Document - Site de la PCSI du lycée Paul Eluard

Ann´
ee scolaire 2014/2015
probabilit´e 1
PCSI
Probabilit´
es: g´
en´
eralit´
es
Exercice 1: probl`
eme du chevalier de M´
er´
e
Est-il plus probable d’obtenir au moins une fois six en lan¸cant quatre d´es que d’obtenir au moins un double six
en lan¸cant vingt-quatre fois deux d´es?
Exercice 2 On tire trois jetons d’une boˆıte qui en contient n num´erot´es de 1 `a n. Quelle est la probabilit´e pour
que le plus petit num´ero tir´e soit le num´ero k o`
u k ∈ {1, · · · , n}?
Exercice 3 Dans une loterie, 50 billets sont en vente, 3 sont gagnants; une personne ach`ete 20 billets: Calculer
la probabilit´e pour que
1. aucun billet ne soit gagnant
2. un seul billet soit gagnant
3. Deux billets soient gagnants.
Exercice 4 On jette n d´es. Quelle est la probabilit´e
1. d’obtenir n chiffres distincts
2. que la somme des n chiffres soit paire
3. d’obtenir au moins un as
Exercice 5 n chasseurs tirent simultan´ement, au hasard et ind´ependamment, sur n canards. Chaque chasseur
ne tire qu’une fois et touche le canard vis´e.
1. Quelle est la probabilit´e qu’au moins un des canards survive?
2. L’un des canards est bagu´e et a ´et´e nomme Saturnin, quelle est la probabilit´e qu’il survive?
Exercice 6 Parmi les pi`eces fabriqu´ees par une machine et soumises `a deux contrˆoles C et C 0 , on distingue les
sous-ensembles suivants suivants:
• A les pi`eces accept´ees par C, 72% en pourcentage
• B les pi`eces accept´ees par C 0 , 76% en pourcentage
• les pi`eces refus´ees par C et par C 0 , 22% en pourcentage
Donner la mesure en pourcentage des ensembles suivants:
1. les pi`eces accept´ees par au moins un contrˆole
2. les pi`eces refus´ees par un seul contrˆole.
Exercice 7 On compose au hasard un num´ero de t´el´ephone `a 8 chiffres. Calculer la probabilit´e pour que
1. tous les chiffres soient distincts
2. le produit des chiffres soit divisible par 3
3. ces chiffres forment une suite strictement croissante.
4. ces chiffres forment une suite croissante.
Exercice 8 Quelle est la probabilit´e que, dans un groupe de n personnes n´ees en 2000, deux personnes au moins
soient n´ees le mˆeme jour?
Exercice 9 Une urne contient a boules blanches et b boules noires. On la vide en tirant une `a une les boules
sans remise.
1. Quelle est la probabilit´e d’obtenir la 1`ere boule blanche au k`eme rang?
2. Quelle est la probabilit´e d’obtenir la 2`eme boule blanche au k`eme rang?
3. G´en´eraliser `
a la j `eme boule blanche.
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4. On note Aj,k l’´ev´enement ‘la j
probabilit´e 1
`
eme
boule blanche apparaˆıt au k
PCSI
`
eme
rang’.
(a) Montrer que le syst`eme d’´ev´enements (Aj,k )j≤k≤b+j est un syst`eme complet d’´ev´enements.
b X
i+j−1
a+b−i−j
a+b
(b) En d´eduire que
=
.
i
b−i
b
i=0
Exercice 10 D’une urne contenant trois pi`eces dont deux sont truqu´ees, on extrait une pi`ece avec laquelle on
joue `
a pile ou face. On suppose que la probabilit´e d’obtenir pile avec une des pi`eces truqu´ees vaut 0, 3 et 0, 4
avec l’autre.
Sachant que la pi`ece extraite a amen´e trois fois de suite face, quelle est la probabilit´e qu’elle soit truqu´ee?
Exercice 11 Trois urnes not´ees U1 , U2 , U3 contiennent respectivement 2 boules rouges 3 bleues 5 vertes, 4
rouges 5 bleues, 3 bleues 6 vertes.
On tire une boule de U1 que l’on met dans U2 , puis une boule de U2 que l’on met dans U3 , puis une boule de
U3 que l’on met dans U1 .
Calculer la probabilit´e que la composition de l’urne reste inchang´ee.
Exercice 12 Un fumeur imp´enitent d´ecide de ne plus fumer, on admet que s’il ne fume pas un jour donn´e alors
la probabilit´e qu’il ne fume pas le lendemain est 0, 3. Par contre, s’il fume un jour donn´e, la probabilit´e qu’il
ne fume pas le lendemain est 0, 9. Calculer la probabilit´e qu’il ne fume pas le n`eme jour; que se passe-t-il si n
est grand?
Exercice 13 Tous les d´es consid´er´es sont cubiques, les apparitions des faces sont ´equiprobables. On consid`ere
le d´e A dont les faces sont num´erot´ees de 1 `a 6, et les 7 d´es Di tels que, pour chaque i, le d´e Di poss`ede i − 1
faces blanches et 7 − i faces noires ( par exemple, le d´e D3 poss`ede 2 faces blanches et 4 faces noires).
On choisit d’abord un num´ero i compris entre 1 et 7 en lan¸cant le d´e A et en proc´edant de la fa¸con suivante:
• si le r´esultat du lancer est 2, 3, 4, 5, 6 on choisit le num´ero sorti.
• si le r´esultat du lancer est 1, on lance `a nouveau le d´e A, et, si le nouveau r´esultat est 1, 2 ou 3, on choisit
le num´ero 1, sinon on choisit le num´ero 7.
Apr`es avoir choisi de cette fa¸con le num´ero i (1 ≤ i ≤ 7), on joue exclusivement avec le d´e Di . On lance Di
plusieurs fois de suite, les lancers sont ind´ependants les uns des autres.
L’observateur qui compte les faces noires ignore quel d´e est utilis´e.
1. Pour i ∈ {1, · · · , 7}, calculer la probabilit´e pour qu’on joue avec le d´e Di .
2. Calculer la probabilit´e pour qu’il sorte une face noire au premier lancer.
3. Sachant qu’il est sorti une face noire aux deux premiers lancers, calculer la probabilit´e qu’il sorte une face
noire au troisi`eme lancer.
Exercice 14 On consid`ere deux urnes A et B, elles contiennent des boules blanches et des boules noires: l’urne
A contient des boules blanches en proportion a, l’urne B contient des boules blanches en proportion b (0 < a < 1
et 0 < b < 1)
On effectue N tirages avec remise:
On choisit une des deux urnes (chaque urne a la mˆeme probabilit´e d’ˆetre
(
si elle est blanche, on tire la boule suivante dans la mˆeme urne
choisie) puis on tire une boule
elle est noire, on tire la boule suivante dans l’autre urne.
On continue la mˆeme r`egle jusqu’au N `eme tirage.
Soit n entier tel que 1 ≤ n ≤ N , on appelle pn la probabilit´e d’obtenir une boule blanche au n`eme tirage et qn
la probabilit´e pour que le n`eme tirage soit effectu´e dans l’urne blanche
1. Trouver une relation entre qn et qn−1
2. Exprimer qn en fonction de a, b et n
3. Exprimer pn en fonction de a, b et n.
Exercice 15 On joue a
` Pile ou Face avec une pi`ece ´equilibr´ee. On d´esigne par pn la probabilit´e qu’au cours
des n premiers lancers on ait obtenu au moins trois succ`es cons´ecutifs.
1. Calculer p0 , p1 , p2 et p3 .
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2. Montrer que, pour tout entier n ≥ 3, on a: pn+1 = pn + (1 − pn−3 )p (1 − p).
3. montrer que la suite (pn ) est croissante major´ee, quelle est sa limite ? Conclusion?
Exercice 16 Deux amis se rendent ind´ependamment l’un de l’autre sur un lieu de vacances. Les jours d’arriv´ee
possibles pour chacun des deux sont num´erot´es de 1 `a n−2. Les deux amis choisissent chacun leur jour d’arriv´ee
au hasard. Ils restent alors trois jours dans ce lieu `a attendre l’autre puis repartent. Leurs s´ejours possibles se
situent donc au cours de la p´eriode comportant les journ´ees num´erot´ees de 1 `a n.
1. Calculer la probabilit´e que les deux amis arrivent le mˆeme jour.
2. quelle est la probabilit´e que les deux amis arrivent avec un jour d’´ecart?
3. Calculer la probabilit´e qu’ils puissent se rencontrer.
4. Sachant qu’ils se sont rencontr´es, quelle est la probabilit´e qu’ils aient pu passer ensemble au moins deux
jours?
Exercice 17 Deux personnes lancent n pi`eces non truqu´ees. Quelle est la probabilit´e d’avoir qu’elles aient le
mˆeme nombre de piles?
Exercice 18 On note d(n) l’ensemble des permutations de [[1, n]] qui n’admettent aucun point invariant. On
pose d(0) = 1
n X
n
1. Montrer que n! =
d(n − k).
k
k=0
2. Montrer que d(n) =
n X
n
k=0
k
(−1)n−k k!
3. Dans un bureau, un secr´etaire a malencontreusement m´elang´e les n enveloppes des lettres destin´ees `
an
destinataires. Quelle est la probabilit´e que le service re¸coive n lettres de r´eclamation?
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