HYDROSTATIQUE (STATIQUE DES FLUIDES) Ioan NISTOR inistor

INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE DES FLUIDES – CVG 2516
HYDROSTATIQUE
(STATIQUE DES FLUIDES)
Ioan NISTOR
inistor@uottawa.ca
3.1 Pression
Pour un fluide au repos, le seul effort existant c’est l’effort normal – la pression p
Dans un cas général, l’effort sur un élément de fluide ou sur un point est un
tenseur:
τij =
Pour un fluide au repos,
τij = 0, i≠j, effort de cisaillement = 0
τii = -p = τxx = τyy = τzz (σxx = σyy = σzz)
obs: la pression p est isotropique, ayant une seule valeur dans chaque point
indépendamment de la direction – un scalaire
3.1 Pression
Définition:
Équilibre des forces en x et en z
F = la force normale sur la surface A
3.1 Pression
Transmission de la pression
La loi de Pascal: dans un système fermé, le changement de pression produit
dans un point du système sera transmis dans tout le système.
Exemple:le cric hydraulique
F=100 N; F2=?
la force exercée sur le petit piston (A1):
(AC)F - (BC)F1= 0
⇒ F1=1100 N
Blaise Pascal
1623-1662
2
⇒ p1=F1/A1=6.22 106 N/m
p1=p2 ⇒ F2=p1A2 ⇒ F2=12.22 kN
A
3.1 Pression
Pression absolue, pression mesurée, pression de vide (vacuum)
La pression dans l’espace extraterrestre est zéro - pression de vide, zéro absolu
Toutes les pressions mesurées par rapport à cette pression→ pressions
absolues
exemple: la pression atmosphérique patm=101 kPa
dans la pratique de génie on trouve beaucoup d’instruments qui mesurent la
pression par rapport à la pression atmosphérique → pression indiquée
(gage pressure)
3.2 Variation de la pression avec l’altitude
L’équation différentielle fondamentale
Pour un fluide au repos, la pression varie avec l’altitude seulement a l’intérieur
du fluide.
L’équation d’équilibre: ΣFl=0; p∆A - (p+ ∆p)∆A – γ∆A∆l sinα = 0,
∆p/∆l = - γsinα ⇒ dp/dl = - γ dz/dl ⇒
dp/dz = - γ
la variation de la pression dans un fluide au repos est inversement
proportionnelle avec la profondeur (ou l’altitude).
3.2 Variation de la pression avec l’élévation
Exemple: Comparez le taux de changement de la pression pour l’air et l’eau au
niveau de la mer (p=101.3kPa, t=15.5oC) par rapport à une baisse de 4m
d’élévation. (les poids spécifiques sont considérés constants)
le calcul des poids spécifiques:
ρair=p/(RT) = 101.3 103(N/m2)/[287(J/kgK) (15.5+273)(K)] ⇒ ρair=1.22kg/m3 ⇒
γair=gρair = 11.97 N/m3
γeau= 9799 N/m3
Alors (dp/dz)air = - 11.97 N/m3, (dp/dz)eau = - 9799 N/m3 ⇒
le changement total de la pression ∆pair= - 11.97 N/m3 x (-4m)=47.9Pa
le changement total de la pression ∆peau= - 9799 N/m3 x (-4m)=39.2kPa
3.2 Variation de la pression avec l’élévation
Fluides avec densité uniforme (incompressibles):
l’intégration de l’équation fondamentale ⇒ la fonction de variation de la pression
ρ = constant
∫dp= - ∫γdz ⇒ ∆p = - γ∆z l’équation de l’hydrostatique
p + γz = pz = const. la pression piézométrique
p/γ + z = const. la hauteur piézométrique
p1/γ + z1= p2/γ + z2 ou (p1 – p2) = γ(z2 – z1)
la pression varie linéairement avec l’élévation:
z↑ ⇒ p↓
z↓ ⇒ p↑
3.2 Variation de la pression avec l’élévation
Exemple: dans un réservoir ouvert, au-dessus d’une couche d’eau on
verse de l’huile. Quelle est la pression mesurée au fond du réservoir?
propriétés des fluides: Shuile = 0.8, γeau= 9810 N/m3
7.06kPa
calcul de la pression au fond de la couche d’huile
ou z1=3m, z2=2.10m
p2 = 7.06kPa,
27.7kPa
calcul de la pression au fond du réservoir
ou z3 = 0m
p3 = 27.7kPa
3.2 Variation de la pression avec l’élévation
Fluides avec densité non-uniforme (compressibles):
L’équation d’état des gaz:
p = ρRT ou ρ = p/RT (γ =pg/RT)
p – la pression absolue [Pa]
T – la température absolue [K]
R – la constante universelle des gaz [J/kgK]
dans la troposphère: T = To-α(z-zo)
dp/dz = - pg/RT
⇒ p=po[T/To]g/ααR
dans la stratosphère: T = const.
⇒p = poe-(z-z )g/RT
o
U.S.National Weather Service: 45oN latitude in July
3.3 Mesure de la pression
La pression est une variable importante dans la mécanique des fluides et beaucoup
d’instruments ont été conçus pour la mesurer.
le manomètre différentiel
Le tube Bourdon
Traducteur de pression
3.3 Mesure de la pression
pv~0 la pression des
vapeurs de Hg
à la température normale
Instruments de mesure
Le baromètre: pv+γHgh=patm ⇒ patm=γHgh, pv~0
⇒ h~76cm, patm~101kPa
obs: γHghHg= γH OhH O ⇒hH O=hHgγHg/γH O
2
2
2
2
ou hH O=hHgSHg ⇒hH O=13.6 x 0.76=10.34m
2
2
Le piézomètre (le manomètre simple) p = γh pression absolue?
Le manomètre différentiel (le tube U)
exemple: supposons ∆h=60cm, l=180cm
calculez la pression au centre de la conduite.
Piézomètre
p1=0 (ouvert à l’atmosphère), donc p2=0+γm∆h
⇒ p2=79.8kPa ( mercure γm=133kN/m3)
p2=p3 (même élévation), donc p4=p3+∆p3→4; ∆p3→4=-γl ⇒ ∆p3→4=-17.66kPa
⇒ p4=62.1kPa
L’équation générale du manomètre: p2=p1+Σdownγihi-Σupγihi
3.3 Mesure de la pression
Instruments de mesure
Exemple: Trouvez la variation de la pression et de la hauteur piézométrique
entre les deux raccords si le mercure a un dénivèlement de 2.54cm.(Teau=10oC)
l’équation du manomètre: p2= p1+ γw(∆y+∆h) – γm∆h - γw(∆y+z2-z1)
⇒ p2 + γwz2 - (p1+ γwz1) = ∆h(γw - γm)
ou
pz2-pz1= ∆h(γw - γm); pz2-pz1= ?
et
h2-h1=(pz2-pz1)/γw=∆h(1- γm/γw); h2-h1=?
Sommaire
La pression d’un fluide au repos
La transmission de la pression (la loi de Pascal)
Pression absolue, pression mesurée, pression de vide (vacuum)
La variation de la pression avec l’élévation
- fluides incompressibles
- fluides compressibles
Instruments de mesure de la pression
- le baromètre, le piézomètre, le manomètre différentiel, le tube
Bourdon, les traducteurs de pression