Activité n° 1 ALGO : Aire sous une hyperbole à l

Activité n° 1 ALGO : Aire sous une hyperbole à l’aide des rectangles
Page 184 : Enoncé.
Le plan est muni d’un repère orthonormé. On désigne par f la fonction inverse. On se propose d’obtenir les valeurs
approchées de l’aire A de la surface  S  située entre l’hyperbole  H 
d’équation y 
1
, l’axe des abscisses et les droites d’équations x  1 et x  2 .
x
1
, puis
5
on trace, en prenant appui sur la courbe  H  , cinq rectangles « inférieurs » et
1°) On partage l’intervalle 1; 2 en cinq intervalles de même amplitude
cinq rectangles « supérieurs », tous de largeurs
1
, comme indiqué sur la figure
5
ci-contre :
a) Justifier que :
 1
 2
 5
 1
 2
f  1    f 1    .....  f  1  
f (1)  f 1    f 1    ..... 
 5
 5
 5  A
 5
 5
5
5
b) On a effectué les calculs ci-contre à l’aide du logiciel Xcas. :
 4
f 1  
 5.
En déduire un encadrement de A entre deux nombres rationnels, puis un encadrement de A
d’amplitude 0,1.
2°) Soit un entier n  1 .
a) En généralisant la démarche précédente, montrer que :
 1
 2
 n
 1
 2
 n 1 
f  1    f 1    .....  f 1  
f (1)  f 1    f 1    .....  f 1 

n 
 n
 n
 n  A
 n
 n

n
n
On pose :
 1
 2
 n
 1
 2
 n 1 
f 1    f 1    .....  f  1  
f (1)  f 1    f 1    .....  f 1 

n
n 
 n
 n  et T 
 n
 n

Sn  
.
n
n
n
1
b) On propose l’algorithme ci-contre pour calculer Sn . :
Variables
n, k : entiers ;
S : réel ;
Début
Entrer (n) : S  0 ;
Pour k allant de 1 à n Faire
 k
f 1  
n
S S 
;
n
Fin du Pour ;
Affiche (S );
Fin.
Expliquer la démarche. Modifier ensuite cet algorithme de façon à ce qu’il affiche
comme résultat final S n et Tn .
f (1)  f (2) 1

.
c) Justifier que Tn  S n 
n
2n
d) Pour quelles valeurs de n les nombres S n et Tn sont-ils des valeurs approchées de l’aire A à 0,001
près ? A l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel, obtenir un encadrement de A à 0,001
près.
3°) Exploiter les encadrements de A obtenus aux questions 1°) b) et 2°) d) pour encadrer exp  A  .
Que peut-on ainsi conjecturer comme valeur de A ?
2
Activité n° 2 ALGO : Aire sous une parabole à l’aide de trapèzes
Page 184 et 185 : Enoncé.
Le plan est muni d’un repère orthonormé. On se propose de calculer l’aire A de la surface située entre la parabole
d’équation y  x 2 , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x  0 et x  1 .
Soit un entier n  1 .
1°) On considère les points M et N de la parabole d’abscisses
k
k 1
respectives et
, où k est un entier tel que 0  k  n  1 .
n
n
1
2
Vérifier que l’aire du trapèze ABNM est Ak  3  k 2   k  1  .

2n 
n 1
2°) On pose S n  A0  A1  A2  .....  An 1   Ak .
k 0
On s’intéresse à Sn en tant que valeur approchée de l’aire A .
a) Sn est-elle une valeur approchée de A par excès ou part défaut ?
b) Construire un algorithme calculant Sn pour n  10 , puis pour n  100 .
c) Quelle conjecture peut-on émettre pour la valeur de l’aire A ?
n 1
3°)


1
1
1
1 n 1
2
 3 12  22  ....   n  1 
 3 k2 .
2n n
2n n k 1
k 0
(Ce résultat a été obtenu par ARCHIMEDE par des méthodes algébriques.
Archimède de Syracuse né à Syracuse vers 287 av. J.-C. et mort en cette même
ville en 212 av. J.-C., est un grand scientifique grec de Sicile (Grande-Grèce)
de l'Antiquité, physicien, mathématicien et ingénieur. Bien que peu de détails
de sa vie soient connus, il est considéré comme l'un des principaux
scientifiques de l'Antiquité classique. Parmi ses domaines d'étude en physique,
on peut citer l'hydrostatique, la mécanique statique et l'explication du principe
du levier. Il est crédité de la conception de plusieurs outils innovants, comme
la vis d'Archimède.
a) Démontrer que S n   Ak 
b) En déduire l’expression de Sn en fonction de n .
On pourra utiliser l’expression (que l’on peut démontrer par récurrence assez
n  n  1 2n  1
2
facilement : 12  22  ....   n  1  n 2 
6
c) conclure.
3
Activité n° 3 Aire et primitives
Page 185 : Enoncé.
1
x2.
2
L’unité d’aire est visualisée par le rectangle dont le bord est blanc.
1°) Déterminer l’aire du trapèze OABC en unités d’aire.
2°) Pour tout réel x   0; 2 , on considère le point M ( x;0) et le point N de
La droite  CB  a pour équation y 
la droite  CB  d’abscisse x .
Calculer en fonction de x l’aire du trapèze OMNC.
3°) On considère la fonction F définie sur l’intervalle  0; 2 par
F ( x) 
1 2
x  2x .
4
a) Quel est le lien entre les fonctions f et F ?
b) Montrer que l’aire du trapèze OABC est égale à F (2)  F (0) .
Activité n° 4 Fonction « Aire sous la courbe »
Page 185 : Enoncé.
Soit une fonction f continue et positive sur un intervalle  a; b  . On
suppose, de plus, que f est croissante sur cet intervalle  a; b  . On
appelle S le domaine formé des points M  x; y  tels que :
a  x  b
.

0  y  f ( x )
On se propose de calculer l’aire de S , en unités d’aire.
Pour tout réel t   a; b  , on appelle A  t  l’aire du domaine formé par
les points M  x; y  tels que :
a  x  t
, en unités d’aires.

0  y  f ( x )
1°) Calculer A  a  . Que représente A  b   A  a  ?
2°) Soit un réel t   a; b  et un réel h tel que t  h   a; b  .
a) On suppose que h  0 . Par des considérations géométriques, montrer que
h  f (t )  A  t  h   A  t   h  f  t  h  .
b) On suppose maintenant que h  0 , montrer alors que  h  f (t  h)  A  t   A  t  h   h  f  t  .
c) En déduire que la fonction A est dérivable en t et que A '  t   f (t )
Remarque :
On dit que la fonction A est la primitive de la fonction f qui s’annule en a .
3°) Retrouver le résultat de la deuxième activité.
4
Activité n° 1 ALGO : Aire sous une hyperbole à l’aide des rectangles
Page 184 : CORRECTION.
Le plan est muni d’un repère orthonormé. On désigne par f la fonction inverse. On se propose d’obtenir les valeurs
approchées de l’aire A de la surface  S  située entre l’hyperbole  H 
1
, l’axe des abscisses et les droites d’équations x  1 et x  2 .
x
L’objectif de cette activité est le calcul de l’aire de la surface sous la courbe par
la méthode des rectangles en utilisant un algorithme.
1
1°) On partage l’intervalle 1; 2 en cinq intervalles de même amplitude , puis
5
on trace, en prenant appui sur la courbe  H  , cinq rectangles « inférieurs » et
d’équation y 
cinq rectangles « supérieurs », tous de largeurs
1
, comme indiqué sur la figure
5
ci-contre :
a) Justifier que :
 1
 2
 5
 1
 2
 4
f  1    f 1    .....  f 1  
f (1)  f 1    f 1    .....  f 1  
 5
 5
 5  A
 5
 5
 5.
5
5
La surface  S  contient les cinq rectangles inferieurs (en mauve) et cette surface est contenue dans les cinq
rectangles supérieurs (en mauve et jaune).
Les hauteurs des rectangle inferieurs, les mauves, valent
 1
 2
 3
 4
 5
f 1   ; f 1   ; f 1   ; f 1   et f 1   , et les rectangles supérieurs, les mauves et jaunes,
 5
 5
 5
 5
 5
 1
 2
 3
 4
on chacun une hauteur qui vaut f (1) ; f 1   ; f  1   ; f 1   et f 1  
 5
 5
 5
 5
Et les largeurs de tous ces rectangles sont de même valeur 1/5.
1
Donc l’aire A de la surface  S  située entre l’hyperbole  H  d’équation y  , l’axe des abscisses et les
x
droites d’équations x  1 et x  2 , peut être encadrée par :
1
1
1
1
1
 1 1
 2
 5
 1
 4
 f 1     f 1    ....   f 1    A   f 1   f 1    ....   f 1   , ce qui
5
5
5
5
5
 5 5
 5
 5
 5
 5
donne bien la relation :
 1
 2
 5
 1
 2
 4
f  1    f 1    .....  f 1  
f (1)  f 1    f 1    .....  f 1  
 5
 5
 5  A
 5
 5
 5
5
5
5
b) On a effectué les calculs ci-contre à l’aide du logiciel Xcas. :
En déduire un encadrement de A entre deux nombres rationnels, puis un encadrement de A
d’amplitude 0,1.
En utilisant donc les résultats de Xcas, on obtient assez rapidement que
1 1627
1 1879
1627
1879
1627
1879

 A 

 A
et comme
 0, 6 et
 0,8 on en déduit que
5 504
5 504
2520
2520
504
2520
0, 6  A  0,8
2°) Soit un entier n  1 .
a) En généralisant la démarche précédente, montrer que :
 1
 2
 n
 1
 2
 n 1 
f  1    f 1    .....  f 1  
f (1)  f 1    f 1    .....  f 1 

n 
 n
 n
 n  A
 n
 n

n
n
La surface  S  contient les n rectangles inferieurs et cette surface est contenue dans les n rectangles
supérieurs.
 1
 2
 n
Les hauteurs des rectangle inferieurs valent f 1   ; f 1   ........et f 1   , et les rectangles
 n
 n
 n
 1
 2
 n 1 
supérieurs on chacun une hauteur qui vaut f (1) ; f 1   ; f 1   .......et f 1 

n 
 n
 n

Et les largeurs de tous ces rectangles sont de même valeur 1/5.
1
Donc l’aire A de la surface  S  située entre l’hyperbole  H  d’équation y  , l’axe des abscisses et les
x
droites d’équations x  1 et x  2 , peut être encadrée par :
 1
 2
 n
 1
 2
 n 1 
f  1    f 1    .....  f 1  
f (1)  f 1    f 1    .....  f 1 

n 
 n
 n
 n  A
 n
 n

n
n
On pose alors :
 1
f 1   
n
S  
n
 2
f 1    ..... 
 n
n
 n
f 1  
f (1) 
 n  et T 
n
 1
f 1   
 n
 2
f 1    ..... 
 n
n
 n 1 
f 1 

n 

.
6
b) On propose l’algorithme ci-contre pour calculer Sn . :
Variables
n, k : entiers ;
S : réel ;
Début
Entrer (n) : S  0 ;
Pour k allant de 1 à n Faire
 k
f 1  
n
;
SS 
n
Fin du Pour ;
Affiche (S );
Fin.
Expliquer la démarche. Modifier ensuite cet algorithme de façon à ce qu’il affiche
comme résultat final S n et Tn .
 1
f 1   
n
Comme S n  
 2
 n
 k
f  1    .....  f 1   n f  1  
 n
 n=
 n  , on calcule de proche en proche la

n
n
k 1
 k
f 1  
n
pour un entier k allant de 1 à n , et donc pour que cette algorithme affiche
somme en ajoutant 
n
les sommes S n et Tn , on peut rajouter l’instruction suivante, à la fin
Afficher  S   f (1)  f (2)  / n  .
Ce qui donne avec ALGOBOX :
7
c) Justifier que Tn  S n 
f (1)  f (2) 1

.
n
2n
Pour tout entier n  1 , on a
 1
 2
 n 1 
 1
 2
 n
f (1)  f 1    f 1    .....  f 1 
 f 1    f 1    .....  f 1  
n 
n
 n
 n

 n
 n
Tn  S n 
 
n
n
 n
f (1)  f  1  
 n
Tn  S n 
n
1 1 1
f (1)  f  2  1  2 2
1

 , donc Tn  Sn 
Soit Tn  Sn 
2n
n
n
n
d) Pour quelles valeurs de n les nombres S n et Tn sont-ils des valeurs approchées de l’aire A à 0,001
près ? A l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel de calcul formel, obtenir un encadrement de A à 0,001
près.
Pour que S n et Tn soient des valeurs approchées de l’aire A à 0,001 près, il suffit que
1
 0, 001  n  500 , et après programmation ou avec la calculatrice, on trouve
2n
(pour n  500 )
0, 693  A  0, 694
3°) Exploiter les encadrements de A obtenus aux questions 1°) b) et 2°) d) pour encadrer exp  A  .
Que peut-on ainsi conjecturer comme valeur de A ?
0, 693  A  0, 694  e0,693  e A  e0,694
Ce qui donne environ 1,9997  e A  2, 0018 , donc environ e A  2  A  ln(2)
8
Activité n° 2 ALGO : Aire sous une parabole à l’aide de trapèzes
Page 184 et 185 : CORRECTION.
Le plan est muni d’un repère orthonormé. On se propose de calculer l’aire A de la surface située entre la parabole
d’équation y  x 2 , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x  0 et x  1 .
Soit un entier n  1 .
Le but de cette activité est le calcul de l’aire de la surface sous la
courbe par la méthode des trapèzes en utilisant un algorithme, puis par
une méthode donnant un résultat exact.
1°) On considère les points M et N de la parabole d’abscisses
k
k 1
, où k est un entier tel que 0  k  n  1 .
respectives et
n
n
1
2
Vérifier que l’aire du trapèze ABNM est Ak  3  k 2   k  1  .


2n
Pour tout entier k entre 0 et n  1 , on a
2
2
y M  y N 1 1  k   k  1  
bB
 
    
Ak 
  (rappel, l’aire d’un trapèze vaut 
 h )
n 2n  n   n  
2
 2 
1
2
Donc Ak  3  k 2   k  1 

2n 
n 1
2°) On pose S n  A0  A1  A2  .....  An 1   Ak .
k 0
On s’intéresse à Sn en tant que valeur approchée de l’aire A .
a) Sn est-elle une valeur approchée de A par excès ou part défaut ?
 k k  1
Pour tout entier k entre 0 et n  1 , la droite (MN) est au-dessus de la parabole sur l’intervalle  ;
.
 n n 
Donc le trapèze ABNM contient la surface située sous la parabole, l’axe des abscisses, et les droites
k
k 1
. On en déduit que Sn est une valeur approchée par
d’équation et les droites verticales x  et x 
n
n
excès de l’aire A
c) Construire un algorithme calculant Sn pour n  10 , puis pour n  100 .
Pour n  10
Variables
n, k : entiers ;
S : réel ;
Début
Entrer (n) : S  0 ;
Pour k allant de 0 à n  1 Faire
k   k  1
;
2n 3
Fin du Pour ;
Affiche (S );
Fin.
2
2
Pour n  100
SS
9
Avec ALGOBOX on obtient :
d) Quelle conjecture peut-on émettre pour la valeur de l’aire A ?
On obtient successivement S10  0,335 et S100  0,33335 , on peut alors conjecturer que A 
n 1
3°)

1
3

1
1
1
1 n 1
2
 3 12  22  ....   n  1 
 3 k2 .
2n n
2n n k 1
k 0
2
2
n 1
n 1
n 1
n
n 1
1
k
k
0
k2
n2
2
S n   Ak   3  k 2   k  1    3   3  3  2 3  3 , et on obtient bien

 k 0 2n k 1 2n
2n
2n
k 0
k  0 2n
k 1 2n
n 1
1
1
Sn 
 3 k2
2n n k 1
a) Démontrer que S n   Ak 
b) En déduire l’expression de Sn en fonction de n .
On pourra utiliser l’expression (que l’on peut démontrer par récurrence assez facilement :
n  n  1 2n  1
2
12  22  ....   n  1  n 2 
6
n 1
n
n

1
2
  n  1  n 2 , on en déduit que
Etant donné que  k 2 
6
k 1
1
1 n 1 2 1
1  n  n  1 2n  1 2  1  n  1 2n  1 1 3n  2n 2  n  2n  1  6n
Sn 
 k 
 
n  

 
2n n3 k 1
2n n3 
6
6n 2
n
6n 2
 2n
Ce qui donne finalement S n 
1 1
2n 2  1 2n 2
1
 2  2 , c’est-à-dire S n   2
2
3 6n
6n
6n 6n
c) conclure.
1
Quand n   , on a
 0 , et donc
6n 2
1

 LimSn 
3

n  
10
Activité n° 3 Aire et primitives
Page 185 : CORRECTION.
1
x2.
2
L’unité d’aire est visualisée par le rectangle dont le bord est blanc.
1°) Déterminer l’aire du trapèze OABC en unités d’aire.
23
Aire  OABC  
 2 donc Aire  OABC   5 U.A.
2
La droite  CB  a pour équation y 
2°) Pour tout réel x   0; 2 , on considère le point M ( x;0) et le point N de
la droite  CB  d’abscisse x .
Calculer en fonction de x l’aire du trapèze OMNC.
x

2    2
x2
2


Aire  OMNC  
 x donc Aire  OMNC    2 x
4
2
3°) On considère la fonction F définie sur l’intervalle  0; 2 par F ( x) 
1 2
x  2x .
4
a) Quel est le lien entre les fonctions f et F ?
x
f ( x)   2 , donc la fonction F est la dérivée de la fonction f .
2
b) Montrer que l’aire du trapèze OABC est égale à F (2)  F (0) .
1
 1

F (2)  F (0)    22  2  2     02  2  0  , donc F (2)  F (0)  5
4
 4

11
Activité n° 4 Fonction « Aire sous la courbe »
Page 185 : CORRECTION.
Soit une fonction f continue et positive sur un intervalle  a; b  . On
suppose, de plus, que f est croissante sur cet intervalle  a; b  . On
appelle S le domaine formé des points M  x; y  tels que :
a  x  b
.

0  y  f ( x )
On se propose de calculer l’aire de S , en unités d’aire.
Pour tout réel t   a; b  , on appelle A  t  l’aire du domaine formé par
les points M  x; y  tels que :
a  x  t
, en unités d’aires.

0  y  f ( x )
1°) Calculer A  a  . Que représente A  b   A  a  ?
A  a   0 puis A  b   A  a  représente l’aire de S , en unités d’aire.
2°) Soit un réel t   a; b  et un réel h tel que t  h   a; b  .
a) On suppose que h  0 . Par des considérations géométriques, montrer que
h  f (t )  A  t  h   A  t   h  f  t  h  .
La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle t ; t  h  , donc le domaine délimité par la courbe
représentative de la fonction f , l’aire sous la courbe, sur cet intervalle t ; t  h  contient le rectangle
inférieur de largeur h et de longueur f (t ) et cette aire est également incluse dans le rectangle supérieur de
largeur h et de longueur f  t  h  . Comme ce domaine a pour aire, d’après l’énoncé, A  t  h   A  t  , car
h  0 , on en déduit que h  f (t )  A  t  h   A  t   h  f  t  h 
b) On suppose maintenant que h  0 , montrer alors que  h  f (t  h)  A  t   A  t  h   h  f  t 
La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle t  h; t  , donc le domaine délimité par la courbe
représentative de la fonction f , l’aire sous la courbe, sur cet intervalle t ; t  h  contient le rectangle
inférieur de largeur h et de longueur f (t  h) et cette aire est également incluse dans le rectangle supérieur
de largeur  h et de longueur f  t  . Comme ce domaine a pour aire, d’après l’énoncé, A  t   A  t  h  , car
h  0 , on en déduit que  h  f (t  h)  A  t   A  t  h   h  f  t 
12
c) En déduire que la fonction A est dérivable en t et que A '  t   f (t )
On distingue deux cas, et en utilisant les résultats de la question précédente :
 CAS.
Si h  0 , alors
A t  h   A t 
f (t ) 
 f t  h 
h
 CAS.
Si h  0 , alors
A t   A t  h 
f (t  h) 
 f t 
h
A t  h   A t 
 f  t  et comme la fonction f est continue pour tout t , on a
C’est-à-dire que f (t  h) 
h
Limf  t  h   f (t ) quand h  0 , puis en utilisant le théorème des gendarmes dans les inégalités ci-dessus,
A t  h   A t 
 f (t ) quand h  0
h
Et donc la fonction A est dérivable en t et que A '  t   f (t )
on obtient que Lim
3°) Retrouver le résultat de la deuxième activité.
1
Une primitive de f ( x)  x 2 est F ( x)  x 3 donc l’aire du domaine :
3
0  x  1
1
1
1
en unités d’aire est donnée par : F (1)  F (0)   13   03 , soit F (1)  F (0) 

2
3
3
3
0  y  x
13