Progresiones aritméticas y Geométricas

SUCESIONES Y PROGRESIONES
MAT3
1. Se llama SUCESIÓN a un conjunto infinito y ordenado de números de modo
que se puedan numerar: primero, segundo, tercero… enésimo.
Los elementos de la sucesión se llaman términos y se designan por un subíndice,
que marca el lugar que ocupa en la sucesión:
s1, s2, s3, s4…sn…
El término general de una sucesión es una expresión que permite calcular
cualquier término de esta en función de la posición que ocupa.
Una sucesión definida por recurrencia es una sucesión en la que cada
término se obtiene a partir de uno o varios términos anteriores. La ley de
recurrencia permite expresar el término an mediante una expresión en la que
aparecen uno o varios de sus términos anteriores.
La sucesión por recurrencia más célebre es la sucesión de Fibonacci, cuyo
verdadero nombre es Leonardo de Pisa (1180-1250). En esta sucesión, los dos
primeros términos son 1; a partir del tercero, cada término es la suma de los dos
anteriores:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
2. Una
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
es una sucesión de números:
a1, a2, a3… an
tales que cada uno de ellos es igual al anterior más una unidad constante, llamada
DIFERENCIA, representada por d. Es decir, en la que se pasa de cada término al
siguiente sumando un mismo número (positivo o negativo), la diferencia.
TÉRMINO es cada uno de los números que forman la progresión:
an.
Según el valor de la diferencia d, las progresiones aritméticas pueden ser:

Crecientes, cuando d>0

Constantes, cuando d=0

Decrecientes, si d<0
Un término cualquiera de una PA, es decir, el término general es:
La suma de los n primeros términos de una PA es:
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SUCESIONES Y PROGRESIONES
3. Una
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
MAT3
es una sucesión de números
tales que cada uno de ellos es igual al anterior multiplicado por una cantidad
constante. Es decir, es una sucesión en la que se pasa de cada término al
siguiente multiplicando por un número fijo, r, llamado RAZÓN.
TÉRMINO es cada uno de los números que forman la PG.
RAZÓN r es la cantidad constante por la que hay que multiplicar cada término
para obtener el siguiente.
Según el valor de la razón, una PG puede ser:

Creciente, si>1

Constante, si r=1

Decreciente, si la razón está entre cero y uno: 0<r<1

Alternadas, si r<0, es decir, es negativa. En este caso los términos de la
PG son alternativamente positivos y negativos.
Un término cualquiera de una PG, es decir, el término general es:
La suma de los términos de una PG es:
Ya que:
El producto de los términos de una PG es:
Cuenta la leyenda que un rey quiso premiar al súbdito que había inventado y le
había regalado el primer ajedrez, tan contento estaba con el nuevo juego.
Y el súbdito le pidió que le regalase un grano de trigo por la primera casilla, 2
por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta, y así sucesivamente hasta
terminar en la 64ª casilla. El rey se lo tomó a broma, pensando que eso suponía
una cantidad ridícula.
Pero no lo es; si un grano de trigo puede pesar 0,003 gramos, venos que con la
fórmula de la suma de términos de una PA, el número de granos es:
; y el peso en gramos, y toneladas es:
¡No tenía el reino tanto trigo en sus almacenes!
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