Modelo de lentes: Pinhole, Delgada y Gruesa ParÃ¡metros del

Transcription

Tabla de Contenidos
37
8 Modelo de lentes: Pinhole, Delgada y Gruesa
8 Parámetros del Modelo de Captación
8 Sistemas de Coordenadas involucradas
4 Proceso de Calibración
Visión Tridimensional
UPM DISAM
Proceso de Calibración
38
ãCALIBRACIÓN: Determinación de los
parámetros involucrados en el proceso de
captación:
ëParámetros intrínsecos:
ïFactores de escala: Kx, Ky
ïDistancia focal: f
ïPunto principal: C x, Cy
ïDistorsión: D x, Dy
ëParámetros extrínsecos:
ïVector de traslación: T
ïMatriz de rotación: R
UPM DISAM
1
39
ãEtapas del proceso de calibración
ëEcuaciones del sistema: Modelo
matemático
ëObtención de datos de campo :
Proyección sobre la imagen de
puntos 3D conocidos
ëDeterminación de los parámetros:
Resolución de las ecuaciones con
los datos de campo
UPM DISAM
Proceso de calibración
40
Elemento de calibración
UPM DISAM
2
41
MÉTODOS DE CALIBRACIÓN
ãTécnicas aplicadas a la Fotogrametría.
ëSon necesarios métodos de calibración muy exactos.
ëSe emplean ópticas profesionales sin problemas de
distorsiones.
ëConocimiento a priori de los parámetros intrínsecos.
ãTécnicas aplicadas a la Robótica y Automatización.
ëSon necesarios métodos rápidos y autónomos.
ëImágenes con menor resolución.
ëSe ven afectadas por muchos factores que de forma
sistemática causan errores.
UPM DISAM
42
MÉTODOS DE CALIBRACIÓN
ãTécnicas basadas en Modelos con significado físico
ëAproximación clásica de la fotogrametría
ëTransformación Lineal Directa (DLT)
ëRestricción de Alineamiento Radial (RAC)
ëPunto de Desvanecimiento
ãTécnicas basadas en Modelos matemáticos
UPM DISAM
3
43
Técnicas basadas en Modelos con significado físico.
ëAproximación clásica de la fotogrametría.
ïTienen en cuenta las ecuaciones convencionales de
colinealidad del modelo pinhole de cámaras.
ïResuelve el problema planteado realizando una
optimización no lineal, para ello son necesarios
buenos datos iniciales.
ëTransformación Lineal Directa (DLT)
ïSe realiza una calibración en dos pasos.
þEn primer lugar se calculan los elementos de la Matriz
de Proyección.
þA partir de ella se obtienen los parámetros intrínsecos
y extrínsecos.
UPM DISAM
44
Técnicas basadas en modelos con significado físico.
ëRestricción de Alineamiento Radial (RAC)
ïIncorpora únicamente la distorsión
radial, manteniendose la relación.
Xu X d
=
Yu
Yd
ïSe necesita conocer inicialmente una serie de
parámetros del conjunto cámara/tarjeta.
ïEl resto de los parámetros se obtiene de forma lineal.
ëPunto de Desvanecimiento
ïCalcula separadamente los parámetros
intrínsecos y los extrínsecos.
ïMediante optimización no lineal se puede
incorporar cualquier modelo de distorsión.
UPM DISAM
4
45
ãTécnicas basadas en un modelo matemático.
ïNo se tiene ningún significado físico de la cámara.
ïLa idea básica es la
relación entre un punto
del espacio 3D y la
proyección de ese
punto en la imagen 2D.
Xf1 =
Yf 1 =
ïLa distorsión se
compensa mediante
interpolación.
∑c
∑c
0≤ i + j ≤3
(1 ) i
j
ij 1 w 1 w
x y
( 3) i
j
ij
1w 1w
0 ≤i + j ≤ 3
x y
∑c
( 2) i
j
ij
1w 1w
∑c
(3 ) i
j
ij
1w 1w
0≤i + j ≤3
0 ≤i + j ≤3
x y
x y
ïComo inconveniente destacar la poca utilidad
cuando se desarrollan sistemas activos de visión.
UPM DISAM
46
Transformación Lineal Directa (DLT)
ë Obtención de los elementos de la matriz de proyección.
ïSin considerar las restricciones
ïConsiderando restricciones
ë Cálculo de los parámetros intrínsecos y extrínsecos a
excepción de la distorsión.
ë Cálculo de la distorsión (si se modela).
ë Cálculo de otros errores sistemáticos.
 xw 
n X f 
 y   m11


 w 
 n Y f  = M  z  =  m21
w
 n 
   m31
1
 
m12
m 22
m32
m13
m 23
m 33
 xw 
m14     m1
 y

m 24   w  =  m2
 zw 
m34     m3
 1
m14 

m 24 
m34 
xw 
y 
 w
 zw 
 
1 
UPM DISAM
5
47
ëObtención de los elementos de la matriz de proyección
m11xw + m12 yw + m13 zw + m14

x w 
X f = m x + m y + m z + m
n X f   m11 m12 m13 m14   
31 w
32 w
33 w
34
 n Y  = m
  yw  ⇒ 
m
m
m

22
23
24 
 f   21
z 

m x + m22 yw + m23 zw + m14
 n  m31 m32 m33 m34   w 
Y f = 21 w

1
 
m31xw + m32 yw + m33z w + m34

m31 xw X f + m32 yw X f + m33 zw X f + m34 X f − m11xw − m12 yw − m13z w − m14 = 0
 m x Y +m y Y +m z Y +m Y −m x −m y −m z −m = 0
32 w f
33 w f
34 f
21 w
22 w
23 w
14
 31 w f
Sistema
Am = 0 ⇒
Solución Trivial
m =0
UPM DISAM
Método de Transformación Lineal Directa
48
ëCalculo de la Matriz de Proyección sin considerar
las restricciones.
 m11

 m34
1
m
M =  21
m34
m
 m34
 31
 m34
m12
m34
m22
m34
m32
m34
m13
m34
m23
m34
m33
m34
m14 

m34 
 L1
m24 

→
L
=
 L5
m34 

 L9
1 

L2
L3
L6
L10
L7
L11
L4 

L8 
1 
xwL1 + yw L2 + zwL3 + L4
xwL9 + ywL10 + zwL11 + 1
x L + y L +z L +L
Yf = w 5 w 6 w 7 8
xwL9 + ywL10 + zwL11 + 1
Xf =
UPM DISAM
6
49
ë Calculo de la Matriz de Proyección sin considerar las
restricciones. Con n puntos (conocidos x wi , y wi , z wi , Xfi , Yfi )
se obtiene un sistema con 11 incógnitas y 2n ecuaciones
 xwi

 0





ywi
zwi
0
0
1
0
0
0 xwi
ywi
⋅
0
0 − xwi X fi − y wi X fi
z wi 1
− xwi Y fi
− ywiY fi
⋅
⋅
 L1 
 
 L2 
L 
 3
− z wi X fi  L4   X fi 
  

− z wi Y fi  L5   Y fi 
 L  =  ⋅ 
 6  

 L7   ⋅ 
  

 L8   ⋅ 
 L9 
L 
 10 
L 
 11 
UPM DISAM
50
ëA partir de los parámetros L y considerando el
significado físico de la matriz M se obtienen sus
elementos.

L1

 L29 + L210 + L211

L
M =  2 52
 L9 + L10 + L211

L
 2 92
2
 L9 + L10 + L11
L2
2
L9 + L210 + L211
L6
L3
2
L9 + L210 + L211
L7
L29 + L210 + L211
L10
L29 + L210 + L211
L11
L29 + L210 + L211
L29 + L210 + L211

L4

L29 + L210 + L211 

L8

L29 + L210 + L211 

1

L29 + L210 + L211 
UPM DISAM
7
51
x 
m14   w 
 y 
m 24   w 
z
m34   w 
 1 
sujeto a las restriccio nes
 nXf

 nYf
 n

ëCálculo de la matriz
de perspectiva
considerando las
restricciones a que
está sujeta.
  m1
 
 =  m2
 m
  3
m3 = 1
(m1 ∧ m3 )⋅ (m 2 ∧ m3 ) = 0
ë Al emplear la segunda restricción se tiene que
resolver un sistema no lineal que es algo que se
pretende evitar con este método.
UPM DISAM
52
ëSe utiliza exclusivamente la primera restricción.
ëSe resuelve el problema de optimización
dividiendo el conjunto de variables en dos, las que
están sujetas a restricción y las que no, y
empleando las técnicas de multiplicadores de
Lagrange.
2
min Cy + Dz sujeto a z = 1
2
y,z
2
(
)
min R = Cy + Dz + λ⋅ 1− z 2
y,z
UPM DISAM
8
53
ëCalculo de los parámetros intrínsecos y extrínsecos.
 fKx r1 + Cx r3

M =  fKy r2 + C y r3

r3

fKx tx + Cxtz   m1 m14 
 

fKyt y + Cy tz  = m2 m24 
 m m 
tz
34 
  3
ïCálculo inmediato de r3 y de tz
ïCoordenadas del Punto Principal
m1 ⋅ m3 = ( fKxr1 + Cx r3 ) ⋅ r3T = fKx r1 ⋅ r3T + Cxr3 ⋅ r3T = Cx
T
(
T
)
m2 ⋅ m3 = fKy r2 + Cyr3 ⋅ r3T = fKy r2 ⋅ r3T + Cyr3 ⋅ r3T = Cy
UPM DISAM
54
ïCalculo de las distancias focales en x e y.
2
[
− [ fK r ⋅ r
]=
−C r ⋅r ] =
T
T
• m1 ⋅ m1 − m1 ⋅ m3  = ( fKx r1 + C x r3 ) ⋅ ( fKx r1 + C x r3 )T − ( fKx r1 + C x r3 ) ⋅ r3 T


fKx r1 ⋅ fKx r1T + Cx r3 ⋅ fKx r1 T + fKx r1 ⋅ Cx r3T + Cx r3 ⋅ C x r3 T
2
2
2
2
2
2
2
= f K x + Cx − Cx = f K x = f x
(
2
)(
T
T

• m 2 ⋅ m2 − m 2 ⋅ m3  == fK y r2 + C y r3 ⋅ fK y r2 + C y r3


x 1
⇒
3
T
2
T 2
x 3
3
fx
)T − [( fK y r2 + C y r3 )⋅ r3T ]2 =
[
fK y r2 ⋅ fK y r2 T + C y r3 ⋅ fK y r2 T + fK y r2 ⋅ C y r3 T + C y r3 ⋅ C y r3T − fK y r2 ⋅ r3 T − C y r3 ⋅ r3T
=f
2
2
Ky
2
+ Cy
2
− Cy
= f
2
2
Ky
=
2
fy
⇒
]
2
=
fy
UPM DISAM
9
55
ïCalculo de los parámetros extrínsecos restantes.
m1 = fK x r1 + C x r3
⇒
r1 =
m 2 = fK y r2 + C y r3
⇒
r2 =
m14 = fK x t x + C x t z
⇒
tx =
m 24 = fK y t y + C y t z
⇒
ty =
m1 − C x r3
fK x
m 2 − C y r3
fK y
m14 − C x t z
fK x
m 24 − C y t z
fK y
UPM DISAM
56
ëCalculo de la Distorsión
ïUn modelo mas completo al utilizado hasta el
momento es el siguiente.
X
fsindistorsion
+ D X + dX f + n X =
f
Y fsindistorsion + D Y + d Y f + n Y =
f
x w m11 + y w m12 + z w m13 + m14
x w m31 + y w m32 + z w m33 + m34
x w m21 + y w m22 + z w m 23 + m24
x w m 31 + y w m32 + z w m33 + m 34
ïDespreciando todos los errores salvo la distorsión.
X
f
− X
f s i n d i s t o rs i o n
= Dx
Y f − Y f s i n d i s t o rs i o n = D
y
UPM DISAM
10
57
ëCalculo de otros errores sistemáticos.
(
)
X f − X fsindistorsion + DX = p0 + p1 X f + p2Yf + p3 X 2f
+ p4 X f Yf + p5Yf2 + p6 X 2f Yf + p7 X f Yf2 + p8 X 3f + p9Yf3
(
)
Yf − Yfsindistorsion + DY = q0 + q1Yf + q2 X f + q3Yf2
+ q4 X f Yf + q5 X 2f + q6Yf2 X f + q7Yf X 2f + q8Yf3 + q9 X 3f
ëEs conveniente calcular en pasos distintos los
parámetros intrínsecos y extrínsecos, los
coeficientes de distorsión y los coeficientes de
otros errores sistemáticos para evitar
inestabilidades.
UPM DISAM
58
Restricción de Alineamiento Radial (RAC). Método Tsai
ëEmplea un modelo de distorsión que solamente
tiene en cuenta la distorsión radial.
D x = X d ( k1r 2 + k2r 4 + ....)
D y = Yd ( k1r 2 + k2r 4 +....)
ëAl existir solamente distorsión Radial se obtiene
xd
x
r x + r y + r z +t
= u = 11 w 12 w 13 w x
yd
yu r21 xw + r22 y w + r23 z w + t y
UPM DISAM
11
59
ëSe supone conocido Cx , Cy , Ky
ëDeterminación de |R| , tx , ty
ïCálculo de coordenadas centrales con distorsión
ïCálculo de incógnitas intermedias (aj)
ïCálculo de |ty |
ïDeterminación del signo de ty
ïCálculo de Sx
ïCálculo de |R| , tx
ëDeterminación de f , k1 , tz
ïAproximación inicial de f , tz
ïCálculo iterativo de f , k1 , tz
UPM DISAM
60
ïCálculo de coordenadas centrales con distorsión
(
A partir de los puntos : x if , y if
(
(
)
)
)
 xˆ di = x if − C x = K x xdi
Se obtiene  i
i
i
 yˆ d = y f − C y = K y yd
Si se forma el cociente :
xˆdi
K x xdi
S x xui
=
=
yˆ di
K y y di
yui
con S x =
Kx
Ky
UPM DISAM
12
61
Sustituyendo en el cociente
xˆ id
xui
r11 xiw + r12 y iw + r13 zwi + t x
= Sx i = Sx
yˆ di
yu
r21 xwi + r22 yiw + r23 z iw + t y
Si t y ≠ 0
xˆdi + t −y 1r21 xwi + t −y 1r22 ywi + t y−1r23 z wi =
{
{
{
a4
a5
a6
t S x r11 x yˆ + t S x r12 y yˆ di + t −y 1 S x r13 z iw yˆ di + t −y 1 S x t x yˆ id
123
123
123
123
−1
y
i
w
i
d
−1
y
a1
i
w
a2
a3
a7
UPM DISAM
62
Se obtiene un sistema con n ecuaciones y 7 incógnitas
xˆdi = a1 xiw yˆ di + a2 yiw yˆ di + a3 z iw yˆ id − a4 xwi − a5 yiw − a6 zwi + a7 yˆ di
ïCálculo de |ty |
ty =
1
a 42 + a 52 + a 62
ïDeterminación del signo de ty
Para un punto cualquiera (alejado del centro de la imagen)
se calcula su proyección sin distorsión, ensayando con el
valor positivo y el valor negativo
UPM DISAM
13
63
ïCálculo de Sx
(
)
ty
r13 = a3
S x = t y2 a12 + a 22 + a32
ïCálculo de |R| , tx
r11 = a1
ty
r12 = a2
Sx
r21 = a4 t y
Sx
r22 = a5t y
r31 = 1 − r112 − r212
t x = a7
ty
Sx
r23 = a6t y
r32 = 1− r122 − r222
r33 = 1 − r132 − r232
ty
Sx
UPM DISAM
64
ë Determinación de f , k 1 , tz
ïAproximación inicial de f , tz
þSe obtiene f , tz con distorsión nula, mediante mínimos
cuadrados
ïCálculo iterativo de f , k1 , tz
þOptimización no lineal del sistema
[
]
xˆ di = K x k 1 (xˆ id ) + ( yˆ di ) + K x f
[
yˆ di = K y k 1 (xˆ di
2
2
) + ( yˆ ) ]+ K
2
i
d
2
y
f
r11 x iw + r12 y wi + r13 z wi + t x
r31 x wi + r32 y iw + r33 z wi + t z
r21 x wi + r22 y wi + r23 z iw + t x
r31 x iw + r32 y wi + r33 z wi + t z
UPM DISAM
14
65
El proceso de calibración produce parámetros
poco robustos, con alto grado de inestabilidad
ãCausas posibles
ëModelo matemático incompleto
ëErrores en la adquisición de los datos
ëMal comportamiento de los algoritmos de
calibración
ãConsecuencia
ëMala precisión en las aplicaciones de
visión tridimensional
UPM DISAM
15

Modelo de lentes: Pinhole, Delgada y Gruesa ParÃ¡metros del

Transcription

Similar documents

servicio de medición - capacitación

Siglo XV-XVI: algunas fuentes hablan de mujeres en las aulas

Sistema de Apoyo para la Calibración de Instrumentos de

LABORATORIOS PORTATILES PARA LA INDUSTRIA PETROLERA

auriculares que escuchan a sus oídos

Microdust Pro

Untitled

Kaye Validator®