Énoncé

MATHÉMATIQUES :
PROBABILITÉS
Exercices de synthèse
Niveau : IV
Conditions de travail :
Face à face ou autoformation
Pré requis : séquence PROBABILITÉS
Support : Livret papier
RECOMMANDATIONS
Il est impératif de soigner la présentation et de noter :
•
la référence du dossier,
•
le numéro de l’exercice, ceci afin de faciliter la correction.
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14 EXS PROBABILITÉS
Exercice 1.
Dans une classe de 29 élèves on totalise les garçons ainsi que
les élèves porteurs de lunettes. Dans la classe, on dénombre
4 garçons porteurs de lunettes et 12 qui n’en portent pas. On
comptabilise 19 personnes qui sont des garçons ou qui
portent des lunettes.
1. Calculer le nombre de filles qui portent des lunettes dans
cette classe.
2. Créer un tableau représentant ces données.
On appelle A et B les évènements suivants :
• Évènement G : « l’élève choisi est un garçon ».
• Évènement L : « l’élève choisi est porteur de lunettes ».
Les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis si nécessaire à 10−2 près !
3. Calculer la probabilité de chacun des évènements G et L.
Exercice 2.
Un disquaire propose dans un de ses rayons un choix entre 1 365 disques de
catégories Rap, Soul et Métal. Certains sont en langue française, les autres en
langue anglaise.
• Les 259 disques de Rap français représentent 35% des disques
de langue française.
• 12% des disques anglais sont des disques de catégorie Soul.
• On dénombre 214 disques français dans la catégorie Métal.
• Dans la catégorie Métal, on compte deux fois plus de
disques en anglais qu’en français.
1. Calculer nombre de disques de langue française.
2. Compléter le tableau ci-dessous :
Métal
Soul
Rap
Total
Français
Anglais
Total
On appelle A et B les évènements suivants :
• Évènement A : « le disque choisi est de catégorie Rap ».
• Évènement B : « le disque choisi est en langue anglaise ».
Les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis si nécessaire à 10−2 près !
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14 EXS PROBABILITÉS
3. Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B.
4. Indiquer par une phrase la signification de l’évènement A ∩ B puis calculer sa
probabilité.
5. Indiquer par une phrase la signification de l’évènement A ∪ B puis calculer sa
probabilité.
6. On décide de choisir un disque parmi ceux de langue anglaise. Quelle est alors la
probabilité de l’évènement C : « Le disque choisi est de catégorie Métal » ?
Exercice 3.
Le mildiou est une maladie qui affecte différents types de végétaux que l’on peut
traiter avec de la bouillie bordelaise.
Des études effectuées dans une région ont permis d’estimer que parmi les pieds de
tomates non traités, 60% sont atteints par cette maladie.
Parmi ceux qui sont traités, des tests d’efficacité ont
montré que 85% ne sont pas atteints par cette maladie.
Sur une parcelle de culture située dans cette région,
25% des pieds de tomates n’ont pas pu être traités
contre cette maladie.
On considère les évènements suivants :
• T : « le pied de tomates a été traité ».
• M : « le pied de tomates est atteint par le mildiou ».
Les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis si nécessaire à 10−4 près !
1. Décrire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités, en précisant les probabilités
sur chacune des branches.
2. Définir l’évènement T ∩ M et calculer sa probabilité.
3. Calculer la probabilité de l’évènement 𝑇 ∩ M.
4. Calculer la probabilité d’avoir un pied de tomates atteint par le mildiou.
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14 EXS PROBABILITÉS
Exercice 4.
Pour cause de pollution de l’air, le conseil municipal
d’une grande ville décide d’interdire, pendant une journée,
la circulation en ville aux véhicules non prioritaires
portant un numéro pair.
• 4% des véhicules sont prioritaires.
•
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des véhicules non prioritaires portent un numéro pair.
• La moitié des véhicules prioritaires portent un numéro impair.
1. Compléter le tableau ci-dessous en indiquant, pour un total de 5 000 véhicules, le
nombre de véhicules de chaque catégorie.
Prioritaire
Non prioritaire
Total
Pair
Impair
Total
On appelle A et B les évènements suivants :
• Évènement A : « le véhicule est prioritaire ».
• Évènement B : « le véhicule porte un numéro pair ».
2. Calculer la probabilité de chacun des évènements A et B.
3. Indiquer par une phrase la signification de l’évènement A ∩ B puis calculer sa
probabilité.
4. Indiquer par une phrase la signification de l’évènement A ∪ B puis calculer sa
probabilité.
5. Quelle est la probabilité qu’un véhicule n’ait pas le droit de circuler ce jour-là ?
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Exercice 5.
On dispose de deux urnes, A et B, contenant 4 boules
indiscernables chacune.
L'urne A contient une boule rouge et trois boules jaunes.
L'urne B contient une boule rouge, une boule jaune,
une boule verte et une boule bleue.
On lance un dé équilibré à 6 faces. Si le résultat est un multiple de 3, on tire une
boule de l'urne A, sinon, on tire une boule de l'urne B.
1. Tracer un arbre pondéré qui traduit cette expérience.
2. Quelle est la probabilité de tirer une boule jaune ?
3. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?
4. Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ou une boule bleue ?
Exercice 6.
Suite à l'épidémie de grippe B qui sévit depuis plusieurs
semaines dans les régions voisines, un village lance une
large campagne de vaccination, qui permet à 80% de ses
habitants d'être vaccinés contre la maladie.
En réponse à la polémique sur l'efficacité du vaccin
utilisé, une étude a été menée :
• seulement 5% des habitants vaccinés ont été contaminés
• et 50% des habitants non vaccinés ont également été contaminés.
1. Tracer un arbre pondéré qui traduit cette expérience.
2. Quelle est la probabilité qu'un habitant croisé au hasard soit vacciné et non
contaminé par la maladie ?
3. Quelle est la probabilité qu'un habitant croisé au hasard soit vacciné et contaminé
par la maladie ?
4. Quelle est la probabilité qu'un habitant croisé au hasard soit non vacciné et
contaminé par la maladie ?
5. Quelle est la probabilité qu'un habitant croisé au hasard soit contaminé par la
maladie ?
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Exercice 7.
Dans un magasin spécialisé en ordinateurs portables,
les clients ont le choix entre :
• deux tailles d'écrans différentes :
15 pouces ou 17 pouces ;
• deux systèmes d'exploitation différents :
Windows ou Linux.
Selon le responsable du magasin :
• 60% des clients optent pour un modèle 15 pouces ;
• 45% des clients achetant un modèle 15 pouces ne choisissent pas Windows ;
• 80% des clients achetant un modèle 17 pouces choisissent Windows.
1. Présenter les données fournies par le responsable sur un arbre pondéré, en
renseignant la probabilité de chacune des branches.
2. Un client souhaite acheter un ordinateur portable : quelle est la probabilité qu'il
choisisse un modèle 17 pouces équipé de Windows ?
3. Un client souhaite acheter un ordinateur portable : quelle est la probabilité qu'il
choisisse le système d'exploitation Windows ?
Exercice 8.
Deux joueuses de tennis A et B vont s'affronter à Roland Garros.
D'après leur classement respectif :
• la probabilité que A gagne le premier set est de 0,6.
• la probabilité que A gagne un set après avoir remporté le set
précédent est de 0,8.
• la probabilité que A gagne un set après avoir perdu le set
précédent est de 0,4.
On rappelle qu'un match de tennis féminin se joue en deux sets gagnants : le match
s'arrête dès qu'une des deux joueuses a remporté deux sets.
1. Quelle est la probabilité que A remporte la partie ?
2. Quelle est la probabilité que B remporte la partie en perdant le premier set ?
3. Quelle est la probabilité que B remporte la partie en perdant le deuxième set ?
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Exercice 9.
On dénombre quatre groupes sanguins (A, B, AB et O) et deux rhésus (+ et –). La
répartition mondiale est donnée ci-dessous :
Groupe
Rhésus
O
A
B
AB
+
38 %
34 %
9%
3%
–
7%
6%
2%
1%
On appelle A l’évènement « Être du groupe O »
On appelle B l’évènement « Avoir un rhésus + »
1. Donner la probabilité pour qu’un individu soit du groupe O.
2. Donner la probabilité pour qu’un individu ait un rhésus +.
3. Énoncer l’évènement A ∩ B et donner la probabilité p(A ∩ B).
4. Énoncer l’évènement A ∪ B et donner la probabilité p(A ∪B).
5. Calculer p(A ∪ B) à l’aide de la formule p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B).
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Exercice 10.
2 310 athlètes ont profité des installations d’une association sportive sur l’année
écoulée. Parmi ces 2 310 personnes, certaines ne sont pas adhérentes de
l’association. On cherche à faire un bilan sous forme de tableau à la fin de la saison.
On sait qu’il y a 1 540 adhérents et 462 femmes.
1 694 personnes sont des adhérents ou des femmes.
On appelle A l’évènement : « Être adhérent »
et B l’évènement : « Être une femme ».
1. Calculer p(A), la probabilité d’être adhérent.
2. Calculer p(B), la probabilité d’être une femme.
3. Calculer la probabilité de l’évènement C : « Être un adhérent ou une femme ».
4. Calculer p(A ∩ B).
5. Compléter le tableau.
Homme
Femme
Total
Adhérents
Non adhérents
Total
6. Énoncer l’évènement contraire à « Être un adhérent ou une femme » et calculer sa
probabilité.
7. Vérifier la relation p(C) + p(C) = 1 à partir des résultats précédents.
Exercice 11.
Lors d’une soirée organisée par une entreprise, on compte 64 personnes qui sont
soit en couple ou soit des femmes. On dénombre 16 femmes seules et 24 couples.
On compte 52 personnes seules à cette soirée.
1. Calculer le nombre d’hommes seuls.
2. Donner le nombre de personnes présentes à cette soirée.
3. Créer un tableau représentant cette situation.
4. Un homme seul entame une conversation avec une femme.
Calculer la probabilité pour que cette femme soit seule.
5. Soit A l’évènement : « Être en couple »
et B l’évènement : « Être une femme ».
Énoncer l’évènement : 𝐴 ∩ B et calculer sa probabilité p(𝐴 ∩ B).
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Exercice 12.
Le Directeur d’une société fait une enquête auprès de ses clients pour savoir s’ils
sont satisfaits des deux abonnements A et B qui leurs sont proposés. Sur les 2 000
clients que compte l’entreprise, 1 414 sont satisfaits de leur abonnement. Parmi les
clients qui ont opté pour l’offre B d’abonnement, 448 sont non-satisfaits. Sur les
2 000 clients, 600 ont opté pour l’offre A d’abonnement.
1. À l’aide des informations données ci-dessus, compléter le tableau ci-dessous :
Satisfaits
Non satisfaits
Total
Offre A
Offre B
Total
2. Compléter l’arbre de probabilité pondéré suivant :
3. Si on choisit au hasard un client de cette entreprise, donner la probabilité pour qu’il
soit satisfait de l’offre B.
4. Si on choisit au hasard un client de cette entreprise, donner la probabilité pour qu’il
ne soit pas satisfait de son offre.
5. En déduire la probabilité pour qu’il soit satisfait.
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Exercice 13.
Dans une entreprise, la production de 100 pièces est assurée par deux machines A
et B. La machine A produit 60 pièces ; 20 % d’entre elles sont défectueuses. 5 % des
pièces produites par la machine B sont défectueuses.
1. Représenter ces données en complétant le tableau suivant :
A
B
Total
Défectueuse
Non défectueuse
Total
2. Si on choisit au hasard une pièce parmi les 100, quelle est la probabilité qu’elle ne
soit pas défectueuse ?
3. Si on choisit au hasard une pièce parmi les pièces défectueuses, quelle est la
probabilité qu’elle soit produite par la machine A ?
Exercice 14.
La médecine du travail décide de vacciner seulement les employés de plus de 50
ans dans une entreprise. Sur l’effectif total de 1 200 employés, 400 ont plus de 50
ans. Une épidémie s’est déclarée au cours de l’hiver : 20 % des employés non
vaccinés et 3 % des employés vaccinés ont eu la grippe.
Les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis si nécessaire à 10−4 près !
1. Compléter le tableau suivant :
Vaccinés
Non vaccinés
Total
Grippe
Non grippe
Total
On considère l’évènement A : « le salarié a été vacciné »
et l’évènement B : « le salarié a eu la grippe ».
2. Calculer les probabilités des évènements A et B.
3. Énoncer A ∩ B et calculer sa probabilité p(A ∩ B).
4. Énoncer A ∪ B et calculer sa probabilité p(A ∪ B).
5. Énoncer 𝐴 ∩ B et calculer sa probabilité p(𝐴 ∩ B).
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