Ejercicios 2

´
Ejercicios de Algebra
y Geometr´ıa Anal´ıtica
Profr. Fausto Cervantes Ortiz
Recta
Dibujar las rectas indicadas
1. y = −x + 1
2. y = −2x +
5
2
3. y = x + 2
4. y = −x + 2
5. y = 2x −
3
2
6. y = 32 x +
1
2
7. y = − 52 x + 3
8. y = 12 x +
3
2
9. y = − 32 x + 3
10. y = 0x +
5
2
Encontrar la pendiente de las rectas que pasan por los puntos dados
1. (3,-7), (1,0)
2. (-4,-1), (1,-1)
3. (5,2), (4,-3)
4. (1,4), (6,-2)
5. (-1,2), (3,-2)
6. (8,− 12 ), (2, 52 )
7. 3x − 4y + 12 = 0
8.
1
2x
− 3y = 3
9. 2x − 3y = 9
10. −4x − 2y + 6 = 0
1
11. 2x + 5y − 8 = 0
12.
y
2
−
x
10
−1=0
13. y + 23 y = 1
14. y = 2x + 6
Encontrar la ecuaci´
on de cada recta que pasa por (1,2) y con la pendiente indicada
1.
2
3
2.
1
10
3. 0
4. −2
5. −1
6. Indefinida
Encontrar la ecuaci´
on de la recta que satisface las condiciones dadas
1. Pasa a trav´es de (2,3) y (6,-5)
2. Pasa a trav´es de (5,-6) y (4,0)
3. Pasa a trav´es de (8,1) y (-3,1)
4. Pasa a trav´es de (2,2) y (-2,-2)
5. Pasa a trav´es de (0,0) y (a, b)
6. Pasa por (-2,4) y es paralela a 3x + y − 5 = 0
7. Pasa por (1,-3) y es paralela a 2x − 5y + 4 = 0
8. Pasa por (5,-7) y es paralela al eje y
9. Pasa por el origen y es paralela a la recta que pasa por (1,0) y (-2,6)
10. Pasa por (2,3) y es perpendicular a x − 4y + 1 = 0
11. Pasa por (0,-2) y es perpendicular a 3x + 4y + 5 = 0
12. Pasa por (-5,-4) y es perpendicular a la recta que pasa por (1,1) y (3,11)
13. Pasa por el origen y es perpendicular a cualquier recta de pendiente 2
Determinar cu´
ales pares de rectas son paralelas y cu´ales son perpendiculares
1.
a) 3x − 5y + 9 = 0
b) 5x = −3y
c) −3x + 5y = 2
2
d ) 3x + 5y + 4 = 0
e) −5x − 3y + 8 = 0
f ) 5x − 3y − 2 = 0
2.
a) 2x + 4y + 3 = 0
b) 2x − y = 2
c) x + 9 = 0
d) x = 4
e) y − 6 = 0
f ) −x − 2y + 6 = 0
3.
a) 3x − y − 1 = 0
b) x − 3y + 9 = 0
c) 3x + y = 0
d ) x + 3y = 1
e) 6x − 3y + 10 = 0
f ) x + 2y = −8
4.
a) y + 5 = 0
b) x = 7
c) 4x + 6y = 3
d ) 12x − 9y + 7 = 0
e) 2x − 3y − 2 = 0
f ) 3x + 4y − 11 = 0
Encontrar los puntos donde se intersecan los siguientes pares de rectas
1. x + y = 0, 3x + 2y = 0
2. x + y = 4, 2x − y = 5
3. x + 2y = 1, 2y + x = − 14
4.
1
2x
+ 41 y = −1, − 43 x + 14 y = 4
5. y = x + 2, y = 2x + 1
6. y = x − 2, y = −x + 6
7. y = − 12 x + +4, y = 12 x − 4
8. y = − 34 x + 74 , y = 43 x +
7
4
9. y = 32 x − 52 , y = − 41 x +
9
2
10. y = − 25 x + 12 , y = − 54 x +
7
2
3
Circunferencia
Encontrar la ecuaci´
on para cada una de las siguientes circunferencias con centro en el origen:
1. Radio r = 4
R: x2 + y 2 = 16
2. Radio r = 9
R: x2 + y 2 = 81
3. Di´ametro 7
R: x2 + y 2 = 12,25
4. Di´ametro 11
R: x2 + y 2 = 30,25
5. Pasa por el punto (−3,3)
R: x2 + y 2 = 18
6. Pasa por el punto (5,−12)
R: x2 + y 2 = 169
R: x2 + y 2 = 65
7. Pasa por el punto (8,1)
Encontrar el centro y el radio
1. x2 + y 2 = 5
2. x2 + y 2 = 9
3. x2 + (y − 3)2 = 49
4. (x + 2)2 + y 2 = 36
5. (x − 12 )2 + (y − 32 )2 = 1
6. (x + 3)2 + (y − 5)2 = 25
7. x2 + y 2 + 8y = 0
8. x2 + y 2 − 6x = 0
9. x2 + y 2 + 2x − 4y − 4 = 0
10. x2 + y 2 − 18x − 6y − 10 = 0
11. x2 + y 2 − 20x + 16y + 128 = 0
12. x2 + y 2 + 3x − 16y + 63 = 0
13. 2x2 + 2y 2 + 4x + 16y + 1 = 0
14.
1 2
2x
+ 12 y 2 + 52 x + 10y + 5 = 0
Encontrar la ecuaci´
on de cada circunferencia, con las caracter´ısticas que se especifican
R: x2 + y 2 − 6x + 8y − 11 = 0
1. Centro en (3,-4), radio 6
R: x2 + y 2 − 10x + 24y = 0
2. Centro en (5,-12), radio 13
3. El segmento que une a los puntos (−1, 5) y (−5, −7) es un di´ametro R: x2 + y 2 + 6x + y = 30
4. El segmento que une a los puntos (−3, −4) y (4, 3) es un di´ametro R: x2 + y 2 − x + y1 = 49/2
4
R: x2 + y 2 − 2x + 6y − 70 = 0
5. Centro en (1, −3) y pasa por (−3, 5)
Encontrar la ecuaci´
on de cada circunferencia
1. Centro en (0,0), radio 1
2. Centro en (1,-3), radio 5
√
3. Centro en (0,2), radio 2
4. Centro en (-9,-4), radio
3
2
5. Extremos del di´
ametro en (-1,4) y (3,8)
6. Extremos del di´
ametro en (4,2) y (-3,5)
7. Centro en (0,0) y pasa por (-1,-2)
8. Centro en (4,-5) y pasa por (7,-3)
9. Centro en (5,6) y la gr´
afica es tangente al eje x
10. Centro en (-4,3), gr´
afica tangente al eje y
Bosquejar el conjunto de puntos que satisfacen cada desigualdad
1. x2 + y 2 ≥ 9
2. (x − 1)2 + (y + 5)2 ≤ 25
3. 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4
4. x2 + y 2 > 2y
Encontrar las intersecciones con los ejes x y y
1. El c´ırculo con centro en (3,-6) y radio 7
2. x2 + y 2 + 5x − 6y = 0
3. y = −3x
4. y − 2x = 0
5. −x + 2y = 1
6. 2x + 3y = 6
7. x = y 2
8. y = x3
9. y = x2 − 4
10. x = 2y 2 − 4
11. y = x2 − 2x − 2
5
12. y 2 = 16(x + 4)
13. y = x(x2 − 3)
14. y = (x − 2)2 (x + 2)2
p
15. x = − y 2 − 16
16. y 3 − 4x2 + 8 = 0
17. 4y 2 − x2 = 36
18.
x2
25
+
y2
9
=1
19. y =
x2 −7
x3
20. y =
x2 −10
x2 +10
21. y =
x2 −x−20
x+6
22. y =
(x+2)(x−8)
x+1
√
x−3
√
24. y = 2 − x + 5
23. y =
25. y = |x − 9|
26. x = |y| − 4
27. |x| + |y| = 4
28. x + 3 = |y − 5|
En los ejercicios siguientes hallar el centro y el radio de la circunferencia dada
1. x2 + y 2 − 8x + 10y − 12 = 0
R: (4, −5), r =
2. 2x2 + 2y 2 − x = 0
√
53
R: (1/4, 0), r = 1/4
√
R: (4, 7/2), r = 31 113
√
R: (4, −5), r = 53
3. x2 + y 2 − 8x − 7y = 0
4. 5x2 + 5y 2 − 32x − 8y − 34 = 0
Par´
abola
Hallar la ecuaci´
on de la par´
abola cuyo v´ertice est´a en el origen , sabiendo que:
1. Est´a ubicada en el semiplano derecho, es sim´etrica con respecto al eje x y a = 3/2 R: y 2 = 6x
2. Est´a ubicada en el semiplano izquierdo, es sim´etrica con respecto al eje x y a = 1/2
y 2 = −2x
R:
3. Est´a ubicada en el semiplano superior, es sim´etrica con respecto al eje y y a = 1/4 R: x2 = y
6
4. Est´a ubicada en el semiplano inferior, es sim´etrica con respecto al eje y y a = 3 R: x2 = −12y
5. Es sim´etrica con respecto al eje x y pasa por el punto (9, 6)
y 2 = 4x
6. Es sim´etrica con respecto al eje x y pasa por el punto (−1, 3)
y 2 = 4x
x2 = y
7. Es sim´etrica con respecto al eje y y pasa por el punto (1, 1)
x2 = −2y
8. Es sim´etrica con respecto al eje y y pasa por el punto (4, −8)
x2 = −12y
9. Tiene su foco en (0, −3) y su eje coincide con el eje y
Determinar el valor de a y las coordenadas del foco para cada una de las siguientes par´abolas:
1. y 2 = 12x
2. a = 3, f = (3, 0)
3. x2 = 5y
4. a = 5/4, f = (0, 5/4)
5. y 2 = 4x
6. a = 1, f = (−1, 0)
7. x2 = −y
8. a = 1/4, f = (0, −1/4)
Dibujar las siguientes par´
abolas
1. (y − 2)2 = 4(x − 1)
2. (y − 3)2 = 2(x − 2)
3. (y + 1)2 = −(x + 3)
4. (y + 1)2 = 3(x − 6)
5. (y − 2)2 = −5(x − 6)
6. (x − 2)2 = 2(y − 6)
7. (x − 7)2 = 11(y + 9)
8. (x + 52 )2 = − 12 (y − 34 )
9. (x + 34 )2 = − 65 (y − 23 )
10. (x + 8)2 = −(y + 8)
Encontrar la ecuaci´
on general de la par´abola con las siguientes caracter´ısticas:
1. V´ertice en (3, 4), eje horizontal, pasa por (2, −5)
R: y 2 + x + 8y + 13 = 0
2. V´ertice en (−1, −2), eje vertical, pasa por (3, 6)
R: x2 + 2x − 2y − 3 = 0
7
R: y 2 − 11y − 18x − 14 = 0
3. Eje horizontal, pasa por (−1, 1), (3, 4) y (2, −2)
R: y 2 + 2y − x − 2 = 0
4. Eje vertical, pasa por (0, 0), (3, 0) y (−1, 4)
Encontrar las coordenadas del foco, v´ertice y los extremos del lado recto de las siguientes par´
abolas
1. y 2 − 4y + 8x − 28 = 0
R: (2, 2), (4, 2), (2, 6), (2, −2)
2. x2 + 2x + 12y + 37 = 0
3. (−1, −6), (−1, −3), (−7, −6), (5, −6)
4. y 2 + 6y + 10x − 1 = 0
R: (−3/2, −3), (1, −3), (−3/2, 2), (−3/2, −8)
5. y 2 − 6y − 4x + 9 = 0
R: (1, 3), (0, 3), (1, 1), (1, 5)
Elipse
Hallar la ecuaci´
on de la elipse cuyos focos est´an en el eje de las abscisas y son sim´etricos con
respecto al origen de coordenadas, sabiendo que:
1. Sus semiejes miden 5 y 2
R:
x2
25
+
y2
4
=1
2. Su eje mayor mide 10 y la distancia entre sus focos 2c = 8
R:
x2
25
+
y2
9
=1
y2
144
=1
3. Su eje menor mide 24 y la distancia entre sus focos 2c = 10
4. La distancia entre sus focos es 2c = 6 y la excentricidad es e = 3/5
R:
x2
169
R:
+
x2
25
+
y2
16
=1
5. Su eje mayor miden 20 y la excentricidad es e = 3/5
R:
x2
100
+
y2
64
=1
6. Su eje menor mide 10 y la excentricidad e = 12/13
R:
x2
169
+
y2
25
=1
7. La distancia entre sus v´ertices es igual a 10 y la distancia entre sus focos es 4 R:
x2
25
+
y2
9
=1
8. Su eje menor miden 8 y la distancia entre sus focos es igual a 6
R:
x2
25
+
y2
16
=1
9. Su eje menor miden 6 y la distancia entre sus v´ertices es igual a 14
R:
x2
49
+
y2
9
=1
R:
x2
64
+
y2
48
=1
10. La distancia entre sus v´ertices es igual a 32 y la excentricidad es e = 1/2
Hallar la ecuaci´
on de la elipse cuyos focos est´an en el eje de las ordenadas y son sim´etricos con
respecto al origen de coordenadas, sabiendo que:
1. Sus semiejes miden 7 y 2
R:
x2
4
+
y2
49
=1
2. Su eje mayor mide 10 y la distancia entre sus focos 2c = 8
R:
x2
16
+
y2
25
=1
y2
169
=1
y2
25
=1
3. Su eje menor mide 24 y la distancia entre sus focos 2c = 10
4. La distancia entre sus focos es 2c = 6 y la excentricidad es e = 3/5
8
R:
x2
144
R:
+
x2
16
+
5. Su eje mayor miden 20 y la excentricidad es e = 3/5
R:
x2
64
+
y2
100
=1
6. Su eje menor mide 10 y la excentricidad e = 12/13
R:
x2
25
+
y2
169
=1
7. La distancia entre sus v´ertices es igual a 10 y la distancia entre sus focos es 4 R:
x2
9
+
y2
25
=1
8. Su eje menor miden 8 y la distancia entre sus focos es igual a 6
R:
x2
16
+
y2
25
=1
9. Su eje menor miden 6 y la distancia entre sus v´ertices es igual a 14
R:
x2
9
+
y2
49
=1
R:
x2
48
+
y2
64
=1
10. La distancia entre sus v´ertices es igual a 32 y la excentricidad es e = 1/2
Hallar la ecuaci´
on de la elipse que satisface las condiciones dadas:
1. Centro en (5,1), v´ertice en (5,4), un extremo del eje menor en (3,1)
9x2 − 90x + 225 + 4y 2 − 8y − 32 = 0
R:
R: 20x2 + 36y 2 − 216y − 396 = 0
2. V´ertice en (6,3), focos en (−4, 3) y (4, 3)
3. V´ertice en (−1, 3) y (5,3), longitud del eje menor 4
R: 4(x − 2)2 + 9(y − 3)2 = 270
4. Focos en (−4, 2) y (4, 2), longitud del eje mayor 10
R: 9x2 + 25(y − 2)2 = 225
5. Centro en (−2, 2), un v´ertice en (−2, 6), un foco en (−2, 2 +
16(x + 2)2 + 4(y − 2)2 = 64
√
12)
R:
Para las siguientes elipses, encontrar las coordenadas del centro, los focos, v´ertices, extremos del
eje menor y del lado recto
1. 16x2 + 25y 2 + 160x + 200y + 400 = 0
(−5, −8), (−5, 0), (−5 ± 3, −4 ± 16/5)
R: (−5, −4), (−8, −4), −2, −4), −10, −4), (0, −4),
2. 4x2 + y 2 + 8x − 4y − 8 = 0 √
R: (−1, 2), (−1, 2 −
(−3, 2), (1, 2), (−1 ± 1, 2 ± 12)
3. 25(x + 1)2 + 169(y − 2)2 = 4225
(−1, 7), (2 ± 8, 3 ± 225/17)
√
12), (−1, 2 +
√
12), (−1, −2), (−1, −6),
R: (−1, 2), (−13, 2), (11, 2), (−14, 2), (12, 2), (−1, −3),
4. 225(x − 2)2 + 289(y − 3)2 = 65,025 R: (2, 3), (−6, 3), (10, 3), (−15, 3), (19, 3), (2, −12), (2, 18),
(2 ± 8, 3 ± 225/17)
Hip´
erbola
Hallar la ecuaci´
on de la hip´erbola cuyos focos est´an situados en el eje de las abscisas y son
sim´etricos con respecto al origen de coordenadas, sabiendo adem´as que:
1. Sus ejes miden 2a = 10 y 2b = 8
R:
x2
25
−
y2
16
=1
2. La distancia entre sus focos es 2c = 10 y el eje menor mide 2b = 8
R:
x2
9
−
y2
16
=1
3. La distancia entre los focos es 2c = 6 y la excentricidad es e = 3/2
R:
x2
4
−
y2
5
=1
9
4. El eje mayor mide 2a = 16 y la excentricidad es e = 5/4
R:
x2
64
−
y2
36
=1
5. Las ecuaciones de las as´ıntotas son y = ± 43 x y la distancia entre los focos es 2c = 20 y 2b = 8
2
2
R: x36 − y64 = 1
Hallar la ecuaci´
on de la hip´erbola cuyos focos est´an situados en el eje de las ordenadas y son
sim´etricos con respecto al origen de coordenadas, sabiendo adem´as que:
1. Sus semiejes miden a = 6 y b = 18
R:
x2
36
−
y2
324
= −1
R:
x2
16
−
y2
9
= −1
3. La distancia entre las directrices es igual a 15/2 y la excentricidad es e = 7/5 R:
x2
24
−
y2
25
= −1
2. La distancia entre sus focos es 2c = 10 y la excentricidad es e = 5/3
4. Las ecuaciones de las as´ıntotas son y = ± 12
ertices es igual a 48 R:
5 x y la distancia entre los v´
y2
x2
100 − 576 = −1
1. Para la hip´erbola 16x2 − 9y 2 = 144, encontrar los valores de a y b, los focos, la excentricidad y
las ecuaciones de las as´ıntotas
R: a = 3, b = 4, (−5, 0), (5, 0), y = ± 34 x
√
2. Determinar la excentricidad de una hip´erbola equil´atera
R: 2
Encontrar la ecuaci´
on de la hip´erbola que satisface las condiciones dadas:
1. Centro en (2,0), un foco en (10,0), un v´ertice en (6,0)
R: 48(x − 2)2 − 16y 2 = 768
2. Centro en (6,0), eje de simetr´ıa a lo largo del eje x, as´ıntotas 5x − 6y − 30 = 0 y 5x + 6y − 30 = 0
R: 36y 2 − 25x2 + 300x − 1800 = 0
3. Centro en (2,2), un v´ertice en (5,2), un foco en (10,2), eje de simetr´ıa paralelo al eje x
55(x − 2)2 − 9(y − 2)2 = 495
R:
4. Centro en (2, −3), un v´ertice en (2, −1), un foco en (2, −7) R: 12y)2 − 4x2 + 72y + 16x + 44 = 0
Para las siguientes hip´erbolas, encontrar las coordenadas del centro, focos y v´ertices, as´ı como las
ecuaciones de las as´ıntotas
√
√
R: (0, 1), (± 8, 1), (± 20, 1)
√
R: (−5, 0), (−5 ± 2, 0), (−5 ± 13, 0)
√
√
R: (−3, 1), (−3 ± 2, 1), (−3 ± 3, 1)
√
R: (−6, −1), (−6, 1 ± 2), (−6 − 1 ± 53)
1. 3x2 − 2y 2 + 4y − 26 = 0
2. 9x2 − 4y 2 + 90x + 189 = 0
3. x2 − 2y 2 + 6x + 4y + 5 = 0
4. 49y 2 − 4x2 + 98y − 48x − 291 = 0
10
Intersecciones de c´
onicas
1. Hallar las intersecciones de la circunferencia x2 + y 2 − 2x + 4y − 7 = 0 con la recta 2x − y + 1 = 0
(0,815, 2,63), (−4,415, −7,83)
2. Encontrar las intersecciones de la par´abola x2 − 4x − y + 3 = 0 con la recta x − 2y + 6 = 0 R:
0, 3), (9/2, 21/4)
3. Hallar las intersecciones de la elipse x2 + 2y 2 − 6x − 4y + 7 = 0 con la recta x + 2y = 2
a,23, −0,11), (1,1, 1,45)
4. Encontrar los puntos de intersecci´on de la elipse
(6, 12), 6, −12)
x2
100
+
5. Determinar los puntos de intersecci´on de la hip´erbola
√
√
(10, 30), (10, − 30)
11
y2
225
x2
20
= 1 con la par´abola y 2 = 24x2
−
y2
5
R:
R:
= −1 y la par´abola y 2 = 3x R: