Devoir Surveillé DS7 Exercice 1 4 points a) u10 = b) u10 = a) 1+311

Devoir Surveillé DS7
Suites numériques 1 heure 45 min (19/03/2015)
Exercice 1
4 points
Pour chaque point, indiquer la bonne réponse :
1. La suite dénie par un = 3n2 − 1 vérie :
a) un+1 = 3n2
b) un+1 = 3n2 + 6n + 2
2. La suite dénie par
a) u10

u0 = 2
c) u2n = 12n2 − 1
vérie :
1
2
1
= × 102 + 2
2
d) u2n = 6n2 − 2
un+1 = un +
1
= × 10 + 2
2
b) u10
c) u10 = 77
d) u10
10
1
+2
= 10 ×
2
3. La somme 1 + 2 + 3 + ... + 99 est égale à :
a) 5050
b) 4851
c) 4950
d) 9900
4. La somme 1 + 3 + 32 + ... + 312 est égale à :
a) 1 + 311
b) 312 − 3
c)
1 − 313
1−3
d)
1 − 311
1−3
Exercice 2
4 points
Légende de l'échiquier de Sissa (3 000 ans av. J.C.)
Le roi Belkib (Indes) promit une récompense fabuleuse à qui lui proposerait une distraction qui le satisferait.
Lorsque le rusé Sissa lui présenta le jeu d'échecs, le souverain demanda à Sissa ce que celui-ci souhaitait en
échange de ce cadeau extraordinaire.
Sissa demanda au prince de déposer un grain de riz sur la première case, deux sur la deuxième, quatre sur la
troisième, et ainsi de suite pour remplir l'échiquier en doublant la quantité de grains à chaque case. Le prince
accorda immédiatement cette récompense sans se douter de ce qui allait suivre.
Son conseiller lui expliqua qu'il venait de précipiter le royaume dans la ruine car les récoltes de l'année ne
suraient pas à satisfaire Sissa.
Soit un le nombre de grains de riz de la nième case.
1.
a) (un ) est-elle
géométrique ?
une
suite
arithmétique
ou
b) Exprimer un en fonction de n.
2. Calculer le nombre de grains de riz nécessaires pour récompenser Sissa.
3. Sachant qu'un grain de riz pèse 0.04 g environ, et que la production mondiale est d'environ 480 millions
de tonnes par an (estimation 2015 et production supposée constante dans le temps),
calculer le temps pour produire toute la quantité de riz demandée par Sissa.
Exercice 3
Soit (un ) une suite arithmétique de raison r et : u10 = 10 et u44 = 27.
2 points
1. Calculer la raison r et u0 .
2. Calculer la somme S = u20 + u21 + u22 ... + u100 .
∀
1S2
2014−2015
1/2
DS07
Exercice 4
7 points
Le gestionnaire d'une salle de concert constate que, chaque année, le nombre d'abonnés est constitué de 70 %
des abonnés de l'année précédente, auxquels s'ajoutent 210 nouveaux abonnés.
Le nombre d'abonnés en 2010 était de 600.
1. Calculer le nombre d'abonnés en 2011 et 2012.
2. On dénit la suite (un ) par : u0 = 600 et, pour tout entier naturel n,
un+1 = 0, 7un + 210
On utilise un tableur pour calculer les termes de la
suite (un ).
Proposer une formule à écrire en B3 pour calculer
u1 ; cette formule "tirée vers le bas" dans la colonne
devra permettre de calculer les valeurs successives
de la suite (un ).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
n
0
1
2
3
4
5
6
7
B
un
600
3. On pose, pour tout entier naturel n : vn = un − 700.
a) Démontrer que la suite (vn ) est géométrique de raison 0,7.
Préciser son premier terme.
b) Justier que pour tout entier naturel n, un = 700 − 100 × 0, 7n .
4. a) Soit n un entier naturel. Démontrer que un > 697 est équivalent à 0, 7n 6 0, 03.
b) Pour résoudre cette inéquation, on utilise l'algorithme suivant :
Variables :
Initialisation :
Traitement :
N est un nombre entier naturel
Aecter à N la Valeur 0
Aecter à U la valeur 1
Tant que U > 0, 03
Quelle valeur de N obtient-on en sortie ?
Aecter à N la valeur N + 1.
Aecter à U la valeur 0, 7 × U .
Fin du Tant que
Sortie :
Acher N .
(On fera tourner l'algorithme).
c) En utilisant l'étude précédente de la suite (un ), déterminer à partir de quelle année le nombre
d'abonnés atteindra au moins 697.
Exercice 5
(un ) est la suite arithmétique de raison 3 et de premier terme u0 = 1.
3 points
1. Donner le terme général de (un ).
2. Exprimer la somme Sn = u0 + u1 + u2 + ... + un en fonction de n.
3. Déterminer, par un calcul, la valeur de n telle que Sn = 145.
∀
1S2
2014−2015
2/2
DS07