Anmerkungen zu Globalblatt 1 Grundsätzliches zu Aufgabe 1

Anmerkungen zu Globalblatt 1 Grundsätzliches zu Aufgabe 1

Dominik Bullach
Anmerkungen zu Globalblatt 1
Grundsätzliches
Man sollte in aller Regel nichts abgeben, von dessen Richtigkeit man nicht selbst überzeugt ist. Denn Lücken in der Argumentation oder das Abschreiben von Passagen aus
der Lösung des Tutoriumsblattes fallen letzten Endes doch meist auf.
Es ist außerdem hilfreich, auf eine klare Darstellung der Argumente und eine saubere
äußere Form zu achten, denn das Bewerten ist einfach eine subjektive Angelegenheit,
sodass in diesem Punkt oft unnötig Punkte verloren gehen (auch in der Klausur).
Denkt bitte nach wie vor daran, Bezeichnungen sauber einzuführen. Ohne ein klärendes
“Sei n ∈ N” ist es nämlich Interpretationssache, ob mit n eine natürliche Zahl, ein Normalenvektor oder die Kohomologieklasse der Nullabbildung gemeint ist (letztere werdet
ihr hoffentlich nie kennen lernen ;) )1 .
zu Aufgabe 1
Häufig wurde in (a) eine Familie von Quadern gewählt, die für jedes n ∈ N jeweils von
drei Zahlen k, l, m ∈ N abhängig waren, also z.B.
Qklm = [
k−1 k
l−1 l
m−1 m
, ]×[
, ]×[
, ]
n
n
n n
n
n
Anschließend wurde k = dnxe, l = dnye, m = dnze gesetzt und wie auf dem Tutoriumsblatt gezeigt, dass für alle (x, y, yz) ∈ N auch (x, y, z) ∈ Qklm erfüllt ist (was auch
stimmt). Das Problem dabei ist jedoch, dass man jeweils über k, l, m summieren muss,
d.h.
n X
n X
n
X
1
v(Qklm ) = n · n · n · 3 = 1.
n
k=1 l=1 m=1
Dieses Volumen wird nie beliebig klein.
Wählt man einen Quader, der für jedes n ∈ N nur von einem Index k ∈ N abhängt, z.B.
Qk = [
k−1 k
k−1 k
7(k − 1) 7k
, ]×[
, ]×[
, ]
n
n
n
n
n
n
funktioniert der Beweis auch nicht. Wählt man nämlich z.B. (0, 1, 4) ∈ N und setzt
dnxe = d0e = 0, so ist (0, 1, 4) 6∈ Qk bereits für n = 1. An diesem Beispiel sieht man
auch, dass man k = dnxe und k = dyxe im Allgemeinen nicht gleichzeitig setzen kann.
1
zumindest wenn es nach Hännes geht.
zu Aufgabe 2
Hauptfehlerquelle waren hier Rechenfehler. Außerdem wurde vergessen anzugeben, über
welchen Quader integriert wird und nachzuweisen, dass dieser Quader A enthält. Da dies
jedoch verlangt war, habe ich dafür einen Punkt abgezogen.
zu Aufgabe 3
Hier wurde bei (a) geschrieben, dass für alle (x, y, z) ∈ A gilt:
σ(x, y, z) = (x, y, −z) = (x, y, z) + (0, 0, −2z)
Jeder Punkt (x, y, z) wird also durch die Spiegelungsabbildung um den Vektor vz =
(0, 0, −2z) verschoben. Daraus kann man jedoch nicht schließen, dass
σ(A) = A + vz .
Denn vz ist ja im Allgemeinen für verschiedene Punkte verschieden. Man kann deshalb an diesem Punkt auch nicht die Translationsinvarianz des Maßes verwenden, um
v(σ(A)) = v(A) zu folgern.
Bei (c) wurde geschrieben, dass
Q = [−1, 1] × [−1, 1] × [0, 0]
ein Quader mit Volumen v(Q) = 2·2·0 ist. Anschließend wurde gezeigt, dass B∩σ(B) ⊆ Q
gilt, sodass es sich bei B ∩ σ(B) um eine Jordansche Nullmenge handelt. Das Problem
hierbei ist, dass Quader nach Definition das kartesische Produkt nichtleerer Intervalle
sind, das Q von oben also gar kein Quader. Die Argumentation hätte stattdessen mit
einem Quader
ε ε
Q0 = [−1, 1] × [−1, 1] × [− , ]
2 2
+
und einem beliebig klein vorgegebenen ε ∈ R funktioniert.