 + y 3 − 9 xy + 28
z = h ( x, y) = 1 x 3 + 4 xy − 2 y 2
3
ein relatives Minimum oder ein relatives Maximum?
Lösungshinweise: a. in (2, 0) relatives Minimum; b. in (0, 0) kein relatives Extremum, in
(3, 3) relatives Minimum; c. in (0, 0) kein relatives Extremum und in (– 4, – 4) relatives
Maximum.
2.
Ein Monopolist stellt Rasierapparate und -klingen zu konstanten Stückkosten von 20 € je
Apparat und 10 € je Dutzend Klingen her.
Die Marktnachfrage je Jahr beträgt
1 10 6 Rasierapparate und
2 10 6 Dutzend Klingen,
p1 p 2
p1 p 2
wenn die Preise p1 (€ je Rasierapparat) und p 2 (€ je Dutzend Klingen) sind. Wie groß muss
der Monopolist p1 und p2 wählen, um seinen Gesamtgewinn zu maximieren?
Lösungshinweis: p1* = 40, p *2 = 20.
3.
a. Bestimmen Sie die relativen Extrema der Funktion
g ( x , y) = x 2 − x 4 + 2 y + 3
b. Berechnen Sie mittels der Kettenregel die 1. Ableitung der Funktion
h ( t ) = g ( x ( t ), y ( t )) in t 0 = 3
mit g ( x , y) = 2x 3 − 7 xy + 3y 2
x ( t ) = 2 − t, y ( t ) = t 2 − 4t + 7
4.
Für ein Unternehmen, das ein Gut Z mit zwei Produktionsfaktoren X und Y herstellt, gelte
− die Produktionsfunktion
f ( x, y) = 5x 0,1 y 09 ,
− die Gesamtkostenfunktion K (z) = z 2 + 4,8z + 15 ,
− die Preis-Absatz-Funktion p (z) = 200 − 0,6z .
a. Bestimmen Sie die partiellen Produktionselastizitäten und interpretieren Sie die Ergebnisse!
b. Stellen Sie die Erlösfunktion auf!
c. Bestimmen Sie den gewinnmaximalen Preis und die zugehörige Menge!
d. Wie groß ist die Preiselastizität der Nachfrage in Bezug auf den Preis im Gewinnmaximum?
Lösungshinweise:
a. εyf(x, y) = 0,9; b. E(z) = 200z – 0,6z2;
c. Gmax = 5.938,60 GE, Pmax = 163,40 GE.
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5.
Untersuchen Sie durch Anwendung der Reduktionsmethode die Funktion
f ( x, y) = 4x 3 + xy − y + 2, D = R 2
auf relative Extremwerte unter Beachtung der Nebenbedingung y = xy + 3x .
Lösungshinweise: ( 12 , 3) ein relatives Minimum; ( − 12 , − 1) ein relatives Maximum.
6.
Welche Punkte (4, y) liegen auf der Höhenlinie f ( x, y) = 3xy − 2x 2 − y 2 + 2x − 2 y = 0 ?
In einem dieser Punkte bestimme man die Gleichung der Tangente an die Höhenlinie.
Lösungshinweis:
7.
y = g1 ( x ) = 2 x − 2 in P1 = (4, 6)
oder
y = g 2 ( x ) in P2 = (4, 4) .
a. Zeichnen Sie in einer kartesischen Koordinatenebene die Menge
M = {( x, y) | y + 4 ≥ x ( x + 2)}
und bestimmen Sie die Stelle ( x 0 , y 0 ) ∈ M , in der 2x + y den kleinsten Wert annimmt.
(Zeichnerische Lösung genügt)
b. Bestimmen Sie mit Hilfe der LAGRANGEschen Multiplikatormethode die stationären Stellen
der Funktion f: (x, y) → 2x+y unter der Nebenbedingung g ( x, y) = y − x 2 − 2x + 4 = 0 .
Überprüfen Sie anhand einer Zeichnung, ob f(x, y) an dieser Stelle Extrema besitzt unter
der Nebenbedingung g(x, y) = 0.
Lösungshinweis: a. ( x 0 , y 0 ) = (−2, − 4) .
8.
Gegeben seien die Funktionen f : ( x , y) → y + 1 ( x + 3) 2 − 4 und
2
g : ( x , y) → ( x + 3) 2 + ( y − 1) 2 − 5 .
a. Bestimmen Sie die stationären Stellen der Funktion f(x, y) unter der Nebenbedingung
g(x, y) = 0. Die LAGRANGEschen Multiplikatoren sind zu berechnen.
b. Entscheiden Sie anhand einer Zeichnung, ob an diesen Stellen Minima oder Maxima vorliegen.
c. Zeigen Sie durch Rechnung: Im Punkt (–5, 2) berührt die durch diesen Punkt gehende
Höhenlinie von f(x, y) die implizit durch die Gleichung g(x, y) = 0 gegebene Funktion.
Lösungshinweise: P1 = (−1, 2), P2 = (−5, 2), P3 = (−3, 1 + 5 ) P4 = (−3, 1 − 5 )
( 5 = 2,236) .
9.
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Gleichungssystems
x1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 10
2x1 − x 2 + x 3 − x 4 = 1
3x1 + x 2 + 4 x 3 + 3x 4 = 11
− 2x1 + 6x 2 + 4 x 3 + 10x 4 = 18
Lösungshinweis: (x1, x2, x3, x4) = (12 − t 3 − 2 t 4 ,19 − t 3 − 9 t 4 ,t 3 ,t 4 ) , t3, t4 ∈ R.
5
5
5
5
10.
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Gleichungssystems
x1 − 2 x 2 − 3x 3 = 2
x1 − 4 x 2 − 13x 3 = 14
− 3x1 + 5x 2 + 4x 3 = 2
Lösungshinweis: Es existiert keine Lösung.
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11.
Gegeben ist das Gleichungssystem
x1 + x 2 + 2 x 3 = b
x1
+ x3 = 2
x1 + 2 x 2 + ax 3 = 0
Bestimmen Sie die reellen Parameter a und b so, dass das Gleichungssystem
a. genau eine Lösung,
b. keine Lösung,
c. unendlich viele Lösungen besitzt.
Geben Sie im Fall c. die allgemeine Lösung an.
Lösungshinweise: a. a ≠ 3; b. a = 3 und b ≠ 1;
c. a = 3 und b = 1, ( x1 , x 2 , x 3 ) = (2, − 1, 0) + (−1, − 1, 1) t 3 , t 3 ∈ R .
12.
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung für jedes der drei Gleichungssysteme
3x1 + 2x2 + x3 = 1
=0
=0
x1 + 4x2 + 5x3 = 0 bzw. = 1 bzw. = 0
3x1 + x2 + 2x3 = 0
=0
=1
⎛ x1 ⎞
⎛ 3 ⎞
⎛ − 1⎞
⎛ 3 ⎞
Lösungshinweise: ⎜⎜ x 2 ⎟⎟ = 1 ⎜ 13 ⎟,bzw.= 1 ⎜ 1 ⎟,bzw.= 1 ⎜ − 7 ⎟.
24 ⎜
8⎜ ⎟
12 ⎜
⎟
⎟
⎝ − 11⎠
⎝1⎠
⎝ 5 ⎠
⎝ x3 ⎠
B. Weitere Aufgaben für die Tutoren- oder Plenumsübungen und zur privaten Bearbeitung
13.
Für die Produktion der neuen Mensaeinrichtung hat die Firma Studio-Line 500 Arbeitsstunden eingeplant. Während für einen Super-Relax-Stuhl eine Stunde vorgesehen ist, nimmt
die Herstellung eines Tisches viermal soviel Zeit in Anspruch.
Wie viele Stühle (x) und wie viele Tische (y) müssen hergestellt werden, um einen maximalen
Gewinn zu erzielen, und wie hoch ist dieser, wenn die Gewinnfunktion
G(x, y) = xy + 4y lautet?
Lösungshinweis: Verwenden Sie zur Bestimmung des Gewinnmaximums die Reduktionsmethode. Wenn 248 Stühle und 63 Tische hergestellt werden, erzielt die Firma den maximalen Gewinn 15.876 GE.
14.
Berechnen Sie
i. durch direkte Ableitung
ii. mittels der Kettenregel
die 1. Ableitung der Funktionen
a. h(t) = g(x(t), y(t))
in t a = 2 mit g ( x , y) = x 2 + 2 y 3 , x ( t ) = 2t + 1,
y (t) = t 2
b. H(t) = G(x(t), y(t), z(t)) in t b = 3 , mit
G ( x, y, z) = x + 2 y + z 2 ,
x (t ) = t 3 , y ( t ) = 2t 2 , z (t ) = t − 1 .
Lösungshinweise: a. h'(2) = 404; b. H'(3) = 23 3 + 28.
15.
a. Welche Punkte (x, 3) liegen auf der Höhenlinie
g ( x, y) = 2x − 2x 2 + x 2 y + 2 xy − xy 2 − 4 y = 0 ?
In dem Punkt (x, 3) mit positivem x-Wert bestimme man die Gleichung der Tangente an
die Höhenlinie.
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b. Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen f xyz , f yy und f zzx an die Funktion
f ( x, y, z) = x 3 yz 2 + ze 2 x + 3 y 2
Lösungshinweis: a. Tangente: y = 74 x - 4.
16.
Bestimmen Sie die stationären Stellen der Funktion
f ( x, y) = y − 3x 2 + 2
unter Beachtung der Nebenbedingung
g ( x , y) = y 2 + 4 x 2 − 4 = 0
Lösungshinweise: ( 23 2 , − 23 ) , ( − 23 2 , − 23 ) , (0, 2), (0, -2).
17.
Bestimmen Sie die (allgemeine) Lösung des inhomogenen Gleichungssystems
− 2 x1 − 9x 2 + 4 x 3 − 3x 4 = − 11
2 x1 + 10x 2 − 5x 3 + 3x 4 =
9
− 2 x1 + 4x 2
=
2
− x1 − 3x 2 + x 3 − x 4 = − 6
Lösungshinweis: (x1, x2, x3, x4) = (3, 2, 4, 1).
18.
Für welche Werte des Parameters t hat das Gleichungssystem
2 x1 + 2x 2 + 2 x 3 = 14
x1
− 3x 3 = 1
3x1 + 2x 2 − x 3 = t
a. unendlich viele Lösungen;
b. keine Lösung.
Wie lauten im Falle der Existenz die Lösungen?
Lösungshinweis: a. für t = 15 gilt: (x1, x2, x3) = (1, 6, 0) + (3, – 4, 1) t3, t3 ∈ R.
19.
Bestimmen Sie die (allgemeine) Lösung des inhomogenen Gleichungssystems
− 2 x1 − 9x 2 + 4 x 3 − 3x 4 = − 11
2 x1 + 10x 2 − 5x 3 + 3x 4 =
9
2
− 2 x1 + 4x 2
=
− x1 − 3x 2 + x 3 − x 4 = − 6
Lösungshinweis: (x1, x2, x3, x4) = (3, 2, 4, 1).
20.
Für welche Werte des Parameters t hat das Gleichungssystem
2 x1 + 2x 2 + 2 x 3 = 14
x1
− 3x 3 = 1
3x1 + 2x 2 − x 3 = t
a. unendlich viele Lösungen;
b. keine Lösung.
Wie lauten im Falle der Existenz die Lösungen?
Lösungshinweis: a. für t = 15 gilt: (x1, x2, x3) = (1, 6, 0) + (3, – 4, 1) t3, t3 ∈ R.