Corrigé du DM4 et d`exercices.

Terminale S Spécialité Maths
Corrigé du Devoir-Maison n° 4 et d’exercices
Exercice 1
L’objet de l’exercice est d’étudier la primalité du nombre N  p 2  q 2  r 2 où p, q et r sont des nombres premiers
tels que p  q  r.
1. a) Si p est un nombre premier supérieur ou égal à 5, alors il n’est pas multiple de 3.
On a alors : p  1  mod3 ou p  2  mod3 . On en déduit : p2  12  mod3 ou p 2  22  mod3 .
Sachant que 4  1  mod3, on a dans les deux cas : p 2  1  mod3 .
b) Quels que soient les nombres premiers p, q et r, supérieurs ou égaux à 5 on a, d’après 1. a) :
p 2  1  mod3 , q 2  1  mod3 et r 2  1  mod3.
On en déduit en ajoutant membre à membre que p 2  q 2  r 2  3  mod3, donc p 2  q 2  r 2  0  mod3
Le nombre p 2  q 2  r 2 est donc un multiple de 3. Sachant qu’il n’est pas égal à 3 (puisqu’il est supérieur
ou égal à 75), ce n’est pas un nombre premier.
Il n’existe pas de nombres premiers p, q et r, supérieurs ou égaux à 5 tels que p 2  q 2  r 2 soit premier.
2. On suppose que p  2. On a alors 2  q  r.
2 étant le seul nombre premier, les nombres premiers q et r sont nécessairement impairs.
On en déduit que q 2 et r 2 sont impairs. Donc q 2  r 2 est pair. N  p 2  q 2  r 2  4  q 2  r 2 est donc pair.
3. a) On vient de prouver que si p  2, alors N est pair. Sachant qu’il est supérieur à 2, il n’est pas premier.
On démontré dans la question 1. b) que si p  5, alors N n’est pas premier.
On en déduit que pour que N soit premier il est nécessaire que p  3.
b) Exemple de triplet de nombres premiers (3 ; q ; r ) avec 3  q  r tel que 32  q 2  r 2 soit un nombre
premier : (3 ; q ; r )  (3 ; 5 ; 7) car 32  52  72  9  25  49  83 est un nombre premier.
D’autres exemples : les triplets (3 ; 5 ; 23) ; (3 ; 7 ; 11) ; (3 ; 7 ; 13) ; ...
c) La condition p  3 n’est pas suffisante pour que N soit premier : 32  52  112  155  5  31 est composé.
On peut trouver une infinité de contre-exemples rien qu’avec p  3 et q  5. Il suffit de choisir un nombre
premier r tel que le chiffre des unités de r 2 soit 1, c’est-à-dire r ayant pour chiffre des unités 1 ou 9.
p 2  r 2  9  r 2 est alors un multiple de 10 et p2  q2  r 2  9  25  r 2 est un multiple de 5 (non premier
puisque différent de 5).
Les triplets (3 ; 5 ; 19), (3 ; 5 ; 31), (3 ; 5 ; 41), (3 ; 5 ; 59), (3 ; 5 ; 61), etc. donnent un nombre N composé.
Exercice 2
1. On teste la divisibilité de 503 par tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à
503.
503  22,4. 503 n’est divisible par aucun des nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19.
Donc 503 est un nombre premier.
2. On donne la décomposition en produit de facteurs premiers : 2013  3  11 61.
Déterminons, sans utiliser la calculatrice, la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre :
N  1  2  3  ...  2012.
n(n  1)
.
On sait que pour tout entier n  1, 1  2  3  ...  n 
2
2012  2013
N
 1006  2013  2  503  3  11 61
2
La décomposition en produit de facteurs premiers de N est donc : N  2  3 11 61 503
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La division de 573 par n donne un reste égal à 15 :
558  0  mod n avec n  15.
On a donc 573  15  mod n avec 0  15  n.
La division de 683 par n donne un reste égal à 1 :
On a donc 683  1  mod n avec 0  1  n.
682  0  mod n avec n  15.
Le nombre n est donc un diviseur commun à 558 et 682 supérieur à 15.
PGCD(558 ; 682)  62. Donc D(558 ; 682)  D(62)  1; 2 ; 31; 62. On ne retient que les diviseurs positifs.
Le plus grand entier n est donc 62 et le plus petit est 31.
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Soit n un entier naturel tel que PGCD(n ; 72)  8.
n est nécessairement un multiple de 8. D’autre part 72  8  9  8  32 , donc n n’est pas un multiple de 3.
On écrit la liste des multiples de 8 inférieurs à 100 qui ne sont pas multiples de 3 : 8 ;16 ; 32 ; 40 ; 56 ; 64 ; 80 ; 88.
On vérifie réciproquement que chacun de ces entiers est solution du problème.
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Soit a et b deux entiers naturels non nuls.
1. Si un entier d divise à la fois a et b, alors d divise toute combinaison linéaire entière de a et b ; donc d divise
4a  3b et 5a  4b.
2. Réciproquement, si un entier d divise à la fois 4a  3b et 5a  4b, alors d divise toute combinaison linéaire
entière de ces deux nombres :
 d divise 4(4a  3b)  3(5a  4b)  a.

d divise  5(4a  3b)  4(5a  4b)  b.
3. On déduit des deux questions précédentes que l’ensemble des diviseurs communs à a et b est égal à l’ensemble
des diviseurs communs à 4a  3b et 5a  4b. Le plus grand de ces diviseurs communs est donc le même pour
a et b que pour 4a  3b et 5a  4b.
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1. Conjectures : l’observation des résultats donnés par le tableur ou la calculatrice
permet de conjecturer que PGCD(a ; b) peut prendre la valeur 1 ou la valeur 7.
Il semble de plus que PGCD(a ; b) = 7 lorsque n  5  mod 7.
2. Démonstrations
a) Si un entier d divise a et b alors il divise toute combinaison linéaire entière de ces
deux nombres. En particulier d divise  5a  4b   5(4n  1)  4(5n  3)  7.
Tout diviseur commun à a et b divise 7 donc il ne peut être égal qu’à 1 ou 7.
On en déduit que les seules valeurs possibles de PGCD(a ; b) sont 1 et 7.
Cela démontre la première conjecture.
b) Raisonnons modulo 7
0
n  ... (7)
1
a  ... (7)
3
b  ... (7)
1
5
1
2
2
6
3
6
4
4
3
2
5
0
0
6
4
5
Le seul cas où 7 divise à la fois a et b est le cas où n  5 (7).
Dans ce cas, compte tenu de la question 2. a), on a : PGCD(a ; b) = 7.
Dans les autres cas 7 ne divise ni a ni b donc, compte tenu de la question 2. a), on a : PGCD(a ; b) = 1.
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