Probabilidad.

Probabilidad.
Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las caras hacia arriba salga 7? Si
una persona recibe 5 cartas de una baraja normal de 52 naipes, ¿cuál es la probabilidad de que le
toques tres ases?
Comienza en el siglo XVII con preguntas similares en el juego de azar y ahora se ocupa en muchos
campos disciplinares de las ciencias naturales y sociales. Cualquier proceso de azar, como tirar
una moneda al aire, arrojar un dado, repartir cartas de una baraja, determinar si una pieza
fabricada es defectuosa, el pronóstico del servicio meteorológico, en las encuestas de la
preferencia de un nuevo producto al mercado, digamos que es de 0.03 (significa que la aceptación
del producto es muy remota), son ejemplos de probabilidad.
¿Qué es una probabilidad?
En general, es un número que evalúa la posibilidad de que algo suceda.
PROBABILIDAD: Valor que va desde cero hasta uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa
de que ocurra un evento.
Tres de los términos importantes en la teoría de la probabilidad son: experimento, resultado y
evento, que son términos del habla cotidiana pero que tienen significados muy específicos.
EXPERIMENTO: Proceso que conduce a que ocurra (y solamente una) de varias observaciones
posibles.
En probabilidad, un experimento tiene dos o más resultados posibles, y es incierto cuál es el que
ocurrirá.
RESULTADO: Un suceso particular proveniente de un experimento.
Por ejemplo, lanzar una moneda al aire es un experimento. Se puede observar el lanzamiento de la
moneda, pero no se sabe si caerá cara o cruz. Otro ejemplo de experimento sería preguntar a 30
estudiantes si comprarían o no el nuevo iphone 5 a un precio determinado. En el experimento de
la moneda, un resultado particular es cara y el resultado alternativo es cruz. En el experimento de
la compra del celular, un resultado posible es que 14 estudiantes indiquen que sí lo comprarían,
otro resultado también puede ser que 21 si adquieran el producto y así sucesivamente. Cuando se
observan uno o más de los resultados de un experimento, esto se conoce como un evento.
EVENTO: Conjunto de uno o más resultados de un experimento.
En el experimento lanzar un dado, existen seis resultados posibles, pero hay muchos eventos
posibles, como el de caer un número par, o menor que 4, etc.
Una probabilidad se expresa como una fracción decimal, tal como, 0.70, 0.27 o bien 0.50. También
puede indicarse como una fracción común: 7/10, 27/100 o 1/2. Una probabilidad puede asumir
cualquier valor desde 0 hasta 1. Así, la probabilidad 1 representa algo que seguramente va a
suceder, y la probabilidad 0 corresponde a algo que no puede ocurrir. Cuando más se aproxime a 0
1
una probabilidad, es más improbable que ocurra el evento respectivo. Cuanto más se acerque a 1,
tanto más seguro es que suceda.
Probabilidad de que el sol desaparezca este año: 0
Probabilidad de que al lanzar una moneda caiga cara al tirarla una vez: 0.5 = 1/2
Probabilidad de que llueva en este mes: 1
Piensa: Se ha desarrollado un nuevo juego de video. 80 jugadores veteranos de este tipo de
atracciones van a probar su potencial del mercado.
a) ¿Cuál es el experimento?
b) ¿Cuál es un resultado posible?
c) Suponga que 65 jugadores probaron el nuevo juego y afirmaron que les gustó. ¿Es 65 una
probabilidad?
d) La probabilidad de que el nuevo juego sea un éxito se calcula que es – 1. ¿Qué te indica
esto?
e) Especifique un evento posible.
Dos de los enfoques del análisis estadístico son: El objetivo y el subjetivo. La probabilidad objetiva
puede dividirse en: (1) probabilidad clásica y (2) probabilidad empírica.
Probabilidad clásica.
La probabilidad clásica se basa en la consideración de que los resultados de un experimento son
igualmente posibles. Empleando el punto de vista clásico, la probabilidad de que suceda un evento
se calcula dividiendo el número de resultados favorables entre el número total de resultados
posibles.
Número de resultados favorables
Probabilidad de un evento: -----------------------------------------------Número total de resultados posibles
Ejemplo: Considere el experimento de lanzar un dado común ¿Cuál es la probabilidad del evento
“cae un número par”?
Si sólo uno de varios eventos puede ocurrir cada vez, se dice que los eventos son mutuamente
excluyentes.
Mutuamente excluyentes: La ocurrencia de un evento implica que ninguno de los otros eventos
puede ocurrir al mismo tiempo.
En el experimento de tirar un dado, los eventos “un número par” y “un número impar” son
mutuamente excluyentes. Si car un número par, no puede caer un número impar al mismo
tiempo.
Si un experimento tiene un conjunto de eventos que comprenden a todos los resultados posibles,
tales como los eventos “cae un número par” y “cae un número impar” cuando se lanza un dado,
entonces el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo.
2
Colectivamente exhaustivo: Por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un
experimento.
En el experimento de lanzar un dado, cada resultado será un par o impar. Por tanto, el conjunto es
colectivamente exhaustivo.
Si el conjunto de eventos es colectivamente exhaustivo y los eventos son mutuamente
excluyentes, la suma de las probabilidades es 1. (Como cuando se lanza una moneda)
Para que se pueda aplicar el enfoque clásico, los eventos deben tener la misma probabilidad de
ocurrir (a lo que se denomina eventos igualmente posibles.) Además, el conjunto de eventos debe
ser mutuamente excluyente y colectivamente exhaustivo.
Concepto empírico.
Otro modo de definir la probabilidad es basándose en las frecuencias relativas. La probabilidad de
que un evento ocurra se determina observando en qué fracción de tiempo sucedieron eventos
semejantes en el pasado. Utilizando una fórmula:
Número de veces que ocurrió un evento en el pasado
Probabilidad de que suceda un evento = -------------------------------------------------------------Número total de observaciones
Ejemplo: Se efectuó un estudio con 83 estudiantes de penúltimo grado de bachillerato de la
escuela HM. Este experimento reveló que 51 de los 83 estudiantes aprobaron el examen de
admisión en su primera oportunidad en el ingreso a la universidad. ¿Cuál es la probabilidad de que
un estudiante de bachillerato pase su examen de admisión a una universidad en su primer
intento?
P( A) 
51
 0.61
83
Puesto que 51 de los 83 estudiantes, es decir, 0.61 en términos de probabilidad, pasaron su
examen de admisión en su primera oportunidad, se puede emplear como una estimación de la
probabilidad. En otras palabras, con base a la experiencia, existe una probabilidad de 0.61 de que
un estudiante de bachillerato de la escuela HM, pase su examen de admisión en su primera
oportunidad.
Probabilidad subjetiva.
Si existe poca o ninguna experiencia en la cual se pueda basar una probabilidad, puede
determinarse una probabilidad en forma subjetiva. Fundamentalmente, esto significa evaluar las
opiniones disponibles y otra información para después estimar o asignar la probabilidad.
Concepto de probabilidad subjetiva: Es la posibilidad (probabilidad) de que suceda un evento
especifico, que es asignada por una persona basándose en cualquier información que esté
disponible.
Ejemplos de probabilidad subjetiva:
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1. Evaluar la probabilidad de que la empresa General Motors Corp. Pierda su lugar número 1 en el
total de unidades vendidas, frente a la Ford Motor Co., o a la Chrysler Corp., en un lapso de dos
años.
2. Estimar la posibilidad de que obtengas una calificación de 10 en la materia de probabilidad y
estadística I (este curso).
Algunas reglas de probabilidad
Regla especial de la adición.
Para aplicar la regla especial de la adición, los eventos deben de ser mutuamente. Recordar que
mutuamente excluyentes significa que cuando ocurre un evento, ninguno de los otros puede
suceder al mismo tiempo. (En términos de conjuntos, no deben tener algo en común o que su
intersección sea vacía).
Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla especial de la adición indica que la
probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos, es igual a la suma de sus probabilidades.
P AoB   P A  PB 
Regla especial de la adición
Para tres eventos mutuamente excluyentes, A, B y C, la regla se expresa como:
P AoBoC   P A  PB  PC 
Ejemplo. Una máquina automática llena bolsas de plástico con una mezcla de frijol, brócolis y otras
legumbres. La mayor parte de las bolsas contiene el peso correcto, pero debido a ligeras
variaciones en el tamaño de las verduras, un paquete puede tener un peso ligeramente menor o
mayor. Una verificación de 4000 paquetes que se llenaron el mes pasado reveló lo siguiente:
Peso
Evento
Número de
Probabilidad de
paquetes
ocurrencia
100/4000
Menor
A
100
0.025
Satisfactorio
B
3600
0.900
Mayor
C
300
0.075
4000
1.000
¿Cuál es la probabilidad de que un determinado paquete tenga un peso menor o mayor?
P AoC   P A  PC   0.025  0.075  0.10
Por otro lado, la probabilidad de que una bolsa de legumbres mixta tenga menos peso, P(A), más
la probabilidad de que no sea una bolsa con peso menor, que se indica P( ~A) y se lee “no A”, debe
ser lógicamente igual a 1. Esto se expresa como:
P A  P~ A  1
Lo anterior puede expresarse con la regla del complemento:
4
P A  1 P~ A
Regla del complemento
Obsérvese que A y ~A son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.
La regla del complemento se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un evento
restando de 1 la probabilidad de que el evento no ocurra.
EVENTO
A
EVENTO
B
EVENTO
A
~A
¿Cuál sería la probabilidad en el ejemplo anterior de que una bolsa tenga el peso correcto?
Ejercicio. Se va a entrevistar un grupo selecto de empleados de una compañía con respecto a un
nuevo plan de pensiones. Se efectuarán entrevistas detalladas a cada uno de los empleados
seleccionados en la muestra. Estos se clasifican como sigue:
Área de trabajo
Evento
Número de
empleados
Supervisión
A
120
Mantenimiento B
50
Producción
C
1460
Gerencia
D
302
Secretarial
E
68
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada
(i) sea empleado de mantenimiento o una secretaria?
(ii) no sea miembro de la gerencia?
b) Elabora un diagrama de Venn mostrando tus respuestas del inciso a).
c) ¿Los eventos de la parte a) (i) son complementarios, mutuamente excluyentes, o bien de ambas
clases?
5
Regla general de adición.
Los resultados de un experimento pueden no ser mutuamente excluyentes. Por ejemplo, en una
muestra de 200 turistas, se reveló que 120 fueron a Disney World, y 100, a Busch Gardens, cerca
de Tampa, durante ese año. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada haya
visitado Disney World o Busch Gardens? Obviamente la respuesta es a esta pregunta es 1.10 si se
aplica directamente la regla especial de adición y sabemos que no puede ser mayor que 1. La
explicación es que muchos turistas visitaron ambas atracciones y se están contando dos veces.
Una verificación de la encuesta reveló que 60 de las 200 personas de la muestra en realidad
asistieron a ambos lugares.
Para responder esta pregunta de forma correcta, simplemente se suma la probabilidad de que el
turista haya visitado Disney World y la probabilidad de que haya ido a Busch Gardens, y se resta la
probabilidad de visitar ambas atracciones.
P(Disney o Busch) = P(Disney) + P(Busch) – P(Disney y Busch)
= 120/200 + 100/200 – 60/200 = 0.80
Piensa. Realiza un diagrama de Venn para esta situación y plantea nuevamente el problema.
Cuando dos eventos ocurren simultáneamente, a la probabilidad respectiva se le denomina
probabilidad conjunta. La probabilidad de que un turista visite ambas atracciones (0.30) es un
ejemplo de probabilidad conjunta.
Probabilidad conjunta. Es la medida de probabilidad que evalúa la posibilidad de que dos o más
eventos ocurran en forma simultánea.
Regla general de la adición



P A o B  P A  PB   P A y B

En resumen, la regla general de la adición se refiere a los eventos que no son mutuamente
excluyentes.
Piensa. ¿Cuál es la probabilidad de que una carta elegida al azar de una baraja de naipes sea un
rey o una reina de corazones?
Realiza un diagrama de Venn para este ejercicio.
Regla de la multiplicación.
Regla especial de la multiplicación. La regla especial de la multiplicación requiere que dos
eventos A y B sean independientes. Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no
altera la probabilidad de que suceda el otro. De manera que si los eventos A y B son
independientes, la ocurrencia de A no altera la probabilidad de B.
Independiente. La ocurrencia de un evento no tiene efecto en la probabilidad de la ocurrencia de
cualquier otro evento.
6
Si dos eventos A y B son independientes, la probabilidad de que ocurran A y B se obtiene
multiplicando las dos probabilidades. Ésta es la regla especial de multiplicación, que se expresa:
Regla especial de multiplicación


P A y B  P APB 
Esta regla para combinar probabilidades supone que un segundo evento no se ve afectado por el
primero. Por ejemplo, cuando se lanzan dos monedas, el resultado de un lanzamiento no se ve
afectado por el resultado del otro, es decir, el resultado del segundo evento no depende del
resultado del primero.
Esta multiplicación aplica también para tres eventos independientes A, B y C para determinar la
probabilidad de que ocurran los tres eventos. P A y B y C  P APB PC  .


Ejemplo. En una encuesta realizada encontró que 60% de sus socios hicieron alguna reservación en
una línea aérea el año pasado. Se toman dos integrantes al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que
ambos hayan hecho una reservación en alguna línea?
El número de socios es muy grande, se puede suponer que los eventos son independientes. Con
esto, se puede decir que la probabilidad de que el primer socio haya hecho una reservación en
alguna línea aérea es 0.60; la probabilidad de que el segundo socio que se seleccionó haya hecho
también es también 0.60. Por lo tanto, por la regla especial de la multiplicación, la probabilidad es
de 0.36.
Piensa. En el ejemplo de la máquina automática que llena bolsas de plástico con una mezcla de
legumbres, mencionado anteriormente, a) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar hoy tres
paquetes de la línea de procesamiento de alimentos, y encontrar que a los tres les falte peso? B)
¿Qué significa esta probabilidad?
Si dos eventos no son independientes, se dice obviamente que son dependientes. Imaginemos
esto con un ejemplo; supongamos que hay diez rollos de película fotográfica en una caja y que se
sabe que tres están defectuosos. Se selecciona uno. Es obvio que la probabilidad de escoger un
rollo defectuoso es 3/10, y la probabilidad de seleccionar uno satisfactorio es 7/10. Después se
elige un segundo rollo de la caja sin devolver el primero a ésta. La probabilidad de que sea
defectuoso depende de si el primer rollo seleccionado no fue aceptable. La probabilidad de que
también el segundo rollo tenga defectos es:
2/9, si el primer rollo seleccionado fue defectuoso. (Quedarían sólo dos rollos defectuosos
en la caja, que contiene nueve piezas.)
3/9, si el primer rollo seleccionado fue bueno. (Los tres rollos defectuosos siguen estando
en la caja que contiene nueve rollos.)
A la fracción 2/9 (o bien, a la 3/9) se le denomina apropiadamente probabilidad
condicional porque su valor está condicionado por el (depende de) que el primer rollo que se sacó
de la caja haya sido defectuoso o no.
Probabilidad condicional. Es la probabilidad de que ocurra un evento determinado, dado que
otro evento ya haya sucedido.
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La regla general de multiplicación se utiliza para determinar la probabilidad conjunta de que
ocurran dos eventos, como seleccionar dos rollos fotográficos defectuosos de una caja con diez
rollos, uno después del otro. En general la regla establece que dados dos eventos A y B, la
probabilidad conjunta de que ambos ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de que
suceda el evento A, por la probabilidad condicional de que ocurra el evento B.
Regla general de multiplicación
PA y B   P APB | A
donde PB | A expresa la probabilidad de que ocurra B dado que ya sucedió A. La raya vertical
simboliza “dado que”.
Ejemplo 1. Se van a seleccionar dos rollos, del ejemplo anterior, uno después del otro. ¿Cuál es la
probabilidad de escoger un rollo con defectos seguido de otro también defectuoso?
Suponiendo que el primer rollo seleccionado de la caja, que resultó con defecto, es el evento A. de
modo que P A  3 / 10 porque tres de los diez rollos tenían defectos. El segundo rollo
seleccionado, que también era defectuoso, es el evento B. Por tanto, PB | A  2 / 9 , porque
después que el primer objeto seleccionado fue un rollo con defecto, sólo quedaron dos rollos
“defectuosos” en la caja que contenía nueve. Por lo tanto, la probabilidad de dos rollos
defectuosos es:
 3  2  6
PA y B   P APB | A     
 0.07 (suponiendo que no hubo remplazo)
 10  9  90
Para el caso de tres eventos: A, B y C, la fórmula sería:
PA y B y C   P APB | APC | A y B 
Como por ejemplo, la probabilidad de los primeros tres rollos seleccionados de la caja sean todos
defectuosos es:
6
 3  2  1 
PA y B y C   P APB | APC | A y B       
 0.00833
 10  9  8  720
Piensa. El consejo directivo de la empresa Tarbell Industries está integrado por ocho hombres y
cuatro mujeres. Se selecciona al azar un comité de cuatro integrantes, para recomendar a un
nuevo presidente de la compañía.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean mujeres los cuatro integrantes del comité de
investigación?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro integrantes sean hombres?
c) ¿La suma de las probabilidades de los eventos descritos en los incisos a y b es 1? Explica tu
respuesta.
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Ejemplo 2. Una encuesta a ejecutivos se enfocó a su lealtad a la empresa. Una de las preguntas
planteadas fue: “¿Si otra compañía le hiciera una oferta igual o ligeramente mejor que la de su
puesto actual, permanecería con la empresa o tomaría el otro empleo?” Las respuestas de los 200
ejecutivos de la encuesta se clasificaron en forma cruzada con su tiempo de servicio en la
compañía. Al tipo de tabla que resulta, se le denomina tabla de contingencias.
Lealtad
Si permanecería
No permanecería
Tiempo de servicio
Menos de
1a5
1 año
años
10
30
25
15
6 a 10
años
5
10
Más de 10
años
75
30
Total
120
80
200
¿Cuál sería la probabilidad de seleccionar al azar un ejecutivo que sea leal a la empresa (se
quedaría) y que tenga más de 10 años de servicio?
Los eventos involucrados son dos al mismo tiempo: el ejecutivo permanecería en la empresa y
tiene más de 10 años de servicio.
1. El evento A ocurre si un ejecutivo seleccionado al azar permanecería en la empresa a pesar
de que otra compañía le hiciera una oferta igual o ligeramente mejor. Para encontrar la
probabilidad de que ocurra el evento A, de la tabla se observa que hay 120 ejecutivos, de
los 200 que participaron en la encuesta, que permanecerían en su empresa actual, de
manera que P(A) = 120 / 200 = 0.60.
2. El evento B ocurre si un ejecutivo seleccionado al azar tiene más de 10 años de servicio en
la empresa. De esta forma, P(B|A) es la probabilidad condicional de que un ejecutivo con
más de 10 años de servicio permanezca en la empresa a pesar de que otra compañía le
haga una oferta igual o ligeramente mejor. Consultando la tabla, 75 de los 120 ejecutivos
que se quedarían en la empresa tienen más de 10 años de servicio, de manera que
P(AyB)=P(A)P(B|A)= (120/200)(75/120)=9000/24000=0.375
Piensa. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar aleatoriamente un ejecutivo que no
permanecería con la empresa y que tenga menos de un año de servicio?
PRINCIPIO DE CONTEO
Contar los resultados en un experimento pequeño puede no ser tan laborioso, como por ejemplo
los resultados del lanzamiento de un dado. Por otro lado, si existe un gran número de resultados
posibles como contar el número de niñas y niños en una familia con 10 hijos, resulta laborioso
contar estas posibilidades. Puede haber un niño y nueve niñas, dos niños y ocho niñas, y así
sucesivamente. Esto requiere nuevas fórmulas que son: la fórmula de la multiplicación, la fórmula
de permutación y la fórmula de combinación.
Fórmula de la multiplicación. Si hay m formas de hacer una cosa, y n formas de hacer otra,
existirán m x n formas de hacer ambas.
Lo anterior expresado como fórmulas sería: Número total de arreglos = (m)(n)
9
También puede aplicarse esta fórmula para eventos m, n, o :
Número toral de arreglos = (m)(n)(o)
Ejemplo 1. Se puede comprar un carro escogiendo entre un sedan de dos puertas, un auto
convertible o un modelo de cuatro puertas, y además puede elegir tener los rines sólidos o
deportivos. ¿Cuántos arreglos diferentes de modelos y rines se pueden comprar?
Siendo m el número de modelos y n el número de rines, por la fórmula anterior puede encontrarse
que el total de arreglos posibles es (m)(n) = (3)(2) = 6.
Se puede ilustrar este ejemplo con un diagrama representando cada carro con sus diferentes
rines.
En el ejemplo no es difícil representar un diagrama con los arreglos pero si el número de autos
aumenta y el de rines también entonces resulta inconveniente dibujar un diagrama, pues serían
muchas figuras. En este caso se aplica la fórmula y resulta más fácil así contar.
Segunda opción. Para contar los arreglos puedes usar el principio de casillas (teorema
fundamental del conteo). Sean E1, E2, … , EK una sucesión de K hechos. Si para cada i, puede ocurrir
el hecho Ei de mi maneras, la cantidad total de formas en todos los hechos pueden tener lugar es
el producto m1  m2  m3    mK .
Esto se puede aplicar usando casillas para los hechos Ei y para sus maneras mi.
En el ejemplo anterior de los autos de los rines, un hecho (E1) sería escoger un modelo de auto y
hay 3 maneras (m1=3) y escoger los rines (E2) que hay 2 maneras (m2=2), quedaría:
m1
m2
_3_ x _2_ = 6
E1
E2
Ejemplo 2. Se van a formar nombres con cuatro letras usando a, b, c y d. ¿cuántos nombres se
pueden formar? (Se permiten nombre como aaaa)
_4_ x _4_ x _4_ x _4_ = 256 nombres
¿Cuántos nombres se pueden formar si no se permiten repetir letras?
_4_ x _3_ x _2_ x _1_ = 24 nombres con la condición.
Ejemplo 3. Siente equipos (Águilas, Tiburones, Monarca, Chivas, Pumas, etc.) se disputan el
primer, segundo y tercer lugar. ¿De cuantas formas pueden quedar estos lugares?
_7_ x _6_ x _5_ = 210 maneras pueden quedar esos lugares.
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Ejemplo 3. Un grupo de estudiantes está formado por 60 muchachas y 40 muchachos. ¿De cuántas
formas se puede elegir directos, subdirector, tesorero y secretario, si el tesorero debe ser una
muchacha, el secretario un muchacho y ningún estudiante puede tener más de un cargo?
Es conveniente primero seleccionar los hechos que tengan restricciones como el tesorero y el
secretario.
_60_ x _40_ x _98_ x _97_ = 22814400 maneras de seleccionar a estos puestos de los 100.
T
S
D
SB
Piensa. 1. ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar de los digitos 1, 2, 3, 4 y 5 si las
repeticiones?
a) No se permiten
b) Se permiten
2. Amira tiene cuatro faldas y seis blusas. ¿De cuantas formas puede hacer arreglos con su
ropa?
3. En cierto estado, las placas de circulación empiezan con una letra del alfabeto seguida
de 5 dígitos. Indica cuántas placas de circulación diferentes son posibles si
a) el primer dígito no puede ser cero y las letras no pueden repetirse en ningún lugar.
b) La primera letra no puede ser O ni P, y el primer digito no puede ser cero.
4. La compañía Pioneer fabrica tres modelos de receptores de radio estereofónicos, dos
reproductores de cintas, cuatro bocinas, y tres reproductores de CD. Cuando los cuatro tipos de
componentes compatibles se venden juntos forman un “sistema”. ¿Cuántos sistemas distintos
puede ofrecer esta empresa?
Fórmula de permutación.
En los arreglos anteriores interviene mucho la forma en que se acomoden los elementos. Además
que anteriormente podíamos utilizar muchos grupos de objetos.
Ahora con la fórmula de permutaciones determinaremos el número posible de arreglos cuando
sólo hay un grupo de objetos. Por ejemplo:
 Se van a ensamblar tres partes electrónicas en una unidad modular para un receptor de
televisión. Las partes se pueden ensamblar en cualquier orden. La pregunta relacionada
con esto es: ¿De cuántos modos diferentes pueden ensamblarse las tres partes?
 Un operario debe realizar cuatro verificaciones de seguridad antes de activar su máquina.
No importa en qué orden las realice. ¿De cuántas formas distintas puede realizar las
verificaciones?
Observa que en estos ejemplos no importa el orden. A este tipo de arreglos se le denomina
permutación.
Permutación. Un arreglo o disposición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos.
Así, el arreglo a, b, c y el b, a, c, son permutaciones diferentes.
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Fórmula de la permutación.
n
Pr  n Pr  Prn
n!
(n  r )!
donde:
n es el número total de objetos
r es el número de objetos seleccionados
Veamos unos ejemplos.
Ejemplo 1. Se cuanta con tres discos de colores, azul, rojo y blanco. ¿De cuántas formas posibles
pueden acomodarse estos discos en una fila? (Acá el arreglo, ARB es diferente del BAR).
Los arreglos pueden quedar así:
ARB, ABR, BAR, BRA, RAB, RBA.
Un diagrama de árbol también puede ayudar a visualizar este hecho.
1°
2°
3°
Resultado
B
ARB
1°
2°
R
3°
R
A
Resultado
BAR
A
B
ABR
2°
3°
Resultado
B
RAB
A
RBA
A
R
B
R
1°
B
R
A
BRA
Una manera más fácil de ver esto es usando el principio de casillas. Como se van a disponer en una
fila, podemos supones que en primer lugar cualquier de los tres discos puede ser colocado, una
vez que se colocó el primero, sólo quedan dos para colocar posteriormente; finalmente quedaría
uno por colocar. Así entonces el total de formas de colocar los tres discos en una fila sería:
_3_ x _2_ x _1_ = 3! = 6
Con la fórmula de permutaciones sería disponer r=3 discos de un total de n=3, y entonces
3
P3  3P3  P33
3!
3! 3!
  6
(3  3)! 0! 1
Una conclusión importante es que si vas a permutar n objetos de un mismo grupo, el resultado
de esas permutaciones será n!.
Ejemplo 2. Es una fila de 5 lugares se van a sentar 3 alumnos. ¿De cuántas formas pueden
ocuparse los asientos?
Con la fórmula quedaría:
5
P3 
5!
5! 5  4  3  2!
 
 60
(5  3)! 2!
2!
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Ejemplo 3. ¿De cuántos modos se pueden sentar ocho personas en una fila?
P88
8!
8! 8!
   40320
(8  8)! 0! 1
Que es lo mismo que 8! = 8x7x6x5x4x3x2x1 = 40320, es decir, en el primer lugar puede ir
cualquiera de los 8, en el segundo solo se pueden colocar cualquiera de los 7 restantes y así
sucesivamente.
Piensa.
1. En un aula hay 6 asientos y 10 estudiantes.
a) ¿De cuántas formas se pueden ocupar los asientos?
b) Si hay 6 muchachos y 4 muchachas en el grupo y si ambos sexos han de alternarse, encuentra la
cantidad de acomodos diferentes en los asientos.
2. ¿En cuántas formas puede completarse una prueba de 10 preguntas de falso y verdadero?
3. Con 6 banderas de diferente color, ¿cuántas señales se pueden formar al poner tres banderas,
una sobre la otra, en un asta?
Permutaciones distinguibles e indistinguibles.
Supongamos que tenemos ahora varios objetos y que se hacen varios arreglos pero entre esos
arreglos algunos no pueden identificarse. Por ejemplo, supóngase que se tienen 5 canicas,
idénticas en tamaño pero tres negras, una blanca y una roja. Encontremos la cantidad de maneras
en que se pueden colocar en una fila de modo que se obtengan diferentes arreglos de colores.
Si las canicas fueran de diferente color, la cantidad de arreglos sería 5! = 120. Como no todas son
de diferente color no podemos obtener 120 arreglos diferentes (pues se repiten los arreglos).
NNNBR
NBNRN
Los anteriores son ejemplos en que podrían quedar formadas las canicas en la fila, sin embargo las
canicas negras tienen 3!=6 maneras de colocarse en esos arreglos sin que puedan distinguirse
entre ellos.
Dos arreglos tienen permutaciones distinguibles si una no se puede obtener a partir del otro por el
reacomodo de objetos semejantes.
NBNNR
NNBRN
NBNNR
NBNNR
INDISTINGUIBLES
DISTINGUIBLES
Para no permitir esas permutaciones indistinguibles, al total de permutaciones obtenidas por las 5
canicas (5! = 120) quitamos las permutaciones no distinguibles (3!) que se obtiene dividiendo al
total entre 3!, así tenemos que:
5! 5  4  3!

 5  4  20 permutaciones distinguibles.
3!
3!
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Si en un conjunto de n objetos, n1 son semejantes de una clase, n2 de otra, … , nK de otras más, y
n = n1+n2+…+nK, entonces la cantidad total de permutaciones distinguibles de los n objetos es:
n!
n1!n2 !  n K !
Ejemplo 1. Encuentra la cantidad de permutaciones distinguibles de las letras de la palabra
Mississippi.
11!
 34650
4!4!2!1!
Ejemplo 2. Supongamos que ahora son 8 canicas, cuatro negras, tres blancas y una roja. ¿Cuántos
arreglos distinguibles se pueden hacer?
Si no se toma en cuenta el orden del arreglo de los elementos o no es importante, a cualquier
selección se le llama una combinación. Consideremos la siguiente situación: dado un conjunto de
n elementos distinguibles, ¿de cuantas maneras puede escogerse un subconjunto de r elementos
con r menos o igual a n?
La fórmula para contar el número de combinaciones de y objetos de un conjunto de n objetos es:
Fórmula de combinación.
n
C r  nCr  C rn
n!
r!(n  r )!
Esto es como seleccionar sin tomar en cuenta el orden de la selección.
Ejemplo 1. De un grupo de 5 estudiantes quiere elegirse una comisión de 3 para que visiten un
museo (el mismo todos). ¿Cuántas comisiones diferentes se pueden formar?
Ejemplo 2. De un grupo de 10 niños y 15 niñas se quiere formar una colección de 5 jóvenes que
tengan exactamente 2 niñas. ¿Cuántas colecciones distintas se pueden formar?
Elección de niñas es 15C2 = 105 formas
Elección de niños es 10C3 = 120 formas
Así el resultado es 105 x 120 = 12600 formas distintas.
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Ejercicios:
1. En el juego de lotería diaria en Illinois, los participantes seleccionan tres dígitos entre 0 y 9. No
se puede elegir un numero más de una vez, de modo que un billete (o boleto) ganador podría ser
307. La compra de un boleto da la oportunidad de seleccionar un conjunto de números. Las cifras
ganadoras se anuncian en un programa nocturno de televisión.
a) ¿Cuántos resultados diferentes (de tres dígitos) son posibles?
b) Si comprara un boleto para el juego de esta noche, ¿cuál sería la probabilidad de que ganara?
2. Los encargados de un restaurante anuncian que tiene un gran número de selecciones de
comida. Ofrecen 4 sopas, 3 ensaladas, 12 platillos principales, 6 de legumbres y 5 postres.
¿Cuántos menús diferentes ofrecen?
3. Hace algunos años la empresa Wendy´s Hamburgers anunció que tenía 256 formas de preparar
una hamburguesa. Usted puede elegir, u omitir, cualquier combinación de lo siguiente para su
hambuerguesa: mostaza, salsa de tomate, cebolla, pepinillos, tomate en rebanadas, aderezo,
mayonesa y lechuga. ¿Es cierto lo que dice el anuncio?
4. En un estado de EU, las placas de licencia para automóviles tienen tres números, seguidos por
tres letras. ¿Cuántos números de placa diferentes son posibles si no se pueden repetir ni número
ni letras?
5. Una caja con 24 latas contiene una que está contaminada. Se van a elegir al azar tres latas para
su prueba.
a) ¿Cuántas combinaciones diferentes de 3 latas se podrían seleccionar?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la lata contaminada sea seleccionada para la prueba?
6. suponga que se toman 5 cartas de una baraja de naipes. Encuentra la probabilidad de que las
cinco cartas sean corazones.
7. Se lanzan dos dados al aire. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las caras que quedan
hacia arriba sea 7? ¿Y de que la suma sea 9?
8. Si se toman 5 cartas de una baraja de naipes, ¿cuál es la probabilidad de que tres sean ases y
dos sean reyes?
9. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número par en el primer dado y
un impar en el segundo dado?
10. Si sólo se extraen dos cartas de una baraja de naipes, una tras otra, ¿cuál es la probabilidad de
que salga un rey y un as?
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