Ecuaciones. Inecuaciones. Sistemas. Problemas.

CURSO: 4º A E.S.O. MATERÍA: MATEMÁTICAS-A
CALIFICACIÓN
Nº 9 - TÍTULO: POLINOMIOS. ECUACIONES Y
SISTEMAS, INECUACIONES. PROBLEMAS.
NOMBRE: _____________________________________
FECHA: 26/03/15
APELLIDOS: __________________________________
1. Resuelve, por el método gráfico, el siguiente sistema de ecuaciones.
(1 punto)
2. Resuelve el siguiente sistema no lineal.
(1 punto)
3. Un terreno rectangular de 180 m2 de superficie se ha vallado con una cerca que
mide 54 m, Resuelve mediante un sistema, ¿cuáles son las dimensiones del terreno?
(1 punto)
4. Resuelve las siguientes ecuaciones:
(1 + 1 punto)
5. Resuelve la siguiente inecuación, representando y escribiendo el intervalo de soluciones.
6. Juan tiene el cuádruplo de años que su hija María. Hace tres años Juan tenía el quíntuplo de años
que María. Resuelve mediante una ecuación o sistema, ¿cuántos años tienen actualmente Juan y
María?
(0´75 puntos)
7. Resuelve las siguientes cuestiones:
(0´75 + 0´5 puntos)
a) Resuelve la ecuación x3 – x2 – 4x + 4 = 0
b) Divide (x3 – x + 2) : (x2 + 2) determinando el cociente y el resto.
8. Antonio tiene el cuádruplo del dinero que tiene Sara. Si Antonio le da a Sara 8 €, Antonio tendrá el doble
de dinero que Sara. Resuelve mediante un sistema o una ecuación el dinero que tienen al principio
Antonio y Sara.
(0´75 puntos)
9. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
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Nº 8 - TÍTULO: POLINOMIOS. ECUACIONES Y SISTEMAS.
INECUACIONES. PROBLEMAS.
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DEL CONTROL Nº 8 DE 4º ESO – MAT-A
1. Resuelve, por el método gráfico, el siguiente sistema de ecuaciones.
(1 punto)
Solución. Representamos las dos rectas. Para ello, despejamos la variable “y” en cada una de
ellas, elaboramos una tabla de valores y representamos los pares de puntos obtenidos.
 La tabla de valores de la recta 4x – 6y = 3 será,
x
Punto
–3
( – 3, – 2´5)
+3
( + 3, +1´5)
 La tabla de valores de la recta – 2x + 3y = 4 será,
x
Punto
– 2
( – 2, 0)
+1
( + 1, + 2)
La representación gráfica de las rectas será
la figura que hay a la derecha, donde nos
encontramos que las dos rectas son
paralelas.
Eso nos indica que el sistema no tiene
solución puesto que las dos rectas no
tienen puntos en común.
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Nº 8 - TÍTULO: POLINOMIOS. ECUACIONES Y SISTEMAS.
INECUACIONES. PROBLEMAS.
2. Resuelve el siguiente sistema no lineal.
(1 punto)
Solución. Aplicamos cualquiera de los tres métodos usuales. En nuestro caso, aplicaremos, por
ser el más eficiente, el método de sustitución.
Resolvemos la ecuación de segundo grado,
Por lo tanto,
 Si x = 3 entonces
 Si x = 1 entonces
En conclusión, las soluciones son x = 1 e y = – 1; o bien, x = 3 e y = – 1/3.
3. Un terreno rectangular de 180 m2 de superficie se ha vallado con una cerca que mide
54 m, Resuelve mediante un sistema, ¿cuáles son las dimensiones del terreno?
(1 punto)
Llamamos “x” a la longitud del largo del terreno e “y” a la
longitud del ancho de dicha superficie.
El área de la superficie es 180 m2 se puede describir
algebraicamente mediante la ecuación,
x·y = 180
El perímetro del terreno es 54 m, que se puede describir algebraicamente según la ecuación,
2x + 2y = 54
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Nº 8 - TÍTULO: POLINOMIOS. ECUACIONES Y SISTEMAS.
INECUACIONES. PROBLEMAS.
que se puede simplificar mediante,
x + y = 27
Por lo tanto, hallaremos las dimensiones de la finca si resolvermos el sistema,
Resolvemos la ecuación de segundo grado,
Por lo tanto,
 Si y = 12 entonces
 Si x = 15 entonces
En conclusión, las dimensiones del terreno son 12 m por 15 m.
4. Resuelve las siguientes ecuaciones:
Solución.
(0´75 + 1 punto)
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Nº 8 - TÍTULO: POLINOMIOS. ECUACIONES Y SISTEMAS.
INECUACIONES. PROBLEMAS.
Desarrollamos los productos notables y simplificamos al máximo,
Resolvemos la ecuación de segundo grado,
En conclusión, las soluciones son x = 1 y x = – 1/9.
5. Resuelve las siguiente inecuación, representando y escribiendo el intervalo de soluciones.
Solución.
La representación gráfica de las soluciones de la inecuación es,
El intervalo de soluciones es: x  ( – , 29/5 ]
6. Juan tiene el cuádruplo de años que su hija María. Hace tres años Juan tenía el quíntuplo
de años que María. Resuelve mediante una ecuación o sistema, ¿cuántos años tienen
actualmente Juan y María?
(0´75 puntos)
Sea x la edad de María, entonces podemos describir las edades de Juan y María, tanto actuales
como hace tres años, del siguiente modo,
María
Juan
Edad actual
x
4x
Edad hace tres años
x–3
4x – 3
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INECUACIONES. PROBLEMAS.
La ecuación que describe lo que ocurre hace tres años es,
5·(x – 3) = 4x – 3
Resolvemos,
Por lo tanto, María tiene actualmente x = 12 años y Juan tiene 4x = 4·12 = 48 años.
7. Resuelve las siguientes cuestiones:
(0´75 + 0´5 puntos)
a) Resuelve la ecuación x3 – x2 – 4x + 4 = 0
b) Divide (x3 – x + 2) : (x2 + 2) determinando el cociente y el resto.
Solución.
a) Resuelve la ecuación x3 – x2 – 4x + 4 = 0
Aplicamos la regla de Ruffini, buscando un valor con el que se obtenga resto cero,
Por tanto, una solución es x = 1. La ecuación consistente en el cociente de la división
igualado a cero nos proporciona el resto de soluciones de la ecuación.
En conclusión, las soluciones de la ecuación son x = 1, x = 2 y x = – 2
b) Divide (x3 – x + 2) : (x2 – 2) determinando el cociente y el resto.
El cociente es c(x) = x y el resto es r(x) = – 3x + 2
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Nº 8 - TÍTULO: POLINOMIOS. ECUACIONES Y SISTEMAS.
INECUACIONES. PROBLEMAS.
8. Antonio tiene el cuádruplo del dinero que tiene Sara. Si Antonio le da a Sara 8 €, Antonio tendrá el
doble de dinero que Sara. Resuelve mediante un sistema o una ecuación el dinero que tienen al
principio Antonio y Sara.
(0´75 puntos)
Sea x el dinero de Sara, entonces Antonio tendrá 4x. Si Antonio le da a Sara 8 € entonces,
Sara
Antonio
Edad actual
x
4x
Edad hace tres años
x+8
4x – 8
La ecuación que describe lo que ocurre al darse dinero es,
4x – 8 = x + 8
Resolvemos,
Por lo tanto, Sara tiene actualmente 12 € y Antonio tiene 4x = 4·12 = 48 €.
9. Resuelve las siguientes ecuaciones:
Despejamos la raíz y elevamos al cuadrado en los dos miembros.
Resolvemos la ecuación bicuadrada haciendo el cambio x2 = t
 Si t = 4 entonces, como x = t, tendremos que x = 4 y, en ese caso, x = – 2 y x = + 2
2
2
 Si t = 3 entonces, como x = t, tendremos que x = 3 y, en ese caso, x = –
2
2
Todas las soluciones se puede comprobar que son validas.
yx=+
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Nº 8 - TÍTULO: POLINOMIOS. ECUACIONES Y SISTEMAS.
INECUACIONES. PROBLEMAS.
Por lo tanto, las soluciones son x = 0; x = – 2; y x = 2