Paridad y Principio de las casillas

Paridad y Principio de las casillas
Olimpiada Mexicana de Matemáticas
Oaxaca
Paridad
Once engranes son arreglados como se muestra en la gura 1
¾Pueden rotar todos los engranes al mismo tiempo?
Ejemplo 1.
Figura 1:
No. Engranes consecutivos deberían rotar en sentido distinto. Si
los numeramos, el engrane 1 y 11 deberían rotar en igual forma, pues ambos son impares, y al mismo tiempo en sentido contrario pues son engranes
consecutivos.
Respuesta.
En un tablero de ajedrez un caballo es colocado en la casilla a1,
se comienza a mover y después de varios moviemientos regresa a esa posición1
Pruebe que el caballo debió de haberse movido un número par de veces.
Ejemplo 2.
1 Si
no conoce cuál es la casilla
a1
o no sabe como se mueve un caballo, pregunte a su
profesor o investigue.
1
Solución.
está.
Cuando un caballo se mueve cambia de color de la casilla en la que
Tres discos de Hockey , A, B, C se hallan sobre la pista. Un
jugador golpea uno de los discos de manera que al moverse el disco pasa por
enmedio de los otros dos. Esto lo repite 25 veces. ¾Pueden quedar los discos
en su posición original después de las 25 veces?
Ejercicio 1.
Una buena idea para resolver problemas es reducir el problema a una
coleción de estados(posibles situaciones) y hacer pares de estados.
¾Es posible dibujar 9 segmentos de línea de manera que cada
segmento intersque a exactamente 1 de los otros segmentos?
Ejercicio 2.
Todos los dominoes de un juego se colocan en cadena, es decir
uno después de otro, siguiendo las reglas. Si el número de un extremo es un
cinco, determine con prueba el número del otro extremo.
Ejercicio 3.
Ejercicio 4. En un tablero de 25 × 25 se colocan 25 chas de tal manera
que la posición es simétrica respecto a una diagonal del tablero. Muestre que
hay (al menos) una cha en la diagonal.
Otro punto importante es considerar cómo cambia o preserva la paridad
de enteros por operaciones aritméticas.
En Sikinia existen billetes de 1, 3 y 5 ripias. ¾Puede cambiarse
un cheque de 25 ripias usando en total 10 billetes?
Ejercicio 5.
Ejercicio 6. ¾Puede hacerse un cuadrado mágico de 6×6 usando los primeros
36 números primos? Un cuadrado mágico es un cuadrícula en la cuál se
escriben números enteros de forma tal que la suma de cualquier columna, la
o diagonal es una constante.
Un profesor escribe los números 1, 2 . . . , 2015 en el pizarrón.
El profesor escoje dos números de los escritos, los borra y escribe el valor
absoluto de la diferencia de los números que borró. Él repite esto hasta que
sólo queda un número. ¾Puede ser 0 el número que quedó en el pizarrón?
Ejercicio 7.
En un regimiento de 100 soldados acuerdan que cada noche 3
estarán de guardia mietras los otros descansan. ¾Pueden rotarse las guardias
de manera que después de varios días cada soldado haya estado de guardia
con cada otro soldado exactamente una vez?
Ejercicio 8.
2
Alrededor de una mesa se sientan 25 niños y 25 niñas. Muestra
que existe al menos alguien cuyos vecinos, i.e. personas sentadas a sus lados,
son ambos niños.
Ejercicio 9.
¾Es posible escribir los números del 1 al 9 en línea de manera
que haya una cantidad impar de número entre el 1 y el 2, el 2 y el 3, ..., y
entre el 8 y el 9?
Ejercicio 10.
Principio de las Casillas
Investigue o pregunte a su profesor sobre el principio de las casillas también llamado de las palomas o de Dirichet2
Sean a1 , . . . , a8 ocho enteros positivos distintos entre si y menores que 16. Muestre que existen al menos tres pares de estos que tienen la
misma diferencia positiva. La diferencia positiva entre los números a y b es
|a − b|.
Ejercicio 11.
a) ¾Cuál es el máximo número de cuadros en un tablero de
8 × 8 que pueden colorearse de verde de manera que en cualquier trimino,
arreglo de tres cuadrados como los que se muestran en la gura 2, al menos
uno no es verde? El trimino puede aparecer rotado.
b) ¾Cuál es el mínimo número de cuadrados de un tablero de 8×8 que deben
colorearse de verde de tal manera que en cualquier trimino al menos un
cuadrado es verde?
Ejercicio 12.
Figura 2: Trimino
Cincuenta y un puntos son colocados dentro del interior de
un cuadrado de un metro de lado. Muestre que existen tres de estos puntos
que pueden cubrirse con un sólo cuadrado de 20 centímetros de diámetro.
Ejercicio 13.
2 Importante
matemático del siglo XIX que hizo notables contribuciones en teoría de
números.
3
En cierto planeta, Tau Cetus, de un sitema planetario, más de
la mitad de la supercie es sólido. Muestre que en Tau Cetus puede cavarse
un túnel que pase por el centro y que inicie y termine en tierra.
Ejercicio 14.
Pruebe que existe un entero cuya representación decimal consta de puros 1's y que es múltiplo de 2013.
Ejercicio 15.
De 100 personas sentadas alrededor de una mesa, mas de la
mitad son hombres. Demuestre que entre ellos hay dos hombres sentados
diametralmente opuestos.
Ejercicio 16.
En una cuadrícula de 10 × 10 se escriben números enteros de
tal manera que la diferencia de los enteros de dos casillas vecinas no es mayor
que 5. Muestre que hay al menos un entero que se escribió dos veces en la
cuadrícula. Dos casillas se dicen vecinas si comparten un lado.
Ejercicio 17.
Pruebe que entre cualesquiera 11 enteros positivos, ninguno
mayor que 20, hay uno que divide a otro.
Ejercicio 18.
4