Le pendule balistique

LE PENDULE BALISTIQUE
´
OLIVIER CASTERA
R´
esum´
e. Le pendule balistique permet de mesurer la vitesse d’un
projectile.
Table des mati`
eres
1. Premier exemple de pendule balistique
1.1. Introduction
1.2. Relation fondamentale de la dynamique
1.3. Conservation de l’´energie m´ecanique
1.4. Conservation de l’´energie totale
2. Deuxi`eme exemple de pendule balistique
2.1. Introduction
2.2. Conservation du moment cin´etique
2.3. Relation fondamentale de la dynamique
2.4. Conservation de l’´energie m´ecanique
2.5. Conservation de l’´energie totale
1
1
2
3
3
4
4
4
6
7
8
1. Premier exemple de pendule balistique
1.1. Introduction.
Un solide (S) au repos dans le r´ef´erentiel terrestre, est suspendu par
l’interm´ediaire d’une corde.
y
o
(p)
x
(S)
v
b
g
Figure 1. Pendule balistique avant l’impact
Date: 4 mai 2015.
1
´
OLIVIER CASTERA
2
Le centre du r´ef´erentiel (o, x, y, z) est le point d’accrochage de la
corde. On d´esigne par M la masse du solide (S), et par g son centre de
gravit´e. A l’instant t1 , un projectile (p) de masse m et de dimensions n´egligeables, heurte le solide (S) avec une vitesse v, et s’arrˆete a` l’int´erieur
du solide (S). L’ensemble (S)+(p) prend alors la vitesse horizontale V .
1.2. Relation fondamentale de la dynamique.
1.2.1. Avant l’impact.
Le syst`eme ´etudi´e est le solide (S). De t0 `a t1 , le poids du solide (S)
est ´equilibr´e par la tension de la corde, T = −P S . La RFD s’´ecrit :
d
p = T + PS
dt S
=0
Le syst`eme ´etudi´e est le projectile (p), qui ne subit que son propre
poids P p :
d
(mv) = P p
dt
d
(vx i + vy j) = −g j
dt
qui donne les ´equations de la trajectoire du projectile avant l’impact,
vx = vx (t0 )
vy (t1 ) = −g(t1 − t0 ) + vy (t0 )
1.2.2. Pendant l’impact.
Le syst`eme ´etudi´e est l’ensemble form´e par le solide (S) et le projectile (p), et not´e (S) + (p). La RFD s’´ecrit :
X
d
pSyst`eme =
F ext
dt
De t1 `a t+
1 , le projectile (p) se trouve dans le solide (S), le poids de
l’ensemble est not´e P S+p . La RFD s’´ecrit :
Z t+1 X
F ext dt = ∆t+1 →t1 pS+p
t1
Z
t+
1
t1
t+
(T + P S+p )dt = [p(S) + p(p) ]t11
= [p(S) + p(p) ]t+1 − [p(S) + p(p) ]t1
= (M + m)V − mv
(1)
On projette l’´equation (1) sur les axes (ox) et (oy). Nous faisons l’approximation que pendant l’impact, la vitesse du syst`eme (S) + (p) est
LE PENDULE BALISTIQUE
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purement horizontale, Vy = 0, et que la composante horizontale de la
tension T est n´egligeable :


 (M + m)Vx − mvx = 0
Z t+1

(T − PS+p )dt
 − mvy =
t1
Sur l’axe (oy), la tension s’oppose au poids et `a la variation de quantit´e
de mouvement verticale du projectile :

m

vx
(2)
 Vx =
M +m

 m dvy = −T + PS+p
dt
1.3. Conservation de l’´
energie m´
ecanique.
On choisit la position initiale du centre de gravit´e du syst`eme (S) + (p)
comme origine de l’´energie potentielle. Juste apr`es l’impact, l’´energie
potentielle du syst`eme (S) + (p) est nulle et l’´energie cin´etique est
maximale, et vaut :
1
Ec = (M + m)Vx2
2
On mesure la hauteur maximale h atteinte par le syst`eme (S) + (p) a`
l’instant t2 . En h, l’´energie cin´etique est nulle et l’´energie potentielle
est maximale. En n´egligeant les frottements de l’air et de la corde sur
l’axe, la conservation de l’´energie m´ecanique s’´ecrit 1 :
Em´eca (t2 ) = Em´eca (t1 )
Ecin (t2 ) + Epot (t2 ) = Ecin (t1 ) + Epot (t1 )
1
(M + m)Vx2 = (M + m)gh
2
p
Vx = 2gh
et avec l’´equation (2),
vx =
M + mp
2gh
m
(3)
1.4. Conservation de l’´
energie totale.
On peut `a pr´esent calculer le transfert de chaleur Q du projectile (p) au
solide (S) lors de l’impact. On ´ecrit la conservation de l’´energie totale
lors du transfert d’´energie cin´etique au moment de l’impact :
1
1
Q = mvx2 − (M + m)V 2
2
2
1. Voir M´ecanique classique.pdf
´
OLIVIER CASTERA
4
Avec l’´equation (2),
1
1
m2
Q = mvx2 − (M + m)
v2
2
2
(M + m)2 x
1 2
m
= mvx 1 −
2
M +m
et avec l’´equation (3),
1 (M + m)2
m
Q=
2gh 1 −
2
m
M +m
M +m
= (M + m)
− 1 gh
m
M
= (M + m) gh
m
2. Deuxi`
eme exemple de pendule balistique
2.1. Introduction.
Un solide (S) au repos dans le r´ef´erentiel terrestre, peut tourner sans
frottement autour d’un axe horizontal (oz). On d´esigne par M sa masse
et par J(oz) son moment d’inertie par rapport `a l’axe (oz). A l’instant
t1 , un projectile (p) de masse m et de dimensions n´egligeables, heurte
le solide (S) avec une vitesse v, et s’arrˆete `a l’int´erieur du solide (S).
Le syst`eme ´etudi´e est l’ensemble solide (S) et projectile (p).
y
o
x
z
(p) v
r
l = og
l′ = oh
α
b
b
g
h
(S)
2.2. Conservation du moment cin´
etique.
Soit o le point de contact du solide (S) avec l’axe (oz). Le th´eor`eme du
moment cin´etique par rapport au point o appliqu´e au syst`eme (S) + (p)
s’´ecrit :
X
d
L/o Syst`eme =
M /o (F ext )
dt
LE PENDULE BALISTIQUE
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2.2.1. Avant l’impact.
On note R la r´eaction sur l’axe (oz). De t0 `a t1 , le th´eor`eme du moment
cin´etique s’´ecrit :
d
L/o Syst`eme = M /o (P S ) + M /o (P p ) + M /o (R)
dt
Les moments par rapport au point o du poids du solide (S) et de
la r´eaction sur l’axe (oz) sont identiquement nuls, car leur direction
commune passent par le point o. Par cons´equent,
d
L/o Syst`eme = M /o (P p )
dt
En notant ρ le rayon vecteur du projectile (p),
d
(ρ × mv) = ρ × P p
dt
d
ρ × m (vx i + vy j) = ρ × −mg j
dt
d
(vx i + vy j) = −g j
dt
qui donne les ´equations de la trajectoire du projectile avant l’impact,
vx = vx (t0 )
vy (t1 ) = −g(t1 − t0 ) + vy (t0 )
2.2.2. Pendant l’impact.
De t1 `a t+
eor`eme
1 , le projectile (p) se trouve dans le solide (S). Le th´
du moment cin´etique s’´ecrit :
d
L/o Syst`eme = M /o (P S+p ) + M /o (R)
dt
Le centre de gravit´e g ′ de l’ensemble (S) + (p) se place a` la verticale
du point o, si bien que le poids de l’ensemble a un moment nul par
rapport `a l’axe (oz). Le moment de la r´eaction sur l’axe (oz) reste nulle
pour les mˆemes raisons que pr´ec´edemment. Par cons´equent, le moment
cin´etique du syst`eme se conserve. En notant r le rayon vecteur du point
o`
u s’arrˆete le projectile,
d
L/o Syst`eme = 0
dt
L/o Syst`eme (t+1 ) = L/o Syst`eme (t1 )
J(oz) ω + r × m(ω × r) = r × mv
J(oz) ωk + rer × m(ωk × rer ) = rer × m(vx i + vy j)
J(oz) ωk + mωr 2 er × (k × er ) = mr(vx er × i + vy er × j)
J(oz) ωk+mωr 2[(er ·er )k−(er ·k)er ] = mr[vx sin(er , i) + vy sin(er , j)]k
ωk J(oz) + mr 2 = mr[vx sin( π2 +α)+vy sin(α+π)]k
ω J(oz) + mr 2 = mr(vx cos α − vy sin α)
´
OLIVIER CASTERA
6
On pose l′ = r cos α = oh :
ω J(oz) + m
l′2
cos2 α
= ml′ (vx − vy tan α)
ω=
ml′ (vx − vy tan α)
l′2
J(oz) + m
cos2 α
(4)
2.3. Relation fondamentale de la dynamique.
On peut `a pr´esent utiliser la RFD pour trouver l’expression de la
r´eaction sur l’axe (oz)
X
d
pSyst`eme =
F ext
dt
Z t+1
pSyst`eme (t+1 ) − pSyst`eme (t1 ) =
R + P S + P p dt
t1
Mω × og + mω × r − mv =
Z
t+
1
R + P S+p dt
t1
On pose l = og, la distance de l’axe (oz) au centre de gravit´e g du
solide (S). La r´eaction sur l’axe (oz) s’oppose aux poids et a` la variation de quantit´e de mouvement verticale du projectile. En utilisant les
coordonn´ees de r :
r = −r sin αi − r cos αj
et en appelant q la percussion, telle que :
q = R + P S+p
nous obtenons,
′
Mωk×(−l)j +mωk×l (− tan αi−j) − m(vx i+vy j) =
′
′
Mωli − mωl tan αj + mωl i − mvx i − mvy j =

Z

′


 Mωl + mωl − mvx =
t+
1
qx dt
t0
Z



 −mωl′ tan α − mvy =
t+
1
qy dt
t0
Cherchons les conditions pour annuler la percussion :
(
Mωl + mωl′ − mvx = 0
−mωl′ tan α − mvy = 0
Z
Z
t+
1
q dt
t0
t+
1
qx i + qy j dt
t0
LE PENDULE BALISTIQUE
(
mvx
Ml + ml′
α = 0 et vy = 0
ω=
7
(5)
Pour annuler la percussion il faut que le projectile atteigne l’axe (oy), ce
qui correspond `a la condition α = 0. Il faut aussi que la vitesse verticale
du projectile soit nulle au moment de l’impact, vy = 0, autrement dit
qu’il percute le solide lorsqu’il est au sommet de sa trajectoire. Enfin,
en posant α = 0 dans l’´equation (4), et en utilisant l’´equation (5), nous
pouvons trouver la derni`ere condition :
ml′ vx
mvx
=
′2
J(oz) + ml
Ml + ml′
J(oz) + ml′2
= Ml + ml′
′
l
J(oz)
= Ml
l′
J(oz)
l′ =
Ml
Il faut donc que le projectile heurte le solide `a la hauteur l′ ´egale a` celle
du pendule simple synchrone.
2.4. Conservation de l’´
energie m´
ecanique.
On choisit la position initiale du centre de gravit´e du syst`eme (S) + (p)
comme origine de l’´energie potentielle. Juste apr`es l’impact, l’´energie
potentielle du syst`eme est nulle et l’´energie cin´etique est maximale. En
utilisant l’´equation (4), elle s’´ecrit :
1
1
Ec = J(oz) ω 2 + ml′2 ω 2
2
2

2
 ml′ (vx − vy tan α) 
1
=
J(oz) + ml′2 

2
l′2
J(oz) + m
cos2 α
Dans le cas o`
u la percussion est nulle, α = 0, vy = 0, l′ = J(oz) /(Ml),
2
J
(oz)
"
#
m
vx 
J(oz) 2 
1
Ml


Ec =
J(oz) + m

2 
2
Ml

J(oz) 
J(oz) + m
Ml

´
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8
2
J
(oz)
m2
vx2
1
Ml
Ec = ×
2
J(oz) 2
J(oz) + m
Ml
2 2
J(oz) m vx
1
= × 22
2 M l + J(oz) m
On mesure la hauteur maximale h atteinte par le centre de gravit´e de
l’ensemble (S) + (p) `a l’instant t2 . En h, l’´energie cin´etique est nulle et
l’´energie potentielle est maximale. En n´egligeant les frottements de l’air
et du solide (S) sur l’axe (oz), la conservation de l’´energie m´ecanique
s’´ecrit :
Em´eca (t2 ) = Em´eca (t1 )
Ecin (t2 ) + Epot (t2 ) = Ecin (t1 ) + Epot (t1 )
J(oz) m2 vx2
1
× 22
= (M + m)gh
2 M l + J(oz) m
s
1 2(M + m)gh(M 2 l2 + J(oz) m)
vx =
m
J(oz)
(6)
2.5. Conservation de l’´
energie totale.
On peut `a pr´esent calculer le transfert de chaleur Q du projectile (p) au
solide (S) lors de l’impact. On ´ecrit la conservation de l’´energie totale
lors du transfert d’´energie cin´etique au moment de l’impact :
J(oz) m2 vx2
1
1
Q = mvx2 − × 2 2
2
2 M l + J(oz) m
J(oz) m
1
1− 2 2
mvx2
=
2
M l + J(oz) m
1
M 2 l2
= × 22
mvx2
2 M l + J(oz) m
et avec l’´equation (6),
2(M + m)gh(M 2 l2 + J(oz) m)
1
M 2 l2
× 22
×
2 M l + J(oz) m
J(oz) m
2 2
M l
gh
= (M + m)
J(oz) m
Q=
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