Esta

INTRODUCCIÓN AL MUESTREO
POR QUÉ SE MUESTREA
Con mucha frecuencia, empresas, organizaciones y otras entidades desean conocer algo sobre
sus clientes, proveedores, comunidad y otros grupos de interés. Por ejemplo; un personaje político,
quizás, desee conocer la aceptación que tienen sus ideas o su imagen entre sus posibles
electores. También, los industriales deseen medir alguna característica de todos los productos que
fabrican.
En estos y otros casos se presenta, con mucha frecuencia, una dificultad: no es posible contactar a
todas las personas para interrogarlas sobre el aspecto de interés o tampoco es posible medir en
todos los productos fabricados el valor de la variable cuyo comportamiento se desea establecer.
Los usuarios de la información que se desea conocer deben, entonces, escoger entre realizar un
censo, es decir, examinar a todos los elementos de la población objetivo o realizar un muestreo, es
decir, examinar a algunos de los elementos de esa población.
Entre los inconvenientes para realizar un censo se encuentran:
 El costo de realizarlo puede hacer prohibitiva esta opción
 El tiempo que puede demorar la realización de un censo puede ocasionar que la información
no esté disponible en el momento en que se necesite
 Puede ser muy difícil o a veces, imposible, localizar a todos los elementos de una población
con el fin de realizar el censo
 Cuando se trata de tomar medidas físicas con frecuencia, esto implica destruir el elemento
medido
 Los censos, realmente, no aumentan la precisión de los estudios
CONCEPTOS DE MUESTREO YA ESTUDIADOS
En este punto, es preciso, que el lector de estas notas, repase algunos conceptos ya estudiados y
que se utilizan en la teoría del muestreo. Estos conceptos son los siguientes:
 Concepto de elemento
 Concepto de población
 Cómo se define una población
 Tamaño de una población
 Como se clasifican las poblaciones
 Concepto de muestra
 Tamaño de una muestra
 Concepto de parámetro
 Concepto de estadístico
 Concepto de experimento aleatorio
SITUACIONES EN QUE SE PUEDE APLICAR UN PROCESO DE MUESTREO
Los procesos de muestreo se pueden aplicar, por ejemplo, cuando se trata de dar respuesta a
alguna de las siguientes preguntas:
 ¿Cuál es la edad de las personas que ven un determinado programa de televisión?
 ¿Cuánto gastan los taxis para ir de un punto A hasta un punto B de la ciudad en la hora pico?
 ¿Cuál es el porcentaje de ciudadanos que están de acuerdo con las gestiones del alcalde de
su ciudad?
 ¿Cuántas toneladas de basura producen por día los mercados de frutas y verduras de la
ciudad?
MÉTODOS DE MUESTREO
Existen dos métodos para escoger a algunos de los elementos de una población con el fin de
registrar el estado o valor de las variables que nos interesan. Estos métodos son:
 Muestreo no probabilístico
 Muestreo aleatorio o probabilístico
MUESTREO NO PROBABILÍSTICO
Este tipo de muestreo ocurre cuando no se conoce la probabilidad, que tienen de ser
seleccionados, los elementos de la población que van a hacer parte de la muestra.
Existen dos clases de muestreo no probabilístico:
 El muestreo de juicio
 El muestreo por conveniencia
EL MUESTREO DE JUICIO
En este método de muestreo los elementos que se van a investigar se escogen de acuerdo a las
opiniones de expertos o se escogen a personas que tienen conocimiento o experiencia sobre el
tema que se está examinando.
Un ejemplo de muestreo de juicio ocurre cuando, para saber si la economía del país ha mejorado,
se interroga a los directivos de agremiaciones bancarias, industriales y comerciales, pero, no se
tienen en cuenta las opiniones de los ciudadanos corrientes.
MUESTRO POR CONVENIENCIA
En este método de muestreo los elementos que se van a observar, es decir, los que componen la
muestra, se escogen por la facilidad para seleccionarlos o por el interés que tienen algunas
personas en ser incluidas en la muestra.
Son ejemplos de muestreo por conveniencia cuando las personas llaman a alguna emisora para
dar su opinión sobre un tema de interés o cuando se realiza una encuesta preguntando algo a las
personas que circulan por una calle determinada, también, cuando un supervisor examina sólo los
productos que están en la parte superior de una caja para verificar su calidad.
En estos tipos de muestreo no se puede medir la validez de las conclusiones que se obtengan o
sobre el estado o valor de las características observadas.
MUESTREO ALEATORIO O PROBABILISTICO
Este tipo de muestreo se caracteriza porque el método utilizado garantiza que todos los elementos
de una población tienen igual oportunidad de ser incluidos en la muestra que se va a tomar.
Cuando esto ocurre, se dice, que los elementos de la muestra se escogieron al azar.
En el muestreo probabilístico se puede medir el error de las estimaciones que se hacen y el grado
de incertidumbre de estas estimaciones o de las conclusiones a las que llega el estudio
Existen los siguientes métodos de muestreo aleatorio o probabilístico:
 El muestreo aleatorio simple
 El muestreo sistemático
 El muestreo estratificado
 El muestreo por conglomerados o racimos
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
En este método de muestreo, se seleccionan una muestra de n elementos de la población, de tal
manera que todas las muestras del mismo tamaño tengan igual probabilidad de ser seleccionadas.
Este proceso de selección se realiza en un solo paso.
El muestreo aleatorio simple se utiliza, preferiblemente, en el caso de poblaciones finitas, es decir,
cuando se conoce el tamaño N de la población investigada.
CONDICIONES PARA EL MUESTREO ALEATORIO SIMPLE:
 Preferible una población finita
 El tamaño de la población debe ser moderado
 La variabilidad debe ser moderada


Los elementos se deben encontrar en un área geográfica pequeña
Los elementos de la población deben ser fáciles de enumerar
MARCO MUESTRAL O MARCO DE REFERENCIA
El marco muestral se construye asignando un número consecutivo a cada uno de los N elementos
que componen la población de la que se va a extraer la muestra de tamaño n.
Esta actividad tiene por objeto garantizar que todos los elementos de la población tienen igual
probabilidad de ser incluidos en la muestra y que todas las muestras de un mismo tamaño tienen
igual probabilidad de ser escogidas.
LAS TABLAS DE NÚMEROS ALEATORIOS
Alguien podría pensar que para garantizar la condición probabilística, del muestreo, es suficiente
con depositar fichas o cartones con los números, que identifican a cada uno de los elementos de la
población, en una caja o recipiente, revolver bien estos cartones o fichas y que alguien sin mirar
escoja los n cartones o fichas que componen la muestra.
Se ha encontrado que este método y otros similares, no garantizan la condición de muestreo
probabilístico porque no se puede medir la probabilidad que tiene cada elemento de ser
seleccionado, ya sea, porque las fichas o cartones no se mezclan de manera o adecuada o porque
la persona que escoge las fichas o cartones, escoge más de ellos de un sector o espacio de la caja
que de otros sectores o espacios del recipiente que contienen los cartones.
Las tablas de números aleatorios son unas tablas que traen conjuntos de número agrupados en
filas y columnas construidas de tal manera, que cada uno de los números de estas tablas tiene
igual probabilidad de ser seleccionado, independientemente, del punto de la tabla donde se
empiece a seleccionar los números. Estas tablas se encuentran en los apéndices de casi todos los
textos de estadística.
El docente, en la clase correspondiente a este tema, le instruirá sobre la forma de utilizar este tipo
de tablas, para seleccionar a los elementos de la población que harán parte de la muestra.
PROCEDIMIENTO DEL MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
 Enumerar a todos los elementos de la población (Marco de Referencia o Marco Muestral)
 Utilizar una tabla de números aleatorios para seleccionar la muestra
 Alternativo: Procedimiento por rifa (poblaciones pequeñas)
 Calcular el tamaño de la muestra (se ve más adelante)
 Realizar la encuesta
 Calcular el estadístico o estadísticos
EL MUESTREO SISTEMÁTICO
No siempre es posible o práctico establecer el marco de referencia, por ejemplo, cuando el tamaño
de la población es considerable, podría requerir una apreciable cantidad de tiempo, numerar a
todos los elementos de la población.
Estas situaciones que se dan en, por ejemplo, los siguientes casos:
 Cuando se van a examinar 50 documentos de una población de 1000 documentos que están
archivados, en orden cronológico, en carpetas
 Cuando se van a examinar la calidad de 150 unidades de producto de las 2000 unidades de
producto que salen por día de un proceso productivo.
En estos casos, es más práctico utilizar el muestreo sistemático, que, en general, se ejecuta en los
siguientes pasos:
 Se establece el tamaño, n, de la muestra como se verá más adelante.
 Se calcula k con la siguiente expresión:
𝑘 =
𝑁
𝑛
Sí k no da exacto se redondea


Se escoge al azar un número entre 1 y k, por ejemplo, utilizando una tabla de números
aleatorios.
Se examina este elemento y a continuación todos los elementos que están a una distancia de
de k elementos, a partir del primero, en el orden en que están almacenados o se producen o se
localizan, hasta completar los n elementos de la muestra.
PROCEDIMIENTO PARA EL MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO:
 Calcular el tamaño de la muestra (se estudia más adelante)
 Se calcula k = N / n
 Se utiliza un número aleatorio para seleccionar el primer elemento (Un número entre 1 y k)
 Se selecciona cada k-ésimo elemento
 Se registra el valor de la variable en estudio
EJEMPLOS DE MUESTREO SISTEMÁTICO
Situación: Se van a examinar 50 documentos de una población de 1000 documentos que están
archivados, en orden cronológico, en carpetas
 Tamaño de la muestra n: 50
 K = 1000/50 = 20
 Número aleatorio entre 1 y 20 (supuesto: 11)
 Primer documento examinado: El número 11 (en el orden en que está archivado)
 Siguientes documentos examinados: 31, 51, 71,…….971 y 991, ( en el orden en que están
archivados)
Situación: Se van a examinar la calidad de 150 unidades de producto de las 2000 unidades de
producto que salen por día de un proceso productivo
 Tamaño de la muestra n: 100
 K = 2000/150 = 13,33 = 13
 Número aleatorio entre 1 y 13 (supuesto: 9)
 Primera unidad de producto examinada: la que sale de 9° del proceso productivo
 Siguientes unidades examinadas: 22, 35, 48,…….1933 y 1946 (en el orden en que salen
del proceso productivo)
INCONVENIENTE DEL MUESTREO SISTEMÁTICO.
Cuando la forma en que los elementos se encuentran ordenados coincide de alguna manera
con la evolución de la variable que se estudia, no se puede aplicar el método de muestreo
sistemático.
Por ejemplo: sí los elementos de la población son facturas y la característica observada es el
valor de cada factura, no se puede usar el muestreo sistemático cuando las facturas están
archivadas en orden cronológico y el valor de las facturas aumenta con el tiempo.
MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO
El muestreo aleatorio estratificado se utiliza cuando la población se encuentra naturalmente
dividida en grupos homogéneos respecto de la variable que se esté estudiando. A estos grupos
se les llama estratos.
Por ejemplo, los ingresos de la personas están relacionados con su ocupación. Si se está
investigando el ingreso promedio de una comunidad, a esta comunidad se la puede dividir en
los siguientes estratos, de acuerdo con su ocupación o grado de capacitación así:




Operarios
Técnicos
Tecnólogos
Profesionales
Cada uno de estos grupos se llama estrato porque los ingresos de los operarios son muy
parecidos entre sí (homogéneos), pero muy diferentes a los ingresos de las personas de los
otros estratos, por ejemplo, del estrato de los profesionales.
En otro ejemplo, el número de graduados de una institución universitaria que llevan un año o
menos trabajando, se distribuyen por facultades, de esta institución de la siguiente manera:
Facultad
Administración
Ingenierías
Ciencias sociales
Total
No. de
graduados
550
400
50
1000
La institución quiere estimar el ingreso promedio de estos mil egresados, teniendo en cuenta
que la Oficina de Egresados, tiene establecido, por las condiciones del mercado laboral, que los
ingresos, suelen variar apreciablemente, entre los egresados de los tres tipos de facultades.
Sí se utiliza el muestreo aleatorio simple, puede ocurrir, por azar, que ningún egresado de la
facultad de ciencias sociales, que representan únicamente el 5% de la población, quede
representado en la muestra. Para evitar esta situación se puede dividir la muestra total, que se
va a observar, proporcionalmente entre el volumen de egresados de cada facultad, aplicando la
frecuencia relativa o porcentaje de egresados por facultad.
Sí se ha establecido que el tamaño de la muestra que se va a observar es de 100 egresados, se
puede proceder como se muestra en la siguiente tabla:
Facultad
Administración
Ingenierías
Ciencias sociales
Total
No. de
graduados
550
400
50
1000
Frecuencia
relativa
0,55
0,40
0,05
1,00
No. de egresados
en la muestra
55
40
5
100
El número de egresados de la facultad de administración, que participa en la muestra se
obtiene multiplicando 100 por 0,55 (el tamaño de la muestra por la frecuencia relativa), y así
para las otras dos facultades.
Cuando los elementos de la población se pueden dividir en grupos o “estratos” relativamente
homogéneos, que presenten, usualmente, diferencias apreciables entre los estratos, el muestreo
estratificado produce resultados más precisos que el muestreo aleatorio simple
PROCEDIMIENTO PARA EL MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO
Determinar el tamaño de la muestra total y repartirla en cada estrato siguiendo un criterio de
aplicación
 Alternativo: Determinar directamente el tamaño de la muestra de cada estrato
 Aplicar el muestreo aleatorio simple para seleccionar los elementos de cada estrato
 Realizar la encuesta


Calcular el estadístico o estadísticos
MUESTREO ALEATORIO POR CONGLOMERADOS O RACIMOS
Este muestreo se utiliza, preferiblemente, cuando la investigación abarca áreas geográficas
grandes como una ciudad o un departamento. En estos casos, se divide a la población en
secciones o subconjuntos de elementos llamados conglomerados o racimos, que pueden ser
comunas, barrios o manzanas. Estos conglomerados deben tener las siguientes características:
 Variación pequeña entre conglomerados
 Variación alta entre los elementos de cada conglomerado
 Cada conglomerado es una versión en pequeña escala de toda la población (caso ideal)
 No se requiere listado de todos los elementos de la población
 El marco de referencia puede ser mapas, planos o fotografías aéreas
EJEMPLO DE UN MUESTREO POR CONGLOMERADOS
Objetivo del estudio: Registrar algunas características de la unidades habitacionales de una
ciudad
Unidad de investigación: la unidad habitacional.
Procedimiento:
 La ciudad se divide en barrios
 Marco de referencia de los barrios: se numeran todos los barrios de la ciudad
 Se toma muestra aleatoria de los barrios
 Los barrios seleccionados se dividen en manzanas
 Marco de referencia de las manzanas: se numeran todas las manzanas de cada barrio
seleccionado
 Se toma una muestra aleatoria de las manzanas
 Se encuestan todas las unidades habitacionales de cada manzana seleccionada
CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTIMACIÓN
QUE ES ESTIMAR
Estimar es establecer de alguna forma el valor de un parámetro de una población, cuando no se
puede conocer su valor exacto, porque, por alguna razón, es imposible realizar un censo.
Por ejemplo, si una EPS deseara conocer el peso promedio de todos los operarios de la
construcción de una determinada ciudad, como cualquiera se puede imaginar, es muy difícil
realizar un censo para obtener el valor de este parámetro, por lo que, como se anotó al comienzo
de esta unidad, se recurre a un muestreo y como resultado de este muestreo se obtiene un
estadístico que se usa para estimar el parámetro de la población.
Hipotéticamente, se podría registrar el peso de, digamos, 200 operarios de la construcción,
escogidos con uno de los métodos de muestreo, que se estudiaron anteriormente y encontrar que
estos 200 operarios tienen un peso promedio de, también hipotéticamente, 78 kilogramos. Este
valor que es el que se llama estadístico, se usa para estimar el parámetro de la población que
nunca se va a conocer.
Las técnicas estadísticas de estimación no hacen parte del objetivo de estos apuntes, por lo que
sólo se van a mencionar los conceptos básicos para entender el cálculo del tamaño de una
muestra, que es nuestro objetivo
ERROR DE MUESTREO
Se llama Error de Muestreo a la diferencia que existe entre el valor de un estadístico y el valor del
parámetro de la población que se intenta estimar con el valor del estadístico. Este error, que nunca
se conoce, se debe a la imposibilidad de realizar el censo.
COMO SE PUEDE ESTIMAR
Se pude estimar el valor del parámetro de una población de dos formas


Por intuición
Usando técnicas estadísticas
Con frecuencia, recurrimos a la intuición para hacer estimaciones, como se puede ver en los
siguientes ejemplos:
 Observando el comportamiento del clima de un día por la mañana, estimamos el
comportamiento del clima por la tarde.
 Usando los resultados obtenidos por un equipo de fútbol, en encuentros anteriores, estimamos
el resultado, de este equipo, en un encuentro próximo a realizarse
 Les preguntamos a algunos amigos si les gusta el sabor de un comestible y con base en sus
respuestas estimamos las ventas de este producto.
Las técnicas estadísticas, en cambio, permiten, a través de métodos establecidos y comprobados,
estimar el valor de un parámetro, bajo incertidumbre, es decir, que la afirmación que se haga sobre
el valor de este parámetro, debe contener el margen de error, que creemos se puede estar
cometiendo y el grado de confianza que tenemos sobre lo que afirmamos.
ESTIMADOR
Se llama estimador al método de cálculo o fórmula que se usa para aproximarse al valor del
parámetro de la población. Los estimadores que más se utilizan son:
 El estimador de la media aritmética simple
 El estimador de la proporción
ESTIMADOR DE LA MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE
El estimador de la media aritmética simple es suficientemente conocido por los estudiantes, a esta
altura del curso. Las fórmulas son:
∑ 𝑥𝑖
𝑛
∑ 𝑥𝑖 𝐹𝐴𝑖
𝑥̅ =
𝑛
𝑥̅ =
ESTIMADOR DE LA PROPORCIÓN
El estimador de la proporción resulta cuando se quiere establecer la proporción o porcentaje de
elementos de una población que poseen una determinada característica. Por ejemplo, una
comercializadora de productos electrónicos puede desear estimar, a través de una muestra, la
proporción o porcentaje de estudiantes universitarios de la ciudad que utilizan celulares de la
marca Motorola. La fórmula para estimar proporciones es la siguiente:
𝑝=
Dónde:
𝑥
𝑛
𝒑: 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝒙: 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
𝒏: 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
El estadístico p se usa para estimar el parámetro P, la verdadera proporción de estudiantes de la
ciudad que utilizan la marca Motorola, pero que por la imposibilidad de realizar un censo, no se
conoce.
ESTIMACIÓN
Se llama estimación al valor calculado con la fórmulas o estimadores
TIPOS DE ESTIMACIÓN
La estimación de parámetros se puede realizar de dos formas:


Estimación puntual
Estimación por intervalos
ESTIMACIÓN PUNTUAL
La estimación puntual ocurre cuando el parámetro de la población se estima con un solo valor que
se obtiene de aplicar la fórmula del estimador
Ejemplo
Para estimar la edad promedio de los estudiantes que ingresaron este semestre a una
universidad, se escogieron al azar a 200 de ellos y se registraron sus edades. Al sumar todos estos
valores se obtuvo un total de 3520. Es decir:
∑ 𝑥𝑖 = 3520
𝑛 = 200
∑ 𝑥𝑖
3520
𝑥̅ =
=
= 17,6 𝑎ñ𝑜𝑠
𝑛
200
Con base en los datos de la muestra, la edad promedio de todos los estudiantes que ingresaron
este semestre a la universidad se estima en 17,6 años
Ejemplo
Para estimar el porcentaje de estudiantes universitarios de la ciudad, que utilizan celulares marca
Motorola, se escogieron al azar a 720 estudiantes universitarios, encontrando que 80 de ellos
utilizan celular de la marca investigada. Es decir:
𝑥 = 80
𝑛 = 720
𝑥
80
𝑝= =
= 0,11 = 11%
𝑛
720
Con base en los datos de la muestra se estima que la proporción de estudiantes de la ciudad que
utilizan celulares marca Motorola es del 11%
Como se puede ver la estimación puntual no mide la incertidumbre de la estimación, es decir no
indica la magnitud del error ni el grado de confianza que se tiene en la estimación que se realiza.
Por estas razones se prefiere la estimación por intervalos.
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
En la estimación por intervalos se construye un intervalo de valores dentro del cual se espera que
contenga el parámetro de la población que se intenta estimar. A este intervalo de valores se le
llama intervalo de confianza
INTERVALO DE CONFIANZA
Es el intervalo de valores construido con los datos de la muestra, dentro del cual es posible que se
encuentre el parámetro de la población
NIVEL DE CONFIANZA
Es la probabilidad o riesgo de que el intervalo de confianza contenga el valor del parámetro de la
población
MARGEN DE ERROR
Es un valor que se le suma y se le resta a la estimación puntual de la media o de la proporción,
para construir el intervalo de confianza, es decir:
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 ± 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟
Para estimar la media de una población, el intervalo de confianza se construye así:
𝐼𝑛𝑡𝑟𝑒𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑥̅ ± 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟
Para estimar la proporción de una característica en una población, el intervalo de confianza, se
construye así:
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 𝑝 ± 𝑀𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟
FACTORES EN LA CONSTRUCCIÓN DEL MARGEN DE ERROR
En la construcción del margen de error para estimar la media de una población intervienen cinco
elementos:
 El nivel de confianza
 La dispersión de los datos
 El tamaño de la muestra
El nivel de confianza es la probabilidad o riesgo de que el intervalo de confianza contenga al
parámetro de la población.
Aunque se puede utilizar cualquier valor, los valores de probabilidad que con más frecuencia se
emplean para fijar el nivel de confianza son: 90%, 95% y 99%.
Por ejemplo, un nivel de confianza del 90% significa que se tiene una confianza del 90%, de que el
intervalo de confianza, construido, contenga al parámetro de la población que se está estimando o
dicho de otra manera: hay una probabilidad del 90% de que el intervalo de confianza, construido,
contenga al parámetro de la población.
El nivel de confianza lo fija el investigador escogiendo un valor que se llama VALOR Z o VALOR
TIPIFICADO. Este valor Z depende del nivel de confianza escogido y se obtiene en una tabla que se llama la
Tabla Normal. Los valores de Z correspondientes a los niveles de confianza antes mencionados: 90%, 95% y
99% obtenidos de esta tabla son los siguientes:
La Tabla Normal la traen todos los textos de estadística, en el apéndice. En la exposición sobre
este tema el docente le mostrará como determinar Z para otros niveles de confianza.
La dispersión de los datos cuando se va a estimar la media de una población, se tiene cuando se
conoce la varianza poblacional o la desviación estándar de la población. Sí no se conoce este
parámetro se puede estimar tomando una muestra piloto y calculando la varianza de esta muestra
La dispersión de los datos cuando se va a estimar la proporción de una característica en una
población, se obtiene de una muestra piloto o fijando su valor en 0,50
CÁLCULO DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA
Los casos más comunes en el cálculo del tamaño de la muestra con un nivel de confianza y un
margen de error establecido o deseado son:
 Cálculo del tamaño de la muestra para estimar la media de una población
 Cálculo del tamaño de la muestra para estimar la proporción de una característica en una
población
Para cada uno de estos casos existen dos variantes que son las siguientes:
 Cuando la población es infinita
 Cuándo la población es finita
CÁLCULO DEL TAMAÑO DE UNA MUESTRA PARA ESTIMAR LA MEDIA DE UNA
POBLACIÓN CUANDO LA POBLACIÓN ES INFINITA
Para este caso se utiliza la siguiente fórmula:
2 2
𝑛=
Dónde:
𝑧 𝜎
𝐸2
𝒛 𝑒𝑠 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑔𝑎𝑑𝑜𝑟
𝝈𝟐 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑬 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑔𝑎𝑑𝑜𝑟
Es muy común que la varianza de la población se desconozca. En estos casos, se toma una
muestra piloto y se calcula la varianza muestral
En esta expresión el margen es en valor absoluto. Cuando el margen de error se conoce en
porcentaje, es necesario transformarlo a valor absoluto
Ejemplo:
Un supermercado quiere estimar el valor promedio de compra por factura, de todas las facturas
emitidas por el supermercado durante el último año.
Como el número de facturas es muy grande la población se considera infinita.
El gerente del supermercado desea un nivel de confianza de la estimación del 95% y está
dispuesto a tolerar un margen de error, en la estimación del promedio, de más o menos $5.000
Como es la primera vez que se realiza este estudio no se conoce la varianza de la población por lo
que escogieron al azar 10 facturas y se registraron sus valores como se muestra en la siguiente
tabla:
VALOR POR FACTURA (Miles de pesos)
30
48
67
52
78
81
73
67
63
91
La desviación estándar de esta muestra s = $31,3276 miles, luego la varianza muestral es
s2 = $317,778 miles2.
𝑛=
𝑧 2𝑠 2
(1,962 )(317,778)
=
= 48,83 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠
𝐸2
52
𝑛 = 49 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠
Se deben, entonces, revisar 49 facturas y registrar sus valores
Supongamos hipotéticamente, que al sumar los valores de estas 49 facturas dio un valor total de
$3.065 miles, entonces, el intervalo de confianza para el valor promedio de las facturas emitidas
por el supermercado, durante el último año, se construye así:
𝑥̅ =
3065
= 62,551
49
𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 62,551 + 5 = 67,551
𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 62,551 − 5 = 57,551
Podemos afirmar, entonces, que el valor promedio de todas las facturas emitidas por el
supermercado, durante el último año se encuentra entre $57.551 y $67.551, con una probabilidad
del 95%
Esta afirmación significa que no conocemos el valor del parámetro de la población, es decir, el
valor promedio de todas las facturas emitidas, durante el último año por el supermercado, pero,
que estimamos que de 100 muestras que se tomen, de 49 facturas, 95 de estos 100 intervalos de
valores construidos, con los datos de estas muestras, contendrán el valor de este parámetro
CÁLCULO DEL TAMAÑO DE UNA MUESTRA PARA ESTIMAR LA MEDIA DE UNA
POBLACIÓN CUANDO LA POBLACIÓN ES FINITA
Para este caso se utiliza la siguiente fórmula:
2
2
𝑛=
𝑍 𝑁𝜎
(𝑁 − 1)𝐸 2 + 𝑍 2 𝜎 2
𝒛 𝑒𝑠 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑔𝑎𝑑𝑜𝑟
𝝈𝟐 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑬 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑔𝑎𝑑𝑜𝑟, 𝑒𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜
𝑁 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
En esta fórmula, si la varianza de la población no se conoce, se utiliza la varianza muestral que se
obtiene tomando una muestrea piloto.
Ejemplo:
En una universidad, en la que están matriculados 1200 estudiantes en carreras nocturnas, se
quiere estimar el ingreso promedio que recibe cada estudiante, con un margen de error del 5% y
un nivel de confianza del 99%.
Como no se conoce la varianza de la población se tomó una muestra piloto para estimarla
Ingresos/estudiante (Miles de pesos)
1047
999
1011
1003
952
895
800
961
991
927
La media y la desviación estándar de esta muestra son:
𝑥̅ = 958,6
𝑠 = 71,071
Como el margen de error, en esta fórmula, es en valor absoluto, se obtiene multiplicando el
porcentaje, del error, por la media
𝐸 = (0,05)(958,6) = 47,93
𝑛=
1200(2,57)2 (71,071)2
= 14,36
(1199)(47,93)2 + (2,57)2 (71,071)2
𝑛 = 15 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
Se deben, entonces, encuestar a 15 estudiantes, calcular el ingreso promedio de estos
estudiantes y construir el intervalo de confianza como se hizo en el ejemplo anterior, para estimar
el ingreso promedio de todos los estudiantes nocturnos, de esta universidad, con un nivel de
confianza del 99% y un margen de error del 5%, es decir, de $47.930
CÁLCULO DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR LA PROPORCIÓN DE LA
POBLACIÓN CUANDO LA POBLACIÓN ES INFINITA
Para este caso se utiliza la siguiente fórmula:
𝑛=
𝑍 2 𝑃(1 − 𝑃)
𝐸2
Dónde:
𝒁 𝑒𝑠 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑔𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑷 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑥𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑬 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑔𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒
𝟏 − 𝑷 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜, 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑄, 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜
𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑥𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎
Cuando P no se conoce se estima con una muestra piloto o se le asigna un valor igual a 0,50
Ejemplo:
La fábrica de jabón para la loza “COQUITO”, quiere estimar la proporción de amas de casa de la
ciudad que han utilizado su jabón. La fábrica desea que esta estimación tenga como máximo un
error del 5% y un nivel de confianza del 95%
Como la proporción de la población P, no se conoce, se estimó con una muestra piloto, en la cual
se encuestaron 20 amas de casa, escogidas al azar, de las cuales 6 afirmaron que habían utilizado
el jabón COQUITO.
𝑝=
𝑥
6
=
= 0,3 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑛
20
𝑛=
(1,962 )(0,3)(0,7)
= 322,69
(0,05)2
𝑛 = 323 𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑎
Se deben encuestar a 323 amas de casa de la ciudad
¿Qué ocurre si se utiliza 0,5 para estimar la proporción de la población que ha utilizado esta marca
de jabón?
Haciendo otra vez los cálculos se obtiene:
(1,96)2 (0,5)(0,5)
𝑛=
= 384,16
(0,05)2
𝑛 = 385 𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑢𝑑𝑎𝑑
Conclusión: Cuando se utiliza p = 0,5 se obtiene el tamaño de muestra más grande posible
CÁLCULO DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA ESTIMAR LA PROPORCIÓN DE LA
POBLACIÓN CUANDO LA POBLACIÓN ES FINITA
Para este caso se utiliza la siguiente fórmula:
𝑛=
𝑍 2 𝑁𝑃(1 − 𝑃)
(𝑁 − 1)𝐸2 + 𝑍 2 𝑃 (1 − 𝑃)
Dónde:
𝒁 𝑒𝑠 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑔𝑎𝑑𝑜𝑟
𝑵 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑷 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑒𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑥𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑬 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑔𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒
𝟏 − 𝑷 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜, 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑄, 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒
𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑥𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎
Aquí, también, cuando P no se conoce se estima con una muestra piloto o se le asigna un valor
igual a 0,50
Ejemplo:
En un complejo de oficinas en el que trabajan 500 empleados, un concesionario de una marca de
celulares quiere estimar la proporción de estos empleados que tienen celular con el servicio de
plan de datos. Este concesionario desea un nivel de confianza del 95% para esta estimación y un
margen de error máximo del 5%
Como la proporción de la población no se conoce se tomó una muestra piloto en la cual se
preguntó a 10 empleados, escogidos al azar, si su celular tiene plan de datos. De estos 10
entrevistados, 2 respondieron afirmativamente.
𝑝=
𝑥
2
=
= 0,2 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑛
10
𝑛=
(1,962 )(500)(0,2)(0,8)
= 71,13
499(0,052 ) + (1,962 )(0.8)
𝑛 = 72 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠
Si no se toma la muestra piloto, se toma P = 0,5. Los cálculos para calcular el tamaño de la
muestra, quedan, entonces, así:
𝑛=
(1,962 )(500)(0,5)(0,5)
= 151,56 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠
499(0,052 ) + (1,962 )(0,5)
𝑛 = 152 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜𝑠
Que es más del doble del tamaño de muestra calculado cuando se tomó la muestra piloto