Représentations matricielles

POIRET Aurélien
TD no 27
1
MPSI
Représentations matricielles
FFF
Représentations matricielles d'une application linéaire
Exercice No 1 : Déterminer la matrice relative aux bases canoniques des applications linéaires f
suivantes
(
a) f :
(
c) f :
R3 → R2
(
R3 → R3
(
(x, y, z) 7→ (y + z, z + x, x + y)
R3 [X] → R4
b) f :
(x, y, z) 7→ (x + y, y − 2x + z)
R3 [X] → R3 [X]
d) f :
P 7→ P (X + 1)
P 7→ (P (1), P (2), P (3), P (4))
Exercice No 2 : On considère les sous-espaces vectoriels supplémentaires de R3 suivants
P = (x, y, z) ∈ R3 | x + 2y − z = 0 et D = Vect(w) où w = (1, 0, −1).
On note B = (i, j, k) la base canonique de R3 , p la projection vectorielle sur P parallèlement à D, q
celle sur D parallèlement à P , et enn, s la symétrie vectorielle par rapport à P et parallèlement à D.
1. Former la matrice de p dans B.
2. En déduire les matrices, dans B, de q et de s.
Exercice No 3 : Soit ϕ l'endomorphisme de Rn [X] déni par ϕ(P ) = P (X + 1).
1. Écrire la matrice A de ϕ dans la base canonique B de Rn [X].
2. Justier que A est inversible et calculer A−1 .
Exercice No 4 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et f ∈ L(E) tel que f 2 6= 0 et f 3 = 0.
Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est

0 0 0
 1 0 0 .
0 1 0

Exercice No 5 : Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E de dimension n ∈ N? vériant
f n = 0 et f n−1 6= 0.
1. Justier qu'il existe un vecteur x ∈ E tel que la famille B = x, f (x), f 2 (x), . . . , f n−1 (x) forme
une base de E .
2. Déterminer les matrices de f, f 2 , . . . , f n−1 dans cette base.
3. En déduire que
{g ∈ L(E)/g ◦ f = f ◦ g} = Vect(Id, f, f 2 , . . . , f n−1 ).
4. En déduire la dimension K[f ].
1
2
Changement de base
Exercice No 6 : Soit


3 1 −3
A =  −1 1 1 
1 1 −1
On note B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 . Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans
B est A. On pose ε1 = (1, 1, 1), ε2 = (1, −1, 0), ε3 = (1, 0, 1) et B 0 = (ε1 , ε2 , ε3 ).
1. Montrer que B0 constitue une base de R3 .
2. Écrire la matrice de f dans cette base.
3. Déterminer une base de Ker f et de Imf .
Exercice No 7 : Soit E un K-espace vectoriel muni d'une base B = (i, j, k).
Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans B est


2 −1 −1
A =  1 0 −1  .
1 −1 0
1. Calculer A2 . Qu'en déduire sur f ?
2. Déterminer une base de Imf et Ker f .
3. Quelle est la matrice de f relativement à une base adaptée à la supplémentarité de Imf et Ker f ?
Exercice No 8 : Soit


2 −1 −1
A =  −1 2 −1 
−1 −1 2
On note B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 . Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans
B est A.
1. Déterminer Ker f et Imf . Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans R3 .
2. Déterminer une base adaptée à cette supplémentarité et écrire la matrice de f dans cette base.
3. Décrire f comme composée de transformations vectorielles élémentaires.
Exercice No 9 : Soit f ∈ L(R3 ) représenté dans la base canonique B par :


2 1 −1
 0 1 0 .
1 1 0
1. Soit C = (ε1 , ε2 , ε3 ) avec ε1 = (1, 0, 1), ε2 = (−1, 1, 0), ε3 = (1, 1, 1). Montrer que C est une base.
2. Déterminer la matrice de f dans C .
3. Calculer la matrice de f n dans B pour tout n ∈ N.
Exercice No 10 : Soit E un K-espace vectoriel muni d'une base B = (e1 , e2 , e3 ).
Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans B est


2 −1 0
A =  −2 1 −2  .
1
1
3
2
Soit B0 = (ε1 , ε2 , ε3 ) la famille dénie par


 ε1 = e1 + e2 − e3
ε2 = e1 − e3


ε3 = e1 − e2
1.
2.
3.
4.
Montrer que B0 est une base de E et former la matrice D de f dans B0 .
Exprimer la matrice de passage P de B à B0 et calculer P −1 .
Quelle relation lie les matrices A, D, P et P −1 ?
Calculer An pour tout n ∈ N.
Exercice No 11 : Soit E un K-espace vectoriel muni d'une base B = (e1 , e2 , e3 ).
Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans B est


3 −2 2
A =  1 2 0 .
1 1 1
1. Montrer qu'il existe une base C = (ε1 , ε2 , ε3 ) de E dans laquelle la matrice représentative de f
est une matrice diagonale D de coecients diagonaux : 1, 2 et 3.
2. Déterminer la matrice de passage P de B à C . Calculer P −1 .
3. Quelle relation lie les matrices A, D, P et P −1 ?
4. Calculer An pour tout n ∈ N.
Exercice No 12 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 et B = (e1 , e2 , e3 ) une base de E .
On considère les matrices




4 −2 −2
0 0 0
A =  1 0 −1  et D =  0 1 0  .
3 −2 −1
0 0 2
Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est A.
1. Montrer qu'il existe une base C = (ε1 , ε2 , ε3 ) de E telle que la matrice de f dans C soit D.
2. Déterminer la matrice P de GL3 (R) telle que A = P DP −1 . Calculer P −1 .
3. Calculer An pour tout n ∈ N.
4. En déduire le terme général des suites (xn )n∈N , (yn )n∈N et (zn )n∈N dénies par :


 x0 = 1
y0 = 0 et ∀n ∈ N,


z0 = 0
3


 xn+1 = 4xn − 2(yn + zn )
yn+1 = xn − zn


zn+1 = 3xn − 2yn − zn
Calcul de rangs
Exercice No 13 : Calculer le rang de familles de vecteurs suivantes de R3 .
1. (x1 , x2 , x3 ) avec x1 = (1, 1, 0), x2 = (1, 0, 1) et x3 = (0, 1, 1).
2. (x1 , x2 , x3 ) avec x1 = (2, 1, 1), x2 = (1, 2, 1) et x3 = (1, 1, 2).
3
3. (x1 , x2 , x3 ) avec x1 = (1, 2, 1), x2 = (1, 0, 3) et x3 = (1, 1, 2).
Exercice No 14 : Calculer le rang des applications linéaires suivantes.
1. f : K 3 → K 3 dénie par f (x, y, z) = (−x + y + z, x − y + z, x + y − z).
2. f : K 3 → K 3 dénie par f (x, y, z) = (x − y, y − z, z − x).
3. f : K 4 → K 4 dénie par f (x, y, z, t) = (x + y − t, x + z + 2t, 2x + y − z + t, −x + 2y + z).
Exercice No 15 : Calculer le rang des matrices suivantes en fonction des paramètres.




1
1
1

b+c c+a a+b 
a)
bc
ca
ab

1
cos θ cos 2θ

cos θ cos 2θ cos 3θ 
b)
cos 2θ cos 3θ cos 4θ
a
b

... ...


c) 
...
 (0)
b (0)
(0)





b 
a
Exercice No 16 : Soient n ∈ N? et M ∈ Mn (R) dénie par
1.
2.
3.
4.

1
1
0




M =



0
1
1
···
...
...
0
1
···
0
...

.. 
. 

...
.. . .
.
.
0
0

.
0 


1 
1
...
Donner le rang de M et la dimension de son noyau.
Préciser noyau et image de M .
Calculer M n .
Montrer que M n est une matrice symétrique.
Exercice No 17 : Soit A et B deux matrices carrées d'ordre 3 telles que AB = O3 .
Montrer que l'une au moins de ces matrices est de rang inférieur ou égal à 1.
Exercice No 18 : Soit A ∈ Mn,p (K) de rang r. Montrer qu'il existe des matrices B et C respectivement dans Mn,r (K) et Mr,p (K) telles que A = BC .
Exercice No 19 : Montrer que les matrices carrées d'ordre n > 2 suivantes sont inversibles, et
déterminer leur inverse par la méthode de Gauss.

1


a) A = 


(0)
−a
(0)
... ...
...
−a
1








1
b) B = 

(0)
4
...
(1)



1
1


c) C = 


(0)
2
...
···
...
...
n

.. 
. 


2 
1