La recta numérica, un camino al estudio de los números reales 1

La recta numérica, un camino al estudio de los números reales 1

Subject
Title of LO 3
Related
Learning
Resource
(Pre class)
Mathema
tics
Grade
8
UoL 1
La recta numérica, un camino al
estudio de los números reales
Descripción del conjunto de números racionales
Grade: 7
UoL1: Números enteros y racionales: invenciones humanas para resolver
problemas
L06 : Identifica las operaciones entre números racionales
Resource:
Grade: 7
UoL1: Números enteros y racionales: invenciones humanas para resolver
problemas
L04 : Identificación del conjunto de números racionales
Resource
Grade: 7
UoL1: Números enteros y racionales: invenciones humanas para resolver
problemas
L05: Identificación de las representaciones de números racionales
Grade: 8
UoL1: La recta numérica, un camino al estudio de los números reales
L01: Descripción del conjunto de números naturales
L02: Descripción del conjunto de números enteros
Learning Objectives
Skill/Knowledge
Learning Flow
Identificar las propiedades del conjunto de números racionales
Determinar las características del conjunto de los números racionales
1. SCO: Reconoce las propiedades del conjunto de números racionales
1.1 Identifica elementos del conjunto de los números racionales a partir
de la definición
1.2 Representa números racionales a través de fracciones y decimales
1.3 Encuentra fracciones equivalentes a un racional, dado mediante
amplificación y simplificación
1.4 Convierte números racionales en su forma de representación
fraccionaria a representación decimal
1.5 Convierte números racionales en su forma de representación decimal,
a representación fraccionaria
1.6 Ubica números racionales en la recta numérica
1.7 Ordena números racionales en su representación fraccionaria
1.8 Ordena números racionales en su representación decimal
1.9 Ordena números racionales en sus diferentes representaciones
Introducción
Objetivos
Actividades principales
Actividad 1. Definición y elementos de los números racionales
Actividad 2. Ubicación de los racionales sobre la recta numérica
Actividad 3. Transformación de los números racionales (de fracciones a decimales
y viceversa)
Actividad 4. Encuentra fracciones equivalentes
Actividad 5. Encuentra fracciones equivalentes a través de la amplificación y la
simplificación
Actividad 6. Ordena números racionales en sus diversas presentaciones
Actividad 7.Ubica y ordena
Resumen
Tareas
Se espera que el estudiante compare, ordene, y ubique en la recta números
racionales para utilizarlos en operaciones dentro de este conjunto numérico;
además interprete, modele y solucione problemas de su cotidianidad.
Recommendable
Learning Flow Teaching/Learning Activities
Media / Materials
Recurso 1
Recurso
animación
Recurso
2
interactivo
Se presenta una animación donde un grupo de niños Objetivos de la
se come una pizza, introduciendo a los estudiantes en clase.
el concepto de las fracciones y las equivalencias de Identificar
las
Intro:
estos.
propiedades del
conjunto
de
El docente presenta los objetivos de la clase por medio números
de un interactivo.
racionales.
Determinar
las
características del
conjunto de los
números
racionales
Assessment
Guideline
Stage
Intro
Actividad 1. (S/k 1.1)
Definición y elementos de los números racionales
Recurso3
Recurso
Los estudiantes observan la animación y luego, Interactivo,
se
apoyados en la imagen presentada, responden las donde
presenta
un
siguientes preguntas:
diagrama sobre el
conjunto de los
racionales y el
estudiante
responde
una
serie
de
preguntas.
Teacher
presents
topic
1. ¿Qué conjuntos numéricos están dentro del
conjunto de los racionales?
2. Escribe dentro de la gráfica, al menos cuatro
elementos para cada uno de los conjuntos
3. Si tiene una tira de papel como esta,
Material
estudiante.
del
Recurso 4:
Recurso
animación, donde
se
explican
aspectos
relevantes sobre
los
números
racionales y su
representación
sobre la recta
numérica
y la doblas a la mitad, ¿qué número
obtienes?, si la vuelves a doblar a la mitad,
¿qué número obtienes? ¿cuántas veces
puedes seguir doblando el papel? . Ahora
piensa en la recta numérica, ¿cuantos
números racionales hay en un segmento de
unidad, por ejemplo, entre el tres y el cuatro?
4. ¿De acuerdo al signo o la posición en la que
se encuentren con respecto al cero, sobre la
recta numérica, los racionales pueden ser?
5. Teniendo en cuenta el comportamiento de los
números enteros en la recta numérica:

Un número racional que esté a la derecha del
cero y más alejado de este, ¿cómo es con
respecto a los demás números?

En igual sentido, un número que esté a la
izquierda del cero y más alejado de este,
¿cómo es con respecto a los números que
están a la derecha de él mismo?
6. Retomando la animación de los niños
comiendo pizza, ¿un número racional se
puede representar en qué formas?
7. De acuerdo a las preguntas anteriores:
Enuncia cuatro características de los números
racionales.
8. Por último, y teniendo en cuenta las preguntas
anteriores, da una definición del conjunto de
los números racionales.
El docente revisa lo realizado por los estudiantes, y
retroalimenta toda la actividad, haciendo preguntas
que permitan confirmar el afianzamiento de los
conceptos
Respuesta:
1.
2.
3.
4.
5.
El conjunto de los números naturales
El conjunto de los números enteros
Infinitos números
Positivos o negativos
* Es mayor
* Es menor
6. * En forma fraccionaria
* En forma decimal
7. Algunas características son:
 No poseen un consecutivo fijo, pues entre cada
número racional existen infinitos números.
 Se pueden representar en la recta numérica.
 Es un conjunto infinito.
 Pueden estar representados por fracciones o
decimales, e incluyen valores positivos y
negativos.
 Las fracciones positivas más alejadas del 0 son
mayores, y las fracciones negativas entre más
alejadas del cero son menores
8. Una definición es: aquel que contiene los
números de la forma a/b, con b diferente de
cero
Actividad 2. (S/k1. 6)
Ubicación de los números racionales en sobre la
recta numérica
El docente presenta la animación sobre la ubicación de
los números racionales en la recta numérica.
Recurso 5
Recurso
interactivo, donde
el
estudiante
ubica racionales
sobre la recta
numérica
Material
del
Después de observar la animación, los estudiantes estudiante
ubican algunos números racionales en la recta
numérica, representados por círculos de diferentes
colores.
El docente revisa lo realizado por los estudiantes y
retroalimenta toda la actividad, haciendo preguntas
que permitan confirmar el afianzamiento de los
conceptos
Recurso 6
Recurso
Interactivo
donde
estudiante
el
Actividad 3 (S/k 1 . 4 ., 1. 5)
resuelve una serie
de preguntas
Transformación de los números racionales
El docente presenta una serie de oraciones y a partir de
ellas se formulan un par de preguntas, con el fin de
introducir el tema de la transformación de los números
racionales, de su representación fraccional a su
representación decimal y viceversa.
Oraciones:
A) Deme un octavo de pintura
B) Necesito un cuarto de galón de gasolina
C) Media libra de arroz
D) Un cuarto de pulgada
E) Compraré cuatro kilos y medio de papa
F) He caminado un tercio del recorrido
Preguntas:
1. ¿A qué conjunto numérico pertenecen los
números que representan las oraciones?
R/ Al conjunto de los números racionales en su
representación fraccionaria y decimal
2. Escribe el número específico que representa
cada oración
R/ A) 1/8 o 0,125; B) ¼ o 0,25 C)0,5 o ½ D) Recurso 7
¼ o 0,25; E)4,5; F) 1/3 o 0,333
(para esta respuesta se consideró la posibilidad
de que el estudiantes escriba decimales o
fraccionarios)
Posteriormente, el profesor presenta una animación
donde se transforman racionales de su representación
fraccionaria a su representación decimal y viceversa, y
a partir de ella plantea un par de ejercicios.
Ejercicio 1.
De acuerdo a la animación de la actividad y a la
clasificación de los decimales, realiza las operaciones e
Recurso
animación
Donde
se
presenta a través
del recorrido de
un ciclista la
transformación
de los racionales
en
su
representación
fraccionaria
a
decimal
y
viceversa.
Además, incluye
una imagen sobre
la clasificación de
los decimales en
las que
se explica cómo se
representan
racionales
en
forma
indica qué tipo de decimales son. Para ello arrastra al
lugar correcto los resultados hasta los espacios vacíos
en el esquema (da el resultado con tres decimales).
Adicionalmente, en el Material del estudiante indica
qué características tienen los números que calculaste.
=
23,75
=
0,166
Los números
decimales
Finitos
=
2,333
=
31,25
=
60,333
23,75
fraccionaria
y
decimal, a través
de
la
representación de
un ciclista que
recorre
una
distancia
Infinitos
31,25
Periódicos
No
periódicos
Puros
2,333
60,333
Mixtos
Recurso 8
Recurso
interactivo,
El docente revisa el desarrollo de la actividad y donde
el
socializa los resultaos en la clase, y presenta algunas estudiante
características
clasifica números
decimales
y
23,75 y 31,25: tiene una cantidad de cifras decimales finitas
transforma
fracciones
a
0,166 y 1,255: a partir de la segunda cifra decimal tiene un
decimales.
período infinito, es decir que dichas cifras se repiten
=
1,255
1,255
0,166
indefinidamente
2,333 y 60,333: todas sus cifras decimales forman el período,
es decir que se repiten indefinidamente
Material
estudiante
del
Ejercicio 2.
El estudiante transforma números racionales en su
representación decimal a su representación
fraccionaria, y los simplifica hasta donde sea posible.
3
8
7
25
9
20
0,12 =------ ; 0,88 =------ ; 0,35= -----Recursos 9,10 y
11.
Recursos
interactivos,
El docente revisa lo realizado por los estudiantes y
retroalimenta toda la actividad, haciendo preguntas
que permitan confirmar el afianzamiento de los donde
se
conceptos
presentan
una
imagen y a partir
de
él,
los
estudiantes
resuelve una serie
de
preguntas,
ejercicios
y
resuelven
una
situación
problema
Actividad 4 (S/k 1., 3)
Racionales equivalentes
El docente presenta una imagen a partir de la cual los
estudiantes resuelven una serie preguntas y ejercicios,
para introducir el tema de equivalencias, y después
resuelven una situación problema.
Preguntas
1. De acuerdo a la imagen anterior, ¿cómo es
cada racional y la torta qué representa, con
respecto a los demás racionales de la imagen?
R/ igual o equivalente
2. Dé una definición de lo que son los números
racionales equivalentes, para ello, complete la
siguiente oración arrastrando las palabras
dadas, hasta el lugar correcto.
Racionales equivalentes son aquellas __Fracciones__
que representan una _misma_ cantidad a pesar que
se escriben con números _diferentes_
3. Multiplica en cruz los siguientes racionales y
observa el resultado de cada multiplicación, e
indica cuál par de racionales es equivalente.
Para ello haz clic en los círculos.
Situación:
Material
estudiante.
del
Los estudiantes realizan un ejercicio donde a partir de
una serie de fracciones, identifican cuáles son
equivalentes a una fracción dada, así :
en un cultivo de flores las rosas ocupan
del cultivo.
del total
De las siguientes fracciones, selecciona las que son
equivalentes al área que cubre el cultivo de rosas. Para
ello marca con un chulo en los recuadros, las que
corresponden.
El docente revisa lo realizado por los estudiantes y
retroalimenta toda la actividad, haciendo preguntas
que permitan confirmar el afianzamiento de los
conceptos.
Actividad 5 (S/k 1.3)
Amplificación y simplificación
El docente presenta un interactivo donde se presenta
un diagrama para que a partir de este, el estudiante
pueda identificar en qué consiste el proceso de
amplificación y simplificación.
Recursos 12, 13
y 14
Recursos
interactivos, sobre
la amplificación y
simplificación, a
través del cual el
estudiante puede
deducir en qué
consisten ambos
procesos y cómo
a través de ellos
se encuentran las
fracciones
equivalentes de
una fracción dada
Material del
estudiante
Amplificación
Simplificación
Ejercicio 1
a) De acuerdo a la imagen de amplificación y
simplificación, define
cada proceso
y
descríbelo:
Amplificación:
• Es el proceso mediante el cual se amplifica un
número racional, y el número resultante es
otro racional equivalente al primero.
•
Dicho proceso consiste en multiplicar el
numerador y el denominador de un número
racional en su representación fraccionaria, por
un mismo número, diferente de cero.
Simplificación:
• Es el proceso mediante el cual se reduce un
número racional en su representación
fraccionaria y el número resultante es otro
racional equivalente al primero.
• Dicho proceso consiste en dividir numerador y
el denominador por un mismo número,
diferente de cero.
• Las fracciones entre sí son: equivalentes
b) ¿ Qué relación tienen entre sí, las fracciones
resultantes del proceso de amplificación y
simplificación?
R/ Una relación de equivalencia
Ejercicio 2
Ejercicio de amplificación:
Piensas dividir la torta de tu fiesta en ocho porciones
iguales, y repartir solo la mitad de esta entre tus cuatro
invitados, dando a cada uno de ellos la misma cantidad.
Pero si cada invitado lleva un amigo, encuentra por
medio de la amplificación la fracción equivalente que
te permita dar un pedazo de torta igual a cada uno, y
que solo implique la repartición de la mitad de la torta.
R/ Si la fracción inicial es de
, para amplificar la
fracción debes multiplicar el numerador y el
denominador por dos, para así duplicar el número de
invitados y el número de porciones de torta, entonces
la nueva representación de la fracción es:
Ejercicio 3
Ejercicio de simplificación
Una granja está dividida en doce corrales iguales, de los
cuales nueve están destinados para gallinas. Debido a
que hoy se vendió una tercera parte de las gallinas, el
granjero desea reducir el número de corrales y así
brindar a las gallinas corrales más amplios, pero sin
cambiar el área total que sumaban los doce corrales, ni
la proporción del área total que se usaba para las
gallinas.
Encuentra por medio de la simplificación la fracción
equivalente que le permita lograr su deseo.
Respuesta
Área inicial ocupada
1 2 3
4
5
6
7
8
9
por las gallinas
10
11
12
Si la fracción inicial es
, para simplificar la
fracción debes dividir el numerador y el denominador
por 3, para que puedas encontrar el nuevo número de
corrales. Entonces la nueva fracción es
Actividad 6. (S/k 1.6., 1.7., 1.8., 1.9) Compara números
racionales en sus diversas representaciones
El docente presenta un interactivo sobre la recta
numérica de los racionales, y solicita a los estudiantes
resolver una serie de ejercicios sobre la forma de
ordenar números racionales, para lo cual los invita a
repasar la primera actividad.
Basados en la siguiente imagen responde las siguientes
preguntas:
Recurso 15:
Recurso
interactivo, donde
se presentan la
recta numérica de
los racionales y
se solicita a los
estudiantes
4.5
resolver una serie
de preguntas
Pregunta 1
¿Es mayor -5,25 que -1,5?
R/ No. Es mayor -1,5 que – 5,25. Una forma de
corroborarlo es por su posición en la recta. Recuerda
que todo número racional que esté más a la izquierda
del cero es menor que los números que estén a su
derecha, y todo número que esté más a la derecha del
cero es mayor que los números que estén a su
izquierda. Es decir que la forma de ordenarlos es igual
a la de los números enteros.
Pregunta 2.
¿Es menor -11/3 que -1/3?
R/ Sí. (la retroalimentación va acompañada de la misma
justificación que la pregunta 1).
Pregunta 3.
¿Es mayor 1/2 que 11/3?
R/ No (la retroalimentación va acompañada de la
misma justificación que la pregunta 1).
Pregunta 4
Recurso 16
Recurso
interactivo
Donde los
estudiantes
comparan
racionales
teniendo en
cuenta si el
denominador es
igual o diferente,
así como el
numerador
¿Es mayor 4.5 que -1.5?
R/ Sí. (la retroalimentación va acompañada de la misma Material del
estudiante
justificación que la pregunta 1).
Pregunta 5
¿Es mayor -11/3 que 11/3?
R/ No (la retroalimentación va acompañada de la
misma justificación que la pregunta 1).
Además se le solicita a los estudiantes comparar una
serie de racionales teniendo en cuenta si el
denominador es igual o diferente, así como el
numerador; para ello, deben completar la oración con
la palabra correcta.
El docente revisa lo realizado por los estudiantes y
retroalimenta toda la actividad, haciendo preguntas
que permitan confirmar el afianzamiento de los
conceptos.
Ejercicio 1.
Si dos fracciones tienen igual numerador, es mayor la
de _menor_ denominador
Ejercicio 2
Si dos fracciones tienen igual denominador, es mayor
la de _mayor_ numerador
Ejercicio 3
¿Cuál fracción es mayor?
Si las dos fracciones tienen diferente numerador y
denominador, un camino para llegar a la respuesta es
utilizar el mínimo común múltiplo (m.c.m).
El docente presenta un ejemplo donde se da el paso a
paso, y pide a los estudiantes resolver un ejercicio en
su material.
Después de ver el ejemplo compara 2/4 y 1/3 y
socializa tu resultado en clase.
Ejercicio 4
Compara las cifras del número de la izquierda con las
cifras del número de la derecha, y al final indica cuál de
los dos números es menor que el otro.
Para ello usa los signos = y <
R/
El docente revisa lo realizado por los estudiantes y
retroalimenta toda la actividad, haciendo preguntas
que permitan confirmar el afianzamiento de los
conceptos.
Actividad 7. (S/k 1.6., 1. 7., 1. 8., 1.9)
Ubica y ordena números racionales
Con base en la actividad anterior, el docente solicita a
los estudiantes que ubiquen y ordenen una serie de
números racionales.
-1,5
es>
es>
es>
0,7,5
es>
0,2,5
es>
Recurso 17
R/
0,25
-1,5
12/8
es>
0,75
es>
0,25
0,7,5
es> - 6/6 es> -1,5 es> - 9/4
Recurso
interactivo, donde
el estudiante
ubica y ordena
números
racionales
Material del
estudiante
El docente presenta un resumen por medio de un mapa
conceptual que cubre todo lo visto sobre los números
racionales.
Wrap-up
El
docente
presenta
un
resumen
por
medio de
un
mapa conceptual
que cubre todo lo
visto sobre los
números
racionales
Summary
Esta imagen es la
misma
que
aparece en el
Story board
Q1: Los estudiantes ordenan de menor a mayor
números racionales, para lo cual usan el signo <
Material
estudiante
R/
del
1/5 < 0.25 < 0.4 < 4/9 < 7/8 < 8/9 < 2.5
Assignm
ent
Assessment
(Post class)
Q2: Los estudiantes transforman números racionales
en su representación fraccionaria a su representación
decimal, o al contrario, dependiendo del número dado.
Diferentes medios
de referencia.
Ejercicios
resolver.
R/
1. 6.2597 = 62597/10000
2. 258,1217 = 2581217/10000
para
3. 58/65 = 0.892307692307692
4. 78/160 = 0.4875
Q3: los estudiantes desarrollan una situación problema
donde aplican el concepto de equivalencias de números
racionales en su representación fraccionaria.
Un grupo de cuatro estudiantes decide realizar un taller
de matemáticas de 24 ejercicios:
El primero decide hacer
1/4
El segundo piensa en hacer 8/32
El tercero dice hacer
4/16
El cuarto se decide por
2/8
Y entre los cuatro deciden que si falta algo lo hará un 5o
miembro.
¿Cual hizo más ejercicios?
R/ Todos hicieron igual cantidad de trabajo