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Universidad del Magdalena
Facultad de Ciencias Empresariales y Económicas
Cálculo Diferencial
III Examen Parcial - Valor 150 Ptos.
Docente: José F. Barros Troncoso
Grupo: ____
Fecha: Mayo 27 de 2015
1. El costo promedio de producir 𝑥 unidades de cierto artículo se obtiene mediante la función
48
̅̅̅̅̅̅ = 3𝑥 + 1 +
𝐶(𝑥)
𝑥
, donde C se da en miles de dólares. Calcule la cantidad de unidades que se deben producir para minimizar el costo promedio y el costo
promedio mínimo que se puede obtener.
2. Cuando el precio de cierto artículo es 𝑝 dólares por unidad, los clientes demandan 𝑥 cientos de unidades de dicho producto, donde
𝑥 2 + 3𝑝𝑥 + 𝑝2 = 79
Calcule e interprete la tasa de variación del precio respecto a la cantidad demandad si cuando se demandan 4 unidades el precio por
unidad es de 5 dólares.
3. Suponga que la utilidad obtenida por la vente de 𝑥 unidades de una mercancía, así como y unidades de una segunda mercancía, está
dada por la función de utilidad
𝑈(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 3 𝑦 2
El consumidor posee actualmente 𝑥 = 5 unidades de la primera mercancía e 𝑦 = 4 unidades de la segunda.
a. Calcular e interpretar las tasas de variaciones.
b. ¿Qué beneficia más?
4. La producción en cierta fábrica está dada por la función de producción de Cobb-Douglas
𝑄(𝐾, 𝐿) = 57𝐾1/4 𝐿3/4
, donde 𝐾 es el capital en miles de dólares y 𝐿 es la fuerza laboral, medida en horas-trabajador.
a.
¿Cuál es la productividad marginal de la inversión de capital y la productividad marginal de la fuerza laboral si los gastos
respectivos son de 277 y 744 unidades?
b.
¿Qué le conviene más a la fábrica?
5.
Dos productos A y B son complementarios si
𝜕𝑞𝐴
𝜕𝑃𝐵
<0y
𝜕𝑞𝐵
𝜕𝑃𝐴
< 0 , son competitivos o sustitutos si
𝜕𝑞𝐴
𝜕𝑃𝐵
>0y
𝜕𝑞𝐵
𝜕𝑃𝐴
> 0 de lo contrario no son
ni sustitutos ni complementarios.
Dadas las ecuaciones de la demanda para dos artículos A y B determine si son competitivos o complementarios o ninguno de los dos, para
𝑝𝐴 = 3 y 𝑝𝐵 = 2
7𝑃𝐵
𝑃𝐴
𝑦 𝑞𝐵 =
1 + (𝑝𝐴 )2
1 + (𝑃𝐵 )2
Durante el desarrollo del examen no se ofrecerá ningún tipo de asesoría u orientación ya que estas se brindaron las clases.
𝑞𝐴 =
É xi to s
_ ___ __ ___ ___ __ ___ ___ __ ___ ___ ___ __ ___ ___ __ ___ ____ ___ __ ___ ___ __ ___ ___ __ ___ ___ ___ __ ___ ___ __ ___ ____ ___ __ ___ ___ __ _
Universidad del Magdalena
Facultad de Ciencias Empresariales y Económicas
Cálculo Diferencial
III Examen Parcial - Valor 150 Ptos.
Docente: José F. Barros Troncoso
Grupo: ____
Fecha: Mayo 27 de 2015
1. Una compañía determina que si se gastan 𝑥 miles de dólares en publicidad de cierto producto, entonces se venderán 𝑆(x) unidades del
producto, donde
𝑆(𝑥) = −2𝑥 3 + 27𝑥 2 + 132𝑥 + 207
¿Cuánto se debe gastar en publicidad para maximizar el nivel de ventas? ¿Cuál la máxima venta que se puede realizar?
2. Suponga que el volumen de ventas 𝑦 de un compañía (en miles de dólares) se relaciona con los gastos de publicidad 𝑥 (en miles de
dólares) de acuerdo con
𝑥𝑦 – 20𝑥 + 10𝑦 = 0
Calcule e interprete la razón de cambio del volumen de ventas respecto al gasto de publicidad cuando 𝑥 = 10 (miles de dólares)
3. El costo total de producir un artículo es
𝑪(𝒙, 𝒚) = 𝟑𝟎 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝒚 – 𝒙𝒚
, donde 𝒙 es la tarifa por hora de la mano de obra e 𝒚 el costo por libra de materia prima. La tarifa actual por hora de la mano de obra es
de $15 y la materia prima cuestan $6 por libra.
a. Calcular e interpretar las tasas de variaciones.
b. ¿Qué beneficia más?
4. La producción en cierta fábrica está dada por la función de producción de Cobb-Douglas
𝑄(𝐾, 𝐿) = 83𝐾 2/5 𝐿3/5
, donde 𝐾 es el capital en miles de dólares y 𝐿 es la fuerza laboral, medida en horas-trabajador.
a. ¿Cuál es la productividad marginal de la inversión de capital y la productividad marginal de la fuerza laboral si los gastos respectivos
son de 311 y 823 unidades?
b. ¿Qué le conviene más a la fábrica?
5. Dos productos A y B son complementarios si
𝜕𝑞𝐴
𝜕𝑃𝐵
<0y
𝜕𝑞𝐵
𝜕𝑃𝐴
< 0 , son competitivos o sustitutos si
𝜕𝑞𝐴
𝜕𝑃𝐵
>0y
𝜕𝑞𝐵
𝜕𝑃𝐴
> 0 de lo contrario no son
ni sustitutos ni complementarios.
Dadas las ecuaciones de la demanda para dos artículos A y B determine si son competitivos o complementarios o ninguno de los dos, para
𝑝𝐴 = 3 y 𝑝𝐵 = 2
𝑞𝐴 = 200 +
𝑃𝐴
𝑃𝐵
𝑦 𝑞𝐵 = 1500 −
𝑃𝐵 + 2
𝑃𝐴 + 7