Facharbeit Mathe

Daniel Heibrock
Facharbeit Mathe
Matrizenrechnung mit dem GraphikTaschenrechner fx-9750GII
Herr Bonertz
M_L1 Q1
Inhaltsverzeichnis
Themenwahl und Schwerpunktsetzung.............................................................................3
Einführung in die Matrizenrechnung.................................................................................3
1. Matrizenrechnung im RUN•MAT-Menü des GTR........................................................4
1.1 Grundrechenarten der Matrizenrechnung im RUN•MAT-Menü............................5
1.2 Matrizenumformung im Matrixoperationsmenü.....................................................6
Erstellen einer Einheitsmatrix..................................................................................6
Augmentieren von zwei vorhandenen Matrizen......................................................6
Auffüllen einer Matrix.............................................................................................6
Schreiben einer Matrixspalte in eine Liste...............................................................7
Transponieren einer Matrix......................................................................................7
1.3 Matrizenrechnung im Matrixoperationsmenü.........................................................7
Berechnen des Skalarproduktes zweier Vektoren....................................................7
Berechnen der Determinanten..................................................................................8
Inversion einer quadratischen Matrix.......................................................................8
Aufstellen der reduzierten Stufenform.....................................................................8
Aufstellen der zeilengestaffelten Stufenform...........................................................8
Schlusswort........................................................................................................................9
Anhang.............................................................................................................................10
Beispielaufgaben.........................................................................................................10
Matrizenaddition....................................................................................................10
Matizensubtraktion.................................................................................................10
Matrizenmultiplikation...........................................................................................10
Potenzieren einer Matrix........................................................................................11
Matrizeninversion...................................................................................................11
Skalarproduktberechnung.......................................................................................11
Lösung von linearen Gleichungssystemen mit der reduzierten Stufenform..........12
Literaturverzeichnis.........................................................................................................13
Themenwahl und Schwerpunktsetzung
Als mir das erste Mal das Thema der Vektorrechnung nahe gebracht wurde, weckte dieses mathematische Gebiet in mir großes Interesse. Daher entschied ich mich dafür, mich
mit der Berechnung von Matrizen auseinanderzusetzen. Weiterführend interessierten
mich die Möglichkeiten, die mir der Graphik-Taschenrechner (GTR) fx-9750GII der
Firma CASIO© eröffnete.
Aus diesem Grund werde ich mich hier damit auseinandersetzen, wie man mit dem
GTR für Matrizen grundlegende Rechnungen ausführt und ein besonderes Augenmerk
darauf legen, wie die Ergebnisse mit möglichst geringem Rechenaufwand überprüft
werden können. Die Zielsetzung meiner Arbeit ist es, eine verständliche Anleitung zu
erarbeiten, die es ermöglicht, mit dem GTR möglichst effizient im Bereich der Matrizen
zu rechnen.
Zusätzlich zu den grundlegenden Rechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation
und Division) werde ich mich spezielleren Fällen wie der Multiplikation einer Matrix
mit einem skalaren Faktor, dem Invertieren einer solchen, sowie dem Potenzieren einer
quadratischen Matrix anhand von u.a. anwendungsbezogenen Beispielen beschäftigen.
Außerdem werden einige Anwendungsbereiche für Matrizen genannt und im Falle der
Vektorrechnung erläutert, wie das Skalarprodukt gebildet werden kann.
Einführung in die Matrizenrechnung
Im Bereich der Matrizenrechnung sind Rechenoperationen nur unter bestimmten Bedingungen möglich.
Addition und Subtraktion sind nur durchführbar, wenn Minuend- und Subtrahend-Matrix bzw. die Summanden-Matrizen identische Dimensionen haben. Es werden
jeweils die Matrixzellen mit den selben Indices addiert bzw. subtrahiert.
(
)(
)(
)
x a 1,1 x a 1,2
x
x
x ±x
x ±x
± b 1,1 b1,2 = a 1,1 b 1,1 a 1,2 b 1,2
x a 2,1 x a 2,2
x b 2,1 xb 2,2
x a 2,1 ±x b 2,1 x a 2,2± x b 2,2
Bei der Multiplikation von Matrizen muss die Spaltenzahl einer Faktor-Matrix der Zeilenzahl der anderen entsprechen um eine solche Rechenoperation zu ermöglichen, da
hierzu Zeile mal Spalte multipliziert wird.
(
)(
)(
x a 1,1 x a 1,2 x b 1,1 x b1,2
x ⋅x + x ⋅x
x a 1,1⋅xb 1,2 + x a 1,2⋅x b 2,2
⋅
= a 1,1 b 1,1 a 1,2 b2,1
x a 2,1 x a 2,2 x b 2,1 xb 2,2
x a 2,1⋅x b 1,1+ x a 2,2⋅x b 2,1 x a 2,1⋅xb 1,2 + x a 2,2⋅x b 2,2
)
Im Falle der Multiplikation mit einem skalaren Faktor wird dieser mit jeder Zelle der
Matrix einzeln multipliziert.
Potenzierbar wiederum sind nur quadratische Matrizen, das heißt ihre Zeilenzahl entspricht gleichzeitig der Anzahl ihrer Spalten, da sonst die im Vorherigen beschriebenen
Voraussetzungen der Multiplikation nicht erfüllt werden würden.
Das Invertieren einer Matrix beschreibt die Berechnung einer Matrix, die mit der Ausgangsmatrix multipliziert eine Einheitsmatrix ergibt. Diese besteht nur aus Nullen und
Einsen, wobei die Einsen sich in den Zellen befinden, deren Zellenindex ihrem jeweiligen Spaltenindex entspricht.
1. Matrizenrechnung im RUN•MAT-Menü des GTR
Eingabe:
[AC/ON] ♦ [MENU] ♦ [1]
In diesem Menü ist es möglich Matrizen einzugeben und mit diesen zu rechnen. Es stehen dazu 26 Matrixspeicher zur Verfügung (Mat A – Mat Z), für die es eine maximale
Größe von (999x999)1 einzuhalten gilt, sowie ein Antwortspeicher (MatAns).
Eine Matrix ist im Matrix-Editor oder mit Hilfe des Matrixoperationsmenüs zu erstellen.
Der Matrix-Editor wird im RUN•MAT-Menü über „►MAT“ geöffnet:
Eingabe:
[F1]
Nach Betätigen von [EXE] oder [►] werden die Dimensionen der Matrix festgelegt.
Nach erneuter Bestätigung durch [EXE] kann die Matrix befüllt werden.
Das Matrixoperationsmenü ist im RUN•MAT-Menü unter „MAT“ zu finden:
Eingabe:
[OPTN] ♦ [F2]
Bei der Matrizenerstellung im Matrixoperationsmenü wird die Matrix mit Hilfe von
eckigen Klammern eingegeben. Jede Zeile wird ebenso wie die gesamte Matrix eingeklammert, wobei die Zahlen durch Kommata getrennt werden.
1
Laut Handbuch
(
)
x 1,1 x1,2 … x 1,n
x 2,1 x 2,2 … x 2,n ⇐ [ x , x , ... , x ][ x , x ,... , x ] … [ x , x , ... , x ]
[ 1,1 1,2
1, n
2,1
2,2
2,n
m ,1
m ,2
m, n ]
⋮
⋮
⋮
⋮
x m,1 x m ,2 … x m ,n
Nun wird die Matrix auf einem Speicher abgelegt. Hierbei ist zu beachten, dass alle Zeilen die gleiche Anzahl an Zahlen beherbergen, da sonst ein Fehler auftritt (Dim Error).
Beim Rechnen mit den Matrixspeichern ist zu beachten, dass hierbei nur die 26 Buchstaben, sowie der Matrixantwortspeicher „MatAns“ zur Verfügung stehen. Die Buchstabenspeicher werden wie gewohnt mit ALPHA angesteuert, es wird jedoch ein „Mat“
vorangestellt. Dies ist über das Matrixoperationsmenü oder eine Tastenkombination
möglich. Da sich diese Eingabe im Folgenden häufiger wiederholen wird, werde ich sie
durch „ Mat α “ darstellen. Hierbei steht „ α “ für einen Buchstaben der Menge AZ. Es besteht natürlich auch immer die Möglichkeit, die Matrix direkt über die Klammerschreibweise einzugeben. Es sei denn, es besteht ein Bezug zum Abspeichern der
Matrix, da dies sonst nicht möglich ist.
Eingabe(SHIFT):
[SHIFT] ♦ [2] ♦ [ALPHA] ♦ α
Eingabe(MAT):
[OPTN] ♦ [F2] ♦ [F1] ♦ [ALPHA] ♦ α
Mat α
Mat α:
Beliebiger Matrixspeicher, wobei α für einen beliebigen Buchstaben des
Alphabets steht.
Oder direkte Eingabe einer Matrix in eckigen Klammern.
Obwohl die Eingabe über das Matrixoperationsmenü etwas länger ist, so ist sie doch
von Vorteil, da das Menü bis auf Weiteres geöffnet bleibt und für verschiedene Rechenoperationen zur Verfügung steht.
1.1 Grundrechenarten der Matrizenrechnung im RUN•MAT-Menü
Zur Multiplikation, Addition und Subtraktion wird mit den Matrixspeichern gerechnet
oder die Matrizen werden wie oben beschrieben in Klammerschreibweise eingegeben.
Es sind jedoch die Grundvoraussetzungen für Rechenoperationen mit Matrizen einzuhalten. Selbstverständlich sind auch die Multiplikation mit einem skalaren Faktor sowie
Rechenoperationen mit dem Antwortspeicher (Ans) möglich.
1.2 Matrizenumformung im Matrixoperationsmenü
Erstellen einer Einheitsmatrix
Eine Einheitsmatrix besteht nur aus Nullen und Einsen. Hierbei sind die Einsen diagonal von Zelle (0|0) bis Zelle (n|n) angeordnet. Daher hat eine Einheitsmatrix auch immer
gleich viele Zeilen und Spalten.
Eingabe:
[OPTN] ♦ [F2] ♦ [F6] ♦ [F1]
Identity (d )→ Mat α
d:
Dimensionen der Matrix
Mat α:
Zielmatrixspeicher
Natürlich ist es auch möglich eine Einheitsmatrix zu erstellen, ohne sie auf einen Speicher zu schreiben. Dann könnte allerdings nur über den Antwortspeicher mit dieser gerechnet werden.
Augmentieren von zwei vorhandenen Matrizen
Beim Augmentieren werden zwei Matrizen zusammengefügt.
Eingabe:
[OPTN] ♦ [F2] ♦ [F5]
Augment (Mat α , Mat β)
Mat α:
Basismatrix
Mat β:
Anzufügende Matrix
Augmentierbar sind nur Matrizen mit gleich vielen Zeilen.
Auffüllen einer Matrix
Der Fill-Befehl füllt eine vorhandene Matrix neu mit nur einer Zahl auf, diese steht
dann in jeder Zelle.
Eingabe:
[OPTN] ♦ [F2] ♦ [F6] ♦ [F3]
Fill ( x , Mat α)
x:
Zahl, mit der die Matrix aufzufüllen ist.
Mat α:
Zu befüllender Matrixspeicher mit vorhandener Matrix.
Schreiben einer Matrixspalte in eine Liste
Eingabe:
[OPTN] ♦ [F2] ♦ [F2]
Mat→ List ( Mat α ,i)
Mat α:
Ausgangsmatrix mit ausgewählter Spalte.
i:
Index der in eine Liste zu schreibenden Spalte.
Des Weiteren ist es auch möglich, die erstellte Liste auf einen Listenspeicher zu schreiben, hierbei ist zu beachten, dass die Listenspeicherindices mit Nummern belegt sind
und nicht mit Buchstaben. Der List Befehl ist eine Tastenkombination mit SHIFT.
Eingabe:
[SHIFT] ♦ [1]
Mat→ List ( Mat α ,i)→List l
l:
Listenspeicherindex
Transponieren einer Matrix
Beim Transponieren einer Matrix werden ihre Zeilen zu Spalten und die Spalten zu Zeilen.
Eingabe:
[OPTN] ♦ [F2] ♦ [F4]
Trn Mat α
Mat α:
Zu transponierende Matrix.
Dies ist ein besonders praktischer Befehl wenn eine Matrix Zeile in eine Liste übertragen werden soll. Einen Anwendungsbereich stellt die Berechnung des Skalarproduktes
zweier Vektoren dar. Dies ist notwendig, weil in der Matrizenrechnung Zeile mal Spalte
gerechnet wird, Vektoren jedoch immer in Spaltenform stehen.
1.3 Matrizenrechnung im Matrixoperationsmenü
Berechnen des Skalarproduktes zweier Vektoren
Da es sich bei den Vektoren um eine besondere Matrixform handelt, ist hier zu beachten, dass der GTR das Skalarprodukt nicht ohne weiteres berechnen kann. Wie bereits
erwähnt hilft hier das Transponieren einer der beiden Vektoren.
( )( )
x1
x2
∗
y1
y2 ⇔( x1
z1
z2
y1
()
x2
z 1)⋅ y 2
z2
Berechnen der Determinanten
Die Determinante wird zur Inversion von Matrizen benötigt. Hierzu muss es sich um
eine quadratische Matrix handeln, deren Determinante ungleich Null ist.
Eingabe:
[OPTN] ♦ [F2] ♦ [F3]
Det (Mat α)
Mat α:
Matrix, deren Determinante zu berechnen ist. Auch in Klammern
eingebbar.
Inversion einer quadratischen Matrix
Der GTR ist in der Lage quadratische Matrizen, deren Determinante ungleich Null ist zu
invertieren.
Eingabe:
[SHIFT] ♦ [ ) ]
−1
( Mat α )
Aufstellen der reduzierten Stufenform
Das Aufstellen der reduzierten Stufenform ist besonders praktisch, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.
Eingabe:
[OPTN] ♦ [F2] ♦ [F6] ♦ [F5]
Rref Mat α
Mat α:
Eine (n×( n+1)) Matrix wobei n der Anzahl der Variablen entspricht.
Die Zeilen werden wie im linearen Gleichungssystem gefüllt, jede Spalte
steht für eine Variable. In die letzte Spalte gehören die Ergebnisse.
Aufstellen der zeilengestaffelten Stufenform
Die zeilengestaffelte Stufenform wird mit Hilfe des Gaus-Verfahrens aufgestellt.
Eingabe:
[OPTN] ♦ [F2] ♦ [F6] ♦ [F4]
Ref Mat α
Mat α:
Ausgangsmatrix.
Schlusswort
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der GTR ein besonders effizientes Hilfsmittel
darstellt. In Klausuren ist allerdings zu beachten, dass häufig eine manuelle Berechnung
gewünscht ist und der GTR hier lediglich als Möglichkeit der Überprüfung zur Verfügung steht.
Anhang
Beispielaufgaben
Matrizenaddition
(
)
1 −1 1
„Bestimmen Sie mit den Matrizen A= 2
1 0
−1 0 1
2
a) A + B“
Eingabe:
Ausgabe:
(
2 0 −1
und B= −2 1 0
0 3 1
)
[OPTN] ♦ [F2] ♦ [F1] ♦ [ALPHA] ♦ [X,θ,T] ♦ [ + ] ♦ [F1] ♦ [ALPHA] ♦
Mat A+ Mat B
[log] ♦ [EXE]
(
3 −1 0
0
2 0
−1 3 2
)
Matizensubtraktion
(
)
1 −1
„Gegeben sind die Matrizen [...] A=
2 2
(
)
1 −1
, B=
−1 2
[…]
a) A – B“3
Eingabe:
[OPTN] ♦ [F2] ♦ [F1] ♦ [ALPHA] ♦ [X,θ,T] ♦ [ - ] ♦ [F1] ♦ [ALPHA] ♦
Mat A−Mat B
[log] ♦ [EXE]
Ausgabe:
( )
0 0
3 0
Matrizenmultiplikation
„Berechnen Sie das Matrizenprodukt.
Mat A:
Eingabe:
( )
0 1 2
4 2 0
0 3 1
Mat B:
0 1 2 3 1 1
4 2 0⋅1 3 1
0 3 1 4 0 2
„4
3 1 1
1 3 1
4 0 2
[OPTN] ♦ [F2] ♦ [F1] ♦ [ALPHA] ♦ [X,θ,T] ♦ [ x ] ♦ [F1] ♦ [ALPHA] ♦
[log] ♦ [EXE]
2
3
4
( )( )
( )
d)
Lambacher Schweizer, 2011, S.332
Ebenda
Ebenda, S.315
Mat A×Mat B
Ausgabe:
(
9 3 5
14 10 6
7 9 5
)
Potenzieren einer Matrix
( )
A= 1 5
0 0
„Berechnen Sie A², A³ […]
„5
A²:
Eingabe:
[ ( ] ♦ [OPTN] ♦ [F2] ♦ [F1] ♦ [ALPHA] ♦ [X,θ,T] ♦ [ ) ] ♦ [x²] ♦ [EXE]
( Mat A) ²
Ausgabe:
(1)
A³:
Eingabe:
[ ( ] ♦ [F1] ♦ [ALPHA] ♦ [X,θ,T] ♦ [ ) ] ♦ [^] ♦ [ 3 ] ♦ [EXE]
(Mat A)^3
Ausgabe:
(1)
Matrizeninversion
„Bestimmen Sie […] die inverse Matrix von A.
Eingabe:
(
)
„6
[ ( ] ♦ [OPTN] ♦ [F2] ♦ [F1] ♦ [ALPHA] ♦ [X,θ,T] ♦ [ ) ] ♦ [SHIFT] ♦
(Mat A)−1
[ ) ] ♦ [EXE]
Ausgabe:
a)
4 1 −1
A= 1 2 −5
0 −1 2
(
0,2 0,2
0,6
0,4 −1,6 −3,8
0,2 −0,8 −1,4
)
Skalarproduktberechnung
„Überprüfen Sie, ob die sich schneidenden Geraden g und h zueinander orthogonal sind.
()()
2
−5
⃗
x
=
+
s⋅
a) g:
−2
1
0
0
5
6
7
()()
5
−2
⃗
x
=
+
s⋅
; h:
−1
2
0
0
Lambacher Schweizer, 2011, S.315
Ebenda, S.318
Ebenda, S.210
„7
Mat A=(−5 1 0 )
Eingabe:
()
−2
Mat
B=
;
2
0
[OPTN] ♦ [F2] ♦ [F1] ♦ [ALPHA] ♦ [X,θ,T] ♦ [ x ] ♦ [F1] ♦ [ALPHA] ♦
Mat A×Mat B
[log] ♦ [EXE]
Ausgabe:
Antwort:
(12)
Da das Skalarprodukt 12 ist, sind die Vektoren nicht orthogonal.
Lösung von linearen Gleichungssystemen mit der reduzierten Stufenform
„Lösen Sie das lineare Gleichungssystem mithilfe des GTR.
0,4 x 1 +0,8 x 2 +1,3 x 3=4
c) 2,2 x 1−1,4 x 2−3,5 x 3=−8,7 „8
−3x 1−1,5 x 2+ x 3=−2,5
() ( ) ( ) ( )
0,4
x⃗1= 2,2
−3
0,8
x⃗2= −1,4
−1,5
(
1,3
x⃗3= −3,5
1
4
n = −8,7
⃗
−2,5
)
0,4 0,8
1,3
4
Mat A= 2,2 −1,4 −3,5 −8,7
−3 −1,5
1
−2,5
Eingabe:
[OPTN] ♦ [F2] ♦ [F6] ♦ [F5] ♦ [F6] ♦ [F1] ♦ [ALPHA] ♦ [X,θ,T] ♦
[EXE]
Rref Mat A
Ausgabe:
( )
Ergebnis:
x 1=
45
1154
332
0 1 0 2
577
277
0 0 1 1
577
1 0 0
8
45
332
277
, x 2=2
und x 3=1
1154
577
577
Lambacher Schweizer, 2011, S.200
Literaturverzeichnis
Manfred Baum u. a.: Lambacher Schweizer. Stuttgart, 2011
Bedienungsanleitung des GTR
Hiermit versichere ich, dass ich die Facharbeit selbstständig verfasst und keine
anderen Quellen und Hilfsmittel als die angegebenen benutzt habe.