SOLUCIONARIO Congruencia de triángulos

SOLUCIONARIO
SGUICES027MT22-A15V1
Congruencia de triángulos
1
TABLA DE CORRECCIÓN
GUÍA PRÁCTICA
CONGRUENCIA DE TRIANGULOS
Ítem Alternativa
Habilidad
1
D
Comprensión
2
C
ASE
3
C
ASE
4
E
ASE
5
E
ASE
6
E
ASE
7
E
ASE
8
B
ASE
9
A
Aplicación
10
B
ASE
11
E
ASE
12
D
ASE
13
C
ASE
14
A
Aplicación
15
C
Aplicación
16
E
ASE
17
C
ASE
18
B
ASE
19
A
ASE
20
B
ASE
21
C
ASE
22
E
ASE
23
A
ASE
24
B
ASE
25
D
ASE
2
1. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Comprensión
Dos triángulos son congruentes si tienen:
* Dos lados congruentes y el ángulo comprendido por ellos congruente (LAL)
* Los tres lados congruentes (LLL)
* Dos ángulos congruentes y el lado comprendido por ellos congruente (ALA)
* Dos lados respectivamente congruentes y el ángulo opuesto al mayor de ellos
congruente (LLA)
Luego:
La alternativa A no es siempre verdadera, ya que los triángulos tienen solo un ángulo y
un lado congruentes.
La alternativa B no es siempre verdadera, ya que los triángulos tienen solo un ángulo y
un lado congruentes.
La alternativa C no es siempre verdadera, ya que los triángulos tienen dos ángulos
congruentes (y por ende el tercero también), pero no se indica información acerca de los
lados.
La alternativa D es siempre verdadera, ya que pueden darse dos situaciones: Si los
catetos son respectivamente congruentes, como el ángulo entre ellos es recto en ambos
triángulos, entonces se puede aplicar el criterio LAL. Por otro lado, si es un cateto y la
hipotenusa respectivamente congruentes, como el ángulo opuesto al mayor de ellos (la
hipotenusa) es recto en ambos triángulos, entonces se puede aplicar el criterio LLA.
La alternativa E no es siempre verdadera, ya que los triángulos tienen solo un ángulo
congruente.
Por lo tanto, la alternativa D es siempre verdadera.
2. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
I)
Verdadera, ya que los tres lados son respectivamente congruentes y el orden de
los vértices se corresponden en ambos triángulos.
II)
Falsa, ya que el orden de los vértices en el segundo triángulo no se corresponde
con el orden en el primer triángulo. Para que fuera correcta debería decir:
 MPR   NPR o  MPR   NRP.
3
III)
Verdadera, ya que los tres lados son respectivamente congruentes y el orden de
los vértices se corresponden en ambos triángulos.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
3. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como Δ DEF es isósceles en D, entonces FD  DE . Dado que EH  HF , FD  DE y
DH es un lado común, entonces Δ DHF  Δ DHE. Luego:
I)
Verdadera, ya que son ángulos que se encuentran frente a lados homólogos en
triángulos congruentes.
II)
Verdadera, ya que  FHD y  DHE son ángulos que se encuentran frente a
lados homólogos en triángulos congruentes, luego son congruentes. Como además
son adyacentes, entonces cada uno de ellos mide 90º.
III)
Falsa, ya que solo se cumpliría si el Δ DEF fuera triángulo rectángulo en D, lo
que no se menciona en el planteamiento ni en el dibujo.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
4. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como el triángulo ABC es isósceles en C, entonces AC  BC , lo que implica que el
triángulo ABC tiene un eje de simetría que pasa por el vértice C y por el punto medio
del lado AB . Entonces, los elementos secundarios relacionados con ese vértice y con
ese lado coinciden en un mismo segmento. Esta condición no se cumple para los otros
lados y los otros vértices del triángulo. Luego:
I)
Falsa, ya que si los lados AB y CB no son iguales, entonces los triángulos ABD
y CBD no son congruentes.
II)
Falsa, ya que no existen datos para determinar si los triángulos son isósceles.
III)
Falsa, ya que si los lados AB y CB no son iguales, entonces la bisectriz no
coincide con la altura.
Por lo tanto, ninguna de las proposiciones es siempre verdadera.
4
5. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
En un rectángulo, las diagonales forman 2 pares de triángulos isósceles congruentes
entre sí. Luego:
I)
Verdadera, ya que  AED   BEC
II)
Verdadera, ya que  DEC   AEB
III)
Verdadera, ya que  CAD   ACB
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
6. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Considerando que en el rombo las diagonales son perpendiculares entre sí y bisectrices
de los ángulos, siendo además los ángulos opuestos iguales, entonces se forman 4
triángulos rectángulos congruentes. Luego:
I)
Verdadera, ya que los vértices están en el orden es el correcto.
II)
Verdadera, ya que los vértices están en el orden es el correcto.
III)
Verdadera, ya que las diagonales son perpendiculares.
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
7. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como  ADE   EDC,  DEA   CED y el segmento DE es un lado en común,
entonces por el criterio ALA se cumple que  DEC   DEA. Luego, DC  DA .
5
Como  ADE   EDC, DC  DA y el segmento DB es un lado en común, entonces
por el criterio LAL se cumple que  DBC   DBA.
8. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como  EBA   DCE, entonces AB = EC = 5, EA = ED = 6 y EB = DC = 8, además de
 AEB   EDC,  BAE   CED y  EBA =  DCE = . Luego:
I)
Falsa, ya que CB = EB – EC = 8 – 5 = 3.
II)
Falsa, ya que solo ocurriría si  AEB fuera congruente con  DCE, lo que no
necesariamente se cumple.
III)
Verdadera, ya que  AEB +  BAE +  EBA = 180°
  AEB +  CED +  = 180°   AED = 180° – 
Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.
9. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Por suma de ángulos interiores, se puede determinar en el triángulo del enunciado que el
ángulo entre m y b mide 80º. Además, por la desigualdad los ángulos opuestos, se
cumple que b < m < p.
Existen cuatro criterios de congruencia: LLL, ALA, LAL y LLA. Luego:
A) Se puede aplicar el criterio LLA, ya que tienen dos lados congruentes y el ángulo
opuesto al mayor de ellos es congruente.
B) NO se puede aplicar el criterio ALA, ya que el lado entre 60º y 80º debería medir b.
C) NO se puede aplicar el criterio LAL, ya que el ángulo entre m y p debería medir 40º.
D) NO se puede aplicar el criterio LAL, ya que el ángulo entre b y p debería medir 60º.
6
E) NO se puede aplicar criterio de congruencia, ya que el ángulo frente a b debería
medir 40º.
Por lo tanto, el triángulo que es siempre congruente con el de la figura, se encuentra en
la alternativa A.
10. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
En un hexágono regular, todos sus lados y sus ángulos interiores son congruentes.
Además, las tres diagonales que pasan por el centro son congruentes entre sí, y las seis
diagonales que no pasan por el centro son congruentes entre sí. Luego, analizando cada
una de las alternativas:
Alternativa A: Δ AFE  Δ CBA
Verdadera, ya que AF  EF  AB  BC pues corresponden a lados del hexágono, y
 AFE   CBA pues corresponden a ángulos interiores del hexágono. Entonces, por el
criterio LAL, los triángulos son congruentes.
Alternativa B: Δ PAC  Δ ABE
Falsa, ya que si bien los tres ángulos son congruentes, los lados respectivos no lo son
(por ejemplo, el lado AC corresponde a la hipotenusa en el Δ PAC, y es distinto al lado
EB que corresponde a la hipotenusa en el Δ ABE). Entonces, los triángulos no son
congruentes.
Alternativa C: Δ ABR  Δ CBR
Verdadera, ya que AR  CR pues R es punto medio de AC , AB  BC pues
corresponden a lados del hexágono y el lado BR es común. Entonces, por el criterio
LLL, los triángulos son congruentes.
Alternativa D: Δ FPE  Δ QPE
Verdadera, ya que el triángulo FQE es equilátero y P es punto medio de FQ . Entonces
EP divide al triángulo FQE en dos triángulos congruentes.
Alternativa E: Δ APF  Δ CRQ
Verdadera, ya que ambos son “mitades” de triángulos equiláteros congruentes
(Δ FQA  Δ QBC). Entonces los triángulos son congruentes.
Por lo tanto, solo es falsa la congruencia Δ PAC  Δ ABE, alternativa B.
7
11. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
D
Como ABCD rectángulo, DP  PQ  QR  RC y
│
P
R
AR  BP , entonces Δ ADP  Δ AQP  Δ BQR  Δ BCR,
por el criterio LLA.
C
│
Q
Entonces, AD  AQ  BQ  BC . Luego:
B
A
I)
Falsa, ya que si bien los triángulos son congruentes, el orden en que se
mencionan los vértices no corresponde.
II)
Verdadera, ya que  ADR =  AQB = 90º y AD  AQ . Además, como  PQR
es isósceles rectángulo, entonces  DRA =  RAD =  BAR = 45º. Luego, por el
criterio ALA, los triángulos son congruentes.
III)
Verdadera, ya que PQ  RC , AD  AQ  BC y  PQA =  RCB = 90º.
Luego, por el criterio LAL, los triángulos son congruentes.
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
12. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como Δ ABD  Δ CDB y el triángulo ABD es
isósceles en B, entonces el triángulo BDC es
isósceles en D. Luego, se pueden establecer las
siguientes congruencias de lados y de ángulos:
D

C

x
y
y
 

A
I)
x

x
B
Falsa, ya que según las relaciones indicadas en el dibujo, el perímetro de cada
triángulo es (2x + y), en cambio la mitad del perímetro del cuadrilátero es
(2 x  2 y )
= (x + y).
2
8
II)
Verdadera, ya que ADB  CBD  AD // BC y DBA  BDC
 AB // DC . Entonces, como el cuadrilátero ABCD tiene las dos parejas de lados
opuestos paralelos, es un paralelógramo.
III)
Verdadera, ya que ADB  CBD por la congruencia, y  BAD   ADB por
ser el triángulo ABD isósceles. Entonces  BAD   CBD.
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
13. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como PTS y QTR son dos triángulos rectángulos isósceles en T, congruentes entre sí, y
STR es un triángulo equilátero, entonces  TPS =  PST =  RQT =  TRQ = 45°,
 STP =  QTR = 90° y  TSR =  RTS =  SRT = 60°.
Entonces,  PTQ = 360° –  QTP = 360° – (90° + 90° + 60°) = 360° – 240° = 120° y
 QPT =  TQP = 30°. Luego:
I)
Falsa, ya que  PSR =  PST +  TSR = 45° + 60° = 105° y  PTQ = 120°.
II)
Verdadera, ya que al dividir ambos triángulos por su eje de simetría se forman
triángulos congruentes entre sí.
III)
Verdadera, ya que
3
3
3
3
·  QPS = · ( QPT +  TPS) = · (30° + 45°) = · 75° = 45° =  TPS.
5
5
5
5
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
14. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Si Δ QRP  Δ DFE podemos determinar que:
 QPR   DEF
 PRQ   EFD
 RQP   FDE
9
Luego,  FEH = 180º – 86º = 94º
15. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de Proporción
Aplicación
Si ABC  DEF , entonces AB = DE.
Aplicando teorema de Pitágoras, al triangulo rectángulo FED, tenemos que un cateto es
el triple del otro, luego el valor de la hipotenusa es 15 10 , entonces EF = 15 10 .
16. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de Proporción.
ASE
Como  FGJ   JHI, entonces FG  FJ  JH  JI y JG = HI =
JG
= JH + HG
(Reemplazando)
2  JH
= JH + 1
2  JH – JH =
JH ·


1
2 1
=
1
JH
=
1
2 1
JH
=
1
2 1

2 1 2 1
JH
=
2 1
Luego, JG = HI =
(Despejando JH )
2  JH =
(Racionalizando)
2


2 1  2  2
Por lo tanto, la medida de HI es 2  2 .
10
2  JH . Luego:
17. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como ABCD y PQRS son cuadrados, entonces Δ DPA  Δ AQB  Δ BRC  Δ CSD.
PA 4
 , entonces PA = 4k y AQ = 3k, con k constante de proporcionalidad.
AQ 3
Luego, BQ = PA = 4k. Dado que Δ AQB es rectángulo en Q, entonces por trío pitagórico
AB = 5k.
Como
Como el perímetro del cuadrado ABCD mide 2 cm, entonces AB =
Luego, AB = 5k =
Entonces PA =
2 1
 cm.
4 2
1
1
k=
.
2
10
4
3
cm y AQ =
cm  PQ =
10
10
3 7
4
cm.
  
 10 10  10
 7  14
Por lo tanto, el perímetro del cuadrado PQRS mide  4   
cm.
 10  5
18. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como el triángulo ABE es isósceles en E, entonces AE  EB .
Además,  ABE   DBC, por lo cual AB  DB , BE  BC y AE  DC .
Luego, podemos nombrar AE = EB = DC = CB = p y AB = DB = m.
Entonces, DE = (DB – EB) = (m – p), y los perímetros quedan representados por:
P  DBC = DB + DC + CB = m + p + p = m + 2p = 18 cm
P ABCDE = AB + AE + DE + DC + CB = m + p + (m – p) + p + p = 2m + 2p = 26 cm
Esto significa que el perímetro del polígono es m cm mayor que el perímetro de cada
triángulo. Como la diferencia entre ambos perímetros es (26 – 18) = 8 cm, entonces
m = 8cm. Reemplazando en cualquiera de las dos expresiones, por ejemplo en el
11
perímetro del triángulo, es posible determinar que (8 + 2p) = 18  2p = (18 – 8) = 10
 p = 5 cm.
Por lo tanto, el segmento DE mide (8 – 5) = 3 cm.
19. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como  EFI   HFG, entonces  IFE   GFH, y dado que EG es un segmento
recto, entonces  IFE =  GFH = 90º. Luego,  EFI y  HFG cumplen con la relación
métrica 30º/60º/90º.
Es decir, si EI = HG = a, entonces EF = HF =
a
a 3
y FI = FG =
. Luego, la razón
2
2
a 3 a

IH
FI  HF
2
2
pedida se puede plantear


EG EF  FG a a 3

2
2
Por lo tanto, al amplificar por
2
IH
3 1
3 1
, queda
.


a
EG 1  3
3 1
20. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como  MNQ   NMP y MQ  QN , entonces MP = QN = 3 y MQ = PN = 4 (por trío
pitagórico). Además, MR  RN y PR  RQ .
Si llamamos MR = RN = a y PR = RQ = b, entonces (a + b) = 4. Además, aplicando
Teorema de Pitágoras en el  RQN, se cumple que (3² + b²) = a².
Resolviendo el sistema planteado resulta:
(3² + b²) = a²  a² – b² = 9  (a – b)(a + b) = 9  (a – b) =
Luego, (a + b) + (a – b) = 4 +
9
25
25
 2a =
 a=
4
4
8
12
9
9

( a  b) 4
Por lo tanto, el valor del segmento MR es
25
.
8
21. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como  PQR   TQS, y ambos son isósceles rectángulos, entonces PQ = TQ = 1 cm y
PR = RQ = TS = SQ =
2
cm. Luego, TR = (TQ – RQ) =
2

2
1 
 cm. Dado que


2


PRTU es un rectángulo, entonces UP  TR y UT  PR .
Por lo tanto, el perímetro del rectángulo PRTU mide
 2
2
2
2
 = 2 cm.
(PR + UP + UT + TR) = 
1

1

2
2
2
2


22. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como ABCD es un cuadrado de lado 2, entonces su diagonal AC vale 2 2 . Por otro
lado, dado que DPC es un triángulo isósceles en C, entonces DC = PC = 2.
Luego, QC = (AC – AQ) = ( 2 2 – 2).
Dado que  DCP   BAQ, entonces AQ  PC y AP  QC .
Luego, PQ = (PC – QC) = (2 – ( 2 2 – 2)) = (2 – 2 2 + 2) = (4 – 2 2 )
Por lo tanto, el valor de PQ es (4 – 2 2 ).
13
23. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
T
Si llamamos  y  a los ángulos interiores del  MNT, isósceles en T,

y considerando que  MNT   NSR y MN // RS , resulta:
Por la suma de ángulos interiores en el  MNT   + 2 = 180º (1)
Por paralelismo,  SRT   NMT  2 =  (2)
Reemplazando (2) en (1)   + 2·2 = 180º  5 = 180º   =
180º
= 36º
5
Entonces, según (2),  = 2 · 36º = 72º
M
R




 N

Según la figura, el ángulo RMN es adyacente con el ángulo NMT ().
Por lo tanto, el ángulo RMN mide (180º – ) = (180º – 72º) = 108º.
24. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
(1) Tienen sus tres ángulos respectivamente congruentes. Con esta información,
no es posible determinar si los triángulos son congruentes, ya que solo se puede
determinar que los triángulos son semejantes.
(2) Tienen sus tres lados respectivamente congruentes. Con esta información, sí es
posible determinar si los triángulos son congruentes, ya que corresponde a la
definición del criterio LLL.
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
25. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
(1)
Geometría de proporción
ASE
AD // CB y AD  CB . Con esta información, es posible determinar que
 ADC   BCD, porque si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos e
iguales es un paralelógramo, y en todo paralelógramo una diagonal lo divide en
dos triángulos congruentes.
14
S
(2)
AC // DB y AC  DB . Con esta información, es posible determinar que
 ADC   BCD, porque si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos e
iguales es un paralelógramo, y en todo paralelógramo una diagonal lo divide en
dos triángulos congruentes.
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.
15